Formation CECP D-200

Apprendre les fractions

par le jeu

Thierry ILIAENS & Philippe NULENS

A l’initiative de M. A. DECERF, Echevin de l’Enseignement

et de la Petite Enfance à Seraing

2

Introduction

A l’origine d’un travail de recherche de la liaison primaire-secondaire de Seraing, cette formation a rapidement pris une tournure ludique afin d’être le plus facilement possible applicable dans les classes du primaire. Maintes fois remise sur le métier, cette dernière n’aura certainement jamais de version définitive et ... tant mieux ! Car ce type de travail ne s’achève surement jamais, il se complète petit à petit par des recherches et des échanges. D’une façon générale, nous l’avons voulu amusant, concret et ‘clef sur porte’ car nous savons que ce que les enseignants recherchent est quelque chose d’exploitable ‘tel quel’ avec une petite touche personnelle.

Le découpage des séquences de ce fichier est chronologique. Elles peuvent être abordées dès le degré moyen du cycle primaire et se poursuivre jusqu’aux premières années du cycle supérieur. Ce livret comporte une approche des fractions de manière générale ainsi qu’un premier jeu de dominos dont les représentations se retrouvent dans les autres jeux. On y trouvera également diverses évaluations permettant de situer les enfants dans leur apprentissage. Un second fichier est disponible en téléchargement. Celui-ci comporte les jeux qui vous sont présentés ici en couleur, directement imprimables. Une annexe est également téléchargeable. Elle comporte des variations à la situation initiale qui peuvent servir de point de départ, d’exercices, de différenciation ou également d’évaluation.

Nous souhaitons que ce travail vous aide et vous facilite la tâche dans vos leçons de tous les jours.

Les formateurs

3

Sommaire

� Partie théorique

o Les différents types de nombres

o La notion de fractionnement

o Les représentations diverses d’une fraction

� Classement sur Harry Potter et ses sorciers

o Fiche 1 - Identifier des fractions équivalentes

o Fiche 2 - Comparaison et étalon commun

� Jeu des dominos

o Fiche 3 - Associer des fractions équivalentes

o Fiche 4 - Evaluation

o Fiche 5 - Le Jeu des dominos

� Du concret au semi-concret

� Du semi concret à l’abstrait

� De l’abstrait à l’abstrait

o Ordination et famille de fractions

o Evaluation sommative

o Exercices différenciés sur les dominos

________________________

4

Les différents types de nombres

Situation de départ Les enfants reçoivent un tableau comportant des nombres et des représentations nécessitant ou non des nombres. Il leur est demandé d’entourer les nombres et non les représentations. La correction est réalisée en commun. Chaque cas où ce n’est pas un nombre qui est représenté est expliqué si possible par les enfants, sinon par l’enseignant qui met les enfants sur la voie.

Différentes écritures pour un même nombre En nous servant du tableau de départ, nous recherchons les différentes écritures possibles pour un même nombre. Nous prenons le nombre 12 en exemple.

ECRITURE NUMERIQUE ECRITURE NUMERALE REPRESENTATION

FIGURATIVE

12 Douze

XII Twelve – twaalf – dodici

Un seul nombre mais des expressions synonymes

10 + 2 2 x 6 24 / 2 144

Nous essayons de représenter d’autres nombres en utilisant les 3 représentations différentes.

Différencier nombre décimal et nombre à virgule Une nouvelle suite de nombre est maintenant proposée aux enfants. De nouveau, ils essayent de les classer en deux catégories différentes qu’ils devront expliquer.

7/5 1/3 11/10 -4/3 3/44 0,75 0,375

2/7 - ½ 40/13 -4/17 2/10 2/9 1/19

Plusieurs propositions sont écoutées. Les critères de tri valables sont reconnus mais s’ils ne correspondent pas au classement désiré, ils sont mis sur ‘le côté’. S’ils ne trouvent pas, nous portons leur attention sur le dénominateur des fractions. Il convient donc de classer les nombres (ou fractions) en deux groupes :

� Le premier sera celui des nombres décimaux et des fractions dont le dénominateur est

un multiplie ou un diviseur de 10. C’est l’ensemble des nombres décimaux � déci = 10.

