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APLICACIONES DE INTEGRALES TRIPLESTRANSCRIPT
APLICACIONES DE INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES Erika Pilco, Luis Fonseca, Marco Asan, David Quevedo, Fernando Tituaa. Escuela de ingeniera mecnica, ESPOCH Riobamba, [email protected]@hotmail,[email protected]@gmail.com
Resumen:La integracin de funciones de varias variables es una herramienta muy til para el clculo de volmenes, reas, centros de masa, momentos, etc. La resolucin de ejercicios utilizando el mtodo de coordenadas polares nos permite simplificar procesos y obtener una respuesta mucho ms segura. I. INTRODUCCIN:Al momento de resolver integrales dobles en coordenadas cartesianas se tornan complejas, debido a esto es mucho ms factible resolver dichas integrales utilizando coordenadas polares. Para resolver las aplicaciones de coordenadas polares tomamos en cuenta que las mismas son anlogas a las aplicaciones de coordenadas rectangulares; ya que en este caso parametrizamos las funciones cartesianas con (r,).II. DESARROLLO DE CONTENIDOS: 1. Integrales dobles en coordenadas polares: Este sistema generalmente se usa para una regin formada por sectores circulares, y tambin para resolver de manera mucho ms sencilla problemas planteados en coordenadas cartesianas. En este caso se considerara la regin D acotada por: y b
Fig.1 Integrales dobles en coordenadas polares.2. Aplicaciones de integrales dobles en coordenadas polares:Las integrales dobles tienen gran aplicacin en el clculo, sean estas: Clculo de reas:El rea de una regin D; est dada por:
Clculo de volmenes: El volumen de una superficie Z= f(x,y) sobre una regin D, el volumen V del solido bajo esta superficie y sobre D est dada por:
Ahora para el clculo de masa, centro de masa, momento de inercia y radio de giro. Consideraremos las superficies como lminas, siendo estas de densidad constante o variable. La densidad viene dada por: Clculo de masa:La masa de una placa de regin D se obtiene con:
Clculo de primeros momentos: Los primeros momentos se obtienen con la siguiente expresin:
Momento de masa con respecto al eje x:
Momento de masa con respecto al eje y:
Calculo del centro de masa:El centro de masa es el punto donde el sistema se encontrar en equilibrio. Y est dado por:
Momentos de Inercia: El momento de inercia es la medicin de la resistencia al cambio en el movimiento de rotacin. Y viene dado por:
Momento de inercia respecto al eje y:
Momento de inercia respecto al eje x:
Clculo del radio de giro: El radio de giro de una lmina respecto a un eje (x o y) es la distancia desde x o y a un punto de la lmina en el que puede ser concentrada su masa sin afectar su momento de inercia con respecto a x o y. Esto significa que la masa m se concentra en un eje con distancia r de la misma. Y se la calcula:
III. CONCLUSIONES:Las integrales dobles en coordenadas polares son de vital importancia en la resolucin de ejercicios, ya que me permiten calcular reas, volmenes, centros de masa, momentos de inercia. Este sistema coordenado me permite simplificar y agilizar el proceso de resolucin, ya que solo basta parametrizar en las funciones y ubicar correctamente los lmites de integracin. IV. RECOMENDACIONES:Al momento de resolver ejercicios de integrales dobles con el sistema de coordenadas cartesianas hay ocasiones en las que al hallar los lmites de integracin estas integrales no son muy fciles ni sencillas de resolver. Debido a esto es muy recomendable integrar estas funciones utilizando el sistema de coordenadas polares ya que al parametrizar con se nos facilita hallar los lmites de integracin y a su vez su resolucin. V. REFERENCIAS:[1] G.B. Thomas, Clculo varias variables, undcima ed., Pearson educacin, Ed. Mxico, 2005.[2] L. Chvez, Anlisis matemtico II, 1ra ed., Riobamba, 2013.
ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DE CHIMBORAZO.
FACULTAD DE MECNICA.
ESCUELA DE INGENIERA MECNICA.
ANLISIS MATEMTICO II.
APLICACIONES DE INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES
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Pilco Erika. Luis Fonseca. David Quevedo.
Fernando Tituaa. Marco Asan.
FECHA DE ENTREGA: 2014-12-17