Prof. Beatriz Bronislava LipinskiFsica Geral I - Notas de AulaCuritiba, Pr2008Tel: (41) 8419 5313 e-mail: bblipinski@gmail.comProf. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanCaptulo 1IntroduoComo resolver problemas de Fsica:1 ETAPA: LER O PROBLEMA: preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar a cenaque o enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que est escrito, mas podemos estar aten-tos aos detalhes para "visualizar"corretamente o que se est dizendo.2 ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situao ajudaa visualiz-la e a resolv-la.Procure indicar em seus esquemas informaes bsicas como o sentidoe os valores envolvidos. Preste ateno que uma frase como "dar r", que indica o sentido do movi-mento do objeto em questo.3 ETAPA: MONTE AS EQUAES E FAA AS CONTAS: Uma equao s faz sentido sevoc sabe o que ela signica. Sabemos que possvel resolver a nossa questo porque h a conser-vao da quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma das quantidades de movi-mento antes e depois do choque dever ter o mesmo valor. Com isso, voc consegue montar as contas.4 ETAPA: INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem,voc achou um nmero! Mas ainda no resolveu o problema. No queremos saber somente o nmero,mas tambm o que aconteceu. O nmero deve nos dizer isso. Olhando para ele voc deve ser capazde chegar a alguma concluso. DESCONFIE DOS NMEROS!!! Existe uma coisa que se chamaerro nas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem no que o nmero est lhe dizendoe avalie se uma coisa razovel. Se achar que h um erro, conra suas contas e o seu raciocnio.Se o nmero insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere a possibilidade de que aquilo que vocesperava no ser realmente o que acontece na prtica.1Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 1: IntroduoRelatrio de uma experincia:Como deve ser o relatrio de uma experincia?O relatrio de uma experincia uma descrio organizada do experimento, direcionada pelos obje-tivos, questes e procedimentos propostos, bem como pela metodologia empregada durante a ativi-dade.No relatrio deve conter essencialmente: os resultados das medidas, forma de obt-las, mtodoempregado, tabelas, grcos, desenho ou esboo do arranjo experimental, anlise dos resultados obti-dos, discusso das questes propostas, concluses do trabalho e nalmente as bibliograa consul-tadas.Almdisso, orelatriodeverterumaboaapresentao,quepoderseremfolhadepapelalmao (escrito com letra legvel) ou impresso. Para o relato do trabalho realizado em laboratriocostuma-se organizar o contedo nas seguintes partes:Titulo: Em geral o tema principal de estudo, expresso com poucas palavras, dando a idia geraldo trabalho ou do tema estudado.Objetivos: Descreve-se aqui a nalidade da experincia, em geral, o que se pretende fazer.Material: Faz-se uma listagem descrevendo o material empregado.Fundamentao terica: Neste segmento feita uma descrio do fenmeno estudado, relacio-nando os principais conceitos envolvidos, para a compreenso dos procedimentos descritos a seguir.Pode-se fazer aqui, uma breve apresentao terica do problema estudado.Procedimento experimental e montagem: a descrio do mtodo experimental. Deve-se re-sponder perguntas do tipo:como, por qu, com o qu?foram feitas as medidas. Ainda deve conterum desenho ou esquema da montagem experimental usada, indicando os tipos de instrumentos demedida e a sensibilidade dos mesmos, bem como a descrio do mtodo de medida.Resultados e anlise de dados: Aqui devero ser apresentados as medidas,usando tabela dedados e grcos. Deve-se indicar os clculos necessrios, bem como consideraes sobre os erros en-volvidos nas medidas. Apresenta-se a metodologia aplicada no tratamento dos dados experimentais,que possivelmente geram outras tabelas ou grcos.Concluses: Discute-se os resultados obtidos e o mtodo empregado para atingir os objetivos pro-postos. Faz-seacomparaocomoutrosresultadosobtidoscommtodosidnticosediferentes,conforme o caso. A concluso o ponto de discusso sobre a validade da comparao entre os re-sultados experimentais obtidos com aqueles previstos pelos modelos tericos. E o resumo do que seaprendeu ou concluiu com o experimento.2Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 1: IntroduoOBS: Em muitos casos pode-se inserir o item discusso dos resultados entre os itens resultadose concluses,principalmente quando deseja-se detalhar comparaes de medidas,discutir sobre ainuncia da metodologia empregada, comparar resultados com de outros trabalhos ...Referncias Bibliogrcas: Lista dos materiais impressos utilizados como apoio para a confeco dorelatrio. Cada item deve conter: ttulo, autor, editora e ano ou nmero de edio (no caso de artigos,dever conter ttulo do peridico, volume, nmero, pgina e ano de publicao).Para efeito de avaliao, a pontuao do relatrio obedecer aproximadamente os seguintes critrios:Apresentao:1 conceito; Fundamentao terica:2 conceitos, Procedimento experimental e mon-tagem: 1 conceito; Resultados e anlise de dados: 3 conceitos e Concluso: 3 conceitos.OS RELATRIOS SO INDIVIDUAIS E NO DEVEM TER MAIS QUE QUATRO FO-LHAS!!Os relatrios devem ser entregues em no mximo uma semana aps a coleta de dados.Bibliograa recomendada:- P. Lucie, Fsica Bsica, vol I e II, Ed Campus, RJ. (1979).- Brown T. B. Advanced Undergraduate Experiments in Physics, The Taylor Manual, Ed Addison-Wesley (1964).- White M. S. Manning K. V. e Weber R. L. Pratical Physics, Mc Graw-Hill, NY. (1955).- Resnick R., Halliday D. e Walker J. Fundamentos de Fsica, vol 1,2,3 e 4, LTC, SP, (1979), 7 Ed.-Tippler, T. Fsica, vol 1, 2 e 3 Ed, LTC, (1995).- Sutton R. M. Demonstration Experiments in Physics, Mc. Graw-Hill (1938).- Watson W. Prticas de Fsica, Ed. Labor. Buenos Aires (1939).- Wiedemann, E. Prticas de Fsica, Ed. Gustavo Gilli, Barcelona (1932).- Westphal W. H. Prticas de Fsica, Ed. Labor, Barcelona, (1943).-Schneider e Ham, Experimental Physics for Colleges, Mac-Millan Company, NY. (I960).- Schaefer C. e Bergmann, Prticas Fundamentales de Fsica, Ed Labor, Barcelona (1946).- Worsnop B. C. e Flint, H. T. Curso Superior de Fsica Prctica, Tomo I e II, Ed. Universidade deBuenos Aires (1964).- Goldemberg, J. Fsica Geral e Experimental, vol I e II, Ed. Nacional, (1970).-Hennies, E. C. Guimares, W. O. N. e Roversi, J. A . Problemas Experimentais de Fsica, Ed. Uni-camp, (1988).- Sears, Zemansky, Young e Freedman, Fisica, vol 1, 10 Ed, LTC, SP, (1988).3Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 1: IntroduoAs divises da Fsica:A Fsica estuda vrios tipos de fenmenos da Natureza. Para facilitar o seu estudo costuma-sedividi-la. At o incio do sculo as principais partes da Fsica eram: a Mecnica, a Termodinmica eo Eletromagnetismo.No sculo XX, a partir de grandes descobertas, surgiram novos ramos, entre eles: Fsica Atmicae Nuclear, Mecnica Quntica e Relatividade. Os novos conceitos introduzidos neste sculo provo-caram uma verdadeira revoluo na Fsica. Hoje comum tambm dividir a Fsica em Clssica (antesde 1900) e Moderna (aps 1900).O quadro a seguir mostra algumas perguntas que podem surgir no nosso dia-a-dia, e identicaqual o ramo da Fsica que trata de respond-las.Por razes didticas, cada uma dessas grandes reas, mostradas nesta tabela, divide-se em vriassub-reas, que sero mostradas nos momentos oportunos.4Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanCaptulo 2Medidas e Grandezas FsicasGrandezas Fsicas:Tudo aquilo que pode ser medido dito uma Grandeza Fsica. Assim, o peso, a massa, o temposo grandezas fsicas. Ao contrrio, visto que no podem ser medidos, o amor e a alegria no sograndezas fsicas.Mas, anal de contas, o que medir?Oatodemedircompararcompararaspropriedadesmensurveisdeumobjetooueventocom padres pr-estabelecidos para estas propriedades. Por exemplo, o comprimento de um objetoqualquer s pode ser denido se comparado com um dos vrios padres de medida de comprimento,como o metro, o p ou a milha. Estes padres de medidas recebem o nome de Unidade Fsica. Entoo metro, o p e a milha so unidades de comprimento. Assim, cada grandeza fsica deve ser expressaacompanhada de sua unidade fsica.A cincia que trata dos padres de medida a Metrologia, que estabelece padres mundiais demedidasparatodasasgrandezasfsicas, sobaspectostericoseprticos, paraquaisquercamposdacinciaedatecnologia. Entreosvriossistemasdeunidades, osmaisutilizadossooCGS(centmetro-grama-segundo) e o SI (Sistema Internacional - metro-quilograma-segundo).Para expressar quantitativamente uma Lei Fsica necessitamos de um conjunto de grandezas fsi-cas e de um sistema de unidades. Do mesmo modo, para medir uma grandeza fsica necessriodeniraprioriaunidadenaqualestagrandezasermedida. Existeumaenormequantidadedegrandezas fsicas, mas apenas algumas so consideradas fundamentais, sendo as demais derivadasdelas. Tempo (segundo), espao (metro), massa (quilograma) e carga eltrica (coulomb) so exem-plosdeunidadesfundamentais. Velocidade(metroporsegundo), acelerao(metroporsegundoao quadrado) e fora (quilograma vezes metro por segundo ao quadrado) so exemplos de unidadesderivadas.Por razes histricas, o tempo foi a primeira quantidade a ser mensurada. Este conceito surgea partir da durao do dia, da presena da luminosidade do Sol; e a sua ausncia: a noite. Com aevoluo da humanidade e com os deslocamentos das comunidades surge o conceito de distncia, decomprimento, de temperatura e etc. A partir da necessidade de quanticar as mercadorias para troca5Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas Fsicassurge o conceito de peso, e mais tarde a noo de massa. Outras grandezas surgem com o avanarda tecnologia e o desenvolvimento do mtodo cientco tais como presso, intensidade luminosa,potncia, carga eltrica, corrente eltrica, campo eletromagntico, calor especco, entropia e etc.De certo modo, cada cultura tecnolgica autnoma desenvolveu um prprio sistema de unidades.Mas a interao entre as sociedades, de certo modo imps que existisse uma uniformizao para queas trocas acontecessem de modo transparente e inteligvel pata as partes. A Inglaterra medieval erapraticamente isolada comercialmente do resto da Europa e isso contribuiu para que l se estabelecesseum sistema de unidades diferente do restante: polegada, p, milha, libra e etc.A tabela abaixo mostra as sete grandezas ditas Grandezas Fundamentais ou Primrias, acompa-nhadas de suas unidades. Unidades para quaisquer outras grandezas fsicas podem ser construdas apartir destas sete unidades. Estas so ditas Grandezas Derivadas ou Secundrias.Anlise dimensional:A unidade de uma grandeza fsica determina uma dimenso. Por exemplo: dimenso de fora,dimenso de comprimento, dimenso de tempo, dimenso de massa. E cada dimenso expressapela sua unidade, independente do sistema de unidades escolhido. Por exemplo: newton dimensode fora, metro dimenso de comprimento, dia dimenso de tempo, grama dimenso de massa,etc.A anlise dimensional de uma grandeza secunria feita a partir das dimenses das sete grandezasprimrias. NestecursotrabalharemosapenascomgrandezasdagrandereadaMecnica. Taisgrandezas so derivadas das grandezas primrias tempo, comprimento e massa:6Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasAssim, a dimenso de fora dada por:F = ma mvt m1txt mxt2,[F] = MLT2 MLT2,Unidade no SI : F= kg ms2 kg ms2 N(newton).A dimenso de energia dada por:Como nos dois exemplos acima, muitas outras unidades compostas recebem nomes especiais, emgeral homenageando algum cientista que tenha contribudo com a evoluo da cincia que envolve agrandeza em questo, como Isaac Newton e James Prescott Joule.A anlise dimensional nica para cada grandeza, independente do sistema de unidades adotado.Assim, esta uma forma ecaz de comprovar a veracidade das euqaes matemticas que regem umaLei Fsica.Prexos numricos:Emmuitos problemas deFsicanos deparamos comnmeros muitopequenos oumuitograndes. Por exem-plo: a dimenso aproximada do raio de umtomo 0, 00000000529 m, ou a distncia mdia da Terra ao sol deaproximadamente150000000m. Podemos expressar essesvalores utilizando prexos numricos como o pico (1012) eo Giga (109), respectivamente. Assim, a dimenso aproxi-mada do raio de um tomo 5, 26 1012m 5, 29 pme a distncia mdia da Terra ao sol de aproximadamente0, 15 109m 0, 15 Gm. A tabela ao lado mostra vriosprecos com seus respectivos smbolos e valores.Outros exemplos:a) 0, 000000154 =b) 15870000000 =c) 8750000000000000 =7Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasConverso de unidades:Unidades de tempo:Unidades de comprimento:8Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasUnidades de massa:Unidades de rea:Unidades de volume:Teoria de erros em medidas fsicas:Apesar de ser um evento corriqueiro em nosso dia--dia, fazer uma medida no um ato simples.Alm de conhecer a grandeza fsica e suas unidades, preciso tambm conhecer o instrumento demedida, alm de tomar muitos cuidados.Na maioria das vezes no nosso cotidiano, no precisamos de medidas muito precisas. s vezes,basta saber a ordem de grandeza da medida, se est na casa dos 10 ou das 100 unidades.Mas imag-ine, se o torneiro mecnico, que fabricou uma pequena pea do seu automvel, no tivesse feito boasmedidas durante a fabricao desta pea?Desastre!!! Este um exemplo em que as medidas real-izadas devem ter a maior preciso possvel. Mas como se estabelce a maior preciso possvel parauma medida?A resposta a esta pergunta simples: pr comear,temos que levar em conta que a medida feita por um equipamento de medida, que no perfeito. TODO EQUIPAMENTO DE MEDIDAOFERECE UM ERRO DE MEDIDA, QUE CHAMAMOS INCERTEZA DO INSTRUMENTO DE9Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasMEDIDA. Tambm devemos levar em conta que quem opera o instrumento de medida um ser hu-mano, que est passvel de cometer erros. ESTES SO DITOS ERROS GROSSEIROS. Juntandoa consequncia de cada um destes erros, estabelece-se uma determinada incerteza nal na medida.Cada um destes erros se propaga atravs do processo de medidas indiretas e, quando esta incerteza da mesma ordem que a prpria medida, esta medida insatisfatria e precisa ser refeita!Medidas diretas: a medida que necessita apenas de um instrumento de medida e um operador para ser realizada.Ao nal do processo j se tem a medida requerida. POr exemplo: a medida do comprimento de umacaixa de fsforos. Para realiz-la utiliza-se apenas um rgua graduada ou um paqumetro.O erro embutido numa medida direta dado apenas pela incerteza do instrumento, a menso quehaja algum erro grosseiro de execuo da medida. A incerteza de um instrumento de medida dada pela metade da sua preciso. A preciso de um instrumento a menor diviso da suaescala. Por exemplo: a menor diviso da escala de uma rgua escolar 1 mm. Ento a sua preciso 1 mm e a sua incerteza 0, 5 mm.Uma medida direta pode ser feita de duas formas:1. Mede-se a grandeza uma nica vez. Ento, o resultado da aferio dada porX= x x,na qual x a medida e x a incerteza do instrumento de medida.2. Mede-se a mesma grandeza N vezes, sob as mesmas condies. O resultado da aferio dadopor:X= xmx,na qual xm a mdia aritmtica de todas as medidas:xm=N

