fonctions dérivées

1Séquence 6 – MA11

Séquence 6

Fonctions dérivées

Sommaire

Pré-requis

Définition – Dérivées des fonctions usuelles

Dérivation et opérations algébriques

Applications de la dérivation

Synthèse de la séquence

Exercices d’approfondissement

© Cned - Académie en ligne


1 Pré-requisFonctions de référence

� Fonction « carré » f x x: � 2

� La fonction « carré » est :

] − ∞ ; 0]

[ [0 ; + ∞

� f �.f est paire : f x f x( ) ( )− =Variation

x −∞ 0 +∞

f x( )0

� �

A

–2 –1 1

1

2

3

4

y

2 x0

y = x2�

Dans le plan muni d’un repère, la fonction « carré » est définie par

f x x( ) = 2 où x est un nombre réel.

À savoir


4 Séquence 6 – MA11

� Fonction « inverse » f xx

: �1

–2 –1 1

–1

–2

1

2

y

2 x0

y = x

asymptotes

1�

� �

� Fonction « racine carrée » f x x: �� La fonction f +∞� Variation

x 0 +∞

f x( ) 0

�* ] [ ] [.= − ∞ ∪ + ∞; ;0 0

� La fonction « inverse » est :

] [.− ∞; 0

] [.0 ; + ∞

� f �*� f est impaire : f x f x( ) ( )− = −� Variation

x −∞ 0 +∞

f x( )

À savoir



y = x�

1 2 3 4 5

1

2

3

y

x

� Fonction « cube » f x x: � 3

� −∞ +∞

x

y

1

1

8

0–1

–8

2 –1 –2

y = x3�

x −∞ 0 +∞

f x( ) 0

�



Nombre dérivé

Maximum et minimum d’une fonction� Définitions

Soit f I.f atteint un maximum en a I∈ tout

x I∈ , f x f a( ) ( ).≤f a( ) a.

f atteint un minimum en a I∈ toutx I∈ , f x f a( ) ( ).≥

f a( ) a.

f a( ) extremum.

00123456789

10111213141516171819202122232425

–1–2–3–4–5–6–2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

m1 m2

P

Q

M

B

C

On donne une fonction f et un nombre a.

lim( ) ( )

h

f a h f ah→→

++ −−0

existe on l’appelle nombre dérivé de

f en a et on la note f a'( ).

On dit alors que f est dérivable en a.

f est dérivable en a, le nombre dérivé f a'( ) est le coefficient

directeur de la tangente à �f au point A a f a) .( )�f au point A a f a)( ) est donc :

y f a f a x a−− == ′′ −−( ) ( )( ).

À savoir



f −6 18

f m1 et m2.

f M.

P et Q f−6 18

� Exemple



2 Définition – Dérivées des fonctions usuelles

Activités

� Nombre dérivé d’une fonction f en un point d’abscisse a (a quelconque)

� Cas de la fonction « carré »f

a f x x( ) = 2 et a = 0 8,

a

f x x: .� 2

0–1–2–3–4–5 1 2 3 4 50123456789

1011121314151617181920212223242526

Cf

A



a –1 0 1 2 3 4 5

f a'( )

′f a( ) a ?

� Cas d’une fonction constantef x ∈� par f x( ) .= 3

Cf ∆

Cf a

f a'( ) ......=

� Cas d’une fonction affinea) f x ∈ � par f x x( ) .= +7 3

Cf ∆

Cf a

′ =f a( ) ......

f x( ) f x'( )

Si x ∈ � par mx p( ) = + (m et p sont a, on a ′ =( ) ......

Coursf en x a= .

f a'( ).

� Définition� Définition

f I fI fonction dérivée de f ′f

x I f en x : f Ix f x

' :

'( )

→��

B



� Dérivées des fonctions usuelles

f a'( )f x'( ) f x( )

tions f

connaître.

