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FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y ADMINISTRATIVAS
TEMA:
Frmula de Leibniz
ALUMNA:
Diana Padilla Delgado
PROFESOR:
Eco. Pal Pesantez
ASIGNATURA:
Matemticas IV
CURSO:
CM- 04- 07
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FRMULA DE LEIBNIZ
Mtodo de Leibniz
Leibniz luch contra algunos mtodos como el de los lmites, de los indivisibles y el de Newton,
saliendo triunfante con su famosa teora de los infinitamente pequeos.
Leibniz concibi la ley de la continuidad por las variaciones sucesivas de una cantidad, de suerte
tal, que los nuevos estados de la variable iban resultando por incrementos infinitamente
pequeos, dentro de los cuales estableca nuevas subdivisiones en otros infinitsimos de un orden
superior, y as indefinidamente.
Para Leibniz, toda cantidad finita podra obtenerse como resultado de una suma indefinida de
sumandos infinitamente pequeos y en nmero infinitamente grande. Segn este modo de ver, el
infinitamente pequeo, lejos de desaparecer como lmite o como cantidad que se desvanece, es el
germen de la cantidad; la finitud se alcanza por un proceso sumatorio indefinido que se conoce
por el nombre de integracin o clculo de integrales.
Ejemplo
Calculemos el rea de un sector circular. Empezaremos por considerar dividido el arco AB en un
nmero de parte que va creciendo indefinidamente, con lo cual cada uno de estos trozos de arco
ser infinitamente pequeo y podr tomarse como un elemento rectilneo ds=MM. En
consecuencia, el sector se descompone en infinitos tringulos elementales.
da=hds, da1=hds1, da2=hds2,
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resultando el rea del sector como suma de reas
A = da = hds = r ds = rl
Para entender la frmula de Leibniz, estudiaremos primero el Teorema Fundamental del Clculo
(TFC).
Derivada de una integral I: El TFC
El resultado que nos permite derivar una funcin definida mediante una integral y nos dice cunto vale dicha derivada es el teorema fundamental del clculo (TFC). El primero que public una demostracin relacionada con el TFC fue James Gregory, aunque lo que demostr fue una versin restringida de este resultado. Fue Isaac Barrow el primer que demostr este teorema. Isaac Newton termin el trabajo con el desarrollo de la teora matemtica subyacente.
El Teorema Fundamental del Clculo bsicamente dice que la derivacin y la integracin son procesos inversos. Pero adems nos da una manera de calcular integrales definidas.
El TFC se suele dividir en dos resultados distintos: el primer TFC y el segundo TFC.
Primer Teorema Fundamental del Clculo
Dada una funcin ,
1. La funcin es continua.
2. Si adems es una funcin continua, entonces es derivable, y:
Obviando los detalles sobre dnde es continua y/o derivable cada una de las funciones que
aparecen en el enunciado, se ve que este TFC1 dice que si tengo una funcin continua,
entonces su integral se puede derivar, y adems esa derivada da como resultado la propia .
Segundo Teorema Fundamental del Clculo
Si es una funcin continua y es una funcin tal que , entonces:
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Es decir, el TFC2 nos da una manera de calcular la integral de una funcin en un intervalo:
calculamos (lo que se denomina una primitiva de ) y restamos los valores de en los extremos del intervalo.
Este teorema, con sus dos apartados, es muy importante y muy til, sobre todo teniendo en cuenta la gran cantidad de aplicaciones que tienen las integrales.
Supongamos que ahora queremos calcular la derivada de la siguiente funcin , definida mediante una integral:
La situacin no es exactamente igual que antes, ya que los lmites de integracin no son de la
misma naturaleza que los que aparecen en el TFC1. Por ello, para calcular necesitamos algo ms. Este algo ms es una generalizacin del TFC1, que combina este resultado con la regla de la cadena (que se utiliza para derivar de forma sencilla una composicin de funciones).
Generalizacin del TFC1
Si la funcin est definida mediante la siguiente integral
entonces su funcin derivada se calcula de la siguiente forma:
Con esta frmula podemos calcular la derivada de la funcin anterior:
Esta generalizacin del TFC1 es muy til a la hora de manejar funciones definidas mediante integrales cuyos lmites de integracin son funciones con cierta complejidad, ya sea para estudiar monotona y/o curvatura de esa funcin, para comprobar si es solucin de cierta ecuacin diferencial, para utilizar la regla de LHopital en un lmite donde aparezca dicha funcin, etc.
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Derivada de una integral II: La frmula de Leibniz
Dada una funcin definida mediante una integral, qu ocurre si la funcin que aparece
dentro de la integral depende ? Es decir, si nuestra tiene esta forma:
donde la funcin depende de (que es la variable de ) adems de depender de , cmo calculamos su derivada?
Para este caso necesitamos utilizar la conocida como Frmula de Leibniz, que nos dice cmo calcular dicha derivada.
