1

3839

7.MENADMENT DERIVATIMA7.1. OSNOVI POJMOVI MENADMENTA DERIVATIMADerivati su finansijski instrumenti ija vrednost zavisi od drugih, osnovnih finansijskih instrumenata na koje se sami derivate odnose.. Meu derivate pripadaju forvard ugovori, fjuers ugovori, svopovi i opcije. Forvard i fjuers ugovori su sporazumi dve strane obavezujueg karaktera, o buduoj isporuci nekog sredstva (hartija od vrednosti, deviza, poljoprivrednih proizvoda, sirovina i sl.) po unapred utvrenoj ceni. Forvard ugovori se realizuju jedino na dan dospea, a fjuers ugovori mogu biti predmet trgovine na tritu hartija od vrednosti. Opcijski ugovori ili opcije daju pravo jednoj ugovornoj strani da kupi ili proda u ugovoru sadrano finansijsko sredstvo, a druga strana je u obavezi da izvri prodaju, odnosno kupovinu. Opcije su takoe predmet trgovanja na tritu hartija od vrednosti. Svop ugovor se zakljuuje izmeu dve strane (posredstvom banke), putem kojeg se vri zamena isplata kamata dve vrste, prebijanjem kamata i isplatom neto razlike, s ciljem izbegavanja kamatnog rizika i rizika deviznih kurseva.

Pre prikaza obrauna vrednosti derivatnih ugovora, uveemo nekoliko pretpostavki o perfektnom finansijskom tritu. Prva pretpostavka se odnosi na nepostojanje arbitrae; arbitraa znai da postoji mogunost ostvarenja nerizinog profita. Meutim, na idealnom tritu kada svi investitori raspolau svim informacijama i odmah reaguju na svaku promenu, ne moe da postoji arbitraa, jer bi svi pokuali da ostvare nerizini profit i, kao posledica transakcija, menjaju se cene finansijskih instrumenata, pa nestaje mogunost ostvarenja nerizinog profita. Druga grupa pretpostavki se odnosi na to da ne postoje transakcioni trokovi, porezi ni restrikcije za nepokrivene pozicije, a sve hartije od vrednosti su perfektno deljive.

7.2. OBRAUN CENA FORVARD I FJUERS UGOVORA

Forvard ugovor, kao i fjuers ugovor, je sporazum dve strane, od kojih je jedna u kupovnoj poziciji (duga ili hosa pozicija) i koja se obavezuje da kupi od druge strane, koja je u prodajnoj poziciji (kratka ili besa pozicija) i koja se obavezuje da proda, u ugovoru sadrano sredstvo na jedan budui datum T (dan dospea) po unapred ugovorenoj ceni isporuke K. Tekua cena ugovora u vremenskoj jedinici t zavisi od cene isporuke K, vremena isporuke T, tekue (ili tzv. promptne) cene sadranog sredstva St i vremena do dospea =T-t. Razlika izmeu forvard i fjuers ugovora je u tome da se fovard ugovor realizuje tek na dan dospea, bez meuvremenih plaanja, dotle se fjuers ugovorima moe trgovati na tritima hartija od vrednosti, te se i pre vremena dospea moe odrediti neka tekua cena. Ona cena isporuke K za koju je cena ugovora jednaka nuli naziva se forvard cena, odnosno fjuers cena i oznaava sa . U trenutku sklapanja ugovora u vremenskoj jedinici t=0, cena ugovora jednaka je nuli i nema plaanja izmeu stranaka, tako da je .

Slika 1. Finansijski efekat forvard ugovora na dan dospea T( Finansijski efekat forvard ugovora za ugovaraa koji je u kupovnoj poziciji je ; kupac e kupiti sadrano sredstvo po ugovorenoj ceni K i prodati je po ceni , dakle ostvarie pozitivan efekat ako je . Finansijski efekat za prodajnu poziciju je , prodavac e ostvariti pozitivan efekat ako je .

PRIMER 1Jedan investitor je na dan 1. septembra 2008. sklopio forvard ugovor koji ga obavezuje da kupi (duga pozicija u ugovoru) od budueg prodavca (kratka pozicija u ugovoru) 100.000 EUR po kursu 1 EUR= 82 din, sa rokom dospea 60 dana. Neka je kurs 31. oktobra iste godine 1 EUR = 85 din. Kakav je finansijski efekat ostvaren?

Ovde je K = 8.200.000 din, t = 1. septembar, T = 31. oktobar, = 60 dana i =8.500.000 din. Investitor e 31. oktobra 2008. kupiti sredstva za K din i moe je prodati za din, i ostvarie pozitivni finansijski efekat od 300.000 din.

( Ako ne postoji dividenda sadrane hartije od vrednosti i ne postoje trokovi, tada je vrednost forvard ugovora za dugu poziciju, u vremenskoj jedinici t:

(1)

gde j r kontinuelna stopa koja je jednaka stopi prinosa nerizinog sredstva, poto se smatra da investitor gubi kamatu po stopi r, jer svoja finansijska sredstva nije uloio u nerizine hartije od vrednosti; izraz je diskontni faktor, kojim se obraunava ranija vrednost za vremenski period . U ovom sluaju forvard cena je: .

PRIMER 2Jedan investitor je na dan 1. oktobra 2008. sklopio forvard ugovor koji ga obavezuje da nakon tri meseca kupi akciju ija je sadanja cena S0=50 EUR, a cena isporuke je ugovorena po forvard ceni. Obraunava se 6% kamate godinje na bezrizina sredstva, uz kontinuelno kamaenje. Odredite forvard cenu i predstavite grafiki finansijski efekat za dugu i kratku poziciju! Koliki je finansijski efekat ako je cena sredstva na dan dospea 60 EUR?

