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Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1

Ementa

Introdução à Física, Vetores, Movimento em uma

dimensão;Movimentos em duas e três dimensões, Leis de

Newton, Trabalho e energia, Energia potencial e

conservação da energia, Sistema de partículas e

conservação do momento linear, Colisões;Rotações.

Bibliografia Básica

HALLIDAY, D., RESNIK, D. e WALKER, J.;

Fundamentos de Física 3: Mecânica. 6ª Edição. Rio de

Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 2002.

Bibliografia Complementar:

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica

:Mecânica. Volume 1. 3ª Edição . São Paulo: Editora

Edgard Blücher LTDA, 1997.

Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D. Física.

2ed. Rio de Janeiro: livros técnicos e científicos, 2000. v.1.

Tipler, P. A. Física. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

V.1.

www.claudio.sartori.nom.br

Introdução:

A Física é uma ciência baseada em observações

experimentais e quantitativamente mensuráveis. Seu

objetivo é encontrar um conjunto de Leis fundamentais que

governam os fenômenos naturais e utilizá-las para poder

prever resultados em futuros experimentos.

As Leis fundamentais utilizadas no desenvolvimento

de teorias são expressas em linguagem matemática, uma

espécie de ―ponte‖ que liga a teoria ao experimento.

Quando ocorre uma discrepância entre a teoria e o

experimento, novas teorias são formuladas para remover a

discrepância. Muitas vezes as teorias são satisfatórias sob

um conjunto limitado de condições; as teorias mais gerais

devem ser satisfatórias sem limitações. Por exemplo, as

Leis do movimento descobertas por Isaac Newton (1642-

1727) descrevem precisamente o movimento de corpos sob

velocidades normais, porém, não se aplicam a corpos com

velocidades próximas à da luz. Em contraste, a Teoria

especial da relatividade desenvolvida por Albert Einstein

(1879-1955) em torno de 1900 descreve o movimento de

corpos com quaisquer velocidades, coincidindo os

resultados com a teoria de Newton para corpos com

velocidades inferiores à da luz.

A física clássica, que consiste de toda física

desenvolvida antes de 1900, inclui a teoria, conceitos, leis e

experimentos em mecânica clássica, termodinâmica e

eletromagnetismo.

Importante contribuição para a física clássica veio dos

trabalhos desenvolvidos por Newton, que desenvolveu a

mecânica clássica como uma teoria sistemática e foi um

dos criadores do cálculo e de todo um verdadeiro

ferramental matemático.

O desenvolvimento da mecânica continuou pelo século

18, mas nos campos da termodinâmica, eletricidade e

magnetismo não foram desenvolvidos até por volta

do século 19, pprincipalmente porque antes dessa

época, havia difículdade para avaliar os aparatos

para o controle de experimentos e seus resultados.

Uma nova era da física, conhecida como física

moderna, iniciou-se por volta do início do século 19,

pois foram descobertos vários fenômenos que não

eram explicados pela física clássica.

Os mais importantes desenvolvimentos da física

moderna são as teorias da relatividade e a teoria da

mecânica quântica. A teoria de Einstein da

relatividade revolucionou os conceitos de massa,

tempo e energia; a mecância quântica, a qual se

aplica ao mundo macro e microscópico, foi

originado por um grande número de distintos

cientistas que descreveram fenômenos físicos em

nivel atômico.

Os cientistas constantemente trabalham

para improvisar experimentos qua auxiliem no

entendimento de fenômenos naturais, desenvolvem

teorias e novas descobertas sugem nas mais

diferentes áreas da ciência, como na física, geologia,

química e biologia, causando um enorme impacto

na sociedade.

http://www.claudio.sartori.nom.br/


CAPITULO 1

UNIDADES, GRANDEZAS FÍSICAS E

VETORES.

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES DE MEDIDA (SI); ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS.

MEDIDAS.

1971 – 14a conferência geral de pesos e

medidas – Sistema Internacional de unidades (SI).

Quantidade

Fundamentais

Nome da

unidade

Símbolo

Comprimento metro m

Massa kilograma kg

Tempo segundo s

Prefixos para o sistema SI:

Fator Prefix Símbolo Fator Prefix Símbo

lo

1024

yotta Y 10-24

yocto y

1021

zetta Z 10-21

zepto z

1018

exa 10-18

Atto a

1015

peta P 10-15

femto f

1012

tera T 10-12

Pico p

109 giga G 10

-9 Nano n

106 mega M 10

-6 micro

103 kilo k 10

-3 Milli m

102 hecto h 10

-2 centi c

101 deka da 10

-1 Deci d

Prefixos mais usados:

Fator Prefix Símbolo

106 mega M

103 kilo k

10-2

centi c

10-3

Milli m

10-6

micro

10-9

Nano n

Alguns fatores de conversão:

Massa Comprimento Volume

1kg=1000g=6.02

.1023

u

1m=100cm=39.

4in=3.28ft

1m3=1000l

=35,3ft3=2

64gal

1slug=14,6kg 1mi=1.61km=5

280ft Tempo

1u=1,66.10-27

kg 1 in=2.54cm 1d=86400s

Densidade 1nm=10-9

m=100

A

1year=

41365

d=3,16.107s

1kg/m3=10

-

3g/cm

3 1 light-

year=9,46.1015

m

Medida

Angular

1rad=57,30

=0,159rev

rad=1800=

1/2 rev

Velocidade Pressão Energia

1m/s=3,27ft

/s=2.24mi/h

1Pa= 1N/m2 1J=10

7erg=0,239cal=0

.738ft-lb

1km/h=0.27

8m/s

1Pa=1dyne/cm2 1kWh=3,6.10

6J

1km/h=0.62

1mi/h

1Pa=1,45.10-

4lb/in

2

1cal=4,19J

Força 1atm=1,01.105Pa 1eV=1,60.10

-19J

1N=105dyn

e

1atm=14,7lb/pol2 Potência

1lb=4,45N 1atm=76cm-

Hg=760mm-Hg

1

horsepower=746W=5

50 ft.lb/s

Observações:

inch: polegada

feet: pé

light-year: ano-luz, distância que a luz

percorre em um ano.

horsepower: cavalovapor

Notação Científica: Resultados obtidos em calculadoras ou

computadores , possuem formatos do tipo dos

exemplos abaixo:

Exemplo 1 - Visor:

126,096E+06=126,096.106

Escrito em notação científica:

1,26096.108

Exemplo 2- Visor:

0,0108E-08=0,0108.10-8

Escrito em notação científica:

1,08.10-10

Teoria dos erros:

Erros aleatórios e Sistemáticos

Na medição de grandezas físicas, como

comprimentos, intervalos de tempo, voltagem entre

dois pontos, carga elétrica, etc, há fontes de erros

que a afetam. As medidas são afetadas por erros

experimentais classificados em dois grandes grupos:

Erros sistemáticos

Erros aleatórios

Os erros sistemáticos são causados por

fontes identificáveis, podendo ser eliminados ou

compensados. Prejudicam a exatidão (―accuracy‖)

da medida.

Causas dos erros sistemáticos:

Instrumento que foi utilizado.

Método de observação utilizado.

Efeitos ambientais.

Simplificação do modelo teórico

utilizado.


-4 -2 0 2 4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

68,7%

95,45%

Z

Y

Ao realizar as medidas, deve-se identificar e

eliminar o maior número possível de fontes de erros

sistemáticos.

Os erros aleatórios são flutuações pacima ou para

baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das

medidas realizadas de uma mesma grandeza numa mesma

situação experimental esteja desviada para mais e a outra

metade esteja desviada para menos, afetando portanto a

precisão.

Algumas fontes de erro típicas:

Métodos de observação.

Flutuações ambientais.

Os erros aleatórios podem ser tratados

quantitativamente através de métodos estatísticos, de

maneira que seus efeitos na grandeza física medida

podem ser em geral, eliminados.

O Tratamento Estatístico

Tendo N conjunto de dados xi, calculamos a média e

o desvio padrão da forma:

N

xN

ii

1

N

xN

ii

1

2

Se os dados xi forem distribuídos em frequência fi:

N

ii

N

iii

f

fx

1

1

N

ii

N

iii

f

xf

1

1

2

A variância é definida como o quadrado do desvio

padrão (2). Relações importantes:

22 xx

Onde:

N

ii

N

iii

f

xf

x

1

1

2

2

(Média Quadrática).

A distribuição Normal ou de

Gauss:

Foi Gauss (&&)

quem deduziu a expressão

para a chamada distribuição Gaussiana ou Normal:

22

2

2

1

x

eY

(&&)

Carl Friedrich Gauss (1777-1855),

Brunswick, Germany Podemos trabalhar com a variável

denominada de variável reduzida z:

xz

Nesse caso, a distribuição Normal ou

Gaussiana fica:

2

2

2

1z

eY

Esta é uma expressão mais simplificada,

cujo gráfico está dado a seguir:

Veja que há uma área sob a curva de 1.

Quando x se encontra no intervalo de ( - , + ),

a área sob a curva é de 68,7%; já quando x se

encontra no intervalo ( - 2 , + 2 ) a área já é de

95% ou 0.95.

Distribuição Normal ou Gaussiana

Média

Variância 2

Desvio Padrão

Coeficiente de simetria 0

Observe que a curva Gaussiana ou Normal

é uma curva simétrica em relação ao eixo Oy, tendo

50% de área à esquerda e a direita do eixo Oy.


Veja como se aproxima da distribuição Normal

um resultado para N=8 para um exemplo de lançamento de

moeda ) p = 0.5 = q:

Erros na Fase de Modelagem:

Necessita-se de várias simplificações do mundo físico,

em geral, para se tentar representar um fenômeno natural

por um modelo matemático. Esses erros levam em

consideração a precisão dos instrumentos de medidas.

Em geral se um instrumento possui precisão p,

definida em geral pela metade da menor divisão; faz-se um

conjunto de N medidas. Ao apresentar o resultado final

teremos que calcular a média x do conjunto de xi medidas

e o desvio padrão :

x

N

i

i

N

x

x

x

y

N

i

i

N

y

y

y

1

1

2

N

xxN

i

i

O erro x associado à média será:

Nx xN 1

;N

yyN 1

Assim o resultado a apresentar será dado por:

Se p

xxps xx; yyps yy

Se < p

px

xxx pxps ; yyy pyps

Tais erros em operações matemáticas se

propagam: Assim, suponha que faz-se medidas diretas das

variáveis x e y com médias yx; , desvios x e y e erros

dados por x e y. Teremos que fazer o que se chama de

propagação de erros nas operações matemáticas:

1) Soma S = x + y e diferença D = x - y:

Nesse caso o erro na soma ou na diferença é dado

por:

22yxDS

2) Produto P = x.y

22

y

y

x

xyxP

3) Quociente Q = x/y

22

y

y

x

x

y

xQ

4) Potenciação: F = xny

m

22

y

ym

x

xnyxF

yxF

mn

mn

Tais regras são conhecidas como regras de

propagação de erro.

Caso Geral:

Se tivermos uma função f de n variáveis, o

erro na função f é dado por: 22 2

2 2 2f f ff D x y z

x y z

Apresentação do resultado

O resultado deve ser apresentados em

termos dos algarismos significativos (todos os

corretos da medida mais o primeiro duvidoso, ou

seja matematicamente, todos da esquerda para a

direita) . Por exemplo:

12,345 - 5 Algarismos significativos

(digito 5:duvidoso)

0,00012 – 2 AS

-1,234.10-5

– 4 AS

Exemplo 3 – Mediu-se a espessura de uma

lâmina e encontrou-se a seguinte tabela: (medido

com paquímetro p=0.025mm)

Espessura (mm)

2,23

2,25

2,31

2,18

2,21

2,23

01.024.2ee mm pois

0140,06

03437,0x

Como a precisão p = 0.025, ou seja, maior

que o desvio padrão, aí escrevemos como:

03.024.2pe


Sistemas de Unidades. Grandezas

Fundamentais

O SI também é conhecido como sistema métrico.

As grandezas derivadas do SI são dadas em

termos das fundamentais.

As grandezas fundamentais são:

Metro: (m)

O metro foi definido, em 1792 na França, como 1

décimo de milionésimo da distância do pólo norte para o

equador. Atualmente é definido como a distância entre

duas linhas finas gravadas em uma barra de platina-irídio,

mantida no International Bureau of Weights and Measures

próximo à Paris.

Em 1960 foi adotado um novo padrão para o

metro, baseado no comprimento de onda da luz.

Especificamente, o metro foi redefinido como 1650763,73

comprimentos de onda de uma particular luz vermelho-

alaranjada emitida por átomos de Kriptônio-86.

COMPRIMENTOS TÍPICOS m

Distância ao mais afastado quasar (1990) 2.1026

Distância à galáxia de Andrômeda 2.1022

Distância à mais próxima estrela (Próxima

Centauri)

4.1016

Distância ao mais afastado planeta (Plutão) 6.1012

Raio da Terra 6.106

Altura do monte Everest 9.102

Espessura dessa página 1.10-4

Comprimento de onda da luz 5.10-7

Comprimento de um vírus típico 1.10-8

Raio do átomo de hidrogênio 5.10-11

Raio de um próton 10-15

Tempo: (s)

Para medir tempo-padrão, os relógios atômicos

foram desenvolvidos em diversos países.

A 13a conferência geral de pesos e medidas adotou

o segundo padrão baseado no relógio atômico de césio.

(NIST- Colorado USA)

Em princípio, dois relógios de Césio funcionando

por 6000 anos não atrasariam 1s em relação ao outro.

Relógio de Césio Padrão, no NIST (USA)

Intervalo de Tempo (s)

Tempo de vida de um próton 1039

Idade do universo 5.1017

Idade da pirâmide de Quéops 1.1011

Expectativa de vida humana (EUA) 2.109

Duração de um dia 9.104

Tempo entre duas batidas do

coração humano

8.10-1

Tempo de vida de um múon 2.10-6

Menor pulso luminoso no

laboratório (1989)

6.10-15

Tempo de vida da mais instável

partícula 10

-23

Constante de tempo de Planck 10-43

Massa: (kg)

A unidade padrão para a massa é um

cilindro de platina-irídio guardada no International

Bureau of Weights and Measures , próximo à Paris,

França, como mostramos na figura

abaixo:corresponde a uma massa de 1kg, de acordo

internacional.

1kg padrão internacional. Algumas massas típicas:

Massa kg

Universo conhecido 1053

Nossa galáxia 2.1041

Sol 2.1030

Lua 7.1022

Asteróide Eros 5.1015

Pequena Montanha 1.1012

Periferia do Oceano 7.107

Elefante 5.103

Grampo 3.10-3

Grão de Areia 7.10-10

Molécula de

Penicilina

5.10-17

Próton 2.10-27

Elétron 9.10-31


Análise de Equações e variáveis em Física.

Análise dimensional:

Muitas vezes em problemas e medidas é de

extrema utilidade analisar a dimensão da grandeza a ser

medida ou da variável em questão. Para isso representamos

as grandezas fundamentais como:

Medida Nome da

unidade

Símbolo Dimensão

Comprimento metro m [L]

Massa kilograma kg [M]

Tempo segundo s [T]

Exemplo 4 – Analisar a dimensão da grandeza

pressão:

P=F/A

F=ma

Grandeza (unidade SI) Dimensão

Aceleração a (m/s2) [L][T]-2

Massa (kg) [M]

Força (1N=kgm/s2) [M][L][T]-2

Pressão (N/m2) [M][L][T]-2/[L]2

[M][L]-1[T]-2

Assim, a análise dimensional para a Pressão nos

dá: =[M][L]-1

[T]-2

.

Definições do sistema de unidades básicas do

SI:

Unidade de

comprimento

metro É o comprimento atravessado pela luz no

vácuo num intervalo de

1/299 792 458 de um segundo.

Unidade de

massa

kilograma Massa de um protótipo padrão internacional.

Unidade de

tempo

segundo O Segundo é a duração de

9 192 631 770 períodos da radiação correspondente

para a transição de dois

níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de

Césio 133.

Unidade de

corrente

elétrica

ampere O ampére é uma corrente a qual, mantidos dois fios

condutores de

comprimentos infinitos e paralelos e de

negligenciável área de

seção reta circular, s

separados por 1 metro no

vácuo, produzir-se-á entre esses condutores uma força

de 2 x 10-7 newton por

metro de comprimento.

Unidade de

temperatura

termodinâmica

kelvin O kelvin, unidade de

temperatura termodinâmica, é a fração

de 1/273.16 da temperatura

do ponto triplo da água.

Unidade da

quantidade de

uma substância

mole 1. O mole é a quantidade

de uma substância de um sistema o qual contém

quantidades elementares existentes em 0,0012 kg de

carbono 12, simbolizando

o "mol."

2. Quando n mole é usado,

as entidades elementares

devem ser especificadas, podendo ser átomos ou

moléculas, íons, elétrons

ou outras partículas.

Unidade de

quantidade

luminosa

candela A candela é a intensidade

luminosa, em uma dada direção, de uma fonte que

emite radiação

monocromática de frequência 540 x 1012 hertz

e que tem uma intensidade

de radiação na direção of 1/683 watt por

estereoradiano.

Unidade de

comprimento (metro) Acrônimos: CGPM,

CIPM, BIPM As origens do metro voltam para o 18º século. Naquele momento, havia duas aproximações competindo à definição de

uma unidade standard (padrão) de duração. O astrônomo

Christian Huygens sugestionou definindo o metro como a duração de um pêndulo que tem um período de um segundo;

outros sugestionaram definindo o metro como um décimo de milionésimo da duração do meridiano da terra ao longo de um

quadrante (um quarto a circunferência da terra). Em 1791, em

seguida a Revolução francesa, a Academia francesa de Ciências escolheu a definição meridiana em cima da definição de pêndulo

porque a força de gravidade varia ligeiramente em cima da

superfície da terra e afeta o período do pêndulo. Assim, era pretendido que o metro igualava 10-7 ou um

décimo de milionésimo da duração do meridiano por Paris para o

equador. Porém, o primeiro protótipo era pequeno através de 0.2 milímetros porque os investigadores calcularam mal o aplainando

da terra devido a sua rotação. Ainda esta duração se tornou o

padrão. ( gravura à certos espetáculos de arremesso da liga de platina-irídio chamado a " 1874 Liga ".) Em 1889, um protótipo

internacional novo foi feito de uma liga de platina com 10 % de

irídio, para dentro de 0.0001, isso seria medido ao ponto de derretimento do gelo. Em 1927, o metro foi definido mais

justamente como a distância, a 0°, entre os machados das duas

linhas centrais marcados na barra de platina-irídio persistida no BIPM, e declarou Protótipo do metro pelo 1º CGPM, esta barra

que está sujeito a pressão atmosférica standard e apoiada em dois

cilindros de pelo menos um diâmetro de centímetro, simetricamente colocadas no mesmo plano horizontal a uma

distância de 571 mm de um ao outro.

A definição de 1889 do metro, fundamentada no protótipo

internacional de platina-irídio, foi substituída pelo CGPM em

1960 usando uma definição fundada em um comprimento de

onda de radiação kryptônio-86. Esta definição foi adotada para

http://physics.nist.gov/cuu/Units/acronyms.html


reduzir a incerteza com que o metro pode ser percebido. Em 1983 o

CGPM substituiu esta definição posterior pela seguinte definição:

O metro é a duração do caminho percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo.

Note que o efeito desta definição é fixar a velocidade de luz no vácuo

a exatamente 299 792 458 m·s-1. O protótipo internacional original do metro que foi sancionado pelo 1º CGPM em 1889 ainda é persistido no

BIPM debaixo das condições especificadas em 1889.

Unidade de massa

(kilograma)

Acrônimos: CGPM,

CIPM, BIPM Ao término do 18º século, um quilograma era a massa de um decímetro cúbico de água. Em 1889, o 1º CGPM sancionou o protótipo

internacional do quilograma, feito de platina-irídio, e declarou: Será

considerado daqui em diante que este protótipo é a unidade de massa. A figura anterior mostra o bloco de platina-irídio, um protótipo

internacional, como está na Agência Internacional de Pesos e Medidas

debaixo de condições especificadas pelo 1º CGPM em 1889. O 3d CGPM (1901), em uma declaração pretenderam terminar a

ambigüidade em uso popular relativo ao palavra " peso, " confirmou isso:

O quilograma é a unidade de massa; é igual à massa do protótipo internacional do quilograma.

Unidade de tempo

(segundo) Acrônimos: CGPM,

CIPM, BIPM A unidade de tempo, o segundo, foi definida originalmente como a

fração 1/86 400 do dia solar médio. A definição exata de "dia " solar médio permaneceu sob as teorias astronômicas. Porém, a medida mostrou

que não pudessem ser levadas em conta irregularidades na rotação da

Terra pela teoria e tem o efeito que esta definição não permite alcançar a precisão exigida. Para definir a unidade de tempo mais justamente, o 11º

CGPM (1960) adotou uma definição dada pela União Astronômica

Internacional que estava baseado no ano tropical. Porém, um trabalho experimental já tinha mostrado que um padrão atômico de intervalo de

tempo, baseado numa transição entre dois níveis de energia de um átomo

ou uma molécula, poderia ser reproduzida muito mais justamente. Considerando que uma definição muito precisa da unidade de tempo é

indispensável para o Sistema Internacional, o 13º CGPM (1967) decidiu

substituir a definição do segundo pelo seguinte (afirmou pelo CIPM em 1997 que esta definição se refere a um átomo de césio em seu estado

fundamental à uma temperatura de 0 K):

O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da

radiação que corresponde à transição entre o dois níveis hiperfinos do

estado fundamental do átomo de césio 133.

