)LOR]RILMD]QDQRVWLY

LITERATURA: • MACHAMER, Peter i SILBERSTEIN, Michael (ur.) The Blackwell Guide

to the Philosophy of Science. Blackwell Pubilshers Ltd, Malden, MA,

2002.

• 6(6$5',û1HYHQFizikalizam. Izazovi, Beograd, 1984.

• /(/$6 6UÿDQPromišljanje znanosti )LOR]RIVND LVWUDåLYDQMD +)'

Zagreb, 1990.

• â,.,û =YRQLPLUKako je stvarana novovjekovna matematika. Školska

knjiga, Zagreb, 1989.

• BARKER, Stephen F. Filozofija matematike.Nolit, Beograd, 1973.

• FEYERABEND, Paul K. Protiv metode: skica jedne aQDUKLVWLþNH WHRULMH

spoznaje. Logos, Sarajevo, 1987.

• Popper, K. R. /RJLNDQDXþQRJRWNULüD, Nolit, Beograd, 1973.

• 0,âý(9,û, Nenad: Uvod u filozofiju psihologije=DJUHE*UDILþNL]DYRG

Hrvatske, 1990.

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

DEFINICIJE: FILOZOFIJA = JUþ OMXEDYSUHPD]QDQMX LPXGURVWLSURXþDYDQMHQDMRSüHQLWLMLK L

apstraktnih odlika svijeta i kategorija u kojima mislimo: uma, materije, razuma,

dokaza, istine… Filozofija pojedine discipline ne nastoji riješiti konkretna pitanja

GRWLþQH GLVFLSOLQH NROLNR SURXþLWL NRQFHSWH NRML VWrukturiraju takvo mišljenje i

L]ORåLWLQMHQHWHPHOMHLSUHWSRVWDYNH>%ODFNEXUQ@

ZNANOST VLVWHPDWL]LUDQR ]QDQMH L]YHGHQR L] RSDåDQMD SURXþDYDQMD L

HNVSHULPHQWLUDQMDSURYHGHQLKX FLOMX RGUHÿLYDQMDQDUDYL L QDþHODSURXþDYDQRJ

SRGUXþMD *UDQD VSR]QDMH LOL SURXþDYDQMD NRMD VH EDYL XVWDQRYOMDYDQMHP L

VLVWHPDWL]DFLMRP þLQMHQLFD QDþHOD L PHWRGD SRSXW SRNXVD L KLSRWH]D

[]Webster's Dictionary]

=QDQVWYHQLFLSUHGODåX WHRULMH LSURFMHQMXMX WH WHRULMHXVYMHWOXRSDåDQMD L

eksperimentalnih dokaza; ono što ra]OLNXMH]QDQRVWMHSDåOMLYLVLVWHPDWVNLQDþLQ

NDNRVHWYUGQMHWHPHOMHQDþLQMHQLFDPD>5(3@

FILOZOFIJA ZNANOSTI SURXþDYDQMH SLWDQMD NRMD SURL]OD]H L] UD]PLãOMDQMD R

znanosti i znanstvenoj djelatnosti. Glavne grane:

• znanstvena epistemologija RSüD

• znanstvena metafizika filozofija znanosti

• VSHFLILþQD LVWUDåLYDQMD WHPHOMQLK SLWDQMD NRMD VH WLþX RGUHÿHQRJ

]QDQVWYHQRJSRGUXþMDLOLRGUHÿHQH]QDQVWYHQHWHRULMH

3UREOHPLNRMLüHVHGHWDOMQLMHREUDGLWL

-NODVLþQHGHEDWHVWDQGDUGQLSUREOHPLLEXGXüLL]D]RYL]QDQRVti

-narav znanstvenog objašnjenja -struktura znanstvene teorije

-modeli, metafore i analogije -HNVSHULPHQWLRSDåDQMH

-realizam i antirealizam -SRGRGUHÿHQMH

-jednostavnost u znanstvenoj teoriji - determinizam i indeterminizam

-indukcija i vjerojatnost -filozofija fizikalnog prostor-vremena

-WXPDþHQMHNYDQWQHWHRULMH -evolucija

-molekularna i razvojna biologija -kognitivna znanost

-filozofija uma -društvene znanosti

-IHPLQLVWLþNDILOR]RILMD]QDQRVWL

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

,PPDQXHO.$17

SRVWLJOLVPRþYUVWRQHVXPQMLYR]QDQMH WHRULMDUHODWLYQRVWL LVWUDåLYDQMHQDþLQDNDNRMHWRPRJXüH NYDQWQDWHRULMD

nâWRþLQL]QDQRVWSRVHEQRPVHSLVWHPRORãNRJVWDMDOLãWD" o Akumulacija usprkos revolucijama u znanosti?

n Š72ý,1,=1$1267326(BNOM S EPISTEMOLŠKOG STAJALIŠTA?

revolucije u znanosti su istinite ⇒ QH PRåH VH WYUGLWL GD MH ]QDQVWYHQD WHRULMD SRWYUÿHQD QHXSLWQLP HPSLULMVNLP

podacima

a) DEMARKACIJSKI PRISTUP

HUME – problem indukcije Reichenbach – SUDJPDWLþNLSUREOHP

KANT – problem demarkacije QHUMHãLYLVNOMXþLYRIDOVLILNDFLRQL]PRP POPPER – kriterij opovrgavanja potrebna veza dosadašnjih uspjeha u

falsifikacionizam testovima i ukupne istine ⇒ modus tollens LQGXNWLYLVWLþNLNRUDN pseudoznanstveni iskazi DUHEM – hipoteze ne djeluju u vakuumu skup vanjskih pretpostavki i SRþHWQLK podataka

T∧A1∧…∧An⇒O QDþHOR ¬O retransmisije ¬(T∧A1∧…∧An) neistinitosti

τ (A1∧…∧An) > τ(T) konfirmacija T' bez ad hoc A1,…,An nezavisno HPSLULMVNLSRWYUÿHQD

b) KONFIRMACIJSKI PRISTUP QLNDGDQHPRåHPRGRVOMHGQRDOKAZATI teoriju teorLMHPRåHPR QLNDGDQHPRåHPRGRVOMHGQROPOVRGNUTI teoriju potkrijepiti

obuhvatna definicija konfirmacije ∧ koherentna ∧ filozofijski branjiva

CARNAP –SUREDELOLVWLþNDLQGXNWLYQDORJLND vjerojatnost izvjesne teorije ako su dani •LVWHWHãNRüHNDRVNODVLþQim LOLMHXYMHWRYDQDRGUHÿHQLPGRND]LPD UDþXQRPYMHURMDWQRVWL LVNXVWYRQHREXKYDüDQLWLMHGQXWHRULMX • jednakovjerojatni ishodi DOLQHNHWHRULMHREXKYDüDEROMH UD]OLþLWLQDþLQLSRVWL]DQMD «pravi»? • vjerojatnost istinitosti pojedinog iskaza

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

4

c) BAYESOVSKI PRISTUP agent (djelatnik) je racionalan ako:

(i) u svako dano vrijeme stupnjevi uvjerenja Pv1=d1, Pv2=d2, ¬(v1∧v2) mogu se izraziti kao vjerojatnosti, P(v1v2)=d1+d2 WMGD]DGRYROMDYDMXUDþXQYMHURMDWQRVWL P(B) ≥ P(A); A⇒B (ii) promjene u agentovom stupnju uvjerenja od jednog vremena do drugog Dutch-book argument ]DGRYROMDYDMX©QDþHORNRQGLFLRQDOL]DFLMHª

uvjetna vjerojatnost P(A|B) – koliki bi bio stupanj uvjerenja u A, ako prihvatimo B

)(

)/()()/();/()( 12 ep

TepTpeTpeTpTp tt

∗==

- impresivno trezvena meta-teorija - MHGQRVWDYDQSULND]]QDþHQMD©WHRULMDMHSRWNULMHSOMHQDLVNXVWYRPª - REXKYDüDþYUVWRXVWDOMHQHLQWXLFLMHRSRWNULMHSOMHQRVWL

problem starog iskustva ]DãWRELYUHPHQVNLVOLMHGWHRULMHLþLQMHQLFD ELRXRSüHYDåDQ

staro se iskXVWYRQLNDNRQHPRåHXYUVWLWL1

1)()/(

∗= TpeTp

pristup je preslab, daje preveliku ulogu subjektivnom iskustvu GYDDJHQWDVNRUMHQLWRUD]OLþLWLPS7LS7QDNRQL]YMHVQRJYUHPHQDLNROLþLQHGRND]DNRQYHUJLUDWLüHQDLVWXS7 kreacionist p(C)=.000001 darvinist p(D)=.999999 p(T) ! intuitivno neprihvatljivo !

d) NATURALIZIRANA FILOZOFIJA ZNANOSTI ELOMHåHQMHPHWRGD]QDQRVWL odustajanje od logike]QDQRVWLLOL]QDQVWYHQRJSRWYUÿLYDQMD QHPRüSUHGskeptikom XYLMHNVXQD]RþQHGRGDWQHSUHWSRVWDYNHNoje nadilaze deduktivnu logiku problem cirkularnosti – rabiti znanstvene metode za opis znanosti

vjerojatnost teorije T podXYMHWRPþLQMHQLFHe

vjerojatnost teorije T vjerojatnost þLQMHQLFHe u svjetlu teorije T

vjerojatnost þLQMHQLFHe

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

5

o Akumulacija usprkos revolucijama u znanosti?

A) 3(6,0,67,ý.$0(7$-INDUKCIJA (novovjekovna) povijest optike

XVIII. st. korpuskularna teorija XIX. st. vibracija materije u eteru isijava energiju Maxwellova elektromagnetska teorija, vektori polja kvantna revolucija: fotonska teorija i valovi vjerojatnosti

znanstvene revolucije doista se zbivaju ⇒ stare teorije bile su neistinite ⇒ PRåHPROL]QDWLGDVPRQDNraju niza revolucija ⇒ PRåHPROL]QDWLGD]DVWXSDPRLVWLQLWXWHRULMX⇒ znanost nije epistemološki posebna

B) 237,0,67,ý.$0(7$-INDUKCIJA INSTRUMENTALIZAM

H. Putnam, L. Laudan, H. Poincaré usprkos revolucijama, postoji akumulacija stvarnog znanja, tj. objašnjenja pojava ⇒ UD]OLþLWHWHRULMHPRJXSRQXGLWLMHGQDNDSUHGYLÿDQMDSRMDYD Kuhnovski gubitak – pojave koje je stara teorije objašnjavala, ali nova ne uspijeva ⇒ rijetke i s velikim razmakom

L]QDQRVWMHQDRSDåDMQRMLHNVSHULPHQWDOQRMUD]LQLNXPXlativna LLSURWXUMHþQHWHRULMHRSDåDMQRVHQHPRJXUD]OLNRYDWLQD GDQRPUDVSRQXþLQMHQLFD

BAS VAN FRAASEN – KONSTRUKTIVNI EMPIRIZAM ]QDQVWYHQLFLELWUHEDOLWHRULMH©SULKYDüDWLªQHNDRLVWLQLWH YHüNDRempirijski adekvatne razvojna perspektiva znanosti RADIKALNI EMPIRIZAM ILI POZITIVIZAM WHRULMVNLLVND]LVHUHGXFLUDMXQDNRQDþQLVNXSRSDåDMQLKLVND]D pojava promjene teorija ne predstavlja nikakav problem STRUKTURALNI REALIZAM H. Poincaré NRQWLQXLWHWQDVWUXNWXUDOQRMQHVDPRRSDåDMQRMUD]LQL SRVWRMLRGUåDQMHPDWHPDWLþNLKMHGQDGåELL]PHÿXWHRULMD Kuhnov gubitak je samo nominalne naravi NRJQLWLYQLVDGUåDMMHXSRWSXQRVWLVDþXYDQ

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

6

Teorija vjerojatnosti 6OXþDMQLSRNXV je pokus u kojem nam je usprkos poznatom kompleksu uvjeta QHPRJXüHVDVLJXUQRãüX]QDWLLVKRGe pokusa. 6NXSVYLKPRJXüLKLVKRGDQHNRJVOXþDMQRJSRNXVDRELOMHåDYDPR

,..., 21 ωω=Ω Primjer 1 6OXþDMQL SRNXV EDFDQMH MHGQH VLPHWULþQH NRFNH 6NXS VYLKPRJXüLKLVKRGDMHΩ=1,2,3,4,5,6 Primjer 26OXþDMQLSRNXVEDFDQMHQRYþLüD L NRFNH6NXSVYLKPRJXüLKishoda je Ω=(P,1), (P,2), (P,3), (P,4), (P,5), (P,6), (G,1), (G,2), (G,3), (G,4), (G,5), (G,6)

6OXþDMQLGRJDÿDM MHSURL]YROMQLSRGVNXSVNXSDVYLKPRJXüLKLVKRGDVOXþDMQRJSRNXVD2]QDþDYDPRLKYHOLNLPODWLQLþQLPVORYLPD

Primjer 36OXþDMQLGRJDÿDM$ ©SDRMHEURMYHüLRGª A= =©¯:. A je QHPRJXüGRJDÿDM. Primjer 46OXþDMQLGRJDÿDM% ©SDRMHELORNRMLEURMRGGRª B= 1, 2, 3, 4, 5, 6=:°:. : se zove VLJXUDQGRJDÿDM.

) =A, B, C,… je IDPLOLMD GRJDÿDMD 6YDNRM IDPLOLML GRJDÿDMD SULSDdaju QHPRJXüLVLJXUDQGRJDÿDM1HNDVX$L%HOHPHQWLL]). A¯ B –GRJDÿDM$SRYODþLGRJDÿDM% FA – VXSURWDQGRJDÿDMGRJDÿDMX$

( )

AcA

BiABA

BiABA

BiliABA

ABiBABA

def

def

def

∉Ω∈=∉∈Ω∈=

∈∈Ω∈=∩

∈∈Ω∈=∪

⊂⊂⇔=

ωωωωω

ωωω

ωωω

/

/

/

/

Ako je A,B°:, i ako vrijedi A « B =© QHPRJXü GRJDÿDM WDGD VX $ L %GRJDÿDMLNRMLVHPHÿXVREQRLVNOMXþXMXGLVMXQNWQLGRJDÿDML. =DGRJDÿDMH$i L «QQHNH IDPLOLMHGRJDÿDMD) NDåHPRGDþLQHpotpun VXVWDYGRJDÿDMDSRWSXQDRELWHOMGRJDÿDMDNRYULMHGL

n

ii

ji

A

jizaAA

1

)2

)1

=

Ω=

≠∅=∩

2ELWHOMGRJDÿDMD)YH]DQLK]DVYDNLVOXþDMQLSRNXV]RYHVHDOJHEUDGRJDÿDMa (Booleova algebra) ako vrijedi:

1) :±) 2) A±) ⇒ FA±) 3) A1, A2 ± ) ⇒ A1ª A2±)

6OXþDMQL SRNXV SRQDYOMDPR n SXWD SRG LVWLP XYMHWLPD 6OXþDMQL SRNXVL VXQH]DYLVQL UH]XOWDW MHGQRJD QH XWMHþH QD UH]XOWDWH GUXJRJD 'RJDÿDM $ X n

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

7

ponovljenih pokusa zbio se nA puta. Broj nA zove se IUHNYHQFLMDGRJDÿDMD$(apsolutna frekvencija) .

5HODWLYQDIUHNYHQFLMDGRJDÿDMD$ definira se 10 ≤≤n

nA

8WHRULMLYMHURMDWQRVWLPRWUHVHWDNYLGRJDÿDMLNRMLSRND]XMXVYRMVWYRGDLPVHVSRYHüDQMHPEURMDSRNXVDUHlativna frekvencija gomila oko nekog fiksnog broja, ãWRQD]LYDPRVWDWLVWLþNDVWDELOQRVWQSUEDFDQMHVLPHWULþQRJQRYþLüDLOLNRFNH5HODWLYQHIUHNYHQFLMHLPDMXQHNDYDåQDRþLJOHGQDVYRMVWYD

1. Nenegativne su. 2. 5HODWLYQDIUHNYHQFLMDVLJXUQRJGRJDÿDMDL]QRVL 1. 3. 5HODWLYQD IUHNYHQFLMD XQLMH GLVMXQNWQLK GRJDÿDMD MHGQDND MH VXPL

UHODWLYQLKIUHNYHQFLMDVYDNRJSRMHGLQRJGRJDÿDMD Fiksni broj oko kojega se frekvencije grupiraju, kada broj pokusa sve više raste MHWHRULMVNDYHOLþLQDL]RYHVHYMHURMDWQRVWGRJDÿDMD$,DR]QDþDYDPRVHP(A). 2YDNR GHILQLUDQD YMHURMDWQRVW ]RYH VH VWDWLVWLþND YMHURMDWQRVW LOL YMHURMDWQRVWa posteriori 2RYRMVHYMHURMDWQRVWLPRåHJRYRULWLDNRVXLVSXQMHQLVOMHGHüLXYMHWL

1. pokusi se mogu ponavljati po volji mnogo puta pod istim uvjetima 2. unaprijed se pretpostavlja da se relativne frekvencije gomilaju oko nekog

broja

.ODVLþQDGHILQLFLMDYMHURMDWQRVWL 0RWULPRVOXþDMQLSRNXVVNRQDþQRPQRJRLVKRGDWMQHNDMH nωωω ,...,, 21=Ω i pretpostavimo da su svi ishodi jednako vjerojatni. Neka je $ QHNL GRJDÿDM NRML VH VDVWRML RGP LVKRGD mn). A se realizira onda i samo onda ako se dogodi neki od ishoda Zi1, Zi2,…, Zim. Ti ishodi se ]RYXSRYROMQL]DGRJDÿDM$6DGDMHYMHURMDWQRVWGRJDÿDMD$GHILQLUDQD

n

mAP =)( NODVLþQDGHILQLFija vjerojatnosti a priori (Laplace, 1812.)

