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Università degli Studi di Napoli "Federico II" - Facoltà di ingegneria - C.d.l. Ingegneria Informatica Formulario per i corsi di Analisi Matematica I, Analisi Matematica II e Metodi Matematici per l'Ingegneria ⥤⦓Claudio S. Di Mauro⦔⥢ Frazioni particolari Fazione Valore 0 0 0 0 0 0 0 Operazioni tra potenze Operazione Valore Potenze particolari Potenza Valore 0 0 1 0 0 0 Equazioni parametriche curve fondamentali Curva Equazione Eq. parametrica Circonferenza + = 0,0 " [0,2&] ( " = )*" " = *+" Ellisse + = 1 -±, 0 /0, ± " [0,2&] ( " = )*" " = *+" Formule di duplicazione *+ 20 = 2*+ 0 )* 0 )* 20 = )* 0 − *+ 0=2 1 − 2*+ 0 2 )* 0−1 "320 = 456 745 8 6 con 0 ≠ 45° ∧ A90° + A180° Formule parametriche sin 0 = 4 74 cos 0 = 74 8 74 8 con " = "3 6 e 0 ≠ 180° + A360° "30 = 4 74 8 con t = tg K e 0≠90° + A180° ∧ 90° + A180° Formule di bisezione )* L = 7MNOL ⟹ )* = 7MNOL *+ L = 7MNOL ⟹ *+ = 7MNOL Formule di Werner *+0 *+Q = 7 [cos0 − Q − cos0 + Q] )*0 )*Q = 7 [)*0 + Q + )*0 − Q] *+0 )*Q = 7 [*+0 + Q + *+0 − Q] Formule di Eulero Y Z Z [ Z Z \ sin " = ] ^_ ] ‘^_ a cos " = ] ^_ ] ‘^_ sinh " = ] _ ] ‘_ cosh " = ] _ ] ‘_

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Università degli Studi di Napoli "Federico II" - Facoltà di ingegneria - C.d.l. Ingegneria Informatica

Formulario per i corsi di Analisi Matematica I, Analisi Matematica II e Metodi Matematici per l'Ingegneria

⥤⦓Claudio S. Di Mauro⦔⥢

Frazioni particolari

Fazione Valore �0 ∞

∞0 ∞

�∞ 0

0� 0

0∞ 0

Operazioni tra potenze

Operazione Valore

� ∙ �� ���

��� � �

���� �∙�

��� ∙ ��� �� ∙ ���

������ �����

Potenze particolari

Potenza Valore 0� 0

�� 1

�� ∞

� � 0

∞� ∅

0� 0

Equazioni parametriche curve fondamentali

Curva Equazione Eq. parametrica

Circonferenza

�� + �� = ��

��0,0� " ∈ [0,2&]

(��"� = �)*" ��"� = *+�" ,

Ellisse

���� + ���� = 1

-�±�, 0� /�0, ±��

" ∈ [0,2&]

(��"� = � �)*" ��"� = � *+�" ,

Formule di duplicazione

*+� 20 = 2*+� 0 �)* 0

�)* 20 = �)*�0 − *+��0 = 2 1 − 2*+��02 �)*�0 − 1, "320 = �4567 4586 con 0 ≠ 45° ∧ A90° + A180°

Formule parametriche

sin 0 = �47�4 cos 0 = 7 487�48 con " = "3 6� e 0 ≠ 180° + A360°

"30 = �47 48 con t = tg K� e 0 ≠ 90° + A180° ∧ 90° + A180°

Formule di bisezione

�)*� L� = 7�MNOL� ⟹ �)*�� = 7�MNO�L�

*+�� L� = 7 MNOL� ⟹ *+��� = 7 MNO�L�

Formule di Werner

*+�0 *+�Q = 7� [cos�0 − Q� − cos�0 + Q�] �)*0 �)*Q = 7� [�)*�0 + Q� + �)*�0 − Q�] *+�0 �)*Q = 7� [*+��0 + Q� + *+��0 − Q�] Formule di Eulero

YZZ[ZZ\sin " = ]^_ ]`^_�acos " = ]^_�]`^_�sinh " = ]_ ]`_�cosh " = ]_�]`_�

,

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⥤⦓Claudio S. Di Mauro⦔⥢

Formule di addizione e sottrazione Funzione ADDIZIONE SOTTRAZIONE Seno sin�0 + Q� = *+�0 �)*Q + �)*0 *+�Q *+��0 − Q� = *+�0 �)*Q − �)*0 *+�Q Coseno cos�0 + Q� = �)*0 �)*Q − sin 0 *+�Q cos�0 − Q� = �)*0 �)*Q + sin 0 *+�Q Tangente tan�0 + Q� = tan 0 + tan Q1 − tan 0 tan Q tan�0 − Q� = tan 0 − tan Q1 + tan 0 tan Q Cotangente tan 7�0 + Q� = 1 + tan 7 0 tan 7 Q tan 7 0 + tan 7 Q tan 7�0 + Q� = 1 − tan 7 0 tan 7 Q tan 7 0 − tan 7 Q Limiti notevoli

