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[Versión 30 de junio de 2019]

Formas Diferenciales e Integración en Variedades

Alejandro Jiménez Cano 1

ResumenNotas y convenios personales, así como recopilación de fórmulas útiles so-bre álgebra exterior. Todos los resultados, debidamente ordenados, están de-mostrados. Se incluyen también algunos ejemplos.

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A. Jiménez-Cano. Formas Diferenciales e Integración en Variedades (Version: 30 June 2019).

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Índice 2

Índice

1. Notación, convenios y comentarios previos 3

2. Notas previas sobre formas multilineales 52.1. Producto exterior de formas multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Formas diferenciales. Definiciones básicas 73.1. Derivada exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Derivada o producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3. Derivadas exterior e interior. Derivada de Lie de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4. Forma de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Dual de Hodge. Definción y propiedades básicas 18

5. Fórmulas útiles para la manipulación de expresiones en el lenguaje de formas diferenciales 205.1. Dual de Hodge y productos exterior e interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1.1. Producto exterior de una forma por el dual de Hodge de otra del mismo orden . 205.1.2. Dual de Hodge de un producto exterior VS producto interior de un dual de

Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.1.3. Dual de Hodge de un producto interior VS producto exterior por un dual de

Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2. Dual de Hodge y derivada exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6. Teorema de Stokes 29

7. Derivada exterior adjunta, laplaciano y formas armónicas 307.1. Producto escalar de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.1.1. Producto escalar de formas básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.1.2. Producto escalar de formas y determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.2. Producto escalar L2 de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3. Derivada exterior adjunta (codiferencial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.4. Operador de Laplace-de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.5. Caso con métrica Riemanniana. Descomposición de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8. Pullback de formas 37

9. Formas álgebra-valuadas 399.1. Corchete de formas álgebra-valuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.2. Derivada exterior de formas álgebra-valuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Referencias 40

A. Apéndice 40

2 Alejandro Jiménez Cano

1 Notación, convenios y comentarios previos 3

1. Notación, convenios y comentarios previos

p Simetrización y antisimetrización de índices:

H(µ1...µk) ≡1

k![Hµ1µ2...µk +Hµ2µ1...µk + ...] , H[µ1...µk] ≡

1

k![Hµ1µ2...µk −Hµ2µ1...µk + ...] .

(1.1)

p SeaM una variedad diferenciable de dimensión D.

p Sean ∂µ y dxµ las bases del tangente y del cotangente (duales) respecto a un cierto atlas xµ.Consideremos el cambio a una base arbitraria (¡no necesariamente ortogonal!):

ea = eaµ∂µ , ϑa = eaµdxµ . (1.2)

Con la base general de formas ϑa vamos a enunciar una serie de propiedades y haremosdefiniciones que podrán reducirse a la base de coordenadas sin más que tomar el caso particu-lar ϑa = δaµdxµ. Todo lo que afirmemos para ϑa será igualmente válido para los objetos dxµ.Distinguiremos una base de la otra por los índices, en un caso griegos y en el otro latinos.

p Notación para abreviar:

dx⊗µνρ... ≡ dxµ ⊗ dxν ⊗ dxρ ⊗ ... ϑ⊗abc... ≡ ϑa ⊗ ϑb ⊗ ϑc ⊗ ... (1.3)

dxµνρ... ≡ dxµ ∧ dxν ∧ dxρ ∧ ... ϑabc... ≡ ϑa ∧ ϑb ∧ ϑc ∧ ... (1.4)

p Consideremos que la variedad está equipada con una métrica g con signatura arbitraria y cu-yo determinante denotaremos g. El signo de dicho determinante viene dado por sgn(g) ≡(−1)Ind(g) donde Ind(g) es el índice de la métrica.2 La métrica y su métrica inversa g−1, indu-cida en el cotangente, se expresan en las bases dadas:

g = gµνdxµ ⊗ dxν = gabϑa ⊗ ϑb , g−1 = gµν∂µ ⊗ ∂ν = gabea ⊗ eb ,

que cumplen gabgbc = δca y gµνgνρ = δρµ.

p Criterio de índices. Las métricas suben y bajan índices, y los vielbein (componentes de los ele-mentos de las bases anholónomas) transforman índices de un tipo a otro:

gµνHµ ≡ Hν , gµνHµ ≡ Hν , (1.5)

eaµHµ ≡ Ha , eaµHa ≡ Hµ , ea

µHµ ≡ Ha , eaµHa ≡ Hµ . (1.6)

p Se definen los coeficientes de anholonomía como los corchetes de Lie de los elementos de la base:

Ωbca := − [eb, ec]

a= −

(2e[b

ρ∂|ρ|ec]λ)eaλ ⇒

(ebµe

cνΩbc

a ≡)

Ωµνa := 2∂[µe

aν] . (1.7)

p Sea Γµνρ una conexión arbitraria en la variedad con derivada covariante ∇µ. En la base anholó-

noma:ωµa

b = eaνebρΓµν

ρ + ebλ∂µeaλ , (1.8)

Esto implica∇µeaν = 0 = ∇µeaν .La torsión y la no-metricidad de la conexión vienen dadas por:

Tµνρ := 2Γ[µν]

ρ ⇒ (eaρTµνρ ≡) Tµν

a = 2ω[µ|baeb|ν] + Ωµν

a , (1.9)Qµνρ := −∇µgνρ ⇒ (ea

νebρQµνρ ≡) Qµab = −∇µgab . (1.10)

2Índice de una métrica: número de (−1)’s que aparecen en la diagonal de la forma reducida (via ley de inercia de Sylvester)de la matriz de componentes de la métrica


1 Notación, convenios y comentarios previos 4

y su curvatura (tensor de Riemann, tensor de Ricci y escalar de Ricci, respectivamente):

Rµνρλ := 2∂[µΓν]ρ

λ + 2Γ[µ|σ|λΓν]ρ

σ ⇒(ebλea

ρRµνρλ ≡)

Rµνab = 2∂[µων]a

b + 2ω[µ|c|bων]a

c ,(1.11)

Rµν := Rµλνλ , (1.12)

R := Rµνgµν . (1.13)

A la conexión de Levi-Civita (torsión y no-metricidad nulas) y sus objetos relacionados los deno-taremos Γµν

ρ, ωµab, ∇µ, Rµνρλ,...

p Si introducimos la forma de conexión y su derivada exterior covariante asociada:

ωab := ωµa

bdxµ , (1.14)

Dαa...b... := dαa...

b... + ωcb ∧αa...c... + ...− ωac ∧αc...b... − ... , (1.15)

definimos las formas de curvatura, torsión y no-metricidad como

Rab := dωa

b + ωcb ∧ ωac ≡ 1

2Rµνa

bdxµ ∧ dxν , (1.16)

T a := Dϑa ≡ 1

2Tµν

adxµ ∧ dxν , (1.17)

Qab := −Dgab ≡ Qµabdxµ . (1.18)


2 Notas previas sobre formas multilineales 5

2. Notas previas sobre formas multilineales

En este apartado veremos resultados generales para cualquier espacio vectorial (no necesariamen-te el tangente a la variedad considerada). Consideremos ea y ϑa bases, duales entre sí, de V y elespacio dual de V , respectivamente.

p Sea V un espacio vectorial finito sobre un cuerpo K (C o R). Una forma multilineal (o tensorcovariante) de orden s es una aplicaciónA : V × s veces... × V −→ K .

p A las formas multilineales con s = 1 se las llama 1-formas y generan el dual de V . Sea ϑa unabase de 1-formas.

p Mediante el producto tensorial de formas se construyen formas de orden mayor. Así pues, untensor covariante de orden s se expande en la base:

A = Aa1...asϑ⊗abc... , ϑ⊗abc... ≡ ϑa ⊗ ϑb ⊗ ϑc ⊗ ... (2.1)

2.1. Producto exterior de formas multilineales

Producto exterior de dos formas multilineales

Dados dos tensores covariantes, uno α de orden k y otro β de orden l, se define su productoexterior o cuña (wedge) como el tensor (k + l)-covariante que actúa:

(α ∧ β)(v1, ..., vk+l) :=1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)α(vσ(1), ..., vσ(k))β(vσ(k+1), ..., vσ(k+l)) , (2.2)

donde Sk+l representa el grupo simétrico de (k + l)! elementos (el grupo de permutaciones de k + lobjetos), y sgn(σ) es el signo de la permutación σ (un menos por cada transposición para conectarlacon la identidad).

Veamos las componentes de este tensor en la baseϑ⊗a1...ak+l ≡ ϑa1 ⊗ ...⊗ ϑak+l

Dai=1

del espaciotensorial:

(α ∧ β)(ea1 , ..., eak+l) =1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ) α(eσ(a1), ..., eσ(ak)) β(eσ(ak+1), ..., eσ(ak+l))

=1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ) ασ(a1)...σ(ak)βσ(ak+1)...σ(ak+l)

=(k + l)!

k!l!α[a1...akβak+1...ak+l] (2.3)

o sea,

α ∧ β =(k + l)!

k!l!α[a1...akβak+1...ak+l]ϑ

⊗a1...ak+l , (2.4)

Ejemplo 1. Producto exterior de dos 1-tensores covariantes:

(αaϑa) ∧

(βbϑ

b)

=2!

1!1!α[aβb]ϑ

a ⊗ ϑb = (αaβb − αbβa)ϑa ⊗ ϑb (2.5)

Propiedades del producto exterior

El producto exterior es bilineal (se demuestra trivialmente), anticonmutativo y asociativo. Simbó-licamente, dadosα, β, β′ y γ, respectivamente, tensores covariantes de rango k, l, l ym (cualesquiera)


2 Notas previas sobre formas multilineales 6

y λ elemento del cuerpo base, se cumplen:

α ∧ (β + β′) = α ∧ β +α ∧ β′ , (2.6)α ∧ (λβ) = (λα) ∧ β = λ(α ∧ β) , (2.7)

α ∧ β = (−1)klβ ∧α , (2.8)α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ . (2.9)

La linealidad en la primera variable se deduce de la primera y la tercera.Demostración. La bilinealidad es inmediata; para la anticonmutatividad:

α ∧ β =(k + l)!

k!l!α[a1...ak

βak+1...ak+l]ϑa1 ⊗ ...⊗ ϑak+l

=(k + l)!

k!l!β[ak+1...ak+l

αa1...ak]ϑa1 ⊗ ...⊗ ϑak+l

= (−1)kl(k + l)!

k!l!β[a1...ak

αak+1...ak+l]ϑa1 ⊗ ...⊗ ϑak+l

= (−1)klβ ∧α ,

y para la asociatividad sea γ una m-forma:

α ∧ (β ∧ γ) = α ∧(

(l +m)!

l!m!β[ak+1...ak+l

γak+l+1...ak+l+m]ϑak+1 ⊗ ...⊗ ϑak+l+m

)=

(k + l +m)!

k!(l +m)!

(l +m)!

l!m!α[a1...ak

βak+1...ak+lγak+l+1...ak+l+m]ϑa1 ⊗ ...⊗ ϑak+l+m

=(k + l +m)!

k!l!m!α[a1...ak


=(k + l +m)!

m!(k + l)!

(k + l)!

k!l!α[a1...ak


=

((k + l)!

k!l!α[a1...ak

βak+1...ak+l]ϑa1 ⊗ ...⊗ ϑak+l

)∧ γ

= (α ∧ β) ∧ γ .

Producto exterior de un número arbitrario de formas multilineales

Hemos visto en la demostración de la asociatividad que:

α ∧ β ∧ γ =(k + l +m)!

k!l!m!α[a1...akβak+1...ak+lγak+l+1...ak+l+m]ϑ

⊗a1...ak+l+m . (2.10)

En general, para cualquier familia α(1), α(2), ..., α(N) de N tensores covariantes de rangos k1, ..., kNrespectivamente, se tiene:

α(1) ∧α(2) ∧ ... ∧α(N) =s(N)!

k1!k2! ...kN !α

(1)[a1...ak1

... α(N)a1+s(N−1)...as(N)]

ϑ⊗a1...as(N) , (2.11)

donde hemos usado para abreviar, s(j) ≡ k1 + k2 + ...+ kj .

p Ejemplo. Consideremos el caso particular en el que todos los tensores covariantes involucradosson de rango 1 (k1 = ... = kN = 1):

α(1) ∧α(2) ∧ ... ∧α(N) = N !α(1)[a1

... α(N)aN ]ϑ

⊗a1...aN , (2.12)

Un subcaso interesante es aquel en el que los tensores involucrados son los elementos de la basedel dual:

ϑa1...aN ≡ ϑa1 ∧ ... ∧ ϑaN = N !ϑ⊗[a1...aN ], (2.13)y de aquí se extraen fácilmente las componentes de los tensores ϑa1...aN :

ϑa1...aN = (ϑa1...aN )b1...bN ϑ⊗b1...bN , donde (ϑa1...aN )b1...bN = N !δ

[a1b1...δ

aN ]bN

. (2.14)


3 Formas diferenciales. Definiciones básicas 7

3. Formas diferenciales. Definiciones básicas

Una forma diferencial de rango k (o k-forma) es un tensor covariante de rango k completamenteantisimétrico, αa1...ak = α[a1...ak], que, desarrollado en la correspondiente base tienen la forma:

α = αa1...akϑ⊗a1...ak =

1

k!αa1...akϑ

a1...ak . (3.1)

El conjunto de las k-formas diferenciales sobre la variedad tiene estructura de espacio vectorial quedenotaremos Ωk(M).

