filtragem robusta para sistemas singulares discretos no …& goldenberg (1989)), sistemas de...
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Filtragem Robusta para Sistemas Singulares
Discretos no Tempo
Jose Carlos Teles Campos
Tese apresentada a Escola de En-
genharia de Sao Carlos da Uni-
versidade de Sao Paulo, como
parte dos requisitos para ob-
tencao do tıtulo de Doutor em
Engenharia Eletrica
Orientador: Prof. Dr. Marco Henrique Terra
Co-orientador: Prof. Dr. Joao Yoshiyuki Ishihara
Sao Carlos2004
Dedicatoria
Dedico este trabalho a Clelia,
Marluce ( in memorian ), Mirela,
Monique e Maria Jose pelo
incentivo, cooperacao, renuncia,
compreensao, e oracoes.
Agradecimentos
• Ao Prof. Dr. Marco Henrique Terra, meu orientador, pela oportunidade conce-
dida, pela dedicacao, competencia, compreensao e amizade que me proporcionou
durante este perıodo de trabalho em comum;
• Ao Prof. Dr. Joao Yoshiyuki Ishihara, pela competencia, compreensao, amizade
e pelas inestimaveis contribuicoes, que facilitaram a execucao deste trabalho;
• A minha famılia, aos parentes e aos amigos pelo incentivo, pela compreensao,
pela confianca e pelas oracoes;
• Aos amigos do LASI, Adriano, Aline, Antonio Carlos, Arthur, Cleber Buosi,
Everaldo, Gılson, Guilherme, Karla, Luciana, Marcio, Renato Tinos e todos os
outros que nao foram aqui mencionados, pela ajuda e pelos momentos bem vividos
durante a minha permanencia em Sao Carlos;
• Aos colegas professores e funcionarios do Depto. de Engenharia Eletrica da UFC,
especialmente a Professora Laurinda, pela ajuda e pelo incentivo dado para a
realizacao deste trabalho;
• Aos professores e funcionarios do Depto. de Engenharia Eletrica da EESC-USP,
que de forma direta ou indireta, tiveram participacao neste trabalho e
• A CAPES pelo suporte financeiro fornecido para a realizacao deste trabalho.
Epıgrafe
“O Controle de nossos atos aliado a
persistencia otimiza os resultados”.
Maria Jose Loiola
Sumario
Lista de Figuras vi
Lista de Abreviaturas e Siglas vii
Resumo viii
Abstract ix
1 Introducao 1
1.1 Modelagem Singular (Descritora) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exemplos Ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Definicoes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Modos Impulsivos e Causalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Organizacao Geral do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Producao Academica Resultante deste Trabalho . . . . . . . . . . . . . 14
2 Estimativa Recursiva no Espaco de Estados 16
2.1 Estimativa Filtrada Recursiva no Espaco de Estados . . . . . . . . . . . 16
2.2 Estimativa Preditora Recursiva no Espaco de Estados . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Estimativa Preditora - Corretora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Estimativa Filtrada Recursiva no Espaco de Estados em Funcaoda Estimativa Preditora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Estimativa Filtrada Robusta BDU 28
3.1 O Problema de Mınimos Quadrados com Incertezas . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Estimativa Filtrada Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Estimativa Filtrada para Sistemas Singulares 41
4.1 Estimativa Filtrada para Sistemas Singulares . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Estimativa Robusta para Sistemas Singulares . . . . . . . . . . . . . . . 46
iv
Sumario v
4.3 Comparacao com a Estimativa Filtrada BDU . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Estimativa Suavizadora Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5 Exemplo Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Estimativa Preditora para Sistemas Singulares 60
5.1 Estimativa Preditora Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.1 Estimativa Preditora - Corretora Singular . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Estimativa Preditora Robusta Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 Comparacao com a Estimativa Preditora Singular sem Robustez 76
5.2.2 Comparacao com a Estimativa Preditora Robusta BDU . . . . . 78
5.2.3 Estimativa Preditora - Corretora Robusta Singular . . . . . . . . 83
6 Matriz de Variancias para Sistemas Singulares 88
6.1 Variancia do Erro da Estimativa Otima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Variancia da Estimativa Otima Determinıstica . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Aplicacao as Estimativas Robustas Singulares . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.1 Aplicacao a Estimativa Filtrada Robusta Singular . . . . . . . . 100
6.3.2 Aplicacao a Estimativa Preditora Robusta Singular . . . . . . . . 102
6.4 Variancia do Erro de Estimativa do Filtro BDU . . . . . . . . . . . . . 105
7 Conclusoes e Continuidade do Estudo 112
A Alguns Resultados da Analise Matricial 117
A.1 Alguns Resultados de Analise Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.1.1 Lema da Inversao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.1.2 Lemas Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B Modelagem SVD para Sistemas Singulares 125
Lista de Figuras
1.1 Circuito RLC (Exemplo 1.2.1.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Circuito equivalente de uma chave perfeita (Exemplo 1.2.2.) . . . . . . . 4
1.3 Circuito equivalente do modelo do transistor (Exemplo 1.2.3). . . . . . . 5
1.4 Circuito eletrico contendo resistor nao-linear (Exemplo 1.2.4.) . . . . . . 5
1.5 Exemplo de um sistema nao redutıvel ao espaco de estados - Curva de
Crescimento da Producao Agrıcola (Exemplo 1.2.5.) . . . . . . . . . . . 7
1.6 Robo manipulador com tres juntas (Exemplo 1.2.7.) . . . . . . . . . . . 8
1.7 Modelagem nao-causal da recuperacao de uma imagem (Exemplo 1.2.8.) 9
4.1 Filtros Descriptor Robusto (DR), Otimo, e de Maxima Verossimilhanca
(ML). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
vi
Lista de Abreviaturas e Siglas
• ARMA - Modelo auto-regressivo de media movel (autoregressive moving average
model)
• BDU - Dados com incertezas limitadas (Bounded Data Uncertainties)
• DR - Filtro Robusto Descritor (Descriptor Robust Filter)
• ML - Maxima Verossimilhanca (Maximum Likelihood)
• SVD - Decomposicao em valores singulares (Singular Value Decomposition)
vii
Resumo
Esta tese apresenta novos algoritmos que resolvem problemas de estimativas filtrada,
suavizadora e preditora para sistemas singulares no tempo discreto usando apenas
argumentos determinısticos. Cada capıtulo aborda inicialmente as estimativas para
o sistema nominal e em seguida, as versoes robustas para o sistema com incertezas
limitadas. Os resultados encontrados podem ser aplicados tanto em sistemas invariantes
como variantes no tempo discreto, utilizando a mesma estrutura do filtro de Kalman.