limL→�sin �� = 1 limL→�

�sin � = 1 limL→�sinr ��� = 1

limL→���sinr � = 1 limL→�

sin A�A� = 1 limL→�A�sin A� = 1

limL→��1 + ��s − 1� = 1 limL→�

�L − 1 � = log � limL→�tL − 1 � = 1

limL→� �1 + 1��L = t limL→�u √1 + �w − 1x� = 1� limL→� log �1 + 1��L = 1 limL→��1 + ��7L = t limL→� log�1 + ��7L = 1 limL→�

logy�1 + ��� = logy t limL→� tan � = 0 z+{L→�

tan �� = 1 limL→� arccos � = &2 limL→�

arcsin �� = 1 limL→� arcsin � = 0 limL→�arctan �� = 1

limL→� �1 + 1��L = t Principali polinomi di Taylor tL = 1 + L7! + L8�! + L��! + ⋯ + Lw�! + )���� sin � = � − L�� + L��! + ⋯ + � 7�w����7�! �����7� + )������� cos � = 1 − L8� + L��! + ⋯ + � 7�w����! ��� + )�����7� tan � = � + L�� + L87� �� + 7��7� �� + ������ �� + )��7��

77 L = 1 + � + �� + �� + ⋯ + �� + )���� log�1 + �� = � − L8� + L�� + L�� + ⋯ + � 7�w��� �� + )���� �1 + ��6 = 1 + 0� + 6�6 7�� �� + 6�6 7��6 ��� �� + ⋯ + �0 ���� + )����

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⥤⦓Claudio S. Di Mauro⦔⥢

Sostituzioni varie 1 − sin� � = cos� � sin� � + cos� � = 1 tan � = ��r L��� L 7��r8 L = cosec�� 7���8 L = sec� � Derivate elementari Funzione Derivata � = A �� = 0 � = � �� = 1 � = 1� �� = − 1�� � = �� �� = ��� 7 � = √�w �� = 7� √Lw`�w � = √� �� = 7�√L � = √�w { < � �′ = � √Lw`�w � = logy � �′ = 7L logy t � = log � �′ = 7L � = tL �′ = tL � = �L �� = �L log � � = sin � �� = cos � � = cos � �� = − sin � � = tan � �� = 7���8 L = 1 + tan� � = sec� � � = cotan � �� = − 7��r8 L = −1 − cotan�� � = arcsin � �� = 7√7 L8 � = arccos � �� = − 7√7 L8 � = arctan � �� = 77�L8 � = arccotg � �� = − 77�L8 � = ���� ∙ 3��� ⇒ �� = �����3��� + 3�������� � = ��L�5�L� ⇒ �� = ���L�5�L� ��L�5��L�[5�L�]8

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⥤⦓Claudio S. Di Mauro⦔⥢

Integrali immediati � 1�� = � + � � 7L �� = log |�| + � � tL �� = tL + � � �L �� = 7��� y �L + � � sin � �� = − cos � + � � cos � �� = sin � + � � 7���8 L �� = tan � + � �[1 + tan� �] �� = tan � + � � 7��r8 L �� = −cotan� + � �[−1 − cotan��]�� = cotan� + � � 7√7�L8 �� = arcsin � + � � 77�L8 �� = arctan � + � = −arccotan + � � tan � �� = − log �cos �� + � � cotan� �� = log�sin �� + � � � �� = L8� + � � �� �� = Lw����7 � ¡¢£¤¥¦§¨ ¢ ©¢¤ ©¥¤¡§ → � �����3��� �� = ����3��� − � ����3���� ��. � ���L���L� �� = logu����x + � � t��L� ∙ �′��� �� = t��L� + � �[����]y ∙ ���� �� = [��L�]«��y�7 + � � ��3���� ∙ 3���� �� = � ��"� �" con " = 3���

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Proprietà delle trasformate di Fourier e di Laplace

Proprietà Segnale Fourier Laplace bilatera

Linearità ���"� + ���"� �¬�­� + �®�­� �¬�*� + �®�*�

Traslazione nel tempo ��" − "�� t a¯4°¬�­� t O4°¬�*�

Traslazione in ­ ta¯°_��"� ¬�­ − ­�� ¬�* − ±­��

Traslazione in * tO°4��"� ¬�* − *��

Riscaldamento ���"� � 1|�|� ¬ �­� � � 1|�|� ¬ �*��

Derivata nel tempo � ′(") ±­¬(­) ²�(²)

Derivate nel tempo �(�)(") (±­)�¬(­) *�¬(*)