3.1. Derivada exterior

La derivada exterior d : Ωk(M)→ Ωk+1(M) de una k forma α se define como la (k+ 1)-forma queactúa sobre vectores V 1, ...V k+1 del modo siguiente:

dα (V 1, ..., V k+1) =k+1∑i=1

(−1)i+1V i

(α(V 1, ..., V i, ..., V k+1

))+∑i<j

(−1)i+jα(

[V i, V j ] , V 1, ..., V i, ..., V j , ..., V k+1

)(3.2)

donde la tilde ˆ representa que el elemento en dicha posición se omite. Para k = 1 se reduce trivial-mente a:

dα (V 1, V 2) = V 1 (α (V 2))− V 2 (α (V 1))−α ([V 1, V 2]) . (3.3)

De modo que:

dα = (k + 1)

[∂[a1αa2...ak+1] +

k

2Ω[a1a2

cα|c|a3...ak+1]

]︸︷︷︸

(dα)a1...ak+1

ϑ⊗a1...ak+1

= (k + 1)[∂[µ1

αµ2...µk+1]ea1µ1 ...eak+1

µk+1]ϑ⊗a1...ak+1

= (k + 1)∂[µ1αµ2...µk+1]︸︷︷︸

(dα)µ1...µk+1

dx⊗µ1...µk+1

o bien, en términos del producto exterior:

dα =1

k!

[∂a1αa2...ak+1

+k

2Ωa1a2

cαca3...ak+1

]ϑa1...ak+1

=1

k!∂[µ1

αµ2...µk+1]dxµ1...µk+1

Demostración. Ver página siguiente.

También puede expresarse, trivialmente, de forma explícitamente covariante usando cualquierconexión afín sin torsión ∇ (en, particular, la de Levi-Civita):

dα =1

k!∇[a1αa2...ak+1]ϑ

a1...ak+1 . (3.4)



Propiedades básicas de la derivada exterior

Sean α y β formas y λ1, λ2 elementos del cuerpo base. La derivada exterior satisface:

d(λ1α+ λ2β) = λ1dα+ λ2dβ , (Linealidad) (3.5)d(dα) = 0 (Nilpotencia) (3.6)

d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)k(α ∧ dβ) , con α una k − forma. (3.7)

Demostración. Trabajamos los dos términos por separado dα(ea1 , ..., eak+1

)= (1) + (2)

(1) =

k+1∑i=1

(−1)i+1eai(α(ea1 , ..., eai , ..., eak+1

))=

k+1∑i=1

(−1)i+1∂aiαa1...ai...ak+1

= ∂a1αa2...ak+1 − ∂a2αa1...ak+1 + ...+ (−1)k+2 ∂ak+1αa1...ak

= (k + 1)∂[a1αa2...ak+1]

(2) =∑i<j

(−1)i+jα([eai , eaj

], ea1 , ..., eai , ..., eaj , ..., eak+1

)=∑i<j

(−1)i+jα(−Ωaiaj

cec, ea1 , ..., eai , ..., eaj , ..., eak+1

)=∑i<j

(−1)i+j+1Ωaiajcαca1...ai...aj ...ak+1

=∑i<j

(−1)i+j+1Ωaiajcαca1...ai...aj ...ak+1

=∑i<j

(−1)(i−1)+(j−2)Ωaiajcαca1...ai...aj ...ak+1

=(k + 1)!

2!(k − 1)!Ω[a1a2

cα|c|a3...ak+1]

= (k + 1)k

2Ω[a1a2

cα|c|a3...ak+1]

Y queda:

(dα)a1...ak+1

(k + 1)= ∂[a1αa2...ak+1] +

k

2Ω[a1a2

cα|c|a3...ak+1]

= ∂[a1αa2...ak+1] − kecλ∂[a1ea2λα|c|a3...ak+1]

= ∂[a1αa2...ak+1] − k∂[a1ea2λα|λ|a3...ak+1]

= ∂[a1

(ea2

µ1 ...eak+1]µkαµ1...µk

)− k∂[a1ea2

λα|λ|a3...ak+1]

= ∂[a1

(ea2

µ2 ...eak+1]µk+1

)αµ2...µk+1 − k∂[a1ea2

λα|λ|a3...ak+1]

+ e[a1µ1ea2

µ2 ...eak+1]µk+1∂µ1αµ2...µk+1

! = ea1µ1ea2

µ2 ...eak+1µk+1∂[µ1

αµ2...µk+1]

donde en ! hemos usado

∂[a1

(ea2

µ2 ...eak+1]µk+1

)αµ2...µk+1

= ∂[a1ea2λα|λ|a3...ak+1] + ∂[a1ea3

λαa2|λ|a4...ak+1] + ...+ ∂[a1eak+1λαa2...ak]λ

= ∂[a1ea2λα|λ|a3...ak+1] + (−1)1 ∂[a1ea3

λα|λ|a2a4...ak+1] + ...+ (−1)k−1 ∂[a1eak+1λα|λ|a2...ak]

= ∂[a1ea2λα|λ|a3...ak+1] + ∂[a1ea2

λα|λ|a3...ak+1] + ...+ ∂[a1ea2λα|λ|a3...ak+1]

= k∂[a1ea2λα|λ|a3...ak+1]



Otra manera (equivalente) de definir la derivada exterior

Otra camino para llegar a la diferencial exterior es definir previamente la definición de una 0-forma como, simplemente, la parcial (df := ∂µf dxµ). Y extender a cualquier k-forma (¡ojo a que labase ha de ser de coordenadas!):

dα = d

(1

k!αµ2...µk+1

dxµ2...µk+1

):=

1

k!

(dαµ2...µk+1

)∧ dxµ2...µk+1 , (3.8)

donde en la última expresión estamos viendo αµ2...µk+1como 0-forma cuya d ya hemos definido antes.

Formas exactas, cerradas y cohomología de de Rham

p Las k-formas diferenciales con diferencial cero se llaman cerradas. Todas ellas forman un espaciovectorial que denotaremos Zkd (M).

p Las k-formas que pueden expresarse como la diferencial de otra se llaman exactas. Todas ellasforman un espacio vectorial que denotaremos Bkd(M).

p La nilpotencia nos dice que toda forma exacta es cerrada.

p Definiendo la relación de equivalencia “ser iguales salvo una forma exacta”, las clases de equi-valencia formadas por elementos de Zkd (M) constituyen el grupo de cohomología de de Rham:

Hkd (M) = Zkd (M)/Bkd(M) . (3.9)

Su dimensión se llama k-ésimo número de Betti:

bk(M) = dim(Hk

d (M)). (3.10)

p La característica de Euler de una variedad viene dada por:

χ(M) =

D∑k=0

(−1)kbk = b0 − b1 + b2 − ... . (3.11)

p Como consecuencia de la dualidad Poincaré Hkd (M) ' HD−k(M) que relaciona cohomología

con homología:Hk

d (M) ' HD−kd (M) . (3.12)

Corolario:bk(M) = bD−k(M) , (3.13)

y, por tanto, en una variedad de dimensión impar χ(MD odd) = 0, mientras que en dimensiónpar χ(MD even) = (−1)D/2bD/2.



3.2. Derivada o producto interior

Definimos el producto interior por un vector V a (o derivada interior respecto a V a) de una k-formacomo la (k − 1)-forma diferencial:

(V yα) (X1, ..., Xk−1) := α (V , X1, ..., Xk) . (3.14)

En componentes:

V yα = αa1...ak (ϑa1(V cec))⊗ ϑ⊗a2...ak

= V cαcb1...bk−1ϑ⊗b1...bk−1 (3.15)

=1

(k − 1)!V cαcb1...bk−1

ϑb1...bk−1 . (3.16)

Como vemos, es una aplicación V y : Ωk(M)→ Ωk−1(M).

p Casos particulares. Sea ea la base dual de ϑa1:

V y (ϑa1...ak) = V y(k!δ

[a1b1...δ

ak]bkϑ⊗b1...bk

)=

1

(k − 1)!V ck!δ[a1

c δa2b2 ...δak]bkϑb2...bk

= kV [a1δa2b1 ...δak]bk−1

ϑb1...bk−1 , (3.17)

eayα = αab1...bk−1ϑ⊗b1...bk−1

=1

(k − 1)!αab1...bk−1

ϑb1...bk−1 , (3.18)

eay(ϑb1...bk

)= kδ[b1

a δb2c1 ...δbk]ck−1

ϑc1...ck−1 , (3.19)

eayϑb = δba . (3.20)

p Propiedades básicas del producto interiorSean V , W vectores, α y β formas (sea k el orden de α) y λ1, λ2 reales. La derivada interiorsatisface:

(λ1V + λ2W y)α = λ1 V yα+ λ2 W yα , (Linealidad en la 1ª variable), (3.21)V y(λ1α+ λ2β) = λ1 V yα+ λ2 V yβ , (Linealidad en la 2ª variable), (3.22)

V y (V yα) = 0 , (Nilpotencia), (3.23)V y (W yα) = −W y (V yα) (Antisimetría), (3.24)

V y(α ∧ β) = (V yα) ∧ β + (−1)kα ∧ (V yβ) . (3.25)

p Fórmulas útiles. Para toda α k-forma:

ϑa ∧ (ebyα) =1

(k − 1)!αbc1...ck−1

ϑac1...ck−1 , (3.26)

ϑa ∧ (eayα) = kα , (3.27)

eby (ϑa ∧α) = δabα− ϑa ∧ (ebyα) , (3.28)

eay (ϑa ∧α) = (D − k)α . (3.29)

Demostración. La primera es inmediata a partir de lo anterior. Para la segunda basta con contraerla. Para la tercera usamos(3.25), y para la última contraemos y usamos las demostradas justo antes.



p Sean α una k-forma y β un p-forma. Con p productos interiores podemos encontrar la siguientegeneralización de(3.28):

eapy...ea1y (α ∧ β) =

(p0

)(−1)

(k−0)(p−0)α ∧

(eapy...ea1yβ

)+

(p1

)(−1)

(k−1)(p−1) (e[a1yα

)∧(eapy...ea2]yβ

)+

(p2

)(−1)

(k−2)(p−2) (e[a2yea1yα

)∧(eapy...ea3]yβ

)+

(p3

)(−1)

(k−3)(p−3) (e[a3yea2yea1yα

)∧(eapy...ea4]yβ

)+ ...

+

(pp

)(−1)

(k−p)(p−p) (eapy...ea1yα

)∧ β . (3.30)

Demostración. Ver página siguiente.

Un caso interesante es cuando β = ϑb1...bp , entonces los productos interiores por β se podríanarreglar usando la propiedad eayϑb1...bp = pδ

[b1a ϑ

b2...bp]. De hecho, el primer término de la fór-mula general quedaría simplemente como:(

p0

)(−1)

(k−0)(p−0)α ∧

(eapy...ea1yϑ

b1...bp)

= (−1)kpp!δ

[b1[a1...δ

bp]

ap]α . (3.31)

Como ejemplos puede comprobarse que para p = 1 obtenemos la ya conocida (3.28), y parap = 2:

ebyeay (α ∧ ϑmn) = 4δ[m[a δ

n]b] α− 4δ

[m[a ϑ

n] ∧(eb]yα

)+ (ebyeayα) ∧ ϑmn . (3.32)

Demostración.

ebyeay (α ∧ ϑmn)

= α ∧ (ebyeayϑmn) + 2 (−1)k−1 (e[ayα

)∧(eb]yϑ

mn)

+ (ebyeayα) ∧ ϑmn

= α ∧(e[by2δ

[ma]ϑn])

+ 2 (−1)k−1 (e[ayα)∧(

2δ[mb]ϑn])

+ (ebyeayα) ∧ ϑmn

= 4αδ[m[aδn]b]

+ 4 (−1)k δ[m[a

(eb]yα

)∧ ϑn + (ebyeayα) ∧ ϑmn



Demostración. [de (3.30)] Vamos a hacer tres pasos de la demostración y la secuencia nos permitirá inducir el resultadofinal. Usaremos la notación eb...ay ≡ eby...eay.