Primjer 4 %DFDQMH VLPHWULþQH NRFNH 1HND MH $ ©SDR MH SULP EURMª1DüL3$ :=1,2,3,4,5,6, A=2,3,5, P(A)=3/6=1/2=0.5

2YD GHILQLFLMD LPD GYLMH VODERVWL RJUDQLþHQD MH NRQDþDQ VNXS GRJDÿDMD Lcirkularna je (jednako vjerojatni ishodi).

Aksiomatska teorija vjerojatnosti

Funkcija P:)|¸]RYHVHYMHURMDWQRVWQDDOJHEULGRJDÿDMD) ako vrijedi 1. (A±))(P(A)0) - nenegativnost 2. P(:)=1 - normiranost –VDPRVLJXUDQGRJDÿDMLPDYMHURMDWQRVW 3. (A,B±), A«B=©)⇒(P(AªB) = P(A)+P(B)) -NRQDþQDDGLWLYQRVW

2YXNODVLþQXGHILQLFLMXYMHURMDWQRVWLSRVWDYLRMH.ROPRJRURYJRG

Osnovna svojstva vjerojatnosti ,]DNVLRPDWVNHGHILQLFLMHL]OD]HQHNDYDåQDVYRMVWYDYMHURMDWQRVWL

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

8

∑==

=

≠∅=∩=∈

∩−+=∪∈≤−=⊂∈

−=∈=∅

n

ii

n

iijii APAPjizaAAniA

BAPBPAPBAPBA

BPAPAPBPABPBABA

APcAPA

P

11

)(;,...,2,1,)5

)()()()(,,)4

))()(),()()()(,,()3

))(1)()(()2

0)()1

)

)

)

)

Uvjetna vjerojatnost Neka je (:,),P) vjerojatnosni prostor i neka je A±) takav da je P(A)>0. Definirajmo funkciju PA:)| [0,1]

)∈∩== BAP

BAPPBP A

BA ,

)(

)()()(

Primjer 5%DFDQMHGYLMH VLPHWULþQH NRFNH L UHJLVWULUDQMHEURMHYD NRML VHpojave. Kolika je vjerojatnost da suma bude 7 ako znamo da je ta suma neparan broj? A = «suma brojeva je 7», B = «suma brojeva je neparan broj» P(A)=6/62=1/6, P(B)=18/62=1/2, P(A/B)=6/18=1/3

'RJDÿDML$L%VXnezavisni ako vrijedi P(A«B)=P(A)*P(B)

1HND GRJDÿDML +i L «Q þLQH SRWSXQ VXVWDY GRJDÿDMD X YMHURMDWQRVQRP

prostoru (:,)3 2QGD ]D GRJDÿDM $±) vrijedi )()()(1

∑=

•=n

iH

Ai i

PHPAP .

'RJDÿDML +i zovu se hipoteze ili pretpostavke, i ovo je formula potpune vjerojatnosti .

Bayesova formula 1HND VX +L L «Q GRJDÿDML NRML þLQH SRWSXQ VXVWDY GRJDÿDMD Xvjerojatnosnom prostoru (:,),P), i neka je A±) takav da je P(A)>0. Onda vrijedi:

( ) ( ) ( )( ) ( )

niPHP

PHPP

n

jH

Aj

HA

iA

H

j

ii ≤≤•

•=

∑=

1,

1

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

9

DN/IS MODEL OBJAŠNJENJA Carl HEMPEL: Aspects of Scientific Exlpanation an Other Essays in Philosophy

of Science, 1965.

DN – DEDUKTIVNO-NOMOLOŠKI MODEL: objašnjenje SRVMHGXMHVWUXNWXUXþYUVWRJdeduktivnog argumenta u kojem se zakoni prirode javljaju kao esencijalne premise.

explanans – opisuje pojavu koju je potrebno objasniti explanandum –VDVWRMLVHRGMHGQRJLOLYLãH]DNRQDRELþQRSRSUDüHQ GRGDWQLPUHþHQLFDPDRSRþHWQLPXYMHWLPD

IS – INDUKTIVNO-67$7,67,ý., 02'(/ REMDãQMHQMH XNOMXþXMH VYUVWDYDQMHSRMHGLQDþQLKGRJDÿDMDXVWDWLVWLþNH]DNRQH

n'DOLVXNOMXþQLGLMHORYL'1PRGHODSRSXW]DNRQDGRYROMQRMDVQLLGREURVKYDüHQLLPRJXOLLJUDWLXORJHNRMHLPGRGMHOMXMH model?

ZAKONI

barem pravilnosti ili jednoobraznosti – ideal: univerzalno-afirmativni iskaz ∀x(Ax⇒Bx)

HPSLULVWLþNRRJUDQLþHQMH– redukcija 'zakonitosti', 'uzroka' i 'objašnjenja' NDRRELWHOMLPHÿXVREQRSRYH]DQLKNRQFHSDWDQDSUDYLOQRVW

1. XRSüHQMDEH]L]X]Htka ⇒ krše ga i paradigmatski zakoni

2. VDGUåHVDPRþLVWRNYDOLWDWLYQHSUHGLNDWHLQHUHIHULUDMXQDSRMHGLQHobjekte u prostor-vremenskim lokacijama ⇒QHMDVQRLSUHRJUDQLþDYDMXüHQDSXãWHQDSR]LFLMD

3. SRGUåDYDMXSURWXþLQMHQLFHFRXQWHUIDFWXDOV ⇒ nejasna formulacija

4. PRJXVHSRWYUGLWLSRPRüXRJUDQLþHQRJEURMDLQVWDQFLQDQDþLQNDNRWRVOXþDMQDSRRSüHQMDQHPRJX ⇒ u sukobu sa suvremenim stajalištima o potkrjepljivanju

5. LQWHJULUDQLVXXRGUHÿHQRWLMHORVLVWHPDWVNHWHRULMHLLJUDMXVMHGLQMXMXüXXORJXXLVWUDåLYDQMXQDQDþLQNDNRWRVOXþDMQDSRRSüHQMDQHPRJX ⇒ nejasna formulacija

SRVHEQH]QDQRVWLSXQHSRRSüHQMDNRMDLPDMXXORJXREMDãQMHQMDLRSLVDX]URþQLKRGQRVDDOLQH]DGRYROMDYDMXNULWHULMH]DNRQLWRVWL

alternativni kriteriji zakonitosti

MOTIVACIJA

câWR]QDþLSRVWLüLUD]XPLMHYDQMH"

REMDãQMHQMH ]DNRQSRþHWQLXYMHWL⇒XVSMHãQRSUHGYLÿDQMHSRMDYH

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

10

d8ORJDX]URþQRVWLXREMDãQMHQMX

+XPHRYDWHRULMDX]URþQRVWLWHRULMDSUDYLOQRVWL–VYLLVND]LRX]URþQRVWLLPSOLFLUDMXSRVWRMDQMHQHNRJNRUHVSRQGLUDMXüHJ]DNRQDLOLSUDYilnosti koja povezuje uzrok i posljedicu

([8GDUPRJNROMHQDXVWROX]URNRYDRMHSUHYUWDQMHERþLFHVWLQWRP

VLQJXODUQRX]URþQRREMDãQMHQMH

Michael SCRIVES – QHPDMDVQRJ]DNRQDLOLSRRSüHQMD∧QLMHULMHþRGHGXNWLYQRPDUJXPHQWXYHüSRMHGLQDþQRMUHþHQici

'1QRPRORãNDSUHPLVDMHLPSOLFLWQRWYUÿHQDX([⇒QHPRåHVHSODX]LELOQRRþHNLYDWLGDOMXGLWDNR]DNOMXþXMX

o Da li sva objašnjenja spadaju pod ovaj model i da li sve što spada pod ovaj model jest objašnjenje?

(Ex2) Iz podataka: visine štapa h i kuta prema Suncu ϕ i zakona o pravocrtnom gibanju svjetlosti, izvodi se duljina sjene s.

(Ex3) Iz s, zakona gibanju svjetlosti i kuta ϕ izvodi se h. ⇒QLMHX]URþQRREMDãQMHQMHh

([6YLPXãNDUFLNRMLSRSLMXSLOXOX]DNRQWUROXWUXGQRüHUHGRYQRQHRVWaju trudni. -RKQ-RQHVMHPXãNDUDFNRMLX]LPDUHGRYQRSLOXOH]DNRQWUROXWUXGQRüH John Jones ne ostaje trudan.

(Ex2)-(Ex4) –GRYRGHVXVXPQMXRþHNLYDQRVWþLQMHQLFDL]]DNRQDNDRNULWHULMREMDãQMHQMD$/,L]DQHPDUXMXXORJXX]URþQRVWLXREMDãQMHQMX

U najEROMHPVOXþDMXSR]LYDQMHQDSUDYLOQRVWXX]URþQRVWLX'1PRGHOXMHnekompletno:

pojava c, e i postojanje zakona koji ih povezuje (ili x-eva sa svojstvom P i x-eva sa svojstvom Q koje povezuju izvjesni zakoni) u najboljem je VOXþDMXQXåDQDOLQHLGRYROMDn uvjet za istinitost tvrdnje kako je c uzrokovalo e, ili da su x-HYLVD3X]URþQRLOLREMDãQMLYRUHOHYDQWQL]Dx-eve sa Q.

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

11

SR MODEL OBJAŠNJENJA Wesley SALMON: «Statistical Explanation and Statistical Relevance» u

Salmon, W. (ur.) Statistical Explanation and Statistical Relevance, 1971.

SRNXãDMREXKYDüDQMDREMDãQMHQMDLX]URþQRVWLXWHUPLQLPDVWDWLVWLþNH]QDþDMQRVWLRGQRVDNRQGLFLRQDOQHRYLVQRVWL

Zašto element x iz klase sa svojstvom A posjeduje svojstvo B?

KRPRJHQLRGVMHþDN$VNXSSRGNODVDLOLüHOLMa CiL]$NRMHVXPHÿXVREQR

LVNOMXþLYHLLVFSUQHSULþHPXMH3%_$&i) ≠ P(B|A.Cj) za svaki Ci ≠ Cj i QHSRVWRMLQLWLMHGQDGDOMQMDVWDWLVWLþNL]QDþDMQDSRGMHODLWLMHGQHRGüHOLMDL]$ üHOLMH &i mogu se definirati u odnosu prema B – tako da ne postoje dodatna svojstva Dk u A takva da je P(B|A.Ci) ≠ P(B|A.Ci.Dk)

SR objašnjenje zašto je A B, sastoji se od (i) prethodne vjerojatnosti B unutar A: P(B|A)=p;

(ii) KRPRJHQRJRGVMHþND$XRGQRVXSUHPD%$&1,…A.Cn), skupa s YMHURMDWQRVWLPD%XQXWDUVYDNHüHOLMHRGVMHþND: P(B|A.Ci)=pi;

(iii) üHOLMHL]RGVMHþNDNRMHPSULSDGD[

ILUSTRACIJA: SR objašnjenje zašto x, koji je teenager (=A) je i delinkvent (=B). 3RVWRMHVDPRGYDVWDWLVWLþNL]QDþDMQDVYRMVWYD]D%X$VSRO0)Lprebivalište (U – urbano, R – ruralno). Homogeni odsMHþDNþLQLVNXS^$080$05$)8$)5`DREMDãQMHQMHþLQH

(i) iskazi vjerojatnosti o delinkvenciji unutar klase teenagera

(ii) iskaz o vjerojatnosti delinkvencije u danoj klasi prema svakoj od PRJXüLKNRPELQDFLMDVYRMVWDYD

(iii) üHOLMHNRMRMSULSDGD[

([PRåHVHWDNRÿHUSULND]DWLNDR

3WUXGQRüD_7PXãNDUDFX]LPDSLOXOX 3WUXGQRüD_7PXãNDUDF

3WUXGQRüD_7PXãNDUDFX]LPDSLOXOX ≠3WUXGQRüD_7X]LPDSLOXOX

Temeljni motivi SR modela su: REMDãQMHQMHVHSR]LYDQDX]URþQHRGQRVH

RGQRVLVWDWLVWLþNH]QDþDMQRVWLKYDWDMXX]URþQHRGQRVH ⇒ neistinito

Salmon: 'atmosferski tlak A [uzrok]⇒ROXMH2LRþLWDQMDEDURPHWUD%DOLQHstoji 'B [uzrok]⇒ O' %MHVWDWLVWLþNLQH]QDþDMQR]D6X]$ ⇒VDPSRSLVVWDWLVWLþNH]QDþDMQRVWLQHJRYRULQLãWDRX]URþQLPRGQRVLPD

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

12

8=52ý12-M(+$1,ý.,02'(/

Salmon, W. (1984): Scientific Explanation and the Causal Structure of the World. Princeton: Princeton University Press.

8=52ý1,352&(6 –IL]LþNLSURFHVNRMHJR]QDþDYDVSRVREQRVWRGDãLOMDQMDYODVWLWHVWUXNWXUHQDNRQWLQXLUDQLQDþLQ sposobnost ostavljanja oznaka; oznaka – izvjesna lokalna modifikacija strukture procesa pseudo-procesi – nemaju sposobnost ostavljanja oznaka

8=52ý1$,17(5$.&,-$ –]ELYDVHNDGDVHMHGDQX]URþQLSURFHVSURVWRUQR-vremenski presijeca s drugim i proizvodi preinaku njihove strukture

REMDãQMHQMHGRJDÿDMD(– opis koji slijedi a) etiološki vid objašnjenja -X]URþQHSURFHVHLLQWHUDNFLMHNRMHGRYRGHGR(ili barem jedan dio njih, te b) konstitutivni vid objašnjenja –SURFHVLLLQWHUDNFLMHNRMLR]QDþDYDMXVDPLGRJDÿDM

oEMDãQMHQMHSRND]XMHNDNRVH(XNODSDXX]URþQXPUHåXQH[XV

Christopher HITCHCOCK: WHãNRMHXRþLWLãWRMHWRX&0PRGHOXãWRQDPRPRJXüXMHRGDEUDWLXSUDYRRGUHÿHQXYUVWXWUDJDQDVXSURWRVWDOLPVYRMVWYLPDNDRREMDãQMDYDODþNL]QDþDMQX

biljarski stol – trag krede vs. inercije i momenta sile

Ex 4 – pilula

NDNRSULPLMHQLWL&0QDVORåHQLMHVXVWDYHNRMLXNOMXþXMXYHOLNLEURMPHÿXGMHORYDQMDSRVHELFHQDILQRMUD]LQLDQDOL]HX]URþQLKSURFHVD

kondicionali /counterfactuals/

zakon idealnih plinova fenomenološka termodinamika VWDWLVWLþNR-PHKDQLþNLSULVWXS– 6×1023 molekula ne postoji samo jedan model putanja molekula koji vodi do makroskopskog modela (P,V,T)

UNIFIKACIJSKI MODEL

Michael FRIDMAN, Philip KITCHER '1PRGHO MH GMHORPLþQR LVSUDYDQ L]ULþHSODX]LELOQHQXåQHXYMHWHREMDãQMHQMDali nedostaje dodatni uvjet X koji izbjegava kondicionale ⇒ REMDãQMDYDODþNH WHRULMH REMHGLQMXMX QL] UD]QROLNLK SRMDYD paradigmatski primjeri: Newtonova mehanika objedunjuje zemaljsko i nebesko gibanje; Maxwell objedinjuje elektricitet i magnetizam OBJAŠNJENJE L]YRÿHQMHQDMYHüHJPRJXüHJEURMDRSLVDUD]OLþLWLKSRMDYD

UDEHüLL]QRYDLVWL©REUD]DFDUJXPHQDWDª⇒ što se manji broj obrazaca rabi, VWURåLVXMHUQDPHüXRJUDQLþHQMDL]YRGLPDDãWRMHYHüLUDVSRQL]YHGHQih ]DNOMXþDNDREMDãQMHQMHMHYLãHREMHGLQMHQR

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

13

OBJAŠNJAVATELJSKO SKLADIŠTE E(K) /explanatory store/ = skup obrazaca DUJXPHQDWkNRMLPDNVLPDOQRREMHGLQMXMX.VNXSYMHURYDQMDSULKYDüHQLKXizvjesnom razdoblju znanosti; da li je izvjestan izvod zadovoljavajuüHobjašnjenje pokazivanje je da pripada E(K)

