Doktori értekezés tézisei

FÉLCSOPORT VARIETÁSOK SZABAD SPEKTRUMA

Pluhár Gabriella

Matematika Doktori IskolaIskolavezető: Dr. Laczkovich Miklós, MTA tagja

Elméleti Matematika Doktori ProgramProgramvezető: Dr. Szűcs András, MTA levelező tagja

Témavezető: Dr. Szabó Csaba, egyetemi tanár

Eötvös Loránd TudományegyetemTermészettudományi Kar, Algebra és Számelmélet Tanszék

Budapest, 2012.

1

Végesen generált varietásoknál gyakran szoros kapcsolat van a generáló algebrastruktúrája és a varietás szabad spektruma között. Higman [14] és Neumann [22]bizonyította, hogy ha G véges csoport, akkor a G által generált varietásban azn-elem által generált relatív szabad csoport mérete pontosan akkor exponenciálisn-ben, ha G nilpotens, egyébként pedig dupla-exponenciális.A dolgozatban Higman-Neumann típusú tételeket próbálunk keresni félcso-

port varietásokra. Előbb azonban tekintsük át az idevágó eredményeket.Azonos típusú algebrák egy azonosságokkal definiált osztályát varietásnak

nevezzük. Egy varietást végesen generáltnak nevezünk, ha azt egyetlen végesalgebra, A, generálja. Ekkor a varietást V(A)-val jelöljük. Tetszőleges Vvarietásban minden X halmaz esetén létezik úgynevezett X által generáltszabad algebra, jelölése FV(X). Ha |X| = n < ∞, akkor FV(X) jelölés helyettFV(n)-et használunk. FV(n) elemeire úgy is gondolhatunk, mint a V felett„különböző” n-változós kifejezésekre. Ha t = t(x1, . . . , xn) egy n-változóskifejezés, akkor A elemeinek behelyettesítése a változókba meghatároz egyn-változós kifejezésfüggvényt, tA An → A, a 7→ tA(a) (a ∈ An).Mi olyan V varietásokkal foglalkozunk, ahol FV(n) minden n-re véges, azaz

V-ben minden végesen generált algebra véges. Az ilyen varietásokat lokálisanvéges varietásoknak nevezzük. Ekkor a V varietás szabad spektrumán az|FV(n)| (n ∈ N) sorozatot értjük. Egy végesen generált varietás mindiglokálisan véges. Ha V = V(A) egy végesen generált varietás, akkor |FV(n)|éppen az A feletti kifejezésfüggvények száma. Így, ha A elemszáma k, akkorn ≤ |FV(n)| ≤ kk

n. A V varietás pn sorozata az A feletti valódi n-változóskifejezésfüggvények száma. Ekkor |FV(n)| =

∑nk=0

(nk

)pk(A). Az első bekezdés

ezek alapján a következő módon fogalmazható át:Higman [14] és Neumann [22] bizonyította, hogy ha G véges csoport, akkor a

G által generált varietás szabad spektruma exponenciális n-ben, ha G nilpotens,egyébként pedig dupla-exponenciális.Bár a szabad spektrum vizsgálata csoportokra kezdődött, a szabad algebra

elsősorban univerzális algebrai fogalom. A következő eredmények univerzálisalgebrai jellegűek, az első kettő McKenzie-től származik. Kongruencia-disztri-butív varietásokról szól [15] 12.3 Tétele, azaz olyan varietásokról, amelyekbenminden algebra kongruenciahálója diszributív: ha V nem triviális lokálisanvéges kongruencia-disztributív varietás, akkor minden 0 < c < 1-re van olyanelég nagy m, hogy n > m esetén |FV(n)| ≥ 22