� Le second sera celui où les fractions ne comportent pas de dénominateur qui soit un multiple ou un diviseur de 10. C’est l’ensemble des nombres à virgule.

5

Les ensembles Les ensembles sont réalisés au tableau. Les ensembles des nombres sont recréés sur base des ensembles des nombres à virgule et des nombres décimaux. A chaque nouvel ensemble, les ensembles sont définis.

ND : ensemble des nombres décimaux. NV : ensemble des nombres à virgule. N : ensemble des nombres naturels. Z : ensemble des nombres entiers. Q : ensemble des nombres rationnels. R : ensemble des nombres réels.

Nous arrivons à la représentation suivante :

6

Le classement des nombres

Entoure les nombres en vert mais pas les représenta tions !

999 5 57 avant JC

11% 100 W (54 )²

deuxième 8 octets 3.1416…

12

20 16bis

0,001 0,318181… 290 RU

Seven I I I I 0

0497/32.45.43 1.5

π

5 Page 20

5° 50 51

Quelques clarifications

ECRITURE NUMERIQUE ECRITURE NUMERALE REPRESENTATION

FIGURATIVE

12 Douze

XII Twelve – twaalf – dodici

Un seul nombre mais des expressions synonymes

10 + 2 2 x 6 24 / 2 144

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Différencier nombre décimal et nombre à virgule NOMBRE DÉCIMAL = NOMBRE RATIONNEL LIMITÉ

C’est un nombre qui peut toujours s’écrire sous la forme d’une fraction ayant 1, 10, 100, 1000, …, 10n comme dénominateur.

NOMBRE À VIRGULE = NOMBRE RÉEL ÉCRIT AVEC UNE VIRGULE

Il s’agit d’une forme d’écriture de nombre. NOMBRE FRACTIONNAIRE = NOMBRE S’ÉCRIVANT SOUS LA FORME DE FRACTION.

exemple tiré de « Didactiques des mathématiques » de S. CROCHET et A. HARDY

8

Il est clair que le meilleur moyen d’apprendre les fractions est de

les utiliser dans des situations concrètes afin de créer un réel

concept chez l’enfant. Néanmoins, dans une étude pl us

‘systématique’, les fractions peuvent s’envisager c omme des

nombres et leur étude peut laisser apparaître un ce rtain parallèle.

La notion de fractionnement Ce que demandent les socles de compétences

I II III

Fractionner des objets en vue de les comparer. C C E Composer deux fractionnements d’un objet réel en se limitant à des fractions dont le numérateur est un (par exemple prendre le tiers ou le quart d’un objet).

� C Additionner et soustraire deux grandeurs fractionnées. C E Calculer un pourcentage. C E Résoudre des problèmes simples de proportionnalité directe. � C E Dans une situation de proportionnalité directe, compléter, construire, exploiter un tableau qui met en relation deux grandeurs.

C C Reconnaître un tableau de proportionnalité directe parmi d’autres. � C Déterminer le rapport entre deux grandeurs, passer d’un rapport au rapport inverse. � C Ligne de conduite dans l’étude des fractions :

• La fraction est un concept qui s’intègre dans toutes les matières

mathématiques. • Découvrir les portions, le fractionnement d’objets. • Détacher les fractions de leurs supports habituels (multiplier les situations). • Fractionner empiriquement (obtenir des parts égales).

A partir de cela, des concepts se mettent en place :

• Le rapport entre le tout et la partie, • Une permanence de la valeur relative de la fraction, • L’équivalence de certaines fractions.

9

Pour nous, cela va de soi, mais pour certains enfants, il faut tenir compte de ceci : La fraction peut être un opérateur d’une quantité continue (un seul objet : ¼ de tarte) mais également d’une quantité discontinue (plusieurs objets : ¼ de 20 pommes).

par rapport à

Lorsque l’on passe à des fractions dont le dénominateur n’est plus « 1 », on doit rapidement mettre en évidence la réciprocité des opérations .

ou Tout comme le nombre, la fraction peut s’utiliser en comptage structurant :

- compter par : ½ ; ¼ ; 1/8 ; etc. - en montant ou en descendant, - en commençant à 0, à 2, à ¾, à ... - en verbalisant :

« si on compte par ¼, on rencontre le comptage par ½ une fois sur deux... » En tant que représentation de nombre, la fraction doit souvent (toujours) à un moment apparaître sur la droite des nombres .

