formulaire – resume – maths en terminale s
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FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S COMPLEXES M(x,y) dans (O ;
!
i ,
!
j ) a pour affixe z : z = x + i y dans CC Le conjugué de z est :
!
z = x " iy Module de z :
!
z = z z = x2
+ y2
Forme trigonométrique :
!
z = "(cos# + isin#) où # = angle (i,OM) [2π] Forme exponentielle :
!
z = "ei# (avec
!
z = " et
!
" = angle (i,OM) = argument de z) Conjugué de z :
!
z = "e#i$ Soient A et B d'affixes zA zB alors
!
AB a pour affixe zB - zA et
!
AB = zB" z
A
Propriétés des modules
!
z = z ;1
z=1
z; zz' = z z'
Propriétés des arguments
arg z z'= arg z + arg z' [2π] arg (
!
z
z') = arg z - arg z' [2π]
!
arg z = "arg z 2#[ ]
Transformations usuelles soit une transformation telle que
!
M(z)" M '(z') Translation de vecteur
!
u d'affixe t : z' = z + t Homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k : z' - ω = k (z- ω) Rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ : z' - ω =
!
ei" (z- ω)
EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS CC Soit l'équation
!
az2
+ bz + c = 0 et le discriminant
!
" = b2# 4ac
si Δ > 0 alors 2 solutions réelles
!
z1
="b + #
2a; z
2="b " #
2a et
!
z1z2
=c
a; z
1+ z
2="b
a
si Δ = 0 alors 1 solution réelle
!
z0
= "b
2a
si Δ < 0 alors 2 solutions complexes
!
z1
="b + i "#
2a; z
2="b " i "#
2a et
!
z1z2
=c
a; z
1+ z
2="b
a
si Δ ≠ 0 alors
!
az2
+ bz + c = a(z " z1)(z " z
2) et si Δ = 0 alors
!
az2
+ bz + c = a(z " z0)2
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IDENTITES REMARQUABLES (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3 ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2 ) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3 ab2 - b3 a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2 )
!
(a + b)n
= an
+n
1
"
# $ %
& ' a
n(1b + ......+
n
k
"
# $ %
& ' a
n(kbk
+ .......+n
n (1
"
# $
%
& ' ab
n(1+ b
n
SUITES Suites arithmétiques de raison r et premier terme
!
u0 alors
!
un+1 = u
n+ r ou u
n= u
0+ nr
Somme de n termes consécutifs de la suite =
!
"nbre de termes" •"1°terme" + "dernier"
2
en particulier
!
1+ 2 + 3+ .........+ n =n(n +1)
2
Suites géométriques de raison q et premier terme
!
u0 alors
!
un+1 = q.un ou un = u0qn
Somme de n termes consécutifs de la suite =
!
"1° terme" •1" q
nombre de termes
1- q avec q ≠ 1
en particulier
!
1+ x + x2
+ x3
+ .........+ xn
=1" x
n+1
1" x (x ≠ 1)
FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE
!
e0
=1 ; ea+b
= eaeb; e
a"b=ea
eb; (e
a)b
= eab; lne =1 ; ln1= 0 ; lnab = lna + lnb ; ln
a
b= lna " lnb
!
ax
= ex ln a
; lnax
= x lna ; y = ex" x = ln y
LIMITES USUELLES DE FONCTIONS
!
limx"+#
ln x = +#
!
limx"+#
ex
= +#
!
limx"#$
ex
= 0
!
limx"+#
ex
x= +# lim
x"$#xe
x= 0 lim
x"+#
ln x
x= 0
!
limx"+#
ex
xn
= +# limx"+#
ln x
xn
= 0 limx"$#
xnex
= 0 limx"+#
xne$x
= 0
!
limx"0
ln x = #$ limx"0
x ln x = 0 limx"0
sin x
x=1 lim
x"0
1# cos x
x= 0 lim
x"0
ln(1+ x)
x=1 lim
x"0
ex#1
x=1
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DERIVEES PRIMITIVES
f(x) f '(x) f(x) f '(x) f(x) f '(x)
k 0 x 1 xn nxn-1
!
1
x
!
"1
x2
!
1
xn
n " IN
!
"n
xn+1
!
x
!
1
2 x
ln x
!
1
x
!
ex
!
ex
!
ax
!
axlna
cos x -sin x sin x cos x tan x
!
