formelsamling i fysikcourses.theophys.kth.se/si1140/del1/formelsamling.pdf1 vektoranalys f¨oljande...
TRANSCRIPT
1 Vektoranalys
Foljande formler galler i ett ortogonalt, kroklinjigt koordinatsystem med koordinaternau1, u2, u3, basvektorerna e1, e2, e3 och skalfaktorerna h1, h2, h3 :
dr = h1 du1 e1 + h2 du2 e2 + h3 du3 e3 (1.1)
gradφ =1
h1
∂φ
∂u1
e1 +1
h2
∂φ
∂u2
e2 +1
h3
∂φ
∂u3
e3 (1.2)
divA =1
h1h2h3
[
∂
∂u1
(h2h3A1) +∂
∂u2
(h3h1A2) +∂
∂u3
(h1h2A3)
]
(1.3)
rotA =1
h1h2h3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
h1e1 h2e2 h3e3
∂∂u1
∂∂u2
∂∂u3
h1A1 h2A2 h3A3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(1.4)
div gradφ = ∇2φ =1
h1h2h3
[
∂
∂u1
(
h2h3
h1
∂φ
∂u1
)
+∂
∂u2
(
h3h1
h2
∂φ
∂u2
)
+∂
∂u3
(
h1h2
h3
∂φ
∂u3
)]
(1.5)
A1, A2 och A3 ar de kroklinjiga komponenterna av vektorfaltet A:
A = A1e1 + A2e2 + A3e3 (1.6)
Specialfall
Cylinderkoordinater ( hρ = 1, hϕ = ρ, hz = 1):
∇2 =∂2
∂ρ2+
1
ρ
∂
∂ρ+
1
ρ2
∂2
∂ϕ2+
∂2
∂z2(1.7)
Sfariska koordinater ( hr = 1, hθ = r, hϕ = r sin θ):
∇2 =1
r2
∂
∂r
(
r2 ∂
∂r
)
+ +1
r2
1
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂
∂θ
)
+1
r2 sin2 θ
∂2
∂ϕ2(1.8)
1
2 Speciella funktioner
Legendres polynom och funktioner
Definitioner: Legendrepolynom Pℓ, ℓ = 0, 1, 2, . . . ,∞:
Pℓ(u) =1
2ℓ ℓ!
dℓ
duℓ(u2 − 1)ℓ. (2.1)
Pℓ ar ett polynom av graden ℓ, pariteten (−)ℓ, med ℓ nollstallen i intervallet (−1, 1).
Legendrefunktionerna Pmℓ , ℓ = 0, 1, 2, . . . ,∞ och m = 0, 1, 2, . . . , ℓ, definieras ur mot-
svarande polynom:
Pmℓ (u) = (1 − u2)m/2 dm
dumPℓ(u). (2.2)
Pmℓ ar produkten av (1 − u2)m/2 med ett polynom av graden ℓ − m och med pariteten
(−)ℓ−m, med ℓ − m nollstallen i intervallet (−1, 1).
Speciellt:
m = ℓ P ℓℓ (u) = (2ℓ − 1)!! (1 − u2)ℓ/2, (2.3)
m = 0 P 0ℓ (u) = Pℓ(u). (2.4)
Genererande funktioner:
(1 − 2tu + t2)−1/2 =∞
∑
ℓ=0
tℓPℓ(u), |t| < 1, (2.5)
(2m − 1)!! (1 − u2)m/2 tm(1 − 2tu + t2)−m−1/2 =∞
∑
ℓ=m
tℓPmℓ (u). (2.6)
Differentialekvation:(
d
du
(
(1 − u2)d
du
)
+ ℓ(ℓ + 1) − m2
1 − u2
)
Pmℓ (u) = 0. (2.7)
Rekursionsformler (Formlerna galler aven for ℓ = m med konventionen Pmm−1 = 0.):
(2ℓ + 1)uPmℓ (u) = (ℓ + 1 − m)Pm
ℓ+1(u) + (ℓ + m)Pmℓ−1(u), (2.8)
(1 − u2)d
duPm
ℓ (u) = −ℓuPmℓ (u) + (ℓ + m)Pm
ℓ−1(u)
= (ℓ + 1)uPmℓ (u) − (ℓ + 1 − m)Pm
ℓ+1(u). (2.9)
2
Ortonormeringsrelation:
∫ 1
−1
Pmk Pm
ℓ du =2
2ℓ + 1
(ℓ + m)!
(ℓ − m)!δkℓ. (2.10)
Speciella varden:
m = 0 Pℓ(1) = 1, Pℓ(−1) = (−1)ℓ, (2.11)
m 6= 0 Pmℓ (1) = Pm
ℓ (−1) = 0, (2.12)
Pmℓ (0) =
(−1)p (2p + m)!
2ℓp!(p + m)!om ℓ − m = 2p,
0 om ℓ − m = 2p + 1.
(2.13)
Tabell over de forsta Legendrefunktionerna:
P 00 = 1, P 0
1 = u, P 11 =
√1 − u2,
P 02 =
1
2(3u2 − 1), P 1
2 = 3u√
1 − u2, P 22 = 3(1 − u2),
P 03 =
1
2(5u3 − 3u), P 1
3 =3
2(5u2 − 1)
√1 − u2, P 2
3 = 15u(1 − u2),
P 33 = 15(1 − u2)3/2, P 0
4 =1
8(35u4 − 30u2 + 3).
Legendrefunktionerna Pmℓ (cos θ). r(θ)) visar (P
|m|ℓ (cos θ))2, ℓ = 1, 2 i riktningen θ.