10

Les représentations diverses d’une fraction Il faut absolument s’éloigner du carcan de la fraction et en dégager LA constante des variables. Pour cela, on doit travailler sur différents points :

La nature de la grandeur

Le découpage opéré sur une

même grandeur

Les dimensions de l’unité

La forme de l’unité

La position de la partie choisie

La position de l’unité de la partie

coloriée

11

Dans toutes les situations, il est indispensable de verbaliser , de varier les représentations, d’observer, d’analyser, de confron ter et de trier . Chaque hypothèse doit être vérifiée par pliage, découpage, superposition , ... Ensuite, il faut garder des traces au mur. Nous avons souvent l’habitude (voire le réflex) de travailler sur la décomposition symétrique . Mais il peut également être pratique de travailler la décomposition asymétrique .

Il est également prudent de travailler « ce qui n’est pas... »

Il est important de montrer que la fraction est immuable, quel que soit l’endroit où elle se situe. Nous avons souvent l’habitude de la présenter dans une position figée’.

un quart d’heure un quart

12

Finalement, nous arriverons par parler des dixièmes et des centièmes. Dans chacun de ces cas, il conviendra de ne pas brûler les étapes et de valoriser les représentations ainsi que les équivalences entre fractions mais également avec les nombres décimaux et les pourcentages.

Ceci est une synthèse rapide et non exhaustive des points importants à ne pas oublier dans l’étude des fractions. Il vous conviendra d’y apporter votre touche personnelle... La théorie et les dessins présentés dans cette partie didactique sont issus de la formation de monsieur Hardy, Inspecteur de l’enseignement.

13

Une approche globale des fractions : des résultats à comparer

Fiche 1

Identifier des fractions équivalentes

Analyse en groupe

Groupés par 3 ou 4, les enfants reçoivent une fiche représentant les résultats de sorts lancés par Harry Potter et ses amis. Ils sont libres d’échanger leurs idées pendant quelques minutes. Ensuite, ils chercheront à représenter leur sondage respectif différemment. Ils ne devront pas consulter les représentations des autres groupes afin de ne pas être influencés.

Mise en commun

Les représentations des 6 sorciers sont alors affichées au TN. Les enfants viennent expliquer aux autres groupes ce qu’ils ont déduit de leur propre fiche et la représentation qu’ils ont choisie pour la représenter autrement. Cet échange peut donner lieu à une discussion ou une remédiation immédiate si besoin est.

Matériel

� Fiche informative par atelier. � Matériel différencié pour l’enfant pour représenter (lignes, quadrillages ou

vierges).

Objectifs

� Donner, d’une même fraction, différentes représentations. � Identifier deux fractions équivalentes par dessin et pas calcul.

Compétences

� M18 : Ecrire des nombres sous une forme adaptée (entière, décimale ou fractionnaire) en vue de les comparer, de les organiser ou de les comparer.

� M57 : Dans un rapport de proportionnalité directe, compléter, construire, exploiter un tableau qui met en relation deux grandeurs.

14

Sondage : Le meilleur des sorciers

Fiche 1

Harry Potter et ses amis lancent des sorts pour s’entraîner. Ils cherchent

ensuite celui qui est le meilleur. Classe-les pour répondre à cette question.

Harry :

Ron :

��������

Hermione :

10 sur 12

Drago :

2 sorts réussis sur 6

Neuville :

24

4

Luna :

15

Fiche 2a, 2b, 2c

Comparaison et étalon commun

Un tapis commun (observation horizontale – fiche 2a )

Nous utilisons le tapis qui leur est fourni pour représenter les fractions données. Oralement nous dressons déjà un comparatif des fractions. Nous pouvons déjà les comparer grâce à la ‘longueur’ qu’elles représentent et nous pouvons déjà comparer des fractions équivalentes comme 1/3 et 2/6.

