FsicaTEORA Y PRCTICA

FsicaT E O R IA Y P R A C T IC A

0 J * 1

* $

* * 11 * * * * * * * * * * * fr m * * * * * * * * V *

*$*

6. [intensidad luminosa] = J

7. [cantidad de sustancia] = N

8. [nmero) - 1

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL.

Si una frmula fsica es correcta, todos los trminos de la ecuacin deben ser uimer- sionalmente iguales.

Sea la frmula fsica:

A = B + C . D

[A] = [B] = [C.D]

Ejemplos: Analicemos la frmula paradete rm inar la a ltu ra en cada libre.

h = V0

! Im rns

m? 5

Luego: Todos los trminos t.enen unidad de longitud.

2

1ra. PROPIEDAD:

Los ngulos, funciones trigonomtricas, funciones logartm icas y en general cualquier nmero son adimensior.ales. Convencionalmente la dimensin de un nmero es igual a la unidad.

Ejemplos :[30o] =1

[Sen 30o] = 1

****+**

**

FINES Y OBJETIVOS DEL ANAl ISiS DIMENSIONAL.

1. Expresar las magnitudes derivadas en funcin de las denominadas magnitudes fundamentales.

2. Compiobar la veracidad de las frmulas fsicas mediante el principio de homogeneidad dimensional

* 3.***ai

Determinar formulas empii cas a partir de datos experimentales.

C PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA NB 01

Determinar la ecuacin dimensional de las principales magnitudes derivadas.

SOLUCION

1. [rea] - L22. [volumen] - [rea x h] = L 33. [densidad] = [ m / v ] = M .L-34. [velocidad] = [ e / 1 ] = L .T

5. [aceleracin] = [ A V / 1 ] = L.T"26. |tuerza] = [ m a ] = M L . T 27. [trabajo] = [F d ] = M . L2 T -28. [potencia] = [ W / 1 ] = M.L2 . T 39. ^energa] = [ m . c2] = IV* L2 . T 210. [cantidad de calor] = [energa]

=M.L2 T"211. [presin] = [F/A] = M.L-1 . T 2

12. [velocidad angular] =[0 / 1] = T 1

13. [perodo] = T

14. [frecuencia] = T *

PROBLEMA Ne 02

Determinar las unidades de "E" en el S'stema Internacional.

***feT=**&*

*********fe

*****fefe******

E = D.V

D: densidao V: velocidad lineal g aceleracin de la gravedad.

SOLUCION

Del principio de horpoqeneidaL, dimensional.

[E]= L.P1 V.2..] 1 J [g ]

[E] =M . L-3 . L2 . T 2

L . T 2

[E] = M . L

Luego; E se mide en- kg . r r f2

PROBLEMA N 03H a lla r la d im en s in de "S " en la

siguiente ecuacin dimensionalmente correcta.

V.S. = A Cos + UP . Ln 2

A : aceleracin centrpetaV : velocidad lineal

3

SOLUCIONDel principio de homogeneidad dimensional.

[V.S] = [ a Cos601

[V][S] = [A1 2]

L .T 1.[S] = LV 2 . T " 1

Luego: [S] = L_

Para la solucin del problema no es necesario conocer el tercer termino.

PROBLEMA Ne 04

En la siguiente frm ula fsica, indique las dimensiones de "Y"

Y = w . A . Cos (w.t)

donde:A = longitud; t = tiempo

SOLUCION

1 La dimensin del ngulo es igual a la unidad:

[w . t] = 1

[w ]. T = 1

[w] = T 1

2. La dimensin de la funcin coseno es igual a la unidad:

[Cos (wt) ] = 1

[Y] = [w] [A] [Cos (wt) ]

[Y] = ' . L . 1

Luego: [Y] = L .

PROBLEMA Ns 05

La velocidad "V" del sonido en un gas depende de la presin "P" del gas y de la densidad "D" del m ismo gas, y tiene la siguiente forma:

**

L i = ^ = 1 m) fZ ]

Reemplazando :

M. L. T 1 = M. [ Z ]

Luego: [ Z ] = L . T

Compruebe Ud., el mismo resultado con la otra igualdad.

PROBLEMA N9 07

Dim ensionalm ente, la sigu iente exp res in es co rre c ta y su respectiva ecuacin dimensional es la unidad.

[U N A u n i] =1 donde ; U = m.C2

m : masa de un fotn C : velocidad de la luz I : radio de la Tierra

Hallar la d im ensin de N

SOLUCIONClculo de la dimensin de U

[U] = [m] [c ]

[U] = M . L2 . T -2 ( 1)

La dimensin de un exponente siempre es igual a la unidad.

[U] [N] [I] =1

M.L2 .T _2.[N ]L =1

[N] = M -1 . L-3 . T2

PROBLEMA Ne 08

El periodo de oscilacin de un pndulodepende de la longitud ( l ) de la cuerda y

. de la aceleracin de la gravedad (g) y tiene la siguiente forma:

t = ? l x .gy

********

**

**********

****#************#***************************

***

Hallar la frm ula fs ica correcta

SOLUCIONPor principio de Homogeneidad

[ T ] = [ x ] [g y ]T = Lx . Ly T 2*LT 1= Lx+y. T _2y

A bases iguales le corresponde exponentes iguales.

L : O = x + y T : 1 = -2 y

Resolviendo:1

X = + 2 1

y - 5Reemplazando en la formula:

PROBLEMA N 09Un chorro de agua con densidad (D) y

velocidad (V), choca contra un rea (A). La fuerza que ejerce el chorro de agua contra la superfic ie tiene la s iguiente forma;

F = Vx~ Vx . Ay . D2

Hallar la frm ula fsica correcta.

SOLUCIONPor principio de Homogeneidad

[ F ] = [V x ] [ Ay ] [ Dz ]

LMT 2 = Lx T x ,L2y .M2 L~3z

L1 . M 1. T 2 = Lx+2y_3z MZ. T X

A bases iguales le corresponde exponentes iguales.L : 1 = x + 2y - 3z

M : 1 = z T : -2 = -x

Resolviendox = 2 y = z = 1

F = ^2 V2. A . D

PROBLEMA N 10La velocidad de un satlite artificial

terrestre (Sputnik) que se desplaza no lejos de la superficie terrestre depende de la distancia al centro de la tierra o radio de curvatura R y de la aceleracin de la gravedad "g " en la supe.ic ie equipotencial en que se mueve el satlite.

Determinar una frm ula emprica qus permita calcular el valor de 'a velocidad.

C = 1 = constante adimensional.

SOLUCION1. De la condicin del problema:

V = C Rx .gy2. Por el principio de homogeneidad

dimensional.

****

***SI********

*************

[V] = [C] [R]x [g]y ....(2)

3. Sabemos que:

[V] = L.T-1 , [R1 = L[C] = 1 , [g] =L . T '

4. Reemplazando en (2):

L.T _1 = 1. Lx. Ly. T _2y

L1 t ~1= Lx+y j -2y

Identificando exponenfes:

L: 1 = x + y

T: -1 = 2y

.... (3)1

En (3) x =-

5. Reemplazando en t i ):

V =R . g V = \ fR7g

...a esta velocidad del satlite se le ama tambin VElOCIDAD ORBITAL

MAGNITUD UNIDAD S.I. SIMBOLO DIMENSIONLongitud metro m LMasa kilogramo kg MTiempo segundo s TTemperatura kelvin K OIntensidad de corriente elctric; i ampere A IIntersidad Luminosa candela cd JCanudad de Sustancia mol mol N

6

La siguiente es un frm ula fs ica correcta:

KF = mV

donde: m = masaF = FuerzaV = Velocidad

Determinar qu magnitud representa K.

SOLUCION:

For principio de Homjgeneidad dimensional.

[ K . F ] = [ m . V ]

[ K ] [ F ] = [ m ] [ V ][ K ] L M T 2 = M L T 1

[ K ] = T

PROBLEMA NB 01

K representa un tiempo

PROBLEMA NB 02tn la siguiente frm ula fsica:

PK = m g h

donde: P = Potenciam = masa g = aceleracin h - altura

Qu magnitud representa K.?a) Longitud b) Masac) Tiempo d) Areae) Volumen

PROBLEMA Ne 3

La siguiente expresin es dim ensionalmente correcta y homognea:

KF = mV2

aonde: F = Fuerzam = masaV = Velocidad

Qu magnitud representa K?

SOLUCION'Por principio de homogeneidad cimen- sional

[ K F ] = [ m . V2 ]

[ K ] [ F ] = [ m ] [V 2 ]

[ K ] L M T -2 = M L 2 T '2

[K ] = L

K representa una longitud

PROBLEMA N8 4La siguiente frm ula fsica es dimen-

sionalmente correcta y homoge.nea.

KV = mc2A

donde: V = Volumenm = masa c = velocidad A = Area

Determinar que magnitud representa K a) Longitud b) Masac) Tiempo d) Fuerzae) Dens.dad

PROBLEMA N 05

En la siguiente frm ula fsica:

E = AV2 + BP

donde: E = EnergaV = Velocidad P = Presin

Determinar qu magnitud representa A/B

SOLUCION:

Por principio de ho mogeneidad

[E] = [A.V2] = re P]

L2 MT 2 = [A] L2T 2 = [B]L-1MT ~2------------- ( 1 ) -----------

--------------(2)

****

***&***

C******C**Csjs***cc***cc**$****&*&*******c*$$sjs$&SiiCc*c*#cC*

7

de (1): [A] = M

de (2): [B] = L3

de donde: = ML*-3

3nlonces .epresenta una densidad.D

PROBLEMA Nc 6En la siguiente frm ula fsica:

-r K X = A d + B P

donde:K = Constants Fsica ( M T~2 )X = Longitud d = Longitudp = momentum lineal (M LT-1)

Hallar qu magnitud representa A.E a) Masa b) Tiempoc) Velocidad d) Aceleracine) Fuei za

PROBLEMA Ns 7La siguiente frmula es dimensional

mente correcta y homognea:

E = AVV2 + BV2 + CP

donde-

Hallar:

E : EnergaW : Velocidad Angular V : Velocidad Lineal P : Presin

mSOLUCION:Por principio d t Homogeneidad:

[E] =[AW] = [BV2] = [CP]

L2M1 = [A] _2=[B]L21 2 =[C]l-1M T 2

- m - J---------------- (2) --------- 1

-(3).

**

**

***

****5****1**$**d***************(

*********t*

**v#h*******A*

de (1) de (2) de (3) entonces:

[A] = L M[B] = M[C] = L3

PROBLEMA Ne 8La posicin de una partcula mvil so-

ore el eje X est dada por:

X = K1 +K2 T + | k 3 t 2

donde

Hallar:

X : cistancia T : tiempo

c) MI

K i . K3

a) L4 b) T

d) M LT e) N.A.

PROBLEMA N2 9

La frm ula que determina la altura mxima h alcanzada por una pa-tcula que es lanzaoa verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial Vo tiene la siguiente forma:

y

siendo:g = aceleracin de la gravedad

Hallar la frmula fsica correct?.

SOLUCION:

Por principio de Homogeneidad:

x g y

S

L = ( L ^ V(L T 2)y

L1T 0 = Lx-y*T 2y~xde donde: x - y = 1 __(1 )

2y - x = 0 ....(2)Resolviendo

x = 2 ; y = 1entonces:

h = Vo2g

PROBLEMA N9 10La presin P que un flu ido ejerce sobre

una pared depende de la velocidad V del flu id o , de s j dens idad D y tie ne la siguiente forma:

P = V x Vx Dy

Hallar la forrr.ula fsica correcto

a) P =rJ2 V2 D2 b) P =V2 V2 D

c) P =V D e) N.A.

PROBLEMA N9 11

Dada la ecuacin:

d) P = V D

F = nx ry v2

donde :F = Fuerza n = Viscosidad

masa^Longitud x tiempo

r = radio (Longitud) v = velocidad

Hallar: (x + y + z)

SOLUCION:Por principio de Homogeneidad:

#*

**m

****$'$*#*

Hallar las ecuaciones dimensionales de fas magnitudes a y b.