Fonction f Dérivée f’ Intervalle I

(1) f x c( ) = (c f x'( ) = 0

I =�

(2) f x mx p( ) = + f x m'( ) =

(3) f x x( ) = 2 f x x'( ) = 2

(4) f x x( ) = 3 f x x'( ) = 3 2

(5) f x xn( ) = , n ∈ −� { }0 f x nxn'( ) = −1

(6) f x x( ) = f xx

'( ) = 1

2 I = +∞0

(7) f xx

( ) = 1 f xx

'( ) = −12

I

I

= − ∞

= + ∞

0

0

Rappel Lorsqu’on parle d’un intervalle I cela signifie qu’on est dans l’un

des sept cas suivants : I a b= ; ,

I a b=

; ,

I a b=

; ,

I a b=

; ,

I a= +∞[ ; [, I b= ∞]– ; ], I = ∞+∞]– ; [.

� A savoir

C’est en 1797 qu’apparait pour la première fois l’écriture f x' . Le mathématicien Joseph-Louis Lagrange l’utilise pour désigner le nombre dérivé qu’aujourd’hui on note f x'( ).

Remarque



(avec m p c= =0 et ).

f x mx p( ) = + ′ =f x m( ) .

f xf x x

'( )( ) ( )= + −

→0.

≠0

f x x m x x mx mxm

( ) ( ) ( )+ − = + − = + − = =

≠0 , f x x

m( ) ( )+ − =

m( ) ( )

.f x x

m→

+ − =0

f x m'( ) .=

Exercices d’apprentissage

f x x: � 2

On posef x x( ) = 2

� Conclusion

C

Exercice 1

� On dit souvent « la dérivée de la fonction f » à la place de « la fonction dérivée de la fonction f ».

� La fonction « racine carrée » f x x: � est définie sur 0 +∞ alors que sa dérivée f x

x' : �

1

2n’est définie que sur

0 +∞ Autrement dit, la fonction « racine carrée » est défi-

nie en zéro (et 0 0= ) mais sa dérivée n’est définie pour x = 0. Graphiquement, ceci se traduit par une tangente verticale au point d’abscisse x = 0 ; c’est-à-dire par une tangente dont on ne peut pas calculer le coefficient directeur.

� Dire que n ∈ −� { }0 signifie que n est un entier naturel dif-férent de zéro. Ainsi la formule de la dérivée de la fonction « puissance n-ième » f x xn: � (donnée ligne (5)) généralise les formules des dérivées des fonctions « carré » et « cube » (don-nées lignes (3) et (4)).

Remarques



� ≠0,f x x( ) ( )+ −

.

� m( ) ( )

.f x x

x→

+ − =0

2 f x x'( ) .= 2

f x x: � 3

On posef x x( ) = 3

� ≠0,f x x( ) ( )+ −

� m( ) ( )

.f x x

x→

+ − =0

23 f x x'( ) .= 3 2

f x x: �

On posef x x( ) =

� ≠0,f x x( ) ( )+ −

� m( ) ( )

.f x x

x→

+ − =0

1

2f x

x'( ) .= 1

2

f xx

: �1

On posef xx

( ) = 1

� ≠0,f x x( ) ( )+ −

� m( ) ( )

.f x x

x→

+ − = −0 2

1f x

x'( ) .= − 1

2

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4



3 Dérivation et opérations algébriques

Activités

� En somme, c’est simple !

et v � par x( ) = +7 1 et v x x( ) .= 2

Les fonctions et v �.

� '( )3 etv '( ).3

� f �, et v : v= + .

f en a fonction f a = 3.

f '( )3

� Un produit dérivé pas si docile !

et v � par x( ) = 4 et v x x( ) , .= 0 25

et v �.

� '( )3 et v '( ).3

� f 0 +∞tions et v : v= .

f '( )3

Cours, , ,

« )

A

B



� Dérivée d’une somme

Propriété Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel.

La fonction k u× est dérivable sur I et ( ) .k u k u× ′ = × ′La fonction u v+ est dérivable sur I et ( ) .u v u v+ ′ = ′ + ′

f f x x x( ) .= + −2 3 7

f x x x v x( ) ( ) ( )= + −( ) = +2 3 7 où x( ) = 2 etv x x( ) .= −3 7

x'( ) = 2 etv x'( ) = 3 .

