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Università degli Studi di Napoli "Federico II" - Facoltà di ingegneria - C.d.l. Ingegneria Informatica
Formulario per i corsi di Analisi Matematica I, Analisi Matematica II e Metodi Matematici per l'Ingegneria
⥤⦓Claudio S. Di Mauro⦔⥢
Frazioni particolari
Fazione Valore �0 ∞
∞0 ∞
�∞ 0
0� 0
0∞ 0
Operazioni tra potenze
Operazione Valore
� ∙ �� ���
��� � �
���� �∙�
��� ∙ ��� �� ∙ ���
������ �����
Potenze particolari
Potenza Valore 0� 0
�� 1
�� ∞
� � 0
∞� ∅
0� 0
Equazioni parametriche curve fondamentali
Curva Equazione Eq. parametrica
Circonferenza
�� + �� = ��
��0,0� " ∈ [0,2&]
(��"� = �)*" ��"� = *+�" ,
Ellisse
���� + ���� = 1
-�±�, 0� /�0, ±��
" ∈ [0,2&]
(��"� = � �)*" ��"� = � *+�" ,
Formule di duplicazione
*+� 20 = 2*+� 0 �)* 0
�)* 20 = �)*�0 − *+��0 = 2 1 − 2*+��02 �)*�0 − 1, "320 = �4567 4586 con 0 ≠ 45° ∧ A90° + A180°
Formule parametriche
sin 0 = �47�4 cos 0 = 7 487�48 con " = "3 6� e 0 ≠ 180° + A360°
"30 = �47 48 con t = tg K� e 0 ≠ 90° + A180° ∧ 90° + A180°
Formule di bisezione
�)*� L� = 7�MNOL� ⟹ �)*�� = 7�MNO�L�
*+�� L� = 7 MNOL� ⟹ *+��� = 7 MNO�L�
Formule di Werner
*+�0 *+�Q = 7� [cos�0 − Q� − cos�0 + Q�] �)*0 �)*Q = 7� [�)*�0 + Q� + �)*�0 − Q�] *+�0 �)*Q = 7� [*+��0 + Q� + *+��0 − Q�] Formule di Eulero
YZZ[ZZ\sin " = ]^_ ]`^_�acos " = ]^_�]`^_�sinh " = ]_ ]`_�cosh " = ]_�]`_�
,
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Formule di addizione e sottrazione Funzione ADDIZIONE SOTTRAZIONE Seno sin�0 + Q� = *+�0 �)*Q + �)*0 *+�Q *+��0 − Q� = *+�0 �)*Q − �)*0 *+�Q Coseno cos�0 + Q� = �)*0 �)*Q − sin 0 *+�Q cos�0 − Q� = �)*0 �)*Q + sin 0 *+�Q Tangente tan�0 + Q� = tan 0 + tan Q1 − tan 0 tan Q tan�0 − Q� = tan 0 − tan Q1 + tan 0 tan Q Cotangente tan 7�0 + Q� = 1 + tan 7 0 tan 7 Q tan 7 0 + tan 7 Q tan 7�0 + Q� = 1 − tan 7 0 tan 7 Q tan 7 0 − tan 7 Q Limiti notevoli
limL→�sin �� = 1 limL→�
�sin � = 1 limL→�sinr ��� = 1
limL→���sinr � = 1 limL→�
sin A�A� = 1 limL→�A�sin A� = 1
limL→��1 + ��s − 1� = 1 limL→�
�L − 1 � = log � limL→�tL − 1 � = 1
limL→� �1 + 1��L = t limL→�u √1 + �w − 1x� = 1� limL→� log �1 + 1��L = 1 limL→��1 + ��7L = t limL→� log�1 + ��7L = 1 limL→�
logy�1 + ��� = logy t limL→� tan � = 0 z+{L→�
tan �� = 1 limL→� arccos � = &2 limL→�
arcsin �� = 1 limL→� arcsin � = 0 limL→�arctan �� = 1