i=1xiNex a incerteza nal, dada pela soma da incerteza do instrumento x e a utuao da mdia, f dadapor:f=N

i=1|xmxi|N.Ento,x = x + f.10Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasOutra forma de avaliar a utuao da mdia pelo clculo do desvio padro, :2=N

i=1(xmxi)2N,neste caso, a incerteza nal dada por:x = x + .Quando conhecemos a incerteza nal de uma medida, podemos expressar o erro em forma per-centual, chamado erro relativo, :=xxm100.A margem de erro relativo aceitvel para qualquer medida em torno de15% do valor dexm.Quando o erro relativo maior que isso, a medida pode ser insatisfatria, dependendo das condiesde aferio e/ou do problema tratado.Medidas indiretas:Uma medida indireta aquela que necessita de clculos utilizando medidas diretas, levando emconta as suas incertezas. Por exemplo: o volume de uma caixa de fsforos. Primeiro fazemos trsmedidas diretas: o comprimento, a largura e a espessura da caixa, depois fazemos a operao de mul-tiplicao entre estas trs medidas. Cada uma destas medidas diretas carrega consigo uma incerteza;ao multiplicarmos os trs valores, essas incertezas se propagaro.A incerteza de uma medida indireta sempre maior que a maior incerteza das medidas diretasenvolvidas no clculo e depende das operaes matemticas embutidas neste clculo.Considere que u seja uma medida indireta e x e y sejam medidas diretas. Ento, xm e ym so seusvalores mdios.Adio: u = x + y ento: u U= (xm + ym) (x + y) .Subtrao: u = x y ento: u U= (xmym) (x + y) .Multiplicao: u = x y ento: u U= (xmym) (xmy + ymx) .Diviso: u =xyento: u U=_xmym_1y2m(xmy + ymx) .11Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasExerccio prtico:Tragam uma caixa de fsforos. Organizem-se em equipes de seis alunos. Cada integrante daequipe deve fazer uma medida do comprimento c, da largura l e da espessura e da caixa, utilizandouma rgua escolar comum. As medidas devem ser representadas em milmetros. Completem a tabelae encontrem os valores pedidos, com a devida propagao de erros.a) Completem a tabela:b) Encontre a rea maior da caixa, A e sua incerteza, A A A.c) Encontre o volume da caixa, Ve sua incerteza, V V V .d) Encontra a razo x =le e sua incerteza x x x.e) Encontre a soma s = e + c e sua incerteza s s s.f) Encontre a diferena d = l e e sua incerteza d d d.g) Os valores encontrados nos tens anteriores so valores absolutos ou mdios? Explique!12Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasConstruo de grcos:Um grco de carter cientco deve ser feito sempre em papel milimetrado ou com o auxlio desoftwares de representao de dados.1- Dena o espao disponvel no papel milimetrado para os eixos horizontal, x e vertical, y.2- Identique as variveis (grandezas fsicas) que sero plotadas. A varivel independente, gxdeve car no eixo horizontal e a varivel dependente, gy, no eixo vertical.3- Calcule as escalas para os dois eixos:Ex=xgxcm/[gx] eEy=ygycm/[gy]4- Organize a tabela:As colunas 1 e 3 formam o espao das grandezas fsicas e as colunas 2 e 4 formam o espaogeomtrico que vai representar o espao das grandezas fsicas.Exemplo: Faa o grco da massa pelo volume de um objeto, utilizando a tabela de dados abaixo.Suponha que voc dispe de meia folha de papel milimetrado (14cm de comprimento e10cm dealtura).13Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasExerccio: Faa o grco do deslocamento pelo tempo de um objeto que se move com acelera-o no-nula, utilizando a tabela de dados abaixo. Suponha que voc dispe de meia folha de papelmilimetrado (14 cm de comprimento e 10 cm de altura).14Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas Fsicas15Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasExerccios Avaliativos 11) Quantos milmetros quadrados esto contidos em um quilmetro quadrado?2) Quantos metros quadrados contm uma quadra de esportes com 100 m de lado?3) Uma caixa de gua mede 50 cm 50 cm de rea e tem 50 cm de altura. Qual o seu volume?Quantas garrafas de guaran, de333mlcada uma, podem ser enchidas com a gua desta caixa?Dado: 1 m3= 1000 l.4) Um alqueire paulista so 24200 m2. Uma chcara retangular tem um alqueire e mede 100 mde frente. Quanto ela mede de fundo?16Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasPrtica de Laboratrio 1Paqumetro, Micrmetro e Balana de PrecisoIntroduoOpaquimetro (craveira ou calibre) e o micrmetro (ou Palmer) so dois instrumentos que fornecemmedidas de comprimento, espessuras, dimetros, com preciso da ordem de centsimos de milimetro,e so usados para se obter medidas precisas.O paquimetro um instrumento que serve para medir comprimentos, dimetros de os, dimetros externos einternos de tubos, etc. Ele consiste de uma rgua metlica graduada, terminada por uma espera xa,ao longo da qual desliza um cursor mvel, onde est gravada uma escala auxiliar chamada nnio,possuindo tambm um parafuso que permite xar o nnio rgua principal.A escala principal e o nnio so construdos com preciso, e tem qualidade suciente para medirfraes bastante pequenas da sua menor diviso (em geral milmetro). preciso ento um mododedeterminaressasfraesdediviso. Umamaneiraseriafazermarcasa. distnciasmenores,compativeis com a qualidade da escala. Porm as marcas seriam to prximas que o olho humanono seria capaz de distingu-las. O nnio usado para determinar essas fraes, como explicado maisadiante.Quando as duas esperas se tocam, o zero do nnio deve coincidir com o zero da escala principal.17Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas FsicasPrincpio de funcionamento do NnioO nnio ou vernier um dispositivo que permite efetuar a leitura da frao da menor diviso deuma rgua ou qualquer escala graduada qual est adaptada. Sua inveno atribuida a Pedro Nunes(portugus), bem como a Pierre Vernier (francs).O nnio, ou vernier, constitudo de uma pequena escala que se moveao longo de outra rgua (rgua principal) e cujas divises tm um valorconhecido (1 mm ou 1 grau, por exemplo). As divises do nnio possuemtamanho diferente daquelas da escala principal, porm, relacionam-se entresi de maneira simples. Na gura de cima, o nnio possui n=10 divisesque correspondememcomprimento a n1 = 9 divises da escala principal.Na gura de baixo, o nnio est deslocado de uma certa distncia, para adireita. Observa-se que o zero do nnio est entre as divises 1 e 2 da escalaprincipal. A distncia entre o zero do nnio e a marca 1 na escala principal dada pela diviso donnio cujo trao coincide com um trao da escala principal. Nesta gura, a stima diviso do nniocoincide com uma (a oitava) diviso da escala principal, o que signica que a distncia que o nniofoi deslocado 1, 7.Na gura ao lado, o zero do nnio est entre a 2ae a 3amarcas da escalaprincipal, e a 5amarca do nnio coincide com uma da escala principal. Aleitura ser ento: 2, 0 divises (lidas na escala principal at a marca zerodo nnio) mais 0, 5 da diviso (5adiviso lida no nnio 110; ou seja: 2, 5divises.Os exemplos citados, ilustram um nnio de preciso 1/10. No entanto. muitos instrumentos sofabricados de modo que suas precises sejam diferentes de desta. Note que nos exemplos acima apreciso 0, 1 mm. mas a incerteza na medida ser de 0, 05 mm. ou seja. a metade da preciso.Prtica com paqumetro1) Determine a preciso do paqumetro fornecido ao grupo.2) Qual ser a incerteza nas medidas que efetuar com o paqumetro a seguir?3) Utilize a balana de preciso e mea a massa da pea fornecida.4) Qual a preciso da balana?5) Qual a incerteza na medida da massa?6) Represente o valor da massa na forma explicita.7) Mea com o paqumetro, pelo menos trs vezes, as dimenses necessrias para o clculo do vol-ume. Represente o volume da pea na forma explcita.8) Determine a densidade da pea na forma explcita, utilizando a teoria de propagao de erros.Micrmetro ou PalmerOmicrmetro uminstrumento de preciso que consiste basicamente de umparafuso micromtricopreso a uma estrutura em forma de U, capaz de mover-se ao longo de seu eixo.O objeto a ser medido colocado entre a espera xa P e a extremidade mvel do parafuso mi-18Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas Fsicascromtrico P conforme a gura abaixo. Uma escala gravada no brao xo (escala principal ougeratriz) atravs do qual gira o parafuso e este, por sua vez solidrio ao tambor, possuindo umaescala circular.Nos tipos mais comuns de micrmetrosa escala principal gravada em milmetros. O passo de0, 50 mm e a escada do tambor possui 50 divises, ou seja, sua preciso de0,5050= 0, 01 mm (duasvoltas do tambor produzem um deslocamento de 1 mm no parafuso).LeituraPara efetuar uma leitura, verica-se inicialmente qual a ltima diviso da escala principal (gera-triz), na parte superior, que deixada descoberta pelo tambor (LO). Na escala principal (geratriz), aparte inferior serve para indicar se o tambor j deu uma volta e, deve-se portanto, somar 50 divisesquela lida no tambor. Caso a marca inferior no esteja descoberta faz-se somente a leitura do tambor,veja os exemplo abaixo.Prtica com micrmetroCom um pacote de tiras de papel faa10 me-didas (explcitas) da espessura de um conjunto defolhas. Para isto use um micrmetro. Faa um gr-co da espessura versus n de folhas e determineos parmetros da melhor reta que passa pelos pon-tos. Inicialmentefaaumajustevisualdaretaeobtenhaoscoecientesangularelineardaretatraada.19Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 2: Medidas e Grandezas Fsicas20Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanCaptulo 3Cinemtica escalarO estudo dos movimentos:Um movimento s pode ser caracterizado em relao a um dado referencial. Um corpo, que estem repouso do ponto de vista de um observador parado na superfcie da Terra, pode estar em movi-mento para um observador que se move na superfcie da Terra com uma determinada acelerao. Oprimeiro observador denido como um referencial inercial, enquanto que o segundo dene um re-ferencial no-inercial.Denies:Referencial inercial: sistema de referncia que com acelerao nula em relao ao movimentoanalisado. Ento, um referencial inercial aquele que est em repouso em relao Terra, ouque est em movimento retilneo uniforme, em relao a um ponto xo na superfcie da Terra.Referencial no-inercial: Sistema de referncia acelerado em relao a um ponto xo na super-fcie da Terra.Sendo assim, todo e qualquer movimento relativo:vai depender das condies do observador.Considere o exemplo de um passageiro dentro de um trem em movimento. Para o maquinista, opassgeiro que est sentado na sua poltrona est em repouso, para um observador parado na plataformada estao, este mesmo passageiro est em movimento, acompanhando o movimento do trem.Ento, a existncia do movimento ca condicionada variao da posio entre o observador e ocorpo analisado. Se a posio relativa entre o observador e o objeto analisado varia, h movimento,se a posio permanece constante, o corpo est em repouso em relao ao observador.Em concluso, um corpo pode estar em movimento em relao a um dado referencial xo nasuperfcie da Terra e, ao mesmo tempo, estar em repouso em relao a outro observador. O tipo demovimento tambm depende das condies do referencial adotado. Um objeto pode, por exemplo,descrever uma trajetria retilnea em relao a um dado referencial, enquanto que para um observadorem outro referencial, a trajetria pode ser curvilnea.Um corpo pode se encontrar em trs tipos de movimento:21Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 3: Cinemtica escalar1 - translao: variao da posio do centro de massa do corpo em relao a referencial;2 - rotao: movimento giratrio em torno do eixo de simetria do corpo, caracterizado pela vari-ao de posio de um ponto da borda do corpo em relao ao referencial.3 - oscilao: movimento em torno de uma posio de equilbrio do corpo, caracterizado pela vari-ao de posio do centro de massa do corpo entre um valor mnimo e um valor mximo (amplitude)em relao ao referencial.Na maioria das situaes de movimento, podemos considerar que os corpos estudos so corposrgidos e podem ser considerados comopartculas. Assim, podemos negligenciar os seus possveismovimentos de rotao e oscilao, importando-se apenas com o movimento de translao (salvoexcees).Denies:Corpo rgido: situao idealizada para corpos que no sofrem qualquer tipo de deformaopermanente (plasticidade) ou temporria (elasticidade).Partcula: considerada como partcula qualquer corpo cujas dimenses possamser desprezveisem relao trajetria do seu movimento. Um corpo s pode ser considerado uma partcula setodas as suas partes se movem com a mesma velocidade e acelerao, na mesma direo e nomesmo sentido, descrevendo a mesma trajetria. Ou seja, se o objeto como um topo se movejunto com o seu centro de massa, realizando o mesmo movimento.Os movimentos de translao de uma partcula podem ser unidimensionais (sobre uma reta in-nita), bidimensionais (sobre um plano innito) ou tridimensionais (no espa innito). Um movi-mento unidimensional necessariamente retilneo, mas os movimentos no plano e no espao podemter trajetrias curvilneas. Por essa razo, os movimentos no plano e no espao devem ser tratadosvetorialmente, enquanto que para o movimento unidimensional, o tratamento vetorial pode ser dis-pensado, desde que se tenha cuidado com os sentidos do movimento:se a partcula se move para osentido positivo ou negativo do sistema de referncia.Movimentos unidimensionaisMovimento Retilneo e Uniforme - MRUCaractersticas:1- a partcula percorre distncias iguais em intervalos de tempos iguais.2- a velocidade constante, a acelerao nula.3- descrito pela funo linear escalar, x = x0 + vt,na qual x a posio nal do corpo e x0 a posio sua inicial, v a sua velocidade constante et = t t0 o intervalo de tempo gasto para a