EC2412.

PROBLEMAS FM Y RECEPTOR SUPERHETERODINO

Problema 1 Una señal x(t)=0.01 Cosωmt es modulada en FM con f∆=75KHz/v. La magnitud del espectro unilateral observado entre 7 KHz y 13 KHz es la mostrada en la Figura 1 Al cambiar los parámetros de x(t) lo que se observa es lo mostrado en la Figura 2

Determine el nuevo valor de la máxima desviación de la frecuencia instantánea alrededor de fc.

Respuesta: La desviación de frecuencia instantánea de una onda de FM es igual a f∆x(t), para el caso A

kHz75,0)t(xfmax

=∆ . Observe que fm es 1 KHz (distancia entre líneas)

75,0f

fA

1m

1m ==β ∆ , (Del Gráfico se observa que β no cambia), obtenemos:

1

175,0m

m

Af

f =∆ , kHztxfkHzfffAmaxmmm 25,2)(3.75,0 2222 =⇒=→= ∆∆

Problema 2 Considere el siguiente esquema de modulación indirecta

donde el modulador FM banda estrecha es el siguiente:

Si el ancho de banda de transmisión es de 100 KHz , y se requiere una transmisión de alta calidad, calcule: a) Para x(t)= Cos 2π x 103t , la sensitividad del modulador FM y k2 b) Para x(t)= Cos 2 π x 20t , Puede usarse el modulador anterior?

SOLUCIÓN

Del esquema de modulación NBFM tenemos que el índice de modulación es

βπ π

= = =f A

fk k A

fk A

fm

m

m

m

m

m

∆ 1 2 2

2500

2

A la salida se tiene un β β'= 3000 ya que el f∆ se multiplica por 3000

Se sabe que para una transmisión de alta calidad ( )BW = +2 2β f m (despreciando

las líneas que tienen una amplitud por debajo del 1% de Ac ) entonces:

Caso a) ( )BW KHz= + =2 2 100β' f m

⇒ = ⇒ =β β' .48 0 016

0 016. = ⇒f A

fm

m

∆ f∆ = 16

16500

22= ⇒

kπ

k2 0 2011= .

Caso b) ( )BW KHz= + =2 2 100β' f m

⇒ = ⇒ =β β' .2498 08326

β ya resulta cercano a la unidad y βωππ

=∆maxmm

m

tSenAff

22 no es << 1(No es

NBFM). Por lo tanto no se puede utilizar el modulador mostrado.

Problema 3 Observe el siguiente sistema:

Xb(t) = X1(t) + 2[ 1 + 0.5 X2(t)]Cos2π104t Tanto X1(t) y X2(t) tienen un ancho de banda de 3KHz, una potencia promedio igual a 0.5 y una amplitud máxima (en módulo) unitaria. Determine: a) La potencia mínima para que el detector de fase trabaje sobre el umbral ( Verificar si con esto trabaja el detector de envolvente). b) La potencia de transmisión que permite lograr (S/N)D2 = 40 dB .

SOLUCIÓN

En primer lugar hay que chequear que el BW del filtro H fR ( ) sea mayor o igual

que el ancho de banda de la señal PM

[ ]BT = +2 1x t Wb max T( ) Φ∆

x t x t x tb max max max( ) ( ) ( )= + +

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=1 22 112

4

BT = ⋅ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2 412

1 WT

La señal x tb ( ) tiene un espectro

⇒ =WT 13KHz

B KT = × × = <2 3 13 78000 130000

∴si pasa la señal PM

Para que el detector de fase funcione

SN R

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≥ 10

( )x t A t x tc c c b( ) cos ( )= +ω Φ∆

AA

RC=

α con

24 1010 ==α

SBR

Rη≥ 10 ⇒≥ 102

R

T

BSηα

31042 1013010101010 ××××== −RT BS

minηα a) STmin

= 13. watts

Veamos ahora si funciona el detector de envolvente

[ ]y t x t n tb PM( ) ( ) ( )= +Φ∆

Espectro de Φ∆ x tb ( )

Densidad Espectral de Potencia de n tPM ( )

Luego del filtro pasa banda:

Espectro de ( )Φ∆ 2 1 05 2 1024+ . ( ) cosx t tπ

Densidad del ruido

Potencia de ruido = 2

10000K1022

α

ηηTR

SS×

=××

Potencia de señal = Φ∆2 2

2

4 14

12

14

2 118

916

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

x

La relación señal a ruido a la entrada del detector de envolvente es

916

10 101310

916

1013

7313 1010 4

4

2− −×= = ≥ ⇒

. .