limL→� �1 + 1��L = t Principali polinomi di Taylor tL = 1 + L7! + L8�! + L��! + ⋯ + Lw�! + )���� sin � = � − L�� + L��! + ⋯ + � 7�w����7�! �����7� + )������� cos � = 1 − L8� + L��! + ⋯ + � 7�w����! ��� + )�����7� tan � = � + L�� + L87� �� + 7��7� �� + ������ �� + )��7��
77 L = 1 + � + �� + �� + ⋯ + �� + )���� log�1 + �� = � − L8� + L�� + L�� + ⋯ + � 7�w��� �� + )���� �1 + ��6 = 1 + 0� + 6�6 7�� �� + 6�6 7��6 ��� �� + ⋯ + �0 ���� + )����
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Sostituzioni varie 1 − sin� � = cos� � sin� � + cos� � = 1 tan � = ��r L��� L 7��r8 L = cosec�� 7���8 L = sec� � Derivate elementari Funzione Derivata � = A �� = 0 � = � �� = 1 � = 1� �� = − 1�� � = �� �� = ��� 7 � = √�w �� = 7� √Lw`�w � = √� �� = 7�√L � = √�w { < � �′ = � √Lw`�w � = logy � �′ = 7L logy t � = log � �′ = 7L � = tL �′ = tL � = �L �� = �L log � � = sin � �� = cos � � = cos � �� = − sin � � = tan � �� = 7���8 L = 1 + tan� � = sec� � � = cotan � �� = − 7��r8 L = −1 − cotan�� � = arcsin � �� = 7√7 L8 � = arccos � �� = − 7√7 L8 � = arctan � �� = 77�L8 � = arccotg � �� = − 77�L8 � = ���� ∙ 3��� ⇒ �� = �����3��� + 3�������� � = ��L�5�L� ⇒ �� = ���L�5�L� ��L�5��L�[5�L�]8
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Integrali immediati � 1�� = � + � � 7L �� = log |�| + � � tL �� = tL + � � �L �� = 7��� y �L + � � sin � �� = − cos � + � � cos � �� = sin � + � � 7���8 L �� = tan � + � �[1 + tan� �] �� = tan � + � � 7��r8 L �� = −cotan� + � �[−1 − cotan��]�� = cotan� + � � 7√7�L8 �� = arcsin � + � � 77�L8 �� = arctan � + � = −arccotan + � � tan � �� = − log �cos �� + � � cotan� �� = log�sin �� + � � � �� = L8� + � � �� �� = Lw����7 � ¡¢£¤¥¦§¨ ¢ ©¢¤ ©¥¤¡§ → � �����3��� �� = ����3��� − � ����3���� ��. � ���L���L� �� = logu����x + � � t��L� ∙ �′��� �� = t��L� + � �[����]y ∙ ���� �� = [��L�]«��y�7 + � � ��3���� ∙ 3���� �� = � ��"� �" con " = 3���
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Proprietà delle trasformate di Fourier e di Laplace
Proprietà Segnale Fourier Laplace bilatera
Linearità ���"� + ���"� �¬�� + �®�� �¬�*� + �®�*�
Traslazione nel tempo ��" − "�� t a¯4°¬�� t O4°¬�*�
Traslazione in ta¯°_��"� ¬� − �� ¬�* − ±��
Traslazione in * tO°4��"� ¬�* − *��
Riscaldamento ���"� � 1|�|� ¬ �� � � 1|�|� ¬ �*��
Derivata nel tempo � ′(") ±¬() ²�(²)
Derivate nel tempo �(�)(") (±)�¬() *�¬(*)
Derivata in −±"�(") ¬�()