realizao do movimento.22Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 3: Cinemtica escalarVelocidade mdiaSe zermos x = x x0 na funo acima, como sendo a diferena entre a posio nal e inicialdo movimento, podemos escrever:vm=xt=deslocamentotempo gasto.Esta denio vlida para movimentos uniformes e acelerados em uma, duas ou trs dimenses.para movimentos em uma dimenso, sobre uma linha reta, o deslocamento igual trajetria (dis-tncia percorrida). Porm, para movimentos no plano ou no espao, o deslocamento diferente datrajetria, ento h uma diferena entre os conceitos de velocidade e velocidade mdia para movi-mentos com velocidade varivel.No MRU, a velocidade sempre constante, ento v= vm. Note que a velociade mdia denidapela razo entre duas variaes, ou seja: a velocidade mdia a taxa de variao da posio emrelao ao tempo. Ento, a posio e o tempo so grandezas ditas taxas relacionadas, com o temposendo a varivel independente e a posio, a varivel dependente. Ento: x=f(t), o que signicaque, quando uma partcula est em movimento em relao a um dado referencial, a variao temporalprovoca uma variao na posio da partcula. No MRU est variao proporcionalmente linear.ConsidereumapartculasemovendodopontoAparaoponto B, segundo a gura ao lado. Trata-se de um MRU, poiso grxo x t linear. O coeciente angular desta reta,tg =cateto opostocateto adjacente=x x0t t0=xt= vm.A partir desta interpretao geomtrica,podemos chegar aoconceito de velocidade instantnea, vi, que o valor da veloci-dade em cada instante de tempo t. Para determinar a velocidadenum determinado instante de tempo, devemos colocar o pontoB o mais prximo possvel do ponto A. Por consequncia, o valr de t estar to prximo de t0 quet 0. Este o conceito de limite. Ento:vi=limtt0vm=limtt0x x0t t0=limt0xt,vi=limt0xt= derivada de x em relao a t, ento:vi=dxdt,l-se derivada de x em relao a t.23Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 3: Cinemtica escalarRegras de derivao:d(xn)dt= nxn1, (3.1)d(un)dt=_dudt_(nun1), u = u(x), (3.2)d(cos u)dt=_dudt_(sin u), u = u(x), (3.3)d(sin u)dt=_dudt_(cos u), u = u(x), (3.4)d(xnxm)dt= nxn1mxm1, (3.5)d(unwm)dt=_dudt_nun1_dwdt_mwm1. (3.6)Exemplos:1 - Voc dirige seu carro a 88 km/h. Que distncia voc percorre duranto o segundo em que vocse distrai olhando um acidente margem da estrada?2 - uma partcula se move segundo a funo x = 4 + 5t. Responda:a. qual a posio inicial da partcula?b. qual a velocidade da partcula?c. este um MRU? Explique:3 - Com base na tabela, responda:x(m) 0 15 30 45 60 75 90t(s) 0 3 6 9 12 15 18a. o movimento uniforme? explique!b. qual o valor da veocidade?c. faa o grco x t.24Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 3: Cinemtica escalarMovimento Retilneo e Uniformemente Variado - MRUVCaractersticas:1- a velocidade varia.2- a acelerao diferente de zero.3- o movimento descrito pela funo quadrtica x = x0 + v0t +am2t,na qual v0 a velocidade inicial do movimento e am a sua acelerao mdia.4- como a acelerao constante no MRUV, a velocidade varia proporcionalmente linear com otempo: em intervalos de tempos iguais, a velocidade sofre o mesmo acrscimo. Ento o grco v t uma reta.5- a dependncia da posio como tempo quadrtica quando a =constante. Ento, neste caso, ogrco x t uma parbola.6- a velocidade, quando a =constante dada pela funo v= v0 + at. Ento:am=vt.ai=dvdt=d2xdt2 ,l-se derivada dev em relao at e derivada segunda dex em relao at, que uma derivada desegunda ordem: derivada da derivada de x em relao a t.O conceito de acelerao mdia vlido para qualquer tipo de movmento, com acelerao cons-tante ou varivel. Para o MRUV, a acelerao sempre a mesma, portanto: ai=am=a paraqualquer instante de tempo. Ento, para este tipo de movimento, a acelerao no depende do tempo.Em movimentos acelerados com acelerao varivel, a acelerao depende do tmepo. As funesacima deixam de ser vlidas, permanecendo somente a denio de aclerao mdia.Queda Livreumcasoparticular deMRUV, noqual aaceleraodadapelaaceleraodagravidade,g =9, 8m/s2ao nvel do mar. O movimento vertical em relao superfcie da Terra,desdeque os efeitos da resistncia do arsejam desprezveis.Exemplos:1 - Uma partcula se move segundo a funo x = 4 + 5t + 6(t)2. Responda:a. qual a posio inicial da partcula?25Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 3: Cinemtica escalarb. qual a velocidade inicial da partcula?c. qual a acelerao da partcula?d. determine a funo v(t) da partcula2 - Uma partcula s emove segundo a funo x = 4t + 6t2+ 2t3. Escreva as funes v(t) e a(t).Este um MRUV? Explique!Exerccios Avaliativos 21 - Deduza a funo de Torricelli. Especique as condies em que ela pode ser utilizada. Justi-que!2 - O velocmetro de um carro mede a velocidade mdia ou a velocidade instantnea no carro?Explique!3 - Um eltron com velocidade de 1, 5105m/s entra numa regio com 1, 2/cmde comprimento,onde eletricamente acelerado e, emerge desta regio com velocidade de 5, 8 106m/s. Qual foia sua acelerao?A ttulo de curiosidade: este o processo que ocorre nos canhes de eltrons dostubos catdicos, utilizados em receptores de televiso e terminais de vdeo.26Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 3: Cinemtica escalarPrtica de Laboratrio 2MRU e MRUVPrimeira parte: MRUMaterial utilizado:Conjunto Bosak/MMECL para o estudo de movimento retilneo uniforme.- 5 sensores de tempo, posicionados estrategicamente sobre uma rgua graduada em cm.- cronmetro digital Muccillo, com capacidade para medir quatro intervalos de tempo.- fonte de alimentao Sissa 6/12 VCC5.- gerador de uxo de ar Delapieve.Montagem:Faa um desenho esquemtico detalhado do kit experimental montado.Procedimento:Siga passo-a-passo:1 - Retire os carros do trilho.2 - Ligue cronmetro digital.3 - Verique se os sensores esto todos ligados.4 - Zere os cronmetros.5 - Ligue a bomba de ar.6 - Coloque um carro na extremidade inicial da rgua.7 - Simultaneamente, imponha uma pequena fora sobre o carro o cronmetro.8 - Anote os quatro intervalos de tempo dos cronmetros e as posies dos seus respectivos sensores,completando a tabela abaixo:Fundamentao terica:Faa uma breve pesquisa sobre o movimento retilneo uniforme, incluindo o seu equacionamentomatemtico.27Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 3: Cinemtica escalarAnlise dos dados:Faa todos os itens:1 - Faa o grco x(cm) t(s).2 - Utilizando os dados coletados, armazenados na tabela acima, calcule os valores de velocidade paracada um dos quatro pontos e faa o grco v(cm/s) t(s). Depois encontre o seu valor mdio!3 - Calcule o coeciente angular da reta x(cm) t(s). Qual o seu signicado fsico?Discusso:A resposta para todos estes itens devem estar no seu texto!1 - O que um corpo rgido? E uma partcula? O carro utilizado no experimento pode ser consideradocomo um corpo rgido? E como uma partcula?2 - Qual o signicado fsico do coeciente angular da reta x(cm) t(s)?3 - Compare o valor obtido para o coeciente angular da x(cm) t(s) com o valor de vm obtido apartir da tabela. Qual foi o erro relativo entre os dois valores?4 - Explique possveis as causas deste erro relativo.Concluses:Cuidado com o que se coloca neste item. As concluses so sobre o experimento e seus resulta-dos, nada tem a ver com a contribuio para o seu crescimento acadmico ou pessoal!1 - Escreva as suas concluses relativas a este experimento.2 - Classique o experimento como satisfatrio ou insatisfatrio, segundo as suas concluses.Justi-que! Caso o experimento seja considerado insatisfatrio, aponte as causas e sugira aes que possammelhorar os resultados obtidos.Referncias Bibliogrcas:Segunda parte: MRUV - Queda livreMaterial utilizado:Conjunto Bosak/MMECL para o estudo de movimento de queda livre.- 5 sensores de tempo, posicionados estrategicamente sobre uma rgua graduada em cm.- bobina magntica para sustentao inicial e disparo da esfera de metal.- cronmetro digital Muccillo, com capacidade para medir quatro intervalos de tempo.- fonte de alimentao Sissa 6/12 VCC5.- circuito de abertura e fechamento automtico da bobina magntica.28Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 3: Cinemtica escalarMontagem:Faa um desenho esquemtico detalhado do kit experimental montado.Procedimento:Siga passo-a-passo:1 - Ligue a fonte de alimentao em 6V .2 - Ligue cronmetro digital.3 - Verique se os sensores esto todos ligados.4 - Zere os cronmetros.5 - Encoste a esfera de metal no suporte da bobina magntica.6 - Pressione a chave do circuito abre/fecha da bobina magntica para baixo ou para cima. A esferacar presa ao suporte da bobina atravs de um campo magntico.7 - Simultaneamente, solte a chave do circuito abre/fecha da bobina magntica e dispare o cronmetro.8 - Anote os quatro intervalos de tempo dos cronmetros e as posies dos seus respectivos sensores,completando a tabela abaixo:Fundamentao terica:Faa uma breve pesquisa sobre o movimento de queda livre, incluindo o seu equacionamentomatemtico.Anlise dos dados:Faa todos os itens:1 - Faa o grco y(cm) t(s) e linearize-o. Dica: eleve o tempo ao quadrado!2 - Utilizando os dados coletados, armazenados na tabela acima, calcule os valores de velocidade paracada um dos quatro pontos e faa o grco v(cm/s) t(s). Utilize o valor de g= 978, 76 cm/s2.3 - Calcule o coeciente angular da reta y(cm) t2(s2).Discusso:A resposta para todos estes itens devem estar no seu texto!1 - O que um corpo rgido? E um partcula? A esfera utilizada no experimento pode ser considerada29Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 3: Cinemtica escalarcomo um corpo rgido? E como uma partcula?2 - Quais os tipos de movimentos envolvidos no experimento?3 - Qual o signicado fsico do coeciente angular da reta y(cm) t2(s2)4 - Compare o valor obtido para o coeciente angular da reta y(cm) t2(s2) com o valor de g local(g= 978, 76 cm/s2). Qual foi o erro relativo entre o experimento e o valor real?5 - Explique possveis as causas deste erro relativo.Concluses:Cuidado com o que se coloca neste item. As concluses so sobre o experimento e seus resulta-dos, nada tem a ver com a contribuio para o seu crescimento acadmico ou pessoal!1 - Escreva as suas concluses relativas a este experimento.2 - Classique o experimento como satisfatrio ou insatisfatrio, segundo as suas concluses.Justi-que! Caso o experimento seja considerado insatisfatrio, aponte as causas e sugira aes que possammelhorar os resultados obtidos.Referncias Bibliogrcas:30Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanCaptulo 4Cinemtica vetorialTodomovimentodeveseranalisadoemrelaoaumdadoreferencial. Emgeral, utilizamosreferenciais cartesianos de duas dimenses, se o movimento for no plano ou de trs dimenses, seo movimento for no espao. As grandezas fsicas envolvidas na anlise de movimentos so veto-riais. Quando o movimento acontece em uma dimenso, podemos desprezar o tratamento vetorial,como zemos no captulo anterior.Porm, para movimentos que acontecem no plano ou no espao, necessrio avaliar as direes e sentidos das grandezas fsicas que caracterizam o movimento. necessrio aplicar o tratamento vetorial.Vetores:Vetoressoentesgeomtricos, utilizadosnaFsicaparacaracterizarquaisquergrandezasquenecessitam de direo e sentido para carem bem caracterizada: as grandezas fsicas vetoriais, comofora, velocidade e acelerao. Assim, uma grandeza vetorial s ca completamente caracterizadase conhecermos o seu mdulo, a sua direo e o seu sentido, sendo as duas ltimas caractersticas,tomadas em relao a um referencial. Aqui, utilizaremos como referencial, sistemas de coordenadascartesianas de duas e trs dimenses.A representao geomtrica de um vetor feita atravs de um segmento de reta orientado, queliga dois pontos: onde ele inicia, dito origem do vetor e onde ele termina, dito extremidade do vetor.Denio: O vetor no plano:Um vetor no plano tem duas coordenadas, que representam a sua projeo sobre os eixos co-ordenados, x ey. Na gura abaixo, as coordenadas do vetor v, com origem no pontoA(ax, ay) eextremidade no ponto B(bx, by), so (bx ax) na direo x e (by ay) na direo y. A direo e osentido do vetor v so dados pelo ngulo , que indica o quadrante para onde o vetor v se encontra eaponta. O mdulo de v, denotado por |v| = v, vale a distncia do segmento de reta que liga os pontosA e B:31Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorial|v| = v=_(bxax)2+ (byay)2,a direo e o sentido do vetor v so dados por:tan =byaybxax.Um vetor pode ser transladado para qualquer outra regio do plano, desde que mantidos a suadireo, o seu sentido e o seu mdulo. Assim, podemos colocar o vetor v na origem do sistema decoordenadas, de forma que a origem de v coincida com a origem do sistema, como mostra a guraabaixo:Nesta situao, o mdulo, a direo e o sentido de v so dados por:|v| = v=_v2x + v2ye tan =vyvx.32Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialDenio: Versores e base ortonormal:O versor de um vetor v, denotado por v, um vetor unitrio, ou seja: de mdulo 1, que indica adireo de v. Assim: v=v|v|.Versoresortogonaisformamumabaseortonormal: con-junto de vetores normalizados (de mdulo 1) que so ortogonaisentre si. Se colocarmos versores nas direes x e y do sistemade coordenadas bidimensional, estes sero versores ortogonaisentre si e formam a base ortonormal, que transforma o sistemade coordenadas cartesianas bidimensional em um espao veto-rial cartesiano de duas dimenses. Assim, qualquer vetor nesteespao pode ser escrito como uma soma vetorial de dois vetoresnas direes x e y.Chamamos a estes versores dei na direodo eixo x ej na direo do eixo y, como mostra a gura ao lado.Denio: Soma vetorial:Vetores podem ser somados de duas formas: geomtrica e algebricamente.Considere o vetor