SOLUCION:Desarrollando:

poi P.H.D.:

IS ] = [ a ] = [bd2]

lM T 2 = [a] L MT 2 = [b] L2(1 )

(2)

[a] = L"1[b] = L_1MT 2

de (1) :de (2):

PROBLEMA Ne 14En la siguiente expresin:

donde: F = FuerzaV = Velocidad

Hallar la ecuacin dimensional de la magnitud "ba) M ~1T b) MT -1c) M T d) LTe) N.A.

PROBLEMA Np 15

Dada la siguiente frm ula fsica:

P = KW Tg 6

donde:P = Potencia

W = Velocidad Angular

Hallar la unidad de la magnitud K en el sistema internacional.

3fr**1**

SOLUCION:

[P] = [K] [w f r r ^ e ]

L2 M T ,J = [K ]T 2 1

[K] = L M T 1

La unidad de K ser: Kg . m2 . s 1

* PROBLEMi i N 16**

**

*$**$*$*ts#

*

****

La siguiente es una frm ula risica d imensionalmente correcta.

Q = K A 2gh

donde Q = Caudas (Se mide en m /s) A = Areag = aceleracin de la gravedad h = altura.

Hallar la unidad de la magnitud K en el sistema internacional de unidades

a )L b)L -1

d) No tiene unidades

PROBLEMA N 17

c) LT e) N.A.

Dada la siguiente frm ula fsica, dimensionalmente correcta y homognea:

Q - rn.Ce.Af

*

*$

donde

Q = Cantidad de calor m = masa

AT = Variacin de Temperatura

Hallar la ecuacin d im ensional del calor especfico Ce.

SOLUCION:

[Q] = [m] [Ce] [AT]L2 M T-2 = M [Ce] 6

[Ce] = L 2T 2 6 _1

10

Hay que sealar que el calor Q es una forma de energa

PROBLEMA N9 18Si la longitud final de una barra al d i

latarse, est dada por la siguiente re- lacin:

Lf = L0 (1 + a A T)

AT: Variacin de la Temperatura.

Determinar la ecuacin dimensional del coeficiente de dilatacin lineal a

ia) L6d ie -1

PROBLEMA N9 19

b) L 6 ' e) N.A.

c) L-1 e

La entropa S de un gas, se define m atem ticamente po r la sigu ien te relacin:

*S =AQ

dor.de:AS =lncLemer,to de Entropa (Sf - So)

AQ =Cantdad de Calor absorbido.T =TemperaturaHallar la ecuacin dimensional de la entropa "S".SOLUCION:

[AQ][AS] = m

[SJ =l2 m t 2

**

*$#t*********$*

##

**

*$*

$**

*SB*

****$Sii$$*

donde:

K = Constante de Boltzman T = Temperatura Absoluta

Determinar la ecuacin dimensional de la constante de Boltzman

a) L M T ~2 6 -1

c) L2 M T -2 0

b) L M T 0

d) L2M T '2 0e) N.A.

PROBLEMA Ne 21La siguiente es la ecuacin universal

de los gases ideales

PV = n R T

donde:P = PresinV = Volumenn = Nmero de molesT = Temperatura

Hallar !a ecuacin dimensional de la constante universal de los gases R.

SOLUCION:[P] tV] = [n] [R] [T]

L-1 MT ~2 . L3 = N [Rj 0

[R] = L2 MT -2 0 1N_1

PROBLEMA N9 22La energa interna, por mol, de un gas

ideal depende nicamente de la temperatura, como lo indica la siguiente frmula.

*[S] = L2 M T 2 0 '1 **

**

u = | r t

PROBLEMA N9 2La siguiente frm ula fsica nos deter

mina la energa cintica promedio de una molcula monoatmica de un gas deal.

E = | k T

**

#*

donde:R = Constante Universal de los gases T = Temperatur?

Determinar la ecuacin dimensional de la energia interna U.

11

a) ML2T~2N _1

c) ML2T -1N ~1 d)M L2 T~2 N

e) N.A.

PROBLEMA Ns 23La cantidad de calor Q que atravieza

una lmina de Area A y espesor b, desde una temperatura T i hacia una temperatura T2, en un tiempo t est dada por la siguiente frmula:

b) MLT 2 N~1 J PROBLEMA NB 25

0 II >T 2 - T i 1 " b 1l D )

donde:K = Conductividad trmica del mate

rial.Hallar la ecuacin dimensional de K SOLUCION:

[Q] = [ K ] [ A ] ^ [ t ]

L2 MT ~2 = [K] L2 . .T

[K] = LMT ~3 6 ~1

PROBLEMA Ne 24

El calor latente de fusin de una sustancia est defin ido por 'a siguiente relacin:

r Q CL =~ m

donde:Q = Cantidad de calor entregado, m = masa de la sustancia

a) L Tc) l2t 2 e) N.A.

b) L T d) LT1

**A***

4s*************

*****

**

***%***********Of****

Hallar la ecuacin dimensional del calor * latente C, *

******

Si la intensidad de corriente elctrica se define por la siguiente relacin:

I Qtdonde:

Q = Carga Elctrica t = Tiempo

Hallar la ecuacin dimensional de la carga elctrica "Q"

SOLUCION:

[!]=M[t]

, . a

[Q] = IT

La unidad de carga elctrica es el coulomb (c) en honor a Charles A. de Coulomb (I736 - 1806) que fue el primero que midi las fuerzas elctricas y magnticas. Segn sto:

1c= 1A.S

PROBLEMA N9 26Si el potencial e lctrico V define por la

siguiente relacin:

V w o

donde: W = trabajo

Q = Carga Elctrica

Hallar la ecuacin dimensional del potencial elctrico V.

a) L2M T ~3 r 1

c) LMT~3 r 1

e) N.A.

b) L2M T '2 r

d) LMT 2r 1

12

La ley de Ohm, se expresa matemticamente por la siguiente relacin:

PROBLEMA N9 27

AV = IR

donde:

Hallar la ecuacin dimensional de la resistencia e lctrica "R".

SOLUCION:

[AV] = [I] [R]

L2M T 3 r 1 = I [R]

[R] = L 2M T ~ 3 r 2

C=T

donde: Q = Carga Electo ica V = Potencial Elctrico

a) L~1M -1 T 4 12 c) L-2 M _1 T 4I e) L 2.M 1.T4 . 12

b) L~1M~1T 4 I d) L_2.M .T 4.I

*****b$*

AV = Diferencia de Potencial

I = Intensidad de Corriente Elctrica

R = Resistenc a Elctrica

Para la ecuacicn dimensional del potencial elctrico V se ha utilizado el resultado del problema anterior.La unidad de resistencia elctrica es el Ohm (Si) en honor a Georg S. Ohm (1787 - 1854) quien formul la ley de Ohm. segn sto.

12=1 m2Kg S-3 A-2

PROBLEMA Ng 28

Si la capacidad elctrica de un conductor se define matemticamente como:

Hallar la ecuacin dimensional de la capacidad elctrica C

La fuerza F que acta sobre un alambre, por el cual circula una corriente I, est dada por la siguiente re lac in :

PROBLEMA Ng 29

F = I L B

*******$$***********t****

***#****'*#*v

**

******ts**

donde:L = Longitud del alambreB = Densidad de flu jo magntico ex

terno.

Hallar la ecuacin dimensional de "B".

SOLUCION:[F] = [ I ] [ L ] [ B ]

LMT 2= I . L . [ B ]

[B] = M T -2 , - 1

La unidad de densidad de flujo magntico es la TESLA (T) en honor de Nickola Tesla (1856- 943/ quien demostr el valor de la corriente alterna. Segn sto:

1T= 1 Kg.s-2A~1

PROBLEMA N9 30Si el f lu jo m a g n tic o , se d e fin e

m atem ticam ente por la s igu ien te relacin:

= BA Cos 6

Donde.B = D ensidad de f lu jo

magntico

A = Area

Hallar la ecuacin dimensional del flujo magntico

a) L M T _2 I _1

c) L2 M T 2 1

e) N A.

b) L M T I

d) L2 M T 2 r 1

13

Si la inductancia de un bobina est dada por la siguiente relacin:

PROBLEMA Ne 31

Idonde:N = N m ero de v u e lta s del a rro

llam iento

= Flujo magnticoI = Intensidad de corrienteHallar la ecuacin dimensional de la

inductancia L"SOLUCION:

[N] [][Li li]

[L] =l2 m t ~2 r 1

[ L ] = L2 M T '2 r 2

Hay que hacer notar que el nmero de vueltas N es admensional y la dimensin del flujo magntico se ha tomado del problema anterior. La unidad S I ae In- ductancia es el Henry (H) en honor a Joseph Henry (1797-1878) que realiz e xp e rim e n to s que co nd u je ro n al telgrafo elctrico. Segn esto:

1H = 1 m2 Kg . s-2 A-2

PROBLEMA Ne 32La energa W que almacena una bo

bina en forma de campo magntico tiene la siguiente fc m a :

W - lx Ly x

donde:

I = Intensidad de corriente

L = Inductancia de la bobina

Hallar: (x+y)

*****f!*

m$**

m***

****

c)1c;1A.S d )1 c .s ;1 ce) N.A.

i

PROBLEMA N9 S5La densidad de fiu jo magntico B,

originado por una corriente rectilnea I, a una distancia radial r, est dada por la siguienie relacin:

a )1 c ; lA b) 1c 1c

B = 2n

Hallar la unidad S.l. de la permeabilidad magntica ( i . (1Henry(H)=1m .Kg.s-2. A-2)

SOLUCION:

[B] =M [ r ]

[H] = LM T-2r 2

Segn sto la unidad S.l.de la permeabilidad magntica es:

m . Kg . s _2 A-2

Pero por definicin: 1H =m2 Kgs~2A 2

entonces la unidad de (i ss- 1 H/m

PROBLEMA N9 36

La intensidad de campo magntico H se define matemticamente como;

H=-B

donde: B = D ens idad de flu jomagntico

u = P erm eab ilidad m agntica

Hallar la uridad S.l. de H"

a) A m b) A/m c) m/A

d) A e) N.A.

***

*fs

*****fs**

********s*

*$**#$-Jf*i$******$

D eterm inar la ve locidad de propagacin de una onda mecnica en una cuerda tensa sabiendo que depende de la fuerza de tensin F a la cual est sometida y de su densidad lineal de masa n (masa / longitud). La constante numrica de proporcionalidad es la unidad.

SOLUCION:La velocidad de propagacin V puedeexpresarse de la siguiente manera:

PROBLEMA N9 37

V = Ksiendo K la co istante numrica de proporcionalidad.Por principio de homogeneidad dimensional.

[V] = [F]x [Mlv

L T 1 = (LM7~2)x(ML_1)y

L1M T _1 = Lx_y Mx+y T 2xA bases iguales le corresponden exponentes iguales.

L :M :T :

Resolv.endo:

Por lo tanto:

1 = x - y 0 = x + y -1 = 2x

1

PROBLEMA N9 38La aceleracin centrpeta es una mag

n itud fsica vectorial que mide el cambio que experimenta la velocidad en direccin y sentido. Se representa por un vecto r que indica en todo instante al centro de curvatura.

Su valor depende dla velocidad lineal "V" y del radio de curvatura "R" de la trayectoria. Hallar la frmula emprica para calcular el valor de la aceleracin centrpeta ac.

15

La constante numrica de proporcionalidad es la unidad.

a) ac = V Rc) ac = V 2Re) N.A.

PROBLEMA Ng 39

b) ac = VR d) ac = X^R-1

La cantidad de calor "Q 1 que disipa un conductor cuando por l c ircula una corriente elctrica, depende de la intensidad de corriente "I" que por ella circula, del valor de su resistencia "R" y del tiempo "t" transcurrido. Si la constante numrica de proporcionalidad es k = 1, hallar la frmula emprica de la cantidad de calor Q.

SOLUCIONLa cantidad de calor Q puede expresarse de la siguiente manera:

Q = K l x R y t z

*********$****

***

**

!****

siendo K la constante numrica de proporcionalidad.Por P.H.D. tenemos que:

[Q] = [ I ]x [RJy[t]z

L2MT 2 = l*(L2MT ~3 r 2) y Tz

L2M1T - 2 l = L 2yMy T - 3y+z r 2yA bases iguales, le corresponden exponentes iguales.