3
Klotytfunktioner (spherical harmonics
Rorelsemangdsmomentsoperatorerna Lx, Ly, Lz ar hermiteska differentialoperatorer,definierade genom
L = −i~(r ×∇). (2.14)
Man valjer z-axeln som polaraxel for de sfariska koordinaterna (r, θ, ϕ), ϕ = 0 ar xz-planet, ϕ = π/2 ar yz-planet, Ω = (θ, ϕ) ar en sammanfattande beteckning for vinkelko-ordinaterna. Rymdvinkelelementet, dΩ, definieras:
dΩ = sin θ dθ dϕ. (2.15)
I sfariska koordinater blir L:s kartesiska komponenter (~ = Plancks konstant divideradmed 2π satts i vissa sammanhang = 1):
Lz = −i~∂
∂ϕ, (2.16)
L± = Lx ± iLy = ~e±iϕ
(
± ∂
∂θ+ i cot θ
∂
∂ϕ
)
, (2.17)
L2 = L2x + L2
y + L2z = −~
2
(
1
sin θ
∂
∂θ(sin θ
∂
∂θ) +
1
sin2 θ
∂2
∂ϕ2
)
. (2.18)
Klotytfunktionerna Yℓm(θ, ϕ) definieras som de gemensamma egenfunktionerna till ope-ratorerna L2 och Lz:
L2Yℓm = ~2ℓ(ℓ + 1)Yℓm, (2.19)
LzYℓm = ~mYℓm, (2.20)
ℓ = 0, 1, 2, . . . ,∞, m = −ℓ,−ℓ + 1, . . . , ℓ.
Definitionen blir fullstandig om man tillfogar, atta) Yℓm ar normerade till 1 pa enhetssfaren,
∫
Y ∗ℓmYℓ′m′ dΩ =
=
∫ 2π
0
dϕ
∫ π
0
sin θ dθ Y ∗ℓm(θ, ϕ)Yℓ′m′(θ, ϕ) = δmm′δℓℓ′ . (2.21)
b) Yℓm:s faser valjs sa att foljande rekursionsformel ar satisfierad och Yℓ0(0, 0) ar reelloch positiv.
L±Yℓm = ~
√
ℓ(ℓ + 1) − m(m ± 1) Yℓ,m±1. (2.22)
4
Paritet (−)ℓ.
Reflexion i origo (θ, ϕ) → (π − θ, ϕ + π):
Yℓm(π − θ, ϕ + π) = (−1)ℓYℓm(θ, ϕ). (2.23)
Komplexkonjugering:
Y ∗ℓm(θ, ϕ) = (−1)mYℓ,−m(θ, ϕ). (2.24)
Relationer med Legendrefunktionerna:
Yℓm(θ, ϕ) = (−1)(m+|m|)/2
√
2ℓ + 1
4π
(ℓ − |m|)!(ℓ + |m|)! P
|m|ℓ (cos θ)eimϕ. (2.25)
Speciellt:
m = 0 Yℓ0 =
√
2ℓ + 1
4πPℓ(cos θ), (2.26)
m = ℓ Yℓℓ = (−1)ℓ
√
2ℓ + 1
4π
(2ℓ)!
22ℓ(ℓ!)2sinℓ θ eiℓϕ. (2.27)
Tabell over de forsta klotytfunktionerna:
Y00 =1√4π
, Y10 =
√
3
4πcos θ, Y20 =
√
5
16π(3 cos2 θ − 1),
Y30 =
√
7
16π(5 cos3 θ − 3 cos θ),
Y11 = −√
3
8πsin θ eiϕ, Y21 = −
√
15
8πsin θ cos θ eiϕ,
Y31 = −√
21
64πsin θ(5 cos2 θ − 1)eiϕ,
Y22 =
√
15
32πsin2 θ e2iϕ, Y32 =
√
105
32πsin2 θ cos θ e2iϕ,
Y33 = −√
35
64πsin3 θ e3iϕ.
5
Tillampningar innehallande Pm
ℓoch Yℓm
Additionsteorem:
2ℓ + 1
4πPℓ(cos α) =
ℓ∑
m=−ℓ
Y ∗ℓm(θ1, ϕ1)Yℓm(θ2, ϕ2), (2.28)
α ar vinkeln mellan riktningarna (θ1, ϕ1) och (θ2, ϕ2).
Greenfunktion for Laplaceoperatorn:
1
|r1 − r2|=
∞∑
ℓ=0
rℓ<
rℓ+1>
Pℓ(cos α), (2.29)
α ar vinkeln mellan r1 och r2, r< och r> = den minsta respektive den storsta av r1 ochr2.
Utveckling av plan vag i sfariska vagor:
eik·r =∞
∑
ℓ=0
iℓ(2ℓ + 1)jℓ(kr)Pℓ(cos θ). (2.30)
θ ar vinkeln mellan k och r.
Besselfunktioner
Besselfunktion av forsta slaget Jν(z):
Jν(z) =(z
2
)ν∞
∑
m=0
(−1)m
m! Γ(ν + m + 1)
(z
2
)2m
, (2.31)
om ν = n heltal:
J−n(z) = (−1)nJn(z). (2.32)
Besselfunktion av andra slaget, Webers funktion, Neumanns funktion Yν(z):
Yν(z) =Jν(z) cos νπ − J−ν(z)
sin νπ, (2.33)
om ν = n heltal:
Yn(z) = limν→n
Yν(z) =2
πJn(z) ln
(z
2
)
+∞
∑
k=0
ank
(z
2
)2k−n
, n ≥ 0 (2.34)
an0 = −(n − 1)!