. ¡El detector de envolvente funciona!

Resolviendo ahora la parte b):

Queremos SN D

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

2

40dB , ¿Cuánto debe valer ST ?

A la entrada del detector de envolvente tenemos

y tx t

t n t t n t ti q12 4

14

142 1

22 10 2 10 2 10( )

( )cos ( ) cos ( ) sen= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ × + × − ×Φ∆ π π π

R tx t

n t n ti q( )( )

( ) ( )= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+2 12

21

2

12Φ∆

Como SN

= 733. (bastante grande)

⇒ ≈ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +R t

x tn ti( )

( )( )2 1

22

1Φ∆

si se bloqueara la DC

R t x t n ti( ) ( ) ( )≈ +Φ∆ 2 1

S xD2

222 1

414

116

= = ⋅ =Φ∆

El ruido pasabanda era

∴ La densidad de la componente en fase filtrada con al LPF queda

⇒ =NSD

R2

104η 4

4 1010161

2

2 ≥=⇒

R

D

D

SNS

η 16108 ××≥=⇒ η

α RT SS

αη ×××≥⇒ 16108TS ⇒ b) w1600≥TS

Problema 4 Un sistema de comunicaciones consta de transmisor, canal y receptor. Por el mismo se envía un mensaje x(t) , con potencia promedio igual a 0.5 y con ancho de banda 10 KHz, modulado. El canal atenúa la amplitud en 10-5, y el ruido aditivo tiene densidad espectral igual a 0.5 x 10-14. Si se desea una relación señal a ruido detectada igual a 40 dB, ¿Cúal debe ser el mínimo valor de la potencia de transmisión en cada uno de los siguientes casos:

AM con m=1, SSB, PM con una sensitividad de π rad/v, FM con una sensitividad de 100 KHz/v.

SOLUCIÓN

Caso a) Señal AM con índice de modulación m=1

Luego del filtro HR(f) en el receptor la señal es

( )x tA

x t tRc

c( ) ( ) cos= +10

15 ω

Luego del detector de envolvente y de eliminar la DC, la señal es

x tA

x tDETc( ) ( )=

105 ⇒ = SA x

Dc2 2

1010

Debemos calcular N D . Si se tiene a la entrada del detector de envolvente:

( ) ( )v tA

x t t n t t n t tcc i c q c( ) ( ) cos ( ) cos ( ) sen= + + −

1015 ω ω ω

A la salida del detector tendremos:

( )R tA

x t n t n tci q( ) ( ) ( ) ( )= + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

1015

22

Considerando que el ruido es pequeño, podemos despreciar ni(t) y nq(t) respecto al

mensaje, entonces tenemos:

( )( )

( )R t

A x t n t A x tc i c( )( ) ( ) ( )

≈+

++2 2

5 2 5

1

102

110

( )( )≈

++

+A x t n t

A x tc i

c

110

12110

5

5

( ) ( )( )

.

( )≈

++

A x tn tc

i

1105

( )( ) (lo mismo que con detector síncrono) .

La densidad de ni(t) luego del LPF

Por lo tanto N WD = = × × = ×− −η2 2 10 10 2 1014 4 10

∴ En AM con m=1 410

10

22

10102

10 ≥×

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

xA

NS

c

D

⇒ ≥×

Axc

24

2

2 10

Como la potencia promedio del mensaje es igual a 0.5w entonces:

Ac min2

442 10

054 10=

×= ×

. ⇒ KWAxAS cc

minT 301034

3)1(2

42

22

=×=×

=+=

Caso b) Señal SSB(Detector síncrono)

Se detecta )(2105 txAc ⇒ S

A xD

c=2 2

2 4α

En este caso la potencia del ruido es la mitad que en AM y DSB:

N n WD i= = = × =− −2 14 4 1010 10 10η

∴ En SSB SN

A x

D

c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = × ≥−

2 2

10

10410 4

1010 ⇒ A

xc2

4

2

4 10≥

×

Ac min2

444 10

058 10=

×= ×

. ⇒ KwxAS c

minT 101015.04108

44

42

2

=×=×

==

Caso c) Señal PM con Φ∆ = π

La relación señal a ruido detectada es

SN

x xSWD

R⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = = ≥Φ Φ∆ ∆

2 2 2 2 410γη

⇒ SW

xR ≥× ×104

2 2

η

Φ∆

⇒ ( )