L : 2 = 2yM : 1 = yT : -=2 = -3 y + zI 0 = x - 2 y

Resolviendo:x = 2 ; y = 1 ; z = 1

Luego:Q = r R T

16

\E C T O R

Es un ente matemtico, que se representa mediante un segmento de recta orientado, dentro del espacio euclidiano tridimensional. En fsica, el vector, sirve para representar a las magnitudes fsicas vectoriales.

J_ Trien (If c c i6 r

*

Se representa con cualquier letra del alfabeto, con una pequea flecha en la parte superior de la letra.

>A ; se lee : vector A

O : origen del vector P : extremo del vector

) )Tambin se denota : A = OP

ELEMENTOS DE UN VECTOR

1. M duloIndica el valor de la magnitud vectorial. Geomtricamente es el tamao del vector.

*****************************************************

***

IAI = y2

|A| = V42 + 32 = 5fi

2. D ireccin

Es la orientacin que tiene el vector, respecto al sistema de coordenadas cartesianas. En el plano se define mediante el ngulo que forma al vector respecto del eje (+ )

tg 0 = - a x

9 6=1

G = 37

3. Sentido

Indica hacia que lado de la direccin (Lnea de accin) acta el vector. Grficamente se representa por una cabeza de flecha

A = OP

17

Sentido de A :

O hacia P

CL ASIFICACION DE l-QS VECTORES

1. Vectores Coi neales.Son aquellos dos o ms vectores que tienen una misma lnea de accin o todos ellos estn contenidos en una misma recta

Los vectores a , b y c son colineales.

2 Vectores Paralelos.

Son aquellos vectores que tienen sus lneas de acc in respectivam ente paralelas.

Si, Li es paralelo con L2 , entonces:

a es paralelo con el vector b

a es paralelo con el vector c

3. Vectores Opuestos.

Dos vectores sern opuestos cuando tienen igua1 direccin, igual mdulo, pero sentidos opuestos.

La suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo (Tamao igual a cero).

**

*#**********

**1!***

MU*#*#*$***v

***#***#

******#****************

-------------------------------------------------\-2

Si, L, es paralelo con L2; o son iguales > > lal = Ibl y sentidos opuestos a +b = 0

4. Vectores Iguales.Dos vectores sern iguales, cuando tienen sus tres elementos respectivamente iguales.

---------------------- 1---------------- - U

Igual direccin L1 // L2

Igual modulo : lal = Ibl

Igual sentido : -

5. Vectores Coplanares.Dos o ms vectores se denominan copla- naies, cuando todos ellos estn contenidos en un mismo plano.

6. Vectores Concurrentes.Dos o ms vectores se denominan concurrentes, cuando todos ellos tienen un mismo punto de aplicacin o sus lneas ae accin se intersectan en un mismo punto.

7a ; b y c son vectores coplanares y concurrentes.

18

OPERACIONES CON VECTORES

SUMA DE VECTORES COUNEALES Y PARALELOS.

Dado que todos los vectores tienen la misma direccin, entonces el vector resultante tambin tendr la misma direccin, por consiguiente la suma se realiza algebraicamente teniendo en consideracin los signos (sentidos)

. i _|_ i .I

a + b = (2) + (4) = +6

*******************************************

2A

L

3. SUMA DE DOS VECTORES (Mtodo del Paralelogram o)

Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se construye un paralelo- gramo, trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro Geomtricamente el mdulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores.

a + c = (2) + (-3) = -1

( - ) : sentido a la izquierda.

2 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.

En principio una cantidad escalar es todo nmero real, positivo o negativo, enteroo fraccin Cuando se multiplica un escalar por un vector, el vector resultante es otro vector de igual direccin. Si la cantidad escalar es positiva tambin tiene el mismo sentido, pero si la cantidad escalar es negativa el sentido es opuesto al vector inicial.

- A es el opuesto de

************************

****

El mdulo del vector resultante se determina del siguiente modo:

R = V a 2 + B 2+ 2 . A .B .C o s e

i) A y B representan el tamao de los vectores.

ii) R es el tamao del vector resultante.

i) 6 es el ngulo que forman los vectores.

DEMOSTRACION

19

Teorema de Pitgoras:

R2 = (B + p)2 + q2

R2 = B2 + 2pB + p2 + q2

Pero: p = A.Cs 0

p2 + q2 = A2 .... (2)

Reemplazando (2) en (1):

R2 = B2 + 2(ACos 6) B A2

( 1)

R2 = A2 + B2 + 2A.B Cos 0

PROBLEMA N9 01

Qu ngulo deben form ar dos fuerzas de 27N y 45N para que acten sobre un cuerpo com o una sola fuerza de 63N?

SOLUCION

Mtodo del Paraleiojramo.

R? = A2 + B2 + 2A.B. cos 0

(63)2=(27)2+ (45)z+2 (27) (45) cos 0

*****************************************Sk************:

**:

*******fc*************

92.72 = 92.32 + 9" 52+2(9.3)(9.5)Cos 0

49 = 9 + 25 + 30 . Cos 0

Cos0

Luego: las fuerzas forman un ngulo

0 = 60

CASOS PARTICULARES

1. RESULTANTE MAXIMA

La resultante de dos vectores es mxima, cuando forman entre s un ngulo igual a cero, por consiguiente tienen igual direccin y sentido.

Rmax a +b

2. RESULTANTE MINIMALa resultante de dos vectores es mnima, cuando forman entre si un ngulo igual a 180 por consiguiente tienen sentidos opuestos.

Rmm a b

3. La resultante de dos vectores se obtiene mediante el Teorema de Pitgoras, cuando forman entre s un ngulo igual a 90

R = a2 + b2

20

La resu ltan te de dos vec to res de mdulo constante, vara a! hacer g irar uno de ehos. El m nimo m dulo de la resultante es 2 y el mximo 14. Determinar el mdulo de ta resultante, cuando los vectores forman ngulo recto.

SOLUCION Resultante mnima:

a - b = 2 .....(1)Resultante mxima:

a + b = 14 .... (2)Sumando las Ec. (1) y (2)

a = 8 y b = 6 Cuando forman ngulo recto:

PROBLEMA Ns 02

R2 = a2 + b2 R2 = 64 + 36

R = 10

PROBLEMA Ns 03La figura m uestra tres vectores de

mdulos iguales. Hallar la medida del ng u lo 6" para o b te n e r la re s u lta n te mnima.

********V*

********************-h******************V*******************

El mdulo de la restante no se altera giramos los vectores un ngulo 0 ' en sentido anti-horario.

SOLUCION

Los vectores a y b se puede reem- *

plazai por el vector S

La resultante de sumar los vectores> >c y S ser mnimo cuando forman un ngulo de 180.

45 + 90 + 20 = 180

0 = 22,5

4, SUMA DE "n" VECTORES(Mtodo del Polgono)

Consiste en construir un polgono cor. los vectores sumandos, mantenisndo constantes sus tres elementos (mdulo, direccin y sentido), uniendo el origen del segundo vector con el extremo del primero, el origen del tercero con el extremo del segundo, as sucesivamente hasta el ltimo vector El mdulQ del vector resultante se determina uniendo el origen del primero con el extremo del ltimo vector.

21

Calcular el vector resultante, de los vectores mostrados.

POLIGONO CERRADOSi el polgono vectorial resulta ce.rado, entonces el mdulo del vector resultante es igual a cero.

la + b + c + d | = 0

CASO PARTICULAR (TRES VECTORES)

A + B + C = 0

Se cumple la ley de Senos

BSen a Sen P Sen y

PROBLEMA Ns 04

Le figura muestra una circunferencia de )

centro "O". Escribir el vector x en funcin de >

los vectores a y b .

SOLUCIONEi punto O", es el punto medio del m-

> )dulo de los vectores a y b .

*****ss**1****

Del mtodo del Polgono:

a bx + = 2 2

22

X =( b - c )

* PROBLEMA Nfi 06

> D

c + d

Pero. AD = 4 n Luego:

St>

PROBLEMA N9 05En la figura los pui.tos A,B,C,D,E y F

determinan un exgono regular de lado 2|i. Hallar el m dulo del vector resultante, en el sistema vectorial mostrado.

SOLUCIONTrazamos los vectores manteniendo constante su mdulo, direccin y sentido.

>El vector AF ocupa la posicin CD y el

vestoi AB ocupa la posicin ED.

Si , "G" es el baricentro del tringulo AOB y M es punto m i;dio de AB. Escribir el vector x en funcin de los vectores > a y b.

Ia + b + c + d l= 8 n

**r****************ars*

******

*****

***

* * * f

< * * Mje*****

SOLUCION

Sea, p un vector auxiliar > >

AOAB : a + 2 p = b - -

"* b - a P = ~ ^ - (1 )

AOAM : 3 x = a + p .... (2)

Reemplazando (1) en (2):

x = a + b

PROBLEMA Nfi 07>

Expresar el vector x en trm inos del- -vector a y b, sabiendo que ABCD es un paraleiogramo, adems M y N son puntos medios de AB y CD respectivamente

23

***

SOLUCION

Del mtodo del paralelogramo:

x = 2 (p + q> ...(1)

-* - -Del ADAM: 2 p + q = a - (2)

> > >Del ADCN : 2 q + p = b ... (3)

suma, ido- >

^ (a + b ) p + q = _ _ _ _ _

Reemplazando en (1):

x = - i a + b )

5. DIFERENCIA DE DOS VECTCUESA

La deferencia de dos vectores que tienen el mismo origen se consigue uniendo lus extremos de los vectores E! vector diferencia D indica al vector minuendo A.

***************u

**#*******#********4*************************N

*

Del mtodo del Polgono: -> > - B + D = A

D = A - B

El modulo de1 vector diferencia se determina aplicando la Ley de Cosenos

D = V A2 + B2 - 2 A.B. Cos 3

PROBLEMA N* 08

Dados los veptores a = 5N

y b = EN X 2 O0 > >

Calcular la - b l

/ ^ 7 3

SOLUCION

Llegamos los orgenes a un punto comn "O".

24

a - b

Clculo del vector diferencia :> > -D = a - b

D2 = a2 + b2 - 2(a) (b) Cos 53

D2 = 25 + 36 - 2(5) (6) fO

la - b I = D = 5N

6. DESCOMPOSICION RECTANGULAREn principio un vector se puede escribir en funcin de dos o mas componentes. En este caso particular escribiremos en funcin de dos componentes que forman entre s un ngulo recto.

v *A.Sen

i 1 . _ . . . *h . Cos

*********

Calculo del mdulo del vector F

F = V Fx + Fy =10

Clculo del ngulo 0 " que forma el

vector F con el eje x.

tge = * = V3 = X

0 = 60

El vector F forma un ngulo de 37 con el eje x.Clculo de las componentes en el sistema x e y

Fx = F. eos 37 = 1 0 .^

Fx1 = 8

FV-= F . sen 3 7 = 1 0 .:

Fv 1 = 6

PROBLEMA N9 10La figura muestra un cuadrado ABCD

de 4cm de lado, donde M es el punto nedio del segmento BC. Determinar el valor dl ngulo " 0", tal que el me u|o de la resultante vectorial sea igual . (221 cm.

***

ts***ij********

******

**

*****************it-si***ititi****#***

$**#*

SOLUCIONDescomponiendo los vectores rectangularmente:

4Tgfl

Clculo de la resultante sn los ejes x e y.

Rx = 10

Pero:Ry = 8 + 4 . tg 0

R2 = R x + R y221 = 100 + (8 + 4.Tg 6)2121 = (8 + 4Tg 0)2

T9 6 = |

0 =37

7. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS

Son aquellos vectores cuyo mdulo es la unidad ae medida y se encuentran en los ejes coordenados cartesianos.

2t

i : vector unitario e r el eje x

j : vector unitario en el eje y

Reprf sentacin de un vector en funcin de los vectores unitarios cartesianos:

PROBLEMA N9 11Determinar el m dulo del vector resul

tante del conjunto de vectores mostrados en la figura. El lado de cada cuadrado es la unidad.

