finite element...2 convection dominated problems - finite element appriximations to the...
TRANSCRIPT
!" ! # ! $ % ! % & '()' '(*( & % % + '()* & , - - + # % ./ 0 12 & + 3 & % + '(4* & , 5 5 6 # & & 6 7'(*'8 6 7'(*98 ! 6 7'((*8 6 76 : 8 7'(((8 %& + &1 '()4 &1 &- '(4'
;9 < =% > '((' &% 6 & + % %% #? : '((. '((/ $1 ! & ! $1 '((4 # , 6 !% , 6 !% 6! @ # % % + > ,6 > > ,6 % &1 > + %&
, A 6 , % 74)9B;9%8 # 5#! # + & " 7 " C < % DE< F ;9 / ''B3''/ 6 '(((8
!" !#$%" &'' %' #'#
(' ' ' %' #'# '' &'' ) #'# '' ( '
%' #'# $)' * "
!+ '&'' ,' "
-' ) )' #'#$)' ' '
' '
"G,"5 6!:6 $"#" @" 6$5H :$"5 :
$>
: @ "= "G. *..9 6 & 6 B'*B'>.B/'
6 5 & :
, %& '()4 & H> , %& & $> .BBB
"! 0 12 5: # .BBB
6 % %&
& % 7
%% &
%& 8
% % =%
% !%
6 '(**
& !% : 6 :
(B # ! 5 : ' (
6%% % < %
% % %&
& %&
!
6 &1 & $ :&
!
6 &1 & :& !
$ B 49B) 9B9B *
" # $%&
$ & ' %"
# (' #)
#% & 6 I # #% $ & & H $1 :
# &1 : %% % %% &1 & 1 + % 1
" J % ! % %%
%% %
Preface to Volume 3.......................................................Acknowledgements....................................................................
1 Introduction and the equations of fluid dynamics...1.1 General remarks and classification of fluid mechanicsproblems discussed in the book.................................................1.2 The governing equations of fluid dynamics..........................1.3 Incompressible (or nearly incompressible) flows..................1.4 Concluding remarks.............................................................
2 Convection dominated problems - finite elementappriximations to the convection-diffusionequation...........................................................................
2.1 Introduction...........................................................................2.2 the steady-state problem in one dimension..........................2.3 The steady-state problem in two (or three) dimensions.......2.4 Steady state - concluding remarks.......................................2.5 Transients - introductory remarks.........................................2.6 Characteristic-based methods..............................................2.7 Taylor-Galerkin procedures for scalar variables...................2.8 Steady-state condition..........................................................2.9 Non-linear waves and shocks..............................................2.10 Vector-valued variables......................................................2.11 Summary and concluding...................................................
3 A general algorithm for compressible andincompressible flows - the characteristic-basedsplit (CBS) algorithm......................................................
3.1 Introduction...........................................................................3.2 Characteristic-based split (CBS) algorithm..........................3.3 Explicit, semi-implicit and nearly implicit forms....................3.4 ’Circumventing’ the Babuska-Brezzi (BB) restrictions..........3.5 A single-step version............................................................3.6 Boundary conditions.............................................................
3.7 The performance of two- and single-step algorithms onan inviscid problems...................................................................3.8 Concluding remarks.............................................................
4 Incompressible laminar flow - newtonian andnon-newtonian fluids......................................................
4.1 Introduction and the basic equations....................................4.2 Inviscid, incompressible flow (potential flow)........................4.3 Use of the CBS algorithm for incompressible or nearlyincompressible flows..................................................................4.4 Boundary-exit conditions......................................................4.5 Adaptive mesh refinement....................................................4.6 Adaptive mesh generation for transient problems................4.7 Importance of stabilizing convective terms...........................4.8 Slow flows - mixed and penalty formulations.......................4.9 Non-newtonian flows - metal and polymer forming..............4.10 Direct displacement approach to transient metalforming.......................................................................................4.11 Concluding remarks...........................................................
5 Free surfaces, buoyancy and turbulentincompressible flows.....................................................
5.1 Introduction...........................................................................5.2 Free surface flows................................................................5.3 Buoyancy driven flows..........................................................5.4 Turbulent flows.....................................................................
6 Compressible high-speed gas flow...........................6.1 Introduction...........................................................................6.2 The governing equations......................................................6.3 Boundary conditions - subsonic and supersonic flow...........6.4 Numerical approximations and the CBS algorithm...............6.5 Shock capture......................................................................6.6 Some preliminary examples for the Euler equation..............6.7 Adaptive refinement and shock capture in Eulerproblems.....................................................................................
6.8 Three-dimensional inviscid examples in steady state..........6.9 Transient two and three-dimensional problems...................6.10 Viscous problems in two dimensions.................................6.11 Three-dimensional viscous problems.................................6.12 Boundary layer-inviscid Euler solution coupling.................6.13 Concluding remarks...........................................................
7 Shallow-water problems.............................................7.1 Introduction...........................................................................7.2 The basis of the shallow-water equations............................7.3 Numerical approximation......................................................7.4 Examples of application.......................................................7.5 Drying areas.........................................................................7.6 Shallow-water transport........................................................
8 Waves...........................................................................8.1 Introduction and equations...................................................8.2 Waves in closed domains - finite element models...............8.3 Difficulties in modelling surface waves.................................8.4 Bed friction and other effects................................................8.5 The short-wave problem.......................................................8.6 Waves in unbounded domains (exterior surface waveproblems)...................................................................................8.7 Unbounded problems...........................................................8.8 Boundary dampers...............................................................8.9 Linking to exterior solutions..................................................8.10 Infinite elements.................................................................8.11 Mapped periodic infinite elements......................................8.12 Ellipsoidal type infinite elements of Burnnet and Holford...8.13 Wave envelope infinite elements........................................8.14 Accuracy of infinite elements..............................................8.15 Transient problems8.16 Three-dimensional effects in surface waves......................
9 Computer implementation of the CBS algorithm.....
9.1 Introduction...........................................................................9.2 The data input module..........................................................9.3 Solution module....................................................................9.4 Output module......................................................................9.5 Possible extensions to CBSflow...........................................
Appendix A Non-conservative form ofNavier-Stokes equations................................................
Appendix B Discontinuous Galerkin methods inthe solution of the convection-diffusion equation......
Appendix C Edge-based finite element forumlation...
Appendix D Multigrid methods......................................
Appendix E Boundary layer-inviscid flow coupling....
Author index....................................................................
Subject index..................................................................
. /
' % A . 6 %% %& ; H 2 + % H1 > %%
/ % 9 6= ) #> 4 > + %& 3 % D D
* C < C< % A !B
( %% 3 C + < C < 'B # % > '' = 3 % + '. %& %& = % '; = 3 % 7&8 + & >
O#L2 '/ % '9 6% + + ') >& %%= P > H1 3 '4 # 3 >2 + %&
%'* # 3 %%= '( !% .B !% % + 6%% = 6 = &6%% = $ # > %%= %&6%% = ! $ K % 6%% = 6%% = 6%% = , &6%% = H & %6%% = = 6%% = = 2 %
0 " ''
' H %& > . > & K ; / & %%= A 7L8 % !' K>
9 C#1< 5 3 % 3 & = ) & D 4 6= * % > 3 5 3 %
( > + % 3 C+ %<
'B H > %& 3 + '' > %& 3 % &'. > 3D=& &'; !% % +
6%% = 6A >
&'
# %% + % # % & % 1 &- % D %% %% L %# + +
7 &8 =% " %% % D % + %& & % # %& >- >- %& H1 % %> , H1 % % D %& # % D
F ' >>- %& D %&> % & &
+ &- D + % & F ' & > + L = > & - F ' 1K D N 7'8 # +
# 1 % % N 7.8 % N & K %2 > &2 % + %& >% D + %% %& L > L D & 6 % D & & % >% % % D K % = > ! 7"#8 &
%%& D K %2 % % 2 % &1 & %= &>
- D , % & =% % % D 7!,8 + % % %%
1 #
# 1 1 $ & % 7!% *8 & "2 + + %% !$ > K " " J D %& D % 7!% 98 % % # 1 @ # " & > H1 5 ! %% 1 & = # 1 @ 2 @ & & % + !$ # & + !, %% >% >
D + % & 1 5 :Q @ K "& & % % &1 # 1 !$ & % & + & %% 667H 6HO.'.4 6 ! & (B>'//8 %% > % & - H% 1 , + 7"! 0 128 =
1 % !$ % %
"!0 5:#
6 1 F ' & @1 $ % & &- = F ' ;!% % & & %&< & %A %AOO&O% O
&'
(' 2 3
.. ,' '' 4 3 -'/ /
# %& D & % & & % # -L # D %% D # % % & 6 1 = %% % % D
D & % D %& % D# & 2 & K & 1 % % K D D %%
& % % % & L D 7 8 # % 1 D K >>- & & L # & >- %%= K & H1 % % # D D 7% D8 D %
D %& K & 2 %& = F ' %&
N 7!% '. F '8 D N D %%= & %& %& & # % %& &1 +
K %& D D % $ % 1 $ K !% & + & K + L> %% % + % D # %%% %& % # % &>1 %& # D % D K %%= K K # + L '(9B & + % & > % F ' + % # & & & & % %%= >- %& % K % & + L 6 %% %
+ & + L F ' % 1 + & %%= % %% # + %%= + # + & # %%= % &1 & %&
& %& D D % 7!% /8 , D >%& & %%, % L &
& % # + + % + D 1 D % > 1 D %>& & & % 1 D & & & & % > %
(' 2 3
D 7D 8 & %% %& % = !% / %& D % & % > = = & # %& %# &- &
%+ !% 9A N %& & %& D>% # % %& D > L % + %&> %& % & # = D %
D %& L %& %&>% & % % K % & K & %&D & 1 % D# %& D % & K
%& D D % = % 1 % # &- - % + & % !% ) - % %& D % & % L
+ 2 & 7 8 D & & # + > D % %+ %&" %+ % D
!% / F ' % D % N $ > = & %&6 - + D D
% D 2 !% 4 %& & % > > %& D
%& % %%
& &1 % 7!% *8 % % D % % % %& %& = + &1
,' '' 4 3 -'/ /
= " %% !% * & L % % K D
%& %& D % %+ %& & & % 2 % % !% ; %& L # !%. % 3L K !% ; %& D %& &1 6 %& P %2 L %% !% ; % & %2 + = % > %
.0 #)'# 2 3 .5
# D & C< % %& 6 % & % 7 = ' . ;8
' . ; ''# % % & % % # %
+ +
.'.
# >1 + & + = F ' & % # # &
# '' .. . '. '' .. '. '; A
# '' .. ;; . '. . .; . ;' '/
(' 2 3
'9 1 % K 7''8# 3 7 8 % D K
+ # + 1 A
; .
;
')
& K K &1 1 1 % = P
'' .. ;; '' .. ;; '4# N 1 78 % # &
# + %
; B '*
N &1 B % % 7 B & + % %8 C < D K 7')8
7'*8
.
;
B
'(
. .; B '(&
# :R %
.; ''B
& 7'(8 & # & = 1
B ''' 7 %% N= B8
.
;
''.
% %& B
#)'# 2 3
&
.
;
.
;
''.&
6 & % %& D !% '. F ' &2 % %&%& > D D & N %
D C > <
D & D + 7, ''8 K
# B '';
B '';&
& & K& &
x3; (z)
x1; (x)
x2; (y)
dx1; (dx)
dx3; (dz)dx2; (dy)
# ..
(' 2 3
% % K
B ''/
7''.8
B ''9
7''.&8 %" & & K
A
.
B
''9&
K '.. '.; % & 7 8 7 %8 7 8 # + & K 7''.&8 % "& & K & %&
7 %& D8 % 1 % & & 7 D %&8 & % & % & %
& K
''), 1
''4
%% K
& K # K % % & & $ % K
+ K # % # % D % %
''*# % 1 %
.
''(
#)'# 2 3
, +
.
'.B
& & 1 % & & 7 >
& + & 8 # D= +
'.'
% # % % #
& %+ % 7 8 % K 7''.8
'..
# & &
B '.;
%
B '.;&
% % 1 & &
# K % &
*+ , './
*
+ , './&
K 7'';8 7''98 7'.;8 % % # % 1 &
'
.
;
-
'.9
(' 2 3
' '
. .
; ;
.
'.9&
*
B
'
.
;
*
B
'.9
+
B
'
.
;
+
B
'.9
.
;
# % 7'./8 1 &#' ( 6 % & 2 = 1 C K < B# & K & D
% & & & K . # & % + % K & K % %& 1 % 6%% = 6 % > K K # & =% %& & 1 = #
#)'# 2 3
= > K %& >% D D % ,
K % & %+
%&A
& %& & % %A
& )* & > , > & D
=& D %& 31 K D& + % # &- & 1# & & % 31 K % % %& & & D % 2 %& % >% %& = 5 % % # % % & )* 7 D D
1 8, K % A
, - '.)
% & # %%& )* !% ) %& 7 %&8 D > K % >- % %%= !% / 6 % %%& %& D >% %
. (-'/ 6' ' -'/7 3
& 31 K % & = % SK 7'')8T
7 8 %& K A
' # %&
(' 2 3
. # % &
# + % & = % % D %% % % %& > %>% 7!% 98 & % % & %>
& K & % #
'.4
&1 # &
'
. '.4&
'
.
'.4
&
K 7'./8 7'.98 & %7 8
'
.
B '.*
'
'
B '.*&
' . ; % K & % K 7'.*8
'
.
B '.(
+ %% % %&
.
'
'
B '.(&
&
'
.
;
1
(-'/ 6' ' -'/7 3
# & K =% 7 8 !% '. F '
.8 # ''
& % 31 K & % & %& %& & 6 1
' %2 K > D & 7!% 9 4 *8 & & %
. # L K >>-
$ % 2 + D K % + % %
= % 3L3 K
!'
' ! $ , - !& '()4. :& . ) !& '(;.; ! " / ,* F ' !
'(**/ @ 5 " , 6&KK ='(4.
9 0 : '(99) : : :2 , : '(9(4 5 # &#' ( > '(44
* H ! , , H> '((;
(' 2 3
) -'/ 94 --': )9 2
0. ('
% > K %
*
+ B .'
& % > & + )/ *
..
* *
+ +..&
& K K 7.'8 7..8 * &
K D= * K % D !% ' 6 K % % %%= # % K 7.'8 7..8 D=
#
+
*
.;
K
B ./
& % % & K 1 + K &
% & & L L N & % = K &
% # K & +
& L
B .9
& %& >- =% # %% D 2
B % .)
K + %%& %& & 6 !$ !% ; K D & % % N , K 7.98 7.)8
B .4
K F ' SK 7;''8 ;'T % K 7.'8 & ( * % D= K & 7K .'8 & %%= A
&
& .*
%& & % 7 8 >>2 %
% . , .(& H1 7$& 8 = . & % %& %
) -'/
& & # % N &
%%= % %& K 7./8
% 2 > K A
B .'B
# & % # & L K A
B .''
& # & % & & & = %& & + %
L K %& !% ; F ' >>- % % # % % & % !
K 7.''8 K7.'B8 > 6 %& & % % & K 7.'8 &D = % =
&' ( "
00 ; -'/
!
2 K 7.''8
& .'.
% % 1 % 1 & # % %%= K
B .';
; -'/
B
B
B
.'/
%& B , % H1 K
2 7, .'8 % &K
' ' . ' ' .
B .'9
..')
& # & + L %%= & & %
' '.
.'4
.
.
' . '.
.'4&# & K & >
% % % & %& % =% 2 , .. & B 7 %& %& & 8" & % %& & L
& & % L & ' = '
'
' .'*
h h h
Ni Ni + 1
i – 1 i i + 1 i + 2
1
# 0.
) -'/
& %% + L % + &%%= %& & ! + L %%= + .9 # % K 7.'48 % %%=> %
'
.'(
Pe = Uh/2k = 0
= =(All exact)
Pe = 1.0
Pe = 2.5
=(Exact)
Pe = ∞
L
h
1.0
Standard Galerkin α = 0Petrov–Galerkin α = 1.0 (full upwind difference)Petrov–Galerkin α = αoptExact
Exact
# 00
; -'/
+ L %%= K & K 7.'98
. ' ' . . ' .
B ..B
* L %%= 7 8 & & & =% , .. & & ' = > & % , .. H1 + = % L % L & +
2 %= E # %& >- K + = > %%=> &
"# $ !%
# + %& 3H1 %
)( + & 0 12 ) '(49 & ! 4 % % , .' 1 , .;
..'
....
Ni
ih
or
Wi *
# 0 !"
) -'/
% F
%& & %+ 7 8A
.
..;
& %%= K K 7.'98 &
' ' ' . . ' ' ' .
B ../
B H1 %%= SK 7.'98T ' % K 7..B8 & = % L % %
% '
..9
= & # % 4 % >
''
..)
# , .. B H1 %
' ..4, ./ %
6 % % % % N 2 = & % % > , .9'B & N 2 % H1 % " & =% 3H1 &%% K 7 % + L % 8 & & + L , .) '' % # L %% K 7../8 & D
# 7
8 , .; & >
& S K 7.'/8T
&K % &
; -'/
B
B
! N & L &%
B
% B
+ # N
% * '
, .; & % 2 & L %% B
&
# % K 7.'98 7.')8 & L 3H1 % K H1 % L
'. ..*
L K 7.''8
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
02 3 4 5 6 7
Pe
α
αopt = coth Pe–1/Pe (optimal)
αcrit = 1–1/Pe (critical)
# 08 # $ %!&
) -'/
# & K % K 7.''8
B ..(
& =% K 7../8 % H1 %
15
10
5
01 x
φ x 104
– d2φdx2 + 200 dφ
dx= x2
0 < x < 1φ = 0, x = 0, x = 1
1.00
0.95
0.90
0.85
1.002.0 x
φ
– d2φdx2 + dφ
dx= x2
1 < x < 2φ = 1, x = 1φ = 0. x = 2
60x
ExactOptimal Petrov–GalerkinStandard Galerkin
# 0< #$ ' #$ ( ! ) #$ !
; -'/
% % 3H1 % % % 3H1 % + K =% , .) % + L % %%=> # % $ % K + L
L &1 & -+ & L %%= %%
K 7 H1 %8 & > % K # C < L & % &
' !!
K 7.''8 >- & % % &H '. % % % 7 >- K 8 % %% & & # 1 K 7.''8
B
B .;B
2
1
00 5 10 15
Exact and Petrov–Galerkin(α = 1) solution
Finite differenceupwind solution
x
U
Q
# 0= ! !" "
) -'/
# & %B
B
B .;'
% & >- %%= + K &1 2 7 !% ; F ' ;''. 8 # K &
B .;.
. .;.&, % = % % C&<
%%= H1
.;; F '
= 7 6%% = F '8 & K & & 3H1 %%= K 7.;;8 K 7.;'8 K 7.;.8 + K
.
. B .;/
' ' # & % K A' . ' . . ' . '
.
. . B .;9
* * * / 712138 * % (2 712148 2 % % %%
3H1 ';'/ &1 = # N K 1 # % & 1 & ! + 1 % K 7.;98 # %& & .. K K & '; K & # N %% %
% % K % %& %
; -'/
# !!( )#*+
% %% L %% 7 8 %%= % % % & H1 K %%= '9')
K 7.''8
B & .;)
.;)&
H1 %%= K B&
B B .;4
& K 2 7 !% ; F '
;'/.8
'
.
B.
B
B .;*
B
B .;(
+ %%= & K 7.;48 7.;(8
B
B ./B
# 3H1 %%= > % > 7 & , .;8 1
. ./'
%%= 3H1 & K 7..'8 7...8" 3H1
B
.
B ./.
) -'/
%% ../ =% % & &
, -$ . )/01+ 2 $
6 % % 3H1 %%= + & % %P % % & %% > K # % & " J '((*'4 & & & K % &
K 7.98 + C< 2 + =% & # 7&18 & K 7.''8
.
B ./;
& + K 2 5 &
.
.
B .//
& K =% L % , K &2 &
. 3H1 7K ..*8# % % +
% = & % > L K '4 && & % % & & 3H1
3 4$5 !!(
# 3H1 % L K %& + =% ( 0 12 % = % % % K % % %% % ../
; -'/
& =% & % %%= % =%
& = K 7.;/8 %%% K 1 K , .4, % %% %& = 3H>
1 % K 7..'8 7..;8
% '
/
./9
# % = L & 31 K '*
&- % % > %%= & % '(.B 1 % 1 5' N > %%= #% %% 3L %& %& D & " 1.'.; 6 & % & % 6%% = $
0 ; -'/ 6' '7
#
%% H1 2 > 3L K % %& % & # K > K 7.48
B ./)
i–2 i–1 i i+1 i+2
hh
Ni Ni+1
# 0> * (
) -'/
B ./)&
& "& %& % >
% 6 %& %% %%&
)6!% + "# %$ )6"#+
# & % 3H1 % ... K 7..'8 7..98 1 % 5 > %
-
.-
'.
./4
C< K % & C <# + & %
% 3H1 & % - & + & & %*(
6 & 2 & & L % & ..; 7 8 > - % & % & % N L 2 # & $1./.9 'B
& % & 1
.
'' ..-
.
-
./*
& % =% 7...8 A
% '
./(
-.
.9B
- .' ..'.
.9B&
; -'/ 6' '7
# & =% %%% % ' . % & 2 & & + , .* & & K
- 2 =% 7.9B8 & , .* % = 2 # K 7./*8 C > < 2
L % 2 # & L 7 8 - # & + K 7./)8 7 8
B .9'
2 C& L < S& + & K 7./*8T &
.9'&
-
..9'
# % L 2 N %'B./.9 % 3H1 %# L
%%& + %%= & % % =& C1 1<& , L 1 %%% .).(
h
h
U
U1
U2
U
# 05 ! * + ,
) -'/
# % & & & @ ;B ' % H1 % % % & K 7./(8, .( % K 7./)8
C> L < %% D & ;'
6 C%< & & %% =% 1 %& >- # % % ../ % & =%
.9. & 1 # %% & + % & %;' & %&
z
yx
z
yx
(a)
T (y ) T = 0
T = 0
T = 0x
y
Boundary conditions for test problem
U
θ
(b) Solutions for θ = 45° (top) andθ = 60° (bottom)
# 0? %-& ! . /
; -'/ 6' '7
& & 3H1 %
# )#*+ . )/01+ !
& %% C < 3H1 K 7./*8 & K H1 % ../ = > K % = K 7.;)8 7./.8 K 7./*8= H: 7
8
B .9;
& K > 1 % 6 7K ./B8
.- .9/
& &2 3H1 % 7K .9'8# + & '4
.
B .99
% # & > &2 % %-
- .9)
6 3H1 &2 & 7K .9'8 # & H: ,! % K & 3H1
08 " 9 # ''
.. .; % % > 3L K & 6 3H1 2
) -'/
+ & K >- ../ % 6$ % % & % = % % %& & % >%% % > % L
% % & % = % & % &2 > % % 7 8
1 & & % & + % & & > $ % K
%% & > K 7.''8
! B .94
K % K 7.'B8 & % , % %
.9* &
B .9(
& %=# 3H1 % K 7.948 7.9(8
& % %% ../
78 K >- P
7&8 %% % 7 ..;8 3 % %%
6 & % K %& C % < %& >%% % K % K # % A
' % 7 B8 & 3 3 & %+ & , .. H1
" 9 # ''
. %+ & B K % 2 D= K %& H1 K &
&' (( '
0< ' 9 ' ' ''
$
# &- % % %%& & >%% K 7.'8
A
B .)B
% > & % % & % K SK 7.'B8T
B .)'
& # % K 7.)B8
.)'&
# %& + > > > K 7.)'8 % K # & % & K & &
% &
.).
.);
# > K 7.)'8 & %
B .)/
) -'/
K % & 2 >- % % & % % % F '# K 7.).8 &
& 6 B B %
B
7.)98
S & & T# % K %% , .'B # %& > 7L 8 2
" 2 !
% % %%& > K # % L > # 3H1 %% & >1 &K -+ & > % # H1 K 7H:8 % & % K K & % & & 1& & & 3H1 & # 1 & + 7,!8 %& > K , & + %% &
% >
φ(x ); t = 0 φ(x – Ut)
x
# 0.@ 0 ! ! ! *
' 9 ' ' ''
& .)// 3H1 & K= & %% 3H1 > & N =% % & & N H1 K 7H:8 %
% & %> + # %% %& & 5 ;. ! @ ;;;/ @ 1;B;9;) ;4;* %> =% =% % & %E & %%
& E # K % L %% & -+ % + L & %& 3H1 & K # & A 7'8
% & > H1 .)P 7.8 % %% %& > %%= #3H1 " %% + &
% & & & # K & & & %%
% # & D K !% ; & =% % % & K
L & %% D K > 3L K & % 7K .'8 # %% % #3H1 % & K >% %& D %& % %% + % %& % % K %& 1 % # & %% H H: %& F '!% '. % H: % &2 N %& & # - % & !% ;, % % &
= = >% &
) -'/
0= '';/
, $ ! ! $
& % C < % & K 7.).8 %& +> %% %& % L 2 % H1 % %%= % 7 8# & + = % %
% , .''78 % > %& K 7.)'8 ,
.))
t
t
Characteristic
Updated nodeposition
Initial nodeposition
h
∆t
∆t
(a) Forward
x
x
tn+1 = tn + ∆t
tn–1 = tn – ∆t
tn
tn
(b) Backward
# 0.. 1 " ' #$ 2!) #$ . !
'';/
% %
' '
.)4
C< & % & K 7.)98 , %
' .)* % % # % & & " % >% L %& &
F ' # # % % L %&
%& %% > > > + N & , & % % & & >% % % # % & &1>
, .''7&8 %%% % # & & & &
6 $&&/9 '(4/ % K # % & 2 % & > 3H1 /)
# L % % + % %%= % L % # =% % =
, 1$# !
K L > 7.)'8 % %
.)(
B .4B
%
B .4B&
) -'/
% >- S T$ & %%= & =%
& & .4' % '
B .4. H1 2 L K ' &
+= & K
% . .4;
'
%& , .'. % & % S K 7.4'8T & # &
' & .4/6 K ' & %%= & %
%- &#&' & B .49
%' &#& .4)
& & %
% &#& .4)&
# & %= % % = # % & %
N (y )
x
N (x )
1
1
∆tt
tn + ∆ty = x + u∆t
tn
# 0.0 3
'';/
/) # & = % = 7 & 8 & & & L %%= &
, ' ! (! $# !
& % %& K 5 /939) % %% %= % > , % % N =% & # + %& '(*/94 & %& 9*)' # =% , .'; K 7.)'8
B .44
6 %% L K > K >- H1 % %%= % # 2 & K 7, .';8
'
'
'
'
.4*
K 2 =% & 2 > % 6 1 & K % % N
t
x
δ ≈ U∆t
φn + 1
φnφn(x – δ)
# 0.
) -'/
, # =%
.
.
.
."; .4(
B9'
.
'
.
.
". .*B
'
.
.
.
.*B&
& % > 7, .';8
.*' L %%= L &2 # ).);
.*.
K 7.4(837.*.8 K 7.4*8
'
'.'.
.
.
.
.
.
.
.*;
'. '.
' '.
.*;&
'. '
..*;
& K > 7 K .*B8 # #3H1 % & = &2 L , %& K 7.*;8 & %%= '. 7 =% 8
'
.
.
.
.*/
'';/
6 %%= ).
' .
.*9
# =%
". .*)
K 7.4*837.*'8 K 7.*98 7.*)8 K B9
'
' '.
.
.'.'.
.
.
'.
.'.
.'.
.*4
'. '
..**
%%= '. =% #
'. " .*( L %%= # + =%3H1 &
'
.
.
.(B
H 2 & K K 7.98A
.
.
.('
# L &2 & & L %%= L & & %%= &2 &1 %%= K 7K .('8
) -'/
6 % H1 % %%= -+ 3H1 % %%=
& .(. &# =% # &
%' / / # .(;
=% > &K
% &#&
&#
&
/
&#
&
&# &
.(/
/ # & 2 6 & % =% / #
/ '.
&
#
& .(9
# '.
&
# & .()
& & > & K # %%= K
% > K , & & % %%= & % =% K 7.(;8 & ,
> %& & 7 L 8
.(4
> %& % & % ).);
.(*
& K 7.(48 .. L > %, > 78
L & & % % % % # > &- % & /
'';/
6 % =% %% '. L 7 8 % &
.((
% %%& & +, .'/ & %& & K 7.(48
% = & = &
3 >%% K 7.(;8 % + & 1
'
// # B .'BB % .. .; &
3H1 %%= = =/ & L &
'. 1
'. .
..'B'
# & K
.'B.
! &
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
00 1 2 3 4 5 6 7
Pe
Unstable
C = αopt = coth Pe – 1/Pe
Stability limit C = 1/Pe + 1 – 1/Pe
U∆t
/h
# 0.8 -* !
) -'/
, .'/ % % K 7..98 7 ! ! * &5' % + & H1 > 2 & & % 1 % & = K 7.(;8 H1
& & & %% 3H1
&#
.
&#
K 7.)B8 = H1 &# !% & > %& K 7./*8 > &6 > %% 3H1 %
, .'9 % & D 1& % % # % & & + L := L)/ > 3H1 =% = % + L L %%
= % % % = % =% % = & % K 7.(;8
% .'B; & > K 7.(;8
'
& % =% % A
$ %' %$' $' .'B/
$ & # % % , .') % > %% % 6 & =
'';/
, &
6 3L %& & %
.'B9
(a) Original form
(b) Form after one revolution using consistent M matrix
(c) Form after one revolution using lumped mass (Lax–Wendroff)
# 0.< " " 4 * ' #$ 5") #$ 2 " ) #$ 2 " #67$
) -'/
.'B9&
7 8 & % % K L % % L K
+ % & N & =% , .. = & % & K 7.'B98 % > % & & P = & & %& %, %& % %+
% % #
B .'B) %& & %+ %& L
Lumped
C = 0.5, 1/T
Lumped
C = 0.1, 1/T
C = 0.5, 2/T C = 0.1, 2/T
Consistent
C = 0.5, 3/T
Consistent
C = 0.1, 3/T(a) Courant number = 0.5 (b) Courant number = 0.1
Lumped/consistent M Courant number = 0.5 Courant number = 0.1
# 0.= ! " + "
'';/
%+ C & < K %
B .'B4
= & , .'4 1 )9
%+ %& , .'9 +)')9 & %
Initial configuration
# 0.> " * .* 4
) -'/
0> '9,' -' ' ' ' )'/
#3H1 % # =% % H1 % 2 , & =% & # 9*))
'
.
.
.
."; .'B*
, K 7.)'8
.'B(
.
.
.''B
& K 7.'B(8 7.''B8 K 7.'B*8
'
.
.
.'''
6 &
'
.
.
.''.
K 7.'B(8 K 7.''.8 >
'
.
.
.
"; .'';
6 & K K 7.*;8 %% ! & & #3H1 % &2 # & -+ 3H1 & # #3H1 % 3L K >
&
'
.
.''/
'9,' -' ' ' ' )'/
% %%% 3H1 # #3H1 + K :=3 L % + L> =)/
05 " ;
$ #3H1 3H1 % H H: L 7> 8
.
.
