FISIKA STATISTIK

STATISTIK FERMI-DIRAC

Oleh:1. Farid Nurul Yaqin (4211410010)2. Arif In Amilah (4211410026)

Pendahuluan

Statistik Fermi-Dirac pertama kali diterbitkan pada tahun 1926 oleh Enrico Fermian Paul Dirac

Staistik Fermi-Dirac adalah statistik kuantum di mana partikel-partikel dipandang identik dan tak dapat dibedakan tetapi mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Seperti Partikel disebut Fermion; misalnya elektron

Menghitung peluang thermodinamika statistik Fermi-Dirac

Dua cell i dan j, masing-masing dibagi menjadi empat kompartemen, dan anggaplah makrostate Ni = 3, dan Nj = 1

Peluang thermodinamika masing-masing cell adalah:Wi = 4, Wj = 4

Untuk setiap susunan di dalam cell i kita dapat memiliki salah satu susunan di dalam cell j. Dengan demikian jumlah total kemungkinan susunan atau peluang thermodinamika dari makrostate adalah :W = Wi Wj = 16

Secara umum untuk sejumlah cell dalam statistik Fermi-Dirac dapat dirumuskan :W = пWi

Di dalam pembahasan statistik sebelumnya telah dikaji jumlah cara untuk N partikel yang didistribusikan diantara cell-cell dalam ruang fase, dengan N1, N2, dst. Jumlah tersebut yaitu:

Secara umum, persamaan di atas memberikan jumlah cara untuk sesuatu N yang disusun dalam suatu kelompok, jumlah N1, N2, dst. menyatakan jumlah di dalam tiaptiap kelompok

Dengan cara yang sama, peluang thermodinamika untuk cell tertentu didefinisikan sebagai jumlah cara kompartemen yang berbeda dapat dibagi ke dalam dua kelompok, yaitu kelompok yang ditempati dan kelompok yang kososng. Jumlah kompartemen total adalah n, yang ditempati adalah Ni, dan yang kosong adalah n-Ni. Dengan demikian cara berbeda dalam pembagian kompartemen ke dalam kelompok ditempati dan kelompok kosong, atau peluang thermodinamika Wi adalah :

Sebagai contoh kita ambil, Ni = 3, Nj = 1, n =4, maka akan diperoleh :

Jadi, sesuai dengan hasil yang diperoleh dengan cara menghitung.Secara umum pernyataan untuk peluang thermodinamika dari makrostate tertentu dalam statistik Fermi-Dirac adalah :

Menjabarkan fungsi distribusi partikel menurut statistik Fermi-Dirac

Untuk setiap jenis statistik, kita asumsikan bahwa entropi adalah sebanding dengan logaritme peluang thermodinamikanya, dan bahwa keadaan kesimbangan adalah entropinya maksimum, ini berarti ln W juga maksimum atau ln W = 0. Berdasarkan persamaan (2.3), maka diperoleh :

Karena jumlah cell sangat besar, dengan demikian n dan Ni merupakan bilangan yang sangat besar, kita dapat pergunakan pendekatan Stirling.

Misalkan W0 menyatakan probabilitas maksimum, dan Ni

0 berkaitan dengan jumlah titik-titik dalam cell ke i, dan n adalah konstan, maka :

Jika jumlah partikel dan energi total adalah konstan, kita mempunyai persamaan kondisi:

Kalikan persamaan pertama dengan - ln B dan persamaan ke dua dengan -, kemudian tambahkan dengan pers (2.5), maka diperoleh :

dan karena efek Ni sekarang independen, maka akan diperoleh :

Hal ini dikenal sebagai : fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk keadaan probabilitas thermodinamika maksimum.

Pembahasan selanjutnya adalah menentukan B dan . Untuk menentukan , kita kembali menggunakan hubungan thremodinamika dalam keadaan setimbang, dalam suatu proses pada volume konstan, yakni :dU = TdS.

Dengan menggunakan hubungan thermodinamika untuk sistem keseimbangan ini, akan diperoleh : = 1/kT.