( )'( ) '( ) '( )x v x x+ = + = +2 3f x x'( ) .= +2 3

� Dérivée d’un produit

f f x x x( ) ( ).= +3 2

f x v x( ) ( ) ( )= × où x( ) = etv x x( ) .= +3 2

x'( ) = 1

2 et ′ =v x( ) 3 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x v x v xx

x x× ′ = ′ × + × ′ = + + ×1

23 2 3

soit f x xx

x'( ) = +9

2.

′ × ′ = =x

xx

3

2

32

f x'( ).

� Exemple

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

La fonction u v× est dérivable sur I et ( ) .u v u v u v× ′ = ′ × + × ′

� Exemple

On peut résumer la propriété en disant que « la dérivée de la somme est la somme des dérivées ». De même pour la multiplication par un réel.L’activité 2 soulevait le problème : nous allons voir que la dériva-tion (c’est-à-dire le calcul de la dérivée) ne se comporte pas aussi agréablement que l’addition vis-à-vis de la multiplication et de la division entre fonctions.

Remarque



ne pas commettre ×à ' '.×

� Dérivée d’un quotient

f f xx xx

( ) .= ++

34 1

2

Posons x x( ) = +3 2 etv x x( ) .= +4 1

I = + ∞14

vI).

f xv x

( )( )( )

= .

′ = +x( ) 6 1et ′ =v x( ) .4

vx

v x v x

v x

=

−

( )=( )

'( ) ( ) ( ) '( )

( )

(2

6xx x x x

x

+ + − + ×

+

1 4 1 3 4

4 1

2

2)( ) ( )

( )

Soit f xx x x x

x'( )

( )= + + − −

+

24 10 1 12 4

4 1

2 2

2

Donc f xx x

x'( )

( ).= + +

+

12 6 1

4 1

2

2

Propriété Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que v ne s’annule pas sur I.

La fonction uv

est dérivable sur I et uv

u v u v

v

=

× − ×'

' '.

2

� Exemple

Propriété Soit u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un inter-valle I.

La fonction 1u

est dérivable sur I et 12uu

u

=−

''.

Un cas particulier important est celui de = 1. Il s’agit alors de calculer la dérivée de l’inverse de v.Dans ce cas ′ = 0 et la formule de la propriété précédente

devient 1 0 12 2v

v v

v

v

v

=

× − ×=−

'' '

.

Ce résultat mérite d’être signalé en tant que tel.

Remarque



f f xx

( ) .= 1

Posons x( ) = f x( )( )

.= 1

′ =x

( )1

2

f x x

x x x'( )

'( )

( ).= −

( )= −

( )= −

2 2

1

2 1

2

f xx x

'( ) .= − 1

2


′f x( ) f

� f x x x( ) = − +2 7 4 � f xx

( ) = − +7 111

� f x x x( ) ,= − − +0 175

310 5

� f x x x( ) = − − +2 7 12 � f x x( ) .= −932

4 � f x xx

( ) = − +5 57

′f x( ) f

� f xx

( ) =2

� f xx

x( ) = −52 3 � f x

x

xx( ) ( )= − + +4

2 12

2

f et �

x x x� 6 2 12 − +

f f x( )

� f x x x( ) ( )( )= − −3 4

� f x x x( ) ( )( )= − +3 2 3 2

� f x x x xx

x( ) = −

′f x( ) f

� f xxx

( ) = +−

5 13 1

� f xx

x( ) = −

33

� f xx

x( ) = −

+

3

21

1

′f x( ) f f xxx

( ) = ++

3 61

�

� f xx

( ) .= ++

33

1

� Exemple

C

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6



4 Applications de la dérivation

Activités

� Des tangentes horizontales

f −4 5

0

–2

2

4

6

8

10

0

–1–2–3–4 1 2 3 4 5

�

C f

C f

x1 = ......... , x2 = ......... , x3 = .........

f x'( ) .........1 = , f x'( ) .........2 = , f x'( ) .........3 =

�

− −4 2 f

−2 1 f

1 4 f

4 5 f

A



� Variations et signe de la dérivée

f −10 15

–6

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16–1

–5–4–3–2

123456781

0

« Si f x'( ) ≥ 0 x ∈ ∪..... ...... ...... ..... »

« Si f x'( ) ≤ 0 x ∈ ∪..... ...... ...... ..... »

Cours

� Dérivée et sens de variations

� Théorèmes

f 0 +∞ par f xx

xx( ) .= − −

3

31

2

f f est croissante

.0 +∞

B

Théorème 1

On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I.

