サイコロをn回投げたときの目の 和の確率分布を求 …正規分布とは、...
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サイコロをｎ回投げたときの目の和の確率分布を求めよう
1
サイコロを１回投げるときサイコロ投げ有限母集団説を採用する
• 母集団から1個ランダムに取り出し数字を確認する作業を、 X （確率変数）とする。
12
3 45
6
母集団
割合はそれぞれ「６分の１」である。
確率は、それぞれ６分の１である。
2
サイコロの目の期待値と分散・標準偏差
１
２
３
４
５
６
合計
6/1
6/1
6/1
6/1
6/1
6/1
16)6/1(
kakp kk pa
kk pa 2)(
3
サイコロの目の期待値と分散・標準偏差
１
２
３
４
５
６
合計
6/1
6/1
6/1
6/1
6/1
6/1
16)6/1(
)6/1(1
)6/1(2
)6/1(3
)6/1(4
)6/1(5
)6/1(6
5.36/21
)6/1()5.31( 2
)6/1()5.32( 2
)6/1()5.33( 2
)6/1()5.34( 2
)6/1()5.35( 2
)6/1()5.36( 2
92.2)6/1(5.17
kakp kk pa
kk pa 2)(
5.3 XE平均： 92.2)( 22 XEXV分散：
71.1)( 2 XEXV標準偏差：4
サイコロを２回投げるとき、
度数1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1X
2X
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1X
2X
21 XX
回目の目：
１回目の目
2
:
2
1
X
X
5課題
サイコロを２回投げるとき、
度数1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1
1X
2X
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
1X
2X
21 XX
回目の目：
１回目の目
2
:
2
1
X
X
6
サイコロを２回投げるとき、
度数1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1
1X
2X
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
1X
2X
21 XX
回目の目：
１回目の目
2
:
2
1
X
X
7
の確率分布21 XX
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
kakp kk pa kk pa 2)( kf
8
課題
の確率分布21 XX
2 1 1/36
3 2 2/36
4 3 3/36
5 4 4/36
6 5 5/36
7 6 6/36
8 5 5/36
9 4 4/36
10 3 3/36
11 2 2/36
12 1 1/36
36 1
kakp kk pa kk pa 2)( kf
9
サイコロを２回投げるときの目の和の分布
の確率分布21 XX
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10
課題
サイコロを２回投げるときの目の和の分布
の確率分布21 XX
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11
サイコロを3回投げるとき、度数
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
21 XX
3X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
21 XX
3X
321 XXX
12
課題
サイコロを3回投げるとき、度数
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
2 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
3 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
4 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
5 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
6 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
21 XX
3X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
21 XX
3X
321 XXX
13
サイコロを3回投げるとき、度数
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
2 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
3 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
4 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
5 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
6 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
21 XX
3X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
21 XX
3X
321 XXX
14
の確率分布321 XXX
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
ka kpkk pa
kk pa 2)( kf
15
16
17
18
15
課題
の確率分布321 XXX
3 1
4 3
5 6
6 10
7 15
8 21
9 25
10 27
11 27
12 25
13 21
14 15
ka kpkk pa
kk pa 2)( kf
15 10
16 6
17 3
18 1
216