SOLUCIONEsciibmos los vectores en funcin de los vectores unitarios

A = (-1; 2) = - i + 2j

B = (-2 ;-2 ) = 2i 2j

C = ( 1; -1) = f i-

D = (2 ; 1) = 2i + j

*

******

*****************s**-i*****m*****

*****#****9*****$**

***

Sumando:>R = (0 ; 0) = Oi + Oj

*R = vector nulo

R = 0

Mdulo de la resultante igual a cei t.

8. VECTOR UNITARIOEs aquel vector cuyo mdulo es la unidad de medida y tiene por misin indicar la direccin y sentido de un determinado vector. El vector unitario se define como la relacin del vector A entre su mdulo.

Poi definicin:

Despajando:

A = A . |i

MODULOJ VLCJ/ DIRECCION'Y SENTIDOCualquier vector, se puede escribir como el producto de su mdulo por su correspondiente vector unitario.

PROPIEDADDos vectores paraleios o colineales (del mismo sentido) tienen el mismo vector

27

unitario, por consiguiente los vectores sern directamente proporcionales a sus mdulos.

Si, Li es paralelo con L2

- LA B I

Tamao de A Tamao de B 1

PROBLEMA N M 2Los puntos A, B, C y D determinan un

cuadrado. Escribir el vector x en funcinde los vectores a y b

SOLUCION

************X***V************************i*=a*** -> - a + b

PROBLEMA N9 13

Los puntos P, Q, R y S determinan un cuadrado donde M y N son puntos medios de PQ y QR respectivamente. Relacionar -> el vector x con los vectores a y b .

SOLUCION

28

Los tr.r.gulos SPM y PQN son congruentes.

Luego:

************************

a + p = 90

Los tringulos rectngulos POM y POS son semejantes, cuyos lados estn en la razn de 1 a 2.

Luego : SO = 4 x

Mtodo del polgono, en el ASPM

29

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE A N A L I S I S V E C T O R I A L

PROBLEMA Ns 1

Hallar el m dulo del vector resultante de dos vectores de 15 y 7 unidades que forman entre s un ngulo de 53

SOLUCION:

Sabemos:

R=N A2 + B2 + 2 AB Cos 0

R = V 152 + 72 + 2 (15) (7) Cos 53

R = 20

PROBLEMA Ns 2Se desea extraer un clavo de una ma

dera mediante la accin de dos fuerzas de 30 y 50 Newtons que forman entre s un ngulo de 127. Hallar ei efecto neto que producen las dos fuerzas actuando sobre el clavo.

a) 20 N b) 3C N c) 40 N

d) 50 N e; 60 N

PROBLEMA Ne 3

Si la resultante mxima de dos vectores es 17u y la resuJtante mnima es ?u, determ inar el m dulo de la resultante cuando los .ectores formen entre s un ngulo de 90.

SOLUCION:

****************

*

**

**v

* Rmax A + B 17* Rmin = A B = 7

Resolviendo

A = 12 ; B = 5Cuando los vectores forman un ngulo de 90, su resultante se determina por:

R = V A2 + B2

R = V l2 2+ 5 2

R = 13

PROBLEMA Nfi 4

Si la resultante mxima de dos vectores es 8u y la resultante mnima es 2u, determ inar el m dulo de la resultante cuando los vectores formen entre s un igu lo de 60

a) 4u b) 5u c) 6u

d; 7u e) N.A.

PROBLEMA N9 5

Hallar el ngulo que forman dos vectores de iguaf mdulo, si su vector resultante tiene el m ism o m dulo que los vectores componentes.

SOLUCION

Sabemos:

30

R =>/a 2 + B2 + 2 AB Cose

pero por condicin del problema: A = B = R, entonces:

A = VA2+ A 2 + 2A2 Cose

A2 = 2A2 + 2A2 Cos G

Cos 0 = - 1

0 = 120

* * * * * * * * * $ * * * *

* * -H * * *

****

PROBuEMA Nfi 6Determinar el m dulo del vector resul

tante de los tes vectores mostrados en la figura:

i***$

Utilizando la conclusin del problema resuelto anteriormente deducimos que la> >resultante de los vectores P y Q es el

>vector B de mduloVT y forma 60 con

>el vector Q. Ahora el problema se reduce

a hallar la resultante de A y B.

R2 = A2 + B2 + 2AB Cos 0

* R2 =V r + V ? + 2(V5)2 Cos 127

R2 = 10+ 1 0 ( - | )5

PROBLEMA Nfi 7En la figura, determ inar el m odulo del

vector resultante del conjunto de vectores mostrado, si el radio de la circunferencia es de unidades y O es su centro.

*

H-*

********

31

Daoo el conjunto de vectores mostrado en la figura, hallar el valor de 6 para obtener la resultante mxima.

PROBLEMA Ne 8

a) 5o d) 20

b 10 e) 30

c) 15

i v

PROBLEMA Ne 9> > -*

Si dados los vectores A, B y C se cumple que:

A + B + C = 0

SOLUCION :Si la resultante de los tres vectores mostrados es CERO, el mdulo de la

*V***********

*: ? * * * * * * * * * * * * ttf * * * * * * * * * * * * * * * | * * * * 'f * * * K * * * >= * * * * * ! l * * ir * * * * *

****

resultante de dos de ellus tendr igual modulo que el tercero segn esto.

C =Va 2+ E2 + 2 AB CosG

13 =V72+ 82 + 2 (7) (P)CosG

169 = 113+ 112Cos0

Cos 0 = t:

0 = 60

PROBLEMA N9 10Si la resultante de los tres vectores

coplanares m ostrados en la figura es CERO, hallar el mdulo del vector Q, si:

a) 5 b) 7 c) 8d)10 e) N A.

PROBLEMA N9 11La figura adjunta muestra dos vecto

res A y B, siendo:-

I A I = 20

32

SOLUCION :Sabemos:

IA - B I=Va2+ B 2-2 A B C o s 0

IA - B l=V202+72-2 ;20)(7)Cos 37-> -

(A - B )

IA - B 1= 15

PROBLEMA Nfi 12- ->

Dados los vectores A y B mostrados en la figura, determinar:

> IA - 2 B I

Si se cumple que>

I A l= 5>

I B l= 3

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 20

PROBLEMA Ne 13Si el m dulo de la suma de dos vec

tores de igual m dulo es dos veces del

****

**$*$************$***$$************v**********#**st***

$***$***

m dulo de su diferencia, hallar el ngulo comprendido entre dichos vectores.

SOLUCION :

Sea: A = B = x

* S2 = A2 + B2 +2AB Cos 0

S2 = 2X2 + 2x2 Cos 0

* D2 = A2 + B2 - 2AB Cos 0

D2 = 2X2 - 2x2. CosG

Pero:S2 = 4D2

2X2 +2X2 Cos 0=4(2x2 2X2 Cos 6)

1 + Cos 0 = 4 ( 1 - Cos 0)

Cos 6 = o

0 = 53

PROBLEMA N9 14Si el mdulo de la suma de dos vec

tores de igual m dulo es el trip le del mdulo de su diferencia. Hallar el ngulo comprendido entre d ichos vectores.

a) 30d) 53

PROBLEMA N9 15

b) 37 e) 60

c) 45

Dado el conjunto de vectores mostrado en la figura, determ inar el m dulo de su vector resultante

33

SOLUCION :Utilizando el mtodo del tringulo reemplazamos cada par de vectores consecu tiv o s p o r su re s p e c tiv o ve c to r resultante.

Entonces:R : 2 + 4 + 6 + 8

R = 20

PROBLEMA Nfi 16Determinar el m dulo del vector resul

tante de los vectores mostrados en la figura, sabiendo que ABCD es un trape-

> >ci, donde: AB = 14.; DC = 22.

a) 4

b) 8

c) 16

d) 20

e) Faltan datos

PROBLEMA N9 17Hallar el m dulo de la resultante del

conjunto de vectores mostrados en la figura, si el lado de cada cuadrado pequeo es de 1 unidad de longitud.

*****r*-**

***********cjt

ts**i**** S *

*

***sj**-*X****

**********>

****m$ e * * * * * w * * * *

*

A Sen 37 +B Cos 60 - C Cos45

4 ^^ A - 10 = f A - 85 5

i A = 2

A = 10

PROBLEMA Ns 36>

Determinar el m dulo del vector A m ostiado en la figura, si el vector resultante del conjunto de vectores indicado forma 37 con el sem.eje - positivo de lasx. (B = 2 V2 ; C = 7)

a) 5 y

\ / 1b) 10 X

c) 15 45 / 53

d) 20 X

e) N.A. tPROBLEMA Nfi 37

Determinar el m dulo de la resultante ae los tres vectores mosteados en la figura, si: A = 10 ; B = 10 ; C = 4'J2.

3

Tomemos un sistema de coordenadas adecuado y utilicemos el procedimiento para determinar la resultante analticamente

SOLUCION :

4 /2\

\\

4 5 X

y / /

10 '/

10

Rx = I Vx

Rx = 10 Cos 53 - 4 V2 Sen 45

Rx = 2

Ry = Vy

Ry = 10 Sen 53 + 4^2 Cos 45 - 10

Ry = 2

R = V R + R?

R = 2 V2

PROBLEMA N9 38Determinar el m dulo de la resultante

del conjunto de vectores en la figura.

#****##*

$

*******$#$**

##*$*#*

**

**********

***#***

E = 2A + 3B C* PROBLEMA Nfi 42

a) a/2 b) 2 J2 c) 3 V2

d) 4 V2 e) 942

PROBLEMA N 41Dado el conjunto de vectores mostra

dos en la figura, determ inar el m dulo del vector:

E = A - B + C - D

SOLUCION : i ------ 1Expresando cada vector en forma de par ordenado

A = (-1 ; 2)

B = (2 ; 2 )

C-(1 ;-1)

D = ( - 2 ; - 1 )Entonces:

-5E = A - B + C - D

E =(-1 ;2) + (2;2) + (1 , - 1 ) - ( -2 , -1 )

E =(0,0)

IE I = 0

**de***

*de*********$***

$*********

*

*

*

*

Si dados los vectores A, B y C mostrados en la figura se cumple que:

m.A + n.B + p.C = 0

Donde m, n y p son nmeros reales, hallar el valor numrico de:

E = mn

c) 3a) 2 b) 2,5d) 3,5 e) N.A.

PROBLEMA N 43Dados los vectores m ostrados en la

figura, determ inar el m dulo de su vector resultante. El radio de la circunferencia es de 25 unidades.

**

41

Para utilizar el mtodo de los componentes rectangulares y trabajar con ngulos notables, efectuemos una rotacin antihoraria al sistema de ejes coordenados en ngulo 5o.

SOLUCION: *** Hallar el md-jlc de la resultante del conjun to de vectores m ostrados en la figura

PROBLEMA N9 45

Rx= E V XRx = 25 Cos 16o - 25 Sen 37

Rx = 9

Ry = I Vy

Ry = 25. Sen 16 + 25 cos 37

Rv = 27

SOLUCIONDe la figura obtenemos: ia siguiente re- lac.n vectorial:

+"E + (-C ) +"D + E +(F) = O + B + D + E = C + F ... (*)

Nos piden:

R - A + B + C + D + E + F R = (+B+D+E) + (C+F)R = 2 (C +*F)

En mdulo: | R | = 2 IC + F |

I RI = 2 V c 2+ F2..................... y *

3J|

II o

r = 9 V T o

$$*

PROBLEMA Nfi 44Dado el conjunto de vectores mos

trado determ inar el m nimo va lo r que puede tomar el m dulo de su resultante.

*#******

PROBLEMA Ne 46Ha'kar el m dulo del vector resultante

del conjunto de v e c tr ie s m ostrados en la>

figura sabiendo que: IA I = 5u; IC I = 8u

42

Dado el conjunto de vectores mostrados en la figura, determinar el m dulo del vector.

PROBLEMA NB47

P = A - B + 2 C -2 D

S i: |C | = 6 ^3

De la figura vemos que: + (-B ) + C + (-D ) = 0

- B + C -~D = 0 . . . (*)

Entonces:P = B + 2 C - 2 D

P = ( - B + C D) + C -

De la figura : iPl = 6^3 Cos 30

P =!