Vrednost ugovora:

Forvard cena je EUR

Na grafikonu, prave finansijskih efekata za dugu i kratku poziciju seku horizontalnu osu u taki forvard cene. Finansijski efekat na dan dospea je EUR

Slika 2. Finansijski efekat forvard ugovora na dan dospea T

na hartiju od vrednosti uz obraun kamate

( Ako sadrana hartija od vrednosti plaa dividende (ili ima trokove) u diskretnim vremenskim jedinicama, sa ukupnom diskontovanom vrednou u tekuoj vremenskoj jedinici t, tada je vrednost forvard ugovora u vremenskoj jedinici t:

(2)

Forvard cena je ovde: .

PRIMER 3Jedan investitor je sklopio forvard ugovor sa dospeem od jedne godine, za kupovinu obveznice ije je dospee 5 godina, s kuponima od po 100 EUR, koji se isplauju svakih 6 meseci. Sadanja prometna vrednost obveznice je 1100 EUR, a ugovorena cena isporuke 1200 EUR. Kontinuelna godinja stopa kamaenja je 12%.

Kolika je sadanja vrednost dividendi?

EUR

Izraunajte vrednost forvard ugovora!

EUR za dugu poziciju, a +147,17 EUR za kratku poziciju.

Kolika je forvard cena?

EUR

( Ako sadrana hartija od vrednosti plaa dividendu po kontinuelnoj stopi d, tada je cena forvard ugovora u vremenskoj jedinici t:

(3)

Forvard cena je jednaka sa: .

PRIMER 4Jedan investitor je sklopio forvard ugovor sa rokom dospea 3 meseca za kupovinu 10.000 USD, iji je sadanji kurs 1 USD=0,8 EUR. Domaa kamatna stopa je r=7% godinje, kontinuelno, i u sluaju sklapanja forvard ugovora investitor svoja sredstva moe dati na kamaenje po domaim uslovima. Kada bi umesto toga investitor odmah kupio 10.000 USD i taj novac dao u zajam (ili, to ima isti efekat, kada bi kupio US dravne obveznice), ostvario bi prihod od kamata po kontinuelnoj stopi od d=5% godinje, to se moe smatrati kontinuelnom dividendom. Na ovaj nain, investitoru se pojavljuju kontinuelni trokovi po stopi r-d=2%.

Kolika je forvard cena i kolika je vrednost ugovora ako se kurs nee menjati?

EUR.

Ovde je , dakle za i ako se kurs nee promeniti, oekuje se pozitivan efekat za imaoca ugovora (duga pozicija), pa je vrednost forvard ugovora:

EUR.

7.3. VREDNOVANJE OPCIJA

Za razliku od forvarda i fjuersa koji imaju obavezujui karakter, opcije su takvi derivatni ugovori kod kojih se ostvaruje pravo prodaje ili kupovine u ugovoru sadranog sredstva. Jedna strana je izdavalac i prodavac opcije (kratka pozicija), a druga strana je kupac i imalac opcije (duga pozicija). Minimalni elementi koji opcioni ugovor mora da sadri su:

da li se radi o pravu kupovine ili prodaje imaoca opcije

koliina i vrsta sadranog sredstva

cena isporuke (ugovorena cena)

datum dospea

nain izvrenja u smislu da li se moraju predati sadrana sredstva ili se moe izvriti isplata u gotovini

opciona premija

Postoje dve vrste opcija: kupovna i prodajna. Kupovna opcija (Call) daje pravo (bez obaveze) imaocu (kupac opcije, duga pozicija) da kupi odreeno sredstvo po ugovorenoj ceni isporuke K odreenog dana, dok je izdavalac opcije (kratka pozicija) u obavezi da proda sredstvo ako je imalac opcije trai. Imalac opcije e kupiti sredstvo (npr. hartiju od vrednosti) ako je ugovorena cena K manja od promptne (tekue) cene ST, odnosno finansijski efekat (unutranja, stvarna ili monetarna vrednost) za imaoca opcije je , inae opcija postaje bezvredna.Prodajna opcija (Put) daje pravo (bez obaveze) imaocu (kupac opcije, duga pozicija) da proda odreeno sredstvo, a izdavalac opcije (kratka pozicija) mora da kupi sredstvo ako imalac opcije to zahteva. Imalac opcije e prodati sredstvo izdavaocu opcije ako je cena isporuke K vea od promptne cene sredstva ST, znai finansijski efekat za imaoca opcije je , u suprotnom transakcija se ne realizuje i opcija postaje bezvredna. Kod forvarda i fjuersa nema plaanja u nultoj vremenskoj jedinici, a s druge strane, opcije se plaaju u nekom pozitivnom iznosu ili , koji se naziva opciona cena ili opciona premija. Razlika izmeu vrednosti finansijskog efekta i cene opcije se naziva profitom opcije. Funkcija profita za dugu poziciju kupovne opcije je