16
サイコロを３回投げるときの目の和の分布
の確率分布321 XXX
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
17
課題
サイコロを３回投げるときの目の和の分布
の確率分布321 XXX
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
18
確率分布を求めることは次第に困難になってゆくが、
XE 22 )( XEXV
2
2121 2,2 XXVXXE
2
321321 3,3 XXXVXXXE
2
2121 , nXXXVnXXXE nn
これから講義で説明するが、以下の関係が成り立つ。
とおくとき、
19
XE 22 )( XEXV
22,
2
2
2121
XXV
XXE
33,
3
2
321321
XXXV
XXXE
nn
XXXV
n
XXXE nn
2
2121 ,
目の和ではなく、平均を考えると以下が成り立つ
20
サイコロの目の平均の確率分布
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
1 2 3 4 5 6
0.0000
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0.1000
0.1200
0.1400
0.1600
0.1800
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
2
21 XXX
X
92.2,5.3 XVXE
2
92.2,5.3 XVXE 21
サイコロの目の平均の確率分布
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4 3.8 4.2 4.6 5 5.4 5.8
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8
5
521 XXXX
10
1021 XXXX
5
92.2,5.3 XVXE
10
92.2,5.3 XVXE
振った回数を増やすとき、左右対称の釣鐘型の分布（正規分布）に近づく。
22
正規分布とは、
• 数多くの、互いに影響を受けない、小さな変動が積み重なった結果は正規分布に従う。
• うまく場合分けを行う（異質なグループを混ぜない）こと、あるいは、大きな影響を与える要素を取り除くことにより、正規分布になるようにする。
• 統計では最も重要で、最も利用される分布である。特に、物理学、工学、心理学。
• 身長、知能指数、株価収益率などは正規分布に従うと想定される。
23
分布が釣鐘型をしていたら（正規分布と見てよいならば）
経験的に、以下の法則が成り立つ。
–平均±標準偏差の範囲には、
•全体の約70％のデータが含まれる。
–平均±２×標準偏差の範囲には、
•全体の約95％のデータが含まれる。
–平均±３×標準偏差の範囲には、
•全体の99.7％のデータが含まれる。
24
正規分布とは、
25
2
2
2
2
2
)(exp
2
1),:(
xxf
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
平均５０、標準偏差１０の正規分布
1002
)50(exp
1002
1)10,50:(
22 x
xf
正規分布とは、
26
2
2
2
2
2
)(exp
2
1),:(
xxf
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
平均５０、標準偏差１０の正規分布
1002
)50(exp
1002
1)10,50:(
22 x
xf
サイコロの目の平均の確率分布（ｎ＝１０）
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
1 1.2
1.4
1.6
1.8
2 2.2
2.4
2.6
2.8
3 3.2
3.4
3.6
3.8
4 4.2
4.4
4.6
4.8
5 5.2
5.4
5.6
5.8
6
10
1021 XXXX
,10
92.2,5.3 2 XVXE
XX
標準偏差:540.010
92.2 XV
X
27
サイコロの目の平均の確率分布（ｎ＝１０）
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
1 1.2
1.4
1.6
1.8
2 2.2
2.4
2.6
2.8
3 3.2
3.4
3.6
3.8
4 4.2
4.4
4.6
4.8
5 5.2
5.4
5.6
5.8
6
10
1021 XXXX
,10
92.2,5.3 2 XVXE
XX
標準偏差:540.010
92.2 XV
X
28
区間（記号） 区間（数値） 確率
サイコロを10回投げ、目の平均を求める作業を であらわすとき、
10
1021 XXXX
X
22 ～
33 ～
～ %68
%95
%7.99
29
区間（記号） 区間（数値） 確率
サイコロを10回投げ、目の平均を求める作業を であらわすとき、
10
1021 XXXX
X
22 ～
33 ～
～04.496.2
54.05.354.05.3
～
～
58.442.2
54.025.354.025.3
～
～
12.588.1
54.035.354.035.3
～
～
%68
%95
%7.99
30
世論調査に当てはめてみよう
31
00
00 1
11
11
1
1個ランダムに抽出 X
1
1
母集団内の１の比率は分らな
いので、πとしておく。
賛成:1：反対0
反対０賛成１（成功確率π）のときの平均と分散
1
2
k kakp
kk pakk pa 2)(
0
1
1
0.1
0
)1()0( 2
k
k
k paXE
2
1
2
1
222 )()(k
kk paXEXV
2)1(
)1(
母集団からｎ個取り出して平均を見る
母集団から1個取り出す作業をＸとおくとき、ｎ個取り出す作業は、
33
nXXXX ,,,, 321
これをもとに、ｎ個の平均を調べる作業は、
n
XXXXX n
n
321
と表わされる。
の平均と（分散）標準偏差は、
34
nX
nXE
n
XV n
)1(
nXV n
)1(][
標準偏差の計算
500 1000 1500 2000 2500
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
35
標本数:n
n
)1(
課題