PROBLEMA Nfi 48

Dados los vectores m ostrados en la figura, hallar el m dulo del vector x, si:

****

**$****m

*****00*****$*$$

****m$******$*$*#$**$****

**$$*$******

x = P + Q - R + S T

Donde:

a) 24 b) 48 c)30d) 60 e) N. A.

PROBLEMA N=49Determinar el m dulo del vector resul

tante del conjunto de vectores mostrados en la f ig u ra .

a / 2 a / 2* f - J

a /2

a /2

SOLUCION

43

R = a\f2 + a VT

R = 2aV2

PROBLEMA N9 50

Determinar el m dulo del vector resultante de los vectores m ostraos en la figura, "a" es el lado del cubo

PROBLEMA N5 51

La figura m uestra un cuadrado de 5cm. de lado. Donde el segmento CE es tangente a la sem icircunferencia en el

punto T. Escrib ir el vector x en funcin

de los vectores A y B.Considere: Tg(530/ 2) = 0,5

*******i*******4

*. #

$ a v , $

* $ *

. * i * *

* * * * * * * * * * * * * St* * # $ $ * * sH * * * * * $ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

a) ( B - 3A ) /5 b) ( B + 3A ) /5

c) ( B - 2A ) /5 d)Faltan datos

e) N.A.

PROBLEMA Ne 52- -> -

Encontrar x en fu n c i n de A y B. MNOP es un cuadrado.

. 4 - s |a ) j [ A - -

c)a *_ ic) 5 2e) Ninguna

b)i ( - f

[ ; -

* NP : Cuadrante

PROBLEMA NB 53La figura muestra un rom bo ABCD de

lado 2cm, determinar el m dulo de la resultante de los vectores mostrados.

Ar -* r * v -*.............. - a R

o0D #-

a)^30 cm b) V3T cm c) V32 cm

d) 440 cm e) Faltan datos.44

CONCEPTO.Es parte de la mecnica que estudia al

sistema de Fuerzas que actan sobre un cuerpo material en equiliDrio.

f u e r z a "

Es una magnitud fsica vectorial, se define como la causa de los movimientos y de la deformacin de los cuerpos.

La accin de una fuerza sobre los cuerpos depende de su mdulo, direccin (lnea de accin), sentido y punto de aplicacin.

La fuerza en el SI se mide en newtons (abreviado N).

F = 50 newtons F = 50 N

FUERZAS INTERNAS

Son aquellas fuerzas de origen electromagntico, que se manifiestan en el interior de los cuerpos flexiDles y rgidos, cuando stos son sometidos a la accin de fuerzas externas que tratan de deformarlo por alargamiento o estiramiento y por aplastamiento o compresin. Segn sto las fuerzas internas se clasifican en:

*$*#**B$SSBV***u*if***********

*

**

Tensin, compresin, torsin y fuerza elstica.

TENSION (T)

Es aquella fuerza generada internamente en un cuerpo (cable, soga, barras) cuando tratamos de estirarla. Para graficar la tensin se realiza previamente un corte imaginario.La tensin se caracteriza por apuntar al punto de corte. Si el peso de la cuerda es despreciable, la tensin tiene el mismo valor en todos los puntos del cuerpc

CorteImaginario

i

t i bloque de peso W se encuentra en equilibrio.

XFy = 0

T - W = 0

La tensin en la cuerda es igual al del bloque.

45

COMPRESION (c)

Es aquella fuerza interna que se opone a la deformacin por aplastamiento de los cuerpos rgidos.Para graficar la compresin se realiza previamente un corte imaginario, se caracteriza por alejarse del punto de corte. Si el peso del cuerpo rgido es despreciable, la compresin es colineal con el cuerpo y tiene el mismo valor en todos los puntos.

CORTE IMAGINARIO

La compresin C" se opone a la fuerza deformadora T ".

FUERZA ELASTICA

Es aquella fuerza interna que se manifiesta en los cuerpos elsticos o defor- mables, tales como los resortes. La fuerza elstica se opone a la deformacin longitudinal por compresin o alargamiento, hacjendo que el resorte recupere su dimensin original.

Ley de Hooke:" La fuerza generada en el resorte es Q'rectamfnte proporcional a la deformacin longitudinal"

F = K . X

K : Constante oe elasticidad delresorte se mide en (N/m).

X : Deformacin longitudinal,mide en (m).

1) F : Como tensin

se

* * * * * * * * * * * * * * * # * * * * $ * *

* * * " k *

I*******H+******if*******>c|S****************

Diagrama de fuerzas sobre el bloque

F = KX

E1*

V J2) F: Como Compresin

f l w c i ,T j r

Diagrama de fuerzas sobre el bloque:

LEYES DE NEWTON

le ra . Princip io de Inercia"Todo cuerpo m aterial permanece en re

poso relativo o se mueve con velocidad constante en lnea recta, s i sobre l acta una fuerza resultante igual a cero

* 3era. Principio de Accin y Reaccin

V .

Ejemplo: Desde una nave csmica que se mueve con velocidad V=500 m/s, se abandona un objeto. Si la nave se encuentra en una zona de ingravidez, aceleracin de la gravedad igual a cero, entonces la nave y el objeto marchan paralelamente con la misma velocidad.

2da. Ley de AceleracinTodo punto m aterial sometido a la ac

cin de una fuerza resultante diferente de cero, adquiere necesariamente una aceleracin en la misma direccin y sentido de la fuerza resultante, e l mdulo de la aceleracin es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a su inercia (masa)".

Aceleracin = Fuerza ResultantemasaEjemplo- Un cuerpo en cada libre acelera en virtud a la fuerza resultante (peso) que ejerce la tierra sobre el cuerpo, el peso y la aceleracin de la gravedad tienen la misma direccin y sentido.

>1 t"T ie r ra

r

**

*************

*

Diagrama del Cuerpo Libre (D.C.L.)Consiste en aislar imaginariamente un cuerpo o parte del sistema mecnico en estudio donde se grafican todas las fuerzas externas que actan sobre la parte aislada. Las fuerzas internas, al sistema fsico en estudio, no se grafican.

1) D.C.L. de la po'ea ceir!.

1

T i: tensin en la cuerda "1" T2: tensin en la cuerda "2" W: peso de la polea central.

2) D.C.L. (bloque de peso Q)

I

m*t=

***e4******#**#***#**4*4**44c**4c***114c4ti

4c**4c*4**4c**

Nota : La tensin en la cuerda (1) no sedibuja porque pasa a ser una fuerza interna, al sistema fsico elegido.

le ra CONDICION DE EQUILIBRIO(Equilibrio de Traslacin)

Un punto mateiial o cuerpo rgido, per manece en reposo relativo o se mueve con velocidad constante en Lnea recta, si la fuerza resultante que acta sobre l es igual a cero. El reposo, es un estado particular del movimiento.

* Fx = 0

* IFy = 0El sistema de fuerzas, que actan sobre

el cuerpo en equilibrio de traslacin, deben formar un polgono cerrado.

3)central)

48

( PROBfJGMflS )PROBLEMA N 1.

La ligura muestra un bloque de peso W = 10N, en equilibrio. Si el peso de cada polea es P =2N, determ inar la lectura en el dinammetro "D instalado en el cable.

La lectura en el d.nammetr, ndica la tensin en la cuerda, que se transmite a lo largo r*e la cuerdaD C L (Polea mvil):

T T

ZFy = 0 2T = P + W

Reemplazando:

T = 6 N

PROBLEMA N 2.Los btoques A y B se encuentran en

equilibrio en la posicin mostrada. Si se retira lentamente el bloque A de peso 20N, Que distancia ascender el bloque B?

Constante elstica del resorte.NK = 100 m

*********>

******u*?*******

*+**fe*********************I

*

***********

A

SOLUCION :El peso del bloque A, produce una deformacin x en el resorte.Ley de Hooke:

F = K X 20 N = 100 . (X) m 'X = 0,2m

Luego:Al retirar el bloque A, el bloque E ascender 20 cm.

PROBLEMA N 3Se tiene un sistema de dos bloques

como muestra la figura. El peso del b loque A, excede al peso del Lloc,ue B en 6N-

Determir ar la fuerza de Reaccin entre los bloques A y B.

SOLUCION :

1) D.C.L. (A + B)

4 9

p!

-- ----

ur a + WB

IF y = 0

4T = Wa + Wb

Wa + Wb 4

2) D.C.L. (bloque a)

... (1 )

IF y = 0

R + 2 T = Wa - . ( 2) Reemplazando (1) en (2) :

R =

Del dato:

Wa - W b

R = 3N

*****

+**+******

PROBLEMA Ns 4La figura muestra una esfera de radio

"r" y peso W = 6 N, apoyado en una superfic ie c ilindrica de radio de curvatura "R". Hallar la reaccin sobre la esfera en el punto A, sabiendo que R = 3r.

************#**********C

**

***

+

SOLUCION : D.C.L. (esfera)

Ra _ W r r J3

Ra = 2v3 N

50

La figura muestra dos esferas A y B de pesi is 6 N y 2 N respectivamente, en equilibrio. Determinar la reaccin de la pared lisa sobre la esfera R y la tensin en la cuera?.

PROBLEMA Ne 5 *********

***

********

Resolviendo del tringulo de fuerzas:

R - 6 N

T = 10 N

t TEOREMA DE LAMY"Si tres fuerzas coplanares actan sobre

un cuerpo en equilibrio, estas necesariamente son concurrentes. El mdulo de cada fuerza es directamente proporcional al seno del ngulo opuesto".

SOLUCION :1) D.C.L. (A + B)

2) Formando el poligono cerrado:

**

*****#

***

*********

**

Fi f 2 f 3 ISen a Sen p Sen y I

Polgono Cerrado: Fuerza Resultante igual a cero.

La relacin anterior se ootiene, aplicando la Ley de Senos, al tringulo de fuerzas.

51

Si, a = P = y = 120 Entonces:

CASO PARTICULAR****

Fi = F2 = F3

PROBLEMA Ne 6En el sistema mecnico mostrado, la

tensin en la cuerda (1) es de 40 N, determinar el peso del bloque.

SOLUCION.

Diagrama del cuerpo libre del Nudo "O".

Teorema de Lamy:

W T iSen 90 Sen 150

W = 40 N 1 - 1_

2

Determinar la reaccin que ejerce el plano inclinado sobre la esfera de peso 20 N. No hay friccin.

PROBLEMA Ne 7

*

+********

**91

**

***

**

**

SOLUCIONDiagrama de fuerzas sobre la esfera:

Teorema de Lamy: R W

Sen (90 + 0) Sen (90 + 0)

R = W

R = 20 N

W = 80 N

I PROBLEMA Ns 8** Un bloque se encuentra sostenido co- | mo muestra ia figura. Calcular la medida* del ngulo " 0 ", para el cual la tensin en la cuerda 1" resulte ser mnima.

52

SOLUCION : D.C.L. \del nudo)

Teorema de Lamy: T i W

Sen150 Sen ( 1 2 0 - 0) 2WT i =

0 = 30

**v*

Sen (1 2 0 -0 )

Tv ser mnima, cuando la funcin Seno tome su mximo valor, es decir igual a la unidad.

Sen (120o- 0 )= 1

Entonces: 12O -0 = 9OLuego

PROBLEMA Ne 9

Si la reaccin en ,rA" de la pared lisa sobre la barra es de 5 newtons y la bprra uniforme y homognea AB pesa 12 newtons. Hallar la magnitud de la fuerza horizontal F" que mantiene en equ ilibrio a la barra.

*

**

*

SOLUCION .Diagrama de cuerpo libre, de la barra.

EquiliDrio de Traslacin: Fuerza resultante igual a cero.

Teorema de Pitgoras: F2 = W2 + N2 F2 = 144 + 25

F = 13 N

53

Una barra homognea de longitud L = 2m se apoya en una pared vertical y una superficie c ilindrica de radio R = ^7 m. Hallar " 0 No hay friccin.

