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Água: captando de poços

Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Introdução |Principais problemas |

Situação nas capitais de estados no Brasil |

E o futuro? |Captando água de poços |Bombeamento com ejetor |

Bombeamento com ar comprimido |

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Introdução| Topo pág | Fim pág |

Retirar água doce do subsolo por meio de poços foi sempre uma alternativa usada pelo homem quando as fontes superficiais são inexistentes ou insuficientes.

De início, os poços eram simples escavações manuais de onde a água era retirada por meio de baldes ou similares (provavelmente, ainda existentes em muitos locais). Na era da modernidade, as técnicas e recursos da Engenharia evoluíram. É possível perfurar grandes profundidades e sistemas de bombeamento permitem a plena utilização da capacidade do poço.

Mas será que os poços são fontes isentas de problemas? Bem, isso depende do respeito à Natureza. Se a quantidade extraída for maior do que aquela que ela (a Natureza) pode regenerar, certamente, eles (os problemas) ocorrerão.

O Brasil dispõe da maior reserva de água doce do planeta. Mas, infelizmente, ela e a população não se encontram uniformemente distribuídas. Em vários centros urbanos, principalmente em capitais, a escassez do fornecimento normal provocou o uso intensivo da captação por meio de poços e, com isso, também os problemas decorrentes.

Mesmo em cidades onde o abastecimento convencional é satisfatório, ocorre a utilização disseminada de poços. Muitos condomínios, hotéis e outros estabelecimentos comerciais investem na perfuração e manutenção deles devido ao menor custo, se comparado com o fornecimento das concessionárias.

Principais problemas| Topo pág | Fim pág |

Entre as questões mais preocupantes do uso de poços em grandes cidades, pode-se citar:

a) Poluição: contaminações de origens diversas podem ocorrer nos lençóis subterrâneos. Esgotos domésticos não tratados, por exemplo. Depósitos de lixo e de sucatas e empresas que não consideram o ambiente são fontes potenciais de poluentes perigosos como metais pesados e produtos químicos diversos.

b) Construções e pavimentações nas cidades reduzem a renovação da água no subsolo. Em geral, a água da chuva é captada e dirigida, por meio de redes pluviais, a rios ou mares e, portanto, a infiltração no solo é reduzida. Notar que a água captada por poços, em sua maior parte, também não retorna para o subsolo. Depois de usada, é conduzida por redes de esgotos ou pluviais para destino semelhante.

c) Em cidades situadas à beira-mar, a redução do nível do lençol subterrâneo provocado pela captação excessiva provoca um fenômeno indesejável: a água do mar tende a avançar mais, provocando a salinização e, assim, fazendo a água imprópria para o consumo.

Normalmente, os poderes públicos tentam controlar a situação. A tarefa, entretanto, nem sempre é das mais fáceis, pois estima-se que o número de poços perfurados sem autorização seja considerável.

O usuário também precisa estar atento principalmente para a constante monitoração da qualidade. Afinal, novas fontes de poluição podem surgir e nada garante que uma água, hoje considerada própria para o consumo, assim se manterá no futuro.

Situação nas capitais de estados no Brasil| Topo pág | Fim pág |

Em 23/02/2003, o jornal A Tarde publicou uma interessante reportagem de duas páginas sobre o assunto. Informações, segundo a matéria, foram obtidas junto às Secretarias Estaduais e Municipais sobre a situação dos poços em todas as capitais de Estado no Brasil.

Rio Branco - AC: Legislação específica em elaboração. O uso de poços é comum.

Maceió - AL: Apesar da lei, falta fiscalização e estima-se que poços são usados por 80% da população. Há registros de contaminação por poluentes industriais em duas áreas.

Figura 01

Manaus - AM: O uso de poços está disseminado mas a legislação sobre o assunto ainda está em elaboração.

Macapá - AP: Legislação específica em elaboração. O uso de poços é comum.

Salvador - BA: Existe lei mas a fiscalização é precária. São estimados mais de 1000 poços clandestinos.

Fortaleza - CE: O poder público ainda está levantando a situação. Não há controle sobre os 10000 poços estimados. Há registros de poluição em algumas áreas.

Brasília - DF: Existe lei recente e alguma fiscalização.

Vitória - ES: A fiscalização é precária. Existem registros de contaminação por esgotos o que motivou a proibição, por algum tempo, de novas perfurações.

Goiânia - GO: O controle é insuficiente e boa parte dos poços são clandestinos. Já houve contaminação causada por postos de gasolina.

São Luís - MA: Existem poços cadastrados e clandestinos. Não há registro de poluição apesar da insuficiência de estações de tratamento de esgotos.

Belo horizonte - MG: Existe lei recente sobre o assunto mas a fiscalização é deficiente. Não há registros de contaminação.

Campo Grande - MS: Legislação específica em elaboração. O uso de poços é comum e existe abundância de água no sub-solo. O poder público procura monitorar a contaminação por esgotos.

Cuiabá - MT: Legislação específica em elaboração. O uso de poços é comum e existe abundância de água no sub-solo.

Belém - PA: É a única capital da Amazônia que dispõe de legislação específica mas as limitações são poucas pois a freqüência de chuvas favorece a recuperação do lençol. Há poluição por esgotos em alguns pontos.

João Pessoa - PB: Apesar do controle pelo poder público, existem muitos poços clandestinos. Não há registros de poluição e de redução do nível do lençol.

Recife - PE: Talvez, a capital com maiores problemas. O número excessivo de poços provocou a penetração de água do mar e o conseqüente aumento da salinidade. Novos poços estão proibidos em algumas áreas.

Teresina - PI: Os poços estão proibidos. A captação intensiva reduziu o nível do lençol e provocou problemas no solo em algumas áreas.

Curitiba - PR: Há boa fiscalização, o que minimiza os problemas. A quantidade de água disponível no sub-solo é pequena.

Rio de Janeiro - RJ: Quase não há controle. São estimados mais de 10000 poços clandestinos. A água do sub-solo está diminuindo e, hoje, há perfurações com 300 a 400 m de profundidade.

Natal - RN: Novos poços estão proibidos devido à contaminação por esgotos. São estimados 2000 a 3000 poços clandestinos.

Porto Velho - RO: Legislação específica em elaboração. O uso de poços é comum.

Boa Vista - RR: Não há legislação sobre o assunto. O uso de poços é comum.

Porto Alegre - RS: Não só na capital, mas em todo o Estado, é proibida a perfuração de poços se houver fornecimento da rede pública.

Florianópolis - SC: Uma das mais problemáticas. Por ser uma ilha de elevada concentração urbana, a captação excessiva elevou o nível de salinidade da água extraída. Em alguns locais, ela não serve para beber.

Aracaju - SE: Há uma demanda intensa por poços devido à insuficiência do abastecimento normal. O poder público pouco consegue controlar e a maioria dos poços são clandestinos. Salinidade excessiva ocorre em certas épocas.

São Paulo - SP: Existe lei com bastantes restrições mas a fiscalização é insuficiente e há muitos poços clandestinos.

Palmas - TO: Há controle pelo poder público. Os poços são cadastrados. É permitida uma vazão máxima de 21,6 m3/dia por poço. As profundidades perfuradas estão na faixa de 60 a 80 m. Não há registro de poluição.

Algumas curiosidades sobre água:

• Uma torneira que pinga uma vez por minuto desperdiça, no período de um ano, cerca de 145 litros de água.

• O percentual de água doce disponível na Terra é cerca de 2,5% do total. Deste percentual, apenas 1% é encontrado para consumo. O restante está nas calotas polares.

E o futuro?| Topo pág | Fim pág |

Parece que os problemas irão aumentar. O excessivo crescimento e concentração das populações forçam demandas que não podem ser atendidas pelos mananciais próximos. A água tem de ser trazida de locais cada vez mais distantes. O problema se agrava pela ocupação de áreas vizinhas a rios e lagos, o que aumenta a poluição dessas fontes. Tudo isso significa mais custos e, portanto, o preço que o consumidor deverá pagar pela água da rede pública será cada vez mais alto.

O uso de poços como alternativa mais barata (ou para suprir a falta) também tem seus limites, conforme nesta página comentado.

Os recursos naturais são finitos. Tudo indica que tal evidência ainda carece de importância. É provável que, algum dia, a sociedade se sinta obrigada a tomar alguma atitude. Reduzir desperdícios pode ser um bom começo.

Captando água de poços| Topo pág | Fim pág |

Existem vários meios para bombeamento da água de poços. O mais simples é dado na Figura 01 abaixo: uma bomba centrífuga com a tubulação de sucção e respectiva válvula de pé no interior do poço.

Figura 01

É adequado para poços pouco profundos, uma vez que a altura máxima de sucção de uma bomba centrífuga (H da figura) é teoricamente cerca de 10 metros. Na prática, devido a perdas nas tubulações, o valor máximo se situa na faixa de 7 a 8 metros.

Figura 02

Para profundidades maiores, outros arranjos devem ser usados, como o da Figura 02, uma bomba de eixo prolongado.

O motor fica na superfície e aciona a bomba no fundo do poço por meio de um eixo vertical no interior da tubulação. Assim, H não é altura de sucção e sim de recalque e seu valor máximo só depende das características construtivas da bomba. Em geral, é usado para profundidades de até 300 metros.

Figura 03

Na Figura 03, é dado o esquema de uma bomba submersa, ou seja, um conjunto bomba e motor de construções especiais, que ficam submersos no fundo do poço. Da bomba até a superfície encontram-se a tubulação de recalque e o condutor elétrico de alimentação do motor (este último não representado na figura).

Mais informações sobre esses sistemas não são por enquanto dados nesta página. Nos próximos tópicos, comentários sobre dois meios alternativos: ejetor e ar comprimido.

Bombeamento com ejetor| Topo pág | Fim pág |

Figura 01

O ejetor é um dispositivo que pode ser usado em poços de profundidade média. O princípio de funcionamento é dado na Figura 01.

Uma parte do fluxo do recalque da bomba retorna para uma seção estrangulada e, conforme e, conforme princípio de Bernoulli, provoca uma

depressão que aspira a água do poço.

Naturalmente, deve-se ter: Qs = Qe + Qr.

Notar que a vazão disponível para o consumo é Qe e não Qs.

Modelos disponíveis comercialmente podem ser usados até 100 m de profundidade e fornecer vazões de até 25 m3/h. A eficiência é dada pela relação Qe/Qr e valores típicos estão na faixa de 35%.

Figura 02

A Figura 02 mostra o esquema de uma instalação de bombeamento com ejetor.

Embora a saída do ejetor possa ser ligada diretamente à sucção da bomba, é recomendável usar um pequeno reservatório (cerca de 1000 l) em forma de decantador para separar partículas sólidas que sempre são arrastadas e, assim, reduzir o desgaste do rotor e da carcaça da bomba.

Os registros são necessários para regulagem da proporção de água retornada (Qr).

Bombeamento com ar comprimido| Topo pág | Fim pág |

Esta é uma interessante alternativa, que utiliza, em vez de bomba, ar comprimido para obter efeito semelhante. Pode ser recomendada para, por exemplo, situações provisórias, devido à simplicidade de instalação. Ou para casos de águas com muitas partículas abrasivas, que provocam desgaste prematuro em bombas.

Figura 01

Entretanto, no aspecto energético, a produção de ar comprimido é pouco eficiente e isso é certamente um fator restritivo para muitas aplicações.

A Figura 01 ao lado está exageradamente fora da proporção para melhor esclarecimento: ao ser difundido por pequenos orifícios na extremidade do tubo, o ar comprimido forma uma emulsão com a água, que, por ter massa específica menor, é impelida para cima devido à pressão hidrostática existente.

Na figura, H1 é a altura total de elevação e H2 é a altura em relação ao nível dinâmico (nível de operação) da água do poço. Na prática, a relação H2/H1 varia de 0,35 a 0,75. Verifica-se experimentalmente que a melhor eficiência é obtida com H2/H1 = 0,65.

A pressão necessária de ar comprimido deve corresponder à elevação em relação ao nível estático do poço (maior que H2), para permitir a partida do sistema.

Apenas para informação, com tubos Dag = 100 mm e Dar = 30 mm e uma relação H2/H1 de 0,65, é possível obter vazão na faixa de 650 litros por minuto.

Análise dimensional 10 Índices

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A análise dimensional é uma ferramenta poderosa e simples para avaliar e deduzir relações físicas. A similaridade é um conceito diretamente relacionado, que consiste basicamente na equivalência de experimentos ou fenômenos que são, na realidade, diferentes. Naturalmente, os métodos são genéricos e de ampla utilização. Não se limitam a área da Mecânica dos Fluidos. A inclusão da página no grupo Fluidos deste site é apenas uma questão de conveniência, em razão do maior número de exemplos.

Grandezas básicas, unidades, dimensões| Topo pág | Fim pág |

De forma simples, pode-se definir grandeza física como uma propriedade observável que pode ser expressa em termos quantitativos. Uma grandeza física deve obedecer a princípios aritméticos comuns de números. Sejam, por exemplo, as grandezas da mesma espécie A1, A2 e A3:Adição e subtração

Se A1 + A2 = A3 , então A1 = A3 − A2

Comparação

Se A1 + A2 = A3 e A2 é finito e positivo, então A3 > A1

Multiplicação e divisão

Se, por exemplo, A2 = A1 + A1 + A1 , então A2 = 3A1 ou A1 = A2/3

O valor numérico de uma grandeza observada depende da unidade, isto é, do padrão de referência adotado. Exemplo: na Figura 01, A é a distância observada entre dois pontos fixos O e P. Pode-se usar uma unidade u e o valor numérico de A é um número N tal que

A = N u #A.1#

Ou pode-se uma usar uma unidade u' e um valor numérico N' tal que

A = N' u' #A.2#

Figura 01

Se a unidade u' é n vezes maior que u, isto é,

u' = n u #A.3#

Então,

N' = n−1 N #A.4#

Isso significa que, se a unidade for multiplicada por um fator n, o valor numérico da grandeza observada deverá ser multiplicado por n−1.

Há então duas coisas distintas no caso:

• a grandeza física distância (ou comprimento) A entre os pontos O e P (que é invariável se os pontos são fixos).

• o valor numérico dessa grandeza, que depende da unidade adotada.

As grandezas básicas formam um conjunto, normalmente pequeno, em relação ao qual as demais grandezas são definidas. Estas últimas são denominadas grandezas derivadas.

Uma grandeza derivada genérica G pode sempre ser definida segundo a fórmula:

G = α Aa Bb Cc... #B.1#

Onde o coeficiente α e os expoentes a, b, c, … são números reais e A, B, C, … são grandezas básicas.

Tabela 01

Grandeza físicaSímbolo da dimensão

UnidadeSI

Símbolo da unidade SI

Comprimento L metro m

Massa M quilograma kg

Tempo T segundo s

Corrente elétrica I ampère A

Temperatura termodinâmica

θ kelvin K

Quantidade de matéria

N mol mol

Intensidade luminosa

J candela cd

O conceito de dimensão indica as grandezas básicas e os respectivos expoentes que formam a grandeza derivada, ou seja, pode ser considerada a fórmula anterior sem o coeficiente α.

A dimensão de uma unidade é indicada por colchetes e, em termos dimensionais, a fórmula anterior fica

[G] = [A]a [B]b [C]c... #C.1#

Naturalmente, a dimensão de uma grandeza básica é a própria. A Tabela 01 dá as grandezas básicas definidas pelo Sistema Internacional, os símbolos dimensionais comumente usados e as respectivas unidades básicas.

Usando raciocínio idêntico ao da transformação dada pelas igualdades anteriores #A.1# a #A.4#, pode-se facilmente deduzir:

Se a unidade da grandeza A é multiplicada por nA, da grandeza B por nB, etc, e o valor numérico de G era N, o novo valor N' é dado por:

N' = n−1 N onde n = (nA)a (nB)b (nC)c... #D.1#

Exemplos:

• Se A é uma grandeza de comprimento, a dimensão de A é dada por [A] = L

• Se c é uma grandeza de velocidade, c = comprimento / tempo e, portanto, [c] = L/T = L T−1

• Se a é aceleração, a = velocidade / tempo e [a] = L T−1/T = L T−2

• Se F é força, F = massa × aceleração e [F] = L M T−2

• Se S é área, S = comprimento × comprimento e [S] = L2

• Se p é pressão, p = força / área e [p] = L M T−2/L2 = L−1 M T−2

Portanto, a dimensão de uma grandeza derivada é obtida pela substituição, na relação que a define, das grandezas básicas pelas respectivas dimensões, mantendo-se os expoentes e desprezando-se o coeficiente de proporcionalidade se existir. Se houver grandezas derivadas na relação, o mesmo procedimento é adotado para essas e o resultado final deve ser simplificado matematicamente.

Observar que, embora sejam considerados sinôminos em muitas citações práticas, os conceitos de dimensão e de unidade são tecnicamente distintos.

Algumas propriedades das grandezas e dimensões:

• A dimensão de uma grandeza derivada é sempre um produto de potências das dimensões das grandezas básicas que a formam.

• Somas de grandezas de mesma dimensão são grandezas com a mesma dimensão. Produtos e divisões de grandezas são também grandezas derivadas, com dimensões normalmente diferentes das originais.

• Todas as grandezas de mesma dimensão mudam seus valores na mesma proporção quando os valores das unidades básicas são mudados.

• Funções não lineares (como logarítmicas, exponenciais, trigonométricas) de grandezas derivadas não são em geral grandezas derivadas.

• Uma grandeza é dita adimensional se o resultado final da dimensão é unitário. Exemplo: seja x = c t / l, onde c é velocidade, t é tempo e l é

comprimento. Então [x] = L T−1 T / L = 1

Relações físicas, homogeneidade, constantes físicas| Topo pág | Fim pág |

Muitos fenômenos físicos podem ser representados por uma grandeza G como função de uma ou mais grandezas G1, G2, …, Gn. Então, a relação ou equação física genérica é

G = f(G1, G2, ..., Gn) #A.1#

Essa relação só pode ser relevante se ambos os lados têm a mesma dimensão, ou seja, a equação deve ser dimensionalmente homogênea. Pode-se relacionar alguns aspectos que garantem a homogeneidade dimensional de uma relação física:

• Ambos os lados devem ter a mesma dimensão.

• Todos os termos de parcelas de soma ou subtração que existirem em f devem

ter a mesma dimensão.

• Argumentos de funções logarítmicas, exponenciais, trigonométricas e outras especiais devem ser adimensionais.

Exemplo 01: na Figura 01 (a), um corpo, supostamente no vácuo, é deixado em queda livre a partir do repouso. Segundo relações da mecânica elementar, a distância vertical percorrida y em função da aceleração da gravidade g e do tempo t é dada por:

y = (1/2) g t2 #B.1#

Essa relação é perfeitamente homogênea porque [y] = L e o outro lado [(1/2) g t2] = L T−2 T2 = L

Se, em vez da fórmula teórica, é feita uma medição da distância em função do tempo, dependendo do local e da precisão do método, pode-se chegar a um resultado como este:

y = 4,905 t2 #B.2#

À primeira vista, essa relação pode parecer inválida porque y e t têm dimensões distintas. Entretanto, deve-se notar que o valor 4,905 não é uma simples constante de proporcionalidade. Equivale a (1/2) g da equação anterior e, portanto, tem dimensão L T−2.

Para locais próximos da superfície terrestre, o valor de g pouco varia e pode ser considerado uma constante física. Da relação anterior, g = 9,81 m/s2, que é a aproximação usual. O valor padronizado é 9,80665 m/s2.

Observar que constantes físicas normalmente têm dimensão e, por conseqüência, seus valores dependem das unidades. Neste caso da aceleração da gravidade, o valor de 9,81 m/s2 equivale, por exemplo, a 32,19 ft/s2.

Voltando à igualdade #B.1#, y = (1/2) g t2 , nota-se que o único valor numérico invariável é a constante de proporcionalidade 1/2, que é adimensional. No caso de g, a grandeza aceleração da gravidade é suposta constante, mas seu valor numérico depende das unidades adotadas, porque não é adimensional (ver equação #D.1# do tópico Grandezas básicas, unidades, dimensões).

Figura 01

Exemplo 02: ver Figura 01 (b). Em uma determinada região foi observado que a pressão atmosférica p (em N/m2) varia com a altitude h (em m) segundo a relação:

p = 1,01 105 e−0,00012 h #C.1#

Essa relação vale para um local em particular. Por analogia, pode-se generalizar e dizer que a pressão atmosférica varia com a altitude segundo a equação:

p = a e−b h #C.2#. Onde a e b são constantes que dependem do local.

No aspecto dimensional, deve-se ter, conforme regra anterior, dimensão unitária do expoente. Portanto, [b] = L−1. E a dimensão de a deve ser pressão para homogeneidade da fórmula [a] = L−1 M T−2.

Observar que, além da homogeneidade dimensional, deve haver coerência de unidades. Assim, no caso particular de #C.1#, considerando as unidades informadas de p e de h, tem-se b = 0,00012 m−1 e a = 1,01 105 N/m2.

Dos exemplos anteriores, pode-se verificar que as constantes g, a e b podem variar de acordo com o local e época porque o planeta Terra não é homogêneo. Ou seja, elas são válidas para determinadas condições.

Há também as constantes físicas universais (velocidade da luz no vácuo, massa do elétron, constante dos gases, etc), cujas grandezas independem de quaisquer condições. No entanto, seus valores numéricos continuam dependendo das unidades adotadas.

A homogeneidade dimensional é uma condição necessária para uma equação física válida, mas não é suficiente. Ou seja, uma fórmula pode estar dimensionalmente correta e não representar a relação real entre as grandezas.

Teorema de Buckingham (teorema dos πs)| Topo pág | Fim pág |

Seja um fenômeno físico representado por uma função genérica de n grandezas:

f(G1, G2, ... ,Gn) = 0 #A.1#

De outra forma,

G1 = φ(G2, ... ,Gn) #A.2#

Se as n grandezas podem ser expressas em termos de k grandezas independentes, a relação acima é equivalente a:

F(Π1, Π2, ..., Πn−k) = 0 #B.1#

De outra forma,

Π1 = Φ(Π2, ..., Πn−k) #B.2#

Onde Πi são números adimensionais formados a partir das grandezas originais:

Πi = G1i1 G2

i2 ... Gnin #C.1#

Onde os expoentes i1, i2, ..., in são números racionais.

Exemplo: seja, conforme Figura 01 (a), uma esfera de material perfeitamente elástico que se choca com uma superfície perfeitamente rígida. Supondo a esfera revestida com uma tinta úmida, após o choque haverá uma marca circular na superfície, como em (b) da figura. Deseja-se saber a relação entre o diâmetro d dessa marca e outras grandezas físicas envolvidas no processo (desprezam-se os efeitos do ar).

Desde que a superfície é perfeitamente rígida, ela não deve ter propriedades que possam influenciar. A princípio, pode-se listar as grandezas que têm relação com o choque:

Figura 01

c velocidade da esfera antes do choqueD diâmetro da esferaE módulo de elasticidade do material da esferam massa da esferaμ coeficiente de Poisson do material da esferaρ massa específica do material da esfera

Entretanto esse conjunto não é independente porque a massa é função do diâmetro e da massa específica. Assim, uma dessas três grandezas deve ser retirada para formar um conjunto independente. Escolhe-se, por exemplo, a massa m para exclusão.

Pode-se então dizer que o diâmetro d da área marcada é função das seguintes grandezas independentes:

d = f(c, D, E, μ, ρ)

As dimensões das grandezas são:

[d] = L[c] = LT−1

[D] = L[E] = ML−1T−2

[μ] = 1[ρ] = ML−3

Analisa-se agora o aspecto da dependência dimensional:

[d] = L = [D]

[E] = ML−1T−2 = (ML−3) (LT−1)2 = [ρ] [c]2

[μ] = 1

Formam-se grupos adimensionais para essas grandezas:

De acordo com o teorema de Buckingham,

Substituindo,

Exemplo: pêndulo simples| Topo pág | Fim pág |

Desprezando os atritos, pode-se a princípio supor que as grandezas envolvidas na oscilação de um pêndulo comum conforme Figura 01 são:

g aceleração da gravidadeℓ comprimento da hastem massa do pênduloT período de oscilação

Assim, n = 4 grandezas. As dimensões dessas grandezas são:

Figura 01

[g] = LT−2

[ℓ] = L[m] = M[T] = T

Há, portanto, k = 3 grandezas básicas (LMT).

Segundo Teorema de Buckingham (teorema dos πs), deve haver 4 − 3 = 1 grandeza adimensional, que representa o processo, na forma:

F(Π) = 0

Onde Π = ga ℓb mc Td. Desde que é adimensional, a substituição das dimensões individuais deve resultar na unidade:

[Π] = (LT−2)a (L)b (M)c (T)d = 1

Os expoentes podem ser facilmente deduzidos, com os resultados:

a = 1 b = −1 c = 0 d = 2.

Portanto,

F(gT2/ℓ) = 0 deve ser a função que representa o fenômeno. Uma solução lógica é

gT2/ℓ = k2

Através do desenvolvimento teórico ou de medições práticas, pode ser visto que k = 2π. Assim,

T = 2 π √(ℓ / g)

Essa é a função que dá o período de oscilação de um pêndulo simples para pequenos deslocamentos e na ausência de atritos.

Exemplo: esfera em meio fluido| Topo pág | Fim pág |

Seja, conforme Figura 01 deste tópico, uma esfera que se move com velocidade constante em um meio de fluido viscoso. Determinar a relação para a força de resistência ao movimento F.

As grandezas que têm influência no processo são:

c velocidade da esferaD diâmetro da esferaη viscosidade dinâmica do fluidoF força de resistência ao movimentoρ massa específica do fluido

Portanto, n = 5 grandezas. As suas dimensões são:

Figura 01

[c] = LT−1

[D] = L[η] = ML−1T−1

[F] = MLT−2

[ρ] = ML−3

Usando uma formulação segundo #A.2# do tópico Teorema de Buckingham (teorema dos πs),

F = φ(c, D, η, ρ)

Considerando essa função uma constante multiplicada pelo produto das grandezas com expoentes,

F = K cr Ds ηt ρu

Fazendo a igualdade dimensional,

MLT−2 = LrT−r Ls MtL−tT−t MuL−3u = Mt+u Lr+s−t−3u T−r−t

1 = t + u 1 = r + s − t − 3u−2 = −r − t

O conjunto acima tem mais incógnitas que equações e, portanto, não há uma única solução. Em razão de a força resistente ser relacionada com a viscosidade, os expoentes são determinados em relação ao expoente de η, isto é, t:

u = 1 − tr = 2 − t1 = 2 − t + s − t − 3 + 3t Assim, s = 2 − t

Substituindo na relação anterior,

F = K c2 − t D2 − t ηt ρ1 − t

Reagrupando,

As frações em ambos os lados são grandezas adimensionais, confirmando o teorema de Buckingham, ou seja, para as n = 5 grandezas iniciais, há k = 3 básicas (LMT), resultando em n − k = 2 parâmetros adimensionais.

Na relação anterior, o termo entre parênteses no lado direito é o número de Reynolds:

É uma importante grandeza para o estudo de escoamentos em geral.

Similaridade| Topo pág | Fim pág |

Esse conceito é bastante intuitivo na prática, como pode ser visto nos polígonos (a) e (b) da Figura 01. Eles não são iguais nem regulares, mas têm o mesmo número de vértices e os ângulos são os mesmos em cada. Nessa condição, ocorre a similaridade geométrica, ou seja, um objeto tem a mesma forma do outro, mas reduzida ou ampliada por um fator de escala.

Figura 01

O uso de modelos em escala reduzida no estudo de fenômenos físicos ou em projetos de Engenharia é um artifício importante, que economiza tempo e recursos financeiros.

Evidentemente, a similaridade geométrica entre o modelo e o protótipo é condição necessária, mas não é suficiente. É também necessária a similaridade dinâmica para que o fenômeno físico do modelo represente o mesmo fenômeno no protótipo.

Segundo o Teorema de Buckingham (teorema dos πs), um fenômeno físico genérico pode ser dado em função de parâmetros adimensionais:

Π1 = Φ(Π2, ..., Πn−k) #A.1#

As grandezas Π2, ..., Πn−k são também denominadas parâmetros de similaridade. Assim, para que o modelo represente o protótipo, os fenômenos devem ter esses valores iguais:

(Π2)modelo = (Π2)protótipo, (Π3)modelo = (Π3)protótipo, ... #B.1#

E o resultado também é similar:

(Π1)modelo = (Π1)protótipo #B.2#

Exemplo: perda de pressão| Topo pág | Fim pág |

De acordo com a Equação de Darcy-Weisbach é possível escrever a perda de pressão do escoamento laminar em uma tubulação na forma de grandezas adimensionais:

#A.1#. Onde:

#A.2# (número de Reynolds)

c velocidadeΔp perda de pressãoD diâmetro di tuboη viscosidade dinâmica do fluidoℓ comprimento do tuboρ massa específica do fluido

Supõe-se que será construído um modelo em escala 1:10 para um projeto de uma tubulação para óleo, com ℓ = 100 m, D = 0,25 m e velocidade do escoamento c = 0,5 m/s. Determinar a velocidade que o mesmo líquido deve ter no modelo para obter a similaridade dinâmica. Se, no ensaio, o modelo apresentou uma perda de pressão de 1000 kPa com essa velocidade, determinar a perda na tubulação projetada.

Na escala do modelo, a relação ℓ/D de #A.1# é preservada. Deve-se agora analisar o número de Reynolds:

(cDρ/η)modelo = (cDρ/η)projeto

Desde que o fluido é o mesmo, ρ e η podem ser eliminados. Assim,

(cD)modelo = (cD)projeto

cmodelo D/10 = 0,5 D. Portanto, cmodelo = 5 m/s

Igualando o termo do lado esquerdo de #A.1#,

[Δp/(c2 ρ)]modelo = [Δp/(c2 ρ)]projeto

1000 / 25 = Δp / 0,25. Portanto, Δp = 10 kPa para a tubulação projetada.

Parâmetros adimensionais| Topo pág | Fim pág |

A tabela a seguir lista algumas grandezas adimensionais comuns que podem ser usadas em análises de similaridade.

Nome Fórmula Aproximação Observações

Número de Euler

(força de pressão) / (força inercial)

Casos comuns de escoamentos

Número de Freude

(força inercial) / (força da gravidade)

Escoamentos livres (ação da gravidade)

Número de Mach

(força inercial) / (força de compressão)

Escoamentos compressíveis

Número de Reynolds

(força inercial) / (força de viscosidade)

Escoamentos internos, influência da camada-

limite

Número de Strouhal

(força centrífuga) / (força inercial)

Escoamentos com repetições periódicas

Número de Weber

(força inercial) / (força superficial)

Influência da tensão superficial

c velocidadeD diâmetroΔp diferença de pressãoη viscosidade dinâmicag aceleração da gravidadeℓ comprimento característicoρ massa específicaσ tensão superficialω freqüência angular

Exemplo: deseja-se analisar o efeito de ondas com velocidade c = 10 m/s em um navio de comprimento ℓ = 100 m por meio de um modelo de comprimento ℓ' = 4 m. Determinar a velocidade c' para as ondas nesse modelo.

Usando o número de Freude,

Fr = c / √(ℓ g) = c' / √(ℓ' g). Substituindo os valores,

10 / √(100 g) = c' / √(4 g). Resolvendo, c' = 2 m/s

Bomba centrífuga| Topo pág | Fim pág |

A tabela abaixo relaciona as grandezas envolvidas na operação de uma bomba centrífuga:

Símbolo Nome Dimensão

D diâmetro L1

g aceleração da gravidade L1T−2

H altura manométrica L1

N rotação T−1

P potência L2M1T−3

Q vazão L3T−1

ρ massa específica L−3M1

É usual supor gH como grandeza única. Assim, conforme Teorema de Buckingham (teorema dos πs):

n = 6 grandezask = 3 básicas (LMT)n − k = 3 grupos adimensionais

A potência pode ser escrita como função das demais:

P = φ[D, (gH), N, Q, ρ] #A.1#

E os grupos adimensionais são:

Π1 = Φ(Π2, Π3) #A.2#

Com alguma manipulação algébrica (aqui omitida), os expoentes para esses grupos podem ser deduzidos com a escolha das grandezas para cada:

#B.1# (coeficiente de potência)

#B.2# (coeficiente de vazão)

#B.3# (coeficiente de altura)

A igualdade #A.2# é então escrita:

#C.1#

Para a mesma bomba, o mesmo fluido e a mesma aceleração da gravidade, significando D, ρ e g constantes, pode-se deduzir a seguinte relação entre grandezas:

#D.1#

Consideram-se agora bombas que têm similaridade geométrica e dinâmica. Então os valores Π1, Π2 e Π3 são constantes. Então, isolando o diâmetro D nas relações #B.2# e #B.3# e igualando,

#E.1#

A manipulação dessa igualdade permite obter a seguinte constante válida para bombas com similaridade:

#E.2#

Ns é denominado velocidade específica. Notar que não é adimensional e, portanto, o seu valor depende das unidades adotadas. Em geral, são usadas: RPM para a rotação, m3/s para a vazão e m para a altura. Na comparação, é preciso verificar se as unidades empregadas são as mesmas.

Ar comprimido I-10

Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Uma breve história |Produzindo ar comprimido |Estimando consumo |Qualidade do ar |

Ar comprimido é um insumo ou forma de energia de ampla utilização. Entre inúmeras aplicações, pode-se mencionar: acionamentos e controles industriais, transporte pneumático, ejetores de fluidos, processos como produção de peças de vidro ou plástico, jato de areia, pinturas, ferramentas (marteletes, perfuratrizes, etc), acionamento de freios, operações submarinas, etc.

As vantagens são evidentes: é fácil de ser conduzido, os equipamentos são compactos e leves, não há risco de incêndio ou choque elétrico, não gera resíduos prejudiciais, etc. A contrapartida para vantagens tão claras é o alto custo. Boa parte da energia gasta para a compressão do ar é perdida na forma de calor e o trabalho útil que ele pode fornecer é pequeno em relação a essa energia gasta.

Portanto, em especial na indústria, o uso do ar comprimido deve ser limitado ao estritamente necessário e o projeto, a operação e a manutenção dos sistemas devem procurar sempre a maximização da eficiência.

Estudos realizados por algumas empresas nos Estados Unidos demonstraram que, considerando uma instalação nova de ar comprimido, nos primeiros 5 anos a energia elétrica representa cerca de 80% dos custos. Os 20% restantes são divididos pelos

custos do capital investido, água e manutenção.

Uma breve história(Topo pág | Fim pág)

A primeira máquina que a espécie humana usou para comprimir ar foram os próprios pulmões. Nos dias de hoje, vez por outra ainda é usado para essa finalidade. Os pulmões humanos podem comprimir até cerca de 0,08 atm, o que é muito pouco para a metalurgia do ouro, cobre e outros metais, que se estima ter começado por volta de 3000 AC.

Há indícios que egípcios e sumérios usavam tubos para conduzir o vento até seus fornos. O fole manual foi o primeiro compressor mecânico. Depois de 1500 AC recebeu melhoramentos como acionamento pelos pés ou por roda d'água. E assim cumpriu seu ofício por mais 2000 anos.

O primeiro cilindro compressor, acionado por roda d'água, foi desenvolvido pelo engenheiro inglês John Smeaton em 1762. Em 1776, o inventor inglês John Wilkinson o aperfeiçoou, fazendo um modelo primitivo dos compressores atuais.

Produzindo ar comprimido(Topo pág | Fim pág)

Compressores são equipamentos que elevam a pressão do ar através de acionamento mecânico, em geral motor elétrico ou de combustão interna. Não é propósito desta página dar informações detalhadas. Quase todos os fabricantes de compressores disponibilizam variadas informações em seus catálogos ou websites. Aqui são comentados apenas os tipos e dados genéricos dos mais comuns.

Basicamente os compressores de ar se classificam em dois grupos distintos, de forma semelhante às bombas para líquidos:

Deslocamento positivo: a compressão se dá pela redução física do volume da câmara em intervalos discretos. O clássico compressor a pistão (também chamado compressor alternativo) é o exemplo mais evidente. Os compressores denominados rotativos também são de deslocamento positivo, mas a redução de volume ocorre pelo movimento de rotação de um conjunto de peças. Os tipos mais conhecidos são os de anel líquido, de palhetas, de lóbulos e de parafusos.

Dinâmicos: a compressão se dá pela ação de um rotor ou outros meios que aceleram o ar, aumentando sua pressão total. Podem ser tipo ejetor (não muito comum) ou tipo axial ou centrífugo, similar às bombas para água.

Numa comparação grosseira, pode-se dizer que os compressores de deslocamento positivo são adequados para maiores pressões e menores vazões e os dinâmicos, para menores pressões e maiores vazões.

Algumas vezes, compressores de alta vazão e pressão relativamente baixa, como os usados em transportadores pneumáticos, são denominados sopradores.

Capacidade de compressores:

Os parâmetros básicos que definem a capacidade de um compressor são a pressão e a vazão de ar que ele pode fornecer. Para a pressão, é comum a unidade bar (= 105 Pa) em termos relativos, ou seja, descontada a pressão atmosférica padrão (1,01325 bar). Para a vazão, é usual a indicação em metro cúbico normal (nm3) por hora. É uma unidade não SI, que em princípio não deveria ser usada. Mas a praxe ainda permanece. Notar que não é uma medida de volume mas sim de massa, pois é definida como a quantidade de ar que ocupa o volume de 1 metro cúbico nas condições normais (1 atm, 0ºC). Isso equivale a aproximadamente 1,293 kg de ar. Outras unidades e condições podem ser especificadas, dependendo do fabricante.

Outro parâmetro, que é conseqüência dos anteriores, é a potência do motor. É importante para o dimensionamento da ligação elétrica. Em princípio deve ser usada a unidade SI quilowatt (kW). Mas outras como CV e HP ainda podem ser vistas.

A seguir algumas considerações sobre os tipos mais usados.

Compressores alternativos:

Para pressão de saída de 7 bar, encontram-se modelos com vazões de aproximadamente 2 nm3/h até 10000 nm3/h (0,4 a 900 kW de potência do motor). Em geral, os de maior porte fazem a compressão em dois ou mais estágios, com resfriamento intermediário em trocador de calor (intercooler). Podem ter refrigeração a ar ou a água, lubrificação ou isento de óleo e outras características para atender as mais diversas necessidades. Podem ser de ação simples (apenas um lado do pistão comprime) ou de dupla ação (há compressão nos dois lados do pistão).

Compressores de parafuso:

É o tipo de compressor rotativo mais usado. Podem ser encontrados com vazões de aproximadamente 50 a 5000 nm3/h. Alguns são de dois estágios para maiores pressões. Podem ter lubrificação com óleo ou ser isentos de óleo, resfriamento a ar ou a água, etc. A instalação é mais simples pois não há vibrações como nos alternativos.

Compressores centrífugos:

Como já dito, são apropriados para altas vazões. Valores típicos na faixa de 700 a 25000 nm3/h. Em geral são de vários estágios e o ar é isento de óleo pois a lubrificação dos mancais é isolada da câmara de compressão. Normalmente são

refrigerados a água.

Estimando consumo(Topo pág | Fim pág)

Uma das maiores dificuldades no planejamento de uma instalação nova é a pouca disponibilidade de informações sobre consumo de ar para os equipamentos. Vários fabricantes de máquinas que usam ar comprimido indicam apenas a pressão necessária. A tabela abaixo dá algumas estimativas (consumo em m3/min a 6 bar, FU fator de utilização em %, onde disponível).

Equipamento Consumo FU Equipamento Consumo FU

Bico para limpeza 0,50 10 Martelo de forja 50 kg 1,8 -

Esmerilhadeira <20 mm 0,25 25 Idem 150 kg 3,9 -

Idem de 20 a 50 mm 0,75 25 Idem 250 kg 5,7 -

Idem de 50 a 100 mm 1,30 25 Idem 500 kg 9,6 -

Idem de 100 a 200 mm 1,50 25 Idem 1000 kg 16 -

Furadeira 6 mm aço 0,37 20 Motor pneumático <1 kW 1,20-1,35/kW -

Idem 9 mm 0,45-0,60 20 Idem > 1 kW 1,00/kW -

Idem 13 a 20 mm 0,75-0,90 20 Parafusadora 0,90 10

Idem 22 a 25 mm 1,00-1,20 20 Pistola de pintura 0,25 50

Idem 32 mm 1,30-1,75 20 Placa pneumática 0,003/oper -

Idem 38 mm 1,50-1,60 20 Rebarbador leve 0,35-0,50 15

Idem 50 mm 1,65-1,80 20 Rebarbador médio 0,50-0,70 15

Idem 75 mm 1,80-2,40 20 Rebarbador fluxo de solda 0,75 -

Jato de areia 8 mm 3 (4 bar) 20 Rebitador 1,10-1,30 10

Idem 9 mm 4,3 (4 bar) 20 Vibrador interno Ø62 mm 1,10 -

Idem 11 mm 5,8 (4 bar) 20 Idem Ø75 mm 1,5 -

Idem 13 mm 7 (4 bar) 20 Idem Ø112 mm 2,0 -

Martelete concreto 15 kg 0,9 - Idem Ø140 mm 2,5 -

Idem 25 kg 1,35 - - - -

Idem 25 a 40 kg 1,65-2,20 - - - -

Esses dados não devem ser considerados absolutos. Se disponíveis, melhor usar os valores dos fabricantes dos equipamentos. O fator de utilização (percentual do tempo que é usado) é dado bastante impreciso, podendo variar muito para cada caso. Para efeito de dimensionamento da rede e do compressor, é sempre recomendável uma margem de segurança. Alguns costumam usar o dobro do estimado, mas tal procedimento é discutível. Instalações superdimensionadas são menos eficientes.