⇒QHSRVWRMLQH]DYLVDQX]URþQLUHGSRYUKLL]QDGRQRJDNRMHJWUHEDMXREXKYDWLWLQDãDREMDãQMHQMDQDãLLVND]LRX]URþQRVWLMHGQRVWDYQRRGUDåDYDMXRGQRVHobjašnjenja proizlaze iz naših /ili naših intelektualnih predaka/ pokušaja konstrukcije objedinjene teorije prirode – KITCHER

i) BARNES –1HZWRQRYDPHKDQLNDLOLGUXJDVOLþQDWHRULMDVDVLPHWULþQLPSRLPDQMHPYUHPHQD]DWYRUHQLVLVWHPSRSXW6XQþHYRJ SRþHWQRVWDQMH]DNRQLJLEDQMD ⇒EXGXüDVWDQMD– prediktivni izvodi; ⇒ prošla stanja – retrodiktivni izvodi;

SUHGLNWLYQLKL]YRGDPRåHELWLLVWRNROLNRLUHWURGLNWLYQLKDOLVDPRVHSUHGLNWLYQLX]LPDMX]DREMDãQMHQMDVDGDãQMHVWDQMHþHVWLFDX]URNMHEXGXüLKVWDQMDDQHREUQXWR

ii) ekonomija opisa – postoji mnoštvoVKHPDLSURFHGXUDNRMHVDåLPDQMHSRGDWDNDLREMHGLQMDYDQMHRSLVDDOLQHSUXåDMXSRGDWNHRX]URþQLPodnosima /klasifikacijske sheme u biologiji i astronomiji/

KONDICIONALI /COUNTERFACTUALS/

u dobrim objašnjenjima, ali ne i lošima, promjene varijabli explDQDQVDELWLüHSRYH]DQHVRGJRYDUDMXüLPSURPMHQDPDXH[SODQDQGXPX⇒ ovisnost o NRQGLFLRQDOLPDNOMXþMHUD]XPLMHYDQMDX]URþQRVWLWLPHLREMDãQMHQMD

QSUNRQWUDFHSFLMVNDSLOXODX]URþQRMHREMDãQMDYDODþNLLUHOHYDQWQD]DWUXGQRüXJRVS-RQHVDMHUNRQGLFLRQDOQo ne ovisi o tome je li ili nije konzumirao pilulu

XORJDVWUXNWXUHL]YRÿHQMDXREMDãQMHQMX ÓREMDãQMHQMDREMDãQMDYDMXQDQDþLQSUHQRãHQMDLQIRUPDFLMDRX]RUFLPDkondicionalne ovisnosti ÓSRVWRMHGUXJLQDþLQLWDNYRJSUHQRãHQMDLQIRUPDFLMDGLMDJUDPLJUDILNRni/

WHãNRüD–NRQGLFLRQDOLVXVHPDQWLþNRVUHGVWYRDOLVOLþQRVWPRJXüLVYMHWRYLLþXGDNRVHVHV]DNRQLPDSULURGHLSRWUHEQRMHXþLQLWLNRQGLFLRQDOHGDizgledaju znanstveno neopozivi pokušaj rabljenja statistike, eksperimentalnog nacrta i ekonomike kao VWURJRJRNYLUDLVWUDåLYDQMDRGQRVDX]URþQRVWLLNRQGLFLRQDOD

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

14

BIHEVIORIZAM:

./$6,ý1, – J. B. Watson, B. F. Skinner, S-O-R pristup /2*,ý., – R. Carnap, G. Ryle, L. Wittgenstein fizika – jedinstvo znanosti ⇒ pitanje logike, a ne ontologije Carnap, Ryle – dispozicionalni pojmovi ⇒SUREOHPSUHYRÿHQMD

≠LVWR]QDþHQMH–DSULRUQLLOLQJYLVWLþNLIL]LNDOL]DP ª,PDPåXWXSDVOLNXªUXãLSULVWXS

WHRULMDSVLKRIL]LþNRJLGHQWLWHWD– kontigentni identitet a) fenomenološka pogreška – Leibniz

XPR]JXQLNDGDQHüHPRSURQDüL percepciju (mlin) b) bestjelesna egzistencija

zamislivo, ali empirijski neistinito – kontigentni identitet

prigovori DUALIZMIMA:

h komplicirana ontologija h korelacija um-tijelo - fundamentalni zakoni bez presedana - mentalna stanja nesvodiv - nisu intersubjektivno provjerljivi - Occamova britva

-QHL]YRGLYLL]VYLKEXGXüLKIL]LNDLELRORJLMD

POVLAŠTENI PRISTUP Herbert Feigl – misaoni eksperiment – autocerebroskop LVND]RPHQWDOQRPVWDQMXORJLþNLMHHNYLYDOHQWDQLVND]XNRMLL]UDåDYDVSR]QDMQX

relaciju subjekta prema tom njegovom stanju h identitet neintencionalnih svojstava: (x) (y) (x=y) ⇒ (Fx ⇒ Fy) h nesklad mentalnog i neurološkog stanja – kontigentni identitet ),=,.$/,67,ý.(675$7EGIJE: i) poricati povlašteni pristup ⇒ kako dolazi do iluzije povlaštenog pristupa ii) uklopiti ga u fizikalizam ⇒ objasniti posebni spoznajni odnos prema nekim

IL]LþNLPGRJDÿDMLPDXVYLMHWXNRMLMHXSRWSXQRVWLIL]LþNL Armstrong (1968): A Materialist Theory of Mind

1) p je A-XORJLþNLQHVXPQMLYRDNRVXLVSXQMHQDVOMHGHüDGYDXYMHWD a) A vjeruje u p b) A-ovo uvjerenje da pORJLþNLSRYODþLp

2) p je A-XVDPRREMDYOMXMXüHDNRVXLVSXQMHQDVOMHGHüDGYDXYMHWD a) p b) pORJLþNLSRYODþLGDA vjeruje da p

- nepogrešivost ne vrijedi prema svim mentalnim stanjima stanjima – npr. HPRFLMH6FKDFKWHUNOLQLþNHLQWHUSUHWDFLMH

I. WITTGENSTEINOV ARGUMENT napada na nepogrešivost introspekcije –JGMHQHSRVWRMLPRJXüQRVW]DEOXGH

nema smisla govoriti ni o ispravnosti spoznaje ≠SRVWRMHOLUHþHQLFHþLMDLVWLQLWRVWVOLMHGLL]WRJDãWo netko vjeruje u nešto,

svejedno što bi to 'nešto' bilo

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

15

=SRVWRMHOLLVND]LþLMDLVWLQLWRVWVOLMHGLL]WRJDãWRQHWNRXSUDYRXQMLKYMHUXMH ⇒ nezavisni kriterij mjerenja ispravnosti iskaza ⇒DNRVXXQHNRMVIHULXYMHUHQMDQXåQLPQDþLQRPLVSUDYQDQHPDNULterija razlikovanja

i) verifikacionizam i pozitivizam LL]DãWRQHELQXåQRELOLSRYH]DQLXYMHUHQMHGDSLVDPLVND]S

II. PUTNAMOV ARGUMENT trivijalizacija povlaštenog pristupa

-QHSRWUHEQHLNDNYHPHWDIL]LþNHSUHWSRVWDYNH - nepotreban poseban pristup mentalnim stanjima - pripisivanje mentalnih stanja temelji se na iskrenom subjektovom izvještaju o tim stanjima - psihologija –XþHQMHLGHQWLILFLUDQMDSRMHGLQLKPHQWDOQLKVWDQMD ⇒ ne tvrdi se ništa o vanjskome svijetu ⇒ nemaPRJXüQRVWLXVSRUHGEH ⇒ trivijalna nepogrešivost

-L]SRVWRMDQMDPHWDOQLKVWDQMDQHVOLMHGLQLãWDRVWDQMXVWYDULXIL]LþNRPVYLMHWX - opovrgavanje

- izravno opovrgavanje – neizvedivo - posredno – bijekcija m1-f1 – modus tollens - drugi subjektovi iskazi – nekonzistentnost izvještaja ⇒ proizvoljnost kriterija: prvi ili posljednji ⇒3XWQDPRYDUJXPHQWQHRGUåLY

III. ARGUMENT IH HUMEOVOG ZAKONA -QHPRJXüHMHL]YHVWL'trebalo bi' iz 'jest'WMQHPDQXåQHYH]HL]PHÿXRGYRMHQLK

GRJDÿDMD i) P. Meehl, D. M. Armstrong: introspekcija = intracerebralna percepcija

m1 ⇒ m2 LLRELþQDSHUFHSFLMD

perceptron: m1 ⇒ brojilo ⇒ oko ⇒RþQLåLYFL⇒ m2 M. Levin –MH]LþQD]EUND

bol = svijest o nekom stanju tijela ≠ svijest o samom bolu

0$7(5,-$/,67,ý.22%-AŠNJENJE INTROSPEKCIJE: percepcija = registriranje vanjskih zbivanja + svijest introspekcija = registriranje unutrašnjih zbivanja + svijest

UD]OLND]DVDPRJRSDåDþD .DNRQHNLþLVWRIL]LþNLPHKDQL]DPPRåH]QDWLGDVHQDOD]LXL]YMHVQRPVWDQMX" teorija identiteta –VYMHVWDQL]YMHVQRJPRåGDQRJSURFHVD iako ne zna da li je to

PRåGDQLSURFHV RSDåDQMHFUYHQHPUOMH DNWLYLUDQMH&-vlakana

aktiviranje D-vlakana EHVNRQDþQLUHJUHVUHJLVWULUDQMD registriranje = uvijek za nekogaWNRQDWHPHOMXRSDåHQHYH]HGYDMXSRMDYD

jednu uzima kao informaciju o drugoj

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

16

Barker, Stephen: FILOZOFIJA MATEMATIKE .

Nolit, Beograd, 1973. © 1964 by Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ

.RMXYUVWX]QDþHQMDLPDMXJHRPHWULMVNLWHUPLQL" Mogu li geometrijski principi biti istiniti? (npr. nepomirljivost

euklidske i neeuklidske g. s obzirom na pravilo LVNOMXþHQMD WUHüHJD⇒ NRMD MH LVWLQLWD LPRåH OL WRELWL Ljedna?)

.DNRXRSüHVWLåHPRGR]QDQMDL]JHRPHWULMH" =DãWRVHJHRPHWULMDSULPMHQMXMHQDRSDåOMLYLVYLMHW" 3UREOHPPDWHPDWLþNH HJ]LVWHQFLMH X JHRPHWULML LVND]L VX

KLSRWHWLþNLGRNDULWPHWLNDL]ODåHSRVWRMDQMHQSUpostoji samo jedan broj x, NRML SRPQRåHQ VD y daje y, bez obzira kakav je y)

ZNANJE: APRIORI VS. APOSTERIORI .DNYRMHPDWHPDWLþNR]QDQMH– a priori ili a posteriori? 6WDURVKYDüDQMHUD]OLND MHXSRMPRYLPD=QDQMHNRMHVDGUåLDSULRUQHSRMPRYH

MH DSULRUQR D NRMH VDGUåL DSRVWHULRUQH SRMPRYH HPSLULMVNR (PSLULMVNLSRMPRYLDSVWUDKLUDQLVXXGXKXL]RVMHWLOQRJDLVNXVWYDDSULRUQLQLVXVWHþHQLQDWDMQDþLQ A) RYLPHQLMHLVNOMXþHQRGDPRåHSRVWRMDWLDSULRUQR]QDQMHNRMHVHQHPRåH

u potpunosti objasniti apriornim pojmovima, kao ni empirijsko znanje koje bi se u potpunosti moglo objasniti empirijskim pojmovima;

B) UD]OLNDL]PHÿXDSULRUQLKLDSRVWHULRUQLKSRMPRYDWHPHOMLVHQD]DVWDUMHORMpsihološkoj teoriji o apstrakciji, koja je NYD]LPHKDQLþND UDGQMDNRMXGXKPRåHQDYRGQRYUãLWLQDGRQLPãWRPXMHGDQRXLVNXVWYX

2SüHQLWR VKYDüDQMH HPSLULMVNR ]QDQMH LVWLQLWR RSUDYGDQR YMHURYDQMHzahtjeva i iskustvenu evidenciju; za apriorno znanje potrebno je samo ono iskustvo neophodno za UD]XPLMHYDQMH ULMHþL SRPRüX NRMLK MH ]QDQMHL]UHþHQRQHPRUDVHRSUDYGDWLLVNXVWYRP

empirijsko – fizika, .DNRVHVWLþH biologija, povijest… matematika apriorno znanje?

apriorno – logika $NRMHPDWHPDWLþNR]QDQMH DSULRUQRQDþHPXVHWDda temelji?

razlikovanje dedukcije i indukcije ⇐

DEDUKCIJA UDVXÿLYDQMHXNRMHPPRåHPRDSULRUL]QDWLGD]DNOMXþDNPRUDELWLLVWLQLW DNR QLMH XþLQMHQD QLNDNYD ORJLþND JUHãND L DNR VX SUHPLVH LVWLQLWHispravno je na temelju vlastite ORJLþNHIRUPH (npr. Svaki A je B. Niti jedan C nije B. Dakle, niti jedan C nije A.)

2YRQHREMDãQMDYD]DãWRMHWDNYRUDVXÿLYDQMHYDOMDQRQLWLRGDNOHQDPDSULRUQR]QDQMHGDDNRVXSUHPLVHLVWLQLWHWDGDL]DNOMXþDNPRUDELWLLVWLQLW,VWRWDNR

JHRPHWULMD

DULWP

HWLND

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

17

nema temelja tvrdnji da je VYDNRLVSUDYQRGHGXNWLYQR]DNOMXþLYDQMHLVSUDYQRVDPRQDWHPHOMXVYRMHORJLþNHIRUPH– u jeziku se rabe oblici na koje logika QLMHREUDüDODSR]RUQRVWQSUYLãLQLåL«

INDUKCIJA UDVXÿLYDQMH X NRMHP ]DNOMXþDN L]UDåDYD HPSLULMVNX WYUGQMX NRMDprelazi okviUHRQRJDãWRNDåXþLQMHQLFH⇒QHPRåHVHDSULRUQR]QDWLGDMHdokaz istinit ⇒]DNOMXþLYDQMHSRYMHURMDWQRVWL

Povezanost sa apriori/aposteriori znanjem – u svakom koraku dokazivanje apriornog iskaza je deduktivno. Dokazivanje aposteriornog iskaza mora u barem jednom koraku biti induktivno – empirijski iskazi. Hume – problem indukcije.

KANT – $1$/,7,ý.2,6,17(7,ý.2=1$1-( $DQDOLWLþNLVXG–6MH33VDGUåLELWQRVYRMVWYR6DNRLVDPRDNRQLãWDRVLP

UD]PLãOMDQMD R SRMPRYLPD X VXGX L QDþLQX QD NRML VX RQL Sovezani nije potrebno da bi netko znao da je sud istinit

VLQWHWLþNLVXG– S je P –SRWUHEDQMHPHÿXþODQWHUWLXPTXLGNRMLüHSRYH]DWL6L3DNR LVDPRDNRþLVWR UD]PLãOMDQMHRSRMPRYLPDXVXGX LQDþLQXQMLKRYHSRYH]DQRVWLQLMHGRYROMQRGDRPRJXüL]QDQMH o istinitosti suda; da bi se to znalo, potrebno je pozvati se na nešto drugo.

Iskazano kao prihvatljivo za suvremene filozofe –DQDOLWLþNL MHDNR LVDPRDNRQLãWDRVLPQMHJRYRJUD]XPLMHYDQMDQLMHQXåQRGDELVHPRJOR]QDWLGDMHRQLVWLQLW6LQWHWLþNL– nije dovoljno.

%'UXJLQDþLQUD]OLNRYDQMDSDUDGLJPDWVNLVOXþDMHYLDQDOLWLþNLKLVWLQDVXORJLþNHLVWLQH ,VWLQLW ODåDQ LVND] MH DQDOLWLþNL DNR L VDPR DNR MH LVWLQL ODåDQ QDWHPHOMXVYRMHORJLþNHIRUPHLOLDNRVHSR]LYDQMHPQDGHILQLFLMXPRåHSUHYHVWLnDLVND]NRMLMHLVWLQLODåDQQDRVQRYXORJLþNHIRUPH,VND]MHVLQWHWLþNLDNRLVDPRDNRQLMHDQDOLWLþNL

=DDQDOLWLþNR]QDQMHQLMHSRWUHEQRQLãWDRVLPUD]XPLMHYDQMDSRMPRYD– ne nudi QLãWDQRYRXLQIRUPDFLMVNRPVPLVOX=DVLQWHWLþNR]QDQMHMHSRWUHEQD©WUHüDstvar» - WR MH LVNXVWYR 6LQWHWLþNR ]QDQMH a priori predstavlja problem – QDURþLWD ©WUHüD VWYDUª SRVHEQR ]DQLPOMLY QDþLQ NDNR VH GR QMHJD GROD]LPDWHPDWLNDSUXåDQDMEROMHSULPMHUHWDNYRJ]QDQMD

OTVORENA STRUKTURA JEZIKA 5D]OLNH DQDOLWLþNLVLQWHWLþki i apriorni/aposteriorni nisu precizne – mnoštvo

VOXþDMHYD SDGD L]PHÿX L QHPRåH VH QLNDPR SULNORQLWL 1SU ©3DXN LPD QRJXªVRE]LURPNDNRVHSRGUD]XPLMHYDULMHþ©SDXNªWDNRVHPRåHVXGLWLGDMHLVND]DQDOLWLþNLLOLVLQWHWLþNL⇒ problem je sa svakodnevnim jezikom što ima RWYRUHQRVW]QDþHQMD.

npr. Kopernik – A: «kretanje SURPMHQD SRORåDMD X RGQRVX QD =HPOMXª LB: «kretanje SURPMHQD SRORåDMD X RGQRVX QD VUHGQML SRORåDM QDMYHüHJdijela materije u okolini». Ako se koristi samo A, spor je samo oko upotrebe ULMHþLGD MH.RSHUQLNVNRYDRGUXJX ULMHþPRJDR MH L]EMHüLSUREOHPH RWSRUzbog teološke konotacije pojma 'kretanje'). Hipoteza B opisuje dublju sklonost (npr. nadopuna –NUHWDQMHVRE]LURPQD0OLMHþQXVWD]XVRE]LURPna grozd galaksija).