.''9
% N 3H1 & -+ %& & %%% K
0? %;' )
# % % % % % & & > %& 7 =% % %% & % N 8 U % K
B .'')
% #
.''4
> & K %
B .''*
% > 6 % %& $ + &
'..
B .''(
, .'* K L % %% % % + % 1 # & % > !% ) 1 % %& D %
) -'/
φ t1 t2 t3
x
Creation of a shock
# 0.5 " ! ! *
A B C D E F G
A B C D E F G
(a) Profile at time t = 0
φ
φ
(d) Profile at time t = 2
(c) Profile at time t = 1 x
t = 2
t = 1
(b) Characteristics
Shock
2
1
φt = 0
x
t
x
x
# 0.? 3 #." ($
%;' )
# % 1 %%> %+ , .'(78 1 , .'(7&8 # L %% % . 1 %% # 1 %% + %7 = 8 1 L K &
#
#
# ## # B .'.B
B .'.'
# % 1 %% % K 7.'.'8 1 5 1 3 + 1 % K = %&
D > D 7!% ) 48 = % L K 1 %+ & % ! %%= + 1 % B & & % , ..B N %
%& % % K %& & %&+ L K # + L > A
' 2 2. L &
6 % L + &:%)4 + L & & %%)*)( # L
:%.
.'..
= , ..' %& %% $
K % :% N 1 % > & =% %
) -'/
, %& % & %& =% 2 7.'..8
:%. %%
0 .'.;
%
" %& % 1 &- C1 %< %& !% ) % >% D %
0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70Normalized length
1.3
0.8
0.3
–0.3
Adve
cted
sca
lar
(b)
θ = 1/2
θ = 0
0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70Normalized length
1.3
0.8
0.3
–0.3
Adve
cted
sca
lar
(a)
# 00@ " ! * 0* ' #$ + 8 ! 8) #$ + ! 8
%;' )
&' ((( ';)
0.@ ';) )'/
7 -$ -# $ 5
# % & #3H1 % % % .* & > K % 7K .'8 % % =% & # ))4B
'
.
.
.
.
.'./
& B ', K 7.'8
*
+
.'.9
C = 0.1, CLap = 0
C = 0.1, CLap = 1
# 00. " ."& ( ! " 6 6
) -'/
L .
.
*
+
.'.9&
&
1
*
+
.'.9
1 + + +
+
+
*
+
.'.9
%%= K 7.'./8
'
*
+
.
.
1
*
+
*
*
+
.'.)
" * % & '
'
+
*
'
*
'
.
.
1
+
+
'
.
.
1
+
+
' .'.4
6 H1 %%= %% % >%% & '
. 6 =% % >2 % B
&
&#&
&#
*
+
.
&#
1
*
+
.
&#
*
+
.'.*
';) )'/
# & % = K 7.(;8
% / / .'.(
*
7 L 8 K 7.(/8

&
/
&#
11
.
&
/
&#
&
&#
.1
&#
+ &
% &#&
.'.(&
'; & %%=
% %&4' = % & '
; ' '
; %% K % K 7.'B/8 % & K
7 -%5! ! $ -%5!-# !
# % % %%%= # =% % % & % = 1 & %3 7 5 3 %8 = =%# + H1 % %%= & %%
& K 7.'8 #
%
% & .';B
) -'/
% = %& C<
&#
.';'
% C<
& &#
*
.';'&
L =%
% %' .';. > K = % % > 1 & %" % %
& & L = # > %&
> K L '
' & + '
, ...78# & >% %3 %
& % A
# 2 !% '. =% %%= K 7.';.8
'.
.%' .';;
t
xi – 1 i i + 1tn
tn + ∆t
(a) Single-step explicit
t
xi – 1 i i + 1tn
tn + ∆t
(b) Standard predictor–corrector
t
xi – 1 i i + 1tn
tn + ∆t
(c) Local prediction–corrector(c) (two-step Taylor–Galerkin)
tn + 1/2∆t
tn + 1/2∆t
# 000 " !
';) )'/
# 3 !% ' % '. > K 7.';.8
' %''. .';/# % K > 5 3 & %%
L K 7.';B8 , ...7&8 > =% C%< '
&% . . & L
%6 %& >% #3H1 %
K 7.'8 % A
# 2 , % '. #
'.
.
+
.';9
'.
%%= =%
'.
.
.1
.1
*
+
.';9&
#
1
*
+
.
'.
.';9
# 3 & & #3H1 %%= K 7.'.*8
%
&#
*
+
&#
'.
&#'.
.';9
& % % & %
%
&#
'.
*
&#+ '.
&#'.
*
.';)
) -'/
A
' # & =% 5' / (2 71288 =% % % & % K 7.';98
. # + K 7.';)8 K 1
& % K 7.'.(8 %& %
6 % % & A
; > %& % +
&
% #
'. & K 7 8
% '.
& K 7.';98 % , '. '. 1 '. '. %%% % % > =% %
, ...78 # &%%% #* * 94)94.*B %& >% D K & & % !% ) !% ; & % 1 #3H1 % & = D # % & N & *'*. %&
7 ! % !
& % & & L & % % & & K 7.'8
1
*
+ , .';4
1 = 2 % & # K % ' %&
1
.';*
';) )'/
# & %&$ % &
K 7.'8 & L 1
& %
1 44' .';(
& = 4
4 4 .'/B K 7.';48 & 7 & L 8
44
'
, .'/'
% & 4' & 7 5 8
4' .'/. & % K % % A
B .'/;
% >% K % 6 % =% & > %& & &
B
'
B
# & K 7.'8
# & K 7.'/.8 &
' .
K % 7.'/;8
'
'
B
.
.
B
% %
) -'/
K 7.'/B8 % > % %& % # = % % %& & $ !% ; % >& % % = -+ %%
0.. "' # ''
# & & %% %% % # & = & % & + %% % - %& > %& > - # - % % & >
3L K # % % > K 3H1 % %& &2 & 3H1 H: % % & , %& % % & % %& >- % H1 %%= % 1 & += %= % % & &
% % #3H1 =P -+ %& , K D % % % 3L %& & = % !$ !
!'
' 6 $1 #@5 % O3H1 D % % %& 1 K "2 2 2 2 2 53 '((3.9( '(*.
. 5 ! 5 " > %& L K & + L "2 2 2 0 ./;399 '(9.
; 6 5 %
31 K 2 2 2 #2 22 //939; '()(/ $ % 6 + L L K & + 2 2 2 2 2 6 99'3( '(4.
9 $ # %& & %&92 2 2 2 2 37 943)* '(4/
) "! 0 12 5 H >
%& D #% D +
!'
, 7 @ 8 F 6 : '(4) 7$ '(498
4 ! , HN 65 "! 0 12 , L K + + 2 2 2 22 2, ';*(3() '(4)
* "! 0 12 @! 1 65 6 % + % K 2 2 2 22 22 ';'3// '(44
( @! "! 0 12 U + 3 % %& 2 2 2 2 2 22 '*;'3// '(44
'B 12 "! 0 12 6 % & %> + %%= L %& 2 2
2 2 2 28 '4B9>'' '(*B'' $ : 6 + L %
% & K , "
- ,* 7 #@5 8 6 F ;/ 6 '(4('. H: H F :5 6
L 3 K & + 7 +
+2 9 ')''3'4 '(4B'; #@5 @ 61 6 & C% < +
# 7 >8 %% ;*43('
"= '(*B'/ H, ! =% % 2 "2
2 2 2 2 943)B '(*9'9 @ # $1 1 6 2 H1
3L %& %% K % "2 22 2 2 6: .93/; '(*9
') #@5 : , H & 0 @ , 1& # H1
K L K + - "! , 7 # #2 #@5 8 6 (9 6'(**
'4 " J &2 K 3L % D D %& "2 2 2 2 2 282 .;;3)9'((*
'* 12 @, "! 0 12 D
% , , 7 5 H 8 F /% '; %% .9'3*; ! '(*.
'( 5 ! " J ! # %
3H1 K "2 2 2 2 2;6 .;(3). '((.
.B 5 ! & L K
H % 2 2 2 2 2 59 '//93)/ '((;.' @# " $&V 1 ! $ 6 % +
L %& 2 "2 2 269 /('39'( '((*
.. ! $ @# " 6 % + L %& "2 2 2 2 2 278 ;''3/' '(((
.; ! $ @# " 6 % + 31 K 2 2 2 2 , 52 4(3(9 '(((
./ #@5 6 $1 6 > % L , " - ,* 7 #@5 8 6;/ 6 '(4(
) -'/
.9 #@5 6 $1 6 1 3H1 , , 7 5 H
8 F / %% /43)9 ! '(*..) ! @ 6 2% " +
%& 2 "2 6; /.43// '(*4
.4 , 1& #5@ 0 @ 6 + %> D A G # %& 31 K "22 2 2 2 :; '/'3.'( '(('
.* 5 ! 6 % 3% + L K "2 2 2 2 2 22, ;.93/. '((;
.( "! 0 12 $F 5 ! FR 2K21 % D 2 2 2 2
, 3: ';.939; '((*;B ! @ F Q @ 1Q , %&
%& "2 2 2 2 2 68 .*93;'. '(*/
;' 6$ % 6 + % L %& 2 # 6 : 7$28 %% '*B3;'(**
;. @ 5 6 %3 K + 3L K "2 2 2 2 2 63 ;;'3/. '(*/
;; H, ! $ @ : K + + %&
2 2 2 2 2 39 *'3(; '(**;/ $ @ H, ! 6 & >K + >
%& %& 2 2 2 2 , : (;;3/. '(**;9 ! @ L %& D ,
, 7 5 H 8 F ) %% .9'3)' ! '(*);) ! @ # -% ( ,
!& !& '(*4
;4 !! ? @! 3H1 % % K 2 2 2 2 2 35 **;3(B' '(*)
;* !! ? @! 3H1 % >
L K 2 2 2 2 36 ..B'3'9 '(*4;( ! $ 6 5 6 3H1 K
% D "2 2 2 2 2 ;8 /(34B '((./B 6$ % 5 : 3H1 >
%& 31 K % & % "2 2 2 2 2 2,9 '/;34* '((;
/' @6 ! 6 + 3H1
L K 2 2 2 2 2 5: '4'3*' '((9/. 5 @! " J 3H1
3L K % 2 2 2 2 2 5; '/9934;
'(()/; 5 ! !% + L 3 >
3 K "2 2 2 2 2 289 '*93.'B '((*
// - H $ 6 D % % 3H1 2 2 2 2 2 68 '/434/ '(((
/9 56 6 !6 $&& , W % , 7 !6 $&& @@ ! 8 %% ;.939/
% '(4//) H H1 %& %& "2 2 2
2 2 83 */434' '(*9
!'
/4 5 #, 5 % H1 3L %& " - 7
5 F 1 5 % 8 F F 6! %% .*3;) 5 $ 1 @ '(*'
/* @ @ #, 5 L
%& & & + + L % # 2 2 2 2; *4'3*9 '(*.
/( " " % L %% 3
1 K 2 2 5: ;B(3;. '(*.9B $ " ? & : ! +
%% K D , ! 7 @5 8 F F %% /4'3* 6 : '(*.
9' @ H& , ! :& : 5 , K & K> % % 2 2 2 2, 6 '''43;) '(*/
9. $ " F , %&3%& %& 2 2 7 *(3() '(*;
9; @ $ K @ H 6 = 6%%
% = K K + : "22 " #2 2 F '.3') '(*;
9/ 6 $2 @ ! F2K2 6 %
%3L 3 2 2 2 2 2 3: .B.'3/B '(*/99 G : ! H1 >
% # 2 2 2 56 44(3() '((49) " @ : ## #2 ! H1 H1
K %> 3L K % "2 2 2 2 2 2,, ''43/' '((.
94 "! 0 12 5 :Q 12 , D
3 % , , 7 5 H 8F 9 % ' %% '3.) ! '(*/
9* 5 :Q "! 0 12 # > %&
K & + 2 2 2 2 , 6 'B/;3);'(*/
9( "! 0 12 5 :Q @ % %& D %& D , , 7
5 H 8 F ) % . %% /'3** ! '(*))B 5 :Q "! 0 12 6 % + %
%& % D "2 2 2 2 2 82 //'3)9 '(*9
)' "! 0 12 5 :Q % % D & + , 7 @5 8 F F %% '3.9 6 : '(*9
). "! 0 12 5 ! 6 %& %&D 3 # % & 2 2 2 2 , 3, *)(3*9'(()
); "! 0 12 5 ! FR 2K2 # ! $% %A 6 N D %& 2 2 22 , 52 ;9(3(. '(((
)/ := $ L "2 2 2 25
.'43;4 '()B)9 @ 6 + D
'(*)
) -'/
)) @ 6 #3H1 % %& 2 2 22 2 3, 'B'3'( '(*/
)4 6 :% 6 1 & + L 2 "22 3 '9/344 '()4
)* @ $ : $1 ,= % 3 D %
1 2 "2 2 22 ;*3)( '(4;)( # 01 , D= % D
2 "2 2 52 ;;93). '(4(
4B F @ : U% , > "2 2 2 2 2 83 *'43/9 '(*9
4' : $ "! 0 12 =% >% H1 "2 2 2 2 9 ;*43(; '((B
4. 5 :Q @ "! 0 12 : , %& D , - 7 @$ 8 F %% .439. ! "= '(*)
4; @ "! 0 12 ! %& ! " ,* & , -% (6 4* %% '.(3/4 6 '(*4
4/ "! 0 12 @0 0 ?! : @ % , % %& D , 7 @5 8 F F 6 : '(**
49 @ @ : , "! 0 12 , % 1: # %% 666>*4>BB;. 5 6 @ '(**
4) @ @ : , "! 0 12 ,
% ;> 2 2 2 2 2 39 .';939( '(**44 5 :Q @ F , D= %
7,3,!#8 31 K 2 2 2 2 , 7
'B(;3'B( '(*44* 5 :Q "! 0 12 # % =%
%& "2 2 2 2 2 68 ;';3.( '(*/
4( 5 :Q 6 % %& 2 2 2 2 2 36 'B'3'9 '(*4
*B "! 0 12 =% 7 =%8 %& >%& D K + % 5% (B9 ! #
H & '((B*' " @ 6 %%
% "2 2
2 2 2 256 '43;) '(()*. @ $1 " %
%& "2 2
2 2 2 283 '9434/ '((*
!'
1 #' #' '-'/ -'/3 9 '';/
- 6 "7 #'
. ('
+ % D K %%& & %& %& D # K %& % K K + %%& %2 %& D % %% %& > K & & L D !% /34 %2 # K & !% '
SK 7''8T & & % & K &
'
.
;'
% % %
.
;.
%+ K , D %>&
.
;;
&1 % %% %%% .
( ;/
& + D D=
;9
;)
& % P %+ % & % ( % & % & 7K ''.&8
.;
;4
1 ' B &K % %%% & # K % & D % %&A
;* # & - L >
K 7;/8 % & & 7F '8 % # % H1 %%= K >>- & & % % 3H1 % & &%% % >- & 3L K % % 3H1 % % K % K &
6 %& > K % O 76%% = 68 % & %
& D & %% % %% & D % D %% % & % % % & #3H1 % & % % 7 .'B8 % K L %& D =% % & & ,
('
%& D + & %& + =% > %%= %& > 7 > $&M 13$22 8 !% '. F ' %& &2 %& !% '. F ' & # K & & K 7;'837;*8 >
# > 2 K % D & & %& D % A
.
.
. . .
.
;(
>& > K &% % K 6%% & > K A
"
'
.
;'B
"
'
( ;''
(
(
.
;'.
5 & > & %> & K 1 K &
"
'
)
'
;';
) & &
)
;'/
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
(
'
;'9
& K # > K % % %
'.
. ' ;')
' '.
# & > K !$ & %
0 '';/ - 6 "7 #'
-$ !
# % % & ! '. %& D%& + L = 6 = % + L %% %& D & & ;.4 % = % D K & %& %& 3H1 %.*/) # + '((9 & 0 12 ! .*.( % /49'
6 ! %'. & =% %%& %& D & =% >% # % % =% %& > %& C+< %& L > %& = D % =% % % % + H & % %& && % %& & &
-$ ! ! 2
2 K 7;/8 3H1 % =% % K 3L K
'';/ - 6 "7 #'
7.''8 # & 1 7 %8 K % % % $ % K 7;/8 & >3H1 & %%
( . ;'4
. & 1 K . & K
. .
;'*
.
.
'
' .
;'(
.
.
;.B
' ;.' K 7.('8 % % % &
'
. (
.
(
;..
6 C%< & &%%= % & ' # %%= & # # % + % K 7;..8P K % % & % # %% % & + % % 6
# = &
(
.
(
;.;
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
# K & &K & =% % %% 2 % %& # C < & & % A
'
.
.
.
;./
, K 7;'8
'
.
'
'
;.9
5% ' & 1 = &
>
'
.
'
'
.
.
.
;.)
% & K K 7;./8
# & K >- & 7 8 1 H1 >% % & % % %%= K & % 2 A
78 K 7;.;8 & P
7&8 K 7;.)8 & P78 K 7;./8 & &
'
6 % & 7 8 K % ' & & 3H1 % %% K 7;)8 % 1 K
K 7;'8 7;/8 7;)8 N K % K # % % %& 1 & % % K
# % = &
1
(
.
(
;.4
'';/ - 6 "7 #'
%% & %%=
'
'
.
;.*
& %% % 6 K 7;./8, =% . X B 78 % % % 6
'
.
'
'.
.
.
;.(
# % % 6
! 2 !
# K & H1 % %2 -+ 3H1 % !% . %%= % + %
&- &-
&-
& &# & ;;B
& K
- ' . !
#
& ' . !;;'
7 &8 & 7 & ' !8$ & 1
K 7;.;8 H1 %%= 7 % 8
(
.
.
$$
(
;;.
& & K % H1 %%= 6 &2 & % &
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
& % & & & & & &2 & K 7.('8 %% &2 > & K 6 !% ' = +
K 7'48 !% ' % &
. ;
;;;
K &1 &
'
.
;;/
;;9
+ & =>% 7 & >% 8 & 7%% %8
'' .. ;; .'. ..; .;' # . . . # ;;)
= ' +
' ' ' ' B B B # ;;4 +
'' .. ;; '# ;;*# & % 7 K ;;;8
* ';' $ '
;''#
$* ;;(
$* $ ';''#
;/B
$* ';
. ' ' B B B
' . ' B B B
' ' . B B B
B B B ; B B
B B B B ; B
B B B B B ;
;/'
'' .. ;; '. .; ;' # ;/. '' K K '' =% '. '.
'';/ - 6 "7 #'
%% K 7;;;8
* $* $B* $B .
;''#
;/; = $B
$B
.
.
.
'
'
'
;//
# % & %%%> +
;/9
' . ; # ;/)
%%% = 7%8 + &
'B B
B
.B
B B
;
.
'B
B
;
.
;B
'
;/4
&% ' . ; % %, 1 & = + % &
& ;/* K 7;;B8 7;;.8 7;/;8
= A
# 8
- %'
- / /- #
;/( K 2 + !% . 3L K 7K .(/
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
.(98
% &#&
&# &
/ # $B .
;''#
&#
&#
*
;9B
(' (. (;# * % % # = / + % F ' 7 1 !% '.8 K 7;/(8 / # & 2
6 & % =% / #
/ '.
# &## & ;9'
# '.
# &# ;9.
# 1 3% K
'
.
' '
.
'
.
'
.
;9;
& % & % ,
2 %& %& D & & % 2 & K
# 1
% .'..# *- '*- '.# ;9/ & ##
. &#& %
&#
'
.
&
* &#&
&#
#- '- . ;99
& & &
'';/ - 6 "7 #'
% # 1 % K 7;.98
'
.
.
.
;9)
# + % D ' % &
=
#
- - %' *## .#
.#
;94
&#& ;9*
6 % -' #' & % ' ' % & " K 7;)8
%& 3L & 1 #1 K 3H1 %%= K 7.('8
'
.
.
;9(
& &
;)B
# 3
%'
# / / /
/# # ;)'
% & 7 & & 8
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
#
% &#&
&## &
&## &
/ &#& /
#$B .
;''#
/ '.
# &#&
&#
#*
/ '.
# &#&
;).
# # & K 2 & % % / & =
K & % K &> %;) + % '3; & %
# % $ 2 % & + : 2 % + % & 2 A
# 8
- %'
- / *## /
- #
.#
;);
% 6 =%
&#
&#
* ;)/
% & & %
# 1
% .'..# *- '*- ;)9
#
- - %' .*
## ;))
% / # L & K % 6
'';/ - 6 "7 #'
:- ;- ' - '
# =% % + 3H1 % % % & =% % %& = % . L & %% & =% >% % % . 2 >2 % %& + % % %
% % K> 7 8 % =% %& %& D
/ (!
=% '. ' ' . B % =% 3L K %%&
;)4
L & # % %& D %
& & %= %& !% ) %> =%
5!
>% %%
'. ' '
'. . '
;)*
6 & # %& % & % 3H1 =% % ' # 3L %& !% . & %%
;)(
O
.
.;4B
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
1 6 % & &
;4'
# & %%% % , %& %& %& % 2
>% N & = . K 7;9/8 7;)98 % % # . & % %> 6 & + % % % %K & - %
85 )+ !
# % & L 7 8 & % # % %
% K & % & > D &D';'9.;/B % %% & & %
! * !
# + 2 % & , ;' 2 & 2 K % & % &
h3
h2
h2
1
2
3
# . + , "
:- ;- ' - '
%& & & &% %& % + > % % & %& : %% & %% %& 7'8 = % 7.8 > % =# %% % % # K % %& % - % %& - % % 1 & & > %& 2 %%
= & %%
&2 & 3H1 % 1 % % L P %% % > %& & 1 78 % % 7&8 % % # & %& % , %& & A 7'8 = % & & P 7.8 % = & % & % # 3= & % %&
L 6 = &2 > %& % 2 % % + N % %& , %& = % L 9.
8 A')#B /C9 ' 6 7 ''
% % % & & % % $$ %& !% '.F ' 7!% / %& % 8 % %& %& & % >+ & & % 6 % $ % 6 % & % % % : =
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
K & > , % 1 K %% , 1 D %& % K % K 7;/(8 7;9/8 7;948
- %' /
# '
'..'*- '*- '.#
- - %' *## .#
;4.
# - , - 7%% %% 8
/ *## ;4; + K 7;4.8
*- '*%' *##'.# B ;4/
K 7;4.8 + &
/ *#
* '*%' *# .
-
#
! " '
.
! ";49
' . # % + >
& & =% &1 K % &
& & X & % & & # % % % 6 & + % K 7;.48
% $ K 7;498 2 $$ & & ,K 7;);8 7;)98 7;))8 %& 1 D
- %'
/ *## # '
'..'*- '*-
- - %' .*
##
;4)
6 # - , K A
/ *## ;44
*- ;4*
A')#B /C9 ' 6 7 ''
- 2 K 7;4)8 6 % 6
/ *#
* ,
-
#
! " '
.
! ";4(
' . % 6 ! $$ & %% K 7;498
K L & > > >%%= % # -+ % & + L %% 9;
< 1 #;- )'
- K 7;.)8 &
&
7 8 # %%= # %%= K 7;'8 =%
=% &
%# % ;*B & %+ % 6 K
H1 %%=
%'
&#
*
'
.
&#!
;*'
7 * =% !% ' K 7'.988 & # &2 ! + & & & %
.'.
'
'
.
.
;
;
;*.
# CL < % 1 L %% 7 #3H1 %8
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
%% % = ! & % > % ;B
%+ K 7;*'8 L & K % ;B & L & ;4 # % >% K - # - & & >% %& % >%
1 K % 6 2 L 7K ;*.8 K 62
/ *#
* '.
-
#
! " '
.
! ";*;
! >% % >%& & %& & & %& %& % = 1 % &2 &$22 1Q 9/ !% '. F ' % > >% ;4
%
= '
, /
& D %& D % 6 % % & D % , ;. %& & % % + & %+ & D & H &- &
D D + # % & , ;. 6 = L L & 1 %& %& & % 1 1
' D & %+ K =% & & &
'
. % D & & %& = & % % & & + & & & %
& = %= %& = , ;.
" A & %
" A 6 % 2 = %% = %& D ! $ + & 0 12 /4 & % 99 # % 1&
% & %& &1 % 1 L %& D L = " & % %
&
, 9
$ & D % + L %& =
SIDE(Free-stream)
INLET(Free-stream)
EXIT
SIDE(Free-stream)
SLIP or NO-SLIP
X1
X2
a b
u2 = 0t1 = 0
(parallel flow)
tb = (τ11, τ12)a
(A)
(B)
# 0 2
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
' # * A " & D 1 & % &2 "& %& D
. # )* 7 8A D %% & % %+ K 2 > & & & % %& D %& %&
; A # %& # 2 D %& & & %
# & 1 & & % D % & % %
, '!! $ 2 $ 1& !
+ & & 7'8 7.8 % " &
B 2 ;*/
# B 2
7;*98
# B 2
%% !$ %% %>
& & % & % % >% % % 6 % & & % % $ % # K %& & < % =% % & % & 7K ;9;8
'
.
' '
.
'
.
'
.
;*)
'
# & K > K 2 K 7;./8A
'
.
B ;*4
K 7;*/8 , >2 % & %+ # % &W %
B ;**
& = 5 & &
+
;*(
& & % 6 % % % ' 7 K 7;;.88
;(B
% % & %&# & & C%- <
& # % K & +
' ! & & %
%6 & & %
& & & & % %
, & 1 2 7 % 8 %+ % % ' >
% & %
K 7;(B8 % ; + % & % & % . S K 7;*)8T # 7 '.4) F ' %% !$ %&8 & % % , D & % %%= & &
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
> -'' ; #;- #' ) -'/
% > >% %& & D % 6!6BB'. # %& + , ;;78 7&8 # 2> + % & ()( '*./
1.500
1.250
1.000
0.750
0.500
Den
sity
L.E
.
0 500 1000 1500 2000 2500Iterations
Multi-step1.500
1.250
1.000
0.750
0.500
Den
sity
L.E
.
0 500 1000 1500 2000 2500Iterations
Single step
(d) (e)M = 1.2
1.5001.4501.4001.3501.3001.2501.2001.1501.1001.0501.000
Den
sity
at L
.E.
0 250 500 750 1000 1250 1500No. of iterations
Multi-stepSingle step
(c) M = 0.5
(a) (b)
# 9 4! : ' #$ ; <= >?> ) #$ 3 " ) #$ " 8 ! ! " * ) #$ " ! ) #$ " "
-'' ; #;- #' ) -'/
# & & K B9 & =% %& # % = $ % & & % K 2 6 %% & %& !$ L & , ;;78 % %
& L & > >% & , & '. D & % L & 7;49;8 74;9'8 & %+ = 6 , ;;78 78
1.250
1.000
0.750
0.500
0.250–50.00 –40.00 –30.00 –20.00 –10.00 0
Distance X
Den
sity
T–G scheme (Cs = 0.0)T–G scheme (Cs = 0.5)Present schemes (Cs = 0.0)
(a) (b)
(c) (d)M = 0.5
# 8 - 4! : ! 8' #$ 3 * ! 0 ! *) #$ 3 * ! 0 ! *)#$ 3 * ! .- ! *) #$ * " "
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
>% % % # >% & >% & D %& , ;/ % >% &
7+ B98 & & #3H1 & !$ % + L #3H1 % & & & L !% % & 7, ;/8 #3H1 L !$ + L
5 # ''
# !$ % K D !% & > >% D % %% >% L D%% 6 % % & % 6 & % !$ = % D %& >% #3H1 % %& %& %& D %& > %&
!'
' 6@ ! 31 K 2 "2 33 4/93).'()*
. 6@ ! " %%= 31K 2 "2 35 ;/'39; '()(
; H ! H , %& 31K 2 . 8 /);34* '(4.
/ H H 5& ? , %& D D % K % % ! # !6 $&& 78 0
,* '(4*9 @ H : : U% , 31 K & % "2 2 2 2 2
55 9;34; '(*.) H # ! 5: : ! % 6 + + %& 31 K 2 2 2 2 ,
6 9943(* '(*/
!'
4 " , D 2 2 2 2 , 8 (*'3(; '(*9
* @H 5 5@ %1 6 K> 3% =& % % "2 2 2 2 2 8: ';93/( '(*)
( $ 5 #1 : +
%& 2 2 2 2 , 9 )9(34B '(*)'B $ 5 , D"2
, 29 ;/(3** '(**
'' # + D % #2 2;(' 2 8 .993); '(**
'. H5 66 $ 5 : D % 2 2 2 2 , ;
'')9344 '(*('; $ 5 #! @ @ 61 >% =% +
% D %& 2 2 2 2 2 56 )493() '((.
'/ 5 5 " ! %- %& 31K 0 285, ')43*; '((;
'9 $ 5 # % >% +
%& D "2 , 33 4.93/4 '((;') !$ ? 6 % + %>
& D "2 2 22 ;9934B '((;
'4 H 5 # 6 + % %&31 K + 2 2 22 , 27 ;/(3)/ '((;
'* $F 66
K & =% + 2 . 38 9(;3)B( '((/
'( 5 1 6 6 ,
D # & 2 2 2;4*93*') '((/
.B H # ! 6 ! 6! 6 &2
U7'8U7'8 %& D 2 2 2 , 32 *;439)'((9
.' ?# H 66 = % > 2 . 52 99'3). '(()
.. 65 ! # - + "2 2 2 2 25 (B(3.' '((4
.; # - ,
>% 2 2 2 2 . , ,* :'((3..B '((*
./ - H $ #> D %
& L H1 "2 22 2 2 297 ')43(B '((*
.9 H 6 1 %
%& D "2 2 2 2 26 ;;93/) '((*.) @ $ 5 ! 6 6 >% %&
31 K %3 2 2 22 , 3: ';('3/'( '((*
.4 $F 1 66 = % D & 2 2 . 63;/(939B4 '(((
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
.* "! 0 12 5 ! D , " , - 6 ! 2 @
?1 'B'3'; '((9.( "! 0 12 5 ! 6 %& %&
D # % & 2 2 2 2 , 3, *)(3*9
'((9;B "! 0 12 $F 5 ! FR 2K2 6
%& %& D 3 # =%
2 2 2 2 , 3, **43('; '((9;' "! 0 12 "2 6 % & +
K 2 2 2 2 , 3, 'B)'3*B '((9;. "2 "! 0 122 % +
" / < !G '((9;; "! 0 12 6 D !%& %&
& 2 = 2 "2 , , & * /(3
99 F 2 " '((9;/ 5 ! FR 2K2 "! 0 12 6 % %&
DA $ %& 2 = 2 "2 ,
, & * /B(3'* F 2 " '((9;9 "2 "! 0 12 # & %% &
2 = 2 "2 , , & * '9/;3
9. F 2 " '((9;) "! 0 12 $F 5 ! % & >
% O& %& D 2 2 2 2 ,35 '3.; '(()
;4 "2 "! 0 12 6 % + %& H, H 78 , ?1 )'3*/ '(()
;* 5 ! FR 2K2 "! 0 12 H %& %& D 3 6 >% 2 2 2 2 , 37';3;. '((*
;( $F "! 0 12 # 2 5 : H %% % % D 1 2 2 2 2, 37 943*B '((*
/B 5 ! FR 2K2 "! 0 12 6 %
%& 31 K 2 " ", - +* 8==> 0 2 ;;'3/4 + & '((*
/' "! 0 12 !>&>% 7!$8
%& D %& 2 2 2 2, : ()(3(B '((*
/. "! 0 12 5 ! FR 2K2 "2 !>
&>% P # 0 2 ""<# ",- 8==> 03 % %% /3') 6 H
/; "! 0 12 !>&>%
P %& D %& 0 2 ""<# ",- 8==> 03 % %% '43.' 6 H
// "! 0 12 "2 # !$ 7>&>%8 D # 2 #2 + # 2 .