Os dados da tabela abaixo devem ser vistos com muita cautela. São apenas exemplos para alguns tipos de indústrias e estão sujeitos a grandes variações. Em hipótese alguma devem ser tomados como base para dimensionamento e escolha do tipo de compressor.

Atividade Uso do arVazão m3/h

Compressor

AçúcarInstrumentos e equipamentos diversos

500-Soprador roots 2 estágios-Alternativo

Alimentos: processamento

Caldeiras, embalagens, transportadores

350-850-Alternativo 2 estágios, sem óleo

CimentoInstrumentos, transportadores, moinhos

3500-Soprador roots 2 estágios-Alternativo

Construção Demolição de concreto, rochas170-2000

-Parafuso

Fundição pequenaFerramentas pneumáticas, moldes, pintura, limpeza

170-Alternativo 1 estágio-Parafuso

Forja e fundição grande

Ferramentas pneumáticas, moldes, pintura, limpeza

170-350-Alternativo 2 estágios, sem óleo-Parafuso, sem óleo

Oficina, posto de serviço

Ferramentas pneumáticas, pintura, limpeza

50-Alternativo refrigerado a ar

Papel Instrumentos, caldeiras 1700-Alternativo 2 estágios, sem óleo

QuímicaInstrumentos, transporte, agitadores

350-3500

-Alternativo 2 estágios, sem óleo-Parafuso 2 estágios, em óleo

QuímicaInstrumentos, transporte, agitadores

>3500

-Alternativo 2 estágios, sem óleo-Parafuso 2 estágios, em óleo-Centrífugo

Têxtil: fiação de pequeno porte

Máquinas de fiar e outras 170-Alternativo 1 estágio, sem óleo

Têxtil: fiação de grande porte

Máquinas de fiar e outras 170-850-Alternativo 2 estágios, sem óleo

Têxtil: tecelagem Teares e outros850-5000

-Alternativo 2 estágios, sem óleo-Parafuso 2 estágios, sem óleo

Vidro Fornos, instrumentos 2500-Alternativo 2 estágios, sem óleo

Qualidade do ar(Topo pág | Fim pág)

Uma instalação de ar comprimido não precisa apenas fornecer ar na pressão e vazão necessárias aos equipamentos consumidores. É preciso também assegurar a qualidade. A umidade do ar da atmosfera está presente em forma de água na rede do ar comprimido. Compressores nos quais óleo de lubrificação tem contato com o ar em compressão sempre fornecem ar com alguma contaminação por óleo, o que é de difícil remoção.

Portanto, pode-se dizer que a qualidade do ar depende do tipo de compressor e da existência de outros equipamentos para filtrar e/ou remover substâncias indesejáveis. E a qualidade pode ser classificada em quatro níveis a seguir descritos.

• Ar de respiração: hospitais, cilindros para mergulho, respiradores industriais para trabalhos de pintura, jato de areia e similares.

• Ar de processo: indústria eletrônica, de alimentos, farmacêutica.

• Ar de instrumentos: laboratórios, pinturas e revestimentos.

• Ar industrial: ferramentas pneumáticas e uso geral.

Basicamente, os teores de contaminação por poeiras, água e óleo definem o nível de qualidade. Mais informações são dadas nos tópicos relativos aos equipamentos que têm influência nesse aspecto.

Uma instalação típica(Topo pág | Fim pág)

O ar que sai do compressor está aquecido, contém umidade, ou seja, está em condições incompatíveis com a maioria dos equipamentos consumidores. A instalação agrega outros dispositivos que condicionam a qualidade do ar para a finalidade desejada.

A Figura 01 dá o diagrama típico de uma instalação de pequeno/médio porte para ar de qualidade industrial ou de laboratório. É um esquema básico e variações podem ocorrer dependendo da aplicação.

Os dispositivos não precisam estar fisicamente separados.

Fig 01

Vários fabricantes fornecem conjuntos integrados, contendo todos ou quase todos os dispositivos em um único bloco. Nos próximos tópicos, comentários sobre dispositivos do diagrama.

Filtro de ar e linha de sucção(Topo pág | Fim pág)

O filtro tem a função óbvia de reter partículas de poeira que desgastariam o compressor e degradariam a qualidade do ar. Existem tipos de papel seco, papel impregnado com óleo, tela com óleo, feltro, etc. Em geral, os filtros secos são adequados para a maioria das aplicações. Atenção deve ser dada à limpeza ou troca periódica do elemento filtrante de acordo com recomendações do fabricante. O aumento da perda de carga reduz a eficiência do compressor (para cada 25 mbar de perda de carga na sucção, a eficiência é reduzida em cerca de 2%).

A linha de sucção deve ser a mais direta possível, com o mínimo de curvas. A velocidade média do escoamento não deve ser superior a 6 m/s para compressores alternativos de ação simples e 7 m/s para os de dupla ação. O cálculo do diâmetro pode se feito facilmente pela relação entre vazão Q, área S e velocidade v:

Q = S v

A vazão considerada é na entrada do compressor. Se o fabricante especifica a vazão em outras condições, como metro cúbico normal por hora, ela pode ser calculada considerando uma aproximação com o gás ideal e usando a respectiva equação de estado. Ver série Termodinâmica.

Compressor(Topo pág | Fim pág)

No exemplo da figura do primeiro tópico, é considerado um compressor alternativo refrigerado a ar. Conforme visto na página anterior, informações detalhadas sobre compressores não são do escopo desta série. Elas podem ser obtidas em catálogos ou websites de fabricantes.

Resfriador posterior(Topo pág | Fim pág)

Também identificado pelo nome em inglês (aftercooler), é um simples trocador de calor que reduz a temperatura do ar, provocando a condensação da umidade que é removida pelo separador.

Compressores de mais de um estágio quase sempre usam resfriadores intermediários entre estágios (intercooler).

Na maioria das unidades integradas atuais, o aftercooler (e o intercooler, se for o caso) fazem parte do conjunto e podem usar água ou ar.

No caso de resfriador a água, existe uma fórmula empírica simples para calcular, de forma aproximada, a vazão necessária da água:

Qa = 0,5 + 0,3 t

Onde t é a temperatura de entrada da água em ºC e Qa é a vazão de água (l/min) por m3/min de ar aspirado no compressor.

Compressores de pequeno porte, como os usados em postos de serviço e pequenas oficinas, não fazem uso do dispositivo. A própria tubulação de saída e o reservatório

resfriam o ar e a umidade se condensa no fundo deste último.

Secador(Topo pág | Fim pág)

Em geral, o resfriador posterior consegue remover 60 a 70% da água contida no ar. Valores típicos de temperatura na saída estão na faixa de 40ºC.

É comum expressar a umidade do ar em termos de ponto de orvalho. Quanto menor, menor o teor de umidade. A tabela abaixo dá uma correspondência para alguns valores considerando pressão atmosférica normal.

Ponto orvalho ºC 0 −5 −10 −20 −30 −40 −60 −80

Umidade ppm 3800 2500 1600 685 234 80 6,5 0,3

A umidade residual acompanha o fluxo. Uma parte se condensa no fundo do reservatório e o restante chega aos equipamentos consumidores. A presença de umidade favorece a corrosão das tubulações, pode danificar válvulas, cilindros e outros dispositivos e prejudica processos como pinturas e outros.

A remoção da maior parte dessa umidade pode ser feita com secadores.

No secador por refrigeração a redução da umidade ocorre através do resfriamento do ar com o uso de um circuito comum de refrigeração. A Figura 01 dá um arranjo típico.

Fig 01

Notar a existência de um trocador ar para ar que reaquece o ar resfriado com o calor do ar de entrada. Isso evita condensação na parte externa da tubulação de saída.

Secadores por refrigeração podem reduzir o ponto de orvalho até cerca de −20ºC.

Para teores menores de umidade, são usados secadores por adsorção. São empregadas substâncias dessecantes (sílica-gel, alumina ou outras) dispostas em colunas pelas quais passa o ar.

Entretanto, os dessecantes se saturam e precisam ser regenerados. A Figura 02 dá exemplo de um secador com sílica-gel. Há duas colunas, de forma que uma está em uso e outra em regeneração por uma corrente de ar aquecido obtida de um conjunto soprador e aquecedor (no diagrama, não estão indicados todos os caminhos. Apenas na condição da coluna esquerda em uso e da direita em regeneração).

Fig 02

A coluna regenerada recebe uma purga de ar seco antes de entrar em serviço.

Alguns dessecantes não precisam de aquecimento e são regenerados apenas com a passagem de ar seco. Energeticamente são menos eficientes devido à perda de ar seco para a regeneração.

O tipo da Figura 02 também tem sua deficiência energética devido à necessidade do aquecedor (elétrico normalmente). A solução para isso é a incorporação do aftercooler ao conjunto. Ou seja, o aftercooler é resfriado com ar e não água. O ar aquecido é usado na regeneração. Esse tipo por enquanto não é aqui exibido. Detalhes podem ser vistos em websites de fabricantes.

Dessecantes comuns permitem obter pontos de orvalho até cerca de −40ºC. Para teores ainda menores de umidade, são usados dessecantes tipo peneiras moleculares. São substâncias chamadas zeólitas (silicatos hidratados de alumínio e um ou mais metais alcalinos ou alcalino-terrosos). Os poros têm dimensões moleculares e o poder de adsorção é grande. Pontos de orvalho na faixa de −80ºC podem ser obtidos.

Dessecantes também têm suas desvantagens. Exigem filtros na saída para prevenir o arraste de partículas para a rede. A perda de pressão é maior que a dos secadores por refrigeração. A vida útil não é ilimitada. Em geral, os fabricantes recomendam a troca a cada 3-5 anos, dependendo das condições de operação. Contaminantes como óleos ou poeiras abreviam o período de troca.

Reservatório(Topo pág | Fim pág)

O reservatório exerce funções importantes na instalação. Estabiliza o escoamento no caso de fluxo pulsante de compressores alternativos. Contribui para redução da umidade, em especial para instalações sem secador, pois alguma água sempre se condensa no fundo. É uma reserva de ar pressurizado que supre variações de consumo na rede e permite uma atuação mais espaçada do controle de carga/alívio do compressor. O dimensionamento do seu volume é muitas vezes feito com regras práticas. Uma delas é:

Volume do reservatório em m3 = (1/10) a (1/6) da vazão do compressor em m3/min.

Fluidos : Equação da continuidade

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Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor, frio,

etcInformáticaMatemática

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materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Seja, conforme Figura 01, um volume dV = dx dy dz #A.1#, no interior de uma corrente de fluido em regime estacionário.

Em cada face, ρ e ui são respectivamente a massa específica e velocidade normal do fluido. Apesar do uso dos mesmos símbolos em faces opostas, esses parâmetros não são necessariamente constantes.

Em um intervalo de tempo Δt, a massa que entra em uma face (por exemplo, a vertical esquerda) é dada por:

[ρ ux dy dz Δt]x=0

E a massa que sai é

[ρ ux dy dz Δt]x=dx

Figura 01

Então, a variação de massa no volume dV é a soma das diferenças:

[ρ ux dy dz Δt]x=0 − [ρ ux dy dz Δt]x=dx +[ρ uy dx dz Δt]y=0 − [ρ uy dx dz Δt]y=dy +[ρ uz dx dy Δt]z=0 − [ρ uz dx dy Δt]z=dz #B.1#

Considerando o tempo inicial igual a zero, a variação de massa no volume é:

[ρ dV]t=Δt − [ρ dV]t=0 #B.2#

#B.1# pode ser igualada com #B.2# e a equação toda pode ser dividida por:

dV dt = dx dy dz ΔT #B.3#

Após simplificação, o resultado é

#C.1#

Essa equação pode ser escrita em termos de derivadas parciais:

#C.2#

Lembrando das definições de operadores vetoriais, o lado esquerdo da equação acima é a divergência (simbolizada por div ou ·) do produto ρu. Chega-se assim à formulação final da equação da continuidade de um fluxo:

#D.1#. Onde:

ρ: massa específica.u: velocidade.

Se o fluido é incompressível, ρ = constante, a equação fica reduzida a:

#D.2#

Ou seja, a divergência do vetor velocidade é nula em qualquer posição do fluxo.

Obs: o operador divergência tem formulação de acordo com o tipo de coordenadas:

• Cartesianas (x, y, z):

#E.1#

• Cilíndricas (r, Θ, z):

#E.2#

• Esféricas (r, Θ, φ):

#E.3#

Fluidos : Equações de Navier-Stokes - Pg 1

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calor

As equações de Navier-Stokes são relações fundamentais para o estudo do escoamento de fluidos viscosos. Elas são o resultado da aplicação da segunda lei de Newton ao movimento do fluido. Esta pequena série de páginas trata cada termo importante em tópicos separados, que são depois agrupados na forma final das igualdades.

Aceleração| Topo pág | Fim pág |

O conceito de derivada substancial pode ser explicado com auxílio de um exemplo que usa uma grandeza escalar (temperatura, neste caso):

Seja um corpo aquecido, que é deixado em repouso num ambiente calmo. Nessa condição, a temperatura deverá ser apenas função do tempo T(t). Se esse corpo for arremessado em uma direção qualquer na atmosfera, a temperatura irá depender do tempo e das coordenadas físicas, uma vez que a temperatura da atmosfera varia de acordo com a posição. Assim, a função será T(t, x, y, z).

Uma variação de temperatura do corpo pode então ser dada pela soma das contribuições individuais:

ΔT = ΔTt + ΔTx + ΔTy + ΔTz #A.1#

Multiplicando e dividindo cada parcela por incrementos,

#A.2#

Tomando o limite da variação de temperatura em relação ao tempo,

#A.3#

No lado direito da igualdade acima, as frações que antecedem as variações em relação a x, y e z são os componentes da velocidade u do corpo, isto é, ux, uy e uz. Substituindo as variáveis, tem-se então a derivada substancial da grandeza T, simbolizada conforme se segue.

#A.4#

No lado direito da relação acima, a primeira parcela indica a variação que

ocorreria na ausência de movimento (variação local). E as três últimas parcelas formam a variação convectiva, isto é, a variação devido à variação de posição na atmosfera, que ocorreria mesmo se o corpo não fosse aquecido.

No caso de uma partícula de fluido, o uso da derivada substancial da velocidade em relação ao tempo (aceleração) é significativo, pois separa as partes dependente do tempo e dependente do local.

Desde que a velocidade u é uma grandeza vetorial, as equações da derivada substancial são mais complexas porque precisam ser feitas para cada componente. Seja então o vetor velocidade:

#B.1#

Onde i j k são os vetores unitários nos eixos de coordenadas. Assim,

#B.2#

Onde a é aceleração. E a igualdade #A.4# aplicada a cada componente resulta em:

#B.3#

Considerando as colunas indicadas A e B, a fórmula acima é representada na forma compacta:

#B.4#

Onde o operador do último termo equivale a:

#B.5#

Portanto, na igualdade #B.4#, o termo u· u representa a parte convectiva da aceleração.

Observação

A relação anterior #B.4# é genérica, podendo ser aplicada a uma função vetorial f:

#C.1#

A derivada substancial (também denominada derivada lagrangeana, derivada material ou derivada total) relaciona um sistema de referência langrageano com um sistema de referência euleriano. Numa analogia prática, o sistema lagrangeano seria o caso de um observador analisar o fluxo de um rio em um barco que acompanha a corrente e, no sistema euleriano, o observador estaria fixo, em um local na margem do rio.

Exemplo: o campo de velocidade de um escoamento é dado por:

ux = 3 x2 t + yuy = x y t − t2

uz = 0

Com os dados acima e considerando unidades SI (m, s), determinar:

1) A aceleração medida por um observador estacionário a x = 2 m, y = 3 m e tempo t = 2 s.2) A aceleração de um elemento fluido no mesmo local e tempo anteriores.

Solução: desde que uz é nulo, consideram-se apenas os eixos X e Y. As derivadas parciais em relação ao tempo são:

∂ux/∂t = 3 x2

∂uy/∂t = x y − 2 t

Para a pergunta 1, a resposta é a variação local da aceleração, ∂u/dt, coluna A de #B.3#:

∂u/dt = (∂ux/∂t) i + (∂uy/∂t) j. Substituindo as expressões com os valores dados de x, y e t,

∂u/dt = (3 22) i + (2 3 − 2 2) j = 12 i + 2 j

Para a pergunta 2, a resposta é a derivada substancial Du/Dt. Desde que a parcela local já está acima calculada, deve-se determinar a parcela convectiva u· u, conforme coluna B da relação #B.3#.

As derivadas parciais, com a substituição dos valores, são:

∂ux/∂x = 6 x t = 24∂ux/∂y = 1∂uy/∂x = y t = 3 2 = 6

∂uy/∂y = x t = 2 2 = 4

E as velocidades são:

ux = 3 x2 t + y = 3 22 2 + 3 = 27uy = x y t − t2 = 2 3 2 − 22 = 8

Substituindo em B de #B.3#,

u· u = (27 24 + 8 1)i + (27 6 + 8 4)j = 656 i + 194 j

E o resultado final é

Du/Dt = ∂u/dt + u· u = 12 i + 2 j + 656 i + 194 j = 668 i + 196 j

Forças de viscosidade| Topo pág | Fim pág |

No escoamento de um fluido real, há sempre atritos internos que se opõem ao movimento. São as chamadas forças de viscosidade, que produzem tensões nas superfícies de qualquer partícula do fluido.

Figura 01

Desde que não se trata de forças de pressão, a aplicação não é necessariamente normal à superfície. Assim, numa situação genérica, deve ser considerado uma direção qualquer de atuação.

A Figura 01 representa um volume elementar de fluido em forma de paralelepípedo.

As forças atuantes em cada face são decompostas nas direções dos eixos de coordenadas e são consideradas em termos de tensões, isto é, força por área da superfície onde atua.

Assim, em cada face atuam uma tensão normal e duas tensões transversais.

As tensões são identificadas pela letra grega tau com dois índices: o primeiro identifica a superfície (eixo ao qual ela é perpendicular) e o segundo indica o eixo de coordenada da tensão. Exemplo: τxy significa tensão na superfície perpendicular ao eixo X e na direção do eixo Y.

Para um volume infinitesimal, pode-se supor que as tensões em faces opostas tenham o mesmo valor absoluto. Dessa forma, as tensões no elemento ficam definidas pelos 9 componentes exibidos na figura, que formam uma matriz 3×3, que é denominada tensor do elemento:

#A.1#

Por questão de clareza da figura, os valores da matriz estão indicados nas faces, mas devem ser considerados no centro. Assim, por exemplo, a tensão τzx na face superior deve ser:

#A.2#

E na face inferior,

#A.3#

E as forças devido a essas tensões são:

#A.4#

#A.5#

Essas forças agem em sentidos opostos. Portanto, a força líquida ao longo do eixo X decorrente da tensão τzx é calculada por:

#A.6#

As demais tensões que produzem esforços no eixo X são τxx e τyx. Usando procedimento similar e somando todas, a força de viscosidade resultante no eixo X é dada por:

#A.7#

O cálculo é análogo para os demais eixos. E o vetor da força total por unidade de volume devido à viscosidade é

#A.8#

Considera-se agora a definição do operador vetorial divergência:

#A.9#

Onde f é uma função vetorial qualquer. Conclui-se então que a fórmula anterior #A.8# pode ser dada de forma compacta pela divergência da matriz de tensões #A.1#:

#A.10#

Forças de pressão| Topo pág | Fim pág |

Na análise das forças de pressão em um elemento de fluido, considera-se, conforme Figura 01, uma pressão p0 no centro geométrico desse elemento.

Figura 01

Numa situação genérica, não se pode supor pressão constante em todos os pontos. Assim, ao longo do eixo X, a face esquerda deve ter uma pressão p1 dada por:

#A.1#

Para a face direita,

#A.2#

Cada face tem área dydz. E as forças atuantes são dadas pelo produto dessa área pela respectiva pressão.

#A.3#

#A.4#

E a força líquida na direção X é dada pela diferença:

#A.5#

Deduzindo de forma análoga para os demais eixos e usando a forma vetorial com os vetores unitários i j k,

#A.6#

O operador vetorial gradiente de uma função escalar f genérica é definido por:

#A.7#

Portanto, a relação anterior pode ser expressa em forma resumida:

#A.8#

Força de um campo externo| Topo pág | Fim pág |

Um campo externo pode atuar sobre o corpo fluido e exercer uma força. Na

prática, esse campo é quase sempre a força gravitacional da Terra, que, obviamente, atua em apenas uma direção.

Na Figura 01 do tópico anterior, é suposto que o eixo Z seja a direção da força gravitacional. Se m é a massa do volume elementar,

Fcorpo = −m g k #A.1#. Onde g á a aceleração da gravidade. Dividindo tudo por dV,

#A.2#. Onde:

ρ: massa específica (= m/dV).

k: vetor unitário do eixo Z.

Notas sobre expansão com série de Taylor| Topo pág | Fim pág |

Figura 01

Nos tópicos anteriores Forças de pressão (igualdades #A.1# e #A.2#) e Forças de viscosidade (igualdades #A.2# e #A.3#) foram usadas relações simples mas importantes para o incremento de uma função.

Isso pode ser visto de modo mais claro no exemplo da Figura 01: uma função genérica f(x) da qual se conhece um valor f(x1).

Deseja-se então uma fórmula para calcular o valor da função em x1 mais um incremento, isto é,

f(x1 + Δx)

A série de Taylor permite calcular esse valor a partir de uma soma de derivações sucessivas:

#A.1#

Conforme pode ser observado na figura, com a diminuição de Δx, o valor de f(x1 + Δx) se aproxima do valor dado pela reta tangente, de inclinação igual à derivada de primeira ordem. Portanto, na variação infinitesimal, pode-se usar apenas os dois primeiros termos do lado direito de #A.1#, ou seja,

#A.2#

Forma genérica| Topo pág | Fim pág |

A tabela abaixo relaciona os parâmetros para um volume elementar de fluido conforme desenvolvimento das páginas anteriores:

Aceleração #A.1#

Forças de pressão por volume #A.2#

Forças de viscosidade por volume #A.3#

Força de um campo externo por volume

#A.4#

De acordo com a segunda lei de Newton, a massa de um corpo multiplicada pela aceleração é igual à resultante das forças nele atuantes. Não se pode fazer diretamente a igualdade com as equações acima porque a primeira é aceleração e as outras são forças por unidade de volume. Entretanto, se a aceleração (#A.1#) é multiplicada pela massa específica do fluido (ρ), o resultado é força por volume e pode ser igualado à soma das demais:

#B.1#

Essa fórmula é genérica e pode ser aplicada a qualquer material, fluido ou não. Lembrando agora os símbolos de grandezas e operadores,

ρ Massa específica

D/Dt Derivada substancial

u Velocidade (vetor)

Gradiente (operador vetorial)

p Pressão

· Divergência (operador vetorial)

τ Matriz das tensões de viscosidade

g Aceleração da gravidade

k Vetor unitário no eixo Z (vertical)

Expandindo os operadores da equação #B.1# conforme visto nos respectivos tópicos, as equações para as coordenadas cartesianas são:

#B.2#

Notar que a força de campo externo é supostamente a gravidade e o eixo Z é considerado vertical. Assim, ela atua apenas nesse eixo.

Cabe também observar que há mais variáveis do que equações e, portanto, há necessidade de outras hipóteses para uma solução.

Forma para fluido newtoniano incompressível

| Topo pág | Fim pág |

Para um fluido incompressível, conforme dado na página Equação da continuidade,

#A.1#. Ou seja,

#A.2#

Para um fluido newtoniano, vale a relação:

#B.1#. Onde:

τ: tensão de cisalhamentoμ: coeficiente de viscosidadeu: velocidadeh: distância transversal

Omitindo o desenvolvimento matemático a partir das equações acima, a seguinte relação é obtida para as forças de viscosidade:

#C.1#

Onde o operador 2, denominado Laplaciano, é definido por:

#D.1#

Então, a equação #B.1# do tópico anterior toma a forma:

#E.1#

Usando as definições dos operadores,

#E.2#

As igualdades acima (#E.1# ou #E.2#) formam as equações de Navier-Stokes para um fluido newtoniano incompressível.

Fluidos I-10

Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Viscosidade |Compressibilidade dos fluidos |

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Ciência dos materiais

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Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor, frio,

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Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Fluidos (líquidos e gases) diferem dos sólidos pelas características das forças

de coesão entre suas moléculas. Mas aqui não cabem considerações mais profundas.

Cita-se apenas uma das principais diferenças práticas que se pode observar entre sólidos e fluidos: nos primeiros, uma força atuante determina a intensidade da deformação e, nos fluidos, ela determina a velocidade da deformação.

Viscosidade| Topo pág | Fim pág |

Sejam duas lâminas paralelas, distantes y entre si conforme Figura 01, entre as quais existe um fluido. Considera-se a inferior fixa e, na lâmina superior (de área S), é aplicada uma força tangencial F, que faz a camada fluida em contato com ela deslocar-se com uma velocidade v.

Figura 01

Experimentalmente verifica-se a relação:

F= τ = η

v#A.1#

S y

Ou seja, a tensão de cisalhamento τ na superfície do fluido é diretamente proporcional à velocidade adquirida e inversamente proporcional à distância entre as superfícies.

O coeficiente de proporcionalidade η é denominado viscosidade dinâmica do fluido.

Partindo da lâmina superior, a velocidade v' de uma camada intermediária decresce linearmente até zero na lâmina inferior.

Unidade do Sistema Internacional (SI) para viscosidade dinâmica:

N s / m2 (newton-segundo por metro quadrado) = Pa s (Pascal-segundo) = PI (poiseuille).

A unidade poise, usada em outros sistemas, equivale a 10−1 N s / m2 (ou 10−1 Pa s).

Na prática, é bastante utilizado o conceito de viscosidade cinemática (ν), que é a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica (μ) do fluido:

ν =η#B.1#

μ

A unidade SI é m2 / s (metro quadrado por segundo). A unidade stoke (St) equivale a 10−4 m2/s.

A viscosidade dos fluidos diminui com o aumento da temperatura. Para a água entre 0 e 100ºC, vale aproximadamente:

ν =ν0

#C.1#. Onde:1 + 0,034 t + 0,00022 t2

ν0 = 1,8 10−6 m2/st: temperatura em ºC.

Compressibilidade dos fluidos| Topo pág | Fim pág |

Na grande maioria das aplicações práticas, considera-se que os líquidos são incompressíveis e os gases compressíveis por excelência. Entretanto, essa regra genérica nem sempre é válida. Exemplos:

• no estudo do golpe de aríete em tubulações, a água deve ser tratada como fluido compressível.

• o ar em dutos de ventilação, onde as variações de pressão são pequenas, pode ser considerado incompressível.

O módulo de compressibilidade de um fluido é dado por:

α = −1 dv

#A.1#. Onde:v dp

v: volume especifico.p: pressão do fluido.

O inverso do módulo de compressibilidade é módulo de elasticidade:

E = − vdp

#A.2#dv

Para água a 0ºC e pressão atmosférica normal, E ≈ 2000 MPa.

Nos gases ideais, segundo relações da termodinâmica, pvn = constante. Diferenciando,

n p vn−1 dv + vn dp = 0dp/dv = − n p/v

Então,

E = − vdp

= n p #B.1#dv

Isso significa que o módulo de elasticidade dos gases depende da transformação termodinâmica e da pressão. Se a transformação for isotérmica, n = 1, tem-se E = p, ou seja, dependerá apenas da pressão.

Pressão absoluta e pressão relativa| Topo pág | Fim pág |

Figura 01

Um espaço completamente vazio tem naturalmente pressão nula, constituindo um vácuo total ou zero absoluto de pressão.

Desde que o ambiente mais usual é a atmosfera, é comum expressar a pressão em valores relativos à pressão da atmosfera e não em valores absolutos.

Assim, a pressão relativa (ou pressão manométrica) de um espaço é a diferença entre a sua pressão absoluta e a pressão da atmosfera.

Considerando um local de pressão atmosférica normal (101,325 kPa ou 101

kPa aproximados), a Figura 01 mostra uma comparação gráfica.

A maioria dos manômetros práticos indica pressão relativa, mas várias fórmulas de cálculo exigem valores absolutos. Portanto, alguma atenção é aconselhável.

Variação de pressão| Topo pág | Fim pág |

A relação entre a pressão p de um fluido e a altura z é dada por:

#A.1#

Onde γ é o peso específico do fluido (= ρ g, onde ρ é massa específica e g aceleração da gravidade). Se esse peso específico é constante, a equação diferencial pode ser resolvida com uma simples integração:

p = −γ z + C #A.2#

Onde C é uma constante, em geral uma pressão inicial na referência de altura.

Rearranjando a igualdade #A.2# e considerando pressões em dois pontos, a constante é eliminada:

#B.1#

De outra forma,

Δp = −γ Δz #B.2#

Figura 01

Exemplo: na Figura 01, a pressão pA é a da atmosfera (= 0 relativo). Determinar as pressões em B e em C.

Segundo #B.2#,

pB − pA = − 7,85 103 (−0,9 − 0). Portanto, pB ≈ 7,07 kPa

Para a parte de água,

pC − pB = − 9,81 103 (− 2,1) ≈ 20,6 kPa

Portanto, pC ≈ 20,6 + 7,07 = 27,67 kPa

Todos as pressões calculadas são relativas.

Esforços em superfícies submersas| Topo pág | Fim pág |

Na Figura 01, considera-se uma porção genérica de área S da parede de um reservatório, inclinada de α em relação à horizontal.

A representação adotada é um rebatimento da parede no plano frontal. Assim, na realidade, o eixo X está na superfície do líquido, onde a pressão (relativa) é supostamente nula.

C é o centróide da superfície (ou centro de gravidade, no conceito prático). P é o ponto de atuação da resultante das forças de pressão.

Figura 01

A magnitude da força F atuante no ponto P é dada por:

F = pc S = γ yc sen α S #A.1#

Onde γ é o peso específico do líquido.

A coordenada yp do ponto P de aplicação dessa força é:

#B.1#

Onde Jxc é o momento de inércia da superfície S em relação ao eixo XC, que passa pelo centróide.

Da relação #B.1#, pode-se concluir que yp ≈ yc para grandes profundidades (yc grande).

Exemplo: Conforme Figura 02, um reservatório de água, peso específico 9,81 kN/m3, tem um tubo de saída com uma tampa articulada em A, formando uma elipse com AB = 5 m. Determinar a força F, aplicada em B, necessária para abrir a tampa.

Figura 02

A simetria da elipse permite concluir que o centróide C está a uma profundidade 8 + 4/2 = 10 m. Portanto, na relação #A.1#,

yc sen α = 10 mÁrea da elipse S = π 2,5 2 ≈ 15,7 m2

Segundo #A.1#, a força Fp devido à pressão na superfície inclinada é

Fp = 9,81 103 10 15,7 ≈ 1540 kN

Ela deve atuar em P, abaixo de C.

O momento de inércia de uma elipse em relação a XC da Figura 01 é (1/4) π a3 b. Onde a é o raio perpendicular e b é o raio ao logo desse eixo. Portanto, para este caso,

Jxc = (1/4) π 2,53 2 ≈ 24,5 m4

É preciso determinar yc para aplicação da relação #B.1#. Notar que não é a profundidade de C, mas a distância na direção BA até a superfície da água. Da semelhança de triângulos, pode-se concluir que, de A até a superfície, são 10 m. Portanto,

yc = 10 + 2,5 = 12,5 m. Aplicando #B.1#,

CP = yp − yc = Jxc / (yc S) = 24,5 / (12,5 15,7) ≈ 0,125 m

Usando a condição de equilíbrio da soma nula dos momentos em A,

F AB = Fp (AC + CP)F 5 = 1540 (2,5 + 0,125)

F = 808,5 kN

Figura 03

Exemplo: o reservatório de água da Figura 03 tem supostamente largura de 1 metro na direção perpendicular ao plano da imagem.

Determinar a força de reação FR da parte curva, com perfil em forma de setor circular.

Esse problema poderia ser resolvido por integração das forças de pressão ao longo da superfície curva. Entretanto, é mais fácil adotar o procedimento conforme Figura 04 (a), isto é, isolar a porção de líquido com o perfil da seção e comprimento 1 metro.

As forças atuantes devido ao fluido são as forças de pressão nas superfícies

superior e lateral, FV e FH.

Há também a força FW correspondente ao peso da porção de líquido. E a reação FR deve ser oposta à resultante dessas três forças.

Figura 04

Para a força FH, a superfície lateral tem 2 × 1 = 2 m2. Na aplicação da relação #A.1#, notar que o centróide é o ponto D da Figura 04 e não C. O valor é yD = 4 + 1 = 5 m. Assim,

FH = 9,81 103 5 sen 90 2 = 98,1 kN

Aplicando a fórmula do momento de inércia de um retângulo em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide D,

JD = 1 23 / 12 ≈ 0,67

Usando agora a fórmula #B.1#, yC = 5 + 0,67 / (5 2) = 5,067 m

Assim, EC = 5,067 − 4 = 1,067 m

Desde que a superfície é horizontal, a força FV é a pressão no nível multiplicada pela área:

FV = 9,81 103 4 2 ≈ 78,5 kN

Naturalmente, a ação é no centróide do retângulo e EH = 1 m

A força FW é dada pelo peso específico multiplicado pelo volume de líquido:

FW = 9,81 102 (1/4) π 22 1 ≈ 30,8 kN

A ação de FW está no centro de gravidade da seção, que, para material homogêneo como este caso, equivale ao centróide. Segundo página Seções planas I-12,

EF = 4 R / (3 π) = 4 2 / (3 π) ≈ 0,85 m

Em (b) da Figura 04, F1 é a resultante de FW e FV. A posição da linha de ação (distância EG) é calculada por:

EG = (EF FW + EH FV) / (FW + FV) = (0,85 30,8 + 1 78,5) / (30,8 + 78,5) ≈ 0,96

E o valor é a soma F1 = FW + FV = 30,8 + 78,5 = 109,3 kN

Com os valores de FH e F1, o módulo de FR é calculado de acordo com as regras da soma vetorial de dois vetores perpendiculares entre si:

FR = √(98,12 + 109,32) ≈ 146,9 kN

A inclinação é φ = tan−1 (−109,3/98,1) ≈ 132°

Princípio de Arquimedes| Topo pág | Fim pág |

Um corpo submerso em um fluido sofre um empuxo vertical igual ao peso do volume de líquido deslocado (Figura 01).

Figura 01

Na figura:

V: volume do corpo.P: peso do corpo.F: empuxo devido ao fluido.

P e F estão deslocados para maior clareza, mas ambos atuam na direção do centro de gravidade do corpo.

Considerando:

m: massa do corpo.g: aceleração da gravidade.ρ: massa específica do fluido.

De acordo com o princípio de Arquimedes,

F = ρ g V #A.1#.

E o peso do corpo é

P = m g #A.2#.

As seguintes situações são possíveis:

• Se P > F, o corpo vai para o fundo.• Se P = F, o corpo fica em equilíbrio.• Se P < F, o corpo flutua na superfície.

Figura 02

No caso de P > F, é possível imaginar um arranjo conforme Figura 02. Se um corpo de massa M equilibra o corpo submerso, ocorre a igualdade:

M g = P − F = m g − ρ g V #B.1#.

A massa específica do corpo submerso é

ρC =m#B.2#

V

Combinando com a igualdade anterior e simplificando,

ρC = ρ1

#B.3#1 − M/m

Corpos flutuantes - Alguns conceitos| Topo pág | Fim pág |

Seja um corpo de seção retangular flutuando conforme Figura 01 e os pontos:

Gc: centro de gravidade do corpo.Gs: centro de gravidade da seção submersa do corpo.

Figura 01

Se o corpo é inclinado, Gs muda de posição e o centro de curvatura da trajetória de Gs é um ponto M, denominado metacentro.

Para inclinações pequenas (< 15º) a posição de M é praticamente constante.

Se M está acima de Gc, o conjugado do peso P do corpo e empuxo F faz o corpo retornar à condição inicial. A distância MGc (altura metacêntrica) deve ser a menor possível para evitar oscilações rápidas. Em barcos, normalmente menor que 1 m.

Esforços em reservatórios| Topo pág | Fim pág |

Seja, conforme Figura 01, um reservatório cilíndrico horizontal, representado em corte transversal na figura, com os parâmetros:

ℓ: comprimento.D: diâmetro.e: espessura da parede (<< D).p: pressão interna.

Deseja-se saber a tensão nas paredes do cilindro.

Considera-se o plano hipotético c, dividindo o cilindro em duas partes iguais. Na parte inferior, a força vertical devido à pressão em cada área infinitesimal dS é

p dS cos φ #A.1#.

E a área infinitesimal é dS = ℓ (D/2) dφ #A.2#.

Figura 01

Assim,

F = 2 ∫0...π/2 p dS =

2 ℓ (D/2) p ∫0...π/2 cos φ dφ = ℓ D p #A.3#.

Cada seção da parede no plano c irá suportar uma força igual a F/2. Assim, a tensão será:

σ = (F/2) / (e ℓ) = ℓ D p / (2 e ℓ) #A.4#.

Simplificando,

σ =D p

#A.5#2 e

Essa igualdade é também denominada fórmula da caldeira e só vale se a espessura da parede for pequena em relação ao diâmetro.

Figura 02

No caso de reservatório cilíndrico vertical, conforme Figura 02, cheio de líquido e sujeito apenas à ação da gravidade, a pressão varia com a altura. Assim, a tensão nas parede do cilindro irá variar, chegando ao máximo junto à base do reservatório.

Para calcular em cada altura, basta substituir o valor de p pela fórmula da pressão, ou seja,

σ =D ρ g h

#B.1#2 e

Estática dos fluidos na atmosfera| Topo pág | Fim pág |

Para a atmosfera, verifica-se experimentalmente que a variação de temperatura T com a altitude H é aproximadamente

dT= −0,0065 ºC/m #A.1#

dH

É suposto que a transformação de estado termodinâmico da atmosfera seja o caso mais genérico, isto é, uma transformação politrópica

pvn = constante #B.1#

Nessa hipótese, deseja-se saber o coeficiente n.

Diferenciando a relação anterior,

d( pvn ) = p n vn − 1 dv + vn dp = 0 #B.2#

Da estática dos fluidos,

v dp = − g dH #B.3#

Reagrupando a igualdade #B.2#,

p n vn − 1 dv + vn − 1 v dp = 0

Combinando com #B.3#,

p n vn − 1 dv − vn − 1 g dH = 0

Assim,

p dv = gdH

#B.4#n

Da termodinâmica consta que

q = cv dT + p dv = cp dT − v dp #B.5#

Substituindo p dv e v dp,

cv dT + g dH / n = cp dT + g dH

(cp − cv) dT = [ (1/n) − 1 ] g dH #B.6#

Desde que (cp − cv) = R (constante dos gases), tem-se

[ (1/n) − 1 ] = R (dT/dH) / g

dT=g (1 − n)

#B.7#dH n R

Da igualdade acima são conhecidos:

dT/dH: relação #A.1#.g: aceleração da gravidade.R: constante dos gases.

Resolvendo, chega-se a

n ≈ 1,24 #C.1#

Portanto, para a atmosfera

p v1,24 = constante #C.2#

Se, em um determinado ponto (por exemplo, ao nível do mar), p e v são conhecidos, o valor da constante pode ser calculado, ou seja,

p v1,24 = c. Onde c é conhecido. Ou

v = (c) 1/1,24 #C.3#

p

Substituindo na igualdade v dp = − g dH e integrando, é possível obter uma fórmula para variação da pressão atmosférica com a altitude.

Escoamento de um fluido ideal| Topo pág | Fim pág |

Para o escoamento sem atrito de um fluido incompressível ideal, vale a equação desenvolvida por Daniel Bernoulli:

#A.1#. Onde:

h: altura em relação a um plano de referência.p: pressão.ρ: massa específica.g: aceleração da gravidade.c: velocidade.

Essa igualdade é a lei da conservação da energia aplicada ao escoamento. Desde que ele ocorre sem atrito, não há troca de energia com o meio e a energia total do fluido permanece constante.

As parcelas têm dimensão de comprimento e podem ser entendidas como alturas, em relação a um plano de referência, representativas das formas de energia presentes no escoamento:

Figura 01

h : energia potencial da massa do fluido.

: energia devido à compressão com volume constante.

: energia cinética devido à velocidade adquirida.

Na Figura 01, esquema de um escoamento simples de um líquido, considerando pressões relativas, isto é, pressão nula significa pressão atmosférica.

Considera-se o reservatório continuamente abastecido e, assim, no ponto 0, o fluido está em repouso.

Portanto, nesse ponto, toda energia do fluido é a energia potencial representada pela altura física h0 e as demais parcelas são nulas. No ponto 1, a energia potencial é menor (h1) e o fluido tem uma determinada pressão e

velocidade. No ponto 2, a energia potencial é ainda menor (h2) e o fluido tem maior pressão e velocidade. As colunas de líquidos colocadas nos pontos 1 e 2 têm alturas correspondentes às energias de pressão em cada ponto, conforme indicado na figura.

A equação de Bernoulli em termos de pressões: Multiplicando ambos os lados por ρg,

#B.1#

Portanto, todas as parcelas têm dimensão de pressão e são muitas vezes denominadas:

h ρ g pressão estática

p pressão

pressão dinâmica

H ρ g pressão total

Mudança de seção: No escoamento da Figura 02, o ponto 2 tem uma seção transversal menor que a seção de 1. Desde que o fluido é supostamente incompressível, a vazão volumétrica é a mesma nos dois pontos. Assim,

#C.1#

Isso demonstra que uma redução de seção provoca um aumento da velocidade do fluido.