PROBLEMA Ne 10

L S e n I

+

En el A ACO, P es punto medio, por consiguiente:

0B = BC = L. Sen 0 . . (1)

Teorema de Piigoras en el A ACO.

R2 = (L Cos G)2 + (2 L Sen 0)2

R2 = L2 Cos2 0 + L2. Sen2 G ++ 3 L2. Sen2 0

R2 = L2 + 3. L2. Sen2 G

Sen2 0 = - y ~ 3L

***********

* * * * * * * St! * * * * *

Del teorema de Lamy, las tres fuerzas concurren en el punto "P \

L Sen

Reemplazando datos:

Sen 6 = 2

0 = 30

K MOMENTO DE UNA FUERZACONCEPTO.

La experiencia muestra que un cuerpo rgido sometido a la accin de una fuerza, adems de trasladarse, puede girar alrede^ dor de un punto. El efecto rotatorio de una fuerza se caracteriza por su momento.

********

3) Sentido: Se determina aplicando el mtodo de la mano derecha, los dedos indican el sentido de giro y el pulgar el sentido del vector momento. Tiene la misma direccin y sentido, de la velocidad angular.

SIGNOSEl momento es positivo si el giro es anti

horario y negativo si el giro es horario.,F

' ( + )M

r *7

A W / r p /L______ J____/ L____________ !

( - )

(ANTIHORARIO)

PROPIEDADES:

(HORARIO)

*************

**#*****Xf**

1) El momento de una fuerza no vara cuando el punto de aplicacin de sta se traslada a lo largo de su lnea de accin.

2) El momento de una fuerza con respecto al centro "O" es igual a cero, solamente cuando la fuerza es igual a cero o cuando la lnea de accin de la fuerza pasa por el centro de giro "O" (el brazo es cero).

3) El mdulo del momento de una fuerza se expresa numricamente por el doble del rea del tringulo OAB

= 2. rea (OAB)

Si, Area (OAB) = ^ lAB).d

Luego:

donde:

= (AB).d

AB = F = magnitud

2da. CONDICION DE EQUILIBRIO

"Todo cuerpo rgido sometido a la accin de un sistema de fuerzas no gira, si la suma- toria de momentos con respecto a cualquier punto es igual a cero'.

M = 0

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDOCuando las fuerzas estn actuando so

bre un cuerpo rgido, es necesario considerar el equilibrio en relacin tanto a la traslacin como a la rotacin. Por tanto se requieren las condiciones siguientes:

1 )

2 )

P rim e ra co n d ic i n (E q u ilib r io de traslacin): La suma de todas las fuerzas debe ser cero.

IF x = 0 y !F y = 0

Segunda cond ic in (E qu ilib rio Rotacional): La suma de momentos con respecto a cualquier punto debe ser cero.

PROBLEMA Nfi 01La barra quebrada en form a de "L", es

homognea de peso "3W". Determinar la magnitud de la fuerza F" , para mantener el segmento BC en posicin vertical. BC = 2. AB .

SOLUCION :El peso de los lados AB y BC, son proporcionales a su longitud respectiva.

********M0

Diagrama de fuerza sobre la barra.

Equilibrio de Rotacin

Z M a = 0

m F ,,W , . .2W MA = M A + M A

F = | W

*$*

SOLUCION:Diagrama de Fuerzas, sobre la barra.

PROBLEMA NB 02Si la barra homognea que muestra la

figura tiene un peso de 80N, hallar la tensin en la cuerda. Los ngulos a y p son complementarios.

*$

*************H*****$****$wV***$*A*****$***

I M a = 0

, .T MWm a = m a

T. (2 L Sen P) = W. (L Cos a)

T = ^ r

T = 40 N

CONCEPTOS ADICIONALES

1) SISTEMA FISICO:Es el cuerpo o conjunto de partculas consideradas en estudio, elegido en forma arbitraria.

( 1 )

; 11 iwt T!1I -I i T 1 L T j

2 f W212) 13)

56

La figura (1) muestra una esfera de peso w, y un bloque de peso w2 unidos mediante una cuerda de peso despreciable. Elegimos nuestro sistema fsico:(esfera + cuerda + bloque).

2) FUERZA EXTERNA AL SISTEMA :Es aquella fuerza que acta sobre el sistema con cuerpos o partculas externas al sistema.En la figura (2) se indica las fuerzas externas al sistema fsico elegido, ellos son: Los pesos w1 y w2, la tensin en la cuerda (T1 ) que une la esfera con la viga.

3) FUERZA INTERNA AL SISTEMA :Es aquella fuerza debido a la interaccin de cuerpos o partculas considerados dentro del sistema fsico. La sumatoria de todas las fuerzas internas siempre es igual a CERO.La figura (3) muestra la fuerza interna (T) al sistema fsco elegido.

4) SISTEMA A ISLAD O :Es aquel sistema fsico cuya resultante, de fuerzas externas, es igual a CERO.Ejemplo: Consideramos nuestro sis

tema fsico al planeta tierra ms su satlite LA LUNA como muestra la figura:

1 ) La fuerza "F", debido a la interseccin entre la tierra y la luna, es la tuerza interna al sistema fsico en estudio. Lum

0 T

T r

Tierra

bol

2)

*******************

*****

****+*

Sistema Fsico ?La fuerza T / , debido a la interaccin entre la Tierra y el Sol es una fuerza externa al sistema fsico en estudio.

La figura muestra una estructura en forma de "T" de peso despreciable. En los extremos de la ectructura se encuentran soldados dos esferas de pesos 14N y 17N respectivamente. Determinar el valor del ngulo " 0 " que define la posicin de equilibrio.

PROBLEMA

Realizamos el diagrama del cuerpo libre, del sistema fsico (estructura + esferas).

I M 0 = 0 M 14N = M ,7NO O

14.a(Cos 0 - Sen 0)=17. (2a. Sen 0)

7 Cos 0 - 7 Sen 0 = 17 Sen 0

7 Cos 6 = 24 Sen 0

Tg 0 = y 24

0 = 16

57

.................................................................. ... -

4 ROZAMIENTOCONCEPTO

La figura (1) muestra un bloque de peso "W" sobre una superficie plana horizontal y rugoso, al cual se le aplica una fuerza externa F variable desde cero hasta un valor mximo cuando el bloque se encuentra en movimiento inminente (pronto a moverse).

Cuando realizamos el diagrama del cuerpo liDre del bloque, ln fuerza de reaccin "R" ya no es perpendicular a la superficie en contacto, como ocurra con las superficies lisas (ideales), sino que esta fuerza es oblicua respecto al plano en contacto.

Al ngulo11 0 de desviacin que experimenta la reaccin R" respecto a la normal o perpendicular al plano, se le llama "ngulo de rozamiento".

A mecida que la fuerza externa aumenta su valor, el ngulo " G " tambin incrementa su valor, siendo mximo cuando e! bloque est pronto a moverse

Respecto a la figura (2), la fuerza de reaccin "R" que ofrece la superficie sobre el bloque, se puede descomponer en funcin

de dos fuerzas mutuamente parpendicula- res, una componente perpendicular a la superficie en contacto llamada Reaccin Normal" denotado con la letra "N" y la otra componente tangencial a la superficie en contacto llamada tuerza de rozamiento".

Por consiguiente la "fuerza de rozamiento" es un componente de la reaccin "R,r, tangente a la superficie en contacto.

La fuerza de rozamientc por deslizamiento se debe a la interaccin entre las molculas de los dos cuerpos en contacto.

COEFICIENTE DE ROZAMIENTO^)

Es aquella magnitud adimensional que - se define como la tangente trigonomtrica del ngulo mximo de rozai ment.

De la figura (2):

H = TgG = J j ... .(1 )

Leyes de Rozam iento p o r D eslizam iento

le ra . Ley: sLa fuerza de rozamiento se opone

al movimiento o posible movimiento relativo del cuerpo respecto a la superficie en contacto".

2da. Ley:"La fuerza de rozamiento es direc

tamente proporcional a la reaccin normal". De la ecuacin (1):

3ra. L e y :"El mdulo de la fuerza de rozai renlo

es independiente dei tamao de las superficies en contacto".

CLi .3LES DE ROZAMIENTO

Rozamiento Estticc (f s)Es aquella tuerza de rozamiento que se opone al posible movimiento reiativo del cuerpo respecto a la superficie en contacto. Su mdulo es variabia, desde cero hasta un valor mximo, cuando el cuerpo

58

se encuentra en movimiento inminente (pronto a moverse).

0 < f < fs .... (1 )Cuando el cuerpo est pronto a moverse, se cumple que:

f s = H s N | .... (2 )

= coeficiente de rozamiento esttico.

Hs = Tangente del ngulo " 6 mximo.

fs = fuerza de rozamiento esttico max.

Rozamiento C intico (f k)Es aquella fuerza de rozamiento que se opone al movimiento relativo del cuerpo respecto a la superficie en contacto Para movimientos lentos y uniformes su mdulo se considera constante.

f k = u k N .... (3)

^ k : coerciente de rozamiento cintico

OBSERVACIONES :I) Experimentalmente se demuestra

que la fuerza de lozamiento cintico es menor que la fuerza de rozamiento esttico mx mo, por consiguiente el coeficiente de rozamiento cintico es menor que el coeficiente de rozamiento esttico.

Si, f k < f s Entonces: n k < H s (4)

II) La fuerza de rozamiento por deslizamiento puede disminuir debido, a la humedad, caior, aceites, grasas y en general cualquier lubricante.

GRFICA DE LA FUERZA DE ROZAMIENTO VERSUS LA FUERZA EXTERNA:

La figura muestra un bloque de peso "W ", sobre un plano horizontal rugoso, el cual es sometido a la accin de una Fuerza Externa variable desde cero hasta un valor mximo, cuando e! bloque se encuentra en movimiento.

******4-*******************V*****$#**********

u

I F (e x t.)

I U

i

N

I e \ '\ R

\Donde: 'F (ext.) = 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... n, (N)f = fuerza de rozamiento variable.G = ngulo de rozamiento, variable.R = reaccin de la superficie.De la condicin de equilibrio, la fuerza de

rozamiento esttico, (f) tiene el mismo valor de la fuerza externa hasta cuando el bloque se encuentra todava en reposo relativo.

La fuerza de rozamiento esttico es mximo cuando el cuerpo est pronto a moverse.

Cuando el cuerpo logra moverse por accin de la fuerza externa, la fuerza de rozamiento disminuye y se hace constante el mdulo, como indica la figura.

f fuerza de rozamiento

F (ext.}

TEOREMA DE VAR1CNON

******

P. Varignon (1 654 - 1 722) es un destacado cientfico francs, matemtico y mecnico. En su libro "Proyecto de una Mecnica Nueva" (1687) explic los fundamentos de la Esttica.

59

Sistema Real

L

***********

************

Sistema Equivalente

"El momento producido por la fuerza resultante de un sistema de fuerzas respecto de un punto dado, es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto".

1 ) Clculo del momento resultante respecto del punto "O", en el sistema real.

]T M0 = Mo' + M ? 4 M ? +.... Mf " .... (1 )

En la sumatoria de momentos se tendr en cuenta los signos:

2 ) Clculo del momento producido por la fuerza resultante respecto del punto 0", en el sistema equivalente.

La fuerza resultante ser:

F r = Fi + F2 + F3 + .... Fn .... (2 )

3) Luego, el momento producido por la fuerza resultante.

M 5" = F R .d ....(3)

donde, "d es el brazo o distancia de la fuerza resultante.

4) De la condicin (hiptesis) las ecuaciones (1) y (3) son equivalentes.

Mo' + Mo2 + MoJ + .... + Mo" =MoR.... (4)

5) De otro modo:Mo = Fr . d .... (5)

6) El brazo de la fuerza resultante ser

X Mod = -

Fr

d = Sumatoria de M om entos Fuerza resultante

***$***

*******if************************

PROBLEMA Ns 1La figura muestra una barra ingrvida

AB, de longitud 2,5 m. A qu distancia del punto A", se encuentra aplicando la fuerza resultante?

80N

2.5m

UN

SOLUCION :Clculo del momento resultante, respecto del punto "A".