;3'. '((*/9 "! 0 12 @ 5-1 5: # # =%
2 2 2 2 65 9)93*; '(((
!'
/) "! 0 12 5 ! FR 2K2 # & %%A 6 N D %& 2 2 2 2
, 52 ;9(3(. '(((/4 "! 0 12 @ 2 @ !%& %& DA
"2 2 2 2 2 7: 'B93.' '((B
/* "! 0 12 =% >=% %& >%& D K + % + =?;4 ! # '((B
/( "! 0 12 , % D > # " 9)3)' H ! '(('
9B "! 0 12 @ %& Y = 2 2 2 2 2 53 ''*/3.B; '(('
9' "! 0 12 @ 6 =% >=% %& %& D 2 2 2 2 2 58 /9434( '((.
9. "! 0 12 " &2 !$
= % 2 2 2 2 2 7 %89; 6 @ @ % ,
K !>4!?34 '(*9
9/ , $22 @ 1Q " &2 + %%= 1 %& @ # 1& 2, F & & '(*/
99 #! % 6 D & 2 2 2 2 , 26 9*43)B* '((.
1 #' #' ' -'/ -'/ 3
(-'/ ' 3 9 ; 3
8. (' / 2
# %& %& D % D , % &1 % &- % % > D & %%% % & = % D & %%% % >& &% 6 &D % &- & F ' N
%& % K + = %& D% D & 7> 1 D8 !% 7 !% '. F '8# L K %& D
%& D % & K K 1 K K & % % % %& D K # % K D
& !% ' ;P % & %& %&
"
'
.
/'
. &1 %& & > % 2
"
( /.
& + D D=
/;! % & % A
//
& % P %+ 78 % & % ( % & % & 7K ''.&8
.;
/9
& & + K & % = % & 1 % % %& %& K & !% '. F ' !$ & &1 %
% %& 1 1 K & % # K %& & &>
% %+ # K & %
/)
3L K % !% . & % 1 & K 1 % %& D & K 7%+ 8 & % %& %
1 % K % N !% 9 & L % > & & % L % & % % &
% %> 1 & % % %& & %% + %
(-'/ ' 3
% % > D !$ & !% ; % K %% & $$ & !% '. F ' %& & = % > % % & % %
2 & % = % D %% + K & >- , %& H1 %%= & !% 4 F '
80 () -'/ 3 6- 37
& %& K K 7/'8 7/.8 &
B /4
'
( B /*
# K % +
'
'.
.;
;/(
% = 7/(8 7/48 K
.
. B /'B
%%% & & & !% 4 F ' , D % & A
/''
() -'/ 3 6- 37
1 F ' % & %% +
% K F ' &' , /' =% % % " & % =
= & + %& % > K 7/*8 + > % %
.
.
/'.
+ 7/(8
' '.
.'
B . .;
;.
B ; ;'
';
B /';
# D % & = % + % + K 7/*8 K
7/48 7/';8 K
'
.
B /'/
% &
(
/'9
#
B /')
'.
% %+ &%
'.
/'4
# & 1 = % = > D % >1 $ K % & % + &
(-'/ ' 3
# 8. 4! 1
() -'/ 3 6- 37
%& %+ D ./ :% K % & % & , /. =% D ;
%& & % %
(;
% K 7 8
'. .' .; (; B
> & =% D . & % K >-
% >%% N
Movinggrid
V /Vj r0
s
R0
R0/r0s /r0
β
= 1.6 = 0.8 = 50.5°
β
# 80 2 4! " * @ "" # - * A/$
(-'/ ' 3
8 $ " #' ' -'/ ' '-'/ 3
-$ 5!
, %& %& & K + =% % > % !$ >% 7!% ; ;;.8# =% K & % % % 7 K 8# & & % % &
!% ; % &K & % % L > # % %
% & ! &
'
/'*
%& %&
. .
./'(
K & & = %# =% % + & + # %& 1 - %
& 94 # & & % 7> % 8
# & L 5 & % # %& & & %&&
H 9 K L 5 & % + + , /; & +
# %
1 % 2 %&
2
$ " #' ' -'/ ' ' -'/ 3
# & > L 5 & B % 1 D 5 & 9BBB , // % & 2 , /9 L 5 & , /) %
5 & , /4 % % & >
L 5 & K 2 71 D8# & & & !$
H 9 + L + 7'.' '.'8
85!
1 !% ; =% % & K & % + # =% % 5 & & & % & & & % & K 7/'*8 %& 5 & 9BBB K>% * =% # & , /* # &
u1 = u∞, u2 = 0
u1 = u2 = 0 u1 = u2 = 0
u1 = u2 = 0p = 0
# 8 6 * * *
(-'/ ' 3
& K 5 & 5 & 'B BBB , /(
/ (! . !
%& %& %& =% & % % 2 & > + K
'
.
/.B
> & . + # + & % ( %
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
x2
–0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0u1
'CBS'
(a) Stokes flow, viscosity 1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
x2
–0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0u1
'Ghia''CBS'
(b) Re = 400
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
x2
–0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0u1
'Ghia''CBS'
(c) Re = 1000
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
x2
–0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0u1
'Ghia''CBS'
(d) Re = 5000
# 88 6 * ' * " B* # $
$ " #' ' -'/ ' ' -'/ 3
6 !% ; % =% %> 1 % N > & & =% % & & & %& L = = # & 'B =% % L %
88 ';:
# = & & % % 7!% ; ;)8 D % &1 % # & , /'B78 , /'B /'' & = & !% ; , 1
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–1.50 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x1
p'CBS'
(a) Stokes flow, viscosity 1
–0.01–0.02–0.03–0.04–0.05–0.06–0.07–0.08–0.09–0.10–0.11
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x1
p
'CBS'
(b) Re = 400
–0.02–0.03–0.04–0.05–0.06–0.07–0.08–0.09–0.10–0.11
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x1
p
'CBS'
(c) Re = 1000
–0.02
–0.03
–0.04
–0.05
–0.06
–0.07
–0.08
–0.09
–0.100 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x1
p
'CBS'
(d) Re = 5000
# 8< 6 * " , B* # $
(-'/ ' 3
Streamlines Pressures
(a) Stokes flow, viscosity 1, 9600 iterations
(b) Re = 400, 4400 iterations
(c) Re = 1000, 6100 iterations
(d) Re = 5000, 48000 iterations
# 8= 6 * - B* # $
';:
% % & 1 % 6 % & =% !% ; ;)
8< 1 -) '4
% + !% '/ '9 F ' & & K # % & = D % %& % + % % # % & & % %& D 5 ''3)( & + % % D
)+ .
L %%
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–1.50 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x1
p
'10x_uniform''40x_unifom'
40x_non-uniform'
# 8> , - 4! * # $ *
(-'/ ' 3
+> 7 8 > + % & 2 # + % =% %& & + & + # & & " ;.;;9'9. & & + %
x
u
u
# 85 6 * C B* 8
1 -) '4
% D %& =% > %%# & >
> # 1 > ".
x
u
u
# 8? 6 * C B*
(-'/ ' 3
& 7 .. 8
..
. .
.
./.'
+
2 % %& .. # 1 & =
h
h
hh
u
u
u
u
tn
u
# 8.@ 2! ! " + * B
# 8.. 2! ! " - ! " B
1 -) '4
% 7 , /'.8
= '
*..
./..
5 %
5 ''.B
..
./.;
=% 7/..8 7/.;8 = 6 F ' % % K & & > %& K & # 1 &
..
. /./
# %% & =% 7/./8 % %& % %
..
. /.9
X >%+ % &
N K # 2 +> > % & % $ %
x1
x2
n1 n2
emax
Exact φ
Linear φ
hn1, n2, nodesh, element size
# 8.0 9 !
(-'/ ' 3
# = % %& 7 >8
.
/.)
+ K # % % =% # 7 8
& 7 % 8 %
& /.4 2 & + & # & %%= L $ !% '/ F ' & %
+ % % % & % % > % % % % & %% K + % % & %%= % , K + & % & # % K !% '/ F ' & % & & & % & % K" % +
K & 6 = & % % %
% = %%=
.
&
.
/.*
1 -) '4
# %%= & K %%= &
&# &
.
.
B /.(
& % .
%'
&#
.
%'
&#
&
/;B
% = &
% &#& /;'
& C%<
K C > <% 1 & # + %% % '(*4 & .. & D %&4B4; $ %& & % & 6 1 & % # & = & ;(9;9) 0 12 9B )9 %& D = & % & "& % % D % = & + + = 2 & & # %% 1 . K = , /'; ,' ,. = % %
# K & %
.
.,..
.=
.,.'
/;.
#
# =
.,..
.,.'
#$$$$$$% /;;
% & % % & =
(-'/ ' 3
& % %+ A
' , . & % & =
; ! 2 = K 7/;.8
/ ! = 2 7K /;;8 & = &
9 5 & 2
# & % N K % &1 % %.. =% % # % 2 % &1 & % %
7% %& D8 = &2 % # = & %% & 1 2 D & % % 2# % - & & %%
% % & 1 = % # & >
& &1 & & >% K & % %
x1
X 1
X 2
hmin
s hmin = hmax
α
# 8. + " ,
6 & # & & 9/ 9(3). )93)4 4/3*9
1 -) '4
/ ) + .
# D D %& % & > & & K & %& , %& %& %& =% %% % &
/;/
= 2 7 28 # & =% & 2 % = K 6 % = 2 & " + 6 % = 2 && 0 12 9B =
= /;9
& B ' & = 2
1$
& + % & & + # K & & % & %% # % % & N % & & %& %& D %& %& D + % 7F %& D & K & 8" & & & &
% % & ! % & & %& & 9().)( =% &
(-'/ ' 3
# 8.8 6 * B 8 " "
1 -) '4
(!
=% %& D %& &> % % + %& D % = /*' **B , & & & & % , /'/ > & % & + %7, /'/8 & + % & + 7, /'/&8 $ = % & 1 H 9 7, /'/8
(a) Final adapted mesh, Nodes: 1514, Elements: 2830
(b) Streamlines
(a) Final adapted mesh, Nodes: 1746, Elements: 3293
(b) Streamlines
(c) Pressure contours
II Gradient based refinement
I Curvature based refinement
(c) Pressure contours
# 8.< 2! ! " B > " "
(-'/ ' 3
6 = & D &1 % % , /'9 + & & % 6 & & % % &
+ & % N F ' & % K %&
8= 1 -) #' ' ' -'/
% % % % 1 "& + & 7 ) + 8 % & % %& %" K L % & /B & A = & % , /') %& +=
& !% '9 F ' % & &
1/'/.
8> (-' /# )) '
% L &2 & !$ 5 & D # %&D % %% L %& D %& # D &2 D L 5 < &'BB 9BBB % , /'4 & 5 & # L &2 5 'BB 5 9BBB % & &2 # % &2 S %% . K 7;.;8 7;./8T %& 5 < & %& % &2
85 " 3 9 : - '
: ' %$ !
%& D % = %& /. 7 8
" 3 9 : - '
#8.=
0
4
!
*
B
8
*
%
"
&
(-'/ ' 3
K 7/'8 7/.8
B /;)
( B /;4
# & % &
.
;
/;*
%& %& %A
78 % &
With stabilization Without stabilization
With stabilization Without stabilization
(a) Re = 100
(b) Re = 5000
# 8.> + ," * B*&
" 3 9 : - '
7&8 & 78 & %
K !% ' ;
: ( ! 2
# 2 & / % %%=>
& &# /;( & % K 7/;)8 & % %
'#
B //B
& % % %%& K = 2 & & & & *) 7 !% '. F ' 86 % =
% % % % 2 & = 2 # % D '(4B*4*(
(B(.
# 2 K &
/ *
*# .$
#
,
//'
% 2 $ =
/ #$B &
* &#&
&#
&#
//.
% & % # 1 (B(.
'B4'B*# & & % % >
%& D # %%& D D & & %% % = & & & % & # !% '. F ' & % , /'* &
(-'/ ' 3
+
+
O (h ) (T3B1/3C)
O (h2) (T6/3C)
+ O (h2) (Q9/4C)
(a) Continuous p interpolation
+ O (h2) (T6 B1/3D)*
+ O (h) (Q4/1D)*
+ O (h2) (Q9/4D)*
+ O (h2) (Q9/3D)
+ O (h) (T6/1D)
(b) Discontinuous p interpolationVelocity nodePressure nodeDenotes elements failingBabuska–Brezzi test butstill performing reasonably
*
# 8.5 - * * "* "
" 3 9 : - '
% (; D (/() & % % & K B %
% D % % % % % %
1 %& % # & = %& 1
D & + + D %%
8? %; 3 9 -' '#
; 5% % ! !
D % & % & % #% & % =% %
B !' //;
B B 3 % ! % & + K7;;/8 7&8 % # & & & % &
K 7;;;8 %+ & %%% % , /'( #& =% K 7//;8 1 " , /'(7&8 & % %
% & %& 1 , , /'(78 % $ D & = & & # >% D > & # &
!
///
(-'/ ' 3
# % % % D % B %
//9
" & % D
//)# 7 D8 & & &
% K 7//'8 & & = /& %
/ / / / //4 & %
σ
ε•
µ
(a)Linear, newtonian, fluidε•
σ ∝ εm
σ
ε•
µ
(b) Non-newtonian polymers
σ
ε
|m | < 1
µ = σ/3ε
ε•
σ
ε•
µ
(c) Viscoplastic-plastic metals
σ ∝ (σy + γεm)(Bingham)
γ = 0(Ideal plasticity)
σy γ = 0
γ > 0
ε•
# 8.? - *
%; 3 9 -' '#
# % & % 7 F .8 # K 7//'8
1
#
,
//*
1 1 #
#
' 1'
,
1 1 # //(
& % & % % 7 % %
2 + 8 % + + K & L ' ' % 7 8 # + > D %% %
'(4B(4(( 6%% % &K & %*('BB'.4
%% N 2 & D & & % 'B) % = 7 % + 8 -+& # & & % % & )* % %> =% # % & C>%<'B9'B) %= %# % %
% %% & # ''9 '.* '.( % +
; 5 !
# %& #! )* + D , /.B78 %% & & += % % % , /.B7&8 % % > %& % + % 1 + & % &
(-'/ ' 3
C< D %& , /.' % = % & #& /' , = = & ';B & & D L , /'* (; # + % %& > D % &
% 7 % 8 % & %& K # & %%% K K 7/)8 K + , 1 & %&
%+ %
/9B %+ & 1 %
Prescribedvelocity
Prescribedtraction
Extrusion
Rolling
(a) Steady rate
# 80@ 2" **
%; 3 9 -' '#
Moving mesh
Extrusion
Rolling
Forging
Cutting
Sheet forming(deep drawing)
(b) Transient
# 80@
(-'/ ' 3
& &
/9B&
& K 7'(8
/9B
62 !% % = , /.' % => %& 7 % 8(;
' 78 . 7+ 8
% = , Z !78 = , Z !78
#)O' .* (B'B '.B. )4*' .9 ((BB B4; 94(4'#)$'O; ;' B/;B .B;. 494) .) .9*B '4* 4*B';#)$'O; .( B;'B '.9. 4;B* .) ..(B ')) )';(.#)O;! .4 (B.9 *'9 *4). .9 (49B B)4 *99;*
= .9 *BBB BBB [ .9 *BBB BBB [
CL
MESH I
CL
MESH I
v = 0u = 1specified
Slip boundary
Free boundary
# 80. # '$ ! *
%; 3 9 -' '#
& K 7'.8
./9B
% L % K 7/9B8 & & & %&
7 K /)8
( B /9'
# % %& & &1 & % 1 D + &1 % 1 K % % !% . % + '(4;
'(4*'B.'B; & % 'B(''B , /.. % % > %& 'B; %& & % %
& & 1 N % % '') # % % = N %
; - ! %$ $
# % %&& %& #%=% % & , /.; /./ % %% # & %
+ % % & 1 # + & & & & & =%
/9. % % % &
K 7/9'8 %+ %%
( ( B /9;
% 1 %> % =% % % !% ;
(-'/ ' 3
9 1x
= 2.
25cm
9 1x
= 3.
25cm
9 1x
= 4.
9575
cm
9 1x
= 5.
915
cm
9 1x
= 6.
15cm
T = 400K
T =
460
K
Tem
pera
ture
con
tour
s fo
r ent
ry T
= 4
00K
at in
terv
als
∆T =
4.0
K
T = 700K
T =
722
K
Tem
pera
ture
con
tour
s fo
r ent
ry T
= 7
00K
at in
terv
als
∆T =
1.5
K
y,ν
30.2
ν tan
g =
ν tro
ll = 2
8.73
cm/s
k∂T
/∂n
= α 2
(T–3
22)
k∂T
/∂n
= α 1
(T–2
95)
T =
T1
0.88
9
2.25
3.66
52.
25ν
= 0
∂T/∂
n =
0x,
u
0.633
∂T/∂
n =
0
All d
imen
sion
s in
cm
k∂T
/∂n
= α 2
(T–2
95)
C L
Hor
izon
tal
Verti
cal
(a) G
eom
etry
Nodal points
20
301.
0 –1
.0–3
.0cm
/s(b
) Vel
ocity
pro
files
(c) T
empe
ratu
re d
istri
butio
n fo
r diff
eren
t ent
ry te
mpe
ratu
res
#800
-
*
"
!
"
>/
%; 3 9 -' '#
& % 1 % & % %& =% , /.;*( %
& 1% 1 & 6% & %& & % 3 & 1% % =% , /./ %&';'';.
% % % %& & 2 %+ & % %& % %&
!% '9 F ' % =% & % ';;';/ , /./ %
U
(a) t = 0
u∆t
U
(b) t = 15∆t
30%
U
(c) t = 30∆t
60%
U
(d) t = 45∆t
90%
# 80 #* $<> ; != 9* ) #$ #$ #$ #$ ! # " $
(-'/ ' 3
Initi
al m
esh
Upd
ated
mes
h 63
6 D
OF
η =
15%
Upd
ated
mes
h 12
00 D
OF
η =
18%
Adap
tive
refin
emen
t 808
DO
F η
= 11
%Ad
aptiv
e re
finem
ent 1
242
DO
F η
= 10
%
t = 0
t = 1
.1s
t = 7
.7s
#808
#$
"
!
#
"
"*
$
%; 3 9 -' '#
% % & # %% & =
&- # % % % " % > 6: 7& 3 8';9';( %& < + & K
644
CL‘Effective’ strain (ε) t = 2.9 s
CLTemperature (T ) t = 2.9 s
0.4
0.3
0.2
0.1
2 4 6 8 10 12 14 16Time (s)
Load
(MN
)
(c) Load versus time
(b) Contours of state parameters at t = 2.9 s
0.20.2 0.8 0.8
624
623624624 624643
649
# 808 #$ ! */ 0?D3 2" =<
(-'/ ' 3
r b =
1.9
625
in
Punc
h
r c =
1.9
25in
Blan
k ho
lder
1.94
375
in
(Initi
al) 3
.60
in
0.035inRA =
1.
875
inµ 1
=
0.20
r d =
0.2
5in
Die
Geo
met
ry a
nd fi
nite
ele
men
tdi
scre
tizat
ion
of th
e bl
ank
usin
g lin
ear e
lem
ents
H =
445
T
µ 2 =
0.2
0
60 50 40 30 20 10 0
Stressσy (kips/in2)
0.05
0.15
0.25
0.35
0.10
0.20
0.30
Stra
inε
Dis
cret
ized
stre
ss-s
train
cur
ve
100 80 60 40 20 0
Punch load (kN)
20
40
60Pu
nch
trave
l (m
m)
0 Punc
h lo
ad –
pun
ch tr
avel
Num
eric
al
Expe
rimen
tal
0.5
0.3
0.1
–0.1
–0.3
–0.5
–0.7
Strain
20
40
60
800 Orig
inal
radi
al d
ista
nce
(mm
)St
rain
dis
tribu
tions
for p
unch
Trav
el =
60
mm
Expe
rimen
tal
Rad
ial s
train
Thic
knes
s st
rain
Circ
umfe
rent
ial
stra
in
z =
9.20
mm
z =
17.9
mm
z =
28.7
mm
z =
34.7
mm
z =
48.5
mm
The
arro
ws
indi
cate
the
velo
city
vec
tor
at e
ach
noda
lpo
int
µ 1 =
µ2
= 0.
20
Flat
bot
tom
pun
ch. D
efor
mat
ion
atdi
ffere
nt s
tage
s
#80<
3
!
"*
4
=
%; 3 9 -' '#
K 7/9.8 %
% 7 %% P % % %8 & D K & %%
& % % + %%& $ %& %& & % # %% & & '/B3'9; %% & & & , /.9 /.) % %&
(a) Mesh of 856 elements for sheet idealization
X
Y
(b) Mesh for establishing die geometry
# 80= 2 " * 0 " ! 0 " 4 ! 8 0 0 " ! 1 ! 8/) ?> ! ! <8:!B # ( $=/
(-'/ ' 3
; !
/(' L %& % & -+ & # & # & %& % " %& C% >&1< % %=
t = 900 s
t = 2400 s
t = 4280 s
(c) Deformed shapes of various times
# 80=
%; 3 9 -' '#
% % %& L & % '') '(*/ & D D & %& %& % D && # % %& K %= & &- = 1 ! # ,&'9/'); & "& &- & % % &1 & &
8.@ ' - --' ' '#
=% K = & > % % % # %% + % ?6. ?6; % : : :&')/')9 , %&> % N % & %& & % & %&> & %> & % =% & # &1 % & F . &1 &1 1 1 % K = % % + 1 > % % 78 1 %& %& !$ 1 7 8 % & %'))
%& % % & % 1 %& & % % # % % & & %%% % & N & 0 12 ')) , /.4 % & % & % = + % 7, /.4&8 % % K> 7, /.48 % # + K !$ + 7, /.4 8
(-'/ ' 3
, /.* & > %& & % & $ $ ')4
8.. # ''
# =% %& %% % =% & & 1 % % !% 9 %& %& & & %
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
CL
CL
CL
CL
CL
# 80> * ' #$ ) #$ " ") #$ ( ") #$ " .- ") #$ ( .- "
# ''
!'
' @ 6 H 21 D & + 2 62'3.9 '(4.
. $ @6 $ 6 D % +
2 2 2 2 2 2; ')493*( '(*;; # %1 H , - % = D , , 7 @# " "! 0 12 5
H ! #8 F . % '/ %% .)934( ! '(49/ @ "<! 6 % % D % 2 2 2 2
2 28 4)43*( '(*B
9 H H !# >5 %& D 31 K 2 "2 2 6: ;*43/'' '(*.
) 5 ! FR 2K2 "! 0 12 H %&
%& D 3 6 >% 2 2 2 2 , 37 ';3;.'((*
4 "! 0 12 5 ! FR 2K2 "2 # & % 7!$8 %A 6 N D %& 2 2
2 2 , 52 ;9(3(. '(((* 5 ! FR 2K2 "! 0 12 6 % %& 31 K 2 " "
, - +* 8==> F ' ;;'3/4 + & '((*
# 805 0 ' #$ ") #$ .- "
(-'/ ' 3
( "! 0 12 $F 5 ! FR 2K2 6 > %& %& D 3 # =% 2 2
2 2 , 3, **43('; '((9'B "! 0 12 " &2 !$
= % 2 2 2 2 2 6: *493*B .BBB
'' 6 H L 6 + % %% % D+ 3; './(39/ '(*;
'. 5 :Q "! 0 12 6% +
%& 31 K 2 2 "2 +$ , " :& '(*/
'; @ $ @ " 6% + %& % L K 2 "2 2 85 /*/39'. '(*/
'/ H, ! H & # 2 2 233 'B.*3/B '(*9
'9 "! 0 12 @ F 5 :Q ,
%& D B 2 "2 " # F '(*9
') F $ 6 = @ = % + +
K 2 ",- "2 , - 7 @ $ 8 ! "= '(*)
'4 @ # " # & 6% +
%& D "2 2 2 2 2 8; ;.43). '(*)'* "! 0 12 @ @0 0 =% 2
% P %& %& " & 7 6 8 6 49 6
'(*)'( 5 :Q "! 0 12 6% +
%& 31 K +$
, " !% '9 .*'3(* 7 $&1 "! 0 12 @H 5 6 "8 '(*) ?1
.B @, @5 $ 5& % % D
>:!?3=4 '(*).' $ @ H, ! 6% + >K +
& - 2 2 2 2 2 36 9*B3() '(*4
.. @ F "! 0 12 6% %& D % 2 "2 2 73 //(3)) '(*4
.; @ # " # & 6% + %
%& D 2 2 2 2 2 7 '.''3.* '(*4./ @ : @ "! 0 12 # H1
%& 3 "2 2 2 2 2 92
;9(3)( '(*4.9 @ @ "! 0 12 6 % + +
% D 14 # 5
666 *4>B99* '(*4.) "! 0 12 @0 0 ?! : @
%P % %& D , 7,0 >B8 @ 5 %% /*;39'. 6
: '(**.4 : , @ % +
2 2 23 '493*' '(**
!'
.* "! 0 12 @ @ : , , D !%& D K % #
"2 + - , - 6 (9 6 '(**.( $ C6 > , % > D
"2 2 2 2 2 72 ;'93/B '(**
;B @ @ : , "! 0 12 , % ;> 2 2 2 2 2 39 .';939( '(*(
;' 5 :Q 6% %& "2 2 2 2 2 78
'(93.'/ '(*(;. : 12 @# " 52 " # ! %
+ ' ! %%= "22 2 2 2 77 4(3''. '(*(
;; @# " : 12 52 #6 # !% + . 6 % "2 2 22 2 77 '';3*B '(*(
;/ : 12 @# " 52 6 + %& 31 K & % % !% "2 2 2 2 2 :6 .493;.) '((B
;9 "! 0 12 6%>D>2 3 % 2 "2 #2 2 2 28 ';43/9 '(('
;) @ &" @ 6 % + >
%& D & 2 2 2 2 2 53 49'3)9 '((';4 @ & " @ 6 % +
%& D 2 2 2 2 2 53 ''/939( '((';* 6 @ @ 2 6% %&
D % % & .> &1 2 2 2 2 2 53 *(93('( '(('
;( " @ @ & 55 #- 6%
D '(('/B @ @0 0 @ 2 "! 0 12 %
31 %& D "2 92 ;B3( '(('
/' @, 6% %& D 2 5, '(*)3(. '((.
/. @, , % + %>& D 2 5, .)443*. '((.
/; @ @ 6% ;> %&D % 2 "2 2 2,5 .)(3*9 '((.
// @ & " @ 6% =% % +
2 2 2 2 2 58 )9934B '((./9 @ 2 @ 6 .> 31
K % "2 2 2 2 2 2,2 ;993
)* '((./) 5 :Q @ $ 6% >+ ;
%& 2 2 2 2 , 26 '/B43'( '((.
/4 @ 6% K %& D"2 2 2 2 2 2,9 *;3'B) '((;
/* 52 6 % >% + "2 2 2 22 2,; ')(3*' '((;
/( 6$ % 5 : 3H1 %& 31 K % & % "2 2 2 2 2 2,9 '/;34* '((;
(-'/ ' 3
9B "! 0 12 @ 6 + % %& D 2 2 2 2 2 57 .'*(3.'B '((/
9' @# " 6 6 + %%= 31 K "2 2 2 2 2 222'*93.B. '((/
9. @# " F : 6 % + %%= 31 K 2 2 2 2 , 3, *;'39' '((9
9; " @ & @ %
%& % D 2 2 2 2 2 5: ''.;3/*'((9
9/ @ !>2 $1 : H , $ % 2 % 2 2 "2 ,
, & * '';(3/* F 2 '93.' " '((999 5 :Q % D 2 ,2 2 8, *'(3/4 '((99) " @ & @
D 2 2 2 2 2 5; 9/(3)4'(()
94 ? H & 6 # H F , 6
% & K 2 2 2 2 , 35 )4;3(B '(()
9* , H F @ % ? $ H & 6 %
% A %% " , - C=: '4/3*B'(()
9( @ !>2 $1 : H , $ 6 >% % !, " ,
- C=: '*'3*) '(())B F 6F5 $& # - 66
6 2 % 2 "2
2 2 2 25 (/'3/* '((4)' $1 : H , :
& %+ 6 , 2 2 -2 38 )'3*;
'((4). $1 : H $ &
%+ 6%% , 2 2 -2 38 *93'B( '((4); 52 6 % >% + %& 3
1 K "2 2 2 2 2 269 .;'39. '((4)/ @ +
D , 2 2 -2 38 ;/;39) '((4
)9 @ " # % D , 2 2 -2 38 '((3.'* '((4
)) $1 , @ , 2 2 2 2 ,
65 ''/;3)9 '((*)4 $1 @ , 6% >K 2 2
2 2 2 62 ('93;/ '((*
)* @ > + 31 K & & "2 22 2 2 28; '(3/* '((*
)( "! 0 12 6% % D
%& 2 2 2 2 2 67 ).(3). .BBB4B @ "!0 12 6% & 2
%& 2 2 2 92 ;B3( '(('
!'
4' ! 5& "! 0 12 @ F & % A D " 5 7
0 8 $1 %% .)*'3*4 '((94. "! 0 12 %
!% "2 2 27 (*3'B) '((9
4; "! 0 12 :2 %& % + % 2 2 2 2 2 52 2; '.43/* '((9
4/ @ H 5 & !% % "2 2 32
')*34; '(4*49 , !% > %%
F %% "2 2 36 ')434. '(*'4) @! ! 6 , , 6 %%
+ 2 2 2 2 2 32 ;.(3/4 '(*944 @ % 6 &
;> 2 2 2 2 2 3; ;4399 '((B
4* % %% # & 2 2 2#2 29 '3/9 '(('
4( 5 @ @, #% 5 5
" , - + , '((/*B " N ;>
% % & 2 2 2 2 2
57 .BB93;( '((/*' H & FF 5 H 5& &
& % 2 2 2 2 2 57'44(3*( '((/
*. " : !%& D + & 2 55 ''()3.B/ '((9
*; 5 : ? 0 6 6% % &
% , 2 2 -2 3, /434B '((9*/ $1 : H 6% .> 2 2 2
2 2 6, '(94349 '((4
*9 @, #% $ 78 . ' 5 5 !5! '(((
*) 1 #@5 = + > KA + % "2 2 2 2 2 28 );3*' '(4*
*4 "! 0 12 H& F %& D % > 7%8 D , , 7 @# " 8 F .%% .9399 ! '(49
** #@5 5: # @, : 6 + %&D 2 1 2 #2 , , ""- : %% '3) '(4)
*( "! 0 12 H& 6 % %% %& %D 2 # 2 2, '*B3; '(49
(B "! 0 12 12 # % %%
& %& # - 82 '9434( '(*.(' @# " 5 1 D , , 7 5
H @# " "! 0 128 F / % '9 %% ;B93'* ! '(*.