Desde que o escoamento é horizontal, a pressão estática é a mesma em ambos os pontos e a equação de Bernoulli fica:

Figura 02

#C.2#

Notar que o aumento de velocidade na seção estrangulada é compensado pela menor pressão dinâmica.

Se fossem instaladas colunas de líquido em cada, a redução da pressão dinâmica seria claramente observada, conforme indicado na figura.

Define-se: #C.3#

Conforme #C.1# anterior, c2 = c1 / R

Substituindo c2 na equação de Bernoulli,

p1 + c12 ρ / 2 = p2 + c1

2 ρ / 2 R2

Isolando o valor de c1,

#C.4#

Assim, é possível determinar a vazão Q conforme #C.1#. Ou seja, uma variação de seção possibilita a determinação da vazão a partir da leitura das pressões dinâmicas em orifícios na parede da tubulação. Apesar da suposição de um fluido ideal, o resultado é aceitável para muitos fluidos reais e, nesses casos, podem ser usados fatores ou tabelas de correção para melhor precisão.

Tubo de Pitot: Na Figura 03 o circuito 1 recebe a pressão dinâmica mais a pressão cinética do escoamento e o circuito 2 recebe apenas a pressão dinâmica.

Figura 03

Portanto, um manômetro de coluna líquida indica a diferença entre as mesmas, isto é, a pressão cinética.

E essa parcela na equação de Bernoulli será

c2 ρ / 2 = p1 − p2 ou

#D.1#

E, uma vez determinada a velocidade, é possível calcular a vazão conforme já visto na seção anterior.

As proporções da figura estão propositalmente exageradas. Na prática, os tubos de Pitot são finos e podem ser introduzidos em um pequeno orifício na tubulação. São bastante usados na medição da vazão de ar em sistemas de ventilação e outros.

Escoamento de um fluido ideal (cont)| Topo pág | Fim pág |

No estudo do escoamento de fluidos, a equação da continuidade é uma das mais importantes. É basicamente a conservação da massa aplicada a um escoamento.

Um fluido incompressível tem massa específica constante e, portanto, a vazão volumétrica Qv é também constante. Se o escoamento ocorre em um conduto de seção transversal variável, entre dois pontos (1 e 2) quaisquer vale a relação

S1 c1 = S2 c2 = Qv #A.1#. Onde

S: área da seção transversal.

c: velocidade do escoamento.

Se o fluido é compressível, a massa específica varia e a equação é escrita

ρ1 S1 c1 = ρ2 S2 c2 #A.2#.

Conforme visto na página anterior, para o escoamento de um fluido incompressível ideal, os parâmetros se relacionam conforme a equação de Bernoulli:

#B.1#. Onde

z: altura em relação a um plano de referência. Muitas vezes, é simbolizada pela letra h.

p: pressão do fluido.

ρ: massa específica do fluido.

c: velocidade do fluido.

g: aceleração da gravidade.

A equação de Bernoulli é, na realidade, o princípio da conservação da energia aplicado ao escoamento de um fluido incompressível ideal (não há perdas por atrito). Se multiplicados todos os termos da igualdade anterior por g, tem-se:

#B.2#

A seguir, o significado de cada termo, supondo m a massa de uma pequena porção de fluido no ponto considerado.

z g Multiplicando e dividindo por m, . Ou seja, é a energia potencial por

unidade de massa da porção de fluido.

Massa específica ρ equivale a m / V (volume). Assim, a parcela é igual a p V / m. Equivale à entalpia termodinâmica do fluido por unidade de massa

(na realidade, a entalpia tem também a parcela de energia interna U, que é suposta constante no fluido incompressível ideal).

Equivale a (1/2) m c2 / m ou energia cinética por unidade de massa da porção de fluido.

Exemplo 01 (fonte: prova perito Polícia Federal): Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 N/m3 a uma vazão de 3,06 m3/s. Ao fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico para 7,85 N/m3. Qual a vazão e velocidade do ar no trecho de menor seção?

(a) 3,06 m3/s e 43,3 m/s

(b) 3,82 m3/s e 43,3 m/s

(c)3,06 m3/s e 121,6 m/s

(d) 3,82 m3/s e 121,6 m/s

Solução: usa-se a equação da continuidade para fluido compressível

ρ1 S1 c1 = ρ2 S2 c2

São dados:

S1 = π 0,32/4S2 = π 0,22/4 (convertendo os diâmetros em metros). Também:

ρ1 = 9,80/gρ2 = 7,85/g (massa específica é igual ao peso específico dividido pela aceleração da gravidade).

Também a vazão volumétrica Qv1 = 3,06.

Na equação anterior, o produto S c é a vazão volumétrica. Assim,

ρ1 Qv1 = ρ2 Qv2

(9,8/g) 3,06 = (7,85/g) Qv2

Portanto,

Qv2 = 9,8 3,06 / 7,85 ≈ 3,82 m3/s

E a velocidade é calculada por S2 c2 = Qv2. Assim,

c2 = 3,82 / (π 0,22/4) ≈ 121,6 m/s. Resposta (d).

Exemplo 02 (fonte: prova perito Polícia Federal): Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha d'água quando o calado é de 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, qual a

massa de carga que pode ser colocada no navio antes que o calado atinja o valor de 9,2 m?

(a) 6.122.449,0 kg (b) 612.244,9 kg (c) 3.061.224,4 kg (d) 306.122,4 kg

Solução: calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a parte inferior do casco. Se a área da seção longitudinal é constante e igual a 3000 m2, um aumento do calado de 9 para 9,2 metros significa um aumento de volume submerso de

3000 (9,2 − 9) = 600 m3

Conforme princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso do volume de líquido deslocado. Para 600 m3 de água com o peso específico dado de 10 kN/m3, tem-se

P = 600 10 = 6000 kN = 6000000 N

Supondo a aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2 e usando a lei de Newton P = m g,

m = P/g = 6000000/9,8 ≈ 612244,9 kg. Resposta (b).

Escoamento real| Topo pág | Fim pág |

Em páginas anteriores, foi comentada a equação de Bernoulli, que vale para o escoamento de um fluido incompressível sem atrito com as paredes da tubulação.

Figura 01

Os líquidos reais têm alguma compressibilidade, mas ela é tão pequena que eles podem ser considerados incompressíveis e os erros são desprezíveis.

As tubulações reais, no entanto, oferecem resistência ao escoamento e isso não pode ser desprezado na maioria dos casos, sob pena de erros consideráveis.

Na Figura 01 é considerada uma situação ideal. Portanto,

#A.1#

Figura 02

Para uma tubulação real, pode ser aplicada essa igualdade com um dos membros acrescido de uma altura correspondente à perda de pressão devido ao atrito com a tubulação. Essa parcela é denominada perda de carga.

Na Figura 02, Ha é a perda de carga.

Introduzindo esse valor na igualdade anterior,

#A.2#

Ou seja, para fins de cálculo, uma tubulação real é considerada uma ideal acrescida da parcela da perda de carga.

As fórmulas que permitem o cálculo da perda de carga dão em geral valores por unidade de comprimento de tubulação (perda de carga unitária), simbolizada por J. Assim,

Ha = J L #B.1#. Onde:

J: perda de carga em em metro por metro (m/m)L: comprimento da tubulação em metros (m)

O método mais preciso de cálculo da perda de carga unitária é dado pela equação de Equação de Darcy-Weisbach:

#C.1#. Onde:

J perda de carga unitária m/m

fcoeficiente de atrito para o

escoamentoadimensional

c velocidade do escoamento m/s

g aceleração da gravidade m/s2

D diâmetro interno da tubulação m

A velocidade do escoamento pode ser obtida da equação da continuidade

Q = S c #C.2#, onde Q é a vazão em m3/s e S é a área da seção transversal interna do tubo em m2.

A determinação do coeficiente de atrito f é mais complexa. Ele depende de dois fatores:

a) do número de Reynolds Re do escoamento, que é dado por

#C.3#. Onde:

c velocidade do escoamento m/s

D diâmetro interno da tubulação m

νviscosidade cinemática do

fluidom2/s

Se Re < 2000 o escoamento é dito laminar. Se Re > 4000 o escoamento é dito turbulento. Entre os dois valores existe uma zona de transição, para a qual não há fórmula precisa. Na maioria dos casos práticos, os escoamentos são turbulentos.

b) do diâmetro e rugosidade das paredes da tubulação.

Com esses dados, o valor de f pode ser determinado por gráficos ou métodos iterativos. Mas o método não é objeto desta página. A alternativa mais simples é o uso de alguma fórmula empírica como a de Hazen-Williams. Alguns especialistas contemporâneos sugerem o seu abandono, alegando que os métodos computacionais estão disseminados e, portanto, não mais se justifica o uso. Mas é simples e por isso é aqui apresentada, lembrando que é uma fórmula aproximada e válida somente para instalações comuns de água.

Fórmula de Hazen-Williams| Topo pág | Fim pág |

#A.1#. Onde:

J perda de carga unitária m/m

Q vazão de água m3/s

D diâmetro interno da tubulação m

Ccoeficiente que depende do material da

tubulação

O formulário abaixo facilita o cálculo a partir de bitolas padronizadas de tubulações.

Material da tubulação VazãoDiam mm

Diam pol

m3/h

Perda de carga unitária (J)m/m

Valores adotados para o coeficiente C:aço galvanizado 125aço soldado 130cimento-amianto 130ferro fundido revestido 125polietileno 120PVC ou cobre 140

Perdas localizadas e comprimento equivalente| Topo pág | Fim pág |

Acessórios como conexões e registros provocam perdas de carga localizadas. No cálculo, a perda localizada é representada pelo comprimento equivalente, isto é, o comprimento de tubulação da mesma bitola que produz a mesma perda de carga.

Figura 01

No exemplo da Figura 01, o comprimento para efeito de cálculo da tubulação entre A e B é dado por:

Ltotal = L1 + L2 + Lequiv_registro + Lequiv_curva

E a perda de carga total é dada conforme igualdade já vista:

Aço galvanizado 15 1/2

Limpar

Ha = J Ltotal

A próxima página contém tabelas de comprimentos equivalentes para alguns tipos de acessórios comuns de tubulações.

Comprimentos equivalentes (m) - Aço galvanizado| Topo pág | Fim pág |

DN 15 20 25 32 40 50 60 75 100 125 150

Joelho 90º 0,4 0,6 0,7 0,9 1,1 1,4 1,7 2,1 2,8 3,7 4,3

Joelho 45º 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 0,9 1,2 1,5 1,9 2,3

Curva 90º 0,2 0,3 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 1,3 1,6 1,9

Curva 45º 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,9 1,1

Tê fluxo direto 0,3 0,4 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,6 2,1 2,7 3,4

Tê fluxo lateral 1,0 1,4 1,7 2,3 2,8 3,5 4,3 5,2 6,7 8,4 10,0

Tê fluxo bilateral 1,0 1,4 1,7 2,3 2,8 3,5 4,3 5,2 6,7 8,4 10,0

Saída detubulação

0,4 0,5 0,7 0,9 1,0 1,5 1,9 2,2 3,2 4,0 5,0

Entrada de tan-que s/ borda

0,2 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 0,9 1,1 1,6 2,0 2,5

Entrada de tan-que c/ borda

0,4 0,5 0,7 0,9 1,0 1,5 1,9 2,2 3,2 4,0 5,0

Registro gavetaaberto

0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,4 0,4 0,5 0,7 0,9 1,1

Registro globoaberto

4,9 6,7 8,2 11,3 13,4 17,4 21,0 26,0 34,0 43,0 51,0

Registroangular

2,6 3,6 4,6 5,6 6,7 8,5 10,0 13,0 17,0 21,0 26,0

Válvula de pée crivo

3,6 5,6 7,3 10,0 11,6 14,0 17,0 20,0 23,0 30,0 39,0

Válvula de re-tenção leve

1,1 1,6 2,1 2,7 3,2 4,2 5,2 6,3 8,4 10,4 12,5

Válvula de re-tenção pesada

1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 6,4 8,1 9,7 12,9 16,1 19,3

DN 15 20 25 32 40 50 60 75 100 125 150

Comprimentos equivalentes (m) - PVC ou cobre| Topo pág | Fim pág |

DN 15 20 25 32 40 50 60 75 100 125 150

Joelho 90º 1,1 1,2 1,5 2,0 3,2 3,4 3,7 3,9 4,3 4,9 5,4

Joelho 45º 0,4 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5 1,7 1,8 1,9 2,4 2,6

Curva 90º 0,4 0,5 0,6 0,7 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,9 2,1

Curva 45º 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

Tê fluxo direto 0,7 0,8 0,9 1,5 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,3 3,8

Tê fluxo lateral 2,3 2,4 3,1 4,6 7,3 7,6 7,8 8,0 8,3 10,0 11,1

Tê fluxo bilateral 2,3 2,4 3,1 4,6 7,3 7,6 7,8 8,0 8,3 10,0 11,1

Saída detubulação

0,8 0,9 1,3 1,4 3,2 3,3 3,5 3,7 3,9 4,9 5,5

Entrada de tan-que s/ borda

0,3 0,4 0,5 0,6 1,0 1,5 1,6 2,0 2,2 2,5 2,8

Entrada de tan-que c/ borda

0,9 1,0 1,2 1,8 2,3 2,8 3,3 3,7 4,0 5,0 5,6

Registro gavetaaberto

0,1 0,2 0,3 0,4 0,7 0,8 0,9 0,9 1,0 1,1 1,2

Registro globoaberto

11,1 11,4 15,0 22,0 35,8 37,9 38,0 40,0 42,3 50,9 56,7

Registroangular

5,9 6,1 8,4 10,5 17,0 18,5 19,0 20,0 22,1 26,2 28,9

Válvula de pée crivo

8,1 9,5 13,3 15,5 18,3 23,7 25,0 26,8 28,6 37,4 43,4

Válvula de re-tenção leve

2,5 2,7 3,8 4,9 6,8 7,1 8,2 9,3 10,4 12,5 13,9

Válvula de re-tenção pesada

3,6 4,1 5,8 7,4 9,1 10,8 12,5 14,2 16,0 19,2 21,4

DN 15 20 25 32 40 50 60 75 100 125 150

Critérios de dimensionamento| Topo pág | Fim pág |

Para o dimensionamento de uma tubulação, alguns parâmetros precisam ser conhecidos ou estabelecidos. Seja, segundo exemplo da Figura 01, uma tubulação de diâmetro uniforme D, que conduz uma vazão de água Q do ponto A até o ponto B (a parte tracejada indica que pode haver pontos de perdas localizadas, como conexões e registros).

Conforme visto em página anterior, a equação de Bernoulli com a parcela de perda de carga é

#A.1#

Desde que há apenas uma equação, somente um parâmetro pode ser calculado. Os demais precisam ser conhecidos ou presumidos.

Se, no exemplo da Figura 01, B é a entrada de água de um equipamento, Q e pB são conhecidos, pois são definidos pelo seu projeto.

Figura 01

Desde que o diâmetro é constante, a velocidade é a mesma (Q = S c) em todos os pontos e as parcelas c2/2g se anulam.

As alturas físicas hA e hB são conhecidas, pois são dados do projeto da rede.

Portanto, é possível determinar a pressão necessária em A, que será a diferença das alturas físicas acrescida da perda de carga na tubulação.

Supõe-se agora que o ponto A é a saída de uma bomba. Pelas fórmulas e também pela dedução óbvia, quanto menor D maior a perda de carga e, portanto, mais potente deve ser a bomba, com maior custo de aquisição e maior consumo de energia. Mas, em compensação, o custo da tubulação é menor. E vice-versa. Então, o dimensionamento da bitola D parece ser o melhor compromisso entre esses custos.

Mas existe um critério técnico que deve ser observado: a velocidade do fluxo. Velocidades muito baixas exigem tubos de grande diâmetro, que são antieconômicos. Velocidades muito altas produzem ruídos e desgastes prematuros. No caso de bombas centrífugas, as velocidades recomendadas são:

• Linha de sucção 1 a 1,6 m/s• Linha de recalque 2 a 3 m/s

O exemplo do próximo tópico usa esse critério para a primeira estimativa.

Exemplo: bomba centrífuga| Topo pág | Fim pág |

A Figura 01 dá exemplo de uma rede para bombear água de um reservatório inferior para um superior. Bastante usado em edifícios, indústrias e outros. É suposta uma vazão Q = 15 m3/h (ou 0,00417 m3/s). Deseja-se saber uma bitola satisfatória para uma tubulação de PVC e a capacidade da bomba.

Conforme equação da continuidade, Q = S c = π D2 c / 4. De outra forma, c = 4 Q / (π D2). Com a bitola padronizada D = 60 mm (0,06 m), calcula-se:

c ≈ 4 0,00417 / (3,14 0,06 0,06) ≈ 1,48 m/s

É um valor dentro da faixa recomendada para sucção e, portanto, será adotado em princípio.

Para a linha de recalque, a velocidade pode ser maior. Assim, tenta-se um valor padronizado logo abaixo (D = 50 mm = 0,05 m):

c ≈ 4 0,00417 / (3,14 0,05 0,05) ≈ 2,12 m/s

O resultado está dentro da faixa recomendada e a bitola será em princípio adotada.

Considerando água a 20ºC, a viscosidade cinemática é aproximadamente 0,000001 m2/s. E o número de Reynolds para a sucção será

Re_suc = 1,48 0,06 / 0,000001 = 88800

E, para o recalque,

Re_rec = 2,12 0,05 / 0,000001 = 106000

Ambos estão na faixa de escoamento turbulento e a fórmula de Hazen-Williams pode ser usada.

Desde que a bomba produz um aumento de pressão do fluxo, a análise fica mais fácil se as linhas de sucção (01) e de recalque (23) são separadas.

Linha de sucção

Considera-se que o nível da água está apenas um pouco acima da válvula de pé (é a pior situação). Nessa condição, pode-se desprezar a coluna de líquido

e considerar a pressão em 0 igual à pressão atmosférica (a equação de Bernoulli usa pressões absolutas). Assim,

p0 = patm

O nível zero de referência arbitrado passa por esse ponto e, portanto, h0 = 0. A água no reservatório está em repouso e a sucção da bomba a acelera para entrar na tubulação com a velocidade de sucção anteriormente calculada. Assim, é lícito supor uma situação limite e c0 = 0.

No ponto 1 tem-se h1 = 2,5 m e c1 = 1,48 m/s (a velocidade anteriormente calculada para a sucção).

E, aplicando a equação de Bernoulli para tubos escoamento real conforme Fluidos 02-10,

0 + patm / (ρ g) + 02 / (2 g) = 2,5 + p1 / (ρ g) + 1,482 / (2 g) + Ha_sucção

Para o cálculo da perda de carga, considera-se o comprimento do trecho acrescido dos equivalentes para perdas localizadas conforme já visto:

Lsucção = 2,5 + 2,0 + 25,0 + 1,4 = 30,9 m

As duas últimas parcelas são os comprimentos equivalentes para válvula de pé e curva com bitola 60 mm conforme tabela de Fluido 02-20.

E, com o valor acima, a perda de carga unitária é calculada pelo formulário do tópico Fórmula de Hazen-Williams,

J ≈ 0,04 m/m

Portanto, Ha_sucção = J Lsucção = 0,04 30,9 = 1,24 m

Substituindo e calculando valores na igualdade anterior,

patm / (ρ g) = 2,5 + p1 / (ρ g) + 0,11 + 1,24

p1 / (ρ g) = patm / (ρ g) − 3,85

Figura 01

Linha de recalque

Para o ponto 2,

h2 = 2,5 m c2 = 2,12 m/s (a velocidade anteriormente calculada).

Para o ponto 3,

h3 = 50,0 + 2,5 = 52,5 m c3 = c2 = 2,12 m/s (pois o diâmetro do tubo é uniforme).

O fluxo sai livre nesse ponto e, portanto, sua pressão pode ser considerada a pressão atmosférica. Para a altura de 3, a variação é desprezível e pode ser a mesma do ponto 0. Assim,

p3 = patm

Usando a igualdade de Bernoulli,

2,5 + p2 / (ρ g) + 2,122 / (2 g) = 52,5 + patm / (ρ g) + 2,122 / (2 g) + Ha_rec

O cálculo da perda de carga é feito de forma similar ao da sucção:

Lrec = 50,0 + 2,0 + 0,8 + 10,8 + 3,3 = 66,9

As três últimas parcelas são as perdas para registro gaveta, válvula de retenção pesada e saída de tubulação, conforme tabela de Fluido 02-20.

Calculando a perda conforme Fórmula de Hazen-Williams para PVC, vazão 15 m3/h e diâmetro 50 mm,

J ≈ 0,098 m/m

Assim,

Ha_rec = J Lrec = 0,098 66,9 = 6,55 m

Na equação de Bernoulli, as parcelas de velocidade se anulam por serem iguais. Assim,

2,5 + p2 / (ρ g) = 52,5 + patm / (ρ g) + 6,55

p2 / (ρ g) = 56,55 + patm / (ρ g)

Para que a água possa fluir nessas condições, a bomba deve produzir um aumento de pressão igual à diferença entre as pressões dos pontos 2 e 1. Fazendo a diferença com o valor calculado para o ponto 1,

p2 / (ρ g) − p1 / (ρ g) = 56,55 + patm / (ρ g) − [ patm / (ρ g) − 3,85 ]

(p2 − p1) / (ρ g) = 60,35 m

Desde que a massa específica da água e a aceleração da gravidade são conhecidos, pode-se calcular essa diferença. Entretanto, no caso de bombas, é praxe a indicação em altura e o valor encontrado (60,35 m) é dito altura manométrica da bomba. Agora, é só procurar em catálogos de fabricantes uma bomba com altura manométrica e vazão iguais ou próximas dos valores aqui definidos ou calculados (60,35 m e 15 m3/h).

Pode-se tentar o cálculo com outros diâmetros de tubulações para um estudo econômico, conforme mencionado no tópico anterior.

Voltando à parte da sucção, comenta-se agora um importante aspecto da operação de bombas. Foi calculado que a pressão na entrada da sucção é

p1 / (ρ g) = patm / (ρ g) − 3,85

Notar que é uma pressão menor que a da atmosfera e seu valor é tanto menor quanto maior for a altura de sucção e/ou perdas na mesma. Se a pressão atingir a faixa da pressão de vapor da água, ela se vaporiza e partículas se condensam de forma brusca em zonas de maior pressão. Isso se chama cavitação e é um fenômeno altamente indesejável porque provoca ruídos, queda de rendimento e desgaste prematuro de partes internas.

Para prevenir a cavitação, os fabricantes de bombas indicam um valor mínimo de NPSH (do inglês, net positive suction head). É um dado normalmente obtido

em gráfico, pois depende da vazão e altura manométrica de trabalho da bomba.

Para calcular o NPSH da instalação, subtrai-se a pressão de vapor da água da pressão de entrada. Supondo água a 20ºC, a pressão de vapor é cerca de 0,24 m. Portanto,

NPSH = p1 / (ρ g) − 0,24 = 101325 / (1000 9,81) − 3,85 − 0,24 = 6,24 m

Esse valor deve ser maior do que o NPSH indicado pelo fabricante.

Fluidos 03-10 : Medidores comuns de vazão

Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Introdução |Placa de orifício |

Tubo de Pitot |

Índices

Ciência dos materiais

Eletricidade e eletromagnetismo

Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor, frio,

etcInformáticaMatemática

Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Introdução| Topo pág | Fim pág |

A medição de vazão de fluidos sempre esteve presente na era da modernidade. Não se precisa ir muito longe. O hidrômetro de uma residência, o marcador de uma bomba de combustível são exemplos comuns no dia-a-dia das pessoas. Em muitos processos industriais, ela é uma necessidade imperiosa, sem a qual dificilmente poderiam ser controlados ou operados de forma segura e eficiente.

Na História, grandes nomes marcaram suas contribuições. Provavelmente a primeira foi dada por Leonardo da Vinci que, em 1502, observou que a quantidade de água por unidade de tempo que escoava em um rio era a mesma em qualquer parte, independente da largura, profundidade, inclinação e outros. Mas o desenvolvimento de dispositivos práticos só foi possível com o surgimento da era industrial e o trabalho de pesquisadores como Bernoulli, Pitot e outros.

Existe uma variedade de tipos de medidores de vazão, simples e sofisticados, para as mais diversas aplicações. O tipo a usar sempre irá depender do fluido, do seu estado físico (líquido ou gás), das características de precisão e

confiabilidade desejadas e de outros fatores.

Nesta pequena série de páginas, são apresentados princípios de operação e comentários sobre alguns tipos usuais, começando pelos que operam com pressão diferencial.

Placa de orifício| Topo pág | Fim pág |

É um dos meios mais usados para medição de fluxos. Dados de entidades da área de instrumentação mostram que, nos Estados Unidos, cerca de 50% dos medidores de vazão usados pelas indústrias são desse tipo.

Certamente as razões para tal participação devem ser as vantagens que apresenta: simplicidade, custo relativamente baixo, ausência de partes móveis, pouca manutenção, aplicação para muitos tipos de fluido, instrumentação externa, etc. Desvantagens também existem: provoca considerável perda de carga no fluxo, a faixa de medição é restrita, desgaste da placa, etc.

Figura 01

Um arranjo comum é dado na Figura 01. A placa (com orifício de diâmetro D) provoca uma redução da seção do fluxo e é montada entre dois anéis que contêm furos para tomada de pressão em cada lado. O conjunto é fixado entre flanges, o que torna fácil sua instalação e manutenção.

A medição da diferença de pressão p1 − p2 pode ser feita por algo simples como um manômetro U e uma tabela ou uma fórmula pode ser usada para calcular a vazão. Ou pode ser coisa mais sofisticada como transdutores elétricos e o sinal processado por circuitos analógicos ou digitais para indicação dos valores de vazão.

Considerando o escoamento horizontal, as parcelas de altura na equação de Bernoulli se anulam. Portanto,

p1 + c12 ρ / 2 = p2 + c2

2 ρ / 2c2

2 − c12 = (2 / ρ) (p1 − p2)

Considerando o escoamento incompressível, as vazões são as mesmas em qualquer ponto. Assim,

Q = Q1 = Q2 = c1 S1 = c2 S2. Isolando a velocidade, c1 = c2 S2 / S1. Onde Q é vazão e S área da seção.

Substituindo na igualdade anterior,

c22 − c2

2 (S2/S1)2 = (2 / ρ)(p1 − p2)c2

2 = (Q/S2)2 = (2 / ρ) (p1 − p2) / (1 − (S2/S1)2)

#A.1#

Entretanto, essa fórmula só vale para fluidos ideais e escoamento laminar. Para fluidos reais e escoamento turbulento (o mais usual na prática), deve ser introduzido um coeficiente de escoamento Ce:

#A.2#

Figura 02

No escoamento real ocorre uma deformação das linhas de fluxo de forma aproximada com a da Figura 02.

A tomada de pressão p1 corresponde aproximadamente ao diâmetro interno da tubulação (Di da Fig 01). A tomada de pressão p2 não corresponde ao diâmetro da placa (D da Fig 01).

Portanto, a área efetiva S2 não pode ser considerada como igual à área do orifício da placa.

Na igualdade anterior pode-se considerar

#B.1#

Onde Cf é o coeficiente de fluxo e Sp a área do furo da placa. Assim,

#B.2#

O coeficiente Cf é determinado experimentalmente e valores são encontrados em tabelas. Notar que ele depende do fluido, dos diâmetros da tubulação e do orifício da placa. Instrumentos comerciais podem usar o coeficiente e indicar diretamente os valores de vazão.

Tubo de Pitot

| Topo pág | Fim pág |

O tipo básico e a correspondente relação de vazão são mencionados na página Fluidos 01-40. Outras variações poderão ser incluídas em futuras atualizações desta página.

Outros medidores de pressão diferencial| Topo pág | Fim pág |

A Figura 01 deste tópico mostra outros arranjos de medidores de pressão diferencial. Em (a), o chamado tubo de Venturi, em homenagem ao seu inventor (G B Venturi, 1797).

Figura 01

O arranjo (b) é denominado bocal. Pode ser considerado uma placa de orifício com entrada suavizada.

Em (c) um cone é o elemento redutor de seção.

No tipo joelho (d) a diferença de pressão se deve à diferença de velocidade entre as veias interna e externa. Há menor perda de carga no fluxo, mas o diferencial de pressão é também menor.

Existem outros arranjos, mas o princípio básico é o mesmo: uma diferença de pressão é convertida em vazão por meios de coeficientes ou fórmulas determinadas empiricamente.

Conforme já mencionado, todos eles introduzem alguma perda de carga no fluxo. Se isso não pode ser tolerado ou desejado, outros tipos devem ser considerados.

Medidores de área variável (rotâmetro)| Topo pág | Fim pág |

Embora possa ser visto como um medidor de pressão diferencial, o rotâmetro é um caso à parte por sua construção especial. A Figura 01 abaixo dá um arranjo típico.

Um tubo cônico vertical de material transparente (vidro ou plástico) contém um flutuador que pode se mover na vertical. Para evitar inclinação, o flutuador tem um furo central pelo qual passa uma haste fixa. A posição vertical y do flutuador é lida numa escala graduada (na figura, está afastada por uma questão de clareza. Em geral, é marcada no próprio vidro).

Figura 01

Se não há fluxo, o flutuador está na posição inferior 0. Na existência de fluxo, o flutuador sobe até uma posição tal que a força para cima resultante da pressão do fluxo se torna igual ao peso do mesmo.

Notar que, no equilíbrio, a pressão vertical que atua no flutuador é constante, pois o seu peso não varia. O que muda é a área da seção do fluxo, ou seja, quanto maior a vazão, maior a área necessária para resultar na mesma pressão.

Desde que a vazão pode ser lida diretamente na escala, não há necessidade de instrumentos auxiliares como os manômetros dos tipos anteriores.

A fórmula abaixo pode ser usada para relacionar a vazão com outros parâmetros.

#A.1#

C coeficiente que depende da forma do flutuador

S2 área entre o tubo e o flutuador

VF volume do flutuador

ρF massa específica do flutuador

ρ massa específica do fluido

g aceleração da gravidade

SF área máxima do flutuador no plano horizontal

S1 área do tubo na posição do flutuador

Ela pode ser deduzida pela aplicação da equação de Bernoulli entre as extremidades do flutuador (A e B da Figura 02).

Figura 02

ρ g HB + pB + cB2 ρ/2 = ρ g HA + pA + cA

2 ρ/2

pA − pB = ρ g HB − ρ g HA + cB2 ρ/2 − cA

2 ρ/2

Mas HB − HA é a altura do flutuador HF

pA − pB =ρ g HF + (1/2) ρ cB

2 [1 − (cA/cB)2] #B.1#

Considerando o fluido incompressível, a vazão volumétrica em A deve ser igual à vazão volumétrica em B.

Q = cA SA = cB SB

cB = Q / SB

cA/cB = SB/SA

Notar que a área em B é a área do anel entre o tubo e o flutuador.

A diferença de pressão pA − pB deve ser igual ao peso líquido do flutuador (seu peso − peso de igual volume de fluido) dividido pela área máxima do mesmo no plano horizontal. Portanto,

pA − pB = (VF ρF g − VF ρ g) / SF = g VF (ρF − ρ) / SF

Fazendo as substituições em #B.1#,

g VF (ρF − ρ) / SF = ρ g HF + (1/2) ρ cB2 [1 − (cA/cB)2]

g VF (ρF − ρ) / SF = ρ g HF + (1/2) ρ (Q/SB)2 [1 − (SB/SA)2]

Resolvendo para Q,

#C.1#

A fórmula anterior (#A.1#) despreza a contribuição da altura do flutuador (ρ HF) e usa o coeficiente empírico C para o escoamento real (considerar as equivalências S1 = SA e S2 = SB).

Medidores de deslocamento positivo| Topo pág | Fim pág |

Os medidores de deslocamento positivo operam de forma contrária a bombas de mesmo nome: enquanto nessas um movimento rotativo ou oscilante produz um fluxo, neles o fluxo produz um movimento.

A Figura 01 deste tópico dá exemplo de um tipo de lóbulos elípticos que são girados pelo fluxo. Existem vários outros tipos aqui não desenhados: disco oscilante, rotor com palhetas, pistão rotativo, engrenagem, etc.

Figura 01

O movimento rotativo ou oscilante pode acionar um mecanismo simples de engrenagens e ponteiros ou dispositivos eletrônicos nos mais sofisticados.

Em geral, não se destinam a medir a vazão instantânea, mas sim o volume acumulado durante um determinado período.

São mais adequados para fluidos viscosos como óleos (exemplo: na alimentação de caldeiras para controlar o consumo de óleo combustível).

Algumas vantagens são:

• adequados para fluidos viscosos, ao contrário da maioria.• baixo a médio custo de aquisição.

Algumas desvantagens:

• não apropriados para pequenas vazões.• alta perda de carga devido à transformação do fluxo em movimento.• custo de manutenção relativamente alto.• não toleram partículas em suspensão e bolhas de gás afetam muito a precisão.

Medidores tipo turbina| Topo pág | Fim pág |

A Figura 01 abaixo dá um exemplo. O fluxo movimenta uma turbina cuja pás são de material magnético. Um sensor capta os pulsos, cuja freqüência é proporcional à velocidade e, portanto, à vazão do fluido.

Figura 01

Os pulsos podem ser contados e totalizados por um circuito e o resultado dado diretamente em unidades de vazão.

Desde que não há relação quadrática como nos de pressão diferencial, a faixa de operação é mais ampla. A precisão é boa. Em geral, o tipo é apropriado para líquidos de baixa viscosidade.

Existem outras construções. Por exemplo, nos hidrômetros que as companhias de água instalam nos seus consumidores, a turbina aciona um mecanismo tipo relógio e ponteiros ou dígitos indicam o valor acumulado.

Medidores eletromagnéticos| Topo pág | Fim pág |

Os medidores eletromagnéticos têm a vantagem da virtual ausência de perda de pressão, mas só podem ser usados com líquidos condutores de eletricidade.

Figura 01

O princípio se baseia na lei de Faraday, isto é, uma corrente elétrica é induzida num condutor se ele se move em um campo magnético ou vice-versa.

Na Figura 01, um tubo de material não magnético contém duas bobinas que geram um campo magnético B no seu interior. Dois eletrodos são colocados em lados opostos do tubo e em direção perpendicular ao campo.

O fluido faz o papel do condutor e a tensão V gerada tem relação com a velocidade do fluxo e, portanto, com a sua vazão.

Medidores de efeito Doppler| Topo pág | Fim pág |

Esses medidores podem ser classificados na categoria dos ultra-sônicos, pois usam ondas nesta faixa de freqüências.

Figura 01

Só devem ser usados com fluidos que tenham partículas em suspensão. A Figura 01 mostra um esquema simplificado.

Um elemento transmissor emite um sinal de ultra-som de freqüência conhecida e constante. As partículas em suspensão no fluido refletem parte das ondas emitidas.

Desde que as partículas movimentam-se com o fluido, o efeito Doppler faz com que as ondas sejam captadas pelo elemento receptor em freqüência diferente da transmitida e a diferença será tanto maior quanto maior a velocidade, ou seja, há relação com a vazão do fluxo.

Medidor de Coriolis| Topo pág | Fim pág |

No arranjo da Figura 01 abaixo, o fluido passa por um tubo em forma de U dotado de uma certa flexibilidade. Um dispositivo magnético na extremidade e não mostrado na figura faz o tubo vibrar com pequena amplitude na sua freqüência natural e na direção indicada.

Figura 01

O resultado é indicado na figura. Há esforços em sentidos contrários nas laterais do U, devido à oposição dos sentidos do fluxo.

Visto de frente, o tubo é deformado conforme parte direita da figura e essa deformação pode ser captada por sensores magnéticos.

A grande vantagem desse tipo é ser um medidor de fluxo de massa e não de volume. Assim, não há necessidade de compensações para mudanças de condições de temperatura e pressão. Pode ser usado com uma ampla variedade de fluidos. Desde tintas, adesivos até líquidos criogênicos.

Tabela comparativa| Topo pág | Fim pág |

A tabela abaixo dá algumas informações comparativas da utilização em líquidos de alguns dos medidores mencionados nesta página. Não deve ser considerada uma referência absoluta. São apenas informações auxiliares obtidas de fabricantes.

Tipo UtilizaçãoFaix

a

Perda de

pressão

Precisão aprox %

Comprim prévio

diam

Sensib à

viscosid

Custo relativ

o

BocalLíquidos comuns.

4:1 Média±1/±2 da escala

10 a 30 Alta Médio

Coriolis

Líquidos comuns, viscosos, alguma

suspensão.

10:1 Baixa±0,4 da

proporção

Não há Não há Alto

Deslocamento positivo

Líquidos viscosos

sem suspensões

.

10:1 Alta±0,5 da

proporção

Não há Baixa Médio

Eletromagnético

Líquidos condutivos

com suspensões

40:1 Não há±0,5 da

proporção

5 Não há Alto

Joelho

Líquidos comuns. Alguma

suspensão.

3:1 Baixa±5/±10

da escala30 Baixa Baixo

Placa de orifício

Líquidos comuns. Alguma

suspensão.

4:1 Média±2/±4 da escala

10 a 30 Alta Baixo

RotâmetroLíquidos comuns.

10:1 Média±1/±10

da escalaNenhum Média Baixo

Tubo de PitotLíquidos

sem impurezas.

3:1Muito baixa

±3/±5 da escala

20 a 30 Baixa Baixo

Tubo de Líquidos 4:1 Baixa ±1 da 5 a 20 Alta Médio

Venturicomuns. Alguma

suspensão.escala

Turbina

Líquidos comuns. Pouca

suspensão.

20:1 Alta±0,25 da proporçã

o5 a 10 Alta Alto

Ultra-sônico (Doppler)

Líquidos viscosos

com suspensões

.

10:1 Não há±5 da escala

5 a 30 Não há Alto

Fluidos 04-10 : Algumas fórmulas e tabelas para

tubulações de vapor

Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Critério da velocidade de escoamento |

Índices

Ciência dos materiais

Eletricidade e eletromagnetismo

Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor,

frio, etcInformáticaMatemática

Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Critério da velocidade de escoamento| Topo pág | Fim pág |

Para vapor saturado, valores comuns de velocidade de escoamento são:

• de 15 a 30 m/s para linhas principais.• de 10 a 15 m/s para linhas secundárias.

Algumas referências afirmam que o valor de 25 m/s é suficiente para a maioria das aplicações.

Na tabela seguinte, os números nas linhas do cabeçalho e do rodapé são os diâmetros nominais em milímetros de tubos padrão SCH-40 e os valores internos são as capacidades em kg/h de vapor saturado nas pressões e velocidades de escoamento dadas nas respectivas colunas.

Pressão

relativa

Velocidade

m/s

15 20 25 32 40 50 65 80 100 125 150

bar

0,4 15 9 15 25 43 58 95 136 210 362 569 822

" 25 14 25 41 71 97 159 227 350 603 948 1369

" 40 23 40 66 113 154 254 363 561 965 1517 2191

0,7 15 10 18 29 51 69 114 163 251 433 681 983

" 25 17 30 49 85 115 190 271 419 722 1135 1638

" 40 28 48 78 136 185 304 434 671115

51815 2621

1 15 12 21 34 59 81 133 189 292 503 791 1142

" 25 20 35 57 99 134 221 315 487 839 1319 1904

" 40 32 56 91 158 215 354 505 779134

22110 3046

2 15 18 31 50 86 118 194 277 427 735 1156 1669

" 25 29 51 83 144 196 323 461 712122

61927 2782

" 40 47 82133

230 314 517 737113

9196

13083 4451

3 15 23 40 65 113 154 254 362 559 962 1512 2183

" 25 38 67109

188 256 423 603 931160

32520 3639

" 40 61107

174

301 410 676 964149

0256

54032 5822

4 15 28 50 80 139 190 313 446 689118

61864 2691

" 25 47 83134

232 316 521 743114

8197

63106 4485

" 40 75132

215

371 506 833118

9183

6316

24970 7176

5 15 34 59 96 165 225 371 529 817140

82213 3195

" 25 56 98159

276 375 619 882136

2234

73688 5325

" 40 90157

255

441 601 990141

1218

0375

55901 8521

6 15 39 68111

191 261 430 613 947163

12563 3700

" 25 65114

184

319 435 716102

2157

8271

84271 6167

" 40104

182

295

511 696114

6163

5252

5434

86834 9867

7 15 44 77125

217 296 487 695107

3184

82904 4194

" 25 74 12 20 362 493 812 115 178 308 4841 6989

9 9 8 8 0

" 40118

206

334

579 788129

9185

3286

1492

87745

11183

8 15 49 85140

242 330 544 775119

8206

33242 4681

" 25 82144

233

404 550 906129

2199

6343

85403 7802

" 40131

230

373

646 880145

0206

8319

4550

18645

12484

10 15 60105

170

294 401 660 942145

5250

63938 5686

" 25100

175

283

490 668110

1157

0242

5417

66563 9477

" 40160

280

453

785106

9176

1251

2388

0668

21050

21516

4

14 15 80141

228

394 537 886126

3195

1336

05281 7625

" 25134

235

380

657 896147

6210

5325

1560

08801

12708

" 40214

375

608

1052

1433

2362

3368

5202

8960

14082

20333

Pressão

relativabar

Velocidade

m/s15 20 25 32 40 50 65 80 100 125 150

Exemplo: uma linha de vapor saturado com 7 bar de pressão relativa e tubo de diâmetro nominal 50 mm (2") pode escoar uma vazão de 487 kg/h com velocidade de 15 m/s.

