física estatística - fotões e a radiação do corpo negro · o corpo negro corpo com volume v,...
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Fısica estatısticaFotoes e a radiacao do corpo negro
MEFT, IST
“A scientific truth does not triumph by convincing its opponents and makingthem see the light, but rather because its opponents eventually die and a new
generation grows up that is familiar with it.”
Max Planck (1858–1947)
O corpo negro
• Corpo com volume V , cujas paredes se mantem atemperatura T .
• Corresponde a fazer uma cavidade num material, fazer vacuona cavidade e aquecer o material ate uma dada temperatura.
• Os atomos das paredes emitem e absorvem continuamenteradiacao electromagnetica.[originada pela agitacao termica das partıculas → aceleracaode partıculas carregadas]
• Queremos conhecer as propriedades da radiacaoelectromagnetica no interior da cavidade na situacao deequilıbrio.
Sobre a natureza da radiacao do corpo negro
Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:
• homogeneo;
• isotropico.
• independente da polarizacao.
• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!
Em resumo
⇒ o campo de radiacao so depende de T !
• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente
..^
Sobre a natureza da radiacao do corpo negro
Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:
• homogeneo;
• isotropico.
• independente da polarizacao.
• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!
Em resumo
⇒ o campo de radiacao so depende de T !
• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente
..^
Sobre a natureza da radiacao do corpo negro
Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:
• homogeneo;
• isotropico.
• independente da polarizacao.
• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!
Em resumo
⇒ o campo de radiacao so depende de T !
• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente
..^
Sobre a natureza da radiacao do corpo negro
Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:
• homogeneo;
• isotropico.
• independente da polarizacao.
• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!
Em resumo
⇒ o campo de radiacao so depende de T !
• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente
..^
Sobre a natureza da radiacao do corpo negro
Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:
• homogeneo;
• isotropico.
• independente da polarizacao.
• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!
Em resumo
⇒ o campo de radiacao so depende de T !
• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente
..^
Sobre a natureza da radiacao do corpo negro
Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:
• homogeneo;
• isotropico.
• independente da polarizacao.
• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!
Em resumo
⇒ o campo de radiacao so depende de T !
• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente
..^
Fotoes e o campo electromagnetico
• Hamiltoneano do campo electromagnetico pode escrever-secomo uma soma de termos, cada um com a forma de umoscilador harmonico.
• Vemos o campo de radiacao como uma sobreposicao de ondasplanas de varias frequencias
• Quanticamente, cada oscilador de frequencia ω pode terenergia
(n + 1
2
)~ω, n = 1, 2, · · ·
• Associamos os fotoes, de energia ~ω, aos quanta do campoelectromagnetico.
⇒ O estado do campo electromagnetico e especificado pelosnumeros n para cada um dos osciladores ↔ pelo numero defotoes em cada frequencia.
Fotoes
• Os fotoes sao bosoes de massa nula e spin ~.
• O spin pode ter duas orientacoes independentes (paralela ouanti-paralela ao momento) ↔ onda plana electromagneticacom polarizacao circular direita ou esquerda.
• Energia E = ~ω; momento ~p = ~~k , com |~k| = ω/c (i.e.,p = E/c).
• Para cada direccao de ~k temos duas direccoes de polarizacaolinearmente independentes (~E ⊥ ~k)
• A onda associada e da forma exp[i(~k ·~r − ωt
)]
Densidade de estados
• Impondo condicoes de fronteira periodicas num cubo devolume V = L3 (cf. aula 18)
~k =2π
L~n
onde ~n e um vector cujas componentes podem tomar osvalores 0,±1,±2, · · ·
• Os valores de ~p estao distribuıdos numa rede de passo h/L
• Um elemento de volume d3p contem (L/h)3d3p =(V /h3)d3p valores de p.
[No limite V →∞,∑
p →∫
(V /h3)d3p]
Porque sao os fotoes mais simples de tratar..^
• A energia total e dada por
Enp,a =∑p,a
~ωnp,a
onde np,a e o numero de fotoes de momento ~p e polarizacao~a, ω = pc/~ e np = 0, 1, 2, · · ·
• Normalmente o conjunto np,a esta sujeito a restricao∑p,a np,a = N...
• ... mas o numero de fotoes e indefinido: os fotoes podem serabsorvidos e emitidos das paredes!
Funcao de particao
• A funcao de particao e entao
Q =∑np,a
exp (−βEnp,a)
sem nenhuma restricao em np,a.
• Obtemos, sucessivamente,
Q =∞∑
n1,n2,···=0
exp
(−β∑p,a
~ωpnp,a
)=∏p,a
[ ∞∑n=0
exp (−β~ωpn)
]
Q =∏p,a
1
1− exp (−β~ωp)
Numeros de ocupacao
• Os numeros medios de ocupacao sao dados por
〈np〉 = − 1
β
∂
∂Eplog Q
• Ora Ep = ~ωp e
log Q = −∑p,a
log [1− exp (−β~ωp)]
= −2∑p
log [1− exp (−β~ωp)]
• Finalmente, o numero medio de fotoes com momento p(independentemente da polarizacao), e
〈np〉 =2
exp (β~ωp)− 1
Parentesis para reforco de ideias
• A ultima expressao corresponde ao gas de Bose, simplesmentecom a fugacidade z = 1 (o factor 2 e a degenerescenciaresultante da polarizacao).
• Os parametros µ (ou z) e β sao multiplicadores de Lagrange;o primeiro corresponde a condicao de normalizacao no numerode partıculas... que agora nao existe!