Nos ultimos anos, uma quantidade significativa de trabalhos envolvendo estimati-
vas singulares foi publicada enfocando apenas a estimativa filtrada sob a justificativa
de que a estimativa preditora era de significativa complexidade quando modelada pelo
metodo dos mınimos quadrados. Por este motivo, poucos trabalhos, como NIKOUK-
HAH et al. (1992) e ZHANG et al. (1998), deduziram a estimativa preditora. Este
ultimo artigo apresentou tambem um algoritmo para a estimativa suavizadora, mas
usando o modelo de inovacao ARMA. No entanto, ate onde foi possıvel identificar,
nenhum trabalho ate agora resolveu o problema de estimativa robusta, considerando
incertezas nos parametros, para sistemas singulares.
Para a deducao das estimativas singulares robustas, esta tese tomou como base
SAYED (2001), que deduz o filtro de Kalman robusto com incertezas limitadas utili-
zando uma abordagem determinıstica, o chamado filtro BDU. Os filtros robustos para
sistemas singulares apresentados nesta tese, sao mais abrangentes que os apresentados
em SAYED (2001). Quando particularizados para o espaco de estados sem incertezas,
todos os filtros se assemelham ao filtro de Kalman.
Palavras–Chave: Sistemas Singulares Discretos no Tempo, Filtro de Kalman, Filtro
Robusto, Estimativas Filtrada e Preditora, Mınimos Quadrados Recursivos.
viii
Abstract
New algorithms to optimal recursive filtering, smoothed and prediction for general
time-invariant or time-variant descriptor systems are proposed in this thesis. The esti-
mation problem is addressed as an optimal deterministic trajectory fitting. This problem
is solved using exclusively deterministic arguments for systems with or without uncer-
tainties. Kalman type recursive algorithms for robust filtered, predicted and smoothed
estimations are derived.
In the last years, many papers have paid attention to the estimation problems of
linear singular systems. Unfortunately, all those works were concentrated only on the
study of filtering problems, for nominal systems. The predicted and smoothed filters
are more involved and were considered only by few works: NIKOUKHAH et al. (1992)
and ZHANG et al. (1998). ZHANG et al. (1998) had proposed a unified approach for
filtering, prediction and smoothing problems which were derived by using the projection
formula and were calculated based on the ARMA innovation model, but they had not
considered the uncertainties.
In this thesis it is applied for descriptor systems a robust procedure for usual state
space systems developed by SAYED (2001), called BDU filter. It is obtained a robust
descriptor Kalman type recursions for filtered, predicted and smoothed estimates. Con-
sidering the nominal state space, all descriptor filters developed in this work collapse to
the Kalman filter.
Keywords: Linear Systems, Descriptor Systems, Singular Systems, Robust Filter,
Kalman Filtering, State Estimation, Parametric Uncertainty, Discrete-time Systems,
Least-squares.
ix
Capıtulo 1
Introducao
O estudo da estimativa e do controle de sistemas descritores (tambem conhecidos
como sistemas singulares ou sistemas implıcitos) tem recebido significativa atencao na
literatura. Isto ocorre porque sistemas na formulacao descritora surgem naturalmente e
frequentemente nos processos de modelagem de sistemas economicos (LUENBERGER
(1977)), modelagem de imagens (HASAN & AZIM-SADJANI (1995)), pacotes de pro-
gramas de modelagem orientados a objetos (GERDIN et al. (2003)), robotica (MILLS
& GOLDENBERG (1989)), sistemas de potencia, circuitos eletricos, engenharia ae-
roespacial, processos quımicos, sistemas biologicos, analise de series temporais, etc.
Alem disso, a formulacao descritora e mais abrangente de modo que a modelagem no
espaco de estados convencional e um caso particular seu, daı ela ser chamada tambem
de sistema generalizado (VERGHESE et al. (1981)). Ha sistemas que nao podem ser
modelados no espaco de estados, mas facilmente modelados como um sistema descri-
tor (ZAGHLOUL & NEWCOMB (1986)). A seguir serao feitas consideracoes sobre a
conceituacao destes sistemas, definicoes principais e exemplos ilustrativos.
1.1 Modelagem Singular (Descritora)
Seja o sistema representado por
f(x(t), x(t), u(t), t
)= 0 (1.1)
1
CAPITULO 1. INTRODUCAO 2
e
g(x(t), u(t), y(t), t
)= 0 (1.2)
sendo x(t) o estado do sistema, u(t) a entrada de controle, y(t) a medida da saıda, f e
g sao funcoes vetoriais de x(t), x(t), u(t) e t com dimensoes apropriadas. Sistemas que
tem a formulacao (1.1) - (1.2) sao chamados de sistemas implıcitos ou singulares. Um
caso especial de (1.1) - (1.2) ocorre quando
E(t)x(t) = ϕ1
(x(t), u(t), t
)(1.3)
y(t) = ϕ2
(x(t), u(t), t
)(1.4)
sendo ϕ1, ϕ2 funcoes vetoriais de x(t), u(t) e t. A matriz E(t) normalmente e retangular.
Se ϕ1 e ϕ2 sao funcoes lineares de x(t) e u(t), a formulacao mais conhecida para este
sistema e
E(t)x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t) (1.5)
y(t) = C(t)x(t). (1.6)
Quando E(t) e nao singular, o sistema recai no espaco de estados convencional,
daı a outra denominacao para ele: sistema generalizado. De acordo com DAI (1989d),
os sistemas singulares foram mencionados pela primeira vez na literatura em 1973
(SINGH & LIU (1973)). Em varias publicacoes, os sistemas singulares sao chama-
dos tambem de sistemas no espaco de semi-estado, sistemas degenerados e sistemas
algebrico-diferenciais, por envolver equacoes algebricas e equacoes diferenciais. Na
proxima secao serao mostrados varios exemplos de sistemas singulares.
