MEDICION

Las partes de este experimento son:1. Medicin y error experimental en una muestra discreta.2. Medicin y propagacin de errores.3. Grfica de los resultados experimentales, curvas de ajuste.

1.- MEDICIN Y ERROR EXPERIMENTAL (INCERTIDUMBRE)OBJETIVOSDeterminar la curva de distribucin normal en un proceso de medicin, correspondiente al nmero de frijoles que caben en un puado normal.Determinar la incertidumbre en este proceso de medicin.MATERIALES- Un tazn de frijoles.- Dos hojas de papel milimetrado.- Un tazn mediano de plstico.PROCEDIMIENTODeposite los frijoles en el tazn. Coja un puado de frijoles del recipiente una y otra vez hasta lograr su puado normal (un puado ni muy apretado ni muy suelto).

Despus coja un puado normal y cuente el nmero de granos obtenido. Apunte el resultado y repita la operacin, por lo menos 100 veces, llenando una tabla como la indicada en el ejemplo siguiente, donde el nmero de muestras (puados) es 20.

CLCULOS Y RESULTADOS1. Determine la media aritmtica de los 100 nmeros obtenidos. Esta media aritmtica es el nmero ms probable, nmp de frijoles que caben en un puado normal.

2. Determine la INCERTIDUMBRE NORMAL o desviacin estndar, (nmp), de la medicin anterior. Para ello proceda as:Sea Nk el nmero de granos obtenidos en la k-sima operacin. Halle la media aritmtica de los cuadrados de las diferencias Nk - nmp, que ser:

La raz cuadrada positiva de esta media aritmtica es el nmero (nmp), buscado; en general:

3. Grafique la posibilidad de que un puado normal contenga tantos granos de frijoles. Sean, por otra parte, r, s dos nmeros naturales. Diremos que un puado de frijoles es de clase [r, s) si tal puado contiene x frijoles y se cumple que r x < s. Sea N el nmero de veces que se realiza el experimento consistente en extraer un puado normal de frijoles, y sea n(r, s) el nmero de veces que se obtiene un puado de clase [r, s), a este nmero n(r, s) se conoce como frecuencia de la clase [r, s). Al cociente de dichos nmeros (cuando N es suficientemente grande) lo llamaremos PROBABILIDAD (r, s) DE QUE AL EXTRAER UN PUADO, STE SEA DE CLASE [n , r); es decir

La probabilidad as determinada queda mejor definida cuando ms grande sea el nmero N.Grafique tanto la probabilidad [r,r+1) como la probabilidad [r,r+2).A continuacin damos un ejemplo, con N=20, a fin de aclarar conceptos.(Atencin: este es un ejemplo artificial, pues N = 20 es demasiado pequeo).Nk : es el nmero de granos en el k-simo puado.m = puado ms pequeo M = puado ms grande

Dibuje en un plano la frecuencia versus nmero de frjoles; trace a su criterio, la mejor curva normal. A 2/3 de la altura mxima trace una recta horizontal, generndose el segmento AB.

Como usualmente (nmp) y sa tienen valores cercanos, entonces el semi ancho puede ser considerado aproximadamente como la desviacin estandar.

PREGUNTAS1. En vez de medir puados, podra medirse el nmero de frijoles que caben en un vaso, en una cuchara, etc.?.

2. Segn Ud. a qu se debe la diferencia entre su puado normal y el de sus compaeros?3. Despus de realizar los experimentos, qu ventaja le ve a la representacin de [r , r + 2) frente a la de [r, r + 1)?

4. Qu sucedera si los frijoles fuesen de tamaos apreciablemente diferentes?

5. En el ejemplo mostrado se deba contar alrededor de 60 frijoles por puado. Sera ventajoso colocar slo 100 frijoles en el recipiente, y de esta manera calcular el nmero de frijoles en un puado, contando los frijoles que quedan en el recipiente?

6. Qu sucedera si en el caso anterior colocara slo, digamos, 75 frijoles en el recipiente?

7. La parte de este experimento que exige "ms paciencia" es el proceso de contar. Para distribuir esta tarea entre tres personas Cul de las sugerencias propondra Ud.? Por qu?a. Cada participante realiza 33 34 extracciones y cuenta los correspondientes frijoles.b. Uno de los participantes realiza las 100 extracciones pero cada participante cuenta 33 o 34 puados.

8. Mencione tres posibles hechos que observaran si en vez de 100 puados extrajeran 1000 puados?

9. Cul es el promedio aritmtico de las desviaciones nk nmp ?

10. Cul cree Ud. es la razn para haber definido (nmp) en vez de tomar simplemente el promedio de las desviaciones?

11. Despus de realizar el experimento coja Ud. un puado de frijoles. Qu puede Ud. afirmar sobre el nmero de frijoles contenido en tal puado (antes de contar)?

