flexión y corte
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Flexión y CorteTeoría de Jouravski
Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Es de nuestro interés calcular el eje de un carretón solicitado por un par de fuerzas P y
verificar las tensiones tangenciales
Datos: mlmccmkg
cmkgtP admadm 20,1;30,0;600;1200;8 22
Dado que el sistema posee tanto simetría geométrica como simetría de cargas las reacciones de vínculo en A y B resultan:
tmcPMtPRR BA 4,2;8
Con estos valores, graficamos los diagramas de esfuerzo Flexor y Corte:
Si al reducir al baricentro de la sección en estudio, las fuerzas que actúan a uno u otro lado de la misma se obtiene momento flector M y esfuerzo de corte Q, como por ejemplo en el tramo AC o DB del eje de la figura, la solicitación a la que se encuentra sometido dicho tramo se denomina flexión transversal (flexión y corte asociado)
Dimensionemos en primer término el eje del carretón a la flexión pura, para posteriormente
verificarlo al corte
El momento flector M genera tensiones normales en la sección transversal, tensiones que calculamos con la fórmula de Navier, así:
xxz W
MyJM
32;
2;
64;
3
max
4 dWdydJcPM xx
332dcP
adm
y reemplazando en y despejando d será:
donde, para la sección circular del eje resulta:
cm
cmkgcmkgcPd
adm
131200
30800032323
2
3
Adoptamos como valor inicial para el cálculo, un eje del carretón de diámetro d = 13 cm
Analizamos ahora, el efecto del corte en los tramos del eje AC y DB
Debido a la relación que existe entre M y Q (dM/dz = Q) la presencia de esfuerzo de corte Q implica necesariamente la variación del momento flector M.
La existencia de Q, originará además, tensiones tangenciales en las secciones transversales.
La existencia de tensiones de corte en la sección origina la existencia de deformaciones angulares ( = /G).
En la flexión transversal, a diferencia de la flexión pura, las secciones transversales de la barra no permanecen planas.
El error que se comete al no considerar el alabeo de la sección es del orden de H/L (en valor unitario, donde H es la altura de la sección y L la luz entre apoyos) en el caso de vigas con esfuerzo de corte Q variable, y totalmente nulo en el caso de esfuerzo de corte Q constante.
Por consiguiente en esas condiciones la tensión calculada obtenida para flexión pura, es también válida para flexión transversal.
Por medio de las dos secciones 1-1 y 2-2 distanciadas dz, aislamos un elemento
diferencial del eje
En la dirección “z” actúan las tensiones normales z sobre las caras izquierda y derecha (z1 y z2 respectivamente).
Definimos un plano de corte longitudinal (PCL) situado a una distancia “y” del eje neutro de la sección.
y
Si planteamos el equilibrio en el volumen de control del elemento diferencial del eje situado por sobre el plano de corte longitudinal, las resultantes R1 y R2 de las fuerzas provocadas por las tensiones (z1 y z2) no serán iguales ya que los momentos flectores que las generan difieren en dM.
volumen de control R1 R2
La condición de equilibrio FZi = 0 se puede escribir: R1+H-R2=0
H
PCL
Si suponemos yz = cte tendremos:
y
R1 R2
H
PCLyz
dzbH yyz
*2
**2
xx
FxFz
SJdMMR
dFyJdMMdFR
*1
**1
xx
FxFz
SJMR
dFyJMdFR
y las resultantes R1 y R2 serán:
y
Reemplazando H, R1 y R2 en H = R2 - R1, resulta:
**x
xx
xxyyz S
JdMS
JM
JdMMdzb
yx
x
yx
xyz bJ
SQbJS
dzdM
**
Expresión de Jouravski
El significado de cada factor en la fórmula de Jouravski es:
yx
xyz bJ
SQ
*
yz : tensión de corte longitudinal para la coordenada “y”.
Q: esfuerzo de corte en la sección estudiada (se obtiene del diagrama de esfuerzo de corte y generalmente se utiliza el valor máximo, sea positivo o negativo). El esfuerzo de corte Q depende de la coordenada “x” de la sección donde se calcula yz.
