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UCA/FCFMeI - Fsica II, 2do.Cuat.2012, Rec1er. Parcial, 27 de Noviembre 2012, 8:00 12:00 hs

COMPLETAR ENSEGUIDAApellido y nombre Registro Comisin Firma

PRO 1 PRO 2 PRO TEO LAB SUMA NOTA Corrigi

Problemas. Dos ejercicios: valor 50 pts., mnimo para aprobar 25 pts. Transcriba resultados,frmulas, o valores numricos, en las casillas indicadas. En los espacios reservados para pasos

intermedios es obligatorioanotar una breve justificacin del resultado en cada paso. Los valores

numricos deben escribirse solamente con cifras significativas y se deben indicar las unidades.

Frmulas ilegibles, grficos incompletos, o bien justificacin omitida, se consideran parte no

resuelta del ejercicio y no dan puntaje.

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PROBLEMA 1 : Se tiene un sistema cilndrico muy largo en la direccin del eje de simetra (quellamaremos z). El mismo tiene tres componentes concntricas: un cilindro interior de radio a/2formado por un material aislante con densidad de carga uniforme 0 >0, un cascarn cilndrico

conductor de radio interior a/2y exterior a/2 aislado pero con carga total por unidad de longituddesconocida y finalmente un cascarn cilndrico aislante con densidad de carga uniforme (0/2)de radio interior a/2 y exterior a. Los valores numricos son 0 = 1 nC/m

3 y a = 1 cm.

P1a)Encuentre la componente radial del campo elctrico Er(r) para todo valor de r y grafique Er(r)/Er(r=a/2) como funcin de r/a, y halle el valor numrico de Er(a/2). Determine el potencialelctrico V(r), halle el valor numrico de V(0). Suponga V(r)=0.Sugerencia: debe determinarla carga del cilindro conductor usando esta ltima condicin sobre el potencial, por lo que le

sugerimos usar un valor Qcondde la carga desconocida del conductor al aplicar la Ley de Gauss y

escribir V(r) en funcin de esa incgnita.

a/2

a/2

a

Vista superior (eje z saliente)

z

a/2a/ 2

a

Vista lateral

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Frmulas: Valores numricos:(indique unidades)

0r/(20 ) 0

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Justificacin:

i) Campo elctrico:

Debido a la simetra cilndrica del problema, tenemos E(r) = Er(r), donde r es la coordenadaradial y el versor radial en un sistema de coordenadas cilndricas con eje z coincidente con eleje de simetra del sistema. Elegimos como superficie Gaussiana S a un cilindro (conntrico conel sistema) de altura h y radio r arbitrario. Aplicando la Ley de Gauss a esta superficie tenemos

2rhE(r)=Q(r)/0, donde Q(r) es la carga encerrada por S.

Para 0

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Valores numricos :

Er(a/2)= 0a/(40 ) = (10-9C/m3)*(10-2m)/[4*(8.85*10-12C2/(N m2))] = [1/(4*8.85)]*10 N/C =

0.2825 V/mV(0) = 0a

2ln(2)/(80)= (10-9C/m3)*(10-2m)2ln(2)/[8*(8.85*10-12m2C2/N)]=

[ln(2)/(8*8.85)]*10-1V =9.7902*10-4V=0.98 mV

Grfico :

Er(r)/ Er(a/2):0

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Evaluamos primeromJmJNmCmmCa /10*550.3/10*)85.8/()/10*85.8/()10()/10(*/ 15142212422390

420

===

Entonces

mJa /10*389.1)256/( 17042

0

=

mJa /10*560.7]8/5)2)[(ln32/( 18042

0

=

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PROBLEMA 2 : Se tiene un capacitor de placas planas paralelas cuadradas de lado L, separadaspor una distancia d. El capacitor se dispone horizontalmente, como indica la figura. Se carga elcapacitor mediante una f.e.m. V, se desconecta la batera y luego se introduce desde la derecha unalmina de material dielctrico de constante capaz de llenar completamente el espacio entre placas(dimensiones d*L*L) (ver figura). Datos numricos: V= 1 kV, L = 20 cm, d=5 mm, = 1.4. Ignoreefectos gravitatorios. . Todas sus respuestas deben estar expresadas en trminos de los datos del

problema (V,L,d,), constantes universales y eventuales variables como x.