(4)

a za dugu poziciju prodajne opcije glasi

(5)Finansijski efekat za kratku poziciju prodajne opcije

Finansijski efekat za kratku poziciju kupovne opcije

Finansijski efekat za dugu poziciju prodajne opcije

Finansijski efekat za dugu poziciju kupovne opcije

Slika 2. etiri osnovna tipa trgovanja opcijamaKombinovanjem etiri osnovna tipa trgovanja opcijama, kao i trgovanja hartijama od vrednosti i fjuersima, omoguuje se formiranje razliitih opcionih strategija, s ciljem menadmenta rizikom. Od razliitih opcionih strategija moemo navesti covered (pokrivenu) poziciju kupovne opcije, naked (nepokrivenu) poziciju prodajne opcije, collar (minimaks) strategiju, straddle (sedlastu ili dvostranu) strategiju, strangle (udaviti) strategiju, butterfly (leptir) strategiju, iron condor (eilini kondor) strategiju, bull (bik) diverzifikaciju, bear (medved) diverzifikaciju, diverzifikaciju po kalendaru, debit (dugovnu) diverzifikaciju, credit (kreditnu ili potranu) diverzifikaciju, i sl. Ovde emo prikazati i neke detalje o dvostranoj kombinaciji opcija na akcije. Duga pozicija dvostrane opcije znai kupovinu i kupovne opcije i prodajne opcije na isto sredstvo sa istim rokom dospea i jednakom ugovorenom cenom. Investitor e ostvariti profit ako je trite izuzetno volatilno i dolazi do prekomerne promene cena sredstava bilo navie (tada e realizovati samo kupovnu opciju) ili nanie (tada e realizovati samo prodajnu opciju). U sluaju malih promena cena, imalac nee realizovati ni jednu opciju, a gubi samo cenu opcije koje je kupio. Kratka pozicija dvostrane opcije znai prodaju i kupovne opcije i prodajne opcije na isto sredstvo sa istim rokom dospea i jednakom ugovorenom cenom. Profit je ograniena samo na iznos cene opcije, s tim da ova strategija postaje visoko rizina ako se cene sadranih sredstava jako promene.

Slika 3. Formiranje duge pozicije dvostrane opcijePostoji pravo bogatstvo razliitih vrsti opcija na tritu hartija od vrednosti.Prema tipu, opcije mogu biti:

1. opcije kojima se trguje na berzi: opcije na akcije

robne opcije

opcije na obveznice

opcije na deonice ili indeksne opcije

opcije na fjuers ugovore

2. vanberzanske opcije (drugim nazivom: alterske, neformalne, neslubene):

opcije kamatne stope opcije unakrsnih kurseva deviza

opcije na svopove

3. Opcije na hartije od vrednosti za zaposlene

Prema stilu, opcije mogu biti:1. vanila opcije

evropska opcija, kod kojih se transakcija izvrava samo na dan dospea amerika opcija, transakcije se mogu izvriti bilo kog dana i pre dospea

2. opcije sa ne-vanila pravima izvrenja

bermudska opcija

kanarska opcija

opcije sa maksimiranom kamatnom stopom

sloena opcija (opcija na opciju)

opcija s objavom

sving opcija3. egzotine opcije sa standardnim nainom izvrenja unakrsna (kompozitna) opcija

kvanto opcija

opcija za razmenu

opcija na korpu (ponderisani prosek vie sredstava)

dugina opcija

4. egzotine opcije sa ne-vanila tipom izvrenja

opcija po istorijskoj ceni

azijska (prosena) opcija

ruska opcija

izraelska (igraa) opcija

kumulativna pariska opcija

standardna pariska opcija

ograniena opcija

dvostruko ograniena opcija

kumulativna pariska ograniena opcija

standardna pariska ograniena opcija

reopcija (ponovljena opcija)

binarna opcija

izborna opcija (u smislu da li da bude kupovna ili prodajna) forvard start opcija

grupna (kliket) opcija

Poto vrednost opcionog ugovora, pored cene sadranog sredstva, zavisi od velikog broja razliitih faktora, vrednovanje opcija predstavlja kompleksan zadatak.Videli smo da je unutranja vrednost (finansijski efekat) opcije data izrazima: za kupovnu opciju , a za prodajnu opciju . Cena opcije se odreuje po osnovu nekog modela, ili formule (npr. Black-Scholes formula, ili neki numeriki metodi kao to je binomijalni model); ova cena odraava verovatnou pozitivnog finansijskog efekta, a to je rok dospea dui, tim je ova verovatnoa vea pa je i cena opcije vea. Cena opcije nikada nije manja od unutranje vrednosti. Vremenska vrednost opcije obuhvata mogunost da e zbog volatilnosti sadranog sredstva vremenom porasti cena opcije. Vremenska vrednost opcije je razlika izmeu cene opcije i unutranje vrednosti, opada eksponencijalno u vremenu, te dostie vrednost nula na dan dospea, tako da je na dan dospea cena opcije jednaka unutranjoj vrednosti.Opcija moe imati neutralnu vrednost (opcija pri novcu) kada je ugovorena cena jednaka ceni sadranog sredstva; u ovom sluaju unutranja vrednost je jednaka nuli i opcija ima samo vremensku vrednost. Opcija ima pokrivenu vrednost (dobitna opcija, opcija u novcu) kada je kod kupovne opcije ugovorena cena ispod trine cene, odnosno kod prodajne opcije je ugovorena cena iznad trine cene sadranog sredstva; u ovom sluaju opcija ima pozitivnu i unutranju i vremensku vrednost. Nepokrivena vrednost opcije (gubitna opcija, opcija izvan novca) je situacija kada je kod kupovne opcije ugovorena cena iznad trine cene, odnosno kod prodajne opcije ugovorena cena ispod trine cene sadranog sredstva.PRIMER 5Investitor A je kupio od izdavaoca opcije B prodajnu opciju za prodaju n=200 akcija kompanije X po ugovorenoj ceni . Tekua cena jedne akcije na tritu je . Trgovac A oekuje da e se ova cena smanjivati na tritu i plaa trgovcu B cenu opcije (premiju) u iznosu . 5.1. Neka je na dan dospea trina cena akcije . Poto je trina cena akcije na dan dospea manja od ugovorene cene, trgovac A e na tritu kupiti 200 akcija u iznosu i prodati je trgovcu B za . Na dan dospea unutranja vrednost opcije je:

Profit trgovca A e biti:

Trgovac B je dobio 800 EUR za prodatu opciju na 200 akcija, kupuje od trgovca A 200 akcija po ceni 13.200 EUR, neto iznos izdataka je 13.200-800=12.400, a postao je vlasnik akcija ije je trina cena 12.000 EUR, dakle ima potencijalni gubitak 400 EUR.5.2. Neka je na dan dospea trina cena akcije . Poto je trina cena akcije na dan dospea vea od ugovorene cene, trgovac A e odustati i nee izvriti opciju. Njegov gubitak iznosi toliko koliko je platio za opciju: , a toliki je i profit trgovca B koji je za taj iznos prodao opciju.PRIMER 6Investitor A je kupio od izdavaoca opcije B kupovnu opciju za kupovinu n=200 akcija kompanije X po ugovorenoj ceni . Tekua cena jedne akcije na tritu je . Trgovac A oekuje da e se ova cena poveati na tritu i plaa trgovcu B cenu opcije (premiju) u iznosu .6.1. Neka je na dan dospea trina cena akcije . Poto je trina cena akcije na dan dospea vea od ugovorene cene, trgovac A e kupiti tih 200 akcija od trgovca B u iznosu

i prodati je na tritu za

(trgovac B moe imati te opcije, to je pokrivena pozicija, ili ako ih nema, to je nepokrivena pozicija, pa ih mora kupiti na tritu po tekuoj trinoj ceni).

Na dan dospea unutranja vrednost opcije je:

Profit trgovca A e biti:

Trgovac B je dobio 1.000 EUR za prodatu opciju na 200 akcija, kupuje 200 akcija na tritu po ceni 14.800 EUR i prodaje ih trgovcu A za 13.400 EUR, iznos gubitka je 14.800-13.400=1.400, a umanjeno za prihod od 1.000 EUR, pretrpeo je stvarni gubitak od 400 EUR.

6.2. Neka je na dan dospea trina cena akcije . Poto je trina cena akcije na dan dospea manja od ugovorene cene, trgovac A e odustati i nee izvriti opciju. Njegov gubitak iznosi toliko koliko je platio za opciju: , a toliki je i profit trgovca B koji je za taj iznos prodao opciju.

U gornjim primerima opciona premija (cena opcije) je utvrena kao razlika izmeu cene sredstva na dan ugovaranja i ugovorene cene . U optem sluaju, cena opcije zavisi od tekue cene sadranog sredstva, ugovorene cene sredstva, trokova dranja pozicije za sadrano sredstvo (stalne ili stohastike kamate i dividende), vremena do dana dospea ugovora i kolebljivosti (stalne ili promenljive volatilnosti) cene sadranog sredstva. Opciona premija odraava verovatnou da e opcija na dan dospea biti u dobitnoj poziciji (u novcu), tako da je cena opcije tim vea to je udaljeniji dan dospea i to je vea volatilnost sadranog sredstva. Kako je navedeno, postoji vie metoda odreivanja opcione premije, a svakako kako izdavalac, tako i kupac opcije se moraju sloiti oko jedinstvene premije za dati sluaj ugovora. Od velikog broja poznatih metoda i modela vrednovanja opcija ovde e biti prikazano samo nekoliko, kao to su Black-Scholes model, binomijalni model za evropske opcije i trinomijalni model za amerike opcije.7.3.1. BLACK-SCHOLES MODEL VREDNOVANJA OPCIJA

Model, koji esto slui za odreivanje cene hartija od vrednosti, i koji je ujedno i osnova za Black-Scholes model vrednovanja opcija, jeste geometrijsko Brown-ovo kretanje. U ovom modelu cena hartije od vrednosti St je reenje stohastike diferencijalne jednaine:

(6)

Iz gornjeg izraza sledi izraz za stopu prinosa sredstava koji sledi proces standardnog Brown-ovog kretanja (odnosno Wiener-ovog procesa):

(7)

gde je d oznaka za diferencijal, je konstanta koja pokazuje oekivanu vrednost stope prinosa u vremenskom intervalu dt, je mera volatilnosti stope prinosa oko svoje oekivane vrednosti, a Wt je Wiener-ov proces.U izvoenju Black-Scholes formule za evropske opcije polazimo od sledeeg: neka je sa C(S,t) oznaena premija kupovne opcije, sa P(S,t) premija prodajne opcije, sa r=Rf kontinuelna kamatna stopa (stopa prinosa nerizinih sredstva), sa d kontinuelna stopa dividende i sa K ugovorena cena. Premija za evropsku kupovnu opciju zadovoljava diferencijalnu jednainu:

(8)

(9)

(10)

Nakon odgovarajuih zamena i uzimajui u obzir da je opciona premija funkcija vremenskog razmaka do dospea , da je u sluaju Brown-ovog kretanja razlika lognormalno rasporeena, odnosno da prati normalnu distribuciju sa parametrima i , te uzimajui u obzir integral koji se odnosi na gustinu lognormalne distribucije, dobija se sistem jednaina koja se naziva Black-Scholes formula za evropsku kupovnu opciju:

(11)

(12)

pri emu je standardna normalna kumulativna distribucija:

(13)

Ako je cena sadranog sredstva mnogo vea od ugovorene cene, tj. i ako nema dividende, tada se opciona premija moe aproksimirati izrazom .Korienjem kupovno-prodajnog pariteta:

(14)

izvodi se Black-Scholes formula za evropsku prodajnu opciju:

(15)Vrednosti za standardnu normalnu kumulativnu distribuciju (11) se mogu odrediti razliitim aproksimacionim postupcima. Jedna od mogunosti je i npr.:

(16)

Na primer, ako je x=1, pomou formule (14) dobija se aproksimativna vrednost povrine ispod krive levo od vertikale x=1 to iznosi 0,841351718, u odnosu na celu povrinu ispod krive koja iznosi 1, tj. levo od vertikale 1 nalazi se 84,1351718% cele povrine ispod krive koje iznosi 100%. Za vertikalu 2 se dobija rezultat 0,977241282 itd.