Si f est constante sur I alors pour tout réel x I∈ , f x'( ) .= 0 Si f est croissante sur I alors pour tout réel x I∈ , f x'( ) .≥ 0

Si f est décroissante sur I alors pour tout réel x I∈ , f x'( ) .≤ 0

� Exemple



x ∈ +∞0 f x'( ) .≥ 0

f x'( ).

f x xx

xx

'( ) .= −−

− = + −

13

31

21

222

22

fx ∈ + ∞ ,0

xx

22

12 0+ − ≥

x > 0 xx

22

12+ ≥ .

f

x ∈ + ∞ ,0 f x'( ) .≥ 0

f '

ff est croissante.

f ' est positive.

f '

f '( ) .1 0= f a

f traverse

.

–50

–40

–30

–20

–10

–1

10

0

20

30

40

10 2 3 4

–50

–40

–30

–20

–10

–1

10

0

20

30

40

50 Cf’

10 2 3 4



réciproque

f Ix I∈ , f x( ) .≥ 0 ».

Si alorsOn note ceci A B⇒

Si alorsOn note ceci B A⇒

A B⇒ et oùB A⇒ on écrit A B⇔

donc⇒ Si alors

Attention

� f x x: � 3 f x x': � 3 2 .

x �, 3 02x ≥f x'( ) .≥ 0

f est croissante.

�.

� f � par f x x x( ) .= +13

3

f x �, f x x x'( ) .= + = +13

3 1 12 2

x, x 2 0≥x 2 1 0+ > f x'( ) .> 0

f �.

� 0 + ∞ par x xx

( ) .= − + +23

883

x ,0 + ∞ xx

'( ) .= − + −2 8822

'( ):x

x x'( ) = − − +( )24 4

24 2

réciproque

Théorème 2

On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I.

Si pour tout réel x I∈ , f x( ) = 0 alors f est constante sur I.

Si pour tout réel x I∈ , f x( ) ≥ 0 alors f est croissante sur I.

Si pour tout réel x I∈ , f x( ) ≥ 0 alors f est décroissante sur I.

� Logique

� Exemple



xx'( ) .= − −( )2

22

2 2

x ,0 + ∞ −−

≤2

20

22

xx

. '( ) .≤ 0

� Tableau de variations

� par f x x x( ) .= + −2 2 3

f � x �, f x x'( ) = +2 2

Comme 2 2 0 1x x+ = ⇔ =− , f 'x = −1. 2 2x + en

x −∞ −1 +∞

2 2x + — 0 +

f x'( ) < 0 − ∞ −1 f .− ∞ − 1

f x'( ) > 0 − + ∞1 f .− + ∞1

f

x −∞ −1 +∞

f ' — 0 +

f−4

f ( ) ( ) ( )− = − + × − − = −1 1 2 1 3 42

� Exemple

Cet exemple a mis en évidence la propriété suivante :

L’abscisse a du sommet de la parabole est solution de l’équation f x'( ) .= 0

Cette propriété est vraie plus généralement pour tous les poly-nômes du 2nd degré.

Remarque



� Extremum d’une fonction

� f 0 + ∞ par f x x x( ) ( ).= − 2

0 + ∞ (attention, pas en x = 0) .

x ,0 + ∞

f xx

xx

xx

xx

x'( ) ( ) ( ) .= − + = − = −1

22

1

2

1

22 2

1

Comme f x x x'( ) ,= ⇔ − = ⇔ =0 1 0 1 si f

f

–2

–1

10–1

1

2

3

2 3 4 5 6 7 8 9

fx ,0 + ∞ f x f( ) ( )≥ 1

f x f( ) ( )− ≥1 0 .

f x f x x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .− = − − − = − + = −1 2 1 2 1 1 2

x ,0 + ∞( )x − ≥1 02 f x f( ) ( ) .− ≥1 0

Théorème 3

On considère une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I.Si f a un extremum en un point d’abscisse a alors f a'( ) .= 0

Autrement dit, un extremum est à prendre parmi les points où la dérivée s’annule. Cependant, la dérivée peut s’annuler en a I∈ sans que la fonction f n’atteigne d’extremum en a. L’exemple 2 suivant en est une illustration. Mais d’abord, dans l’exemple 1 suivant, voyons une application du théorème 3.

