ECUACIONDELCALORuy= a22ux2S.a:u(x, 0) = (x)u(0, y) = 0 = u(L, y)Soluci ondel problemau(x, y) = X(x).Y (y) uy= X.Y 2ux2= X.Y X.Y= a2X.YYY= a2XX= 2ICaso:2> 0 YY= 2_YY=_2lnY = 2+ kY = Ae2y, A R a2XX= 2X2a2= 0r2(a)2= 0r = a X= Beax+ Ceax, B, C RLuego:u(x, y) = ABeax+2y+ ACeax+2yhaciendoAB= M1 R, AC= M2 R u(x, y) = M1eax+2y+ M2eax+2yusandolascondicionesdefrontera:u(0, y) = M1e2y+ M2e2y= 0 (M1 + M2) e2y..=0= 0 M1 + M2= 0M1= M2u(L, y) = M1eaL+2y+ M2eaL+2y= 0= M2eaL+2y+ M2eaL+2y= 0M2 (eaL+2yeaL+2y). .=0= 0 M2= 0TenemosM1= M2= 0 lasolucionestrivialIICaso:2= 0 YY= 0 Y= 0 Y = k, k R a2XX= 0 X= 0 X = mx + n, m, n RLasoluciones:u(x, y) = (km)x + (kn), k, m, n RUsandolascondicionesdefrontera:u(0, y) = kn = 0u(L, y) = (km)L + kn = 0(km)L + 0 = 0(km) L..=0= 0 km = 0lasolucionestrivial.IIICaso:2< 0 1a2YY= 2_YY= _a22lnY = (a22)y + k, k RY = Aea22y, A R XX= 2 X+ 2X = 0 X = Bcos(x) + Csen(x), B, C RLuego,tenemos:ParaX: X= Bcos(x) + Csen(x)Evaluamoslacondici ondefrontera: u(0, y) = B= 0 B= 0 u(L, y) = Csen(L) = 0 sen(L) = sen(n), n N L = n =nLPorelprincipiodesuperposicion:Xn= Cnsen(nLx) (1)Porotrolado:(2< 0)(DelamismamaneraqueparaX) Yn= Anea2(nL)2y(2)Luego,lasolucionsera:(De(1)y(2))u(x, y) = X.Y= Xn.Yn=

n=0un(x, y) un(x, y) =

n=0Dnea2(nL)2ysen(nLx), dondeDn= An.Cn(3)HallamoslaconstanteDnUsandolascondicionesinicialesu(x, 0) = (x) =

n=0Dnsen(nLx) sen(nLx)(x) =

n=0Dnsen2(nLx)_L0sen(nLx)(x)dx =

n=0Dn_L0sen2(nLx)_L0sen(nLx)(x)dx =

n=0Dn(L2) Dn=2L_L0(x)sen(nLx)dx (4)Luegoreemplazamos(4)en(3)tenemos:un(x, y) =

n=0_2L_L0(x)sen(nLx)dx_ea2(nL)2ysen(nLx)