fonctions booléennes primaires
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Fonctions Booléennes primaires. A. Objectifs de la séquence: à l'issue de la séquence, il faut être capable de:. Identifier sur un schéma structurel les portes logiques primaires et en déduire les différentes équations booléennes liées aux grandeurs d’entrées. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
A. Objectifs de la séquence:à l'issue de la séquence, il faut être capable de:
•Identifier sur un schéma structurel les portes logiques primaires et en déduire les différentes équations booléennes liées aux grandeurs d’entrées.
•Etablir , à partir des chronogrammes relatifs aux grandeurs d’entrées les chronogrammes relatifs aux grandeurs de sorties.
B) ETUDE DE LA FONCTION SECONDAIRE CADENCEUR
&
&
S 3
S 2
V C C
C L K
M a n u
4 .7K
B
&
AM od e
V C C
4 .7 K
S 1
1) Schéma structurel
C) ELARGISSEMENT DE L’ETUDE
1) RAPPEL VARIABLE BINAIRE
•On nomme variable binaire tout phénomène qui ne peut prendre que 2 états:
Par convention on représente l’un des états d’une variable binaire par le chiffre « 1 » alors que l’état opposé (ou complémentaire) est symbolisé par le chiffre « 0 »
•En logique positive
Le « 1 » correspond à la présence d’information
Le « 0 » correspond à l’absence d’information
aL
aL
aL
a L
•Du point de vue des contacts on choisit habituellement:
L’état « 1 » lorsqu’il y a action sur le contact
L’état « 0 » lorsqu’il n’y a pas action sur le contact
• pas d’action sur a a=0 a est au repos la lampe est éteinte L=0
•Action sur a a=1 a est actionné la lampe s’allume L=1
•Pas d’action sur au repos la lampe est allumée L=1
0 aa
•Action sur
est actionné la lampe est éteinte L=0a
1 aa
2) OPERATEURS LOGIQUES
2.1) Fonction ‘NON’
On associe à une variable binaire quelconque a son complément
si a=1 a 0
si a=0 a 1
1
Symbolisation: Table de vérité
a
0 1
1 0
S
Equation logique
aS
2.2) Fonction ‘ET’
On désire qu’une lampe s’allume lors de l’action simultanée sur 2 contacts a et b
Schéma électrique aL
b
& a b s
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Table de vérité
Equation logique:
X.X =X X.1 =X
X. X =0 X.0 =0
Symbolisation
Propriétés
S=a.b
2.3) Fonction ‘OU’
On désire qu’une lampe soit allumée soit par action sur un contact a soit par action sur un contact b soit par action simultanée sur les 2 contacts.
Schéma électrique
Table de vérité
Equation logique
aL
bSymbolisation:
> 1 a b s0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1X + X = X X+1 =1
X+ X =1 X+0 =X
Propriétés
S=a+b
2.4) Fonction ‘OU’ exclusif
On désire qu’une lampe soit allumée soit par action sur un contact a soit par action sur un contact b mais pas lors de l’action simultanée des 2 contacts.
Schéma électrique
Table de vérité
S=a b
Symbolisation:
a b S0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
aL
b a
b
= 1
Equation logique
2.5) Fonction ‘NAND’
Schéma électrique
Table de vérité
Equation logique
Symbolisation:
a b S0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
aL
b
&
bab.as
2.6) Fonction ‘NOR’
Schéma électrique
Table de vérité
Equation logique
Symbolisation:
a b S0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
aL
b
> 1
b.abaS
3) Exercices
REALISATION d’une NON à partir d’une NAND
REALISER UN ET à partir d’une NAND
REALISER UN OU à partir d’une NAND
REALISER une NON à partir d’une NOR
REALISER une ET à partir d’une NOR
REALISER une OU à partir d’une NOR
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4)Autres propriétés de l’algèbre de BOOLE
S= a b c d. . .
S= a b a b c. . .
S= a b b c. . =
S= c b a c.
Redondance: YXY.XX
Distributivité: a.(b+c)= a.b +a.c
Relation de DE MORGAN bab.a
Exemples
D) RETOUR A L’OBJET TECHNIQUE ETUDIE
Compléter les chronogrammes ci-dessous:
&
&
S 3
S 2
V C C
C L K
M a n u
4 .7K
B
&
AM od e
V C C
4 .7 K
S 1
Automatique Manuel
E) EXERCICES
1) EXERCICE 1
> 1
A
B
C
S o rtie
t1
A
B
C
S o rtie
Que se passe-t-il au temps t1?.
2) EXERCICE N°2
1
1
&
>1
&x=....
A
B
C
D
Remplacez la porte OU par une porte ET et les portes ET par des portes OU.Ecrivez ensuite la nouvelle expression de sortie.
A l'aide de l'expression de x donnée ci-dessus, Trouver la valeur de sortie du
circuit pour les conditions A=0, B=1, C=1 et D=0
1) GENERALITES
F) SCHEMA LOGIQUE:
Un schéma logique est la représentation graphique de l'équation logique.
On distingue 3 types de schémas logiques (Logigrammes)
Uniquement avec des opérateurs NON, ET,OU
Uniquement des opérateurs NAND
Uniquement des opérateurs NOR
2) Avec des opérateurs de type ET, OU, NON
Exemple:
Pour transposer une équation en schéma logique avec des opérateurs il faut:
Déterminer le nombre d'opérateurs ET .Pour cela, il suffit de compter le nombre de groupes de produits logiques et de déduire le nombres d'entrées nécessaires sur chaque opérateur.