Naravno, do istog rezultata moemo doi jednostavnije i bre, poto veina raunarskih statistikih programa imaju modul za izraunavanje povrine ispod normalne krive. Tako npr. u programskom paketu Statistica Probability Distribution Calculator daje za standardizovani normalni kumulativni raspored (srednja vrednost=0 i devijacija=1) .

Slika 4. Povrina ispod krive normalnog rasporeda, levo od isprekidane linijePRIMER 7Jedna banka je prodala evropsku kupovnu opciju sa rokom 15 nedelja, koja glasi na 10.000 akcija kompanije X trgovcu A, po ceni od 110.000 EUR. Promptna (tekua) cena sadranih akcija je 160 EUR/akcija, a ugovorena cena 170 EUR/akcija. Godinja kontinuelna kamatna stopa je 6,4%, dividende se ne isplauju. Istorijska godinja (anualizirana) volatilnost stope prinosa ovih akcija je 0,30. Da li je banka prodala opciju ispod ili iznad teorijske vrednosti? Koliki je profit, odnosno gubitak ako je trina cena akcija na dan dospea opcije 180 EUR/akcija? ta e preduzeti trgovac A ako je na dan dospea cena akcija 165 EUR/akcija?Trgovac A kupuje opciju jer oekuje da e cena akcija porasti znaajno iznad ugovorene cene od 170 EUR. U tom sluaju, banka e morati na tritu da kupuje akcije po ceni iznad 170, i prodati te akcije trgovcu A po 170, koji e zatim moi prodati te akcije na tritu po vioj ceni. Istovremeno, banka pretpostavlja da cene akcija nee znaajno porasti i da e trgovac A odustati od opcije, pa bi banka tada imala profit od prodaje opcije od 150.000 EUR.Podaci primera su sledei:OPISOZNAKAIZNOSJedinica mere

Opciona premija po akcijiC0 11EUR

Tekua (poetna) cena akcijeSt=S0160EUR

Ugovorena cenaK170EUR

Cena na dan dospeaST180EUR

Broj akcijan10.000kom.

Vreme do dospea=T-015/52=0,28846godina

Kontinuelna kamatna stopar0,064

Volatilnost stope prinosa0,30

Kontinuelna stopa dividended0

Zamenom vrednosti iz tabele u izraz (10) dobija se y = -0,34224198,

dok je -0,18111656.

Zamenom ovih veliina umesto x u (16) sledi da je priblina vrednost povrine ispod normalne krive:

(-0,34224198)= 0,365575091 i (-0,18111656)= 0,428011822.

Zamenom ovih rezultata i drugih podataka iz tabele dobija se teorijska vrednost cene opcije po jednoj akciji: 7,4709 EUR. Obratite panju da je ovde jer je koriena poetna cena akcije i poto se radi o poetnoj vremenskoj jedinici i do dana dospea ima svih 15 nedelja.Za 10.000 akcija teorijska vrednost cene opcije je 74.709 EUR, dakle banka je opciju prodala za 110.000-74.709=35.291 EUR iznad cene, meutim prihvatila je i odreeni rizik zbog potencijalnog poveanja cena akcija.Unutranja vrednost opcije na dan dospea je:

Profit trgovca A je ovaj iznos umanjen za ukamaenu vrednost opcione premije:

EUR, i toliko iznosi gubitak banke. Ako je tekua cena akcija na dan dospea 165, trgovac e odustati od opcije (jer bi trebao da kupi od banke po ugovorenoj ceni 170 a mogao bi akcije prodati na tritu za 165) i ima stvarni gubitak u iznosu premije od 110.000 EUR, a toliki je i profit banke.PRIMER 8Jedna banka je prodala evropsku prodajnu opciju sa rokom 25 nedelja, koja glasi na 3.000 akcija kompanije Z trgovcu T, po ceni od 39.000 EUR. Promptna cena sadranih akcija je 330 EUR/akcija, a ugovorena cena 320 EUR/akcija. Godinja kontinuelna kamatna stopa je 5,4%, dividende se ne isplauju. Istorijska godinja (anualizirana) volatilnost stope prinosa ovih akcija je 0,22. Da li je banka prodala opciju ispod ili iznad teorijske vrednosti? Koliki je profit, odnosno gubitak ako je cena akcija na dan dospea opcije 300 EUR/akcija? ta bi se desilo da je cena akcija na dan dospea 322 EUR/akcija?Trgovac T kupuje opciju jer oekuje da e cena akcija pasti znaajno ispod ugovorene cene od 320 EUR. U tom sluaju, moi e na tritu da kupi akcije po ceni ispod 320, i prodati te akcije banci po ugovorenoj ceni 320. Istovremeno, banka pretpostavlja da se cene akcija nee znaajnije smanjiti i da e trgovac T odustati od opcije, pa bi banka tada imala profit od prodaje opcije od 80.000 EUR.

Podaci primera su sledei:

OPISOZNAKAIZNOSJedinica mere

Opciona premija po akcijiP0 13EUR

Tekua cena akcijeSt=S0330EUR

Ugovorena cenaK320EUR

Cena na dan dospeaST300EUR

Broj akcijan3.000kom.

Vreme do dospea=T-025/52=0,48077godina

Kontinuelna kamatna stopar0,054

Volatilnost stope prinosa0,22

Kontinuelna stopa dividended0

Zamenom vrednosti iz tabele u izraz (10) dobija se -y = -0,29565,

dok je -0,44819.