En cada uno de los tres pasos, cuando lleguemos al resultado, nos va a interesar (pasos denotados con !!) escribirlosde una forma particular para hacer la extensión a p productos interiores.

Un producto interior:

ea1y (α ∧ β) = (ea1yα) ∧ β + (−1)k α ∧ (ea1yβ)

!! =1!

0!1!(−1)(k−0)(1−0)α ∧ (ea1yβ)

+1!

0!1!(−1)(k−1)(1−1) (ea1yα) ∧ β

Dos productos interiores:

ea2a1y(α ∧ ϑb1...bp

)= (ea2a1yα) ∧ β + (−1)k−1 (ea1yα) ∧ (ea2yβ)

+ (−1)k (ea2yα) ∧ (ea1yβ) + (−1)2k α ∧ (ea2a1yβ)

= (ea2a1yα) ∧ β + 2 (−1)k−1 (e[a1yα)∧(ea2]yβ

)+ (−1)2k α ∧ (ea2a1yβ)

!! =2!

0!2!(−1)(k−0)(2−0)α ∧ (ea2a1yβ)

+2!

1!1!(−1)(k−1)(2−1) (e[a1yα

)∧(ea2]yβ

)+

2!

2!0!(−1)(k−2)(2−2) (ea2a1yα) ∧ β

Tres productos interiores:

ea3a2a1y (α ∧ β) = (ea3a2a1yα) ∧ β + (−1)k−2 (ea2a1yα) ∧ (ea3yβ)

+ 2 (−1)k−1 (ea3[a1yα)∧(ea2]yβ

)+ 2 (−1)2(k−1) (e[a1yα

)∧(e|a3|a2]yβ

)+ (−1)2k (ea3yα) ∧ (ea2a1yβ) + (−1)3k α ∧ (ea3a2a1yβ)

= (ea3a2a1yα) ∧ β

+ 3 (−1)k−2 (e[a2a1yα)∧(ea3]yβ

)+ 3 (−1)2(k−1) (e[a1yα

)∧(ea3a2]yβ

)+ (−1)3k α ∧ (ea3a2a1yβ)

!! =3!

0!3!(−1)(k−0)(3−0)α ∧ (ea3a2a1yβ)

+3!

1!2!(−1)(k−1)(3−1) (e[a1yα

)∧(ea3a2]yβ

)+

3!

2!1!(−1)(k−2)(3−2) (e[a2a1yα

)∧(ea3]yβ

)+

3!

3!0!(−1)(k−3)(3−3) (ea3a2a1yα) ∧ β

Vamos a razonar el significado de cada uno de estos factores, pues es lo que nos permite generalizar y hacer la inducción.

1. El factorial del numerador elimina el denominador del antisimetrizador de índices:

3!

1!2!

(... [a1 ... a3a2]...

)=

1

1!2!(... a1 ... a3a2 ...+ las otras 5 permutaciones)

Pero los términos resultantes se agruparán debido a la antisimetría del producto interior eaby = −ebay, y esosfactores se van con los factoriales del denominador:

1

1!2!(... a1 ... a3a2 ...+ las otras 5 permutaciones) = ... a1 ...a3a2 ...+ las otras 2 perm. por antisimetría en a3a2 .

2. Los signos vienen de lo siguiente: en el término(e[a2a1yα

)∧(ea3]yβ

)por ejemplo, de los tres productos inte-

riores solo (3 − 2) uno, el a3, ha tenido que saltar al resto contraidos con α, o sea, una (k − 2) forma, por esoaparece un signo (−1)(k−2)(3−2). Es muy importante el orden de los índices de los productos interiores que vade derecha a izquierda empezando por los que actúan sobre α y luego los que actúan sobre β.

Extendiendo esto a p productos interiores, llegamos a lo que queríamos demostrar.



3.3. Derivadas exterior e interior. Derivada de Lie de formas

La derivada de Lie de una forma diferencial respecto a un vector V a, se expresa:

LV = d (V y) + (V y) d . (3.33)

Demostración. Es fácil de comprobar. Para ello usamos unas base de coordenadas por sencillez. Sea α una k-forma;calculamos cada término por separado:

k!d (V yα)

= k!d(V λαλµ2...µkdx⊗µ2...µk

)= k!k∂[µ1|

(V λαλ|µ2...µk]

)dx⊗µ1...µk = k∂[µ1|

(V λαλ|µ2...µk]

)dxµ1...µk

= k(∂[µ1|V

λαλ|µ2...µk] + V λ∂[µ1|αλ|µ2...µk]

)dxµ1...µk

=(k∂µ1V

λαλµ2...µk

)dxµ1...µk +

(kV λ∂µ1αλµ2...µk

)dxµ1...µk

=(∂µ1V

λαλµ2...µk − ∂µ1Vλαµ2λ...µk − ...− ∂µ1V

λαµkµ2...µk−1λ

)dxµ1...µk +

(kV λ∂µ1αλµ2...µk

)dxµ1...µk

=(∂µ1V

λαλµ2...µk + ∂µ2Vλαµ1λ...µk + ...+ ∂µkV

λαµ1...µk−1λ

)dxµ1...µk + k

(V λ∂µ1αλµ2...µk

)dxµ1...µk

k!V y (dα)

= k!V y((k + 1)∂[µ0

αµ1...µk]dx⊗µ0µ1...µk

)= k!(k + 1)V λ∂[λαµ1...µk]dx

⊗µ1...µk

= (k + 1)V λ∂[λαµ1...µk]dxµ1...µk

=(V λ∂λα[µ1...µk] − V λ∂[µ1

α|λ|µ2...µk] + ...+ (−1)kV λ∂[µ1αµ2...µk]λ

)dxµ1...µk

=(V λ∂λαµ1...µk

)dxµ1...µk +

(−V λ∂µ1αλµ2...µk + ...+ (−1)kV λ∂µ1αµ2...µkλ

)dxµ1...µk


)dxµ1...µk +

(−V λ∂µ1αλµ2...µk − ...− V

λ∂µ1αλµ2...µk

)dxµ1...µk


)dxµ1...µk − k

(V λ∂µ1αλµ2...µk

)dxµ1...µk

Al sumar se cancelan dos términos (los que llevan el k multiplicando) y nos quedan los otros dos:

(d V y + V y d)α

=1

k!

(V λ∂λαµ1...µk + ∂µ1V

λαλµ2...µk + ∂µ2Vλαµ1λ...µk + ...+ ∂µkV

λαµ1...µk−1λ

)dxµ1...µk ≡ LV α



De aquí se demuestra fácilmente que:

[V , W ]y = [LV , W y] . (3.34)

Demostración.

[LV , W y]α

= (LV (W yα) − W y (LV α))

= (d V y + V y d) (W yα) − (W y (d V y + V y d))α

= d (V yW yα) + V yd (W yα)

−W yd (V yα) − W yV ydα

= d(W νV ρανρµ3...µkdx⊗µ3...µk

)+ V yd

(W νανµ2µ3...µkdx⊗µ2...µk

)−W yd

(V νανµ2µ3...µkdx⊗µ2...µk

)−W yV y

((k + 1)∂[µ0

αµ1µ2...µk+1]dx⊗µ0µ1...µk

)

= (k − 1)∂[µ2

(W νV ρα|νρ|µ3...µk]

)dx⊗µ2...µk + kV ρ∂[ρ

(W να|ν|µ2µ3...µk]

)dx⊗µ2...µk

− kW ν∂[ν

(V ρα|ρ|µ2µ3...µk]

)dx⊗µ2...µk −W νV ρ

((k + 1)∂[ρανµ2...µk]

)dx⊗µ2...µk

=[(k − 1)∂[µ2

(W νV ρα|νρ|µ3...µk]

)+ kV ρ∂[ρ

(W να|ν|µ2µ3...µk]

)−kW ν∂[ν

(V ρα|ρ|µ2µ3...µk]

)− (k + 1)W νV ρ∂[ναρµ2...µk]

]dx⊗µ2...µk

=[(k − 1)∂[µ2

(W νV ρ)α|νρ|µ3...µk] + kV ρ∂[ρWνα|ν|µ2µ3...µk] − kW ν∂[ν (V ρ)α|ρ|µ2µ3...µk]

]dx⊗µ2...µk

+[(k − 1)W νV ρ∂[µ2

α|νρ|µ3...µk] + kV ρW ν∂[ρα|ν|µ2µ3...µk]

−kW νV ρ∂[ν

(α|ρ|µ2µ3...µk]

)− (k + 1)W νV ρ∂[ρανµ2...µk]

]dx⊗µ2...µk

El segundo corchete es cero como puede comprobarse:

(k − 1)W νV ρ∂[µ2α|νρ|µ3...µk] +kV ρW ν∂[ρα|ν|µ2µ3...µk]︸︷︷︸

(a)

−kW νV ρ∂[να|ρ|µ2µ3...µk]︸︷︷︸(b)

−(k + 1)W νV ρ∂[ρανµ2...µk]︸︷︷︸(c)

= (k − 1)W νV ρ∂[µ2α|νρ|µ3...µk] +V ρW ν∂ρανµ2µ3...µk − (k − 1)V ρW ν∂[µ2

α|νρ|µ3...µk]︸︷︷︸(a)

−W νV ρ∂ναρµ2µ3...µk + (k − 1)W νV ρ∂[µ2α|ρν|µ3...µk]︸︷︷︸

(b)

−W νV ρ∂ρανµ2...µk +W νV ρ∂ναρµ2...µk − (k − 1)W νV ρ∂[µ2α|ρν|...µk]︸︷︷︸

(c)

= 0

de modo que:

[LV , W y]α

=[(k − 1)∂[µ2

(W νV ρ)α|νρ|µ3...µk] + kV ρ∂[ρWνα|ν|µ2µ3...µk] − kW ν∂[ν (V ρ)α|ρ|µ2µ3...µk]

]dx⊗µ2...µk

=[(k − 1)∂[µ2

(W νV ρ)α|νρ|µ3...µk] + V ρ∂ρWνανµ2µ3...µk − (k − 1)V ρ∂[µ2

W να|νρ|µ2µ3...µk]

−W ν∂ν (V ρ)αρµ2µ3...µk − (k − 1)W ν∂[µ2(V ρ)α|νρ|µ2µ3...µk]

]dx⊗µ2...µk

= [V ρ∂ρWνανµ2µ3...µk −W

ρ∂ρVνανµ2µ3...µk ] dx⊗µ2...µk

= (V ρ∂ρWν −W ρ∂ρV

ν)ανµ2µ3...µkdx⊗µ2...µk

= [V , W ]yα



3.4. Forma de volumen

En una variedad D-dimensional, una forma de volumen es una D-forma no-nula en toda la varie-dad. Dada una base positivamente orientada ϑa, y una densidad escalar f de peso −1, la forma devolumen asociada es:

ωvol := fϑ1 ∧ ... ∧ ϑD =1

D!fεa1...aDϑ

a1...aD = fεa1...aDϑ⊗a1...aD , (3.35)

donde εa1...aD := D!δ1[a1...δDaD] el pseudotensor covariante de Levi-Civita (de peso 1) cuyas componen-

tes son, en todos los sistemas de coordenadas: 1 para permutaciones pares de 1, 2, ..., D, −1 paralas impares y 0 si hay repeticiones.

p Si la variedad no es orientable, la forma de volumen no está definida globalmente.

p Aplicando la derivada de Lie sobre la forma de volumen ωvol = fϑ1 ∧ ... ∧ ϑD, dado que sudiferencial es cero:

LV ωvol ≡ d (V yωvol) =

[1

f∂c (fV c) + Ωcd

dV c]ωvol (3.36)

Y, para el caso de haber elegido una base de coordenadas dxµ, los coeficientes de anholonomíase anulan y:

LV ωvol =

[1

f∂µ (fV µ)

]ωvol (3.37)

Demostración. Sea ωvol = fεa1...aDϑ⊗a1...aD

d (V yωvol) = D

[∂[a1

(V cfε|c|a2...aD ]

)+D − 1

2Ω[a1a2

dV cfε|cd|a3...aD ]

]ϑ⊗a1...aD

= D

[∂[a1 (V cf) ε|c|a2...aD ] +

D − 1

2Ω[a1a2

dV cfε|cd|a3...aD ]

]ϑ⊗a1...aD

= D

[(−1)D−1 εc[a1...aD−1

∂aD ] (V cf) +D − 1

2εcd[a1...aD−2

ΩaD−1aD ]dV cf

]ϑ⊗a1...aD

= D

[ε[a1...aD−1|c|∂aD ] (V cf) +

D − 1

2ε[a1...aD−2|cd|ΩaD−1aD ]

dV cf

]ϑ⊗a1...aD

! =[∂c (fV c) + Ωcd

dV cf]εa1...aDϑ

⊗a1...aD

=

[1

f∂c (fV c) + Ωcd

dV c]ωvol

donde en ! hemos usado que, para todo C completamente antisimétrico con D índices:

AcC[a1...aD−1|c|BaD ] =1

DCa1...aDA

cBc . (3.38)

AbcC[a1...aD−2|bc|BaD−1aD ] =2

D(D − 1)Ca1...aDA

bcBbc . (3.39)

Finalmente usamos LV ωvol = V y(dωvol) + d (V yωvol).



p Cualquier par de formas de volumen son proporcionales (por ser D-formas). Sean:

ωvol =1

D!fεa1...aDϑ

a1...aD y ωvol′ =

1

D!f ′εm1...mDα

m1 ∧ ... ∧αmD . (3.40)

Llamando Mam a las matrices de cambio de base (de α→ ϑ, o sea, ϑa = Ma

mαm), se demues-

tra:ϑa1...aD = det (M) εa1...aDα1 ∧ ... ∧αD . (3.41)

donde hemos introducido εa1...aD := D!δ[a11 ...δ

aD]D = det (gab) g

m1a1 ...gmDaDεm1...mD .