Unidade de corrente

elétrica (ampere) Acrônimos: CGPM,

CIPM, BIPM Unidades de corrente elétrica, chamada " internacional, " para corrente

e resistência foi introduzida pelo Congresso Elétrico Internacional em

Chicago em 1893, e as definições do " ampère internacional " e o " ohm internacional " eram confirmadas pela Conferência Internacional de

Londres em 1908.

Embora já era óbvio na ocasião do 8º CGPM (1933) que havia um desejo unânime para substituir essas " unidades internacionais " através de

unidades absolutas " denominadas ", a decisão oficial para aboli-los só foi

levada pelo 9º CGPM (1948) que adotou o ampère para a unidade de corrente elétrica e segue a definição proposta pelo CIPM em 1946:

O ampère é aquela corrente de constante que, se manter

diretamente em dois condutores paralelos e infinitos, de seção circular

transversal desprezível, colocados paralelamente a 1 metro no vácuo,

produziria entre estes condutores uma força igual para 2 x 10-7 newton

por metro de comprimento. A expressão " unidade de MKS de força " que acontece no texto

original foi substituída aqui através de " newton, " o nome adotou para

esta unidade pelo 9º CGPM (1948). Note que o efeito desta definição é fixar a constante magnética (permeabilidade do vácuo) a exatamente 4 x

10-7 H · m-1 .

Unidade de temperatura

termodinâmica (kelvin)

Acronimos: CGPM,

CIPM, BIPM A definição da unidade de temperatura termodinâmica era determinada em substância pelo 10º CGPM (1954) que

selecionou o ponto triplo de água como o ponto fixo fundamental

e nomeou a isto a temperatura 273.16 K, definindo a unidade assim. O 13º CGPM (1967) adotou o kelvin de nome (símbolo K)

em vez de " grau Kelvin " (símbolo °K) e definiu a unidade de

temperatura termodinâmica como segue:

O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a

fração 1/273.16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo

da água. Por causa das escalas termométricas de temperatura,

permanece prática comum para expressar temperatura

termodinâmica, símbolo T, em termos de sua diferença da referência temperatura T0 = 273.15 K, o ponto de gelo. Esta

diferença de temperatura é chamada uma temperatura Celcius

(em graus Centígrados, símbolo t, e é definido pela equação de quantidade

t = T – T0 .

A unidade de temperatura Celcius é o grau Centígrado, símbolo °C que é por definição igual em magnitude para o kelvin.

Uma diferença ou intervalo de temperatura podem ser

expressados em kelvins ou em graus Centígrado (13º CGPM, 1967). O valor numérico de uma temperatura t graus Celcius é

determinada por

t/°C = T/K - 273.15. O kelvin e o grau Centígrado também são também unidades

de Temperatura Internacional. A Escala de 1990 (ITS-90) adotou

pelo CIPM em 1989.

Unidade de quantidade de

substância (mole)

Acrônimos: CGPM,

CIPM, BIPM Seguindo a descoberta das leis fundamentais de química, as

unidades foram chamadas, por exemplo, ―átomo-grama" e

"molécula-grama‖, foram usadas para especificar quantias de elementos químicos ou combinações. Estas unidades tiveram uma

conexão direta com "pesos" atômicos e "pesos moleculares" que

eram de fato massas relativas. Referiram ―pesos" atômicos originalmente ao peso atômico de oxigênio, por acordo geral

levado como 16. Mas considerando os isótopos físicos separados no espectrógrafo de massa, atribuiu o valor 16 a um dos isótopos

de oxigênio; os químicos atribuíram aquele mesmo valor para o

(ligeiramente variável) mistura de isótopos 16, 17, e 18 que eram para eles o oxigênio de elemento naturalmente acontecendo.

Finalmente, um acordo entre a União Internacional de Puras e

Aplicadas Físicas (IUPAP) e a União Internacional de Pura e Aplicada Química (IUPAC) trouxe esta dualidade para um fim

em 1959/60. Os Físicos e Químicos concordaram nomear o valor

12, exatamente, desde então para o "peso atômico" corretamente a massa atômica relativa, do isótopo de carbono com massa

número 12 (carbono 12, 12C). A balança unificada assim obtida

dá valores de massa atômica relativa.

Permaneceu definir a unidade de quantidade de substância

fixando a massa correspondente de carbono 12; por acordo

internacional, esta massa esteve fixa em 0.012 kg, e a unidade

da quantidade de “substância" era determinada de nome mole

(mol de símbolo).

As Propostas seguintes da IUPAP, IUPAC, e a Organização Internacional para Padronização (ISO), o CIPM cedeu 1967, e

confirmou em 1969, a definição de mole, eventualmente adotados

pelo 14º CGPM (1971): 1. mole é a quantia de substância de um sistema que

contém tantas entidades elementares quanto há átomos em 0.012

quilograma de carbono 12; seu símbolo é " mol ". 2. quando o mole é usado, as entidades elementares

devem ser especificadas e podem ser átomos, moléculas, íons,

elétrons, outras partículas, ou especificados grupos de tais partículas.






A sua 1980 reunião, o CIPM aprovou a proposta de 1980 pelo Comitê de

Consultas em Unidades do CIPM que especifica isso nesta definição, é

compreendido que átomos não ligados de carbono 12, em repouso e no estado de solo deles/delas, se refere.

Unidade de intensidade

luminosa (candela)

Acrônimos: CGPM,

CIPM, BIPM Originalmente, cada país teve seu próprio, e bastante mal

reprodutível, unidade de intensidade luminosa; era necessário esperar até

as 1909 para ver um começo de unificação no nível internacional, quando

os laboratórios nacionais dos Estados Unidos da América, França, e Grã Bretanha decidiram adotar a vela internacional representada por

luminárias de filamento de carbono. Ao mesmo tempo, a Alemanha ficou

com a vela de Hefner, definida por um padrão de chama, e igual para aproximadamente nove décimos de uma vela internacional. Mas um

padrão baseado em luminárias incandescentes, e conseqüentemente

dependente na sua estabilidade, nunca teria sido completamente satisfatório e poderia ser então só provisional; por outro lado, as

propriedades de um corpo negro proveram uma solução teoricamente

perfeita e, já em 1933, foi adotado o princípio que unidades de fotometria novas estariam baseado na emissão luminosa de um corpo negro na

temperatura de fusão da platina (2045 K).

As unidades de intensidade luminosa eram baseadas em chama ou padrões de filamento incandescentes e foram substituídas em uso em

vários países antes de 1948 inicialmente pela "vela" baseado no

luminance da radiação de corpo negro (Teoria feita por Planck) à temperatura de platina citada acima. Esta modificação tinha sido

preparada pela Comissão Internacional em Iluminação (CIE) e pelo CIPM

antes das 1937, e foi promulgado pelo CIPM em 1946. Foi ratificado então em 1948 pelo 9º CGPM que adotaram um nome internacional novo

para esta unidade, candela (cd de símbolo); em 1967 o 13º CGPM deu

uma versão emendada da definição de1946. Em 1979, por causa das dificuldades experimentais que ocorriam na

radiação de corpo negro (Teoria de Planck) a temperaturas altas e as

possibilidades novas ofereceu através da radiometria, i.e., a medida de poder de radiação óptico, o 16º CGPM (1979) adotou uma definição nova

para o candela:

O candela é a intensidade luminosa, em uma determinada

direção, de uma fonte que emite radiação monocromática de freqüência

540 x 1012 hertz e tem uma intensidade radiante naquela direção de

1/683 watt por stereoradianos.

Apêndice:

Modo Estatístico das calculadoras. Casio fx-82MS

Comando Função

on Liga

Mode 2 Entra no modo sd

(statistical data)

Shift CLR 1 = Limpa memórias

Dado 1 M+ Inseri dado 1

Shift 2 Entra no s-var

Shift 2 1 = Dá a média

Shift 2 2 = Dá o DPP

Shift 2 3 = Dá o DPA

Shift CLR 3 = Limpa tudo

Mode 3 Entra no modo reg

1 (regressão

linear)

x1,y1 M+ Inseri ponto (x1,y1)

Exemplo:

1.879EXP(-

)5,2.456EXP4 M+

Insere o ponto (1.879.10-5,

2.46.104)

Shift 2 1 = Dá a média de x

Shift 2 2 = Dá o DPP de x

Shift 2 3 = Dá o DPA de x

Shift 2 1 = Dá a média de x

Shift 2 2 = Dá o DPP de x

Shift 2 3 = Dá o DPA de x

Shift 2 1 = Dá o coeficiente

linear A

Shift 2 2 = Dá o coeficiente

angular B

Shift 2 3 = Dá a correlação r

Série HP



Recursos estatísticos:

Σx, Σx2, Σy, Σy

2, Σxy

Desvio padrão de amostra, média

Desvio padrão de população

Regressão linear

Combinações, permutações

Média ponderada

Editar, gravar, nomear, listar

Ajuste de curva ( LIN, LOG, EXP, POW )

Plotagem de dados estatísticos

Testes de hipóteses

Intervalos de confiança

Comando Função

Single-var

Entra no modo

estatístico

Edit Entra no modo de

edição. Escolha a

coluna que inserirá os

dados

population Dpp

sample Dpa

chk Marque para mostrar

o valor

Fit data

Entra no modo de

ajuste de curvas

Edit Insira os dados (x,y)

nas colunas 1 e 2, por

exemplo

GRANDEZAS FÍSICAS Vetoriais e

escalares.

VETORES

Vetores no plano R2:

Versores: São vetores de módulo

1 e perpendiculares entre si. No plano R2 definimos

os versores 0,1i e 1,0j

y

1

j

i

0 1 x

Representação:

jvivv yxˆˆ

ou

),( yx vvv

ou

OAAOv

xv : Componente horizontal do vetor v

.

yv : Componente vertical do vetor v

.

cosvvx

senvvy

CD D C

, ,D D C CCD x y x y

,D C D CCD x x y y

ˆ ˆD C D CCD x x i y y j

Módulo ou magnitude do vetor:

22

yx vvv

Valeu,

carinha ?


o Importante:

v

é um vetor, por tanto possui módulo direção e

sentido.

v

é o módulo do vetor v

, sendo portanto um

número.

Direção do vetor:

A direção de um vetor é dada pelo ângulo que o

vetor forma com o eixo horizontal Ox, com o ângulo

medido no sentido anti-horário.

θ

Unidades angulares:

Definimos o grau (em inglês: degree) como um

noventa avos do ângulo reto.

O grado é definido de tal forma que a cada 100

grados corresponde a 900. Assim:

0

0( ) 100

90grados

O radiano é dado pela correspondência: a cada π

radianos corresponde a 1800. Assim:

0

0

180)(rad

Modo angular na calculadora:

Lembre-se que para encontrar o ângulo em graus

o modo que se deve trabalhar na calculadora é deg (de

―degree”) e se quisermos operar em radianos, rad.

A relação entre um ângulo medido em grau 0 e um

ângulo medido em radiano é dada por: 0

0180

3.14159...

Determinação do ângulo :

v

v

v

v xx arccoscos

v

v

v

v yy

arcsensen

x

y

x

y

v

v

v

varctantan

Conversões de quadrantes:

i) Vetor no segundo quadrante

y

x

y

v

varctg

v

000 180

vy )(rad

vx 0 x

ii) Vetor no terceiro quadrante

y

x

y

v

varctg

0x

v

000 180

vy )(rad

vx

iii) Vetor no quarto quadrante

y

x

y

v

varctg

0x

v

000 360

vy 2)(rad

vx

Operações com vetores

Multiplicação por um escalar

Soma de vetores

Regra do Polígono

v

w

u

t

twvuS


Regra do Paralelogramo

vu

u

vu

v

cos222

vuvuvu

cos222

vuvuvu

Obs.: Vide demonstração no Apêndice I

Subtração de vetores

Vetores no espaço R3:

Representação:

x

kvjvivv zyxˆˆˆ

ou

),,( zyx vvvv

ou

OAAOv

xv : Componente x do vetor v

.

yv : Componente y do vetor v

.

zv : Componente z do vetor v

.

Determinação dos ângulos formados pelo vetor

com os eixos:

Ângulo Ângulo formado pelo: Cossenos

diretores

θx

Vetor e eixo Ox

v

vx

x cos

θy

Vetor e eixo Oy

v

vy

y cos

θz

Vetor e eixo Oz

v

vzz cos

Versores:

0,0,1i

0,1,0j

1,0,0k

Módulo do vetor:

222

zyx vvvv

Normalização de um vetor:

Dado um vetor u

qualquer, o vetor de

módulo 1 que aponta na mesma direção e sentido de

u

é dado por:

u

un

ˆ u

n

Ou:

jsenin ˆˆcosˆ

Regra do paralelogramo:

vuS

u

vuD

v

cos222

vuvuvu

Analogamente, podemos provar que:

cos222

vuvuvu


Apêndice II

Regra do Paralelogramo: Demonstração:

Observe que:

uy

ux

uu

uu

cos

cos

e

vy

vx

vv

vv

cos

cos

jsenuiuu uuˆˆcos

jsenvivv vvˆˆcos

Relações trigonométricas:

asenbbsenabasen coscos)(

senasenbbaba coscos)cos(

1cos 22 sen

sensensen 2)2(

22cos)2cos( sen

jsenvsenuivuvu vuvuˆˆcoscos

22coscos vuvu senvsenuvuvu

)cos(cos2)(cos)(cos 222222

vuvuuuuu sensenvusenvsenuvu

Como:

vuvuvu sensencoscos)cos(cos

Teremos:

cos222

vuvuvu

Analogamente, podemos provar que:

cos222

vuvuvu

Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.

13

Apêndice II

Lei dos Cosenos:

cos222 babac

cos222 cacab

cos222 bcbca

a c

b

Lei dos Senos:

sen

c

sen

b

sen

a

Prova:Observe que:

1

2

a h c

m n

b

senaha

hsen {1}

senchc

hsen {2}

11 coscos aha

h

11 coscos aha

h

22 coscos chc

h

11 senama

msen

22 sencnc

nsen

122121 coscos)( sensensensen

ac

bh

ac

hnm

a

h

c

n

c

h

a

msen

)(

1

1

Portanto: senb

ach {3}; Reunindo {1},

{2} e {3}:

senb

acsencsenah

Dividindo os membros por a.c:

b

sen

a

sen

c

sen

Ou: sen

c

sen

b

sen

a

Produtos entre vetores

Dados dois vetores:

ˆˆ ˆx y zu u i u j u k θ

ˆˆ ˆx y zv v i v j v k

Definimos:

Produto escalar:

O produto escalar entre dois vetores tem como

u e v resultado um número.

Representamos por: u v

x x y y z zu v u v u v u v

Também podemos demonstrar que:

cosu v u v

Onde θ é o ângulo entre os vetores u e v .

Produto vetorial:

O produto escalar entre dois vetores tem como

u e v resultado um vetor.


14

Representamos por: u v

ˆˆ ˆ

x y z

x y z

i j k

u v u u u

v v v

Também podemos demonstrar que:

u v u v sen

O vetor u v é um vetor perpendicular ao

plano formado pelos vetores u e v .

EXERCÍCIOS

SEÇÃO 1.4 PADRÕES E

UNIDADES

SEÇÃO 1.5

COERÊNCIA E CONVERSÃO DE

UNIDADES

1.1 Usando a delmição l milha = l.61 km. calcule o

número de quilômetros em 5 milhas.

1.2 De acordo com o rótulo de uma garrafa de

molho para salada, o volume do conteúdo é de 0,473

litros (L). Usando a conversão l L = 1000 cm3 ,

expresse este volume em milímetros cúbicos.

1.3 Calcule o tempo em nanossegundos que a luz

leva para percorrer uma distância de l.00 km no

vácuo.

1.4 A densidade do chumbo é l l .3 g/cm3. Qual e

este valor em quilogramas por metro cúbico?'

1.5 O cilindro de um potente automóvel Chevrolet

Corvette possui um volume de 5.3 l.. Sabendo que l

decâmetro (dam) é igual a 10 m, expresse este volume

em decametros cúbicos.

1.6 Para controlar seu consumo de bebida

alcoólica, você resolveu beber 0,04 m3 de vinho durante

um ano. Supondo que todo dia você beba a mesma

quantidade de vinho, quantos cm3 de vinho você

deveria beber por dia?

1.7 O Concorde é o avião comercial mais veloz do

mundo. Ele pode viajar a 1450 mi/h (cerca de duas

vezes a velocidade do som ou Mach 2. Calcule esta

velocidade

(a) em km/h e (b) em m/s.

1.8 Em um país europeu você vê o seguinte aviso:

limite máximo de velocidade = 100 mi/h. Expresse este

limite em km/h e em m/s.

1.9 O consumo de gasolina de um cairo pequeno

é aproximadamente igual a 15,0 km/L. Expresse este

consumo em dam/cm3.

SEÇÃO 1.6

INCERTEZA

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

1.10 Um modo útil de saber quantos segundos

existem em um ano é dizer que um ano ê

aproximadamente igual a 107segundos. Calcule o erro

percentual deste valor aproximado.

(Em um ano existem 365.24 dias.)

1.11 (a) Suponha que um trem tenha percorrido 890

km de Berlim ate Paris e superou em 10 m o limite final

do trilho. Qual o erro percentual na distância total

percorrida?

(b) Seria correto dizer que ele percorreu uma

distância total de 890.010 m? Explique.

1.12 Usando uma régua de madeira, você mede

o comprimento de uma placa metálica retangular e

encontra 12 mm. Usando um micrômetro para medir a

largura da placa você encontra 5,98 mm.

Forneça as respostas dos seguintes itens com o número

de algarismos significativos correio,

(a) Qual a área do retângulo?

(b) Qual a razão entre a largura do triângulo e

o seu comprimento?

(c) Qual o perímetro do retângulo?

(d) Qual a diferença entre o comprimento do

retângulo e a sua largura?

(e) Qual a razão entre o comprimento do

retângulo e a sua largura?

1.13 Estime o erro percentual ao medir:

(a) a distancia de 75 cm usando uma régua de l

m.

(b) a massa de 12 g com uma balança química:

(c) o intervalo de tempo de 6 min com um cronômetro.

1.14 Uma placa retangular de alumínio possui

comprimento de:

5.60 ±0.01 cm e largura de:

l.90 ±0.01 cm.

(a) Ache a área do retângulo e a incerteza na

área.


15

(b) Verifique se a incerteza fracionaria na área

é igual à soma das incertezas fracionárias do

comprimento e da largura.

1.15 Um disco fino de chocolate possui

diâmetro igual a 8,50 ± 0,02 cm e espessura igual a

0.050 ± 0,005 cm.

(a) Ache o volume e a incerteza no volume,

(b) Ache a razão entre o diâmetro e a espessura

e a incerteza desta razão.

SEÇAO 1.7 ESTIMATIVAS E

ORDENS DE GRANDEZA

1.16 Faça uma estimativa do volume da

gasolina consumida no Brasil durante um ano.

1.17 Uma caixa possui volume de 28 cm x 22

cm x 42 cm e está cheia de folhas de papel de 28 cm x

22 cm. Esta caixa contém aproximadamente 10 mil ou

10 milhões de folhas?

1.18 Quantas laranjas você deve espremer para

obter 2 L de suco de laranja?

1.19 Estime a ordem de grandeza do número

de palavras de um livro (200 páginas).

1.20 Qual é o volume de ar que uma pessoa

respira em toda sua vida? Compare este volume com o

volume de um apartamento de dois quartos. (Estime que

para cada respiração o volume de ar aspirado é

aproximadamente igual a 500 cm3.)

1.21 Quantos fios de cabelo há em sua cabeça?

1.22 Quantas vêzes o coração de uma pessoa

bale em toda sua vida? Quantos litros de sangue ele

bombeia neste período?

(Estime que em cada batida do coração o volume de

sangue bombeado é aproximadamente igual a 50 cm3).

1.23 Na ópera de Wagner O anel dos

Niebelungos, a deusa Freia é resgatada em troca de uma

pilha de ouro com largura e altura suficientes para

escondê-la. Estime o valor desta pilha de ouro.

(Use o Exemplo l .4 para obter os dados necessários

para a densidade e o preço do ouro.)

1.24 Quantas gotas de água existem em todos

os oceanos da Terra?

1.25 Quantas pilhas são consumidas durante

um ano acadêmico em sua faculdade?

1.26 Quantas notas de um dólar seriam

necessárias para fazer uma pilha de notas com uma

altura igual ã distância entre a Terra e a Lua? Este total

seria maior ou menor do que o valor gasto em um

projeto para construir e lançar uma nave até a Lua?