No lugar da tabela, podem ser usadas as fórmulas comuns de escoamentos. Sejam as grandezas abaixo relacionadas (notar que as unidades são as básicas do Sistema Internacional. Na prática é comum a vazão por hora e o diâmetro em milímetros. Efetuar as devidas conversões).

Q vazão volumétrica m3/s

vazão de massa kg/s

vg volume específico m3/kg

c velocidade do escoamento m/s

D diâmetro da tubulação m

A vazão de massa é = Q / vg ou Q = vg . Da equação da continuidade do escoamento, Q = S c. Onde S é a área da seção. Para tubos, S = π D2 / 4.

Portanto, Q = vg = (S = π D2 / 4) c. Reagrupando a igualdade, o diâmetro da tubulação é dado em função dos demais parâmetros:

#A.1#

Para vapor saturado, o volume específico vg depende apenas da pressão. Ele pode ser obtido em tabelas de vapor, como na página Termodinâmica 03-30 deste site.

Exemplo: calculando com os dados do exemplo anterior, para p = 7 bar, tem-se vg = 0,240 segundo a tabela de vapor (pressão absoluta 8 bar). A vazão de massa é 487 kg/h = 487 / 3600 kg/s. Portanto,

D = √ [4 0,240 487 / (π 15 3600) ] ≈ 0,052 m ou 52 mm.

No caso de vapor saturado, a presença de água provoca ruído e erosão das tubulações, fenômenos que aumentam com a velocidade. O valor de 40 m/s deve ser considerado um limite superior e níveis menores são sempre recomendados. O vapor superaquecido é isento de água e velocidades na faixa de 50 a 70 m/s podem ser admitidas.

Entretanto, esse cálculo simples segundo o critério da velocidade de escoamento não indica a perda de pressão na tubulação, que também aumenta com a velocidade e pode ser importante em vários casos. Como regra prática aproximada, pode-se dizer que o cálculo da perda de pressão é recomendável para velocidade acima de 15 m/s ou comprimento de tubulação maior que 50 metros.

Comprimentos equivalentes| Topo pág | Fim pág |

Comprimentos equivalentes são recursos simples para cálculo da perda de pressão devido a acessórios como válvulas e conexões. Os comprimentos equivalentes de cada acessório devem ser somados ao comprimento físico da tubulação, resultando em um comprimento total de cálculo.

A tabela abaixo dá os comprimentos equivalentes em metros para alguns acessórios comuns de linhas de vapor.

Acessório 15 20 25 32 40 50 65 80 100 150 200

Curva 22,5º R = 1,5D0,07

0,09

0,11

0,15

0,18

0,23

0,28

0,34

0,44

0,67

0,88

Curva 45º R = 1,5D0,12

0,17

0,21

0,27

0,32

0,41

0,50

0,61

0,79

1,20

1,58

Curva 45º R = D0,22

0,24

0,27

0,36

0,42

0,54

0,66

0,81

1,05

1,58

2,10

Curva 90º R = 1,5 D0,25

0,33

0,43

0,54

0,63

0,82

0,95

1,22

1,57

2,40

3,15

Curva 90º R = D0,33

0,44

0,55

0,73

0,85

1,10

1,33

1,62

2,13

3,40

4,30

Curva 180º R = D0,67

0,88

1,15

1,46

1,70

2,20

2,65

3,25

4,20

6,35

8,30

Tê passagem direta0,42

0,55

0,70

0,92

1,08

1,40

1,65

2,05

2,65

4,00

5,30

Tê saída bilateral1,25

1,65

2,12

2,75

3,20

4,15

5,00

6,00

7,90

12,0

15,6

Tê saída lateral0,91

1,20

1,55

2,00

2,30

2,90

3,60

4,45

5,70

8,30

11,2

Válvula de retenção leve1,22

1,65

2,05

2,70

3,10

4,00

4,85

5,90

7,80

11,5

15,1

Válvula de retenção pesada

1,72

2,30

2,90

3,75

4,40

5,70

6,80

8,30

10,1

16,4

21,6

Redução concêntrica0,11

0,14

0,18

0,23

0,27

0,35

0,42

0,51

0,67

1,00

1,32

Válvula angular aberta3,45

4,55

5,75

7,60

8,80

11,3

13,5

16,6

21,7

33,0

43,5

Válvula gaveta aberta0,14

0,18

0,23

0,30

0,36

0,46

0,55

0,68

0,88

1,32

1,76

Válvula globo aberta6,90

9,20

11,5

15,0

17,5

22,5

27,0

33,2

43,0

62,5

86,0

Acessório 15 20 25 32 40 50 65 80 100 150 200

Para cálculos sem grandes exigências de precisão, o comprimento equivalente de acessórios pode ser estimado entre 5 e 20% (ou em média 10%) do comprimento físico da tubulação.

Fatores de pressão| Topo pág | Fim pág |

Tabela de fator (f) de pressão

As linhas de fundo cinza indicam pressões relativas em bar e os valores logo abaixo (fundo branco) são os respectivos fatores de pressão (exemplo de uso na próxima página).

P rel bar

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Fator f

1,126 1,230 1,339 1,453 1,572 1,694 1,822 1,953 2,090 2,230

P rel bar

0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

Fator f

2,375 2,525 2,679 2,837 2,999 3,166 3,338 3,514 3,694 3,878

P rel bar

1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50

Fator f

4,067 4,260 4,458 4,660 4,866 5,076 5,291 5,510 5,734 5,961

P rel bar

1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

Fator f

6,193 6,429 6,670 6,915 7,164 7,417 7,675 7,937 8,203 8,473

P rel bar

2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50

Fator f

8,748 9,026 9,309 9,957 9,888 10,18 10,48 10,79 11,40 11,41

P rel bar

2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00

Fator f

11,72 12,05 12,37 12,70 13,03 13,37 13,71 14,06 14,41 14,76

P rel bar

3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00

Fator f

15,48 16,22 16,98 17,75 18,54 19,34 20,16 21,00 21,85 22,72

P rel bar

4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00

Fator f

23,61 24,51 25,43 26,36 27,32 28,28 29,27 30,27 31,29 32,32

P rel bar

5,10 5,20 5,30 5,40 5,50 5,60 5,70 5,80 5,90 6,00

Fator f

33,37 34,44 35,52 36,62 37,73 38,86 40,01 41,17 42,35 43,54

P rel bar

6,10 6,20 6,30 6,40 6,50 6,60 6,70 6,80 6,90 7,00

Fator f

44,76 45,98 47,23 48,48 49,76 51,05 52,36 53,68 55,02 56,38

P rel bar

7,10 7,20 7,30 7,40 7,50 7,60 7,70 7,80 7,90 8,00

Fator f

57,75 59,13 60,54 61,96 63,39 64,84 66,31 67,79 69,29 70,80

P rel bar

8,10 8,20 8,30 8,40 8,50 8,60 8,70 8,80 8,90 9,00

Fator f

72,33 73,88 75,44 77,02 78,61 80,22 81,84 83,49 85,14 86,81

P rel bar

9,10 9,20 9,30 9,40 9,50 9,60 9,70 9,80 9,90 10,0

Fato 88,50 90,20 91,92 93,66 95,41 97,18 98,96 100,7 102,5 104,4

r f 5 7 0

P rel bar

10,20 10,40 10,60 10,80 11,00 11,20 11,40 11,60 11,80 12,00

Fator f

108,10

111,87

115,70

119,59

123,54

127,56

131,64

135,78

139,98

144,25

P rel bar

12,20 12,40 12,60 12,80 13,00 13,20 13,40 13,60 13,80 14,00

Fator f

148,57

152,96

157,41

161,92

166,50

171,13

175,83

180,58

185,40

190,29

P rel bar

14,20 14,40 14,60 14,80 15,00 15,20 15,40 15,60 15,80 16,00

Fator f

195,23

200,23

205,30

210,42

215,61

220,86

226,17

231,50

236,97

242,46

P rel bar

16,20 16,40 16,60 16,80 17,00 17,20 17,40 17,60 17,80 18,00

Fator f

248,01

253,62

259,30

265,03

270,83

276,69

282,60

288,58

294,52

300,72

Tabela de capacidades

Uma vez determinado o fator de diferença ΔF (ver próxima página), a tabela indica a capacidade de escoamento em kg/h para diferentes diâmetros nominais (mm) de tubulação (valores em fundo cinza).

Fator ΔF

15 20 25 32 40 50 65 80 100 150 200 250 300

0,00016

30,40

55,41

90,72

199,1

598,2

1275 2329 3800

0,00020

16,18

34,32

62,77

103,0

225,6

662,0

1437 2623 4276

0,00025

10,84

17,92

38,19

69,31

113,2

249,9

735,5

1678 2904 4715

0,00030

11,95

19,31

41,83

75,85

124,1

271,2

804,5

1733 4172 5149

0,00035

6,8612,4

420,5

943,7

680,2

4130,

0285,

3845,

31823 3346 5406

0,00045

3,62 7,9414,5

623,3

950,7

592,6

8150,

9333,

2979,

72118 3884 6267

0,00055

4,04 8,9916,1

826,5

257,0

9103,

8170,

8373,

11101 2382 4338 7057

0,00065

4,46 9,5617,7

629,1

462,3

8113,

8186,

7409,

81207 2595 4781 7741

0,00075

4,8710,5

719,3

131,7

268,0

4124,

1203,

2445,

91315 2836 5172 8367

0,00085

5,5211,9

821,8

835,9

577,1

1140,

7230,

2505,

41490 3215 5861 9482

0,00100

1,96 5,8412,7

523,5

038,2

581,8

9148,

6245,

2539,

41579 3383 6228

10052

0,00125

2,10 6,2613,5

724,9

640,7

287,5

7159,

8261,

8577,

91699 3634 6655

10639

0,00150

2,39 7,3515,1

728,0

445,9

798,8

4179,

3295,

1652,

81908 4091 7493

11999

0,00175

2,48 7,5116,3

029,6

149,3

4103,

4188,

8311,

1686,

52017 4291 7852

13087

0,00200

2,84 8,5818,6

333,8

356,3

9118,

2215,

8355,

5784,

62305 4904 8974

14956

0,00250

3,16 9,4820,7

537,2

561,3

0132,

0240,

5391,

3881,

72456 5422

10090

16503

0,00300

3,4410,3

422,5

040,4

566,6

6143,

4262,

0429,

8924,

42767 6068

11033

18021

0,00400

4,1712,5

026,9

748,5

580,9

1173,

1313,

8514,

9112

83330 7208

13240

21625

0,00500

4,7114,1

230,4

054,9

290,2

3196,

1354,

0578,

6127

53727 8189

14858

24469

0,00600

5,2515,6

935,8

060,3

199,0

5215,

8392,

3647,

3141

24148 9072

16476

26970

0,00800

6,0818,3

439,2

370,1

2116,

2251,

5456,

0750,

3164

84879

10543

19173

31384

Fator ΔF

15 20 25 32 40 50 65 80 100 150 200 250 300

0,0100 6,8620,6

444,1

379,4

4130,

4283,

9514,

9845,

9186

35492

11867

21576

35307

0,0125 7,3522,2

047,2

881,0

0140,

1302,

1547,

3901,

9198

35867

12697

23074

37785

0,0150 8,2725,0

053,3

395,6

2157,

2342,

0620,

6102

0223

06620

14251

25974

42616

0,0175 8,5826,3

955,7

8100,

4165,

6360,

4665,

1107

3236

06994

15017

27461

44194

0,0200 9,8030,1

663,7

5114,

7189,

3411,

9760,

1122

6269

77993

17163

31384

50508

0,025010,9

933,4

870,7

3127,

3209,

8459,

7834,

6136

7297

08817

19332

34750

56581

0,030012,0

036,7

877,2

3137,

9229,

9501,

1919,

4148

0326

49792

20917

37697

62522

0,040014,4

644,1

693,1

7169,

2279,

5600,

7109

3179

0392

31162

22525

44506

47502

6

0,050016,4

349,5

3104,

4191,

2313,

8676,

7123

1202

0441

31304

42844

15148

98532

4

0,060018,1

452,9

6115,

7210,

8343,

2750,

3137

3223

1485

51436

83138

45737

3

0,0800 21,0 62,2 134, 245, 402, 872, 159 259 568 1667 3653

8 8 8 2 1 8 4 9 8 2 2

0,100024,0

370,1

2152,

0277,

0456,

0980,

7180

4294

2642

41887

9

0,120025,9

977,4

8167,

7306,

5500,

2107

9198

6323

6711

02084

1

0,150028,5

084,1

3183,

9334,

2551,

7119

5216

1349

4776

9

0,200034,3

2102,

0220,

7402,

1622,

0142

7259

9421

7931

7

0,250037,7

2112,

7245,

2447,

9735,

5156

5287

6466

8

0,300041,3

7122,

7266,

6487,

3804,

5171

0312

6505

7

0,350043,3

4128,

7283,

2514,

9841,

0180

2326

1

0,400049,9

3147,

1323,

6588,

4961,

1205

9372

7

0,450050,3

1150,

0326,

6600,

2979,

9208

3

0,500055,9

0166,

7362,

9666,

9108

9231

4

0,600062,2

8185,

3402,

1735,

5120

1

0,700063,0

7188,

8407,

6750,

9

0,800072,0

8215,

8465,

8858,

1

0,900073,2

8218,

4476,

6

Fator ΔF

15 20 25 32 40 50 65 80 100 150 200 250 300

Perda de pressão - Uso de tabelas| Topo pág | Fim pág |

Seja o exemplo:

Uma tubulação de diâmetro nominal D = 50 mm é usada para conduzir vapor saturado de um ponto 0 (por exemplo, da caldeira ou ramal principal) com p0 = 7 bar relativo até um ponto 1 (entrada do equipamento). O seu comprimento é 140 metros e contém 6 curvas 90º R = D e uma válvula angular. Determinar a capacidade de escoamento, considerando uma perda máxima admissível de pressão de 0,4 bar.

O comprimento total a considerar é o valor dado mais os comprimentos equivalentes dos acessórios, retirados da tabela do tópico Comprimentos

equivalentes da página anterior

L = 140 + 6 x 1,10 + 1 x 11,3 = 157,9 m

As pressões nas extremidades devem ser:

p0 = 7 barp1 = p0 − 0,4 = 6,6 bar

Usa-se a seguinte igualdade para aplicação das tabelas da página anterior:

#A.1#. Onde:

ΔFfator de diferença para aplicação da Tabela de capacidades da página

anterior

f0da Tabela de fator (f) de pressão da página anterior, correspondente à

pressão p0

f1da Tabela de fator (f) de pressão da página anterior, correspondente à

pressão p1

L comprimento total (físico + equivalentes), em metros, da tubulação

Para os valores de p0 e p1 do exemplo,

f0 = 56,38f1 = 51,05

Portanto,

ΔF = (56,38 − 51,05) / 157,9 ≈ 0,0338

Não há esse valor exato na Tabela de capacidades, mas a praxe é escolher um valor menor a favor da segurança. Assim, estima-se ΔF = 0,0300, que corresponde a uma capacidade de 501,1 kg/h para diâmetro nominal D = 50 mm.

Pode-se rearranjar a fórmula #A.1# do tópico Critério da velocidade de escoamento para calcular a velocidade:

#B.1#

Reagrupando,

#B.2#

Para vapor saturado, o volume específico (para p = 7 bar) pode ser visto na página página Termodinâmica 03-30 deste site:

vg = 0,240 m3/kg

Precisa-se converter unidades das demais grandezas:

= 501,1 / 3600 ≈ 0,139 kg/sD = 50 /1000 = 0,05 m

Portanto, a velocidade do escoamento para a capacidade máxima é dada por

c = 4 0,240 0,139 / (π 0,05 0,05) ≈ 17 m/s

Esse valor de velocidade está dentro da faixa recomendada conforme visto no mesmo tópico. Notar que, se a perda admissível de pressão for maior, a capacidade aumenta, mas a velocidade poderá ficar acima da faixa recomendada.

Perda de pressão - Uso de fórmulas| Topo pág | Fim pág |

Existem fórmulas empíricas que produzem resultados próximos dos obtidos com tabelas conforme tópico anterior. Um exemplo de fórmula é dado por:

#A.1#. Onde:

vazão de massa kg/h

D diâmetro do tubo mm

p0apressão absoluta na

entradabar

p1a pressão absoluta na saída bar

L comprimento da tubulação m

O cálculo a seguir usa os mesmos dados do exemplo do tópico anterior.

D = 50 mmp0a = 7 + 1 = 8 barP1a = 6,6 + 1 = 7,6 barL = 157,9 m

1,853 / (0,011 504,987) = (81,9375 / 157,9) − (7,61,9375 / 157,9) ≈ 0,3559 − 0,3222 = 0,0337

1,853 ≈ 0,0337 3267052 ≈ 110099

Portanto,

≈ 110099(1/1,853) ≈ 526 kg/h. É um resultado próximo do valor 501,1 kg/h do tópico anterior.

Figura 01

Um parâmetro prático é a perda de pressão em bar por 100 metros de tubulação. No exemplo,

(7 − 6,6) 100 / 157,9 ≈ 0,25 bar / 100 m

É recomendável não exceder esse valor. Algumas fontes sugerem um limite ainda menor, de 0,2 bar por 100 metros.

Agora, alguns breves comentários sobre um aspecto não diretamente ligado ao dimensionamento, mas sim à operação.

É comum a ocorrência de vazamentos em juntas de flanges, roscas, registros e outros acessórios. Isso, é claro, provoca também perdas de pressão, que são em geral compensadas pelas margens de segurança. Mas o prejuízo econômico pode ser considerável. A Figura 01 ao lado dá curvas aproximadas de perdas de vapor por vazamento em orifícios de diversos diâmetros.

Tubulações: dilatação térmica| Topo pág | Fim pág |

Tubulações de vapor operam sob elevadas temperaturas, muito acima da ambiente. Assim, o efeito da dilatação térmica não é desprezível em muitos casos, e a instalação precisa de meios para evitar indesejáveis e possivelmente perigosas tensões mecânicas decorrentes.

A expansão térmica de uma barra é dada por

ΔL = α L0 Δt #A.1#. Onde:

Δ variação de comprimento

L

L0 comprimento inicial

Δt variação de temperatura

α coeficiente de dilatação linear do material

O valor do coeficiente de dilatação varia com a temperatura e, em cálculos práticos, é comum o uso de um valor médio para determinada faixa de temperatura. A tabela abaixo dá valores aproximados de α (em 10−5 1/ºC) para alguns aços.

Faixa de temperatura ºC 0 a 100 0 a 200 0 a 300 0 a 400 0 a 500 0 a 600

Aço-carbono 0,2% C 1,39 1,49 1,58 1,66 1,73 1,79

Aço-liga Cr Mo 1,45 1,52 1,58 1,64 1,70 1,76

Aço inoxidável Cr Ni 2,00 2,09 2,12 2,18 2,23 2,27

Exemplo numérico: uma tubulação de vapor em aço-carbono tem comprimento de 50 metros e conduz vapor saturado a 7 bar relativos. Determinar a variação de comprimento quando a tubulação, inicialmente na temperatura ambiente de 20ºC, passa a receber o vapor.

Para pressão relativa 7 bar:

• Pressão absoluta 8 bar• Conforme tabela de vapor, t = 170,4ºC.

Figura 01

Portanto, Δt = 150,4ºC e, conforme tabela anterior, α = 1,49 10−5 1/ºC. Assim,

ΔL = 1,49 10−5 50 150,4 ≈ 11205 10−5 m

ΔL ≈ 112 mm

Em vários casos, a própria geometria da tubulação (trechos horizontais e verticais) permite o deslocamento sem grandes tensões residuais. Em trechos longos, é quase sempre necessária alguma forma de alívio, como juntas de expansão comercialmente disponíveis. Há também a opção de um desvio para expansão em forma de "U", confeccionado com auxílio de curvas. O gráfico da Figura 01 dá valores aproximados de expansões permissíveis para esse tipo de construção.

Tubulações: intervalos recomendados entre suportes| Topo pág | Fim pág |

Diâmetro nominal mm

Horizontal m aço-carbono

Horizontal m cobre

Vertical m aço-carbono

Vertical m cobre

15 1,8 1,2 2,4 1,8

20 2,4 1,2 3,0 1,8

25 2,4 1,5 3,0 2,4

32 2,4 1,8 3,7 3,0

40 2,4 1,8 3,7 3,0

50 2,4 1,8 4,6 3,0

65 3,0 2,4 4,6 3,7

100 3,0 2,4 5,5 3,7

125 3,7 3,0 5,5 3,7

150 4,5 3,7 5,5 3,7

Condensado: formação em tubulações| Topo pág | Fim pág |

Tabela 01: produção estimada de condensado em kg por 50 metros de tubo na fase de aquecimento da temperatura ambiente de 20º até a temperatura normal de operação (a vazão depende do tempo de aquecimento. Valores usuais variam de 5 a 20 minutos).

p rel bar 050 065 080 100 125 150 200 250 300 350 400 450 500 600

1 5 9 11 16 22 28 44 60 79 94 123 155 182 254

2 6 10 13 19 25 33 49 69 92 108 142 179 210 296

3 7 11 14 20 25 36 54 79 101 120 156 197 232 324

4 8 12 16 22 30 39 59 83 110 131 170 215 254 353

5 8 13 17 24 33 42 63 70 119 142 185 233 275 382

6 9 13 18 25 34 43 66 93 124 147 198 242 285 396

7 9 14 18 26 35 45 68 97 128 151 197 250 294 410

8 9 14 19 27 37 47 71 101 134 158 207 261 307 428

9 10 15 20 28 38 50 74 105 139 164 216 272 320 436

10 10 16 20 29 40 51 77 109 144 171 224 282 332 463

12 10 17 22 31 42 54 84 115 152 180 236 298 350 488

14 11 17 23 32 44 57 85 120 160 189 247 311 366 510

16 12 19 24 35 47 61 91 128 172 203 265 334 393 548

18 17 23 31 45 62 84 127 187 255 305 393 492 596 708

20 17 26 35 51 71 97 148 220 302 362 465 582 712 806

25 19 29 39 56 78 108 164 243 333 400 533 642 786 978

30 21 32 41 62 86 117 179 265 364 437 571 702 859 1150

40 22 34 46 67 93 127 194 287 395 473 608 762 834 1322

50 24 37 50 73 101 139 212 314 432 518 665 834 1020 1450

60 27 41 54 79 135 181 305 445 626 752 960 1218 1480 2140

p rel bar 050 065 080 100 125 150 200 250 300 350 400 450 500 600

Tabela 02: produção estimada de condensado em regime normal de operação em kg/h por 50 metros de tubulação.

p rel bar 050 065 080 100 125 150 200 250 300 350 400 450 500 600

1 5 5 7 9 10 13 16 19 23 25 28 31 35 41

2 5 6 8 10 12 14 18 22 26 28 32 35 39 46

3 6 7 9 11 14 16 20 25 30 32 37 40 45 54

4 7 9 10 12 16 18 23 28 33 37 42 46 51 61

5 7 9 11 13 17 20 24 30 36 40 46 49 55 66

6 8 10 11 14 18 21 26 33 39 43 49 53 59 71

7 8 10 12 15 19 23 28 35 42 46 52 56 63 76

8 9 11 14 16 20 24 30 37 44 49 57 61 68 82

9 9 11 14 17 21 25 32 39 47 52 60 64 72 88

10 10 12 15 17 21 25 33 41 49 54 62 67 75 90

12 11 13 16 18 23 26 36 45 53 59 67 73 81 97

14 12 14 17 20 26 30 39 49 58 64 73 79 93 106

16 12 15 18 23 29 34 42 52 62 68 78 85 95 114

18 14 16 19 24 30 36 44 55 66 72 82 90 100 120

20 15 17 21 25 31 37 46 58 69 76 86 94 105 125

25 15 19 23 28 35 42 52 66 78 86 97 106 119 141

30 17 21 25 31 39 47 51 73 87 96 108 118 132 157

40 20 25 30 38 46 56 70 87 104 114 130 142 158 189

50 24 29 34 44 54 65 82 102 121 133 151 165 184 220

60 27 32 39 50 62 74 95 119 140 155 177 199 222 265

p rel bar 050 065 080 100 125 150 200 250 300 350 400 450 500 600

Obs: para ambas as tabelas, os números das linhas de fundo cinza são diâmetros nominais em mm. Considerado tubo SCH-40 e isolação com eficiência 80%.

Condensado: capacidade de tubulações| Topo pág | Fim pág |

Tabela 01: capacidade estimada em kg/h de condensado para tubulações de acordo com o diâmetro nominal e declividade em mm por metro.

mm/m 015 020 025 032 040 050 065 080 100 125 150

0,5 22 60 130 300 450 910 1800 3000 6000 11000 15500

1 38 100 200 450 680 1330 2700 4380 9000 12600 19000

2 55 145 290 640 980 1940 3900 6380 13000 16000 25500

3 75 180 360 780 1220 2400 4900 7900 16250 27000 45000

4 85 210 420 910 1430 2800 5700 9200 18950 31500 51000

5 95 240 470 1000 1600 3150 6400 10400 21300 35500 58000

6 101 260 520 1140 1750 3500 7100 11450 23500 41000 64000

7 108 290 570 1245 2000 3800 7750 12500 25800 44000 70000

8 112 310 610 1300 2080 4050 8250 13400 27500 46000 75000

9 118 330 650 1450 2210 4350 8800 14250 29300 49000 80000

10 122 350 690 1550 2300 4600 9350 15100 31000 52000 84000

15 148 430 850 1780 2900 5700 11600 18750 38550 61000 98500

20 175 500 1000 2100 3400 6690 13550 21950 45000 70000 115000

25 200 570 1130 2400 3800 7500 15300 24500 50800 79000 130000

30 228 630 1250 2670 4200 8300 16950 27300 56000 90000 135000

35 256 680 1300 2900 4600 9000 18400 29800 61000 98000 154000

40 300 720 1400 3020 4900 9700 19500 31000 65000 105000 164000

mm/m 015 020 025 032 040 050 065 080 100 125 150

Obs: em regime permanente, a vazão de retorno de condensado não pode ser superior à produção de vapor da caldeira. Entretanto, na fase de aquecimento da tubulação, pode ocorrer acúmulo. Alguns autores sugerem que a tubulação principal de retorno de condensado seja dimensionada pelo dobro da produção de vapor em regime normal, se cálculos mais exatos conforme tabela anterior não estiverem disponíveis.

Fluidos V-10: Dinâmica dos fluidos viscosos

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Viscosidade e camada limite |

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Temas diversosTermodinâmica /

transmissão de calor

Viscosidade e camada limite| Topo pág | Fim pág |

Ao contrário dos sólidos, as forças de atração entre as moléculas dos fluidos não são suficientes para manter a rigidez do conjunto. Pode-se então dizer que, sob ação de uma força, camadas elementares de um fluido sofrem ação de cisalhamento entre si.

O conceito de viscosidade já foi visto de forma simplificada em página anterior desta série. Aqui é apresentada uma formulação mais completa, considerando o cisalhamento entre duas camadas elementares de fluido conforme Figura 01. No lugar de força, emprega-se a grandeza tensão (força por área), procedimento usual em análise de deformações.

Então, sob ação de uma tensão de cisalhamento τ, a camada superior se desloca dx em relação à inferior (dX é a largura comum de ambas as camadas). A velocidade da camada inferior (c) aumenta para (c + dc) na superior.

Considera-se a grandeza deformação por cisalhamento γ igual à relação entre a deformação horizontal e a altura da camada deformada:

Figura 01

γ =dx

#A.1#.dy

Derivando em relação ao tempo,

dγ / dt = dx / (dy dt) = (dx / dt) / dy. Mas dx/dt é a variação de velocidade dc entre as camadas:

dγ=dc

#A.2#.dt dy

A grandeza dγ/dt pode ser vista como a velocidade da deformação por cisalhamento. Experimentalmente verificou-se que há uma proporcionalidade entre a tensão e a velocidade da deformação por cisalhamento:

τ = ηdγ

#B.1#.dt

Essa relação é denominada lei da viscosidade de Newton (por isso, um fluido que obedece a essa lei é denominado fluido newtoniano).

O fator de proporcionalidade η é a viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica do fluido. Considerando a igualdade anterior #A.2#, pode-se substituir em #B.1#:

τ = ηdc

#B.2#.dy

A viscosidade cinemática ν é a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica:

ν =η#C.1#.

ρ

A relação #B.1# pode ser entendida como uma evidência matemática da diferença prática entre sólidos e fluidos já comentada em página anterior: nos primeiros, a força (ou tensão) determina a intensidade da deformação e, nos segundos, a velocidade da deformação.

Unidade SI Outras

Viscosidade dinâmica

N s / m2 ou Pa s. Também denominada

poiseuille (PI)

A unidade não SI poise equivale a

10−1 N s/m2

Viscosidade cinemática

m2 / sA unidade não SI

stoke (St) equivale a 10-4 m2/s

As unidades do Sistema Internacional (SI) para ambos os tipos podem ser deduzidas por simples análise dimensional. A tabela ao lado dá os resultados.

A medição prática de viscosidade é feita por instrumentos próprios denominados viscosímetros, que não são objeto desta página. Há vários tipos, fundamentados na medição direta de forças ou de outros parâmetros como tempo para queda de um corpo no fluido, tempo de escoamento de determinado volume, etc. Em vários deles, os resultados são dados em unidades específicas para cada tipo (Redwood, Engler, Saybolt, etc), que

podem ser facilmente convertidas para unidades SI através de fórmulas e/ou gráficos.

Tabela para viscosidades cinemáticas aproximadas a 20ºC de alguns líquidos. Em centistokes (= 10−2 St = 10−6 m2/s).

Líquido

Água

Leite

Óleo combustível

Óleo vegetal

Óleo SAE-

10

Óleo SAE-

30

Glicerina

Óleo SAE-

50Mel

Óleo SAE-

70

ν (cSt) 1 4 16 43 110 440 650 1735220

019600

Estuda-se agora o comportamento individual de uma camada. Naturalmente, é suposto um escoamento uniforme, com velocidade constante em cada ponto. Assim, a resultante das forças atuantes em cada camada deve ser nula.

Na Figura 01, p + dp e p são as pressões atuantes em cada extremidade da camada. O resultado líquido é dp e a força decorrente é

dp dy Z.

Para a tensão de cisalhamento, deve-se considerar uma variação dτ entre camadas e, portanto, uma força dτ dX Z. Para resultante nula,

dp dy Z + dτ dX Z = 0. De outra forma, dp dy − dτ dX = 0. Reagrupando,

dτ=dp

#C.1#dy dX

No escoamento de fluidos, é usual supor que a diferença de pressão dp varia linearmente com a distância. Assim, para um determinado fluido e escoamento, dp/dX não varia.

Figura 02

Então,

dp= k (constante).

dX

Isolando τ de #B.2#,

τ = ηdc

Portanto,dy

d( η dc/dy )= k

dy

ηd2c

= k #C.2#. Onde

k =dp

(constante).dy2 dX

Essa equação diferencial pode ser resolvida pela dupla integração, chegando-se ao resultado:

ky2 = η c + A y + B #C.3#.

2

As constantes de integração A e B precisam ser determinadas a partir das condições de contorno. Na maioria dos casos práticos, o escoamento é limitado por uma superfície sólida (paredes do conduto). Se y = 0 é um ponto na parede, deve-se ter c = 0. Portanto,

B = 0 #C.4#.

A velocidade c não pode aumentar indefinidamente. Assim, deve existir uma altura y = e, onde a velocidade atinge um máximo c0. Substituindo em #C.3#, chega-se a

A =ke − η

c0#C.5#.

2 e

Substituindo A e B em #C.3# e reagrupando,

c =k

y2 − [e k

−c0 ] y #C.6#.

2 η 2 η e

Onde k =dp

(constante).dX

Notar que o resultado é a expressão matemática de uma parábola e há uma infinidade de valores para e. Mas é apenas uma aproximação, porque, na realidade, os escoamentos não se comportam rigorosamente de acordo com as hipóteses presumidas.

Na prática considera-se que, para y = e, deve-se ter

c = 0,99 c0 #C.7#. Onde c0 é a velocidade do fluxo.

Dize-se então que esse valor (e) define a espessura da camada limite do escoamento. É um conceito importante no estudo dos escoamentos, uma vez que é possível supor a existência de gradientes de velocidade apenas no interior da camada limite. Uma distribuição típica de velocidades na camada limite pode ser vista no gráfico da Figura 02.

Escoamento laminar e turbulento| Topo pág | Fim pág |

A distinção visual entre os dois tipos de escoamento é bastante clara e pode ser facilmente demonstrada pelo clássico filete de tinta conforme esquema da Figura 01.

Um líquido transparente escoa livremente através de um tubo também transparente e a vazão pode ser ajustada por um registro na extremidade. Um reservatório com líquido colorido injeta um filete no fluxo.

Figura 01

Se o registro é pouco aberto, proporcionando uma vazão baixa, observa-se um filete contínuo e regular, sem perturbações transversais. Ver (a) da figura. Pode-se dizer que, nessa situação, as veias do fluxos (ou lâminas, se considerado o aspecto tridimensional) escoam de maneira uniforme, sem mistura com as demais. Há então a situação de escoamento laminar.

Se a vazão é gradualmente aumentada, observa-se que, a partir de determinado valor, o filete de tinta deixa de ser regular, mostrando claras perturbações laterais como em (b) da figura. Isso significa que a velocidade superou algum valor crítico, provocando instabilidades nas linhas de fluxo. Essa condição é denominada escoamento turbulento.

De forma prática, é possível afirmar que forças inerciais predominam no escoamento turbulento e que forças de viscosidade predominam no escoamento laminar.

Figura 02

Na página anterior, foi visto o conceito de camada limite e, naturalmente, a equação deduzida da curva se aplica ao regime laminar, com os deslizamentos entre camadas perfeitamente planos e regulares.

No escoamento turbulento, é também possível usar a definição de camada limite, mas a curva deve ser entendida como valores médios, uma vez que não

há regularidade entre camadas. Para as mesmas dimensões de tubos, a camada limite do escoamento turbulento é mais fina que a do laminar. Ver exemplo na Figura 02.

A definição matemática da transição entre escoamento laminar e turbulento é dada pelo número de Reynolds Re, cuja formulação foi proposta pelo engenheiro inglês Osborne Reynolds em 1883 (válida para um tubo de diâmetro D):

Re =c D

#A.1#. Onde:ν

c: velocidade média do fluxo (= vazão volumétrica / área da seção transversal).D: diâmetro interno do tubo.ν: viscosidade cinemática do fluido (= η / ρ, onde η é viscosidade dinâmica e ρ é massa específica do fluido).

A simples análise da fórmula mostra que o número de Reynolds é uma grandeza adimensional. Entretanto, o produto das grandezas do numerador (c D) pode ser visto como contribuição das forças inerciais e o denominador (ν) como contribuição das forças de viscosidade. Assim, o número de Reynolds deve ser maior para o escoamento turbulento e deve existir um valor crítico ou de transição.

Reynolds verificou que o valor de transição depende do sentido da variação: se a velocidade de um fluxo laminar é gradualmente aumentada até se tornar turbulento, o valor é 2500. Se a velocidade de um fluxo turbulento é gradualmente reduzida até se tornar laminar, o valor é 2000. Em geral, o valor 2000 é adotado como crítico para transição entre laminar e turbulento.

A partir da fórmula anterior, pode-se deduzir a velocidade crítica:

ccrítica = 2000ν#A.2#.

D

Exemplo: para água a 25ºC pode-se considerar viscosidade cinemática ν ≈ 1 cSt ( = centistokes = 10−2 stokes = 10−6 m2/s). Um óleo SAE-10 tem viscosidade cinemática ν ≈ 100 cSt. Considera-se um tubo de diâmetro 25 mm. As velocidades críticas serão:

cágua = 2000 10−6 / 25 10−3 = 0,08 m/s.cóleo = 2000 100 10−6 / 25 10−3 = 8 m/s.

Concluí-se, portanto, que escoamentos usuais de água são turbulentos e que escoamentos práticos de óleos lubrificantes podem ser laminares.

Escoamento laminar entre placas paralelas

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Sejam, conforme corte da Figura 01, duas placas planas e paralelas e distantes h entre si. Um fluido viscoso escoa entre elas na situação laminar. Em (a) da figura tem-se os parâmetros para uma lâmina conforme já visto no tópico Viscosidade e camada limite.

Considerando a lâmina de profundidade Z e movimento uniforme, para o equilíbrio das forças:

dp dy Z = dτ dX Z. Reagrupando,dp

dy = dτdX

No mesmo tópico foi visto que

dp= k (constante).

dX

Conforme lei da viscosidade, τ = ηdc

dy

Figura 01

Combinando as igualdades,

k dy = η d(dc

)dy

Portanto,

ηd2c

= kdy2

Integrando uma vez,

ky = ηdc

+ C.dy

Integrando outra vez,

ky2

= η c + Ay + B.2

As constantes A e B devem ser determinadas a partir das condições de contorno.

Para y = 0, ocorre c = 0. Portanto, B = 0.Para y = h, ocorre c = 0. Portanto, k h2/2 = A h. Assim, A = (k/2) h.

Substituindo na solução inicial,

k y2/2 = η c + (k/2) h y + 0.

(k/2) y2 − (k/2) h y = η c.

Obtém-se então o resultado final da variação de velocidade com a distância y:

c =k 1

(y2 − h y) #A.1#.2 η

Onde k =dp

(constante).dX

Essa igualdade equivale à expressão matemática de uma parábola conforme indicado em (c) da figura.

Escoamento laminar em tubos (equação de Poiseuille)| Topo pág | Fim pág |

O escoamento entre placas visto na página anterior é de pouco interesse prático. Casos comuns são escoamentos em tubos, em especial nos de seção circular. Na Figura 01 representa-se o corte para um fluxo, supostamente laminar, em um tubo redondo de diâmetro D (= 2R). A parte (a) indica um filete cilíndrico de raio r e comprimento ΔL do fluido escoado.

A área da seção transversal do filete é π r2 e a área lateral é 2 π r ΔL.

De forma similar ao tópico Escoamento laminar entre placas paralelas, deve-se ter resultante nula das forças:

Δp π r2 = − τ 2 π r ΔL.

Conforme tópico Viscosidade e camada limite,

η = viscosidade dinâmica = τ dy / dc. De outra forma, τ = η dc/dy.

Onde c é a velocidade da camada e y a distância vertical.

Para este caso, y = R − r. Calculando a diferencial, dy = − dr. Portanto,

τ = − η dc/dr. Substituindo na anterior,

Figura 01

Δp π r2 = η (dc/dr) 2 π r ΔL.

Simplificando e rearranjando,

dc = [Δp/(2 η ΔL)] r dr.

Para resolver, deve-se integrar de c = 0 (onde r = R) até um valor genérico c (onde r = r).

∫cdc =

Δp∫rr dr

0 2 η ΔL R

c − 0 =Δp

(r2

−R2

)2 η ΔL 2 2

c =Δp

(r2 − R2) #A.1#.4 η ΔL

Portanto, a distribuição de velocidade tem forma de parábola e graficamente é indicada em (b) da figura.

A velocidade máxima ocorre para r = 0:

cmax = −Δp

R2 #A.2#.4 η ΔL

A altura média de uma parábola é igual à metade da máxima. Assim, a velocidade média é dada por:

cmed = −Δp

R2 #A.3#.8 η ΔL

Para tubos, é mais usual a especificação do diâmetro D (= 2R) e o

comprimento é comumente simbolizado por L e não ΔL. Substituindo da fórmula anterior,

cmed = −Δp

D2 #A.4#.32 η L

A vazão volumétrica Q é dada pelo produto da velocidade média pela área da seção transversal:

Q = cm

π D2

#B.1#.4

Substituindo cm conforme igualdade anterior,

Q = −Δp π D4

#C.1#.128 η L

Se consideradas p1 e p2 as pressões no início e no fim do tubo, Δp = p2 − p1 (é negativo porque a pressão no fim é menor devido à resistência do escoamento). Assim p1 − p2 = − Δp. Isolando Δp da igualdade anterior e substituindo por esse valor,

p2 − p1 =128 η L Q

#D.1#.π D4

Essa fórmula dá, portanto, a perda de pressão do escoamento laminar para uma vazão volumétrica Q de um fluido com viscosidade dinâmica η em um tubo retilíneo de comprimento L e diâmetro interno D. É conhecida como equação de Poiseuille em homenagem ao seu formulador, o físico francês Jean Louis Marie Poiseuille (verificou experimentalmente em 1838 e publicou em 1840 e 1846).

Desde que a maioria dos escoamentos reais são turbulentos e tubulações têm em geral curvas e outros acessórios, as aplicações práticas dessa fórmula simples são limitadas. Mas tem emprego em casos como medição de viscosidade.

Exemplo 01: um tubo reto de diâmetro 100 mm conduz óleo de viscosidade dinâmica 0,018 Pa s e massa específica 900 kg/m3. Determinar a perda de pressão por unidade de comprimento e a velocidade média do escoamento sabendo que o número de Reynolds é 250.

Da definição de número de Reynolds,

Re = c D / ν = c D / (η / ρ) = c D ρ / η. Portanto, 250 = c 0,1 900 / 0,018.

Assim, c = 0,05 m/s, que deve ser a velocidade média cmed do fluxo.