Frmula de Leibniz
Dada la funcin
podemos calcular su derivada utilizando la siguiente frmula:
Como se puede ver, la frmula de Leibniz es la generalizacin del TFC1 que vimos antes junto a un trmino ms, que es la integral de la derivada parcial de respecto de .
Frmula de Leibniz para el clculo de
En matemticas, la frmula de Leibniz para el clculo de , nombrada as en honor a Gottfried Leibniz, dice que:
La expresin anterior es una serie infinita denominada serie de Leibniz, que converge a 4. Tambin se la denomina serie de Gregory-Leibniz para reconocer el trabajo de James Gregory, contemporneo de Leibniz. Usando sumatoria, la serie se puede expresar como
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La frmula fue descubierta por primera vez en el siglo XV por Madhava of Sangamagrama, un matemtico indio y fundador de la escuela de astronoma y matemticas de Kerala, unos 300 aos antes que Leibniz. En reconocimiento a su trabajo, tambin se conoce esta frmula como la serie de Madhava-Leibniz.
Demostracin
Considrese la serie geomtrica infinita
Integrando los dos miembros de la igualdad, se obtiene una serie de potencias para la arcotangente:
Al introducir el valor x = 1 se obtiene la frmula de Leibniz (la arcotangente de 1 es 4). El problema de este razonamiento es que 1 no se encuentra en el radio de convergencia de esta serie de potencias, por lo que hace falta un argumento ms slido para mostrar que la serie converge a tan1(1) para x = 1. Una opcin es mostrar la convergencia de la serie mediante el criterio de Leibniz para luego aplicar el teorema de Abel para demostrar que debe converger a tan1(1). Sin embargo, tambin se puede utilizar un argumento completamente elemental.
Argumento elemental
Considrese la siguiente descomposicin:
Para |x| < 1, la fraccin de la derecha es la suma de los trminos restantes de la serie geomtrica. Sin embargo, la ecuacin no utiliza series infinitas, y se cumple para cualquier valor real de x. Integrando los dos miembros de 0 a 1, se obtiene:
A medida que , la suma de los trminos de la ecuacin excepto la integral tiende a la serie de Leibniz, y la integral tiende a 0:
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Esto demuestra la frmula de Leibniz.
Frmula de Leibniz para el clculo de determinantes
En lgebra, la frmula de Leibniz expresa el determinante de una Matriz cuadrada
En trminos de permutaciones de los elementos de la matriz. Nombrado en honor de Gottfried Leibniz, la frmula es:
Frmula de Newton - Leibniz
Considere una funcin y = f (x), teniendo en cuenta en un segmento [a, b] y guardar su signo en
este segmento (Fig. 1). La cifra, limitada por una grfica de esta funcin, un segmento [a, b] y las
lneas rectas x = a y x = b, se llama un trapecio curvilneo. Para el clculo de reas de trapecios
curvilneos se utiliza el siguiente teorema:
Si f - una funcin continua, no negativo en un segmento [a, b ], y F - su primitiva en este segmento,
entonces un rea S del correspondiente trapecio curvilneo es igual a un incremento de la primitiva
en un segmento [a, b], es decir,
Fig. 1
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Considere una funcin S (x), teniendo en cuenta en un segmento [a, b] . Si a < xb, entonces S (x) es
una zona de la parte de trapecio curvilneo, que se coloca a la izquierda de una lnea recta vertical,
pasando por el punto (x, 0). Tenga en cuenta, que si x = a, entonces S (a) = 0 y S (B) = S (S - rea del
trapecio curvilneo). Es posible demostrar que:
es decir, S ( x) es una primitiva de f ( x ) . Por lo tanto, de acuerdo con la propiedad bsica de
primitivas, para todo x [a, b ] tenemos:
S (x) = F (x) + C,
donde C - una constante , F - una de las primitivas de una funcin f .
Para encontrar C sustituimos x = a:
F (a) + C = S (a) = 0,
Por lo tanto, C = F (a) y S (x) = F (x) F (a). Como un rea del trapecio curvilneo es igual a S
(b), sustituyendo x = b, vamos a recibir:
S = S (b) = F (b) F (a).
Ejemplo
Busque un rea de una figura, limitada por la curva y = x2 y lneas y = 0, x = 1, x = 2 (Fig. 2).
Fig. 2
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Por ejemplo, utilizando la frmula de Newton-Leibniz puede calcularse , que determina el
rea de la regin limitada por la curva con ecuacin y las rectas con
ecuaciones , de la siguiente manera:
Observe que , por lo que es una primitiva de
Veamos otro ejemplo en el que utilizamos esta frmula:
Note que:
Por lo que es una primitiva de
BIBLIOGRAFIA
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integracion-definida/html/node2.html
http://pepascientificas.blogspot.com/2011/06/calcular-la-derivada-de-una-integral.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Leibniz#Demostraci.C3.B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Leibniz_para_el_c%C3%A1lculo_de_dete
rminantes
Carlos Mataix Aracil, Anlisis Algebraico e Infinitesimal (Madrid, 1964), Editorial Dossat,
S.A., Sexta Edicin.