Derivata in * −"�(") ¬�(*)
Simmetria ¬(") 2&�(−)
Coniugazione �∗(") ¬∗(−) ¬∗(*∗)
Realtà e parità �(") reale e pari ¬() reale e pari
Realtà e disparità �(") reale e
dispari
¬() immaginaria
pura e dispari ¬(* − *�)
Convoluzione �(") ∗ �(") ¬()®() ¬(*)®(*)
Prodotto �(")�(") � 12& � ¬()®()
�(") periodica di
periodo ´ = 2&/�
¶ = ["N, "� + ´[
intervallo
di ampiezza ´
�(") = �(" − ´)
��(") = ( �(") " ∈ ¶0 " ∉ ¶ ,
¬()
¸ �¬�(�)¹( − ��)��
�º �
¬�() = »[��(")]
�(") = 2 �(") " ≥ ¶0 " < ¶ , �(") periodica di
periodo ´ = 2&/�
�(") = ¸ ��(" − �´)��
�º�
�(") = �(" − ´)
��(") = ½�(") 0 ≤ " < ´0 " < 00 " ≥ ´ ,
®(*) = ¬�(*)1 − t O¿
¬�(*) = ℒ[��(")]
¬�(*) analitica in ℂ
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Trasformata  e à di alcune funzioni e distribuzioni
Ä�Å� Â[Ä�Å�] = Æ�Ç� Ã[Ä�Å�] = Æ�È� ÉÊËÃÆ�È�
¹�"� 1 1 ∀* ¹�" − "�� t a¯4° t 4°O ∀*
Í�" + ´� − Í�" − ´� 2*+�´
2*+�ℎ*´* ∀*
Í�"� &¹�� + 1± 1* ÏÐ * > 0
t y48 � ∈ ℝ � > 0
Ó&� t ¯8�y Ó&� t O8�y ∀*
�/&1 + ��"� � ∈ ℕ t |¯|� non esiste
Í(" − "�) &¹() + 1± t a¯4° 1* t 4°O ÏÐ * > 0
Í(")ta¯°4 &¹( − �) + 1±( − �) 1* − ±� ÏÐ * > 0
u(t)e�°Õ ÏÐ *� < 0
1± − *� 1* − *� ÏÐ * > ÏÐ *�
u(t)e�°Õ ÏÐ *� > 0 non esiste
1* − *� ÏÐ * > ÏÐ *�
Í(")*+��" � ∈ ℝ
&2± [¹( − �) − ¹( + �)] + ��� − � �*� + �� ÏÐ * > 0
Í(")tÖ°4*+��" ×�, � ∈ ℝ ×� < 0
�(± − ×�)� + �� �[(* − ×�)� + ��] ÏÐ * > ×�
Í(")tÖ°4*+��" ×�, � ∈ ℝ ×� > 0 non esiste
�[(* − ×�)� + ��] ÏÐ * > ×�
Í(")�)*�" � ∈ ℝ
&2 [¹( − �) + ¹( + �)] + ±�� − � **� + �� ÏÐ * > 0
Í(")tÖ°4�)*�" ×�, � ∈ ℝ ×� < 0
± − ×�(± − ×�)� + �� * − ×�[(* − ×�)� + ��] ÏÐ * > ×�
Í(")tÖ°4�)*�" ×�, � ∈ ℝ ×� > 0 non esiste
* − ×�[(* − ×�)� + ��] ÏÐ * > ×�
*+��" � ∈ ℝ
&± (¹( − �) − ¹( + �)) non esiste
�)*�" � ∈ ℝ &(¹( − �) + ¹( + �)) non esiste
*+��""
� ∈ ℝ &(Í( + �) − Í( − �)) non esiste
"Í(") ±&¹�() − 1� 1*� ÏÐ * > 0
12 "�Í(") ±�2 &¹��() + 1(±)� 1*� ÏÐ * > 0
1(� − 1)! "� 7Í(") ±� 7
(� − 1)! &¹(� 7)() + 1(±)� 1*� ÏÐ * > 0
Í(")ta¯°4 "� 7(� − 1)! � ∈ ℝ
±� 7(� − 1)! &¹(� 7)( − �) + 1(± − ±�)�
1(* − ±�)� ÏÐ * > 0
1 2&¹() non esiste
ta¯°4 2&¹( − �) non esiste
sgn" 2± non esiste
1" −&± sgn non esiste
|"| − 2� non esiste
1"� −&|| non esiste
t 6|4| 0 ∈ ℝ 0 > 0
200� + � 200� + *� −0 < ÏÐ * < 0
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Proprietà della trasformata Zeta
Proprietà Segnale Zeta Linearità ����� + ����� �¬��� + �®���
Traslazione di �� ��� − ��� � �°¬���
Moltiplicazione per �� ������ ¬ ����
Moltiplicazione per � ����� −� �¬�����
Convoluzione ���� ∗ ���� ¬��� ∙ ®���
Trasformata Ø di alcune funzioni sugli interi
Ä�Ù� Ø[Ä�Ù�] = Æ�Ú� ÉÊËØÆ�Ú� ¹��� 1 ∀�
���
11 − 1� |�| > 1
�Í(�)
1/��1 − 1��� |�| > 1
Í(� + Û) − Í(� − Û) �Ü 1 − � �Ü1 − 1�
∀�
��Í(�) � ∈ ℂ
77 «Ý
|�| > |�|
Í(�)*+��
1� *+�� 1��� − �2�� �)* + 1 |�| > 1
Í(�)�)*� 1 − 1� �)*
� 1��� − �2�� �)* + 1 |�| > 1
Í(�)t Ö�*+��
1� t Ö*+�� 1��� t �Ö − �2�� t Ö �)* + 1 |�| > t Ö
Í(")t Ö��)*� 1 − 1� t Ö�)*
� 1��� t �Ö − �2�� t Ö �)* + 1 |�| > t Ö
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Scomposizione in fratti semplici
Þ�*� = ßw�O�àw�O�
• Poli semplici: Þ�*� = á� �*� + â�O O� + â8O O8 + ⋯ + â�O O�
dove -ã = ät*å�O��*ã�, con + = 1,2, … , { .
Quindi Þ�*� = á� �*� + ç]Oè�é��O��O O� + ç]Oè�é��O8�O O8 + ⋯ + ç]Oè�é��O��O O� .
• Poli multipli: Þ�*� = á� �*� + â��O O°�� + â�`��O O°��`� + ⋯ + â8�O O°�8 + â��O O°�� dove -ã = 7�ã 7�! ê�ë`��
êOë`� �* − *ã� ã ßw�O�à��O� . • Poli complessi coniugati:
� Poli semplici complessi coniugati:
Data una coppia di poli semplici complessi coniugati *� = ×� + ±� *�ì = ×� − ±�
anche i residui della funzione in corrispondenza dei suddetti poli sono complessi coniugati.
Preso ät*å�O��*�� = 0 + ±Q
residuo di Þ�*� in *�, la scomposizione in fratti semplici sarà del tipo: Þ�*� = á� �*� + 20 O Ö°�O Ö°�8�¯°8 − 2Q ¯°�O Ö°�8�¯°8 .
Chiaramente, risulta necessario il calcolo di un unico residuo indifferentemente in *� o in *�ì . 0 = ℜîät*å�O��*��ï Q = ℑ[ät*å�O��*��]
0 = ℜîät*å�O��*�ì �ï Q = ℑ[ät*å�O��*�ì �] .
� Poli multipli complessi coniugati:
Data una coppia di poli semplici complessi coniugati *� = ×� + ±� *�ì = ×� − ±�
presi del secondo ordine, si valutano i seguenti residui: 0 + ±Q = ät*å�O��*�� 0 + ±Q = ät*�O O°�å�O��*�� .
La scomposizione in fratti semplici avrà la forma: Þ�*� = á� �*� + 20 O Ö°�O Ö°�8�¯°8 − 2Q ¯°�O Ö°�8�¯°8 − êêO ñ20 O Ö°�O Ö°�8�¯°8 − 2Q ¯°�O Ö°�8�¯°8ò
dove vale, come visto in precedenza 0 = ℜîät*å�O��*��ï Q = ℑ[ät*å�O��*��] 0 = ℜîät*�O O°�å�O��*��ï Q = ℑ[ät*�O O°�å�O��*��] .
Calcolo integrali con la teoria dei residui
Un integrale espresso nella forma ��� � è detto integrale di Cauchy.
� ß�4�à�ê� ta64�� � �" = ó 2±& ñ∑ ät*��4��*s� + 7��sº7 ∑ ät*��4��*õì�ãº7 ò se 0 > 0−2±& ñ∑ ät*��4��*s� + 7��sº7 ∑ ät*��4��*õì�ãº7 ò se 0 < 0,