(. "! 0 12 @ F # 12 > = %%= 6 =% % , % "2 2 2 2 2 82 ;3.( '(*9
(-'/ ' 3
(; "! 0 12 ?! : H! %& 2 2 2 2 2 3: .'('3.B. '(*(
(/ , " + %& D 2 2 2 2 ,2 ;/43)/ '(*'
(9 , , %& D ,
, 7 5 H H, ! @# " "! 0 128F ) % 4 %% '4'3** ! '(*9
() 5: H $ ! >
% %& 2 2 2 2 , 6 .93/. '(*.
(4 5# , , >> D " 2 2: '');3( '(4.
(* 5# , , > D" 2 2: ).*3;; '(4.
(( $ 61 !! ! $ 6%% +
% D %& 2 2 "2 2 6: .4)3*/ '(4B'BB H! ! + 5 @ # % % D
L % & 2 # 2 322
9)434; '(4;'B' ! : & % %&
= 2 # 2 2 2 ;8 *)934; '(4;
'B. @# " 5 $ H ? #@ ! 6 %% + %& % >% 2 2 -2 36 /.B '(4;
'B; "! 0 12 " J @! ,* , %% 'B43.B
6 , & '(4*'B/ "! 0 12 " J @! 6 %
D + 2 2 2 2 2 27 '/(439'/ '(*'
'B9 5& & 6 % % A # A 6%% 2 2 2 #2 33 )((34B9'(*B 33 4B43'* '(*B
'B) 5 H #% , %> D & 2 2 2 2 2 23 /4394 ;*.3; '(4*
'B4 ? 21 H #% >>% D % & 2 2 2 2 2 27 (43''. '(*'
'B* "! 0 12 ! @ " J , = A % 2 2 # #2 26 '93;* '(4*
'B( 12 @,# "! 0 12 D
% , , 7 5 H 8 F /% '; %% .9'3*; ! '(*.
''B 12 @,# "! 0 12 6 % +
% > D % & % % D 2 #2 +$ ,*43'B % '(*.
''' 5 1 5 # $ ! # %& - D + 2 , 2 98 '*(3.B) '(4/
''. 5 # 5 1 5 $ , %& > D %&
"2 2 2 2 2 9 '9934/ '(49''; @ 6= @ , 8>
-+ "2 %% .)434/ '(44
!'
''/ " H : 6# 6 6%% + % 2 "2 , %% '/)39;
'(*.''9 @,# "! 0 12 5 @ 6= 78
, ! '(*/
'') "! 0 12 , %& , 7 @,# 8 % ' %% '3// ! '(*/
''4 & #% %& & + , 7 @,# 8% . %% /934B ! '(*/
''* @: ! , $ : , , %
2 2 2 2 2 5, ')/(34/ '((B''( 6 $- # - H : F%
= & , 2 2 2 & 2 # 8: )//39B '(('
'.B 5- @: ! : , , 2 2 2 #2 5 .;/3;* '(()
'.' @: ! 5 & +
% 2 2 2 2 56 (3'* '((.'.. @ $ $ 5 # D +
;> %% % 2 2 2 2
68 ./;3/* '((/'.; 5 @ $ 6 %>% 2
2 2 2 9, /939; '(()'./ @: ! ? ! % % ,
% 2 2 2 2 9, ''3'* '(()'.9 @ 5-1 " J 1 6%% =% ,
&1 % 2 2 2 2 :,=2 ).B34 '((*
'.) @ $ 5 % D % 2 "2 28 ;/9394 '((*
'.4 @ 5-1 "! 0 12 " J 1 6 , =%
% 2 " 8=== 8: " " "8: 0 2 @ : : 6 '((( & !
'.* @>: ! 5 "! 0 12 78 , D,<+ =1 F& , '/3'( % '((. 66 $1> 5
'.( @ R 1 ,# $- 78 # A D,<+ => ..3.9 @ '((*66 $1 5
';B @ $ 2 F >5 : '(4;
';' H! % +
% '(*(';. H! ?! : "! 0 12 %
% + = % , 7 @: ! " J 8 %% 493*;
6 '(**';; "! 0 12 ?! : H! 6 % +
= %& 2 2 22 2 38 .;3/. '(**
(-'/ ' 3
';/ "! 0 12 ?! : @0 0 # , % 3 2 1 2 "2
, D,<+ >: 7 6 5 "! 0 128 66 $1 5 '(*)
';9 # $1 , @ ,
D "2 2 2 2 2 55))(3** '(*.
';) @ H @ = 6 & : 3 +
D> "2 2 2 2 2 78'(93.'/ '(*(
';4 @H , F% 6 $1 6 : + > %
>% % 2 "2 , %% /('39BB '(*;
';* @ 6& : 3 + "
7 # $1 #@5 8 % 'B%% /4/39') 6 '(*;
';( @ : @ 1 #> % +
% "2 2 2 2 2 86 '/93)B '(*)'/B " J "! 0 12 6
2 2 2 #2 38 ;B93;9 '(*;
'/' $ $ 1 6 % & + 2 # 2 2 68 4; '(4)
'/. 6 + 6 % % & 1 % % 2 2 2 #2 2: .;3;' '(4)
'/; @ $ 5 "! 0 12 # %% %% , 7 @: ! " J 8 %% '4(3*) 6 '(**
'// $ @: ! # & %% , 7 @: ! " J 8 6 '(**
'/9 5 @ $ 6 % %% % + D,<+ >= 2%% *93(/ $1 '(*(
'/) @ $ 5 "! 0 12 , %%
2 "2 #( # , 7 ! 8 # 6 '(**
'/4 " J !6 & , %&
& & 2 2 2 2 2 5, '9443(;'((B
'/* 1 " J !6 & !%
% & =% 2 2 2 2 56 'B(3') '((.'/( @ $ 5 D % +
%% % 2 2 2 2 63 '/43)9 '((/
'9B 1 & 6 D 1 2 2 2 2 9, /)(34/ '(()
'9' @ $ $ 5 , %% > 1 D 2 2 2 2 2 6,
;.B93.* '((4'9. 1 # 1 6 1 >%
% & =% , 2 2 2 2 :, 9/39( '((*
!'
'9; H 2 @ : 6 = & & L % 2 2 2 & 2 #
99 '9;3)/ '((('9/ @ ! 5 , D
2 ! * , 2 2, ;;(39) '(*.
'99 @ ! 65 # ! * ,*5 A F ' 6 '(*/
'9) 5 @ ! D D
&% 2 ! * , 2 26 .4(3(( '(*/'94 % @ @ ! ,
D % 2 ! * , 2 27 '943*; '(*9'9* @ @ ! 6 = +
D 2 ! * , 2 39 443''/ '(*4'9( @ ! F : # % 3H1
D 2 ! * , 63 .*;3(( '((.
')B 5 # - , & # 6 #3H1 + > D 2 2 2 2 2 56 4/'394'((.
')' "6 ! # , & 6 #3H1 > D 2 ! * , 2 8, .9;3*4 '((;
'). # , & , -
% 2 2 2 2 . , ,* 7 49'3)) '((4'); # , & 5 >%
D 2 ! * , 2 78 ';(3)) '((*')/ H: H @" K 5 % : >
"2 2 2 2 2 55 4.9394 '(*.')9 @" K H: H @ $ 3%
% "2 2 2 2 2 82 'B43;4 '(*9
')) "! 0 12 @ 5-1 5: # # =% 2 2 2 2 2 65 9)93*; '((*
')4 @ $ 6@ $ 6 % % >
%& %& =% %% "2 2 22 26 /;43/( '((*
(-'/ ' 3
' ' / '/ -'/ 3
<. ('
% % %& D %& =% > D % % % % %& D %% # % % + % & %& & L & % L % # % % % & # & & & % %& 5 % %& D !% ) + % %& D & % # + % % 9. %&
D #%=% & & & & % & " %& 1 % !% 4 D & %> %+ & %& % L % D % % # % % " + K % D % % + &D =% % % % %& & 9; 1 %& & %
7 8 D L
& & %& & %> + =% % K %& & %
<0 ' ' 3
#
%& % % D7K8 % 1 %& , 9' % %& P D D
Water levelSluice gate
Free surface
Floor
WaterWater
Overflow
Free surface
Dam
(a) (b)
Sea
Ship
(c)
Free surface waves
Sea floor
(d)
(e)
Free surface
Sea floor
SeaHydrofoil
Free surface
Core
Metal inlet Die
Mould cavity
Free surface
Feeder
(f)
# <. 0* !
' ' / '/ -'/ 3
% % + 6 D %& L &% & # L % %& % % % 1 & % " 7'8 % 7
%%= 8 2 %+ 7.8 % D & "& & > %& &
% % & # %& & 2 %& % & %%& L %%
/ % ! $! $
, 9. % %& % &
u0
x2
x1
Ship
Datum
Free surface
η
Ω
# <0 *
' ' 3
31 K L % % %%= $ % & % % & 1 & & + ! L % & %
L & > & % % ''' + + % % D K '. 6 % %% % L > N % % % & = % & L K K & # % /' % % !$% & & N % & 1 7 28 # N & % D: + % &
% 1 7, 9.8 # & 2 & & % & % ;
' . ; ; 9' % % &
'
'.
.;
; 9.
K 79'8 +
;
'
' .
.
# 9;
' .#
'
.
#9/
& & % K 7 !% .8 & ' . ; ; 6 1 K & 1 % & % L % > & . !% . % & + & K % 3H1 % & %% L
' ' / '/ -'/ 3
% & %
; '
' .
.99
# %& &
0 !
6 % %&
# + % 6 1 2 % % 2 D %& & %% !$ 1 + & ' ' 6 K % %- ' .6 & % %
& % & %
"& % % & = % & 6 % & & - % &
( 9) $ K & & % = " %%= & %%= & K %% % % & D %&
& & & & % - % %
6 & & % K =% % %& & K & & % - =% # 1
:Q " J ';'* # =
' ' 3
% % & %& & & % % - & %> '( = + .B..
(!
>'# 2 1 '" " > %& , 9; 6!6BB'. %+ & > & % # %& > 1 D 9 , & B9)4. # , & +
) -(
94
, 9/ % & % % %+ =% .; '/ , 9; 9/ & K
# < " * 1 " + 4! 1 >
' ' / '/ -'/ 3
, 99 %& - , %+ >% & - 7, 997&88 >% %1 7, 9/7&88 , 9) %
% L 5 & 6 =% 1 7, 9)7388 6 5 & 79BBB &8 & & & = % , 9)78 9)78 ,9)78 % %+ L 5 &
>'# 3 ' , 94 % & 656 & , & B.9 # > & & & '9BB % % % # %%= ;.' BBB
(a) Surface Pressure Contour
(b) Comparison of Wave Profiles
0.15
0.10
0.05
0
–0.05
–0.10
–0.15
Z/L
–2 –1 0 1 2 3 4 5X/L
Idelsohn et al.18
Hino et al.14
Duncan23
# <8 " * 1 " + 4! #$ #$ !
' ' 3
>'# 5 # =% % & & .9 / 31 K 3@11 % N 1 K %& , 9*78
1 && 6 'B/ 944 % , 9*7&8 %+ % % 'B 1
–4 –2 0 2 4 6 8Distance
0.2
0.15
0.10
0.05
–0.05
–0.10
–0.15
–0.20
Wav
e el
evat
ion
ExperimentIdelsohn et al.18
(a) Surface pressure contour
(b) Comparison of wave profiles
# << " * A* @ + 4! #$ ! #$ ! /
' ' / '/ -'/ 3
Re = 500Re = 1000Re = 5000
Re = 10000
0.04
0.02
0
–0.02
–0.04
–0.06
Wav
e el
evat
ion
–4 –2 0 2 4 6 8Distance
(e)
# <= " * A* @ :- 4! #$#$ 1" * B* #$ 7 B*
' ' 3
(a)
(b)
# <> -" 3B #$ - #$ 7
' ' / '/ -'/ 3
< ') 3
#
%& %& D % K K 1 % % & 1 & % &
(a)
# <5 " #$ - #$ 7
') 3
# & %& & & & & % & & L & % K 7/.8
( 9*
%%& & # % N =% D %& & + = N =%
'
9(
& % # & K & %%=
'
9'B
5% & K & &
( 9''
, %
9'.
& & K 7 & % 8 K 79(8
'
9';
# > & & D HL & 7 > 2 % ./ .98
) ( ;
9'/
&
)
9'9
1 L % +
9')
' ' / '/ -'/ 3
%+ % & D > & 5 & 7-8 % ) ) % & & D K
= D &> > & 5 & % # & &1 %& .);(
, & D & + # + D &> 753$ 8 !$ & %% %& D % &%&, 9( & K
./ $ 2 & &6 & % 2 7 % 8 # %& , /; %% 5 & 6 & D %
!$ # K % = & & 1 #& 9'./
, 9'B L 5 & 'B);'
# % L 5 & , 9''6 %& &
, 9'..9 C:< % % % & 6 %% 2 % % =
82 K !% & ./
5 K &1
- = =
S/BT S/'T !$ S/BT S/'T !$ S/BT S/'T !$
'B; ''') '''* '''4 ''4/ ''49 '')4 ;)() ;)(4 ;)(.'B/ ../; ../9 ../; 9B*' 9B4/ 9B49 '()/ '(); '();'B9 /9'4 /9.. /9.' ('.' ()'( ('9; )*)* )*)/ )**9'B) *4(4 **.9 **B) ')/' ')*' ')/( ..'; ..B) ..')'B4 3 ')9. ')/B 3 ;B'4 ;B;; 3 )((; 4B.;/ 'B4 3 .;4* .;)/ 3 3 /;'. 3 3 '/'4
') 3
(a)
(b)
(c)
# <? : ( - B*"
' ' / '/ -'/ 3
& ! %
% %& + = & %1 D2 & & D D L >% D D
% % %% += % =&1 % D &/./; % %&
θ =
0.5
θ =
–0.5
θ =
0.5
θ =
–0.5
θ =
0.5
θ =
–0.5
θ =
0.5
θ =
–0.5
θ =
0.5
θ =
–0.5
θ =
0.5
θ =
–0.5
α = 60°
g
α = 60°
g
α = 0°g α = 0°g
α = 0°
g
α = 0°
g
IsothermsStreamlines
# <.@ : ( - "* ?
') 3
(a) (b)
# <.. : ( #$ 8 #$ ?
0 00
11
1 000
000
WR = 0.2 WR = 0.3 WR = 0.4
WR = 0.2 WR = 0.3 WR = 0.4
(b)
ψmax = 7.2, ψmin = –13.9,vmax = 237.3
ψmax = 16.16, ψmin = –20.12,vmax = 248.29
ψmax = 16.11, ψmin = –26.8,vmax = 211.3
(a)
g
# <.0 : %6& #$ - #$ ?
' ' / '/ -'/ 3
D % , %& &1 & 0 12 //
K & & % /9/) # K &2 & % /)
B 9'4
'' '
& '
'
'
;.
( 9'*
9'(
% % %& =% < /4 7 > > % , &P /*8 % %
' # 9.B & K &% # % D %# %& & % % 2 1
;*.
'9B' . 9.'
* % 2 L D D & K & 6 & K >
% D K %% !$ &/(99 =% >% & N % % % & 7 & & K 8 % K>% /4/( & 6 !$ & &2 & 5 & 75 &8 % D
') 3
50
(a) Da = 10–6, Ra = 108, ε = 0.8
50
(b) Da = 10–4, Ra = 106, ε = 0.8
10
(c) Da = 10–2, Ra = 104, ε = 0.8
# <. : ( ! 4 * B*" 3*
' ' / '/ -'/ 3
# & > % % D 5 & # & + %
&-
.
9..
7D 8, 9'; % &
K L 5 &/) 6 & 7'B)8 7, 9';788 & 7'B.8 % >% D & 2 = L , 9';7&8 & , 9';78 9';7&8 > D # K %% >% D K
' # K & %& & % >%
<8 '/ 3
#
& D %& & > # =% D % , /') % 6 % > % & >1 %, % & &
D %% & K % & %& & & & D 5 & & % & %%= & 9))/ 78)9)) > 7:8)4)* & , % K & % & % % &1 % &
# & D K % % L % K % %+ + %
'/ 3
& & !$ %&)/
' %
# 5 31 K & & D &
9.; & D % K K &
B 9./
'' '
'
'
( 9.9
7K ;48
.;
9.)
5 & +> $ K % & # & & & L K %% !$ $ K
.;
.; 9.4
& 1 & 1 # & K 7 D8 % K + !$ & $ % + & &
K &
'/ '.$! 9.*
' ' / '/ -'/ 3
K BB( & 1 $! = 7 B/ 8 # = $! &
$!
;&
'/ 9.(
& # & 1 % K
B 9;B
K ,
&
;.
9;'
! K & % K
'
.
.
B 9;.
' & '/9 '99 . '(.3.B K '; & >K
.
9;;
# # L 5 & & % , 19)). 5 & 1 %
" # , >K & 9)
'/ '.$! 9;/
&
;.
9;9
' B')B ' B.);
9;)
, >K N ' . %% >
K & % & % ' .
'/ 3
% ).
' BB')9. ' .B9
9;4
' 'BB9
;9;*
. ' . 9;( . # & B B6 1 > # L
+ & K L %)(
# K 3L K !% . !$ & 6 & ). D % &1 % 5 & ;B.9 , 9'/78 %+ % =% 4B 6 & & # > , 9'/7&8
3.02.52.01.51.00.5
0
Y
0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0U/Uo
1 unit of U/Uo = 1 unit of X/h
(a) Velocity profiles downward of the step
k-ε model (CBS)Exp.
(b) Streamline pattern
# <.8 0 4! ! " * /8
' ' / '/ -'/ 3
!'
' @F # % 2 2 2 '(4B. ! 6 % % % %& 2
1 2 "2 2 # . 6 '(44; @ $ @ ! 2 - #+-" 7' # 7
+ " $ 6 '(4(
/ , & @ ! 2 - #+-" 7' #7 + " $ 6 '(*;
9 H @ % % , /
, 38 '(*() ? # : > % 2 8> #2 .!
6 '((B4 1 " % % 2 ,
2 328 .9)3** '((B* 5 6 % > % 1 2 8= #2 # . '((.
( 5, $1 ? ! # : , > % 2 2 : #2 2 # . ! 6 '((;
'B 6 % 2 18 #2 . # > '(()
'' ! @ : : 6 %2 %
% 2 18 #2 . # '(()'. !! ! 6 & 2 D
2 2 2 2 2 2, ''9;349 '(4)'; # !% D % & 31
K 2 4 2 "2 2 # . 'B;3'4 @% '(*(
'/ # : 6 @ 6 +
D 2 : 2 "2 2 # . 6'4;3(/ '((;
'9 # 6 %& D
!=B!?>:1 '((4') 5 :Q ! ? " J 5 6 & %
=B!8>? '((4'4 5 :Q ! ? " J ,
3 ""<# ",- "2 6 % 43'' '((*'* 5 " J ! , %
%& 2 2 2 2 2 68 9B;3.* '(((
'( ! $ F D 7F",8 & 2 "2 2 5; .'B3.9 '(*'
.B 5 ! Q " J + + 2 2
2 2 . , ,* 6 .('3;'B '((/.' 5 5 : , + L
+ , - 52 ((3'') '((*
.. 5 : 5 , 2 2 22 2 67 7 %% .BBB8
.; @ # &1 >&1 > 2 , 2 239 9B43') '(*;
!'
./ "! 0 12 !>&>% 7!$8 %& D %& 2 2 2 2
, : ()(3(B '((*.9 # - ,
>% 2 2 2 2 . , ,* :
'((3..B '((*.) , % , . ;
?1 '((B
.4 6 $- . ?1 '((;
.* ? @ " . % >F ?1 '(*B
.( "! 0 12 5 H > %& D #% D ,
, @ F !% .B %% .;93)46 : '(4)
;B @! 5 "! 0 12 %
0 ,* ! # !6 $&& %% /;93/4 '(4*
;' @! 5
& . 8 *'3(. '(*.;. @! !! ? , & D
% 2 "2 2 2
2 2 9; '3.4 '(**;; $ 5 , D"2
, 29 ;/(3** '(**;/ $ 5 #! @ @ 61 >% =% +
% D %& 2 2 2 2 2 56 )493() '((.;9 $F 66 , L
2 2 22 . , ,*
5 ;B93'* '((;;) ! , =
2 . !
3; ;';3;B '(();4 ! : ! ! , & = >
2 2 2 2 , 35 /43)/ '(();* ! : !? ! ! ! , &
D = > . 52 9.(39B '((4
;( ?# H 66 , =
> & & 2 2 . 62 ')';3'( '((*/B H F K A 6 & 1
2 2 2 2 , 5 ./(3)/ '(*;
/' : U #6 5K !% > !& % 2 "2 2 87 .'B3.* '(*9
/. 6 6 $- " % >F ?1
'((./; . % >F ?1
'(('// "! 0 12 6 ! ! $6 D # "
5 * # + (' ! '(((/9 F !: # $ L D %
2 2 . 36 '(93.B; '(*'
' ' / '/ -'/ 3
/) # - + D & % 2 2 .
6, ;(993)4 '((4/4 , D %1 "2 2 2 6: *(3(/ '(9./* H : F > L %
2 2 . 53 .';93/* '(*(/( # - &>L
+ D % 3 >
%% . 5, /';3.) '(()9B # - L % >
D % 2 2 . , ,* 2; 9)3* '((*9' 5 6 >% %% %
& D D % "2 2 2 22 298 '/439/ '((*
9. # - % &
D D > % 2 2 . 63 '.B93'9 '(((
9; , % 1
& D % 2 "2 3;.43;( '(((
9/ - # - $ D
> D % &- D= 3 "2 2 2 2 28 4)934) '(((
99 "! 0 12 , % % D 7 & %&8
9) % & % - # 2 2 ;3('93.. '(4B
94 $ : $ % 6
? '(4.9* ! # 31 K = % @# "
78 , ,* 6 6: %%
'.'3;. '(4/9( #H ! # 6 = >
K & + 2 2 2;(93( '(44
)B ! # #H , K & D 2 "2 2 3; ');34. '(4*
)' 6@ $1 , & D 2 2 "2 2 2
0 ,* '(4*). !H : $ 6 + %
& 2 , 2 2,5 /9)3)B '(*'
); 5 1 6 6 , D # & 2 2 2;4*93*') '((/
)/ "! 0 12 $F 5 ! % & >% O& %& D 2 2 2 2 ,35 '3.; '(()
)9 @ @R 2 6 L 5 5 #
% & 2 , 2 388 )93(B '((;)) A 6 & 2
+2 , 2 5, 9;(34* '((*
!'
)4 5 5 & D 2 +2 , 229 ((3';4 '(*/
)* : " R & 2 +2, 2 3: /93*. '(()
)( # 2 " #& D %
; , - 5, ;9;3); '((*4B $ 6 1 6
& D 2 2 A #2 2 : )*'3*; '(49
' ' / '/ -'/ 3
-'/ #;- # 3
=. ('
& % & >% D & % % 6%%> / )* D )* % & 6 % =% %& % =% % + L + '(*B % L & + 2 + =% %" + %%=
%& + %= % + K % %%= & % %%& > 2 & % %&7'B93'B4 ", K %8, %& & %&
& % & % & & & + L %% & % N % %& 2 & & & + % % 7 + 8 !% ' ; & K D
%& %& D !% / %& %% %+ %& D >% D & = B9 D 1 , > =% !% . ; % 1 + < :Q
& 1 ';* 1 % %
+ + 1K + % %% #3H1 % .'B
!% . > & = > !$ !% ; % &%%= %& & % &7 8
=0 #)'# 2
# 31 K %& D !% ' % %+ K 7'./8 7'.98 ' . ;
*
+ B )'
# ' . ; ).# ' ' .' . ; ; ).&
*# B'.;
).
+# B ' . ; ). &
.
;
).
# & K & C< & % S K 7'')8 7''48T , D ;( N
);
%+
' )/
% %+ #
'
'
)9
-'/ #;- # 3
'
'
.))
'
.))&
# & 1 K 7).8
& & K 7)'8 & %& & &
* ,
( %& % &
D N %% % &% & 7 )'.8 % % %& L %% % > % D & & & %& 2 C+ < 2 & & %% > && D % =% 31 % %> < ;(
'/9;.
''B 'B) )4
, & & & 5 < % K % 9/ !% 9 & =%
= ' 9 / -' 3
# K & & %& 31 K %& D & & & 12 /B D = K 31 %& % K & !%
; %%= & % % & % %&
' 9 / -' 3
,
+> & & 31 %&, * % &
%+ 72 8 , 1 D= & 2 7 8 %+ & & & /
# = D , )' 7 ;)!% ;8 .'B; & %
2 5 & % %% K , 2 K %% % &
'
.
;
)*
% %& 7% 8 &
()(
6 & %% K7)*8 % D &
+
' )'B
%&A
78 )*
D = & % & %+P
Γs
Γu
Γu
Γs Γs
External flow Internal flow
# =. . ! *) *
-'/ #;- # 3
7&8 )*
& % %&
, & & %= & %+ % 5 & K % N &1 % & %%& % + & 7 !% ; ;)8
,
% & K, * % %&
% % %& D D # & %
B, & & % D= & , / # % D 1
K D & %%=> & % 2 1 2 & ;) !% ;
=8 %' --': " #'
F + %%= & %& D %& # + #3H1 % >% >% & !% . .'B %%& !$ % !% ; & % N K & %>& % %& %& D % D %& % #3H1 =% !% ; % K & 7, ;/8 !$ %% % & =% >% >%
!$ $ %& &
%' --': " #'
& >% % =% >% 6 1 > %&
2 % % % & # % % % ;;/ !% ; & =% % ;;/
%% % & = %& 1 L % % # %& %& D
1 &- =
=< " -'
! + %%= & >% B = % 1 %& + % 1 % # & % & >+ 1 & %%= % K , + % % & 1 % %& % + 1 1 %
& 1 =% + 1 # % % N & & > %& & = , ' $ /'/.
# % L % 1 + & 5/; '(9B # &2 & & & + % & 1 + % :%// /9 !1 $ /) @ /4 6 + & % & % & ') /* + % # + % % &>K %& D 5 % 1 % /( & L # % + L % 1 +
% + %%= K
-'/ #;- # 3
& =% >% K & # % % K ' & &
'# ' -
)''
- %%% + L N % - & 1 %& , % * & K % % K - % & $ K %&
# N - & K % & % & % & % /)
- ;
.
)'.
> N % % &% & K % & & & % & !% / /96 % & %%=
& 7 8 /*
..
. %% )';
% % % % # & =% & > + L %%= # = %& & - %%= & % 7K )'.8
-
%%# )'/
- K %%= - A
- . )'9 . % .
" -'
/*
.
)')
& + . ' % = . B % - 7 8 # >%+ N & BB .B# & & H1 +
%%= 7 K )'' )'; )'98
'# ' %'
.
%% )'4
K 7)'98 % & & & K # & N # >L 2 L L K % 6 &% &> + % 7 K )'' )'.8
'# ' %'
;
..
&#
&
)'*
# %& 6 &
" # - K + '(*) & 9B & 9'9/
6 & ! /( >% 1 % % + N -& & L & 3H1 1 & % 1 % & # & N &
-
)'(
% & & & L> 1 % L %% %&999)
== " -'' :- ' ' 2
# % % & %% > %& % % =%
-'/ #;- # 3
,, 9 $ !
# > %& % L & & & % B , ). % L % # %& = % & 94 '
,, 0$ % $$ 22
K % & - - >
1.000
0.425
t = 0
ρ
0
u Lumped mass
Consistentmass
2.5
2.0
e
t = 18.5
# =0 0 B 8E 0 " E # 8$ 6 6
" -'' :- ' ' 2
' 9*
- 'B .9.'.9
B 9 ).B
# % D D D % , ); %&
2.0
1.5
1.0
0.5
00 1.0 2.0 3.0 4.0
x
ρ
(a) Subsonic inflow and outflow
2.0
1.5
1.0
0.5
00 1.0 2.0 3.0 4.0
x
u
2.0
1.5
1.0
0.5
00 1.0 2.0 3.0 4.0
x
ρ
(b) Supersonic inflow and outflow
2.0
1.5
1.0
0.5
00 1.0 2.0 3.0 4.0
x
u
2.0
1.5
1.0
0.5
00 1.0 2.0 3.0 4.0
x
ρ
(c) Supersonic inflow–subbsonic outflow with shock
2.0
1.5
1.0
0.5
00 1.0 2.0 3.0 4.0
x
u
ExactCL = 2.0CL = 1.0
0.75 0.50.0 5.0
a/2u' u2
C1C1
# = 9 4! " ,, 2* ( ,
-'/ #;- # 3
9BB % , % D & D 1 :%>% + L , );78 C < N :%
(a) Structured uniform mesh
3.00.6
1.0
Inflow
2016 elements1089 nodes
y
x
t = 0.5
t = 1.5
t = 2.5
t = 4.0
(b) Solution – contours of pressure at various times
# =8 0 4! ! = # 7! 8>$ 94!1 / 4!
" -'' :- ' ' 2
,, -%5 ! % !
# + =% % D % # %& + & !9( / % %& , )/
N % :% :% .B & % 1
=> 1 -) '4 -' '-'/
,3 #
# =% % 1 & > %& >% D ! K + C - < & + % & & & %& %& D % 1 + > 1 , % + & & C% < 1 % % + % % & = 31 K + K & % % % /9 !% /
,3 -$ 5. ! $ $
" %%= & & 2 7 8 & > , %% & % # % /9!% /# % & # &
% = & C< + , )978 & & & N %% # &
-'/ #;- # 3
+ 6 % % , )97&8 & % + & ( & %% % & %& % &1 % L 2 7 % 8
1 , )) , )) % 1
-% % # & C& < 1 , )) + & 1 % & =% %
K %& % % + % +
N + % %&)B + %& & + % + & &% E # + % %% & %%
K + & % & %% )'
(a) Triangle subdivision
(b) Restoration of connectivity
# =< 1 #$ 0" #$ B *
1 -) '4 -' ' -'/
,3 5. $ %5 !
N & & & $ & &- %% + &- /9 !% / # %& 2 & & %% & ''') N > %& 7 & % 8 %&
=% = % % , )4 % =%'' 1 D
% C>< %%%
20°CL
Initial configuration Density after 100 steps
20°CL
After 101 steps Density after 200 steps
20°CL
After 201 steps Density after 250 steps
Exactsolution
Q
# == - 1 / 4! !" + * - *
-'/ #;- # 3
(a)
(d)
(b)
(e)
(c)
(f)
Anal
ysis
dom
ain
Wal
l
#=>
B4
!
!+
(
(
#$
'
E>
'=
E<#$
'?