π,
Y−n(z) = (−1)nYn(z). (2.35)
6
Genererande funktion:
exp
(
z
2(t − 1
t)
)
=∞
∑
n=−∞
Jn(z)tn. (2.36)
Differentialekvation:(
d2
dz2+
1
z
d
dz+ 1 − ν2
z2
)
fν(z) = 0. fν = Jν el. Yν (2.37)
Wronskirelationer:
Jν(z)J ′−ν(z) − J ′
ν(z)J−ν(z) = −2 sin νπ
πz, (2.38)
Jν(z)Y ′ν(z) − J ′
ν(z)Yν(z) =2
πz. (2.39)
Rekursionsformler:
Jν−1(z) + Jν+1(z) =2ν
zJν(z), (2.40)
Jν−1(z) − Jν+1(z) = 2J ′ν(z), (2.41)
d
dz(zνJν(z)) = zνJν−1(z), (2.42)
d
dz(z−νJν(z)) = −z−νJν+1(z). (2.43)
Ortonormeringsrelationer:∫ 1
0
Jν(µνi x)Jν(µ
νkx)x dx = Ciδik; (2.44)
a) om µνi , µν
k ar positiva rotter till ekvationen Jν(x) = 0, ν > −1:
Ci =1
2(Jν+1(µ
νi ))
2 ; (2.45)
b) om µνi , µν
k ar positiva rotter till ekvationen αJν(x)+βxJ ′ν(x) = 0, ν > −1, α/β+ν > 0:
Ci =1
2
(
1 +
(
α2
β2− ν2
)
1
(µνi )
2
)
(Jν(µνi ))
2 . (2.46)
Asymptotiskt uppforande:
Jν(x) =
√
2
πxcos(x − (2ν + 1)
π
4) + O(x−3/2), (2.47)
Yν(x) =
√
2
πxsin(x − (2ν + 1)
π
4) + O(x−3/2), (2.48)
om ν reell, x → ∞. (2.49)
7
0 5 10 15 20-0.5
0
0.5
1
J0(x)
J1(x)
J2(x)
0 2 4 6 8 10-1
-0.5
0
0.5
1
Y0(x)
Y1(x)
Y2(x)
Besselfunktionerna Jn(x), n = 0, 1, 2. Neumannfunktionerna Yn(x), n = 0, 1, 2.
Sfariska Besselfunktioner
jℓ(z) =
√
π
2zJℓ+1/2(z) = (−1)ℓzℓ
(
d
z dz
)ℓsin z
z=
=1
z(pℓ(z) sin z − qℓ(z) cos z), (2.50)
nℓ(z) =
√
π
2zYℓ+1/2(z) = (−1)ℓ+1zℓ
(
d
z dz
)ℓcos z
z=
= −1
z(pℓ(z) cos z + qℓ(z) sin z). (2.51)
Differentialekvation:(
d2
dz2+
2
z
d
dz+ 1 − ℓ(ℓ + 1)
z2
)
fℓ(z) = 0, fℓ = jℓ el. nℓ. (2.52)
Tabell over de forsta sfariska Besselfunktionerna:
n pn(z) qn(z)
0 1 0
11
z1
23
z2− 1
3
z
315
z3− 6
z
15
z2− 1
8
Modifierade Besselfunktioner
Definitioner:
Modifierad Besselfunktion av forsta slaget Iν(z):
Iν(z) = e−iνπ/2Jν(zeiπ/2) =
(z
2
)ν∞
∑
m=0
1
m! Γ(ν + m + 1)
(z
2
)2m
, (2.53)
om ν = n heltal:
I−n(z) = In(z). (2.54)
Modifierad Besselfunktion av andra slaget Kν(z):
Kν(z) =π
2
I−ν(z) − Iν(z)
sin νπ, (2.55)
K−ν(z) = Kν(z), (2.56)
om ν = n heltal:
Kn(z) = limν→n
Kν(z) = (−1)n+1In(z) ln(z
2
)
+∞
∑
k=0
ank
(z
2
)2k−n
, n ≥ 0, (2.57)
an0 =(n − 1)!
2,
K−n(z) = Kn(z). (2.58)
Differentialekvation:(
d2
dz2+
1
z
d
dz− 1 − ν2
z2
)
fν(z) = 0, fν = Iν el. Kν . (2.59)
Wronskirelation:
Iν(z)K ′ν(z) − I ′
ν(z)Kν(z) = −1
z. (2.60)
Rekursionsformler:
Iν−1(z) − Iν+1(z) =2ν
zIν(z), (2.61)
Kν−1(z) − Kν+1(z) = −2ν
zKν(z), (2.62)
Iν−1(z) + Iν+1(z) = 2I ′ν(z), (2.63)
Kν−1(z) + Kν+1(z) = −2K ′ν(z). (2.64)
9
Asymptotiskt uppforande da x → ∞:
Iν(x) =ex
√2πx
(
1 + O(
1
x
))
, (2.65)
Kν(x) =
√
π
2xe−x
(
1 + O(
1
x
))
. (2.66)
0 1 2 3 4 5 6
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
e-x
I0(x)
e-x
I1(x)
e-x
I2(x)
0 1 2 3 4 5 6
x
0
1
2
3
4
5
exK
0(x)
exK
1(x)
exK
2(x)
Den modifierade Besselfunktionen Den modifierade Besselfunktionenav forsta slaget In(x), n = 0, 1, 2. av andra slaget Kn(x), n = 0, 1, 2.