Remarque

� Exemple



La fonction f x = 1 −1

x ≥ 0, x x( ) .− ≥ −2 1

� f � par f x x( ) ( ) .= − +1 23

f

f x x'( ) ( ) ,= −3 1 2 f '( ) .1 0=f

x = 1,

x >1 ( )x − >1 03

( )x − + > +1 2 0 23

f x f( ) ( ).> 1

x <1, ( )x − <1 03

( )x − + < +1 2 0 23

f x f( ) ( ).< 1

C fC f « traverse » cette tan

nées )1 2 point d’inflexion. –0,5Cf

–0,5

0,5

1

1,5

2,0

2,5

3

3,5

0,500

1 1,5 2–1

� Une fonction peut atteindre un extremum en plusieurs points comme l’illustre la courbe de fonction définie sur l’intervalle −6 18 ci-dessous :

00123456789

10111213141516171819202122232425

–1–2–3–4–5–6–2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

� Une fonction peut aussi ne pas avoir d’extremum sur un intervalle. C’est le cas par exemple de la fonction « inverse » sur l’intervalle 0 + ∞ (définie par f x

x( ) = 1

), dont

les valeurs sont aussi grandes que voulues puisque f ( , ) ,0 001 1000= f ( , ) , ...0 000001 106= (elle n’a donc pas de maximum) et dont les valeurs sont aussi proche de zéro que vou-lues mais positives puisque f f( ) , , ( ) , , ...100 0 01 10 0 0000016= = (elle n’a donc pas de minimum puisque la valeur zéro n’est jamais atteinte).

Remarque



� Optimisation

x

X

X

x

premier temps.

x 032

V x( ) x.

3 2− x x V x x x( ) ( )= −3 2 2 3

V x x x x( ) .= − +4 12 93 2

La fonction V 032

etV x x x'( ) .= − +12 24 92

V x'( )

V x x x x x'( )= − + = − +

12 24 9 3 4 8 32 2

4 8 32x x− +∆= − − × × = =( )8 4 4 3 16 42 2

� Exemple



∆>0 2 4 8 32x x− + est 4 1 2( )( )x x x x− −

où x1

82 4

12

=−− −

×=

( ) ∆x2

82 4

32

=−− +

×=

( ) ∆

V x x x'( ) ( )( ) ,= − −

3 4

32

12

V x x x'( ) ( )( ).= − −1232

12

1232

12

( )( )x x− − �

x −∞ 0,5 1,5 +∞

x − 32

— — 0 +

x − 12

— 0 + +

1232

12

( )( )x x− − + 0 — 0 +

V 032

x 0 0,5 1,5

V ' + 0 — 0

V0

2

0

V ( ) ,0 4 0 12 0 9 0 03 2= × − × + × = V ( , ) , , ,0 5 4 0 5 12 0 5 9 0 5 23 2= × − × + × = et

V ( , ) , , , .1 5 4 1 5 12 1 5 9 1 5 03 2= × − × + × =

m3,

f

f '

f x'( )




Soit f −4 3 par f x x x x( ) .= + − +2 3 12 13 2

� f ' f.

� f x'( ).

� f −4 3

� f

a. −3 2 ?

−4 3 ?

� −3 2 f x( ) = 0

Soit f −∪4 0 0 4 parf x x

x( ) .= + −2 1

4

� f ' f.

� f x'( ) .

� f −4 4

Soit f − ∞ − ∪ − +∞2 2 parf xx

x( ) .= −

+3 1

2� f ' f.

� f x'( ) .

� f − ∞ − ∪ − +∞2 2

f et f x x( ) = etx x

( ) .= − +2 3 32

2

�

.