Demostración.

ϑa1...aD = Ma1[m1

...MaDmD ]α

m1 ∧ ... ∧αmD

! = D!M [a11...M

aD ]Dα

1 ∧ ... ∧αD

= D!δ[a1b1...δ

aD ]bD

M [b11...M

bD ]Dα

1 ∧ ... ∧αD

! = D!δ[a11 ...δ

aD ]D︸︷︷︸

εa1...aD

D!M [11...M

D]D︸︷︷︸

det(M)

α1 ∧ ... ∧αD

donde en los pasos ! hemos usado que una antisimetrización de D índices (m’s en un caso y b’s en el otro) soloes no nula si cada uno de ellos toma un valor diferente del conjunto 1, ..., D. Obsérvese el factor D! que salecada vez que se usa esta propiedad dado que la elección 1...D no es única, pues hay que tener en cuenta todas laspermutaciones.

Lo cual nos conduce a los siguientes casos particulares:

• Caso ai = i, o sea, ϑ1...D = ϑ1 ∧ ... ∧ ϑD = 1fωvol:

ϑ1 ∧ ... ∧ ϑD = det (M)α1 ∧ ... ∧αD ⇔ ωvol =f

f ′det (M)ωvol

′ . (3.42)

• Caso αa = ϑa (M es la identidad):

ϑa1...aD = εa1...aDϑ1 ∧ ... ∧ ϑD =1

fεa1...aDωvol . (3.43)



Forma de volumen canónica asociada a una métrica

Dada una métrica, existe una forma de volumen canónicamente asociada. Se construye tomandof =

√|det(gab)| en (3.35):

ωvol := Ea1...aDϑ⊗a1...aD =

1

D!Ea1...aDϑ

a1...aD , Ea1...aD :=√|det(gab)|εa1...aD . (3.44)

Las componentes Ea1...aD forman el tensor de Levi-Civita de la métrica.

p Respecto a cualquier base, la forma de volumen canónica tiene la misma forma cambiando loselementos de la base y el determinante de la métrica por los correspondientes en la nueva base.Por ejemplo, si consideramos una base de coordenadas dxµ (con la misma orientación queϑa para poder hacer !, si no habría un signo de diferencia):

ωvol =√|det(gab)|ϑ1 ∧ ... ∧ ϑD =

√|det(gab)|det(eaµ)−1dDx

!=√|det(gµν)|dDx . (3.45)

donde dDx ≡ dx1 ∧ ... ∧ dxD.Además, en la base de coordenadas el tensor de Levi-Civita se escribe:

Eµ1...µD =√|det(gµν)|εµ1...µD , (3.46)

donde se ha usado el carácter pseudotensorial de épsilon: [det(eaµ) ea1µ1 ...eaD

µD ] εa1...aD =εµ1...µD .

p Usando f =√|det(gab)| , la expresión (3.43) se escribe:

ϑa1...aD = sgn(g) Ea1...aDωvol . (3.47)

p Si la variedad no es orientable, el tensor de Levi-Civita no está definido globalmente.

p Una propiedad interesante es:

DEa1...aD = −1

2Qc

cEa1...aD . (3.48)

Demostración. DEa1...aD = D(√|det(gab)|εa1...aD

)=

D√|det(gab)|√|det(gab)|

Ea1...aD = − 12Qc

cEa1...aD .

NOTA. Por abreviar, de ahora en adelante llamaremos√|det(gab)| ≡

√|g| (el determinante se referirá

a la base general con la que estemos trabajando). Por ejemplo, cuando tomemos el caso particular deuna base de coordenadas el símbolo

√|g| se estará refiriendo a

√|det(gµν)|.


4 Dual de Hodge. Definción y propiedades básicas 18

4. Dual de Hodge. Definción y propiedades básicas

Sea una variedad D-dimensional orientable equipada con una métrica. De ahora en adelante ωvol

va a referirse a su forma de volumen canónica:

ωvol := Ea1...aDϑ⊗a1...aD =

1

D!Ea1...aDϑ

a1...aD , Ea1...aD :=√|g|εa1...aD , (4.1)

En este escenario podemos definir una operación de dualidad que liga k-formas y (D − k)-formasdel modo siguiente. Dada una k-forma α, definimos su dual de Hodge (o estrella de Hodge) como la(D − k)-forma dada por:

?α :=1

(D − k)!k!Eb1...bka1...aD−kαb1...bk ϑ

a1...aD−k , (4.2)

o sea, sus componentes en la base de tensores ϑ⊗a1...aD−k son:

(?α)a1...aD−k =1

k!Eb1...bka1...aD−kαb1...bk . (4.3)

Propiedades básicas del dual de Hodge

Sean α y β dos k-formas y λ un elemento del cuerpo base.

p Linealidad. La estrella de Hodge es lineal, es decir,

? (α+ β) = ?α+ ?β , ? (λα) = λ ?α . (4.4)

p Doble estrella. La composición de la estrella de Hodge consigo misma es la identidad salvo unsigno:

? ?α = (−1)k(D−k)sgn(g)α . (4.5)

Demostración.

(? ?α)a1...ak =1

(D − k)!Eb1...bD−ka1...ak (?α)b1...bD−k

=1

(D − k)!Eb1...bD−ka1...akg

b1d1 ...gbD−kdD−k (?α)d1...dD−k

=1

(D − k)!k!Eb1...bD−ka1...akg

b1d1 ...gbD−kdD−k1

k!Ec1...ckd1...dD−kα

c1...ck

=1

(D − k)!k!Eb1...bD−ka1...akE

c1...ckd1...dD−kg

b1d1 ...gbD−kdD−kαc1...ck

=1

(D − k)!k!(−1)k(D−k)Eb1...bD−ka1...akE

b1...bD−kc1...ckαc1...ck

=1

(D − k)!k!(−1)k(D−k)

(sgn(g)(D − k)!k!δ

[c1a1 ...δ

ck]ak

)αc1...ck

= (−1)k(D−k)sgn(g)αa1...ak

p Estrella inversa. Del resultado anterior para la doble estrella, es inmediato ver que la aplicacióninversa actúa:

?−1 α = (−1)k(D−k)sgn(g) ?α (4.6)


4 Dual de Hodge. Definción y propiedades básicas 19

Ejemplos interesantes

p Dual de una k-forma producto exterior de elementos de la base:

?ϑc1...ck =1

(D − k)!k!Eb1...bka1...aD−k

(k!gc1b1 ...gckbk

)ϑa1...aD−k (4.7)

=1

(D − k)!Ec1...cka1...aD−kϑ

a1...aD−k (4.8)

= Ec1...cka1...aD−kϑ⊗a1...aD−k . (4.9)

Por ejemplo, para los elementos de la base:

? ϑc =1

(D − 1)!Eca1...aD−1

ϑa1...aD−1 . (4.10)

p Dual de la forma de volumen canónica:

? ωvol =1

D!Eb1...bkEb1...bk =

1

D!sgn(g)D! = sgn(g) . (4.11)

Como consecuencia cualquier D-forma puede escribirse:

α = sgn(g) (?α) ωvol . (4.12)

p Dual de una 0-forma f y caso particular f = 1:

(?f)a1...aD = fEa1...aD ⇔ ?f = fωvolf≡1⇒ ?1 = ωvol , (4.13)

de donde vemos que para toda k-forma α:

? (fα) = f ?α , (4.14)

es decir, la estrella es C∞(M)-lineal.


5 Fórmulas útiles para la manipulación de expresiones en el lenguaje de formas diferenciales 20

5. Fórmulas útiles para la manipulación de expresiones en el len-guaje de formas diferenciales

5.1. Dual de Hodge y productos exterior e interior

5.1.1. Producto exterior de una forma por el dual de Hodge de otra del mismo orden

Sean α y β dos k-formas. Se satisface:3

α ∧ (?β) =1

k!αa1...akβa1...akωvol . (5.1)

Dos casos de especial interés son el caso α = β:

α ∧ (?α) =1

k!αa1...akαa1...akωvol , (5.2)

y el caso α = ϑa1...ak , β = ϑb1...bk

(ϑa1...ak) ∧ ? (ϑb1...bk) = k!δa1[b1...δakbk]ωvol . (5.3)

Demostración. Veamos que la definición de estrella de Hodge que hemos dado satisface esta condición:

k!α ∧ (?β) = k!

(1

k!αa1...akϑ

a1...ak

)∧(

1

(D − k)!k!Eb1...bkak+1...aDβ

b1...bkϑak+1...aD

)=

1

(D − k)!k!βb1...bkαa1...akE

b1...bkak+1...aDϑa1...aD

=1

D!

D!

(D − k)!k!βb1...bkα[a1...ak

Eb1...bkak+1...aD ]ϑa1...aD

=1

D!

(Dk

)βb1...bkα[a1...ak

Eak+1...aD ]b1...bk (−1)k(D−k) ϑa1...aD

=1

D!

(Dk

)βb1...bkE[a1...aD−k

b1...bkαaD−k+1...aD ]ϑa1...aD

! =1

D!βb1...bkα

b1...bkEa1...aDϑa1...aD

= βb1...bkαb1...bkωvol

Hemos usado la propiedad siguiente de cualquier D-forma Ca1...aD , válido para cualesquiera objetos Aa1...ak yBb1...bk :

Ab1...bkC[a1...aD−kb1...bkBaD−k+1...aD ] =

(Dk

)−1

Ca1...aDA[b1...bk]Bb1...bk .

El primer caso particular es inmediato. Para el caso α = ϑa1...ak , β = ϑb1...bk usamos que (ϑa1...ak )c1...ck =

k!δ[a1c1 ...δ

ak]ck de modo que:

α ∧ (?β) =1

k!αc1...ckβ

c1...ckωvol

=1

k!k!δ

[a1c1 ...δ

ak]ck k!δc1

[b1...δ

ckbk]ωvol

= k!δa1[b1...δ

akbk]ωvol

3Con la definición alternativa de operador estrella: (?α)a1...aD−k = 1k!Eb1...bka1...aD−kα

b1...bk (difiere de nuestra defini-

ción en un factor (−1)k(D−k)), esta propiedad se escribiría al revés, β ∧ (?α) = 1k!αa1...akβa1...ak , y el signo que aparece de

la nueva definición se cancela con la inversión del orden en el producto exterior.



De las expresiones anteriores vemos de forma inmediata que se cumple la propiedad de simetría:

α ∧ (?β) = β ∧ (?α)×(−1)k(D−k)−−−−−−−−→ (?α) ∧ β = (?β) ∧α . (5.4)

Cambiando las formas por sus duales:

(?α) ∧ (? ? β) = sgn(g)α ∧ (?β) . (5.5)

Demostración.

(?α) ∧ (? ? β) = (−1)k(D−k) sgn(g) (?α) ∧ β= sgn(g)β ∧ (?α)

= sgn(g)α ∧ (?β)

En el último paso hemos usado (5.4).