Hermitepolynom
Definition:
Hermitepolynom Hn(z), n = 0, 1, 2, . . . ,∞:
Hn(z) = (−1)nez2 dn
dzne−z2
. (2.67)
Hn ar polynom av graden n, paritet (−)n, med n nollstallen i (−∞,∞).
Genererande funktion:
e−t2+2tz =∞
∑
n=0
Hn(z)tn
n!. (2.68)
Differentialekvation:(
d2
dz2− 2z
d
dz+ 2n
)
Hn(z) = 0. (2.69)
Rekursionsformler:
H ′n(z) = 2nHn−1(z), (2.70)
2zHn(z) = Hn+1(z) + 2nHn−1(z). (2.71)
10
Tabell over de forsta Hermitepolynomen:
H0 = 1, H1 = 2z,
H2 = 4z2 − 2, H3 = 8z3 − 12z,
H4 = 16z4 − 48z2 + 12, H5 = 32z5 − 160z3 + 120z.
Laguerrepolynom
Definition:
Laguerrepolynom Lkn(z), k, p = 0, 1, 2, . . . ,∞:
Lkn(z) =
1
n!ezz−k dn
dzn(e−zzn+k) =
n∑
m=0
(
n + k
n − m
)
(−z)m
m!. (2.72)
Lkn ar polynom av graden n, med n nollstallen i (0,∞).
Speciellt:
Lk0(z) = 1. (2.73)
Genererande funktion:
1
(1 − t)k+1exp
(
zt
t − 1
)
=∞
∑
n=0
Lkn(z)tn, |t| < 1. (2.74)
Differentialekvation:(
zd2
dz2+ (k + 1 − z)
d
dz+ n
)
Lkn(z) = 0. (2.75)
Ortonormeringsrelation:
∫ ∞
0
LkmLk
n e−xxk dx =(k + n)!
n!δmn. (2.76)
11
Greenfunktioner
Fundamentallosningar i tva dimensioner
Ekvation Losning
∆G0(r) = −δ(r) − 1
2πln
(
r
r0
)
∆G0(r) + µ2G0(r) = −δ(r) −1
4Y0(µr)
∆G0(r) − µ2G0(r) = −δ(r)1
2πK0(µr)
(∆ − 1
c2
∂2
∂t2)G0(r, t) = −δ(r)δ(t)
1
2π√
t2 − r2/c2Θ(t − r/c)
(D∆ − ∂
∂t)G0(r, t) = −δ(r)δ(t)
1
4πDte−r2/(4Dt) Θ(t)
Fundamentallosningar i tre dimensioner
Ekvation Losning
∆G0(r) = −δ(r)1
4πr
∆G0(r) + µ2G0(r) = −δ(r)eiµr
4πr,
e−iµr
4πr
∆G0(r) − µ2G0(r) = −δ(r)e−µr
4πr
(∆ − 1
c2
∂2
∂t2)G0(r, t) = −δ(r)δ(t)
1
4πrδ(
r
c− t) Θ(t)
(D∆ − ∂
∂t)G0(r, t) = −δ(r)δ(t)
1
(4πDt)3/2e−r2/(4Dt) Θ(t)
12
3 Elektrodynamik
Definition av D- och H-falten
Allmant Linjara material
D = ǫ0E + P D = ǫrǫ0E P = (ǫr − 1)ǫ0E (3.1)
H =1
µ0
B − M H = 1µrµ0
B M = (µr − 1)H (3.2)
Maxwells ekvationer
div D = ρ rot E = −∂B∂t
(3.3)
div B = 0 rot H = J + ∂D∂t
(3.4)
Potentialer
E = ∇V − ∂A
∂toch B = rotA (3.5)
Lorentz kraftekvation
F = q(E + v × B) (3.6)
Faltenergin
U =1
2
∫∫∫
dV (E · D + B · H) (3.7)
Rorelsemangden
p = ǫ0
∫∫∫
dV (E × B) (3.8)
Poyntingvektorn
S =1
µ0
(E × B) (3.9)
13
4 Relativitetsteori
Hyperboliska funktioner
sinh x =1
2
(
ex − e−x)
, cosh x =1
2
(
ex + e−x)
, tanh x =sinh x
cosh x(4.1)
cosh2 x − sinh2 x = 1, tanh(x + y) =tanh x + tanh y
1 + tanh x tanh y(4.2)
Vid relativistiska transformationer ar tanh θ = v/c, dar θ ar den hyperboliska rota-tionsvinkeln.
Elektromagnetiska falt
F = (F µν) =
0 E1 −E2 −E3
E1 0 −cB3 cB2
E2 cB3 0 −cB1
E3 −cB2 cB1 0
(4.3)
F µν = ∂µAν − ∂νAµ, A = (Aµ) = (φ, cA) (4.4)
Maxwells ekvationer:
∂µFµν = Jν , J = (Jµ) = (ρ/ǫ0, cµ0j) (4.5)
∂µF νλ + ∂νF λµ + ∂λF µν = 0 (4.6)
Lorentz kraftekvation:
m0c2xµ(s) = qxν(s)F
µν(x(s)) (4.7)
Differentialgeometri
Γkij =
1
2gkl (∂igjl + ∂jgil − ∂lgij)
Rmkij = ∂iΓ
mjk − ∂jΓ
mik + Γp
jkΓmip − Γp
ikΓmjp
T kij = Γk
ij − Γkji
Allman relativitetsteorei
Einsteins ekvationer:
Gµν = Rµν −1
2gµνR = 8π
G
c4Tµν (4.8)
Schwarzschildmetriken:
ds2 =
(
1 − 2GM
c2r
)
(dx0)2 −(
1 − 2GM
c2r
)−1
dr2 − r2dΩ2 (4.9)
14
5 Kvantummekanik
Schrodingerekvationen: i~∂Ψ
∂t= HΨ =
(
− ~2
2m∇2 + V
)
Ψ (5.1)
Fundamental komutatorrelation: [x, p] = i~ (5.2)
Rorelsemangdsoperatorn: p = −i~∇ (5.3)
Harmoniska oscillatorns egenfunktioner
φn(x) = |n〉 =(mω
~
)1/4 1√√
π 2nn!exp
(
−mω
2~x2
)
Hn
(√
mω
~x
)
(5.4)
-5 0 5
0
-5 0 5
0
-5 0 5
0
-5 0 5
0
-5 0 5
0
-5 0 5
0n=0
n=1
n=2
n=3 n=4 n=5
Den harmoniska oscillatorns egenfunktioner un(ξ), n = 0, 1, . . . , 5, ξ = x√
mω/~. Denhorisontella linjen anger for varje n svangningsintervallet for en klassisk harmonisk oscil-lator med motsvarande energi.