1.27 Quantas notas de um dólar seriam

necessárias para cobrir a área total dos Estados Unidos

(incluindo o Alasca e o Havaí)?

Quanto isto custaria para cada americano?

SEÇÃO 1.8 VETORES E SOMA

VETORIAL

1.28 Ouvindo o ruído de uma serpente, você faz

dois deslocamentos rápidos com módulos de 1.8 e 2.4

m. Usando diagramas (aproximadamente em escala),

mostre como esses deslocamentos deveriam ser

cfetuados para que a resultante tivesse módulo igual

a:

(a) 4.2 m. (b) 0.6 m, (c) 3,0 m.

1.29 Um empregado do Correio dirige um

caminhão de entrega e faz trajeto indicado na Figura l

.24. Determine o módulo, a direção e o sentido do

deslocamento resultante usando diagramas em escala.

(Ver o Exercício l.34 para usar um método alternativo

na solução deste problema.)

FIGURA 1 Exercícios l.29 e 1.34.

1.30 Para os vetores A e B indicados na

Figura 2 use diagramas em escala para determinar:

(a) a soma vetorial A B

(b) a diferença velorial A B . Com as

respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módulo, a

direçao e o sentido de

(c) A B


16

(d) B A (Veja o Exercício l.35 para usar um

método alternativo na solução deste problema.)

FIGURA 2 Exercícios l.30. l.35, l .40 c 1.48.

1.31 Uma espeleóloga está pesquisando uma

caverna. Ela percorre 180 m em linha rela de leste para

oeste, depois caminha 210 m em uma direçao formando

450 com a direção anterior e em sentido do sul para o

leste: a seguir, percorre 90 m a 300 no sentido do norte

para o oeste. Depois de um quarto deslocamento não

medido, ela retorna ao ponto de partida. Use um

diagrama em escala para determinar o módulo, a

direçao c o sentido do quarto deslocamento. (Veja o

Problema l.59 para usar um método alternativo na

solução de um problema semelhante a este).

SEÇÃO 19

COMPONENTES DE VETORES

1.32 Use um diagrama em escala para

determinar os componentes A e B dos vetores

seguintes. Para cada vetor, os números indicam

(i) o módulo do velor

(ii) o ângulo que ele faz com o eixo Ox medido

supondo-se uma rotação no sentido do eixo +Ox para o

eixo +Oy. Ache para

(a) módulo 9,3 m e ângulo de 60,00;

(b) módulo 22.0 km e ângulo 1350;

(c) módulo 6.35 cm e ângulo de 3070.

1.33 Determine os componentes A , B eC

indicados na Figura 3.

FIGURA 3 Exercícios 1.33, 1.41. l.44 e Problema 1.58.

1.34 Um empregado do serviço postal dirige

um caminhão de entrega e faz o trajeto indicado na

Figura 4. Use o método dos componentes para

determinar o módulo, a direção e o sentido do

deslocamento resultante. Mediante um diagrama

vetorial (aproximadamente em escala), mostre que o

deslocamento resultante obtido com este diagrama

concorda aproximadamente com o resultado obtido pelo

método dos componentes.

1.35 Para os vetores A , B indicados na

Figura 3 use o método dos componentes para

determinar o módulo, a direção e o sentido


(b) a diferença velorial A B . Com as

respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módulo, a

direçao e o sentido de

(c) A B

(d) B A

1.36 Determine o módulo, a direção e o

sentido dos vetores representados pêlos seguintes

pares de componentes:

(a) Ax = -8.60 cm, Ay = 5.20 cm;

(b) Ax = -9.70 m, Ay = -2.45cm;

(c) Ax = 7.75 km, Ay = -2.70 km.

1.37 Um professor de física desorientado

dirige 3.25 km do sul para o norte, depois 4.75 km de

leste para oeste, a seguir l.50 km do norte para o sul.

Determine o módulo, a direção e o sentido do

deslocamento resultante, usando o método dos

componentes. Usando diagramas (aproximadamente em

escala), mostre que o deslocamento resultante

encontrado em seu diagrama concorda

aproximadamente com o resultado obtido pelo método

dos componentes.

1.38 O vetor A possui componentes Ax = l.30

cm, Ay = 2,25 cm; o vetor B possui componentes Bx =

4,10 cm, By = -3.75 cm.

Ache

(a) os componentes da soma vetorial A B (b) o módulo, a direçao e o sentido da soma

vetorial A B

(c) os componentes da diferença vetorial

A B (d) o módulo, a direçao e o sentido da

diferença vetorial A B


17

1.39 O vetor A possui comprimento igual a

2,80 cm e esta no primeiro quadrante a 60.00 acima do

eixo Ox. O vetor B possui comprimento igual a l .90

cm e está no quarto quadrante a 60,00 abaixo do eixo Ox

(Figura 4). Ache o módulo, a direção e o sentido de:


(b) a diferença velorial A B .

(c) A B

Em cada caso faça um diagrama da soma ou da

diferença e mostre que os resultados concordam

aproximadamente com as respostas numéricas obtidas.

FIGURA 4 Exercícios

SEÇÃO 1.10

VETORES UNITÁRIOS

1.40 Escreva cada vetor indicado na Figura 5 em

termos dos vetores unitários i e j .

1.41 Escreva cada vetor indicado na Figura 1.26

em termos dos vetores unitários i e j .

1.42 (a) Escreva cada vetor indicado na Figura 6 em

termos dos vetores unitários i e j .

(b) Use vetores unitários para escrever o vetor C ,

onde 3 4C A B

(c) Ache o módulo, a direção e o sentido do vetor

C .

FIGURA 5 Exercícios B (2,40 m). Exercício 1.42

e Problema 1.66.

1.43 Dados os vetores

ˆ ˆ4,00 3,00A i j e ˆ ˆ5,00 2,00B i j

(a) ache o módulo, a direção e o sentido de

cada vetor;

(b) escreva uma expressão para a diferença

vetorial A B usando vetores unitários;

(c) ache o módulo, a direção e o sentido da

diferença vetorial A B

(d) faça um diagrama vetorial para A , B e

A B e mostre que os resultados queconcordam

aproximadamente com a resposta do item (c).

SEÇÃO 1.1

PRODUTOS DE VETORES

1.44 Para os vetores A , B eC , indicados na

Figura 6, ache os produtos escalares

(a) A B

(b) B C

(c) A C

1.45

(a) Ache o produto escalar dos dois vetores A e

B mencionados no Exercício 1.43.

(b) Ache o ângulo entre estes vetores.

1.46 Ache o ângulo entre cada par de vetores:

(a) ˆ ˆ2,00 6,00A i j e

ˆ ˆ2,00 3,00B i j

(b) ˆ ˆ3,00 5,00A i j e

ˆ ˆ10,00 6,00B i j

(c) ˆ ˆ4,00 2,00A i j e

ˆ ˆ7,00 14,00B i j


18

1.47 Supondo um sistema de coordenadas com

orientação da mão direita, ache a direção e o sentido do

eixo Oz.

1.48 Para os vetores indicados na Figura 4,

(a) ache o módulo, a direção e o sentido do

produto vetorial A B ;

(b) ache o módulo, a direção e o sentido do

produto vetorial B A

1.49 Encontre o produto vetorial A B

expresso em termos dos vetores unitários.

Qual o módulo deste produto vetorial?

1.50 Para os vetores indicados na Figura 5,

(a) ache o módulo, a direção e o sentido do

produto vetorial A B ;

(b) ache o modulo, a direção e o sentido do

produto veional B A .

PROBLEMAS

1.51 A milha é uma unidade de comprimento

muito usada nos Estados Unidos e na Europa. Sabendo

que l mi é aproximadamente igual a 1,61 km, calcule:

(a) o número de metros quadrados existentes

em uma rnilha quadrada;

(b) decímetros cúbicos existentes em uma

milha cúbica.

1.52 Suponha que uma fazenda seja avaliada

em R$ 4,00 o metro quadrado. Calcule o preço desta

fazenda sabendo que sua áreatotal é igual a 100 milhas

quadradas.

1.53 O Maser de Hidrogénio. As ondas de

rádio geradas por um maser de hidrogénio podem ser

usadas como um padrão de freqüência. Afreqüência

dessas ondas é igual a 1420405751.786 hertz. (Um

hertz significa o mesmo que um ciclo por segundo.)

Um relógio controlado por um maser de hidrogênio

pode atrasar ou adiantar apenas l s em 100.000 anos.

Para as respostas das perguntas seguintes, use apenas

três algarismos significativos. (O grande número de

algarismos significativos nesta frequência ilustra a

impressionante acurácia desta medida).

(a) Qual é o intervalo de tempo de um ciclo desta

onda de rádio?

(b) Quantos ciclos ocorrem em 1h ?

(c) Quantos ciclos poderiam ter ocorrido durante a

idade da Terra, estimada em 4,6.109 anos?

(d) Quantos segundos um relógio controlado por um

maser de hidrogênio poderia atrasar ou adiantar durante

a idade da Terra?

1.54 Estime o número de átomos existentes em seu

corpo.

(Sugestão: com base em seus conhecimentos de

biologia e de química; diga quais os tipos mais comuns

de átomos existem em seu corpo. Qual a massa de cada

um destes átomos? O Apêndice D apresenta uma

relação das massas dos diferentes elementos, expressas

em unidades de massa atómica; você encontrará o valor

De uma unidade de massa atômica).

1.55 (a) Estime o número de dentistas em sua

cidade. Você deve considerar nesta estimativa o número

de habitantes, a frequência com a qual se costuma ir a

um dentista, a duração típica de um procedimento no

tratamento dentário (obturações, tratamento de canais

etc.) e quantas horas um dentista trabalha durante a

semana. Confira sua estimativa consultando uma lista

Telefônica local.

1.56 Os matemáticos, os físicos e outros

pesquisadores trabalham com números grandes. Os

matemáticos inventaram o nome extravagante de

googol para designar 10100

. Vamos comparar alguns

números grandes existentes na física com o googol.

{Nota: Este problema necessita do uso de alguns

valores numéricos nos apêndices deste livro, com os

quais seria conveniente você se familiarizar.}

(a) Estime o número aproximado de átomos

existentes em nosso planeta. Para facilitar, considere a

massa atómica dos átomos igual a 14 g/mol. O número

de Avogadro fornece o número de átomos existentes em

um mol. NA = 6.02.1023

átomos/mol.

(b) Estime o número aproximado de nêutrons

existentes em uma estrela de nêutrons. Uma estrela de

nêutrons é constituída quase que exclusivamente de

nêutrons e possui massa igual a duas vezes a massa do

Sol.

(c) Na teoria principal acerca da origem do

universo, todo o universo observável ocupava em em

tempos primordiais um raio igual à atual distância entre

a Terra e o Sol. Naquela época, o universo possuía

densidade (massa/volume) de 1015

g/cm3 .

Estime o número de partículas existentes no

universo supondo que naquela época a composição das

partículas era: 1/3 de prótons, 1/3 de elétrnns e 1/3 de

nêutrons.

1.57 Você deseja programar o movimento do

braço de um robô em uma linha de montagem. Seu

primeiro deslocamento é A A; seu segundo

deslocamento é B , cujo módulo é igual a 6,40 cm,


19

orientado formando um ângulo de 63,0°, medido

considerando-se uma rotação do eixo +0x para o eixo

Oy. A resultante C A B dos dois deslocamentos

deve também possuir módulo igual a 6,40 cm, porém

formando um ângulo de 22,0°, medido considerando-

se uma rotação do eixo +Ox para o eixo +Oy.

(a) Desenhe um diagrama em escala aproximada

para estes vetores.

(b) Ache os componentes de A .

(c) Ache o módulo, a direção e o sentido de A .

FIGURA 6 - Exercício 1.58

37,00 12,0A m

60,00 40,0

0

6,0C m 15,0B m

1.58 (a) Ache o módulo, a direção e o sentido do

vetor R que é a soma dos vetorea ,A eB C Figura6.

Desenhe um diagrama para mostrar como R é formado

com a soma os três vetores indicados na Figura 6.

(b) Ache o módulo, a direção e o sentido do

vetor S C A B . Desenhe um diagrama para

mostrar como S é formado com os três vetores

indicados na Figura 6.

1.59 Como dissemos no Exercício 1.31. uma

espeleóloga está pesquisando uma caverna. Ela percorre

180 m em linha reta de leste para oeste; depois caminha

210m em uma direção que forrna 45° com a direção

anterior e em sendito do do sul para o leste, a seguir

percorre 280 m a 30° no sentido do norte para o leste.

Depois de um quarto deslocamento, ela retorna ao

ponto de partida. Use o método dos componentes para

determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto

deslocamento. Verifique quê a solução obtida usando-se

um diagrama sm escala é, aproximadamente igual ao

resultado obtido pelo método dos componentes.

1.60 Uma velejadora encontra ventos que

impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00 km

de oeste para leste, a seguir 3,50 km para sudeste e

depois uma certa distância em direção desconhecida.

No final do trajeto ela se encontra a 5,80 km

diretamente a leste de seu ponto de partida (Figura 7 ).

Dê o módulo. a direção e o sentido do terceiro

deslocamento. Faça um diagrama em escala da soma

vetorial dos deslocamentos e mostres que eles

concordam aproximadamente ocorrem com o resultado

obtido mediante a solução numérica.

1.61 Um esquiador percorre 2.80 km com

ângulo de 45,0° considerando rotação em sentido do sul

para o oeste, a seguir 7,40 km a 30,0° em sentido do

leste para o norte, e finalmente 3,30 km a 22.0° em

sentido do oeste para o sul.

(a) Mostre estes deslocamentos em um

diagrama,

(b) Qual é a distância entre o início ë o fim do

trajeto?


1.62 Em um voo de treinamento, uma aprendiz

de piloto voa de Lincoln, no Estado de NeBraska: até

Clarinda, no lowa; a seguir até St. Joseph, no Missouri;

depois até Manhattan, no Kansas (Figura l .30). Os

ângulos formados pêlos deslocamentos são medidos em

relação ao norte: 0° significa o sentido do sul para o

norte. 90° é o leste, 180° é o sul e 270° é o oeste. Use o

método dos componentes para achar

(a) a distância que ela terá de voar para voltar

para Lincoin; b) a direção e o sentido que ela deverá

voar para voltar ao ponto de partida. Ilustre a solução

fazendo um diagrama vetorial.

(b) Ajude-o a impedir que ele se perca na

floresta fomecendo-lhe o vetor deslocamento, calculado

pelo método dos componentes, necessário para que ele

retome para sua cabana.

1.64 Uma artista está criando um novo

logotipo para a página de sua companhia na Internet.

No programa gráfico que ela está usando, cada pixel em

um arquivo de imagem possui coordenadas (x, y) onde a

origem (0,0) está situada no canto superior esquerdo da

imagem, o eixo +Ox aponta para a direita e o eixo +Oy

aponta para baixo. As distâncias são medidas em pixels.

(a) A artista desenha uma linha ligando o local

do pixel (10,20) com o local (210,200). Ela deseja


20

desenhar uma segunda linha que começa em (10,20),

tem comprimento de 250 pixels e forma um ângulo de

300 medindo no sentido dos ponteiros do relógio a partir

da direção inicial. Qual o local do pixel no qual esta

segunda linha deve terminar?

(b) A artista agora desenha uma flecha ligando

a extremidade direita inferior da primeira linha com a

extremidade direita inferior da segunda linha.

Determine o módulo, a direção e o sentido desta flecha.

Faça um diagrama mostrando as três linhas.

1.64 Um explorador de uma densa floresta na

África equatorial deixa sua cabana. Ele dá 40 passos no

sentido nordeste, depois 80 passos em uma direção que

forma 600 considerando a rotação no sentido de oeste

para o norte, a seguir 50 passos diretamente para o sul.

(a) Faça um diagrama aproximadamente em

escala dos três vetores e da resultante da soma vetorial.

(b) Ajude-o a impedir que ele se perca na

floresta fornecend-lhe o o vetor deslocamento,

calculado a partir do método das componentes,

necessário para que ele retorne a sua cabana.

1.65 Os vetores ,A e B são desenhados a

partir de um ponto. O vetor A possui módulo A e

forma um ângulo θA, medido supondo-se uma rotação

no sentido do eixo +0x para o eixo +0y. As grandezas

correspondentes do vetor B são o módulo B e o

ângulo θB Logo:

ˆ ˆcos A AA A i A sen j

ˆ ˆcos B BB B i B sen j

(a) Deduza a Equação:

cosA B A B

B A

(b) Mostre que:

x x y yA B A B A B

Observação: Para vetores em 3-D:

x x y y z zA B A B A B A B

Onde:

ˆˆ ˆcos cos cosx y zA A AA A i A j A k

ˆˆ ˆx y zA A i A j A k

ˆˆ ˆcos cos cosx y zB B BB B i B j B k

ˆˆ ˆx y zB B i B j B k


1.66 Para os vetores A e a desenhados na

Figura 6,

(a) Ache o produto escalar A B ;

(b) Determine o módulo, a direçao e o sentido

do produto vetorial A B .

1.67 A Figura 7 mostra um paralelogramo

cujos lados são os vetores A e B .

(a) Mostre que o módulo do produto vetorial

destes vetores é igual à área deste paralelogramo.

(Sugestão: área = base. altura.)

(b) Qual é o ângulo entre o produto vetorial e o

plano deste paralelogramo?

1.68 O vetor A possui comprimento de 3,50

cm e aponta para o interior desta página. O vetor Baponta do canto direito inferior desta página para o

canto esquerdo superior desta página. Defina um

sistema apropriado de coordenadas com orientação da

mão direita e ache os três componentes do produto

vetorial A B , medidos em cm2. Faça um diagrama

mostrando o sistema de coordenadas e os vetores A ,

B e A B .

1.69 Dados dois vetores:

ˆˆ ˆ2 3 4A i j k

e ˆˆ ˆ3 1 3A i j k

determine:

(a) o medulo de cada vetor;

(b) uma expressão para a diferença vetorial

A B usando vetores unitários;


21

(c) o módulo da diferença vetorial A B

(d) É este valor igual ao módulo da diferença

vetorial B A? Explique.

1.70 Ângulo da ligação no metano. Na

molécula do metano, CH4, cada átomo de hidrogênio

ocupa o vértice de um tetraedro regular em cujo centro

se encontra o átomo de carbono. Usando coordenadas

de tal modo que uma das ligações C—H esteja na

direção ˆˆ ˆi j k , uma ligação C—H adjacente estará

na direção ˆˆ ˆi j k . Calcule o ângulo entre estas duas

ligações.

1.71 Os dois vetores A e B são desenhados a

partir de um mesmo ponto e C A B

(a) Mostre que quando C2 = A

2 + B

2 o ângulo

entre os vetores A e B é 90°.

(b) Mostre que quando C2 < A

2 + B

2 ,

o ângulo entre os vetores A e B é maior do que 90°.

(c) Mostre que quando C2 > A

2 + B

2 o ângulo

entre os vetores A e B está compreendido entre 0° e

90°.

1.72 Quando dois vetores A e B são

desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre

eles é φ.

(a) Usando técnicas vetoriais, mostre que o

módulo da soma destes vetores é dado por:

2 2

2 cosA B A B A B

(b) Se A e B possuem o mesmo módulo, qual

deve ser õ valor A ou de B ?

(c) Deduza um resultado análogo ao do item

(a) para o módulo da diferença vetorial A B .

(d) Se A e B possuem o mesmo módulo, qual

deve ser o valor de φ para que o módulo de A B seja

igual ao módulo de A ou de B ?

1.73 Um cubo é colocado de modo que um dos

seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam

com os eixos +Ox, +Oy e +Oz de um sistema de

coordenadas (Figura l .31). Use vetores para calcular

(a) O ângulo entre a aresta ao longo do eixo

+Oz (linha az) e a diagonal da origem até o vértice

oposto (linha ad);

(b) o ângulo entre a linha ac (a diagonal de

uma das faces) e a linha ad.

FIGURA 7 - Problema 1.73 e 1.74

z

b c

d

a

y

x

1.74 Obtenha um vetor unitário ortogonal

aos dois vetores indicados no Problema l .69.

1.75 Mais tarde em nossos estudos de física

encontraremos grandezas representadas por

A B C .

(a) Quaisquer que sejam os vetores A , B e

C , prove que:

A B C A B C

(b) Calcule A B C para os três vetores

seguintes: A com modulo 5.00 e ângulo θA = 26,0°

medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo +0x

para o eixo +0y, B com módulo 4,00 e ângulo θB =

63,0° e C com módulo 6,00 e orientado ao longo do

eixo +0z. Os vetores A e B estão sobre o plano xy.

PROBLEMAS DESAFIADORES

1.76 O comprimento de um retângulo é dado

por L ± l e sua largura é W ± w.