5.1.2. Dual de Hodge de un producto exterior VS producto interior de un dual de Hodge

Sean α y β k-forma y p-forma respectivamente (tal que k + p ≤ D). Se cumple:

?(α ∧ β(p)

)=

1

k!p!Ea1...ak+pb1...bD−(k+p)

αa1...akβak+1...ak+pϑ⊗b1...bD−(k+p) . (5.6)

Demostración. Omitimos β(p) ≡ β:

? (α ∧ β) = ?

(1

k!

1

p!αa1...akβak+1...ak+pϑ

a1...ak+p

)= ?

((k + p)!

k!p!α[a1...ak

βak+1...ak+p]ϑ⊗a1...ak+p

)=

(k + p)!

k!p!

1

(k + p)!Ea1...ak+pb1...bD−(k+p)

α[a1...akβak+1...ak+p]ϑ⊗b1...bD−(k+p)

=1

k!p!Ea1...ak+pb1...bD−(k+p)

αa1...akβak+1...ak+pϑ⊗b1...bD−(k+p)

p Caso particular k general y p = D − k:

?(α(k) ∧ β(D−k)

)=

1

k!(D − k)!Ea1...aDαa1...akβak+1...aD , (5.7)

α(k) ∧ β(D−k) =1

k!(D − k)!Ea1...aDαa1...akβak+1...aDsgn(g)ωvol . (5.8)

Demostración. La primera es un caso particular de (5.6) con p = D − k. Finalmente, tomamos dual en los dosmiembros:

?2(α(k) ∧ β(D−k)

)=

1

k!(D − k)!Ea1...aDα

a1...akβak+1...aD (?1)

α(k) ∧ β(D−k) =1

k!(D − k)!sgn(g)Ea1...aDα

a1...akβak+1...aDωvol



p Caso particular k general y p = 1:4

?(α ∧ β(1)

)=(β(1)

])y (?α) , (5.9)

donde vemos que el dual del producto exterior por una 1-forma es justamente el productointerior por el vector asociado a esa 1-forma (mediante la métrica) del dual. Si lo aplicamos aelementos de la base:

? (α ∧ ϑa) = eay (?α) . (5.10)

Demostración. Tomamos caso particular p = 1 en la expresión (5.6):

?(α ∧ β(1)

)=

1

k!Ea1...akcb1...bD−(k+1)

αa1...akβ(1)cϑ⊗b1...bD−(k+1)

=1

k!Ea1...akb1b2...bD−kα

a1...akβ(1)b1ϑ⊗b2...bD−k

=1


a1...akϑb1(β(1)

cec)⊗ ϑ⊗b2...bD−k

= β(1)]y

[1


a1...akϑ⊗b1...bD−k]

= β(1)]y (?α)

De aquí podemos extraer dos corolarios inmediatos (omitimos las demostraciones):

• Subcaso α = ϑb1...bk :eay ? ϑb1...bk = ?ϑb1...bka . (5.11)

• Mediante aplicaciones sucesivas, puede probarse:

?(α ∧ β(1) ∧ ... ∧ γ(1)

)=(γ(1)

])y...(β(1)

])y (?α) , (5.12)

donde γ(1) es otra 1-forma y los puntos suspensivos representan una cadena de productosexteriores por 1-formas en el primer miembro y una cadena de productos interiores porlos vectores asociados en el miembro derecho de la ecuación. De nuevo, el caso particularinvolucrando elementos de la base es:

?(α ∧ ϑa...b

)= eby...eay (?α) . (5.13)

Productos interiores de la forma de volumen

Merece la pena recalcar por separado la siguiente propiedad que no es más que (5.13) con α = 1(0-forma):

eaky...ea1y ωvol = ?ϑa1...ak , (5.14)

que nos relaciona sucesivos productos interiores de la forma de volumen con el dual de un productoexterior de 1-formas de la base.

4La aplicación sostenido es el mapa conocido en física como “subir los índices”. Formalmente, el sostenido de una 1-formaα(1) se define como el (único) vector α(1)

] sobre el que cualquier otra 1-forma β(1) actúa:

β(1)(α(1)]) = g−1(α(1), β(1)) .

En componentes lo que ocurre es:(α(1))a = αa ⇒ (α(1)

])a = gabαb .

Pudiéndose así comprobar fácilmente la relación anterior:

β(1)(α(1)]) = βa(α(1)

])a = gabβaαb ≡ g−1(α(1), β(1)) .



5.1.3. Dual de Hodge de un producto interior VS producto exterior por un dual de Hodge

Sea α una k-forma y N 3 p < k (para que no se trivializen las fórmulas). Se cumplen:

ϑa1...ap ∧ ?α = (−1)p(k+1) ? (eapy...ea1yα) , (5.15)

α ∧ ϑa1...ap = sgn(g)(−1)(D+1)(k+p) ? (eapy...ea1y (?α)) . (5.16)

Demostración. Partimos de (5.13) y tomamos dual en los dos miembros:

?2 (α ∧ ϑa1...ap ) = ? (eapy...ea1y (?α))

Si evaluamos en α→ ?α:

?2 (?α ∧ ϑa1...ap ) = ?(eapy...ea1y

(?2α

))sgn(g)(−1)(D−k+p)(k−p) (?α ∧ ϑa1...ap ) = ?

(eapy...ea1y

(sgn(g)(−1)k(D−k)α

))?α ∧ ϑa1...ap = (−1)p(k−p)(−1)(D−k)(k−p)(−1)k(D−k) ? (eapy...ea1yα)

?α ∧ ϑa1...ap = (−1)p(D−p) ? (eapy...ea1yα)

(−1)p(D−k)ϑa1...ap ∧ ?α = (−1)p(D−p) ? (eapy...ea1yα)

ϑa1...ap ∧ ?α = (−1)p(k+1) ? (eapy...ea1yα)

Y si hubiésemos evaluado en α→ α:

sgn(g)(−1)(D−k+p)(k+p) (α ∧ ϑa1...ap ) = ? (eapy...ea1y (?α))

sgn(g)(−1)D(k+p)+k+p+2kp (α ∧ ϑa1...ap ) = ? (eapy...ea1y (?α))

α ∧ ϑa1...ap = sgn(g)(−1)(D+1)(k+p)+kp ? (eapy...ea1y (?α))

Nota: a lo largo de la demostración hemos usado que (−1)n2

= (−1)n (con n ∈ Z).

p Si tomamos el caso particular p = 1:

ϑa ∧ ?α = (−1)k+1 ? (eayα) , (5.17)

α ∧ ϑa = sgn(g)(−1)(D+1)(k+1) ? (eay (?α)) . (5.18)

Estas fórmulas reflejan que el dual de un producto interior puede expresarse como el productoexterior por el dual (salvo signos).Obviamente, contrayendo los índices libres se obtienen fórmulas válidas para toda 1-forma. Siβ es una 1-forma cualquiera:

β ∧ ?α = (−1)k+1 ?(β]yα

), (5.19)

α ∧ β = sgn(g)(−1)(k+1)(D+1) ?(β]y ?α

). (5.20)

p Evaluando en una (k + p)-forma del tipo (nótese que seguimos dentro de nuestras hipótesis,pues k + p > p): α→ α ∧ ϑb1...bp :

ϑa1...ap ∧ ?(α ∧ ϑb1...bp

)= (−1)p(k+p+1) ?

[eapy...ea1y

(α ∧ ϑb1...bp

)], (5.21)

a continuación utilizaríamos (3.30) para simplificar. Por ejemplo, en los casos p = 1 y p = 2llegaríamos, respectivamente a:

ϑa ∧ ?(α ∧ ϑb

)= ?

[δbaα− ϑ

b ∧ (eayα)], (5.22)

ϑac ∧ ?(α ∧ ϑbd

)= ?

[4δ

[b[aδ

d]c]α− 4δ

[b[aϑ

d] ∧(ec]yα

)+ (ecyeayα) ∧ ϑbd

]. (5.23)



A la hora de hacer cálculos computacionales con formas diferenciales a menudo son útiles for-mulas como:

ϑa ∧ ? (ϑmn ∧ ϑc) = 3δ[ma ? ϑnc] , (5.24)

ϑab ∧ ?(ϑmn ∧ ϑcd

)= 12δ[m

a δnb ? ϑcd] . (5.25)

Demostración. En ambos casos usamos (5.21) con α = ϑmn (k = 2):

ϑa ∧ ? (ϑmn ∧ ϑc) = ϑa ∧ ? (ϑmnc) =(((((((−1)1(2+1+1) ? [eayϑmnc] = 3δ

[ma ? ϑnc]

ϑab ∧ ?(ϑmn ∧ ϑcd

)= ϑab ∧ ?

(ϑmncd

)=

(−1)2(...) ?[ebyeayϑ

mncd]

= (4 · 3)δ[ma δnb ? ϑ

cd]

Para ambas, en el último paso hemos usado (3.19). A partir de estas fórmulas las de la base de coordenadas soninmediatas.

Análogamente en la base de coordenadas:

dxµ ∧ ?(dxρλτ

)= 3gµαδ[ρ

α ?(

dxλτ ]), (5.26)

dxµν ∧ ?(dxρλτσ

)= 12gµαgνβδ[ρ

α δλβ ?(

dxτσ]), (5.27)



p De aquí también podemos extraer fórmulas como:

ϑa1...ap ∧ ?(ϑc1...ckb1...bp

)=

(k + p)!

k!δ[b1a1 ...δ

bpap ? ϑ

c1...ck] , (5.28)

=1

(D − k − p)!Ec1...ckb1...bpap+1...aD−kϑ

a1...aD−k , (5.29)

y, contrayendo:

ϑa1...ap ∧ ?ϑc1...cka1...ap =

(D − k)!

(D − k − p)!? ϑc1...ck . (5.30)

Casos particulares con (k, p) = (1, 1) y (k, p) = (1, 2), respectivamente:

ϑa ∧ ?ϑca = (D − 1) ? ϑc , (5.31)

ϑab ∧ ?ϑcab = (D − 1)(D − 2) ? ϑc . (5.32)

Demostración. Para la primera:

ϑa1...ap ∧ ?ϑc1...ckb1...bp = (−1)p(k+p+1) ?

[eapy...ea1yϑ

c1...ckb1...bp]

= (−1)p(k+p+1)(−1)kp ?[eapy...ea1yϑ

b1...bpc1...ck]

=

(−1)p(p+1)(k + p)(k + p− 1)...(k + 1)δ[b1a1 ...δ

bpap ? ϑ

c1...ck]

=(k + p)!

k!δ[b1a1 ...δ

bpap ? ϑ

c1...ck]

Para la expresión alternativa usamos al principio la definición de estrella de Hodge:

ϑa1...ap ∧ ?ϑc1...ckb1...bp

= ϑa1...ap ∧ ?[(k + p)!δ

[c1m1 ...δ

ckmkδ

b1n1...δ

bp]np ϑ

⊗m1...mkn1...np]

= ϑa1...ap ∧[

1

(k + p)!(D − k − p)!Em1...mkn1...np

d1...dD−k−p (k + p)!δ[c1m1 ...δ

ckmkδ

b1n1...δ

bp]np ϑ

d1...dD−k−p

]= ϑa1...ap ∧

[1

(D − k − p)!Ec1...ckb1...bpd1...dD−k−pϑ

d1...dD−k−p

]=

1

(D − k − p)!Ec1...ckb1...bpap+1...aD−kϑa1...ap ∧ ϑ

ap+1...aD−k

Para la contracción es más fácil partir de la segunda y sale automáticamente:

ϑa1...ap ∧ ?(ϑc1...ckb1...bp

)=

1

(D − k − p)!Ec1...cka1...aD−kϑ

a1...aD−k =(D − k)!

(D − k − p)!? ϑc1...ck

porque usando la otra nos vemos obligados a usar (y, por tanto, demostrar previamente) la propiedad (A.2) de losApéndices.



5.2. Dual de Hodge y derivada exterior

Sea α una k-forma. Se cumplen:5

d ?α = D ?α =1

(k − 1)!(D − k + 1)!(−1)k+1Ea1....ak−1c1...cD−k+1

ϑc1...cD−k+1

×[(∇b −

1

2Qbc

c + Tbcc

)αba1....ak−1 − k − 1

2Tbc

[a1α|bc|a2....ak−1]

], (5.33)

?d ?α = ?D ?α =1

(k − 1)!(−1)

D(k−1)sgn(g)ϑa1...ak−1

×[(∇b −

1

2Qbc

c + Tbcc

)αba1...ak−1 − k − 1

2Tbc

[a1α|bc|a2...ak−1]

]. (5.34)

Demostración. Ver página 27.

p La segunda, al ser independiente de la conexión, podemos usarla con Levi-Civita por sencillezy resulta:

? d ?α =1

(k − 1)!(−1)

D(k−1)sgn(g)∇bαba1...ak−1

ϑa1...ak−1 . (5.35)

Ejemplo interesante: operadores gradiente, divergencia y rotacional

Si tomamos el caso 3-dimensional y métrica euclídea sgn(g) = 1:

grad(f) = ∂af ea = (df)],

div(V ) = ∇bV b =(?d ? V [

),

rot(V ) = Eabc∂bVc ea

= 2

[1

2Ebca∂bVc ϑa

]]= 2

(?dV [

)].