A,cujas coordenadas soax na direox eayna direoy e o vetor

B, cujas coordenadas sobx nadireo x e by na direo y, como mostra a gura (a) abaixo.O vetor soma,

S, pode ser obtido algebricamente, somando as componentes de

A e

B nas duasdirees:

S=

A +

B= [(ax + bx), (ay + by)] = (sx, sy) .A soma geomtrica mostrada na gura (b), na qual foi utilizada a regra do polgono. Na gura(c), est a mesma soma geomtrica, utilizando a regra do paralelograma.33Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialAregra do polgono pode ser utilizada para somar geometricamente muitos vetores de uma s vez.Consiste em colocar a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro, a origem do terceiro naextremidade do segundo e assim por diante. O vetor soma o vetor fecha o polgono, com origem naorigem do primeiro e extremidade na extremidade do ltimo vetor somado. Faa um exemplo com oprofessor!A regra do paralelograma soma somente dois vetores. Consiste em construir um paralelograma,utilizando segmentos de retas orientados paralelaos aos vetores somados, mantendo-se os mdulos esentidos. O vetor soma a diagonal do paralelograma que liga o encontro das origens ao encontrodas extremidades dos dois vetores somados. Faa um exemplo com o professor!Denio: Multiplicao de vetor por escalar:Qualquer vetor v pode ser multiplicado por um escalar (um nmero real), k. A direo e o sentidodo vetor so mantidos, mas o mdulo de v ca k vezes maior, se k > 1 ou k vezes menor se 0 < k < 1.Se k < 0, o sentido do vetor ca invertido. Faa um exemplo com o professor!34Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialConhecidas as formas de somar vetores e de multiplicar ve-toresporescalareseconhecidaabaseortonormal (i,j), quedetermina as direesx ey do espao vetorial bidimensional,podemos escrever qualquer vetor v neste espao como a somade dois vetores: um na direo x, vxi e outro vyi, como mostraa gura ao lado. Ento:v= vxi + vyj ,na qual vx dito componente de v na direo x,vy dito componente de v na direo y e ditongulo diretor de v e so dados por:vx= v cos ,vy= v sin ,tan =vyvxv= |v| =_v2x + v2y.Denio: Vetor oposto:O vetor oposto ao vetor v= vxi + vyj o vetor v= (vxi + vyj) = vxi vyj. Geometrica-mente, o vetor oposto, v, tem sentido oposto ao sentido de v, como mostra a gura.Denio: Subtrao de vetores:A subtrao de vetores nada mais que a soma de um vetor com o oposto do outro. Considere osvetores