622

4144

1025.0

101010 −−

×=×

××=

ππminRS

Como S

ST minRminα2 = ⇒ KwS minT 02,210210210 4

26

210 =×=××= −

ππ

Caso d) Señal FM con f∆ = 100KHz

La relación señal a ruido detectada es

SN

xSWD

R⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≥3 3

10005 102 2

24∆ γ

ηK

10K. ⇒ 3 100 05 102

4× × × ≥.S

WT

α η

SW

T ≥×10150

4 2α η ⇒ wS minT 66,66

15010

15010101010 4414104

==×××

=−

Se observa que FM es el sistema que requiere la menor potencia de transmisión para

lograr una misma relación señal a rruido a la salida.

Problema 5 Se transmite un tono utilizando FM. Cuando no hay mensaje, el transmisor emite 100 W sobre 50 ohmios. La desviación de frecuencia pico del transmisor se aumenta desde cero y hasta que la línea espectral ubicada en fc se anula. Determine la potencia de la línea ubicada en fc, la potencia en las bandas restantes y la potencia en las bandas ubicadas en fc ± 2 fm.

SOLUCIÓN

Ac

2

2 50100

×= ⇒ Ac = 102

β = 2 4. Para el primer nulo de la portadora

Por lo tanto J0 2 4 0( . ) = y esa línea espectral (la que está en fc ) tiene potencia nula

La potencia en las bandas restantes debe ser A

Rc2

2100

×= w

La potencia en las líneas en f fc m± 2 será

( )450 2

2 4450

104

0 4 322

22

42A

Jc⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

≅ × × =( . ) . w

Problema 6

En el esquema mostrado en la figura en el cual el filtro pasabanda está centrado a la frecuencia de portadora, se hacen las siguientes pruebas: -Con Am=0, el watímetro indica 200 watts. -Al aumentar desde Am=0 y llegar a Am = 20 el watímetro indica cero por primera vez. Determine : la amplitud de la portadora sin modular, la sensitividad del modulador y el ancho de banda de la señal FM con Am= 40.

SOLUCIÓN

a) Si Am = 0 ⇒ β = 0

x t A f tc c c( ) cos= 2π

Ac

2

2200= ⇒ Ac = 20

b) Si el watímetro indica cero, como el BPF solo deja pasar la línea de portadora

⇒ 0)4.2(J)(J 00 ==β

5m

m

10f20

ffA4.2 ∆∆ ×

===β

⇒ f∆ =×

=40 12700

10127005 Hz

v

c) Si Am = 40

β =×

=×

=40

1040 12700

105085 5

f∆ .

⇒ ( )BW MHz= + =2 1 1216β fm .

Problema 7 En un modulador FM, el mensaje es x(t)= 5 Cos2π104t. Si β=60, determine: La potencia de transmisión (fm<<fc), la máxima desviación de frecuencia, el ancho de banda de la señal FM. Determine de nuevo esos tres parámetros si la frecuencia y amplitud del mensaje se duplican.

SOLUCIÓN

x t t( ) cos= 5 2 104π si β = =60A f

fm

m

∆

60 60 10

512 10

44×

= =×

= ×f

Afm

m∆

Entonces

a) Potencia de transmisión Ac

2

2

b) Máxima desviación de frecuencia A fm ∆ = ×60 104 Hz

c) Ancho de banda ( )BW Hz= + = × × = ×2 1 2 61 10 122 104 4β fm

Si la frecuencia y amplitud del mensaje se duplican, es decir, A Am m'= 2 y f fm m'= 2

β = 60

Entonces

a) Potencia de transmisión NO cambia

b) Máxima desviación de frecuencia A fm ' ∆ = ×120 104 Hz (Se duplica)

c) Ancho de banda ( )BW Hz= + = ×2 1 244 104β fm ' (Se duplica)

Problema 8 Si ud. tiene un modulador exponencial, como determinaría si es FM o PM variando únicamente la señal modulante?

SOLUCIÓN

Si se coloca una señal de pulsos o una señal cuadrada se puede ver rápidamente si es PM o

FM.

Problema 9

En el modulador mostrado se sabe que el mensaje es un tono de 4KHz y amplitud

unitaria. Si βC = 3 , determine los anchos de banda en los puntos A,B,C,D.