12. Si Ud. considera necesario, compare los valores obtenidos por Ud. para (nmp) y para sa; compare con los resultados obtenidos por sus compaeros. Qu conclusin importante puede Ud. Obtener de tal comparacin?13. Mencione Ud. alguna ventaja o desventaja de emplear pallares en vez de frijoles en el presente experimento.

2.- PROPAGACIN DEL ERROR EXPERIMENTAL

OBJETIVOS- Expresar los errores al medir directamente longitudes con escalas en milmetros y en 1/20 de milmetro.- Determinar magnitudes derivadas o indirectas, calculando la propagacin de las incertidumbres. MATERIAL- Un paraleleppedo de metal.- Una regla graduada en milmetros.- Un pie de rey.

CRITERIO PRINCIPALDesignado con u. la unidad de la menor escala del instrumento de medicin, entonces la incertidumbre en esta escala ser igual a 0, 5 u.

FUNDAMENTO TERICOEn el proceso de medicin, el tratamiento de errores (tambin llamados errores) nos lleva al tema de la propagacin de stos, al buscar expresar el valor de magnitudes que se determinan indirectamente.Teniendo en cuenta que el error de medicin directa, de una magnitud x, es Ax; y que Ax x , se puede usar la aproximacin.Ax e dx(1-3)As, para cualquier magnitud indirecta (o que se mide indirectamente) por ejemplo:V = V (x, y) cuya expresin diferencial es:

podremos calcular el error de V si se conoce explcitamente V = V(x, y) y se hace las aproximacionesV = Dvx = dxy = dyPROCEDIMIENTOTome el paraleleppedo de metal y mida sus tres dimensiones con:a. Una regla graduada en milmetrosb. Un pie de reyNOTA: Estas mediciones deben estar provistas de las incertidumbres, mencionadas en el Criterio Principal.

CLCULOS Y RESULTADOSDetermine el rea total A y el volumen V del paraleleppedo.Suponga que coloca 100 paraleleppedos, apoyando uno sobre otro, formando un gran paraleleppedo, para ste determine:a. el rea total A100b. el volumen tota! V100Todas estas mediciones se registrarn en la siguiente tabla.

PREGUNTAS1. Las dimensiones de un paraleleppedo se pueden determinar con una sola medicin? ( Si / No) Cul es el procedimiento ms apropiado?

2. Qu es ms conveniente para calcular el volumen del paraleleppedo: una regla en milmetros o un pie de rey?

3.- GRFICA DE RESULTADOS DE UNA MEDICIN

OBJETIVOS- Determinar las condiciones para que un pndulo simple tenga su perodo independiente de su amplitud angular . (12)- Determinar la relacin entre el perodo y la longitud l del pndulo.- Construir funciones polinmicas que representen a dicha funcin.

MATERIALES- Un pndulo simple de 1,5 m de longitud.- Una regla graduada en mm.- Un cronmetro.- 02 hojas de papel milimetrado.

PROCEDIMIENTO1 Sostenga el pndulo de manera que el hilo de soporte forme un ngulo 0 con la vertical. Sultelo y mida el tiempo que demoran 10 oscilaciones completas, (cada oscilacin es una ida y vuelta completa). Ahora determine el significado de "para ngulos 9 suficientemente pequeos el tiempo que dura una oscilacin (o 10 oscilaciones) no depende del valor de 9". En lo que sigue supondremos que trabajamos con valores de 9 suficientemente pequeos.2 Fije una cierta longitud lk para el pndulo (10 cm lk 150 cm), y midiendo 10 oscilaciones completas determine el perodo Tk1 de dicho pndulo. Repita esto 5 veces, obteniendo Tk2 ... Tk5. Luego determine el perodo ms probable Tk de dicho pndulo como media aritmtica de las cinco mediciones anteriores.Realice todo lo anterior para k = 1, 2 , ,10 ; obteniendo as 10 puntos (T1 ,l1), (T2 ,l2), ...,(T10 , l10) , llenando siguiente tabla:

PREGUNTAS

1. Anteriormente se le ha pedido que para medir el periodo deje caer la "masa" del pndulo. Qu sucede si en vez de ello Ud. lanza la "masa"?

2. Depende el perodo del tamao que tenga la "masa"?. Explique.

3. Depende el perodo del material que constituye la "masa", (p.e.: una pesa de metal, una bola de papel, etc)?

4. Supongamos que se mide el perodo con = 5 y con =10. En cul de los dos casos resulta mayor el periodo?

5. Para determinar el perodo (duracin de una oscilacin completa), se ha pedido medir la duracin de 10 oscilaciones y de all determinar la duracin de una oscilacin. Por qu no es conveniente medir la duracin de una sola oscilacin? Qu sucedera si midiera el tiempo necesario para 50 oscilaciones?