cn teljesül. Azaz, ezekben

2

az esetekben a szabad spektrum nagy. Azonban az adott korlátok közöttsem lehet tetszőleges a szabad spektrum, erről szólnak az úgynevezett hézag-tételek. Például, ha a V varietás végesen generált, akkor vagy van olyan cés k konstans, hogy |FV(n)| ≤ cnk vagy |FV(n)| ≥ 2n−k teljesül valamely kpozitív egészre és bármely n-re ([15] 12.2 Tétel). A következő tételek a szabadspektrum felső határától való eltérésre vonatkoznak. Legyen V egy k-eleműalgebra által generált varietás, jelölje δV(n) azt a nem negatív valós értékűfüggvényt, amelyre |FV(n)| = kk

n−δV(n). Murskii [21] megmutatta, hogy vagylimn→∞ δV(n) = ∞, vagy van olyan d ≤ k egész, amelyre δV(n) = d. Berman[1] igazolta, hogy ha k ≥ 3, ahol k az algebra méretét jelöli, akkor van olyancsak k-tól függő c pozitív konstans, amelyre vagy δV(n) ≥ c2n vagy δV(n) = dteljesül egy d ≤ k konstansra.Az irodalomban számos cikk foglalkozik a pn sorozatok általános tulajdon-

ságaival, illetve azzal, hogy milyen összefüggések vannak az algebra és a pnsorozatának tulajdonságai között. A félcsoportokkal kapcsolatos vizsgála-tok az Újvidéki Egyetem Algebra és Geometria Tanszékén kezdődtek SinisaCrvenković vezetésével. Elsődleges céljuk az úgynevezett Berman sejtés bi-zonyítása volt félcsoportokra. Ez azt mondja ki, hogy tetszőleges lokálisanvéges félcsoport varietás esetén a pn sorozat nemcsökkenő függvény. Crven-ković, Dolinka és Ruškuc [3] igazolták a sejtést néhány félcsoport osztályra,többek közt az injektív félcsoportokra és azok úgynevezett felfújtjaira. EgyS félcsoportot injektívnek nevezünk, ha S2 = S. Az ő módszerüket követveDolinka és Marković [9] bizonyították a sejtést reguláris félcsoportok nilpotensbővítéseire.Crvenković, Dolinka és Ruškuc [4], [5] teljesen leírták azon félcsoport vari-

etások azonosságait, amelyek pn sorozata felülről becsülhető egy polinommal,azaz amelyekhez van olyan k egész szám és c konstans, hogy pn < cnk. Különjellemzését adták a loglineáris varietásoknak [5], azaz amikor az előbbi k értéke1. A [4] dolgozatban megadták a korlátos pn sorozattal rendelkező félcsopor-tokat félhálók, Boole-csoportok és derékszögű kötegek nilpotens bővítéseként.Berman [1] a téma egy másik megközelítését adta, az egyszerű algebrák

által generált varietások szabad spektrumait a szelíd kongruenciák nyelvénjellemezte. Módszerei félcsoportokról keveset árultak el. Az egyszerű félcso-portok szabad spektrumát Kátai és Szabó [18], [19] jellemezték. Megmutat-ták, hogy egy egyszerű félcsoport által generált varietás szabad spektrumának

3

logaritmusa aszimptotikusan vagy n2 vagy 2n log n. Kutatásaik nyomán a Seif[34] bizonyította, hogy egy nem ortodox monoid által generált V varietásralog |FV(n)| mindig exponenciális, és az alábbi sejtést fogalmazta meg:

1. Sejtés (Seif) Legyen M egy véges monoid. Ekkor M szabad spek-trumának a logaritmusa pontosan akkor becsülhető felülről egy polinommal,ha M ∈ EDA ∩Gnil.

Dolinka [6] pedig egy Higman-Neuman típusú feltételt adott arra, hogy egyvéges teljesen reguláris félcsoport által generált varietás szabad spektrumamilyen lehet. Igazolta, hogy az említett varietás szabad spekturmának loga-ritmusa pontosan akkor becsülhető felülről polinommal, ha a varietás lokálisanortodox és a benne lévő részcsoportok nilpotensek. Eredménye egybevág Seifsejtésével.A vizsgálatok egy másik iránya az úgynevezett krémsejtés igazolását céloz-