5Con el otro convenio de la estrella (en el que la nueva estrella difiere de la nuestra en un factor (−1)l(D−l) con l el ordende la forma sobre la que actúa) en vez de un (−1)D(k−1) hubiera salido un (−1)k(D−k+1)−1 ≡ (−1)kD−1.



Demostración.

d ?α = D ?α

= D

[1

k!(D − k)!Eb1....bka1...aD−kα

b1....bkϑa1...aD−k]

=1

k!(D − k)!Eb1....bka1...aD−k

[−

1

2Qd

d ∧ αb1....bkϑa1...aD−k + Dαb1....bk ∧ ϑa1...aD−k + αb1....bkDϑa1...aD−k]

!! =1

k!(D − k)!Eb1....bka1...aD−k

[(D−

1

2Qd

d

)αb1....bk ∧ ϑa1 + (D − k)αb1....bkT a1

]∧ ϑa2...aD−k

=1

k!(D − k)

[(D−

1

2Qd

d

)αb1....bk ∧ ϑa1 + (D − k)αb1....bkT a1

]∧(

1

(D − k − 1)!Eb1....bka1...aD−kϑ

a2...aD−k

)=

1

k!(D − k)

[(D−

1

2Qd

d

)αb1....bk ∧ ϑbk+1 + (D − k)αb1....bkT bk+1

]∧ ?ϑb1....bk+1

=1

k!(D − k)

[(∇b −

1

2Qbd

d

)αb1....bkδ

bk+1c + (D − k)αb1....bk

1

2Tbc

bk+1

]ϑbc ∧ ?ϑb1....bk+1

=1

k!(D − k)

[(∇b −

1

2Qbd

d

)αb1....bkδ

bk+1c + (D − k)αb1....bk

1

2Tbc

bk+1

](−1)k+2(−1)k+1(k + 1)k ? δc[b1δ

bb2ϑb3....bk+1]

!!! = −k + 1

(k − 1)!(D − k)

[(∇b −

1

2Qbd

d

)α[cbb3....bkδ

bk+1]c + (D − k)

1

2Tbc

[bk+1αcbb3....bk]

]? ϑb3....bk+1

=k + 1

(k − 1)!(D − k)(−1)k+1

[(∇b −

1

2Qbd

d

)α[ba1....ak−1]D − k

k + 1+ (D − k)

1

2Tbc

[a1αcba2....ak−1]

]? ϑa1....ak−1

=1

(k − 1)!(−1)k+1

[(∇b −

1

2Qbd

d

)αba1....ak−1 +

1

2(k + 1)Tbc

[a1αcba2....ak−1]

]? ϑa1....ak−1

!!!! =1

(k − 1)!(−1)k+1

[(∇b −

1

2Qbd

d + Tbcc

)αba1....ak−1 −

1

2(k − 1)Tbc

[a1α|bc|a2....ak−1]

]? ϑa1....ak−1

Hemos usado:

p En ! la propiedad (3.48)

p En !!

Eb1....bka1...aD−kDϑa1...aD−k

= Eb1....bka1...aD−k [T a1 ∧ ϑa2...aD−k − ϑa1 ∧ T a2 ∧ ϑa3...aD−k + ...]

= Eb1....bk[a1...aD−k] [T a1 ∧ ϑa2...aD−k − T a2 ∧ ϑa1a3...aD−k + ...]

= Eb1....bk[a1...aD−k](D − k)T a1 ∧ ϑa2...aD−k

p En !!! un caso particular de (A.2):

δ[aa A

b1...bk] =(D − k)!k!

(D − (k + 1))!(k + 1)!A[b1...bk] =

D − kk + 1

A[b1...bk] . (5.36)

p En !!!!:

(k + 1)Tbc[a1αcba2....ak−1]

= −Tbccα[a1ba2....ak−1] + Tbc[a1α|c|ba2....ak−1] − Tbc[a1αb|c|a2....ak−1] + ...

= −Tbccα[a1ba2....ak−1] + kTbc[a1α|c|ba2....ak−1]

= −Tbccα[a1ba2....ak−1] +(−Tbcbαc[a1a2....ak−1] + Tbc

[a1α|cb|a2....ak−1] − Tbc[a1α|c|a2|b|a3....ak−1] + ...)

= −Tbccα[a1ba2....ak−1] − Tbcbαc[a1a2....ak−1] + (k − 1)Tbc[a1α|cb|a2....ak−1]

= 2Tbccαba1a2....ak−1 − (k − 1)Tbc

[a1α|bc|a2....ak−1]

Partiendo de la expresión obtenida podemos hacer dos cosas:

p abriendo ?ϑa1....ak−1 = 1(D−k+1)!

(−1)k+1Ea1....ak−1c1...cD−k+1ϑc1...cD−k+1 termina la primera demostra-

ción;

p tomando estrella y usando (−1)k+1(−1)(k−1)(D−k+1) = (−1)D(k−1) ya que k(k − 1) es siempre par, terminala segunda demostración.

Trivialmente para el caso de Levi-Civita obtenemos lo indicado pues bastará con poner a cero la no-metricidad y latorsión de todas partes.



Otra fórmula interesante

D ? ϑa1...ak = −1

2Qc

c ∧ ?ϑa1...ak + T c ∧ ?ϑa1...akc . (5.37)

Nótese que D ? ϑa1...ak daría el mismo resultado con los índices subidos MÁS un término de no-metricidad por cada métrica que se deriva (o sea, una por cada índice: k en nuestro caso).

Demostración.

D ? ϑa1...ak = D

[1

(D − k)!Ea1...akb1...bD−kϑ

b1...bD−k

]=

1

(D − k)!DEa1...akb1...bD−k ∧ ϑ

b1...bD−k +1

(D − k)!Ea1...akb1...bD−kDϑb1...bD−k

=1

(D − k)!

(−

1

2Qc

cEa1...akb1...bD−k

)∧ ϑb1...bD−k︸︷︷︸

(1)

+1

(D − k)!Ea1...akb1...bD−kDϑb1...bD−k︸︷︷︸

(2)

Calculamos cada término por separado:

(1) =1

(D − k)!

(−

1

2Qc

cEa1...akb1...bD−k

)∧ ϑb1...bD−k = −

1

2Qc

c ∧ ?ϑa1...ak ,

(2) =1

(D − k)!Ea1...akb1...bD−k

[T b1 ∧ ϑb2...bD−k − ϑb1 ∧ T b2 ∧ ϑb3...bD−k ...+ (−1)D−k−1ϑb1...bD−k−1 ∧ T bD−k

]=

1


[T b1 ∧ ϑb2...bD−k − T b2 ∧ ϑb1b3...bD−k ...+ (−1)D−k−1T bD−k ∧ ϑb1...bD−k−1

]=

1


[T [b1 ∧ ϑb2...bD−k] + T [b1 ∧ ϑb2...bD−k]...+ T [b1 ∧ ϑb2...bD−k]

]︸︷︷︸

(D−k) términos

=1

(D − k)!Ea1...akb1...bD−k (D − k)T b1 ∧ ϑb2...bD−k

= T c ∧[

1

(D − k − 1)!Ea1...akcb1...bD−k−1

ϑb1...bD−k−1

]= T c ∧ ?ϑa1...akc


6 Teorema de Stokes 29

6. Teorema de Stokes

En una variedad de dimensión D, solo la integración de D-formas está definida.

Teorema 2. (de Stokes) Dada una variedad compacta y orientable M con borde ∂M, para toda (D − 1)-forma, α, se satisface ˆ

Mdα =

ˆ∂M

α . (6.1)

Es conveniente definir formas de volumen para subvariedades de una dada. Para una subvariedadde dimensión D − n definimos:6

Σ(D−n)b1...bn = ?ϑb1...bn . (6.2)

Por ejemplo, los casos particulares n = 0, 1:

Σ(D) = ωvol =1

D!Ea1...aDϑ

a1...aD , Σ(D−1)b = ?ϑb =

1

(D − 1)!Eba1...aD−1

ϑa1...aD−1 (6.3)

De la expresión (5.35) se deduce fácilmente que para toda k-forma α:

d ?α =1

(k − 1)!(−1)k−1∇bαba1...ak−1Σ(D+k−1)

a1...ak−1

Demostración. Tomando estrella en ambos miembros de (5.35):

?2d ?α =1

(k − 1)!(−1)D(k−1) sgn(g)∇bαba1...ak−1 ? ϑ

a1...ak−1

(−1)(D−k+1)(D−(D−k+1))sgn(g)d ?α =1

(k − 1)!(−1)D(k−1) sgn(g)∇bαba1...ak−1Σ(D−(k−1))

a1...ak−1

(−1)(D−k+1)(k−1)d ?α =1

(k − 1)!(−1)D(k−1) ∇bαba1...ak−1Σ(D+k−1)

a1...ak−1

(−1)(−k+1)(k−1)d ?α =1

(k − 1)!∇bαba1...ak−1Σ(D+k−1)

a1...ak−1

d ?α =1

(k − 1)!(−1)(k−1)2∇bαba1...ak−1Σ(D+k−1)

a1...ak−1

Usando ahora que el cuadrado de un impar es impar y el cuadrado de un par es par, simplificamos el signo y obtenemoslo que queríamos.

El teorema de Stokes aplicado a una subvariedad V de dimensión D− k+ 1, que puede escribirseˆV

d ?α =

ˆ∂V?α . (6.4)

para toda k-forma α. Y usando las dos expresiones anteriores:7

ˆV∇aαab1...bk−1

Σ(D−k+1)b1...bk−1 =1

k(−1)k−1

ˆ∂Vαb1...bkΣ

(D−k)b1...bk . (6.5)

El caso particular k = 1 es el teorema de Gauss-Ostrogadski:

ˆV∇aαaΣ(D) =

ˆ∂VαaΣ

(D−1)a ≡ˆV∇aαaωvol =

ˆ∂Vαa ? ϑ

a . (6.6)

6Difieren en un factor (−1)n(D−n) de las de [Ortín].7En el convenio de [Ortín] el factor (−1)k−1 pasa a ser un (−1)D−k .


7 Derivada exterior adjunta, laplaciano y formas armónicas 30

7. Derivada exterior adjunta, laplaciano y formas armónicas

7.1. Producto escalar de formas

7.1.1. Producto escalar de formas básico

A partir de (5.1), podemos definir el producto escalar de dos k-formas:

〈α, β〉 := ? (α ∧ (?β)) ≡ 1

k!sgn(g)αa1...akβa1...ak . (7.1)

Este producto está muy relacionado con el cálculo de determinantes como veremos en el siguientepunto.Observación. De hecho, podríamos haber empezado introduciendo este producto escalar, 〈α, β〉 :=1k! sgn(g)αa1...akβa1...ak (sin hacer alusión a la estrella), y la estrella de una k-forma β se definiría en-tonces como la única (D − k)-forma ?β que satisface:

α ∧ (?β) = 〈α, β〉ωvol , ∀α ∈ ΩD−k(M) . (7.2)

7.1.2. Producto escalar de formas y determinante

Consideremos el siguiente producto escalar de formas:

⟨ϑa1 ∧ ... ∧ ϑak , ϑb1 ∧ ... ∧ ϑbk

⟩det

:= det

ga1b1 ... ga1bk

.... . .

...gakb1 ... gakbk

(7.3)

= 1k!εi1...ikεj1...jkg

ai1bj1 ...gaik bjk (7.4)

! = k!δ1[i1...δkik]g

ai1b1 ...gaik bk (7.5)

en ! hemos usado εj1...jk ≡ k!δ1[j1...δkjk]. Usando la linealidad puede demostrarse que, para k-formas

arbitrarias, este producto escalar difiere del nuestro simplemente en un signo:

〈α, β〉det = sgn(g) 〈α, β〉 . (7.6)

Nótese también que si la métrica es euclídea (que implica sgn(g) = 1) ambas coinciden.Demostración.

〈α, β〉det =⟨

1k!αa1...akϑ

a1 ∧ ... ∧ ϑak , 1k!βb1...bkϑ

b1 ∧ ... ∧ ϑbk⟩

det

= 1k!