8
'=
E>#$
'<
8
'8
<
"
#$
#$
1 -) '4 -' ' -'/
% # # , )* %= =% )* &
> & A
(c) The corresponding pressure contours
(b) The corresponding density
(a) Sequence of meshes employed
Analysisdomain
22° Flowvelocity
# =5 A* 4! * 1 8 " 9 ' 8=E ' >E<) ' /</ ' ?>?) ' < ' 8E=
-'/ #;- # 3
(c) (d)
(a) (b)
10
5
1
M = 3r = 1
u1 = 1u2 = 0
# =? - 4! *8? / #$ "* * #$ ' ?8 ' = >E> #$ 1 " #$1 "
1 -) '4 -' ' -'/
1.80
1.60
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0
–0.20–3.00 –2.00 –1.00 0 1.00 2.00 3.00
X
Gp
(a)
4.00
3.00
2.00
1.00
0–3.00 –2.00 –1.00 0 1.00 2.00 3.00
X
Mac
h nu
mbe
r
(b)
MUSCLCBS: Anisotropic Shock CaptureCBS: Second Derivative Shock Capture
# =.@ - 4! *8? / #$ #$ 1 " " *
-'/ #;- # 3
' 6 1 &. 6 N 1 % D C+ < & = 2 %%
; , 2 & + %
, % %& % & 5 ).3)/ % K % >% D , )( )'B % ; D %
9) # 7, )(7&88 % 1 1 # & + % , )(78 )(78 & !$ & 1 %
Analysis domain
# =.. 9 "" ! !E
1 -) '4 -' ' -'/
& 1 % % , )'B N % & & > % & !:). % 1 % 6 % = % % 7>&8 , )'' % =% % 1
& 1 6 = + & % =% '4 % %
=5 '; ) :-
#> %& D > %& & % %%=> %& > !% ; = > %& %% + , & % > %& =% & > & & % 6 % & & 1 % %& & 1 % L % % %
% = %% %
& & & % % & .) & % 2 6%% = !
% & % & % K + 6 & + % + + &K + %%= + % +
-'/ #;- # 3
% % &K # % & % % 6%% = K )9)( % & & & C <
+ # & %% % L
$ # % %2 % % % % %& &-;);*
> %% =% %& )'B > 31K
,: $ % ! !
%% % D + L % & # & % : % %& + % >'(*B + 7 + + & @ 4B8 # + % & # %& & = 14' F % % & ') '(*4, )'. ') % +
% . # % % 7 8 + 2 1 '.9 BBB %%= 4B BBB
;9B BBB & # % & & % D % &6 % % &1
& D
'; ) :-
% %% L + & .) =% & 1 K ' )') BBB + & %
# =.0 4! " #1 $? : ' E ' 8
-'/ #;- # 3
,: -496- $ ! 3:3
6 %& % & & & # % % & &
# =. - 0AB;-0 --E #$ #$ #9" #$ * -- " 6 " F* B 3*$
'; ) :-
% # % '9 "& '((4 1 %& & % & % 7 & 8 %& >= # % D % & % 6 K & % = 49B , %&# % &
% % & >% % &
(a)
(b)
# =.8 - 0AB;-0 --E #$ " #$
-'/ #;- # 3
1 % %& 1 K + % & & # &- % & & % > % & & & # % %
% =% % + & 1 # & 1 %- 'A.9 1 '; % 1 , )';78 %%.4
% , )';7&8 % > % 7 A ;( 9.* A 4( B)BP A ';/ .4. A **4 );/8 % > > %& % , )'/ % .4 &
&1 , )'9 % !, .4 =%
# 1& =% # % %% % % & & 1 K D 7 8 %% % % % %%
6
4
2
–2
–4
–6
–6 –4 –2 2 4 6 8P.S.L
Pendine tests
CFDresults
KeyM = 0.71M = 1.08M = 0.96M = 1.05
Computerresults
Pendinetest results
# =.< - 0AB;-0 --E
'; ) :-
# % % % %+% & B4' B() 'B9 'B*
,: <$ (!
# > =% & K& > 1') .# , )')
(a) Mesh on analysis surface
(b) Mesh on analysis surface (c) Pressure contours
# =.= 0 * " ? 1 #= $
-'/ #;- # 3
=? ' '; -'/
% %& %% % > & & L %& &
# =.> ! "E/ - " * ! 9 8<
' '; -'/
% =% #+ =% % 4; > , )'4 % & > % % 1 6 % , )'*
> %&4; " > % &
NE = 7870NP = 4130
NE = 7377NP = 3867
NE = 6847NP = 3580
NE = 8459NP = 4379
# =.5 ! "E/ 1 1 " = =/
-'/ #;- # 3
+ , )'( > %%=> .( # % + %> 1
=.@ -'/
! % % & 31 K & L 6 %& % % & 7 1 !% /8 % + & + =% & + & & + & % = # % + !% / # & & =% )'B. )'B; K + + & H + % & & 1
(a) (b)
# =.? - " > #$ 9 ) #$
-'/
# % % %& > )'' %% & + & # % + & , ).B
%& K & 7 > %&8 > K % & & 4/4)
,7 ' ! (!
# =% & 1 & % >% D D %44 # %& = & !4* + L % %>% & % + 6 += + & &
, ).' & !$ , ).. % !<4* %
l
d
d
Unstructured, adaptively refinedtriangles
10–15 ‘body’ layers of quadrilateralelements with length l, correspondingadaptive layer thickness d and number of layers decided by user
(a) A two-dimensional sublayer of structured quadrilaterals
‘Body’ layer subdivision in three dimensions joining a tetrahedral mesh
(b) A three-dimensional sublayer of prismatic elements
# =0@ B * *
-'/ #;- # 3
(a)
(b)
(c)
# =0. G 4! 4 # $EE 1 / #$ ' ?E8 ' / E #$ #$ 1
-'/
& !$ %% &
,7 ' ! . $ $
% % % !% / % % + 2 % 6 =% %% , ).; %&
5.00
4.50
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
X/L
P/P
inf
0.80
0.60
0.40
0.20
00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50
U/Uinf
Y/L
MUSCLCBSCarter
MUSCLCBSCarter
(a)
(b)
# =00 G 4! 4 # $EE 1 / #$ " #$ *
-'/ #;- # 3
Anal
ysis
dom
ain
Wal
l
(a) I
nitia
l and
fina
l (se
cond
) ada
pted
mes
h
(b) I
nitia
l and
fina
l (se
cond
) pre
ssur
e co
ntou
rs
(c) I
nitia
l and
fina
l (se
cond
) Mac
h nu
mbe
r con
tour
s
#=0
-
**
E>2
'=
><
-'/
& & D % = % 1 % 4( %& %% !% / # %+ # %& & %% !$ >% D # D 6!6BB'. # %& = & *B*' , )./ + # % & & & 1*.
%& & % + & 1 + =% =
++ ++
+
–0.50 –0.10 0.30 0.70 1.10 1.50
1.50
1.30
1.10
0.90
0.70
0.50
+ + + + ++
++
++ +
+
+ + +
++
First mesh
Third mesh
Experiment
Surface pressure
X/Xshk
+ + + + + + +
+ ++
++++
++
++
+++ ++
+ First mesh
Second mesh
Experiment
Skin friction
0.30
0.20
0.10
–0.00
–0.10
–0.20
–0.50 –0.10 0.30 0.70 1.10 1.50
×10–2
X/Xshk
CF
+ +
++
(d) Surface pressure and skin friction
# =0
-'/ #;- # 3
(a)
Density contours(b)
Wake region, density contours(c)
# =08 0 4! : < 1 >8 #$ ' ? /<< ' / 8 #$ * #$ * !
-'/
Initial mesh, 1804 points, 3487 elements Mach number
(a)
Mach number
Mach number
adaptive mesh, 916 points, 1830 elements
(b)
1162 points, 2258 elements(c)
# =0< A* 4! : < 1 1 #$ #$ #$ #$ " # ! $
-'/ #;- # 3
Initi
al m
esh
adap
tive
mes
hSe
cond
refin
emen
t
(d)
#=0<
-'/
,7 ! ! . $
6 %% N % - & & , & > & %& 1 + & & , ).B K" & 1 %& & K> # %& & )'' %% 6 % % & %+ % % & % += & & = %& & # + %& & =% + & 1 & #
# =0= - " * * ! / " *
-'/ #;- # 3
% & %& & 0 12 *B & & % K & 1 # & & = & & 1 % & % ;B;; % % 1 # & & %% % % + % % , ).9 % D 6!6BB'.
1 *B # , ).) >%
=.. '; ) -'/
# % & % & U 5 & &
(a)
# =0> A* 4! 1 <8 / #$ 9 '8 >> ' /><<
'; ) -'/
, ).4 D 5 & & & % ;' =% & > # =% % &
% = & D "56) & 7, ).*8;/
(b)
(c) (d)
# =0> #$ #$ ' E> / ' == E? #$ #$ 1
-'/ #;- # 3
=% & 6 & !% 9 % K, ).*78 % N % =% *;
=.0 ' '9) ' -#
1 >% D = & D % % & L + #D & % %& & %%= & % %& & !% & %%=> 1 & % % # & % &
(a)
# =05 0 4! 5:+B 1? !"/= #$ - '=< 8?
' '9) ' -#
% & 1 % 1 % 1 ! & %& & L K & % & 31 K
K %2 & % & % 1 6 K &
%% & K & C % < D*/ C> < *9 & D & %%, = % & & *)(B
% % %> 3 % ('(; 6 3
(b)
# =05 #$ #$
-'/ #;- # 3
% %%& %& & % & % D(/() 3 % K 6%% =
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–Cp
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0X/C
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–Cp
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0X/C
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–Cp
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0X/C
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–Cp
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0X/C
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–Cp
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0X/C
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–Cp
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0X/C
(c)
# =05 #$ #$ H ==H ?8H <H >H >8H !" /= </
' '9) ' -#
=. # ''
# % & % > %& + %% >% # K & =% % %& = %& K K & L # % 1 % N & % %& > & L N % >%D & & %%= & C < & %& # 1 K & =% & & % & %% , &- % & % # %& = & 31 K % & > = & % &% & % = %% & % 6 % % %& " % & 2 > & %> & L % % D % % & & % %& %
!'
' 5 :Q "! 0 12 # > %&
K & + 2 2 2 2 , 6 'B/;3);'(*/
. 5 :Q "! 0 12 % =% %&
"2 2 2 2 2 68 ;';3.( '(*/; "! 0 12 5 :Q @ % %& D %& D , , 7
5 H H, ! @# " "! 0 128 F ) % . %% /'3** ! '(*9
/ 5 :Q "! 0 12 6 % + % %& % D "2 2 2 2 2 82 //'3)9 '(*9
-'/ #;- # 3
9 5 :Q @ "! 0 12 : , %& D ",- "2 , - 7
@ $ 8 F %% .439; ! "= '(*)) 5 :Q @ F , D= %7,3,!#8 31 K 2 2 2 2 2 7
'B(;3'B( '(*44 5 :Q "! 0 12 6% + %& 31 K 2 2 "2
+$ , " :& '(*/* 5 :Q @ "! 0 12 , % D >4!848!" '(*9
( "! 0 12 @ F 5 :Q ,
%& D B 2 "2 " # F & '(*9
'B 5 :Q "! 0 12 6% +
%& 31 K +$ , " 7 $&1 "! 0 12 @ H 5 6"8 % '9 %% .*'3(* ! '(*)
'' @ F "! 0 12 6% >%& D % 2 "2 2 73 //(3)) '(*4
'. @ @ "! 0 12 6 % +
% D 14 # 5 666%% *4>B99* '(*4
'; "! 0 12 @0 0 ?! : @ %A % %& D ,
7,0 >B8 7 @5 8 %% /*;39'. 6 : '(**
'/ : , @ % +
2 2 23 '493*' '(**'9 "! 0 12 @ @ : , ,
D !%& D K % #
"2 + - , - 6 (9 6 > & '(**
') @ @ : , "! 0 12 , % ;> 2 2 2 2 2 39 .';939( '(*( 7
A 1: # 5 666 %% *4>BB;.'(**8
'4 @5 55 #- 65 6%% +
K 1 5 666 %% **>B;)* '(**
'* 55 #- @5 " @ 6 % % >
31 K 2 2 2 2 , ;/B93.9 '(*(
'( 5 :Q 6% %& &
, - " " 666 %% **>;4;) '(**.B 5 :Q # N D & +
14 #2 5 666 %% *4>B999 '(*4.' 5 :Q 6% %& "2 2 2 2 2 78
'(93.'/ '(*(.. @ 6 + D >
'(*)
!'
.; " @ 6 %3=% %& % D "2 2 2 2 2 79 ./939* '(*(
./ 6 # > @ @ " 6 >% % 2 "229 (';3;; '(((
.9 5 : 6 % % & %& D % A '> +> 2 "2 22 7 '(399 .BBB
.) @ + D +2 2 2 92 9)(3);* '((*
.4 5 6 " # % D # % - <2 2 2 2 F 2
2 4(3(( '(((.* " < % DE
58 ''B3'/ 6 '(((
.( " :$ $ 6 % D & ""<# C=> ?1
;B " @ & @ #
D !=3!13: @ .B3.;! % 6
;' " @ & @ %
%& % D 2 2 22 2 5: ''.;3/* '((9;. " @ & @ >
D 2 2 2 2 2 5; 9/(3)4 '(();; " @ & %
%& D & %> 2 2 2 2 , 37 /'399 '((*
;/ # 2 " #& D %
; , - 5, ;9;3); '((*;9 @ & " 6 % +
%& D & 2 2 2 2 2 53 49'3
)9 '((';) " @ $1 5 @ @ 6 %
1 % % 2 2 2 2 , 52 '9(34; '(((
;4 @ $1 " % %& "2 22 2 2 283 '9434/ '((*
;* 5 6 F & % "2 2 2 2 2 277 'B(3.9 '(((
;( ! " / ,* F !>
'(**/B : 12 @# " 52 6 +
%& 31 K & % % >%
% "2 2 2 2 2 :6 .493;.) '((B/' @ F1 @ L 65 $% , %
1 + $ 2: '/(939B. '(*B/. , 6 + 1 +
K 2 "2 2 :, ')*3.B; '(*(/; @ 5 5 6 >
1 2 2 2 32 .;.34 '(9B
-'/ #;- # 3
// 6 :% 6 1 & + L 2 "22 3 '9/344 '()4
/9 @: % + L D & 2 29 )4(3*) '(4*
/) 5 !1 $ $ 6 31
K %% 1 & B4!8 '(49/4 6 @ %
D "2 2 2 2 2 82 /)43(; '(*9
/* @ @ "! 0 12 6% %% 1 %& 78" , - ! "= '((B%% ;.43//
/( 5 ! 6 % % + > L K "2 2 2 2 2 22, ;.93/.'((;
9B #@5 6 + D FA 6 % % 3L %&"2 2 2 2 2 8: ;.(3;) '(*)
9' ! @ 6 2% " + %& 2 "2 6; /.43// '(*4
9. 6! HJ H ! 6 %%= % 3
H1 %& "2 2 2 2 2 9:*;3(9 '(**
9; & ! @ 6% L %& D & "2 2 2 2 2 :7 .)43*B '(('
9/ , 1& #@5 0 @ 6 + %> D G # %& 31 K "22 2 2 2 :; '/'3.'( '(('
99 "! 0 12 $F 5 ! FR 2K21 % 8? 2 "2 , , 2 @! ;9B3) @ 93* '((* # 62
69) "! 0 12 $F 5 ! FR 2K2
1 % D 2 2 2 2, 3: ';.939; '((*
94 H 6 + L > %& 2 "2 2 37 '3;' '(4*
9* # #2 #@5 % + K
+ %& % % K %% '(*;
9( ! # D
1 2 "2 2 86 ''934; '(*/)B "! 0 12 @0 0 6 % % % %>
2 2 2 2 2 36 ;;4394 '(*4
)' @# " : 12 6 % % A % % D # # ", 7 6 @# " 8 6 > '(**
). # 2 5: @ 6 ,O!: %& K 2 2 "2 , ,A * '((; %% ;4(3**
!'
); 5 : @ @ #F >%& K 2 2 22 , 2; *.43/4 '((/
)/ 5 : # 2 " @ % & %& D % 2 2 22 -2 3 '(43.'' '((9
)9 56 " + @5 78 , ,0 8=B> 6 : '(4( %% /9(3))
)) 1& # & 78 : > ()B % >F $ '(*.
)4 5 :Q 6 % %& 2 2 2 2 2 36 'B'3'9 '(*4
)* ! 5 : + % + 2 "2 2 2 59 4(3*( '(('
)( :%2 5 ! 6 % % + >
2 2 2 2 2 6, ('(3;) '((44B 6 @ #@ $1 ! D
% 13 #2 5 666 %% *)>
B'B; '(*)4' F $ @ = $ W . ; % +
0 2 237, )/3*' '(*4
4. 5 & 6 H # ! : .+D# # : '((*
4; @ & , D > '(*)
4/ ? ;> %= > 2 52 '*9B3) '((;
49 ? 6% & % 2 2 2 2 , 3,
'B.;3;4 '((94) 6@ ! ? 6% & 7%>8 %>
& D 2 2 2 2 , 39 'B*93'B9 '((*
44 "! 0 12 5 ! FR 2K2 "2 # !>$>% %A 6 N D %& 2 2 22 , 52 ;9(3(. '(((
4* @ ! 31 K % >
D > % # +!+!>4 '(4.4( " , % % %& D
'((B
*B "! 0 12 @ 6 + % >%& D 2 2 2 2 2 57 .'*(3.'B '((/
*' @ !>2 $1 : H , $ 6 >
% % A %% "A , -C=: & 2 ""<# "2 @>6 R R ! %% '*'3*)
*. "! 0 12 6% D %&>
2 2 2 2 2 67 7 %% .BBB8*; F , !% & "56 )
& 5+- + +!8> '(4(*/ @ : " % 1 2 , 2 6 ;*; '(9*
*9 @ H @ 1 @, $ & & 1 %& D & > + "+2 +2 2 B=8 '(4;
-'/ #;- # 3
*) $ # & & & D 2 , 2 59 '443(' '()(
*4 @ H # % & & % %& D2 , 2 52 49;34* '()(
** $ K 6 ? # %+
+ " +2 8>> '(;4*( 5 1 55 ! 5 # D
5 & BB!:>? @ '(44
(B @! : $ ! % % R K= K R + < % 0 + 3@ '(*'
(' @ 2 6 F D > %% 0 34 % % >
F $ 7'((/8(. @ 2 F % K &1 "#
"#!=:!82B24 '(()
(; @ 2 6 % ==!?44? @ '((((/ @! : $ F3 % %& D
5+-;,- . 0 5+-!"484
$ L ! "& '((.(9 @! : $ ! > % D
3 4 2 #2
,* : $ !6 768 @ '((.() @! : $ H=>: ! & 3
%>& .# 48 , - , #G 6 '((9
!'
";' -'/
>. ('
# D & % % # % > % % K % # % D + D 2 %
% %& & & %%= + K 2 & > K % %A
*
+ , ' . 4'
K & 1 %& D 3 % % %& D 78 A
' # % % % %%&. # % % 7 1 8 %>& D
& % L % #&- % & K %%= K & =%# %%= D > &
& D < &- % % # + &1 = &- ' .
6 % 2 >K % % & % = % %% ;
>0 / ;' 2
% % 31 K % %& % & %& K A
B 4.
A
'
'
( B 4.&
& ' . ; D , 4'
; ; % > & # K &
H
A
A
h
U1
u1
us1
Average velocity
η
x3
x2
x1
τs13 , wind drag
Hh
A
A
τh13 , bed ‘friction’
Free surfacep = pa
(atmosphere)
Mean waterlevel
(datum)
(a) Coordinates
(b) Velocity distribution
η
# >. 0 !! :
/ ;' 2
'
; ( B 4;
(; ( 6
( ; - 4/ ; % % 7 -8 7 & & D 8" ; &
7 9; !% 98
; &
'
' .
.49
&
&; &
&'
' &.
.49&
% , D %
&' &. B 4) &
&; B %%= & K &
% ; ! ( K 74.8 ;
;;
;
''
;
..
; B 44
6 ' . 1 , 4'7&8 +
; 4*
' . :& 2 ) #
-
#) # )
#
-
) # ) # #
- # -#
4(
& K 7448 K 74)8 &
;
4'B
";' -'/
' . # + K 7448 & %
;;
; ; 4''
7498 &
;;
;
4'.
6 K 74'B8 74'.8 %> +
B 4';
% % K 2
'
'
(
; B 4'/
' . & + & % >
%> K &
'
.(. . '
;
' ; &; ( (
-
B 4'9
& & %& = # & K =% & & !R 2 =%
&; (-
.4')
-
' .
!R 2 N K 74'98 ( ! % >
%& +
(' (. (. (' 4'4 ( ! %# K + N
& 1
.;
4'*
/ ;' 2
6%%= K 74'98 &
'
; '
.;
4'(
K 74';8 74'98 > %& K 74'8 %%% + &# ' .
-
'
.
4.B
' ''. (. .
. .'. (. .
4.B&
* B
' .
4.B
74'(8
+
B
(. ( '
-'
' ;'
('-.
(' ( .
-.
' ;.
(.-.
4.B
# & > K + % / 9 %%& > K = %%= % >%%
& K % > %% > & & & % & %% % =% D % & # % > %% & & 2 K 74';8 74'98
> & %%= K
B 4.'
(
B 4.'&
";' -'/
& &
B 4..
(
B 4..&
.
.
(
B 4.;
2 K , % = %# > K %>
D % % % & %& & % %& > & & # = & & D
L # + 2K % > %%= 6 L & & L C < & & 0 12 ) 2 & % % =
> %' --':
$ + L + % & > K # %%= & %% 4 * %% % % % 2 & & >%% %(')
+ %% + &1 '(4. % '4 %% & /9'*/'
6 & =% %& D K & %> > K & & A
% % '
. (. .
%' --':
# >&>% % % % %& D & >K /./;
# = L + >% D > %& & #3H1 /9 >% !$ % % % D - 7 % 8A
- 4./
2 %
(
A
- 4.9
% =% #3H1 %%= /9;. % > %% , & %&% % & &
% % .B 7=%8 % L % D & =% & = /;//
=% %& & !$% #3H1
>8 :- --
3 - 5 ! !
% % =% % %%& # + , 4. % /9
& # K /)/4 %% & & %# =% , 4; > C &1< %&
% % # %& 1 & %& D & K + L# + =% , 4/ 2
C&< % % % & %
";' -'/
D % C&< 7 (
8 % % >
1 %
3 -%5 !
# = % % % & %& 6
40 elements
80 elements
160 elements
(b) Solution for 40, 80 and 160 elements(b) at various times
(a) Problem statement
Wavepropagation
Hl
a = 0.1
10 1040
η = a sech2 1/2 (3a)1/2 (x–α–1)
u = –(l + 1/2a) η/(αx + η), a = 0.1, g = 1.0, α = 1/30
Initialconditions
# >0 -" !
:- --
% ' . # L > % > %& 1 % N % & = & + + % , % 3 + N + & % N # + =% , 49 % %&
2 = 1 %% /* % # % % & & % + % & 6 %& > & K 1& =% %% /9/.///(
C &< % & $ ! 1 , 4) %&# &- =
7 %& % &K D & & & 8 $
h = 2
H = 1
t = 0
t = 2.5t = 5.0t = 7.5
h = H = 1L
0
40 elements in L
η
t = 0
t = 2.5t = 5.0t = 7.5
0
u
# > " ! 6 = *
8
";' -'/
= & & & & " & %# >%& & &
% D # L & % > % & 71 % % 8 , % & & %% =% & ;9 ;)# , 44
# % % = & L & & % + # 2 . 9 1 2 + &>
# % %%= 9B & &% % % # $ ! % & %
% & =% >=% /; # % & & " % 7"8 +.
/( % %
1.0
0.5
0
–0.5
u
2
0
40 elements
Hho uo = 1 A
Prescribedwater levelhistory
η
# >8 %& ! ! #$ 6 / / #/ $ 6 8 8
:- --
10
5
0
Surfa
ce e
leva
tion
η (c
m)
x = L
Analyticaly = 0, ±2 ∆yy = 0, ± ∆y
Computed ∆t = T/40
10
5
0
–5
Velo
city
u (c
m/s
)
x = L
Analyticaly = 0, ±2 ∆yy = 0, ± ∆y
Computed ∆t = T/40
t = T/2
t = 3T/4
∆x
L = 22∆x
∆y
y x
Inlet
h (x)
# >< -* " " 6 /
";' -'/
7=%8 % 79B 8 / 7.BB 8 * 7/BB 8 % 6 N 7 8 BB;* % ! # % !L % % #& 4' % %> & & % % % L % % % 7, 4)8 L % & & # = % & '/Z % /BB % % 9B & % 7';8 9B 7''8 # & 1& >=% , 4* & L 7=% 8 % 5 %
7 , 4) 4(788 C&< % && 6 %% % & %+ = % % %%= & % H 7H8 7449 1 6 8 && % L & % $ 7 8 % , 4(78 % 6 $ D 6 %% & & & % D
StockpoleQuay
Tenby Swansea
WormsHead
Port Talbot
Porthcawl
Barry
Cardiff
NewportBeachley
Avonmouth
East
ern
limit
Clevedon
Weston-Super-Mare
Hinkley PtWatchet
MineheadLynmouth
Ilfracombe
Port Isaac
Wes
tern
lim
it 1 W
este
rn li
mit
2
0 50 km
# >= 6 . - + *
:- --
25
6
CL:
164
nod
es, 2
51 e
lem
ents
810
9
74
3
1
FL: 5
78 n
odes
, 100
4 el
emen
ts2
5
68
10
9
74
3
1
FR: 3
82 n
odes
, 664
ele
men
ts
5
68
10
9
74
3
CR
: 111
nod
es, 1
61 e
lem
ents
5
68
10
9
74
3
Stat
ion
Loca
tion
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Har
tland
Poi
ntTe
nby
Ilfra
com
bePo
rtloc
kSw
anse
aPo
rthca
wl
Wat
chet
Barry
Wes
ton-
Supe
r-Mar
eAv
onm
outh
#>>
2
.
-
+ *
";' -'/
&& 7# D = .9 8
3 - %
6 %& & K1 2 > # & <
Time = 0 Time = 3 hours
Time = 6 hours Time = 12 hours
1 m/s
# >5 G* #26 $
72 $ ! 3 & , % 7,: 8 >% 7 'B.8
: "& ,
# & .). .)B 7'Z8 ;'9 ;B9 7;Z8!L /B( /'' 7 BZ8 ;'4 ;.4 7;Z8$ ;*. ;(/ 7;Z8 #& ;') ;') 7'Z8% /'; /.B 7.Z8& ;B* .** 7)Z8 ;9* ;). 7'Z8
:- --
& = # % N % %> % % & # % %& - 7 %& 1 + 8
P1P2
P3
Finite element mesh including river
(a)A
BE
E
A
B
B
G
(b)
(c)
# >? -
";' -'/
& & ) % 7,:8 # % , 4'B # %>% 3 " % % & #
& & 5 >% % & & % 1 # & % %% & # , 4'B +
L %
15
10
5
0
–5
–100 5 10 15 20 25 30
t (h)
Elev
atio
n (m
)
MWL
8
6
4
2
0
–2
12 14 16 18 20 22 24 26t (h)
Elev
atio
n (m
)
MWL
ComputedMeasured
10
9
8
7
6
512 14 16 18 20 22 24 26
t (h)
Elev
atio
n (m
)
ComputedMeasured
Point B Point EComputed and measured elevations
ABE
Water elevations for points A, B, E
Severn Bore
(d)
# >?
:- --
Time = 0 Time = 5 min
Time = 10 min Time = 20 min
Time = 30 min Time = 40 min
# >.@ - " " 7 " # "$
";' -'/
3 5
" > & & % D & =%% % L % %& D & % # + >
, 4'' % =% & &1 % > );B9B "& % % & % % & # C< &1 % # + L &
1 %& & & C%< + & 9B
6 % > 7 8 %& %> D 1 % >% %& D # D %& > & % D , %> D & & C%< -% C < %%% # %+ %%= & & & D % # '9 + )(4( # % D D, & .9 & A > %& D 7 & , 4'.8 % & 7%% & , 4'.8 & D & 7 , 4'.8 # =% % % , 4'.% C<> C < " & C< &
# >.. 7 * 4! /
:- --
>< '# '
6 % %& % & > # & > % $ ! 3 & & =% & ' 1 , '. 1 ! & L % %& & , 4'; % L & + 2 & % K & > & &&
& % % %
# >.0 - 4! ! * ! 94! 2 8 ' 8
";' -'/
>= ";' '-'
> K K % % #% % % % # > % K %=9' & % % K %& ! ( & % 6 % K & 3 %
% K 3
B ' . 4.)
% + % K %%% L N 6 K>% !$ & & L
% 2 7 L % K 8 % % # K>% %> K % % # %% !$ % K >
& & % # % # % % & % ; B ; '# %% 3H1 % +
= 7 8A
% ;! % .
./
! 4.4
P P' ∆η
n
A
A
P
P
Boundary at time tn
Boundary at time tn + ∆tn
# >. @ *
";' '-'
A
% &#&
&#
&
/
&#
&
!
&#
&
&#&
&
6 % % % %%
Time = 9 hours Time = 18 hours
Time = 36 hours Time = 54 hours
# >.8 A 0 " 4
";' -'/
# %%= 99 1 L /B ' # % 7 > % 8 ;( # B' L =% # % ; B9 # % L & % B' ;( = L ;.Z ;( %% 1 %% /B % # % %%> & % K & % >% %& & )B % K +. L , 4'/ & =% %
& L %
!'
' $ 6&& " .A , # ,* : '(4(
. H@ 5# - ?1 '(*B
; "! 0 12 5 : H 78 <%
! '(4*/ @ 6 + D > '(*)
9 @ "! 0 12 %&A =%
2 2 2 2 2 33 9/434/ '(*)) "! 0 12 @! 6 + 31 K , % %%
"2 2 2 2 2 27?2: )4;3*( '(4(4 " + > > > D
" 7 @# " 8 %% .)'3*4 >
6 '(*B* 6 + K
" < .4;34* $1 5 '(**
( @@ ! !6 $&& ,! ( , ,* >$> : $ '(4)
'B @@ "<$ & 6 % 2 2<2 3 '/3.) '(4.
'' !% ! 52 ! L % 2 2 <2 26 ;)93*. '(*/
'. HH , 6 >% >
2 > K 2 "2 2 82 /9/3*; '(*;'; 5 H 5 : , > > K
& 2 1 "2 ,! 7 + 7 !6
$&& 8 %% ..;3./. '(4*
!'
'/ # @# >% + > %% > K 2 52 +2 :9 /B.(3/B '(*'
'9 H@ ,= , > > %& # 2 2 2 3;;4'3*4 '(49
') ! # @ # > %% + > %%
" , 5 '.93/* '(49'4 @ ! 6 % + %& 2 2 2
2 22 '93;' '(4;
'* % @ @ % > % K H1 %%= & 2 7' +2 2,, 4;*3/) '(4.
'( , > > K
2 2 5 ;;43/* '(4(.B @ ! # + D
F . % 9 %% ;;B3* "OH65 & '4 >
" H 2 '(4(.' @ ! ! , + >
92 2 +2 2 #2 2,3 94'3(. '(4(
.. 5# 5 H1 + > %% K & ,! ,*! 7 # 8 #1 #1 '(*.