ta meg. Higman [14] csoportvarietások vizsgálata közben azt vette észre,hogy a varietások szabad spektruma nem lehet akármilyen függvény. Az álta-la kapott szabad spektrumok mind előálltak összeadás, szorzás és (racionálisszám) hatványozás(a) ismételt kombinációjaként (Combination of RepeatedExponentiation, Addition and Multiplicaton, azaz CREAM). Kovács [20] ésOlshanszky [23] a sejtés cáfolatára készítettek lokálisan véges varietások egykontinuum hosszú láncát. Mivel egymást tartalmazó varietások véges sok elemáltal generált szabad algebrái nem lehetnek mind izomorfak, ez kontinuum sokszabad spektrumot eredményez. Ez rögtön azt jelenti, hogy kontinuum sok félefüggvény áll elő szabad spektrumként, míg CREAM függvény csak megszám-lálhatóan sok van. A konstrukció hátránya, hogy a megadott varietások nemvégesen generáltak, és az sem világos, hogy mik ezek a függvények. Végesengenerált vatietásokra a kérdés, azaz a CREAM-sejtés teljesülése továbbra isnyitott maradt.Dolgozatunkban megcáfoljuk a CREAM sejtést: minden k > 0-ra mu-

tatunk olyan végesen generált félcsoport varietást (pontosabban köteg vari-etást), amely szabad spektrumának logaritmusa aszimptotikusan cnk log n.Ez a meglepő eredmény gyökeresen megváltoztatja a világról eddig alkotottképünket. Amennyiben a CREAM sejtés igaz lenne, az |FV(n)| ≤ kk

n becslés

4

miatt a szabad spektrum logaritmusa aszimptotikusan polinom vagy aszimp-totikusan exponenciális függvény kellene, hogy legyen. A cnk log n függvényegyik sem. Így félcsoportok esetén egy sokkal árnyaltabb karakterizációstételre, vagy tételekre számíthatunk, mint csoportok esetén. A meglévő ered-mények sem mind elég informatívak. Seif konstrukciója csak monoidkra műkö-dik. Dolinka karakterizációs tétele ugyan félcsoportokról szól, de a teljesenreguláris félcsoportok osztálya csak egy szűk része a félcsoport varietásoknak.Ráadásul, Dolinka eredménye nem különbözteti meg a kötegeket a nilpotenscsoportoktól, holott a szabad spektrumaik logaritmusa más aszimptotikus osz-tályba tartozik.Elengedhetetlen tehát a félcsoport varietások szisztematikus vizsgálata. A

félcsoport varietások hálójáról igen keveset lehet tudni, bizonyos részosztá-lyok, amelyek könnyebben kezelhetőek, persze alaposabban le vannak írva aszakirodalomban. Elsőként természetesen a legkisebb illetve a legnagyobb va-rietások szabad spektrumait érdemes vizsgálni. A kicsiket tekintve az ötelemű

B2 az(1 00 1

)szendvicsmátrixhoz tartozó Rees-mátrix félcsoport, B1

2 ennek az

egységelemes bővítése. Seif [34] megmutatta, hogy 2n2

< |FV(B12)(n)| < 2n

3,

így A12, ahol A2 szendvicsmátrixa

(1 11 0

), a legkisebb elemszámú monoid,

mely által generált varietás szabad spektrumának mérete még nem ismert.Mi erre adunk alsó- illetve felső becslést. Továbbá Seif monoidokra vonatkozósejtése alapján érdemes a DA osztály varietásait vizsgálni, illetve a minimálisnem EDA-beli monoidok szabad spektrumával kezdeni. Felülről kicsit ne-hezebb a helyzet. A „nagy” félcsoport varietások szabad spektruma rend-szerint végtelen, ezen varietások nem lokálisan végesek. Mi tehát belevá-gunk a teljesen reguláris félcsoportok osztályán belül az egy bizonyos értelem-ben maximális, illetve ahhoz közeliek szabad spektrumának a vizsgálatába.Green és Rees klasszikusnak számító cikkükben [13] igazolták, hogy az xr =x azonossággal definiált varietás pontosan akkor lokálisan véges, amikor azxr−1 = 1 azonossággal definiált csoportvarietás is az. Ezzel visszavezettéka vizsgálatokat a Burnside-problémakörre. Pastijn és Trotter [24] egy tet-szőleges G csoportvarietás esetén tekintették azon teljesen egyszerű félcso-portok V varietását, amely részcsoportjai G-ben vannak. A V-beli szóprob-lémát visszavezették a G-beli szóproblémára. Vizsgálataik Kadourek és Polák