CAPITULO 1. INTRODUCAO 3
1.2 Exemplos Ilustrativos
Exemplo 1.2.1 O circuito RLC da Figura 1.1 e modelado pelas seguintes equacoes
Ldi(t)
dt= vL(t)
CdvC(t)
dt= i(t)
0 = vR(t)−Ri(t)
0 = vR(t) + vL(t) + vC(t) + vS(t). (1.7)
Escolhendo-se como saıda a tensao no capacitor tem-se entao
L 0 0 0
0 0 C 0
0 0 0 0
0 0 0 0
di(t)dt
dvL(t)dt
dvC (t)dt
dvR(t)dt
=
0 1 0 0
1 0 0 0
−R 0 0 1
0 1 1 1
i(t)
vL(t)
vC(t)
vR(t)
+
0
0
0
1
vS(t)(1.8)
y(t) =[
0 0 1 0]
i(t)
vL(t)
vC(t)
vR(t)
(1.9)
-
+
L
-v (t)sv (t)C
R
v (t)Lv (t)R
CI(t)
Figura 1.1: Circuito RLC (Exemplo 1.2.1.)
Os dois exemplos mostrados a seguir sao caracterısticos de sistemas com compor-
CAPITULO 1. INTRODUCAO 4
tamentos impulsivos.
Exemplo 1.2.2 Seja o circuito representativo de uma chave perfeita, conforme Figura
1.2, cuja equacao matricial e dada por
1 0
0 0
x2(t)
x1(t)
=
0 1
1 ε
x2(t)
x1(t)
, t ≥ 0 (1.10)
cuja solucao impulsiva e dada por
x2(t)
x1(t)
=
0
−x2(0−)δ(t)
, t ≥ 0.
+
-
t = 0
x1
x2 1 ε
Figura 1.2: Circuito equivalente de uma chave perfeita (Exemplo 1.2.2.)
Exemplo 1.2.3 Seja a Figura 1.3 a seguir que mostra a representacao mais simples
para o modelo de um transistor. A equacao descritora deste circuito e dada por
C 0
0 0
x(t) =
0 1
1 0
x(t) +
0
1
u(t), t ≥ 0 e (1.11)
y(t) =[
0 αR]x(t), (1.12)
sendo
x(t) =
vC(t)
iE(t)
.
CAPITULO 1. INTRODUCAO 5
+
--
+ R
V C
y
α
-
+
V R yvC
-
+
C
i E
Figura 1.3: Circuito equivalente do modelo do transistor (Exemplo 1.2.3).
Os exemplos 1.2.4 e 1.2.5 que serao mostrados a seguir caracterizam situacoes em
que a modelagem no espaco de estados nao se aplica, sendo portanto necessaria a
representacao descritora.
Exemplo 1.2.4 Seja o circuito RC da Figura 1.4, com a resistencia tendo carac-
terısticas nao lineares. A representacao matematica deste circuito e dada por
0 C 0
0 0 0
0 0 0
x(t) +
0 0 1
1 1 0
1 0 −3
x(t) +
0
0
i3R
=
0
1
0
u(t), t ≥ 0(1.13)
y(t) =[
0 1 0]x(t), (1.14)
sendo x(t) =[vTR vTC iTR
]T. Note que este modelo (1.13)-(1.14) esta na forma de
semi-estados. Porem pode-se mostrar que este circuito 1.4 nao pode ser representado
na forma de espaco de estados.
-+
R +
-
VR
CV Y
1
23
Figura 1.4: Circuito eletrico contendo resistor nao-linear (Exemplo 1.2.4.)
CAPITULO 1. INTRODUCAO 6
O exemplo a seguir trata do problema do crescimento da producao agrıcola.
Exemplo 1.2.5 A curva do crescimento da producao agrıcola e dada pela expressao
˙y(t)/y(t) = K(y∗ − y(t)) e pela funcao mostrada na Figura 1.5. A equacao de y(t)
e dada por y(t) = y∗ eKy∗(t−t∗)
1+eKy∗(t−t∗) . Da curva da funcao logıstica percebe-se tres regioes
distintas, sendo uma com crescimento exponencial, outra com crescimento linear e
outra com crescimento logarıtmico. Esta curva de crescimento da producao agrıcola e
solucao da seguinte equacao retangular singular
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
x(t)
=
−s1 −s11|α| − α 1 α α 0 0 0
a− 1 0 −a −a 1− aα 1 0 0 0
0 0 α− 1 0 −α −α 1|s2|
1 0
0 0 0 0 −1 0 1|s2|− 1 0 1
0 0 0 0 0 0 s2 − 1 −s2 0
x(t)
+[
0 0 0 0 (ω20.|α|.|a|)
]Tu, t ≥ 0 e (1.15)
y(t) =[|a|−1 1 0 0 0 0 0 0 0
]x(t). (1.16)
Os termos s1, s1, s2, α, a e ω0 estao definidos em BONILLA & MALABRE (2000).
O exemplo a seguir e um caso tıpico de sistema retangular que ocorre em controle
otimo.
Exemplo 1.2.6 (DAI (1989)) Considere o problema de controle otimo com restricao.
Deseja-se encontrar o valor otimo do vetor u(t) tal que uma funcao custo L(x(t), u(t))
seja otimizada, sendo
x(t) = Ax(t) +Bu(t)
e a equacao de restricao
CAPITULO 1. INTRODUCAO 7
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 1.5: Exemplo de um sistema nao redutıvel ao espaco de estados - Curva deCrescimento da Producao Agrıcola (Exemplo 1.2.5.)
y(t) = Cx(t) +Du(t).
Re-escrevendo-se a equacao de estado e a de restricao em uma unica formulacao ma-
tricial, tem-se
I 0
0 I
0 0
x(t)
y(t)
=
A 0
0 0
C −I
x(t)
y(t)
+
B
0
D
u(t),
portanto uma nova formulacao para o problema consiste em se achar um valor otimo
de u(t) para este sistema singular tal que a funcao custo L(x(t), u(t)) seja otimizada.