Kuantitas B dapat ditentukan dari sembarang statistik, dari kenyataan bahwa jumlah total partikel Ni = N. Untuk mengevaluasi Ni, kita aproksimasi distribusi diskontinu dari titik fase dengan fungsi distribusi kontinu dan mengganti sigma dengan integral. Kemudian mengganti n pada pers (2.6) dengan :n = 2H/ h3 = 2/h3 dxdydzdpxdpy dpz

dan ubah notasi dengan d6N, wi dengan w, maka diperoleh :

Sekarang integrasi seluruh nilai x, y, dan z, hasilnya adalah :

B = exp(-wm /kT)

Bila T = 00 K, fungsi distribusi ini dapat direduksi menjadi sangat sederhana. Misalkan wmo

menyatakan harga wm bila T = 00K. Untuk sebuah cell di dalam ruang momentum yang mana w lebih kecil daripada wmo, maka suku di dalam kurung siku pada persamaan (2.8) adalah -, dan karena exp(-) = 0, maka akan diperoleh :0 = 2V/h3 (T = 00K, w < wmo)

Dengan kata lain, pada nol absolut kerapatan titik-titik representatif dalam ruang momentum adalah konstan dan sama dengan 2V/h3, di dalam semua cell yang energinya w < wmo.

Di lain fihak, jika w lebih besar daripada wmo dan T = 00 K, maka suku di dalam kurung siku pada persamaan (2.8) adalah +, dan karena exp(+) = , maka akan diperoleh :0 = 0 (T = 00K, w > wmo)

Interpretasi fisis dari wmo adalah merupakan energi maksimum dari elektron-elektron pada nol absolut.

Hubungan antara energi w dan momentum p dapat dinyatakan sebagai :

mv2 = w = p2/2m, p2 = 2mw Energi maksimum wmo berkaitan

dengan momentum maksimum yang diberikan oleh :

pmo = (2m wmo)1/2

Proses integrasi kerapatan untuk seluruh ruang momentum dapat direduksi menjadi perkalian kerapatan konstan 0 dengan volume bola yang jejarinya pmo, dan perkalian ini sama dengan jumlah total dari elektron N

Selanjutnya akan diperoleh : dan

Contoh Konstanta h adalah konstanta Planck yang

besarnya 6,62 x 10-34 Joule-sekon, dan m adalah massa elektron, 9x10-31 kg. Jumlah elektron per satuan volume tidak dapat diukur secara langsung. Asumsi umum yang digunakan, yakni atom-atom masing-masing memberikan kontribusi jumlah elektron yang sama untuk gas elektron. Untuk perak diasumsikan satu elektron untuk satu atom, maka N/V = 5,86 x 1028 elektron bebas/m3. Hitunglah besarnya wmo.

wmo =

= 9,0 x 10-19 Joule= 5,6 elektron-volt.

Harga ini merupakan energi kinetik maksimum dari elektron bebas pada nol absolut. Energi rata-rata pada nol absolut (lihat pasal 2.8) adalah 3/5 dari energi maksimum, yakni :w = (3/5)(5,6) = 3,46 eV = 5,75 x 10-19 Joule.

Menurut statistik Maxwell-Boltzmann, energi kinetik rata-rata dari molekul gas adalah 3kT/2 dan berharga nol pada suhu nol absolut. Bila kita terapkan statistik Maxwell-Boltzmann, maka untuk energi 5,75 x 10-19 Joule, diperlukan temperatur 27.000 0K. Untuk selanjutnya kita akan mengevaluasi wm pada temperatur selain 0 K. Hasil yang diperoleh oleh Sommerfeld adalah :

Bila T=0 K, akan direduksi menjadi wmo. Demikian pula dengan penambahan temperatur, perbedaan antara wm dan wmo adalah kecil, karena suku kT hanya beberapa seper elektron-volt, sedangkan wmo dalam orde 2 sampai 10 elektron-volt. Jadi, di dalam mengevaluasi fungsi distribusi pada pers (2.8), sama halnya pada temperatur tinggi beberapa ribu derajat Kelvin, akan terjadi kesalahan kecil untuk substitusi wmo dengan wm.

Fungsi distribusi yang diplot sebagai fungsi w

Ordinat dari kurva adalah jumlah titik representatif per satuan volume ruang momentum. Garis tebal adalah distribusi pada T = 0 K. Kerapatan adalah kosntan pada semua titik untuk w < wmo atau (p < p mo ) dan nol di luar harga ini. Garis putus-putus adalah distribusi pada temperatur yang lebih tinggi, T1 dan T2 . Jika T = 0, fungsi turun secara asimtotik menuju nol sehingga energi bertambah, dan tidak ada batas atas yang lebih tajam untuk energi atau momentum. Harga wm tidak menyatakan energi maksimum pada temperatur T, tetapi harga wmo menyatakan energi maksimum pada T = 0 K.