Une représentation commune

Qui est le meilleur ? Il est, à ce stade impossible d’y répondre ! Pourquoi ? Car certains ont réalisé 4 essais, d’autres 12 ou 6 ... Qu’aurait-il fallu pour pouvoir les comparer ? Qu’ils effectuent tous le même nombre d’essais. Les enfants émettent des hypothèses sur le moyen que nous pourrions utiliser pour résoudre notre petit problème. Nous choisissons maintenant un étalon commun. Imaginons qu’ils aient réalisé le même nombre d’essai. Nous prenons comme référence le sorcier qui a effectué le plus grand nombre de tentatives � 24.

Sondage Modification

Harry ¾ X6 18/24

Ron 4/8 X3 12/24

Hermione 10/12 X2 20/24

Drago 2/6 X4 8/24

Neuville 4/24 X1 4/24

Luna 1/3 X8 8/24

Une représentation dessinée (fiche 2b)

Maintenant que nous avons représenté les essais sur une base commune, les enfants représentent les fractions sous forme dessinée sur un rectangle de 4 carrés sur 6. Une feuille leur est donc fournie où ils représentent chaque sorcier.

Représentation en histogramme (observation vertical e – fiche 2c)

Les enfants se servent maintenant de l’histogramme vierge qui leur est donné pour représenter les magiciens dans l’ordre. Ils utilisent pour cela le tableau où nous avons réduit les fractions au même dénominateur. Un correctif leur permettra de vérifier leur production et de la corriger au besoin.

16

Variations

En exercices de dépassement, les enfants peuvent calculer quelles seraient les fractions si, à la place d’avoir effectué 24 essais, on l’avait fait avec 48. Cet exercice est corrigé par le maître.

Sondage Modification

Harry ¾ X ... .../48

Ron 4/8 X ... .../48

Hermione 10/12 X ... .../48

Drago 2/6 X ... .../48

Neuville 4/24 X ... .../48

Luna 1/3 X ... .../48d

Synthèse orale

Grâce aux différentes représentations et calculs effectués, il nous est possible de classer les sorciers dans l’ordre.

Matériel

� 1 tapis vierge par élève (fiche 2a). � Un tapis plus grand pour l’enseignant avec des bandes de couleur

préparée par sorcier (à coller). � Les fiches 1 (représentations des enfants).

Objectifs

� Trouver un étalon pour pouvoir comparer les différentes fractions et les classer.

� Construire une fraction équivalente à une fraction donnée. � Simplifier une fraction.

Compétences

� M57 : Dans un rapport de proportionnalité directe, compléter, construire, exploiter un tableau qui met en relation deux grandeurs.

17

Conclusions de la recherche Fiche 2a

REPRÉSENTATIONS PAR « BANDES » ET

CLASSEMENT DES 6 SORCIERS

UNITE

18

Représentation dessinée Fiche 2b

Harry Ron

Hermione

Drago

Neuville

Luna

19

Représentation sous forme d’histogramme Fiche 2c

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Ha R He D N L

20

Possibilités alternatives au classement des sorcier s

Plus facile Des élèves effectuent des lancés francs au panier du gymnase de l’école. Après coup, ils se disputent pour savoir lequel a été le meilleur. Aide-les à trouver le

classement.

Ludovic

����������

Arnaud

12 sur 20

Marc

4 paniers réussis

sur 5 lancés.

Hélène

Résultats des joueurs

Classement :

1er �……………………. 2ème �…………………….

3ème �………………….. 4ème �…………………….

21

Jeu de dominos

22

Fiche 3a et 3b

Associer des fractions équivalentes

Reconnaissance Les fiches sont mélangées et retournées en un paquet en fonction de leur couleur. Tour à tour, les élèves prennent une fiche et les placent au tableau après en avoir énoncé la fraction représentée. Une correction éventuelle et une fraction équivalente sont à chaque fois proposées par le restant de la classe en veillant à faire participer un maximum d’élèves. La même démarche est réalisée avec la seconde pile de fractions.