.; 6 3H1 K %% + > >K % 2 "2 2 83 ;';3;( '(*;
./ 5 F H#6, K> 6 ,"5#56 F
% > K : " 52 23 '9'34; '(*)
.9 6 6 %% + >
D ,! ,*! 7 # 8 %% *;93/. #1 #1 '(*.
.) 6 # %% + >
3 2 2 2 2 , 6 '>.. '(*/.4 5# "! 0 12 % + >
K 2 2 2 2 , 2 ('34 '(*'.* HH , 6 > %
> K 2 "2 2 89 .*43;.; '(*/.( ,GA > > + > ,"5#56 %
> K " 52 25 ..93*9 '(*4
;B $ !6 , @! "! 0 12 6 6 % 2 & 8: " "2 & H "& '(4*
;' #1 # ? # % =% + %% 2 2 2 2 2 23 ;;'39' '(4*
;. @ : @ "! 0 12 # H1
%& 3 "2 2 2 2 2 92;9(3)( '(*4
;; 5 : H 6 K + % " , 7 .B43.* '(4(
;/ " & @ 6 @ % %& & D 2 2 2 2 2 37 ;3.B'(*(
";' -'/
;9 H :& $ := 5 R K >F % R <R R + G , 5% O/' '(*.
;) # # 1 , K % & 2 2 2 2 , 25 (;(39; '(('
;4 $ H ! 6 % & %%
K 2 2 2 2 , 35 .(3/) '(();* $ # #2 #>% =% + %>
D % % 2 2 2 2 ,
32 **93(BB '((9;( !%% ! 2 , , %%=
K ! " + D2 / '((9
/B !%% ! 2 , , %%= K " + D2 / '(()
/' "! 0 12 @ @ 6 >% =% K 2 2 #2 "2 2 ;'3/( '((;
/. "! 0 12 "2 6 %> & +
K 2 2 2 2 , 3, 'B)'3*B '((9/; "! 0 12 "2 # & %
> D 1 2 # .
'((*// "2 "! 0 12 # & %% & D
, ,2 = 2 " '((9/9 5 :Q "! 0 12 # > %& K>
& + 2 2 2 2 , 6 'B/;3); '(*//) 12 "! 0 12 ! 6
=% + %%= K 2
2 "2 , ,* $ L F . %% '34 '(*B/4 #& 1 % +
D 2 2 2 2 , 3 *(3''. '(*.
/* 5 : H H 6 % D 2#" 2 .2 -2 2,67'B8 '/B(3.* '(4*
/( 5 % + H=>4 '(*'9B 6 $ : & 2
2 2 2 , 3 .);34) '(*.9' ! 0 :1 # % +
2 52 7 #2 22 '.;3;. '(**
!'
*)&'
5. (' 2
# % % 2 & & K K 74.;8 % K & # % % %& % K
=% *' K & %= K 74.;8 &
# .
( B
.
( B *.
%
. . B .
. B *;
& (
# % K 7*;8
2 K 7 !% 4 L K 74.;88 %& # K = '/
, %& & 1 & % & & %% # 2 K 7*;8 & % # & & K % # &
D &1 $ & %% &% # + %% + & H9 # '()( &
% !
K & 0 12 ) + & !4 6 % % & 6* %& =< K &
.
..
. /
.1
..1
. /@
*/
@ 1 % % @ 2 K % K 7*/8 2 K & ,&(
, . % % '.'B'' # K &
#( .
( B
(
.
( B *9
% ( ' . ..
. ( *) 1 K % &
50 *) 9 4
% , & & & > & % % & > % F ' # % & =% % &
& *4= K 7*.8 % & %
&
&
&#
.
(&
B **
# 1 % # & B
& % 2 D & % % D K 7**8 &
*) 9 4
/ .%
, *(
% &#'
(& /
#! *'B
! B
B
%& !% '4 F ' # / % L # K & ! % + + & # 2'. , '49 F ' # & % %'; # + F ' !% .B K CL < C< % %& K & # & & & & %& %& & 2 K 2K N + 6 C &< & &'B % # & % %& > %& 2 K & ';'/ %& N + 2 # & 2 & # % A
# % & % % &
# &
# % % % %& % %& # L & % & % 2 K & 2 + $&V 1 2';'/ + L>
% 2 & # % % & & K & & . 'B % & B) $ 1% N # % ;. $&V 1 2 %% % !% '/ F '
*)
5 4 # ' )
# % > & & A
' & # K & &1
. 1 & # & &; 1 % > 6 > '
)
# &
% L & & % # D % # L & %%=
% & = K !% '4 F '
58 ' '
# !R 2 & > 1 K N # % L % & && % && !R 2 # 2 & K 7*.8
# .
( + B
.
( + B *''
+ 2 & N & + *=;. !R 2 = = & % & %= & + % % 1 = , + % % CL < C< K 7*''8 % %= = # = > = % # > L >&& %& &1 & & % L % # =% '9 =% D % L
5< ';) -'/
> L %& %& %& % # & % %& & K
';) -'/
'B & % 1 + %& + # 1 =% ' % 'B % % K>
: - !
# % + + %& & = #%% 2')'4 %& & = # = K
B
. B
.
*'.
. + % #K & =%
-
;'
, -
.
*';
D= % #
' B ; . B ; . #
. ; B ' ; B ' #
; . ' B . ' B #*'/
# 3H1 7 :=3 L8 & !% . %% %&> & 2 % ! N K> & & % & % % & $ % %& & % % & # %& & , *'78 ,*'7&8 7 % F '8 > 75!8 & & .B & &
& & %
: / ! % $!
6 %% % 1 # + % + $ 0 12'''* # + % $ 6'(.B
% %= - *';
*)
, 6< % K !1 $ :.'
% % % + 1 % 6 %% & 1 $&V 1...; %% & % % % % - $ 0 12 +
0 45 90 135 180 225 270 315 360Degrees
RC
S
(b)
# 5. -" !" * * " " < #$ ! " #$ B- 1"E
';) -'/
6 % 1 $&V 1 # 2 % + 7 !% ') F '8 1 $&V 1 % 1 % %% K K + &K $ : %% %& - ./.9
# % H1 2 K
# .
# B *'9
# %%= 1
'
!$'
$'$ *')
% %
$ $ $ *'4 & ! & > # % % L % % L % % % % + # > % & & & % # %
'! $
'! $
$
$
! "
$ *'*
# & & -& = # L
)# )## +)#
)# *'(
) # ' . ! >
/$ ''
''
$ $ *.B
# & % $ H3: % #% & 'B % % : $ L %& % L & # , *. 6 &
*)
Cylinder radius: a = 1 m, radius of the meshed region R/a = 7
# 50 - ! * * " 6" . =
';) -'/
%& - * B.9- - ' = ) 4- , + K 'B % /./ ')B $ ;) % .9. (B4. # & & % # &
= & K + %& =
5= *) / 6:'' ' )-'/7
& L += D % L % - % & &1 %& % & %& + % + = & *. & & % % & % % = + # N %& & # !% '( F ' K 7'('*8 > % 1 & $ 2.).4 % & + % # % % + & & % # K & % & % %& & 6 & #& *'
:, & % !
# % % = & %& = # %& # = % = %& 1 &- + + # 1 %& % & & % $ & & % & > % & =% % % > D & & % %
*)
:, =
%& L & &- #%& &- L , *; & '0 &# & ' & &
L 0 & & % 7 + &8 & % & & + & & 6 & & F ' !% ; 6
%& # % / / # / & 1 , %& = &
0
'
.(# .(
.
*.'
:2 5 = %&
' . ;
H &
#
'
B 0! B! 0! B!
0! )! '
)
. ;.
)
0!
)! '
)
. '
)
'
B
) )
)
B
) )
)
B
0! B! 0! B!
0! )! '
) . ;.
)
0!
)! '
) . '
)
&
#
) '
B
)
.) '
B
)
) '
B
6= %
) B
)'
.)
B
)'
)
B
6= %
*) / 6:'' ' ) -'/7
1 % % > K 7*.8 & B 2 & # H < % 7F '6%% = H8 %% = 0 $ & & & & & =% $.* 6 % + =
'
.(# .(
.
(
'.
*
(. *..
# D C < & 0 , %% = %& 1 & + C% < K 7*..8% & & +
:, 0 %>
%& 1 K % &/ -B =%) 1 % >= ) % -B % " & 0 % & = ! + & K &
ΩA
ΩB
ΩC
ΓDΓCΓB
ΓA
ΓA
ΓA
Objects in water
Boundary of objects
# 5 !
*)
K 7*..8 # & % & & & C> < C < .*
5> $/ -'/
# = %& + & %%& + L # + % 'B & # % & H.( = + % & # &1 & H;B #6 % %>> +# A
& % & % 7 >D & > 8P
1 = & & 7 > %% 8P
+
55 ' -'
# & % %% & !) & 6 !% '( F ' % %% % % & # + D %&& 0 12 ) % % %%& $ 2.).4 & = % & # % % #& *' , ;' , > & %% & )
'
..
.
#
. # *.;
# &
;/). .. ;).) . '
.) . *./
, % % B , % B '.) # % =% > L > & & & =% & % & $ 2;' , */ L & %&
' -'
1 # > % & % % % = % K - %% % %&;. & % 1 $ 2 L #L & % + & L $ 2
:: <$ !5 !!$
6 %% & % % # % &1 & H.( & H;B % # %% H & $1 H 1 1 & 6 % % 7:8 C% < & && & & = & &
1
CylinderIncidentwaves
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10–16
–34–35
Rel
ativ
e er
rors
(%)
2 3 4 5 6 7Outer radiusof finite elementdomain
Plane damperCylindrical damperSecond-order damper
# 58 3 ! * * B
*)
&& % % %% & 1 ! ;B
5? +# :''
6 1 + = %%& 0 12 2;;;/ % F ' % !% '; # = 1 D 78 = 7&8 =& %& # $1L'B;9 % & ! ;);4
% = 6 %% KL % ;; $ K 7*.;8 = K & &
'.
*.9
& '9;;;/ % = % % K &
/ /#
/ /
,
,
,
*.)
'.
*.4
& % & + % & = % / % + = # %% & & & & = 6 & & %
:; *
$1L'B;9 % % =% % & & + # K % & % %= # & 2 K = = K
1
*.*
+# :''
7# & & 8 # & = =% %
&
%
*.(
& % K & % &
'.
%#& *;B
& & + & # & 7*.*8 & + +
'.#'1#
%#& *;'
F % & 2
'.
'1%#& '1
%#&
# / *;.
/ CL < = = & & 1 = # & 5 & %& & %& , *9
:; *
! ;);4 1 = 1 =% =% = % / / % % & + # = 1 2K A
!B
) *;;
# & &
/#
.
. B
' '
. B
' . ' .
. B
. ; . ;
. B
' '
*;// ) .B
B ''
'' ##
## * + *;9
*)
#5<
B
'
(
!
"
*8
! & 1 ) & & K &
1 " 1 =% &
% %& 1 % % > & = / # & & 0 1 > / & ! ;)
%% %& & L + L & F ' !% '4 , '4)# 2 & ;* %% &
%& : $ & , *)
3000 3000 60000Scale
feetNote: Number of node points = 1701
Number of elements = 2853
(a) Finite element grid, grid 3
# 5= 2 ! " " 6" . A A /<
*)
:; ? !!
# %% & & & > & 78 %% % & 6;( 6 %% & K & H.(
5.@ (4
+ & &1 & $/B >> % & 6/' H/. # & F ' !% ( &% % L # + & $ 0 12 > C < % L'''* !%> ! ;);4 + %&
6 224
10 26 2 2
2 225
4
2226
266 2
22
218
9
6 6
22
42
662 2
104
22
22 2
25
2
6 12
2
2
(b) Contours of wave height amplification, grid 3. 232-s wave period
# 5=
(4
, '4) F ' : C%%< + % %& =% & &
5.. -- -' 4
# % F ' !% ( + &% .* ;( /;3/4 , % >
B ' .. & B
') .
). *;)
& < - % 2 + B B = %& %
1 ') 7 > 8 %% & % = % %%= '
)
L
6 & & = 7*;)8
: 0 $ % !
> = 2 K && & & 1 % 2 K & B) , ) 2> 1 1 ) ) > )'. 6 ') '). & %% %& )'. % % =%) & )'. # %
+ )'. =%) *;4 ) '' # % K 7*;48 & %& +
+ .
'
'. '
'
'.=%
'
.
=%
'
'
*;*
% .* ' ' % >% & # %% + %& %% + &% = % # & + & 6 2/4 # & & + % % /) %% % + % & %= - : 6 /* ! , !/(9B 2
*)
%% % + > % = % 6 1 $ $.* 2 %% + , *4 L & % >
5.0 - - 4 ' D'
$ 9'9; %% % + = %& # % & % % $ + > %& =% + & 1 = % & % %
)
)
B
)
*;(
# % 2 ) %% & % & % % # & +
# 5> B ! * . <
- - 4 ' D'
A
# % % & % # %
# + & + +
# % & # % & L + ;
# % % # % 1
)!'
) */B
# N %&& - + # L L & & %% %% + & $ 2/9/) # L + & ) % $ 9'9; % + # =% # & & D3 %& & N & & $ + + 4 1 %- % & & ;BBB + % Y# $ & % > % - 'BB
% L %& , **
5. *) )- 4
6 % + %= - % '(.B # %+ =%) & % &=%) % & K 1 H3: 7 F ' !%(8 # % 7 = 8 & + , *( =% % %& H & % 6< %
) ))) ) */'
*)
% #
) ))) ) */.
$9/ > >% K + % = # = 7 %=8 K 7# %& %+ %= K 8 %& 1 & $ % : 1 %% % % %& & % %= - %
2
1
0
–1
–2
Rea
l pre
ssur
e
0 30 60 90 120 150 180Polar angle, θ
ka = 100
Shell quadraticthrough thickness
2
1
0
–1
–2
Imag
inar
y pr
essu
re
0 30 60 90 120 150 180Polar angle, θ
ka = 100
Shell quadraticthrough thickness
# 55 7 * .8
*) )- 4
& + # & $/B # & & 7 8 % K 6 + %% & 6 2/* C < 1
) ))
& ';) ) */;
& % + & % & ! ! ,/(9B # % %% 0 12 2%% + ! , %%
5.8 1' 4
# %= - % + K 7*..8 & L # & = # & $/B & & &K &- H 12999) % &K + 94 1
5
4
3
2
1
00 2 4 6 8
z/a
r/a
Incident mode number = 1Reduced frequency ka == 11Spiral mode number mφ = 8
Conventional FEMWave envelope FEM
Plane wavelength
# 5? * E < ! *
% % + - + 6 % % + - +
*)
% " & $&V 19*9( %= # + & + & + $ % + & + # & > & 6/' H/.
5.< ' -'/
5 6)B); = % + %> & % % & $ 9'9; % %& 6 + L / % % % + & + ( # 1 %& %% & %& , *'B % % %% + %&
& !% $)/ $ + # %% & N % & %& & % & & %& % & + & H.( H;B " & % & #% 1)9
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–1.50 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Dimensionless time T (= tD/c)
Dim
ensi
onle
ss a
cous
tic p
ress
ure
P(A)
P(C)P(B)
# 5.@ 0 *?/
' -'/
5.= '; ' )
6 & & % % > K , % $1L< %%& 6 %& %% # D & % & %& D :%< K # 2 % " $ < K 1 &=% %
.
. (
.#
'. ## B *//
# %% % 1 K 7*//8& % %&
.
. (
B
.
( */9
1 "& % F ' !% '( K 7'(';8 #> + & %& # > % & % % & F' !% 4 # & B %% .( !3 7 K7'(';8 F '8 #> + & 1 > + &- % % % D # & % D3 6 K F ' !% '( D3> % & 0 12 $)) D K & D & 7 =8 # D L % K % , *'' & & 2)4
6F % D &1 # & > & + *(
:, *5! % %
# % % %& F % 1 L
*)
1.0
0.5
00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Wave period T (s)
Wav
e tra
nsm
issi
on c
oeffi
cien
t CT
Eigenfunction method
Present method (two-dimensional model)
0.1 0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 6.0 7.0 8.0Wavelength λ/B
Incidentwave
Infiniteelements Special three-
dimensionalfinite elements Three-dimensional
finite elementsBed
8 m
Freesurface
20m
3m
10 mFloatingbreakwater
Unit: m
Floatingbreakwater
Incidentwave
1.41.2
1.0
0.80.6
0.40.6 0.8
1.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1.2
1.41.6
1.8
2.0
2.2λ = 34.9 m
η1 = 1 m
# 5.. + ! ! 4" ! A?E
'; ' )
% %& !% 9
:, 1 %
# K !% 4 >% # % % + , '3/ # + !% 4 & %% %& K & > % K & L " K 3 F K % &
(
' ;
.
.
)
(
;
; B */)
# K & & & + + & &)*
:, %
% L % =% & % =% % & + % =% & & #K & 1 & 1 >% % % # = L L % & > L %& + K # +> L %& & *( > %& +>%
"A
'
.
(' B */4
" "A
.
.
(.
.& */*
*)
.&
.&/
.&& .
(*/(
.&/
.('&
.'/
.
'/
.(
'/
.'&
.
'&
.(
'/
'& *9B
.&&
.('&
.'&
.
'&
.
(
'& . *9'
# > & & +>%& & %+ % %% % & +> %& %%& # % % > % C1< % +> C< 1 +> & K %%% & & % , !1 2)( , *'. > & & !1 2 6 & & % & &
Incidentwave
–1.5
–1.00.0
1.00.5 0 0.5 0.0 0.5
0.0–0.5
–0.50.0
–0.51.0
0.0
–1.0
0.0
0.5
0.0
0.00.5
0.00.5
0.5
–1.0
–1.0
–1.0 –0.5–0.5
0.0
0.01.5
1.0
1.52.0 2.0
2.0
1.0
1.0
1.01.0
–1.5
–1.5
–0.5
–0.5
–1.0
0.5
2.5
Real ηD/(H2/4a)(2)
Imaginary ηD/(H2/4a)(2)
# 5.0 - ! * "* 2?>
'; ' )
& % & : 24B 6 + + # > & + % 7 =%8 # +> %& + +> % > K 7*9B8 7*9'8 # & % % & = & % N> % % % & &/
!'
' :& . !& = '(;.. H$ 0 7 @ ?1 '(4/; !! - < # 7 ?1 '(*;
/ @ : 7 , !& '(4*9 H: H 6 % > &
# 6 '4.3*) '()9) "! 0 12 5 !% & &
%& D 2 # , ( %% ;)B34* '3'9 '()(
4 6 ! # % % % %
+ # 28 9B(3.* '(4'* 5@ 6 , # #A # 2 !
=> ! 0 F ' %% ;3'4 ')3'* & '((*
( ,& F ' . H> ?1 '(9;
'B @! $1L : %% %& + , , ' 5 H 2 ! %% .9'3*B
'(49'' "! 0 12 $ + D
%& 2 1 2 #2 "2 2 #2 '(49
%& 0 F 9* @ 2 % >F$ '(4)
'. ! # $ "! 0 12 & A
% 2 2 "2 2 65 '/'39) '()('; $&V 1 , & # & H -
+ 2< K A K
2 2 2 2 2 6,7'*8 ;//;3). '((4'/ $&V 1 , & # & H -
+ 2< K A % 2 2 2 2 2 6,7.'8 ;**;3(BB '((4
'9 "! 0 12 $ # + D A > > !% / <% "! 0 12 5 :
H @ '(4*') " @ 6 %%
% "2
2 2 2 283 '9434/ '(()
*)
'4 @ $1 " % %& "2
2 2 2 283 '9434/ '((*'* $ "! 0 12 L +
+ 2 2 2 2 2 22 '.4'3(B '(44
'( 5@ 6 6 % %% + # 79 9(93)B' '(*'
.B 5@ 6 % + 2 2 2
2 , 5 9B43.) '(*;.' !1 $ " : L
%% % + + 2 2 2 2 2 68;;939/ '(((
.. @ 1 $&V 1 # % + $ %% "2 2 2 2 2 25; .*(3;'/ '(()
.; @ 1 $&V 1 # % + 2 2 2
2 2 6, 4.439* '((4./ " : $ % + 3
% %% % 8? "
, C== %% .BBB.9 " : $ % + 3
" " %
" %% .BBB.) 6 $ #1 5 & >1 K "#
+ 2 B=!1: '(4(.4 6 $ H 2& #1 $
% K = "# + 2 >?&8 '(*B.* @6 $ $ 6 %% + L>
%& % L %& "2 2 2
2 2 296 '43/* '((*.( H $ - 6 '((.;B #: H " D - 6 &>
'((*;' $ $ ! # L %
= L & % 2 2 2 2 , 6 9((3)'4 '(*/
;. $ K 6 - 5 & 2 "2 52 ).(39. '(44
;; "! 0 12 $ # % +
& % 2 2 2 2 2 227'8 ;99349 '(44;/ "! 0 12 $ \ 3 & &
7+ & 8 !% 9 ,
'(4*;9 @! $1L !% & 3L 2 8 2 "2
" F @ 'B3'/ '(4.
;) ! !! " L & 0 + 8=? '(4/
;4 ! !! " > & % 2 8?2 #2 . <@ + %% 94;3(/ '(4/
;* @5 : $ &A & D# 7* / # ' #2 + 8 2 .!B:!1? '(4)
!'
;( 5@ 6 , = 2 %& % ,> %% "2 2 2 2 23 .943)4 '(()
/B $ $ '((./' 5@ 6 + %&A
2 2 2 2 2 %% '(((
/. H + %& 2 "2 : /;3)..BBB
/; "! 0 12 ! $ 6 & + 2 2 2
2 2 2; ;(;3/B/ '(*;// "! 0 12 $ #! ! !
& + %& + # - 69''93/* ?1 '(*'
/9 $ ! #! ! 6 %% + = %& !% '4 " # 5 : $ @ ! '(*/
/) "! 0 12 $ $ ! #! ! %% + = %& 2 2 2 2 2 32 '..(39' '(*9
/4 5@ 6 $ @ !1 : 5 '.* 2 2 2
2 2 537'8 .B43( '(('/* 5@ 6 H@ @ ! %% %
2 # 27,7'8 (43''* '((/
/( : ! 5 , @ ! 6 & + % 2 # 2727/8 /*;39B* '((/
9B : ! 5 , " & + % 2 2 #2 2 ;77/8 .B.*3/B '((9
9' $ 6 > + & % %% =% 2 2 #2 2 ;8798 .4(*3*') '((/
9. $ 5: & % +
"2 2 2 2 2 28: ''43/' '((*9; $ 5: 6 % + "2 2 2
2 2 296 /(34) '((*
9/ $ 6 % % =% "2 2 2 5 443*B '(*4
99 H : 12 ; :% 2 K = & % >+ > + "2 2 2 2
2 257 .;(34; '(()9) : 12 H ! + >
2 K %& ' 7; ''3/. '((*
94 : 12 H # - - + 2 K = "2 2 2 2 2283 '.93/9 '((*
9* @@ = 2 %& + + # '((9
9( @@ $&V 1 6 % %%= &
+ = 2 %& "2 2 2 22 296 '.'3;( '((*
)B 5@ 6 # % %& 2 # 2;37'8 ./93)' '(()
)' 5@ 6 H@ @ ! : ! # > >% & ' , K 2 2 #2 2 2,57'8 /(3); '((*
*)
). 5@ 6 H@ @ ! : ! # > >% & . ,
2 2 #2 2 2,57'8 )/34. '((*); 5@ 6 %% % > % & %&
2 2 2 2 2 62 '.;939/ '((*
)/ @: !% @ $ + %% % =% 2 2 2 2 2 65798 **(3(B* '((*
)9 :: #% 1 6 %> + =
%&A # % & % 2 2 2 2 2 5; ');9394 '(()
)) "! 0 12 $ ,3 6 > 2 2 2 2 2 25 '3') '(4*
)4 6 # # ? L % L # "2 >&?B "& '(*;
)* 65 & , !% ') " # 5 : $ @ ! %% /)93** '(*/
)( @ !1 $ @ H L L + 2 2 2 2 , 23;/;3)4 '(('
4B : : 0 # & & >% + " 2 2 "2 " 5 & & 6 ?1 %% ;;'3;4 '(*4
!'
-' - " #'
& %'
?. ('
% % % % !$ + " & > % # % % %& & %&<& %AOO&O% O # % & L
D %&A
' !%& D %&. %& D; %& D / D9 > %&
% + %& & D+ & # %% & % % !% .B F ' &1 % % & &1 !% .B F ' ,"5#56'. + % F ';
% %!$D & !$ !% ; % 1% %& %& D % =% % % & % % > % & %& % % % % & =% % % 6 % & & % & % &
5 , % !
# !% .B F ' 7'8 % %% 7.8 7;8 % 1 2 % !% .B F ' % !$D 31 7 318 K %& =% >% K>% % !% ; > + K % % % & %& %& D >
K # %%% % 7!% ; / 98 L > % (. & % %
& %& + (; =% % !$ % &D 1 % & 1% %% L % K (/ % & % %% % 7 (98 %& = !$D %& & D
?0 -
# % % % % %% %%% % + % 1 !% .B F ' % !$D % % $ & % % % % !% / 9 & % %# % & !% .BF '
; $
" + & %%% 7 %> & !% .B F '8 & !% .B F ' # , + %%% ' ' . . + & & /, $ & $ & & &
-
& % & D & >& %% 6 % - & %%% D # >%
; &
% !% .B F ' & %& & !$D & K & 7 % %+ 8 % & %%
; <$
& % % D , =% %& D% > % & 5 & & > K % ;' !% ; !% 9 # % L %& #& (' % D & 1 % &
% , % D % %&< & %
; " $
6 % & & %& 7 8
;2 > %
> & & , %
! D & &- D & + !%& D & ) !%& %&
% D D5 & - D5 & !%& %&
% DF D
-' - " #'
!
" !
" #
$
" !
" !
" #
$
$
" #
" !
" ! $ %&'()*+, -.)/-0
1
1 2 *3- &( 45/ 6* 7&.(4-
1
080 $ 2 *3 2&+ -& .) 6* -0
"
"
080#
" 9 !
"
"
"
"
$
$
1
" !
"
"
! "
-
= % & & % # & , (' " % & & 2 & 2
? "
, (. D !$D 6 % % % &% % !$ & >% %& D % % &
; - !
# % !$ & % 1 % 6 > D & =% K & % ' & , L % (;/ !%; % !$
! "
" #0###
00#
! " ! 9
! " ! 9
" 9
" 8!! 9 !!
! " !:
! " !:
! " !
" !
00;#0
! " #0###
" #0###
!< .- 4+*. .(3 /)3/< $ /030 */+&2&. 0
$
# ?. - " !
-' - " #'
Inputs
Preliminaryroutines
Datacheck
Step 1Intermediatemomentum
Step 2Density/pressure
Step 3Momentumcorrection
Energycoupling
Boundaryconditions
Steadystate
Output
End
Make changes
Failed
Passed
Energy/temperaturecalculation
Yes
No
Timeloop
Yes
No
# ?0 2! " .-4!
"
; - !
L & % %& %& % > C %% < 7 ;;/ !% ;8 % % % 1 %& > C
%< % % 6 K % C+=< >%&
% K & =% D %&# % & &> %
% & % % & %& & % >%+ += % % , (; & % %& D 6 /;; !% / L %
& &2 %/ 78 = 78 %% % & , (;
; $ !
# !$ &2 & %& >%D N %% 1 + & 7 )9!% )8 L + & % % 6 %& %1 % & K % &% K >% D %& + % % 7 K
7)')8 !% )8 % , (/ % =% & , 7, (/788
.' /' . ; / 9
' . ' ; ' / ' 9('
& 7, (/7&88
.' 9' .. ; ./
.' . ' ; .' /(.
-' - " #'
=
1 1* 1' *4/- 45/ 1+.4.1* &1* 4.>/ -4/7- *4 (&)/-0
1 1* 1' *4/- .(4/+(* *() /?4/+(* 4.>/ -4/7-0
1
"@###
!
#
1
!AA!AAA!AAAA
1
B
=
1
A A $ &1* *++*,-
080;!
1
1 ->&&45.(3 45/ C*+.*% /-
1
" !
A " #0##9##
" #0##9##
" #0##9##
" =:=!
A " =:=!
A " 89A
" !
! "
A " A 9 A !
" 9 !
" 9 =!!
$
# ? -
"
A " A :
" :
" :
" 8 :
$
" !
" !0#)#D
" 8 :=! $ -7//) &2 -&'()
$
1
1 &&7 2&+ 1* 1' *4.&( &2 &1* 4.>/ -4/7-
1
" !
! " !
" $ 1&((/14.C.4,
"
! " =!:=!! $ '! C/ &1.4,
A! " =!:=!! $ ' C/ &1.4,
" =:=!
A " =:=!
" =:=!
A " =:=!
A! " 8! 9 !
A " 8 9
A " 8 9
A " A! A A
" !
A " A 9
1
" ! $ -5*7/ 2'(14.&( )/+.C*4.C/-
"
" !0#:8 9 $ / />/(4 /(345 *4 (&)/ !
" :A
" :A
! " ! $ /?4/+(* 4.>/ -4/7
! " ! $ .(4/+(* 4.>/ -4/7
1
"
" E
" !0#:8 9
" :A
" :A
"
! " !
# ?
-' - " #'
# K =% & K 7)'48 !% ) , (9 % = % & %
% 7 /9' !% /8& " %%= % &
1
"
" D
" !0#:8 9
" :A
" :A
"
! " !
$
" !
" $ ; -*2/4, 2*14&+
$
080#
" !0#)9#D
" !
"
$
# ?
54
43
3
2
2
1
1
(a) (b)
# ?8 0* #$ #$ *
"
/9' !% / # % %%= %
; 1& $ !
F % !$ & !% ;# % !$ 7, (.8 , & % O% + # % O% + & & %& & % & % =% K & + % & -4/7 %>%
& < 7 !% )8 # L K % K # L &2> & %%% 5 # , 5 & % & & % =% O% &
K 7;9;8 7 K 7;9/88 # & -4/7 %% % L ' . & =% . K 2 ' & B9 'B , %& D% >% . 2 =% , >% %& D %& %, %& D %& >%
' & & B9 ' . % K -4/7 - N = & # % &
% % =% 6 % & > %% %& % = .); !% . =
; &
6 =% & & & 6 .-.)/. F D
-' - " #'
=
1
1 45.- -'%+&'4.(/ 1* 1' *4/- 45/ 7+/--'+/ -6.415 *4 /*15 (&)/
1 >*?.>'> C* '/ ! *() >.(.>'> C* '/ #
1
!
= !! !
1
" !
! " !
"
"
! " !
"
"
" !99
!! " 0#)##! ;
" 0#)## ;
" 0#)## ;
! " ! 9 !!
" 9
" 9
! " ! 9 ! ; 9 ! ;
" 9 ! ; 9 ;
" 9 ; 9 ! ;
$
" !
! " !
"
! " !
"
" ! 9
" ! ;
! " ! 9
" ;
! " ! 9
" 9
"
% & ' .% & & ; % & / D % & 7 % & %&< & %8 & & 6 % %& , ()
;, 5!
# K & >% !$ # % % # + & L , >& % # % - # & & # % K & !% .B F '
;3 ?