15
Stegoperatorer for den harmoniska oscillatorn
a =
√
mω
2~
(
x + ip
mω
)
(5.5)
a+ =
√
mω
2~
(
x − ip
mω
)
(5.6)
[a, a+] = 1 (5.7)
H = ~ω
(
a+a +1
2
)
(5.8)
a|n〉 =√
n |n − 1〉 (5.9)
a+|n〉 =√
n + 1 |n + 1〉 (5.10)
Schrodingers egenfunktioner for vateliknande atomer
Energiegenvarden:
En = − Z2e2
2(4πε0)a0n2, a0 =
4πε0~2
µe2. (5.11)
Egenfunktioner normerade till 1:
φnℓm(r, θ, ϕ) =1
a3/2NnℓFnℓ
(
2
n
r
a
)
Yℓm(θ, ϕ), (5.12)
Fnℓ(x) = xℓe−x/2L2ℓ+1n−ℓ−1(x), (5.13)
Nnℓ =2
n2
√
(n − ℓ − 1)!
(n + ℓ)!. (5.14)
Ortonormeringsrelation:
∫ ∞
0
Fnℓ
(
2ρ
n
)
Fsℓ
(
2ρ
s
)
ρ2 dρ = δsnn4(n + ℓ)!
4(n − ℓ − 1)!. (5.15)
n = 1, 2, . . . ,∞, ℓ = 0, 1, 2, . . . , n − 1, m = −ℓ,−ℓ + 1, . . . , ℓ.
16
Tabell over de forsta radialfunktionerna:
ρ =r
a, gnℓ(ρ) = NnℓFnℓ
(
2ρ
n
)
, (5.16)
n = 1 : g1s = 2e−ρ, (5.17)
n = 2 : g2s =1√2
(
1 − ρ
2
)
e−ρ/2, g2p =1
2√
6ρe−ρ/2, (5.18)
n = 3 : g3s =2
3√
3
(
1 − 2
3ρ +
2
27ρ2
)
e−ρ/3, g3p =4√
6
81
(
ρ − 1
6ρ2
)
e−ρ/3,(5.19)
g3d =2√
30
1215ρ2e−ρ/3. (5.20)
0 5 10 15r (10
−8 cm)
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.40 2 4 6 8
0
0.5
1
1.5
2
0 5 10 15r (10
−8 cm)
−0.05
0
0.05
0.10 2 4 6 8
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 5 10 15r (10
−8 cm)
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.060 2 4 6 8
0
0.05
0.1
0.15
0.2
n=1l=0
n=2l=0
n=2l=1
n=3l=0
n=3l=1
n=3l=2
Radialdelen av vatets egenfunktioner gnℓ(ρ), ρ = r/a for n = 1, 2, 3. Radien formotsvarande bohrbana ar angiven med ett vertikalt streck pa r-axeln. Observera attkurvorna ar ritade i skilda skalor for olika n.
17
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1s
2p 2s
3d 3p
3s
Radiell sannolikhetstathet for vate ρ2g2nℓ(ρ), ρ = r/a, n = 1, 2, 3.
Sannolikhetsstromtatheten
J(r) = − i~
2m(Ψ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ∗) (5.21)
Paulis spinnmatriser
σx =
(
0 11 0
)
, σy =
(
0 −ii 0
)
, σz =
(
1 00 −1
)
(5.22)
S =~
2(σx, σy, σz) (5.23)
Storningsrakning, icke degenererade energinivaer
I nedanstaende formler har siffrorna 0, 1, 2,. . . foljande betydelse: 0: ostort problem,1: forsta ordningens approximation, 2: andra ordningens approximation.
Ostort problem:
Hu0n = E0nu0n. (5.24)
Stort problem:
(H + H ′)un = Enun. (5.25)
18
E1n = H ′nn, E2n =
∑
k 6=n
|H ′kn|2
E0n − E0k
(5.26)
un = u0n +∑
k 6=n
H ′kn
E0n − E0k
u0k (5.27)
Storningsrakning, degenererade energinivaer
Energinivan E0 ar n-faldigt degenererad och har ortonormala egenfunktioneru0k, k = 1, 2,. . . n. Ett godtyckligt tillstand pa energinivan E0 ar
v =n
∑
k=1
cku0k (5.28)
Forsta ordningens storning E1:
H ′11 − E1 H ′
12 · · · H ′1n
H ′21 H ′
22 − E1 · · · H ′2n
.... . .