Associations L’enseignant propose aux enfants de rechercher une association entre deux fiches de couleur différente. Plusieurs associations sont possibles ; soit par fractions identiques, soit par fractions équivalentes. La première association réalisée par les enfants déterminera la tournure du jeu. Les enfants proposent alors des associations et viennent déplacer les fractions pour les faire correspondre.

Variations Une fois toutes les associations réalisées, nous passons à la seconde possibilité et réalisons la même démarche.

Matériel � 28 fiches bleues cartonnées � moitié vierge / moitié dessinée (objets). � 28 fiches vertes cartonnées � moitié vierge / moitié « quadrillage ». � Ces fiches sont à agrandir au format A5 suivant le modèle des fiches

5a et 5b.

Objectifs � Maîtriser la notion de fractions. � Enoncer la fraction correspondant : a) à des représentations dessinées b) à des « quadrillages » � Associer les représentations équivalentes

Compétences

23

Fiche 3a

24

Fiche 3a

25

Fiche 3b

26

Fiche 3b

27

Fiche 4

Evaluation

Objectifs � Evaluation formative individuelle. � Faire correspondre les fractions équivalentes (en colonne).

Matériel La fiche 4 pour chaque élève.

Déroulement � Travail individuel des enfants. � Correction par l’enseignant � il faut prévoir une remédiation avec un retour au

concret et prévoir un « dépassement » (invention d’un exercice semblable sur une feuille préparée).

28

FRACTIONS – EQUIVALENCE – Différentes représentatio ns Fiche 4

29

Fiches 5a, 5b et 5c

Le jeu des dominos

Déroulement Les enfants sont installés par équipe (3 maximum). On délègue dans chaque équipe, un responsable (pour aller chercher le matériel) + un élève pour compléter le tableau « défi ». Explication du règlement.

Règlement : Parmi les 3 séries proposées, il faut en choisir une. Distribution des dominos : 9 par élève et 1 de départ (à adapter suivant le nombre d’élèves). Les enfants bouclent la série ; la manière de jouer peut varier. Une fois le jeu terminé, il faut compléter le tableau récapitulatif.

Remarques : L’enseignant vérifie et corrige éventuellement. On recommence avec les autres séries. Dès qu’une équipe a rempli son contrat, elle apporte de l’aide aux autres équipes. Dès qu’un jeu est terminé, on le range avant de continuer.

Matériel � Trois séries de dominos dont deux de 28 et une de 24 � modèles : fiche 5a,

5b, 5c (à construire en travail manuel �plusieurs séries). � Tableau « défi » facultatif (outil d’évaluation pour le maître et l’enfant) : tableau

à double entrée � en abscisse les numéros de série � en ordonnée les numéros des équipes

Objectifs � Jongler avec les nombres dans leurs différents aspects et dans leur

symbolisation chiffrée. � Comparer des fractionnements. � Donner du sens à l’écriture de la fraction sous forme N/D. � Comparer des fractions de même dénominateur, de même numérateur.

Attention, la troisième série ne se boucle pas !

30

Première série de domino : du concret au semi-concr et Fiche 5a

31

Fiche 5a

32

Seconde série de domino : du semi-concret à l’abstr ait Fiche 5b

33

Fiche 5b

34

Troisième série de domino : de l’abstrait à l’abstr ait Fiche 5c

35

Fiche 5c

36

Fiche 6a, 6b et 6c

Ordination et familles de fractions

Déroulement Les enfants travaillent en atelier � 2 ateliers avec un matériel plus concret

� Les autres ateliers avec les fiches et les cartons.

Les enfants placent les fractions sur les deux portions de droite. Ils classent les fractions par familles. Ils peuvent inventer des fractions à classer dans chaque famille. L’enseignant corrige avec les deux transparents (fiches 6a et 6b). On représente les familles sur un matériel didactique présent dans la classe. Certaines fractions peuvent être transformées en nombres décimaux et en pourcentages.

Matériel � Trois fiches 6a,6b et 6c.

Objectifs � Sérier des fractions sur une portion de droite numérique. � Comparer des fractions entre elles. � Comparer des fractions avec l’unité.