De #A.3#, cmed = − [Δp/(8 η ΔL)] R2. Substituindo, 0,05 = − Δp (0,1/2)2 / (8 0,018 1).

Δp (0,1/2)2 = − 0,05 8 0,018 1 = 0,0072. Portanto, perda de pressão = 2,88 Pa por metro.

Exemplo 02: um óleo de massa específica 800 kg/m3 flui através de um tubo de diâmetro 1 mm e comprimento 30 mm. Determinar a viscosidade do óleo considerando que um desnível de 30 mm produz uma vazão de 8 mm3/s.

Um desnível em altura h significa, conforme equação de Bernoulli, uma diferença de pressão

Δp = ρ g h, onde ρ é massa específica do fluido e g aceleração da gravidade (≈ 9,81 m/s2).

Neste caso Δp = 800 9,81 30 10−3. Usando a igualdade anterior #D.1#,

800 9,81 30 10−3 = 128 η 30 10−3 8 10−9 / (π 1 10−12). Resolvendo, a viscosidade dinâmica é

η ≈ 0,024 Pa s.

E a viscosidade cinemática é dada por:

ν = η/ρ = 0,024 / 800 = 3 10−5 m2/s.

Exemplo: cilindro e eixo giratório| Topo pág | Fim pág |

Em (a) da Figura 01 é dado o corte lateral de um arranjo simples para medição de viscosidade: um cilindro fixo de raio R2 contém um eixo de raio R1 que gira com velocidade angular constante ω. Entre ambos há um fluido cuja ação da viscosidade provoca tensões tangenciais exigindo um torque T para manter o eixo em movimento giratório.

Consideram-se apenas as ações entre as superfícies laterais do eixo e do cilindro. Naturalmente, há deslizamento do fluido no fundo do cilindro, mas isso pode ser desprezado se a diferença R2 − R1 é supostamente pequena e a altura h, grande.

No corte transversal (b) da figura, o raio r define uma circunferência genérica entre R1 e R2. Na parede do eixo (r = R1) a velocidade do fluido deve ser ω R1. Na parede do cilindro (r = R2) a velocidade do fluido deve ser nula.

Conforme tópico Viscosidade e camada limite, η = viscosidade dinâmica

= τ dy / dc. Ou τ = η dc/dy. Neste caso, a variável y corresponde ao r. Assim,

Figura 01

τ = ηdc

dr

Se, conforme mencionado, a diferença R2 − R1 é pequena, pode-se supor uma variação linear de velocidade e, então,

τ = ηΔc

. Onde:Δr

Δc = 0 − ω R1 = − ω R1.Δr = R2 − R1.

Substituindo na anterior,

τ = − η ωR1

R2 − R1

Multiplicando essa tensão de cisalhamento pela superfície do eixo, obtém-se a força tangencial nele atuante,

F = 2 π R1 h τ, que deve ser igual em sinal oposto a T (torque) dividido por R1 (força para contrabalançar). Portanto,

F = 2 π R1 h τ = − 2 π R1 h η ωR1

= −T

R2 − R1 R1

Rearranjando a igualdade,

η = TR2 − R1

#A.1#.2 π h ω R1

3

Portanto, a viscosidade aproximada do fluido pode ser obtida a partir dos

parâmetros geométricos e do torque necessário para manter uma determinada rotação do eixo.Coeficiente de fricção| Topo pág | Fim pág |

Considera-se, conforme Figura 01, um escoamento genérico de uma porção de fluido newtoniano de comprimento L em um tubo reto de diâmetro interno D.

O coeficiente de fricção (ou coeficiente de resistência) é dado pela relação:

Cf =tensão tangencial junto à parede

#A.1#.pressão devido à energia cinética do fluido

Em algumas referências é usado o símbolo f ou λ, que equivale a 4 Cf.

Figura 01

Segundo a equação de Bernoulli, a pressão devido à energia cinética é dada por:

(1/2) c2 ρ #A.2#.

Onde c é a velocidade (que deve ser a velocidade média cmédia da distribuição ao longo da seção conforme visto em páginas anteriores) e ρ é a massa específica do fluido.

Supondo a condição de equilíbrio para escoamento uniforme, a diferença de pressão multiplicada pela área transversal deve ser igual à tensão tangencial multiplicada pela área lateral: Δp π D2/4 = τw π D L. Portanto,

τw = Δp D / (4 L) #A.3#.

Substituindo os valores em #A.1#,

Cf =Δp D

#B.1#.2 L ρ cm

2

Obs: no desenvolvimento de #A.3# pode-se fazer:

π D2/4 = S (área da seção)π D = P (perímetro da circunferência)

Chega-se então a Δp S = τw P L. Rearranjando, τw = Δp S / (P L).

Substituindo em #A.1#, obtém-se outra forma para o coeficiente de fricção:

Cf =2 Δp S

#B.2#.P L ρ cm

2

Equação de Darcy-Weisbach| Topo pág | Fim pág |

Pode-se isolar a perda de pressão da igualdade #B.1# do tópico anterior:

Δp = 4 Cf

L c2 ρ#A.1#.

D 2

O resultado é, portanto, a perda de pressão Δp para o escoamento dada em termos de:

Cf: coeficiente de ficção.L: comprimento do tubo.D: diâmetro interno do tubo.c: velocidade média do escoamento.ρ: massa específica do fluido.

Essa igualdade é conhecida como equação de Darcy-Weisbach e é considerada a relação mais importante para cálculos práticos de escoamentos.

É usual a especificação de perda de pressão em termos de altura física. Conforme equação de Bernoulli, pressão devido à altura é ρ g h. Substituindo na anterior e isolando h,

h = 4 Cf

L c2

#A.2#.D 2g

Para o caso particular de escoamento laminar, pode-se igualar Δp com a equação de Poiseuille:

p2 − p1 = 128 η L Q / (π D4) = Δp = Cf (L / D) (c2 ρ / 2).

Consideram-se:

vazão volumétrica Q = c π D2/4número de Reynolds Re = c D / ν = c D / (η/ρ)

Chega-se então ao resultado:

Cf =16

#B.1#.Re

Lembrar, entretanto, que isso é válido apenas para escoamento laminar.

Se usada a igualdade #B.2# do tópico anterior, a equação de Darcy-Weisbach fica:

Δp = Cf

PLc2 ρ

#C.1#.S 2

Onde P é o perímetro e S a área da seção conforme já visto.

Usa-se agora o conceito de raio hidráulico, que é a relação entre a área da seção e o perímetro:

rh =S#D.1#.

P

Substituindo na anterior,

Δp = Cf

1Lc2 ρ

#E.1#.rh 2

Esse conceito permite estabelecer uma equivalência de perda de pressão por unidade de comprimento entre condutos de seção circular e de outras formas geométricas, considerando a mesma velocidade média de escoamento.

Para seção circular, pode ser facilmente deduzido que rh = D/4. Substituindo esse valor em #E.1#, obtém-se a fórmula anterior #A.1#.

Coeficiente de fricção para escoamento turbulento| Topo pág | Fim pág |

Pelas igualdades dos tópicos anteriores, pode-se concluir que, no escoamento laminar, há uma relação simples entre coeficiente de fricção Cf e número de Reynolds. Para o regime turbulento, isso não é mais válido e existem algumas fórmulas e diagramas (teóricos e empíricos) para determinação de Cf. Neste tópico são dados apenas os resultados de alguns, sem maiores detalhamentos.

Um parâmetro auxiliar usado em fórmulas e diagramas é a rugosidade relativa ε da superfície interna do tubo:

ε =rugosidade média absoluta

#A.1#.diâmetro interno

Valores para alguns materiais podem ser vistos no tópico Tabela de rugosidades.

Seguem dados de algumas fórmulas e diagramas.

Nome Equação Ref Obs

Fórmula de Blasius

Cf = 0,0791 Re0,25 #B.1

#Somente para

tubos lisos

Fórmula de Lee

Cf = 0,0018 + 0,152 Re0,35 #C.1

#Somente para

tubos lisos

Fórmula de

Colebrook

#D.1#

Onde λ = 4 Cf. Essa

igualdade exige uma iteração porque λ

aparece em ambos os

lados.

Fórmula de

Haaland

#E.1#

Fórmula aproximad

a de Moody

#F.1#

Onde λ = 4 Cf

Diagrama de Moody

Gráfico que relaciona o coeficiente de fricção com o número de Reynolds para diversos valores de rugosidade relativa

Ver tópico correspondent

e

Exemplos| Topo pág | Fim pág |

Exemplo 01: um fluido escoa com número de Reynolds 20000 em um tubo de diâmetro interno 100 mm e rugosidade média 0,06 mm. Verificar o coeficiente de fricção.

A rugosidade relativa é ε = 0,06 / 100 = 0,0006. Usando a fórmula #F.1# do tópico anterior,

λ = 0,0055 [ 1 + (20000 0,0006 + 1000000 / 20000)1/3 ] ≈ 0,0272684.

Portanto, Cf = λ/4 ≈ 0,00682.

Exemplo 02: determinar a perda de pressão para o escoamento de um óleo de viscosidade dinâmica 0,005 Pa s, massa específica 900 kg/m3, velocidade média 4 m/s em um tubo de diâmetro interno 80 mm, comprimento 60 m e rugosidade média 0,02 mm.

Os dados são:

η = 0,005 Pa sρ = 900 kg/m3

c = 4 m/sD = 80 10−3 mL = 60 mRugosidade 0,02 10−3 m.

ε = 0,02 10−3 / 80 10−3 = 0,00025.

Re = c D / (η/ρ) = 4 80 10−3 900 / 0,005 = 57600.

Do diagrama de Moody, 4 Cf ≈ 0,026. Portanto, Cf ≈ 0,0065.

Usando a Equação de Darcy-Weisbach,

Δp = 4 Cf (L / D) (c2 ρ / 2) = 0,026 (60 / 80 10−3) (42 900 / 2) ≈ 140 kPa.

Em termos de altura, pode-se igualar (Δp) a (ρ g h) e, portanto, h = 140 000 / (900 9,81) ≈ 16 m.

Exemplo 03 (fonte: prova PF 2004. Reponder Certo ou Errado): Considere um escoamento de água entre dois pontos de um tubo horizontal, que possui diâmetro constante igual a 5 mm e se encontra ao nível do mar, onde a aceleração de gravidade é igual a 9,81 m/s2. Considere ainda que a velocidade de escoamento nesse tubo é de 5 m/s e que existe uma variação de pressão entre os dois referidos pontos de 4.905 N/m2. Nesse caso, sabendo que o fator de fricção é de 0,025 e a densidade da água é de 1 kg/dm3, a perda de carga no tubo é igual a 0,5 m.

Solução: listando os dados e convertendo unidades onde necessário,

c = 5 m/sD = 5 mm = 0,005 mΔp = 4905 Paf = 4 Cf = 0,025g = 9,81 m/s2

ρ = 1 kg/dm3 = 1000 kg/m3

Com os dados acima, a relação #A.1# do tópico Equação de Darcy-Weisbach poderia ser usada para calcular o comprimento do tubo. Mas o problema pede a perda de carga em metros que é a variação de pressão em termos de altura:

Δp = 4905 Pa = ρ g h = 1000 9,81 h

Portanto, h = 0,5 m, resposta Certo e não há necessidade do uso da equação de Darcy-Weisbach.Tabela de rugosidades| Topo pág | Fim pág |

Tabela 01: rugosidades médias absolutas de alguns materiais.

MaterialRugosidade média mm

MaterialRugosidade média mm

Aço laminado novo 0,0015Ferro fundido c/

incrustação1,5 - 3

Aço laminado usado 0,046Ferro fundido enferrujado

1 - 1,5

Aço galvanizado 0,15 Ferro fundido novo 0,26 - 1

Aço soldado liso 0,1Ferro fundido

revestido c/ asfalto0,12 - 0,26

Alvenaria de pedra fina

1 - 2,5 Madeira aplainada 0,2 - 0,9

Alvenaria de pedra grosseira

8 - 15 Madeira bruta 1 - 2,5

Alvenaria de tijolo 5 Polietileno 0,001

Cobre 0,0015 PVC rígido 0,005

Concreto alisado 0,3 - 0,8 Vidro 0,0015

Concreto centrifugado

0,07

Diagrama de Moody| Topo pág | Fim pág |

Coeficiente de fricção (4Cf) em função de:

• rugosidade relativa ε (= rugosidade absoluta / diâmetro) da superfície do tubo.• número de Reynolds Re.

Figura 01

Valores médios de coeficientes de fricção| Topo pág | Fim pág |

AplicaçãoCf médio de instalações

práticas

Instalações de ar comprimido 0,0063

Instalações de vapor 0,0050

Instalações de ventilação e ar condicionado 0,0050

Tubulações de água fria bombeada 0,0065

Tubulações de água fria por gravidade 0,0075

Tubulações de água para aquecimento com circulação bombeada

0,0063

Tubulações de água para aquecimento com circulação natural

0,0088

Fluidos VI-10: Escoamento em condutos

Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Equações básicas para escoamento ideal e escoamento real |

Exemplos para escoamento ideal |

Índices

Ciência dos materiais

Eletricidade e eletromagnetismo

Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor, frio,

etcInformáticaMatemática

Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Equações básicas para escoamento ideal e escoamento real| Topo pág | Fim pág |

Em páginas anteriores foi visto que a equação de Bernoulli é o princípio da conservação da energia aplicado a escoamentos unidirecionais em regime estacionário de fluidos. Considera-se inicialmente um fluido ideal, isto é, um fluido que escoa sem perdas por atrito com as paredes do conduto. Seja m uma porção de massa de um fluido ideal em um escoamento. As três parcelas de energia do fluido são:Energia potencial

m g z #A.1#. Onde g é a aceleração da gravidade e z é a altura em relação a um plano de referência (é comum o símbolo "h" no lugar de "z").

Energia da pressão

p V #A.2#. Onde p é a pressão do fluido e V é o volume ocupado pela massa m. Tem relação com a entalpia termodinâmica da massa do fluido.

Energia cinética

(1/2) m c2 #A.2#. Onde c é a velocidade do escoamento.

Portanto, a soma dessas parcelas deve ser constante para conservar a energia. No caso de escoamentos, é mais conveniente o uso da energia específica, isto é, energia por unidade de massa. Dividindo as parcelas por m e lembrando que

V=1 (onde ρ é a massa específica do

fluido),m ρ

g z +p+ (1/2) c2 = constante #B.1#.

ρ

Para fluidos incompressíveis, ρ constante. Multiplicando todas as parcelas por ρ e considerando dois pontos 1 e 2, obtém-se a formulação usual da equação de Bernoulli em grandezas de pressão para fluido incompressível:

ρ g z1 + p1 + (1/2) ρ c12 = ρ g z2 + p2 + (1/2) ρ c2

2 #C.1#.

Se divididas todas as parcelas por ρg, o resultado é a mesma equação em termos de comprimentos (ou alturas):

z1 +p1

+ (1/2)c1

2

= z2 +p2

+ (1/2)c2

2

#C.2#.ρ g g ρ g g

De acordo com o princípio da conservação da massa, a equação da continuidade entre dois pontos 1 e 2 do escoamento em regime estacionário é:

Qm = ρ1 S1 c1 = ρ2 S2 c2 #D.1#.

Onde Qm é vazão de massa, S é a área da seção transversal e os demais símbolos são massa específica e velocidade conforme já visto.

Se o fluido é incompressível, ρ é constante e pode-se dividir tudo por esse valor:

Q = S1 c1 = S2 c2 #D.2#.

Onde Q é a vazão volumétrica.

No caso de fluidos reais, o trabalho de atrito provoca uma perda de pressão do fluido. Assim, pode-se escrever a equação anterior #C.1# na forma:

ρ g z1 + p1 + (1/2) ρ c12 = ρ g z2 + p2 + (1/2) ρ c2

2 + Δp #E.1#.

Onde Δp é a perda de pressão por atrito entre os pontos 1 e 2.

A equação de Bernoulli e a equação da continuidade permitem resolver a maioria dos problemas práticos de escoamentos em condutos (tubulações, dutos e similares). Algumas aproximações práticas são usadas para facilitar os cálculos:

• Líquidos são praticamente incompressíveis e, portanto, a suposição é quase perfeita. Para alguns escoamentos de gases com pequenas variações de

pressão como sistemas de ventilação, a incompressibilidade pode ser admitida sem grandes erros nos resultados.

• Reservatórios têm em geral seções transversais muito maiores que as seções das tubulações. Portanto, a superfície de um reservatório de líquido pode ser considerada de velocidade nula.

• Saídas livres para o ambiente podem ser consideradas de pressão igual à da atmosfera. É comum o uso de pressão relativa (diferença com a pressão atmosférica) e, neste caso, pode-se dizer que saída livre tem pressão nula.

Exemplos para escoamento ideal| Topo pág | Fim pág |

Os casos deste tópico são supostamente fluxos ideais. Não são consideradas, portanto, perdas de pressão por atrito nas tubulações e acessórios como conexões e outros.

Exemplo 01: a Figura 01 abaixo representa o corte transversal de um esguicho de estrangulamento simples. Supondo que a saída (2) tem área de 200 mm2 e que a entrada (1) tem área de 600 mm2 e recebe água a 25ºC e pressão 36 kPa relativos, calcular a vazão correspondente a essa situação.

Figura 01

Usa-se a igualdade #C.1# do tópico Equações básicas para escoamento ideal e escoamento real:

p1 + (1/2) ρ c12 = p2 + (1/2) ρ c2

2.

Os termos ρ g z1 e ρ g z2 são cancelados porque os pontos 1 e 2 estão na mesma altura física.

São dados:

S1 = 600 10−6 m2

S2 = 200 10−6 m2

p1 = 36000 Pa (relativo)p2 = 0 (relativo) porque é saída livre para o ambiente conforme já visto em tópico anterior.A massa específica da água a 25ºC é considerada ρ ≈ 1000 kg/m3.

Então, 36000 + (1/2) 1000 c12 = 0 + (1/2) 1000 c2

2.

Segundo a equação da continuidade (#D.2# do tópico Equações básicas para escoamento ideal e escoamento real),

Q = S1 c1 = S2 c2 = 600 10−6 c1 = 200 10−6 c2. Isolando c2 (c2 = 3 c1) e substituindo na anterior,

36000 + (1/2) 1000 c12 = 0 + (1/2) 1000 9 c1

2

36000 + 500 c12 = 500 9 c1

2

36000 = 4000 c12

Portanto c1 = 3 m/s.

E a vazão é dada por Q = S1 c1 = 600 10−6 3 = 1,8 10−3 m3/s = 6,48 m3/h.

Figura 02

Exemplo 02: na Figura 02, água fria de um reservatório escoa livremente através de um tubo horizontal de diâmetro interno 50 mm com um registro na extremidade.

Determinar a pressão no ponto 2 anterior ao registro, supondo que ele é ajustado para obter vazão de 72 m3/h e a superfície do reservatório está a 15 m acima do tubo.

Considerando o tubo como referência de altura, z1 = 15 m e z2 = 0.

A pressão relativa em 1 é nula (p1 = 0) e a velocidade também é (c1 = 0) porque é superfície de reservatório conforme já visto.

A velocidade no ponto 2 pode ser determinada pela equação da continuidade Q = S2 c2.

Massa específica da água considerada ρ = 1000 kg/m3.Aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2.

72 / 3600 = [ π (50 10−3)2 / 4 ] c2. Resolvendo, c2 ≈ 10,2 m/s.

Aplicando agora a equação de Bernoulli (#C.1# do tópico Equações básicas para escoamento ideal e escoamento real),

1000 9,81 15 + 0 + 0 = 0 + p2 + (1/2) 1000 (10,2)2. Portanto,

p2 ≈ 1000 (9,81 15 − 0,5 104) ≈ 95,2 kPa (relativo).

Em alguns casos práticos, é comum especificar pressão em termos de uma altura h de coluna de líquido equivalente. Pode-se, portanto, fazer:

ρ g h = p2 . Substituindo, 1000 9,81 h = 95,2 1000. Resolvendo, h ≈ 9,7 m.

Figura 03

Exemplo 03: no diagrama da Figura 03, água fria de massa específica 1000 kg/m3 é bombeada para um reservatório elevado através de uma tubulação de diâmetro 30 mm. Determinar a pressão no ponto 1 (saída da bomba) supondo que a vazão é 5 m3/h e o nível do reservatório (ponto 2) está a 25 m acima da saída da bomba.

Usa-se a equação da continuidade para determinar a velocidade do escoamento no ponto 1.

Q = S1 c1 . Substituindo, 5 / 3600 = [ π (30 10−3)2 / 4 ] c1 . Resolvendo, c1 ≈ 1,965 m/s.

Para aplicação da equação de Bernoulli, considera-se a referência de altura em 1. Portanto,

z1 = 0z2 = 25 m.

Pressão relativa em 2 é nula p2 = 0 e velocidade também c2 = 0.Aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2.

0 + p1 + (1/2) 1000 1,9652 = 1000 9,81 25 + 0 + 0 . Resolvendo, p1 ≈ 244 kPa (relativo).

Considerações sobre escoamentos reais| Topo pág | Fim pág |

O escoamento real de um fluido é sempre acompanhado por perdas devido a atritos na tubulação e em acessórios como conexões, registros e outros. Naturalmente, a fricção deve provocar um aumento de temperatura do fluido. Na maioria das situações práticas, esse aumento é muito pequeno e pode-se supor que todo o calor é dissipado para o ambiente através da tubulação. Isso evita considerações termodinâmicas mais profundas e pode-se simplesmente introduzir uma parcela de perda de pressão na equação de Bernoulli. Obtém-se então, conforme já visto, a equação aproximada para o escoamento estacionário real de um fluido incompressível entre dois pontos genéricos 1 e 2 de uma tubulação:

ρ g z1 + p1 + (1/2) ρ c12 = ρ g z2 + p2 + (1/2) ρ c2

2 + Δp #A.1#. Onde:

ρ: massa específica.g: aceleração da gravidade.z: altura em relação a um plano de referência.p: pressão.c: velocidade média do escoamento.Δp: perda de pressão devido ao atrito.

Há também a equação da continuidade que, por representar conservação de massa, permanece válida para o escoamento real. Abaixo a relação para fluido incompressível.

Q = S1 c1 = S2 c2 #B.1#. Onde:

Q: vazão volumétrica.S: área da seção transversal.c: velocidade do escoamento.

Perdas de pressão em tubulações| Topo pág | Fim pág |

Na página Fluido V-40 foi vista a equação de Darcy-Weisbach para a perda de pressão em uma tubulação de seção circular:

Δp = 4 Cf

L c2 ρ#A.1#.

D 2

Onde:

Cf: coeficiente de ficção (em algumas referências, é usado o símbolo λ no lugar de 4 Cf).L: comprimento do tubo.D: diâmetro interno do tubo.

c: velocidade média do escoamento.ρ: massa específica do fluido.

Na mesma série, é dada a definição de uma grandeza adimensional, número de Reynolds, para o escoamento:

Re =c D

#B.1#.ν

Onde:

c: velocidade média do fluxo (= vazão volumétrica / área da seção transversal ou, em símbolos usuais, Q/S).D: diâmetro interno do tubo.ν: viscosidade cinemática do fluido (= η / ρ, onde η é viscosidade dinâmica e ρ é massa específica do fluido).

Para escoamento laminar (Re < 2000), o coeficiente de fricção é:

Cf =16

#C.1#.Re

Na maioria dos casos práticos, os escoamentos são turbulentos (Re > 2000) e o valor de Cf pode ser determinado por fórmulas e diagramas dados na citada página. Considera-se aqui a fórmula de Haaland:

#D.1#. Onde:

Re: número de Reynolds.ε: rugosidade relativa da superfície interna do tubo ( = rugosidade média / diâmetro interno). Valores de rugosidade média podem ser vistos no tópico Tabela de rugosidades.

Perdas de pressão em acessórios| Topo pág | Fim pág |

A perda de pressão calculada conforme equação de Darcy-Weisbach do tópico anterior é válida apenas para trechos retilíneos de tubulações. Na maioria das instalações práticas há também perdas localizadas devido a mudanças de direção e outros fenômenos provocados por conexões (curvas, joelhos, reduções), registros e outros dispositivos. De forma genérica, esses dispositivos são denominados acessórios de tubulações.

Pode ser verificado que a perda de pressão em um acessório é em geral proporcional à energia cinética do escoamento. Faze-se então a proporcionalidade com a parcela de pressão correspondente à energia cinética

segundo equação de Bernoulli.

Δpacess = k (1/2) ρ c2 #A.1#. Onde:

ρ: massa específica do fluido.c: velocidade média do escoamento.k: coeficiente de atrito do acessório.

Os valores de k podem ser determinados teoricamente para situações mais simples e empiricamente em outros casos. Pode ser dependente da geometria e/ou dimensões do acessório. As páginas Fluidos VI-A0 e seguinte dão valores ou fórmulas típicas.

Portanto, no caso de tubulações com acessórios, a perda de pressão a considerar na equação de Bernoulli é a perda na tubulação segundo fórmula de Darcy-Weisbach mais a perda nos acessórios dada pela equação anterior.

Comprimentos equivalentes - Fórmulas simplificadas| Topo pág | Fim pág |

Sendo a perda de pressão em um acessório calculada segundo fórmula do tópico anterior, pode-se imaginar um hipotético trecho retilíneo de tubulação que produz a mesma perda. O comprimento desse trecho é denominado comprimento equivalente para o acessório em questão.

Faz-se então a igualdade da perda de pressão em um trecho segundo Darcy-Weisbach (#A.1# do tópico Perdas de pressão em tubulações) com a perda em um acessório segundo #A.1# do tópico Perdas de pressão em acessórios.

4 Cf (Leq / D) (c2 ρ / 2) = k (1/2) ρ c2. Simplificando e isolando o comprimento,

Leq =k

D #A.1#.4 Cf

Onde Leq é o comprimento equivalente de uma tubulação de diâmetro D e coeficiente de atrito Cf para um acessório de coeficiente k.

Métodos simplificados de cálculo de escoamentos fazem uso de tabelas de comprimentos equivalentes e fórmulas aproximadas para perdas de pressão no lugar da equação de Darcy-Weisbach. A página Fluidos II-10 e a seguinte deste site dão informações e exemplos sobre cálculos com a fórmula simplificada de Hazen-Williams e comprimentos equivalentes.

Perdas de pressão em termos de alturas

| Topo pág | Fim pág |

Em vários cálculos de tubulações para líquidos, é comum o uso da altura de coluna de líquido (h) no lugar da perda de pressão correspondente Δp. Faz-se então Δp = ρ g h em #A.1# do tópico Perdas de pressão em tubulações e substitui-se também a velocidade média de acordo com c = Q / S, onde Q é a vazão volumétrica e S é a área da seção.

ρ g h = 4 Cf (L / D) [(Q/S)2 ρ / 2]. Considerando tubo de seção circular, S = π D2/4. Substituindo e reagrupando,

h =32 Cf L

Q2 #A.1#.π2 g D5

Onde:

h: perda de pressão em coluna de líquido.Cf: coeficiente de fricção.L: comprimento do tubo.g: aceleração da gravidade.D: diâmetro interno do tubo.Q: vazão em volume.

A expressão 32 Cf L / (π2 g D5) pode ser considerada uma espécie de "resistência da tubulação" ao escoamento. Portanto,

htub = Rtub Q2 #A.2#.

Onde:

Rtub =32 Cf L

#A.21#.π2 g D5

Para o caso de acessórios, considera-se L o comprimento equivalente segundo #A.1# do tópico Comprimentos equivalentes - Fórmulas simplificadas. Chega-se então a

hacess = Racess Q2 #A.3#.

Onde:

Racess =8 k

#A.31#π2 g D4

A grandeza k é o coeficiente de atrito do acessório segundo tópico Perdas de pressão em acessórios.

Para um trecho genérico, com tubos de diversos diâmetros e diversos

acessórios, a soma é

h = R Q2 #B.1#. Onde:

R = ∑ Rtub + ∑ Racess #B.2#.

E a equação de Bernoulli em termos de alturas pode ser obtida pela divisão #A.1# do tópico Considerações sobre escoamentos reais por ρg:

z1 + h1 + (1/2)c1

2

= z2 + h2 + (1/2)c2

2

+ h #C.1#.g g

Onde:

h1 =p1

#C.2#.ρ g

h2 =p2

#C.3#.ρ g

h =Δp

= R Q2 #C.4#.ρ g

Exemplo 01 - Escoamento por gravidade| Topo pág | Fim pág |

No diagrama da Figura 01 deste tópico, água passa por gravidade do reservatório 1 para o reservatório 2. Supondo um coeficiente de fricção Cf = 0,005 para a tubulação, determinar a vazão do escoamento para:

z12 = 3 m.La = Lb = 2 m.Da = 20 mm.Db = 60 mm.Aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2.Massa específica da água ρ = 1000 kg/m3.

Figura 01

Notar que este é um problema simplificado porque o valor de Cf é fornecido (conforme visto em páginas anteriores, ele depende da rugosidade do tubo e do número de Reynolds que, por sua vez, depende da vazão. E a vazão é a grandeza que se deseja calcular).

Consideram-se os seguintes coeficientes de fricção para os acessórios (segundo tabela da página Fluidos VI-A0 deste site):

k1a (saída do tanque 1) = 0,50kab (expansão abrupta de Da para Db) = [ 1 − (20/60)2 ]2 ≈ 0,79kb2 (entrada do tanque 2) = 1,00

Usando o conceito de resistência segundo tópico Perdas de pressão em termos de alturas,

R1a = 8 0,50 / [π2 9,81 (20/1000)4] ≈ 258 103

Rab = 8 0,79 / [π2 9,81 (20/1000)4] ≈ 408 103 (é considerado o diâmetro menor)Rb2 = 8 1,00 / [π2 9,81 (60/1000)4] ≈ 6,38 103

Para os trechos de tubulação (Cf = 0,005 conforme hipótese), os valores de resistências são:

Ra = 32 0,005 2 / (π2 9,81 (20/1000)5) ≈ 1033 103

Rb = 32 0,005 2 / (π2 9,81 (60/1000)5) ≈ 4,25 103

Somando os valores de resistências,

R = ∑ Ri = (258 + 408 + 6,38 + 1033 + 4,25) 103 ≈ 1,71 106 s2 m−5.

Então, conforme #B.1# do mesmo tópico, a relação entre a perda de pressão em altura de líquido e a vazão é

h = 1,71 106 Q2.

Aplica-se agora a equação de Bernoulli em forma de alturas (#C.1# do mesmo tópico) para as superfícies 1 e 2:

z1 + h1 + (1/2) c12/g = z2 + h2 + (1/2) c2

2/g + h.

Considerando referência em 2, z1 = z12 = 3 m e z2 = 0.Também h1 = h2 porque p1 = p2 = patm.Pode-se supor c1 = c2 = 0 porque são superfícies de reservatórios.

Substituindo h da expressão anterior na equação de Bernoulli e simplificando,

3 = 1,71 106 Q2. Portanto, Q ≈ 1,33 10−3 m3/s = 4788 l/h.

Exemplo 02: linha de ar comprimido| Topo pág | Fim pág |

No esquema da Figura 01 é suposto que um compressor (não exibido) mantém o ar no reservatório (1) sob pressão constante de 10 bar absolutos e temperatura 20ºC. A tubulação (aço galvanizado) que alimenta o equipamento (2) tem comprimento total 100 m e diâmetro interno 25 mm. Como acessórios, há duas curvas 90º (k = 0,75 para cada) e dois registros (k = 1 para cada) conforme indicado, além da saída do reservatório 1 (k = 0,34) e entrada do equipamento (k = 1). Deseja-se saber a perda de pressão entre 1 e 2 sabendo que o equipamento consome 3900 newtons por hora (N/h) de ar.

Rigorosamente esse problema não pode ser resolvido com a formulação simples da equação de Bernoulli porque a massa específica varia. Entretanto, instalações práticas de ar comprimido têm perdas de pressão relativamente pequenas em relação à pressão de alimentação, de forma que considera-se ρ constante para simplificar e obter uma razoável aproximação.

Figura 01

No reservatório o ar está a p1 = 10 bar e t1 = 20ºC. Precisa-se de um cálculo termodinâmico para determinar a massa específica e viscosidade do ar nessas condições. Considerando ar um gás ideal,

pv / T = constante.

Onde p é pressão, v é volume específico (= 1/ρ, onde ρ é massa específica) e T é temperatura absoluta.

Para p0 = 1 atm (1,0133 bar) e t0 = 0ºC (ou T0 ≈ 273 K), ocorre segundo tópico Propriedades do ar seco sob pressão normal:

ρ0 = 1,293 kg/m3. Portanto, 1,0133 (1 / 1,293) / 273 = 10 (1 / ρ1) / (273 + 20).

Resolvendo, ρ1 ≈ 11,9 kg/m3.

A 1 atm e 20ºC, conforme tópico citado, a viscosidade absoluta é η = 18,20

10−6 Pa s. Desde que a viscosidade absoluta pouco varia com a pressão, pode-se supor que a viscosidade cinemática a 10 bar e 20ºC é esse valor dividido por ρ1. Portanto,

ν = ν1 = ν2 = 18,20 10−6 / 11,9 ≈ 1,53 10−6 m2/s.

A vazão é dada em peso, 3900 N/h. Em massa e em unidades SI,

Qm = 3900 / (9,81 3600) ≈ 0,11 kg/s.

A área da seção do tubo é

S = S1 = S2 = π (0,025)2 / 4 ≈ 4,9 10−4 m2.

Então, a velocidade do escoamento é

c = Qm / (S ρ) = 0,11 / (4,9 10−4 11,9) ≈ 18,9 m/s.

O número de Reynolds é dado por:

Re = c D / ν = 18,9 (25/1000) / 1,53 10−6 ≈ 3,1 105.

Para tubo galvanizado, segundo tópico Tabela de rugosidades, rugosidade média = 0,15 mm. Portanto, a rugosidade relativa é calculada por:

ε = 0,15 / D = 0,15 / 25 = 0,006.

Usa-se agora a fórmula de Haaland para o coeficiente de fricção do tubo:

1 / √ Cf = −3,6 log [ 6,9 / Re + (ε / 3,71)1,11 ]1 / √ Cf = −3,6 log [ 6,9 / 3,1 105 + (0,006 / 3,71)1,11 ]

Resolvendo, Cf ≈ 0,0081.

A perda de pressão na tubulação é calculada segundo a fórmula de Darcy-Weisbah:

Δptub = 4 Cf (L / D) (c2 ρ / 2) = 4 0,0081 ( 100 / 0,025 ) (18,92 11,9 / 2) ≈ 275 kPa.

Para os acessórios, usa-se a fórmula do tópico Perdas de pressão em acessórios (somando os valores do coeficiente de atrito k porque os diâmetros e, por conseqüência, as velocidades são idênticos):

Δpacess = k (1/2) ρ c2 = (0,75 + 0,75 + 1 + 1 + 0,34 + 1) (1/2) 11,9 18,92

Δpacess = 4,84 (1/2) 11,9 18,92 ≈ 10,3 kPa.

E a perda total de pressão é a soma de ambas:

Δp = 275 + 10,3 ≈ 285 kPa ou 2,85 bar.

Exemplo 01 - Sifão entre reservatórios| Topo pág | Fim pág |

O sifão é um meio simples de transferir líquido de um reservatório para outro situado em um nível inferior sem necessidade de furos no primeiro reservatório. No exemplo da Figura 01, água fria escoa entre os dois tanques (1 e 3). Determinar a vazão do escoamento considerando os seguintes parâmetros:

Massa específica da água ρ = 1000 kg/m3.Aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2.Diâmetro do tubo D = 25 mm.Comprimento total do tubo L = 6 m.Altura z21 = 2 m.Altura z13 = 3 m.Porção submersa de tubo no primeiro reservatório a = 0,5 m.Coeficiente de fricção para o tubo Cf = 0,007.Coeficiente de atrito da entrada k = 0,7.Coeficiente de atrito da saída k = 1,0. Desprezar a fricção nas curvas.

Figura 01

Para este problema, são usadas alturas e conceito de resistência segundo tópico Perdas de pressão em termos de alturas.

Aplicando a equação de Bernoulli entre as superfícies (1 e 3) dos reservatórios,

z1 + h1 + (1/2) c12/g =

z3 + h3 + (1/2) c32/g + h.

Neste caso, c1 = c3 = 0 porque são superfícies de tanques.

Os valores h1 e h3 são alturas correspondentes às pressões em 1 e 3. São ambos iguais à pressão atmosférica e, portanto, nulos se consideradas pressões relativas. E a equação anterior fica:

h = z1 − z3 = z13 = 3 m. Onde h é a altura correspondente às perdas de pressão por atritos.

Calculam-se agora as resistências de acordo com fórmulas do tópico mencionado:

Rtubo = 32 Cf L / (π2 g D5) = 32 0,007 6 / (π2 9,81 0,0255) ≈ 1,42 106

Rentrada = 8 k / (π2 g D4) = 8 0,7 / (π2 9,81 0,0254) ≈ 0,15 106

Rsaída = 8 k / (π2 g D4) = 8 1,0 / (π2 9,81 0,0254) ≈ 0,21 106

E a resistência total é dada pela soma:

R = (1,42 + 0,15 + 0,21) 106 = 1,76 106 m-5 s2.

Do referido tópico, usa-se a relação h = R Q2. Portanto,

Q = √ [ 3 / (1,76 106) ] ≈ 1,31 10-3 m3/s ≈ 4,72 m3/h.

A velocidade média do escoamento é dada por:

c = Q / S = 1,31 10-3 / (π 0,0252 / 4) ≈ 2,7 m/s.

Pode-se calcular a pressão no ponto mais elevado (2) pela aplicação da equação de Bernoulli entre a superfície 1 e o ponto 2 no interior da tubulação:

0 + 0 + 0 = 2 + h2 + (1/2) 2,72/9,81 + h. Portanto,

h2 = − 2,37 − h. Onde h é a altura correspondente à perda de pressão entre a ponta submersa do tubo e o ponto 2. Para esse trecho, as resistências são:

Rtubo = 32 Cf L / (π2 g D5) = 32 0,007 2,5 / (π2 9,81 0,0255) ≈ 0,59 106

Rentrada = 8 k / (π2 g D4) = 8 0,7 / (π2 9,81 0,0254) ≈ 0,15 106

Resistência total = (0,59 + 0,15) 106 = 0,74 106 m-5 s2.

Já vista a relação h = R Q2. Portanto,

h = 0,74 106 (1,31 10-3)2 ≈ 1,27 m.

E a pressão (em termo de altura) no ponto 2 é calculada pela igualdade anterior:

h2 = − 2,37 − h = − 2,37 − 1,27 = − 3,64 (como esperado, a pressão em 2 deve ser negativa para manter o escoamento "para cima").

Exemplo 02 - Duto de ventilação

| Topo pág | Fim pág |

No esquema da Figura 01, um prédio de altura z = 20 m tem um duto circular vertical em alvenaria de tijolo de diâmetro D = 2 m do teto do pavimento térreo até a cobertura. Supõe-se que as fontes de calor internas do prédio mantém o ar nesse duto a uma temperatura t2 = 30ºC. Estimar a vazão de ventilação no pavimento térreo considerando a temperatura do ar da atmosfera t1 = 20ºC. Considerar um coeficiente de fricção total para acessórios (entrada e saída) k = 1.

A solução desse problema é aproximada, uma vez que se considera a temperatura do ar ao longo do duto constante e igual a t2.

A pressão p1 pode ser obtida a partir da soma da pressão no topo (patm) mais a pressão da coluna de altura z:

p1 = patm + ρ1 g z.

Onde ρ1 é a massa específica do ar na temperatura considerada da atmosfera t1 (20ºC).

Figura 01

Supondo a massa específica constante ao longo do duto, aplica-se a equação de Bernoulli entre os extremos (notar que as velocidades são iguais e é usada a extremidade inferior como referência de altura):

ρ2 g 0 + p1 + (1/2) ρ2 c2 =ρ2 g z + patm + (1/2) ρ2 c2 + Δp

Portanto, p1 = ρ2 g z + patm + Δp.

Usando o valor de p1 da igualdade anterior,

patm + ρ1 g z = ρ2 g z + patm + Δp. Portanto,

Δp = g z (ρ1 − ρ2). Essa igualdade permite calcular Δp pois se dispõe de todos os parâmetros

g = 9,81 m/s2 (padrão)z = 20 m (dado da questão)ρ1 = 1,205 kg/m3 (massa específica do ar a 20ºC conforme Propriedades do ar seco sob pressão normal)ρ2 = 1,165 kg/m3 (massa específica do ar a 30ºC segundo mesma tabela).

Δp = 9,81 20 (1,205 − 1,165) = 7,848 Pa.

Precisa-se, entretanto, da velocidade para calcular a vazão no duto. Segundo fórmula de Darcy-Weisbach,

Δpduto = 4 Cf (L / D) (c2 ρ2 / 2).

Observar que o valor da velocidade c não pode ser obtido diretamente porque Cf depende do número de Reynolds que, por sua vez, depende da velocidade. Deve-se então, fazer uma estimativa para Cf.

Para alvenaria de tijolo, segundo Tabela de rugosidades, a rugosidade absoluta média é 5 mm. E a rugosidade relativa é dada por:

ε = 5 / D = 5 10-3 / 2 = 0,0025.

Observando o diagrama de Moody, pode-se concluir que uma boa estimativa (parte horizontal da curva correspondente a esse valor de rugosidade relativa) é

4 Cf ≈ 0,025.

Para os acessórios (entrada e saída do duto neste caso), segundo o tópico Perdas de pressão em acessórios:

Δpacess = k (1/2) ρ2 c2.