P2a)Calcule la energa potencial del capacitorU(x) para una posicin cualquiera deldielctrico x (ver figura). Calcular lafuerza elctricaF(x) sobre el dielctrico. Determine losvalores numricos de U(0)=U(x=0) y F(0)=F(x=0), donde F(x) es la componente x deF(x).Grafique U(x)/U(0) en funcin de x/L .Frmula F(x)= - 0LV

2(-1)/{2d [x/L+(1-x/L)]2}i U(x)= 0L2V2/{2d[x/L+(1-x/L)]}

Valornumrico

F(0)= -36.1 N U(0)= 25.3 J

x

L

d

Vista lateral: ambas placas poseen una extensin L entrante a la figura

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Justificacin:

La carga del capacitor, constante durante todo el proceso, es Q=C0V , donde C0 = 0L2/d es la

capacidad en ausencia de dielctrico. En la situacin de la figura, con el dielctrico llenando laregin a la derecha de x, la capacidad total C(x) se obtiene mediante dos capacitares en

paralelo, de capacidades 0xL/d (izquierda) y 0(L-x)L/d (derecha). C(x)= 0xL/d+ 0(L-x)L/d= C0 [x/L+(1-x/L)].i) Energa Potencial

La energa potencial electrosttica del capacitor es

U(x)=Q2/(2C(x))=(C0V)2/{2 C0 [x/L+(1-x/L)]}= C0V

2/{2[x/L+(1-x/L)]}U(x)= 0L

2V2/{2d[x/L+(1-x/L)]}

U(x)/U(0)= /[x/L+(1-x/L)] (se grafica con = 1.4)

Valor numrico: U(0)= 0L2V2/(2d)=(8.85*10-12F)*(2*10-1m)2*(103V)2/[2*(5*10-3

m)*1.4]=(8.85*4/1.4)*10-6J= 25.26*10-6J = 25.26 J.

ii) Fuerza

F(x)=F(x)i, con F(x)=-dU(x)/dx= C0V2(1/L-/L)/{2[x/L+(1-x/L)]2}

F(x) = -C0V2(-1)/{2L[x/L+(1-x/L)]2}= -0L

2V2(-1)/{2dL[x/L+(1-x/L)]2}

Expresin til: F(x) = F(0)2/[x/L+(1-x/L)]2

Valor numrico:F(0) = - 0LV

2(-1)/(2d2) = -(8.85*10-12F)*(2*10-1m)*(103V)2*0.4/[2*(5*10-3m)*(1.4)2]= - (8.85*0.4)/(5*(1.4)2)*10-4N= -0.3612*10-4N = -36.12 N.

P2b)Calcule el trabajo W(x) realizado por la fuerza elctrica para mover la placa dielctricadesde la posicin inicial L hasta una posicin final arbitraria x (con 0

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(m=100 gr) suponiendo que parte del reposo. Calcule los valores numricos W(0) = W(x=0) yv(0) = v(x=0).

Frmula ]]/)1(/[11)][2/([)( 220 += LxdVLxW

]]/)1(/[11)][/([)( 220 += LxmdVLxv

Valor

numrico

W(0) = 10.1 J v(0) =1.42 cm/s

Justificacin:

i) Trabajo:

[ ]22 /)1(/)0()()()())(()()( +===== LxdxFdxxFdxxFidxixFrdxFxWL

x

L

x

x

L

x

L

x

L

))r

r

[ ] ]]/)1(/[11))[1/()0((]/)1(/[1))1/()0(()( 22 +=+= LxLFLxLFxW Lx

]]/)1(/[11)][2/([)( 220 += LxdVLxW Valor numrico:

]/11)[2/()0( 220 = dVLW =(8.85*10-12F)*(2*10-1m)2*(103V)2/(2*(5*10-3m)*(1-1/1.4)=