H ′n1 H ′
n2 · · · H ′nn − E1
c1
c2...cn
= 0 (5.29)
Tidsberoende storningsrakning
H(r, t) = H0(r) + H ′(r, t) (5.30)
Ψ(r, t) =∑
k
ck(t)uk(r) exp
(
−iEk
~t
)
(5.31)
cm =1
i~
∑
k
ck(t)H′mk(t)e
iωmkt, ωmk =Em − Ek
~(5.32)
Om c0n = 1 och c0k = 0, k 6= n:
c1m =1
i~
∫ t
0
H ′mne
iωmnτdτ (5.33)
19
6 Atomfysik
Braggs lag. Villkoret for konstruktiv interferens for rontgenstralning med vaglangd λ,som infaller mot en kristallyta under vinkeln θ, om avstandet ar d mellan gitterplanen:
∆ = 2d sin θ = nλ. (6.1)
Rutherfords spridningsformel. n stycken partiklar med massa m och hastighet v0
infaller mot ett folium med tjocklek D och atomnummer Z varvid antalet som sprids ivinkelintervallet θ och θ + dθ ges av
dn(θ, dθ)
n=
Z2e2DN
(4πǫ0)2m2v40 sin4(θ/2)
dΩ. (6.2)
Stefan-Boltzmanns lag. Totala stralningen fran en svart kropp med temperaturen T(σ = Stefan-Boltzmanns konstant):
S = 2
∫ ∞
0
P (ν, T )tot dν = σT 4. (6.3)
Plancks stralningslag. Spektralfordelningen av stralningen utsand i frekvensinterval-let ν och ν + dν fran en svart kropp:
u(ν, T )dν =8πhν3
c3
1
ehν/kT − 1dν. (6.4)
Sambandet mellan einsteinkoefficienterna for spontan emission, A21, och for absorption,B12:
A21 =8πhν3
c3B12. (6.5)
Comptonskift. Vaglangdsskiftet av elektromagnetisk stralning som infaller undervinkeln θ mot en godtycklig yta:
|∆λ| =h
m0c(1 − cos θ) = λc(1 − cos θ). (6.6)
Moseleys lag. Vagtalen for Kα (K–L) respektive Lα (L–M) rontgenstralning:
νKα=
3
4R(Z − 1)2 ≡ R(Z − 1)2
(
1
12− 1
22
)
, (6.7)
νLα=
5
36R(Z − 7,4)2 ≡ R(Z − 7,4)2
(
1
22− 1
32
)
. (6.8)
Sambandet mellan magnetiskt moment och banrorelsemangdsmoment:
µℓ = − e
2me
L = −γℓL (6.9)
20
som definierar det gyromagnetiska forhallandet:
γℓ =1
2
e
me
= gℓµB/~, (6.10)
dar gℓ = 1 och Bohrmagnetonen, µB definieras:
µB =e~
2me
= 9, 274 · 10−24JT−1 = 5, 788 · 10−5eVT−1. (6.11)
For spinnmagnetism galler:
γs = 1,00116e
me
= gsµB/~ = 2,0023 µB/~, (6.12)
Spinn-ban-koppling beskrivs av hamiltonoperatorn:
H ′sb =
(
e2
8πǫ0
)
1
m2c2r2S · L (6.13)
som ger energierna:
E1sb =
(En)2
mc2
n[j(j + 1) − ℓ(ℓ + 1) − 3/4]
ℓ(ℓ + 1/2)(ℓ + 1). (6.14)
Den relativistiska korrektionen ges av hamiltonoperatorn:
H ′r = − p4
8m3c2med energierna E1
r = −(En)2
mc2
(
4n
ℓ + 1/2− 3
)
(6.15)
Total finstruktur, som bestar av spinn-ban-koppling samt relativistisk korrektion, blirda:
E1fs =
(En)2
mc2
(
3 − 4n
j + 1/2
)
(6.16)
Zeemaneffekt beskrivs av hamiltonoperatorn
H ′Z = −µ · B =
e
2me
(
L + 2S)
· B. (6.17)
Om mℓ och ms ar goda kvantal galler:
E1Z = µBB(mℓ + 2ms). (6.18)
Om istallet j ar det goda kvanttalet blir energin
E1Z = µBBgjmj (6.19)
dar Landefaktorn ar
gj = 1 +j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
2j(j + 1). (6.20)
21
Hyperfinstruktur beskrivs av hamiltonoperatorn:
H ′HFS =
(
µ0gpe2
8πmpme
)
[
3(Sp · r)(Se · r)r5
− (Se · Sp)
r3+
8π
3(Se · Sp)δ(r)
]
. (6.21)
Hyperfinuppsplittringen av 1s tillstandet blir da:
∆EHFS =4gp~
4
3mpm2ec
2a4. (6.22)
22
7 Termodynamik
1:a huvudsatsen
dU = δQ + δW, (7.1)
U = inre energi, δW = tillfort arbete, δQ = tillfort varme.
δWrev = X dx Allmant, X = generaliserad kraft,x = termodynamisk variabel.
= −P dV Tryck-volymsarbete pa gas.= F dL Strackning av trad, F = kraft, L = langd.
= γdA Andring av yta, γ = ytspanning, A = yta= µ0V H dM Magnetisering (utan hysteres)
M = (µr−1)H = χH = magnetisering per volymsenhet.µr = relativ permeabilitet, χ = susceptibilitet,V = provets volym.
= V E dP Polarisering,P = (ǫr − 1)ǫ0E = polarisering per volymsenhet,ǫr = relativ dielektricitetskonstant, V =provets volym.