Então, o valor da perda de pressão anterior (Δp) deve ser igual à soma de ambas:

Δp = Δpduto + Δpacess. Assim,

Δp = 4 Cf (L / D) (c2 ρ2 / 2) + k (1/2) ρ2 c2 = [ 4 Cf (L / D) + k ] (c2 ρ2 / 2).

Passa-se agora aos cálculos:

7,848 = [ 0,025 (20 / 2) + 1 ] c2 1,165 / 2. Resolvendo,

c ≈ 3,28 m/s.

A vazão de ar correspondente é

Q = S c = (π 22 / 4) 3,28 ≈ 10,3 m3/s.

A 30ºC conforme tabela anterior (Propriedades do ar seco sob pressão normal), a viscosidade cinemática do ar é ν ≈ 16,04 10−6 m2/s. Calcula-se então o número de Reynolds:

Re = c D / ν = 3,28 2 / 16,04 10−6 ≈ 4,1 105.

Verifica-se o valor de Cf com a fórmula de Haaland vista em página anterior:

1 / √ Cf = −3,6 log [ 6,9 / Re + (ε / 3,71)1,11 ]1 / √ Cf = −3,6 log [ 6,9 / (4,1 105) + (0,0025 / 3,71)1,11 ]

Resolvendo a equação chega-se a

4 Cf ≈ 0,025242.

É um valor bastante próximo do estimado (0,025). Se a diferença for significativa, novas estimativas e cálculos de velocidade devem ser feitos até obter valores próximos.

Tabela de coeficientes de atrito k (para acessórios de tubulações e

dutos) |

Perda de pressão dada por:

Δp = k (1/2) ρ c2

ρ: massa específica do fluido.c: velocidade média do escoamento.

Índices

Ciência dos materiais

Eletricidade e eletromagnetismo

Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor, frio,

etcInformáticaMatemática

Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Descrição Visualização Valores do coeficiente

Bifurcação simples

α (°)

k (seção circ)

k (seção quadr)

90 1,00 1,50

135 0,60 0,90

Bifurcação suavizada

(seção circular)

α (°) R/D Valor de k

90 0,25 0,43

90 0,50 0,28

135 0,25 0,30

135 0,50 0,18

Caldeiras (aquecedores) de água quente

S/ imagem k = 2 a 3

Chapéu de chaminé

h (em diâmetro D) Valor de k

1,00 0,10

0,75 0,18

0,70 0,22

0,65 0,30

0,60 0,41

0,55 0,56

0,50 0,73

0,45 1,00

Contração abrupta (seção

circular)

Contração gradual (seção

circular)k = 0,06

Cotovelo seção circular

Ângulo α Valor de k

90 0,85

60 0,65

45 0,44

30 0,22

Cotovelo seção quadrada

Ângulo α Valor de k

90 1,25

60 0,95

45 0,63

30 0,30

Cotovelo seção quadrada com

defletores curvos

Defletores espessura simples: k = 0,35

Defletores espessura dupla: k = 0,10

Curva 45º (sem defletores e

com defletores)

Considerar 50% do valor para curva 90º similar

Curva 90º seção circular

R/D Valor de k

0,5 0,73

0,75 0,38

1,0 0,26

1,5 0,17

2,0 0,15

Curva 90º seção

retangular

W/D R/D Valor de k

0,5 0,5 1,30

" 0,75 0,47

" 1,0 0,28

" 1,5 0,18

1 a 3 0,5 0,95

" 0,75 0,33

" 1,0 0,20

" 1,5 0,13

Curva 90º seção

retangular com defletores (D/W

< 1)

Defletores R/D Valor de k

1 0,5 0,70

1 0,75 0,16

1 1,0 0,13

1 1,5 0,12

2 0,5 0,45

2 0,75 0,12

2 1,0 0,10

2 1,5 0,15

Curva dupla (seção

quadrada, R = 1,5 D em todas)

No sentido indicado: k = 1,15Em sentido contrário: k = 1,03

Curva dupla em "C" (seção

quadrada, R = 1,5 D)

Para L = 0, k = 0,43Para L = D, k = 0,31

k = 0,15 para curvas com defletores

Curva dupla em S seção

quadrada (R = 1,5 D)

Para L = 0: k = 0,62Para L = D, k = 0,68

k = 0,19 para curvas com defletores

Curva dupla no espaço (seção quadrada, R =

1,5 D em todas)

Para L = 0, k = 0,42Para L = D, k = 0,46

k = 0,21 para curvas com defletores

Curva em gomos seção

circular

R / D 3 gomos 5 gomos

0,25 k = 0,8 k = 0,5

0,50 k = 0,4 k = 0,3

1,00 k = 0,3 k = 0,2

Derivação em expansão de duto (seção

circular)

α (°) Valor de k

15 0,09

20 0,12

30 0,18

45 0,28

50 0,32

60 0,44

90 1,00

Derivação simples (seção

circular)

α (°) Valor de k

90 1,00

60 0,50

45 0,30

30 0,13

Tabela de coeficientes de atrito k (para

acessórios de tubulações e dutos) |

Perda de pressão dada por:

Δp = k (1/2) ρ c2

ρ: massa específica do fluido.

c: velocidade média do escoamento.

Índices

Ciência dos materiais

Eletricidade e eletromagnetismo

Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor,

frio, etcInformáticaMatemática

Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Descrição Visualização Valores do coeficiente

Entrada abrupta

k = 0,50

Entrada com grelha

Área de passagem %

Valor de k

70 2,00

60 3,00

50 5,00

Entrada cônica k = 0,20

Entrada estendida

k = 0,85

Entrada suavizada

k = 0,03

Expansão abrupta (seção

circular)

Fórmula: k = [1 - (d/D)2]2.

Expansão gradual (seção

circular)

Filtros de tela metálica

S/ imagem k = 10 a 20

Grelhas

Grelha com área de passagem 80 / 90%:

k = 1,2 para tipo simplesk = 1,5 para tipo com registro

Juntas de dilatação

S/ imagem k = 1,20 a 1,60

Obstáculo (barra

retangular atravessada em duto de seção

circular)

Relação d/D Valor de k

0,10 0,70

0,25 1,40

0,50 4,0

Obstáculo (perfil

aerodinâmico atravessado em duto de seção

circular)

Relação d/D Valor de k

0,10 0,07

0,25 0,23

0,50 0,90

Obstáculo (tubo atravessado em duto de seção

circular)

Relação d/D Valor de k

0,10 0,20

0,25 0,55

0,50 2,0

Radiadores S/ imagem k = 2,0 a 3,0

Registro angular 90º

Totalmente aberto k = 2,0

Registro de esfera

Totalmente aberto1/3 fechado2/3 fechado

k = 0,05k = 5,5

k = 20,0

Registro de gaveta

Totalmente aberto1/4 fechado1/2 fechado3/4 fechado

k = 0,15k = 0,25k = 2,1

k = 17,0

Registro tipo macho 3 vias

Passagem direta - abertoPassagem a 90º - aberto

k = 0,5 a 1,5k = 2,0 a 4,0

Registro tipo globo

Totalmente aberto k = 0,50 a 4,0

Saída abrupta k = 1,00

Saída com grelha

Área de passagem %

Valor de k

70 3,00

60 4,00

50 6,00

Saída cônica

Saída de tubulação

(seção circular) em orifício

Relação de áreas s/S

Valor de k

0,25 2,4

0,50 1,9

0,75 1,5

1,00 1,0

Saída suavizada

k = 1,00

Separadores de líquido

S/ imagem k = 5 a 10

Transformação de posição

(seção retangular)

k = 0,15

União de rosca S/ imagem k = 0,08

Válvula de retenção

S/ imagem k = 0,4 a 2,0

VenezianasTipo simples e com registro,

área de passagem 60%:k = 1,5

Propriedades do ar seco sob pressão normal| Topo pág | Fim pág |

Temperatura ºC

Calor específi

co cp

kJ/(kg K)

Coeficiente de

expansão 10−3

1/K

Condutividade térmica W/((m K)

Massa específi

ca kg/m3

Número de Prand

tl

Viscosidade

absoluta 10−6 Pa s

Viscosidade

cinemática 10−6

m2/s

−150 - 8,21 0,0116 2,793 0,76 8,60 3,08

−100 - 5,82 0,0160 1,980 0,74 11,78 5,95

−50 1,006 4,51 0,0204 1,534 0,72 14,64 9,55

0 1,006 3,67 0,0243 1,293 0,71 17,23 13,32

10 1,006 3,53 0,0248 1,247 0,71 17,72 14,21

20 1,006 3,43 0,0257 1,205 0,71 18,20 15,11

30 1,006 3,30 0,0263 1,165 0,71 18,68 16,04

40 1,007 3,20 0,0271 1,127 0,71 19,15 16,97

50 1,007 3,09 0,0278 1,093 0,71 19,61 17,95

60 1,008 3,00 0,0285 1,059 0,71 20,06 18,93

70 1,009 2,91 0,0292 1,029 0,71 20,51 19,94

80 1,010 2,83 0,0299 1,000 0,71 20,95 20,94

90 1,010 2,75 0,0306 0,972 0,71 21,38 22,00

100 1,011 2,68 0,0314 0,946 0,70 21,81 23,06

110 1,012 2,61 0,0320 0,921 0,70 22,23 24,14

120 1,013 2,55 0,0328 0,898 0,70 22,65 25,23

140 1,013 2,43 0,0343 0,854 0,69 23,53 27,55

160 1,017 2,32 0,0358 0,815 0,69 24,33 29,85

180 1,022 2,21 0,0372 0,779 0,69 25,15 32,29

200 1,026 2,11 0,0386 0,746 0,68 25,83 34,63

250 1,034 1,91 0,0421 0,675 0,68 27,79 41,17

300 1,047 1,75 0,0454 0,616 0,68 29,48 47,85

350 1,055 1,61 0,0485 0,566 0,68 31,16 55,05

400 1,068 1,49 0,0515 0,524 0,68 32,77 62,53

Temperatura ºC

Calor específi

co cp

kJ/(kg K)

Coeficiente de

expansão 10−3

1/K

Condutividade térmica W/((m K)

Massa específi

ca kg/m3

Número de Prand

tl

Viscosidade

absoluta 10−6 Pa s

Viscosidade

cinemática 10−6

m2/s

Velocidades máximas recomendadas para escoamentos de alguns fluidos| Topo pág | Fim pág |

FluidoMaterial do

condutoVelocidade

m/s

Acetileno Aço-carbono 20 a 25

Ácido sulfúrico concentrado Aço-carbono 1,0 a 1,2

Ácido sulfúrico diluído Chumbo 1,0 a 1,2

Água de refrigeração de motores Acima de 2,0

Água fria: alimentação de caldeiras Aço-carbono 4,0 a 8,0

Água fria: aspiração de bombas centrífugas 1,0 a 1,5

Água fria: aspiração de bombas de pistão 0,8 a 1,0

Água fria: descarga de bombas centrífugas 2,0 a 3,0

Água fria: descarga de bombas de pistão 1,0 a 2,0

Água fria: linhas de abastecimento por gravidade

0,5 a 1,5

Água fria: linhas de recalque 1,0 a 2,5

Água fria: linhas industriais 2,0 a 3,0

Água para aquecimento: circulação forçada 0,5 a 2,0

Água para aquecimento: circulação natural 0,05 a 1,0

Água salgada Aço revestido 1,5 a 2,5

Água salgadaCobre / níquel

70-304,0

Água salgadaCobre / níquel

90-103,0

Água salgada Latão 1,5

Amônia (gás) Aço-carbono 25 a 35

Amônia (líquido) Aço-carbono 2,0

Ar comprimido: aspiração de compressores alternativos

15 a 20

Ar comprimido: aspiração e descarga de turbocompressores

20 a 25

Ar comprimido: descarga de compressores alternativos

25 a 30

Ar comprimido: insuflamento de fornos 12 a 15

Ar comprimido: linhas em geral Aço-carbono 15 a 20

Ar de ventilação: aspiração de ventilador 5,0 a 15

Ar de ventilação: circulação em ambientes 0,025 a 0,25

Ar de ventilação: descarga de ventilador 5 a 15

Ar de ventilação: dutos principais 3 a 11

Ar de ventilação: dutos secundários 2,5 a 8

Ar de ventilação: filtros 1,3 a 1,8

Ar de ventilação: grelhas de insuflamento 1,0 a 10

Ar de ventilação: grelhas de retorno 2,0 a 6,0

Ar de ventilação: tomada externa 3,5 a 6,2

Cloro gás Aço-carbono 15 a 20

Cloro líquido Aço-carbono 1,5 a 2,0

Gases de admissão motores Diesel 25 a 30

Gases de admissão motores Otto 10 a 20

Gases de escape motores Diesel 2 tempos 25 a 30

Gases de escape motores Diesel 4 tempos 35 a 40

Gases de escape motores Otto 2 tempos 10 a 15

Gases de escape motores Otto 4 tempos 15 a 25

Hidrocarbonetos líquidos: linhas de recalque Aço 1,5 a 2,5

Hidrocarbonetos líquidos: linhas de sucção Aço 1,0 a 2,0

Hidrogênio Aço-carbono 20

Óleos em lubrificação de motores 0,5 a 1,0

Soda cáustica sol até 30%Aço-carbono ou

monel2,0

Soda cáustica sol 30 a 50%Aço-carbono ou

monel1,5

Soda cáustica sol 50 a 75%Aço-carbono ou

monel1,2

Tetracloreto de carbono Aço-carbono 2,0

Vapor d'água saturado até 10 bar Aço-carbono 15 a 30

Vapor d'água saturado acima de 10 bar Aço-carbono 30 a 45

Vapor d'água superaquecido Aço-carbono 45 a 60

FluidoMaterial do

condutoVelocidade

m/s

Forças de pressão e de variação de velocidade| Topo pág | Fim pág |

O escoamento de fluidos em condutos produz esforços mecânicos que, em alguns casos práticos, exigem fixações ou reforços adicionais para não comprometer a estabilidade das tubulações. Aqui são considerados apenas os esforços originários do escoamento e, portanto, as ilustrações gráficas referem-se supostamente a um plano horizontal. Para uma tubulação vertical por exemplo, os esforços na parte inferior devem incluir o peso da coluna de fluido.

Figura 01

Forças devido à pressão

Seja, conforme Figura 01, um escoamento genérico entre dois pontos 1 e 2. Considera-se um volume de controle em forma de paralelepípedo entre esses dois pontos.

A seção transversal em 1 recebe uma força devido à pressão do fluido nesse ponto:

F1 = S1 p1 #A.1#

Os componentes horizontal e vertical são:

F1x = S1 p1 cos α1 #A.2#F1y = S1 p1 sen α1 #A.3#

No ponto 2 há igualdades similares:

F2x = S2 p2 cos α2 #A.4#F2y = S2 p2 sen α2 #A.5#

Desde que o conjunto não se move, aplicam-se as condições do equilíbrio estático (ΣFx = 0 e ΣFy = 0):

Fpx + F1x − F2x = 0 #A.6#. Portanto,

Fpx = F2x − F1x = S2 p2 cos α2 − S1 p1 cos α1 #A.7#

Fpy + F1y − F2y = 0 #A.8#. Portanto,

Fpy = F2y − F1y = S2 p2 sen α2 − S1 p1 sen α1 #A.9#

Onde Fp (ou os componentes Fpx e Fpy) é a força externa que deve ser aplicada para manter o equilíbrio. Na maioria dos casos práticos, a resistência mecânica da tubulação é suficiente para proporcionar essa reação. Caso contrário, a tubulação tende a se mover, o que pode ser observado, por exemplo, em uma mangueira de saída livre.

Forças devido à variação de velocidade

De acordo com a segunda lei de Newton, a força é

F = db/dt #B.1#

Onde b é o momento linear (ou quantidade de movimento), dado por

Figura 02

b = m c #B.2#, onde m é massa e c é velocidade (usa-se o símbolo c no lugar de v).

Para um escoamento genérico de um fluido entre dois pontos 1 e 2 conforme Figura 02, pode-se dizer, portanto, que deve haver uma reação Fm para equilibrar a força devido à variação do momento linear.

Das igualdades anteriores,

F = d(m c)/dt #B.3#

Num regime estacionário a massa não varia. Portanto,

F = m dc/dt = m a #B.4#, onde a é a aceleração.

Para o intervalo 12 pode-se escrever:

F = m Δc / Δt = (m / Δt) Δc #B.5#.

Mas m/Δt é a vazão de massa Qm do escoamento. Portanto, a reação Fm para equilibrar a variação de momento linear é dada por

Fm = − Qm Δc = − Qm (c2 − c1) #B.6#.

Lembrar que força e velocidade são grandezas vetoriais e assim devem ser calculadas. Em (a) da Figura 02, há uma visualização de Δc. Por trigonometria pode-se calcular o módulo de Δc em função do ângulo β entre as velocidades em 1 e em 2 e seus respectivos valores:

Δc2 = (c1 − c2 cosβ)2 + (c2 sen β)2 #B.7#. Onde β = α2 − α1.

É mais prático, entretanto, trabalhar com os componentes horizontal e vertical. Da igualdade anterior #B.6#, tem-se em coordenadas:

Fmx = − Qm (c2x − c1x) = − Qm (c2 cos α2 − c1 cos α1) #B.8#

Fmy = − Qm (c2y − c1y) = − Qm (c2 sen α2 − c1 sen α1) #B.9#

Do conceito vetorial de velocidade, pode-se concluir que esforços devido à variação do momento linear estarão presentes em qualquer desvio (curva) de fluxo mesmo que o valor absoluto da velocidade seja constante, uma vez que a direção do vetor velocidade sofre mudança na curva.

Exemplo 01| Topo pág | Fim pág |

A Figura 01 indica um bocal de mangueira com saída 2 direta para a atmosfera. Supõe-se que a área da entrada (1) seja 0,005 m2 e a pressão 300 kPa relativa. Determinar a força de pressão exercida pelo bocal.

Figura 01

Como é solicitada somente a força de pressão, usam-se as equações #A.7# e #A.9# do tópico Forças de pressão e de variação de velocidade.

Desde que o fluxo é horizontal, α1 = α2 = 0, anulando a igualdade #A.9#. E a igualdade #A.7# fica:

Fpx = F2x − F1x = S2 p2 − S1 p1

Notar que o problema não especifica a área S2 nem a respectiva pressão p2. Entretanto, conforme visto em páginas anteriores, saída para atmosfera pode ser considerada pressão nula.

Fpx = F2x − F1x = 0 − S1 p1 = − 0,005 300 = − 1,5 kN

Exemplo 02| Topo pág | Fim pág |

Na curva 60º da Figura 01, são dados para a entrada: S1 = 0,002 m2, p1 = 300 kPa relativo. Para a saída: S2 = 0,0005 m2, p2 = 200 kPa relativo. Determinar as forças de pressão atuantes no elemento.

Figura 01

Usamos as equações #A.7# e #A.9# do tópico Forças de pressão e de variação de velocidade:

Fpx = F2x − F1x = S2 p2 cos α2 − S1 p1 cos α1

Fpy = F2y − F1y = S2 p2 sen α2 − S1 p1 sen α1

Tem-se α1 = 0 e, portanto, sen α1 = 0 e cos α1 = 1

Para α2 = 60º, sen α2 ≈ 0,87 e cos α2 = 0,5

Fpx = 0,0005 200 0,5 − 0,002 300 1 = − 0,55 kN

Fpy = 0,0005 200 0,87 − 0,002 300 0 = 0,87 kN

Fluidos 07-20 : Forças em escoamentos

Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Exemplo 01 |Jato sobre superfície frontal |

Jato sobre superfície inclinada |

Índices

Ciência dos materiais

Eletricidade e eletromagnetismo

Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor, frio,

etcInformáticaMatemática

Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Exemplo 01| Topo pág | Fim pág |

Água fria (massa específica ρ = 1000 kg/m3) escoa por uma curva 90º conforme Figura 01. Na entrada, são dados: pressão p1 = 120 kPa relativo, velocidade c1 = 4 m/s e área S1 = 0,01 m2. Na saída, área S2 = 0,0025 m2. Determinar os esforços atuantes no elemento (desconsiderar perdas por atrito).

Figura 01

Usa-se a equação da continuidade para determinar a velocidade na saída:

S1 c1 = S2 c2

0,01 4 = 0,0025 c2. Portanto, c2 = 16 m/s

Usa-se agora a equação de Bernoulli para calcular a pressão na saída.

p1 + (1/2) ρ c12 = p2 + (1/2) ρ c2

2 (naturalmente, despreza-se a variação de altura).

120000 + 0,5 1000 16 = p2 + 0,5 1000 256 . Portanto, p2 = 0 (relativo).

A questão não especifica o tipo de esforço. Assim, deve-se somar as forças de pressão com as de variação de velocidade. Para os esforços de pressão usam-se as equações #A.7# e #A.9# do tópico Forças de pressão e de variação de velocidade:

Fpx = F2x − F1x = S2 p2 cos α2 − S1 p1 cos α1

Fpy = F2y − F1y = S2 p2 sen α2 − S1 p1 sen α1

Tem-se α1 = 0 e, portanto, sen α1 = 0 e cos α1 = 1. Também α2 = 90 e, portanto, sen α2 = 1 e cos α2 = 0.

Fpx = 0 − 0,01 120 1 = − 1,2 kN

Fpy = 0,0025 0 1 − 0 = 0

Conforme equação da continuidade, a vazão de massa é dada por Qm = ρ S c, que é a mesma em qualquer ponto. Calculando para 1 por exemplo,

Qm = 1000 0,01 4 = 40 kg/s

Os esforços devido à variação de velocidade (ou do momento linear) são calculados pelas igualdades #B.8# e #B.9# do mesmo tópico:

Fmx = − Qm (c2x − c1x) = − Qm (c2 cos α2 − c1 cos α1) = 40 (16 0 − 4 1) = − 0,16 kN

Fmy = − Qm (c2y − c1y) = − Qm (c2 sen α2 − c1 sen α1) = 40 (16 1 − 4 0) = 0,64 kN

E os esforços totais são dados pela soma de ambos:

Fx = Fpx + Fmx = − 1,2 − 0,16 = 1,36 kN

Fy = Fpy + Fmy = 0 + 0,64 = 0,64 kN

Jato sobre superfície frontal| Topo pág | Fim pág |

Seja uma situação conforme Figura 01 deste tópico: o jato de um bocal incide sobre uma superfície plana perpendicular à direção do fluxo. Em princípio não há forças devido à diferenças de pressão porque o fluido está sob pressão

atmosférica assim que sai do bocal.

O fluido se espalha radialmente pela superfície e pode-se facilmente concluir que os esforços se anulam na direção paralela à superfície.

Figura 01

Assim, consideram-se apenas as variações de velocidade na direção normal:

c1n = c1x = c1

c2n = c2x = 0

Usa-se então a igualdade #B.8# do tópico Forças de pressão e de variação de velocidade:

F = Fmx = Qm (c2x − c1x) = − Qm c1 #A.1#

Considerando a equação da continuidade Qm = ρ S c, pode-se ter outra forma:

F = Fmx = − ρ S1 c12 #A.2#

Notar que a força tem sinal oposto ao da igualdade original porque é consideranda a reação para imobilizar a placa e não a porção do escoamento entre 1 e 2.

Exemplo: supõe-se, no esquema da Figura 01, água fria com massa específica ρ = 1000 kg/m3, diâmetro da saída 0,015 m e velocidade c1 = 28 m/s. Determinar a força na placa considerando que não há contração do jato na saída do bocal.

Aplica-se diretamente #A.2#:

F = − 1000 (π/4) 0,0152 282 ≈ − 139 N

Jato sobre superfície inclinada| Topo pág | Fim pág |

No esquema da Figura 01 deste tópico, um jato horizontal incide sobre uma

placa plana que faz um ângulo β com a horizontal. De forma similar ao caso do tópico anterior, não há forças devido a diferenças de pressão.

Figura 01

Este problema pode ser considerado o anterior com a velocidade normal igual a

c1 sen β

Portanto,

F = Fm = − Qm c1 sen β #A.1#

Lembrando que Qm = ρ S1 c1,

F = Fm = − ρ S1 c12 sen β #A.2#

Observar que a força F é perpendicular à placa. Se necessário, relações trigonométricas simples devem ser usadas para calcular os componentes horizontal e vertical.

Exemplo: considera-se na Figura 01 água com velocidade c1 = 20 m/s e vazão de massa Qm = 2 kg/s. Também dado β = 60º.

Aplicando #A.1#,

F ≈ − 2 20 0,87 ≈ − 35 N

A força horizontal é dada por:

Fx = F cos 150º ≈ 35 (− 0,87) ≈ − 30 N

E a força vertical é calculada por:

Fy = F sen 150º ≈ 35 0,5 = 17,5 N

Jato sobre pás curvas| Topo pág | Fim pág |

No esquema da Figura 01 deste tópico, um jato sai do bocal com velocidade c1

e incide sobre uma pá curva. Por simplicidade, considera-se a direção de incidência alinhada com a entrada da curva e desprezam-se atritos.

Figura 01

Nessas condições, o jato é distribuído de maneira uniforme ao longo da curva e o valor absoluto da velocidade é conservado, mudando apenas a sua direção.

Sendo β o ângulo da curva, a força de reação da pá deve ser dada segundo fórmula já vista em páginas anteriores:

F = − Qm Δc #A.1#.

Onde Qm é a vazão de massa.

Do detalhe (a) da figura pode-se deduzir a relação trigonométrica entre os valores absolutos de Δc e de c1:

Δc2 = (c1 sen β)2 + (c2 + c1 cos β)2 = c12 sen2 β + c2

2 + 2 c1 c2 cos β + c1

2 cos2 β

Considerando que c1 = c2 e simplificando,

Δc2 = 2 c12 (1 + cos β)

Portanto, o valor absoluto da força é dado por:

F = Qm c1 √ [ 2 (1 + cos β) ] #A.2#

Mudanças de seção| Topo pág | Fim pág |

A Figura 01 abaixo mostra a situação simples da mudança de seção em um trecho retilíneo de tubulação. Desde que as forças envolvidas estão na mesma linha, pode-se trabalhar apenas com escalares.

Figura 01

Conforme visto em página anterior, a força resultante é igual à somas das resultantes devido à pressão e devido à velocidade:

F = Δ (p S) + Qm Δc #A.1#

Portanto,

F = (p2 S2 + Qm c2) − (p1 S1 + Qm c1) #A.2#

Exemplo numérico: considera-se no esquema da Figura 01 uma tubulação de seção circular conduzindo água fria (massa específica ρ = 1000 kg/m3). São dadas: área da seção S1 = 0,002 m2; área da seção S2 = 0,001 m2; pressão p2 = 500 kPa; velocidade c2 = 8 m/s; coeficiente de atrito da redução k = 0,5. Determinar a vazão do fluxo, a pressão em 1 e a força atuante devido à variação de seção.

A velocidade em 1 é determinada pela equação da continuidade:

c1 S1 = c2 S2

c1 0,002 = 8 0,001c1 = 4 m/s

A vazão de massa é dada por:

Qm = ρ c1 S1 (ou ρ c2 S2)

Qm = 1000 4 0,002 = 8 kg/s (naturalmente, a vazão volumétrica é Q = c1 S1 = 0,008 m3/s)

Conforme visto em páginas anteriores, a perda de pressão devido ao atrito em acessórios é dada por:

Δpacess = k (1/2) ρ c2

Neste caso, c é a velocidade na entrada da redução (c1). Portanto,

Δpacess = 0,5 0,5 1000 16 = 4000 Pa

Também já vista em página anterior, a equação para o escoamento real de um fluido incompressível:

ρ g z1 + p1 + (1/2) ρ c12 = ρ g z2 + p2 + (1/2) ρ c2

2 + Δp

Neste caso, z1 = z2. Portanto,

p1 + 0,5 1000 16 = 500000 + 0,5 1000 64 + 4000. Resolvendo,

p1 = 528000 Pa

Calcula-se agora a força resultante de acordo com a igualdade #A.2#:

F = (p2 S2 + Qm c2) − (p1 S1 + Qm c1)

F = ( 500000 0,001 + 8 8 ) − ( 528000 0,002 + 8 4) = (500 + 64) − (1056 + 32) = − 524 N

Fluidos 08-10 : Escoamentos compressíveis

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Introdução |Velocidade do som e condições de

estagnação |

Índices

Ciência dos materiais

Eletricidade e eletromagnetismo

Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor, frio,

etcInformáticaMatemática

Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Introdução ao escoamento compressível| Topo pág | Fim pág |

Os tópicos sobre escoamentos vistos em páginas anteriores pressupõem a propriedade massa específica (ou o inverso, volume específico) constante. São os casos mais comuns de escoamento de líquidos e mesmo de gases, que podem ser assim considerados, sem grandes desvios de resultados, se as diferenças de pressão são pequenas, em geral menores que 10%. Quando a massa específica varia (isto é, o escoamento é compressível), há necessidade de considerações termodinâmicas das transformações ao longo do escoamento.

O tema é naturalmente extenso e de alguma complexidade, mas esta pequena série de páginas procura apresentar apenas informações básicas e alguns casos particulares mais simples.

Velocidade do som e condições de estagnação[ | Topo pág | Fim pág |

Algumas informações sobre estes assuntos são dadas na parte de Termodinâmica deste site. Aqui são repetidos alguns conceitos e fórmulas finais e introduzidos novos aspectos aplicáveis a escoamentos.

A velocidade do som em um gás é dada por:

#A.1#. Onde:

cs velocidade em m/s

χrelação adimensional cp / cv (calor específico com pressão constante /

calor específico com volume constante)

p pressão do gás em Pa

ρ massa específica em kg/m3

v volume específico em m3/kg

Rgásconstante do gás em J/(K kg) = R / M, onde R é a constante universal,

cerca de 8,315 J/(K mol), e M é a massa molar em kg/mol

T temperatura absoluta em K

Evidentemente, a fórmula acima supõe o comportamento de gás ideal.

Exemplo 01: determinar a velocidade do som em vapor d'água a 135ºC.

A temperatura absoluta é T ≈ 135 + 273 = 408 K. Segundo dados de tabelas, para o vapor d'água,

R ≈ 466 J/(kg K)χ ≈ 1,332

Usando a fórmula anterior, cs = √( 1,332 466 408 ) ≈ 503 m/s

A velocidade do som para líquidos ou sólidos é dada por:

#A.2#. Onde:

K: módulo de compressibilidade (líquidos) ou de elasticidade (sólidos) em Pa (ou N/m2).ρ: massa específica em kg/m3.

Exemplo 02: estimar a velocidade do som na água.

Segundo dados de literatura, o módulo de compressibilidade médio da água é 2200 MPa. Considerando o valor padrão para a massa específica (1000 kg/m3),

cs = √(2200 1000000 / 1000) ≈ 1483 m/s

Exemplo 03: estimar a velocidade do som no aço.

Valores típicos para aços são módulo de elasticidade 206 GPa e massa específica 7850 kg/m3. Portanto,

cs = √(206 1000000000 / 7850) ≈ 5123 m/s

Número de Mach de um escoamento é uma grandeza adimensional definida pela relação entre a velocidade (c) desse escoamento e a velocidade do som no meio (cs):

#A.3# (são comuns os símbolos M ou NMa)

Figura 01

Estado de estagnação de um escoamento é o estado teórico que o fluido apresenta se for levado da velocidade desse escoamento até a completa imobilidade em uma transformação isentrópica.

No exemplo da Figura 01, as partículas de fluido que atingem a borda (2) de um perfil sólido e imóvel inserido no fluxo têm velocidade nula e, portanto, as condições do fluido nesse ponto são as de estagnação.

Do conceito de estado de estagnação, conforme visto em Termodinâmica 06-20, podem ser deduzidas as relações seguintes (os símbolos com índice T referem-se às condições de estagnação).

Temperatura de estagnação:

#B.1#

Pressão de estagnação:

#B.2#

Entalpia de estagnação:

#B.3#

Nas igualdades acima, as grandezas e respectivas unidades SI são:

T temperatura absoluta em K

χrelação adimensional cp/cv (calor específico com pressão constante / calor

específico com volume constante)

Ma número de Mach (adimensional)

p pressão em Pa

h entalpia específica em J/kg

c velocidade em m/s

Escoamento isentrópico de um gás ideal| Topo pág | Fim pág |

Os conceitos de estagnação e número de Mach são bastante úteis na simplificação da análise de escoamentos.

Seja o exemplo genérico de um gás que escoa através de um tubo e troca calor q com o meio externo entre os pontos 1 e 2 conforme Figura 01 deste tópico.

Para um gás ideal, segundo a primeira lei da Termodinâmica aplicada entre 1 e 2:

q12 − we12 = (cp T2 + c22/2) − (cp T1 + c1

2/2)

No caso da figura, não há trabalho externo ou we = 0. E, substituindo os valores segundo igualdade da página anterior #B.3#,

Figura 01

q12 = hT2 − hT1 #A.1#

Ou seja, o calor trocado entre 1 e 2 é dado em função apenas das condições de estagnação.

Pode-se também concluir que, para q = 0, hT = constante, isto é, a entalpia de estagnação é constante no escoamento isentrópico.

Considerando a relação entre pressões e temperaturas num processo isentrópico,

pT / p = (TT / T)χ / (χ−1) #B.1#

Pode-se substituir o valor da temperatura de estagnação e chegar à igualdade termodinâmica #B2# da página anterior:

#C.1#

Tem-se então a pressão em qualquer ponto do escoamento dada em função da pressão de estagnação, no número de Mach e da relação χ (= cp/cv).

Figura 02

Considera-se a relação termodinâmica para processo isentrópico:

v1/v2 = ρ2/ρ1 = (T2/T1)1/(χ − 1)

Onde v é volume específico e ρ é massa específica.

Combinando com as igualdades anteriores, chega-se a:

#D.1#

A Figura 02 exibe curvas aproximadas para as igualdades #B.1# da página anterior e #C.1# deste tópico em função do número de Mach.

Para maior clareza, as relações foram invertidas (ex: p / pT no lugar de pT / p). É considerado χ = 1,4 (válido para o ar por exemplo).

Exemplo 01: um reservatório de ar comprimido a 5 MPa e 21ºC está conectado a um tubo por onde o ar escoa a uma vazão de massa de 1 kg/s. Em determinado ponto da tubulação foi medida uma pressão estática de 3 MPa. Considerando nula a velocidade do ar no reservatório e o escoamento isentrópico, determinar, para o ponto mencionado, o número de Mach, a temperatura, a massa específica, a velocidade e a área da seção transversal.

Sendo a velocidade no reservatório nula, as condições de estagnação são as condições informadas acima. Se o escoamento é isentrópico, essas condições são mantidas, ou seja,

pT = 5 MPaTT ≈ 273 + 21 = 294 KNo ponto mencionado, p / pT = 3 / 5 = 0,6Para o ar, χ = 1,4Usando o gráfico da Figura 02 ou a igualdade #B.1#, determina-se Ma ≈ 0,89

Do mesmo gráfico ou da igualdade #B.1# da página anterior, T / TT ≈ 0,86. Ou

T ≈ 0,86 × 294 ≈ 253 K

Segundo a equação dos gases ideais, pv = RgásT

A constante universal é R ≈ 8,31447 J/(K mol)Para o ar, massa molar 0,029 kg/mol

Portanto, Rar = 8,31447 / 0,029 ≈ 287 J/(K kg)

Assim, pT vT = pT / ρT = 287 TT. Ou

ρT = 5000000 / (287 294) ≈ 59,3 kg/m3

Da equação #D.1#,

ρT / ρ = [1 + (1,4 − 1) 0,892 / 2]1 / (1,4−1) ≈ 1,444. Resolvendo,

ρ = 59,3 / 1,444 ≈ 41 kg/m3

Segundo #A.1# da página anterior, a velocidade do som é

cs = √(χ Rgás T) = √(1,4 287 253) ≈ 319 m/s

Da definição de número de Mach, obtém-se a velocidade no ponto considerado:

c = Ma cs = 0,89 × 319 ≈ 284 m/s

Da equação da continuidade dos fluidos,

Qm = ρ S c, onde Qm é a vazão de massa, ρ é massa específica, S é área da seção transversal e c é velocidade. Assim,

S = 1 / (41 × 284) ≈ 8,6 10−5 m2 (ou diâmetro aproximado 1 cm para tubo de seção circular).

Escoamento isentrópico de um gás ideal (cont)| Topo pág | Fim pág |

Em página anterior foi vista a relação entre a pressão p em um determinado ponto e a pressão de estagnação pT, que é invariável no escoamento isentrópico:

#A.1#

A expansão binomial dessa expressão resulta em:

pT / p = 1 + [ χ Ma2 / 2 ] [ 1 + Ma

2 / 4 + Ma4 / 8 + ... ]

Para pequenos valores do número de Mach Ma, pode-se considerar:

pT / p ≈ 1 + χ Ma2 / 2. Fazendo pT = p + Δp, tem-se

1 + Δp / p ≈ 1 + χ Ma2 / 2. Portanto, Δp / p ≈ χ Ma

2 / 2

Considera-se que:

Velocidade do som é √(χ R T)Número de Mach é a razão entre a velocidade do escoamento e a do som, Ma = c / √(χ R T) ou

Ma2 = c2 / (χ R T). Substituindo na anterior,

Δp / p ≈ (1/2) c2 / (R T). Mas, para o gás ideal, pv = RT ou p / ρ = RT. Substituindo, chega-se a

Δp ≈ (1/2) c2 ρ #B.1#

O resultado significa que, para pequenas velocidades, há uma aproximação com o escoamento de líquidos (incompressível) calculado pela equação de Bernoulli.

Figura 01

Exemplo 01: conforme Figura 01, um tubo de Pitot é usado para medir um fluxo de ar (x = 1,4) a 20ºC, resultando em p1 = 105 kPa e p2 = 125 kPa. Determinar a velocidade c do escoamento.

Usa-se a fórmula #A.1# porque não se conhece o número de Mach. Tem-se pT = p2 e p = p1.

125 / 105 = [ 1 + (1,4 − 1) Ma2 / 2 ]1,4 / (1,4 − 1). Resolvendo, Ma

≈ 0,505

A temperatura absoluta é T ≈ 273 + 20 = 293 KPara o ar, a constante do gás é R ≈ 287 J/(kg K)

Então a velocidade do som é √(x R T) = √(1,4 287 293) ≈ 343 m/s

Portanto, Ma = 0,505 = c / 343. Resolvendo, c ≈ 173 m/s

Escoamento isentrópico em bocal| Topo pág | Fim pág |

Seja, de acordo com Figura 01 abaixo, um bocal convergente e divergente pelo qual escoa, de forma isentrópica, um gás ideal. Considera-se um volume de

controle genérico de área transversal A sujeito a variações infinitesimais de condições físicas (temperatura, massa específica, etc) conforme indicado.

Já visto que a velocidade do som em um gás ideal é

cs = √(x R T) #A.1#, onde x é a relação cp/cv (calor específico com pressão constante e com volume constante), R é a constante do gás e T é a temperatura absoluta.

Considerando também o processo adiabático, segundo a Termodinâmica,

p vx = k (constante) #B.1#. Onde p é pressão, v é volume específico.

Desde que v = 1 / ρ #B.2#, onde ρ é massa específica, p = k ρx

Derivando em relação a ρ,

dp / dρ = k x ρx − 1 = x k ρx / ρ = x p / ρ = x p v

De acordo com a equação de estado dos gases ideais p v = R T #C.1#. Assim,

dp / dρ = x R T e, substituindo em #A.1#, cs2 = dp / dρ #C.2#.

A equação #C.1# também pode ser escrita p = ρ R T. Diferenciando e dividindo por ρ R T, obtém-se

dp / p = dρ / ρ + dT / T #C.3#

Para um fluxo estacionário, a equação da conservação da energia é

q - we = Δh + Δ(g z) + Δ(c2 / 2) #D.1#

Onde q calor trocado, we trabalho externo, h entalpia, g aceleração da gravidade, z altura física, c velocidade. Neste caso,

q = we = 0Δ(g z) = 0

Simplificando e tomando as diferenciais, dh + c dc = 0 #D.2#

A equação da continuidade do fluxo estacionário é dada por:

= constante = ρ A c #E.1#, onde é fluxo de massa.

Tomando as diferenciais e dividindo tudo por ρ A c, resulta em

dρ / ρ + dA / A + dc / c = 0 #E.2#

Das relações termodinâmicas:

ds = dq / T #F.1# (s entropia, q calor)dh = dq + v dp. Também, dh = dq + dp / ρ #F.2#

Chega-se a T ds = dh − dp / ρ #F.3#

No processo isentrópico, ds = 0. Substituindo em #F.3# e combinando com #D.2#,

dp / ρ + c dc = 0 #F.4#

Figura 01

Isolando dc da igualdade #E.2# e substituindo em #F.4#,

dp / ρ − c2 (dρ / ρ + dA / A) = 0 #G.1#

Multiplicando numerador e denominador de dρ / ρ por dp e reagrupando,

dρ / ρ = (dρ / dp) (dp / ρ)

Segundo igualdade #C.2#,

(dρ / dp) = 1 / cs2. Assim, dρ / ρ = (1 / cs

2) (dp / ρ)

Substituindo em #G.1# e considerando que número de Mach é Ma = c / cs #H.1#, obtém-se após rearranjo:

#H.2#

Pode-se isolar a pressão:

#H.3#

Nessa igualdade, desde que ρ c2 / A só pode ser positivo, o sinal da variação de pressão (dp) depende do número de Mach e do sinal de dA (negativo se convergente e positivo se divergente).