SOLUCIÓN

β11

1

404000

0 01= = =A f

fm

m

∆ . ⇒ NBFM

⇒ BW KA mW f≅ = =2 2 81

Se sabe que ( )n K MHz1200 10 100± =f LO

Y que 10 nfinal

× × =1 1f f∆ ∆

En el punto C f fC∆ ∆= ×n1 1

y βCm

m

A ff

fC= = =

∆ ∆n1 1

40003

⇒ n1

1200040

300= =

f fB∆ ∆= =300 12000

1

β βB C= = =120004000

3

( )BW K K BWB B m Cf= + = × × = =2 1 2 4 4 32β

En el punto D β βD C= =10 30 ( )BW KD mf= + = × × =2 30 1 2 31 4000 248

Problema 10

En el sistema mostrado xb(t) es el mensaje , el cual viene dado por xb(t) = x1(t) +

x2(t)Cos 40000πt, donde tanto x1(t) como x2(t) tienen potencia promedio unitaria y ancho

de banda igual a 10KHz. Si la potencia SR que le llega al detector FM es de 1 mw, calcule

las relaciones señal a ruido (S/N)D1 y (S/N)D2

SOLUCIÓN

Las ganancias del sistema son tales que

y t x t n tD b( ) ( ) ( )= +

donde x t x t x t tb ( ) ( ) ( ) cos= +1 2 2 20000π

x1 → K101 =W x12 1=

x2 → K102 =W x22 1=

Determine SN D

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

y SN D

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

La DEP de xb(t) y la DEP del ruido(a la salida del detector FM) son:

( )NS

f dfSR R

12

0

104 3

12 12

322 3

1010 10

3 101000

3= = =

⋅=∫

−

−

η ηK

Pero por las ganancias resulta que

[ ]y t k f x t n t x t k n tD b FM b FM( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = + ⋅∆

k f⋅ =∆ 1 kf

= = −110 4

∆

La potencia de ruido a la salida es la obtenida anteriormente multiplicada por k2.

⇒ N1

5103

=−

S x1 12 1= = ⇒

SN

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = = ×−

15

5110

3

3 10

Por la rama inferior, luego del BPF, la Densidad espectral de potencia del ruido es

N f df fR = × = = ×−−

−∫10 1010

3263

1018 217

10

310

5

K

30K

K

30K

S xD2 22 1= = La potencia del ruido luego del detector síncrono es la misma que a la

entrada: n n22 2=

SN D

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

×= ×

−2

1263

10

326

105

5

Observe que esta SNR es peor que para yD1. La zona más alta en frecuencia es peor!

(Por la característica cuadrática del ruido).

Problema 11 Observe el siguiente sistema

En el sistema mostrado se cumple lo siguiente (Los subíndices se refieren a los puntos encerrados en círculo)

y1(t ) = 8000Cos(2πfct + 2π x(τ )dτ )

0

t

∫

Gn2(f)=0.5x10-10 w/Hz y3(t)= f∆ x(t) Gn3(f)=ηf2/SR Para -BT < f< BT S4/N4 = 300 Determine el ancho de banda del mensaje

Respuesta

De ( ) 80001 =⇒ cAty y f∆=1 ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫∆

t

ccFM dxftfAx0

22cos ττππ ; ademas tenemos que:

S4/N4 = 300, con 224 xfS ∆= (De calcular la potencia en 3) y dfGnN

w

∫=0

34 2

R

W

R SWNdff

SN

322 3

40

24

ηη=⇒=⇒ ∫

1212.2 ===⇒W

WTotalPotx Area debajo de Gx(f)

kHzSWWS

NS RR 85.5

300.10.212000

300.23300

23

310

33

4

===→==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒ −ηη

, (con η=10-10 y

400028000 ==RS )

Problema 12 Cuando un tono de de 10KHz y potencia unitaria es modulado en FM, se obtiene una potencia transmitida de 100w. Esta señal pasa por un canal ideal y a la entrada del receptor se le suma ruido blanco con densidad espectral igual a 0.5x10-10 w/Hz. El receptor, luego de filtrar apropiadamente, detecta con un detector ideal seguido de un bloqueador de DC y un filtro pasabajo ideal apropiado de tal forma que la relación señal a ruido final es de 5x107. Determine el ancho de banda de la señal FM. Respuesta:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫∆

t

ccFM dxftfAx0

22cos ττππ y ( ) tAtx mm ωcos= , ( )mm ffABW 22 += ∆

2001002

2

=⇒= cc Aw

A

Para FM(Quitando la DC) la potencia a la salida 22Ss xf∆= con 12 =x (Por enunciado).