2:a huvudsatsen
δQ ≤ T dS, (7.2)
S = entropi. Likhet galler endast for reversibla processer.
Termodynamiska potentialer
For ett system med en komponent och endast tryck-volymsarbete galler vid jamvikt(µ = kemiska potentialen, N = partikelantal):Inre energi:
U,dU = T dS − P dV + µ dN.
(7.3)
Helmholtz fria energi (fri energi):
F = U − TS,dF = −S dT − P dV + µ dN.
(7.4)
Entalpi:
H = U + PV,dH = T dS + V dP + µ dN.
(7.5)
Gibbs fria energi (fri entalpi):
G = U − TS + PV = H − TS,dG = −S dT + V dP + µ dN.
(7.6)
23
Stora potentialen:
Φ = F − µN = −PV,dΦ = −S dT − P dV − Ndµ.
(7.7)
Om vi betraktar differentialerna dF och dG, far vi foljande samband:
S = −(
∂F
∂T
)
V,N
= −(
∂G
∂T
)
P,N
, (7.8)
P = −(
∂F
∂V
)
T,N
och V =
(
∂G
∂P
)
T,N
, (7.9)
µ =
(
∂F
∂N
)
V,T
=
(
∂G
∂N
)
P,T
. (7.10)
Manga andra liknande samband kan harledas.
Maxwells relationer kan harledas fran korstermer av andraderivatorna.Allmant galler:
(
∂S
∂x
)
T
= −(
∂X
∂T
)
x
och
(
∂S
∂X
)
T
=
(
∂x
∂T
)
X
. (7.11)
For tryck-volymsarbete fas:
(
∂S
∂V
)
T
=
(
∂P
∂T
)
V
och
(
∂S
∂P
)
T
= −(
∂V
∂T
)
P
. (7.12)
Aven har kan manga andra liknande samband harledas.
Tillstandsekvationer
Ideal gas:
PV = NkBT. (7.13)
van der Waals-gas:
(
P +aN2
V 2
)
(V − bN) = NkBT. (7.14)
Curies lag:
M =C
TB. (7.15)
24
Kemisk termodynamik
G =∑
i
Niµi (7.16)
Gibbs-Duhems relation:
∑
i
Ni dµi = −S dT + V dP (7.17)
Ideal blandningsentropi (xi ar molbrak):
Sbideal = −kB
∑
i
Ni ln xi (7.18)
Massverkans lag for kemiska reaktioner:
−ν1A1 − ν2A2 − · · · νnAn + νn+1An+1 + · · · (7.19)∏
j
xνj
j = Kx = e−∆G0/kBT (7.20)
∆G0 =∑
j
νjµ0j (7.21)
25
8 Statistisk mekanik
Mikrokanonisk ensemble
Isolerat system dar E, V och N ar konstanta.Grundbegrepp: Ω(E, ∆) = antal tillgangliga tillstand.
Klassisk teori
Ω =1
N !hf· (Volym i fasrummet med E ≤ H(ω) ≤ E + ∆), (8.1)
f = antal frihetsgrader for hela systemet = 3N . Alla tillstand i denna fasrumsvolym arlika sannolika och motsvaras i fasrummet av en cell med volym hf .
Kvantmekanisk teori
Ω = (antal kvanttillstand med energi i intervallet [E,E + ∆]). (8.2)
Alla tillstand med dessa energivarden ar lika sannolika.
Koppling till termodynamiken
Statistisk entropi:
S = kB ln Ω(E). (8.3)
Statistisk temperatur:
1
T=
∂S
∂E. (8.4)
Kanonisk ensemble
Kallas aven Maxwell-Boltzmann-fordelningen. System dar T , V och N ar konstanta,medan E varierar. Grundbegrepp: Z = tillstandssumman.
Klassisk teori
ZN =1
N !h3N
∫
e−H(ω)/kBT dω, (8.5)
dω = fasrumselement, ω = (x1, . . . , x3N , p1, . . . , p3N) = vektor i fasrummet, integralentas over hela fasrummet, 3N = antal frihetsgrader for hela systemet.Med
H(ω) =3N∑
i=1
pi2
2m+ Φ(x1, ..., x3N )
26
blir tillstandssumman
ZN =1
N !
(
2πmkBT
h2
)3N/2 ∫
· · ·∫
e−Φ(x1,...,x3N )/kBT d3Nx. (8.6)
Medelvardet av en storhet A:
〈A〉 =1
ZN
1
N !h3N
∫
A(ω)e−H(ω)/kBT dω. (8.7)
Specialfall 1:For en ideal gas i ett rum med potentiell energi Φ(r) galler:
P (r) =1
Qe−Φ(r)/kBT Q =
∫∫∫
e−Φ(r)/kBT d3r (8.8)
P (r) d3r = sannolikheten att en partikel befinner sig i d3r,Q = konfigurationstillstandssumman.
Specialfall 2:Maxwells hastighetsfordelning.Sannolikhetstathetsfunktionen for partiklars hastighet i klassiska system:
P (v) =
(
m
2πkBT
)3/2
e−m|v|2/2kBT , (8.9)
P (v) d3v = sannolikheten att en partikels hastighet ligger i hastighetselementet d3vkring v.
Kvantmekanisk teori
ZN =∑
e−Ei/kBT , (8.10)
Ei = energiegenvarde.Medelvardet av en operator A:
〈A〉 =1
ZN
∑
Ai e−Ei/kBT =
1
ZN
Tr(Ae−H/kBT ), (8.11)
Tr(B) =∑
Bii = sparet av operatorn B, dar summan ar over ett fullstandigt basfunk-tionssystem. Ai ar medelvardet av A i tillstand i.