5

[17] munkáján alapultak, ahol egy hasonló leírás már szerepelt a fent em-lített Green-Rees-féle varietásokra. Polák szerepe elévülhetetlen a teljesenreguláris félcsoport varietások elméletének feltérképezésében. Három cikkbőlálló cikksorozatában [28], [29], [30] az úgynevezett mag- és nyom kongruen-ciák - bár ő még nem így nevezte őket - segítségével pontosan leírja a teljesenreguláris félcsoportok varietásainak hálóját. A mag segítségével minden egyesvarietásra megoldja az ottani szóproblémát, ezáltal megadja az összes vari-etást. A varietáshálót a mag segítségével diszjunkt intervallumok uniójárabontja, a V varietást tartalmazó intervallum alsó és felső elemét V-sal, illetveV-sal jelöli. Például a kötegek, vagy egy adott csoportvarietáshoz tartozóortodox félcsoportok egy-egy intevallumot alkotnak. Mégis, a fent említettpéldán kívül egyetlen másik intervallum sem ismert. Polák munkáit számta-lanszor próbálták feldolgozni, újra megérteni, mások számára közérthetőbbétenni, például [25], [26], [27], [32] de valódi áttörést egyik munka sem hozott.Természetesen újabb definíciók bevezetésével lehetett „rövidíteni” a leírást, deez inkább csak technikai, mint tartalmi jelleggel bírt. Mi sem mutatja eztjobban, minthogy ugyanaz a szerző több alkalommal is újra és újra próbálko-zott a Polák-féle felépítés értelmezésével. Számos konzultációnk egyikénekalkalmával Libor Polák maga is bevallotta, hogy az ortodox félcsoportokatleszámítva egyetlen konkrét példán sem tudja elméletét bemutatni: „Nobodyknows anything beyond orthodox”. Mi a legnagyobb V teljesen reguláris fél-csoport varietásokról igazoljuk, hogy V = V = V , azaz meglepetésre, az őkettartalmazó intervallum egyelemű. Továbbá, becslést adunk ezen varietásokszabad spektrumára.Dolgozatunk ezek alapján négy fő részre osztható. Először bemutatjuk

a köteg varietások szabad spektrumát, ezek logaritmusai aszimptotikusannk log n. A második részben megvizsgáljuk a legkisebb elemszámú olyanmonoid szabad spektrumát, amely logaritmusa exponenciális. A harmadikrészben félhálók iterált szemidirekt szorzatáról mutatjuk meg, hogy az ál-taluk generált varietások szabad spektruma kicsi. Végül a negyedik részbena teljesen reguláris félcsoportok osztályán belül az egy bizonyos értelembenmaximális, illetve ahhoz közeli varietásokat vizsgáljuk, és megmutatjuk, hogyaz x3 = x által definiált teljesen reguláris félcsoport varietás szabad spektru-ma "hatalmas", nagyobb, mint 22...

2

.

6

1. Eredmények

1.1 Kötegek

A köteg idempotens félcsoport, azaz olyan félcsoport, amelyben az x2 = xazonosság teljesül. A kötegek fontos szerepet játszanak a félcsoport elmélet-ben. Kötegekkel kapcsolatos általános tudnivalók [16]-ban, a köteg varietásokhálójának leírása [2]-ben, [10]-ben és [11]-ben találhatóak meg (lásd 1. ábra).

©©©©©©©©©©

©©©©©©©©©©

©©©©©©©©©©©©©©©

©©©©©©©©©©©©©©©

©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©

©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©

©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©

HHHHH HHHHH

HHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH HHHHH

t

t

t

t

t

t t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

LNB RNBLRN

S

U3 U∗3

U ′3 U∗

3′

U4 U∗4

U ′4 U∗

4′

...