Ma = - 50 N. m

( - ) : giro horario

Clculo de la fuerza resultante F r =100 N

Teorema de Varignon:

60

FRM , -M a

- Fr . d = Ma

- ( 100N) x = 50 N.m

. X f ---------

A BnoN

x = 0,5 m

PROBLEMA N22A qu d istancia de B" se debe co lo

car el apoye fijo para que la barra de peso despreciable y 3m de longitud, permanez ca en equilibrio. Poleas ingrvidas.

W i= 4 N y W2 =10N

SOLUCION :1) D.C.L. de la barra AB.

t

--- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -0

jB 6N

TN

y8N

Equilibrio de Rotacin:

Z M o = 02N 8N

M = M

2N (3 - x ) = BN(x)

0

x = 0.u

*************************************$***********************sr+************

2) Aplicando el Teorema de Varignon: Clculo del momento resultante, sin considerar a la reaccin en el apoyo.

M b = 6 N.m .... (1)Clculo de la fuerza resultante en el eje y'.

Fy = 10 NLa fuerza resultante en el eje "x, no prodree rromen'o respecta de "B \

M B = Z Mb

Fy.(x) = Z Mb Reemplazando

10N (x) = 6N*m

x = 0,6 m

I) Para calcular "x :

F* I

II) Para calcular "d":

CONCEPTO.Se denomina as a dos fuerzas paralelas

de magnitudes guales pero sentidos opuestos que actan sobre un mismo cuerpo

SISTEMA (1)

61

***

**

$***

SISTEMA (2)

El momento producido por la cupla o par de fuerzas.

M = cunla = F . d ....(1)

La fuerza resultante de una cupla es igual a cero, esto quiere decir que no produce traslacin del cuerpo rgido, slo produce rotacin o giro

Z F r = 0

M * 0

El moaiei ito producido por una cupla es el mismo respecto a cualquier punto, como se puede comprobar en el sistema (2 )

Calculamos el momento producido por la cupla respecto de un punto arbitrario "O"

M = Z M0 = F.x + F.y = F (x+y) ....(2)

pero de la figura . x + y - d ....... (3)

Reemplazando (3) en (2):

M = F. d .... (4)

La cupla produce un momento en sentido antihorario (+) en este caso.

PROBLEMA N9 1

Reemplazar el PAR de fuerzas mostrado en la figura, por o tro equivalente, de tal manera que las fuerzas que la generan tambin estn aplicadas en A y B, pero sean de m dulo mnimo.

*********$$*

*****$****

****

****

**$*t***

*****t.*

SOLUCION:

El momento producido por el nuevo par" es 45 l'l.m, es dacr *

( F. d = 45

Pero d = (5) Sen 0

En (1): ^Sen 0

.... (2)

Analizando la Ec. (2), F sera (mnimo), cuando la funcin Sen 0 es mximo:

Sen 0 = 1 0 = 909

Reemplazando en (2):

F (mnimo) 9 N

PROBLEMA N9 2

Una palanca est doblada de tal modo que sus lados AB, BC y CO son iguales y forman entre s ngulos rectos (Ver fig.). El eje de la palanca AB eat en el punto B". Una fuerza P esta aplicada en el

62

punto "A " perpendcularmente al brazo de la palanca AB. D e te rm ina r e l va lo r mnimo de la fuerza que es necesario aplicar en el punto "D", para que la palanca se encuentre en equilibrio. El peso de la palanca es despreciable.

CI&

SOLUCIONSuma de momentos, respecto de B, iguala cero.

i- iM b = M b

F.d = P.a ....(1)

Pero: d = a 2 . Sen G

P

1)

3)

PESO (W) es una magnitud vectorial. Se define como la fuerza resuitantc oue ejerce la tierra sobre los cuerpos que lo rodean, se representa por un vector que indica en todo instante al centro de la tierra.

Peso = m.g (1)2)

4)

El centro de gravedad (G/ puede ser cor''ideradc como el punto dorde est concentrado el peso de un cuerpo, y sobre el cual se debe aplicar una fuerza numricamente igual al peso para establecer e. equii'bno.

Respecto de la figuras (1), (2) y (3), cuando se sostiene un cuerpo de puntos d ie n te s , se puede notar que el centro de gravedad se localiza debajo del punto de suspensin. Si se protonrian las lneas de suspensin vemos que stas se cortan en el punto donde se encuentra el centro de gravedad (G) del :uerpo.Para un cuerpo constituido por "n" comporsontes cuyos centros de gravedad estn determinados, el centro de gravedad del sistema se determ ina ap 'cando el Teorem a de Varignon, respecto de un sistema de coordenadas.

W = W i + W2 + W3

5) Teorema de Varignon, respecto del eje "Y

**sf*r**********s

*********************************

**t

W.X =Wt.Xl+W2. X2 +W3 . X3 Wi.X1 + W2-X2 + W3.X3

W, + W2 + W3 x : abscisa del centro de gravedad

Teorema de Varignon, respecto del eje x "

W.g = W 1 .Y1 + W2.Y2 + W3.Y3

W i.Y l+ W 2-Y2 + W3-Y3 W 1 + W 2 + W3 }

Y : ordenada del centro de gravedad *

6) Para cuerpos linealmente homogneos, jom o muestra la tigura (4), el peso se puede escribir en funcin de su longitud. El peso es directamente proporcional a su longitud.

W i = K. L1 , W2 = K.L.2 ; W3 = K.L3

Reemplazando en as ecuaciones (2)V (3)

L1 .X 1 + L 2 .X 2 + L3 .X 3x = --------- :------:------:------------ ... (4)

Y =

L i + 1-2 + L3

Li . Y i +I_2 . Y2 + L3.Y3 L1 + L2 + 1-3

7) Para cuerpos superficialmente homogneos (densidad constante e igual espesor), el peso es directamente propon . nal al rea.

W 1 =K. A i, W2 = K. A2 , W3 = K. A3

Reemplazando en las ecuaciones (2)y O)

_ A 1 .x n -A a -X 2 fA 3 .X 3 ... A l + A2 + A3 '

A i . Y1+ A2 Y2+ A3 . Y3 Ai + A2 + A3

8) Para un sistema de cuerpos de igual especfico.

Peso =Peso espec'ico x volumen

64

W, = K.Vi , W2 = K.V2 , W3 = K.V3 Reemplazando en las ecuaciones (3)y (2).

x= Vi . X i+ V2 . X2+ V3 X3 V i + V2 + V3

...(8)

Y= V-i .Y i+ V 2 . Y2h V?. Y3Vi + V2 + V3

iCC EN TR O D E M ASACONCEPTO.

Es aquel punto geomtrico donde se considera concentrado la masa de un sistema de partcu las. A p licando el Teorem a de Varignon se puede hallar la posicin del centro de masa respecte de un sistema de coordenadas.

i - II I 1Sistema real

****

**

***$***

**************$**$*****

*1?******

1) La posicin del centro de masas (C.M) est definido por las coordenadas (x,y)

2) De las ecuaciones (2) y (3), adems: Peso = m.g

^ _ m i . X1+ m2 . X2+ m3 . X3 mi + m2 + m3

y _ m i Y1+ m2 . Y2+ m3 . Y3 mi + m2 + m3

3) Las frmulas (10) y (11) se puede generalizar para un sistema de n" partculas.

4) En general:

Zm

*****3K

**********

6fc>

NOMBRE FIGURA

Tringulo h3

Cuarto de Circunferencia

Semicircunferencia

2RK

2Rit

2 Rn

Cuarto de Crculo

Semicrculo

4 R3 71

4 R3 n

4 R3 n

Arco de Circunferencia

SectorCircular

R . Sen G6

2R.Sen 030

66

67

c PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMA N9 1

En los vrtices de un cuadrado de lado 2 r. se han colocado cuatro partculas pun- tun es. Determinar el centro de masa (CM), respecto del sistema de cc i amadas.

Sea:mi = 1 kg m3 = 3 kg

m2 = 2 kg m4 = 4 kg

Consideremos la posicion : r =(X f Y)

ri = (0 2) 12 = (2 ;2 )r3 = (2 ,) r4 = (0 ;0)

X i.m i + X2.m2 + X3.IT13 + X4.ITUX =

X =

mi + m2 + m3 + m4

0)(1) + (2)(2) + (2)(3)+ (0X4) 1 + 2 + 3 + 4

O)X = 1,0 m

Y=

Y =

Y1 . m i+ Y2 . rr\2+ Y3 . m3+ Y4 . m4 mi + m2 + m3 + m4

2(1) + 2(2) + (0)(3) + (0)(4)1 + 2 + 3 + 4

.... (2)Y = 0,6 m

Luego: C.M = (1,0 ; 0,6)

*

**8**

PROBLEMA N2 2

Hallar el centro de gravedad del alambre mostrado en la figura, con respecto al sistema de coordenadas que se indica. Considere conocido SR".

***

!I .< * * sH * * * s * * S * s * * * * * * * <

* t * * * * sH * *

Dividimos el alambre en tres longitudes de semicircunferencias:

L1 = 7t R L2 = L3 = 7t.

G i = ( R ; - )K

g 2 = fR . R 2 n ; G3 = ( l - f )- = Xl .L 1 + X2 .L 2 + X3 .L3

Ll + l_2 + I-3

R(nR) +

X =

+ f l f i L 2 2 i _______ L

2 2R +7t R

X = R

z 2 R \K

Y =

7cR) +

.. . ( 1 )

' ^ l +^-RYnR

7t

2 7t R

y = - B71

....(2)

68

El centro de gravedad estar ubicado en

G = ( R ; R n -1 )

PROBLEMA Ne 3Hallar el centro de gravedad, de la

figura sombreada , siendo R = 36 cm y r = 18 cm.

Y = -M R 2 - ! 2)

Y = 30 cm

El centro de gravedad ser:

G = (36 ; 30) cm.

*$******

Por simetra de la figura, la absisa del centro de gravedad estar en.

X = R = 36 cm.Consideremos como rea total el crculo de radio (R) y el rea por restar el crculo de radio (r)

A i = n. R2 ; A2 = it. r2Gi = (R ;R) ; G2 (R ; R+ r)

Y i . A i - Y2 . A2 A , - A 2

Reemplazando:

R (7t . R2) - (R + r) (ii r2)

PROBLEMA Ne 4

En un c ilindro de radio R" y altura H" se realiza una perforacin cnica. El

cono tiene su base en la parte superior del c ilind ro y su vrtice cae en el centro geomtrico de la base del cilindro. Determ inar el centro de gravedad del cuerpo que queda.

**

**************

&*****m****************

SOLUCION .

Consideremos el cilindro como el cuerpo total (1 ) y el cono como el volumen (2 ) que tenemos que restar.

V i= j t . R2 , H ; V2= ^ j iR 2 .H

G i= (0 ; H/2) ; G2= (0 ; 3H/4)

Por simetra de la figura, el centro de gravedad estar en el eje del cilindro.

Y = Y i . V i - Y g . V g V i - V 2

Y(H/'2)(7t R2 H) - (3H /4)(ti R2 H /3)

2 n R H /3

* - | h

El centro de gravedad se encuentra a una altura 3 H/8, respecto de la base, del cuerpo resultante.

PROBLEMA N2 5La figura (1) muestra una lmina ho

mognea (densidad constante) ABC de form a triangular. Sabiendo que el lado AB permanece en posicin horizontal (m. AB = 20 cm), hallar el valor de " m.AP "

69

P : es el punto donde est atado la cuerda vertical.

SOLUCION :

************************

, luego: x = 2 cm .... (1 )

El centro de gravedad de una lmina homognea de forma triangular se encuentra en el baricentro del tringulo, esto quiere decir en la interseccin de las medianas

Del diagrama del cuerpo libre, la tensin (T) y el peso (W), son vectores opuestos, tienen igual magnitud y direccin, pero sentidos opuestos. Por consiguiente la lnea de accin de la tensin pasa por el "centro de gravedad", en la posicin de equilibrio

Por semejanza de tringulos:

A MPG ~ A MQC

x + 4 3a

M es el punto medio del segmento AB

luego: m.AM = 10 cm

De la figura: Z = m.AM + x .... (2)

Reemplazando datos en (2):

Z = 10 cm + 2 cm

m. AP = 12 cm

PROBLEMA N2 6La figura muestra un cono recto de

altura 40 cm y radio 20 cm, suspendido desde el punto P.