(a) Mostre que a incerteza na área A é dada por

a = Lw + W. Suponha que as incertezas l e w sejam

pequenas, de modo que o produto lw é muito pequeno e

pode ser desprezado,

(b) Mostre que a incerteza fracionária na área é

igual à soma da incerteza fracionária do comprimento

com a incerteza fracionária da largura,

(c) Um paralelepípedo possui dimensões L± l,

W ±w e H ±h. Ache a incerteza fracionária do seu

volume e mostre que ela é igual à soma das incertezas

fracionárias do comprimento, da largura e da altura.


22

1.77 Em um jogo de futebol, a bola está

inicialmente no centro do campo. Considere um sistema

de coordenadas Oxy no plano do campo e cujo centro O

coincida com o centro do campo. Depois do primeiro

chute, a bola se encontra na posição ˆ ˆ3 4i j onde

as unidades são em metros. Determine:

(a) o módulo do deslocamento inicial da bola,

(b) o ângulo entre este vetor e o eixo +0x.

1.78 Navegando no Sistema Solar. A

espaçonave Mars Polar Lander (explorador do pólo de

Marte) foi lançada em 3 de janeiro de 1999. No dia 3 de

dezembro de 1999 ela pousou na superfície de Marte,

ocasião em que as posições de Marte e da Terra eram

dadas pelas coordenadas:

x y z

Terra 0,3182 UA 0,9329 UA 0,0000 UA

Marte 1.3087UA -0,4423 UA -0,0414 UA

Nessas coordenadas, o Sol está na origem e o plano da

órbita da Terra é o plano xy. A Terra corta o eixo +Ox

uma vez por ano no equinócio de outono no Hemisfério

Norte (ou primavera no hemisfério Sul, o que ocorre no

dia 22 de setembro). Uma UA, ou Unidade

Astronômica, equivale a 1.496.108 km, a distância

média entre a Terra e o Sol.

(a) Em um diagrama, mostre as posições da

Terra, de Marte e do Sol no dia 3 de dezembro de 1999.

(b) Calcule as seguintes distâncias em UA no

dia 3 de dezembro de 1999:

(i) entre o Sol e a Terra,

(ii) entre o Sol e Marte,

(iii) entre a Terra e Marte

(c) Observando da Terra, qual era o ângulo

entre a reta que unia a Terra a Marte e a reta que unia a

Terra ao Sol no dia 3 de dezembro de 1999?

(d) Verifique e explique se Marte era visível à

meia-noite no seu local no dia 3 de dezembro de 1999.

(Quando é meia noite no horário local, o Sol está do

lado oposto da Terra relação a você.)

1.79 Navegando na Ursa Maior. As sete

estrelas principais Ursa Maior parecem estar sempre

situadas a uma mesma distância da Terra, embora elas

estejam muito afastadas entre si. A Figura indica a

distância entre a Terra e cada uma dessas estrelas.

As distâncias são dadas em anos-luz (al), um ano-luz é

a distância percorrida pela luz durante um ano. Um ano-

luz equivale a 9.461.1015

m.

(a) Alcaide e Méraque estão separadas de

25,6° no céu. Em um diagrama, mostre as posições do

Sol, de Alcaide e Méraque. Calcule a distância em

anos-luz entre Alcaide e Méraque.

(b) Para um habitante de um planeta que orbita

Méraque, qual seria a separação angular entre o Sol e

Alcaide?

1.80 O vetor ˆˆ ˆr x i y j z k

denomina-se vetor posição e aponta da Origem uo

Sistema de coordenadas (0,0,0) para o espaço cujas

coordenadas são (x, y, z). Use seus conhecimentos sobre

vetores para provar o seguinte:

Todos os pontos (x, y, z)que satisfazem a

equação Ax + By + Cz = 0, onde A, B e C são

constantes, estão situados em um plano que passa na

origem e é ortogonal ao vetor ˆˆ ˆA i B j C k .

Faça um esquema deste vetor e do plano.

FIGURA 8 - Problema 1.79

: Alcaide (1.38 al)

: Mizar (73 al)

: Arioto (64 al)

: Megrez (81 al)

: Feeda (80 al)

: Dube(105 al)

: Méraque (77 al)


23

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO

Q2.1 O velocímetro de um automóvel mede a

velocidade escalar ou o vetor velocidade? Explique.

Q2.2 Maria afirma que uma velocidade com

módulo igual a 60 km/h é equivalente a uma velocidade

com módulo igual a 17 m/s. Qual foi o erro percentual

cometido por ela nessa conversão de unidades?

Q2.3 O limite de velocidade nas estradas de alguns

países da Europa é de 110 km/h. Diga qual é o valor

desse limite em m/scom aproximação de três algarismos

significativos.

Q2.4 Em que condições uma velocidade média

pode ser igual a uma velocidade instantânea?

02.5 Para um determinado intervalo de tempo, o

deslocamento total é dado pelo produto da velocidade

media pelo intervalo de tempo. Essa afirmação continua

válida mesmo quando a velocidade não é constante.

Explique.

Q2.6 Sob quais condições o módulo do velor

velocidade media e igual ao módulo da velocidade

escalar.

Q2.7 Para lazer um mesmo percurso um carro de

potência menor levou o dobro do tempo de outro carro

com maior potência. Como estão relacionadas as

velocidades medias desses carros.

Q2.8 Um motorista em Massachusells foi

submetido a julgamento por excesso de velocidade. A

evidencia contra o motorista foi o depoimento de um

policial que notou que o carro do acusado estava

emparelhado com um secundo carro que o ultrapassou.

Segundo o policial, o segundo carro já havia

ultrapassado o limite de velocidade. O motorista

acusado se defendeu alegando que "o segundo carro me

ultrapassou, portanto eu não estava acelerando". O Juiz

deu a sentença contra o motorista, porque, pelas

palavras do Juiz, "se dois carros estão emparelhados,

ambos estavam acelerando". Se você fosse o advogado

de defesa do motorista acusado, como contestaria?

Q2.9 É possível ter deslocamento nulo e

velocidade media diferente de zero? E uma velocidade

instantânea? Ilustre suas respostas usando um gráfico

x-t.

Q2.10 Pode existir uma aceleração nula e uma

velocidade diferente de zero?' Ilustre suas respostas

usando um gráfico v-t.

Q2.11 É possível ter uma velocidade nula e

uma aceleração média diferente de zero? Velocidade

nula e uma aceleração instantânea diferente de zero?

Ilustre suas respostas usando um gráfico v-t.

Q2.12 um automóvel está se deslocando de

leste para oeste. Ele pode ler uma velocidade orientada

para oeste e ao mesmo tempo uma aceleração orientada

para leste? Em que circunstâncias?

Q2.13 A caminhonete oficial da Figura 2.2

está em x1 = 277 m para t1 = 16.0 s e em x2 = l9 m para

t2 = 25.0 s.

(a) Desenhe os diferentes grálicos possíveis

para o movimento da caminhonete. As duas velocidades

medias vm durante os intervalos de tempo de t1 até t2

possuem o mesmo valor nos dois gráficos? Explique.

Q2.14 Em movimento com aceleração

constante, a velocidade de uma partícula e igual á

metade da soma da velocidade inicial com a velocidade

final. Isto é verdade quando a aceleração não é

constante? Explique.

Q2.15 Você lança uma bola de beisebol

verticalmente para cima e ela atinge uma altura máxima

maior do que sua altura. O módulo da aceleração e

maior enquanto ela está sendo lançada ou logo depois

que ela deixa a sua mão? Explique.

Q2.16 Prove as seguintes afirmações:

(i) Desprezando os efeitos do ar, quando você

lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele

possui a mesma velocidade em seu ponto de lançamento

tanto durante a ascensão quanto durante a queda.

(ii) O tempo total da Irajelória e igual ao dobro

do tempo que o ohjeto leva para atingirsua altura

máxima.

Q2.17 No Exemplo 2.7 substituindo y = -18.4

m na Equação (2.13) obtemos v = ± 24.2 m/s. A raiz

negativa é a velocidade para t = 4.00 s. Explique o

significado da raiz positiva.

Q2.18 A posição inicial e a velocidade inicial

de um veículo são conhecidas e faz-se um registro da

aceleração a cada instante. Pode a posição do veículo

depois de um certo tempo ser determinada a partir

destes dados? Caso seja possível, explique como isto

poderia ser feito.


24

EXERCÍCIOS

SEÇÃO 2.2

DESLOCAMENTO.

TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA

2.1 Um foguete transportando um satélite e acelerado

verticalmente a partir da superfície terrestre. Após l.15 s

de seu lançamento, o foguete atravessa o topo de sua

plataforma de lançamento a 63 m acima do solo. Depois

de 4.75 s adicionais ele se encontra a l .00 km acima do

solo. Calcule o modulo da velocidade média do foguete

para

(a) o trecho do voo correspodente ao intervalo

de 4,75 s;

(b) os primeiros 5 s do seu voo.

2.2 Em uma experiência, um pomho-correio

foi retirado de seu ninho, levado para um local a 5150

km do ninho e libertado. Ele retoma ao ninho depois de

13,5 dias. Tome a origem no ninho e estenda um eixo

+Ox ate o ponto onde ele foi libertado. Qual a

velocidade media do pomho-correio em m/s

(a) para o vôo de retorno ao ninho?

(b) para o trajeto todo. desde o momento em

que ele é retirado do ninho ate seu retorno?

2.3 Uma viagem de carro de San Diego a Los

Angeles dura 2 h e 20 min quando você dirige o carro

com uma velocidade media de 105 km/h. Em uma

sexta-feira na parte da tarde, contudo, o trânsito está

muito pesado e você percorre a mesma distância com

uma velocidade media de 70 km/h. Calcule o tempo que

você leva nesse percurso.

2.4 De um pilar até um poste. Começando em

um pilar, você corre 200 m de oeste para leste (o

sentido do eixo +Ox) com uma velocidade média de 5.0

m/s e a seguir corre 280 m de leste para oeste com uma

velocidade média de 4.0 m/s até um poste. Calcule

(a) sua velocidade escalar do pilar até o poste:

(b) o módulo do velor velocidade média do

pilar até o poste.

2.5 (a) Seu carro velho pode desenvolver uma

velocidade média de 8.0 m/s durante 60 s. a seguir

melhorar o desempenho e uma velocidade média de

20,0 m/s durante 60 s. Calcule sua velocidade média

para o intervalo total de 120 s.

(b) Suponha que a velocidade de 8.0 m/s seja

mantida durante um deslocamento de 240 m, seguido de

uma velocidade média de 20.0 m/s em outro

deslocamento de 240 m. Calcule a velocidade média

para o deslocamento total,

(c) Fim qual dos dois casos a velocidade

escalar do percurso total é igual à média das duas

velocidades escalares?

2.6 Um carro percorre um trecho retilíneo ao

longo de uma estrada. Sua distância a um sinal de

parada é uma função do tempo dada por: 2 3x t t t , onde = l.50 m/s

2 e

= 0.0500 m/s3 . Calcule a velocidade média do carro

para os seguintes intervalos de tempo:

(a) t = 0 até t = 2.00 s;

(b) t = 0 até t = 4.00 s;

(c) t = 2 s até t = 4.00 s.

SEÇÃO 2.3

VELOCIDADE INSTANTÂNEA

2.7 Um carro pára em um semáforo. A seguir ele

percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância

ao sinal é dada por : 2 3x t b t c t , onde b = 2.40 m/s

2 e c =

0.120 m/s3;

(a) Calcule a velocidade média do carro para o

intervalo de tempo t = 0 até t = 10.0 s.

(b) Calcule a velocidade instantânea do carro para

(i) t = 0

(ii) t = 5.0 s

(iii) t = 10,0 s

(c) Quanto tempo após partir do repouso o carro

retorna novamente ao repouso?

2.8 Uma professora de física sai de sua casa e se

dirige a pé para o campus. Depois de 5 min começa a

chover e ela retorna paracasa. Sua distância da casa em

função do tempo é indicada pelo gráfico da Figura 2.25.

Em qual dos pontos indicados sua velocidade e

(a) zero? (b) constante e positiva?

(c) constante e negativa? (d) crescente em módulo?

(e) decrescente em módulo?

FIGURA 1 - Problema 2.8


25

SEÇÃO 24

ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA

ACELERAÇÃO MÉDIA

2.9 Em um teste de um novo modelo de automóvel

da empresa Motores Incríveis, o veloeímetro é calibrado

para ler m/s em vê de km/h. A série de medidas a seguir

foi registrada durante o teste ao longo de uma estrada

retilínea muito longa:

Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Velocidade (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22

(a) Calcule a aceleração media durante cada

intervalo de 2.0 s. A aceleração é constante? Ela é

constante em algum trecho do teste?

(b) Faça um gráfico v-t dos dados tabelados usando

escalas de l cm = l s no eixo horizontal e de l cm = 1 s

no eixo vertical. Desenhe uma curva entre os pontos

piotados. Medindo a inclinação dessa curva, calcule a

aceleração instantânea para os tempos t = 9 s, t = 13 s e

t = 15 s.

2.10 A Figura 2.26 mostra a velocidade em função

do tempo de um carro movido a energia solar. O

motorista acelera a partir de um sinal de parada e se

desloca durante 20 s com velocidade constante de 60

km/h, e a seguir pisa no freio e pára 40 s após sua

partida do sinal. Calcule sua aceleração média para os

seguintes intervalos de tempo:

(a) t = 0 até t = 10 s;

(b) t = 30 s até t = 40 s;

(c) t = 10 s até t = 30 s;

(d) t = 0 até t = 40 s.

c (km/li)

FIGURA 2 - Exercícios 2.10 e 2.l l.

2.11 Tome como referência o Exercício 2. IO c

a Figura 2.26.

(a) Em qual intervalo de tempo a aceleração

instantânea a possui seu maior valor positivo?

(b) Em qual intervalo de tempo a aceleração

instantânea u possui seu maior valor negativo?

(c) Qual é a aceleração instantânea a para t =

20 s?

(d) Qual é a aceleração instantânea a para t =

35 s?

(e) Faça um diagrama do movimento (como o

da Figura 2.

(f) mostrando a posição, a velocidade e a

aceleração do carro para os tempos t =5 s, t = 15 s, t

=25 s t = 35 s.

2.12 Um astronauta saiu da Estação Espacial

Internacional para testar um novo veículo espacial. Seu

companheiro permanece a bordo e registra as seguintes

variaçóes de velocidade, cada uma ocorrendo em

intervalos de 10 s. Determine o módulo, a direção eo

sentido da aceleração média cm cada intervalo.

Suponha que o sentido positivo seja da direita para a

esquerda,

(a) No início do intervalo o astronauta se move

para a direita ao longo do eixo +Ox com velocidade de

15,0 m/s e no final do intervalo ele se move para a

direita com velocidade de 5.0 m/s.

(b) No início do intervalo o astronauta se move

a 5.0 m/s para a esquerda e no final se move para a

esquerda com velocidade de 15.0 m/s.

(c) No início do intervalo ele se move para a

direita com velocidade de 15.0 m/s e no final se move

para a esquerda com velocidade de 15,0 m/s.

2.13 (a) Com base em sua experiência de

dirigir um automóvel, estime o módulo da aceleração

média de um carro quando pisa forte no freio em uma

pista de alta velocidade até uma parada repentina,

(b) Explique por que essa aceleração média

poderia ser considerada positiva ou negativa.

2.14 A velocidade de um carro em função do

tempo é dada por 2v t t

Onde = 3.00 m/s e = 0.1 m/s3

(a) Calcule a aceleração média do carro para o

intervalo de tempo de t = 0 a t = 5,00 s.

(b) Calcule a aceleração instantânea para

(i) t = 0s; (ii) t = 5,00 s.

(c) Desenhe gráficos acurados v-t e a-t para o

movimento do carro entre t = 0 e t = 5,00 s.

2.15 A Figura 3 mostra a coordenada de uma

aranha que se desloca lentamente ao longo do eixo 0x

(a) Faça um gráfico de sua velocidade e

aceleração em função do tempo,

(b) Faça um diagrama do movimento

mostrando a posição, a velocidade e a aceleração da

aranha para cinco tempos: t1 = 2,5 s, t2 = 10 s, t3 = 20 s,

t4 = 30 s e t5 = 37.5 s.


26

FIGURA 3 – Exercício 2.15.

x(t) (m)

Linha Parábola Linha

reta reta

Parábola Parábola

0 5 10 15 20 25 30 35 40 t(s)

2.16 Um microprocessador controla a posição

do pára-choque dianteiro de um carro usado em um

teste. A posição é dada pela equação 2 2 6 62.17 4.80 0.1x t m m s t m s t

Determine:

(a) sua posição e aceleração para os instantes em que

o carro possui velocidade zero.

(b) Desenhe gráficos x-tl, v-t e a-t para o movimento

do pára-choque entre t =0 e t = 2.00 s.

SEÇAO 2.5

MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO

CONSTANTE

2.17 Um antílope que se move com aceleração

constante leva 7.00 s para percorrer uma distância de

70.0 m entre dois pontos. Ao passar pelo segundo

ponto, sua velocidade é de 15,0 m/s.

(a) Qual era sua velocidade quando passava pelo

primeiro ponto?

(b) Qual era sua aceleração?

2.18 Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de

um porta-avióes. um caça a jato atinge a velocidade de

decolagem de 270 km/h em uma distância aproximada

de 90 m. Suponha aceleração constante,

(a) Calcule a aceleração do caça em m/s2.

(b) Calcule o tempo necessário para o caça atingir

essa velocidade de decolagem.

2.19 Airbag de Automóvel. O corpo humano pode

sobreviver a um trauma por acidente com aceleração

negativa (parada súbita) quando o módulo de aceleração

é menor do que 250 m/s2 (cerca de 25g'). Suponha que

você sofra um acidente de automóvel com velocidade

de 105 km/h e seja amortecido por um airbag que se

infla automaticamente. Qual deve ser a distância que o

airbag se deforma para que você consiga sobreviver?

2.20 Um avião precisa de 280 m de pista para

atingir a velocidade necessária para decolagem. Se ele

parle do repouso, se move com aceleração constante e

leva 8.0 s no percurso, qual é sua velocidade no

momento da decolagem?

2.21 Um carro está parado na rampa de acesso de

uma auto-cstrada. esperando uma diminuição do

tráfego. O motorista verifica que existe um espaço

vazio entre um caminhão com l8 rodas e uma

caminhonete e acelera seu carro para entrar na auto-

estrada. O carro parte do repouso, se move ao longo de

uma linha reta e atinge uma velocidade de 20 m/s no

final da rampa de 120 m de comprimento,

(a) Qual e a aceleração do carro?

(b) Quanto tempo ele leva para percorrer a rampa?

(c) O tráfego na auto-estrada se move com uma

velocidade constante de 20 m/s. Qual é o deslocamento

do tráfego enquanto o carro atravessa a rampa?

2.22 A Figura 4 foi desenhada para movimento

com aceleração constante com valores positivos de x0,

v0 e a. Refaça essas quatro figuras para os seguintes

casos:

(a) x0 < 0; v0 < 0 e a < 0.

(b) x0 > 0; v0 < 0 e a > 0.

(c) x0 > 0; v0 > 0 e a < 0.

FIGURA 4 – Exercício 2.22


27

2.23 No instante t = 0 um carro está se

movendo ao longo de uma auto-estrada no Estado de

São Paulo com uma velocidade constante de 30 m/s.

Esse movimento continua durante 20 s. A seguir, para

não atrapalhar o tráfego, o motorista resolve acelerar

com uma taxa constante, elevando a velocidade do

carro até 40 m/s. Q carro se move durante 10 s com esta

nova velocidade. Porem o motorista avista um policial

em uma motocicleta escondido atrás de uma árvore e

diminui sua velocidade com uma taxa constante de 4.0

m/s ale que a velocidade do carro se reduz ao limite

legal de 30 m/s. Ele então mantém essa velocidade e

acena para o policial quando passa por ele 5 s mais

tarde,

(a) Para o movimento do carro desde o instante

t = O até o momento em que ele cru/.a com o policial,

desenhe gráficos acurados x-t. v-t e a-t.


mostrando a posição, a velocidade e a aceleração do

carro.

2.24 Para t = 0 um carro pára em um semáforo.

Quando a luz fica verde, o carro começa a acelerar com

uma taxa constante. Elevando sua velocidade para 20

m/s, 8 s depois de a luz ficar verde, ele se move com

essa nova velocidade por uma distância de 60 m. A

seguir, o motorista avista uma luz vermelha no

cruzamento seguinte e começa a diminuir a velocidade

com uma taxa constante. O carro pára no sinal vermelho

a l80 m da posição para t = 0.

(a) Para o movimento do carro, desenhe

gráficos acurados de x-t, v-t e a-t.


mostrando aposição, a velocidade e a aceleração do

carro.

2.25 O gráfico da Figura 5 mostra a velocidade

da motocicleta de um policial em função do tempo,

(a) Calcule a aceleração instantânea para t = 3

s, t = 1 s e t = l l s.

(b) Qual foi o deslocamento do policial nos 5 s

iniciais? E nos 9 s iniciais? E nos 13 s iniciais?

2.26 O gráfico da Figura 2.29 mostra a

aceleração de um modelo de locomotiva que se move

no eixo Ox. Faça um gráfico da velocidade e da posição

sabendo que x = 0 e v = O para t = 0.