6. Dependen los coeficientes , y de la terna de puntos por donde pasa f?

7. Para determinar , y se eligieron tres puntos. Por qu no dos? O cuatro?

8. En general, segn como elija , y obtendr un cierto valor para f. Podra Ud. elegir , y de manera que f sea mnima (aunque f no pase por ninguno de los puntos de la funcin discreta)? Puede elegir , y de manera que f = 0 ?

9. Qu puede afirmarse, en el presente experimento, con respecto al coeficiente de la funcin g(T)?

10. Cuntos coeficientes debera tener la funcin g para estar seguros de g = 0?

11. Opina Ud. que, por ejemplo usando un trozo de hilo de coser y una tuerca, puede repetir estos experimentos en su casa?

12. Tiene Ud. idea de cuntas oscilaciones puede dar el pndulo empleado, con lk=100 cm, antes de detenerse?

13. Observe que al soltar el pndulo es muy difcil evitar que la masa "rote". Modifica tal rotacin el valor del perodo? Qu propondra Ud. para eliminar la citada rotacin?

IIL FUNDAMENTO TERICOLa importancia de las mediciones crece permanentemente en todos los campos de la ciencia y la tcnica. Qu es Medir? Medir es comparar dos cantidades de la misma magnitud, tomando arbitrariamente una de ellas como unidad de medida.La magnitud a medir se representa segn la ecuacin bsica de mediciones:

En el proceso de medir, surge que tan confiable es la medicin realizada para suinterpretacin y evaluacin.La medicin es Directa e Indirecta.

Cuando se tiene por ejemplo unas diez medidas directas, expresadas con el mismo valor, entonces la variable que se mide es estable. La medida directa que no tiene un valor nico exacto se expresa de la siguiente manera:

Si se toma ms de 5 medidas directas en las mismas condiciones anteriores y stas presentan variacin en sus valores, decimos que esto corresponde a fluctuaciones que estn en un entorno o intervalo de valores. Estas diferencias indican la imposibilidad de encontrar el valor real.Las n-mediciones directas realizadas, con n grande, se pueden tratar estadsticamente mediante la Teora de la Medicin. El valor real de la medida queda expresada por:

ERRORES EN LAS MEDICIONES DIRECTAS1.- Errores Sistemticos.Son los e~:es relacionados con la ce:rez ir. crerador. -Error de paral aje (Ep), este error tiene que ver con la postura que toma el rr-rTiior para la lectura de la medicin. - Errores Ambientales y Fsicos (Ef), al cambiar las condiciones climticas, stas afectan las propiedades fsicas de los :r.strumentos: dilatacin, resistividad, conductividad, etc.Tambin se incluyen como errores sistemticos, los errores de clculo, los errores en la adquisicin automtica de datos y otros.La mayora de los errores sistemticos se corrigen, se minimizan o se toleran; su manejo en todo caso depende de la habilidad del experimentador.2.-Errores del instrumento de medicin.Son los errores relacionados con la calidad de losinstrumentos de medicin:- Error de lectura mnima (elm)? Cuando laexpresin numrica de la medicin resulta estarentre dos marcas de la escala de la lectura delinstrumento. La incerteza del valor se corrigetomando la mitad de la lectura mnima delinstrumento.Ejemplo: Lectura mnima de l/25mmELM = l/2(l/25mm) = 0,02mm - Error de cero (E0), es el error propiamente de los instrumentos no calibrados. Ejemplo: cuando se tiene que las escalas de lectura mnima y principal no coinciden, la lectura se ver que se encuentra desviada hacia un lado del cero de la escala. Si esta desviacin fuera menor o aproximadamente igual al error de lectura mnima, entonces E0 es E0= elm3.- Errores Aleatorios.Son los errores relacionados en interaccin con el medio ambiente, con el sistema en estudio, aparecen aun cuando los errores sistemticos hayan sido suficientemente minimizados, balanceadas o corregidas.Los errores aleatorios se cuantifcan por mtodos estadsticos. Si se toma n-mediciones de una magnitud fsica x, siendo las lecturas xi, x2, x3,..., xn; el valor estimado de la magnitud fsica x, se calcula tomando el promedio de la siguiente manera

La diferencia de cada medida respecto de X se llama desviacin. El grado de dispersin de la medicin, estadsticamente se llama desviacin estndar de la media a y se le calcula de la siguiente forma:

El error aleatorio Ea para un nmero pequeo de mediciones (