EUKLIDSKA GEOMETRIJA E*,3û$1,,GRCI Premjeravanje zemljišta radi katastarske podjele zemljišta – uslijed godišnjeg

QDSODYOMLYDQMD 1LOD ELOR MH SRWUHEQR VDþXYDWL VWDUR SRVMHGQLþNR VWDQMH 'R

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

18

RSüLKJHRPHWULMVNLK]DNRQLWRVWLGRãORVHempirijskim putem –XRSüDYDQMHPLpokusima. Npr. zbroj kutova u trokutu jednak je 180°, površina paralelograma jednaka je onoj pravokutnika iste širine i duljine. U VOXþDMHYLPDXNRMLPDVH]DNRQLWRVWLQLVXSRND]DOHWDNYHX]LPDORVHGDMHXpitanju greška u mjerenju i sl.

Grci tom znanju daju naziv geometrija, ali ih ona ne zanima radi nje same. Nisu ]DGRYROMQLHPSLULMVNLPGRND]LPDLQDVWRMHQDþLQLWLRQHGHGXNWLYQH–SURQDüLRSüH]DNRQHSURVWRUD1HNLJUþNL ILOR]RILSRVHELFH3LWDJRUD L3ODWRQPLVOLOLsu da geometrija ima visoki intelektualQL ]QDþDM MHU LP MH ]ERJ YODVWLWHþLVWRüHLDSVWUDNWQRVWLL]JOHGDODXVURGGVWYXVDPHWDIL]LNRPLUHOLJLMRP≅300. g.p.K. Euklid piše «Elemente» - X VLVWHPDWVNRP MH REOLNX L]ORåLR JODYQDJHRPHWULMVND RWNULüD SUHWKRGQLND 7R MH MHGQR RG QDMXWMHFDMQLMLK GMHOa Zapadne misli – obrazac kakve bi stvari trebale biti sve do XIX. st.

EUKLIDOV POSTUPAK 1) zakoni su mu uvijek iskazani u univerzalnom obliku , kao strogi i

apsolutni 2) zakone dokazuje – uvijek deduktivno –QDVWRML LKXWYUGLWLVDVWURJRãüX

DSVROXWQHORJLþNHQXånosti Dedukcija ≠ dokaz ! Dedukcija je QDþLQ]DNOMXþLYDQMDSRQXåQRVWLQD WHPHOMX

izvjesnih premisa (istinitih ili ne, ovdje je svejedno), dok je dokaz dedukcija QHNRJSR]QDWRJ]DNOMXþNDL]SR]QDWLKistinitih premisa.

Pretpostavi li se da je dokazivanje geometrijskih iskaza NRQDþDQSURFHVLQDþHLPDPR EHVNRQDþQL UHJUHV PRUD VH NUHQXWL RG L]YMHVQLK i geometrijskih SUHPLVD2YR ]QDþL GD VH QHPRåH RþHNLYDWL GD üH VHPRüL GRND]DWL VYHJHRPHWULMVNH ]DNRQH EH] NUXåHQMD X GRND]LYDQMX– izvjesne zakone treba poVWDYLWLQDSRþHWDN–PDODVNXSLQDNRMXVHQHüHGRND]LYDWLDL]NRMHüHVHPRüLGRND]DWLVYLRVWDOLSRãWLYDQMHPVWURJLKSUDYLOD(XNOLGSUYLPDGDMHLPHpostulati, a drugima teoreme.

EUKLIDOVI POSTULATI 1. -HGQDUDYQDFUWDPRåHVHSURYXüLRGELORNRMHWRþNHGR bilo koje druge

WRþNH 2. 6YDNDNRQDþQDSUDYDFUWDPRåHVHQHSUHNLGQRSURGXåDYDWLXSUDYXFUWX 3. .DGDVXGDWLPDNRMDWRþNDLPDNRMDGXOMLQDRQGDVHPRåHSRYXüLNUXJ

VWRPWRþNRPNDNRVUHGLãWHPLWRPGXOMLQRPNDRUDGLMXVRP 4. 6YLSUDYLNXWRYLPHÿXVREQRVXMHGQaki. 5. Ako jedna prava crta

VLMHþHGUXJHGYLMHSUDYHcrte tako da je zbroj dvaju unutrašnjih kutova na jednoj strani manji od dva prava kuta, onda se te dvije prave crte, ako se dovoljno produlje, sijeku na onoj strani prave crte na kojoj se nalaze ti kutovi.

B'

A

B D

C C'

A'

E

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

19

ýHWYUWLVHSRVWXODWPRåHþLQLWLNDRRþLW–DOLQHQDWHPHOMXVYRMHORJLþNHIRUPHEuklid misli – kut je pravi ako je dobiven presijecanjem dviju ravnih crta na WDNDYQDþLQGDVX VXVMHGQL NXWRYL MHGQDNL7RVHQHGD]DNOMXþLWL VDPRQDWHPHOMXORJLþNHIRrme.

3HWLSRVWXODWGMHOXMH]DNXþDVWRDOLJDVHODNRSUHGRþLFUWHåRP1HND$$VLMHþHBB' i CC'. Ako je zbroj kutova BDE i CED manji od dva prava kuta, na toj se strani BB i CC sijeku, ako se dovoljno produlje.

EUKLIDOVI AKSIOMI I DEFINICIJE Dok postulati JRYRUH QHãWR R SUHGPHWX JHRPHWULMH DNVLRPL VX RSüHQLWLML –

RGQRVH VH QD MHGQDNRVW YHOLþLQD *UFL VX YMHURMDWQR WX UD]OLNX WXPDþLOLQDþLQRP – osoba koja bi posumnjala u postulate, pokazala bi se QHVSRVREQD]DEDYOMHQMHJHRPHWULMRPDOLQH LQHþLPGUXJLPGok ona koja bi posumnjala u aksiome je nesposobna misliti o bilo kojem drugom predmetu.

AKSIOMIVXWROLNRRþLWLGDQLWNRXQMLKQLWLXMHGQRPWUHQXWNXQHELSRVXPQMDR– taj nedostatak dokaza za njih nije ništa što govori protiv njih, pa mogu biti temelj osWDOLP]DNRQLPDJHRPHWULMHNRMLVXPDQMHRþLWL 1) 6WYDULNRMHVXMHGQDNHLVWRMVWYDULMHGQDNHVXLPHÿXVREQR 2) Ako se jednako dodaje jednakom, cjeline su jednake. 3) Ako se jednako oduzme od jednakog, ostaci su jednaki. 4) Stvari koje se poklapaju jedna s drugom jednake su jedna drugoj. 5) &MHOLQDMHYHüDRGGLMHOD

Euklid nastoji i sistematizirati termine koje rabi – svakoga nastoji definirati prije XSRUDEHGDELVHL]EMHJODNDVQLMD]EUNDLPRJXüDGYRVPLVOHQRVW

Euklidovi teoremi dokazuju univerzalne zakone. Teoremi su iskazani kao zadaci koje je potrebno izraditi – rješavanje takvog zadatka je ujedno i GRND] 1SU NRQVWUXNFLMD MHGQDNRVWUDQLþQRJ WURNXWD DNR MH GDQR $% – QDSUDYHVHNUXåQLFHLXVMHFLãWXVHVSRMLWURNXW

M2'(5126+9$û$1-('('UKTIVNIH SISTEMA Euklid pokušava definirati sve termine koje rabi. To je neizvedivo i vodi u

EHVNRQDþQLUHJUHV3RWUHEQRMHLPDWLVNXSRVQRYQLKWHUPLQDQDWHPHOMXNRMLKüH VH RGUHGLWL VYL RVWDOL WHUPLQL ,VWD VWYDU YULMHGL L ]D L]ERU DNVLRPD LOLpostulata. Suvremeni autori ne prave UD]OLNXL]PHÿXWRGYRMH6XYUHPHQRMHVKYDüDQMHLGDQLMHVDPRMHGDQVNXSSRMPRYDLSUDYLOD]DL]YMHVWDQSUHGPHW

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

20

– postoji sloboda u stvaranju. Npr. HilbertUDELWHUPLQHWRþNDFUWDUDYQLQDLQFLGHQWQR L]PHÿX L NRQJUXHQWQR Oswald Veblen – WRþND L]PHÿX kongruentno, E. V. Huntington –VIHUDLVDGUåL6YDNLRGDXWRUDLPDUD]OLþLWLskup postulata. Aristotelovo je vjerovanje da za svaki predmet postoji jedan ispravan skup osnovnih termina i pravila, ako i da za svaki pojam postoji samo jedna ispravna definicija.

2þLWD VYUKD DNVLRPDWL]DFLMH MH SULND]DWL SUHGPHW X VXVWDYQRP GHGXNWLYQRPobliku i olakšavanje dokazivanja, ali teško je povjerovati da je Euklidu to bila sva motivacija. Druga svrha je izlaganje predmeta na jasan i elegantan QDþLQX]XND]LYDQMHQD]DQLPOMLYHORJLþNHYH]HPHÿX]DNRQLPD6XYUHPHQLPDWHPDWLþDULQDSUDYLOLVXGDOHNRVXEROMHDNVLRPDWL]LUDQHVLVWHPHRGRQRJDpotrebnog za dokazivanje.

3UL WRPH MH SRWUHEQR L]PLULWL GYLMH VXSURWQH WHåQMH – LPDWL ãWR HNRQRPLþQLMLPDQML SRþHWQL VNXS pojmova i postulata, a GRND]DWL ãWR YHüL VNXSpravila (tj. dokazati sva poznata pravila).

'HILQLFLMHVHNRULVWHNDNRELVHSRYHüDODGHGXNWLYQDVQDJDVLVWHPD©0RGHUQRgledište – MHGLQLSRVWRMDQL]DKWMHYMHGDGHILQLFLMDQHNRJRGUHÿHQRJWHUPLQDVDþXYDLVWLQLWRVWVYLKUHþHQLFDJHRPHWULMHXNRMLPDVHWDMWHUPLQMDYOMDLGDVDþXYDODåQRVWVYLKUHþHQLFDª

GEOMETRIJA KAO APRIORNO ZNANJE Sustav geometrije po Euklidu je deduktivan – da li su postulati istinit; da li su

apriorni ili empirijski? Sve do XIX. st. postojalo je slaganje filozofa – to su LVND]LNRMLLPDMXVDGUåDMLLVWLQLWLVXWLPHJHRPHWULMDXVWYDULSRVWDMHLVWDNDRLprirodne znanosti) i postulati su apriorni. Sam Euklid time se ne bavi.

Platon – apriorni – QLNDGD VH QH VXVUHüHPR VD WDNR QHþLP X SULURGL – u naMEROMHPVOXþDMXDSURNVLPDFLMD.ULWLND D 7NRNDåH QLNDGD"– npr. spoj stropa i zida – þLQL VH NDR LGHDOQD SUDYD FUWD 0MHUL OL VH QDüL üH VHodstupanja, ali to nijeQXåQRE X]QDQRVWLQLMHQHXRELþDMHQRWYUGLWLRQHNRMstvari empirijski iskaz a da QLMH ELR RSDåHQ QLWL MHGDQ VOXþDM WH VWYDUL QSUDWRPVNDIL]LNDPDWHPDWLþNRNODWQR«⇒3ODWRQ]DQHPDUXMHPRJXüQRVWGDLVND]LRJHRPHWULMLPRJXELWLSRVUHGQRHPSLULMVNLNDRLPDWHPDWLþNRNODWQR

Kant – apriorni jer se previše razlikuju od empirijskih – univerzalni su i u njih se QHVXPQMD'DVXGRELYHQLL]LVNXVWYDVYDNRELPMHUHQMHVDGUåDYDORL]YMHVQXgrešku (npr. α+β+γ≅ L L]YMHVQRVW WLK ]DNRQD EL UDVOD V SRYHüDQLPbrojem mjerenja.

GEOMETRIJA KAO SINTET ,ý.2=1$1-( Sve do XIX. st. filozofi bi se slagali da je geometrijsko znanje apriorni i

VLQWHWLþNR2ERULWLWH]X– pokazati da je neki geometrijski iskaz ekvivalentan QHNRM ORJLþNRM LVWLQL SR]LYDQMHP VDPR QD HNVSOLFLWQH GHILQLFLMH L SULQFLSHformalne logike – GRYROMQL GRND] GD MH LVND] DQDOLWLþNL Oakša pozicija). =DVWXSDQMHGDMHVLQWHWLþNL–XQDMJRUHPVOXþDMXVPDWUDWLGDVHWDNDYGRND]QHPRåHQDþLQLWL.DQW–QDMMDVQLMHEUDQLGDMHVLQWHWLþNRDOLQLQHSRNXãDYDQLãWD IRUPDOQRGRND]DWL GUåL GD MH WRRþLJOHGQRDOL SUL]QDMHGDVX L]YMHVQLiskazi LSDNDQDOLWLþNLVRE]LURPQDSRVWXODWH

.DNRRQGDQDãDVYLMHVWPRåHGRüLGRWDNYLKLVWLQD"'R;,;VW–WRQHPRåHELWLnikakvo iskustvo! Descartes – ©RNR 5D]XPDª UD]XPQR XYLÿDQMH«Platon (Menon) – Sokrat navodi roba da ispravno riješi geometrijski zadatak ⇒ rob je posjedovao znanje, ali ga je zaboravio ⇒ besmrtnost duše ⇒ REALIZAM . Kant – XQXWUDãQML XYLG NRML LPD VYRMX IRUPX þXOQRVWL – sva RSDåDQMD VH VWDYOMDMX X NRQWHNVW HXNOLGVNRJ SURVWRUD ©Duh je u stanju

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

21

VSR]QDWL YODVWLWL QDþLQ GMHORYDQMD L WDNRPRåH VKYDWLWL GD VYH ãWR VHPRåHosjetilno opaziti mora biti u prostoru i mora biti podvrgnuto Euklidovim zakonimaª1LãWDQHPRåHVWYDUQRELWLSURVWRUQR– na temelju antinomija – prostor je samo psihologijski kontekst ⇒ KONCEPTUALIZAM .

NEEUKLIDSKA GEOMETRIJA 3RJOHGDMX OL VH (XNOLGRYL SRVWXODWL SHWL VWUãL NDR L]UD]LWR QHMDVDQ L VORåHQ

0DWHPDWLþDUL VX VWROMHüLPD QDVWRMDOL ULMHãLWL JD VH – X QDMEROMHP VOXþDMXpokazati da je zavisan od ostalih (u stvari da je teorem koji se iz ostalih izvodi). Svaki pokušaj LPDR MH LOLQHNX ORJLþNXJUHãNX LOL MHSRGUD]XPLMHYDRSUHWSRVWDYNX VORåHQX EDUHP NROLNR L VDP SHWL SRVWXODW $OL WL VX SRNXãDMLUDVYLMHWOLOL þLQMHQLFX GDPRJX SRVWRMDWL L GUXJL LVND]L NRML ELPRJOL LPDWL LVWXfunkciju – RPRJXüLWL GHGXNFLMX WHRUHPD L] RVWDOD þHWLUL SRVWXODWD QSUPlayfairov aksiom – L] MHGQH WRþNHNRMDQLMHQDSUDYRMFUWLPRåHVHSRYXüLsamo jedna njoj paralelna crta; ili zbroj kutova u trokutu jednak je dvama SUDYLPNXWRYLPD]DWUL WRþNHNRMHVHQHQDOD]HQDSUDYFXPRåHVHSRYXüLsamo jeGQDNUXåQLFDNRMDüHLKVDGUåDYDWLVYHWUL⇒ nema razloga vjerovati da je iti jedna jednostavnija od Euklidove tvrdnje!

SACHIERRI (XVIII ST.) Drugi, posredni pristup – reductio ad

DEVXUGXP3UHWSRVWDYLR MHGDVXSUYDþHWLULEuklidova postulata istinita (+ svaka se SUDYD FUWD PRåH EHVNRQDþQR SURGXOMLYDWLšto je izveo iz drugog postulata iako tamo nije eksplicitno navedeno), a da je peti ODåDQ

Dokaz –QDG$%SRYXüLGYLMH MHGQDNHQRUPDOHRNRPLWHGXåLQHL]$LL]%– AC i BD. U skladu s pretpostavkama, uspio je dokazati da ACD i BDC moraju biti jednaki. Ovi 'tjemeni kutovi' su ili a) pravi kutovi; b) šiljasti ili c) tupi. Odbacivanje a) zbog pretpostavke da je peti SRVWXODWODåDQRGEDFXMHFMHUVHSURWLYLSUHWSRVWDYFLGDVHSUDYDFUWDPRåHproizvoljno proGXåDYDWL8VSLR EL X QDNDQL GD MH GRND]DRQHVSRMLYRVW E Vpretpostavkama – SRVOMHGLFH QLVX LPDOH VWURJR ORJLþNX QHPRJXüQRVW⇒ u stvari je dokazao izvjestan broj teorema nove geometrije.

