formes et surfaces avec les bulles de savon...22 de juin de 2013 une journé de divulgarization a la...
TRANSCRIPT
“Formes et surfaces avec les bulles de savon”
José L. Rodríguez
22 de juin de 2013
Une journé de divulgarization a la Cité des Sciences de Tunis
Resumé
• On décrit quelques unes des surfaces minimales et des figures les
plus connues qui peuvent être réalisées par les bulles de savon. On
illustre avec des ficelles des problèmes de type isopérimétrique. On
illustre également les lois de Plateau par le biais de figures
artistiques. En ce faisant nous retraçons une partie de l'histoire de
ce sujet passionnant.
Les films de savon sont des surfaces ayant un
bord donné et ayant une aire minimale.
C’est pour cela qu’elles s’appellent
“surfaces minimales”. Voyez qu'est-ce qui se passe avec un cercle.
Cette propriété a des applications pratiques.
Peut-être utilisé pour minimiser le cout et la
quantité de materiaux dans la construction…
Le stade olympique de Munich a été
modelé avec des films de savon (1972)
• La sphère est la surface enfermant un volume donné, et ayant la plus petite surface.
• Montré par Herman A. Schwarz à 1884.
Pourquoi les bulles de savon
ont une forme spherique?
Et … quelle est la meilleure surface qui
contient deux volumes d’air donnés?
2002. Hutchings, Michael; Morgan, Frank; Ritoré, Manuel; Ros, Antonio ont montré le
THÉORÈME DE LA DOUBLE BULLE
publié à “Annals of Mathematics”.
http://math.berkeley.edu/~hutching/pub/bubbles.html
Bulle double standard “Torus-dumbell configuration”
http://www.polthier.info/Models/index.html
Torus-dumbell configuration by Lawlor-Polthier (1991)
Le problème de la bulle triple
reste encore ouvert!!
Le problème de Kelvin (1887) Comment peut-on partitionner
l’espace avec des cellules qui ont le
même volume et tel que la surface
totale des parois est minimale?
Kelvin a proposé une
partition regulière avec des
octaèdres tronqués.
Weaire–Phelan structure (1993)
Ils ont trouvé une meilleure partition,
avec deux cellules qui ont le même
volume: un dodecahedre irrégulier, et un
tetrakaidecahedre.
Estructure de Weaire-Phelan (1993)
Beijing National Aquatics Centre, Jeux olympiques de Pekín (2008)
Surfaces minimales geometriques
(sans air dedans):
Un peu d’histoire
•La caténoïde de Euler
•L’hélicoïde de Meusnier
•Les surfaces de Scherk
Caténoïde Leonard Euler (1744)
C’est une surface minimale entre deux cercles.
C’est la seule surface minimale de révolution dans l’espace (engendrée par une
chaînette).
Hélicoïde
Jean Baptiste Mesnier (1764)
C'est, avec le plan, la seule surface
minimale réglée
(c'est-à-dire pouvant être obtenue par
déplacement d'une droite dans
l'espace).
Surfaces de Scherk
Heinrich Scherk (1934)
Il a decouvert des nouvelles surfaces minimales qui ne
s’entrecoupent pas.
Font: http://en.wikipedia.org/wiki/Scherk_surface
http://youtu.be/ZN9rmVKwbak http://youtu.be/8kgah1cC8y8
Voyez ces videos
Surfaces topologiques
minimales Ont-elles une seule face ou deux?
•Ruban de Moebius
•Surfaces en noeuds.
•Surfaces de Seifert
Ruban de Moebius
C’est une surface avec une seule face!!
Le bord est juste un cercle enroulé.
Surface bornée par un noeud Peut être formée à l'intérieur ou à l'extérieur du noeud
Surfaces de Seifert
Herbert Seifert a prouvé en 1934 que chaque nœud peut être
le bord d’une surface orientable.
Voici les surfaces orientables pour le nœud de trèfle et le
noeud en huit. www.youtube.com/watch?v=vThY9TTgHxw
Bulles de savon polyèdriques et la
quatrième dimension Ici l’hypercube et un morceaux de l’hyperdodecaèdre
Problème isoperimétrique Entre toutes les courbes qui ont un périmètre donné, quelle est la courbe
qui contient le plus d’aire a l’interieur?
(On va ouvrir un bout dans un film de savon. )
La solution est un cercle.
La demonstration était indiquée par Jacob Steiner à1938.
Lois de Plateau Joseph Plateau (XIXe siecle)
1. Dans une arrête se rencontrent trois surfaces, en formant un
angle de 120º.
2. Au tour d’un sommet se rencontrent toujour 4 arêtes en formant
l’angle du tétraèdre.
3. Tout film de savon forme un angle de 90º sur une surface
glissante.
Les lois de Plateau ont été montrées par:
• Jean E. Taylor. The Structure of
Singularities in Soap-Bubble-Like and
Soap-Film-Like Minimal Surfaces. The
Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 103,
No. 3. May, 1976).
http://www.magomoebius.com