Zamenom ovih veliina umesto x u (14) sledi da je priblina vrednost povrine ispod normalne krive:

(-0,29565)= 0,383393 i (-0,44819)= 0,325972.

Zamenom ovih rezultata i drugih podataka iz tabele dobije se teorijska vrednost cene opcije po jednoj akciji: 11,9707 EUR.

Za 3.000 akcija teorijska vrednost cene opcije je 35.912 EUR, dakle banka je opciju prodala za 39.000-35.912=3.088 EUR iznad cene, meutim prihvatila je i odreeni rizik zbog potencijalnog smanjenja cena akcija.

Unutranja vrednost opcije na dan dospea je

Profit trgovca T je ovaj iznos umanjen za premiju za opciju:

EUR, i toliko iznosi potencijalni gubitak banke, koja je postala sada vlasnik 3.000 akcija ija je sadanja trina cena (na dan dospea) 300 EUR/akcija.

Kada bi cena akcija na dan dospea bila 322, imalac opcije bi odustao, i pretrpeo stvarni gubitak u iznosu opcione premije, a toliko iznosi i profit banke.7.3.2. STRATEGIJE ZA OBEZBEENJE OD RIZIKA

Zbog visoke volatilnosti komponenti, opcioni poslovi su visoko rizini. Postoje razliite tradicionalne i sloene strategije obezbeenja od rizika, neke od njih se izvode i iz Black-Scholes formule.Jedna od moguih strategija izdavaoca derivata je da bude u pasivnom poloaju: npr. ako je banka prodala kupovnu opciju, moe da ostane u nepokrivenom poloaju, tj. da saeka ishod postupka imaoca opcije i da po potrebi kupi akcije na tritu, koje e imalac opcije od nje kupiti. Druga je mogua strategija uzeti pokriveni poloaj, znai na dan prodaje kupovne opcije banka odmah kupuje predmetne akcije na tritu, bez obzira na njihovu trenutnu cenu. Obe ove strategije su esto neodgovarajue zbog moguih visokih gubitaka za izdavaoca opcije.

Trea mogua strategija je tzv stop-loss strategija koju banka primenjuje kod prodaje kupovne opcije. Nepokrivena pozicija se zadrava sve dok je tekua cena akcija ispod ugovorene cene, im je tekua cena akcija iznad ugovorene cene kupuju se na tritu, a ako nakon toga cene padnu, akcije se prodaju itd., s tim da ova strategija ukljuuje i transakcione trokove kao i povremeno vezivanje kapitala u akcije, ime se gubi eventualna kamata.7.3.2.1. GRKA SLOVA U FINANSIJAMA KAO POKAZATELJI RIZIKAPosebne, sloenije strategije obezbeenja od rizika uzimaju u obzir promene cena akcija u vremenu i formiranje portfolija sa drugim derivatima, a njihovom primenom se vri stalno prilagoavanje u procesu dinamike strategije obezbeenja od rizika. Ove strategije se u praksi esto podravaju skupom pokazatelja osetljivosti derivata na promene parametara od kojih zavisi vrednost finansijskog instrumenta ili porfolija. Vei broj ovih pokazatelja se u literaturi oznaava nekim grkim slovom, pa se esto nazivaju zajednikim imenom grka slova u finansijama ili, kratko, grci.Neka je V vrednost opcije, S promptna cena sadranog sredstva, vreme do dospea i r nerizina stopa. Dole su navedeni najee korieni pokazatelji, a na osnovu datih obrazaca se izvode odgovarajui rezultati za Black-Scholes formule. Delta meri promene vrednosti opcije u odnosu na promene promptne cene sadranog sredstva, tj. predstavlja prvi izvod vrednosti opcije u odnosu na promptnu cenu: za malo .Za kupovne opcije se uvek dobija numeriki rezultat , a za prodajne opcije . Za kupovnu i prodajnu opciju s istim parametrima vai da je zbir apsolutnih vrednosti njihovih delti jednak sa 1. Ukupni delta nekog portfolija koji se sastoji od vie pozicija koje se odnose na isto sredstvo se moe dobiti sabiranjem individualnih pozicija, s tim da je uticaj porasta cena sredstava sadranih u opcijama za koje je data kompanija izdavalac negativan, a uticaj kod opcija kojih je kompanija imalac pozitivan. Na taj nain, potrebno je modifikovati znak numerikog rezultata za deltu, tako da efekat bude pozitivan za dugu poziciju kupovne opcije i kratku poziciju prodajne opcije, a negativan za kratku poziciju kupovne opcije i dugu poziciju prodajne opcije. U praktinoj upotrebi, delta pokazuje uee (procenat) broja komada sredstava koliko treba nabaviti ili prodati radi tzv. obezbeenja od rizika tipa delta. Poto je delta za sama sadrana sredstva (akcije) kao i za fjuerse na ta sredstva jednaka sa 1, sledi da se akcije i fjuersi mogu koristiti u kombinaciji s opcijama radi obezbeenja od rizika. Nabavkom ili prodajom akcija ili fjuersa banka moe zauzeti delta neutralnu poziciju. Meutim, poto je vrednost delte za neke opciju funkcija promptne cene akcije i vremena do dospea, ta neutralna pozicija vai samo za kratko vreme, pa se mora vriti stalni rebalans, to se oznaava nazivom dinamikog obezbeenja od rizika.