Exemplo 1.2.7 Considere o modelo simplificado e linearizado de um braco de robo
com tres juntas usado para limpeza de grandes edifıcios, conforme Figura 1.6, com a
seguinte equacao Lagrangeana de movimento
M(θ(t)
)dθ2(t)
dt2+ C
(θ(t),
θ(t)
dt
)+G
(θ(t)
)= u+ F Tµ
ψ(θ(t)
)= 0. (1.17)
sendo θ(t) =[θ1(t) θ2(t) θ3(t)
]To vetor das posicoes das juntas, M(.) ∈ R
3×3 e
a matriz de inercia, u ∈ R3 e o vetor de torques aplicados nas juntas, C(., .) ∈ R
3 e o
CAPITULO 1. INTRODUCAO 8
vetor de forcas centrıfugas e de Coriolis e G(.) ∈ R3 e o vetor de forcas gravitacionais.
A funcao de restricao ψ e dada por
ψ(θ) =
l1cos(θ1) + l2cos(θ1 + θ2) + l3cos(θ1 + θ2 + θ3)− l
θ1 + θ2 + θ3
. (1.18)
F = ∂(ψ)∂(θ) , µ ∈ R
2 e o multiplicador de Lagrange e F Tµ e a forca de restricao genera-
lizada. Linearizando-se este sistema e escrevendo-o na forma Cartesiana, tem-se
M0δz +D0δz +K0δz = S0δu+ F T0 δµ
F0δz = 0. (1.19)
Seja x =[δz δz δµ
]Te u = δu, entao o sistema fica na seguinte forma descritora
I3 0 0
0 M0 0
0 0 0
x =
0 I3 0
−K0 −D0 F T0
F0 0 0
x+
0
S0
0
u. (1.20)
A
B
x
y
2− θ
3− θ
1
23
1θ
Figura 1.6: Robo manipulador com tres juntas (Exemplo 1.2.7.)
CAPITULO 1. INTRODUCAO 9
Exemplo 1.2.8 (HASAN & AZIM-SADJANI (1995)). Este exemplo trata de um pro-
blema de recuperacao de imagem. A Figura 1.7 apresenta uma regiao dita de suporte
(ROS) de um sistema nao-causal representado pela seguinte equacao descritora
Exi+1 = Axi +Bui
zi = Cxi,
sendo
E =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
, A =
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
ρ1+ρ2
0 −1 0 ρ1+ρ2
0
0 ρ1+ρ2
0 −1 0 ρ1+ρ2
,
B =
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
T
, C =
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
, xi =
zi−1
zi
zi+1
,
e E [zi−j,k−lzi,k] = ρ|j|+|l|, |ρ| < 1, sendo E [.] a esperanca matematica.
ROS
zi-p i+pziz
Figura 1.7: Modelagem nao-causal da recuperacao de uma imagem (Exemplo 1.2.8.)
CAPITULO 1. INTRODUCAO 10
1.3 Definicoes Preliminares
Estas definicoes foram retiradas das referencias (DAI (1989c)), (DAI (1989b)), (DAI
(1989d)), (LEWIS (1986)), (CAMPBELL (1982)), (ISHIHARA & TERRA (2001)),
(ISHIHARA & TERRA (2002)). Elas envolvem os sistemas contınuos e os sistemas
discretos no tempo. Tal como os exemplos apresentados na secao anterior, estas de-
finicoes foram incluıdas por motivacao didatica. Primeiro serao mostradas as definicoes
dos sistemas contınuos e em seguida, dos sistemas discretos.
Definicao 1.3.1 O sistema (1.5) - (1.6) com E ∈ Rn×n e regular se det(sE −A) 6= 0
para algum s ∈ C;
Definicao 1.3.2 O sistema regular (1.5) - (1.6) e estavel na dinamica finita se todas
as raızes de det(sE −A) = 0 estao no semi-plano esquerdo aberto;
Definicao 1.3.3 O sistema regular (1.5) - (1.6) e livre de impulsos se nao existir
nenhuma resposta impulsiva da forma
x(t) = xm(t) + ν0δ(t) + ν1δ(1)(t) + ν2δ
(2)(t) + . . .+ νkδ(k)(t),
sendo δ(t) a funcao de Dirac;
Definicao 1.3.4 O sistema regular (1.5) - (1.6) e impulso controlavel se e somente se
posto
E 0 0
A E B
= n+ posto(E);
Definicao 1.3.5 O sistema regular (1.5) - (1.6) e impulso observavel se e somente se
posto
E A
0 C
0 E
= n+ posto(E);
Definicao 1.3.6 O sistema regular (1.5) - (1.6) e detectavel na dinamica finita se
posto
sE −A
C
= n, Re(s) ≥ 0;
Definicao 1.3.7 O sistema regular (1.5) - (1.6) e S-observavel (fortemente observavel)
se e somente se posto
sE −A
C
= n, ∀s ∈ C;
CAPITULO 1. INTRODUCAO 11
Definicao 1.3.8 O sistema regular (1.5) - (1.6) e C-observavel ( completamente ob-
servavel ) se e somente se posto
sE −A
C
= n, ∀s ∈ C e posto
E
C
= n. Note
que C-observabilidade implica em S-observabilidade.
Para o caso dos sistemas discretos no tempo, valem as seguintes equacoes
Exi+1 = Axi +Bui (1.21)
yi = Cxi, (1.22)
com as respectivas definicoes,
Definicao 1.3.9 O sistema (1.21) - (1.22) com E ∈ Rn×n e regular se det(zE−A) 6= 0
para qualquer z ∈ C;
Definicao 1.3.10 O sistema regular (1.21) - (1.22) e estavel na dinamica finita se
todas as raızes de det(zE −A) = 0 estao no cırculo aberto de raio |z| < 1;
Definicao 1.3.11 O sistema regular (1.21) - (1.22) e causal ou nao antecipatorio se
grau(det(zE −A)) = posto(E);
A referencia (DAI (1989c)) define um sistema causal como sendo aquele em que x(i) em
qualquer instante i (i ≥ 0), pode ser determinado a partir de x(0) e de u(0), u(1) . . . u(i)
unicamente. Do contrario, ele e chamado de nao causal.