2.27 Uma espaçonave se dirige em linha reta

para a Base Lunar I situada a uma distância de 384000

km da Terra. Suponha que ela acelere 20,0 m/s2 durante

os primeiros 15.0 minutos da viagem e a seguir viaje

com velocidade constante até os últimos 15.0 minutos,

quando acelera a -20,0 m/s2, atingindo o repouso

exalamente quando toca a Lua.

(a) Qual foi a velocidade máxima atingida?

(b) Qual foi a Iração do percurso total durante

o qual ela viajou com velocidade constante?

(c) Qual foi o tempo total da viagem?

2.28 Um trem de metro parte do repouso em

uma estação acelera com uma taxa constante de l .60

m/s2 durante 14.0 s. Ele viaja com velocidade constante

durante 70.0 s e reduz a velocidade com uma taxa

constante de 3,50 m/s2 até parar na estação seguinte.

Calcule a distância total percorrida.

2.29 Dois carros, A e R. se movem no eixo 0x.

O gráfico da figura 6 mostra as posições de A e B em

função do tempo.


28

(a) Faça um diagrama do movimento

mostrando a posição, a velocidade e a aceleração do

carro para t =0, t = l s e t = 3s.

(b) Para que tempo(s) caso exista algum A e B

possuem a mesma posição?

(c) Faça um gráfico da velocidade contra o

tempo para A e B.

(d) Para que tempo(s), caso exista algum, A e B

possuem a mesma velocidade?

(e) Para que tempo(s), caso exista algum, o

carro B passa o carro A?


2.30 Quando uni sinal luminoso fica verde, um

carro que eslava parado começao movimento com

aceleração constante de 3.20 m/s . No mesmo instante,

uni caminhão que se desloca com velocidade constante

de 20,0 m/s ultrapassa o carro. ai y>ial a distância

percorrida a partir do sinal para qiiL' o carro ultrapasse

o caminhão?

(b) Qual é a velocidade do carro no momento

em que ultrapassa o caminhão?

(c) Faça um gráfico x-t dos movimentos desses

dois veículos. Considere x = 0 o ponto de interseção

inicial.

(d) Faça um gráfico v-t dos movimentos desses

dois veículos.

2.31 Um carro se move com velocidade

constante de módulo igual a vc . No momento em que o

carro passa por um policial numa motocicleta, a

motocicleta e acelerada a partir do repouso com uma

aceleração aM,

(a) Faça um gráfico x-t dos movimentos desses

dois veículos. Mostre que quando a motocicleta

ultrapassa o carro a velocidade da motocicleta e igual

ao dobro da velocidade do carro, qualquer que seja o

valor de aM.

(b) Seja a distância percorrida pela motocicleta

até alcançar o carro. Em lermos de d qual foi a distância

percorrida pela motocicleta ate que sua velocidade fosse

igual a do carro?

SEÇÃO 2.6

QUEDA LIVRE DE CORPOS

2.32 Se a resistência do ar sobre as gotas de

chuva pudesse sei desprezada poderíamos considerar

essas gotas objetos em queda livre,

(a) As nuvens que dão origem a chuvas estão

em alturas típicas de algumas centenas de metros acima

do solo. Estime a velocidade de unia gola de chuva ao

cair no solo se ela pudesse ser considerada um corpo em

queda livre. Forneça essa estimativa em m/s e km/h.

(b) Estime (pela sua experiência pessoal sobre

chuva) a velocidade real de unia gola de chuva ao cair

no solo.

(c) Com base nos resultados (a) e (b), verifique

se e uma boa aproximação desprezar a resistência do ar

sobre as gotas de chuva. Explique.

2.33 (a) Se uma pulga pode dar um salto e

atingir uma altura de 0.440 m. qual seria sua velocidade

inicial ao sair do solo?

(b) Durante quanto tempo ela permanece no

ar?

2.34 Descida na Lua. Um módulo explorador

da l.ua esta pousando na Base -lunar l. Ele desce

lentamente sob a ação dos retro-propulsores do motor

de descida. O motor se separa do modulo quando ele se

encontra a 5 m da superfície lunar e possui uma

velocidade para baixo igual a 0.8 m/s. Ao se separar do

motor, o modulo inicia uma queda livre. Qual é a

velocidade do modulo no instante em que ele toca a

superfície?

A aceleração da gravidade na Lua é igual a l.6

m/s2 .

2.35 Um teste simples para o tempo de

reaçao. Uma régua de medição e mantida verticalmente

acima de sua mão com a extremidade inferior entre o

polegar e o indicador. Ao ver a régua sendo largada,

você a segura com estes dois dedos. Seu tempo de

reaçao pode ser calculado pela distancia percorrida pela

régua medida diretameiile pela posição dos seus dedos

na escala da régua,

(a) Deduza uma relação para seu tempo de

reaçao em função da distância d.

(b) Calcule o tempo de reação supondo uma

distância medida igual a 17.0 cm.

2.36 Um tijolo e largado (velocidade inicial

nula) do alto de um edifício. Ele atinge o solo em 2.50


29

s. A resistência do ar pode ser desprezada, de modo que

o tijolo esta em queda livre,

(a) Qual e a altura do edifício?

(b) Qual e o modulo da velocidade quando ele

atinge o solo?

(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o

movimento do tijolo,

2.37 Maria lança seu anel verticalmente para

cima a partir do telhado de um edilício, a l2 m acima do

solo com umavelocidade inicial de 5.0 m/s. Despreze a

resistência do ar. Determine o modulo e o sentido

(a) da velocidade media do anel,

(b) da aceleração media do anel

(c) Calcule o tempo que o anel leva para

atingir o solo desde o momento em que ele foi lançado,

(d) Qual e a velocidade do anel quando ele

atinge o solo?

(e) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o

movimento do anel.

2.38 Um balonista de ar quente que se desloca

verticalmente para cima com velocidade constante de

modulo igual a 5.0 m/s deixa cair um saco de areia no

momento em que ele esta a uma distância de 40.0 m

acima do solo (Figura 7). Depois que ele e largado, o

saco de areia passa a se mover em queda livre,

(a) Calcule a posição e a velocidade do saco de

areia 0,20 s e l ,00 s depois que ele é largado.

(b) Calcule o tempo que o saco de areia leva

para atingir o solo desde o momento em que ele foi

lançado,

(c) Qual e a velocidade do saco de areia

quando ele atinge o solo?

(d) Qual e a altura máxima em relação ao solo

atingida pelo saco de areia?

(e) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o

movimento do saco de areia.

FIGURA 7 – Exercício 2.34 e 2.38

2.39 Um estudante no topo de uni edifício joga

uma bola com água verticalmente para baixo. A bola

deixa a mão do estudante com uma velocidade de 6,0

m/s. A resistência do ar é ignorada, de modo que a bola

pode ser considerada em queda livre após o lançamento,

(a) Calcule sua velocidade depois de 2.0 s de

queda.

(b) Qual a distância percorrida nesses 2.0 s?

(c) Qual o modulo da velocidade quando a bola

caiu 10,0 m?

(d) Faça gráficos x-t, v-t e a–t para o

movimento.

2.40 Um ovo e atirado verticalmente de baixo

para cima de um ponto próximo da cornija na

extremidade superior de um edifício alto. Ele passa

rente da cornija em seu movimento para baixo,

atingindo um ponto a 50.0 m abaixo da cornija 5.0 s

após ele abandonar a mão do lançador. Despreze a

resistência do ar.

(a) Calcule a velocidade inicial do ovo.

(b) Qual a altura máxima atingida acima do

ponto inicial do lançamento?

(c) Qual o módulo da velocidade nessa altura

máxima?

(d) Qual o módulo e o sentido da aceleração

nessa altura máxima?

(e) Faça gráficos de x-t, v-t e a–t para o

movimento do ovo.

2.41 O Sonic Wind No 2 é uma espécie de trenó

movido por um foguete, usado para investigar os eleitos

fisiológicos de acelerações elevadas. Fie se desloca em

uma pista retilínca com 1070 m de comprimento.

Partindo do repouso pode atingir uma velocidade de

224 m/s em 0.900 s.

(a) Calcule a aceleração em m/s2 supondo que

ela seja constante,

(b) Qual a razão entre essa aceleração e a

aceleração de um corpo em queda livre ?

(c) Qual a distância percorrida cm 0.900 s?

(d) Um artigo publicado por uma revista

afirma que no final de uma corrida a velocidade desse

trenó diminui de 2S3 km/h ate /ero em 1.40 s e que

durante este intervalo de tempo a aceleração e maior

que 40 g. Esses valores são coerentes?

2.42 Uma pedra grande e expelida

verticalmente de baixo para cima por um vulcão com

velocidade inicial de 40.0 m/s Despreze a resistência do

ar.

(a) Qual e o tempo que a pedra leva, após o

lançamento, para que sua velocidade seja de 20,0 m/s

de baixo para cima?

(b) Qual o tempo que a pedra leva após o

lançamento, para que sua velocidade seja de 20,0 m/s

de cima para baixo?

(c) Quando o deslocamento da pedra e igual a

zero?

(d) Quando a velocidade da pedra e igual a

zero?


30

(e) Qual o módulo e o sentido da aceleração

enquanto a pedra

(i) está se movendo de baixo para cima?

(ii) esta se movendo de cima para baixo?

(iii) está no ponto mais elevado da sua

trajetória?

(f) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o

movimento.

2.43 Suponha que a aceleração da gravidade

seja de apenas 0.98 m/s2 em vez de 9.8 m/s

2 , porém a

velocidade inicial para você pular ou lançar uma bola

continua sendo a mesma,

(a) Calcule a altura que você poderia atingir

caso desse um salto para cima, sabendo que a altura

atingida pelo salto com g = 9.81 m/s2 e igual a 0.75 m.

(b) Ate que altura você poderia lançar uma

bola, caso você lançasse a mesma bola ate uma altura

de 18 m supondo g = 9.81 m/s2?

(c) Supondo que você possa pular com

segurança de uma janela para uma calçada situada a

uma altura de 2.0 m da janela, considerando g = 9.8

m/s2 . calcule a altura máxima da janela, considerando o

valor reduzido da aceleração da gravidade.

SECAO 2.7

VELOCIDADE E POSIÇÃO POR

INTEGRAÇÃO

2.44 A aceleração de um ónihus e dada por

( )a t t onde = l .2 m/s3 .

(a) Se a velocidade do ônibus para t = l .0 s é igual

a 5,0 m/s. qual e sua velocidade para

(a) t = 2.0 s?

(b) Se a posição do ônibus para t = l .0 s é igual a

6,0 m, qual sua posição para t = 2.0 s?

(c) Faça grálicos x-t, v-te a-t para esse movimento.

2.45 A aceleração de uma motocicleta e dada por 2( )a t A t B t , onde A = l,5 m/s

3 e B = 0.120

m/s4 A motocicleta está em repouso na origem no

instante t = 0.

(a) Calcule sua velocidade e posição em função do

tempo,

(b) Calcule a velocidade máxima que ela pode

atingir.

PROBLEMAS

2.46 Em uma competição de bicicletas com

percurso de 30 km, você percorre os primeiros 15 km

com uma velocidade media de 12 km/h. Qual deve ser

sua velocidade escalar media nos 15 km restantes para

que sua velocidade escalar media no percurso total de

30 km seja de

(a) 6 km/h?

(b) 18 km/h?

(c) Dada a referida velocidade média para os

primeiros 15 km. você poderia ou não atingir uma

velocidade escalar media de 24 km/h no percurso total

de 30 km? Explique.

2.47 A posição de uma partícula entre t = 0 e t

= 2,0 s é dada por: 3 23 10 9x t t t t SI

(a) Faça gráFicos de x-t, v-t e a-t para essa

partícula,

(b) Para que tempo entre t = 0 s e t = 2.00 s a

partícula está em repouso? O resultado obtido por você

estado acordo com o gráfico da parte (a)?

(c) Para qual tempo calculado na parte (b) a

aceleração da partícula e positiva ou negativa?

Mostre que em cada caso podemos obter a

mesma resposta pelo grafico v-t ou pela função a(t).

(d) Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a

velocidade da partícula não varia instantaneamente?

Localize esse ponto nos grálicos a-t e v-t da parte (a).

(e) Qual a maior distancia entre a partícula e a

origem (x = 0) no intervalo entre t = 0 e t = 2.00 s?

(f) Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a

partícula está diminuindo de velocidade com a maior

taxa? Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a

partícula está aumentando a velocidade com a maior

taxa? Localize esses pontos nos grálicos v-t e a-t da

parte (a).

2.48 Em uma gincana, cada concorrente corre

25.0 m transportando um ovo equilibrado em uma

colher, dá a volta e retorna ao ponto de partida. Elaine

corre os primeiros 25.0 m em 20,0 s. Quando volta, ela

se sente mais segura e leva apenas 15.0 s. Qual o

módulo do vetor velocidade media para

(a) os 25.0 m?

(b) a viagem de volta?

(c) Qual o módulo do vetor velocidade média

no percurso lodo quando ela volta ao ponto de partida?

(d) Qual e a velocidade escalar média no

percurso lodo quando ela volta ao ponto de partida?

2.49 Daniel dirige na Estrada I-SO em Seward.

no Estado de Nebraska e segue por um trecho retilíneo

de leste para oeste com uma velocidade média com

módulo igual a 72 km/h. Depois de percorrer 76 km. ele

atinge a saída de Aurora. Percebendo que ele foi longe

demais, retorna 34 km de oeste para leste até a saída

paraYork com uma velocidade média com módulo igual

a 72 km/h. Para a viagem total desde Seward até a saída

de York, qual é:


31

(a) sua velocidade escalar média?

(b) o modulo do vetor velocidade média?

2.50 Tráfego em uma auto-estrada. De

acordo com um artigo (da revista Scientific American

(maio de 1990) circulam normalmente em uma auto-

estrada americana cerca de 2400 veículos por hora em

cada pista com velocidade de 96 km/h para um tráfego

considerado regular. Depois desse limite o fluxo do

tráfego começa a ficar "turbulento" (com aceleraçóes e

paradas).

(a) Se cada veículo possui comprimento

aproximadamente igual a 4.6 m. qual é o espaçamento

médio entre os veículos para a densidade do tráfego

mencionado?

(b) Um sistema automático para evitar colisões

que opera com sinais de radar ou sonar. e que pode

acelerar ou parar um veículo quando necessário, poderia

reduzir sensivelmente a distância entre os veículos.

Supondo uma distância de 9,2 m (igual a dois

comprimentos de carro), quantos veículos por hora

poderiam circular em cada pista com velocidade de 96

km/h?

FIGURA 8 - Problema 2.49.

2.51 Um velocista pode acelerar ate sua

velocidade máxima em 4.0 s. Ele então mantém esta

velocidade durante o trajeto restante em uma

competição de 100 m, terminando a corrida com um

tempo total de 9, l s.

(a) Qual a aceleração media do velocista

durante os 4,0 s iniciais?

(b) Qual sua aceleração média durante os

últimos 5,1 s?

(c) Qual sua aceleração média durante a

corrida toda?

(d) Explique por que sua resposta do item (c)

não é a média das respostas (a) e (b).

2.52 Um trenó esta em repouso no alto de uma

montanha e escorrega para baixo com aceleração

constante. Em um dado instante está a 14,4 m de

distancia do topo; 2,00 s mais tarde está a 25,6 m de

distância do topo; 2.00 s mais tarde está a 40,0 m de

distancia do topo e 2,00 s mais tarde esta a 57,6 m de

distância do topo.

(a) Qual o módulo da velocidade média do

trenó durante cada um dos intervalos de 2,0 s depois de

passar pelo ponto a 14.4 m de distância do topo?

(b) Qual a aceleração do trenó?

(c) Qual a velocidade escalar do trenó quando

ele passa pelo ponto a 14,4 m de distancia do topo?

(d) Quanto tempo ele leva para ir do topo até

o ponto a 14.4 m de distância do topo?

(e) Qual a distância percorrida pelo trenó

durante o primeiro segundo depois de passar pelo ponto

a 14,4 m de distância do topo?

2.53 Um carro de 3.5 m de comprimento se

desloca com velocidade constante de 20 m/s

aproximando-se de uni cru/amenio (Figura 9). A largura

do cruzamento é de 20 m. A luz do sinal fica amarela

quando a frente do carro esta a 50 m do início do

cruzamento. Quando o motorista pisa no freio, o carro

diminui de velocidade com uma taxa igual a -3,8 m/s2.

Se em vêz de pisar no freio o motorista pisar no

acelerador, o carro aumenta de velocidade com uma

taxa igual a 2.3 m/s2 . A luz fica amarela durante 3,0 s.

Despreze o tempo de reação do motorista. Para evitar

que o carro fique no espaço do cruzamento, o motorista

deve pisar no freio ou no acelerador?


2.54 O maquinista de um trem de passageiros

que viaja com velocidade v = 25.0 m/s avista um trem

de carga cuja traseira se encontra a 200,0 m de distância

da frente do trem de passageiros (Figura 9). O trem de

carga se desloca no mesmo sentido do trem de

passageiros com velocidade v = 15,0 m/s. O maquinista

imediatamente aciona o freio, produzindo uma

aceleração constante igual a -0.100 m/s2 , enquanto o

trem de carga continua com a mesma velocidade.

Considere t = 0 como o local onde se encontra a frente

do trem de passageiros quando o freio é acionado.

(a) As vacas das vizinhanças assistirão a uma

colisão?

(b) Caso a resposta anterior seja positiva, em

que ponto ocorrera a colisão?


32

(c) Faça um gráfico simples mostrando a

posição da frente do trem de passageiros e a traseira do

trem de carga.


2.55 Uma barala grande pode desenvolver uma

velocidade igual a 1,50 m/s em intervalos de tempo

curtos. Suponha que ao ligar lâmpada em um motel

você aviste uma barata que se move com velocidade de

1.50 m/s na mesma direção e sentido que você. Se você

está a 0,90 m atras da barata com velocidade de 0.8 m/s,

qual deve ser sua aceleração mínima para que você

alcance a barata antes que ela se esconda embaixo de

um móvel situado a 1,20 m da posição inicial dela?

2.56 Considere a situação descrita no Exemplo

2.5. O exemplo é ligeiramente irreal, porque se o

policial está acelerado ele deve ultrapassar o motorista.

Em uma perseguição real. ele deve ultrapassar o

motorista e depois diminuir a velocidade para ficar com

a mesma velocidade do motorista. Suponha que o

policial do Exemplo 2.5 acelere sua motocicleta a partir

do repouso com aceleração de 2.5 m/s2 ate que sua

velocidade seja de 20 m/s. Ele diminui sua velocidade

com uma taxa constante ale se emparelhar com o carro

para x = 360 m deslocando-se com a mesma velocidade

do carro de 15.0 m/s.

(a) Qual o tempo necessário para o policial se

emparelhar com o carro?

(b) Qual o tempo no qual o policial deixa de

acelere e passa a diminuir de velocidade? Nesse

instante, qual a distância entre o policial e o sinal? Qual

a distância entre ele e o carro nesse instante?

(c) Encontre a aceleração do policial quando

sua velocidade diminui.

(d) Desenhe um diagrama x-t para os dois

veículos.

(e) Desenhe um diagrama v-t para os dois

veículos.


2.57 Um automóvel e um caminhão partem do

repouso no mesmo instante, estando o automóvel uma

certa distância atrás do caminhão. O caminhão possui

aceleração constante de 2.10 m/s e o automóvel tem

aceleração de 3.40 m/s . O automóvel ultrapassa o

caminhão depois que o caminhão se deslocou 40,0 m.

(a) Qual o tempo necessário para que o

automóvel ultrapasse o caminhão?

(b) Qual era a distância inicial entre o

automóvel e o caminhão?

(c) Qual a velocidade desses veículos quando

eles estão lado a lado?

(d) Em um único diagrama, desenhe a posição

de cada veículo em função do tempo. Considere x = 0

como a posição inicial do caminhão.

2.58 Dois motoristas malucos resolvem dirigir

uni de encontro ao outro. No instante t = 0 a distância

entre os dois carros é D e o carro l esta em repouso e o

carro 2 se move da direita para a esquerda com

velocidade v0. O carro l começa a acelerar a partir de t =

0 com aceleração constante a. O carro 2 continua a se

mover com velocidade constante,

(a) Em que instante ocorrerá a colisão?

(b) Ache a velocidade do carro l

imediatamente antes de colidir com o carro 2.

(c) Faça diagramas x-t e v-t para o carro l e

para o carro 2. Desenhe curvas para cada veículo

usando o mesmo eixo.

2.59 Em seu Mustang. José contorna uma

curva e atinge uma estrada retilínea no campo enquanto

se desloca a 20 m/s e avista um trator que espalha

adubo bloqueando completamentc a pista a uma

distância de 37 m a sua frente. Surpreso, ele pisa no

freio depois de 0.80 s de tempo de reação, conseguindo

parar bem próximo do tralor. Considerando o mesmo


33

tempo de reação e a mesma aceleração, se ele estivesse

a 25.0 m/s em vez de 20 m/s.