(8.85*2*0.4/(5*1.4))*10

-5

J=1.011*10

-5

J. Alternativamente, W(0)=-F(0)L .ii) Velocidad:

Aplicando la primera forma del teorema de conservacin de la energa al dielctrico mvil,Ec=W, donde Ec es la energa cintica. Tenemos

)(2/)( 2 xWxmv = , de donde mxWxv /)(2)( = o sea ]]/)1(/[11)][/([)( 220 += LxmdVLxv

Valor numrico:

smkgJmWv /10*422.1)10/()10*011.1(*2/)0(2)0( 215 ===

Teora. Valor 30 pts., mnimo para aprobar 15. Cuatro preguntas a) hasta d). Se dan 4 respuestas

para cada pregunta y solamente una es correcta. Marque nicamente la casilla correcta.Seleccionar ms de una casilla o dejar todas en blanco equivale a no contestar la pregunta. Para

cada pregunta hay un espacio de justificacin de la respuesta elegida. Es obligatorio dar lajustificacin porque permite la evaluacin personalizada del examen. Escala de puntaje, 4 bien =

30 ptos., 3 bien = 24 ptos., 2 bien = 15 ptos. ; no se asigna puntaje a menos de dos aciertos.

Ta) Trabajo Elctrico: Sobre los lados de un marco cuadrado de material plstico de 1 mm de ladose disponen 8 cargas elctricas de signos alternados pero de igual magnitud (1 C), tal como seindica en la figura. El trabajo externo necesario para traer desde el infinito una carga de +1 C ydepositarla en el centro del cuadrado es:

1. -35.96 J2. -21.06 J3. -3.60 mJ4. -2.1 mJ

+ +

+ +

-

--

-

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Justificacin:

Si q es la carga que se trae del , Wext= U=q U = q[V(0)-V()], donde V(r) es el potencialelctrico creado por las 8 cargas de la figura y el origen del sistema de coordenadas est en elcentro del cuadrado. Se tiene V()=0 y V(0)=kq[4/(a/2) 4/(a/2)], ya que las cuatro cargas (-q)se encuentran a una distancia a/2 del centro y las cuatro cargas +q a una distancia a/2 , donde aes el lado del cuadrado y k=1/(40). Entonces Wext= -(4kq

2/a)(2-2). Numricamente Wext= -4*(8.99*109Nm2/C2)*(10-12 C2) (2-2)/(10-3m)= -4*8.99*(2-2) J = -21.06 J .

Tb) Triodo: Un triodoes un dispositivo formado por los siguientes elementos: una superficie plana(el ctodo) que emite electrones con velocidades iniciales despreciables; paralela al ctodo y a 3mm de distancia est lagrilla(o rejilla) de alambre fino y a un potencial de +18 V respecto alctodo. La estructura de la grilla es tal que permite que los electrones pasen libremente a travs deella. Una segunda superficie plana (el nodo) est 12 mm ms all de la grilla y a un potencial de+15 V con respecto al ctodo. Supondremos que los campos elctricos son uniformes (tanto el quese establece entre ctodo y grilla como el que est entre grilla y nodo). Las velocidades (en m/s)con las que los electrones cruzan la rejilla y con la cual llegan al nodo y los valores de los camposelctricos (en kV/m) entre los 3 electrodos son: (masa del electrn: 9.11*10-31Kg)

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Tc)Energa electrosttica : Se tiene una esfera aislante de radio a, con una densidad de carga de la

forma r2

, donde r es la coordenada radial mediada desde el centro de la esfera y es unaconstante positiva. La fraccin de la energa total del sistema contenida en la regin interior a laesfera (Ui/Utot) es:1. 1/32. 1/23. 1/104. 2/3

Justificacin:

Debido a la simetra esfrica de la distribucin de cargas, E=E(r)er , donde eres el versor radial de

v grilla v nodo Eizquierda

Ederecha

1. 2.51*106 2.30*106 -6 0.25

2. 5.9*105 9.1*106 6 -0.33

3. 5.93*107 5.41*107 6 -0.25

4. 7.59*106 6.93*106 -6 0.33

Justificacin:

La energa mecnica total del electrn se conserva: Etot = Ec +U(x) = cte , donde Ec= mv2/2 y

U(x)=-eV(x), donde m es la masa del electrn, v su velocidad, x su posicin (distancia medidadesde el ctodo) y V(x) el potencial electrosttico generado por el triodo. Eligiendo el cero de

potencial elctrico en x=0 tenemos Etot= 0, ya que la velocidad inicial es 0; por lo tanto mv2/2=

eV(x) , de donde mxeVxv /)(2)( = . Los dos casos considerados son:

smKgVCmdxeVdxv /10*5145.2)10*11.9/()18(*)10*6.1(*2/)(2)( 63119 =====

smKgVCmLxeVLxv /10*2954.2)10*11.9/()15(*)10*6.1(*2/)(2)( 63119 ===== donde d (3 mm) y L (15 mm) designan las posiciones de la grilla y el nodo, respectivamente.Los campos elctricos se obtienen de E(x)=-dV(x)/dx y son constantes por hiptesis, de maneraque V(x) es una funcin lineal en cada una de las regiones 0

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coordenadas esfricas. Aplicamos la Ley de Gauss eligiendo una esfera de radio r como superficie

Gaussiana, por lo tanto: 4r2E(r)=Q(r)/0 , donde )5/(44)(0

522 ==r

rdrrrrQ si 0

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Laboratorio. Cuatro preguntas. Puntaje: 20 puntos. Mnimo para aprobar: 10 puntos. Escribircon buena letra y dibujar slo en los espacios reservados. Expresar los resultados con claridad y

realizar esquemas prolijos. Dar los valores numricos con un nmero correcto de cifras

significativas, y usar unidades del Sistema Internacional.

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Resumen de InstruccionesPara el examen usted recibe un formulario, que es lo nico que entregar para la correccin y evaluacin.

Deber entregarlo firmado, con la aclaracin de su nombre y apellido en letra de imprenta y con el nmerode registro.Escriba solamente en los espacios reservados (bloques y casillas). Las respuestas tienen que anotarse continta.El examen consta de tres partes: Problemas, Teora y Laboratorio, por un total de 100 puntos.

Problemas hay dos ejercicios de 25 puntos cada uno.En Teora, cuatro preguntas por un total de 30 puntos.En Laboratorio, pasos por un total 20 puntos.

El parcial se aprueba cuando se alcanza al menos la mitad del puntaje de cada seccin.Es decir, se requiere un puntaje mnimo en cada parte: 25 en Problemas, 15 en Teora y 10 en Laboratorio.El examen se aprueba a partir de 50 puntos formados con los mnimos de cada parte.Con 70 puntos el alumno aprueba el examen parcial con concepto destacado.A partir de 80 puntos, el concepto por este examen es distinguido o sobresaliente.

Duracin: no ms de 4:00 horas.Le recomendamos que comience por los temas que le resulten ms familiares. Buen trabajo!

Algunas frmulas y valores de constantes (Sistema Internacional)

Algunas frmulas(Sistema Internacional SI) ke9 109Nm2/C2; e=1.6 10-19C

Ley de Gauss

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Condensadores. 0= 8.85 x 10-12F/m = 8.85 pF/m, Q=CV. Energa: U=CV2=Q2/C

Condensadores en paralelo: Ceq= C1+C2. Condensadores en serie: Ceq-1= C1

-1+C2-1.

Densidad de energa elctrica: ue= 0E2/2.

Ley de Ohm. V=RI. Potencia VI. Potencia disipadaP=RI2=V2/R. R= L/A (cond cilndrico)Resistencias en serie:Req=R1+R2. Resistencias en paralelo:Req

-1=R1-1+R2

-1.1 eV = 1.6*10-19JPotencial para un aro uniformemente cargado (ubicado en x=0): V(x) = kQ / [x2+a2]1/2