Definicao 1.3.12 O sistema regular (1.21) - (1.22) e controlavel na dinamica finita
se e somente se o posto
E 0 0
A E B
= n+ posto(E);
Definicao 1.3.13 O sistema regular (1.21) - (1.22) e observavel na dinamica finita se
e somente se o posto
zE −A
C
= n para ∀z ∈ C ;
Definicao 1.3.14 O sistema regular (1.21) - (1.22) e detectavel na dinamica finita se
o posto
zE −A
C
= n, |z| ≥ 1.
CAPITULO 1. INTRODUCAO 12
1.4 Modos Impulsivos e Causalidade
Em engenharia os impulsos podem causar danos ou ate a destruicao de equipamen-
tos. Os modos impulsivos e a causalidade podem ser melhor entendidos se for usada a
chamada forma de Weierstrass, que decompoe o sistema (1.5) - (1.6) em um sub-sistema
chamado de lento e um outro chamado de rapido. A forma de Weierstrass afirma que se
o sistema for regular entao existem duas matrizes Qw e Pw que decompoem o sistema
de forma que
x1(t) = A1x1(t) +B1u(t) (1.23)
Nx2(t) = x2(t) +B2u(t) (1.24)
y(t) = C1x1(t) + C2x2(t), (1.25)
sendo QwEPw =
In1 0
0 N
, QwAPw =
A1 0
0 In2
, QwB =
B1
B2
, x(t) =
Pw
x1(t)
x2(t)
, CPw =[C1 C2
]e n = n1 + n2. N e uma matriz nilpotente. A
solucao deste sistema usando-se a transformada de Laplace e dada por
x1(t) = exp(A1t)x1(0) +
∫ t
0[exp(A1(t− τ))]B1u(τ)dτ (1.26)
x2(t) = −
d−1∑
i=1
N ix2(0−)δ(i−1)(t)−
d−1∑
i=0
N iB2u(i)(t), (1.27)
sendo d o ındice de nilpotencia da matriz N , δ(t) e a funcao delta de Dirac, u(i)(t) e
a i-esima derivada de u(t), x1(t) e x2(t) sao chamados de semi-estados lento e rapido
respectivamente. Pode-se observar que os modos impulsivos podem aparecer em x2(t) se
Nx2(0−) 6= 0 ou se u(t) nao for diferenciavel. Pode-se concluir conforme (VERGHESE
et al. (1981)), que os modos impulsivos nao aparecerao em x2(t) se N = 0, que equivale
ao sistema nao ter polos no infinito.
Usando-se o mesmo procedimento de decomposicao para a formulacao discreta,
obtem-se a seguinte solucao para o sistema (1.21) - (1.22)
x1,i = Ai1x1,0 +
i−1∑
j=0
Ai−j−11 B1uj (1.28)
CAPITULO 1. INTRODUCAO 13
x2,i =
d−1∑
j=0
N jB2ui+j . (1.29)
A solucao x2,i e valida para sistemas no horizonte infinito. No caso de sistemas que
possuem condicao final, alem da inicial, a solucao x2,i e dada por
x2,i = N if−ix2,if −
if−i−1∑
j=0
N jB2ui+j , 0 ≤ i ≤ if , (1.30)
sendo x2,if a condicao final de x2,i. Pode-se observar pelas expressoes de x2,i, que
dependendo do valor de N , o sistema podera ser nao causal.
Finalmente, pode-se afirmar que tanto o problema dos modos impulsivos como o
da causalidade em aplicacoes de controle podem ser solucionados atraves do uso de
realimentacao de estado ou de saıda.
1.5 Organizacao Geral do Texto
A seguir e dada uma breve descricao de cada um dos capıtulos restantes.
• Capıtulo 2: Estimativa Recursiva no Espaco de Estados
Este capıtulo estuda as estimativas filtrada e preditora no espaco de estados
atraves do metodo dos mınimos quadrados recursivos, tal como em SAYED
(2001), mas sem a exigencia da matriz de ponderacao Q ser definida positiva,
apenas semi-definida positiva. Ele estuda tambem a estimativa preditora-corretora
e encontra a relacao que existe entre as expressoes de Pi+1|i+1 e Pi+1|i.
• Capıtulo 3: Estimativa Filtrada Robusta BDU
Este capıtulo apresenta a deducao detalhada do filtro robusto, denominado filtro
BDU (Bounded Data Uncertainties), apresentado em (SAYED (2001)). Este filtro
apresenta caracterısticas interessantes do ponto de vista de projeto. Uma destas
caracterısticas e que o intervalo do parametro de ajuste deste filtro e conhecido
a-priori, a partir dos parametros do sistema. Este filtro minimiza o erro de
estimativa para as maiores incertezas que aparecem no sistema, utilizando uma
abordagem determinıstica.
• Capıtulo 4: Estimativa Filtrada para Sistemas Singulares
CAPITULO 1. INTRODUCAO 14
Este capıtulo apresenta a estimativa filtrada singular inicialmente sem robustez
e depois com a inclusao da robustez nas matrizes E, F e H. Em seguida, ele
apresenta a comparacao desta estimativa com a estimativa filtrada robusta no
espaco de estados deduzida no artigo SAYED (2001).
• Capıtulo 5: Estimativa Preditora para Sistemas Singulares
Este capıtulo deduz inicialmente a estimativa preditora e a estimativa preditora-
corretora sem robustez para um sistema singular. Em seguida, ele estuda a esti-
mativa preditora robusta singular e faz comparacoes tanto com a estimativa predi-
tora singular sem robustez, como com a estimativa preditora no espaco de estados.
Finalmente ele apresenta a expressao da estimativa preditora-corretora robusta
singular.
• Capıtulo 6: Matriz de Variancias para Sistemas Singulares
Este capıtulo demonstra que as matrizes chamadas de auxiliares ao longo das
deducoes Pi+1|i+1 do Teorema 4.2.1 do Capıtulo 4, Pi+1|i do Teorema 5.2.1 do
Capıtulo 5, e Pi+1|i+1 do Teorema 3.2.1 do Capıtulo 3, sao as matrizes das
variancias dos erros das estimativas filtrada robusta singular, preditora robusta
singular e filtrada robusta no espaco de estados, respectivamente. Para se chegar
a estes resultados foi usado o Lema de (YU et al. (1995), que usa a estimativa
otima pelo metodo da maxima verossimilhanca (Maximum Likelihood - ML).