Rs

W

Rs S

WNdffS

N3

22 3

0

2 ηη=⇒=⇒ ∫ , con W=10 kHz y SR=100

( ) ( ) VHzxSWNS

fxWfS

NS

R

SR

s

/5,4082300

10.10.105.3

.2..105

23 103473

73

2

===→==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

−

∆∆ η

η

Por otro lado, tenemos: 212

2

=⇒== mm

m AA

P

( ) ( ) kHzHzxVHzVxffABW mm 54,51102/31,40742222 4 =+=+=⇒ ∆

Problema 13 En un sistema PM cuando el mensaje es un tono de amplitud unitaria, la relación señal a ruido justo antes del detector es de 20dB. Si la sensibilidad del modulador es igual a 2, determine la relación señal a ruido detectada.

SOLUCIÓN

SN

SB

WBR

R

T T

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

ηγ

( )B WT p= +2 1β ( )BW

ATm= + =2 1 6Φ∆

SN R

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

γ6

100 ⇒ γ = 600

SN

xD

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = = × × =Φ∆

2 2 4 60012

1200γ

Problema 14

La figura ilustra un receptor superheterodino:

G1 y G2 son ganancias de voltaje

En el sistema mostrado la señal s t( ) que proviene de la antena es igual a

( )[ ]s t x t t n t( ) . . ( ) cos ( )= + +0 01 1 0 707 2 106π

donde x t( ) es un mensaje con ancho de banda igual a 5KHz , media cero y potencia

normalizada igual a 01. w . Por otra parte, n t( ) es ruido blanco gausseano con media cero y

densidad espectral constante igual a 2 5 10 14. × − w / Hz . Ademas, G1. G2=1000

a) Determine la mínima potencia que debe recibirse a la entrada del amplificador RF

para que el detector funcione correctamente.

b) Determine la relación señal a ruido a la salida.

SOLUCIÓN

Para que el detector de envolvente funcione correctamente la relación señal a ruido en

su entrada debe ser mayor o igual que 10, es decir, la relación señal a ruido a la salida del

filtro IF debe ser SN R

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≥ 10

La señal que llega a la entrada del detector de envolvente es

( )G G x t f t1 2 0 01 1 0 707 2. . ( ) cos+ π IF

( )⇒ +10 1 0 707 2. ( ) cosx t f tπ IF

( )⇒ = + =Potencia = wS xR

102

1 0 707 52 52

2 2. .

El ruido que sale del filtro IF es

w1051010210010105.2=Ruido Potencia 432214 −− ×=××××××=⇒ RN

31051010 −×=≥⇒≥ RRR

R NSNS

322

21 105 −×≥⋅⋅=⇒ GGSS TR

nwST 5w10510105 9

6

3

=×=×

≥⇒ −−

nwST 5MINIMO =⇒

Estamos muy por encima del umbral

b) A la salida del sistema, quitando la DC

0.01G1G2x0.707x(t)=7.07x(t)

998.4)07.7( 22 ==⇒ xSD

El ruido que se tiene a la salida produce

w105101010010)105.2(2=Ruido Potencia 432214 −− ×=×××××=⇒ DN 410≈

D

D

NS

Problema 15 Observe el siguiente sistema:

Sea un mensaje x(t) aleatorio, con ancho de banda W=1.5KHz, potencia igual a 0.5 w y | x(t)| máx=1. Conociendo que f∆=39500 Hz/v a) Determine Ac mínimo para tener señal inteligible a la salida. b) Diseñe en detalle el filtro HR(f). c) Diseñe el RECEPTOR en detalle. d) Determine (S/N)D .(Use el valor de Ac obtenido en a)) Solución: a)

Para que la señal sea inteligible la relación señal a ruido antes del detector debe cumplir que 10.

≥T

R

BS

η

Sabemos también que ')2(2 WBT +∆= y que 1'

==∆ ∆maxX

Wf

Los parámetros X max y W’ son de la señal DSB Por lo que

8

1314

1016.3

395002104395001395003950021021010

−

−−

×≥

×××=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×××=≥

R

TR

S

BS η

También sabemos que el canal atenúa en 40 dB a la señal lo que linealmente es 104