(a) qual seria sua velocidade ao colidir com o

trator?

(b) quanto tempo de vida ele teria desde o

momento em que viu o trator ate n instante da colisão?

2.60 Um carro da polícia se desloca em linha

rela com velocidade constante vp. Um caminhão que se

move no mesmo sentido com velocidade 3vp/2

ultrapassa o carro. A motorista que dirige o caminhão

verifica que está acelerando e imediatamente começa a

diminuir sua velocidade com uma taxa constante.

Contudo, ela estava em um dia de sorte e o policial

(ainda movendo-se com a mesma velocidade) passa

pelo caminhão sem aplicar-lhe a multa,

(a) Mostre que a velocidade do caminhão no

instante em que o carro da polícia passa por ele não

depende do módulo da aceleração do caminhão no

momento em que ele começa a diminuir sua velocidade

e calcule o valor dessa velocidade,

(b) Faça um gráfico x-t para os dois veículos.

2.61 O motorista de um carro deseja passar um

caminhão que se desloca com velocidade constante de

20.0 m/s. Inicialmente o carro também se desloca com

velocidade de 20.0 m/s e seu pára-choque dianteiro esta

a 24.0 m alias do para-choque traseiro do caminhão. Ele

acelera com taxa constante de 0.60 m/s2 , a seguir volta

para a pista do caminhão quando a traseira do carro esta

a 26,0 m da frente do caminhão. Ele possui

comprimento de 4,5 m e o comprimento do caminhão e

igual a 21.0 m.

(a) Qual o tempo necessário para o carro

ultrapassar o caminhão?

(b) Qual a distância percorrida pelo carro nesse

intervalo de tempo?

(c) Qual e a velocidade fina] do carro?

2.62 A velocidade de um objelo e dada por 2v t t

Onde = 4,0 m/s e = 2.0 m/s3 .

Para t = 0, o objeto está em x = 0.

(a) Calcule a posição e a aceleração do objeto

em função do tempo.

(b) Qual a distância entre o ohjeto e a origem?

2.63 A aceleração de uma partícula e dada por:

2 3a t t SI

(a) Calcule a velocidade inicial de modo que a

partícula tenha a mesma coordenada x para t = 0 s.

(b) Qual seria sua velocidade para t = 4.0 s?

2.64 Você está sobre o telhado do edifício de

um físico, 46 m acima do solo (Figura 11). Seu

professor de física, que possui l.80 m de altura, está

caminhando próximo do edifício com uma velocidade

constante de l.2 m/s. Se você deseja jogar um ovo na

cabeça dele, em que ponto ele deve estar quando você

largar o ovo? Suponha que o ovo esteja em queda livre.

2.65 Um estudante de física com bastante

tempo livre deixa cair uma melancia do alto do telhado

de um edifício. Ele escuta o barulho da melancia ao se

espatifar 2,50 s depois do lançamento. Qual a altura do

edifício? A velocidade do som no ar e igual a 340 m/s.

Despreze a resistência do ar.


2.66 Estime a velocidade máxima e o módulo

da aceleração de um elevador. Você precisa usar suas

observações sobre o tempo que o elevador leva para ir

de um andar para outro, a distância vertical aproximada

de um andar para outro e a distância percorrida quando

o elevador acelera ate sua velocidade máxima ou

quando diminui de velocidade ate parar.

2.67 Os visitantes de um parque de diversões

observam uma mergulhadora saltar de uma plataforma

situada a uma altura de 21.3 m de um pequeno lago. De

acordo com o apresentador, a mergulhadora entra na

água com velocidade de 25 m/s. Despreze a resistência

do ar.

(a) A aFirmação do anúncio está correia?

(b) A velocidade de 25 m/s poderia ser atingida

caso a mergulhadora saltasse diretamcnte para cima

sobre uma prancha de modo que abandonasse a prancha

no momento cm que ela se abaixa? Em caso afirmativo,

qual deveria ser sua velocidade para cima? Essa

velocidade inicial seria Fisicamente atingível?

2.68 Um vaso de flores cai de um peitoril de

uma |anela e passa pela janela de baixo. Despreze a


34

resistência do ar. Ele leva 0.420 s para passar por essa

janela. cuja altura e igual a l ,90 m. Qual é a distância

entre o topo dessa janela e o peitoril de onde o vaso

caiu?

2.69 Uma bola de futebol e chutada

verticalmente de baixo para cima e um estudante que

está olhando para fora de uma janela a vê subir e passar

por ele com velocidade de 5.00 m/s. A janela está a uma

altura de 12.0 m acima do solo. Despreze a resistência

do ar.

(a) Qual e a altura máxima atingida pela bola

em relação ao solo?

(b) Qual e o tempo que a bola leva para ir do

solo ate a altura máxima?

2.70 Um modelo de foguete possui uma

aceleração constante de baixo para cima igual a 40.0

m/s2 enquanto seu motor está funcionando. O foguete e

lançado verticalmente e o motor funciona durante 2.50 s

ale o combustível terminar. Depois que o motor pára de

funcionar, o foguete está em queda livre. O movimento

do foguete e puramente na vertical:

(a) Faça diagramas de a-t, v-t e x-t para o

foguete

(b) Qual a altura máxima atingida pelo

foguete?

(c) Qual a velocidade do foguete

imediatamente antes de ele se chocar com o solo?

(d) O tempo total de vôo e igual ao dobro do

tempo que o foguete leva para atingir a altura máxima?

Explique.

2.71 Sérgio arremessa uma eslera de chumbo

de 7 kg de baixo para cima. Aplicando-lhe um impulso

que a acelera a partir do repouso ale 45.0 m/s para um

deslocamento vertical de 64.0 cm. Ela sai de sua mão a

2.20 m acima do solo. Despreze a resistência do ar.

(a) Qual a velocidade da esfera imediatamente

apôs sair da sua mão?

(b) Qual a altura máxima atingida pela esfera?

Qual o tempo que ele dispõe para sair da vertical antes

que a esfera volte até a altura da sua cabeça, situada a

1.83 m acima do solo?

2.72 Desejando testar a lei da gravidade, um

estudante doido pula de um arranha-céu com altura de

l80 m com um cronômetro na mão iniciando sua queda

livre (com velocidade inicial nula). Cinco segundos

mais tarde, o Super-Homem entra em cena e mergulha

do alto do edifício para salvá-lo.

(a) O Super-Homem dá um impulso com

velocidade v0 de cima para baixo com suas pernas de

aço. A seguir ele cai com uma aceleração igual á de

qualquer corpo em queda livre. Qual deve ser o valor de

v0 para que o Super-Homem possa segurar o estudante

imediatamente antes de ele se chocar com o solo?

(b) Usando um mesmo gráfico desenhe a

posição do Super-Homem e do estudante em função do

tempo. Considere a velocidade inicial do Super-Homem

calculada no item (a), (c) Quando a altura do arranha-

céu for menor do que um certo limite, nem mesmo o

Super-Homem seria capaz, de salvar o estudante. Qual é

essa altura mínima?

2.73 Outro estudante doido pula da Torre CN

em Toronto, que possui uma altura de 553 m. iniciando

sua queda livre. Sua velocidade inicial é igual a zero.

Cinco segundos mais tarde, o Homem-Foguete entra em

cena e mergulha do alto do edifício para salvá-lo. O

Homem-Foguete parte com velocidade v0 de cima para

baixo. A fim de suavizar a queda Final, ele segura o

estudante a uma certa altura do solo e diminui a

velocidade até atingir o solo com velocidade nula. A

aceleração para cima necessária para isso é obtida por

um dispositivo a jato transportado pelo Homem-

Foguete, o qual e acionado no momento em que ele

segura o estudante. Para que o percurso seja confortável

para o estudante, o modulo da aceleração não deve ser

maior do que 5g.

(a) Qual é a altura mínima acima do solo onde

o Homem-Foguete segura o estudante?

(b) Qual deve ser o valor de v0 para que o ele

possa segurar o estudante na altura mínima calculada

em (a)?

(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o Homem-

Foguete e para o estudante. Para cada gráfico, desenhe

as curvas para o Homem-Foguete e para o estudante

usando os mesmos eixos.

2.74 Uma bola é lançada do solo diretamente

de baixo para cima com velocidade v0. No mesmo

instante, outra bola é largada do repouso a uma altura H

diretamente acima do ponto onde a primeira bola foi

lançada para cima. Despre/e a resistência do ar.

(a) Calcule o instante em que as duas bolas

colidem.

(b) Ache o valor de H em lermos de v0 de

modo que no momento da colisão a primeira bola atinja

sua altura máxima.

2.75 Dois carros, A e B se deslocam ao longo

de uma linha reta. A distancia de A ao ponto inicial é

dada em função do tempo por: 2

Ax t t t SI

Onde = 2,60 m/s e = 1,20 m/s2 . A distância de B

ao ponto inicial é dada em funçáo do tempo por: 2 3

Bx t t t SI

onde =2.80 m/s2 e = 0.20 m/s

3.


35

(a) Qual carro está na frente logo que eles

saem do ponto inicial?

(b) Em que instante(s) os carros estão no

mesmo ponto?

(c) Em que inslante(s) a distância entre os

carros A e B não aumenta nem diminui?

(d) Em que instante(s) os carros A e B possuem

a mesma aceleração?

2.76 A queda da maça de uma macieira pode

ser considerada uma queda livre. A maçã está

inicialmente a uma altura H acima do topo de um

gramado espesso, o qual e constituído por camadas de

grama de espessura h. Quando a maçã penetra na

grama, ela diminui sua velocidade com uma taxa

constante e atinge o solo com velocidade igual a zero.

(a) Ache a velocidade da maça imediatamente

antes de ela penetrar na grama,

(b) Ache a aceleração da maçã enquanto ela

penetra na grama,

(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o

movimento da maçã.

PROBLEMAS DESAFIADORES

2.77 Uma estudante está se deslocando com sua

velocidade máxima de 5,0 m/s para pegar um ônibus

parado. Quando a estudante está a uma distancia de

40,0 m do ônihus, ele começa ase mover com

aceleração constante igual a 0.170 m/s .

(a) Durante quanto tempo e qual é a distância

percorrida para que a estudante alcance o ônibus?

(b) Quando a estudante alcança o ônihus, qual é

a velocidade do ônibus?

(c) Faça um gráfico de x-t para a estudante e

para o ônibus. Considere v = 0 como a posição inicial

da estudante.

(d) As equações usadas para calcular o tempo

na parte (a) possuem uma segunda solução que

corresponde a um tempo posterior para o qual a

estudante e o ônibus estão na mesma posição caso

continuassem com seus movimentos especificados.

Explique o significado desta segunda solução. Qual a

velocidade do ônihus neste ponto?

(e) Caso sua velocidade máxima fosse igual a

3.5 m/s ela poderia alcançar o ônihus?

(f) Qual seria sua velocidade inicial para que

ela pudesse alcançar o ônibus? Neste caso, quanto

tempo e qual seria a distância percorrida para que a

estudante pudesse alcançar o ônihus?

2.78 Estando inicialmente agachado, um atleta

dá um salto vertical para atingir a altura máxima

possível. Qs melhores atletas permanecem cerca de 1,0

s no ar (o "tempo de suspensão"no ar). Considere o

atleta como uma partícula e denomine de yM, sua altura

máxima acima do solo. Despreze a resistência do ar.

Para explicar por que ele parece estar suspenso no ar.

calcule a razão entre o tempo que ele leva para atingir a

altura yM/2 e o tempo que ele leva para atingir a altura

yM.

2.79 Uma bola é atirada de baixo para cima do

canto superior do telhado de um edifício. Uma segunda

bola é largada do mesmo ponto 1.00 s mais tarde.

Despre/e a resistência do ar.

(a) Sabendo que a altura do edifício e igual a

20.0 m, qual deve ser a velocidade inicial da primeira

bola para que ambas atinjam o solo no mesmo instante?

Em um mesmo grálico, desenhe a posição de cada bola

em função do tempo medido a partir do lançamento da

primeira bola. Considere a mesma situação, mas agora

suponha que seja conhecida a velocidade inicial v0 da

primeira bola e que a altura h do edifício seja uma

incógnita.

(b) Qual deve ser a altura do edifício para que

ambas atinjam o solo no mesmo instante para os

seguintes valores de v0,:(i) 6,0 m/s; (ii) 9.5 m/s?

(c) Quando v0 for superior a um certo valor

máximo vM não existirá nenhum valor de h que

satisfaça a condição de as bolas atingirem o solo no

mesmo instante. O valor vM, possui uma interpretação

física simples. Qual é ela?

(d) Quando v0 for inferior a um certo valor

mínimo vM não existirá nenhum valor de h que

satisfaça a condição de as bolas atingirem o solo no

mesmo instante. O valor vmin também possui uma

interpretação ftísica simples. Qual é ela?

2.80 Um excursionista atento vê uma pedra

cair do alto de um morro vizinho e nota que ela leva

l,30 s para cair a última terça parte da sua trajetória até

o solo. Despreze a resistência do ar.

(a) Qual ê a altura do morro em metros?

(b) Se na parle (a) você obtiver duas soluções

de uma equação do segundo grau e usar apenas uma na

resposta, o que representará a outra solução?


36

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO

03.1 Um pêndulo simples (um corpo oscilando

na extremidade de um fio descreve um arco de círculo

em cada oscilação. Qual é adireção e o sentido da

aceleração nas extremidades da oscilação? E no ponto

médio? Explique como você obteve cada resposta.

03.2 Refazer a Figura 3.9a supondo a

antiparalelo v . A partícula se move em linha reta? O

que ocorre com a velocidade escalar?

03.3 Desprezando a resistência do ar, um projétil

se move em uma trajetória parabólica. Existe algum

ponto em que a é paralelo a v ? E perpendicular a v ?

Explique.

03.4 Quando um rifle é disparado para um alvo

distante a direção do cano não coincide com a do alvo.

Por que não coincide? O ângulo da correção depende da

distância ao alvo?

03.5 No mesmo instante em que a bala sai

horizontalmente do cano de uma arma, você larga um

corpo da mesma altura do cano. Desprezando a

resistência do ar. qual dos dois chegará primeiro ao

solo? Explique.

03.6 Um pacote é largado de um avião que voa

em uma mesma altitude com velocidade constante.

Desprezando a resistência do ar, qual seria a trajelória

do pacote observada pelo piloto? E a trajetória

observada por uma pessoa no solo?

03.7 Desenhe os seis gráficos para os

componentes x e y da posição, da velocidade e da

aceleração em função do tempo para movimento de um

projêtil com x0 = y0 = 0 e 0 < 0 < 900.

03.8 Supondo y0 = 0 e 0 negativo, y nunca

pode ser positivo para um projétil. Contudo, a expressão

de h encontrada no Exemplo 3.9 parece que fornece

uma altura máxima positiva para 0,negativo. Explique

essa aparente contradição.

03.9 Supondo que uma rã possa pular sempre

com a mesma velocidade inicial em qualquer direçâo

que ela pule (para a frente ou diretamente de baixo para

cima), como a altura máxima que ela pode atingir se

relaciona com o alcance horizontal máximo 2

0max

vR

g

03.10 Suponha que o dardo tranquilizante da

Figura 3.21 seja atirado com uma velocidade v0

relativamente pequena, de modo que o dardo já tenha

ultrapassado a altura máxima de sua trajetória e esteja

descendo quando ele atinge o macaco (que ainda

está no ar quando isso ocorre). No instante em que o

dardo estava na altura máxima, a altura do macaco em

relação ao solo era a mesma, maior ou menor do que

essa altura máxima? Explique sua resposta com um

diagrama.

Q3.11 Em um movimento circular uniforme,

qual é a velocidade média e a aceleração média para

uma revolução? Explique.

Q3.12 Em um movimento circular uniforme,

como varia a aceleração quando a velocidade cresce de

um fator igual a 3? Quando o raio decresce de um fator

igual a 2?

Q3.13 Em um movimento circular uniforme, a

aceleração é perpendicular à velocidade em cada

instante, embora ambas mudem de direção

continuamente. O movimento circular uniforme é o

único movimento que goza dessa propriedade ou existe

algum outro?

Q3.14 As gotas da chuva vistas através do

vidro lateral de um carro em movimento caem em uma

direçâo diagonal. Por quê? A explicação é a mesma ou

diferente para a diagonal vista através do pára-brisa?

Q3.15 No caso de uma chuva forte, o que

determina a melhor posição do guarda-chuva?

Q3.16 Você se encontra na margem oeste de

um rio cujas águas se escoam do sul para o norte com

velocidade de 1,2 m/s. Sua velocidade de natação em

relação à água é igual a 1,5 m/s e o no possui 60 m de


37

largura. Qual é a trajetória em relação ao solo para você

atravessar o rio no menor intervalo de tempo possível?

Explique seu raciocínio.

EXERCÍCIOS

SEÇÃO 3.2

VETOR POSIÇÃO

VETOR VELOCIDADE

3.1 Um esquilo possui coordenadas x e y (l. l m e

3.4 m) para t1 = 0 e coordenadas (5.3 m e -0,5 m) para t2

= 3.0 s. Para esse intervalo de tempo, calcule

(a) os componentes da velocidade média;

(b) o módulo c direçâo da velocidade média.

3.2 Um rinoceronte está na origem do sistema de

coordenadas para t1 = 0. Para o intervalo de tempo

entre t1 = 0 e t2 = 12.0 s, sua velocidade média possui

componente vx = -3.8 m/s e componente vy = 4.9 m/s.

Para t2 = 12,0 s:

(a) quais são as coordenadas x e y do

rinoceronte?

(b) qual é a distância entre a origem e o

rinoceronte?

3.3 Um projelista de páginas da Internet cria uma

animação naqual um ponto da tela do computador

possui posição 2 ˆ ˆ4 2.5 5r t i t j (SI).

(a) Ache o módulo, a direção e o sentido da

velocidade média do ponto para o intervalo entre t0 = 0

e t = 2,0 s.

(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da

velocidade instantânea para t0 = 0 e t1 = 2,0 s.

(c) Faça um desenho da trajetória do ponto no

intervalo t0 = 0 e t1 = 2,0 s e mostre as velocidades

calculadas em (c).

3.4 Se 2 3ˆ ˆr b t i c t j onde b e c são

constantes positivas, quando o vetor velocidade faz um

ângulo de 45.00 com o eixo Ox ou com o eixo Oy?


38

SEÇÃO 3.3

VETOR ACELERAÇÃO

3.5 Um avião a jato está voando a uma altura

constante. No instante t = 0. os componentes da

velocidade são vx = 90 m/s, vy = 110 m/s. No instante t2

= 30,0 s, os componentes são vx = -170 m/s, vy = 40

m/s.

(a) Faça um esboço do vetor velocidade para t1

e para t2? Qual a diferença entre estes vetores? Para esse

intervalo de tempo, calcule

(b) os componentes da aceleração média,

(c) o módulo, a direção e o sentido da

aceleração média.

3.6 A velocidade de um cachorro correndo em

um campo aberto possui componentes vx = 2,6 m/s e vy

= -1.8 m/s para t = 10.0 s. Para o um intervalo de tempo

entre t1 = 10.0 s e t2 = 20.0 s, a aceleração média do

cachorro possui módulo igual a 0.45 m/s2, formando um

ângulo de 31,00 medido considerando uma rotação do

eixo +0x para o eixo +0y. Para t = 20,0 s,

(a) quais são os componentes vx e vy da

velocidade do cachorro?


velocidade do cachorro,

(c) Faça um desenho mostrando o vetor

velocidade para t1 e para t2. Qual é a diferença entre

estes velores'?

3.7 Um pássaro voando em um plano xy possui

coordenadas x t e 23y t , com = 2,4

m/s e = 1.2 m/s2,

(a) Faça um esboço da trajetória do pássaro

entre t0 = 0 e t1 = 2.0 s.

(b) Ache o velor velocidade e o vetor

aceleração do pássaro em função do tempo,

(c) Ache o módulo, a direção e o sentido do

vetor velocidade e do vetor aceleração do pássaro para t

= 2,0 s.

(d) Faça um esboço do vetor velocidade e do

vetor aceleração do pássaro para t = 2.0 s. Nesse

instante, a velocidade escalar do pássaro está

aumentando, diminuindo ou é constante? O pássaro

está fazendo uma volta? Em caso positivo, em que

sentido?

3.8 Uma partícula segue uma trajelória

indicada na Figura 3.31. Entre os pontos B c D. a

trajetória é uma linha reta. Desenhe o vetor aceleração

em A, C e E para os casos em que

(a) a partícula se move com velocidade escalar

constante;

(b) a partícula se move com velocidade escalar

que cresce uniformemente;

(c) a partícula se move com velocidade escalar

que decresce uniformemente.


39

SEÇÃO 3.4

MOVIMENTO DE UM

PROJET1L

3.9 Um livro de física escorrega

horizonlalmente para fora do topo de uma mesa com

velocidade de 1,10 m/s e colide com o solo em 0.350 s.

