finanzmathematik bewertung von optionen bernhard kiniger, christoph otto, andreas reiter, daniela...
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Finanzmathematik
Bewertung von Optionen
Bernhard Kiniger, Christoph Otto, Andreas Reiter,
Daniela Saxenhuber, Christina Stadlmayr, Nora Wiesauer
Optionen
Option: Recht, eine Aktie zu einem vorher ausgemachten Preis zu kaufen bzw. zu verkaufen
Eine Option ist ein Recht, keine Pflicht: Optionskäufer muss nicht ausüben
Optionen bringen Vorteile man muss dafür bezahlen
25 50 75 100 125 150 175 200
50
100
150
200
250
300
Call-Option
• S0 Kurswert
• K Ausübungspreis
• T Laufzeit
Ausübungspreis K
Payoff = 0
Payoff = ST - K
25 50 75 100 125 150 175 200
50
100
150
200
250
300
Ausübungspreis K
Payoff = 0
Barriere B
Up-And-Out-Barrier-Option
Payoff = 0
Payoff = ST - K
Optionstypen
Call: Recht, eine Aktie zu kaufen Put: Recht, eine Aktie zu verkaufen Up-and-out Barriere: Aktienkurs darf die
Barriere nicht überschreiten Digitale Option …
Glücksspiel
Würfel: Auszahlung = Augenzahl
Preis? Erwartete Auszahlung:
11 2 3 4 5 6 3.5
6
Ein lehrreiches Beispiel
S0 =1p=2/3
1-p=1/3
Su=2
Sd=1/2
Preisfestlegung wie beim Würfelbeispiel
Preis der Option: 0,67
Payoff: 1
Payoff: 0
Call-Option mit K=1
Strategie:
1. Verkaufen Option um 0,6
2. Kaufen Aktien um 0,6
Fall up: Call kostet 1, Aktien bringen 1,2
Fall down: Call kostet 0, Aktien bringen 0,3
Ein lehrreiches Beispiel
S0 =1p=2/3
1-p=1/3
Su=2
Sd=1/2
Payoff: 1
Payoff: 0
Gewinn 0,2
Gewinn 0,3
Risikoloser, sicherer Gewinn ist nicht möglich
Der faire Preis einer Option lässt sich durch dieses Prinzip bestimmen
No - Arbitrage - Prinzip
No - Arbitrage - Prinzip
Fairer Preis einer Option: abgezinster, zu erwartender Gewinn bzgl. der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit Q
Put- und Call-Preis lassen sich durch einander ausdrücken
]payoff[0 QTr Eep
Friktionsloser Markt
Keine Spesen Fixer Zinssatz Können Aktien jederzeit
kaufen/verkaufen Einzelhändler beeinflussen Kurs nicht Short-Selling unbegrenzt möglich
(=Kredit in Aktien)
Aktienkurs-Parameter
Rendite: prozentuelle Entwicklung des Aktienkurses
Trend oder Drift: Durchschnittliche Entwicklung einer Aktie
Volatilität: Maß für Kursschwankung
Binomialbaum
up
down
1
3
3
1
q
1-q
S0
00
(1 )N k k
NN r T N k k u d
k
Nc e q q f
k
payoff
fuuu
fuud
fudd
fddd
#WegeKurs
S0 u3
S0 u2 d
S0 u d2
S0 d3
Geometrisch normalverteilte Irrfahrt
Anhand des historischen Kurses wird ein möglicher neuer Kurse simuliert
Im Gegensatz zum Modell des Binomischen Baumes sind alle Endkurse möglich
ttm
ttt eSS
Geometrisch normalverteilte Irrfahrt
80 100 120 140 160 180 200
180
200
220
240
260
280
300
N
i
iTr SN
ec1
)(0 )(payoff
1