Za Black-Scholes formulu cene opcije vai:za kupovnu opciju:

(17)za prodajnu opciju:

(18)tako da je

Lambda je odnos relativnih promena vrednosti opcije i cene sadranog sredstva, odnosno elastinost vrednosti opcije u odnosu na cenu sadranog sredstva: , a tumai se kao procentualna promena vrednosti opcije pri 1%-noj promeni cene sadranog sredstva. Gama je drugi izvod cene opcije u odnosu na promptnu cenu sredstva, odnosno oznaava promene delte u odnosu na promene cene sadranog sredstva: , uveden radi eliminisanja konveksnosti (slike 4 i 5). Pored neutralizacije po delti, investitor treba izvriti neutralizaciju i po gami, jer time postie da se obezbeenje od rizika odnosi na iri raspon kretanja vrednosti sadranih sredstava. Za Black-Scholes formule vai:za kupovnu i prodajnu opciju:

(19)

tako da je

Speed (Brzina) ili gamina gama je trei izvod cene opcije u odnosu na promene cene sadranog sredstva: .Za Black-Scholes formule vai:za kupovnu i prodajnu opciju:

(20)PRIMER 9Kao to je dato u primeru 7, banka je prodala kupovnu opciju na 10.000 akcija s rokom 15 nedelja po ceni 11 EUR/akcija, a promptna cena jedne akcije je 160 EUR. Primenom obrasca (17) dobija se . Direktno znaenje ovog rezultata je sledee: za cenu akcije 160, Black-Scholes formula daje rezultat 74.709 EUR, a za cenu od 161 rezultat bi bio 78.989 EUR, razlika u ceni opcije iznosi 4.280 EUR za 10.000 akcija (ili 0,4280 po akciji); dakle, da je cena po akciji bila za 1 EUR vea (poveanje sa 160 na 161), banka bi po teorijskoj vrednosti mogla dobiti za 4.280 EUR-a vie za prodatu opciju. Sa stanovita obezbeenja od rizika imamo sledee tumaenje. Banka, po pretpostavci, moe biti u pokrivenoj ili nepokrivenoj poziciji, i po potrebi kupuje akcije kompanije X kako bi ih, danom isteka opcije, mogao prodati trgovcu A. Danom isteka opcije, a na zahtev trgovca, banka e morati imati svih 10.000 akcija, a u meuvremenu, u zavisnosti od kretanja cena akcija na tritu i s ciljem obezbeenja od rizika ona e kupovati ili prodavati odreeni broj akcija. Prema rezultatu (poto se radi o kratkoj poziciji kupovne opcije, modifikacijom se dobija negativan predznak), banka treba da kupi na tritu akcija ija je vrednost EUR. Na ovaj nain banka u svom portfoliju ima kratku (prodajnu) poziciju kupovne opcije na 10.000 akcija i 4280 samih tih akcija. Za malu promenu cena, odnosno za porast cene akcija za 1 EUR, sa 160 na 161, vrednost portfolija raste na , znai za 4280 EUR sadranih u akcijama, a istovremeno teorijska vrednost opcije takoe raste i to za EUR po akciji ili 4280 za 10000 akcija, to predstavlja negativnu stavku pozicije u portfoliju (za cenu akcije 160, Black-Scholes formula daje rezultat 74.709 EUR za 10.000 akcija, a za cenu od 161 rezultat bi bio 78.989 EUR, razlika u ceni opcije iznosi 4.280 EUR; dakle, da je cena po akciji bila za 1 EUR vea banka bi po teorijskoj vrednosti mogla dobiti za 4.280 EUR-a vie za prodatu opciju). Na ovaj nain prihod i gubitak se anuliraju, te je za portfolio i banka je zauzela delta neutralnu poziciju.Na nivou promptne cene akcije 160 i cene izvrenja 170, gama opcije iznosi .

Neka je, dalje, nakon nedelju dana cena sadrane akcije porasla na 163 EUR. Sada je rok dospea 14 nedelja (ili ), pa se na osnovu (17) dobija:

pri emu je:

Zbog porasta vrednosti akcija i skraenja vremena do dospea, dolazi do poveanja vrednosti delta, pa za zadravanje delta neutralne pozicije treba dodatno nabaviti komada akcija. PRIMER 10Jedna kompanija ima portfolio formiran od odreenog broja akcija, fjuersa na te akcije i etiri razliite opcije koje se odnose na iste te akcije s jednakom poetnom cenom, a moguim razliitim cenama isporuke i razliitim rokovima dospea. Podaci o opcijama su u donjoj tabeli.Delta subportfolija, tj. dela portfolija koji se odnosi samo na opcije je:

Sledi da kompanija treba da proda 33100 akcija iz sopstvenog portfolija, ili da iz portfolija proda odgovarajui fjuers ugovor koji glasi na 33100 akcija, kako bi zauzela delta neutralnu poziciju.

Napomena: negativan znak rezultata za deltu bi znaio potrebu kupovine akcija.R.br.Tip opcijePozicija kompanijePostupak kompanije na dan dospeaBroj sadranih akcijaDeltaUticaj porasta cene akcija na portfolioModifikovni delta

1KupovnaKratka

(izdavalac opcije)Prodaje akcije na zahtev imaoca opcije50.0000,38negativan-0,38

2KupovnaDuga

(imalac opcije)Kupuje akcije po sopstvenoj odluci70.0000,49pozitivan0,49

3ProdajnaKratka

(izdavalac opcije)Kupuje akcije na zahtev imaoca opcije100.000-0,53negativan0,53

4ProdajnaDuga

(imalac opcije)Prodaje akcije po sopstvenoj odluci80.000-0,44pozitivan-0,44

Svega300.0000,11

Slika 4. Kretanje vrednosti delta (vertikalna osa) u funkciji promptne cene sadranih akcija u rasponu St od 0 do 280 EUR (horizontalna osa)Slika 5. Kretanje vrednosti gama (vertikalna osa) u funkciji promptne cene sadranih akcija u rasponu St od 0 do 280 EUR (horizontalna osa)

Vega pokazuje osetljivost vrednosti opcije na promene volatilnosti: . Ova veliina se tumai kao iznos novca koji se dobija ili gubi pri promeni volatilnosti za jednu jedinicu, a to je bitna informacija za trgovce opcijama (posebno dvostranim opcijama), naroito na nestabilnom tritu. Vega za akcije i fjuerse jednak je nuli, pa se vega neutralna pozicija postie trgovinom samo opcijama.