� a. A, ce point).

P P est P

� A,

C

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5



« Si f x'( ) ≥ 0 x I∈ M Cf x I∈ Cf

f est croissante ».

f Cf

f x'( ) ≥ 0 ».

« Si ′ =f a( ) 0 a x) ».

« Si ′ =f a( ) 0a ».

f −∞ ∪ +∞0 0f

� f f( ) ( )− ≥1 1 ?

� f f( ) ( )− >1 1 ?

C C C1 2 3, , f, et 1 8

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–1

1

0

2

3

4

5

6C3

C2

C17

10 2 3 4 5 6 7 8

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8



La fonction ffonction .

f, et



5 Synthèse de la séquence

� Dérivées des fonctions usuelles

Fonction f Dérivée f’ Intervalle I

f x c( ) = (c f x'( ) = 0 I =�

f x mx p( ) = + f x m'( ) =

f x x( ) = 2 f x x'( ) = 2

f x x( ) = 3 f x x'( ) = 3 2

f x xn( ) = , n ∈ −� { }0 f x nxn'( ) = −1

f x x( ) = f xx

'( ) = 1

2I = +∞0

f xx

( ) = 1 f xx

'( ) = −12

I

I

= −∞

= +∞

0

0

� Dérivation et opérations sur les fonctions

Soient et v I' etv '.

Fonction Dérivée

+ ( )' ' '+ = +

où k ∈�. ( )' '=

( )' ' '= +

2 ( )' '2 2= ⋅ ⋅

3 ( )' '3 23= ⋅ ⋅

n où n ∈ −� { }0 ( )' 'n n= ⋅ ⋅−1



1 ( I) 1

2

=−

''

v (v I)

v v

=

⋅ − ⋅'

' '2

� Applications de la dérivation

f I.

« f I x I∈ , f x'( ) = 0 ».

« f I x I∈ , f x'( ) ≥ 0 ».

« f I x I∈ , f x'( ) ≤ 0 ».

f I.

Si f a f a'( ) .= 0

� Théorèmes 1 et 2

� Théorème 3



5 Exercices d’approfondissement

I– Démontrons d’abord le premier point du théorème à savoir :

Si f I x I∈ , f x'( ) .≥ 0

f

f

x I∈ , f x'( ) .≥ 0

a I∈ .

� f a'( ).

� a) > 0, f a a( ) ( ).+ ≥

> 0, f a a( ) ( )

.+ − ≥ 0

� a) < 0, f a a( ) ( ).+ ≥

< 0, f a a( ) ( )

.+ − ≥ 0

� f a'( ) .≥ 0

� x I∈ , f x'( ) .≥ 0

II– Démontrons ensuite le second point du théorème 1, à savoir :

Si f x I∈ , f x'( ) .≤ 0

� −f

� −f

f f x x x xx

( ) ( ) .= + + − − −2 2 1 24

2

� a) f.

f '( ).−1

Exercice I

Exercice II



c) a f a'( ) .≥ 0

f est croissante.

� f '.

f x'( )

� a) f x xx

'( ) .= + − −3 12

1

x a∈ +∞

vraie 3 12

1xx+ ≥ + .

er poste.

f et ) et

La fonction f 0 2 par f x x( ) .= − +12

152

La fonction 5 12 par x( ) ( ) .= −17

12 2

( )SR

� a) Cf S

Exercice III

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Cg

Cf

S

R

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14



C R

�

a) f et .

Fonction[f,a,b]

( )SR .

c)

x3, est

V xx

= −

30 1

102π où 0 10≤ ≤x .

Déterminer x

f tt

t( ) = +

+24 10

8 où t f t( ) est

f t'( )

� a)

t 10 30

Année1980 +t 2008 2009

� f

� a) f '( )28 f '( ).29

�

Exercice IV

Exercice V

Exercice VI



x er

G x x x( ) , ,= −50 1 52 3 où 0 31≤ ≤x .

G .

� Déterminer ′G x( ).

�

x 0 1 2 3 5 10 15 20 25 30

′G x( )

� G.

�

■


fonctions dérivées

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