A = axi + ayj e

B= bxi + byj:

A

B=

A + (

B) = [(axi + ayj) + (bxi byj)] = [(axbx)i + (ayby)j] .Para fazer a subtrao geomtrica pode-se utilizar tanto a regra do paralelograma como a regra dopolgono. Faa exemplos com o professor!35Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialDenio: Multiplicao entre vetores:Produto escalar ou interno:O produto escalar ou interno entre dois vetores

A = axi + ayj e

B= bxi + byj, que formam umngulo entre si, denido como:

A

B= ABcos ,

A

B= axbx + ayby.Importante: O resultado de um produto escalar ou interno um escalar (um nmero real).Denio: O vetor no espao:O espao vetorial tridimensional representado por um sistema de coordenadas cartesianas tridi-mensional, como mostra a gura. A base ortonormal para um espao vetorial tridimensional dadopelos versoresi, j e k, que denem a orientao dos eixos x, y e z.O mdulo de v dado por:|v| = v=_v2x + v2y + v2z.A soma, a multiplicao por um escalar K, o vetor oposto, a subtrao e o produto interno entredois vetores no espao,

A = axi +ayj +azk e

B= bxi +byj +bzk, que formam um ngulo entresi, so dados por:36Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorial

A +

B= (ax + bx)i + (ay + by)j + (az + bz)k ,K A = K(axi + ayj + azk) = Kaxi + Kayj + Kazk ,

B= (bxi + byj + bzk) = bxi byj bzk ,

A

B=

A + (

B) = (axbx)i + (ayby)j + (azbz)k ,

A

B= ABcos ,

A

B= axbx + ayby + azbzsendo:A = |

A| =_a2x + a2y + a2ze B= |

B| =_b2x + b2y + b2zos mdulos de

A e

B.Produto vetorial ou externo:O produto vetorial ou externo entre dois vetores

A = axi +ayj +azk e

B= bxi +byj +bzk, queformam um ngulo entre si, denido como:|

A

B| = ABsin ,

A

B=ijkaxayazbxbybzImportante: O resultado de um produto vetorial ou externo um vetor ortogonal ao plano denidopelos vetores

A e

B, como mostra a gura.37Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialObservaes:1)

A

B=

B

A, mas

A

B=

B

A.2)

A +

B=

B +

A, mas

A

B= (

B

A).3) K(

A

B) = K A

B.4) K(

A +

B) = K A + K B.5)i i = j j= k k = 1.6)i j= j k = k i = 0.7)i j= k masj i = kj k = i mask j= i.k i = j masi k = j8)i i = j j= k k = 0.Exerccios:1) Dados os vetores u = 5i 2j + 3k e v= 2i + 4j 6k, encontre:a) u +vb) u vc) v ud) 4u + 2ve) |u|f) |v|g) u vh) entre u e v38Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetoriali) |u v|j) u vl) v um) un) v2) Dados os vetores abaixo, faa as somas geomricas:a)

A +

B +

C +

Db)

A

B +

C +

Dc)

A +

B

C +

Dd)