1k!αa1...akβb1...bk

⟨ϑa1 ∧ ... ∧ ϑak , ϑb1 ∧ ... ∧ ϑbk

⟩det

= 1k!

1k!αa1...akβb1...bkk!δ1

[i1...δkik]g

ai1 b1 ...gaik bk

= 1k!αa1...akδ

1[i1...δkik]β

ai1 ...aik

= 1k!αa1...akβ

a[1...ak] = 1k!αa1...akβ

a1...ak ≡ sgn(g) 〈α, β〉

7.2. Producto escalar L2 de formas

El producto escalar L2 de dos k-formas se define:8

(α, β) :=

ˆα ∧ (?β) . (7.7)

8Existe otro convenio para el producto L2 de formas usado por algunos autores:

(α, β)2 :=

ˆ(?α) ∧ β ,



Demostración. Vamos a probar que es un producto escalar. La linealidad y la hermiticidad (simetría en el caso de que gµνsea una métrica real) son inmediatas.

Ser definido positivo o no dependerá de la métrica gµν . Si ésta es definida positiva (Riemanniana), entonces este(α, α) ≥ 0 será definido positivo siendo nulo solo para α = 0; en el caso de métricas no Riemannianas esto no secumple, resultando un producto escalar no Riemanniano.

Trivialmente, teniendo en cuenta todo lo anterior, se comprueban las igualdades (otras definicio-nes equivalentes):

(α, β) =1

k!

ˆαa1...akβa1...akωvol = sgn(g)

ˆ〈α, β〉ωvol =

ˆ〈α, β〉det ωvol . (7.8)

7.3. Derivada exterior adjunta (codiferencial)

Hipótesis: la variedad es orientable y compacta. Además o no tiene borde o bien las formas consi-deradas tienen soporte compacto teniendo valor nulo en el borde.

La operación adjunta de d definida a través del producto escalar de k-formas (donde el subíndiceindica el rango de la forma) del modo siguiente9(

αk, dβk−1

)=(δαk, βk−1

), (7.9)

resultando la aplicación δ : Ωk(M)→ Ωk−1(M) dada por:

δ = (−1)k ?−1 d? = (−1)D(k−1)−1sgn(g) ? d? , (7.10)

y se conoce como codiferencial o derivada exterior adjunta.Demostración. Sean α y β (k − 1)-formas:

0 =

ˆd (α ∧ ?β)

=

ˆ [dα ∧ ?β + (−1)k−1(α ∧ (d ? β))

]= (dα, β)−

(α, (−1)k ?−1 (d ? β)

)≡ (dα, β)− (α, δβ)

donde la expresión inicial es nula debido al teorema de Stokes.

que podemos fácilmente relacionar con el nuestro extrayendo el signo correspondiente:

(α, β)2 =

ˆ(?α) ∧ β =

ˆ(?β) ∧α = (−1)(D−k)k(α, β) .

Normalmente es usado cuando se define la estrella con el otro convenio, de forma que ese signo compensa este que acabamosde obtener. Y así pueden mapearse exactamente sus expresiones en las nuestras cambiando el producto y la estrella al mismotiempo.

(α, β) :=

ˆα ∧ (?β) ⇒ (α, β)2 :=

ˆα ∧ (?2β) .

9De haber definido la derivada adjunta con el otro convenio: (α, β)2 :=´

(?α) ∧ β,

(dαk−1, βk)2 = (−1)(D−k)k(dαk−1, βk)

= (−1)(D−k)k(αk−1, δβk)

= (−1)(D−k)k(−1)(D−(k−1))(k−1)(αk−1, δβk)2

= (αk−1, (−1)D+1δβk)2 .

Luego la derivada exterior adjunta asociada se relaciona con la nuestra mediante

δ2 = (−1)D+1δ ⇒ δ2 = (−1)Dksgn(g) ? d ? .



Para la otra expresión sustituimos ?−1:

δα = (−1)k ?−1 d ?α︸︷︷︸rango k′=D−k+1

= (−1)k[(−1)k

′(D−k′)sgn(g)?]

d ?α

= (−1)k(−1)(D−k+1)D−(D−k+1)2sgn(g) ? d ?α

= (−1)k+(D−k+1)(D−1)sgn(g) ? d ?α

= (−1)k+k(D−1)+(D−1)2sgn(g) ? d ?α

= (−1)kD+D−1sgn(g) ? d ?α

= (−1)D(k−1)−1sgn(g) ? d ?α

p Análogamente a las de la derivada exterior definimos las k-formas coexactas (son δ de algo) ycocerradas (su δ es cero), con espacios denotados, respectivamente Bkδ (M) y Zkδ (M).

p Es fácil probar que la codiferencial cumple las mismas propiedades que la derivada exteriorordinaria:

δ(λ1α+ λ2β) = λ1δα+ λ2δβ (Linealidad) , (7.11)δ(δα) = 0 (Nilpotencia) . (7.12)

Demostración. La linealidad es trivial por las propiedades de la estrella y la diferencial.

Nilpotencia: δ2 =(?−1d?

) (?−1d?

)= ?−1dd? = 0.

p Las formas exactas y coexactas son ortogonales bajo el producto escalar L2 de formas.

Demostración. (dα, δβ) = (α, δδβ) = (α, 0) = 0 .

p Por lo que hemos visto antes:10

δα = − 1

(k − 1)!

[(∇b −

1

2Qbc

c + Tbcc

)αba1...ak−1 − k − 1

2Tbc

[a1α|bc|a2...ak−1]

]ϑa1...ak−1

(7.13)

= − 1

(k − 1)!∇bαba1...ak−1

ϑa1...ak−1 (7.14)

Demostración. Igualamos:

?d ?α =1

(k − 1)!(−1)D(k−1) sgn(g)ϑa1...ak−1

[(∇b −

1

2Qbc

c + Tbcc

)αba1...ak−1 −

k − 1

2Tbc

[a1α|bc|a2...ak−1]

]?d ?α = (−1)D(k−1)−1sgn(g)δα

δα = −1

(k − 1)!

[(∇b −

1

2Qbc

c + Tbcc

)αba1...ak−1 −

k − 1

2Tbc

[a1α|bc|a2...ak−1]

]ϑa1...ak−1

= −1

(k − 1)!∇bαba1...ak−1ϑ

a1...ak−1

10Con el otro convenio de la estrella (en el que la nueva estrella difiere de la nuestra en un factor (−1)k(D−k) con k el ordende la forma sobre la que actúa) en vez de un −1 hubiera salido un (−1)D .



7.4. Operador de Laplace-de Rham

Definimos el operador de Laplace-de Rham como la aplicación ∆ : Ωk(M)→ Ωk(M)

∆ = (d + δ)2 (7.15)

= dδ + δd (7.16)

= (−1)D(k−1)−1sgn(g) [(d ? d?) + (?d ? d)] (7.17)

Propiedades

(∆α, β) = (α, ∆β) (Simetría) . (7.18)∆ ?α = ?∆α . (7.19)

Demostración. Para la primera:

(α, dδβ + δdβ) = (α, dδβ) + (α, δdβ)

= (δα, δβ) + (dα, dβ)

= (dδα, β) + (δdα, β)

= (dδα+ δdα, β)

Para la otra propiedad:

∆? = (d ? d ?+ ? d ? d) ?

= d ? d (??) + ?d ? d?

! = (??) d ? d + ?d ? d?

= ? (?d ? d + d ? d?)

en ! hemos usado que ?? es un número (un signo, de hecho).

Expresión por componentes∆ es independiente de cualquier conexión (solo depende de la métrica dado que depende de δ). Sinembargo, podemos apoyarnos en una conexión, por ejemplo, la de Levi-Civita por simplicidad, paraescribir una expresión por componentes explícitamente covariante:

∆α =1

k!

[−∇b∇bαa1...ak + k

[∇b, ∇[a1

]αba2...ak]

]ϑa1...ak . (7.20)

=1

k!

[−∇b∇bαa1...ak − kRca1αca2...ak + 1

2k!R[a1a2|bc|αbca3...ak]

]ϑa1...ak . (7.21)

Para 0-formas, 1-formas y 2-formas:

∆f ≡ δdf = −∇b∇bf = − 1√|g|∂µ

(√|g|gµν∂νf

), (7.22)

∆α(1) =[−∇ρ∇ραµ − Rρµαρ

]dxµ , (7.23)

∆α(2) =1

2

[−∇ρ∇ραµν − 2Rσ[µαν]

σ + Rµνρσαρσ]

dxµν (7.24)

Para k-formas en una variedad con métrica constante (por ejemplo, Minkowski), los símbolos deChristoffel se anulan y las derivadas covariantes se reducen a parciales (las curvaturas se anulan):

∆α = − 1

k!∂σ∂

σαµ1...µkdxµ1...µk . (7.25)

Demostración. Hallamos cada término de ∆ = dδ + δd por separado:

dδα = d

[1

(k − 1)!

(−∇bαba1...ak−1

)ϑa1...ak−1

]



=1

(k − 1)!∇[a1|

(−∇bαb|a2...ak]

)ϑa1...ak

= −1

k!

[k∇a1∇bα

ba2...ak

]ϑa1...ak ,

δdα = δ

[1

k!∇[a1αa2...ak+1]ϑ

a1...ak+1

]= δ

[1

(k + 1)!

((k + 1)∇[a1αa2...ak+1]

)ϑa1...ak+1

]= −

1

k!∇b(

(k + 1)∇[bαa1...ak])ϑa1...ak

= −1

k!∇b(∇bαa1...ak − k∇a1α

ba2...ak

)ϑa1...ak .

Sumándolos se obtiene la primera expresión que queríamos demostrar. A continuación abrimos el conmutador:[∇b, ∇a1

]αba2...akϑ

a1...ak =[Rba1c

bαca2...ak − Rba1a2cαbca3...ak − Rba1a3

cαba2c...ak ...]ϑa1...ak

=[−Ra1cα

ca2...ak − (k − 1)!Rb[a1a2

cαb|c|a3...ak]

]ϑa1...ak

! =[−Rca1α

ca2...ak + 1

2(k − 1)!R[a1a2|b

cαbc|a3...ak]

]ϑa1...ak

En ! hemos usado la identidad de Bianchi −Rρ[µν]σ = 1

2Rµνρσ .



7.5. Caso con métrica Riemanniana. Descomposición de Hodge

Si la métrica es Riemanniana, el operador de Laplace-de Rham tiene propiedades especiales. Asu-miremos signatura (+ + ...+) a lo largo de todo este apartado y a ∆ lo llamaremos “laplaciano”.

Una forma α se dice armónica si su laplaciano es cero. Al espacio vectorial de las k-formas armó-nicas lo denotaremos Hk

∆(M).Nuevas propiedades de ∆ en el caso Riemanniano

(∆α, α) ≥ 0 (Positividad) , (7.26)

∆α = 0 ⇔ dα = 0, δα = 0 . (7.27)

Demostración. Implicación⇒:

(∆α, α) = (δα, δα) + (dα, dα) = ‖dα‖2 + ‖δα‖2 ≥ 0

Para la segunda la implicación⇐ es inmediata. Para la otra:

∆α = 0 ⇒ 0 = (∆α|α) = (dα, dα) + (δα, δα)

= ‖dα‖2 + ‖δα‖2 ⇒ dα = 0, δα = 0

p Las funciones (0-formas) armónicas en una variedad Riemanniana orientada, conexa y compac-ta son constantes.

p (Descomposoción de Hodge) Cualquier forma sobre una variedad Riemanniana orientable ce-rrada (compacta sin borde) admite una única descomposición (ortogonal):

α = dβ + δγ + η , ∆η = 0 . (7.28)

Es decir, el espacio de formas diferenciales se descompone en suma directa ortogonal:

Ωk(M) = Im (d|Λk−1M) ⊕⊥ Im (δ|Λk+1M) ⊕⊥ Hk∆(M) (7.29)

= Bkd(M) ⊕⊥ Bkδ (M) ⊕⊥ Hk∆(M) . (7.30)

“ Forma = exacta + coexacta + armónica”.Si α es cerrada, entonces: α = dβ + η con η armónica.

Demostración. Por la ortogonalidad de exactas y coexactas, cualquier forma podrá en principio escribirse α =dβ + δγ + η. Falta ver que η es armónica. La suma anterior separa términos ortogonales, de modo que esta ηserá un elemento del ortogonal a exactas y coexactas. Hallamos este subespacio:

0 = (dβ, η) = (β, δη) =

ˆβ ∧ (?δη)

0 = (η, δγ) = (dη, γ) =

ˆdη ∧ (?γ)

esto solo ocurrirá si y solo si dη = 0 y δη = 0. Y en variedades Riemannianas ya hemos visto que esto ocurre si ysolo si η es armónica.