Jx: momento de inercia de la sección respecto del eje “x”.
Sx*: momento estático, respecto al eje “x”
(plano de corte longitudinal), de la parte de la sección transversal que se encuentra por encima de la línea donde se calcula yz.
by: ancho de la sección en correspondencia con la coordenada “y” donde se calcula yz .
Veamos que dice Cauchy respecto a las tensiones yz:
y
R1 R2
H
PCLyzzy
De acuerdo a la ley de reciprocidad de las tensiones tangenciales (Cauchy), en el plano de la sección “xy” que es perpendicular al plano longitudinal “xz”, existen tensiones tangenciales de dirección vertical (zy) que serán numéricamente iguales a las longitudinales horizontales (yz).
dFQF
zy y para que se satisfaga la condición de equilibrio FYi = 0 debe ser:
y para la sección circular del eje resulta:
222 yRby 464
44 RDJ x
el momento estático de la sección ubicado por sobre el plano de corte longitudinal es:
R
y
yy dbSdbdS
R
y
y dRS 222
y reemplazando by será:
23
2223
22
32
32 yRRS
R
y
y
y reemplazando valores tendremos:
42
122
23
22
23
42
RyR
yRQzy
4
22
34
RyRQ
zy
distribución cuadrática
0zyvalor mínimo para y = R
valor máximo para y = 0
FQ
RQ
zy 34
34
2
verificamos las tensiones normales debidas a la flexión y las tangenciales debidas al corte en
los punto C y D
Datos: mlmccmkg
cmkgtP admadm 20,1;30,0;600;1200;8 22
adm
admx
cmkg
cmkg
FQ
cmkg
cmcmkg
WM
22max
23max
max
801338000
34
34
1111216
240000
222
333
max
1334
134
2163213
32
2400003080008000
cmcmdF
cmcmdW
cmkgcmkgcPMkgPRQ
x
A
C D
verificamos las tensiones normales debidas a la flexión y las tangenciales debidas al corte en
los punto C y D
222
2
2max
2
601338000
5562
1111
2
cmkg
cmkg
FQ
cmkgcm
kg
Ryzy
Ryz
las fibras ubicadas a una distancia R del plano de corte longitudinal que contiene al baricentro estarán solicitadas por tensiones = max y = 0
las fibras ubicadas sobre el plano de corte longitudinal que contiene al baricentro estarán solicitadas por tensiones = max y = 0
las fibras ubicadas a distancias intermedias, por ejemplo y = R/2 será:
calculamos las tensiones principales
En el presente estado plano de tensiones (todas las tensiones con subíndice “x” son nulas), las fibras superiores estarán sometidas a compresión mientras que las inferiores a tracción. Las tensiones máximas y mínimas las calculamos como sigue (fibras ubicadas a una distancia y = R/2 del plano de corte longitudinal):
22
2
2
2
222
2
max1 12004,562604
0556
2
0556
42 cmkg
cmkg
cmkgcm
kgcmkg
admzyyzyz
0;60;0;556 255
25
zxxzyxxyRyyzRyzyyxRyz cmkg
cmkg
22
2
2
2
222
2
min2 12004,6604
0556
2
0556
42 cmkg
cmkg
cmkgcm
kgcmkg
admzyyzyz
22
2
2
2
22
2
max 6004,284604
0556
4 cmkg
cmkg
cmkgcm
kg
admzyyz
trazamos la correspondiente circunferencia de Mohr
562,4 kg/cm2 =
= 556 kg/cm2
60 kg/cm2 =
= 60 kg/cm2
Analicemos los resultados obtenidos:
La fibra más solicitada será la ubicada a una distancia R del plano de corte longitudinal que contiene al baricentro de la sección ( = max y = 0)
En este caso resultan ser las tensiones principales: 1 = max = 1111 kg/cm2 < adm y 2 = 3 = 0
Se justifica considerar al corte despreciable (frente a la solicitación por flexión) y dimensionar el eje sólo a flexión simple.
Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
Muchas Gracias