A +

B +

C

D39Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialO movimento no plano:Denio: Vetor posioConsidere o sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, com origem no pontoO, e umpontoP1, representando a posio de um ponto material em movimento no plano, no instantet1.Ento no instantet1, o mvel ocupa a posioP1no planoxy. O vetor posio do mvel nesteinstante escrito como r1= x1i + y1j, na quali o versor na direo x e j o versor na direo y.Geometricamente, o vetor posio r o segmento de reta orientado que liga a origem o sistema decoordenadas ao ponto P1. O mdulo do vetor posio r1 dado por |r1| =x2+ y2.Se o mvel est em movimento sobre o planoxy, a cada instante de tempo ele ocupar umaposio diferente e o vetor posio mudar. Por exemplo, para o instante t2, o mvel ocupa a posiodo ponto P2, como mostra a gura. Assim, o plano xy pode ser denido como o espao vetorial detodas as posies ocupadas pelo mvel a cada instante de tempo. Portanto, o plano xy dito espaode fase do movimento e descreve a prpria trajetria do mvel. Perceba que, enquanto o tempo passa,tanto a posio sobre o eixo x quanto a posio sobre o eixo y variam. Portanto, tanto x quanto y sofunes do tempo e podem ser escritas como: x=f1(t) e y=f2(t). Assim, o vetor posio paraqualquer instante de tempo pode ser escrito como r = f1(t)i + f2(t)j.Denio: Movimento retilneo no planoUm movimento dito retilneo quando sua trajetria uma reta. Ou seja: x e y devem variar como tempo na mesma proporo. Se x = f1(t) e y= f2(t) forem funes polinomiais, elas devem ter omesmo grau para que a trajetria seja retilnea. Para desenhar a trajetria de um mvel em movimentono plano, basta encontrar a relao entre as suas coordenadas x e y.Ilustrao: Um objeto se move no plano segundo o vetor r= (2t2+ 1)i + (t2 1)j. Desenhea sua trajetria no plano xy.Soluo: basta comparar o vetor posio dado com o vetor posio geral: r = xi +yj comparadacom r= (2t2+ 1)i + (t2 1)j, temos:x = 2t2+ 1 e y= t2 1. Eliminando o parmetro t nestasequaes, temos:t2=x12e t2= y + 1. Ento:x12= y + 1, isolando y, temos:y=x32. Fazendo40Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialo grco desta funo, obtemos o grco da gura:Denio: Vetor deslocamentoA diferena de caminho em linha reta entre dois pon-tosdatrajetriachamadadedeslocamento. Ovetordeslocamento dado pelo segmento de reta orientado queliga os dois pontos. Na gura, dados os pontos P1 e P2,comseusrespectivosvetoresposio, r1er2, ovetordeslocamento, rdadosporr =r2 r1. Comor1=x1i + y1j e r2=x2i + y2j, o vetor deslocamentotem coordenadas r = (x2x1)i +(y2y1)j, cujo m-dulo dado por |r| =_(x2x1)2+ (y2y1)2.Ilustrao: Um mvel passa pelo ponto P1(3, 4) no instante de tempo t1. No instante de tempot2 ele ocupa a posio P2(2, 5). Determine o deslocamento ocorrido neste intervalo de tempo e ovetor velocidade desde P1 at P2.Soluo: Escrevemos os vetores posio r1= 3i4j e r2= 2i+5j, ento: r = r2r1: r =(23)i +(5 +4). Portanto: r = 5i +9j. O deslocamento dado por|r| =_(5)2+ (9)2=106 u.c.Denio: Vetor velocidade mdia dado pela razo entre o vetor deslocamento entre dois pontos da trajetria e o intervalo de tempogasto para executar este movimento: vm=rt, sendo t = t2t1.Denio: Vetor velocidade instantnea dado pelo limite do vetor velocidade mdia quandot 0 : v=limt0rt. Este limite41Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialrepresenta a derivada primeira do vetor posio em relao ao tempo: v=drdt.Denio: Vetor acelerao mdia dado pela razo entre o vetor velocidade entre dois instantes de tempo e o intervalo de tempogasto para executar esta variao: am=vt.Denio: Vetor acelerao instantneadadopelolimitedovetoraceleraomdiaquandot 0: a =limt0vt, sendov=v2 v1. Este limite representa a derivada primeira do vetor velocidade em relao ao tempo:a=dvdt. Como v=drdt, a acelerao instantnea dada pela segunda derivada do vetor posio emrelao ao tempo: a =d2rdt2.Denio: Vetores velocidade e acelerao em coordenadas cartesianasSe o vetor posio de um movimento no plano for dado pelo vetor r = xi + yj:v =dxdti +dydtj, sendo v= vxi + vyj,a =dvxdti +dvydtj, sendo a = axi + ayj,a =d2xdt2i +d2ydt2j.42Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialIlustraes:1) A posio de uma bola arremessada dada por r = (1, 5 + 12t)i + (16t 4, 9t2)j. Determineo vetor velocidade e o vetor acelerao para qualquer instante de tempo t. Faa o esboo da trajetriada bola e dos grcos r t, v t e a t.2) Um carro avana para o leste com velocidade de 60 km/h. Aps 5 s faz uma curva e passa aavanar para o norte, ainda com velocidade de 60 km/h. Encontre a acelerao mdia do carro!3)Ascoordenadasdeumapartculaquesemovenoplanoxysodadasporx=1+2t2ey=2t + 1t3. Encontre o vetor posio, o vetor velocidade e o vetor acelerao da partcula para oinstante de tempo t = 2 s.43Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialDenio: Movimento de projteisO movimento de projteis est dividido em dois: o movimento parablico e o movimento oblquo.O movimento parablico pode ser visualizado pelo evento fsico de uma bola rolando sobre umamesa plana, com velocidade constante. Ao abandonar a mesa, a bola continua a se movimentar nahorizontal, por efeito de inrcia, porm, neste momento ela tambm passa a estar sujeita ao dagravidade. O resultado da composio destes movimentos uma trajetria parablica, pois h umavelocidade constante na horizontal e uma acelerao constante (a acelerao da gravidade) na vertical.Os movimentos so independentes e podem ser tratados separadamente: uma queda livre na verticale um movimento retilneo e uniforme na horizontal. Veja a guraNo grco da gura, o eixoy est invertido porque a acelerao da gravidade est para baixo.Complete a gura segundo as explicaes em sala de aula.A velocidade inicial v0, no momento em que a bola abandona a mesa, est na horizontal. Por-tanto: v0= v0xi + v0yj, sendo v0x= v0 e v0y= 0. Ento: v0= v0xi. medida que a acelerao dagravidade comea a agir sobre a bola, o vetor velocidade resultante comea a mudar a sua direo,descrevendo um ngulo com a horizontal. Por geometria bsica: vx= v0x e vy= v0sen. Assim, ovetor velocidade em qualquer instante de tempo ca escrito por: v= vxi+vyj ou v= v0xi+v0senj.Anlise na direo horizontal:Nesta direo, o movimento retilneo e uniforme, portanto descrito pela equao:x = x0 + v0xt. Se colocarmos a origem do sistema de referncia na borda da mesa: x = v0t.Anlise na direo vertical:Nesta direo, o movimento retilneo uniformemente variado. A acelerao a acelerao dagravidade g 10 m/s2. O movimento descrito pela equao:y= y0 + v0yt +g2t2. Se colocarmosa origem do sistema de referncia na borda da mesa: y0=0 e, j sabemos que v0y=0. Portanto:y=g2t2, vy= gt e v2y= 2gy.O movimento oblquo pode ser visualizado pelo evento fsico de um tiro de meta. A bola sobre ocho recebe a ao de uma fora externa que faz um ngulo com a horizontal. Portanto, a velocidade44Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialinicialv0faz um ngulocom a horizontal. Este movimento tambm uma composio de ummovimento retilneo uniforme na horizontal e um lanamento vertical, seguido de uma queda livre navertical. O resultado da composio destes movimentos uma trajetria parablica completa, poish uma velocidade constante na horizontal e uma acelerao constante (a acelerao da gravidade)na vertical. Os movimentos so independentes e podem ser tratados separadamente. Veja a gura(complete-a gura segundo as explicaes em sala de aula).A velocidade inicial v0 dada pelo vetor v0= v0xi + v0yj, sendo v0x= v0cos e v0y= v0sen0.Anlise na direo horizontal:Nesta direo, o movimento retilneo e uniforme, portanto descrito pela equao:x=x0 + v0xt. Se colocarmos a origem do sistema de referncia no ponto de lanamento da bola:x = v0xt ou x = v0cos t.Anlise na direo vertical:Nesta direo, o movimento retilneo uniformemente variado. A acelerao a acelerao dagravidade g 10 m/s2. O movimento descrito pela equao:y= y0 + v0yt g2t2. Se colocarmosa origem do sistema de referncia no ponto de lanamento da bola: y0= 0, portanto: y= v0yt g2t2,ou: y= v0sen t g2t2, vy= v0sen gt e v2y= v20sen2 2gy.O vetor velocidade v sempre tangente trajetria e o seu mdulo vale |v| =_v2x + v2y.45Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialDenio: Movimento circular uniformeEste movimento dito circular porque a sua trajetria uma circunferncia ou um arco de circun-ferncia, e dito uniforme porque a sua velocidade escalar constante. Neste ponto, devemos atentarpara a denio mais geral de acelerao: j sabemos que acelerao a grandeza fsica responsvelpela variao da velocidade de uma partcula. Porm, temos a tendncia de relacionar a vriao develocidade apenas com a variao do seu mdulo, o que no verdade. A velocidade uma grandezavetorial, portanto possui trs caractersitcas: mdulo, direo e sentido. Uma velocidade s pode serconsiderada constante quando as suas trs caractersitcas permanecem inalteradas.Ento, possvelexistir um movimento no qual o mdulo da velocidade permanece constante, por, a sua direo ouo seu sentido possam variar. Mesmo neste caso, a grandeza fsica que causa esta variao vetorialcontinua sendo a acelerao. O movimento circular uniforme o melhor exemplo destes tipos demovimento. Aqui, o mdulo da velocidade sempre o mesmo, porm a sua direo e sentido estosempre variando, devido presena de uma acelerao, a qual provoca estas mudanas de direo esentido acelerao centrpeta, ac, que mantm a partcula na sua trajetria circular.O vetor velocidade em qualquer movimento sempre tangencial sua trajetria e o vetor acelera-o, para movimentos curvilneos, sempre normal trajetria, com sentido para dentro do centro decurvatura. No movimento circular uniforme, a trajetria uma circunferncia, portanto a aceleraocentrpeta est sempre normal circunferncia e apontando para o seu centro (centrpeta signicao que busca o centro).Mdulo de ac:Observe as guras abaixo. Nelas podemos concluir que a velocidade v dada por duas compo-nentes: v= vxi vyj, com vx= v sin e vy= v cos .Ento: v =v sin i+v cos j. Seanalisarmosovetorposior, podemosobservarquer =xpi + ypje que, xp=r cos eyp=r sin , ento: sin =yprecos =xpr . Substituindono vetor velocidade, temos: v=_vypr_i +_vxpr_j. Para encontrarmos o vetor acelerao devemos46Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialpegar a primeira derivada do vetor velocidade. Ento: ac=dvdt=_vrdypdt_i +_vrdxpdt_j. Observe quedypdt= vy= v cos e quedxpdt= vx= v sin .Substituindo, temos: ac=_v2rcos _i +_v2rsin _j. O mdulo desta acelerao dado pelaraiz quadrada da soma do quadrado de suas componentes:|ac| =__v2rcos _2+_v2rsin _2,|ac| =__v2r_2(cos2 + sin2),|ac| =__v4r2_(1),ac=v2r.O tempo que a partcula dela para dar uma volta completa sobre a circunferncia dito perodo, epode ser calculado pela equao horria do movimento:x = vT, sendo x = 2r o comprimentoda circunferncia. Portanto:T=2rv. ainda possvel denir a frequncia (fr) do movimento, que o nmero de voltas por unidade de tempo, ou seja: o inverso do perodo: fr=v2r.Ilustraes:1) Um carro est com velocidade constante de 72 km/h quando entre numa meia circunfernciade raio de curvatura 12km. Determine a sua acelerao e o tempo que ele leva para percorrer acurva.2) Num carrossel, os passageiros giram sobre uma rbita circular de5m de raio, fazendo umavolta completa em 4 s. Determine a acelerao do brinquedo.47Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialDenio: Movimentos no espaoConsidere uma partcula movendo-se no espao. Ento a sua posio varia em trs dimenses e oseu vetor posio pode ser escrito como r = xi + yj + zk, com x = x(t), y= y(t) e z= z(t).As grandezas envolvidas nos movimentos no espao so denidas da mesma forma:o vetor ve-locidade dado por v=drdte o vetor acelerao dado por a=dvdt=d2rdt2. O vetor velocidade sempre tangente trajetria real e o vetor acelerao sempre normal trajetria real, apontandopara o centro da trajetria curvilnea.Os mdulo dos vetores posio, velocidade e acelerao so dados por: |r| = r =x2+ y2+ z2,|v| = v=_v2x + v2y + v2z e |a| = a =_a2x + a2y + a2z.Ilustrao:1) Uma mosca voa pela sala segundo a equao r = [(3t22t)i + (5t + 2)j + (3t3)k] cm.Determine:a) os vetores velocidade e acelerao para qualquer instante de tempo;b) os vetores posio, velocidade e acelerao para t = 2 s;c) os mdulos dos vetores posio, velocidade e acelerao para t = 2 s.48Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialExerccios:1) Uma bola lanada horizontalmente com velocidade inicial v0= 2, 45 m/s. Determine a suaposio e a sua velocidade aps 0, 25 s de movimento.2) Um goleiro cobra o tiro de meta impondo bola uma velocidade de 49 m/s, com um ngulode direo de 53o.Responda:a) Quem so os vetores posio e velocidade da bola aps 2 s de movimento?b) Aps 2 s de movimento, qual a distncia da bola ao local de onde foi cobrado o tiro de meta?c) Qual a velocidade escalar da bola aps 2 s de movimento?d) Qual o intante de tempo em que a bola atinge o ponto mais alto da sua trajetria?e) A que distncia do local de cobrana a bola ir cair, se no sofrer intervenes externas?3) Um corpo cai em queda livre a partir do repouso. Calcule a sua posio aps 4 s de queda.4) Um objeto lanado verticalmente para cima com velocidade de 10 m/s.Determine:a) a altura mxima atingida pelo objeto;b) o tempo que ele leva para atingir a altura mxima;c) o tempo de queda.5) As equaes espaciais do movimento de um submarino ao mar so dadas por x = t34t2+2t,y= t22t 1 e z= t 3, dados em m.Determine:a) os vetores posio, velocidade e acelerao para qualquer instante de tempo;b) os vetores posio, velocidade e acelerao para t = 4 s;c) os mdulos dos vetores posio, velocidade e acelerao para t = 4 s.6) Dada a equao vetorial da posio em funo do tempo de uma partcula se movendo noespao, r = xi +yj +zk com x = x(t), y= y(t) e z= z(t), como podemos identicar se a trajetriada partcula retilnea ou no? Justique!!49Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorialPrtica de Laboratrio 3Movimento parablicoMaterial utilizado:- rampa de madeira- esfera de metal- papel carbono e papel sulte e ta adesivaMontagem:Faa um desenho esquemtico detalhado do kit experimental montado.Procedimento:1 - Prenda o sulte sobre a mesa, utilizando a ta adesiva. Coloque o papel carbono sobre o papelsulte.2 - Lance a esfera da altura mais alta, de forma que o primeiro contato com a mesa seja sobre o papelcarbono. A marca deixada pelo carbono no papel sulte deve ser marcada como lanamento 1.3 - Repita pelo menso trs vezes o mesmo lanamento sempre a partir da mesma altura.4 - Cuide para que a velocidade inicial, no incio do lanamento seja sempre nula.5 - Faa a tabela abaixo:6 - Repita os procedimentos acima para a esfera de vidro e construa uma nova tabela.Fundamentao terica:Faa uma breve pesquisa sobre o movimento parablico, incluindo o seu equacionamento matemtico.Anlise dos dados:1 - Calcule o valor mdio de x para as duas esferas.2 - Calcule o valor mdio da velocidade da esfera, quando esta deixa a rampa para as duas esferas.3 - Determine o valor mdio da energia cintica das esferas.Discusso:1 - O que um corpo rgido? E um partcula? A esfera utilizada no experimento pode ser consideradacomo um corpo rgido? E como uma partcula?2 - Quais os tipos de movimentos envolvidos no experimento?50Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 4: Cinemtica vetorial3 - Compare os valores mdios obtidos para as velocidades e para as energias cinticas das duasesferas. Mea as massas das duas esferas! As massas das esferas inuenciam no resultado do experi-mento?Concluses:1 - Escreva as suas concluses relativas a este experimento.2 - Classique o experimento como satisfatrio ou insatisfatrio, segundo as suas concluses.Justi-que! Caso o experimento seja considerado insatisfatrio, aponte as causas e sugira aes que possammelhorar os resultados obtidos.Referncias Bibliogrcas:51Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanCaptulo 5Fora e Movimento - Leis de NewtonUm corpo em movimento est sempre sujeito a uma fora resultante no nula? Sabemos que paracolocar um corpo em movimento necessrio aplicar fora sobre ele. E para mant-lo em movimento, necessrio continuar aplicando uma fora?EstasperguntasstiveramrespostasplausveiscomosestudosdeIsaacNewtonsobrefora,movimento e suas relaes: Mecnica Newtoniana. Neste captulo vamos estudar as Leis de Newtone estabelecer a relao entre a fora, movimento e equilbrio.Fora e MovimentoA dinmica a parte da mecnica que se dedica ao estudo dos movimentos levando em conta assuas causas: as foras.O problema bsico da mecnica aquele de determinar a posio e a veloci-dade de uma partcula, uma vez conhecidas as foras que atuam sobre ela.Primeira Lei de NewtonExiste na natureza uma tendncia de no se alteraro estado de movimento de umobjeto, isto , umob-jeto emrepouso tende naturalmente a permanecer emrepouso. Umobjeto comvelocidade constante tendea manter a sua velocidade constante. Essa tendn-cia natural de tudo permanecer como est conhecidacomo inrcia. No caso da Mecnica, essas obser-vaes a respeito do comportamento da natureza levouNewton a enunciar a sua famosa Lei da Inrcia, quediz:Qualquer corpo em movimento retilneo e uniforme (ouemrepouso)tendeamanter-seemmovimentoretilneoe52Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 5: Fora e Movimento - Leis de Newtonuniforme (ou em repouso).A inrcia pode ser pensada como uma propriedade inata da matria. Trata-se de um poder deresistir, mediante o qual cada corpo, no que depender de si, continua no seu estado presente, sejade repouso seja em movimento retilneo e uniforme. O exemplo mais simples, do ponto de vista daobservao da inrcia dos corpos, aquele dos passageiros num nibus. Quando o veculo brecado,os passageiros tendem a manter-se no seu estado de movimento. Por isso, as pessoas "vo para afrente"do nibus quando este breca. Na realidade, a mudana do estado de movimento apenas donibus. Os passageiros simplesmente tendem a manter-se como estavam. Da inrcia resultam osferimentos em acidentes no trfego.Segunda Lei de NewtonAsegundaLleideNewtonaLeiFundamentaldaMecnica.Apartir delaeatravs demtodos matemticos, podemos fazerprevises(velocidadeeposio, porexemplo)sobreomovimentodoscorpos. Qualqueralteraodavelocidadedeumapartculaatribuda,sempre,a um agente denominado fora. Basicamente,oqueproduzmudanasnavelocidadesoforasqueagemsobreapartcula. Como a variao de velocidade indica a existncia de ace-lerao, de se esperar que haja uma relao entre a fora e a acelerao. De fato, Sir Isaac Newtonpercebeu que existe uma relao muito simples entre fora e acelerao, isto , a fora semprediretamente proporcional acelerao que ela provoca:

F= ma onde m a massa do corpo.Esta relao simples entre fora e acelerao conhecida como a 2 Lei de Newton. No enunciadoda Lei de Newton, o termo tanto pode representar uma nica fora, como a fora que resulta da somadeumconjuntodeforas, ento:

Fr=ma. Estaforaresultantepodeestaratuandosobreumnico corpo ou sobre um sistema com vrios corpos, ento,m representa a massa total do sistema:Fr= mta.Afora rsultante

Frpode ser decomposta componentes ao longo dos eixos x, y e z:

Fr= Fxi + Fyj + Fzk, na qual: Fx= max, Fy= may e Fz= maz, sendo a = axi + ayj + azk.Afromamaiscorretadesedenira2LeideNewtonatravsdoconceitodavariaodomomento linear, ou quantidade de movimento: p = mv.

Fr= ma,

Fr= mvt,

Fr= pt

Fr=d pdt.53Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 5: Fora e Movimento - Leis de NewtonTerceira Lei de NewtonAs foras resultam da interao de um corpo com outro corpo. POrtanto de se esperar que se umcorpo A exerce uma fora sobre um corpo B (chamada de ao), A tambm experimente uma fora(chamada de reao) que resulta da interao com B.Newton percebeu no s que isso acontece sempre mas, indo mais longe, especicou as principaiscaractersticas das foras que resultam da interao entre dois corpos. Essa questo foi objeto da suaterceira lei, cujo enunciado :Para toda fora que surgir num corpo como resultado da interao com um segundo corpo, devesurgir nesse segundo uma outra fora, chamada de reao, cuja intensidade e direo so as mesmasda primeira mas cujo sentido o oposto da primeira.Desse modo, Newton se deu conta de trs caractersticas importantes das foras de interao entredois objetos:Emprimeirolugar, umafora nuncaaparece sozinha. Elasaparecem aospares (umadelas chamada de aoe a outra, de reao). Em segundo lugar, importante observar que cada umadessas duas foras atua em objetos distintos. Finalmente, essas foras (aos pares) tem a mesma mag-nitude mas diferem uma da outra pelo sentido: elas tm sentidos opostos uma em relao outra.54Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 5: Fora e Movimento - Leis de NewtonIndependncia das leis de Newton primeira vista pode parecer que se pode deduzir a primeira lei a partir da segunda. Na realidade,na ausncia de foras, o movimento de uma partcula uma trajetria retilnea e o movimento uniforme e isso se pode deduzir da segunda lei. O enunciado da primeira lei procura denir umconjunto de sistemas de referncia ditos inerciais. Para qualquer um desses sistemas inerciais umapartcula, no estando sob a ao de foras,tem um movimento retilneo e uniforme. Isso, comoveremos depois, no vlido para sistemas no-inerciais. Uma vez denidos os sistemas inerciais,podemosestabelecer, paraessessistemas, arelaoentreforaeacelerao(asegundalei). Asequaes de Newton podem ser escritas em coordenadas cartesianas, sob a forma mais geral como:Fx=dpxdt= md2xdt2 ,Fy=dpydt= md2ydt2,Fz=dpzdt= md2zdt2,