V(A2) V(A∗2)

V(B2)3 V(B∗

2)

V(A3)3′ V(A∗

3)

V(B3)4 V(B∗

3)

V(A4)4′ V(A∗

4)

V(B4)5 V(B∗

4)

1.ÁBRA A köteg varietások hálója

Az összes köteg által generált varietás pn sorozatára Gerhard a pn(∞)jelölést vezette be. A pn(∞) sorozatra a következő rekurzív formula teljesül(lásd [13])

(1) pn(∞) = n2p2n−1(∞).

7

Továbbá, p1(∞) = 1, emiatt p2(∞) = 4, p3(∞) = 144, stb. pn(k)-ra aformula sokkal bonyolultabb (lásd [12] és [36]).

(2) pn(k) = n2p2k−2(∞)n−1∏

j=k−1

j2pj(k − 1), n ≥ k ≥ 4 esetén.

A kezdeti értékek pn(3) = n2 és pn(k) = pn(∞), ha n < k. Ebből adolgozatban levezetjük, hogy

(3) pn(k) = n2pn−1(k)pn−1(k − 1),

teljesül n ≥ 1-re és k ≥ 4-re. Legyen p(n, k) = log pn(k). (3)-ban mindkétoldal logaritmusát véve kapjuk, hogy

(4) p(n, k) = 2 log n+ p(n− 1, k) + p(n− 1, k − 1)

n ≥ 1, k ≥ 4 esetén és p(n, 3) = 2 log n és p(1, k) = 0.

4. Tétel. Legyen k ≥ 4. A köteg varietások pn sorozatára

log pn(k) =4

(k − 3)!nk−3 log n− 4

(k − 3)!nk−3

k−3∑j=1

1

j+O(nk−4 log n)

teljesül.Ezek után kiszámoljuk a háló többi varietásának pn sorozatát és szabad

spektrumát:

5. Következmény. Bármely köteg varietás szabad spektrumára a következőteljesül (k ≥ 3, k ∈ N):

• log |Fk(n)| = 4(k−3)!n

k−3 log n− 4(k−3)!n

k−3∑k−3

j=11j +O(nk−4 log n),

• log |Fk′(n)| = log |FV(Ak)(n)| = | logFV(A∗k)(n)| =

= 2(k−2)!n

k−2 log n− 2(k−2)!n

k−2∑k−2

j=11j +O(nk−3 log n),

• log |FV(Bk)(n)| = log |FV(B∗k)(n)| =

= 1(k−1)!n

k−1 log n− 1(k−1)!n

k−1∑k−1

j=11j +O(nk−2 log n),

• log |FUk(n)| = log |FU∗

k(n)| =

= 1(k−2)!n

k−2 log n− 1(k−2)!n

k−2∑k−2

j=11j +O(nk−3 log n),

8

• log |FU ′k(n)| = | logFU∗

k′(n)| =

= 3(k−2)!n

k−2 log n− 3(k−2)!n

k−2∑k−2

j=11j +O(nk−3 log n).

Ezen képletek azonban semmit nem mondanak a kötegek varietásának sza-bad spektrumáról. Jelölje továbbra is B az összes köteg által alkotott varietást.A dolgozatban megmutatjuk, hogy

6. Tétel. A kötegek varietásának szabad spektruma

|FB(n)| =1

n2K2n+1

(1 +O(1

n)),

ahol K =

√2

√3√

4√5 . . ..

1.2 Az A12 által generált varietás szabad spektruma

Az öteleműA2 az(1 11 0

)szendvicsmátrixhoz tartozó Rees-mátrix félcsoport.

Elemei tehát a 0, [1, 1], [1, 2], [2, 1], [2, 2]. A 0 itt nullelem, vagyis bármivelszorozva 0-t kapunk. A többi elemre vonatkozó szorzási szabály a következő:

[λ, i][µ, j] =

{0 ha µ = i = 2;

[λ, j] különben.