%& D % K % 1 # %& D K & & %& D % K & % & % & %& D K 7;)'8 K 7/)8 >%& D %&
;: -$ ! %
6 % D %& D % = %& 6%%% D
$
" !
00#0! "
$
" !
" =:
$
# ?< ! "
-' - " #'
> % & % , D !% 9
;; 1
# 7L & % % %8 K 1 >%& & > K 7 8 % % # %& & # % = & # += K %% , (4
=
A
1
1 -,>>/4+.1 %&'()*+, 1&().4.&(- 2&+1/)0 &(/ 1&>7&(/(4 &2 C/ &1.4,
1 2&+1/) 4& G/+&
1
A
=
1
" !
080 $ -,>>/4+, 2 *3
"
"
" !
"
" ;= 9 =
= " ;
= "
$
$
# ?= - **
"
1
=
1
1 7'+7&-/ H 1* 1' *4.&(- &2 +/-.)'* -0
1
1
!
! !!
=
! " #0###)##
" #0###)##
" #0###)##
" #0###)##
" !
! " =! ; ! $ )/(-.4, &+ 7+/--'+/
" = ; $ '! C/ &1.4, &+ >*-- 2 '?
" = ; $ ' C/ &1.4, &+ >*-- 2 '?
" = ; $ /(/+3, &+ 4/>7/+*4'+/
! " !
"
"
"
!00 !
! " !
! "
00
"
"
00
"
"
00
"
"
$
# ?> - "
-' - " #'
?8 -
% + % % + # % K %>% % % &! 7H8 % %% 9 # H > > 2
;
# K A
.
.' .
..
.
'(;
# K + % + & K
?< &/ : "3
6 %& = 6 %& % K & % % & C < & )
6 &- & % C < !% 9 K & 4
# % %& %%% K *'.
# K & K & %+ # & % %&# & D K K
K =% !% 9 , 3 ';# % !$D & +
, + % % C < 1 N %
!'
' F HN , # ! '((*
. 5 R #$ , ! '((9
; "! 0 12 5: # , 2 8 9 6 : .BBB
/ "! 0 12 " &2 !$
= % 2 2 2 2 2 6: *493*B .BBB
!'
9 H ! R ! J B*B;/ $ %
) # - &>L + D % 3 >%% . 5, /';3.) '(()
4 5 " J ! , % %& 2 2 2 2 2 68 9B;3.* '(((
* 6 2 "2 2
2 2 2 3: .493*/ '(*'( 6 5 : , % 2 2 2 2 , 26 'B'(3;) '((.
'B # - F H 6 & %% >
+ % % %% 2 2 . 58.*)9344 '((.
'' 5 : 5 # ,
. ! '(()'. 6 % + % + %& .
7 %% .BBB8
'; "! 0 12 $F 5 ! % & >% O& %& D 2 2 2 2 ,35 '3.; '(()
-' - " #'
%;')) ' %)'9" 2
# 31 K >
! A
B 6'
! A
B 6.
! A
B 6;
5 K L
B 6/
& K 7K 6'8 & K K
'
'
B 69
& K 7K 6;8 & L
B 6)
6 & K & K K
'
'
'
64
K 76'8 7698 7648 %& D %& > K % # % >% %& D %& 1 # > K & %& D %&
1-- : 1
,'
)9 2
F ' &1 C H1 < = %& % % !% '; F '
& %%% %%= % 1 & : % % % H1 %% D = D %%
H1 A
% D= %%= P
%& > % & %&P
%% %% % & %% & D=P & & % !% .
# % > &% %&
B $'
L 7 8 N 7 & %8 & K 7$'8P =%
B B
( $.
@# " % '(((
6 B % 7 8 ' ' . ! % %1 K 7$'8 7$.8 + &
!'
'
!'
,
-
,
-
B
!'
'
B( B $;
& 7D=8
.$/
-% $9
& B # % 1 K 7$;8 + 1
& A
' = K 7$'8 7$.8 7 8 K 7$;8P K 7$'8 7$.8 % %& & K 7$;8
. # K 7$'8 7$.8 + K 7$;8 & D= A
B
,
- B $)
; # & 7 D 8 1 > %% & % &
/ # . & L K K 7$;8 K 7$'8 7$.8& % & & H1 7H8
9 D= & 7$)8 : % > K 7$;8 1
!'
$4
% 6 % % & + D= -%A
,
- $*
1-- :
K 7$*8 K 7$48 K 7$;8 % %%= + %%= K 7$'8 K 7$.8 & & 7 !% '; F '8
%%= K 7$'8 7$.8 & H 5 K 7$;8 % %%= P
B
- $(
- 7%
8 K 7$(8 7$;8 =% % % >
!'
B
'
,
-
-
,
-
-
,
-
,
-
BB B
-
'
'
(
B B B
' . ' . ! $'B# H %%= K 7$;8 %% K 7$'B8 A
' # % & & P
1 & % 7% >
=% % % % % 8 # 1 N - %
. L % P K 7$'B8% > + %%=
; %% B # % K 7$'8 K 7$'B8 L = % -% & = % + & & % %%
/ K 7$'B8 7 8 H1 %%= K 7$'8 7$.8 % % % 2 %%= & % & H
1-- :
9 % % & '' '
'
% % 2 % =%> & .
) # H + %%=> % %
'
B $''
# %% & > %%=
# H & & % H1 %%= %% 3L %& 3L %&
% # 1 %& A
.
.
. B '
' . ' B = &
.
'
.
, $' $. & %& 'B'B ''B & H1 % = !% .
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–1.5
–2.0
–2.5–1.0 –0.6 –0.2 0 0.2 0.6 1.0
Exactp = 2p = 3p = 4p = 5
x
u
# .
1-- :
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
–0.5
–1.0
–1.5
–2.0
–2.5–1.0 –0.6 –0.2 0 0.2 0.6 1.0
Exactp = 2p = 3p = 4p = 5
x
u
# 0 3
1-- :
#;/ 4 '
# >& & + > D %& 6 )* !% ) # =% K & > + , !' , K 7'./8 K
B !'
& >& & K &2 1 &
#
!.
=% % > &% % = 7 !% ;8 5 & K / 7, !'788 & % %% H <
/
'
/
/
'
;
/
/ 1
!;
' / 1 7 8 # %& %%= K #3H1 7 !% .8 & 5 & 7, !'788
'';
/
/ ' .
'.;
/
/ . ;
';;
/
/ ; ' !/
'' '. '; ' . ; % , > & 5
0 /
0
/ 0
0 /
0
)./
1
0
!9
& # & K & / , !'7&8
0'
)./
; ' 0.
)./
' . !)
0' 0. %%% # & K 7!;8 7!98 & >&
% K 7!;8 & 7 /8
/
/
!#
.'
//#
'
;
/
/
/#
!4
!# & /
. //# = //#
# & K K K 7!/8 / , !'78 # & K 7!98 7!)8
1
1
2
2
3
3
I
I
3
2
1
21
(a) (b)
# . 0* " ' #$ ) #$ *
1-- :
#'
& K + + L %& % + # % % & K & # % % %& !% * + % # % % - &
+ %& = & + & % & & + # %% + & 1 + % K % K # & % %&
' 2 % & & " 2
/ . & K % & # + 2
/ ; & & % %> + % & #
' /
&
& % & & K & % + % "& & + % # " % & & % + & % &
/ 9
K & % % & - >K 6 = + > +
+
) + #
+
4 # & % & && % >1
/'
*
6 ' %
% > # > & K & & % % & & & %
+ & & & # % % & %% !% )
1-- :
' '9) 3 -#
6 % & 3 D % !% ) %% = &D =% % % D% % # % % & % D % , ' $ & + 2 %
# 2 K & % & # & % &
# 3 & %% % % & % % # % & 7, '8 & C# %&< & % & C> < &
# 5 # % & % 6 , ' > %
Semi-inverse
Semi-inverse
Semi-inverse
Semi-inverse
Dire
ct
Direct
Turbulent
TurbulentLaminar Transition
Stagnation
stream
Turbulent wake
# . 2! 0* * * 4! "
& L # > % &2 & % , . D % & 3 %
, # %& > % & )'. !% ) 7: $ 18
Unstructured gridsor multiblock Euler
inviscid method
Direct calculation
Lag-entrainmentboundary layerviscous method
Direct calculation
Cp,s
ρVN
VN δ*
(a)
Unstructured gridsor multiblock Euler
inviscid method
Direct calculation
Lag-entrainmentboundary layerviscous method
Direct calculationδ, θ, Cf, H
Cp,s
(b)
ρVNm + 1 = ρVN
m + K*θ
uv
duv
ds– θ
uv
du i
ds
m
dds
ρVN = (ρv uv δ*)
# 0 " ( ' #$ ) #$
1-- :
, . N %P # P & 1 P 1 P 1 N P %+ % %P P % >% P % & P &% 1 & P % 1 P %% %% ! , & K A
B
'
.
'+.
'
K & & >
#
'
. '
#
.
%' '
#
. .+.
#
;
B'
#
.*
' B9U B9
#
U
#
' BB49+. ' B.+.
' B'+.
/
BB. .
B*
;
BB'
9
& K ' %+ % % +
'
B
'
'
)
N P % & P+ &P N P % P &% U U % K& K& & D &
1-- :
" & K % % , . & % # % % % &
1-- :
1' :
& " %
6&& $ .'* 35;
6 56 ;) ;* 92
6 'B. 'B; 257
61 @ )4 44 ::P '99 299
6= @ '.B 25; 26,
6 6# '.B 26,
6 @ (/ 256
6 .)) .)4 375
6 5@ ./; ./) .9( .)B .). .)/ .)9
37, 372 373 375
6 6 )4 ::P ')' 297
61 $ '.B 25;
61 @ .; 9,
6 ..; .;9 36,
6 5 ')( '(' '(. '(; 326
$- ,# '.B 26,
$& 6F5 'B. 'B( ''B 257
$&1 .) 9,P .// ./4 .)9 37, 372 373
$ @ '/) 298
$1 6@ ')' 297
$1 #@ '*( 329
$- 6 '.B 26,
$ $ '4/ '49 328
$ .9; .)B .). 372 373
$ @5 'B. 258
$ '4 8;
$ ! / 23
$ @ 'B. 259
$ ! .) ;/ 9, 92
$ , '.B 26,
$ 6 .9B .9; 372
$ :$ ')( '(; 326
$1 5, '/) 298
$ ..; 362
$- 6 '99 '94 299
$ ';B 262
$1 # ./ 9,P '.* 262
$ K @ ;* 93
$ @ ';. 263
$ ''* 25;
$ ;* 93
$ @ 'B. 258
$1L @! ./; .99 37, 372
$ ')' '); ')/ 297
$2 6 ;* 93
$ @6 () 256 .9. .9; .)B .)' 372
$ () 256P '9( ..; .;9 36,P ./; ./9
./) ./4 ./* ./( .9. .9; .99 .)B .)'
.). .); .)/ .)) .)( 37, 372 373 375
$ 5 '.B './ 25;
$ '.B ';B 26, 262
$ 5 '.B 25;
$ F 'B. 258 '*( 329
$% 65 '4/ 326
$ H ;/ 92 )4 ::
$ @ )4 ::
$ @ '.B ';B ';; 26, 262 263
$ @ 9B 95
$1 'B. 'B( ''B 257 25:P .B. 329
$ : 9/ 95
$ ? 'B. 257
$ ..; 362
$ .'' 327
$1 6 '.* 262
$&& !6 ;9 ;) 92P ..; 35;
$22 , *' ;,
$ ')/ 29:
$1 : 9B 95
$1 @ 94 95P ')( '*( 326P ./) ./4 372
$1 6 ') .B .4 .* 8; 9, 92
$ @, .'B 329
$ 1 $ ';B 262
$ .)' .). .); .)9 373 375
$ 6@ ';; 263
$ @ .)9 375
! ? '/) 298
! !! '.B 25;
! @6 ;/ 92
! "6 ';. 263
! H, .; ;/ 9, 92P 'B. 258P ..; 362
! @ '(* 329
! 5 '*( 329
!>2 @ 'B. 'B( ''B 257P .B. 329
! $ '.B 25;
! @! 'B( 25:
! .) 9,
!1 ./4 372
! 6 ! '9( 299
! # )4 :7 ::
!% , .B( .'' 329
! ..; 35;
! ? '.B 26,
! 65 )4 ::
! 6@ '(* 329
! ! '99 299
! '/) 298P .9) .9* .9( 372
! !? '99 299
! @: '.B ';B 26, 262
! #! .)B .4. 373
!%% ..; 362
! 6@ )4 :7
! 55 .'' 327
! '* '( 9,P ../ 362
! 6 )4 ::
! #@ '.B './ 25;
!% @: .)9 375
!1 @ .)B .)( 373 375
! 5 .) .* ;/ /B /' 9, 92 93P )4 49
44 *' :: :; ;,P (4 (* (( 256 258P '/*
')' '). 298 297P '4/ '4) '*9 '*) '*4
'(* '(( .BB 328 329P .*( 3;,
! '4( '*B 328
! H )4 :7
! @@ ..; 35;
! + H! '.B 25;
! 5 '4 8;
! @ .)B .)/ .)9 373 375
! 6 ./; 37,
! : .)B .)/ .)9 373 375
!% ..; 35;
! @ ';. 263
! @ ..; 36,
! H / 23
..; ..4 362
@, 'B. 258
& " ..; 36,
65 ';. 263
@ ..; 36,
! '/) 298P ..; 362
5 '.B 25;
% 6$ .( ;/ 92P 'B. 259
F 5 ..; 36,
H )4 :7P '99 299
12 : 'B. 'B; 259P '4' '*' 326 328P
.)/ 373
')/ 29:
= 6 'B. 258
& !6 ';B 262
'B. 258
'99 299
';. 263
'B. 258
% @ 'B. 257
@ ./ /4 9. 9, 95P )4 :7P '.* 262
@ 7@ 8 ;* 93P ..; 36,
@ .)( 375
@ '/* '9B 298
% ..; 36,
% ';. 263
@ ;* 93
! H '4) 328
5 'B( 25:
*. ;,
! .9; .)B .). 372 373
''* 25;
K $ .9/ 372
'9( 297
';B 263
6 'B. 259
./) .). 372
5 ;* 93
, 5# '.B 25;
,& ./; 37,
, 6 'B( 25:
,= H@ ..; 36,
, '.* 262
, !6 ..; .;9 36,
, HH ..; 35; 36,
, : 94 95P 'B. 258 259P ')( '4/
'*. '*( '(/ 325
, 'B. ''* 257 25;
, ''* 25;
, : '.B 26,
, : ./ 9,
, @ 'B. 'B( 257
, 'B( 25:
, 5 .)B .)/ 373
H 6! '4) 328
H 5 '* 8;P '99 299
H - .// 37,
H F .*( 3;,
H #: .9; .9/ .99 .)9 372
H : 'B. 'B* 'B( ''B 257 25:P .B. 329
1' :
H .9( .)/ .)9 373
H (4 (* ''. 256
H (4 (* ''. 256
H !
.*( 3;,
H=>: .'. 327
H )4 :7P '.* 262
H .9; .9/ .9( .)9 372
H H: ./. 37,
H L 6 'B. 258
H& '') '.B '.) 25: 25;
H H: ';. 263
H& @ ;* 93
H ?# )4 ::P '99 299
H ..; 36,
H H ..) 362
H 5 ..; 35;
H 6 '(' 329
H @ .'B .'' 329 327
H @ 'B( 25:
H @ ;* 93
H )4 :7 ::P ''* 25;
HN , '* '( .4 9,
HN F .4/ 3:;
H 2& .9B .9; 372
H H: .. 9,
& H 'B. 257
1& '*( 329
! ..; 36,
= @ '.* 262
K @" ';. 263
% ..; 36,
H@ .'* 35;
& '4) 328
.)) .)4 375
& ? ;* 93
" 'B. 'B; 259
" 94 95P 'B. 'B* 'B( 259 257 25:P
')/ 29:P ')( '*4 '*( '(' '(. '(; '(4
.B' .B. .B) .B4 .B* .B( 325 326 329P
./) ./4 37, 372
6 ;* 93
@ 'B( 25:
H .)( 375
, ;* 93P 'B. 'B( ''B 257P .B. 329
@! '* .9 .4 ;/ 9, 92P '.B './
25;P '99 299P ..; .;9 35; 36,
:5 .. 9,
@ ..; 36,
@, 'B. ''; 259
6! )4 ::
# '/4 '/* 298
..; 36,
../ 362
H () 256
! / 23P '4' 326
! '/* 298
L @ '4/ 326
5: .)' .). .)9 373 375
'* 8;P '99 ')' 299 297
@5 .9* 372
H! ''* '.; '.9 25; 26,
'B* 25:
6 )4 ::
R 1 @ '.B '.* 26, 262
#H ')' 297
#@5 ') .B .; ./ .4 .* 8; 9, 92P
'') 25:P '4) '4* 328
& H ./ 9,
& ..; 35;
1 '* .4 9,
5 ..) ..4 362
5 '/4 298P .*( 3;,
5 ;/ 92
& , .// 37,
1 ../ 362
% , '99 299
$ '.B 25;
'4 8;
..; 362
@ ! '.B 25;
@ ? '99 299
@ 6 *B ;,P '/4 '/* 298P '4/ '*( 328
329
@ 6 ..; 36,
@ ! '/) 298
@ H '/) 298
@ $ ;/ 92P 'B. 258
@R 2 @ ')' 297
@ 'B. 257
@ 0 ./ .* 9, 92P '4) 328
@ ! .* .( ;/ 92P '4) 328
@ 5 '.B 25;
@ '.' 26,
@ @ ')( '*( 326
@ #! )4 44 ::P '99 299
1 # ';B 262
? '(* 329
H 'B( 25:
.)) .)4 375
..; 362
'94 299
)4 ::P ..; ../ ..4 35; 36,
362
1 # ..; ..4 362
1 ';B 262
'( .4 .* 9,P ../ 362P ./9 .99
37, 372
1' :
@ '.* 262
5 ';. 263
? '/) '99 298
2 H ';B 263
& ';B 262
& '.B 25; 26,
# ..; ..4 362
: 94 95P ')( 325
F 'B. 'B( ''B 257
H5 )4 ::
@# ..; 36,
:& ! ;* 93
:& H ..; ..4 362
: " ./4 ./* ./( 372
: H '.B 26,
: H '.B 26,
: !H ')' '); ')/ 297
:& / ( 23P ./. ./; .// .)* 37,
: : / 23
:% 6 9B 95P '4/ 328
: : '/) 298
:= $ ..; ..4 362
: : .4B 375
: 'B. 'B( ''B 257
: $ ')' 297
: H '9( 297
: )4 :7
:= /; /* 93
: $ @! .'' .'. 327
: ! '.B 25;
: @ 'B. 258
: @ ..; ./B 36,
: @ ';B 263
: 5: )4 :7
: ! '99 299
: # '/) 298
: F 'B. 'B; ';. 257 263
: $ '( 9,
: ')' 29:
: ;* 93
: @, '') 25:
: 5 'B( 25:P '/* 298P .'( 35; .*(
3;,
:1 .;4 362
:2 / 23
: @ .'B 329P ./. .)* 37,
: G ;* 93
: @ ;* 93
: ?! 94 95P 'B. ''* '.; '.9 258 25;
26, 262P ')( 325
:Q 5 ;* /) /4 94 93 95P 'B. 258 259
257P '/4 298P ')( '44 '4* '4( '*( 323
325 328 329P ../ 362
:%2 '*( 329
: # '/) '99 298
: 5 ..; ..) 35; 36, 362
: 5 ;/ 92P )4 :;P 'B. 259P ')( '*4
'** 326 328 329
H@ .)B .)/ .)9 373 375
! @ '/) 298
!1 5 '4/ '49 328
')' 297
- 6 .9/ 372
- ;/ 92P )4 ::
1 6 ';B 262
*. ;,
'4) 328
1 '') 25:
# ..; 36,
2 # )4 :;P ')/ 29:P ')( '*4 '**
.B* .B( .'' 326 328
@ ';. 263
@ 'B. 'B* 'B( 259 257P ')( .B)
326
: 'B( 25:
21 H (/ 256
5 '99 299
: '/4 '/* 298
2 ..; 362
)4 :;P '9/ '99 '9( 299 297
';B 262
';. 263
% @ *B ;,
= ;* 93
5 .'' 327
!! '/) 298P ./. .// .9) .9* .9( .)*
37, 372
1 @ ./4 372
$ '.' 26,
1 5 .'' 327
R " ')' 29:
)4 ::
'B* 25:
65 '* '( .4 9,P .)* 375
$ 'B. 'B( ''B 257P .B. 329
')' 297 29:
.* ;/ ;* /) /4 94 92 93 95P )4
49 *' :;P (( 'B. 'B9 'B* 'B( 258 259
257P ')' '). ')/ 297 29:P ')( '4/ '49
'4) '44 '4* '4( '*. '*; '*/ '*9 '*)
'*4 '** '*( '(' '(. '(; '(/ '(4 .B)
.B4 .B* .B( .'' 323 325 326 328 329P
... ..; ../ 35; 362P ./) ./4 37, 372P
.*( 3;,
./; 37,
;) ;* 92P '4/ 326
1 # )4 ::
12 '( .) .4 .* ;* 9, 93P '') '.B
'./ 25: 25;P ../ 362
1' :
1 '/) 298
66 )4 ::P 'B. 'B( ''B 257P '99
299
Q F .( ;/ 92
..; 35; 36,
5 ./; .9; 37,
;/ 92
$ '/* 298
1 5 '.B 25;
56 '*( 329
6 '94 299
.* ;/ /' 92 93P )4 44 4* ::
:; ;,P (4 (( 'B. ''B 256 258 257P '9/
'99 '9( ')' 299 297P '4) '*9 '*) '*4
'(* '(( .BB .B. .B; 328 329P .*B .*(
3:; 3;,
& 5 '(' 329
& , '/) 298
! '99 299
"<$ @@ ..; 35;
"<! @ () 256
" @# .) 9,P 'B. 'B; '') '.B './ 258
259 257 25: 25;P '4' '*' 326 328
" '.B 26,
" )4 ::
" @ 'B. 258
" J .9 ;B ;/ 9, 92P '.B './ '.( ';B
25; 26, 262P '/4 '/* 298P .*( 3;,
"2 )4 :;P (4 256P '(* '(( .BB 329P ../
..) ..4 362
6 .'' 327
, '4/ 326
'.B 25;
$ 'B. 259
'B. 258
% #! *. ;,
)4 :;P 'B* ';. 257 25: 263P '9(
299
$ .// 37,
1 $F )4 ::
1 6 ')/ 29:
@ 94 95P 'B. 258 259P ')( '4/ '49 '*.
'*( '(/ 325 328 329
'B. ''; 259
@ ;* /) 94 92 93 95P )4 *. ;,P 'B.
'B9 'B* 258 259 257P ')( '4/ '49 '*.
'*; '*/ '*4 '** '*( '(B '(/ .B4 .B*
323 325 326 328 329P ... ..; ../ ..)
35; 36, 362P ./) 37,
= @ 'B. 258P '*( 329
'*( 329
" ;* 93
1Q @ .( ;/ 92P *' ;,
@, .) 9,
@,# '.B './ 25; 26,
;* 93
1 '.B 26,
F '9( 297
@ '.B 25;
& @ 'B. 'B* 259 257P ')( '(9 '()
.B) .B4 .B* 326 329
'B. 257
U% : 9. 95P )4 :7
52 'B. 'B; 259 257P '4' 326
5& H )4 :7
5- '.B 26,
5 $ )4 44 ::P '99 299
5 5 )4 ::
5 FF 'B( 25:
5 '/) 298
5 '/* '9( 298 297
5 1 )4 ::P ')' 297
5& '.B 25;
5 '4 8;
5 : ;* 93
5 H )4 ::
5 @ ;/ 92
5 @H )4 ::
52 ! ..; 35;
5 5 '4/ 326
5 ! '*( 329
5 @ / 23
5 5 ')' 297 29:
5-1 @ )4 :;P '.B ';. 26, 263
5& ! 'B* 25:
5 6 '4 8;
5 #, ;* 93
! '/4 298P .*( 3;,
L ')' 297
$F .* ;/ 92P )4 49 *' :: :;P ((
258P '99 ')' '). 299 297P '4) '*9 '*)
'*4 328P .*( 3;,
5 ')( '*( 326
1& , .* ./ 9, 92P '4) 328
'B. 'B( ''B 257
5: ''* 25;
%1 # () 256
F ;* 93
'/) 298
Q '/* 298
/ 23
'4/ 328
F .B( .'' 329
H )4 :7
%1 5@ )4 ::
& .)* 375
D $6 '9( 299
1' :
@H '.* 262
@ 'B( 25:
F .. 9,
)4 44 ::P 'B. 'B( ''B 257P
'9/ '99 '9( ')' 299 297P .*( 3;,
F 9. 95
% 'B( 25:
21 ? '.B 25;
)4 ::
!# (4 (* ''. 256
# '9( 299
@@ .)9 373
& 5 'B( 25:
.*( 3;,
1 ./ 9,
H '44 328
'/) 298
$ 'B( 25:
1 ';B 262
% $ '4 8;P ')' 297
K $ .'' 327
)4 ::P ')' 297
! : '(' 329
H .'( 35;
6 ..; 36,
@: '4/ 328
@5 ')( '*4 '** 325
6 ;/ 92
W $ '*( 329
'99 299
& # 'B. 258P .// 37,
& H 'B( 25:
# .)) .)4 375
- '9( 297
;* 93
- # )4 44 ::P 'B. 'B( ''B '.B
257 26,P '9/ '99 '9( ')' 299 297P .*(
3;,
.4/ 3:;
2% 6 .* ;/ 92P '4) 328
2 @ )4 *. ;,P 'B. ''; 259P .'' 327
#1 ..; 36,
# 6 'B. 257
# 0 .4B 375
# - 5 ';. 263
# 5 '.B 25;
# ! ')' 297P ..; 36,P .// 37,
# 5: )4 :;P '') ';. 25: 263P .4/ 3:;
# 5 / 23
#2 ## ;* 93P '4* 328P ..; 362
#- 55 'B. 'B* 259P ')( '*4 '** 325
# 5 .*( 3;,
#% H '.B 25;
#% @, 'B( 25:
#% :: .)9 375
# !: '9( 299
# ';. 263
# '') '.) 25: 262
# '(' 329
# & '*( 329
#& ../ 362
#1 .9B .9; 372
# > 6 ')( 326
% ! )4 :7
6 'B( 25:P .*( 3;,
# )4 ::
F1 @ '4/ 326
F '9( 299
F 'B. 'B9 'B* 'B( 258P ')( '*.
'*; '*/ 325
F H 'B. 257
: @ '.* 262
F2K2 ! ;* 93
FR 2K2 .* ;/ /' 92 93P )4 44 *' :; ;,P
(4 (* (( 256 258P '4) '*9 '*) '*4 '(*
'(( .BB 328 329
F% , '.* 262
F 6 ')( '*( 326
F @ 'B* '') 25:
@ '4/ 326
';. 263
..; 36,
';B 262
'(* 329
% 6 ';B 262
, 'B( 25:
;/ 94 92 95P 'B. 'B* 'B(
259 257 25:P ')/ 29:P ')( '*( '(' '(.
'(; '(4 .B) .B* .B( .'' 326 329P ./)
./4 372
& , ';. 263
1 @ .'B 329
@F '/) 298
L $ /; /* 93
#6 'B. 'B; 259
, ..; 362
H$ ./. ./; .)* 37,
65 ')( '*4 '** 325
+ 6 ';B 262
R 5 .4/ 3:;
5# .'* ..; 35; 36,
'4 8;P ')' '); 297
.4B 375
5 '.B ';B 26, 262
5 ';B 262
..; 36,
'4( '*B 328
6 ')' 297
1' :
@ )4 ;,P 'B. 'B* ''. 257P .B. .B/ .B4
329P ..; 362
@, 'B. 259
'B. 'B; 257
? H '.B './ 25;
? 'B. 257
? ! '/4 298
? !$ )4 ::
? # ..; 36,
? # .)) 375
? 6 .'' 327
? )4 :7
? !! ;/ 92P '99 299
01 # 9B 95
0 ? 'B( 25:
0 @0 94 95P 'B. ''; '.) 258 259 262P
')( '*' 325 328
0 ! .;4 362
0 12 "! '* '( .9 .) .4 .* ;/ ;*
/B /' /) 9/ 94 8; 9, 92 93 95 )4 97P
49 44 4* *' *. :; ;,P (4 (* (( 'B.
'B9 'B* 'B( ''B ''; '') ''* '.B '.;
'./ '.9 '.) '.( ';B ';. 256 258 259
257 25: 25; 26, 262 263P '9/ '99 '9(
')' '). 299 297P ')( '4/ '49 '44 '4*
'*' '*. '*; '*/ '*9 '*) '*4 '(9 '(*
'(( .BB .B. .B; .B/ .B4 323 325 328
329P .'( ... ..; ../ ..) ..4 .;9 35;
36, 362P ./; .// ./9 ./) .9; .99 .9(
.)B .). .)) 37, 372 373 375P .4/ .*B
.*( 3:; 3;,
1' :
"/E :
.//
6 % % 6
6& % 4 (. '9/
6&% ./.
6 A
' )9
6 ! ..'
6 + .)/
6 ; '' .'( ./. ./; ./9 .9B .). .)/
= .)'
6% % '*B
6% .B9
'';
+ 'B.
6% % .B) .49
6% + ';. '*B .BB .B)
6% '.) '(9
6% '*(
6 & .B)
6 K '/*
6 .9
6 (9 .B. ;B.
6!6BB'. */ '/* .B.3.B4
>% .B)
6 '4B
6 '*( '(. .B( .'. ./)
6: 76& : 3 8
'.*
6A
7# % %8
!$ 7! $ %8 */ *9 (.
(; (* ''; ';. '/4 '9) '9( '). '4;
'** '(* .B. ../ .;4 .4/ .4* .*/
H1 /;
.9;
=% 'BB
>=% ..4
>% */
6 + '94
6 '.B
6 K ./. ./;
6 % L .*
6 % 'B(
6 % 1 % '4) '*) .*B
6 % '4/
6+ %& )4 ((
6+ L .. 9B '49 ../
:%>% '4(
6+ % '4/
6+ %& .9(
6+ L & .9*
6+ '4/ .*B
6% % ..B
6 '*.
6= & )(
6 D= .(/
6 % 2 '9(
6 % '49
6 D K ').
6 % '9(
6 ..(
6= - ()
$ % % $
$&M 13$22 7$$8 )) 4* *B ''4
$1 % 'BB 'B9 ''; ')/
$ *
$ ) ./.
$ L .B .. .4
.*
$ .4) .*)
$ ./;
$% ..4
$ ../
$ ..) .;9 ./9
$ ';B
$1L .)9 .))
$ < K (/ '/4 .)9 .))
$ D ''* ''(
$ & '*/
$ 1 '*'
$A
'9B '9;
$ L .9'
$ * )9 4; (. (/ ()
$ 4/4 '*(
$ ../ ..4
.;. .;;
..(
$ ...
$ ..'
$> '9)
$ A
'./
= '4;
= '4.
+ *'
+ '4;
.;9
% D '4;
$ A
= ..4
+ '4.
+ .)'