Derivata in ­ −±"�(") ¬�(­)

Derivata in * −"�(") ¬�(*)

Simmetria ¬(") 2&�(−­)

Coniugazione �∗(") ¬∗(−­) ¬∗(*∗)

Realtà e parità �(") reale e pari ¬(­) reale e pari

Realtà e disparità �(") reale e

dispari

¬(­) immaginaria

pura e dispari ¬(* − *�)

Convoluzione �(") ∗ �(") ¬(­)®(­) ¬(*)®(*)

Prodotto �(")�(") � 12& � ¬(­)®(­)

�(") periodica di

periodo ´ = 2&/­�

¶ = ["N, "� + ´[

intervallo

di ampiezza ´

�(") = �(" − ´)

��(") = ( �(") " ∈ ¶0 " ∉ ¶ ,

¬(­)

¸ ­�¬�(�­)¹(­ − �­�)��

�º �

¬�(­) = »[��(")]

�(") = 2 �(") " ≥ ¶0 " < ¶ , �(") periodica di

periodo ´ = 2&/­�

�(") = ¸ ��(" − �´)��

�º�

�(") = �(" − ´)

��(") = ½�(") 0 ≤ " < ´0 " < 00 " ≥ ´ ,

®(*) = ¬�(*)1 − t O¿

¬�(*) = ℒ[��(")]

¬�(*) analitica in ℂ

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⥤⦓Claudio S. Di Mauro⦔⥢

Trasformata  e à di alcune funzioni e distribuzioni

Ä�Å� Â[Ä�Å�] = Æ�Ç� Ã[Ä�Å�] = Æ�È� ÉÊËÃÆ�È�

¹�"� 1 1 ∀* ¹�" − "�� t a¯4° t 4°O ∀*

Í�" + ´� − Í�" − ´� 2*+�­´­

2*+�ℎ*´* ∀*

Í�"� &¹�­� + 1±­ 1* ÏÐ * > 0

t y48 � ∈ ℝ � > 0

Ó&� t ¯8�y Ó&� t O8�y ∀*

�/&1 + ��"� � ∈ ℕ t |¯|� non esiste

Í(" − "�) &¹(­) + 1±­ t a¯4° 1* t 4°O ÏÐ * > 0

Í(")ta¯°4 &¹(­ − ­�) + 1±(­ − ­�) 1* − ±­� ÏÐ * > 0

u(t)e�°Õ ÏÐ *� < 0

1±­ − *� 1* − *� ÏÐ * > ÏÐ *�

u(t)e�°Õ ÏÐ *� > 0 non esiste

1* − *� ÏÐ * > ÏÐ *�

Í(")*+�­�" ­� ∈ ℝ

&2± [¹(­ − ­�) − ¹(­ + ­�)] + ­�­�� − ­� ­�*� + ­�� ÏÐ * > 0

Í(")tÖ°4*+�­�" ×�, ­� ∈ ℝ ×� < 0

­�(±­ − ×�)� + ­�� ­�[(* − ×�)� + ­��] ÏÐ * > ×�

Í(")tÖ°4*+�­�" ×�, ­� ∈ ℝ ×� > 0 non esiste

­�[(* − ×�)� + ­��] ÏÐ * > ×�

Í(")�)*­�" ­� ∈ ℝ

&2 [¹(­ − ­�) + ¹(­ + ­�)] + ±­­�� − ­� **� + ­�� ÏÐ * > 0

Í(")tÖ°4�)*­�" ×�, ­� ∈ ℝ ×� < 0

±­ − ×�(±­ − ×�)� + ­�� * − ×�[(* − ×�)� + ­��] ÏÐ * > ×�

Í(")tÖ°4�)*­�" ×�, ­� ∈ ℝ ×� > 0 non esiste

* − ×�[(* − ×�)� + ­��] ÏÐ * > ×�

*+�­�" ­� ∈ ℝ

&± (¹(­ − ­�) − ¹(­ + ­�)) non esiste

�)*­�" ­� ∈ ℝ &(¹(­ − ­�) + ¹(­ + ­�)) non esiste

*+�­�""