Da relação #F.4#, dp / ρ = − c dc. Substituindo em #H.2# e simplificando,

obtém-se outra fórmulação para o escoamento no bocal:

#I.1#

Considerando essas duas últimas igualdades (#H.3# e #I.1#), é possível montar a tabela abaixo para demonstrar as relações permitidas dos diversos parâmetros.

Ma < 1 Ma > 1

dA > 0divergente

dc < 0dp > 0(difusor

subsônico)

dc > 0dp < 0

(bocal supersônico)

dA < 0convergent

e

dc > 0dp < 0

(bocal subsônico)

dc < 0dp > 0(difusor

supersônico)

Seja agora a situação de bocal convergente e divergente conforme Figura 02.

Figura 02

Se Ma = 1 (escoamento sônico), deve-se ter necessariamente dA = 0 para dc finito, em conformidade com a relação #I.1#.

Portanto, uma transição de subsônico para supersônico só pode ocorrer no estrangulamento, conforme (a) da Figura 02.

Se Ma ≠ 1 no estrangulamento conforme exemplo da Figura 02 (b), deve ocorrer dc = 0 nesse ponto, significando ausência de aceleração e nenhuma transição subsônico / supersônico (o escoamento pode ser subsônico em toda a extensão do bocal).

Fluidos 09-10

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Fluidos não newtonianos| Topo pág | Fim pág |

A Figura 01 mostra o esquema da ação de uma força sobre uma camada de fluido, conforme visto em página anterior. Considerando que a camada ao longo do eixo X tem velocidade c nula (parede de um conduto), uma força F aplicada a uma distância h produz uma tensão de cisalhamento τ na face superior.

Figura 01

A taxa de cisalhamento ou taxa de deformação é definida pela variação da deformação de cisalhamento em relação ao tempo:

#A.1#

Nos fluidos newtonianos, verifica-se que há uma proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação:

#A.2#

Onde o coeficiente de proporcionalidade η é a viscosidade dinâmica do fluido.

Há fluidos, denominados não newtonianos, cujo comportamento não é linear e pode ser genericamente dado pela relação:

#A.3#

A Figura 02 mostra curvas apenas ilustrativas dos tipos de fluidos de acordo com o comportamento da tensão de cisalhamento. Todos eles pertencem à classe dos independentes do tempo, isto é, as relações não variam com o tempo de aplicação das tensões.

Numa generalização da relação #A.2#, pode-se dizer que a viscosidade de um fluido genérico é a inclinação da reta tangente à curva no ponto considerado.

A seguir, descrições resumidas dos tipos indicados.

A: esse é o comportamento de um fluido ideal. Não há viscosidade e, portanto, a tensão de cisalhamento é nula em qualquer ponto. É o tipo considerado em modelos teóricos simples de escoamentos.

B: o tipo dilatante é característico de algumas soluções de açúcar e de amidos. A viscosidade aumenta com o aumento da taxa de cisalhamento.

Figura 02

C: o tipo newtoniano já foi visto no início deste tópico e em outras páginas desta série. A esse grupo pertence a maioria dos fluidos práticos, como água e soluções aquosas, óleos, etc.

D: no grupo dos pseudo-plásticos, a viscosidade diminui com o aumento da taxa de cisalhamento. Exemplos: alguns produtos alimentícios, massas de cerâmica e de cimento.

Os próximos tipos têm comportamento de plástico e requerem uma tensão inicial τ0 para início do escoamento. Entretanto, ao contrário dos plásticos sólidos, podem não apresentar prévia elasticidade.

E: esse é um modelo de fluido plástico com características de aumento da viscosidade com aumento da taxa de cisalhamento.

F: o plástico de Bingham pode ser visto como um fluido newtoniano com uma tensão inicial maior que zero. É o comportamento aproximado de produtos alimentícios com alto teor de gordura (chocolate, manteiga, margarina).

G: o modelo de Casson mostra características plásticas, com redução da viscosidade no aumento da taxa de cisalhamento. Aplicável a fluidos como sangue e iogurtes.

Alguns modelos matemáticos

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O modelo mais simples usa a fórmula dada no tópico anterior:

#A.1#

Onde K é denominado coeficiente de consistência.

• Para um fluido newtoniano, τ0 = 0, n = 1. O coeficiente K é a própria viscosidade dinâmica η.

E a igualdade é reduzida à formulação correspondente: #A.2#

• Para um plástico de Bingham, τ0 > 0, n = 1. O coeficiente K é também denominado viscosidade plástica ηp.

#A.3#

• Para um fluido dilatante: #A.4#. Onde n > 1.

• No caso de um pseudoplástico: #A.5#. Onde n < 1.

A viscosidade aparente ηap é a relação entre a tensão e a taxa de deformação:

#B.1#

A formulação acima tem imperfeições, como inconsistências em valores extremos e dependência da dimensão de K com o expoente n. Mas é usada em muitos casos práticos.

O modelo de Casson usa uma fórmula própria, diferente das anteriores:

#C.1#

Onde ηCA é a viscosidade plástica de Casson.

Fluidos : Turbina Pelton

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Introdução| Topo pág | Fim pág |

Turbina hidráulica é o nome prático para máquinas que convertem a energia de um fluxo de água em energia mecânica dada pela rotação de um eixo. São quase sempre empregadas na geração de eletricidade. Podem ser classificadas em dois grupos básicos:De impulso ou ação

Em condições ideais, há apenas mudança da direção do fluxo ao passar pelo rotor da turbina, sem variação de pressão. Portanto, a magnitude da velocidade do fluxo é constante.

De reaçãoO fluxo sofre variação de velocidade ao passar pelo rotor da turbina.

Os próximos ítens dão definições de alguns parâmetros, relativos a potências e eficiências, de uso comum no estudo dessas máquinas.Potência hidráulica

É a potência suprida pelo fluxo. Pode ser calculada por:PH = Δp Q #A.1#Onde Δp é a variação da pressão total do fluxo entre a entrada e a saída e Q é a vazão volumétrica.

Em termos de altura, consideram-se:Δp = ρ g ΔZ= Q ρ

Assim, PH = g ΔZ #A.2#( é fluxo de massa, g é aceleração da gravidade, ΔZ é diferença de altura total, ρ é massa específica).

Potência líquida PL

É a potência produzida pela força do fluxo atuando sobre o rotor. O cálculo depende do tipo de turbina. Em razão das perdas por atrito, o seu valor não é totalmente transformado em potência útil no eixo.

Potência de eixoÉ a potência de saída no eixo da turbina. A relação com a velocidade angular (ω) e o torque T é dada pela fórmula clássica:PE = ω T #B.1#

Eficiência hidráulicaÉ a taxa de conversão da potência hidráulica em potência líquida:ηH = PL / PH #C.1#

Eficiência mecânicaIndica a proporção da potência líquida convertida em potência de eixo:ηM = PE / PL #C.2#

Eficiência totalRelaciona a potência de eixo com a potência hidráulica:ηT = PE / PH #C.3#

Princípios da turbina Pelton| Topo pág | Fim pág |

Inventada pelo americano Lester Allan Pelton na década de 1870, é uma típica turbina de impulso. A Figura 01 abaixo contém partes da imagem de domínio público da ilustração da patente original.

Figura 01

A operação é simples: um rotor em forma de anel é dotado de conchas, que são arrastadas sob ação de um fluxo tangencial de água, proporcionado por um bocal injetor. O injetor é normalmente dotado de uma agulha para regulagem. Turbinas práticas podem ter mais de um injetor.

O formato das conchas desvia o fluxo para uma direção quase oposta à direção original, resultando em uma variação de momento linear e, por conseqüência, em uma força tangencial que aciona o rotor.

As conchas têm cavidades duplas para distribuir igualmente o fluxo para cada

lado, de modo que os esforços axiais se anulam.

A própria forma construtiva permite deduzir que é uma turbina adequada para altas pressões de água e vazões relativamente baixas. É considerada uma das mais eficientes.

A Figura 02 dá o esquema básico de operação da turbina Pelton: água sai de um bocal injetor com velocidade c1 e atínge uma concha, que, por sua vez, tem uma velocidade cc. Desde que a concha tem dimensões pequenas em relação ao rotor, essa velocidade pode ser considerada constante em toda a concha. Usando a relação básica do movimento circular uniforme,

cc = ω R #A.1#

Onde ω é a velocidade angular do rotor.

Observar que, teoricamente, toda a queda de pressão ocorre no injetor e a operação ocorre apenas pelo desvio da direção do fluxo, o que caracteriza um tipo de puro impulso.

Figura 02

Em páginas anteriores, foi visto que fluxo livre pode ser considerado com pressão relativa nula. Usando a equação de Bernoulli e um coeficiente de perda,

c1 = Kf √(2 p / ρ) #B.1#. Onde,

c1: velocidade da água na saída do injetor.Kf: coeficiente para perda por atrito no injetor.p: pressão da água na entrada do injetor.ρ: massa específica da água.

Com a equação da continuidade dos fluidos, a vazão de massa é

= Kc ρ S c1 #B.2#. Onde,

Kc: coeficiente de contração do jato na saída do injetor.S: área da seção transversal na saída do injetor.

Substituindo o valor da velocidade dado em #B.1#, a vazão de massa é

= Kd S √(2 p ρ) #B.3#. Onde,

Kd = Kf Kc = coeficiente de descarga.

Em cálculos com água, é comum a referência da pressão em termos de altura H. Assim, das equações anteriores, a pressão pode ser calculada por:

p = ρ g H #B.4#, onde g é aceleração da gravidade.

Conforme já dito, as conchas têm cavidade dupla para anular os esforços axiais. Portanto, a análise de velocidades conforme Figura 03 pode ser feita para apenas um lado da concha porque o outro é simétrico.

Se o jato com velocidade c1 alcança a concha cuja velocidade é cc conforme (a) da mesma figura, tem-se a velocidade c1c do jato em relação à concha indicada vetorialmente em (b) da figura.

Para o resultado final, precisa-se apenas dos componentes x (c1x no caso de c1) das velocidades porque no sentido y (axial neste caso) os momentos se anulam.

Figura 03

Em termos vetoriais, ocorre no ponto 1:

c1 = cc + c1c #C.1#

No ponto 2, a água sai da concha com uma velocidade c2c relativa à mesma. Essa velocidade faz um ângulo φ com a horizontal e, se desconsiderado o atrito, deve ter módulo igual à velocidade relativa de entrada c1c. Na prática deve existir um coeficiente de perda por atrito na concha Kfc. Assim,

c2c = Kfc c1c #D.1#

A relação vetorial das velocidades em 2 é similar à do ponto 1:

c2 = cc + c2c #D.2#, onde c2 é a velocidade absoluta de saída do jato. Nesse ponto os vetores não estão alinhados e o resultado gráfico pode ser visto em (c) da Figura 03.

Também em (c) da figura, nota-se que a diferença final de velocidades ao longo de x é

Δcx = c1x − c2x = c1c − c2c cos φ

Substituindo c2c pelo valor em #D.1# e c1c pelo valor retirado de #C.1#, chega-se ao resultado

Δcx = (c1 − cc) (1 − Kfc cos φ) #E.1#

Então, o produto dessa variação de velocidade pela vazão de massa dá a força atuante na concha. E o produto dessa força pela velocidade tangencial da concha cc dá a potência líquida da máquina:

PL = cc (c1 − cc) (1 − Kfc cos φ) #F.1#

Repetem-se a seguir as descrições dos parâmetros.

Figura 04

PL potência líquida.vazão de massa da água.

cc velocidade tangencial da concha (ver #A.1#).c1 velocidade do jato na saída do injetor (ver #B.1#).

Kfc coeficiente de perda por atrito na concha.φ ângulo de saída do jato da concha.

Mantidos os demais parâmetros constantes, analisa-se a variação da potência PL com a velocidade tangencial da concha cc. Conforme igualdade anterior (#F.1#) é claramente uma função do segundo grau e a curva tem forma de parábola como pode ser vista na Figura 04.

Notar a coerência com a prática: se o rotor não gira (cc = 0), a potência é nula. Se a velocidade da concha é maior ou igual à velocidade do jato (c1), não há impacto e a potência é também nula. A simetria permite deduzir que a potência máxima ocorre com

cc = c1 / 2 #G.1#

Outra confirmação prática é dada pelo termo (1 − Kfc cos φ) da mesma igualdade (#F.1#): supondo por simplicidade Kfc = 1, ele tem seu valor máximo (= 2) se φ = 180º, ou seja, a potência é máxima se o jato é desvido na direção oposta (inviável na prática). Se φ = 0º (significando uma concha plana, paralela ao fluxo), não há desvio e a potência é nula.

Exemplo 01: uma turbina Pelton opera com injetor de diametro 30 mm sob uma pressão de 180 metros de água. São dados: diâmetro do rotor 1,7 m | eficiência mecânica 87% | coeficiente de fricção do injetor 0,995 | coeficiente de descarga do injetor 0,99 | coeficiente de fricção das conchas 0,98 | ângulo de saída do jato da concha 165º. Considerando esses valores (também massa específica da água 1000 kg/m³ e aceleração da gravidade 9,81 m/s²) e operação com máxima potência, determinar os demais parâmetros segundo igualdades deste tópico e do anterior.

ρ = 1000 kg/m3, g = 9,81 m/s2 e altura H = 180 m. Segundo #B.4#, pressão no injetor

p = ρ g H = 1000 9,81 180 = 1765800 Pa.

O coeficiente de atrito no injetor é Kf = 0,995. Conforme #B.1#, velocidade na saída do injetor

c1 = Kf √(2 p / ρ) = 0,995 √(2 1765800 / 1000) ≈ 59,13 m/s.

Diâmetro do injetor D = 30 mm ou 0,03 m. Portanto, área S = π 0,032 / 4 ≈ 0,00071 m2. O coeficiente de descarga é Kd = 0,99. Segundo #B.3#, vazão de massa

= Kd S √(2 p ρ) = 0,99 0,00071 √(2 1765800 1000) ≈ 41,77 kg/s.

Se opera na potência máxima, a velocidade tangencial das conchas segundo #G.1# é cc = c1 / 2 = 59,13 / 2 ≈ 29,57 m/s. O coeficiente de fricção nas conchas é Kfc = 0,98 e o ângulo de saída cos φ = cos 165 ≈ − 0,966. Conforme #F.1#, a potência líquida é

PL = cc (c1 − cc) (1 − Kfc cos φ) = 41,77 × 29,57 × (59,13 − 29,57) × (1 + 0,98 × 0,966) ≈ 71,05 kW.

O raio do rotor é R = 1,7 / 2 = 0,85 m. Segundo #A.1#, cc = ω R. Portanto, velocidade angular do rotor

ω = 29,57 / 0,85 ≈ 34,79 rad/s ou 332,2 rpm.

A potência hidráulica é dada por #A.2# do tópico anterior (com H = ΔZ):

PH = g ΔZ = 41,77 × 9,81 × 180 ≈ 73,76 kW.

A eficiência hidráulica é conforme #C.1# do tópico anterior:

ηH = PL / PH = 71,05 / 73,76 ≈ 0,972.

Segundo #C.2# do tópico anterior, eficiência mecânica ηM = PE / PL. Portanto 0,87 = PE / 71,05 ou potência de eixo

PE ≈ 61,81 kW.

E a eficiência global é dada por #C.3# do mesmo tópico:

ηT = PE / PH = 61,81 / 73,76 ≈ 0,838.

Medidores de pressão I-10

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Barômetro de mercúrio| Topo pág | Fim pág |

O barômetro, instrumento para medir pressão da atmosfera, foi provavelmente o primeiro medidor de pressão. O mérito coube a Evangelista Torricelli, físico italiano, que, em 1644, realizou a experiência de inverter um tubo de vidro, fechado em uma extremidade e cheio de mercúrio, em uma cuba também cheia de mercúrio. Observou que o nível do mercúrio se estabilizava em um valor constante.

Figura 01

Entretanto, Torricelli não explicou precisamente a causa do fenômeno. Atribuiu ao "peso do ar", sem mais considerações.

Em 1648, o físico e matemático francês Blaise Pascal encontrou a explicação adequada, isto é, a coluna de mercúrio era mantida pela pressão do ar e ainda previu que ela diminuiria com o aumento da altitude.

A Figura 01 deste tópico dá dois arranjos básicos de barômetros de mercúrio:

(a) é o mais comum, com uma escala graduada e um parafuso na cuba para ajuste (calibragem). A altura da coluna é lida diretamente em uma escala.

Em (b) da mesma figura é usado um sistema de flutuador, fio , roldana, contrapeso e ponteiro para indicação do valor da altura da coluna (ou o equivalente em unidade de pressão).

Voltando à Figura 01 (a), a extremidade superior da coluna está praticamente sob vácuo e, portanto, pressão nula. E a superfície do mercúrio na cuba está sob pressão da atmosfera.

Figura 02

Conforme equação da estática dos fluidos, a relação entre a pressão e a altura da coluna é

patm = ρ g h #A.1#, onde:

patm: pressão atmosférica.ρ: massa específica do mercúrio.g: aceleração da gravidade.h: diferença de altura conforme figura.

Há, na prática, uma relação linear entre altura da coluna e pressão da atmosfera. No nível do mar, a altura da coluna de mercúrio é 760 mm e este valor foi adotado como referência para a pressão atmosférica normal.

A unidade Torr (em desuso) foi definida como a pressão equivalente a uma coluna de mercúrio de 1 mm de altura. Portanto, pressão atmosférica normal equivale a 760 Torr. Mas unidades obsoletas devem ser evitadas. Melhor usar unidades conforme Sistema Internacional:

Pressão atmosférica normal = 101 325 N/m2 (newton por metro quadrado) ou Pa (pascal). O bar é também usado e equivale a 10 N/cm2. Assim,

Figura 03

Pressão atmosférica normal = 101 325 N/m2 = 1,01325 bar = 1013,25 mbar (milibar).

A pressão atmosférica diminui com o aumento da altitude conforme gráfico aproximado da Figura 02. E um barômetro pode ser convertido em altímetro mediante simples mudança de escala.

Barômetro é um instrumento simples e pode ser construído de outras formas. A Figura 03 deste tópico dá um exemplo para fins didáticos, que usa água como líquido e ar na parte superior. Mas é um tanto impreciso porque a pressão do ar varia também com a temperatura. Para uma indicação confiável, seria necessário algum meio de se manter constante a temperatura do reservatório superior.

O barômetro de mercúrio ocupa espaço, é pouco prático para aplicações portáteis. Existem outros tipos, compactos e de menor custo, que usam diafragmas ou foles. Ver próximos tópicos desta série.

Medidores de coluna de líquido| Topo pág | Fim pág |

O barômetro de mercúrio do tópico anterior é um medidor de pressão de coluna líquida. A altura da coluna é, na realidade, proporcional à diferença de pressões (no barômetro mencionado, uma delas é zero porque vácuo é formado na extremidade fechada do tubo).

Figura 01

A Figura 01 ilustra o manômetro em forma de U, bastante usado para pequenas pressões, como sistemas de ventilação, exaustão e similares.

Conforme estática dos fluidos,

Δp = p1 − p2 = ρ g Δh #A.1#, onde:

Δp: diferença de pressõesρ: massa específica do líquido da coluna.g: aceleração da gravidade.Δh: diferença de altura conforme figura.

E o conjunto pode ter uma escala para leitura direta em unidades de pressão.

Se considerada p1 a pressão de medição e a extremidade de p2 aberta, isto é, p2 é a pressão atmosférica, o instrumento mede a diferença em relação à pressão atmosférica.

Muitas vezes - e isso vale para outros tipos - a escala adotada considera zero o valor de pressão igual à atmosférica, ou seja, a pressão relativa. E,

naturalmente, a pressão absoluta é a soma pressão relativa com a pressão da atmosfera.

Há, portanto, as relações:

prel = pabs − patm #B.1#.

pabs = prel + patm #B.2#.

Figura 02

Na unidade americana libra-força por polegada quadrada, são usuais as siglas psia (pounds-force per square inch absolute) para pressão absoluta e psig (pounds-force per square inch gauge) para pressão relativa.

Os medidores de coluna podem ter outras configurações. A Figura 02 dá exemplo de um do tipo tubo inclinado, que possibilita leituras mais precisas de pequenas diferenças. A igualdade anterior é modificada para:

Δp = p1 − p2 = ρ g ΔL sen α #C.1#.

Há ainda vários outros tipos, como "sino invertido", "balança de anel", etc. Oportunamente poderão ser inseridos nesta página.

Medidores sem líquido| Topo pág | Fim pág |

Os medidores de coluna de líquido não são adequados para pressões mais altas ou para casos de interação entre o fluido a medir e o líquido da coluna por exemplo. Além disso, ocupam certo espaço e precisam operar em uma determinada posição, o que dificulta a portabilidade.

Figura 01

Os medidores sem líquido usam em geral a deformação elástica das paredes de um elemento, normalmente metálico, submetidas à pressão do fluido.

O manômetro de tubo de Bourdon é certamente um dos mais utilizados. Um tubo de paredes finas e seção transversal aproximadamente retangular é fabricado na forma de uma curva conforme exemplo da Figura 01. Sob ação da pressão p, o raio da curva varia e o movimento aciona um mecanismo de engrenagens e ponteiro para indicação da pressão.

O esboço da figura é apenas ilustrativo. Outros formatos podem existir. O tubo de Bourdon pode ser fabricado em forma de espiral ou hélice para maior sensibilidade.

Figura 02

Há também medidores que usam sistemas de diafragma ou fole, conforme respectivamente (a) e (b) da Figura 02. O fole é normalmente mais sensível que o diafragma.

O movimento do diafragma ou do fole pode ser usado para acionar ponteiros de forma similar ao anterior, sensores ou chaves elétricas.

O barômetro aneróide usa o princípio do diafragma ou fole mencionados. Uma cápsula (ou várias em seqüência para maior sensibilidade) com vácuo parcial é mantida em equilíbrio sob ação de uma mola. Ver Figura 03.

Figura 03

Variações da pressão do ar contraem ou expandem a cápsula e o movimento é usado para acionar um mecanismo de ponteiro ou um sistema registrador (barógrafo).

Altímetros mecânicos usados em aviões operam de forma similar, com escalas em unidades de comprimento e não de pressão.

Transdutores de pressão| Topo pág | Fim pág |

A evolução da tecnologia possibilitou o desenvolvimento de dispositivos mais avançados do que os simples indicadores locais de pressão. Os transdutores (ou sensores) elétricos de pressão convertem os valores em grandezas elétricas que são usadas, local ou remotamente, para leitura e/ou controle de processos.

Este tópico comenta os princípios básicos de alguns tipos mais usados. Outros poderão ser incluídos em futuras atualizações.

Figura 01

Transdutores potenciométricos são simples e operam conforme esquema da Figura 01. Um fole (ou tubo de Bourdon) aciona um potenciômetro que converte os valores de pressão em valores de resistência elétrica.

São de baixo custo, podem operar sob diversas condições, o sinal pode ter intensidade boa, dispensando amplificações. Mas o mecanismo produz desvios inerentes e têm alguma sensibilidade a variações de temperatura. Há também o desgaste natural do potenciômetro.

Em geral usados para pressões de 0,035 a 70 MPa. Precisão na faixa de 0,5 a 1% do fundo de escala sem considerar as variações de temperatura.

Figura 02

Nos transdutores capacitivos, o diafragma funciona como armadura comum de dois capacitores em série. O deslocamento do diafragma devido à variação de pressão resulta em aumento da capacitância de um e diminuição de outro. E um circuito oscilador pode detectar essa variação.

A Figura 02 dá esquema de um tipo para medir diferença de pressão, mas pode ser singelo com uma das câmaras fechada.

Usados para pressões desde vácuo até cerca de 70 MPa. Diferenças a partir de aproximadamente 2,5 Pa. Precisão de até 0,01 % do fundo de escala. Boa estabilidade térmica.

Figura 03

O transdutor de deformação usa um sensor tipo "strain gage" para indicar a deformação do diafragma provocada pela pressão. Pode medir pressão diferencial conforme esquema da Figura 03 ou ter construção singela, para apenas uma entrada.

Precisão até aproximadamente 0,25% do fundo de escala. Há tipos para as mais diversas faixas de pressões (0,001 a 1400 MPa).

Figura 04

Nos transdutores óticos (Figura 04), um anteparo conectado ao diafragma aumenta ou diminui a intensidade de luz, emitida por uma fonte (led), que um fotodiodo recebe. E um circuito eletrônico completa o dispositivo.

Em geral, há um segundo fotodiodo que serve de referência para compensar variações da luminosidade da fonte com o tempo.

Têm boa precisão e elevada estabilidade térmica. São compactos e requerem pouca manutenção. Precisão cerca de 0,1% do fundo de escala. Pressões de 0,035 a 400 MPa.

Figura 05

Há várias configurações para transdutores indutivos. Uma delas é dada na Figura 05: o núcleo de um transformador move-se de acordo com a pressão sobre o diafragma. Supondo uma situação inicial simétrica, se uma tensão alternada é aplicada ao primário, a tensão de saída será nula porque os secundários estão ligados em oposição. O desequilíbrio provocado pelo movimento do diafragma aumenta a tensão em um secundário e diminui no outro e o circuito transforma isso em sinal correspondente à pressão.

Esse tipo de transformador é denominado, na língua inglesa, LVDT (Linear Variable Differential Transformer), isto é, transformador linear diferencial e variável.

A estabilidade térmica é boa, mas são sensíveis a campos magnéticos e a vibrações. Pressões nas faixas de 0,2 a 70 MPa.

Figura 06

Os transdutores piezelétricos usam o efeito de mesmo nome para gerar o sinal elétrico. Algumas informações podem ser vistas na página Efeito piezelétrico deste site.

Se o circuito processa apenas a tensão gerada devido ao efeito piezelétrico, o dispositivo registra apenas variações de pressão, pois a tensão cai rapidamente em condições estáticas. Isso pode ser muito útil em algumas aplicações. Mas há circuitos que detectam a freqüência de ressonância do cristal e, portanto, podem medir pressões estáticas.

São sensíveis a variações de temperatura e a instalação requer cuidados especiais.

Figura 07

Nos transdutores de fio ressonante, um fio metálico, com uma extremidade presa no diafragma, é mantido sob tensão pelo efeito de uma mola.

Um deslocamento do diafragma varia a tensão no fio e, por conseqüência, sua freqüência de ressonância. Uma bobina próxima e um circuito apropriado detectam a variação e a convertem em sinal elétrico.

Têm alguma sensibilidade a variações de temperatura, a vibrações e a choques. A saída não é linear e deve ser compensada pelo circuito. Fabricados para faixas desde pequenas pressões até cerca de 40 MPa.

Observações: os esboços aqui apresentados são apenas ilustrativos do modo de operação. Não correspondem necessariamente às formas físicas reais dos dispositivos. As informações são resumidas e não devem ser tomadas como critérios de seleção. Vários fatores devem ser analisados para uma escolha.

Exemplo: compatibilidade com o fluido, faixa de medição, temperatura de operação, precisão, custo, estabilidade térmica, resistência à corrosão (do fluido e do ambiente), interferências (campos magnéticos, vibrações, etc), facilidade de manutenção e reposição, resistência a sobrecargas e choques, confiabilidade, interface elétrica, etc.

Medidas de temperatura I-10

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Termômetros comuns |Termistores |

Semicondutor |

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Ciência dos materiais

Eletricidade e eletromagnetismo

Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor, frio,

etcInformáticaMatemática

Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Temperatura é uma das grandezas físicas mais medidas, seja no dia-a-dia das pessoas, seja em processos industriais. Nesta séria de páginas, algumas informações sobre os meios de medição mais usados, em especial os que permitem controle de processos, isto é, sensores que produzem sinais elétricos que têm relações com temperaturas.

Um pouco de história:

As primeiras medições de temperatura eram feitas, de forma imprecisa, pela comparação com certos fenômenos físicos. Para metais aquecidos, a cor dava alguma idéia. Para temperatura menores, a fusão de substâncias como chumbo, enxofre, cera, a ebulição da água, etc.

O primeiro termômetro documentado de que se tem notícia foi inventado por Galileu por volta de 1592. Era um bulbo de vidro acoplado a um tubo também de vidro com a extremidade aberta. O tubo era mergulhado em água. O aquecimento do bulbo expande o ar no interior e uma parte escapa pela extremidade do tubo. Removido o aquecimento, o ar volta à temperatura anterior, mas em menor quantidade e alguma água sobe no tubo, indicando que houve uma mudança de temperatura do bulbo.

O termômetro de álcool foi inventado pelo físico alemão Daniel Gabriel Fahrenheit em 1709. Em 1714 ele inventou o termômetro de mercúrio e, em

1724, introduziu a escala de temperatura que leva o seu nome. Inicialmente ele imaginou usar 0 para a temperatura mais baixa no inverno da região onde vivia e 100 para a mais alta no verão. De forma definitiva, ajustou 32 para o ponto de fusão da água e 212 para o ponto de ebulição.

A escala de centígrados (0 para fusão da água e 100 para ebulição) foi inventada por Anders Celsius, astrônomo sueco, em 1742. O nome Celsius para e escala foi oficializado em 1948 por uma conferência internacional para pesos e medidas.

Nas primeiras décadas do século 19 houve bastante evolução nos conceitos de temperatura. Lord Kelvin postulou a existência do zero absoluto. Sir William Hershel descobriu que a temperatura das cores do espectro solar projetado por um prisma variava, com aumento na direção do vermelho e na região que hoje conhecemos como infravermelho.

Em 1821, duas descobertas marcaram o início dos sensores elétricos de temperatura: T J Seebeck verificou que uma tensão era produzida por duas junções de metais diferentes em diferentes temperaturas, ou seja, o termopar. Sir Humphrey Davy verificou que metais tinham coeficiente positivo de temperatura e podiam ser usados para medição.

Termômetros comuns| Topo pág | Fim pág |

São bastante conhecidos e, por isso, não são dadas maiores informações nesta página. Existem basicamente dois tipos:

Expansão de fluido: são os conhecidos termômetros de mercúrio ou outros líquidos como álcool.

Bimetálicos: bastante encontrados em indústrias, usam lâminas bimetálicas (dois metais de coeficientes de expansão térmica diferentes, unidos entre si), que se deformam pela ação do calor e acionam mecanismos com ponteiros para indicação do valor. A precisão não é das melhores.

Há também o indicador do tipo mudança de estado: na realidade são pequenas fitas com materiais que mudam de aspecto sob determinadas temperaturas. Em geral a indicação é irreversível. Servem para informar se um equipamento ou produto não excedeu uma determinada temperatura no período em que ficou instalado.

É óbvio que os termômetros só servem para indicação de temperatura. Embora seja possível imaginar algum meio, na prática não é viável a transformação da indicação em sinal elétrico para controle de processo. A geração de sinais elétricos em função da temperatura é feita por sensores térmicos. Nos tópicos seguintes, princípios e outros dados de alguns tipos.

Termistores| Topo pág | Fim pág |

Termistores são resistores sensíveis à temperatura. Os elementos resistivos são óxidos de metais como manganês, níquel, cobalto, cobre, ferro, titânio. A figura abaixo dá a ilustração de um tipo comum.

Existem duas variedades básicas de termistores: os de coeficiente positivo de temperatura (PTC) e os de coeficiente negativo de temperatura (NTC). Nos primeiros a resistência aumenta com a temperatura e o contrário nos segundos.

Figura 01

O tipo NTC é mais usual na medição e controle de temperatura. Mas não é muito usado em processos industriais, provavelmente pela falta de padronização entre os fabricantes.

O termistor NTC é um dos sensores de temperatura que dão a maior variação da saída por variação de temperatura, mas a relação não é linear.

A relação entre resistência e temperatura é dada pela equação de Steinhart & Hart:

T = 1 / (a + b ln R + c ln R3) #A.1#

Onde os coeficientes a, b e c são característicos de cada modelo e informados pelos fabricantes. A Tabela 01 dá as principais características de um tipo comum, 44004, fabricado pela YSI.

Resistência a 25°C 2252 ohms

Faixa de medição −80 a +120°C típico (250°C max)

Tolerância ±0,1 ou ±0,2°C

Estabilidade em 12 meses < 0,02°C a 25°C e < 0,25°C a 100°C

Constante de tempo < 1,0 s em óleo e < 60 no ar calmo

Auto-aquecimento 0,13 °C/mW em óleo e 1,0 °C/mW no ar

Coeficientes a = 1,4733 10−3 b = 2,372 10−3 c = 1,074 10−7

Dimensões 2,5 x 4 mm

Pode-se notar que a temperatura máxima não é das mais elevadas, outro fator que limita o uso industrial. Uma aplicação típica de termistores é na proteção

de circuitos de potência.

Sensores de semicondutor| Topo pág | Fim pág |

Parâmetros elétricos dos semicondutores variam com a temperatura. E, por isso, eles podem ser usados como sensores térmicos.

Figura 01

Um simples diodo de silício diretamente polarizado conforme Figura 01 (a) é provavelmente o mais barato sensor de temperatura que pode existir.

A tensão lida no voltímetro varia com a temperatura na razão aproximada de 2,3 mV/ºC. A corrente de polarização deve ser mantida constante com uso de uma fonte de corrente constante.

Na prática, o diodo funciona como um resistor cuja resistência varia com a temperatura.

Diversos fabricantes desenvolveram diodos específicos para a função. A curva em (b) da mesma figura é característica do tipo KTY81 da Philips. Alguns fabricantes também desenvolveram transistores para a mesma função.

Entretanto, sempre há necessidade de circuitos auxiliares para compensar falta de linearidade e para levar o sinal a níveis de operação do circuito de controle. Para isso, vários fabricantes produzem o conjunto sensor / circuitos auxiliares em forma de circuito integrado. Existem tipos analógicos com saída de tensão ou saída de corrente e os de saída digital para uso com microcontroladores.

RTDs| Topo pág | Fim pág |

RTD é abreviação inglesa de Resistance Temperature Detector. A base do funcionamento é o conhecido fenômeno da variação da resistência elétrica dos

metais com a temperatura. Os metais mais usados são platina, níquel, cobre, ferro, molibdênio e/ou ligas dos mesmos.

Embora os sensores vistos nos tópicos anteriores usem princípios similares, em geral eles não são classificados como RTDs, uma vez que os elementos resistivos não são metais, mas sim óxidos e semicondutores.

Figura 01

Na Figura 01, esboços dos dois tipos comuns de RTD:

Em (a), o RTD de fio (o fio metálico é enrolado em forma de espiral dentro de um tubo cerâmico com suportes e outros detalhes não mostrados).

Em (b), o RTD de filme (um filme metálico é depositado sobre uma placa de cerâmica). O RTD de filme é também colocado no interior de um tubo para proteção.

A variação da resistência elétrica com a temperatura de um fio metálico é dada pela relação:

R(t) = R0 (1 + a t + b t2 + c t3) #A.1#. Onde:

R0 é a resistência a 0ºC.Coeficientes a, b e c são características do metal ou liga.

O resultado prático é uma variação bastante pequena de resistência e circuitos adequados devem ser usados. Ver no gráfico da Figura 02 a comparação com um termistor típico.

Figura 02

É praxe a especificação térmica de um RTD ser dada pelo coeficiente médio (α) de temperatura na faixa de 0 a 100ºC. Assim,

α = (R100 − R0) / (100 R0) #B.1#. Unidade 1/ºC.

Pequenas proporções de impurezas ou elementos de liga podem afetar consideravelmente o coeficiente de temperatura. Algumas vezes, impurezas são propositalmente adicionadas para contrabalançar o efeito de impurezas existentes de difícil remoção.

Embora, para o caso de RTDs, seja desejável a maior variação possível de resistência com a temperatura, em outros casos deve ser o contrário. Exemplo: uma liga de 84% Cu 12% Mn 4% Ni quase não apresenta variação com a temperatura. É usada para fabricar resistores de precisão.

Segue tabela comparativa para alguns metais e ligas mais usados.

Metal Faixa ºC Alfa Observações

Cobre Cu−200/26

00,00427 Baixo custo

Molibdênio Mo−200/20

00,00300 e 0,00385

Opção de menor custo p/ Pt em faixa limitada

Níquel Ni −80/260 0,00672O custo é baixo mas a faixa é

limitada

Níquel-ferro

Ni-Fe

−200/200

0,00518 Baixo custo

Platina Pt−240/66

00,00385 e 0,00392

Boa precisão

RTDs de cobre

Cobre é raramente usado para essa finalidade e parece não haver padrões internacionais. Quando usado, é comum um coeficiente α = 0,00427 1/ºC. Na faixa de temperatura 0 a 200ºC e se não há necessidade de muita precisão, pode ser empregada uma relação simplificada:

R(t) = R0 (1 + 0,00427 t) #C.1#.

RTDs de molibdênio

O material cerâmico alumina (óxido de alumínio) tem coeficiente de expansão térmica próximo do molibdênio e, portanto, formam um bom conjunto para o tipo filme metálico. O coeficiente do metal é α = 0,00300 1/ºC. Através de dopagem com outros metais, é também disponível com α = 0,00385 1/ºC, o que dá compatibilidade com a platina para uma faixa mais reduzida de temperaturas.

RTDs de níquel

São usados em aplicações onde o baixo custo é importante. Em relação à platina, o níquel tem menor resistência à corrosão e é menos estável em temperaturas elevadas. Por isso, é geralmente usado para ar sem impurezas.

Alguns fabricantes sugerem uma fórmula modificada:

R(t) = R0 (1 + a t + b t2 + d t4 + f t6 ) #D.1#, onde:

a = 5,485 10−3

b = 6,650 10−6

d = 2,805 10−11

f = −2,000 10−17

O coeficiente α é 0,00672 1/ºC. Se não há muita exigência de precisão, pode-se usar:

R(t) = R0 (1 + α t) #D.2#.

RTDs de níquel-ferro

Têm custo ainda menor que o de níquel e são usados em aplicações onde são possíveis e esse aspecto (custo) é fundamental. O fator α é 0,00518 1/ºC.

RTDs de platina

Platina é o metal mais usado por sua resistência à corrosão e estabilidade em altas temperaturas. É empregada uma fórmula modificada:

R(t) = R0 [ 1 + a t + b t2 + c (t − 100) t3 ] #E.1#.

Existem dois padrões internacionais, que diferem no nível de dopagem e, portanto, nos coeficientes:

1) Padrão Pt100:

α = 0,00385055 1/ºCR0 = 100 ohmsa = 3,90830 10−3

b = −5,77500 10−7

c = −4,18301 10−12

Para t entre 0 e 200ºC. Para t entre 0 e 800ºC, os mesmos a e b, mas c = 0. O padrão é usado em muitos países.

2) Padrão USA:

α = 0,0039200 1/ºCR0 = 98,129 ohmsa = 3,97869 10−3

b = −5,86863 10−7

c = −4,16696 10−12

Termopares| Topo pág | Fim pág |

Os sensores anteriores operam basicamente pela variação da resistência elétrica com a temperatura. Isso significa que uma corrente elétrica deve ser fornecida ao elemento sensor.

O termopar opera de modo completamente diverso. Ele gera uma tensão elétrica que tem relação com a diferença de temperaturas entre junções de metais diferentes. A Figura 01 dá o esquema básico do funcionamento.

Figura 01

A junção da extremidade é a junção de medição e fica fisicamente no local do qual se deseja medir a temperatura. As duas junções de conexão dos fios para o dispositivo de medição são as junções de referência ou junções frias. Embora sejam duas, na realidade podem ser consideradas únicas, pois o metal em ambos os condutores é o mesmo (cobre normalmente).

Além da tensão provocada pela diferença de temperaturas entre junções, há a parcela gerada pelo gradiente de temperatura ao longo dos fios. Ao contrário da primeira, ela tem uma relação quadrática com a temperatura e é responsável pela relação não linear do dispositivo.

Notar que junções na mesma temperatura não afetam a saída. Assim, elas podem ser soldadas (as junções produzidas pelo metal da solda estão na mesma temperatura).

Vantagens e desvantagens

Termopares geram sua própria tensão, não requerem corrente de excitação (isso significa que não há erros por auto-aquecimento, que podem ocorrer com os anteriores). São simples, robustos, imunes a vibrações, fáceis de construir, operam em ampla faixa de valores. Por essas características, são amplamente usados em equipamentos industriais.

Certamente as principais desvantagens são o baixo nível da saída (valores típicos estão na faixa de 50 mV), a não linearidade e a necessidade de compensação da temperatura da junção de referência. Com níveis tão baixos

de tensão, cuidados devem ser tomados para evitar ação de interferências (blindagens, fios trançados, etc).

Figura 02

Há diversos arranjos físicos de termopares. Figura 02 dá dois exemplos.

Em (a), o elemento é colocado no interior de um tubo (aço inox com peças internas de cerâmica para evitar contato elétrico ou cerâmica para temperaturas mais altas). Essa construção dá alguma proteção contra ação do meio.

Em (b), o elemento é envolvido por uma barra cerâmica, deixando somente a junção exposta. Há menor proteção, mas as respostas às variações são mais rápidas.

A tabela abaixo relaciona alguns tipos de termopares mais usados.