LOBACHEVSKY 7HNX;,;VWVKYDüDVHGD MHSHWLSRVWXODWQH]DYLVDQ– X]PH OLVHGUXJDþLML

dobivaju se nove geometrije!!! Gauss – uvodi 'neeuklidsku geometriju' kao naziv za sustav posljedica koje izvodi iz Sacchierijeve hipoteze o oštrom NXWX DOL QH REMDYOMXMH QLãWD 5XVNL PDWHPDWLþDU /REDFKHYVN\ L PDÿDUVNLBoliai, nezaviVQR MHGDQ R GUXJRPH QLWL ]QDMXüL ]D 6DFFKLHULMD REMDYOMXMXopise ove geometrije ⇒QRYDLORJLþNLQHSURWXUMHþQDYUVWD

⇒NUR]MHGQXWRþNXL]YDQGDWHGXåLQHPRJXüHMHSRYXüLYLãHSDUDOHOD ⇒ zbroj kutova u trokutu manjiMHRGGYDSUDYDNXWDDYHOLþLQD]DNoju je manji

proporcionalna je površini trokuta ⇒ ako površine trokuta nisu jednake, oni QHPRJXELWLVOLþQL

⇒ O=2rx; x>π

A B

DC

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

22

RIEMANN 8 ;,; VW QMHPDþNL PDWHPDWLþDUL 5LHPDQQ L +HOPKROW] QH]DYLVQR UD]YLMDMX

sistem iz Sacchierijeve pretpostavke o tupom kutu. Ovdje se odbacuje WYUGQMDGDVHSUDYDFUWDPRåHEHVNRQDþQRSURGXOMLYDWL

⇒]DVYDNXGXOMLQXSRVWRMLQDMYHüDGRNRMHVHMHPRåHSURGXOMLWL ⇒ zbroj kutova u trokutu uvijek je YHüL od dva prava kuta ⇒ O=2rx; x<π

5LHPDQQ VYRM UDG QLMH UD]YLR SRPRüX SRVWXODWD YHü QD WHPHOMX SRMPDzakrivljenosti koji razvija Gauss – on rabi izraz geodezijska crta –NRMDOHåLXMHGQRM UDYQLQL L QDMNUDüD MH XGDOMHQRVW L]PHÿX GYLMX WRþDND QD WRM UDYQLQLPriroda geodezijskih crta ovisi o svojstvu ravnine – zakrivljenosti. U euklidskoj ravnini zakrivljenost je 0; na sfernoj – geodezijske crte su lukovi NUXåQLFH – MHGQROLND SR]LWLYQD ]DNULYOMHQRVW SUL þHPX MH YHOLþLQD]DNULYOMHQRVWL REUQXWR SURSRUFLRQDOQD YHOLþLQL VIHUH QD MDMROLNRM SRYUãLQLzakrivljenost je pozitivna, ali nije jednolika; sedlasta površina ima negativnu ]DNULYOMHQRVW5LHPDQQMHSRRSüLR*DXVVRYSRMDP]DNULYOMHQRVWLLQDSURVWRU– HXNOLGVNL MH SURVWRU JGMH VX VYD SRGUXþMD QXOWH ]DNULYOMHQRVWL JHRPHWULMD

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

23

Lobachevskog razmatra prostor sa nekom stalnom negativnom zakrLYOMHQRãüX D JHRPHWULMD 5LHPDQQD SURVWRU VD VWDOQRP SR]LWLYQRP]DNULYOMHQRãüX

3UREOHPSUHGRþDYDQMD WDNYRJSURVWRUD ]D UD]OLNXRGUDYQLQDQH WYUGLQLãWDRQMLKRYRMSURWXUMHþQRVWL

P52%/(01(352785-(ý12STI Raniji su filozofi mislili da postoji samo jedna istinita geometrija – Euklidova.

$NRVXLRYHLVWLQLWHDYLGLVHGDQLVXODåQHMHUVHGHGXFLUDMXNRMDMHLVWLQLWD& što je s istinom u matematici?! Niti u jednom od ovih sustava nije SURQDÿHQSDUWHRUHPDNRMLELELRSURWXUMHþDQDOLQLMHQLSR]LWLYQRdokazano GDVXRYLQHHXNOLGVNLVXVWDYLQHSURWXUMHþQL

6YUHPHQRPVHXRþLORSUD]QLQHXGRND]LYDQMX(XNOLGRYLK WHRUHPD.DNR MHX;,;VWQDJORSRUDVORPMHULORPDWHPDWLþNHVWURJRVWLSRVWDOR MHRþLWRGDVX©(OHPHQWLª SXQL ORJLþNLK SUD]QLQD – npr. kada ilustracijom konstruira MHGQDNRVWUDQLþQL WURNXWSRPRüXNUXåQLFD–RQQHPD ORJLþNLK UD]ORJD WYUGLWLGD VH NUXåQLFH VLMHNX L WR XSUDYR X MHGQRM WRþNL & – on nema nikakav postulat koji mu osigurava kontinuitet linije k krugova ⇒ potrebno je dodati novi postulat «DNR MHGQD FUWD NDR ãWR MH $&( NUXåQLFD X SRWSXQRVWLpripada jednoj figuri (ovdje je to ravnina) koja jep odijeljena na dva dijela YDQMãWLQXLXQXWUDãQMRVWNUXJDLDNR]DFUWDLPDEDUMHGQX]DMHGQLþNXWRþNXVDVYDNLPGLMHORPRQGDRQDPRUDVMHüLJUDQLFXL]PHÿXGLMHORYDª6WYDUGUåLYRGX MHU WDPRJGMHQHGHGXFLUD L] MDVQR L]UHþHQLK LVND]D(XNOLG LOXVWULUD– FUWHåMDPþLORJLþNXLVSUDYQRVWGRND]D(XNOLGQLMHELRVYMHVWDQWLKSUD]QLQD

DEDUKTIVNI SISTEMI PROMATRANI APSTRAKTNO 6WURåLVWLOXGRND]LYDQMXJHRPHWULMHL]QLNDRMHL]åHOMH]DQDGRSXQRP(XNOLGRYLK

SRVWXODWD L ãWR MH ]D WR DSVROXWQR QXåQR L]EMHüL SUD]QLQH XGRND]LYDQMXUDVXÿLYDQMXGDELVHMDPþLODSRX]GDQRVWGRND]DWHRUHPD

&LOMMHELRSULND]DWLGRND]HNRMLVXLVSUDYQLMHGLQRQDRVQRYLVYRMHORJLþNe forme; VLVWHPPRUD ELWL SULND]DQ WDNR GD NDG JRG KRüHPRPRåHPRELWL X VWDQMXpromatrati ga vrlo apstraktno! 1) 1LMHYDåQRGDOLVXLVND]LDNVLRPLLWHRUHPLLVWLQLWL LOLQH–PRåHRGYXüL

SDåQMXVORJLþNLKYH]D 2) 1H PRUDPR REUDüDWL QLNDNYX SDåQMX ]QDþHQMLPD termina – ekstrem:

GUåDWL LVND]H ]D EHVPLVOHQH ⇒ QHSRWUHEQR MH XNOMXþLYDWL ELOR NDNYHGHILQLFLMHSRMPRYDMHUVXQHYDåQHDNRVHVXVWDYSURPDWUDDSVWUDNWQR

ýLVWDJHRPHWULMD – koja se promatra samo sa apstraktnog stajališta; kada se pokušavaju utvrditi logiþNHYH]H

Primijenjena geometrija – SURXþDYD VH QDNRQ ãWR VX QMHQLP WHUPLQLPDSULGUXåHQDL]YMHVQD]QDþHQMD

Po ovom gledištu, Euklid se bavio primijenjenom geometrijom, tj. LQåHQMHUVWYRP %ROMD MH SRGMHOD QD LQWHUSUHWLUDQL L QHLQWHUSUHWLUDQL VLVWHP – kada VHQDVWRMLVWURJRSURXþLWLQMHJRYD ORJLþNDVWUXNWXUD⇒ o neeuklidskim geometrijama potrebno je misliti kao o neinterpretiranim sistemima. Tada se DNVLRPL L WHRUHPL L]UDåDYDMX VKHPDWVNL – npr. prva dva postulata kod Euklida: 1. =DVYDNHGYLMHUD]OLþLWH3SRVWRji jedna S prema kojoj su obje P u relaciji

B. [P –WRþND6– prava crta, B - pripada]

2. =DVYDNX6]DNRMXSRVWRMHGYLMHUD]OLþLWH3NRMHVXXUHODFLML(SUHPD6postoji jedna druga S prema kojoj su obje ove P u relaciji B, ali prema

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

24

$

'

%

&

kojoj je samo jedna od njih u relaciji E. [P – WRþND6– prava crta, B – pripada, E - završava]

.DGDVH3%(L6SULGUXåHL]YMHVQD]QDþHQMDWDGDVHGRELYDMXVPLVOHQLLVND]LNRMLPRJXELWLLVWLQLWLLOLODåQLQSU3– prava crta, B –UHODFLMDFUWHLWRþNHNDGDse crta zaYUãDYD X WRM WRþNL (– UHODFLMX L]PHÿX FUWH L WRþNH NDGD WD FUWDVDGUåLWXWRþNXSDRQGDL]YXþHVPLVOHQRLDNRODåQR

- =DVYDNHGYLMH UD]OLþLWHSUDYHFUWHSRVWRML MHGQD WRþNDXNRMRM VHobje crte završavaju.

- =DVYDNX WRþNX]DNRMXSRVWRMHGYLMH UD]OLþLWHSUDYHFUWHRGNRMLKVYDND VDGUåL WX WRþNX SRVWRML MHGQDGUXJD WRþND X NRMRM VH REMHRYHSUDYHFUWH]DYUãDYDMXDOLNRMXVDPRMHGQDRGQMLKVDGUåL

,VWRWDNRPRJXVHX]HWLQHNHWUHüHLQWHUSUHWDFLMH - =D VYDND GYD UD]OLþLWD WUHQXWND SRVWRML MHGDQ LQWerval kojem oba

trenutka pripadaju. - =D VYDNL LQWHUYDO NRML SRVMHGXMH GYD UD]OLþLWD WUHQXWND RG NRMLK MH

svaki ili najraniji ili najkasniji trenutak tog intervala, postoji jedan drugi interval kojem oba trenutka pripadaju, ali u kojem je samo jedan od njih najraniji ili najkasniji.

«1HLQWHUSUHWLUDQLVLVWHP MHRELþQR WDNDYGD]DPQRJH LQWHUSUHWDFLMHQHNL LOLVYLQMHJRYLSRVWXODWLLQHNLLOLVYLWHRUHPLSRVWDMXODåQLLVND]LGRN]DQHNHGUXJHinterpretacije njegovi postulati i teoremi postaju istiniti iskazu.»

P52785-(ý1267 'D EL QHLQWHUSUHWLUDQL VLVWHP ELR SURWXUMHþDQ SRWUHEQR MH XQXWDU QMHJD PRüL

GHGXFLUDWLGYDWHRUHPDNRMDVXPHÿXVREQRSURWXUMHþQDQSU 6YL6VX3 L3RVWRML EDUHP MHGDQ 6 NRML QLMH 3 1HSURWXUMHþQRVW MH ELWQD ]ERJ VYRMHveze s istinitRãüX – SURWXUMHþDQ VXVWDY QHüH ELWL LVWLQLW EH] RE]LUD QDinterpretaciju, a takav je onda od malo koristi.

'DMHVLVWHPQHSURWXUMHþDQPRåHVHGRND]DWLWDNRGD a) QDÿHVHLQWHUSUHWDFLMDXNRMRMVXVYLDNVLRPLSDWDNRLWHRUHPLVLVWHPD

nedvosmisleno istiniti ⇒ RJUDQLþHQMH MH ãWR MH SRWUHEQR VDYUãHQRRGUHÿHQR]QDQMHRLVWLQLWRVWLLQWHUSUHWLUDQLKLVND]D

b) relativni iskazi – SRND]XMH VH GD MH GDWL VLVWHP QHSURWXUMHþDQ SRGSUHWSRVWDYNRPGDMHQHSURWXUMHþDQQHNLGUXJLPDQMHVXPQMLYLVND]

7DNR VX PDWHPDWLþDUL ;,; st. utvrdili da su geometrije /REDFKHYVNRJ L 5LHPDQQD QHSURWXUMHþQH XNROLNR MH LHXNOLGVND JHRPHWULMD QHSURWXUMHþQD 1SU IUDQFXVNLPDWHPDWLþDU 3RLQFDUH – VIHUD þLMD XQXWUDãQMRVW LPDosobinu da se stvari u njoj jednoliko skupljaju kako se udaljavaju od centra ⇒ QHPRåH VHQLNDGDGRüL GRpovršine sfere [limen – WDGD MH VNXSOMDQMH QDMYHüHx/∝=0] ⇒ XQXWUDãQMRVW VIHUH LP MH EHVNRQDþQLVYHPLU 1HND LP MH SUDYD FUWD QDMNUDüD XGDOMHQRVWL]PHÿX WRþDND D WURNXW OLN NRMHJ þLQH WUL WDNYH FUWHGeometrija takvog svemira je geometrija Lobachevskog. =EURM NXWRYD X WURNXWX XYLMHN üH ELWL PDQML RG GYD SUDYDNXWDLWRXWROLNRNROLNRMHWURNXWYHüL$NRMHHXNOLGVNDJHRPHWULMDQHSURWXUMHþQD RQGD MH WDNYD L RYD 1SU DNR VH WURNXW GRELYD QDMPDQMLPbrojem polaganja mjernih štapova, a oni se s obzirom na udaljavanje od središta skupljaju i šire – postupak analogan onome u euklidskom prostoru.

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

25

.DNR GRND]DWL QHSURWXUMHþQRVW HXNOLGVNH JHRPHWULMH – 'pretvoriti' sistem u brojevni – RSLVDWL WRþNXNDRXUHÿHQX WULFXEURMHYDGXåLQu kao skup takvih trica – VYHOR VH QD SUREOHP QHSURWXUMHþQRVWL XQXWDU PDWHPDWLþNH WHRULMHrealnih brojeva.

INTERPRETIRANA GEOMETRIJA KAO EMPIRIJSKA 3RMHGLQLDXWRULGUåHGDMHþLQMHQLFDGDVXQHHXNOLGVNHJHRPHWULMHYMHURGRVWRMQH

koliko i euklidska, dokaz kaNRVHUXãLJOHGLãWHRJHRPHWULMLNDRVLQWHWLþNRPapriornom znanju. U stvari, skloni su imati dva gledišta o geometriji:

- QHLQWHUSUHWLUDQD þLVWD JHRPHWULMD – SURXþDYDQMH NRMHSUHWSRVWDYOMDþLVWRDQDOLWLþNR]QDQMH⇒SUREOHPLþLVWHORJLNH

- interpretirana ('primijenjena') geometrija – hipoteze o prirodi koje mogu ili ne mogu biti istinite. Za interpretirani sistem potrebno je RGDEUDWL L]YMHVQD]QDþHQMD]DRVQRYQHQHGRYUãHQHLVND]H'DELse provjerio takav sistem, potrebno je pristupiti empirijski ⇒ pokus!

npr. «prava crta» - NOMXþQL WHUPLQ DNVLRPDWL]DFLMH SD MH DNR MH RQ RGUHÿHQUHODWLYQR ODNR RGUHGLWL ]QDþHQMH GUXJLK WHUPLQD $NR MH VH RGUHGL NDRQDMNUDüX XGDOMHQRVW L]PHÿX GYLMH WRþNH RQGD VHPRåH SULVWXSLWL SRVWXSNXpolaganja mjernih štapova (uz pretpostavku da se pri prenošenju niti skuplja niti širi) ⇒ problem: Reichenbach – problem kongruencije

INTERPRETIRANA GEOMETRIJA KAO APRIORNA Ako je empirijski pokazano da je prostor Riemannov, a ne euklidski, sve je

jasno – Kantova filozofija prostora pada. MeÿXWLP SRVWRML OL DSULRUQDLQWHUSUHWDFLMD"$NRVH©SUDYDFUWDªRGUHGLNDRRQDNRMLKWULWDNYHþLQHWURNXWkoji ima zbroj kutova jednak dva prava kuta, onda je cijeli sistem aprioran – MHGQRVWDYQRDNRVHRPMHULQHNDNDYWURNXWLQDÿHGDMHα+β+γ≠180°, onda je bar jedna od tih crta kriva! Ovakva interpretacija se ne povezuje strogo ni sa kakvim pokusom Tada se u interpretaciji svemira ne govori da svjetlosne ]UDNHSXWXMXSUDYRFUWQRYHüGDVHNULYHWMGDVHPMHUQLãWDSVNXSOMDLãLULTada sve postavke eukOLGVNH JHRPHWULMH SRVWDMX QXåQR LVWLQLWH Dneeuklidske neistinite.

⇒QHLQWHUSUHWLUDQLVNXSL]NRMHJVHL]YODþHHXNOLGVNDLQHHXNOLGVNHLQWHUSUHWDFLMHQLMHQLLVWLQLWQLODåDQSDVWRJDMHGQDLQWHUSUHWDFLMDne pobija drugu!!!