Az A12 félcsoport az A2 egységelemes bővítése. Seif és Szabó [35] meg-

mutatták, hogy egy n-változós szó A12 feletti ekvivalenciaosztályát lényegében

meghatározza a szó változóiból képzett antiláncok egy rendszere. Ebből köny-

nyen adódik a 22n

√2√

nπ ≤ |FV(A12)(n)| ≤ (n!)22

2n√2n3/2√π becslés.

Dolgozatunk egyik fő eredménye, hogy bebizonyítjuk, hogy léteznek olyanc és d pozitív konstansok, melyekre

2c√n2n ≤ pn(V(A1

2)) ≤ 2n2n+d

√n2n.

9

1.3 R-triviális félcsoportok

A DA pszeudovarietás egy nagy rész pszeudovarietása az úgynevezett R-triviális félcsoportok osztálya. Egy félcsoportot R-triviálisnak nevezünk, haminden elem különböző jobb főideált generál. A 4. Fejezet egyik fő eredményea 31. Következmény, amelyben megmutatjuk, hogy egy R-triviális félcsoportszabad spektrumának logaritmusa kicsi.Stiffler [37] megmutatta, hogy a véges R-triviális félcsoportok osztálya egy-

beesik a félhálók iterált szemidirekt szorzatai által generált varietás véges ele-meivel. Legyenek U , V félcsoport varietások, ekkor a két varietás szemidirektszorzata U ∗ V az S ∗ T alakú szemidirekt szorzatok által generált varietás,ahol S ∈ U és T ∈ V , azaz

U ∗ V = 〈S ∗ T |S ∈ U , T ∈ V〉Ezek alapján félcsoport varietások iterált szemidirekt hatványát a következőmódon definiáljuk: V1 = V , V t+1 = V ∗ V t. Jelölje SLt félhálók t-szeriterált szemidirekt szorzata által generált varietást. Vezessük be a következőjelöléseket: Legyen u ∈ X+ egy kifejezés. Legyen mu az szóban utoljáramegjelenő változó. Legyen fu az u szó eleje, az mu előtti része és bu az u szóvége, mu első előfordulása utáni része.Ekkor u = fumubu, ahol c (fu) = c (u) \ {mu}. Vegyük észre, hogy bu akkor

az üres szó, ha egy változó csak u végén szerepel, és fu akkor az üres szó, hau csak egy változót tartalmaz.

18. Tétel. Legyen t ≥ 2 és u és v két X+-beli kifejezés, melyekre c(u) = c(v).Ekkor u ∼t v akkor és csak akkor, ha a következő feltételek teljesülnek:

(i) mu = mv,(ii) fu ∼t fv,(iii) bu ∼t−1 bv.

A 18. tétel alapján minden SLt fölötti n-változós kifejezés megadható egyhármasként. Ezen hármas létezésére alapul a következő algoritmus, mely segít-ségével megadjuk a kifejezések egy normálformáját. Legyen w egy n változósszó. Jelölje az SLt varietásbeli w szó normálformáját ϕt (w).

10

(1) Ha t = 1, akkor legyen ϕ1 (w) = xi1xi2 . . . xik , ahol a w -beli változókaz indexük szerinti növekvő sorrendben vannak.

(2) Ha n = 1 és w = xki , akkor legyen l = min {t, k} és ϕt

(xki)= xli.

(3) Egyébként legyen ϕt (w) a ϕt (fw), mw és ϕt−1 (bw) kifejezések egymás-utánja: ϕt (w) = ϕt (fw)mwϕt−1 (bw) .

3. ÁBRA

A 3. ábrán egy példa látható, mely megmutatja, hogy az SL2-beli x31x2x1x3x22x3x1normálformája hogyan állítható elő. A normálformája x21x2x1x3x1x2x3. Avarietások a kifejezések jobb felső sarkában vannak feltüntetve. A normálfor-máról megmutatjuk, hogy a lehető legrövidebb normálfoma, és hogy két nor-málforma szorzata n függvényében polinom időben meghatározható. Végülmegmutatjuk, hogy az SLt varietások szabad spektruma „kicsi”.