Déterminer le nombre d'opérateurs OU.Pour cela, il faut compter le nombre de groupes de sommes logiques et déduire le nombre d'entrées nécessaires sur chaque opérateur.
Relier les différents opérateurs entre eux.
c.b.ac.b.ac.b.aS
Nombre d'opérateurs NON 3
Nombre d'opérateurs ET(3 groupes de produits logiques) ces opérateurs doivent posséder 3 entrées.
Nombre d'opérateurs OU1 (1 somme logique) cet opérateur doit posséder 3 entrées.
3) Avec des portes NON ET uniquement
S=a b c a c d. . . .
4) Avec portes NON OU uniquement
S=a b c a c d. . . .
G) TABLEAU DE KARNAUGH
Exemple:Variables d'entrées A et B0 1
0
1
A
B
0
1
A00 01 11 10
B
C
Ce tableau reprend les indications de la table de vérité pour les mettre sous une autre forme.
Le nombre de cases est égale au nombre de lignes de la table de vérité.
Chaque ligne et chaque colonne correspond à un état d'une ou plusieurs variables d'entrées.
Exemple:Variables d'entrées A et B et C
Remarque:Chaque ligne et chaque colonne est numérotée avec l'état que peuvent prendre les variables d'entrées.
exemple:exemple:
Soit 4 variables A,B,C,D
la case (a) correspond à A,B,C,D=0
la case (b) correspond à A,B,C,D=1
la case (c) correspond à A,C=1 et B,D=0
A00 01 11 10
B
C00
01
11
10
D(a)
(b)
(c)
Attention:Attention:
Entre deux cases adjacentes,seule une variable d'entrée peut changer d'étatEntre deux cases adjacentes,seule une variable d'entrée peut changer d'état
G-1) TRANSPOSITION DE LA TABLE DE VERITE DANS LE TABLEAU DE KARNAUGH
soit la table de vérité suivante: C B A S
(a) 0 0 0 0
(b) 0 0 1 0
(c) 0 1 1 1
(d) 0 1 0 0
(e) 1 1 0 1
(f) 1 1 1 1
(g) 1 0 1 1
(h) 1 0 0 0
Le tableau de karnaugh qui lui correspond,possède huit cases.
0
1
A00 01 11 10
B
C0 0 1 0
0 1 1 1
G-2) SIMPLIFICATION DES EQUATIONS
1. Regroupement des cases
Pour simplifier l'équation,il suffit de regrouper les cases qui possèdent le même état de la variable de sortie dans les conditions suivantes:
Les cases regroupées doivent être adjacentes .
Le regroupement des cases se fait par puissance de 2 (2,4,8,16,32....)Le regroupement des cases se fait par puissance de 2 (2,4,8,16,32....)
les cases possédant le même état de la variable de sortie doivent être utilisées.
Le regroupement doit être le plus grand possibleLe regroupement doit être le plus grand possible.
Une case peut très bien appartenir à plusieurs regroupements.
A00 01 11 10
B
C00
01
11
10
D(a)
(b)
(c)
Exemple du tableau de KARNAUGH précédent:
0
1
A00 01 11 10
B
C0 0 1 0
0 1 1 1
0
1
A00 01 11 10
B
C0 0 1 0
0 1 1 1
0
1
A00 01 11 10
B
C0 0 1 0
0 1 1 1
1 regroupement 2 regroupement 3 regroupement
2) Equation de chaque regroupement.2) Equation de chaque regroupement.
Chaque regroupement donne le produit logique des variables d'entrée qui n'ont pas changées d'état. L'ensemble de ces regroupements est une somme logique
Regroupement de l'état 1 de la variable de sortie S
S=...............+................+................
A.B B.C A.C
3. Cas particuliers
Lors d'un tableau à n variables, si les 2n cas ne sont pas tous décrits, il subsistera alors des cas que l'on qualifiera d'indifférents .
Ils seront symbolisés par la variable x dans le tableau de Karnaugh on pourra selon
les besoins les remplacer individuellement par des 1 ou des 0.
H) EXERCICE:REALISATION D'UN DECODEUR BCD→7SEGMENT
TRANSCODAGE
A
B
C
D
abcdefg
CODEBCD AFFICHEUR
7 SEG
a
b
c
d
e
fg
D C B A NB décimal a b c d e f g 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1
4 3 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 4 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 5 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 6 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 7 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 8 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 9 1 1 1 1 0 1 1
En utilisant KARNAUGH pour chaque segment, à commander,trouver le logigramme correspondant pour chaque segment. Le réaliser à l'aide de portes NAND à 2 entrées.
TRANSCODAGE
A
B
C
D
abcdefg
CODEBCD AFFICHEUR
7 SEG
a
b
c
d
e
fg
A00 01 11 10
BC
00
01
11
10
D
A00 01 11 10
BC
00
01
11
10
D
A00 01 11 10
BC
00
01
11
10
D
A00 01 11 10
BC
00
01
11
10
D
A00 01 11 10
BC
00
01
11
10
D
A00 01 11 10
BC
00
01
11
10
D
a b c
d e f
A00 01 11 10
BC
00
01
11
10
D
g
A00 01 11 10
BC
00
01
11
10
D0 12 3
4 56 7
8 9x x
x x x x