37

Fiche 6a

12

22

14

24

34

44

28

38

48

68

416

616

816

1216

13

23

16

26

36

46

39

69

212

312

412

612

812

912

12

22

14

24

34

44

28

38

48

68

416

616

816

1216

13

23

16

26

36

46

39

69

212

312

412

612

812

912

12

22

14

24

34

44

28

38

48

68

416

616

816

1216

13

23

16

26

36

46

39

69

212

312

412

612

812

912

Plusieurs jeux de fractions sont fournis sur cette page.

38

0 1

39

1 0

40

Fiche 6b

0 1

12

14

24

22

34

44

28

48

68

312

612

912

416

816

1216

41

1 0

13

16

26

36

23

46

39

69

212

412

812

42

Grâce à la synthèse que j’ai construite, maintenant je peux : Trouver les égalités

12 =

…....... =

…....... =

….......

14 =

…....... =

…....... =

….......

34 =

…....... =

…....... =

….......

13 =

…....... =

…....... =

….......

23 =

…....... =

…....... =

….......

43

Ecrire le rapport entre les fractions

12 =

24 =

48 =

612

14 =

28 =

312 =

416

34 =

68 =

912 =

1216

44

Grâce à la synthèse que j’ai construite, maintenant je peux : Trouver les égalités (réponses)

12 =

24 =

48 =

612

14 =

28 =

312 =

416

34 =

68 =

912 =

1216

13 =

26 =

39 =

412

23 =

46 =

69 =

812

45

Ecrire le rapport entre les fractions (réponses)

12 =

24 =

48 =

612

14 =

28 =

312 =

416

34 =

68 =

912 =

1216

X 6

X 4

: 2

: 4

: 4

: 2

: 2

: 2

X 2

X 2

X 3

X 3

X 4 X 6

X 2

X 2

46

Fiche 7

Evaluation sommative

Déroulement Chaque élève travaille avec sa fiche : choisir 20 exercices sur 24 � l’enfant est autonome et il choisit en fonction de ses aptitudes et du moment. L’enseignant corrige et selon les résultats obtenus, procède à des remédiations (retour aux fiches précédentes). Dépassement éventuel avec moyenne de la classe au départ des résultats obtenus et diagramme cartésien.

Matériel � Trois fiches : 7a, 7b et 7c

Objectifs � Evaluer les compétences acquises suite aux activités. � Evaluer avec une différenciation au point de vue des exercices et au point de

vue de la cotation.

47

Jeu de domino – Exercices différenciés

Tu choisis 20 exercices sur les 24 proposés

A Exercice de base ���� (1 point)

1 Relie les fractions identiques

2 Complète les séries

……

…….

3 Complète les dominos pour respecter l’équivalence

…..

…..

…..

4 Dis si les fractions sont équivalentes : Ecris = ou ≠≠≠≠

3

2

…….

6

3

…….

2

1

……. 4

1

…….

10

9 …….

100

90 …….

12

9 …….

4

3 …….

16

6 …….

8

4 …….

40

25 …….

8

5 …….

96

……. 18

10 …….

120

18 …….

200

36 …….

……

……

……

48

5 complète les simplifications

24

12 =

8

... …….

100

75 =

4

... …….

6 Entoure la fraction équivalente à la fraction ent ourée

10

3

30

10 200

30 20

6 ……

4

1

16

7

20

5

12

4

……

B Exercice ���� ���� (2 points)

1. Groupe les fractions équivalentes.

8

4

6

3

5

1

12

4

10

5

6

2

2

1

9

3

…….

2. Entoure l’intrus dans la série suivante :

16

6 80

30 32

16 56

21 24

9 …….

C Exercice ���� ���� ���� (3 points)

1. Situe ces fractions sur la droite 2

2 8

3 4

1 16

8

…..

2. Chez « Pizza-Express » Pizza Margherita ………. 6 €

8

1 …………………….. 1 €

4

1 …………………….. 1,75 €

2

1 …………………….. 3 €

Jean veut acheter ¼ de pizza pour lui et ¼ pour son frère.

Ecris ce que tu lui conseilles de conseille de commander et explique pourquoi.

................................................................................................................................……

0 1

SCORE : …… points