Si la forma es cerrada, entonces:

0 = dα = d2β + dδγ + dη = 0 + dδγ + 0

de modo que:0 = (dδγ,γ) = (δγ, δγ) ⇔ δγ = 0 .



p (Teorema de Hodge) El espacio de k-formas armónicas es isomorfo al k-ésimo grupo de coho-mología de de Rham.

Demostración. Dos formas α, α′ que pertenecen a la misma clase de equivalencia del grupo de cohomología dede Rham. En principio, deben ser cerradas:

α = dβ + η , α′ = dβ′ + η′ ,

y se han de diferenciar en una forma exacta, luego η = η′ y, por tanto, η caracteriza la clase de equivalencia.Como vemos cada clase de equivalencia tiene asociada una forma armónica. Y, por tanto, Hk

d (M) ⊂ Hk∆(M)

(entiéndase la inclusión en el sentido de isomorfismos). Falta ver la inclusión contraria. Dada una forma armó-nica η es necesariamente cerrada, pero no exacta (dada la descomposición de Hodge), por lo que deberá ser unelemento no trivial de Hk

d (M). Por lo que Hkd (M) ⊃ Hk

∆(M) y finalmente llegamos a que ambos espacios sonisomorfos.

p ? da lugar a un isomorfismo Hkd (M) ' HD−k

d (M). Gracias a la dualidad Poincaré, un isomor-fismo similar se da también entre los grupos de homología, Hk(M) ' HD−k(M).

Demostración. La propiedad ∆? = ?∆ nos dice, que el isomorfismo ? cumple

∆ (?η) = ? (∆η) = ?0 = 0 ,

(? lleva formas armónicas en formas armónicas). Por tanto:

? : Hk∆(M)→ HD−k

∆ (M) ,

que refleja justamente Hkd (M) ' HD−k

d (M). Lo otro es inmediato via dualidad Poincaré.

Observación. Caso semi-Riemanniano. La descomposición de Hodge no es válida en este caso. Dehecho, no hay una relación entre la cohomología y la dimensión del espacio de formas armónicas.Por ejemplo en una variedad cerrada orientable Riemanniana las únicas funciones armónicas son lasconstantes, mientras que, por ejemplo en el toro T2 = S1 × S1 con la métrica dt2 − dx2, todas lasfunciones sin(kt) sin(kx) para cada k son armónicas y linealmente independientes en L2. El puntoclave es el hecho de que la laplaciana que es un operador elíptico se vuelve hiperbólico al pasar alcaso semi-Riemanniano.


8 Pullback de formas 37

8. Pullback de formas

Anexo. Pushforward de vectores y pullback de formas

Sea una aplicación diferenciable entre variedades φ : M→N . De entrada tenemos las siguientesdefiniciones:

p El pullback de una función f : N → R es la función φ∗f : M→ R dada por:

φ∗f := f φ . (8.1)

p El pushforward de un vector v ∈ Tp(M) es el vector (φ∗v) ∈ Tφ(p)(N ) que actúa sobre funcio-nes:

(φ∗v) (f) := v (φ∗f) . (8.2)

p El pullback de una k-forma α ∈ ∧kT ∗q (N ) sobre un p ∈ M tal que φ(p) = q es un elemento(φ∗α) ∈ T ∗p (M) que actúa sobre vectores:

(φ∗α) (v1, ..., vk) := α (φ∗v1, ..., φ∗vk) . (8.3)

La primera siempre está bien definida. Ahora bien, generalizar estas dos últimas a campos vectorialeso a k-formas sobre la variedad no es trivial.

p Podría pensarse que el pushforward lleva campos vectoriales enM, en campos vectoriales so-bre N , pero no es cierto. De entrada, si φ no es suprayectiva, a lo sumo podríamos obtener uncampo vectorial sobre imφ (y no tendría por qué haber una manera natural de extenderlo atodo N ). Pero es que, de hecho, si el mapa φ no es inyectivo, ni siquiera obtenemos un campovectorial sobre imφ, porque dado un campo enM,X , y dos puntos distintos con igual imagenp1 y p2, habría una ambigüedad a la hora de seleccionar un vector en el punto φ(p1) = φ(p2) (¿laimagen deXp1 o la deXp2 mediante el pushforward?).

p Si el mapa φ es un embebimiento:11 la imagen es una subvariedad que hereda una estructuradiferenciable y tiene sentido hablar de campos vectoriales (suaves) sobre imφ. En este caso, dadala inyectividad, el pushforward lleva campos vectoriales en M en campos vectoriales sobreimφ. En el pullback de formas no hace falta la aclaración ”sobre un p ∈ M...” pues es único(por inyectividad); y, como consecuencia, el pullback se extiende a k-formas sobre la variedadimagen α ∈ Ωk(imφ). Podemos entonces para el caso en el que φ es un embebimiento:

• para cada campo vectorial X ∈ X(M) construir el campo vectorial pushforward (φ∗X) ∈X(imφ) que actúa sobre funciones:

(φ∗X) (f) := X (φ∗f) , (8.4)

en el sentido de (punto a punto)

(φ∗X)n (f) := Xφ−1(n) (φ∗f) en cada n ∈ imφ ⊆ N ; (8.5)

• y para cada k-forma α ∈ Ωk(imφ) definir la k-forma (φ∗α) ∈ Ωk(M) que actúa sobrecampos vectores:

(φ∗α) ((X1, ..., Xk) := α (φ∗X1, ..., φ∗Xk) , (8.6)

en el sentido de (punto a punto)

(φ∗α)p ((X1)p, ..., (Xk)p) := αφ(p) (φ∗(X1)p, ..., φ∗(Xk)p) en cada p ∈M . (8.7)

p Una caso particular del punto anterior, es en el que imφ es todoN (φ suprayectivo) o, equivalen-temente, que φ sea un difeomorfismo de variedades. En este caso, incluso se podría definir unpullback de vectores y un pushforward de formas (análogamente pero usando el mapa inversoφ−1).

11Recuérdese que un embebimiento es un difeomorfismo entre la variedad de partida y la imagen (luego, en particular esinyectivo).


8 Pullback de formas 38

Propiedades del pullback de formas diferenciales

Para cualesquiera formas diferenciales α y β sobre N , y siempre que esten bien definidos lospullbacks, se satisfacen las propiedades:

φ∗ (α ∧ β) = (φ∗α) ∧ (φ∗β) , (8.8)φ∗dα = d (φ∗α) . (8.9)

Demostración.

p Pullback del producto exterior:

(φ∗ (α ∧ β)) (V 1, ..., V k+l) = (α ∧ β) (φ∗V 1, ..., φ∗V k+l)

=1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)α(φ∗V σ(1), ..., φ∗V σ(k)

)β(φ∗V σ(k+1), ..., φ∗V σ(k+l)

)=

1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ) (φ∗α)(V σ(1), ..., V σ(k)

)(φ∗β)

(V σ(k+1), ..., V σ(k+l)

)= ((φ∗α) ∧ (φ∗β)) (V 1, ..., V k+l)

p Pullback de la diferencial exterior.Para una 0-forma es fácil de probar haciéndola actuar sobre un vector:

(φ∗dα) (V ) = dα (φ∗V ) = (φ∗V ) (α) = V (φ∗α) = d (φ∗α) (V )

donde hemos usado: definición de pullback de formas (paso 1); derivación de una función como su diferencialactuando sobre el vector (paso 2 y 4); y definición de pushforward de vectores (paso 3).Para abreviar llamamos dxµ1...µk ≡ dxµ1 ∧ ...∧dxµk para una k-forma, y llamamos αµ1...µk+1 = 1

k!αµ2...µk+1

φ∗dα = φ∗ (dαµ1...µk ∧ dxµ1...µk )

= φ∗ (dαµ1...µk ) ∧ φ∗ (dxµ1...µk+1 )

! = d (φ∗αµ1...µk ) ∧ φ∗ (dxµ1...µk+1 )

= d (φ∗αµ1...µkφ∗ (dxµ1...µk+1 ))− φ∗αµ1...µk ∧ d (φ∗ (dxµ1...µk+1 ))

!! = d (φ∗ (αµ1...µkdxµ1...µk+1 ))− 0

= d (φ∗α)

donde en ! hemos usado el cálculo previo para 0-formas y en !! hemos empleado:

d (φ∗dxµ1...µk+1 ) (...) = d (dxµ1...µk+1 ) (φ∗...) = 0


9 Formas álgebra-valuadas 39

9. Formas álgebra-valuadas

Sea XAmA=1 una base de un álgebra de Lie g. Una k-forma g-valuada es un objeto:

α = αA ⊗XA = αa1...akAϑa1...ak ⊗XA (9.1)

(αA son k-formas usuales sobre la variedadM). El espacio vectorial real donde viven es Ωk(M)⊗ g,y lo denotaremos Ωk (M, g) por abreviar. Y, cuando actúan sobre vectores, se entiende que la parte enΩk(M) es la que actúa sobre los mismos. Es decir: α ∈ Ωk (M, g) es un objeto tal que:

α : TM−→ C∞(M)⊗ g , α|p : TpM−→ g . (9.2)

9.1. Corchete de formas álgebra-valuadas

Ωk (M, g) tiene estructura de álgebra de Lie con el corchete definido por:

[α, β]Ω :=(αA ∧ βB

)⊗ [XA, XB ] (9.3)

Para 1-formas, sean dos vectores U y V , se tiene la curiosa relación:

[α, β]Ω (U , V ) = [α(U), β(V )]− [α(V ), β(U)] . (9.4)

que implica:[α, α]Ω (U , V ) = 2 [α(U), α(V )] . (9.5)

Demostración.

[α, β]Ω (U , V ) =(αa

AβbBϑab

)(U , V )⊗ [XA, XB ]

=(

2α[aAβb]

Bϑa ⊗ ϑb)

(U , V )⊗ [XA, XB ]

= 2α[aAβb]

BUaV b [XA, XB ]

=[αa

AUaXA, βbBV bXB

]−[αbAV bXA, βa

BUaXB

]≡ [α(U), β(V )]− [α(V ), β(U)]

9.2. Derivada exterior de formas álgebra-valuadas

Se define la derivada exterior como la aplicación dg : Ωk (M, g) −→ Ωk+1 (M, g):

dgα :=(dαA

)⊗XA . (9.6)

Actuándo sobre el corchete nos da (donde k es el orden de α):

dg [α, β]Ω = [dgα, β]Ω + (−1)k

[α, dgβ]Ω . (9.7)

Demostración.

dg [α, β]Ω = d(αA ∧ βB

)⊗ [XA, XB ]

=(

dαA ∧ βB + (−1)k αA ∧ dβB)⊗ [XA, XB ]

=(

dαA ∧ βB)⊗ [XA, XB ] + (−1)k

(αA ∧ dβB

)⊗ [XA, XB ]

= [dgα, β]Ω + (−1)k [α, dgβ]Ω


A Apéndice 40

Referencias

p T. Ortín. Gravity and Strings. Cambridge Univ. Press (2004).

p M. B. Robinson, T. Ali, G. B. Cleaver. A Simple Introduction to Particle Physics Part II (2009) [arXivpreprint: 0908.1395]

p F. W. Hehl, J. D. McCrea, E. W. Mielke, Y. Ne’eman. Metric-affine gauge theory of gravity: fieldequations, Noether identities, world spinors, and breaking of dilation invariance. Phys. Rep. 258 (1995)1 – 171.

A. Apéndice

A continuación unas fórmulas ajenas a las formas diferenciales en sí que utilizamos a lo largo deltexto en alguna ocasión:

p Para cualesquiera tensores Aa1...ak y Bb1...bk (no necesariamente antisimétricos) y cualquierCa1...aD = C[a1...aD] (nótese que tiene tantos índices como la dimensión), se cumple:

Ab1...bkC[a1...aD−kb1...bkBaD−k+1...aD] =

(Dk

)−1

Ca1...aDA[b1...bk]Bb1...bk . (A.1)

p Para cualquier tensor Aa1...ak (no necesariamente antisimétrico) se cumple:

δ[a1a1 ...δ

apapA

b1...bk] =(D − k)!k!

(D − (k + p))!(k + p)!A[b1...bk] ∀p ≤ D − k . (A.2)

La demostración de ambas expresiones quedan propuestas al lector como ejercicio. Una pista para elsegundo caso: pruébense primero con p = 1, luego p = 2, etc. No es díficil averiguar la secuencia quenos conduce iterativamente a la fórmula general.


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