30. Tétel. Az SLt varietás pn sorozatára a következő aszimptotikus becslésteljesül t ≥ 3 esetén:

log2 pn(t) =

(n+ t− 1

t

)+

1

log 2· 1

(t− 1)!· nt−1 log n+Ot(n

t−1)

Érdemes megemlíteni, hogy módszereink felhasználásával Dolinka ([8]) iga-zolta a Seif-sejtést a DA osztályra. Megmutatta, hogy bármely véges DA-beli félcsoport által generált varietás szabad spektrumának logaritmusa poli-nomiális.

11

1.4 Teljesen reguláris félcsoport varietások

Az utolsó fejezetben a teljesen reguláris félcsoportok osztályán belül az egybizonyos értelemben maximális, illetve ahhoz közeli varietásokat vizsgáljuk.Egy félcsoportot teljesen regulárisnak nevezünk, ha az csoportok uniója. Ateljesen reguláris félcsoportok CR osztálya varietást alkot. Egy V félcsoportvarietást CRS varietásnak hívunk, ha minden S ∈ V teljesen reguláris. Jelöl-je V és V a V varietás mag kongruenciához tatrtozó osztályának legalsó éslegfelső elemét a teljesen reguláris félcsoportok varietásának részvarietásainaka hálójában. Legyen G egy csoportvarietás, ekkor jelölje V(G) azt a félcsoportvarietást, amelynek minden részfélcsoportja G-beli csoportok uniója. A dolgo-zat egyik fő eredménye, hogy bebizonyítjuk, hogy ekkor V(G) = V(G) = V(G).Másrészt Green és Rees [13] a következő rekurziót adta az egy bizonyos értelem-ben maximális CRS varietások pn sorozatára:

pn = n2p2n−1|Gm|valamilyen m-re, ahol Gm az m elem által generált szabad csoport az xr−1 = 1által definiált csoportvarietásban. Kadourek és Polák [17] adott egy komp-likált, FV(n−1) struktúrájától függő rekurzív leírástGm generátoraira, amibőllátható, hogy pn−1 ≤ m ≤ npn−1. Ezeket alkalmazva megmutatjuk, hogy azx3 = x által generált CRS varietásra, ahol |Gm| = 2m,

pn = n2p2n−1|Gm| ≥ n2p2n−12pn−1 ≥ 2pn−1 ≥ 22

pn−2 ≥ · · · ≥ 22...2

,

ahol a kitevőben n darab 2-es van.Megjegyezzük, hogy Dolinka [7] a szerző ezen eredményt újrabizonyította hi-vatkozva egy a dolgozat szerzője által tartott előadásban hallottakra.

Hivatkozások[1] J. Berman, Free spectra gaps and tame congruence types, Int. J. Algebra Comput. 5 (1995), 651-672.[2] A. P. Biryukov, Varieties of idempotent semigroups, Algebra Logic 9 (1970), 153-164.[3] S. Crvenković, I. Dolinka, N. Ruškuc, The Berman conjecture is true for finite surjective semigroups

and their inflations, Semigroup Forum 62 (2001), 103-114.[4] S. Crvenković, I. Dolinka, N. Ruškuc, Finite semigroups with few term operations, J. Pure Appl.

Algebra 157 (2001), 205–214.[5] S. Crvenković, N. Ruškuc, Log-linear varieties of semigroups, Algebra Universalis 33 (1995), 370–374.[6] I. Dolinka, On free spectra of completely regular semigroups and monoids, J. Pure Appl. Algebra 213

(2009), 1979-1990.

12

[7] I. Dolinka, On maximal subgroups of free objects of certain completely regular semigroup varieties,International Journal of Algebra and Computation 21 (2011), 473-484.

[8] I. Dolinka, On free spectra of finite monoids from the pseudovariety DA, Semigroup Forum onlinefirst, DOI: 10.1007/s00233-012-9374-6.