Za Black-Scholes formulu vai:za kupovnu opciju:

(21)za prodajnu opciju:

(22)i vai jednakost .

U Black-Scholes formuli se pretpostavlja da je konstantna, pa ne bi bilo opravdano raunati izvod po toj veliini; meutim dobijeni rezultati su priblini realnoj vrednosti vega koja se dobija iz modela stohastike volatilnosti, pa se mogu koristiti kao njena aproksimacija.Poto vega neutralni poloaj ne obezbeuje automatski i delta neutralnu poziciju, to znai da je, radi postizanje neutralne pozicije po oba pokazatelja, potrebno uzeti kombinaciju bar dve razliite opcije. Vomma (pod drugim nazivima Volga, Vega konveksnost ili Vega gama) je drugi izvod vrednosti opcije u odnosu na volatilnost:

Za Black-Scholes formulu je:

(23)

Ultima je trei izvod vrednosti opcije u odnosu na volatilnost:

Za Black-Scholes formulu je:

(24)

PRIMER 11Na osnovu podataka iz primera 7, za kupovnu opciju je:

Ako bi se radilo o prodajnoj opciji s istim parametrima, dobilo bi se:

Ro pokazuje osetljivost vrednosti opcije na kamatnu stopu: . U praksi, ro se tumai kao iznos novca za koliko se menja prinos opcije po jedinici sadrane akcije pri promeni nerizine kamatne stope za 1 procentni poen. Sem ekstremnih sluajeva, ova osetljivost je najslabije izraena od svih pokazatelja rizika. Za Black-Scholes formule vai:za kupovnu opciju:

(25)

za prodajnu opciju:

(26)PRIMER 12Prema podacima iz primera 7 sledi: i . Za kupovnu opciju rezultat znai da ako nerizina stopa poraste za 1 procenti poen, odnosno sa 0,064 na 0,074, tada e se teorijska cena opcije poveati za problino 3,9046 EUR. S druge strane, za prodajnu opciju s istim parametrima dolazi do smanjenja cene priblino za 6,7763 EUR.

Slika 6. Kretanje vrednosti vega (vertikalna osa) u funkciji volatilnosti (horizontalna osa)Slika 7. Kretanje vrednosti ro za kupovnu opciju (vertikalna osa) u funkciji nerizine kamane stope (horizontalna osa)

Teta pokazuje osetljivost vrednosti opcije protekom vremena: , u smislu postepenog smanjivanja vremenske vrednosti opcije. Teta je uvek negativan za dugu poziciju i pozitivan za kratku poziciju. Ve je navedeno da vremenska vrednost opcije predstavlja razliku izmeu cene opcije (obratite panju da u donjim formulama nije vreno kamaenje cena opcija jer su date tekue vrednosti, za razliku od izraza (4) i (5) gde su date poetne cene opcija) i unutranje vrednosti: za dugu poziciju kupovne opcije:

(27)za dugu poziciju prodajne opcije:

(28)Protekom vremena, vrednost opcije u portfoliju imaoca opcije (duga pozicija) postupno opada, a sama vremenska vrednost pokazuje koliko se isplati ekati s izvrenjem opcije. Naime, zbog postojanja volatilnosti se moe desiti da e u duem periodu ekanja kretanje cena akcija na samom tritu biti takvo da e se vie zaraditi na opciji, a to je vreme do dospea krae, manje su i anse da do takvih promena doe.

Na osnovu Black-Scholes formule sledi:za kupovnu opciju:

(29)za prodajnu opciju:

(30)PRIMER 13Uzmimo podatke iz primera 7, tako da je promptna cena akcije jednaka ceni na dan isporuke . Za poetnu teorijsku cenu kupovne opcije se primenom obrasca (11) dobija , a za poetnu vremensku vrednost . Istekom jednog dana sledi promena u vrednosti roka do dana dospea: pa se menja i cena opcije: , a odgovarajua vremenska vrednost se smanjuje na . Razlika u vremenskoj vrednosti opcije je .

Pribliavanjem danu dospea, vremenska vrednost opcije se prvo smanjuje eksponencijalno do prevojne take koja se nalazi blizu danu dospea, nakon toga ima usporavajui pad (u ovom primeru poev od 94. dana, tj. za =11), da bi na dan dospea iznosila 0, kako je prikazano na slici 6. Primenom obrasca (24) dobija se u poetnoj vremenskoj jedinici na godinjem nivou, a preraunavanjem na dnevni nivo sledi: , nakon jednog dana , ili dnevno -0,0668 itd. Vrednost teta u funkciji roka do dospea je na slici 7.

Slika 6. Kretanje vremenske vrednosti opcije (vertikalna osa) uz fiksnu promptnu cenu (St=180) u funkciji vremena do dana dospea (, horizontalna osa)Slika 7. Kretanje dnevnih vrednosti teta

(vertikalna osa)

u funkciji vremena do dospea

(horizontalna osa)

Na slici 8. je prikazana poetna vremenska vrednost opcije u funkciji razliitih promptnih vrednosti sadranih akcija, u rasponu od 0 do 280; takastom linijom je prikazana unutranja vrednost opcije (St-K)+ koja je jednaka nuli za St