.9'
% '.; .;9
'4. '4;
% D '4.
$ + .9'
$ (/
.;;
./; .9.
$ *' *. .4( .*/
.(; .(/
;B9
/9
>D .9;
>D .9;
%& *;
//
$ % .9;
$ ('
$ .9. .9) .).
= .99
1 .99
$ ; 'B ') 'B* ''B '4' '*B
'(. '(4 '(* .BB .B. .B) .B( .'B ...
.B'
% .''
;B9
.'.
1 .B4 ;B/
3 D % ;B.
$ .4) .*B .((
$ .B)
$ % .9B
$ '/)
$ *;
$ %& '.B
$ >= 'BB
$ K ').
$ 1 '*4
$1A
D .)93.)4
$1 .9B
%& ./9
$ ! ..)3.;' .;)
$1 9 '' )/ (' (. ./.
$ '/;
$ ')'
$ D '9; '9)
$ ('
$< K 9B 9.
$ .)' .).
!A
'(.
% '('
! & ';B
! .49
!3 .)9 .))
! &> '9)
! %& ''9
! ((
K (4 '9)
> 'BB 'B' 'B; 'B/ '''
./;
!$ 7! $ %8 '/
)/ )4 *;3*9 (. (; (* ''; ';. '/4 '9)
'9( '). '4; '** '(* .BB .B. ../ .;4
.4/ .4/ .49 .4) .4* .4( .*/ .*(
!$ %& D (4
!$ % % .4/
! + L '*
! & './
! A
$ ..)3.;)
..* .;9
.;)
! ;;
! H1 ;/ /;
! & '49
!>& ;9
!>& % % 9(
!>& % 9(
!>& % !$
!3H1 ;) ;* /* )43)( 4/
'/) '4) .;4 ./)
! ;/ ;9 4;
! ./;
! 49
! *
"/E :
!R 2 ..' ./9
! % )4
! .)(
! '*(
! (4 '9)
! ./;
! +> ').
! .)*
! ..;
! .'*
! .9B
!N A
+ L '49
!R 2 ..'
L '/ .;4
L .(;
;B/
..(
;B/
1 ;B/
..'
!N % ;B/
!N =% '9/
! & .
!%= - ./) .)B .);
!%& . ; )/
+ )4 ((
';.
!%& D 'B /* 9B )) 4; (' 'B*
'4B '4; '4/ .'* ../ .49
!%& 94 ')(
!%& >% D 94 .*B
!%& D %& .4/
!%& '4.
!% % !$
.4/
! .*(
! 49
! A
& (/
& .;;
() .)9 .))
1 .)9 .))
3@11 '9B
(/
& ./; .9.
.9B .)(
5 1 3 9B
& /.
! & ;*
! = .9B
! A
& *' *. .4( .*/
& >= 'BB
& .(; .(/
K& ;B/
& ;B9
%& ))
& /9
'44
>D & .9;
.9'
& //
% (4
% *;
> 4(
! N L .(;
! * .49
! D= *
! )) .4)
')'
! A
% *
)9 )) '9) '9( ')'
! - % 44
! - % .*)
! - %= .)B .);
! - + .)/
! .49
'*'
! A
% D= .(;
4 )9
'./
) .'( ./.
) )9 .'(
! K ;
! * '4' ./) .*)
! ';
! )) (. .('
! )/ )) (' .('
! )) (. .('
! & .(*
! /; '49 '44 .*/ .(*
! A
!R 2 ./9
./;
:% '*B
4 )9 '9/ '4B
! % )/
! % '4B
! %+ '4B
! D 9
! .(/
%& ' .
! '( (( '9( '). ;B/
! %> ..'
! %& .
! A
*) .B;
.B*
% .B* .'B
"/E :
! './
! % ;4
! / *
& ')'
'// .*)
.;*
= .*)
'99 '9* .*)
'//
% .( /9
53$ '9)
! %& ';
! K % '/)
! .(;
! 3L K / '; .9 .) //
/4 4. (. .(;
! ' )9
! L ;/ ;)
! 99
! '94
! '/ ()
! (4 '** .*43.*( ;BB
! A
.49
'./
% .)' .).
.49
& % .)'
% % .)'
% % .)'
! ..'
! ..(
! % ..'
! > ./9
! A
= .*/
.4(
!% A
.4(
> ;B;
'' '.9
> .'B .''
! & /. (4
! .*(
! D % .;9
! & % % .B
! % ../
!> .;9
!> L .(
! ./;
! A
> ''
.;9
% .;9
.;*
! & + 'B.
! ''B
! 'B4
= % % 'B*
'B(
! A
.)(
'*9
&1 ../ ..)
%A
.9;
%> %% .9/
%A
& .9;
.9;
> .9/
% .9;
.)9
% .9.
% % 4*
& ')B ')' .4)
656 & '/( '9.
'*(
% .49
.49
% .9(
% 5 .;;
% K 9*
% '.. '.(
% .)*
'B(
A
1 9 )9
; 4 (' (. '9/ '4B ;B/
./;
D )
*) .B;
.4*
> ''
3% K 4;
O% + .*/
%A
..B
./. ./;
%> ..'
%> K ..B
%> % K .;4
'B4
'(;
'(.
9 4' 4.
' 9 )9 4' 4. (.
H .(9
= 9* 4.
% -
.*)
"/E :
A
*B
&2 4*
';B
./;
L .9B .9'
% .).
% .)'
./* .9B
L %& +> .)*
L / .;*
+ ..
& .B .. .4
;/ ;)
> .(
% .*
:%>% + '4(
..
&2 ;(
& .*
L N '/ .;4
+ '49
L N .(;
L .;(
L .9 ;* .;4
L D= K '/
L 9B
4)
LA
+ 9B ../
'9/
& .(; .(/
78 %% .9;
D .;* .;(
9B
% '*'
H1 .) .(;
2 A
= '')
% '')
% 4B
% % .'* ..4
% ./; .)( .4'
% 1 ;B/
% A
+ '4/
*
..*
1 '.;
./9
% .*)
& A
/)
% .''
.9.
& .
.9.
& % .B4 .B*
& ...
A
'/)
..'
A
% '.. '.(
'9B
%& ''9
& ')'
DA
& '9; '9)
'9/
.;)
.9; .9(
%& .).
?6; ';.
=% ';.
K& )
9
)) '9)
&& .;'
')' ./9
;
& ').
.'.
A
'9B
>& + .(*
9* .//
.//
& .
&1 ''
%& ';.
';.
%& ))
% L .).
./9
%& '';
+ ./)
%& ./)
%& 94
/ ./. ./; ./9
./; .9B
7# + 8
A
$ .).
- + .)/
'(4
+ .
+ .9. .9( .)9
.*;
K .B) .B4
% + ./(
"/E :
& 2
+ .)B
.B)
.B)
.B4 .4/
- + .)/
.4)
'B4 'B* 'B(
>& + .(*
+ .4/
2 '*'
'*.
+ .).
% .)9 .))
+ .4/
.()
A
> .)(
.9'
./. ./;
A
..)
.)9 .))
% L .)'
%A
& .B4 .B*
% .)' .).
% % + .)'
'(4
'*B
A
'B43'B(
'9( '4B .*/
& *
)) (. .('
'4B
1 '.'
%+ (. (/
& 1 ').
4 )9 './
K ;
% .4(
% *
K 4/ (' .*) .*(
.99
'';
% ''
O% .4(
1 '(/
% * (/
N ;B/
% )/
K 4 )4
K .49
K A
$ (/ '/4 .)9 .))
$ 9B 9.
((
3L / .) /4 .(;
>% 4;
4/ .*) .*(
;
( '4) '44
% '9;
2 ..; ./. ./; .// ./* .99
3 F .)*
:% () .)9 .))
'9/
31 (
(4
% '/)
3L (.
>- ()
% '/ ');
./.
K A
D ').
3L '; .9 4.
% 9*
%> ..B .;4
('
* 'B (; '9B '4' '4. .'* .(*
;B.
31 .49
= ./; ./)
31 'B .) '/) '9B '4B '*B '(4
.'B .'. .'( .('
> (
>>- '
% D '/)
> ..;
1 *'
;/
% '4'
.)*
K '9;
K& ;B/
K& )
< '9(
'B.
'B.
.//
'B)
A
L .;(
'';
% 'B/ 'B) 'B*
% .//
5 % 'B)
% ..(
'B.
.'*
"/E :
A
..)3.;)
& ;B9
K *3'B (; '9B '4'3'44 .'* .(*
;B.
D *; '/*
%& '*B
'(.
.B(
% .B(
31 K .49
D .'.
'.'
= D .(;
=% A
# ;( /B
=% % ')(
=% 'BB
=% 3H1 % ;* /B
=% ';.
=% 4) .49 .*/
=% '49
=% ((
=% /;
=% >=% 4)
=% 'B/
=% ''*
= .)'
= & '4;
= & .99
= D ')( '4.
= %& .9. .9;
= .9)
= .99
= .9;
1 .99
= %& .9B
= %& .9'
= & '4. ..4
= '4)
= '.' '..
'.*
, '//
, % .)/
, & *' '4.
, % '*(
, '/; '/9 '/*
, + ;BB
, L .
> '4
, A
H1 '4)
> .(9
& .(9
% ./(
, 7,!8 .9 ;B
, '*(
,> ').
,> L %& .)*
, % '.(
, & .)9 .))
, &1 .)9 .)) .)4
, .;'
,A
%& 'B /* 9B )) 'B* '4B '4/ ../
.49
*; '/*
% ')( '4' '*B
% '*/ .B4
;
%& ''B .49
%& ('
%& 1 4(
'B
%& (;
'4*
; '*4
)
% ; (;
% 1 (*
.'( 9B
> '.B
1 . (' ''*
& *' */ '*(
% .;)
% '*9
.B;
& ')/ .49 .*(
%& '';
, %& .4/
, % & >
;B.
,>% ;
, K A
').
%& ..;
% '/)
, = .(;
, D= (.
, '.B
, .'.
, ;
, % ')'
, % & .;9
, %&A
%& .4/
D ''B
>% .*B
.4/
, % '4' ./9
, 4/
"/E :
,A
& '9; '9)
%& 4; (' '4; .'* .*B
>% .*B
= ')( '4.
; (' '//
>% 'B '*4
% )9
%& ('
')( '4.
.'B
%& 'B
> ''*
% .4/ .4) .*)
;
'';
% .;9
% *.
.*)
& ')' .'B .4/
& %& '/;
';'
,A
$ ''*
%& .'*
> ('
/
, )
, /
, '
, D %& ''B
,3 .)9 .))
,3 & .).
,2 & %1 '94
,=A
.(/
*
D (.
,= % .(;
,= ';
,= K L '/
, '// .*)
,A
& ('
& ('
99
! ..(
'9/
()
%& '//
%& 99
> .4'
.9B
, &1 .;9
, & '9(
, A
. ; ''* '.B '..
% ''*
'..
%% ';B
';.
, & .;;
, () '/;3'/9 .'( .)9 .)) .4/
, D ; (' '//
, .)(
,K % = .)9
,K A
./. ./;
, A
& ..) .;9 ./9
1 .B.
, N A
..(
1 ;B/
, % ..*
, ..)
, 1 '()
, & '/* '/( ../ .;9 .;)
, .*)
, =% 4) .49
, =% ((
, % .49
, %& %& ((
, A
% ;4
% ')
.).
% (/
, .9'
.99
, A
1 .9) .9* .)B
.9) .)B
> 9.
..;
'(
H1 /;
H1 %%= 9/ 94 4B
7# $& 3H1 3H1 8
H1 + '* '4)
H1 : K 7H:8 ;B
H1 ' ') .;
;/
.(;
H1 .)
H A
4 )9 '9/ '4B
H DA
%& 94 4; .'*
>% 94 ')(
%& ')(
"/E :
D ;
; 4 '4B
%& ')(
H3: ./* .).
H & /)
H A
'B(
.49
H '94
H .)/
H ';B
H .*(
H ..(
H: /*
H K %> ..B
H & % '';
H & + ''B
H % - 44
H % ('
HL & '9/
H ('
H ()
H < .9. .(*
H ;B;
H '(.
H% ./;
>+ % '*B
>& .4) .*)
1 .9) .9* .)B
&A
+ L .9*
D % .;9
: $ .9*
% .9B
& + .;9
A
'.'
.*(
%+ )/ (. '.' '9) '4B
% '9(
.49
.;*
D= *
;;
% './
*
'94
% K '9;
'9B
..4
2 K ..; ./. ./; .// ./* .99
% ()
1 %& .()
= .);
= ';.
;B'
;BB
& % .9/
5 & ''; .B4
>% D 9.
>% D 'B '4' '*B '*4 .*B
%& .*B
>% D ')(
>% .'.
& '4/
> %%= .9
> % .9/
> % .(;
% L .*
'.B
.;(
+ 'B;
> + .(9
& + .(9
& .B/
& .(;
A
% '/9 '/)
A
& '/* '/(
- '/4
% ;39 ..;
%& .).
%& %& ''B
% D )9 '*/ .B4
4 '4B
D ;
% ''(
> .)9
% A
.49
/. 4)
K> 44
% 9/
.);
.9' .9.
%& ' . ; 9 'B '' )) 4* *'
(4
%& )) '';
%& D (( ''B .49
!$ (4
(;
'B
& '/;
'';
%& D .4/
%& D .'*
%& ')(
%& D ('
%& (.
"/E :
%& 1 D 4(
%& % '.)
& .9)
+ & '4; .)'
+ .9. .9( .). .)9
$ .)' .).
- .)/
% % .)'
%% % .)B
.)B
- .)/
% .).
+ & .;9
+ /
+ & .9'
D & % '4.
D '4*
D % .;9
& /9
& */
%A
.49
'./
.((
& .4'
'94
1 '(/
A
& .99
& .9)
& .).
A
& .9. .9)
.9.
= & .99
A
& % 4B
.4)
H3: ./* .).
.).
'')
.).
& .B'
D> .)9 .))
1 .B'
-% .(/
D ')( '4.
% .)*
.4( .*/
'4B
*
1 % '.;
% A
% 'B4
% 'B/ 'B) 'B*
% ;9
% ;B'
% A
> .(;
3% ''4
A
''*
5 9*
& '4'
.B(
=% > '**
D 'B .4/
%& D (;
&1 ;B;
(/
%& + .9(
%& D K ..;
'44
D '4*
.'(
% D 9
% 'B(
% *
% ''*
35% ';B
'**
> () '/4
@ = ()
@%A
% .;9
@% .(/
'9B '9;
.)9 .))
)) '9/ ').
'.'
& ').
3 F K .)*
1 9 )9
3@11 '9B
:> .'B ;B; ;B/
: % .(/
: ';.
:R 9
: D .'B ;B.
%& ('
: D .'B
:%>% + L '4( '*B
:%< K () .)9 .))
:% (4
: 7:8 ')'
: ./9
:>% % .)*
:>% .)9 .))
: .*(
"/E :
:A
';
=% ''*
; '4B
% ';.
< '4'
: : :& ';.
:=3 L ./)
:A
% .9/
:1 (4
:& 2 ..B
:> 'BB 'B' 'B; 'B/ '''
: % D 9
: % ')
: .*;
: 1 & .99
: 1 = .99
: 1 .9)
: = '4)
: >D & .9;
: % % 'B4
: %% 4* .*B .*/
:2 1 '*'
: 'B*
:1 .)(
:1 ';.
: $ & .9*
: > %% ../
: .;9
: & )9 *' */ '4;
: 5 & '9(
: 5 & ');
: *B
:% /. /; 4* '49 '44 .4* .*/
. ..4
) A
"56 .B* .B(
. '*( '(/ .B/
; D '*4
*'9 .B4
.B*
& ''B ')( '4. '** '(( .B/ .4)
;B/
'4/
*/
*' */
'4;
+ ./)
N ..(
%% % + .)B
%% .9(
A
' ) )/ )) (' .'( ./. .('
D ) 4/ (.
% 4*
.//
'49 '44 .*/
% '49 '44 .*/
= .4* .*/
=A
/; .(*
K % .)9
% /;
.4/ .49
% .*(
.49
%& (.
A
.9B
/; '49 '44 .*/ .(*
9* 4.
D= ';
.);
% /; '49 '44 .*/
.//
% + .(9
L .// .9)
= % % 'B*
= K ./; ./)
.'(
DA
% .4/ .4) .*)
% '94
1 $&M 1 ./4
A
% .B9
+ ;BB
& .B/
% 'B(
'B*
'..
')( .B4 .4) .*)
'9.
''.
.*)
% ;)
.49
''; '*B '*'
A
% '';
% 'B(
.49
'B(
+ ''B '';
% 'B.
;BB
& ;B'
% ;9 '/4
. ; ''*
';.
"/E :
A
'.B
.'* ..;
A
7# % %8
3H1 ;/3;) )* '4)
=% '49
')(
H1 .(;
=% 3H1 /B
H1 .;
& .(;
% ;9
> .'B
;BB
3H1 '* ;;
%> '/*
& '4)
1 % '4/
#3H1 ;/
# %& ;B;
>% %3 99
% ./)
'B(
% .*B
= % '';
= .*)
= 2 '')
= '')
= ');
A
=% ((
.);
% .)/
A
& .).
$ K ').
% .9'
656 & '/( '9.
+> ').
> '); ')/
>K ').
% .'B
& > .B(
& > .B(
& .'.
>K ');
A
&1 9 '' )/ (' (. ./.
9 ''9
'9( '). ;B/
& )
)) (. .('
.4(
& ./.
.*/
) )9 .'(
.4(
K '9/
& .*/
% .9.
.;)
A
'94
K '9;
% '/9
'(.
+ '/;3'/*
'(.
'..
&1 ;B;
%& '9
'** '*( .'. ;BB
% ./4
% % 94
% : .(/
!: '**
.*(
6!6BB'. */ '/* .B. .B; .B/ .B4
& ./; .9.
(/
'// '99 '9* .*)
'9)
31 K * ( 'B '. .) '/) '9B
'4B3'4. '*B '(4 .'B .'. .'( .49 .('
5 6 ').
.'*
% /. 4)
%& D 'B
L ..
.;9
'(;
35% ';B
>% 7& 8 *.
.49
% .*)
K .*;
A
& .4) .*B .((
.((
.9B
> K (
> .('
> ()
> ''*
> /* .)*
7# 1 3 F
K 8
> D . ) (' ''*
>D & .9;
>>- K ' '9
"/E :
> .*
A
& .B)
.4) .4*
& 7 &8
! /. (4
')B ')' .4)
, '9(
, '/* '/( .;9 .;)
HL '9/
'4/
*/
*' */ '4;
5 '9(
''B ')( '4. '** '(( .B/ .4) ;B/
') '* .)
% '')
)) '9/ .4)
5 '99 '9) .4)
5 )) (4 (* ''9 '/( '9) '); ')/
.B4 .4)
.).
%%= '4;
';.
"& % .)'
" % ..;
" ; .'*
"L & + .9*
"L .9B
" % '*
" >K ').
" > + L '4
"56 ) .B* .B(
"% & .9B
"% & .9B
"% % 4*
"% % % '( .B .9 /.
% 9B
" > 'BB
" .* ''; ')' '4' .*B .(;
" .).
" ''*
" & .9'
"D & % '4;
"D '4*
"% 7% %8 .49
"D '//
1 D2 & '94
& .94
% ./)
2 '*(
A
! ..'
% % .9 /.
.4
% '')
& 49
2 '9(
'B4
% 'B4
''.
& ') '* .) .4
2 '')
'';
& '')
'(;
7:8 .9/
D ./;
% ..)
..9
& ./;
& &1 ./9
& '//
& ;
3H1 A
.4 ;B
% .*
3H1 %%= '43'( .B .;
.9 .) ;B ;; /. /;
.*(
..(
=% ')(
% & .()
% .9;
./* .9.
''* ''( ';.
K (4
% .)'
% .'* ..4
.;4
.//
''* '.B
& % .()
'9( .4)
D '94 .4/ .4) .*)
+ = .(9
-% .;9
'B (;
& ()
./;
./; .)9 .))
.)9 .))
D ; (; '/)
(/
.'B
= ');
& )) '9/ .4)
> >% 99
& & '.B
& 99
"/E :
& & *;
'
' / 4 )9 '4B '49 .)9 .))
.)/
% ..B
'49
N ;B/
'4B
9 ..;
.B.
.B* .'B
& .''
('
;
'4/ .*)
'()
./9
% = 'B*
% 7 8 'B4
%A
..
A
7# %8
% .B) .49
3H1 ;) )4 '/) .;4
- 44
.9(
=% 3H1 ;*
& '';
'/4
'*(
3H1 .B ;B
4B
&2 .*B
#3H1 94 '4;
% >& 9(
A
7# %8
!3H1 )(
H1 '
>+ '*B
%& &2 ))
3H1 /;
#3H1 /4
'.B
% ../
>% .)*
% .)'
% ;BB
% % '4.
% 1 9B
% > ../
> '/*
&< & % .4)
%& '.) '.(
.( /9 '/)
.B(
1 D (*
'B
U ';. .B) .B4
U>% 44 (* 'B; 'B/ .49
+ '';
5 ./)
5 .).
5 .9'
5 // .9B .9' .)(
5 ./.
5 %& .9B
5 .;9
5% (4
5 D 'B
5 1 3 9B
5 % 3 ''*
5 ''*
5 & '99 '9) .4)
'9(
53$ '9)
5> ./9
5 *
5 ';.
5 ..* .;9
5 '')
5+ '(*
% 'B. ';. '*B .BB .B)
& 'B.
& ''B
''B '';
'';
.B9
5+ 'B;
5D % ./;
5D A
1 '*.
5D ..4
5 .9B
5 A
= .9)
.*(
1 '(4
& ;B;
5 & '4;
5 A
% ./; .)( .4'
< '9(
< .*/
5 % 'B
5 A
% '.) '(9
5 & '4)
5 '/ .9' .)/
"/E :
5 .*4
% ;B'
5 ..)
5 ./;
5% A
% ..)
.9B
5 '*'
5 A
$&M 13$22 7$$8 )) 4* *B
5 ./9
5 % ()
5 31 K ').
5 'B
5 & )) (4 (* ''9 '/( '9) ');
')/ .4)
.B4
.B*
5 '/; ').
5 'B
5 ';.
5 75 8 .*/ .9; .(*
5 '4. .;;
5 9*
5 1 & '44
53% '.B
5% .;9
5 ..(
5 .'*
5 % 'B)
51 '() '(4
5&& ';.
5 '9B '9;
5 3 99 9)
& '9B '9;
% '9B
.;* .;(
3L K (.
K ;/
> .)
%& ./) .9B
A
!$ '/
=% /;
!: '**
5 3 9)
#3H1 *9
>% */
.;;
''*
& '49
% .*B .*;
1 % '*)
'B4
+ .B9
> .)*3.4'
% .'* .;4
>- K ' '/ ()
>- ;'
>=% ..4
>=% .49
>% 4) ../ .*/
> % ;B;
% ./9 ;B;
& .''
D '4' ./9
.9;
= .99
1 .9)
+ & .;9
& ..)
& .;. .;;
..) ..( .;B .;' .;. .;)
.;/
5 ..(
D ; 9B .'(
> K ..;
> %& .'* ... .4/
> .)9 .))
> % .;4
% A
;4
')
% %A
%+ ;B/
% '*'
9 ''9
A
5 ').
N ;B/
..'
9
& ..'
A
;
= ''/
'..
& ../
% ; '//
% '/9 '/)
% '/9
A
%& .94
..9
1 ( .BB .;9
'*.
1 % 9. '4/ '4) '*B '*) .49 .4)
.*B .*)
1 % ;
1 + '4/
1 '()
"/E :
1 .B'
1 1 & .*
1 %% 9B
1 '(4
1 & ../
5 '44
1 D '*.
1 .;)
& '*4
1 /* 'B* .B) .'* ..) .*) .(.
2 '*'
> %& ./9
'() '(4
& .;9
% .;9
')'
>% *B */
> '9
2A
% '9(
'*'
1 .B. ;B/
: *.
% & '.; .;9
% *;
D '';
% .
'//
'/4
2 '*'
.( 9B '4(
'4)
& '4. '4;
+ '94 .4/
%& ))
../ .)*
A
& .4)
& '/)
& ;B9
!$ .BB
;BB
'(.
= .9;
= .99
% 9/
.B(
> ()
> 'BB
31 '4'
% .B(
K>% (*
K>% 'B;
K>% 'B/
.9;
'9
')(
K .*)
% 4B
% '/4
& .*)
7 8 .9B
A
% ; )/ '4.3'4*
4;
.;4
& ..
*
% 2 4B
% + ./(
%+ (. (/
%+ )/ (. '.' '9) '4B
'4B
%A
'9B
% ; )/ '4. '49 '4*
%A
% 94
%% '4.
/*
.
% L .).
% % .)'
% A
& .)'
% .)'
% .)/
%A
!$ 7! $8 9( *;
! )4
% ;)
% 6 )* 4B 4* 4( *B */
% $ )* )( 49 4* 4( *;
% .9/
% >&1 ';'
% 9B
K '9)
! # 5# '('
.;)
& ;4 ;* *' .9B
& /.
& /. 9/ 4)
& ;*
&2 ;( )) 4B 4* *B *' ''; .*B .*/
& 9/
% .B/
;B.
% 'B
K 4 )4
A
1 .(/
.)/
"/E :
+ .)B
1 '*.
'9 4( '.B .4(
'.B
% 9B ../
% % ../
%A
&1 'BB 'B9 ''; ')/
../
.*B
94
L = .// .9)
1 K *' ';.
1 D . (' ''*
%& 4(
% (*
1 .)*
''*
''*
; /
9
A
4' 4.
+ /
.*(
A
;B.
& .*
& L .43;B
;(
3H1 .43;B
'4)
;B/
A
)9 4' (.
/
5 ').
N ;B/
D /
A
& ...
' 9 4.
*
.;9
5 '/;
..'
...
'B* 'B( ''B
'*.
+ .4/
.49
A
'B*
')( .B4 .4) .*)
& .B*
.B)
& A
.
& ;B'
& .
& ; '/(
& D3 .).
& A
656 '/( '9.
& '/* '/(
& D )4 *' */ '*(
% 'B4
% D .;9 .;)
% D .;9
%% ';B
% '('
% + '*(
% D )4 *. '*9
% D & '4.
% D & '4;
H 7 % 3H1 8 /*
A
'/;3'/9 .'( .4/
;B/
A
!3 .)9 .))
() .)9 .))
DA
; (' '//
'9.
.4) .4*
%& ;
% .B.
..'
.9'
< '4' .*/
..(
% 94
'49
% '4/ .*)
.;)
&& ';.
= .9B
# =% ;( /B
#3H1 ;/ ;( /4 /* 9) 94 *9 '4B
'4; ../
>% 99
#% ; '/; .*) .*(
& 4 (. '9/
#%>% ''
# ''*
# .B)
#A
H < .9. .(* A
$1L< .)9 .))
& .'.
"/E :
# & 2
> .)9 .))
# * )9 )) '9) '9( ')'
# % '' '.9
# L '9/
# D .*)
# '94
#1 A
& .B4 ;B/
% ;B/
#> =% '**
#> %& .B4
# 7 $ 8 ''*
# % ()
# 5# ! '('
# %& ;B. ;B;
# & ..(
# % .;)
# .;*
# ..) ..4
# % ..9
# . ..4
# '/;
# % .4*
# %A
../
# %% .49
4* .*B .*/
# %% % .*B
# % ..B
# ''*
# .9'
# 4;
# & *;
# '9B
# A
'94
.4/ .49
# % .
# % .)9
# = '.*
# ';.
# % ;
# %& '.B './ .)9
# % % .)9
# K ;/
# '9
# % .;)
# % /*
# D .B;
# % .'B ;B/ ;B9
# %A
''
.*(
> .;4
.'*
# % K '/ '); '4'
%> .;4
'9;
# % .'*
# ..;
# .B4 .4/
.B)
.*;
# 'B(
# .9) .)B
# .;' .;;
# .;/
#&A
5 1 '44
1 ../
# A
'4( '(.
#& ')(
#& ; 'B '/; ')'
#& L .'.
#& 49 '4' .'.
#& ;B/
#& ..' ;B.
#& ').
#& D '/; ')' ')/ .'B .4/ .49 .*(
#& > .B(
#& 1 ').
#& > .B(
#& ;B;
#>% .B)
#>K ');
#>% %> 99
#>% */
#>% #3H1 % 99
& .9B .9;
& 9/
& 99
- + .)/
D ..4
''.
4 )9 '9/ '4B
& = '/(
& 99
& .
+ .4/
;B;
'B(
.*)
% ;)
% A
;9 '/4
% L %%= '4 '*
% %A
& .B
% '( .B .9 /.
"/E :
% 3H1 .*
% >& % 9(
% '*
.4)
>%& % .*B
FA
7 $ 8 ''*
F % % 7 8 'B4 'B*
% 'B4
F&A
= )(
'49
''B
.(*
.*/
5 '4;
% .*)
F& ..
F& .;)
F % % ..
F .9'
FA
D 4/
5 .*/
F % ./;
F> 9.
F >% .'.
F %& & '.B
FA
''
.(;
% ./;
;B/
% ;B/ ;B9
F % )9
F ';.
F % .'B
F % ./; .)9 .))
F %+ % % ;B/
F ..;
F3% % ''4
F & .B*
F % .
F D ))
FA
% '()
F .9B
F D ';'
F% ''*
FA
+ '4/
'/;
F . 9 (. (* ''9 '4/
% '4/
)) '9)
9
D>% ;
1 )) '9/ ').
> ''*
5 'B
''*
%>% ''
& ').
9
F N ..'
F % ''*
F ))
F + .*B
F3 % ''*
F & ''B ;B/
F L 4)
F % ./9
F '/)
F L ;
F DA
% .B4
.B;
))
F %& D '';
F %& > .B4
F ...
F> % .'B .''
F 9
F = ''; ')'
F= ''/
F= A
& '/(
F '';
1 .B;
& A
'4. '4;
% D ./;
A
% .)*
% .)*
&- .9.
% ./. ./;
.;(
DA
; .'(
.'(
A
>% .)9 .))
A
& 1 '*4
.)(
1 .)(
% .9.
.9'
../
"/E :
& 2
% 9B ../
.9'
.;;
../
%& '4.
% .)B
L ./* .9B
% ./4
.9.
./. ./; .)9 .))
> .)(
.9'
% ./) .); .)/
% + .).
K ./. .)*
2 ..;
.9B
> .4'
%+ .9*
./9
& .4'
;;
% (' '9.
%&A
94
= .9'
D 1 '*.
% .9B
% % 94
''
./;
& ./. ./; .). .)(
A
; ./. ./;
.)*
./9
/ ./. ./; ./9
.9' .9.
>% .)9 .)) .)*
.;9
> /*
% ./*
% ./9
./)
.9'
1 .;)
'/4
.)*
1 .)*
.;'
./;
& .9B
% .'*
& % %&< .4)
'/ .9' .)/
.9'
A
%= - .)B
H1 ')
H1 $& '/
> .*
3H1 '( .)
3H1 .4
'(
%= - ./)
& .;)
..'
'4( '(.
A
"56 ) .B* .B(
;B/
> 7& 8 ')/ .B(
> 7& 8 '); .B(
"/E :