=QDþHQMHDSULRUQHLQWHUSUHWDFLje (a) 'D OL MH WDNYD DSULRUQD LQWHUSUHWDFLMD VLQWHWLþNR DSULRUQR ]QDQMH"

5D]OLNRYDWL GYD .DQWRYD REMDãQMHQMD UD]OLNH VLQWHWLþNRDQDOLWLþNR ,VND]LQLVXLVWLQLWLVDPRQDWHPHOMXYODVWLWHORJLþNHIRUPHEDUQHVYLDOLDNRVHgleda samo razumijevanje, onda je DQDOLWLþNR– samo je ono potrebno (primjer: α+β+γ=180°); npr. neka netko to ne razumije – postupak da UD]XPLMH VDVWRMDR EL VH X XSXüLYDQMX QD åHOMHQR ]QDþHQMH SUREOHPUD]XPLMHYDQMDULMHþLXMH]LNX

(b) Treba li prednost dati apriornoj ili empirijskoj interpretaciji? Isti problem kako i s Kopernikom! Obje su ispravne, samo je razlika u dubini WHQGHQFLMHQDNRMXXSXüXMH)L]LþDULUDGLMHUDEH5LHPPDQRYXJHRPHWULMXjer im je to lakše nego govoriti o krivljenju putanje svjetlosti i sl.

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

26

IV. Brojevi i doslovne filozofije broja Za razliku od geometrije, algebra je razvijena podalje od Grka (Babilon, Indija,

Arapi), a Grci i kad bi se bavili brojevima, rabili bi ih kao interpretacije geometrije – stoga sve do XIX. st. nije bilo aksiomatizacije. Razvoj je vjerojatno samo dovodio do filozofskih zagonetki – prirodni brojevi ne, zbog SUHEURMDYDQMD$OLXYRÿHQMHQXOH]DWLPQHJDWLYQLKEURMHYD8PRGHUQRGRED– imaginarni brojevi. U XIX. st. razvila se jedinstvena teorija brojeva – sve vrste se reducira na prirodne (´0), kao i operacije vršene na njima – aritmetizacija analize.

7DOLMDQVNLPDWHPDWLþDUPeano prvi aksiomatski uredio ´0: 1. Nula je prirodni broj. 2. Neposredan sljedbenik bilo kojeg prirodnog broja je prirodni broj. 3. 5D]OLþLWLSULURGQLEURMHYLQLNDGDQHPDMLVWRJQHSRVUHGQRJVOMHGEHQLND 4. Nula nije neposredni sljedbenik nijednog prirodnog broja. 5. Ako je nešto istinito za nulu, i ako, kadgod je to istinito za neki prirodan broj,

RQGD MH WR WDNRÿHU LVWLQLWR]DQHSRVUHGQRJVOMHGEHQLNDWRJSULURGQRJEURMDonda je to istinito za sve prirodne brojeve.

Uz aksiome koristi nedefinirane izraze: nula, neposredni sljedbenik, prirodni broj. Ali nisu dovoljne za redukciju drugih vrsta brojeva –QHSUXåDSRWSXQXteoriju prirodnih brojeva –RJUDQLþHQRVDPRQDWLKSHWDNVLRPDQHPRJXVHXYHVWLRVQRYQH>]DWYRUHQH@PDWHPDWLþNHRSHUDFLMHQa tom skupu (+, ×). Da ELVHWRPRJORSRWUHEQRMHXYHVWLSRMPRYHµVNXS¶LµXUHÿHQLSDU¶

Njegov peti aksiom temelj je PDWHPDWLþNHDQDOL]H: znamo osobinu za prvog þODQDþODQRYD LPDEHVNRQDþQRRVRELQDSUYRJDSRYODþLRVRELQXVOMHGHüHJ⇒ svi imaju istu osobinu.

Skup je klasa, kolekcija ili grupa stvari; skup se mora shvatiti kao jedan entitet i UD]OLNRYDWL RG YODVWLWLK þODQRYD6NXSRYL VX LGHQWLþQL DNR L VDPRDNR LPDMXLVWH þODQRYH QSU VNXS MHGQDNRVWUDQLþQLK WURNXWD L VNXS MHGQDNRNXWQLKtrokuta). Prazni skXSQHPDþODQRYD⇒VYLVXRQLLGHQWLþQL⇒ samo je jedan SUD]QLVNXS-HGDQMHVNXSSRGVNXSGUXJRJDNRVXVYLþODQRYLSUYRJþODQRYLGUXJRJSULWRPHVHPRUDUD]OLNRYDWLSRGVNXSRGþODQD

8UHÿHQL par se sastoji od dvije stvari iste vrste, promatrane izvjesnim redom. [\ ]ZDNRLVDPRDNR[ ]L\ Z8UHÿHQLSDURYLPRJXVHGHILQLUDWLNDRL]YMHVQDYUVWDVNXSRYDþLMLVXþODQRYLVNXSRYL

DEFINIRANJE VIŠIH VRSTA BROJEVA ´0 ⇒ · ⇒ ¸ ⇒ ¸+ & ¸- ⇒ ¯ =D VNXS UDFLRQDOQLK EURMHYD RGUHÿXMX VH EURMHYL NRML þLQH WDNDY VNXp x/y=z/w

ako i samo ako x×y=z×y, zatim zbrajanje R1=(x1,y1), R2=(x2,y2), R3=(x3,y3), R1=R2+R3 ⇒ (x1,y1)=(([x2×y3]+[x3×y2]), (y3×y2)). “Racionalni broj PRåHPR GHILQLUDWL NDR PD NRML QHSUD]QL VNXS XUHÿHQLK SDURYD SULURGQLKEURMHYDWDNDYGDMHVYDNLXUHÿHQL par u tom skupu jednak svakom drugom XUHÿHQRPSDUXXWRPVNXSX”.

Realni brojevi – Grci su dokazali da √2 nije racionalni broj. Skup racionalnih EURMHYDMHJXVWL]PHÿXVYDNDGYDUDFLRQDOQDEURMDSRVWRMHGUXJLUDFLRQDOQLbrojevi). Napravimo presjek u tom sNXSX XYRGL QMHPDþNL PDWHPDWLþDUDedekind ) –VOLMHYHVWUDQHSUHVMHNDQHPDQDMYHüHJEURMD–VNXSNRMLOHåLVlijeve strane presjeka je: a) njemu ne pripadaju svi racionalni brojevi, b) u QMHPXQHPDQDMYHüHJþODQDF svaki racionalni broj koji pripada tom skupu

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

27

manji je od svakog racionalnog broja koji mu ne pripada ⇒ taj skup je realni broj: npr. √ MH VNXS NRML VDGUåL VYH L VDPRRQH UDFLRQDOQH EURMHYH þLML VXkvadrati racionalni brojevi manji od dva.

Zbrajanje realnih brojeva: x,y,z∈¸, z=x+y – jedinstveni z, kao njihov zbroj. Signirani brojevi – s predznakom. Kompleksni brojevi – imaju imaginarnu komponentu (i=√-1) – jedna vrsta

XUHÿHQLK SDURYD VLJQLUDQLK EURMHYD =D QHNL EURM QSU µMHGDQ¶ UDEL VH LVWLsimbol, ali da li je on element ´0,·,¸ ili ¯, preGVWDYOMD ELWQR UD]OLþLWHPDWHPDWLþNHHQWLWHWH

TRANSFINITNI BROJEVI Kantor - razvija teoriju skupova kao samostalnu. Bitan je pojam

korespondencija jedan-prema-jedan [bijekcija] – da bi se utvrdila jednakost YHOLþLQH VNXSRYD ,VWR SULPLMHQLR QD VNXSRYH V R(S)=∝. Tako su skup QHSDUQLKLSULURGQLKEURMHYDMHGQDNHYHOLþLQHMHUSRVWRMLELMHNFLMDWLSD

S 1 3 5 7 9… ´ 0 1 2 3 4… 6NXSSULURGQLKLUDFLRQDOQLKEURMHYDVXMHGQDNHYHOLþLQH– npr. matrica gdje se

LGXüL GLMDJRQDOQR UDFLRQDOQL EURMHYL SULGUXåXMX SULURGQLPD SUL þHPX VH VYLMHGQDNL UDFLRQDOQL EURMHYL L]EDFXMX 2YR þLQL VH SURWXUMHþL (XNOLGRYXDNVLRPX ³&MHOLQD MH YHüD RG GLMHOD´ – Grci nikada nisu raspravljali o EHVNRQDþQRPH–NDGDJRYRULRGXåLQL(XNOLGPLVOLRNRQDþQRMFMHOLQL

Kantor pokazuje da nLVX VYL EHVNRQDþQL VNXSRYL LVWH YHOLþLQH – reductio ad absurdum R(¸)>R(´0) ⇒1HNDVHVYDNLEURML]QDSLãHVEHVNRQDþQRPQRJRznamenki (1/3=0.33333…, 0.303=0.209999…). Ako se zamisli r0∈¸, za koji vrijedi n-ta znamenka je 5, ako n-ta znamenka u rn nije 5, LQDþH MH SULþHPXQLGHRGGR∝; tada je 0<r0LQHPRåHELWLLGHQWLþDQQLWLVDMHGQLPri iz niza i=1,…,∝, pa nema ni bijekcije na ´0.

0/1 1/1 2/1 3/1… ¸ 0/1 1/1 1/2 2/1 3/1 1/3…

0/2 1/2 2/2 3/2… ´ 0 1 2 3 4 5…

0/3 1/3 2/3 3/3…

Zatim razvija teoriju transfinitnih kardinalnih brojeva –PMHUH YHOLþLQX VNXSRYD

RGEHVNRQDþQRHOHPHQDWD1DMPDQMLWDNDYEURMMH]D´0, a ·MHYHüL3ULWRPMH MRã YHüL RQDM VNXSD VYLK SRGVNXSRYD · 2YR LGH L] EHVNRQDþQRVWL ⇒ SRVWRML EHVNRQDþQR PQRJR WUDQsfinitnih kardinalnih brojeva koji se mogu poredati u niz.

2YR MH ]D SRVOMHGLFX LPDORXYMHUHQMH NDNR üHELWLPRJXüH VWYRULWL DNVLRPDWVNLsistem koji bi obuhvatio sve brojeve i sve grane matematike. 0DWHPDWLþDUL VH XJODYQRP QLVX EDYLOL SLWDQMHP SRVWRMH OL Erojevi ili ne:

PDWHPDWLND VH XVSMHãQR UD]YLMD L EH] WRJD $OL RVLP ORJLþNHQHSURWXUMHþQRVWL ]QDþDM WHRULMH EURMHYD MH L X WRPH GD OL MH SULPMHQMLYD – pokazati da taj sistem “LPDQHNXQDURþLWRYDåQXLQWHUSUHWDFLMXXNRMRMQMHJRYLzakoni postaju istine koje imaju vrijednost kao premise u znanstvenom i VYDNRGQHYQRPUDVXÿLYDQMX”.

Pitanje je oštro postavljeno u svezi s Kantorovom teorijom transfinitnih brojeva –$ULVWRWHO.DQW LGUXJLPLVOLOLVXGDQHPRåHSRVWRMDWLVWYDUQREHVNRQDþQLbroj u svemiru.

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

28

Problem SURQDODåHQMD GRVORYQH LQWHUSUHWDFLMH EURMHYD VOLþDQ MHsrednjovjekovnom problemu univerzalija –SRVWRMHSRMHGLQLSULPMHULQHþHJDQSU YUOLQH DOL SRVWRML OL YUOLQD þHWYUWDVWR FUQR L VO" 7UL VX RGJRYRUDnominalizam, konceptualizam i realizam.

NOMINALIZAM 7RMHRSüHVKYDüDQMHGDQHPDDSVWUDNWQLKHQWLWHWD–RYGMHVXWREURMHYL0RåHOL

WDGD SRVWRMDWL LVWLQLWD LQWHUSUHWDFLMD WHRULMH EURMHYD" 1RPLQDOLVWLþNL SUDYFLrazmišljanja:

i) 0QRJL üH EURMHYH RSLVDWL NDR LGHMH X QDãHP GXKX QDVWRMH X QHNRPtrenutku, traje, pa nestaje – smještena je u vrijeme, mada ne i u prosto ⇒ nije apstraktni entitet. Problemi – teorija brojeva tvrdi da je samo jedna nula – ovakav nominalizam bi za posljedicu imao nula koliko i misli o njoj. Teorija brojeva tvrdi da svaki prirodni broj ima neposrednog VOMHGEHQLND DOL RþLWR GD LPD WROLNR YHOLNLK EURMHYD R NRMLPD QLWNR QHPDideje neposrednog sljedbenika. Besmisleno bi bilo tvrditi da ljudi imaju EHVNRQDþQRPQRJRLGHMD-brojeva u svijesti.

ii) 2YDM VH SUDYDF QRPLQDOLVWLþNRJ UD]PLãOMDQMD SR]LYD QD IL]LþNH D QHmentalne entitete – ‘5’ i ‘V’ su oznake istog broja –L]MHGQDþLPREURMHYHLnumerale ⇒ EURMHYL VX RSDåOMLYL MHU YLGLPR QXPHUDOH 3UREOHP – ima PQRJR QXPHUDOD ]DPDOH EURMHYH DOL ]D YHOLNH XRSüH QHPD 'UXJL ELSRNXãDM ELR L]MHGQDþDYDQMH QXPHUDOD VD IL]LþNLP REMHNWLPD 3UREOHP– REMHNDWD MH NRQDþQL EURM SD VH WDNR QLNDGD QH EL PRJOR ]DNOMXþLWL Rpostojanju ∝.

1RPLQDOLVWL QH SUXåDMX QLNDNDY QDJRYMHãWDM NDNR XQXWDU WRJ SULVWXSD GHILQLUDWLµVNXS¶ L µXUHÿHQL SDU¶ %URMHYL LP QLVX DSVWUDNWQL DOL UDGR SULKYDüDMXDSVWUDNWQRVW SRMPD VNXSD 1RPLQDOL]DP QLMH SUXåLR SRWSXQX LQWHUSUHWDFLMXteorije brojeva – GUåL GD QD PDWHPDWLþNR ]QDQMH QH WUHED JOHGDWL NDR QDGRVORYQR]QDQMH1HNLRYRGUåH]DUHGXFWLRDGDEVXUGXPQRPLQDOL]PD

KONCEPTUALIZAM I INTUICIONISTI *OHGLãWH GD VX PDWHPDWLþNL HQWLWHWL WYRUHYLQH GXKD DSVWUDNWQL HQWLWHWL NRML

SRVWRMH ]DKYDOMXMXüL PLãOMHQMX .UDMQML EL REOLN NRQFHSWXDOL]PD VPDWUDR GDduh ima snagu stvaranja bilo kakvih brojeva = FIAT ERåDQVWYD 0HÿXWLPODNRMHQDüLSULPMHUHNRMLSURWXUMHþH– npr. “prirodni broj koji je kardinalni broj skupa prirodnih brojeva” ⇒PRUDSRVWRMDWLUD]OLNDL]PHÿXåHOMHLRVWYDUHQMD

Kant je bio konceptualist – zakoni brojeva, kao i euklidske geometrije apriorni VXLVLQWHWLþNL=QDQMHREURMXSRþLYDQDVYLMHVWLRYUHPHQXNDNRþLVWRMIRUPLLQWXLFLMH L GD MH GXK VYMHVWDQ YODVWLWH VSRVREQRVWL GDSRQDYOMD þLQ EURMHQMDjedan po jedan. To je znanje duha o sebi samome, a ne o stvari po sebi. To ]D SRVOMHGLFX LPD GD EURMHYL SRVWRMH DNR L VDPR DNR VH PRJX GRVHüi brojanjem ⇒NRQDþQLEURMNRUDND⇒QHPRåHELWLWUDQVILQLWQLKEURMHYD=DWR.DQW]DVWXSDQDXNRSRWHQFLMDOQREHVNRQDþQRPLOLQHRGUHÿHQRMFMHOLQL

Noviji intuicionizam – Nizozemac Brauer – kao i Kant – þLVWD LQWXLFLMDYUHPHQVNRJ EURMDQMD VOXåL NDR RVQRYD ]a matematiku broja. Neke su stavove u matematici odbacivali kao nesukladne vlastitom polazištu; npr. Kantorov dokaz da je R(¸)>R(´0) –.DQWRUQHSRND]XMH NDNRX NRQDþQRPEURMX NRUDND NRQVWUXLUDWL WDM EURM QDãRP þLVWRP LQXLWLYQRP GMHODWQRãüXEURMDQMD L UDþunanja. Dokaz je ‘nekonstruktivan ’ jer zahtijeva zamišljanje NDNRVPRREDYLOL]DGDWDNNRMLLPDEHVNRQDþQRPQRJRNRUDND

,QWXLFLRQLVWL QH RGEDFXMX PDWHPDWLþNX LQGXNFLMX – ]DNOMXþDN QH ]DKWLMHYD GDSULMHÿHPRSUHNREHVNRQDþQRJQL]DSULURGQLKEURMHYD=DVYDNLPDWHPDWLþNL

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

29

iskaz o brojevima moramo imati konstruktivan dokaz prije nego se tvrdi LVWLQLWRVW LVND]D'DMHODåDQPRUDPRLPDWLNRQVWUXNWLYQRRSRYUJDYDQMHWRJiskaza.