• Na verdade... Q ≡ Ξ
Energia interna
• A energia interna obtem-se de
U = − ∂
∂βlog Q = 2
∑p
~ωp
1− exp (−β~ωp)exp (−β~ωp)
=∑p
~ωp1
exp (β~ωp)− 1=∑p
~ωp〈np〉
[como tinha que ser!!!]
• No limite V →∞, usando ~ωp = pc,
U =V
h3
∫d3p ~ωp〈np〉 =
2V
h3
∫ ∞0
dp 4πp2 pc
exp (−βpc)− 1
Energia interna
• A energia interna obtem-se de
U = − ∂
∂βlog Q = 2
∑p
~ωp
1− exp (−β~ωp)exp (−β~ωp)
=∑p
~ωp1
exp (β~ωp)− 1=∑p
~ωp〈np〉
[como tinha que ser!!!]
• No limite V →∞, usando ~ωp = pc,
U =V
h3
∫d3p ~ωp〈np〉 =
2V
h3
∫ ∞0
dp 4πp2 pc
exp (−βpc)− 1
Lei de Planck
• Podemos escrever o resultado anterior na forma de lei dePlanck
U
V=
∫ ∞0
dω u(ω,T )
com
u(ω,T ) =~
π2c3
ω3
exp (β~ω)− 1
• u(ω,T ) e a densidade de energia dos fotoes de frequencia ω(independentemente da polarizacao e da direccao domomento).
• Na forma adimensional, η = ~ω/kT ,
u(η,T ) =(kT )4
π2~3c3
η3
eη − 1;
U
V=
∫ ∞0
dη u(η,T )
Lei de Planck
• Podemos escrever o resultado anterior na forma de lei dePlanck
U
V=
∫ ∞0
dω u(ω,T )
com
u(ω,T ) =~
π2c3
ω3
exp (β~ω)− 1
• u(ω,T ) e a densidade de energia dos fotoes de frequencia ω(independentemente da polarizacao e da direccao domomento).
• Na forma adimensional, η = ~ω/kT ,
u(η,T ) =(kT )4
π2~3c3
η3
eη − 1;
U
V=
∫ ∞0
dη u(η,T )
Lei do deslocamento de Wien
• A funcao η3/(eη − 1) tem um maximo para η ' 2.8214
• Se a temperatura T1 o maximo de emissao ocorre para umcomprimento de onda λ1, entao a T2 ocorre para λ2 tal que
η1 = η2 ⇒ ω1
T1=ω2
T2; λ1T1 = λ2T2
λmaxT ' 2.898× 10−3 m.K
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.5
1
1.5
2
η
η3/[exp(η)-1]
Energia interna e calor especıfico
• O integral pode calcular-se (ver, por exemplo, o apendice emhttp://en.wikipedia.org/wiki/Planck’s_law
..^)∫ ∞
0dη
η3
eη − 1=π4
15
• A energia interna por unidade de volume e
U
V=
π2
15(~c)3(kT )4 ∝ T 4
• Calor especıfico (por unidade de volume)
cV =4π2
15(~c)3k4T 3 ∝ T 3
Lei de Stephan-Boltzmann
• Se abrirmos uma pequena “janela” para o mundo exterior nacavidade do corpo negro, podemos verificar as propriedades daradiacao.
• A energia que escapa por unidade de tempo, por unidade dearea, sob a forma de fotoes de frequencia ω e
I (ω,T ) =1
4π
∫dΩu(ω,T )c cos θ =
1
4u(ω,T )c
• Integrando em todas as frequencias, obtemos a lei deStephan-Boltzmann
I (T ) =
∫ ∞0
dω I (ω,T ) = σT 4 ; σ =π2k4
60~3c2
Lei de Stephan-Boltzmann
• Se abrirmos uma pequena “janela” para o mundo exterior nacavidade do corpo negro, podemos verificar as propriedades daradiacao.
• A energia que escapa por unidade de tempo, por unidade dearea, sob a forma de fotoes de frequencia ω e
I (ω,T ) =1
4π
∫dΩu(ω,T )c cos θ =
1
4u(ω,T )c
• Integrando em todas as frequencias, obtemos a lei deStephan-Boltzmann
I (T ) =
∫ ∞0
dω I (ω,T ) = σT 4 ; σ =π2k4
60~3c2
Lei de Stephan-Boltzmann
30/05/2010 21:34GlossaryImage 049.png 763!402 pixels
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σ ' 5.67× 10−8 Wm−2K−4
Equacao de estado
• A equacao de estado obtem-se de
A = −kT log Q ; P = − ∂A
∂V
• Usando os resultados anteriores,
~p =2π~
L~n =
2π~V 1/3
~n ; ωp =pc
~= 2πcV−1/3|~n|
log Q = −2∑p
log [1− exp (−β~ωp)]
= −2∑n
log[1− exp
(−β~2πcV−1/3|~n|
)]• Finalmente,
P =1
3V
∑p
~ω〈np〉 ; P =1
3
U
V
Notas finais
• A equacao de estado tambem se poderia ter obtido dePVkT = log Ξ
• Os resultados P = (1/3)(U/V ) e U ∝ T 4 podem obter-seclassicamente.
• Os valores das constantes so se podem obter com otratamento quantico.
• A lei de Planck da uma confirmacao experimental adicionalque os fotoes nao devem ter massa
..^
[a degenerescencia devido a polarizacao seria 3 e nao 2]
Notas finais
• A equacao de estado tambem se poderia ter obtido dePVkT = log Ξ
• Os resultados P = (1/3)(U/V ) e U ∝ T 4 podem obter-seclassicamente.
• Os valores das constantes so se podem obter com otratamento quantico.
• A lei de Planck da uma confirmacao experimental adicionalque os fotoes nao devem ter massa
..^
[a degenerescencia devido a polarizacao seria 3 e nao 2]