Tipo

Positivo Negativo Precisão Faixa Observações

B Pt 30%Rh Pt 6%Rh0,5%

>800°C50 a 1820

Para altas temperaturas

C W 5%Re W 26%Re1%

>425°C0 a

2315Para temperaturas muito

altas

D W 3%Re W 25%Re1%

>425°C0 a

2315Para temperaturas muito

altas

E Ni 10%Cr Cu 45%Ni0,5% ou

1,7°C−270 a 1000

Uso geral para temperaturas médias e

baixas

G W W 26%Re1%

>425°C0 a

2315Para temperaturas muito

altas

J Fe Cu 45%Ni0,75% ou

2,2°C−210 a 1200

Alta temperatura em atmosfera redutora

K Ni 10%CrNi 2%Al

2%Mn 1%Si0,75% ou

2,2°C−270 a 1372

Uso geral, alta temperatura em atmosfera oxidante

M Ni Ni 18%Mo0,75% ou

2,2°C−50 a 1410

NNi 14%Cr

1,5%SiNi 4,5%Si 0,1%Mg

0,75% ou 2,2°C

−270 a 1300

Substituto melhor para o tipo K

R Pt 13%Rh Pt 0,25% ou −50 a De precisão, para alta

1,5°C 1768 temperatura

S Pt 10%Rh Pt0,25% ou

1,5°C−50 a 1768

De precisão, para alta temperatura

T Cu Cu 45%Ni0,75% ou

1,0°C−270 a

400

Uso geral p/ baixa temperatura, resistente à

umidade

Compensação

Conforme já dito, a tensão do termopar é função da diferença de temperaturas das junções de medição e de referência. Por estar junto do equipamento, a temperatura desta última é normalmente acima da temperatura ambiente. E o que se deseja saber é a temperatura da junção de medição e não essa diferença. Um meio de se evitar isso é o uso de cabos especiais, dos mesmos metais dos elementos do termopar ou ligas com características termoelétricas similares. Assim, eletricamente não há a junção de referência. É como se o termopar se estendesse até o dispositivo de medição.

Figura 03

Outra possibilidade são circuitos de compensação conforme Figura 03, que dispensam cabos especiais, podendo ser usados condutores de cobre.

As junções de referência devem estar em um bloco de material isolante com alguma condutividade térmica, de forma que um sensor (termistor ou RTD) capta a temperatura real da junção.

Na medição analógica (a), o sinal do sensor de temperatura é amplificado para um nível tal que o somador compensa a tensão gerada pela junção de referência. No arranjo digital (b) o circuito de medição faz o processamento. É uma solução melhor. Em caso de mudança do tipo de termopar, o ajuste pode ser facilmente executado via software.

O circuito de medição também deve compensar a não linearidade da função tensão x temperatura do termopar.

Termopares também podem ser ligados em série, formando uma termopilha. Com isso, a tensão de saída é aumentada, amenizando o problema da baixa tensão individual.

Figura 04

No diagrama da figura ao lado, a tensão V é proporcional à diferença de temperaturas Ta − Tb.

Termopilhas com dezenas ou centenas de termopares são usadas em instrumentos como medidores de fluxo de calor, radiômetros e outros. Podem ser construídas com fios ou outras técnicas como eletrodeposição.

O efeito termoelétrico também pode ser usado para gerar energia. Geradores termoelétricos foram usados em algumas sondas espaciais. Com termopilhas e ligas especiais para maximizar a corrente. A fonte de calor é um material radioativo como o plutônio e o resfriamento é dado pela dissipação no espaço. Geradores desse tipo podem fornecer dezenas de watts por vários anos. Entretanto, os perigos da radioatividade impedem o emprego em outras áreas.

O termopar pode operar de forma inversa, isto é, se uma corrente é aplicada no mesmo, uma junção aquece e a outra esfria. Isso é chamado efeito Peltier e é usado em pequenos dispositivos de refrigeração.

Esta página contém algumas informações sobre sensores de temperatura que operam sem contato com os corpos, isto é, medem pela radiação emitida (infravermelha, na maior parte).

São bastante úteis quando não é prático nem seguro o contato direto, como metais fundidos, redes elétricas energizadas, objetos móveis, etc. E em muitas outras aplicações técnicas e científicas.

Radiação emitida por um corpo negro| Topo pág | Fim pág |

Aqui será considerada somente a radiação emitida por um corpo negro ou irradiador ideal. Isso torna as considerações mais fáceis e vale de uma forma aproximada para os reais. Algo semelhante ao gás perfeito no estudo dos gases.

Um corpo negro pode ser definido como um sólido cujas propriedades de emissão luminosa não dependem do material e variam de forma simples com a temperatura. Na prática, uma cavidade simula um corpo negro com bastante

aproximação.

A Figura 01 ao lado mostra o espectro da potência irradiada por unidade de área (ou melhor, radiância espectral) de um corpo negro para algumas temperaturas.

Notar que, para temperaturas usuais de processos, a maior parte da radiação está fora do espectro visível, no infravermelho. Essas curvas teóricas são definidas pela equação de Plank:

Figura 01

R(λ) = ( c1/λ5 ) [ 1/e(c2 / λ T) − 1 ] #A.1#.

Onde:

c1 = 2 π c2 h #A.2#.c2 = h c / k #A.3#.

λ: comprimento de onda.T: temperatura absoluta.c: velocidade da luz.k: constante de Boltzmann (≈ 1,38054 10−23 J/K). h: constante de Planck (≈ 6,625 10−34 J s).

Obs: no gráfico da figura está considerada a freqüência e não o comprimento de onda. Mas é facilmente conversível pela relação:

f = c / λ #B.1#.

A radiância é dada pela integração da radiância espectral:

R = ∫0...∞ R(λ) dλ #C.1#.

Para um corpo negro a radiância Rc é dada por:

Rc = σ T4 #C.2#. Onde

σ: constante de Stefan-Boltzmann (5,6704 10−8 W m−2 K−4).T: temperatura absoluta.

Para um corpo real, vale:

R = ε Rc = ε σ T4 #C.3#.

O fator ε é chamado emissividade que, para o corpo real, depende da temperatura. Naturalmente, para o corpo negro, ela é constante e igual a 1.

Radiação emitida por um corpo negro na faixa visível| Topo pág | Fim pág |

O gráfico da Figura 01 deste tópico é uma ampliação logarítmica do gráfico do tópico anterior na região visível do espectro, indicada pelo círculo de linha tracejada.

Figura 01

O resultado confirma, de forma fiel, o que se observa na prática. Seja um metal por exemplo. A radiação emitida começa a ser visível por volta de 500ºC com um vermelho escuro, significando que a maior parte da radiação visível está na faixa inferior (vermelho) do espectro visível. E a curva correspondente mostra isso claramente.

Com o aumento da temperatura, além da maior potência, as curvas ficam cada vez mais "horizontais", ou seja, o espectro emitido tende para uma distribuição mais uniforme de cores, correspondendo à tendência para o branco na observação prática.

Entretanto, a simples observação visual não permite uma determinação precisa da temperatura. No máximo, uma avaliação aproximada sujeita a erros grosseiros.

O pirômetro ótico| Topo pág | Fim pág |

Conforme dito no tópico anterior, a vista humana não consegue avaliar precisamente valores absolutos de radiação. Mas as coisas ficam bem melhores na comparação.

Figura 01

A primeira patente de que se tem notícia é de 1899. E a produção comercial teve início em 1917.

A operação é simples (ver Figura 01): a corrente que passa pelo filamento de uma lâmpada é regulada até que sua cor fique igual à da radiação (o filamento "desaparece").

E o amperímetro pode ter sua escala gravada em unidades de temperatura para uma indicação direta.

Apesar de bastante superior a uma observação direta, ainda há uma certa imprecisão. E não há possibilidade de uma indicação automática, sempre necessitando da ação humana em cada medição. Também não podem ser medidas temperaturas mais baixas, na faixa de não emissão de radiação visível. Portanto, os sensores térmicos sem contato vieram preencher as lacunas dos pirômetros óticos.

Medição com sensores| Topo pág | Fim pág |

A Figura 01 dá um diagrama básico de um medidor de temperatura com sensor (ou detector) de radiação. O conjunto ótico (lentes, espelho, filtros) dirige a radiação para o sensor e permite a observação visual para focalizar o local desejado.

Figura 01

O uso de sensores apresenta, entretanto, um problema: de acordo com a equação de Plank no tópico inicial desta página, qualquer corpo com temperatura acima de zero absoluto emite radiação. Se os valores a medir são baixos, a emissão do próprio sensor e de partes próximas são significativas e mascaram o resultado.

Uma solução que pode ser e é usada é o resfriamento do sensor com líquidos criogênicos como nitrogênio líquido. Mas não é prático para equipamentos móveis ou portáteis.

Na figura, o obturador rotativo é um disco com aberturas, de forma que a radiação recebida pelo sensor é pulsante. A radiação emitida pelo sensor e de partes próximas é contínua. No circuito eletrônico a parte pulsante é facilmente separada da contínua com o uso de filtros, eliminando, portanto, o efeito da radiação residual.

No lugar (ou além) do visor, alguns instrumentos podem ter um feixe de laser para posicionamento no local desejado.

Sensores| Topo pág | Fim pág |

Os tipos usados são classificados em dois grupos básicos: térmicos e quânticos. Segue descrição de ambos.

Térmicos:

1) Termopilhas de dimensões reduzidas, fabricadas por eletrodeposição ou outros processos conforme mencionado na página anterior.

2) Piroelétricos: o fenômeno da piroeletricidade (formação de potencial elétrico devido ao aquecimento) está presente em alguns minerais como quartzo e turmalina. Os materiais piroelétricos também são piezelétricos, os dois fenômenos estão relacionados. Alguns materiais piroelétricos artificiais são nitrato de césio (CsNO3), nitreto de gálio (GaN), polifluoreto de vinila e alguns outros compostos orgânicos. O efeito piroelétrico é conhecido desde o século

19. Foi assim batizado pelo cientista escocês Sir David Brewster em 1824.

3) De resistência: podem ser filmes metálicos ou mesmo fios, que operam de forma similar a termistores e outros já vistos na página anterior.

Em geral os sensores térmicos não precisam de resfriamento e têm menor custo.

Quânticos:

Os fótons da radiação incidente causam mudanças nas propriedades elétricas ou geram potencial.

1) Fotocondutivos: no sulfeto de chumbo (PbS) e no seleneto de chumbo (PbSe) a radiação é medida pela variação da resistência.

2) Fotovoltaicos: em materiais como silício, germânio, antimoneto de índio, a radiação é medida pela tensão gerada.

A sensibilidade e a velocidade de resposta dos sensores quânticos é superior à dos térmicos, mas alguns precisam de resfriamento e o custo é maior.

Outras considerações

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Os sensores de radiação (ou de infravermelho, denominação mais comum) podem ser usados em uma variedade de aparelhos. Podem ser apenas termômetros para indicação da temperatura em um ponto. Ou podem ser os chamados "termopares infravermelhos", cujas saídas são usadas para controlar temperatura de processo, de forma similar aos termopares convencionais. Podem ser tipo scanner, com espelhos para varrer uma superfície e calcular a temperatura média. E também aparelhos de imagem térmica, similares às câmeras digitais.

A emissividade da superfície deve ser conhecida, pois os instrumentos são calibrados pela radiação do corpo negro (ε − 1). Se não for aplicada a correção, a temperatura lida será menor que a real. Se existirem outras fontes de calor nas proximidades, elas podem afetar a leitura.

Refrigeração I: ciclo, fluido, processo de compressão

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Diagrama pressão x entalpia |O circuito de refrigeração |

O ciclo no diagrama |Valores do ciclo de refrigeração |

geralFluidos, calor, frio,

etcInformáticaMatemática

Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Diagrama pressão x entalpia| Topo pág | Fim pág |

Na série Termodinâmica, é dado exemplo de diagrama temperatura x entropia para mudanças de estado líquido/gás. É mais comum o uso do diagrama pressão x entalpia para o estudo do ciclo de refrigeração. A Figura 01 dá um exemplo típico. Aqui são considerados somente estados abaixo do ponto crítico (ver definição na série citada).

É importante observar as linhas de propriedades termodinâmicas constantes, pois isso facilita a análise do ciclo. As linhas de pressão e entalpia constantes são obviamente retas perpendiculares aos respectivos eixos.

Figura 01

A linha de líquido saturado marca o início da vaporização, ou seja, nela ainda há 100% de líquido e 0% de vapor. E pontos à sua esquerda significam líquidos abaixo da temperatura de vaporização ou sub-resfriados.

A linha de vapor saturado marca o fim da vaporização e nela há 100% de vapor e 0% de líquido. Pontos à direita são vapores acima da temperatura de evaporação, ou vapores superaquecidos.

Entre as duas linhas, há misturas de líquido e vapor e as proporções de cada são tanto maiores quanto mais próximas das respectivas linhas de saturação. Considerando o vapor, as linhas verdes indicam proporções constantes (a da esquerda, 10% de vapor e a da direita, 90% de vapor).

Notar que as linhas de temperatura constante são diferentes de acordo com a região do diagrama. Na área do líquido, é uma reta praticamente vertical, devido à sua incompressibilidade. Na vaporização (ou no processo inverso da condensação), é uma linha horizontal, uma vez que, sob pressão constante, há somente troca de calor latente. Na parte gasosa, uma curva próxima do formato indicado.

O circuito de refrigeração| Topo pág | Fim pág |

A Figura 01 abaixo dá o esquema do circuito clássico de refrigeração.

Figura 01

Recebendo um trabalho externo, o compressor aumenta a pressão do gás, que se condensa pela troca de calor com o ambiente.

Ao chegar à válvula de expansão, o gás está na fase líquida e a perda de carga devido ao estrangulamento reduz a pressão e o líquido é evaporado, retirando calor do meio que se deseja refrigerar e reiniciando o ciclo ao retornar para o compressor.

O ciclo no diagrama| Topo pág | Fim pág |

A Figura 01 mostra o ciclo de refrigeração no diagrama pressão x entalpia. É uma aproximação da situação real, uma vez que, por exemplo, não são consideradas perdas de carga e trocas de calor nas tubulações que ligam os dispositivos.

A compressão se dá teoricamente de forma adiabática. Portanto a linha AB é uma isentrópica (isso não é indicado no gráfico da Figura 01 do Tópico Diagrama pressão x entalpia por questão de clareza).

Figura 01

A condensação é isobárica e ocorre sob temperatura constante, com redução da entalpia do fluido pela troca de calor com o ambiente (notar que, no diagrama mencionado, linhas isobáricas e isotérmicas, para condensação e evaporação, são coincidentes).

A expansão é isentálpica, com redução da pressão do fluido, que passa para a região líquido + vapor (ponto D).

Na evaporação isotérmica e isobárica, o aumento de entalpia corresponde ao calor removido do refrigerador.

Na saída do compressor, o vapor está superaquecido e o resfriamento para o início da condensação (BB') é também dado pelo condensador. Na saída do condensador, é comum o líquido estar sub-resfriado (C) e não na saturação (C').

Valores do ciclo de refrigeração| Topo pág | Fim pág |

A Figura 01 deste tópico contém o mesmo ciclo anterior, sem a representação gráfica dos dispositivos. Desde que é um processo de fluxo contínuo, os valores de entalpia são específicos, isto é, por unidade de massa de fluido (kJ/kg, kcal/kg, etc).

O efeito de refrigeração é a quantidade de calor removida do refrigerador, o que corresponde à variação de entalpia no processo de evaporação. Assim,

qref = hA − hD #A.1#.

O trabalho de compressão é dado por:

wcomp = hB − hA #B.1#.

O calor cedido pelo condensador é calculado por:

qcond = hC − hB #C.1#.

Figura 01

Notar que o valor é negativo, significando sentido contrário ao do efeito de refrigeração.

O coeficiente de eficiência é a relação entre o efeito de refrigeração e o trabalho de compressão:

cef =hA − hD

#D.1#.hB − hA

A capacidade de um refrigerador Q é normalmente dada pela quantidade de calor removida por unidade de tempo (watt, kcal/h, etc). Assim, o fluxo de massa do fluido é calculado por:

Qm =Q

#E.1#.qref

Portanto, a vazão volumétrica na entrada do compressor é

V = Qm vA, onde vA é o volume específico em A. Substituindo os valores,

V =Q vA

#F.1#.hA − hD

A relação de compressão é dada por:

rcomp =pB

#G.1#.pA

Com as igualdades informadas, é perfeitamente possível o projeto e cálculo de um ciclo de refrigeração para uma determinada capacidade do refrigerador, se disponível um diagrama pressão x entalpia com as curvas de volume específico e temperatura para o fluido a ser usado.

Os ciclos reais, é claro, são um pouco diferente dos ideais. Além do sub-resfriamento do líquido (C'C), o vapor na entrada do compressor está superaquecido, isto é, o ponto A não está exatamente na linha de saturação. E

os processos de condensação e evaporação não são perfeitamente isotérmicos, ou seja, as linhas BC e DA são ligeiramente inclinadas.

Fluido refrigerante| Topo pág | Fim pág |

Propriedades físicas, químicas e outras restringem o universo das substâncias fluidas que podem ser usadas em circuitos de refrigeração. Os seguintes atributos são desejáveis para um fluido refrigerante:

• não tóxico e não inflamável.

• alto calor de vaporização para minimizar a quantidade de refrigerante e o tamanho do equipamento.

• baixo volume específico no estado vapor para minimizar o tamanho do compressor.

• baixo calor específico no estado líquido para minimizar a transferência de calor no sub-resfriamento do líquido condensado.

• baixa pressão de na temperatura de condensação projetada para evitar compressores de alta pressão.

• pressão de evaporação maior que a da atmosfera para evitar entrada de ar em caso de vazamento.

Os primeiros fluidos refrigerantes usados foram amônia, dióxido de enxofre, cloreto de metila e cloreto de metileno. Desses, somente amônia continua em uso atualmente.

A amônia é o fluido de maior efeito refrigerante, mas com desvantagens: é tóxica e inflamável sob certas condições. Por isso, o seu uso é limitado a instalações de grande porte, onde o fator energético é importante e em geral há procedimentos de segurança e pessoal especializado na operação dos equipamentos. O risco e a incompatibilidade com certos materiais impedem o emprego em aparelhos domésticos, ar condicionado e similares.

Por volta de 1930 foram introduzidos os compostos de cloro, flúor e carbono (CFC). Além de propriedades térmicas adequadas, não apresentam toxidade e não são inflamáveis. Também foram amplamente usados em alguns processos industriais.

Veja a seguir algumas características de alguns mais usados desde então (o fluido refrigerante é designado pela letra R seguida de um número que o identifica):

R-11 (CCl3F): ebulição 23,7ºC a 1 atm. Apresenta alta temperatura de evaporação e moderada temperatura de condensação. Usado em grandes instalações de resfriamento de água com compressores centrífugos.

R-12 (CCl2F2):ebulição -29,8ºC a 1 atm. Baixa temperatura de evaporação e moderada temperatura de condensação. Empregado em uma variedade de equipamentos, desde refrigeradores domésticos até instalações de médio e grande porte com compressores centrífugos.

R-22 (CHClF2): ebulição -40,8ºC a 1 atm. Baixa temperatura de evaporação e moderada temperatura de condensação. Amplamente empregado em instalações comerciais e industriais e em ar condicionado.

R-502 (CHClF2 48,8% + C2ClF5 51,2%): ebulição -45,6ºC a 1 atm. É uma mistura azeotrópica (a temperatura de ebulição é única, como se fosse uma só substância. Em misturas zeotrópicas, a ebulição ocorre em uma faixa de temperaturas). Usado em pequenos equipamentos, comerciais e industriais, de baixas temperaturas.

R-717 (amônia NH3): ebulição -33,3ºC a 1 atm. Baixa temperatura de evaporação e moderada temperatura de condensação. Usado em instalações de grande porte (fabricação de gelo, armazéns frigoríficos, refrigeração industrial, pistas de patinação, etc).

Passaram-se muitos anos até que, na década de 1970, foi observado um sério problema com o CFC: era o maior responsável pela redução da camada de ozônio na estratosfera, que protege a Terra contra radiações ultravioletas.

Acordos e convenções internacionais foram estabelecidos para eliminar progressivamente o uso do CFC. Foram desenvolvidos compostos à base de hidrogênio, cloro, flúor e carbono (HCFC), que são bem menos nocivos para a camada de ozônio e, por isso, incluídos numa fase intermediária de transição. A transição final deverá ser para compostos de hidrogênio, flúor e carbono (HFC), que não interferem com o ozônio. Mas contribuem para o efeito estufa (aquecimento global), embora em menor escala que o CFC.

Aparentemente, alternativas ecologicamente limpas são a amônia e compostos de hidrogênio e carbono (HC), que também têm boas propriedades termodinâmicas. Conforme dito, amônia é tóxica e inflamável sob certas condições. Compostos de HC são altamente inflamáveis. Tudo isso limita o emprego.

Interação com óleo e água:

Os fluidos refrigerantes em geral absorvem certa quantidade do óleo de lubrificação do compressor. Portanto, uma parte do óleo circula pelo circuito. Se a quantidade for excessiva, há prejuízo para o funcionamento. Quando o equipamento está desligado, a menor temperatura do óleo lubrificante favorece sua absorção pelo fluido refrigerante. Em instalações de médio e grande porte, é comum o uso de resistências elétricas para manter o óleo aquecido quando o equipamento não opera. O óleo pode também ser arrastado em forma de gotículas devido ao fluxo no compressor. Separadores de óleo na saída do compressor podem ser instalados para minimizar o problema.

A amônia tem grande afinidade por água e, portanto, uma pequena quantidade infiltrada não deve trazer problemas. Demais fluidos normalmente não dissolvem água e sua entrada pode provocar congelamentos internos e corrosão. É comum o emprego de dispositivos secadores que removem a umidade pela ação de um agente dessecante (sílica-gel e outros).

Interação com materiais:

Cobre e latão são bastante usados em circuitos de refrigeração devido à boa condutividade térmica, resistência à corrosão, facilidade de conformação e soldagem. Não podem ser usados com amônia, pois esta reage com metais não ferrosos.

O processo de compressão| Topo pág | Fim pág |

Conforme pode ser visto na série Termodinâmica, as relações entre volumes, pressões e temperaturas para mudança de condições térmicas de um gás (considerado ideal) entre dois pontos genéricos 1 e 2 são dadas por:

v1= (

p2 )1/n

= (T2 )

1/(n−1)

v2 p1 T1

Os processos práticos de compressão podem ser considerados adiabáticos, isto é, sem troca de calor com o meio externo. Neste caso, o parâmetro n da fórmula anterior é dado por:

n =cp

cv

Onde cp e cv são respectivamente os calores específicos sob pressão e volume constantes (para ar n = 1,4, amônia n = 1,3, R-22 n = 1,2).

O gráfico no centro da Figura 01 representa um ciclo de compressão. Portanto, a fórmula e parâmetro n dados valem para as transformações 12 e 34 (compressão e expansão).

As transformações 23 e 41 são isobáricas e, neste caso, vale:

v2=T2

. Ou de forma similar para 41.v3 T3

O esquema da figura é de um compressor alternativo. As mesmas considerações são válidas para outros tipos.

Figura 01

Em 1, o pistão está no ponto morto inferior e ambas as válvulas fechadas. O gás é comprimido de forma adiabática até 2, quando a válvula de escape é aberta e escoa de forma isobárica pelo movimento do pistão até o ponto 3 (ponto morto superior). Nesse instante a válvula de escape é fechada. O gás contido no espaço entre o ponto morto superior e o cabeçote do cilindro se expande até o ponto 4, quando a pressão no interior do cilindro se iguala à pressão da linha de sucção, a válvula de admissão é aberta e o gás é admitido de forma isobárica até o pistão chegar no ponto morto inferior 1, quando a válvula de admissão é fechada e o ciclo reiniciado.

Para um compressor alternativo, o deslocamento volumétrico V (em metros cúbicos por hora) é dado por:

V = (π/4) D2 L 60 N nc #A.1#.

Onde D é o diâmetro interno do cilindro em metros, L é o comprimento entre as posições 1 e 2 em metros, N é o número de rotações por minuto e nc é o número de cilindros.

E a potência teórica em quilowatts necessária para a compressão é dada por:

P ≈ 0,000278(hB − hA) V

#B.1#.v

Onde hA e hB são as entalpias de entrada e saída do gás em kJ/kg conforme Figura 01 do Tópico O ciclo no diagrama, V é o deslocamento volumétrico em

m3/h e v é o volume específico do gás na entrada em m3/kg.

Esses valores são teóricos e os reais são sempre mais desfavoráveis. O deslocamento volumétrico V deve ser multiplicado por um fator menor que 1, que depende das características do compressor (em geral, na faixa de 0,6 a 0,9). A potência P deve ser dividida por um fator menor que 1, que depende da eficiência mecânica do compressor (em geral, na faixa de 0,4 a 0,7).

Refrigeração por absorção| Topo pág | Fim pág |

O compressor mecânico não é o único meio de se manter um ciclo de refrigeração. O sistema de absorção usa a energia térmica de uma fonte de calor (exemplo: vapor ou queima direta de um combustível).

Há necessidade de dois fluidos: o fluido refrigerante, que efetivamente remove calor do meio desejado por evaporação e o fluido absorvente, que deve absorver vapor do refrigerante em baixas temperaturas e ser menos volátil do que este, de forma a liberar vapor de refrigerante por aquecimento.

A Figura 01 dá um esquema básico. Além da fonte de calor (vapor, no caso), existe necessidade de água de resfriamento (torre, por exemplo) nos locais indicados.

A análise começa pela entrada do condensador, que recebe vapor do fluido refrigerante. Este, por sua vez, é condensado pela serpentina de água de resfriamento.

Figura 01

O refrigerante condensado se expande na passagem pela válvula redutora de pressão (tipo válvula de expansão do ciclo anterior) e, no condensador, troca calor com o meio a resfriar (serpentina de água gelada).

Depois da troca de calor, o vapor do refrigerante passa para o absorvedor, onde é dissolvido pela solução de absorvente. Essa passagem ocorre porque a pressão de valor da solução de absorvente e refrigerante é menor do que a pressão no evaporador. Para manter essa condição, é necessário um resfriamento da solução absorvente, uma vez que a dissolução do refrigerante implica redução de volume e, portanto, aquecimento.

No absorvedor, a solução de refrigerante e absorvente tem a maior concentração de fluido refrigerante e, por isso, é chamada de solução forte.

A bomba de recirculação mantém um fluxo contínuo de solução refrigerante e absorvente entre o absorvedor e o gerador. Neste último, o aquecimento evapora o refrigerante que, por aumento de pressão, se dirige ao condensador e reinicia o ciclo.

Equipamentos de refrigeração por absorção podem ser alternativa interessante quando se dispõe de fontes residuais de calor, oriundas de processos, que, de outra forma, não seriam aproveitadas. Ou em casos de oferta insuficiente de energia elétrica para acionamento dos compressores do ciclo convencional. Em geral são usadas para fornecer água gelada para condicionamento de ar. Nessa aplicação, normalmente são usados água e solução de brometo de lítio como refrigerante e absorvente respectivamente. A solução pode ser facilmente tratada para o descarte e não prejudica a camada de ozônio nem provoca efeito estufa como os gases do ciclo convencional. Mas os equipamentos são mais volumosos e mais caros.

Fluidos : Teorema do transporte de Reynolds

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Referências lagrangeana e euleriana |Teorema do transporte de Reynolds |

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calor

Referências lagrangeana e euleriana| Topo pág | Fim pág |

No estudo dos fluidos, há duas referências básicas para a descrição de uma propriedade genérica:

• Na descrição lagrangeana, a propriedade refere-se a uma partícula que segue o seu movimento na corrente do fluido. É adotado um símbolo próprio para a derivada em relação ao tempo:

#A.1# (denominada derivada substancial ou derivada material)

• Na descrição euleriana, a propriedade refere-se a um ponto fixo no espaço, no interior da corrente do fluido. É usado o símbolo de derivada parcial para a derivada em relação ao tempo:

#B.1#

Como exemplo prático, sejam estes dois meios de se medir a variação da temperatura da água de um rio: um termômetro preso a um flutuador que a acompanha a corrente (lagrangeana) e um termômetro fixo em determinado local (euleriana).

Para uma propriedade genérica φ, conforme visto na página Equações de Navier-Stokes - Pg 1, a relação entre as variações lagrangeana e euleriana é dada por:

#C.1#

Onde ux uy uz são os componentes do vetor velocidade u, isto é:

u = ux i + uy j + uz k #C.2# (i j k são vetores unitários nos eixos de coordenadas)

Com o uso de operadores vetoriais, a relação #C.1# pode ser escrita de forma compacta:

#D.1#

O termo u· Φ é denominado variação convectiva da propriedade Φ.

Teorema do transporte de Reynolds

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Este tópico começa com a lembrança da classificação de propriedades, de uso na Temodinâmica e na Mecânica dos Fluidos:

• Propriedade extensiva é uma grandeza que depende diretamente da massa do sistema (exemplos: energia interna, volume, etc).

• Propriedade intensiva é uma grandeza que depende apenas do estado do sistema e não da massa (exemplos: massa específica, pressão, temperatura, etc).

Vale também lembrar conceito de volume de controle (VC), uma abstração matemática dada por um volume no espaço, pelo qual o fluido escoa. A superfície que envolve o volume de controle é denominada superfície de controle (SC).

O teorema do transporte de Reynolds estabelece a correspondência entre uma propriedade de uma porção fixa de massa na referência lagrangeana e a equivalente na referência euleriana.

Seja B uma propriedade extensiva de um sistema, como massa, energia, momento. E seja β a propriedade intensiva correspondente, isto é, a propriedade extensiva por unidade de massa. Considerando m massa, ρ massa específica e V volume, pode-se escrever as relações:

#A.1#

E o teorema do transporte de Reynolds pode ser dado na forma:

#B.1#

Onde u é velocidade relativa ao volume de controle e dS é vetor normal à superfície dS e de módulo dS.

E as parcelas podem ser descritas como:

Variação total de uma propriedade extensiva do sistema.

Variação da propriedade extensiva no interior do volume de

controle, medida por um observador que acompanha o

movimento do volume de controle.

Variação líquida da propriedade extensiva através da superfície de

controle.

Ventiladores - Algumas considerações sobre

rendimento

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Introdução |Potência e rendimentos |

Ventiladores axiais |Ventiladores radiais |Axial versus radial |

Curva característica |Curva da instalação |

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Termodinâmica / transmissão de

calor

Introdução| Topo pág | Fim pág |

Ventiladores são máquinas que produzem fluxos de ar ou outros gases, com vazões relativamente altas e pressões baixas. A utilização é ampla. Há uma variedade de aplicações domésticas, comerciais e industriais.

Embora possam ser usados com qualquer gás, na prática o ar está quase sempre presente, seja na forma natural como climatização e ventilação, seja misturado com outros gases como exaustão de fornos e outros. Assim, nesta página, o ar será o gás considerado.

Figura 01

Teoricamente um ventilador pode ser considerado um compressor de ar. Mas a distinção ocorre porque, sendo baixas as pressões de saída, os aspectos termodinâmicos da compressão podem ser desprezados sem grandes erros e a análise pode ser feita apenas com a equação de Bernoulli.

No esquema da Figura 01, desprezando a compressibilidade, a vazão volumétrica Q é a mesma na entrada (e) e na saída (s).

Se entre os pontos (e) e (s) houvesse um simples escoamento e desprezando as alturas físicas deles por se diferença muito pequena, a equação de Bernoulli em parcelas de alturas seria:

Pe

+Ve

2

=Ps

+Vs

2

#A.0#. Onde P são pressões, V velocidades e μ a massa específica do ar.

μ g

2 g

μ g

2 g

Mas o ventilador fornece energia ao fluxo. Assim deve ser considerada uma parcela de altura Hef, que corresponde à essa energia fornecida:

Pe+Ve

2

+ Hef =Ps

+Vs

2

#A.1#.μ g 2 g μ g 2 g

Isso significa que a energia fornecida é igual à soma das variações de pressões estática e dinâmica do ar. Notar que Hef corresponde à energia efetivamente adicionada ao fluxo. Não corresponde à energia consumida pelo motor, uma vez que, conforme princípios da Termodinâmica, a eficiência das máquinas é sempre menor do que 100%.

E, rearranjando a equação anterior,

Hef =Ps − Pe

+Vs

2 − Ve2

#B.1#.μ g 2 g

Observar que, se as seções transversais da entrada e saída são iguais, Vs = Ve

e a segunda parcela dessa igualdade é nula.

Potências e rendimentos| Topo pág | Fim pág |

A potência efetiva pode ser obtida pelo produto da altura efetiva, vazão volumétrica e peso específico do ar:

Potef = μ g Q Hef #A.1#.

A potência mecânica é a potência é a potência fornecida pelo motor ao eixo do ventilador. É designada também pela expressão inglesa BHP (break horse power). É dada por:

Potmec =Potef

#B.1#η

Onde η (0 < η < 1) é o rendimento do ventilador (refere-se ao ventilador somente. O motor também tem o seu rendimento e, para o conjunto, ele deve ser considerado. Mas esta página trata apenas do ventilador).

O rendimento é um fator importante. Afinal, trata-se de consumir mais ou menos energia. Ele depende do tipo de ventilador, das características construtivas e das condições de operação, de forma similar às bombas para líquidos. Tais aspectos são comentados nos próximos tópicos.

Ventiladores axiais| Topo pág | Fim pág |

Os ventiladores axiais formam o grupo ao qual pertencem os ventiladores residenciais comuns, isto é, usam hélices para produzir o fluxo. A Figura 01 abaixo dá alguns arranjos típicos, sem outros detalhes construtivos.

Figura 01

O arranjo indicado por A é para utilização sem dutos, em geral instalado em paredes, para fins de exaustão ou ventilação de ambientes.

Em B, o conjunto hélice/motor é montado em um trecho de duto circular, permitindo o acoplamento com outros dutos.

No arranjo C existem aletas fixas posteriores com a finalidade de direcionar o movimento espiralado do ar na saída da hélice para um movimento retilíneo ao longo do duto. Isso melhora o rendimento.

Existem outras construções: por exemplo, motor externo ao duto e acionamento por correias.

Ventiladores radiais| Topo pág | Fim pág |

O ventilador radial tem sua construção característica: pás são distribuídas radialmente formando um rotor parecido com um cilindro e o fluxo ocorre do

centro para fora do conjunto, ou seja, opera de forma similar a uma bomba centrífuga para líquidos. Também chamado ventilador centrífugo.

Figura 01

O rotor gira dentro de uma carenagem especial, que dirige o fluxo para uma única saída.

A Figura 01 ao lado dá uma idéia do conjunto sem outros detalhes construtivos.

O motor (não indicado na figura) é montado na parte externa e o acionamento pode ser direto ou por correias.

O formato das pás tem significativa influência no rendimento e aplicação do ventilador. A Figura 02 mostra algumas formas usuais. Seguem comentários sobre elas.

Figura 02

A (pás radiais planas): para trabalho pesado, com partículas em suspensão e abrasivas. O rendimento é baixo.

B (pás curvas para trás): vazão média, ar limpo, baixo nível de ruído, alta pressão, rendimento médio.

C (pás curvas para frente): alta pressão, rendimento médio. Permite vazões mais altas com diâmetros menores. Não adequado para abrasivos e materiais pegajosos.

D (pás curvas para frente, saída radial): altas pressões e vazões. Rendimento médio.

E (pás de perfil asa): ar limpo, baixo nível de ruído, bom rendimento.

Além do radial simples, existem configurações mistas (hélico-axiais, etc) que não são do escopo desta página.

Axial versus radial| Topo pág | Fim pág |

Grosso modo, pode-se dizer que os ventiladores axiais são mais adequados para maiores vazões e menores pressões e o contrário para os radiais. Algumas vezes, a forma física define o tipo. Exemplo: para exaustores de parede, os axiais são mais adequados.

Os ventiladores axiais têm em geral rendimentos maiores que os radiais. Valores típicos estão perto de 80% ou acima. Isso ocorre porque a direção do fluxo de saída é a mesma da do fluxo de entrada, ou seja, não há o desvio de 90º dos radiais. Entretanto, os ventiladores radiais são mais usados. Nos Estados Unidos estima-se que, em instalações de ar condicionado, os radiais representem de 80 a 90% do total.

Algumas desvantagens dos axiais: se montados em dutos, a manutenção é mais trabalhosa. O nível de ruído é maior. Embora possam ter motores externos e acionamento por correia conforme já mencionado, os mancais e parte da correia estão em contato com o fluxo. Por melhores que sejam as proteções, isso é sempre uma limitação nos casos de partículas abrasivas, gases corrosivos e altas temperaturas.

Nos ventiladores radiais, a forma construtiva permite que os mancais sejam externos ao fluxo. Isso dá uma efetiva proteção e, no caso de altas temperaturas, o eixo pode ser prolongado ou dispor de discos para dissipar o calor. A forma construtiva também dá uma maior facilidade no trabalho de montagem ou desmontagem do conjunto. Além disso, o tipo radial com pás de perfil asa (E da Figura 02 do tópico anterior) proporciona rendimento próximo do rendimento dos axiais, embora não seja adequado para o caso de partículas abrasivas.

Curva característica| Topo pág | Fim pág |

Figura 01

Os ventiladores têm comportamento parecido com o das bombas centrífugas para líquidos, isto é, para uma mesma rotação, pressão e vazão variam de acordo com uma curva característica e os rendimentos e potências mecânicas também variam.

A Figura 01 ao lado dá a curva de um determinado modelo comercial, tipo radial com pás de perfil asa.

Notar que há um ponto de máximo rendimento e que ele pode cair bastante. Desde que, em geral, ventiladores operam continuamente ou por longos períodos, o correto dimensionamento e projeto da instalação são importantes para evitar desperdícios de energia.

Curva da instalação| Topo pág | Fim pág |

Seja uma instalação simples conforme Figura 01 deste tópico: o ventilador aspira ar no ponto 0 e envia para o ponto 3 através dos dutos da instalação.

Denominando patm a pressão atmosférica, as seguintes premissas são válidas:

• no ponto 0, a velocidade é nula: V0 = 0.• as pressões em 0 e 3 são iguais à da atmosfera: p0 = p3 = patm.• a massa específica do ar é muito baixa se comparada com líquidos. Assim, para a maioria dos casos práticos, as diferenças de alturas físicas entre os pontos pouco representam em termos de pressões. Elas não são consideradas na equação de Bernoulli.

Considerando que, no escoamento real, há perda de carga nos dutos e nos seus acessórios, deve-se incluir em um lado da equação uma parcela J que representa essas perdas. Assim, entre os pontos 0 e 1 pode-se escrever:

p0+V0

2

− J01 =p1

+V1

2

μ g 2 g μ g 2 g

Onde J01 é a perda de carga entre 0 e 1. Substituindo os valores das premissas anteriores:

patm+

02

− J01 =p1

+V1

2

Reagrupando,μ g 2 g μ g 2 g

p1+V1

2

=patm

− J01 #A.1#.μ g 2 g μ g

E, entre 2 e 3, ocorre:

p2+V2

2

− J23 =p3

+V3

2

μ g 2 g μ g 2 g

Figura 01

Substituindo o valor de p3 e rearranjando,

p2+V2

2

= J23 +patm

+V3

2

#B.1#μ g 2 g μ g 2 g

Entre os pontos 1 e 2 (entrada e saída do ventilador) é aplicada a igualdade #A.1# do tópico inicial:

P1+V1

2

+ Hef =P2

+V2

2

μ g 2 g μ g 2 g

Nessa igualdade, o valor de p1 / (μ g) + V12 / (2 g) pode ser substituído pelo

valor da igualdade #A.1# deste tópico e o valor de p2 / (μ g) + V22 / (2 g) pode

ser substituído pelo valor da igualdade #B.1#. Portanto,

patm− J01 + Hef = J23 +

patm+V3

2

μ g μ g 2 g

Suprimindo as parcelas iguais em ambos os lados e explicitando Hef,

Hef = J01 + J23 +V3

2

2 g

Considerando:

• vazão Q = SV, onde S é a área da seção transversal do duto.• velocidade V3 = Q/S3.

Substituindo na igualdade anterior,

Hef = J01 + J23 +Q2

#C.1#2 g S3

2

Notar que J01, J23 e S3 são valores conhecidos pelo cálculo e dimensionamento da tubulação e g é uma constante. Assim, essa igualdade é a função de Hef em relação à vazão para a instalação.

Ora, o ventilador tem sua função Hef = f(Q) dada por uma curva conforme exemplo do tópico anterior.

Figura 02

Assim, traçando ambas no mesmo gráfico, pode-se deduzir que o ponto de operação é a interseção das duas curvas conforme ponto O da Figura 02 A.

E esta análise é importante: inserindo também a curva do rendimento, pode-se ver que, em A, o ventilador trabalha perto do máximo rendimento (o ideal seria neste). Se a curva da instalação fosse como uma das duas do gráfico B, o ponto de operação (O' ou O'') teria um rendimento menor.

A conclusão óbvia é que a escolha adequada do ventilador e o correto dimensionamento da instalação influem significativamente no rendimento e isso se traduz em maior ou menor consumo de energia.

Instalações que precisam de vazão variável podem usar registros tipo borboleta ou similares para aumentar ou diminuir a perda de carga. Como ela é parâmetro da igualdade anterior, a curva da instalação muda e, por conseqüência, o ponto de operação varia, diminuindo ou aumentando a vazão. Entretanto, isso significa trabalho em pontos de menor rendimento.

Uma alternativa melhor é variar a vazão do ventilador. Em outras épocas, isso só era possível com variadores mecânicos de rotação ou motores de corrente contínua. No caso de ventiladores axiais, também por mecanismos que variam o ângulo das pás. Todos esses são equipamentos mais caros ou de manutenção problemática. Atualmente, os conversores de freqüência são capazes de proporcionar o controle com custos razoáveis e pouca manutenção.