Ali postoje iskazi koji nisu ni dokazani ni oboreni; npr. Fermatov ‘veliki teorem’ : “Ne SRVWRMH þHWLUL SULURGQD EURMD YHüD RG NRMD ]DGRYROMDYDMXMHGQDGåEX xn+yn=zn” ili Goldbergova hipoteza koja tvrdi “Svaki se parni EURMPRåHL]UD]LWLNDR]EURMGYDSURVWDSULPEURMD”.

%DYHüLVHRYLPSUREOHPRP LQWXLFLRQLVWLXVWYDULGRSXãWDMX WUHüXPRJXünost – PRåHELWLVPLVOHQLKLVND]DNRMLQLVXQL LVWLQLWLQL ODåQL–RGEDFXMHLVNOMXþHQMHWUHüHJ2QL VX L YHüLSXULVWL RG.DQWRUD=DSRVOMHGLFX L]EDFXMX L QHNHYUORYDåQHWHRUHPHQSUWHRUHPXDQDOL]LGDVYDNLRPHÿHQLVNXSUHDOQLKEURMHYDima najmanju gornju granicu. Intuicionisti prigovaraju da se jednom definicijom ‘konstruira’ predmet koji se definira – definicija je nepredikativna ; da bi prihvatili taj iskaz, skup se mora ‘konstruirati’ tako da VH RGUHGH QMHJRYL þODQRYL – mora se odrediti skup kojem moåH SULSDGDWLVWYDU NRMX GHILQLUDPR 'UXJD EL åUWYD ELR µaksiom izbora’ , kojeg je privi L]UDGLR QMHPDþNLPDWHPDWLþDUCermelo , a bitna je pretpostavka u mnogim DUJXPHQWLPDNRMLVHRGQRVHQDEHVNRQDþQHVNXSRYH©=DVYDNLVNXSþLMLVXþODQRYL VNXSRYL NRML VX QHSUD]QL L PHÿXVREQR LVNOMXþLYL SRVWRML EDU MHGDQVNXSNRMLLPDWRþQRMHGDQHOHPHQW]DMHGQLþNLVDVYDNLPVNXSRPNRMLSULSDGDSRþHWQRPVNXSXª

,QWXLFLRQL]DP QLMH GRYROMQR SULYODþDQ GD EL VH UDGL QMHJD VYH WR RGEDFLORXRVWDORPãWRMHXRSüH©þLVWDLQWXLFLMDªLWNRNDåHGDGXKPRåHXQMRMEURMLWLVDPRNRQDþQRPEU]LQRP"1DGDOMHSUHPD.DQWXWREL]QDþLORGDVHEURMHYLPRJXSULPLMHQLWLVDPRQDVWYDULNRMHGXKLQWXLWLYQRVSR]QDMHRSDåDDOLQHLna stvari po sebi ⇒ stvari po sebi nisu ni jedne ni mnoge, a to je previše EOL]XSURWXUMHþQRVWLGDELELORSODX]LELOQR

R($/,=$0,/2*,67,ý.$ TEZA 5HDOLVWD YMHUXMH X GRVORYQR SRVWRMDQMH VYLK PDWHPDWLþNLK HQWLWHWD – tada je

PDWHPDWLþDU LVWUDåLYDþNRMLRWNULYDSRVWRMHüH%5XVVHOO©6YHRQRRþHPXVHPRåHPLVOLWLSRVWRMi, a njegovo postojanje je preduvjet a ne rezultat, da se RQMHPXPRåHPLVOLWLª6WRJDQHPDUD]ORJD]DRGEDFLYDQMHQHNRQVWUXNWLYQLKGRND]DLOLQHSUHGLNDWLYQLKGHILQLFLMDQLWLLVNOMXþLYDQMHWUHüHJ7HRUHPLNRMLQLVXQLGRND]DQLQLSRELMHQLWYUGHQHãWRRQHþHPXSRVWRMHüHPXSDVXLOLWRþQLLOLQLVXEH]RE]LUDQDQDãXPRüGRND]LYDQMD

Frege –QDãH]QDQMHREURMXMHXVXãWLQLVWYDUDSULRUQRJUDFLRQDOQRJXWYUÿLYDQMDVWLþHPRJD©RNRPUD]XPDªVDJOHGDYDMXüLEH]YUHPHQHVWUXNWXUHQXPHULþNHstvarnosti. To je znanje DQDOLWLþNR QD WHPHOMX VYRMH ORJLþNH IRUPH QLMH XSLWDQMXUD]XPLMHYDQMHULMHþL–SUYRVKYDüDQMHDQDOLWLþNRJSR.DQWX⇐ GUåLGDVX ]DNRQL EURMD DQDOLWLþNL SD VX VWRJD VYRGLYL QD ]DNRQH ORJLNH⇒ ORJLVWLþND WH]D. Prvi ju je iznio Frege, kasnije nezavisno formulirao Russell, a u pojedinost utvrdili Whitehead i Russell u «Principia Mathematica».

'DELVHWRSRVWLJORSRWUHEDQMHPRüQLMLORJLþNLVLVWHPRG$ULVWRWHORYRJ)UHJH:KLWHKHDG L 5XVVHOO VX ORJLFL SULGUXåLOL ©VNXSª ©XUHÿHQL SDUª L ]DNRQH Rnjima. BiOHVXSRWUHEQHGHILQLFLMHVYLKQHORJLþNLKRVQRYQLKWHUPLQDLVLPERODteorije brojeva: «nula», «neposredni sljedbenik», «prirodni broj», «+» i «×».

Nula = skup svih praznih skupova Jedan = skup svih nepraznih skupova od kojih je svaki takav da su sve stvari

NRMHPXSULSDGDMXLGHQWLþQHPHÿXVRERP

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

30

Dva VNXSVYLKVNXSRYDRGNRMLKMHGDQLPDþODQUD]OLþLWRGQHNRJGUXJRþODQDDOLMHVYDNLþODQLGHQWLþDQVMHGQLPRGRYDGYDSRPHQXWDþODQD

Neposredni sljedbenik = takav skup skupova ako i samo ako, kada se jedan þODQ XNORQL L] ELOR NRMHJ VNXSD NRML SULSDGD SUYRPH RQGD VPDQMHQL VNXSpripada drugome.

Prirodni broj = sve što pripada svakom skupu kojem pripada nula i kojem SULSDGDQHSRVUHGQLVOMHGEHQLNVYDNRJþODQD

)UHJHMHWYUGLRGDVHWHRULMDEURMHYDPRåHVYHVWL na logiku. Whitehead i Russell bili su ambiciozniji – WR VHPRåH VD VYRPPDWHPDWLNRP JHRPHWULMD EL VHREUDÿLYDODSUHNRDQDOLWLþNHJHRPHWULMH

93ULMHOD]NQHGRVORYQRPVKYDüDQMXEURMD 5HDOL]DP VH X FLMHORM SULþL þLQL QDMSULYODþQLML DOL SRVWRMH WHãNRüe koje su

RWNULYHQHVNXSDVYDåQLPWHKQLþNLPGRVWLJQXüLPDXPDWHPDWLþNRMORJLFL PARADOKSI 6LWXDFLMH NRMH L]JOHGDMX QHPRJXüH LOL SURWXUMHþQH DOL LSDN VX LVWLQLWH 7DNR EL

moglo biti s Kantorovom tvrdnjom da je kardinalni broj skupa neparnih brojeva jednak onome prirodnih. Zenonovi paradoksi koji su polazili od LVSUDYQLKSRVWDYNLDOL]DNOMXþLYDOLEHVPLVOHQL ODåQL]DNOMXþDN– da se ništa u VWYDUL QH NUHüH 7UHüD MH YUVWD NDGD VH UDVXÿLYDQMH NRMH L]JOHGD VDYUãHQRLVSUDYQRPRåH SRND]DWL GD QHãWRPRUD ELWL LVWLQLWR L GD WRPRUD ELWL ODåQRSRQHNDGVHRYLSDUDGRNVLQD]LYDMXDQWLQRPLMHQSU(SLQHPLG©6YL.UHüDQLODåXª )RUPXODFLMD RYRJ LVND]D SUHWSRVWDYOMD L (SLQHPLG MH .UHüDQLQ LLUHNDR MH NDNR .UHüDQL XYLMHN ODåX LLL VYL GUXJ LVND]L NRMH VX .UHüDQLizgovoULOL ELOL VX ODåQL 6WDULML VX ORJLþDUL GUåDOL GD RYDNYL SDUDGRNVL LPDMXkorijen u jeziku i da su nebitni.

Nekoliko bitnih paradoksa nastaje iz pretpostavki teorije skupova – «Kantorov paradoks» - GD OL þLWDY VNXS NDUGLQDOQLK EURMHYD NRQDþQLK L EHVNRQDþQLh, ima kardinalni broj? Prema pretpostavkama teorije –GDDOLQHPRåHELWLMHUEURMVYLKNDUGLQDOQLKEURMHYDPRUDELWLYHüLRGVYDNRJNDUGLQDOQRJEURMD

5XVVHOO QDYRGL MRã YLãH X]QHPLUDYDMXüL SDUDGRNV – u raspravi o skupovima uvijek se pretpostavljDORGD]DVYDNLXYMHWNRMLVHPRåHLVND]DWLPRUD SRVWRMDWL VNXS NRML VDGUåL VYH L VDPR RQH VWYDUL NRMH WDM XYMHWzadovoljavaju = SULQFLSQHRJUDQLþHQHHJ]LVWHQFLMHVNXSD

L3RVWRMLMHGDQVNXSWDNDYGDãWRJRGELOR;;MHQMHJRYþODQDNRLVDPRDNRX…

RealL]DPGUåLGDVYLWDNYLVNXSRYLSRVWRMH1HNLVNXSRYLVXVDPLYODVWLWLþODQRYLa neki to nisu (npr. skup konja nije, ali skup ne-konja jest). Ako je uvjet «X je VNXSNRMLQLMHþODQVDPRJDVHEHªWDGD

LL3RVWRMLVNXSWDNDYGDãWRJRGELOR;;MHþODQVHEH samog ako i samo ako MH;VNXSNRMLQLMHþODQVHEHVDPRJ

$NR WDNDY VNXS SRVWRML QHND VH ]RYH N UHDOL]DP WYUGL GD SRVWRML 0RåH VHSLWDWLGDOLMHNþODQVHEHVDPRJ"

LLL,OLMHNþODQNLOLNQLMHþODQN $NR SUHWSRVWDYLPR GD MH þODQ VDPRJ VHEH RQGa ne bi ispunjavao uvjet koji

PRUDVYDNDVWYDUGDELELODþODQN⇒NQLMHYODVWLWLþODQ$NRSUHWSRVWDYLPRGDNQLMHYODVWLWLþODQN WDGD LVSXQMDYDXYMHWELWLþODQVDPRJVHEHSD WDNRPRUDELWLþODQVDPRJVHEH

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

31

Teorija skupova tako ima bitan paradoks – odbaci li je se, gubi se mnogo u matematici.

TEORIJE TIPOVA 5XVVHOOMHYMHURYDRGDVHWHRULMDVNXSRYDPRåHSRSUDYLWLQDUD]LQXGRYROMQXGD

ELVHSULKYDWLODXPDWHPDWLFLLWRQDYMHURGRVWRMDQQDþLQXVNODGXVD]GUDYLPrazumom. Vjerovao je kako svi paradoksi imaju korijen u kršenju pravila koje je svakako ispravno – SULQFLS ODåQRJ NUXJD. «Ako bi, pod SUHWSRVWDYNRPGD L]YMHVQDNROHNFLMDþLQL FMHOLQX WDNROHNFLMD LPDODþODQRYHNRMLVHPRJXGHILQLUDWLVDPRSRPRüXWHFMHOLQHRQGDQDYHGHQDNROHNFLMDQHþLQLFMHOinu.» Epinemid –LVND]SULSDGDVNXSXVYLKLVND]D.UHüDQD.DQWRU– pri definiciji k1(S) pozivamo se na skup svih k(S) kojem k1 pripada; Russell – GHILQLUDQMHPVNXSDVYLKVNXSRYDNRMLQLVXþODQRYLVHEHVDPLKSR]LYDPRVHna cjelinu tih skupova, kojoj pripada i definirani.

:KLWHKHDG L 5XVVHOO QDVWRMH L]EMHüL L VYH EXGXüH SDUDGRNVH – uvode teoriju WLSRYD GD EL SUXåLOL VWURåX WHKQLþNX IRUPXODFLMX SULQFLSD ODåQRJ NUXJDOsnovna ideja –VYHLHQWLWHWHXWHRULMLVNXSRYDPRåHVH]DPLVOLWLXUHÿHQHXjednu hijerarhiju WLSRYD UD]LQD SUL þHPX VYDNL HQWLWHW SULSDGD MHGQRPRGUHÿHQRPWLSX1DMQLåHP WLSXSULSDGDMX LQGLYLGXH– svi i samo oni entiteti NRML QLVX VNXSRYL 'UXJRP VNXSRYL þLML VX HOHPHQWL VDPR LQGLYLGXH Q-toj razini pripadaju samo skupovi entiteta tipa n-1. TeorLMD WLSRYD SRULþHVPLVOHQRVW VYDNH UHþHQLFH NRMD JRYRUL R SULSDGDQMX HQWLWHWD VNXSRYLPDUD]OLþLWLPRGRQLKL]VOMHGHüHJYLãHJWLSD–UHþHQLFDNRMDLPDVPLVODPRåHELWLSULNULYHQR EHVPLVOHQD 7DNR 5XVVHOO þXYD SULYODþDQ SULQFLS D VHodbacuje kao besmislen.

Suvremeni pisci za razliku od Russella razlikuju VHPDQWLþNHSDUDGRNVH i one teorije skupova. Epinemid – VHPDQWLþNL SDUDGRNV MHU VH X ELWL RGQRVL QDSRMDPLVWLQHODåLVXQHLVWLQHLVWLQHVH]RYHVHPDQWLþNDUHODFLMD]DWRãWRMHUHODFLMDL]PHÿXMH]LNDLQHMH]LþNHVWYDUQRVWL6HPDQWLþNHSDUDGRNVHMHGUåHti autori, potrebno rješavati zasebno. Tarski – termin 'istinito' treba uvijek VKYDWLWL X RGQRVX QD MHGDQ RGUHÿHQL MH]LN 'D EL VH L]EMHJOL VHPDQWLþNLparadoksi potrebno je da se pojam istinitosti X MH]LNX/QHPRåH L]UD]LWL Xsamom jeziku L ⇒ potrebno je rabiti L' – metajezik. Epinemid je tako izjavu dao u L' za L.

'D OL MH WHRULMD WLSRYD UD]XPDQ SXW L]EMHJDYDQMD SDUDGRNVD" 3ULQFLS ODåQRJNUXJD ]DODåH VH ]D RGEDFLYDQMH GHILQLFLMD NDNYH NRQFHSWXDOLsti nazivaju QHSUHGLNDWLYQLP DOL UHDOL]DP QHPD QLNDNYLK ILOR]RIVNLK UD]ORJD þLQLWL WDNYRšto. Ako jedan skup ima nezavisnu egzistenciju, zašto se onda njegovi þODQRYLQHELPRJOLGHILQLUDWLSR]LYDQMHPQDVkPWDMVNXS"⇒ teorija tipova nije inherentno razumna YHü MH VDPR SRPRüQR VUHGVWYR NRMH LPDQHSULYODþQHSRVOMHGLFH

%HVNRQDþQRVWSULURGQLKEURMHYD – þODQRYLVNXSRYDNRML VXþODQRYLSULURGQLKEURMHYDPRUDMXELWLHQWLWHWL LVWRJWLSDYMHURMDWQRQDMQLåHJ⇒DNRMHNRQDþDQEURMHQWLWHWDQDMQLåHJUHGDWDGDMHNRQDþDQLN´0). Zato Whitehead i Russell uvode DNVLRP EHVNRQDþQRVWL – SRVWRMDQMH EHVNRQDþQR PQRJR HQWLWHWDQDMQLåHJ WLSD 1H]DGRYROMDYDMXüL VWDWXV – WHRULMX VH QH PRåH ]QDWL L]iskustva, a odavno je izgubilo ugled stajalište kako bi racionalni uvid mogao SUXåLWL]QDQMHRSRVWRMDQMXSRVHEQLKRSDåOMLYLKREMHNDWD

8XRELþDMHQRMWHRULMLVNXSRYDSRVWRMLjedan univerzalni skup kojem pripadaju svi skupovi i jedan prazan skup. Kod Russella bi oni morali postojati za svaki tip. Isto je tako i samo jedan komplementarni skupQHNRPHNRMLVDGUåLVYH

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

32

QHþODQRYH WRJ VNXSD– QL RYRJD QHPD NRG5XVVHOOD RQPRåH VDGUåDYDWLVDPRRQHQHþODQRYHNRMLVXVOMHGHüHJQLåHJWLSD

Udvajanje prirodnih brojeva – za svaki tip je potrebno uvoditi nove tipove brojeva da bi se prebrojio broj stvari tog tipa. Russell stoga uvodi aksiom svodljivosti –]DNRQLNRMLYDåH]DQLåHWLSRYHPRUDMXLPDWLDQDORJQH]DNRQHNRML YDåH ]D VYH YLãH WLSRYH – nekonstruktivni aksiom i nije istinit na RþLJOHGDQQDþLQ

DRUGI PUTOVI IZBJEGAVANJA PARADOKSA IntuicioQLVWL QLVX LPDOL UD]ORJDRGEDFLWL SDUDGRNVH L SULKYDüDOL VX LK NDRGRND]

VODERVWLQHLQWXLFLRQLVWLþNHPDWHPDWLNH7DNYHWH]HGUåHQHNRQVWUXNWLYQLPDLSRUHG WRJD GD VYDND PDWHPDWLþND LVWLQLWRVW LOL ODåQRVW PRUD ELWLkonstruktibilna odbacuju tradicionalni zaNRQ LVNOMXþHQMD WUHüHJ SD WDNRnema ni sukoba istinitosti u tim paradoksima.