Desprezando a resistência do ar, ache

(a) a altura do topo da mesa até o solo;

(b) a distância horizonlal entre a extremidade

da mesa e o ponto onde ele colidiu com o solo;

(c) os componentes da velocidade do livro e o

módulo, a direção e o sentido da velocidade

imediatamente antes de o livro atingir o solo;

(d) faça diagramas x-t, y-t, vx-t, vy-t para o

movimento.

3.10 Um helicóptero militar em missão de

treinamento voa horizontalmente com velocidade de

60,0 m/s e acidentalmente deixa cair uma bomba

(felizmente não ativa) a uma altura de 300 m. Despreze

a resistência do ar.

(a) Quanto tempo a bomba leva para atingir o

solo?

(b) Qual a distância horizontal percorrida pela

bomba durante a queda?

(c) Ache os componentes da velocidade na

direção horizontal e na vertical imediatamente antes de

a bomba atingir o solo.

(d) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t, vy-t para o

movimento da bomba,

(e) Mantida constante a velocidade do

helicóptero, onde estaria ele no momento em que a

bomba atingisse o solo?

3.11 Uma bola de futebol é chutada com

velocidade inicial v0 = 15.0 m/s. formando um ângulo

inicial 0 = 45,00.

(a) Ache o tempo t quando a bola atinge a

altura máxima,

(b) Nos três instantes t1 = T - 0,50 s, t2 = T s e

t3 = T + 0,50 s, ache os componentes vx e vy do vetor

posição,

(c) Para os instantes t1, t2 e t3 determine o

módulo, a direção e o sentido do velor velocidade,

(d) Para os instantes t1, t2 e t3, determine os

componentes do vetor aceleração que sejam paralelos

(ou antiparalelos) ao vetor velocidade e ache os

componentes do vetor aceleração que sejam

perpendiculares ao vetor velocidade.

(e) Faça um esboço da trajetória da bola. Nesse

esboço, identifique a posição da bola nos instantes t1, t2

e t3. Em cada um desses pontos, desenhe o velor

velocidade e os componentes paralelos e

perpendiculares do vetor aceleração,

(f) Discuta como a velocidade escalar e a

direção do movimento da bola variam com o tempo nos

instantes t1, t2 e t3, e explique como os vetores do seu

desenho descrevem essas variações.

3.12 Uma bola de tênis rola para fora da

extremidade de uma mesa situada a uma altura igual a

0.750 m acima do solo e atinge o solo em um ponto

situado a 1,40 m da extremidade da mesa.

Despreze a resistência do ar. Ache o tempo de

percurso.

(a) Ache o módulo da velocidade inicial,


velocidade da bola imediatamente antes de a bola

atingir o solo.

(c) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t, vy-t para o

movimento.

3.13 Uma pistola de sinalização atira uma bala

luminosa com velocidade inicial (velocidade na saída

do cano) igual a 120 m/s.

(a) Se a bala é atirada a 550 acima da

horizontal em uma região plana de Brasília, qual é seu

alcance horizonlal? Despreze a resistência do ar.

(b) Se a bala fosse atirada nas mesmas

condições em uma região plana da Lua, onde g = l .6

m/s2, qual seria seu alcance horizontal?

3.14 Pelé chuta uma bola de futebol com

velocidade inicial tal que o componente vertical é igual

a 16,0 m/s e o componente horizontal é igual a 20.0

m/s. Despreze a resistência do ar.

(a) Que tempo a bola leva para atingir a altura

máxima de sua trajetória?

(b) Qual a altura desse ponto?

(c) Quanto tempo a bola leva (desde o

momento do chute inicial) até o instante cm que ela

retorna ao mesmo nível inicial? Qual é a relação entre

esse tempo e o calculado no item (a)?


40

(d) Que distância hori/ontal ela percorreu

durante esse tempo?

(e) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy -t para o

movimento.

3.15 Mark McGwire bate uma bola de beisebol

de forma que ela abandona o bastão com velocidade de

30,0 m/s formando um ângulo de 36.9° acima da

hori/.ontal. Despreze a resistência do ar.

(a) Ache os dois instantes para os quais a

altura da bola esta a 10,0 m acima do nível inicial,

(b) Calcule o componente vertical e o

componente horizontal da velocidade da bola em cada

um dos dois tempos calculados no item (a).

(c) Determine o módulo, a direção e o sentido

da velocidade da bola quando ela retorna ao nível

inicial.

3.16 Um taco golpeia uma bola de golfe em

uma pequena elevação acima do solo com uma

velocidade de 12,0 m/s e um ângulo inicial de 51.00

acima da horizontal. A bola atinge o campo 2,08 s após

a tacada. Despreze a resistência do ar.

(a) Quais são os componentes da aceleração da

bola durante o vôo?

(b) Quais são os componentes da velocidade da

bola no início e no final de sua trajetória?

(c) Qual é a distancia horizontal percorrida

pela bola?

(d) Por que a expressão de K obtida no

exemplo 3.9 não pode ser usada para dar a resposta

correia do item (c)?

(e) Qual era a altura da bola no momento cm

que ela saiu do taco?

(f') Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o

movimento.

3.17 Em um parque de diversões você pode

ganhar uma girafa inflável se conseguir encaixar uma

moeda de 25 centavos em um prato pequeno. O prato

está sobre uma prateleira acima do ponto em que a

moeda deixa sua mão, a uma distância horizontal de 2,1

m deste ponto. Se você lança a moeda com velocidade

de 6,4 m/s formando um angulo de 600 acima da

horizontal, a moeda se encaixa no prato. Despreze a

resistência do ar.

(a) Qual a altura da prateleira em relação ao

nível da sua mão?

(b) Qual ê o componente vertical da velocidade

da moeda imediatamente antes de a moeda pousar no

prato?

FIGURA 3.32 Exercício 3.17.

3.18 Suponha que o ângulo inicial da figura

3.21 seja 420 e que d seja igual a a 3.0 m. Onde o dardo

e o macaco se encontrarão se a velocidade inicial do

dardo for:

(a) 12.0 m/s?

(b) 8,0 m/s?

(c) O que ocorreria se a velocidade inicial do

dardo fosse 4,0 m/s? Faça um esboço da trajetória em

cada caso.

3.19 Um homem está parado no alto de um

edifício de 15.0 m de altura e atira uma pedra com

velocidade de módulo de 30,0 m/s formando um ângulo

inicial de 33,00 acima da horizontal. Dcspreze a

resistência do ar. Calcule:

(a) a altura máxima acima do telhado atingida

pela pedra.

(b) o módulo da velocidade da pedra

imediatamente antes de ela atingir o solo.

c) a distância horizontal entre a base do

edifício e o ponto onde ela atinge o solo.

(d) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o

movimento.

SEÇÃO 3.5

MOVIMENTO CIRCULAR

3.20 Em seu primeiro dia de trabalho em uma

fábrica de eletrodomésticos. você é solicitado a

informar o que é necessário para que a centrifugadora

de uma máquina de lavar triplique sua aceleração

centrípeta. Você impressiona a sua chefe respondendo

imediatamente. O que você diz a ela?

3.21 A Terra possui um raio igual a 6380 km e faz

um giro completo em 24 horas,

(a) Qual é a aceleração radial de um objeto no

equador da Terra? Dê sua resposta em m/s2 e como uma

fração de g.

(b) Se arad no equador fosse maior do que g os

objetos seriam ejetados da Terra e voariam para o


41

espaço. (Veremos a razão disso no Capítulo 5.) Qual

deveria ser o período mínimo de rotação da Terra para

que isso ocorresse?

3.22 Um modelo de rotor de helicóptero possui

quatro lâminas, cada qual com 3.40 m de comprimento

desde o eixo central até sua extremidade. O modelo gira

em um túnel de vento com 550 rev/min.

(a) Qual é a velocidade linear da extremidade da

lâmina em m/s?

(b) Qual é a aceleração radial da extremidade da

lâmina expressa como múltiplo da aceleração da

gravidade, g ?

3.23 Em um teste de um "aparelho para g" um

voluntário gira em um círculo horizontal de raio igual a

7.0 m. Qual é o período da rotação para que a

aceleração centrípeta possua módulo de

(a) 3.0g (b) 10g?

3.24 O raio da órbita da Terra em torno do Sol

(suposta circular) é igual a l.50.108km e a Terra

percorre esta órbita em 365 dias.

(a) Qual é o módulo da velocidade orbital da Terra

em m/s?

(b) Qual é a aceleração radial da Terra no sentido

do Sol em m/s2?

(c) Repita os cálculos de (a) e de (b) para o planeta

Mercúrio (raio da órbita = 5,79.107 km, período da

órbita = 88.0 dias).

3.25 Uma roda-gigantc com raio igual a 14.0 m

está girando em torno de um eixo horizontal passando

pelo seu centro (Figura 3.33). A velocidade linear de

uma passageira em sua periferia é igual a 7.00 m/s.

Determine o módulo, a direção e o sentido da

aceleração da passageira a) no ponto mais baixo do

movimento circular,

(a) no ponto mais alto do movimento circular,

(b) Quanto tempo leva a roda-gigante para

completar uma revolução?

FIGURA 3.33 Exercícios 3.25 c 3.26.

3.26 A roda-gigante da Figura 3.3.3. que gira o

sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio,

começa a se mover. Em dado instante, um passageiro na

periferia da roda e passando no ponto mais baixo do

movimento circular se move a 3,00 m/s e está ganhando

velocidade com uma taxa de 0,500 m/s2,

(a) Determine o módulo, a direção e o sentido

da aceleração do passageiro nesse instante,

(b) Faça um desenho do passageiro e da roda-

gigante mostrando o vetor velocidade e o vetor

aceleração.

3.27 Uma pista de corrida plana possui forma

elíptica. (Consulte um manual de matemática ou uma

enciclopédia para caracterizar uma elipse.) Um carro

viaja ao longo dessa pista com velocidade escalar

constante,

(a) Faça um desenho mostrando o velor

velocidade e o vetor aceleração do carro em cinco

pontos dilerentes dessa trajelória.

(b) O vetor aceleração do carro sempre aponta

para o centro geométrico da elipse? Explique.

(c) Para qual(isl ponto(s) da elipse a aceleração

do carro possui maior módulo? Explique.

SEÇÃO 3.6

VELOCIDADE RELATIVA

3.28 Um vagão plano aberto de um trem se

desloca para a direita com velocidade de 13,0 m/s

relativa a um observador lixo no solo. Uma motoneta

está se deslocando sobre o vagão Qual é a velocidade

(módulo e sentido) da motoneta em relação ao vagão se

a sua velocidade em relação a um observador fixo no

solo e

(a) 18 m/s para a direita?

(b) 3,0 m/s para a esquerda?

(c) 0?

3.29 A "esteira rolante horizontal" do terminal

de um aeroporto possui comprimento igual a 35,0 m e

se desloca a l ,0 m/s. Suponha uma mulher se

deslocando a l ,5 m/s em relação à esteira e partindo da

extremidade da esteira. Quanto tempo leva para atingir

a outra extremidade da esteira se ela se move:

(a) no mesmo sentido da esteira?

(b) em sentido contrário ao da esteira?

3.30 Dois píeres estão localizados em um rio: o

píer K está situado a 1500 m de A corrente abaixo. Dois

amigos devem fazer um percurso do píer A ao píer B e

depois voltar. Um deles vai de barco com velocidade

constante de 4 km/h em relação à água. O outro

caminha pela margem do rio com velocidade constante

de 4,00 km/h. A velocidade do rio é 2,80 km/h no


42

sentido de A para B. Calcule o tempo de cada um para

fazer o percurso de ida e de volta.

3.31 Uma canoa possui velocidade de 0,40 m/s

do sul para leste em relação à Terra. A canoa se desloca

em um rio que escoa a 0.50 m/s do oeste para leste em

relação à Terra. Determine o módulo, a direção e o

sentido da velocidade da canoa em relação ao rio.

3.32 O piloto de um avião deseja voar de leste

para oeste. Um vento de 80 km/h sopra do norte para o

sul.

(a) Se a velocidade do avião em relação ao ar

(sua velocidade se o ar estivesse em repouso) é igual a

320.0 km/h, qual deve ser a direção que o pilotodeve

escolher?

(b) Qual é a velocidade do avião em relação ao

Solo? Ilustre sua solução com um diagrama vetorial.

3.33 A água de um rio se escoa com

velocidade de 2,0 m/s do norte para o sul. Um homem

dirige um barco com motor através do rio; sua

velocidade em relação à água é igual a 4.2 m/s de oeste

para leste. A largura do rio é igual a 800 m.

(a) Determine o módulo, a direção e o sentido

da sua velocidade em relação à Terra,

(b) Quanto tempo e necessário para atravessar

o rio?

(c) A que distância ao sul do ponto inicial ele

atingirá a margem oposta?

3.34 (a) Em que direção o barco do Exercício

3.33 deveria se deslocar para atingir a margem oposta

diretamente a leste do ponto inicial?

(Sua velocidade em relação à água permanece

igual a 4.2 m/s.) (b) Qual a velocidade do barco em

relação à Terra? (c) Quanto tempo é necessário para

atravessar o rio?

3.35 Um avião ultraleve aponta de norte para

sul, e seu indicador de velocidade em relação ao ar

mostra 35 m/s. O avião está submetido a um vento de

10 m/s que sopra na direção sudoeste em relação à

Terra,

(a) Faça um diagrama vetorial mostrando a

relação entre os vetores dados e PEv (a velocidade do

avião em relação à Terra),

(b) Usando a coordenada X para o leste e a

coordenada y para o norte, determine os componentes

de PEv .

(c) Determine o módulo, a direção e o sentido

de PEv .

PROBLEMAS

3.36 Um modelo de foguete se move no plano

xy (o sentido positivo do eixo vertical 0y é de baixo

para cima). A aceleração do foguete possui os

componentes 2

xa t t ya t t onde

= 2,50 m/s4, = 9,00 m/s

2 e = l,40 m/s

3.

Para t = 0, o foguete está na origem e possui velocidade

0 0 0ˆ ˆ

x yv v i v j sendo v0x = 1,00 m/s e v0y = 7,00

m/s.

(a) Determine o vetor velocidade e o vetor

posição em função do tempo,

(b) Qual a altura máxima atingida pelo

foguete?

(c) Faça um desenho da trajetória do foguete,

(d) Qual o deslocamento horizontal do foguete

quando ele retorna para o ponto y = 0?

3.37 Um estudante se move em um plano xy

num quarto escuro tentando localizar uma nota de R$

50. As coordenadas do estudante em função do tempo

são x t t e 215y t t onde

= l .20 m/s e = 0,500 m/s2. Embora o estudante não

saiba, a nota de R$ 50 se encontra na origem,

(a) Em que instantes a velocidade do estudante

é perpendicular à sua aceleração?

(b) Em quais instantes a velocidade do

estudante não varia instantaneamente?

(c) Em quais instantes a velocidade do

estudante é perpendicular ao seu vetor posição? Onde se

encontrão estudante nesses instantes?

(d) Qual é a distancia mínima entre a nota de

R$ 50 e o estudante? Em que instante essa distância

mínima é atingida?

(e) Faça um desenho da trajetória do infeliz

estudante.

3.38 Um pássaro voa em um plano xy com um

vetor velocidade dado por: 2 ˆ ˆv t i t j

sendo = 2.4 m/s e = l .6 m/s e = 4,0 m/s2.

Em t = 0 o pássaro está na origem. O sentido positivo

do eixo vertical Oy e de baixo para cima.

(a) Determine o vetor posição e o vetor

aceleração do pássaro em função do tempo.

(b) Qual é a altura do pássaro (coordenada y)

quando ele voa sobre x = O pela primeira vêz, depois de

t = 0?

3.39 Um Piper Warrior. um pequeno avião

com quatro lugares, necessita de 300 m de pista para

levantar voo. Sua velocidade de decolagem é igual a 88

km/h. A seguir ele se inclina com velocidade constante


43

de 88 km/h ao longo de uma trajetória retilinea.

passando rente uma linha de transmissão com 15 m de

altura situada a uma distância horizontal de 460 m do

local onde o avião decola,

(a) Qual era a aceleração inicial do Piper

(suposta constante) durante seu movimento na pista

para decolar?

(b) Depois de o Piper decolar, qual era seu

ângulo de vôo acima da horizontal?

(c) Qual era sua taxa de elevação (em m/s2)

(d) Qual o tempo decorrido desde o início do

movimento ate o instante em que o Piper passa rente â

linha de transmissão?

3.40 Um instrutor (que também e professor de

tísica) treina um atleta a arremessar um dardo de modo

que ele saia da mão do atleta, a uma altura h com

velocidade 25 8gh formando um ângulo de 36.90

acima da horizontal. O dardo continua voando ate

atingir o solo. O campo em torno do atleta é plano e a

resistência do ar é desprezível.

(a) Faça um desenho da velocidade horizontal

do dardo cm função do tempo e da velocidade vertical o

dardo em função do tempo,

(b) Calcule a altura máxima alcançada pelo

dardo,

(c) Calcule a distância horizonlal que o dardo

percorreu desde o instante em que ele deixou a mão do

atleta até o instante em que atingiu o solo.

3.41 Uma equipe de demolição usa dinamite

para explodir um edifício velho. Fragmentos da

explosão voam em todas as direções, e mais tarde são

encontrados num raio de 50 m da explosão. Faça uma

estimativa da velocidade máxima atingida pêlos

fragmentos da explosão. Descreva todas as hipóteses

que você usar.

3.42 Uma dublê de cinema pula de um

helicóptero em voo a 30.0 m acima do solo com

velocidade constante cujo componente vertical e igual a

10.0 m/s de baixo para cima c cujo componente

horizontal é igual a 15.0 m/s do norte para o sul.


(a) Em que lugar do solo (em relação ao ponto

onde ela abandonou o helicóptero) a duble colocou

almofadas de espuma para amortecer sua queda?

(b) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o

movimento.

3.43 No combate a incêndios em florestas,

avióes jogam água para ajudar equipes que trabalham

no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa

com corante vermelho, na esperança de atingir um alvo

no solo. Se o avião está voando horizontalmente a 90.0

m acima do solo com velocidade de 64,0 m/s, a que

distância horizontal do alvo deve o piloto lançar a

caixa? Despreze a resistência do ar.

3.44 Uma garota joga um saco com água a um

ângulo de 50.00acima da horizontal com velocidade de

12.0 m/s. O componente horizontal da velocidade do

saco é direcionado para o carro que se aproxima da

garota com velocidade constante de 8.00 m/s. Supondo

que o saco atinja o carro na mesma altura em que ele

abandona a mão da garota, qual é a distância máxima

que o carro pode estar da garota quando o saco c

jogado? Despreze a resistência do ar.

3.45 Maior alcance de uma bola de beisebol. De acordo com o Guinness Book of World Records o

recorde de alcance de uma bola de beisebol foi obtido

cm uma batida feita por Roy "Dizzy" Carlyle. A bola

percorreu uma distância horizontal de 188 m ale atingir

o solo fora do campo,

(a) Supondo que a bola tenha sido lançada a

45,00 acima da horizontal e desprezando a resistência

do ar, qual era a velocidade inicial da bola para que isso

ocorresse, sabendo-se que a bola foi batida em um

ponto a 0,9 m acima do nível do solo? Suponha que o

solo seja perfeitamente plano.

(b) Em que ponto a bola passou acima da cerca

de 3,0 m de altura, sabendo-se que a cerca estava a uma

distância de 116 m do ponto do lançamento da bola?

v = 8,00 m/s..

FIGURA 3.36 - Problema 3.44.

3.46 Um dia após sua graduação, você decidiu

lançar um fósforo aceso no topo de uma lixeira

cilíndrica (diâmetro D e altura 2D) cheia de papéis

velhos com exercícios para casa. Para tomar esse evento

mais esportivo, a parte inferior da lixeira está no mesmo

nível do ponto em que o fósforo deixa a sua mão, e a

lixeira está a uma distância horizontal de 6D do ponto

em que o fósforo deixa a sua mão. Você lança o fósforo

com ângulo de 45.00 acima da horizontal. Ache o valor

máximo e o valor mínimo da velocidade inicial do

lançamento para que o fósforo entre pela parle superior

da lixeira. Despreze a resistência do ar e dê sua resposta

em termos de g e de D.


44

3.47 Você deseja jogar uma bola para um

amigo segurá-la no meio do seu quarto. A distância

entre o chão e o teto é igual a D evocê lança a bola com

velocidade 0 6v gD . Qual é a distância horizontal

máxima (cm termos de D) que a bola pode se deslocar

sem que ela seja rebatida pelo teto? (Suponha que a

bola tenha sido lançada do chão.)

3.48 Uma bola de beisebol ê batida com

ângulo de 60,00 acima da horizontal e atinge um edifício

a 18.0 m de distância em um ponto a 8.00 m acima do

ponto de lançamento. Despreze a resistência do ar.

(a) Calcule o módulo da velocidade inicial da

bola de beisebol (a velocidade de lançamento da bola de

beisebol),

(b) Determine o módulo, a dircção e o sentido

da bola de beisebol imediatamente antes de ela atingir o

edifício.