Koppling till termodynamiken
F = −kBT ln ZN . (8.12)
27
Storkanonisk ensemble
Kallas aven Gibbs-fordelningen. System dar T , V och µ ar konstanta, medan E och Nvarierar. Grundbegrepp: Ξ = stora tillstandssumman.Allmant galler:
Ξ =∑
N
ZNeNµ/kBT . (8.13)
Fermi-Dirac- och Bose-Einstein-statistik:
ln Ξ = ∓∑
ln(1 ∓ e−(ǫi−µ)/kBT ) −BE+FD (8.14)
Maxwell-Boltzmann-statistik:
ln Ξ =∑
e−(ǫi−µ)/kBT . (8.15)
µ = kemisk potential, ǫi = energier for enpartikeltillstand.
Koppling till termodynamiken
kBT ln Ξ = G − F = PV = −Φ. (8.16)
Kombinatorisk entropi
S = −kB
∑
i
Pi ln Pi (8.17)
oberoende av ensemble, for Maxwell-Boltzmann-statistik. Pi = sannolikheten for tillstandi.
Vanliga approximationer
Integralapproximation
∑
f(ǫi)P (ǫi) =
∫
f(α)P (α)ρ(α)dα, (8.18)
P (α) = sannolikhetstathet,
ρ(α) = tatheten av enpartikeltillstand =dσ
dα,
σ(α) = antal enpartikeltillstand med energi ≤ α.
kBT ln Ξ =
∫ ∞
0
σ(α)
e(α−µ)/kBT ∓ 1dα −BE
+FD (8.19)
N =
∫ ∞
0
ρ(α)
e(α−µ)/kBT ∓ 1dα −BE
+FD (8.20)
U =
∫ ∞
0
αρ(α)
e(α−µ)/kBT ∓ 1dα −BE
+FD (8.21)
28
Energin oberoende av laget
Om ǫ kan ses som oberoende av r, och bara beroende av rorelsemangden p eller avvagvektorn k = p/~ galler:
σ(α) = η(s)
∫
ǫp≤α
V d3p
h3, (8.22)
η(s) = spinnfaktor, normalt lika med 2s + 1, dar s ar spinnet. For fotoner ar η = 2.
Specialfall 1:For fotoner fas (µ = 0, α = cp = hν):
σ(α) =8π
3V
( α
hc
)3
, ρ(α) = 8πVα2
(hc)3. (8.23)
Specialfall 2:For partiklar med enbart rorelseenergi, ǫp = p2/2m fas:
σ(α) = η(s)4πV
3
(
2mα
h2
)3/2
, ρ(α) = η(s)2πV
(
2m
h2
)3/2 √α. (8.24)
Stark degeneration
Vid laga temperaturer kan foljande approximationer goras:
Fermi-Dirac-statistik: µ ≫ kBT
∫ ∞
0
f(α)
e(α−µ)/kBT + 1dα ≈
∫ µ
0
f(α)dα +(πkBT )2f ′(µ)
6, (8.25)
µ ≈ ǫF − (πkBT )2ρ′(ǫF )
6ρ(ǫF ). (8.26)
Bose-Einstein-statistik:
∑
f(ǫi) = f(0) +
∫
f(α)ρ(α)dα, µ = O(
1
N
)
. (8.27)
Andra beteckningar
Dimensionslos entropi: σ ≡ S
kB
.
Fundamental temperatur: τ ≡ 1
β≡ kBT .
Antal tillgangliga tillstand: Ω ≡ g.
Stora tillstandssumman: Ξ ≡ ζ.
29
Stora potentialen: Φ ≡ ΩG.
Aktivitet: λ ≡ exp
(
µ
kBT
)
.
Nagra vanliga matematiska formler i statistisk mekanik
∫ ∞
0
xa
ex − 1dx = ζ(a + 1)Γ(a + 1), (8.28)
∫ ∞
0
xa
ex + 1dx = ζ(a + 1)Γ(a + 1)(1 − 2−a). (8.29)
Gaussintegraler∫ ∞
0
e−t2 tmdt =1
2Γ[(m + 1)/2]. (8.30)
Specialfall:
∫ ∞
0
e−t2dt =1
2
√π,
∫ ∞
0
e−t2 t2dt =1
4
√π,
∫ ∞
0
e−t2 t4dt =3
8
√π,
∫ ∞
0
e−t2 t dt =1
2,
∫ ∞
0
e−t2 t3dt =1
2,
∫ ∞
0
e−t2 t5dt = 1.(8.31)
Stirlings formel
ln p! = p(ln p − 1) + ln√
2πp +1
12p + . . . (8.32)
ln
(
n
m
)
= −m ln(m
n
)
− (n − m) ln
(
n − m
n
)
− 1
2ln
(
2πm(n − m)
n
)
+ . . .(8.33)
Gamma- och zeta-funktionerna
Γ(a + 1) = a Γ(a) = a! Γ(1
2) =
√π (8.34)
ζ(a) =∞
∑
n=1
n−a ζ(2) =π2
6ζ(4) =
π4
90(8.35)
s : 1,5 2 2,5 3ζ(s) : 2,612 1,645 1,341 1,202
30
9 Fysikaliska konstanter
Denna tabell ar hamtad fran http://physics.nist.gov/constants dar aven mer utforligatabeller kan hittas. Kallan ar Peter J. Mohr och Barry N. Taylor, CODATA Recom-mended Values for the Fundamental Physical Constants: 2002, publicerad i Review ofModern Physics 77, 1 (2005).
31