1(8)

Formler till nationellt prov i matematik kurs 5 Algebra

Regler 222 2)( bababa ++=+ 222 2)( bababa +−=−

22))(( bababa −=−+

32233 33)( babbaaba −+−=− 32233 33)( babbaaba +++=+

))(( 2233 babababa +−+=+ ))(( 2233 babababa ++−=−

Andragradsekvationer 02 =++ qpxx

qppx −

±−=

2

22

Binomialsatsen ∑=

−−−

++

+

+

=

=+

n

k

nnnnkknn bnn

ban

ban

an

bakn

ba0

221 ...210

)(

Aritmetik

Prefix

T G M k h d c m µ n p

tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko

1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12

Potenser yxyx aaa += yxy

xa

aa −= xyyx aa =)( x

x

aa 1

=−

xxx abba )(=

x

x

x

ba

ba

= nn aa =

1

10 =a

Logaritmer yxy x lg10 =⇔=

yxy x lne =⇔=

xyyx lglglg =+ yxyx lglglg =−

xpx p lglg ⋅=

Absolutbelopp

<−≥

=0om0om

aaaa

a

14-04-02 © Skolverket

2(8)

Funktioner

Räta linjen Andragradsfunktioner

mkxy += 12

12xxyyk

−−

= cbxaxy ++= 2 0≠a

Potensfunktioner Exponentialfunktioner

axCy ⋅= xaCy ⋅= 0>a och 1≠a

Statistik och sannolikhet

Standardavvikelse

1)(...)()( 22

22

1−

−++−+−=

nxxxxxxs n

(stickprov)

Lådagram

Normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning

2

21

e2

1)(

−

−= σ

µ

πσ

x

xf

14-04-02 © Skolverket

3(8)

Differential- och integralkalkyl

Derivatans definition

axafxf

hafhafaf

axh −−

=−+

=′→→

)()(lim)()(lim)(0

Derivator Funktion Derivata

nx där n är ett reellt tal 1−nnx

xa ( 0>a ) aax ln

xln ( 0>x )

x1

xe xe

kxe kxk e⋅

x1

21x

−

xsin xcos

xcos xsin−

xtan

xx 2

2

cos1tan1 =+

f x g x( ) ( )+ ′ + ′f x g x( ) ( )

)()( xgxf ⋅ )()()()( xgxfxgxf ⋅′+′⋅

)()(

xgxf )0)(( ≠xg 2))((

)()()()(xg

xgxfxgxf ′⋅−⋅′

Kedjeregeln Om )(och )( xgzzfy == är två deriverbara funktioner så gäller för ))(( xgfy = att

)())(( xgxgfy ′⋅′=′ eller xz

zy

xy

dd

dd

dd

⋅=

14-04-02 © Skolverket

4(8)

Primitiva funktioner

Funktion Primitiv funktion

k Ckx +

)1( −≠nxn Cnxn

++

+

1

1

x1 Cx +ln )0( >x

xe Cx +e

kxe C

k

kx+

e

)1,0( ≠> aaa x C

aa x

+ln

xsin Cx +− cos

xcos Cx +sin

Komplexa tal

Representation )sini(cosei i vvrryxz v +==+= där 1i2 −=

Argument vz =arg xyv =tan

Absolutbelopp 22 yxrz +==

Konjugat Om yxzyxz isåi −=+=

Räknelagar ))sin(i)(cos( 21212121 vvvvrrzz +++=

))sin(i)(cos( 21212

1

2

1 vvvvrr

zz

−+−=

de Moivres formel )sini(cos))sini(cos( nvnvrvvrz nnn +=+=

14-04-02 © Skolverket

5(8)

Geometri

Triangel

Parallellogram

2

bhA = bhA =

Parallelltrapets

Cirkel

2

)( bahA +=

4ππ

22 drA ==

drO ππ2 ==

Cirkelsektor

Prisma

rvb π2360

⋅=

2π

3602 brrvA =⋅=

BhV =

Cylinder

Pyramid

hrV 2π= rhA π2=

(Mantelarea)

3

BhV =

Kon

Klot

3π 2hrV =

rsA π=

(Mantelarea)

3π4 3rV =

2π4 rA =

Likformighet

Skala

Trianglarna ABC och DEF är likformiga.

fc

eb

da

==

Areaskalan = (Längdskalan)2 Volymskalan = (Längdskalan)3

14-04-02 © Skolverket

6(8)

Topptriangel- och transversalsatsen

Bisektrissatsen

Om DE är parallell med AB gäller

BCCE

ACCD

ABDE

== och

BECE

ADCD

=

BCAC

BDAD

=

Vinklar

°=+ 180vu Sidovinklar

vw = Vertikalvinklar

L1 skär två parallella linjer L2 och L3

wv = Likbelägna vinklar

wu = Alternatvinklar

Kordasatsen

Randvinkelsatsen

cdab = vu 2=

Pythagoras sats

222 bac +=

Avståndsformeln Mittpunktsformeln

212

212 )()( yyxxd −+−=

2och

22121 yyyxxx mm

+=

+=

14-04-02 © Skolverket

7(8)

Trigonometri

Definitioner cav =sin

cbv =cos

bav =tan

Enhetscirkeln

yv =sin

xv =cos

xyv =tan

Sinussatsen c

Cb

Ba

A sinsinsin==

Cosinussatsen Abccba cos2222 −+=

Areasatsen 2sin CabT =

Trigonometriska formler 1cossin 22 =+ vv

uvuvuv sincoscossin)sin( +=+

uvuvuv sincoscossin)sin( −=−

uvuvuv sinsincoscos)cos( −=+

uvuvuv sinsincoscos)cos( +=−

vvv cossin22sin =

−

−

−

=

(3) sin21

(2) 1cos2

(1) sincos

2cos2

2

22

v

v

vv

v

)sin(cossin vxcxbxa +=+ där 22 bac += och abv =tan

Cirkelns ekvation

222 )()( rbyax =−+−

14-04-02 © Skolverket

8(8)

Exakta värden

Vinkel v (grader) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

(radianer) 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

vsin 0

21

21

23 1

23

21

21 0

vcos 1

23 2

1 21 0

21

− 2

1−

23

− 1−

vtan 0

31 1 3 Ej def. 3− 1−

31

− 0

Mängdlära

{ }BxAxxBA ∈∈=∩ och { }BxAxxBA ∈∈=∪ eller

A \ { }BxAxxB ∉∈= och { }AxGxxAC ∉∈= och Talteori

Kongruens )(mod cba ≡ om differensen ba − är delbar med c

Om )(mod11 cba ≡ och )(mod22 cba ≡ gäller att

1. )(mod2121 cbbaa +≡+ 2. )(mod2121 cbbaa ⋅≡⋅

Om )(mod cba ≡ gäller att 3. )(mod cbmam ⋅≡⋅ för alla heltal m 4. )(modcba nn ≡ för alla heltal n

Aritmetisk summa 2

1 nn

aans +⋅= där dnaan ⋅−+= )1(1

Geometrisk summa 1

11 −

−=

kkas

n

n där 11

−⋅= nn kaa

Kombinatorik

Permutationer ! )(

! )1(...)2()1(),(kn

nknnnnknP−

=+−⋅⋅−⋅−⋅= där nk ≤≤0

Kombinationer !)(!

!!

),(),(knk

nk

knPkn

knC−

==

= där nk ≤≤0

14-04-02 © Skolverket