1

8-4

FINANSIJSKA I AKTUARSKA

MATEMATIKA

Prof. dr. Vladimir Kašćelan

Doc. dr Saša Vujošević

2

Literatura

Osnovna:

• B.Laković- V.Kašćelan

Privredna i finansijska matematika, 1997.

Dopunska:

• J.Kočović- M.Pavlović

Uvod u finansijsku matematiku, 2010.

• V.Kašćelan- M.Novović

Osiguranje i aktuarska matematika, 2009.

3

Ocjenjivanje

• 3 domaća i aktivnost na času 3*2+4= 10 p.

• Kolokvijum 40 poena

• Završni ispit 50 poena

Prolaz: 50 poena i više

Kolokvijum: kraj X nedjelje nastave

Popravni kolokvijum: kraj XII nedjelje

4

RAČUN DIOBE

Opšti problem koji se rješava PROSTIM RAČUNOM DIOBE možemo

formulisati na sljedeći način: Datu veličinu A predstaviti kao zbir veličina

x1, x2, ... xn, tako da te veličine budu proporcionalne ili obrnuto

proporcionalne datim veličinama a1, a2, ... an sa istim koeficijentom

proporcionalnosti k.

n

1=i

in21 xx...xx=A

ii ak x ,a

kx

i

i ili i n 1,

5

PROSTI RAČUN DIOBE

DIREKTNA PROPORCIONALNOST: x kai i ni ,1

Slijede PROSTE proporcije: x :a1 1 2:x a

2

x :a1 1 3:x a

3

....

x :a1 1 n:x a

n

Odnosno, jedna PRODUŽENA proporcija:

x :a1 1 2: : : : :x x a a

n n2

6

PROSTI RAČUN DIOBE

U slučaju OBRNUTE PROPORCIONALNOSTI važe relacije:

x Ai

i

n

1

x ka

i

i

n

ii

n

1 1

1i

Slijedi da je koeficijent

kA

aii

n

1

1

7

SLOŽENI RAČUN DIOBE

iiiii pcbkax ... veličina xi je direktno proporcionalna

veličinama ai, bi, ci, ... pi

iiii

ipcba

kx

... veličina xi je obrnuto proporcionalna

veličinama ai, bi, ci, ... pi

iii

iiii

pbakx

...

veličina xi je direktno proporcionalna

veličinama ai, bi, ci, ... pi i

istovremeno obrnuto proporcionalna

nekim drugim veličinama i, i, ... ,i

8

PRIMJER 1:

U elementarnoj nepogodi brod je pretrpio štetu od A=11.400.000. Vrijednost

broda je a1=210.600.000, vrijednost tereta a2=16.300.000, prevoz je

a3=1.100.000. Nastalu štetu snose brodovlasnik, vlasnik tereta i prevoznik

proporcionalno navedenim vrijednostima. Koliku štetu snosi svaki od njih

pojedinačno?

Neka su x1, x2, x3 djelovi štete koju snose navedena lica redom.

x1 = 210.600.000 k

x2 = 16.300.000 k

x3 = 1.100.000 k

Ukupna šteta je 11.400.000 : 228.000.000 k = 11.400.000

odnosno: k = 0,005 x1 = 0,005210.600.000 = 10.530.000

x2 = 815.000 x3 = 55.000

odnosno x1 + x2 + x3 = 228.000.000 k

9

PRIMJER 2:

Tri naselja napravila su most za 3.720.000 . Prvo naselje udaljeno je od mosta

3 km, drugo 2 km i treće 5 km. Učešće u cijeni mosta je obrnuto

proporcionalno udaljenosti naselja od mosta. Koliko je učešće svakog naselja

pojedinačno?

Označimo sa x1, x2 i x3 učešća naselja u cijeni mosta.

Kako je ukupna cijena: x1 + x2 + x3 = 3.720.000

Iz navedenih uslova slijedi da je: k = 3.600.000

odnosno:

x1 = 1.200.000, x2 = 1.800.000, x3 = 720.000

xk

13

xk

22

xk

35

10

RAČUN SMJEŠE

Primjenjuje se u slučaju kada treba odrediti količinu ili odnose roba iste

vrste ali različitog kvaliteta da bi se njihovim miješanjem dobila roba iste

vrste ali određenog kvaliteta.

kk x k x k x

x x x

k x

x

n n

n

i i

i

n

i

i

n

1 1 2 2

1 2

1

1

ki - brojno izražen odgovarajući kvalitet robe od koje se pravi smješa

xi - potrebna količina i-te robe

ponderisana aritmetička

sredina brojeva k k kn1 2

, , ,

11

PRIMJER 3:

Ako je procenat soli u morskoj vodi 3 % koliko litara čiste vode treba

dodati na 40 l morske vode da bi koncentracija soli pala na 2 %?

Uvedimo sledeće oznake:

k1= 3% = 0,03 x1 = 40

k2= 0% = 0 x2 = ?

k= 2% = 0,02

Kako je relacija za račun smješe k1x1 +k2x2 = k (x1+x2)

slijedi 0,03*40 +0*x2 = 0,02* (40+x2)

čijim rješavanjem se dobija da je x2 = 20.

Za vježbu: 3 kredita od ukupno 10m nudi se: 2m uz 14%, 5m uz 19%, a

preostalo po 17%. Kolika je ponderisana (prosječna) k. stopa? Odg. 17,4.

12

PROCENTNI RAČUN

Razlomak zovemo procentom i označavamo sa p%

pp

100 %

p

100

Broj K od koga se izračunava procenat zove se osnova ili glavnica, broj p

procentna stopa, a proizvod procenta p% i glavnice K - interes ili

procentni iznos i.

100%

pKKpi

odnosno zapisano u obliku proporcije:

K i p: :100

Razlomak čiji je imenilac 1.000 zove se promil i za njegovu oznaku

koristićemo simbol ‰ p

p1000

‰

13

PRIMJER 4:

Razliku prodajne cijene od 3.036 i nabavne cijene od 2.640 neke robe

izraziti procentom od nabavne cijene?

I način: Primjenom formule p=100i/K.

II način: Postavljanjem jednačine:

2640+p%2640=3036, dobija se p=15.

Za vježbu:

Osoba ima na bankovnom računu i u kešu ukupno 2000€. Kada potroši

20% keša, ostane joj 88% ukupnih sredstava.Koliko je na početku imala u

kešu, a koliko na računu?

Odgovor. 1200, 800.

14

VERIŽNI RAČUN I ARBITRAŽA ROBE

Verižni račun se koristi za određivanje odnosa dvije veličine, ako je on

dat indirektno preko niza direktno proporcionalnih veličina.

Njegovu ispravnost možemo provjeriti preko niza pravila, tj. prostih

proporcija.

Početak i kraj "lanca" moraju biti istorodne veličine.

Ima primjenu u arbitraži robe, tj. kod donošenja odluke koju ponudu za

kupovinu određene robe treba prihvatiti.

15

PRIMJER 5:

Koliko treba platiti na ime poreza na dodatu vrijednost na 5.000 l nafte,

ako se po 1 kg plaća 0,7€ i ako je 25 l nafte teško 19,325 kg.

€5,705.2125

17,0325,19000.5

€7,0|1

325,19|25

000.5|€

x

kg

kgl

lx