• Capıtulo 7: Conclusoes e Continuidade do Estudo
Este capıtulo relata os resultados das deducoes encontradas e faz sugestoes para
a continuidade desta pesquisa.
1.6 Producao Academica Resultante deste Trabalho
Esta tese gerou ate agora os seguintes artigos
1. J.C.T. Campos, J. Y. Ishihara & M. H. Terra (2004). “ Estimativa Recursiva
Otima para Sistemas Singulares Discretos no Tempo”. XV Congresso Brasileiro
de Automatica - CBA, Gramado-RS-Brasil, setembro, 2004.
2. J.Y.Ishihara, M.H. Terra & J.C.T. Campos (2004). “Robust Kalman Estimators
for Discrete-Time Descriptor Systems ”. Proc. of American Control Conference,
CAPITULO 1. INTRODUCAO 15
Boston, MA, June/July.
3. J.Y.Ishihara, M.H. Terra & J.C.T. Campos (2004). “Optimal Recursive Estima-
tion for Discrete-time Descriptor Systems”. Proc. of American Control Confe-
rence, Boston, MA, June/July.
Capıtulo 2
Estimativa Recursiva no Espaco
de Estados
Este capıtulo estuda as estimativas filtrada, preditora e preditora-corretora no
espaco de estados usando-se o metodo dos mınimos quadrados recursivo.
2.1 Estimativa Filtrada Recursiva no Espaco de Estados
Considere o sistema modelado no espaco de estados variante no tempo descrito por
xi+1 = Fixi + wi, i = 0, 1, ...
zi = Hixi + vi. (2.1)
Nesta secao considera-se o problema de se achar um algoritmo recursivo para a estima-
tiva filtrada. Esta estimativa pode ser obtida a partir de uma conveniente utilizacao
determinıstica do metodo dos mınimos quadrados. Seja um conjunto de estimativas
{x0|i, x1|i, ..., xi|i} e um conjunto de medidas conhecidas {z0, z1, ..., zi}. Fixando-se um
instante de tempo i e supondo que a estimativa filtrada xi|i ja foi encontrada com sua
correspondente matriz de variancias do erro Pi|i, pode-se encontrar uma nova estima-
tiva para xi+1 a partir de uma nova medida zi+1, encontrando-se a solucao otima da
funcao custo
Ji = minxi,xi+1
[∥∥xi − xi|i∥∥2
P−1i|i
+ ‖xi+1 − Fixi‖2Q−1
i
+ ‖zi+1 −Hi+1xi+1‖2R−1
i+1
](2.2)
16
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 17
para i > 0 e
J0 = minx0
[‖x0‖
2P−1
0+ ‖z0 −H0x0‖
2R−1
0
], para i = 0, (2.3)
sendo Qi uma matriz de ponderacao para o ruıdo de estado e Ri uma matriz de pon-
deracao para o erro de medida.
Para se encontrar a solucao deste problema, sera utilizada a tecnica dos mınimos
quadrados regularizados cuja funcao custo e dada por
minxi
[xTi Qxi + (Ax− b)TW (Ax− b)], (2.4)
que tem como solucao (SAYED (2001))
x = [Q+ATWA]−1ATWb, (2.5)
sendo Q,W ≥ 0 tais que Q+ATWA e invertıvel.
Teorema 2.1.1 A estimativa otima filtrada xi|i pode ser obtida a partir do seguinte
algoritmo recursivo
Passo 0: (Condicoes Iniciais )
P0|0 :=(P−1
0 +HT0 R
−10 H0
)−1; (2.6)
x0|0 := P0|0HT0 R
−10 z0 (2.7)
Passo i: Atualize {xi|i, Pi|i} para {xi+1|i+1, Pi+1|i+1} do seguinte modo
Pi+1|i+1 :=((Qi + FiPi|iF
Ti
)−1+HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1(2.8)
xi+1|i+1 = Fixi|i + Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1(zi+1 −Hi+1Fixi|i). (2.9)
Prova: Escrevendo-se a funcao custo (2.2) na forma de blocos matriciais, tem-se
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 18
xi − xi|i
xi+1
T
P−1i|i 0
0 0
xi − xi|i
xi+1
+
(
−Fi I
0 Hi+1
xi − xi|i
xi+1
−
Fixi|i
zi+1
)T
Q−1i 0
0 R−1i+1
(.
). (2.10)
Comparando-se esta equacao com o problema de minimizacao (2.4), obtem-se as iden-
tificacoes
x ←
xi − xi|i
xi+1
b ←
Fixi|i
zi+1
A ←
−Fi I
0 Hi+1
Q ←
P−1i|i 0
0 0
W ←
Q−1i 0
0 R−1i+1
.
Substituindo-se estas identificacoes em (2.5),
xi|i+1 − xi|i
xi+1|i+1
=
P−1i|i + F Ti Q
−1i Fi −F Ti Q
−1i
−Q−1i Fi Q−1
i +HTi+1R
−1i+1Hi+1
−1
×
−F Ti Q−1i Fixi|i
Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
(2.11)
ou
xi+1|i+1 =[
0 I]
P−1i|i + F Ti Q
−1i Fi −F Ti Q
−1i
−Q−1i Fi Q−1
i +HTi+1R
−1i+1Hi+1
−1
×
−F Ti Q−1i Fixi|i
Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
. (2.12)
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 19
Usando-se o lema da inversao de blocos matriciais, Lema A.1.1, com as identificacoes
obvias dos blocos A, B, C e D, obtem-se
xi+1|i+1 = (D − CA−1B)−1
×[−CA−1 I
]
−F Ti Q−1i Fixi|i
Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
.