Fr= Fxi + Fyj + Fzk.Determinando a posio de uma partculaO problema central da mecnica se resume quele de encontrar as solues das equaes de New-ton. Trata-se de resolver, para o caso de se determinar a posio como funo do tempo, um conjuntode equaes diferenciais de segunda ordem no tempo. A diculdade principal est no fato dessasequaes estarem acopladas umas s outras.As condies iniciaisAsoluocompletadasequaesdeNewtonrequerqueinformaessobreavelocidadedapartcula e sua posio sejam conhecidas em algum instante de tempo anterior ao instante de tempoconsiderado. Emgeral admitimos que no instante de tempo t = 0 a posio e a velocidade da partculaso conhecidas:___r(t = 0) = r0v(t = 0) = v0Assim, do ponto de vista matemtico, o problema da mecnica se reduz a encontrar as soluespara as equaes de Newton dadas as condies iniciais. Isto , se forem conhecidas a velocidade ea posio da partcula no passado, podemos determin-las no futuro, uma vez conhecidas as forasagindo sobre ela.Quando a acelerao vetorial de um corpo nula, dizemos que ele est em equilbrio. Sabemos,55Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 5: Fora e Movimento - Leis de Newtonporm, que se a acelerao vetorial nula podemos ter dois casos: velocidade nula ou movimentoretilneo uniforme. No primeiro caso (velocidade nula), dizemos que o equilbrio esttico e no se-gundo (M.R.U.), dizemos que o equilbrio dinmico.Onde esto as foras?Fora gravitacional:As coisas caem porque so atradas pela Terra. H uma fora que puxa cada objeto para baixoe que tambm responsvel por manter a atmosfera sobre a Terra e tambm por deixar a Lua e ossatlites articiais em rbita. a chamada fora gravitacional. Essa fora representa uma interaoexistente entre a Terra e os objetos que esto sobre ela.Foras de sustentao:Para que as coisas no caiam preciso segur-las. Para levar a prancha o garoto faz fora paracima. Da mesma forma, a cadeira sustenta a moa, enquanto ela toma sol. Em cada um desses casos,h duas foras opostas:a fora da gravidade, que puxa a moa e a prancha para baixo, e uma forapara cima, de sustentao, que a mo do sursta faz na prancha e a cadeira faz na moa. Em geral,ela conhecida como fora normal.Densidade da gua (e demais lquidos):A gua tambm pode sustentar coisas, impedindo que elas afundem. Essa interao da gua comos objetos se d no sentido oposto ao da gravidade e medida atravs de uma fora que chamamosde empuxo hidrosttico. por isso que nos sentimos mais leves quando estamos dentro da gua. Oque sustenta bales no ar tambm uma fora de empuxo, igual que observamos na gua.Densidade do ar (e demais gases):Para se segurar no ar o pssaro bate asas e consegue com que o ar exera uma fora para cima,sucientemente grande para vencer a fora da gravidade. Da mesma forma, o movimento dos aviese o formato especial de suas asas acaba por criar uma fora de sustentao. Essas foras tambm po-dem ser chamadas de empuxo. Porm, trata-se de um empuxo dinmico, ou seja, que depende de ummovimento para existir. As foras de empuxo esttico que observamos na gua ou no caso de bales,no dependem de um movimento para surgir. As formas pelas quais os objetos interagem uns comos outros so muito variadas. A interao das asas de um pssaro com o ar, que permite o vo, porexemplo, diferente da interao entre uma raquete e uma bolinha de pingue-pongue, da interaoentre uma lixa e uma parede ou entre um m e um alnete.56Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 5: Fora e Movimento - Leis de NewtonForas de atrito:A diferena de rugosidade entre superfcies slidas oferecem foras que se opem ao movimento:foras de cisalhamento.Ilustraes:1) A gura abaixo mostra um bloco (o bloco deslizante) de massaM=3, 3kg . Ele se movelivremente sem atrito, sobre uma na camada de ar na superfcie horizontal de uma mesa. O blocodeslizante est preso a uma corda que passa em volta de uma polia de massa e atritos desprezveise tem, na outra extremidade, um segundo bloco (o bloco suspenso) de massa m=2, 1 kg. O blocosuspenso, ao cair, acelera o bloco deslizante para a direita. Determine: a) a acelerao do blocodeslizante; b) a acelero do bloco suspenso; c) a tenso na corda.57Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 5: Fora e Movimento - Leis de Newton2) A gura abaixo mostra um bloco de massam=15kg suspenso por trs cordas. Quais astenses nas cordas se 1= 28oe 2= 47o?58Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 5: Fora e Movimento - Leis de Newton3) A gura abaixo mostra um bloco de massa m = 15 kg seguro por uma corda, sobre um planoinclinado sem atrito. Se =27o. Determine:a) a tensao na corda; b) a forca e exercida pelo planosobre o bloco; c) a acelerao do bloco.59Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 5: Fora e Movimento - Leis de Newton4) A gura ao lado mostra dois blocos ligados por uma corda, que passa por uma polia de massae atritos desprezveis. Fazendo m = 1, 3 kg e M= 2, 8 kg. Determine a tenso na corda e o mduloda acelerao (simultnea) dos dois blocos.60Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 5: Fora e Movimento - Leis de NewtonExerccios:1) O lsofo grego Aristteles (384 a.C.- 322 a.C.) armava aos seus discpulos: Para manterum corpo em movimento, necessrio a ao contnua de uma fora sobre ele.Esta proposio verdadeira ou falsa? Justique!2) correto armar que os planetas mantm seus movimentos orbitais por inrcia? Justique!3) Um homem empurra um caixote para a direita, com velocidade constante, sobre uma superfciehorizontal. Desprezando-se a resistncia do ar, o diagrama que melhor representa as foras que atuamno caixote :4) Uma pessoa est empurrando um caixote. A fora que essa pessoa exerce sobre o caixote igual e contrria fora que o caixote exerce sobre ela. Com relao a essa situao assinale a alter-nativa correta:(a) a pessoa poder mover o caixote porque aplica a fora sobre o caixote antes de ele poder anularessa fora.(b) a pessoa poder mover o caixote porque as foras citadas no atuam no mesmo corpo.(c) a pessoa poder mover o caixote se tiver uma massa maior do que a massa do caixote.(c) a pessoa ter grande diculdade para mover o caixote, pois nunca consegue exercer uma forasobre ele maior do que a fora que esse caixote exerce sobre ela.5) O vento empurra a porta de um quarto e, ao moviment-la, faz a maaneta descrever um movi-mento circular uniforme. durante esse movimento, pode-se armar que a fora resultante que atuasobre a maaneta:(a) nula(b) perpendicular direo de sua velocidade.(c) tem a mesma direo de sua velocidade, mas com sentido contrrio.(d) tem a mesma direo e sentido de sua velocidade .6) Um corpo de massa 5Kg, inicialmente em repouso, sofre a ao de uma fora constante de30 N. Qual a velocidade do corpo (em m/s) depois de 5 s?(a) 5 (b) 10 (c) 25 (d) 30 (e) 4261Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 5: Fora e Movimento - Leis de Newton7) A armativa errada :(a) Uma partcula est em "equilbrio"quando est em "repouso"ou em "movimento retilneo uni-forme".(b) A resultante das foras que agem sobre uma partcula em equilbrio nula.(c) Quando um corpo cai para Terra, a Terra cai para o corpo.(d) Quando um corpo est apoiado na superfcie da Terra, e portanto, em contato com ela, as forasque a Terra exerce sobre o corpo so:uma de ao distncia (o peso do corpo) e outra de contato(fora normal)(e) quando um homem sobre patins empurra uma parede para frente, ele adquire um movimento paratrs e a parede continua em repouso, porque a fora que o homem exerce sobre a parede menor quea fora que a parede exerce sobre o homem.8) Considere as seguintes situaes:I. Um carro, subindo uma rua de forte declive, em movimento retilneo uniforme.II. Um carro, percorrendo uma praa circular, com movimento uniforme.III. Um menino, balanando-se em uma gangorra, ao atingir o ponto mais alto de sua trajetria.Considerando essa informaes, pode-se armar que nula a resultante das foras em:(a) I (b) III (c) I e III (d) II e III (e) I, II e III9) Todas as alternativas contm um par de foras de ao e reao, EXCETO:(a) a fora com que a Terra atrai um tijolo e a fora com que o tijolo atrai a Terra.(b) a fora que uma pessoa, andando, empurra o cho para trs e a fora com que o cho empurra apessoa para frente.(c) a fora com que um avio, empurra o ar para trs e a fora com que o ar empurra o avio parafrente.(d) a fora com que um cavalo, puxa uma carroa e a fora com que o carroa puxa o cavalo.(e) o peso de um corpo colocado sobre uma mesa horizontal e a fora normal da mesa sobre ele.10) Uma fora constante atuando sobre um certo corpo de massa M produziu uma acelerao de4 m/s2. Se a mesma fora atuar sobre outro corpo de massa igual a M/2 , a nova acelerao ser, emm/s2:(a) 16 (b) 8 (c) 4 (d) 2 (e) 162Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanCaptulo 6Atrito e suas propriedadesPodemos perceber a existncia da fora de atrito e entender as suas caractersticas atravs de umaexperincia muito simples. Tomemos uma caixa bem grande, colocada no solo, contendo madeira.Podemos at imaginar que, menor fora aplicada, ela se deslocar. Isso, no entanto, no ocorre.Quando a caixa car mais leve, medida que formos retirando a madeira, atingiremos um ponto noqual conseguiremos moviment-la. A diculdade de mover a caixa devida ao surgimento da forade atrito Fat entre o solo e a caixa.Vrias experincias como essa nos levams seguintes pro-priedades da fora de atrito (direo, sentido e mdulo):Direo:As foras de atrito resultantes do contato entre os dois corpos slidosso foras tangenciais superfcie de contato. No exemplo acima, adireo da fora de atrito dada pela direo horizontal. Por exem-plo, ela no aparecer se voc levantar a caixa.Sentido:A fora de atrito tende sempre a se opor ao movimento relativo das superfcies em contato. Assim, osentido da fora de atrito sempre o sentido contrrio ao movimento relativo das superfcies.Mdulo:Sobre o mdulo da fora de atrito cabem aqui alguns esclarecimentos: enquanto a fora que empurraa caixa for pequena, o valor do mdulo da fora de atrito igual fora que empurra a caixa. Elaanula o efeito da fora aplicada.Uma vez iniciado o movimento, o mdulo da fora de atrito proporcional fora (de reao) doplano N. Escrevemos:Fat= N.63Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 6: Atrito e suas propriedadesO coeciente conhecido como coeciente de atrito. Como a fora de atrito ser tanto maiorquantomaiorfor, v-sequeeleexpressapropriedadesdassuperfciesemcontato(dasuaru-gosidade, porexemplo). Emgeral, devemosconsiderardoiscoecientesdeatrito: umchamadocinemtico,c e outro, esttico,e. Em geral,e>c, reetindo o fato de que a fora de atrito ligeiramente maior quando o corpo est a ponto de se deslocar (atrito esttico) do que quando ela estem movimento (atrito cinemtico).O fato de a fora de atrito ser proporcional fora de reao normal representa a observao deque mais fcil empurrar uma caixa medida que a vamos esvaziando. Representa tambm por queca mais difcil empurr-la depois que algum se senta sobre ela (ao aumentar o peso,Ntambmaumenta).Podemos resumir o comportamento do mdulo da fora de atrito em funo de uma fora externaaplicada a um corpo, a partir do grco ao lado.Note-se nesse grcoque, para uma pequena fora aplicadaaocorpo, aforadeatritoigual mesma. Aforadeatritosurge to somente para impedir o movimento. Ou seja, elasurgeparaanularaforaaplicada. Noentanto, issovaleatumcertoponto. Quandoomdulodaforaaplicadafor maior doque Feat= eNocorpose desloca. Esse ovalor mximoatingidopelaforadeatrito. Quandoocorposedesloca, aforade atritodiminui, se mantmconstante e oseuvalor Fcat=cN.Origem da fora de atritoA fora de atrito se origina, em ltima anlise, de foras inter-atmicas, ouseja, daforadeinteraoentreostomos. Quandoas superfcies esto em contato, criam-se pontos de aderncia ou co-lagem (ou ainda solda) entre as superfcies. o resultado da foraatrativa entre os tomos prximos uns dos outros. Se as superfciesforem muito rugosas, a fora de atrito grande porque a rugosidadepode favorecer o aparecimento de vrios pontos de aderncia, comomostra a gura abaixo.Isso diculta o deslizamento de uma superfcie sobre a outra. Assim, a eliminao das imper-feies (polindo as superfcies) diminui o atrito. Mas isto funciona at um certo ponto. medidaque a superfcie for cando mais e mais lisa o atrito aumenta.Aumenta-se, no polimento, o nmerode pontos de solda. Aumentamos o nmero de tomos que interagem entre si. Pneus carecasreduzem o atrito e, por isso, devem ser substitudos. No entanto, pneus muito lisos (mas bem consti-tudos) so utilizados nos carros de corrida.64Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 6: Atrito e suas propriedadesFora de atrito no cotidianoA fora de atrito muito comum no nosso mundo fsico. ela que torna possvel o movimentoda grande maioria dos objetos que se movem apoiados sobre o solo. Vamos dar trs exemplos:Movimento dos animaisOs animais usam as patas ou os ps (o caso do homem) para se movimentar. O que esses membrosfazem comprimir o solo e for-lo ligeiramente para trs. Ao faz-lo surge a fora de atrito. Comoela do contra (na direo contrria ao movimento), a fora de atrito surge nas patas ou ps impul-sionando os animais ou o homem para frente.Movimento dos veculos a motorAs rodas dos veculos, cujo movimento devido queima de combustvel do motor, so revestidaspor pneus. A funo dos pneus tirar o mximo proveito possvel da fora de atrito (com o intuitode tirar esse proveito mximo, as equipes de carros de corrida trocam freqentemente os pneus). Ospneus, acoplados s rodas, impulsionam a Terra para trs. O surgimento da fora de atrito impulsionao veculo para frente.Quando aplicamos o freio vale o mesmo raciocnio anterior e a fora de atritoatua agora no sentido contrrio ao do movimento do veculo como um todo.Impedindo a derrapagemAfora de atrito impede a derrapagemnas curvas, isto , odeslizamentode uma superfcie dos pneus sobre a outra (oas-falto).Superaquecimento por atritoUma estrela cadente, apesar do nome, no emite luz prpria.Muitasvezes soobjetos dotamanhodeumgrodeareiaque, aoen-trar naatmosferadaTerra, seincendeiaesevaporizapelocalorintensocausadopeloatritocomoar. Aenergialiberadatograndequepossvel enxergar aluminosidadeagrandesdistn-cias.Aquecimento por atritoAs naves espaciais so dotadas de estrutura adequada de materiais especiais para evitar a sua destru-io no reingresso na atmosfera. O atrito causa um calor excessivo,que poderia ser fatal para osastronautas.65Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 6: Atrito e suas propriedadesAlgumas aplicaes prticas explorando a fora de atritoIlustraes:1) Um bloco de massa60kg est em repouso, apoiado sobre uma superfcie horizontal spera,com a qual possui um coeciente de atrito=1, 20. Quanto vale a fora de atrito exercida pelasuperfcie sobre o bloco.2) Um armrio de massa 50 kg est sendo empurrado por uma fora de 10 N e no se move.a) Faa o diagrama mostrando todas as foras que atuam no armrio.b) Quanto vale a fora de atrito exercida pelo cho sobre o ele?3) O bloco representado na gura abaixo pesa 200 N, e est submetidoa uma fora vertical, para baixo, de 50 N. O coeciente de atrito estticovale 0, 40. Qual o valor da fora

Fque faz o bloco car na iminncia de semover?4) Determine a acelerao do bloco do problema anterior, sabendo que o corpo abandonado dorepouso no ponto A. Dados: g= 10 m/s2, m = 6 kg, = 0, 6, sin = 0, 6 e cos = 0, 8.5) OcorpoAmostradonaguraconstitudodematerial homog-neoetemmassade2, 5kg. Considerando-sequeocoecientedeatritoesttico entre a parede e o corpo Avale 0, 20 e que g = 10 m/s2,calcule o valor mnimo da fora para que o corpo que emequi-lbrio.66Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 6: Atrito e suas propriedadesMais exerccios:1) Uma fora horizontal

F de mdulo 53 Nempurra umbloco de massa 2, 2 kg contra uma parede vertical. Ocoe-ciente de atrito esttico entre o bloco e a parede 0, 60 e odinmico0, 40. Considerequeinicialmenteoblocoestemre-pouso.a) o bloco se mover?b) quanto vale a fora que a parede exerce sobre o bloco?2) Deseja-se determinar os coecientes de atrito estticoe cintico entre uma caixa e uma prancha. Coloca-se,ento, a caixa sobre a prancha, que levantada gradual-mente, como mostra a gura. Quando o ngulo de incli-nao 28o, a caixa comea a deslizar descendo 2, 53 mao longo da prancha em 3, 92 s. Ache os coecientes deatrito.3) Os dois blocos, m = 16 kg e M = 88 kg es-to livres para se moverem. O coeciente de atrito es-ttico entre os blocos e= 0, 38, mas a superfcieabaixo de M lisa, sem atrito. Qual o mdulo dafora mnima horizontal

F necessria para segurar mcontraM?4) Um bloco de4, 4kg colocado sobre um outro de5, 5kg.Para que o bloco de cima escorregue sobre o de baixo, mantido xo,uma fora horizontal de 12 N deve ser aplicada ao bloco de cima. Oconjunto dos blocos agora colocado sobre uma mesa horizontal sematrito. Encontre:a) a fora mxima horizontal Fque pode ser aplicada ao bloco infe-rior para que os blocos se movam juntos;b) a acelerao resultante dos blocos;c) o coeciente de atrito esttico entre os blocos.67Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidadeTuiuti doParanFsica Geral I - Notas de AulaCaptulo 6: Atrito e suas propriedadesExerccios Avaliativos 3:1) Explique por que as rodas de um carro carregado derrapam menos do que quando ele est vazio.2) Um corpo de peso 30 N pressionado por uma fora de 40 Ncontra uma superfcie vertical,conforme gura abaixo. Se o coeciente de atrito esttico entre o corpo e a superfcie 0, 8, qual sera fora de atrito exercida pela superfcie sobre o corpo?3) A um bloco de 4, 4 kg e B um bloco de 2, 6 kg. Os coe-cientes de atrito esttico e atrito cintico entre A e a mesa so 0, 18 e0, 15 respectivamente.a) Determine a massa mnima de um bloco C que deve ser colocadosobre A para impedi-lo de desl