Zermello (kasnije razvio Frenkel) – odbacuju princip da za svaki uvjet koji se PRåHLVND]DWLSRVWRMLVNXSþLMLVXþODQRYLVWYDULNRMHWDMXYMHW]DGRYROMDYDMXKako je to bitan princip unutar teorije skupova, nastoji ga zamijeniti nizom DNVLRPDNRMLRPRJXüXMXVXVWDYåHOMHQRJSRQDãDQMD 1) Ako su dana bilo koja dva objekta, onda postoji skup koji ima samo njih

NDRþODQRYH 2) 3RVWRMLVNXSVYLKþODQRYDNRMLSULSDGDþODQRYLPDGDQRJVNXSD 3) Postoji skup svih podskupova danog skupa; 4) .DGDMHGDWELORNRMLVNXSRQGDSRVWRMLVNXSVYLKþODQRYDWRJVNXSDNRML

]DGRYROMDYDMXQHNLXYMHWNRMLVHPRåHLVND]DWL 8 QMHJRYRM WHRULML SRVWRML MHGLQVWYHQL SUD]QL VNXS DOL VH QH PRåH GRND]DWL

postojanje univerzalnog skupa ni komplementa nekog skupa. Von Neumann –QHPRJXVYLHQWLWHWLELWLþODQRYLVNXSRYD(QWLWHWLVXHOHPHQWLL

ne-HOHPHQWL RYLGUXJLQHPRJXELWL þODQRYL VNXSD ,RQXYRGLDNVLRPHNRMLMDPþHåHOMHQRSRQDãDQMHVXVWDYD

Kada bi vrijedio realizam – skupovi su tada apstraktni entiteti koji stvarno SRVWRMHQH]DYLVQRRGGXKDþHNDMXüLGDLKGXKRWNULMH7DGDELVPRRþHNLYDOLda smo u stanju stvoriti jednu jedinstvenu, najbolju teoriju skupova, ali više takvo što ne izgleda vjerojatno.

FORMALIZIRANI DEDUKTIVNI SISTEM 2WNULüH SDUDGRNVD X WHRULML VNXSRYD SRND]DOR MH NDNR PRJX ELWL VNULYHQL L X

WHPHOMQLP VDPRUD]XPOMLYLP QDþHOLPD +LOEHUW SUHGODåH QRYX PHWRGX ]DLVSLWLYDQMH QHSURWXUMHþQRVWL – PHWDPDWHPDWLNX 2YGMH VH QH REUDüDpozornost ni na jedan jedini simbol ili termin koji se pojavljuje u tom sistemu –SURPDWUDJDVHQD WRWDOQR IRUPDOL]LUDQQDþLQ– sistem je svojevrsna igra ]QDNRYD 3UYR VH RGUHÿXMX pravila formacije – koje su dopuštene kombinacije znakova i koje se smatraju formulama sistema, te koje su dopuštene operacije na njima. Simboli koji se koriste u iskazima kada se RSLVXMH WDM VLVWHP þLQH PHWDMH]LN 6WURJR L]JUDÿLYDQMH PHWDPDWHPDWLNHsastoji se u dokazivanju metateorema koji se iskazuju u metajeziku.

+LOEHUW MH RJUDQLþLRPHWDPDWHPDWLþNR UDVXÿLYDnje na konstruktivnu metodu – RQLVX]ERJYODVWLWHRJUDQLþHQRVWLQDMPDQMHVXPQMLYL

N(02*8û12678327381-$VANJA 8]QHSURWXUMHþQRVW]DVLVWHPMHSRåHOMQRGDMHSRWSXQ– svi se njegove teoremi

mogu deducirati iz aksioma. Hilbertov se metoda pokazao podesnim i za RYDNYR LVSLWLYDQMH2Q LGUXJLPDWHPDWLþDULQDGDOL VXVHNDNRüH]DVYDNX

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

33

JUDQXPDWHPDWLNHUD]YLWL MHGDQQHSURWXUMHþDQLSRWSXQVLVWHPDLOL MRãEROMHjedan takav sistem za cijelu matematiku.

*|GHOMHXVSLRODQFHPPDWHPDWLþNRJUDVXÿLYDQMDSRND]DWL]DQDMYDåQLMHVLVWHPHNDNRMHQHSURWXUMHþQRVWQHVSRMLYDVSRWSXQRãüX

%DYHüL VH VORåHQLP VLVWHPLPD SRSXW :KLWHKHDGRYH L 5XVVHOORYH Principia Mathematice, pokazao je kako formule takvog sistema, osim što govore o SULURGQLP EURMHYLPD QHNH RG QMLK QXåQR RGUDåDYDMX PHWDPDWHPDWLþNHtvrdnje – WD MH IRUPXOD LVWLQLWD DNR MH L PHWDPDWHPDWLþND WYUGQMD LVWLQLWD(gedelizacija).

FORMALIZAM 0DWHPDWLþNH VLVWHPH X RVQRYL WUHED JOHGDWL VDPR NDR IRUPDOL]LUDQH VLVWHPH

7DNR IRUPDOLVW L]EMHJDYD ]EXQMXMXüD SLWDQMD – formule formaliziranog VLVWHPD QLãWD QH ]QDþH QLVX QL LVWLQLWH QL ODåQH RQH QH VDGUåH QLNDNYR]QDQMHQLWYUGQMHRSRVWRMDQMXQHþHJD

Primjena – NRULVQD MHU QLNDGD QH QDYRGL QD QHLVWLQLWRVW ]DNOMXþDN L] LVWLQLWLKpremisa. Pri tome isto kao i kod geometrije – VLVWHPLVXUD]OLþLWLQLãWDYLãHLOLmanje istiniti.

ZAKONI BROJA KAO ANAL ,7,ý., 1HNDNDYPDWHPDWLþNL LVND]PRåHVHVKYDWLWL QSU îî NDR LVND]R

WRPHNDNYLüHELWLUH]XOWDWLXUD]OLþLWLPSRVWXSFLPDEURMDQMD Stvar je ista onoj s geometrijskim zakonima – mogu biti apriorni.

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

34

TEORIJA EVOLUCIJE I FILOZOFSKE IMPLIKACIJE

Gallupovo WHOHIRQVNR LVWUDåLYDQMH L] – RNR RGUDVOLK DPHULþNLKispitanika ispitanika odabralo odgovor kreacionizam: «Bog je stvorio ljudska ELüDXYLãH-manje današnjem obliku, u nekom trenutku u posljednjih 10.000 godina»ERåDQVNDLQLFLMDWLYDXGDKQXODåLYRWRVWDWDNREDYLODHYROXFLMD HYROXFLMD OMXGL L] PDQMH UD]YLMHQLK åLYRWLQMVNLK REOLND EH] LNDNYDLQWHUYHQFLRQLVWLþNRJXSOHWDQMD

*DOOXSRYR LVWUDåLYDQMH X 6$' L – nikada se nije PDQMHRGLVSLWDQLNDVORåLORVNUHDFLRQL]PRP

Charles Darwin (1859) «O podrijetlu vrstaªQHRYLVQRGR LVWRJRWNULüDGRãDR L$OIUHG 5XVVHO :DOODFH LVWUDåXMXüL SR]QLK -LK QD PDODMVNRP RWRþMXSUHWHþD -HDQ-%DSWLVWH /DPDUFN åLYRWLQMD XVOLMHG Sotrebe mijenja izvjesni aspekt vlastita organizma koji zadovoljava navedenu potrebu, a promjena se SUHQRVLQDVOMHGHüXJHQHUDFLMX

n anageneza – promjene u organizmu dovode do promjena u izgledu za SUHåLYOMDYDQMH – SRYHüDYDMX JD LOL VPDQMXMX WH VH SUHQRVH na potomstvo; promjene u populaciji mogu dovesti do natjecateljske borbe (Malthusova WHRULMD LXQMRMSUHåLYOMDYDMXQDMSULODJRÿHQLMLGDQLPXYMHWLPD⇒ osobine koje QHSRYHüDYDMX L]JOHGHGDSUHåLYOMDYDQMHQHVWDMXDRQHNRMH WRþLQHSRVWDMXþHãüH

o specijaFLMD QDþHOR GLYHUJHQFLMH – ponekad se promjene svojstava ne akumuliraju u svih jedinki, nego samo u izoliranom dijelu neke vrste dok se WD L]ROLUDQD SRSXODFLMD SULODJRÿDYD ORNDOQLP XYMHWLPD åLYRWD ⇒ postupno NUHüHYODVWLWLPSXWHPVWYDUDMXüLSRVHEQXHNROošku nišu. U jednom trenutku UD]OLNHSRVWDMXQHSRYUDWQRYHOLNHWMSULSDGQLFLMHGQHYUVWHQHPRJXVHNULåDWLs onima druge

Darwinovi dokazi u korist teorije evolucije:

biogeografija – ]HPOMRSLVQD UDVSURVWUDQMHQRVW åLYLK ELüD XRþLRREUD]DFokupljanja sliþQLK ELüD NRMD GLMHOH JRWRYR LVWL SODQ JUDÿH⇒ SRWMHþX RGLVWLK]DMHGQLþNLKSUHGDND

paleontologija – VOLþQL REUDVFL RNXSOMDQMD DOL X YUHPHQVNRM GLPHQ]LMLokomiti presjek kroz okamine u geološkim slojevima koji su se slijegali eonima

embriologija – ontogeneza je rekapitulacija filogeneze; embrij je SULPLWLYDQRUJDQL]DPSDQDSXWXXVORåQMDYDQMDSUROD]L NUR] UDQLMH ID]Hvrsta

morfologija – ODNR UD]YUVWDYDQMH X KLMHUDUKLMX QD WHPHOMX ]DMHGQLþNLK LOLUD]OLþLWLKDQDWRPVNLKRVRELQDYUVWHURGRYLSRURGLFHUHGovi i carstva)

POZOR! – HYROXFLMD NRULVWL VOXþDMQRVW NDR PHKDQL]DP YDULMDFLMH JHQHWVNHPXWDFLMH DOL WR QLMH VOXþDMDQ SURFHV– analogija: kockanje – UDEL VOXþDMDQLVKRG WRþDND QD NRFNLFDPD DOL VX SUDYLOD GRELWND MDVQR GHWHUPLQLVWLþNLRGUHÿHQD

POZOR! – XSRUDEDSULODJRÿHQRVWLQLMHWHOHRORãNDLDNRVHSRQHNDGWDNRIUD]LUD

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

35

STANDARDNO GLEDIŠTE NESTANDARDNO GLEDIŠTE

åLYRELüH = diskretan materijalni sistem s definiranom granicom, QXåQRRYLVDQRQHSUHNLGQRMUD]PMHQLtvari i energije s vlastitom okolinom, sposoban nadzirati tu razmjenu RGUåDYDQMHPNUR]RGUHÿHQRvremensko razdoblje, vlastitu VSHFLILþQLVDVWDYLVSRVREQRVW]Drazmjenu i reprodukciju

åLYRELüH DXWRSRLHWLþNLVDPR-SURL]YRGHüLVLVWHPLWUDQVIRUPLUDMXPDWHULMXXVHEHVDPHQDQDþLQGDMHrezultat njihova djelovanja njihovo vlastito ustrojstvo –VDPRRGQRVHüLVLVWHPNRMLPRåHELWLNDUDNWHUL]LUDQsamo u odnosu na sebe samog: VWDELODQVDPRRGUHÿXMXüLLVWURRGHWHUPLQLVWLþNLVLVWHP]DWYRUHQXVHELLPRGXOLUDQPHÿXGMHORYDQMHP

problemi:

A: suprotstavljenost drugom zakonu termodinamike (entropija [neiskoristivost energije sistema za rad] zatvorenog sistema raste s vremenom ⇒ selektivni tok tvari i energije kroz granicu sistema

%VSHFLILþDQQDþLQVDPRSURL]YRÿHQMDåLYRJELüD 1. selektivna polupropusnost sWDQLþQLKPHPEUDQDPHPEUDQDVHodnosi na okolinu i reprezentira taj dio okoline tako da je on ponovi prisutan u strukturi stanice 2. svrhovito ponašanje –åLYþDQLsistem

problemi:

A: kako uvesti okoliš u gledište po NRMHPåLYLVLVWHPXRSüHQHPDpotrebe za njime ⇒ stvaranje potrebe prijelazom iz prostora karakterizacije (konceptualnog SURVWRUDXIL]LþNLSURVWRUþLMDVHQXåQRVWWLPHXVSRVWDYOMD

B: spoznaja – «Kognitivni sistem je VLVWHPþLMHXVWURMVWYRGHILQLUDdomenu interakcije u koji sistem PRåHGMHORYDWL tako da to djelovanje EXGHUHOHYDQWQR]DVDPRRGUåDQMHDproces spoznaje je stvarno (induktivno) djelovanje ili ponašanje XWRMGRPHQLäLYLVLVWHPLVXNRJQLWLYQLLåLYRWNDRSURFHVMHspoznajni proces.» ⇒ nekonzistentan pristup

ä,9ý$1,6,67(0 – Maturana i Varela

-H]LN åLYþDQRJ VLVWHPD MH MH]LN JHRPHWULMVNLK UHODFLMD SURVWRUQHGLVWULEXFLMH L EOLVNLK XWMHFDMD X NRMHP VX L]UDåHQL L QHJHRPHWULMVNL REMHNWL(npr. boja)

*HQHULUDQRSRQDãDQMHMHUH]XOWDWDNWLYQRVWLFMHORNXSQRJåLYþDQRJVLVWHPDpa je vrOR WHãNR DNR XRSüH PRJXüH ORFLUDWL SRVHEQX UHJLMX LVNOMXþLYRodgovornu za tako ponašanje

'D EL VH UD]XPMHOR RSHULUDQMH åLYþDQRJ VXVWDYD QXåQR JD MH ]DWYRUL X QMHJDsamog.

äLYþDQL sistem nema ni ulaza ni izlaza i niti izvanjskost niti unutrašnjost ne postoje za njega.

$UKLWHNWXUD åLYþDQRJ VLVWHPD SRGUHÿHQD MH UHGRVOLMHGX VHQ]RUQLK L HIHNWRUQLKpovršina – aspekti:

)LOR]RILMD]QDQRVWLY

36

i) receptorske i efektorske površine SURMLFLUDMX VH QD 6ä6 ]DGUåDYDMXüL VYRMHizvorne topološke odnose (homunkulus)

LL WRSRORãNLRGQRVLRGUHÿeni receptorskim i efektorskim površinama u njihovoj SURMHNFLMLNRQVWLWXLUDMXRVQRYLFX]DFMHORNXSQLDUKLWHNWRQVNLXUHÿDMVUHGLãQMHJåLYþDQRJVLVWHPD

primjedbe:

polariziranost L DQL]RWURSQRVW VYRMVWYD VX UD]OLþLWD X UD]OLþLWLP VPMHURYLPDsistema ⇒ åLYþDQL VLVWHP ]DRNUXåXMH GMHORYDQMH X RNROLQL JHQHULUDQR LNRQWUROLUDQRåLYþDQLPVLVWHPRP

upotrebaSRMPDRNROLQDXRGUHÿLYDQMXRUJDQL]PDLQMHJRYRJåLYþDQRJVLVWHPDnisu iste vrste ⇒åLYþDQLVLVWHPMH]DWYRUHQDPUHåDPRGXOLUDQDLQWHUDNFLMRPs okolinom

fundamentalna shema: receptor-procesor-efektor

svijet receptora je svijet pojava, fenomena ⇒PRJXüHLOX]LMH]ERJQHSRVWRMDQMDPRJXüQRVWL L]UDYQRJ NRQWDNWD VD VWYDULPD L GRJDÿDMLPD NRML VXreprezentirani (supstituiranje jedne stvari drugom) – npr. prozirnost kao svojstvo slobode kretanja u mediju

efektori moraju djelovati na zbiljske stvari i procese koji se zbivaju u stvarnom svijetu

åLYþDQLVLVWHPMHRUJDQ]Dsintezu ponašanja, a ne za reprezentaciju svijeta

åLYþDQL VLVWHP MH NRJQLWLYQL sistem jer je njegova ulRJD X VDPRSURL]YRÿHQMXVLQWHWL]LUDWLSRQDãDQMHNRMHRGUåDYDQXåQXLQWHUDNFLMXVRNROLQRP

FILOZOFSKI PROBLEMI S TEORIJOM EVOLUCIJE:

TAUTOLOGIJA

NEPREDVIDLJIVOST

NACRT/DIZAJN