­� ∈ ℝ &(Í(­ + ­�) − Í(­ − ­�)) non esiste

"Í(") ±&¹�(­) − 1­� 1*� ÏÐ * > 0

12 "�Í(") ±�2 &¹��(­) + 1(±­)� 1*� ÏÐ * > 0

1(� − 1)! "� 7Í(") ±� 7

(� − 1)! &¹(� 7)(­) + 1(±­)� 1*� ÏÐ * > 0

Í(")ta¯°4 "� 7(� − 1)! ­� ∈ ℝ

±� 7(� − 1)! &¹(� 7)(­ − ­�) + 1(±­ − ±­�)�

1(* − ±­�)� ÏÐ * > 0

1 2&¹(­) non esiste

ta¯°4 2&¹(­ − ­�) non esiste

sgn" 2±­ non esiste

1" −&± sgn­ non esiste

|"| − 2­� non esiste

1"� −&|­| non esiste

t 6|4| 0 ∈ ℝ 0 > 0

200� + ­� 200� + *� −0 < ÏÐ * < 0

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⥤⦓Claudio S. Di Mauro⦔⥢

Proprietà della trasformata Zeta

Proprietà Segnale Zeta Linearità ����� + ����� �¬��� + �®���

Traslazione di �� ��� − ��� � �°¬���

Moltiplicazione per �� ������ ¬ ����

Moltiplicazione per � ����� −� �¬�����

Convoluzione ���� ∗ ���� ¬��� ∙ ®���

Trasformata Ø di alcune funzioni sugli interi

Ä�Ù� Ø[Ä�Ù�] = Æ�Ú� ÉÊËØÆ�Ú� ¹��� 1 ∀�

���

11 − 1� |�| > 1

�Í(�)

1/��1 − 1��� |�| > 1

Í(� + Û) − Í(� − Û) �Ü 1 − � �Ü1 − 1�

∀�

��Í(�) � ∈ ℂ

77 «Ý

|�| > |�|

Í(�)*+�­�

1� *+�­� 1��� − �2�� �)*­ + 1 |�| > 1

Í(�)�)*­� 1 − 1� �)*­

� 1��� − �2�� �)*­ + 1 |�| > 1

Í(�)t Ö�*+�­�

1� t Ö*+�­� 1��� t �Ö − �2�� t Ö �)*­ + 1 |�| > t Ö

Í(")t Ö��)*­� 1 − 1� t Ö�)*­

� 1��� t �Ö − �2�� t Ö �)*­ + 1 |�| > t Ö

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⥤⦓Claudio S. Di Mauro⦔⥢

Scomposizione in fratti semplici

Þ�*� = ßw�O�àw�O�

• Poli semplici: Þ�*� = á� �*� + â�O O� + â8O O8 + ⋯ + â�O O�

dove -ã = ät*å�O��*ã�, con + = 1,2, … , { .

Quindi Þ�*� = á� �*� + ç]Oè�é��O��O O� + ç]Oè�é��O8�O O8 + ⋯ + ç]Oè�é��O��O O� .

• Poli multipli: Þ�*� = á� �*� + â��O O°�� + â�`��O O°��`� + ⋯ + â8�O O°�8 + â��O O°�� dove -ã = 7�ã 7�! ê�ë`��

êOë`� �* − *ã� ã ßw�O�à��O� . • Poli complessi coniugati:

� Poli semplici complessi coniugati:

Data una coppia di poli semplici complessi coniugati *� = ×� + ±­� *�ì = ×� − ±­�

anche i residui della funzione in corrispondenza dei suddetti poli sono complessi coniugati.

Preso ät*å�O��*�� = 0 + ±Q

residuo di Þ�*� in *�, la scomposizione in fratti semplici sarà del tipo: Þ�*� = á� �*� + 20 O Ö°�O Ö°�8�¯°8 − 2Q ¯°�O Ö°�8�¯°8 .

Chiaramente, risulta necessario il calcolo di un unico residuo indifferentemente in *� o in *�ì . 0 = ℜîät*å�O��*��ï Q = ℑ[ät*å�O��*��]

0 = ℜîät*å�O��*�ì �ï Q = ℑ[ät*å�O��*�ì �] .

� Poli multipli complessi coniugati:

Data una coppia di poli semplici complessi coniugati *� = ×� + ±­� *�ì = ×� − ±­�

presi del secondo ordine, si valutano i seguenti residui: 0 + ±Q = ät*å�O��*�� 0 + ±Q = ät*�O O°�å�O��*�� .

La scomposizione in fratti semplici avrà la forma: Þ�*� = á� �*� + 20 O Ö°�O Ö°�8�¯°8 − 2Q ¯°�O Ö°�8�¯°8 − êêO ñ20 O Ö°�O Ö°�8�¯°8 − 2Q ¯°�O Ö°�8�¯°8ò

dove vale, come visto in precedenza 0 = ℜîät*å�O��*��ï Q = ℑ[ät*å�O��*��] 0 = ℜîät*�O O°�å�O��*��ï Q = ℑ[ät*�O O°�å�O��*��] .

Calcolo integrali con la teoria dei residui

Un integrale espresso nella forma ��� � è detto integrale di Cauchy.

� ß�4�à�ê� ta64�� � �" = ó 2±& ñ∑ ät*��4��*s� + 7��sº7 ∑ ät*��4��*õì�ãº7 ò se 0 > 0−2±& ñ∑ ät*��4��*s� + 7��sº7 ∑ ät*��4��*õì�ãº7 ò se 0 < 0,