(2.13)
O termo (D − CA−1B)−1 pode ser escrito como
(D − CA−1B)−1
=(Q−1i +HT
i+1R−1i+1Hi+1 −Q
−1i Fi(P
−1i|i + F Ti Q
−1i Fi)
−1F Ti Q−1i
)−1
=((Qi + FiPi|iF
Ti )−1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1. (2.14)
Definindo-se a variavel auxiliar Pi+1|i+1 como
Pi+1|i+1 =((Qi + FiPi|iF
Ti )−1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1, (2.15)
segue que
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1
×[Q−1i Fi(P
−1i|i + F Ti Q
−1i Fi)
−1 I]
−F Ti Q−1i Fixi|i
Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
(2.16)
xi+1|i+1 = −Pi+1|i+1Q−1i Fi(P
−1i|i + F Ti Q
−1i Fi)
−1F Ti Q−1i Fixi|i
+ Pi+1|i+1Q−1i Fixi|i + Pi+1|i+1H
Ti+1R
−1i+1zi+1. (2.17)
Entao
xi+1|i+1 = Fixi|i + Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1(zi+1 −Hi+1Fixi|i). (2.18)
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 20
Quanto a condicao inicial, ela e obtida fazendo-se a derivada parcial da Equacao (2.3),
resultando em
∂J0
∂x0= −2xT0 P
−10 − 2(z0 −H0x0)
TR−10 H0 = 0
= xT0 P−10 − zT0 R
−10 H0 + xT0H
T0 R
−10 H0 = 0. (2.19)
Igualando a zero obtem-se a solucao mınima
x0|0 = (P−10 +HT
0 R−10 H0)
−1HT0 R
−10 z0. (2.20)
Definindo-se P0|0 = (P−10 +HT
0 R−10 H0)
−1, entao
x0|0 = P0|0HT0 R
−10 z0. (2.21)
�
2.2 Estimativa Preditora Recursiva no Espaco de Estados
Considere o sistema representado pela Equacao (2.1) e a funcao custo dada por
minxi,xi+1
{‖xi − xi|i−1‖
2P−1
i|i−1
+ ‖xi+1 − Fixi‖2Q−1
i
+ ‖zi −Hixi‖2R−1
i
}. (2.22)
Reescrevendo-se esta equacao na forma matricial como foi feito para o caso da estima-
tiva filtrada no espaco de estados, obtem-se
xi|i−1 − xi
xi+1
T
P−1i|i−1 0
0 0
xi|i−1 − xi
xi+1
+
(
Fi I
Hi 0
xi|i−1 − xi
xi+1
−
Fixi|i−1
Hixi|i−1 − zi
)T
Q−1i 0
0 R−1i
(.
).
(2.23)
Comparando-se esta expressao com a Equacao (2.4), como tambem foi feito para o caso
da estimativa filtrada, obtem-se as equivalencias
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 21
A←
Fi I
Hi 0
; b←
Fixi|i−1
Hixi|i−1 − zi
;
Q←
P−1i|i−1 0
0 0
;W ←
Q−1i 0
0 R−1i
;
cuja solucao e dada por (2.5).
Teorema 2.2.1 Suponha que e dada uma sequencia {z0, z1, . . .}. A estimativa predi-
tora otima xi+1|i resultante de (2.22) pode ser obtida a partir do algoritmo recursivo
Passo 0:
P0|−1 := P0 (2.24)
x0|−1 := x0 = 0 (2.25)
Passo 1: Atualize {Pi|i−1, xi|i−1} para {Pi+1|i, xi+1|i} da seguinte forma
Pi+1|i := Qi + FiPi|i−1FTi − FiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti (2.26)
xi+1|i := Fixi|i−1 + FiPi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1(zi −Hixi|i−1). (2.27)
Prova : Comparando-se a Equacao (2.23) com a Equacao (2.5), segue que
xi|i−1 − xi|i
xi+1|i
=
P−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi F Ti Q
−1i
Q−1i Fi Q−1
i
−1
×
F Ti Q−1i Fixi|i−1 +HT
i R−1i (Hixi|i−1 − zi)
Q−1i Fixi|i−1
. (2.28)
Explicitando-se o termo xi+1|i
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 22
xi+1|i =[
0 I]
P−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi F Ti Q
−1i
Q−1i Fi Q−1
i
−1
×
F Ti Q−1i Fixi|i−1 +HT
i R−1i (Hixi|i−1 − zi)
Q−1i Fixi|i−1
. (2.29)
Aplicando-se o lema da inversao de blocos matriciais, Lema A.1.1, ao bloco matricial
central, resulta
xi+1|i =[−D−1C(A−BD−1C)−1 D−1 +D−1C(A−BD−1C)−1BD−1
]
×
(F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1 −H
Ti R
−1i zi
Q−1i Fixi|i−1
(2.30)
ou
xi+1|i =[−(D − CA−1B)−1CA−1 (D − CA−1B)−1
]
×
(F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1 −H
Ti R
−1i zi
Q−1i Fixi|i−1
. (2.31)
Entao
xi+1|i = (D − CA−1B)−1
(Q−1i Fixi|i−1 −CA
−1((F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1 −H
Ti R
−1i zi
)). (2.32)
Definindo Pi+1|i := (D − CA−1B)−1, entao
Pi+1|i =
(Q−1i −Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi + P−1
i|i−1)−1F Ti Q
−1i
)−1
= Qi + Fi(P−1i|i−1
+HTi R
−1i Hi)
−1F Ti
= Qi + FiPi|i−1FTi − FiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti .
(2.33)
Assim
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 23
xi+1|i = Pi+1|i(Q−1i Fixi|i−1 −Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi + P−1
i|i−1)−1((F Ti Q
−1i Fi
+ HTi R
−1i Hi)xi|i−1 −H
Ti R
−1i zi
)), (2.34)
ou
xi+1|i = Pi+1|i(Q−1i Fixi|i−1 −Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi + P−1
i|i−1)−1F Ti Q
−1i Fixi|i−1
− Q−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi + P−1
i|i−1)−1HT
i R−1i Hixi|i−1
+ Q−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi + P−1
i|i−1)−1HT
i R−1i zi
). (2.35)
Valem as seguintes igualdades
Pi+1|i
(Q−1i Fixi|i−1 −Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi + P−1
i|i−1)−1F Ti Q
−1i Fixi|i−1
)
= Pi+1|i
(Q−1i −Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi + P−1
i|i−1)−1F Ti Q
−1i
)Fixi|i−1
= Pi+1|i
(Qi + Fi(H
Ti R
−1i Hi + P−1
i|i−1)−1F Ti
)−1Fixi|i−1
= Fixi|i−1 (2.36)
e tambem
Pi+1|iQ−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi + P−1
i|i−1)−1
= Pi+1|i
(Qi + Fi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1F Ti
)−1Fi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1
= Fi(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1. (2.37)
Entao
xi+1|i = Fixi|i−1 + Fi(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1HTi R
−1i (zi −Hixi|i−1), ou (2.38)
xi+1|i = Fixi|i−1 + FiPi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1(zi −Hixi|i−1). (2.39)
�
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 24
2.2.1 Estimativa Preditora - Corretora
Esta secao trata da Estimativa Preditora - Corretora que e a relacao entre a esti-
mativa filtrada e a estimativa preditora no espaco de estados, dada pelo Lema 2.2.1 a
seguir.