[9] I. Dolinka, P. Marković, The Berman conjecture is true for nilpotent extensions of regular semigroups,Algebra Universalis 51 (2004), 435-438.

[10] C. Fennemore, All varieties of bands, Math. Nachr. 48 (1971), 237-262.[11] J. A. Gerhard, The lattice of equational classes of idempotent semigroups, J. Algebra 15 (1970),

195-224.[12] J. A. Gerhard, The number of polynomials of idempotent semigroups, J. Algebra 18 (1971), 366-376.[13] J. A. Green, D. Rees, On semi-groups in which xr = x, Proc. Camb. Philos. Soc 48 (1952), 35-40.[14] G. Higman, The orders of relatively free groups, Proc. Int. Conf. Theory Groups, Canberra 1965,

153-165 (1967).[15] D. Hobby, R. McKenzie, The structure of finite algebras, Contemporary Mathematics no. 76, Amer.

Math. Soc., Providence, 1988.[16] J. M. Howie, J. An introduction to semigroup theory, L.M.S monographs no. 7, Academic Press,

London-New York Providence, 1976.[17] J. Kadourek, L. Polák, On free semigroups satisfying xr = x, Simon Stevin 64 (1990), 3-19.[18] K. Kátai-Urbán, Cs. Szabó, Free spectrum of the variety generated by the combinatorial completely

0-simple semigroups, Glasgow Math. J. 49 (2007), 93-98.[19] K. Kátai, Cs. Szabó, The pn sequences of semigroup varieties generated by combinatorial 0-simple

semigroups, Algebra Universalis 59 (2008), 435-446.[20] L. G. Kovács, On the number of varieties of groups, (English) J. Aust. Math. Soc. 8 (1968), 444-446.[21] V. L. Murskii, The existence of a finite basis of identities and other properities of "almost all" finite

algebras, (in Russian) Problemy Kibernet, No. 30 (1975), 43-56.[22] P. Neumann, Some indecomposable varieties of groups, Quart. J, Math. Oxford 14 (1963), 46-50.[23] A. Yu. Ol’shanski, On the orders of free groups of locally finite varieties, (Russian)Izv. Akad. Nauk

SSSR, Ser. Mat. 37 (1973), 89-94.[24] F. J. Pastijn, P. G. Trotter, Residual finiteness in completely regular semigroup varieties, Semigroup

Forum 37 (1988), 127-147.[25] M. Petrich, The Green relations approach to congruences on completely regular semigroups, Ann. Mat.

Pura Appl., IV. Ser. 167 (1994), 117-146.[26] M. Petrich,The kernel relation for a completely regular semigroup, J. Algebra 172 (1995), 90-112.[27] M. Petrich, The lattice of varieties of completely regular semigroups, Results Math. 48 (2005), 131-157.[28] L. Polák, On varieties of Completely Regular semigroups I, Semigroup Forum 32 (1985), 97-123.[29] L. Polák, On varieties of Completely Regular semigroups II, Semigroup Forum 36 (1987), 253-284.[30] L. Polák, On varieties of Completely Regular semigroups III, Semigroup Forum 37 (1988), 1-30.[31] D. Rees, On semi-groups, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (1940), 387-400.[32] N. Reilly, Completely regular semigroups, Lattices, semigroups, and universal algebra (Lisbon, 1988),

225-242, Plenum, New York, 1990.[33] N. Reilly, Varieties generated by completely 0-simple semigroups, J. Aust. Math. Soc. 84 (2008),

375-403.[34] S. W. Seif, Monoids with sub-log-exponential free spectra, J. Pure Appl. Algebra 212 (2008), 1162-1174.[35] S. W. Seif, Cs. Szabó, Computational complexity of checking identities in 0-simple semigroups and

matrix semigroups over finite fields, Semigroup Forum 72 (2006), 207-222.[36] S. W. Seif, J. Wood, Asymptotic growth of free spectra of band monoids, Semigroup Forum 75 (2007),

77-94.[37] P. Stiffler, Extensions of the fundamental theorem of finite semigroups, Adv. Math. 11 (1973), 159-209.