Si P es punto medio del radio, determ inar el ngulo " t que form e el eje del c ilindro con la vertical.

******n****

e = 45

PROBLEMA Nfi 7Una semiesfera de 16 newtons de peso

se encuentra apoyada sobre una pared vertical lisa. Determinar la fuerza de reaccin norrra de la pared sobre la semiesfera.

G : centro de gravedad de la semiesfera

O : centro geomtrico de la semiesferaR : radio de curvatura

g = | r

SOLUCION :Sobre la semiesfera actan tres fuerzas coplanares y concurrentes, que son, el peso (W), la reaccin normal (N) y la reaccin (F) en la rtula.

*******$**********

***********

*************************************

******

De la 2da. condicin de equilibrio, respecto del punto A.

M a = 0

N WM 4 - M a = 0

(1)

N. R -W . OG = Q ....(2)

del dato: OG = RO (3)

Reemplazando datos en (2)

N. R - (16) . f . R = 0 8

Luego:N = 6 newtons

PROBLEMA Ne 8La figura (1) muestra tres lad rillos

idnticos de longitud mayor "L", co locados de manera peculiar, determ inar el mximo valor de "x , de tal modo que el conjunto permanezca en equilibrio.

F i g . ( l )

r -!i

- -

= i i

l i .........? ; ! ii III ! Mjllllj

71

SOLUCION :D.C.L. del sistema de dos ladrillos.

u

r_ _

u -

N

La experiencia que el 1er ladrillo (el que est en contacto con el plano horizontal) no puede girar, por consiguiente cuando se produce el desequilibrio el 2do ladrillo gira con respecto al extremo derecho del 1er ladrillo.Cuando analizamos al sistema (ladrillo #2 y #3), la reaccin normal "N" se concentra en el extremo del 1er ladrillo.

IFy = 0 , entonces: N = 2W . . . . (1)

Esto quiere decir que la fuerza resultante" de todos los pesos se concentra en el extremo derecho del 1 er ladrillo.

La figura muestra el D.C.L. del sistema de dos cuerpos (ladrillos # 2 +# 3).

i )

l r

( L - X )

*i**********

$********#**$

*****#**

****$***$*******

$*

4 ?

De la 2da condicin de equilibrio:

ZM0 = 0

M n - M W- M W= 0

N.(L-x)-W

.... (2)

0 .... (3)

Reemplazando (1 ) en (3)

2W (L-x) - W f jr

&HH-sn (3)

2 L - 2 x - | - | - x = 0

2L - 3x = 0, entonces :

(4)L

La figura (2) muestra "n ladrillos idnticos de longitud mayor "L" colocados de manera peculiar, determinar el mximo valor de "x, de tal modo que el conjunto permanezca en equilibrio.r L ^ > V *T

F i q ( 2 )

11 1 ; * ^ i'- ",; i ! m r .i ! bu * I.JKI. i ! IdiHi _ mu 1 1Anlogamente al problema anterior se demuestra que, x es igual a:

x = -

*+**#****

Donde: n = 2, 3, 4, 5, 6

PROBLEMA Nfi 9Sobre un plano que form a con la hori

zontal un ngulo de 37, se apoya un c ilindro recto de radio 30 cm. Qu altura mxima (H) podr alcanzar el c ilindro sin perder el equ ilib rio? Existe sufic iente rozamiento para no resbalar.

72

SOLUCIONMientras la lnea de accin del peso pase por el plano de sustentacin (AB), el cilindro no volcar. La mxima altura lo encontraremos cuando la lnea de accin pasa por "A".

La reaccin que ejerce el plano sobre el cilindro, es vertical y se concentra en el punto A.De la geometra; la altura maxima ser:

H = 80 cm

PROBLEMA N- 10La figura muestra una placa cuadrada

homognea en posic in de equ ilib rio , donde el punto "O" es el punto de suspensin. Si G = 53, hallar:

****$******************

*******1**#**

SOLUCIONEn el diagrama de fuerzas, aplicadas al cuerpo, en la posicin de equilibrio: "La tensin en la cuerda y el peso del cuerpo, deben ser colineales".Consideramos el lado cuadrado "8a'', entonces:AM = 4a ; MO = 3a , OB = a

*******

Luego: AO = 7a OB = a

AOOB = 7

73

(........ . J______

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE ESTATICA

PROBLEMA Nfi 1La figura muestra un bloque de 20

newtons de peso en posicin de equilibrio. Si el peso de cada polea es de 4 newtons, dete rm inar la tens in en la cuerda "1

SOLUCIONHagamos D.C.L de todo el sistema-

TUTIFy+ = EFy- ^4T = 24

T = 6NE l

24

Hagamos D.C.L. de la polea mvil

Fy+ = XFy2T = T i + 4 12 = T i + 4

Ti = 8N

a) 20N

d) 35N

b) 25N

e) 40N

c) 30N

*****

**

l**********************a:***********a:-4*

PROBLEMA Ns 2Determinar la tensin en la cuerda "1"

si el bloque que pesa 70 newtons y cada una de las poleas m viles pesa 10 newtons.

PROBLEMA Ns 3Si la esfera mostrada en la figura pesa

80N, determinar la tensin en la cuerda y la fuerza ae reaccin en la pared vertical. No existe rozamiento.

SOLUCION:Haciendo D.C.L. de la esfera y construyendo el tringulo de fuerzas.

**

74

Resolviendo el tringulo rectngulo notable:

T = 100N R = 60N

PROBLEMA Ns 4La figura muestra una esfera maciza

de 60 newtons de peso apoyada sobre dos planos inc linados com pletam ente lisos. Determinar la fuerza de reaccin en los puntos de contacto A y B.

a) 75N ; 45N b) 45N ; 75Nc) 80N; 75N d) 100N ; 80Ne) N.A.

PROBLEMA N9 5La barra AB mostrada en la figura, de

12 N de peso, se encuentra en equilibrio apoyado en una pared vertical y en un plano inclinado completamente liso. Si la fuerza de reaccin en el apoyo A es de 5N hallar la fuerza de reaccin en el apoyo B.

SOLUCION:Haciendo D.C.L. de la barra y construyendo el A de fuerzas:

**

***************************

***

********************

de donde, por Teorema de Pitgoras deducimos que:

Rb = 13N

PROBLEMA N9 6Si la barra AB mostrada en la figura, de

17,3 newtons de peso, se encuentra en equilibrio apoyado en un plano inclinado completamente liso, siendo la fuerza de reaccin en el apoyo A de 15 Newtons, hallar la tensin en la cuerda BC paralela al plano inclinado.

PROBLEMA Nfi 7Si la barra AB mostrada en la figura

pesa 48 newtons y la tensin de la cuerda CD que la sostiene es de 52 newtons, hallar la fuerza de reaccin en el pasador A, sabiendo que esta fuerza es horizontal.

75

Haciendo D.C.L. de la barra y construyendo el A de fuerzas.

SOLUCION-

Ra = 20N

* *(S

* *

de donde, aplicando T. de Pitagoras, de- J ducimos que: *

* * * *

PROBLEMA Nfi 8Si la *>arra AB y el bloque Q pesan 20N *

y 5N respectivamente y la tensin de la cuerda que mantiene el sistema en equili- * bro es de 30 N, determinar la fuerza de * reaccin en el pasador (A).

* * *

b) 15N ''ue,(a / ~ |a) 10N

c) 20Nd) 25N

*

***

e) 30N ^ 1 %***

PROBLEMA N=> 9 *jjj

Si el peso de la esfera mostrada en la $ figura es de 10N, hallar la tensin de la * cuerda y la fuerza de reaccin que ejerce el plano inclinado sobre la esfera.

***** ****#**

T = 10 N

R = 12 N

a) Ra = 50 ; RB = 30b) Ra = 50 ; Rb = 40c) Ra = 3C ; Rb = 40d) Ra = 40 ; RB = 30e) N.A.

Haciendo D.C.L y construyendo A de fuerzas:

SOLUCION

Por ley de Senos: _ 1_, =- 1 Sen53 Sen53

Sen 74De donde despejando:

PROBLEMA Nfi 10Si la esfera mostrada en la figura pesa

14 newtcns, hallar las fuerzas ae reaccin en los puntos de apoyo A y B.

Dar respuesta en newtons.

lu

76

Si el sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio, hallar la tensin en la cuerda B, y la fuerza de comprensin en la barra B, de peso despreciable, sabiendo que: AB = 3m; J = 4m

PROPLMA Nfi 11 ***

**

Haciendo D.C.L. de una "porcin" baa y graficando el A de fuerzas:

C N.

ae

Como el A de fuerzas es semejante al A geomtrico ABC, se tiene la siguiente razn de proporcionalidad:

_8____ T____C^ 8 T _ CAC ~ BC _ AB ^ 2 4 3

De donde:

T = 16N C = 12N

PROBLEMA Ns 12

Si el sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio, siendo el peso del bloque Q 15 Newtons, determ inar la tensin en la cuerda AB y la fuerza de comp re n s i n en la b a rra AC de p e so despreciable.

(AB = 40 cm ; AC = 60 cm.)

*s***************&***Sfc**s*O#****************r*r*******He*****

***

SOLUCIONHaciendo D.C.L. del nudo y aplicando el Teorema de Lamy tenemos:

30cm

a )T = 20 N ; C = 15Nb) T = 20 N C = 30 Nc) T = 60 N ; C = 15 Nd) T = 60 N ; C = 30 Ne) N A.

PROBLEMA Ng 13Si el sistema mostrado en la figura se

encuentra en equilibrio, hallar las tensiones en las cuerdas A y B. El bloque pesa 200 newtons.

77

200 Ta T bSen 53 Sen 164 Sen 143

200 _ Ta4 1_5 25

De donde:

I b35

T a = 70 N

TB = 150 N

PROBLEMA Nfi 14En el sistema en equilibrio mostrado

en la figura determinar las tensiones en las cuerdas A y B si el peso del bloque es de 200 N.

a) 50 N , 146 N c) 100 N ; 146 N e) N.A.

b)50 N; 173 N d)100N;173N

SI el sistema fsico mostrado en la figura se encuentra en equilibrio, siendo BC una cuerda horizontal, determ inar la tensin en la cuerda CD.

*************

*********************

*****************

T

5orrJ

Fx = 0

T3 Sen30 = T2 ... (2)

T3 = 8N

PROBLEMA N9 16Determinar el peso del bloque Q sa

biendo que el sistema mostrado se encuentra en equilibrio y que las tensiones en los cables AB y D son respectivamente 130N y 120 \2 . La cuerda B es horizontal.

Haciendo D.C.L. del nudo C:

Fr 0

TZ = 4N ...(1)

78

SOLUCION:Haciendo D.C.L. del nudo A:

T, - J 2 = 100N

Haciendo D.C.L. del nudo B:

IF y =0

T=T2 Cos60

de donde:

T = 50N

PROBLEMA Nfi 18Si el sistema fs ico mostrado en la

figura se encuentra en equilibrio, determ inar los pesos de los bloques P y O. W = 200N.

a) 100N; 200N b)200N ; 10CNc) 300N ; 346N d)346N ;200Ne) N.A.

PROBLEMA Ns 19Si el sistema mostrado se encuentra

en equilibrio, determ inar la tensin en la cuerda oblcula "A ". El bloque Q pesa 40 newtons.

**

*

**

*

X

SOLUCION:Haciendo D.C.L. de la cuerda MN:

**************

***-i**************tM***SC***

I Fy = 0

Ta Sen 53 = 40

TA =50 N

PROBLEMA NB 20Si el bloque Q pesa 25 newtons, deter

minar el peso del bloque P para que el sistema se encuentre en equilibrio en la posicin indicada.

a) 15N

d) 50Nb) 25N e) N.A.

c) 25 43 N

79

Si en el sistema fsico mostrado en la figura, el peso del bloque Q es de 20 new tons y en la polea fija no existe ro