1
cos2x
Opérations et application des dérivées
( u + v)' = u' + v' (k u)' = k u' (u v)' = u' v + u v'
!
1
u
"
# $ %
& ' '
=(u'
u2
!
u( )'=u'
2 u
!
(un)'= n u'u
n"1
!
u
v
"
# $ %
& ' '
=u'v ( uv '
v2
!
v o u( )'= u' " v'ou
!
(eu)'= u'e
u(lnu)'=
u'
u
Equation de la tangente à la courbe
!
Cf en A(a; f (a)) : y = f '(a)(x " a) + f (a) CALCUL INTEGRAL - EQUATIONS DIFFERENTIELLES Si F primitive ce f alors
!
f (t) dta
b
" = F(b) # F(a) et si
!
g(x) = f (t) dt alors a
x
" g'(x) = f (x)
!
f (t) dta
b
" = # f (t) dtb
a
"
!
f (t) dta
c
" = f (t) dta
b
" + f (t) dtb
c
"
!
(" f (t) + # g(t))dt =" f (t) dta
b
$ + # g(t) dta
b
$a
b
$ si a ≤ b et f ≥ 0 alors
!
f (t) dta
b
" ≥ 0 ; si a ≤ b et f ≤ g alors a
!
f (t) dta
b
" # g(t) dta
b
"
!
si a " b et m " f " M alors m(b # a) " f (t) dt " M(b # a)a
b
$ Intégration par parties
!
u(t)v '(t) dt =a
b
u(t) v(t)[ ]a
b
" # u'(t)v(t) dta
b
" Equa diff
Les solutions de
!
y'= ay + b sont des fonctions f (x) = Ceax"b
a où C est un réel
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PROBABILITES Dénombrements : n! = 1 x 2 x 3 x … x n avec 0! = 1 et (n+1)! = n! x (n+1)
Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n est noté
!
n
p
"
# $ %
& '
!
n
p
"
# $ %
& ' =
n(n (1)....(n ( p +1)
p!=
n!
p! (n ( p)! ;
n
p
"
# $ %
& ' =
n
n ( p
"
# $
%
& ' ;
n
p
"
# $ %
& ' =
n (1
p (1
"
# $
%
& ' +
n (1
p
"
# $
%
& ' ;
n
1
"
# $ %
& ' = n
Développement
!
(a + b)n
= an
+n
1
"
# $ %
& ' a
n(1b + ...+
n
k
"
# $ %
& ' a
n(kbk
+ ...+ bn
Généralités :
!
P(A" B) = P(A) + P(B) # P(A$ B) ; P(A ) =1# P(A) ; P(%) =1 ; P(&) = 0
En cas d'équiprobabilité
!
P(A) =nombre d'éléments de A
nombre d'éléments de "=
"nombre de cas favorables"
"nombre de cas possibles"
Proba de B sachant A :
!
PA(B) =
P(A" B)
P(A) ; si A et B sont indépendants P(A" B) = P(A) # P(B)
TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2 a –1 = 1 – 2sin2 a sin(2a) = 2sin a cos a Valeurs remarquables
0
!
"
6
!
"
4
!
"
3
!
"
2
!
"
sin 0
!
1
2
!
2
2
!
3
2 1 0
cos 1
!
3
2
!
2
2
!
1
2 0 -1
tan 0
!
3
3 1
!
3 n'existe pas 0
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Produit scalaire
!
u et v tels que u =OA ; v =OB ; soit " = angle (OA,OB) alors u•v =OA•OB =OA #OB # cos" si
!
u(x;y) et v(x';y ') alors u•v = xx'+yy'
!
si OB se projette en OH sur OA alors u•v = OA "OH (si les vecteurs sont de même sens)
u•v = -OA "OH (si sens contraires)
!
u et v sont orthogonaux " u•v = 0 Al Khashi :
!
a2
= b2
+ c2" 2bc cos ˆ A
Théorème de la médiane :
!
c2
+ b2
= 2AI2
+a2
2
Aire du triangle :
!
S =1
2bc sin ˆ A
Formule des sinus :
!
a
sin ˆ A =
b
sin ˆ B =
c
sin ˆ C
Equation de droite :
!
ax + by + c = 0 équation de D qui admet pour vecteur directeur u (-b;a) et normal (""") v (a;b)
H
I C
A
a
b c
B