(c) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o

movimento.

3.49 Um projétil é lançado com velocidade v0

formando um ângulo 0 com a horizontal. O ponto de

lançamento está situado a uma altura l: acima do solo.

(a) Desprezando a resistência do ar, mostre que

a distância horizontal percorrida pelo projétil antes de

ele atingir o solo é dada por

2 20 00 0 0 0

cos2

vx v sen v sen gh

g

Verifique que, se o ponto de lançamento estivesse

situado no mesmo nível do solo. isto é, h = 0 essa

expressão se reduziria ao alcance horizontal R

encontrado.

(b) Para o caso v0 = 10 m/s e h = 5,0 m, faça

um gráfico de x em função do ângulo de lançamento 0

para valores de 0 de 00 a 90

0. Seu gráfico deve mostrar

que x é igual a zero para 0 = 900, mas x é diferente de

zero para 0 = 00; explique a razão disso,

(c) Vimos no Exemplo 3.9 que, quando o

projétil atinge o solo no mesmo nível em que ele é

lançado, o alcance horizontal é máximo para 0 = 450.

Para o caso desenhado no item (b), o ângulo de

lançamento para o alcance horizontal máximo é igual a,

maior que ou menor que 450?

(Este problema fornece um resultado geral para o

lançamento de um projétil lançado de um ponto mais

elevado do que o ponto onde ele atinge o solo.)

3.50 Uma bola de neve rola do telhado de um

celeiro que possui uma inclinação para baixo igual a 400

A extremidade do telhado está situada a 14.0 m acima

do solo e a bola de neve possui velocidade de 7,00 m/s

quando ela abandona o telhado. Despreze a resistência

do ar.

(a) A que distância do celeiro a bola de neve

atingirá o solo caso não colida com nada durante sua

queda?


movimento da parte (a),

(c) Um homem de 1.9 m de altura está parado

a uma distância de 4,0 m da extremidade do celeiro. Ele

será atingido pela bola de neve?

3.51 – (a) Prove que um projétil lançado em

um ângulo 0 possui o mesmo alcance horizontal de

outro lançado com a mesma velocidade em um ângulo

(90 - 0).

(b) Uma râ pula com uma velocidade de 2.2

m/s e chega ao solo a 25 cm de distância de seu ponto

inicial. Para que ângulos acima da horizontal ela

poderia ter pulado?

3.52 No trapézio voador. Em um novo circo,

Maria oscila em um trapézio, projeta-se a um ângulo de

53 e deve ser segurada por João, cujas mãos estão a 6.1

m acima e 8.2 m horizontalmente do ponto de

lançamento de Maria. Despreze a resistência do ar.

(a) Qual deve ser a velocidade inicial de Maria

para que ela seja segurada por João?

(b) Para a elocidade inicial calculada em (a),

qual é o módulo, a direção e o sentido da velocidade de

Maria quando ela é segurada por João?

(c) Supondo que Maria possua a velocidade

inicial calculada em (a), faça diagramas x-t, y-t, vx-t e

vy-t para o movimento dos dois trapezistas.

Seus gráficos devem mostrar o movimento

para cima até o instante cm que Maria alcança João.

(d) Na noite de estreia, João não consegue

segurar Maria. Qual a distância horizontal percorrida

por Maria, a partir de seu ponto inicial, até o momento

em que ela atinge a rede de segurança situada a 8.6 m

abaixo de seu ponto inicial?

3.53 Um professor de física faz. proezas loucas

em suas horas vagas. Sua última façanha foi saltar sobre

um rio com sua motocicleta. A rampa de decolagem era

inclinada de 53.00, a largura do rio era de 40,0 m, e a

outra margem estava a 15.0 m abaixo do nível da

rampa. O rio eslava a 100 m abaixo do nível da rampa.


(a) Qual deveria ser sua velocidade para que

ele pudesse alcançar a outra margem sem cair no rio?

(b) Caso sua velocidade lesse igual á metade

do valor encontrado em (a), onde ele cairia?


45

FIGURA 3.38- Problema 3.50.

FIGURA 3.37- Problema 3.50

3.54 Uma pedra é atirada do telhado de um

edifício com velocidade v0, formando um ângulo 0

com a horizontal. Despreze a resistência do ar.

Determine o módulo, a direção e o sentido da

velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o

solo e mostre que essa velocidade não depende de

ângulo 0.

3.55 Um jogador de basquete recebe uma

pancada na disputa de um lance. Como prémio, ele

poderá lazer dois lances livres. O centro da cesta está

situado a uma distância horizontal de 4,21 m da linha

do lançamento livre e a uma altura de 3,05 m acima do

solo. Na primeira tentativa do lance livre, ele lança a

bola com velocidade V0 = 4.88 m/s formando um

ângulo de 350 acima da horizontal. A bola é lançada a

1.83 m acima do solo. Esse lançamento não atingiu a

cesta. Despreze a resistência do ar.

(a) Qual a altura máxima atingida pela bola?

(B) Qual a distância ao longo do solo entre o

ponto onde a bola atinge o solo e a linha do lançamento

livre?

(c) No segundo lançamento livre, a bola entra

na cesta. Para esse segundo lançamento, o jogador

novamente lança a bola com um ângulo de 350 acima da

horizontal e a uma altura de 1.83 m acima do solo. Qual

foi a velocidade inicial desse segundo lançamento?

(d) Para o segundo lançamento, qual a altura

máxima atingida pela bola? Qual a distância ao longo

do solo entre o ponto onde a bola atinge a cesta e a

linha do lançamento livre?

FIGURA 3.40 Problema 3.55.

3.56 Romeu joga um seixo na janela de JuliEta

para acordÁ-la. Infelizmente, o seixo nÃo era muito

pequeno e a velocidade inicial do lançamento lambem

não era muito pequena. Imediatamente antes de quebrar

o vidro da janela, o seixo se move horizontalmente,

tendo já percorrido uma distância horizontal x e uma

distância vertical y como um projétil. Determine o

módulo, adireção e o sentido da velocidade inicial do

seixo no momento em que ele abandona a mão de

Romeu.

3.57 Um foguete está inicialmente em repouso

no solo. Quando seu motor é ligado, ele dispara em

linha rela com uma aceleração constante de módulo

igual a g formando um angulo de 53, l0

acima da

horizontal. O motor para em um dado instante 7s após o

lançamento, depois do qual o foguete se torna um

projétil. Despreze a resistência do ar e suponha que g

não depende da altura,

(a) Faça um diagrama do movimento do

foguete, desde o momento em que ele é lançado até o

instante em que ele retorna ao solo. Indique o vetor

velocidade e o vetor aceleração em vários pontos ao

longo da trajelória.


movimento do foguete desde o momento em que ele é

lançado ate o instante cm que cie retorna ao solo.

(c) Ache a altura máxima atingida pelo

foguete. Sua resposta deve ser dada em função de T e de

g.

(d) Ache a distância horizontal entre o ponto

em que ele e lançado ate o ponto em que ele retorna ao

solo (isto é, seu alcance). Sua resposta deve ser dada em

função de T e de g.


46

3.58 Em um filme de aventura, o herói joga

uma granada de seu carro, que se desloca a 90.0 km/h.

atingindo o carro do inimigo, que se desloca a 110,0

km/h. O carro do inimigo está a 15.8 m a frente do carro

do herói quando ele joga a granada. Se o lançamento é

tal que sua velocidade inicial em relação a ele forma um

ângulo de 450

acima da horizontal. qual deve ser o

módulo da velocidade inicial? Os dois carros se

deslocam no mesmo sentido numa estrada retilínea e

plana. Despreze a resistência do ar. Ache o modulo da

velocidade inicial em relação ao herói e em relação a

Terra.

3.59 Uma pedra amarrada em uma corda se

move no plano xy. Suas coordenadas são dadas em

função do tempo por:

cosx t R t

sy t R en t

onde R e são constantes,

(a) Mostre que a distancia da pedra até a

origem é constante e igual a R, ou seja, sua trajetória e

uma circunferência de raio R.

(b) Mostre que cm cada ponto o velor

velocidade é perpendicular ao vetor posição,

(c) Mostre que o vetor aceleração é sempre

oposto ao vetor posição e possui módulo igual a R.

(d) Mostre que o módulo da velocidade da

pedra e constante c igual a v2/R.

(e) Combine os resultados das partes (c) e (d)

para mostrar que a aceleração da pedra possui modulo

constante igual a v2/R.

3.60 A velocidade escalar de uma partícula que

se move em um plano xy é igual ao módulo da

velocidade instantânea.

2 2

x yv v v v

(a) Mostre que a taxa de variação da

velocidade escalar e dada por :

2 2

x x y y

x y

v a v a

v v

(b) Use essa expressão para achar dv/dt no

instante t = 2.0 s para o carro com controle remoto dos

Exemplos 3.1. 3.2 c 3.3. Compare sua resposta com os

componentes da aceleração encontrados no Exemplo

3.3. Explique por que sua resposta não é igual ao

módulo da aceleração encontrado na parte (b) do

Exemplo 3.2.

(c) Mostre que a taxa de variação da

velocidade escalar pode ser expressa como:

dv v a

dt v

e use esse resultado para entender por que

dva

dt

o componente de a paralelo a v.

3.61 Uma partícula se move em um plano xy .

Suas coordenadas são dadas em função do tempo por:

x t R t sen t

1 sy t R en t

onde R e são constantes,

(a) Faça um esboço da trajelória da partícula.

(Essa curva e a trajetória de um ponto que se desloca na

periferia de uma roda que rola com velocidade escalar

constante numa superfície horizonial. A curva traçada

por esse ponto enquanto ele se move no espaço

denomina-se ciclóide)

(b) Determine os componentes da velocidade e

da aceleração da partícula em qualquer tempo.

(c) Para que instantes a partícula está

momentaneamente em repouso? Quais são as

coordenadas da partícula nesses instantes? Determine o

vetor aceleração.

(d) O módulo da aceleração é função do

tempo? Compare com o movimento circular uniforme.

3.62 Você esta voando em um avião leve.

relatando as condições do tráfego para uma emissora de

rádio. Seu vôo se dirige de oeste para leste sobre uma

estrada. Os marcos da estrada abaixo indicam que sua

velocidade e igual a 50.0 m/s em relação ao solo e seu

indicador de velocidade do ar também mostra 50.0 m/s.

Contudo, a frente de seu avião aponta ligeiramente para

uma direção sudeste e um luncionário do serviço de

meteorologia informa a você que está soprando um

vento de 20.0 m/s. Qual é a direção do vento?

3.63 O problema do pombo-correio. Lúcia

está dirigindo de oeste para leste a 40 km/h. Seu irmão

gémeo Fernando dirige de leste para oeste a 30 km/h. se

aproximando de Lúcia em um carro idêntico na mesma

estrada retilínca. Quando a distância entre eles e de 42

km. Lúcia solta um pomho-correio que voa com

velocidade constante de 50 km/h. (Todas as velocidades

são em relação á Terra.) O pombo voa no sentido de

Fernando, fica confuso e retorna no sentido de Lúcia,

fica mais confuso e retorna no sentido de Fernando. Isso

continua ate que os gêmeos se encontram, instante em

que o pombo correio cai no chão exausto. Desprezando

o tempo das mudanças de direção, qual foi a distância

percorrida pelo pombo-correio?

3.64 Quando a velocidade de um trem e de l2,0

m/s de oeste para leste, gotas de chuva caindo


47

verticalmente em relação à Terra fazem traços

inclinados de 30.00 nas janelas do trem.

(a) Qual o componente horizontal da

velocidade da gota de chuva em relação à Terra? E em

relação ao trem?

(b) Qual o módulo da velocidade da gota de

chuva em relação à Terra? E em relação ao trem?

3.65 Dm piloto de avião coloca o curso da

direção de leste para oeste com uma bússola e mantém

uma velocidade em relação ao ar de 220 km/h. Depois

de voar durante 0.500 h, ele se encontra sobre uma

cidade a 120 km a oeste e 20 km ao sul da sua posição

inicial,

(a) Ache a velocidade do vento (módulo,

direção e sentido).

(b) Se a velocidade do vento tosse igual a 40

km/h do norte para o sul, em que direção o piloto

deveria orientar seu curso para que pudesse se dirigir de

leste para oeste. Considere a mesma velocidade em

relação ao ar de 220 km/h.

3.66 Um avião voa de um ponto diretamentc

sobre Metrópolis a um ponto diretamente sobre

Bra.sópolis, a seguir dá, uma volta e retorna ao ponto de

partida. A velocidade do ar (isto é, a velocidade do

avião em relação ao ar) é constante e igual a u durante o

voo. Brasópolis esta a uma distância D a leste de

Metrópolis.

(a) Caso não exista vento, quanto tempo é

necessário para a viagem de ida e volta? Quanto tempo

é necessário para a viagem de ida e volta se o vento

sopra com velocidade w,

(b) de oeste para leste,

(c) do norte para o sul?

(d) Supondo D = 3.00.102 km, v = 4,00.10

2

km/h e w = l ,00.102 km/h, calcule o tempo necessário

para a viagem de ida e volta nos casos (a), (b) e (c).

Qual dos três fornece a viagem de ida e volta mais

lenta?

3.67 Um elevador se move de baixo para cima

com velocidade constante de 2,50 m/s. Um parafuso no

teto do elevador está frouxo e cai.

(a) Quanto tempo ele leva para atingir o piso

do elevador? Qual é a velocidade do parafuso no

momento em que ele atinge o piso do elevador

(b) para um observador dentro do elevador?

(c) E para um observador parado fora do

elevador?

(d) Para o observador do item (c), qual é a

distância percorridapelo parafuso entre o teto e o piso

do elevador?

PROBLEMAS DESAFIADORES 3.68 Um homem está sobre uni vagão largo e

aberto, que sedesloca com velocidade de 9,10 m/s

(Figura 3.41). Ele deseja lançar uma bola através de um

aro em repouso a uma altura de 4,90 m de sua mão, de

tal modo que a bola se mova horizontalmente quando

ela passar através do aro. Ele lança a bola com

velocidade de 10,8 m/s em relação a si próprio,

(a) Qual deve ser o componente vertical da

velocidade inicial da bola?

(b) Quantos segundos após o lançamento da

bola ela passará através do aro?

(c) A que distância horizontal à frente do aro

ele deve lançar a bola?

(d) Quando a bola deixa a mão do homem,

qual é a direção de sua velocidade relativa em relação

ao vagão? E em relação a um observador em repouso no

solo?

FIGURA 3.41 Problema Desafiador 3.68.

3.69 Uma espingarda dispara de baixo para

cima um grande número de pequenas pelotas. Algumas

delas se deslocam aproximadamente na vertical e outras

divergem cerca de 1,0° da vertical. Suponha que a

velocidade inicial das pelotas seja uniforme para todas e

igual a 150,0 m/s. Despreze a resistência do ar.

(a) Dentro de que raio a partir do ponto do

disparo as pelotas se distribuem?

(b) Caso haja 1000 pelotas e elas caiam em um

círculo cujo raio foi calculado na parte (a), qual a

probabilidade de que pelo menos uma pelota caia na

cabeça da pessoa que fez o disparo?

Suponha que seja de 10 cm o raio da sua

cabeça,

(c) A resistência do ar de fato produz diversos

efeitos. Ela faz diminuir a velocidade da pelota que

sobe, faz diminuir o seu componente horizontal e limita

a velocidade com a qual elas caem. Qual desses efeitos

poderá fazer aumentar o raio no cálculo que você tez

para responder ao item (a) e qual poderá fazer

diminuir? O que você pensa sobre o efeito global da

resistência do ar? (O efeito da resistência do ar sobre

um componente da velocidade aumenta quando o

módulo da velocidade desse componente aumenta.)

3.70 Um projétil é lançado de um ponto P. Ele

se move de tal modo que sua distância ao ponto P é

sempre crescente. Determine o ângulo máximo acima


48

da horizontal com o qual o projétil foi lançado.


3.71 Uma bola de beisebol recebe uma

velocidade inicial com módulo v0 formando um ângulo

φ com um plano que está inclinado de um ângulo θ

acima da horizontal (Figura 3.42).

(a) Calcule a distância, medida ao longo do

plano inclinado, entre o ponto de lançamento e o ponto

em que a bola colide com o plano inclinado. Suas

respostas serão em termos de v0, g, θ e φ .

(b) Qual o ângulo φ que fornece o alcance

máximo, medido ao longo do plano inclinado?

(Nota: Você poderia se interessar pêlos três

diferentes métodos de solução apresentados por L R.

Lapidus na revista Am. Jour. Of Phys., Vol. 51. (1983).

pp. 806 e 847. Veja também H. A. Buckmaster na

revista/tf». Jour. Of Phys., Vol. 53 (1985), pp. 63S-641.

para um estudo aprofundado deste e de outros

problemas semelhantes.)

FIGURA 3.42 Problema Desafiador 3.71.

3.72 Considere o Problema Desafiador 3.71.

(a) Um arqueiro se encontra em um terreno

com inclinação constante de 30.00 e deseja atingir um

alvo situado a uma distância de 60.0 m para cima do

plano inclinado. O arco, a flecha e o centro do alvo

estão situados a uma distância de 1,50 m acima do

plano inclinado. A velocidade inicial da flecha no exato

momento em que ela sai do arco possui módulo igual a

32,0 m/s. Para que ângulo acima da horizontal o

arqueiro deve apontar para atingir o centro do alvo?

Caso existam dois ângulos, ache o menor entre os dois.

Você poderia resolver a equação que fornece o ângulo

através de uma iteração, ou seja, pelo método das

tentativas. Como esse ângulo estaria relacionado com o

ângulo que seria obtido supondo-se um terreno plano

com inclinação igual a zero?

(b) Repita o item (a) para uma inclinação pura

baixo constante e igual a 30,00.

3.73 Sem nenhum motivo aparente, um cão

poodie corre com velocidade constante v = 5,00 m/s em

torno de um círculo com raio R = 2,50 m. Seja 1v o

vetor velocidade no tempo t1 e 2v , o vetor velocidade

no tempot2. Considere:

2 1v v v

E 2 1t t t Lembre-se de que:

m

va

t

Para Δt = 0,5 s, 0,1s, calcule o módulo (com

quatro algarismos significativos), a direção e o sentido

da aceleração média. Compare seus resultados com a

expressão geral da aceleração instantânea a obtida no

texto para o caso do movimento circular uniforme.

3.74 Um foguete projetado para colocar

pequenas cargas em órbita é conduzido a uma altura de

12,0 km acima do nível do mar por uma aeronave

convertida. Quando a aeronave está voando em linha

reta com velocidade constante de 850 km/h, o foguete é

lançado. Depois do lançamento, a aeronave mantém a

mesma altitude e velocidade e continua a voar cm linha

reta. O foguete cai durante um intervalo de tempo

pequeno, depois do qual seu motor éacionado. Com o

motor funcionando, o efeito combinado da gravidade e

da força motriz produzem uma aceleração constante de

módulo 3,00 g dirigida para cima e formando um

ângulo de 30,00 com a horizontal. Por razões de

segurança, o foguete deve pemanecer pelo menos a uma

distância de l ,00 km à frente da aeronave quando ele

sobe até atingir a altura da aeronave. Sua tarefa é

calcular o intervalo de tempo mínimo da queda do

fogueie antes do seu motor ser acionado. Despreze a

resistência do ar. Sua solução deve incluir:

(i) um diagrama que mostre as trajetórias do

voo do foguete e da aeronave, identificadas mediante

seus respectivos velores para a velocidade e a

aceleração em diversos pontos;

(ii) um gráfico x-t que mostre os movimentos

do foguete e da aeronave; e

(iii) um gráfico v-t que mostre os movimentos

do foguete e da aeronave. Nos diagramas e nos gráficos,

indique o instante em que o foguete é lançado, o

instante em que o motor é acionado e o instante em que

o foguete sobe atingindo a altura da aeronave.

3.75 Dois estudantes estão praticando

canoagem em um rio. Quando eles estão se dirigindo no

sentido contrário ao da corrente, uma garrafa vazia cai

acidentalmente da canoa. A seguir, eles continuam

remando durante 60 minutos, atingindo um ponto 2.0

km a montante do ponto inicial. Nesse ponto eles notam

a falta da garrafa e, pensando na preservação do meio

ambiente, dão uma volta e retomam no sentido da

corrente. Eles recolhem a garrafa (que acompanhou o

movimento da corrente) em um ponto situado a 5,00 km

a jusante do ponto onde eles retornaram,

(a) Supondo que o esforço feito para remar


49

seja constante em todas as etapas do trajeto, qual a

velocidade de escoamento do rio?

(b) Qual seria a velocidade da canoa em um

lago calmo, supondo que o esforço feito para remar seja

o mesmo?

Figuras


50

Referência:

Sears e Zemansky – Física I, 10a Edição – Mecânica – Editora Pearson.

Provas Data

P1 25/03

P2 13/05

P3 24/06

R 28/06

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física i 1sistemas de unidades, grandezas, erros e …sica i – 3sistemas de unidades, grandezas,...

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