Lema 2.2.1 A expressao para atualizacao no tempo da estimativa, no espaco de esta-
dos, e dada por
xi+1|i = Fixi|i. (2.40)
Prova: Da Equacao (2.28) do Teorema 2.2.1 segue que
xi|i−1 − xi|i =[I 0
]
P−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi F Ti Q
−1i
Q−1i Fi Q−1
i
−1
×
F Ti Q−1i Fixi|i−1 +HT
i R−1i (Hixi|i−1 − zi)
Q−1i Fixi|i−1
. (2.41)
Usando-se o lema da inversao de blocos matriciais, encontra-se
xi|i−1 − xi|i =[
(A−BD−1C)−1 −(A−BD−1C)−1BD−1]
×
(F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1 −H
Ti R
−1i zi
Q−1i Fixi|i−1
(2.42)
ou
xi|i−1 − xi|i = (A−BD−1C)−1
((F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1 −H
Ti R
−1i zi
− BD−1Q−1i Fixi|i−1
). (2.43)
Sendo,
(A−BD−1C)−1 =(F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi + P−1
i|i−1 − FTi Q
−1i QiQ
−1i Fi
)−1
=(HTi R
−1i Hi + P−1
i|i−1
)−1. (2.44)
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 25
Assim,
xi|i−1 − xi|i = (HTi R
−1i Hi + P−1
i|i−1)−1
((F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1 −H
Ti R
−1i zi
− F Ti Q−1i Fixi|i−1
)(2.45)
ou
xi|i−1 − xi|i = (HTi R
−1i Hi + P−1
i|i−1)−1(HT
i R−1i Hixi|i−1 −H
Ti R
−1i zi). (2.46)
Colocando-se em evidencia os termos que multiplicam xi|i−1, segue que
(I − (HTi R
−1i Hi + P−1
i|i−1)−1HT
i R−1i Hi)xi|i−1 = xi|i − (HT
i R−1i Hi + P−1
i|i−1)−1
× HTi R
−1i zi. (2.47)
Multiplicando-se os dois lados desta equacao por (HTi R
−1i Hi + P−1
i|i−1), obtem-se
P−1i|i−1xi|i−1 = P−1
i|i xi|i −HTi R
−1i zi. (2.48)
Entao
xi|i−1 = (I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)xi|i − Pi|i−1H
Ti R
−1i zi. (2.49)
Substituindo-se este valor de xi|i−1 na Equacao (2.27) do Teorema 2.2.1, resulta em
xi+1|i = Fi(I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)xi|i − FiPi|i−1H
Ti R
−1i zi + Fi(P
−1i|i−1
+ HTi R
−1i Hi)
−1HTi R
−1i zi − Fi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1HTi R
−1i
× Hi
((I + Pi|i−1H
Ti R
−1i Hi)xi|i − Pi|i−1H
Ti R
−1i zi
), ou (2.50)
xi+1|i = Fi
(I + Pi|i−1H
Ti R
−1i Hi − (P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1HTi R
−1i Hi(I
+ Pi|i−1HTi R
−1i Hi)
)xi|i − Fi
(Pi|i−1 − (P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1 + (P−1i|i−1
+ HTi R
−1i Hi)
−1HTi R
−1i HiPi|i−1
)HTi R
−1i zi. (2.51)
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 26
Simplificacao do termo que multiplica xi|i
Fi
(I + Pi|i−1H
Ti R
−1i Hi − (P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1HTi R
−1i Hi
× (I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)
)
= Fi + Fi
(Pi|i−1 − (P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1 − (P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1
× HTi R
−1i HiPi|i−1
)HTi R
−1i Hi, (2.52)
entao
Fi
(I + Pi|i−1H
Ti R
−1i Hi − (P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1HTi R
−1i Hi
× (I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)
)
= Fi + Fi
(Pi|i−1 − (P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1(I +HTi R
−1i HiPi|i−1)
)
× HTi R
−1i Hi, (2.53)
ou
Fi
(I + Pi|i−1H
Ti R
−1i Hi − (P−1
i|i−1+HT
i R−1i Hi)
−1HTi R
−1i Hi
× (I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)
)
= Fi + Fi
(Pi|i−1 − (P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)Pi|i−1
)HTi R
−1i Hi
= Fi + Fi
(Pi|i−1 − Pi|i−1
)HTi R
−1i Hi
= Fi. (2.54)
Simplificacao do termo que multiplica zi
Fi
(Pi|i−1 − (P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1 + (P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1HTi R
−1i HiPi|i−1
)
× HTi R
−1i
= Fi
(Pi|i−1 − (P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1(I +HTi R
−1i HiPi|i−1)
)HTi R
−1i
= Fi
(Pi|i−1 − (P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)Pi|i−1
)HTi R
−1i
= Fi
(Pi|i−1 − Pi|i−1
)HTi R
−1i
= 0. (2.55)
Assim
CAPITULO 2. ESTIMATIVA RECURSIVA NO ESPACO DE ESTADOS 27
xi+1|i = Fixi|i. (2.56)
�
2.2.2 Estimativa Filtrada Recursiva no Espaco de Estados em Funcao
da Estimativa Preditora
A estimativa filtrada recursiva no espaco de estados pode ser obtida tambem a
partir da Equacao (2.49) da seguinte maneira
xi|i−1 = (I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)xi|i − Pi|i−1H
Ti R
−1i zi. (2.57)
xi|i = (I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)
−1xi|i−1 + (I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)
−1Pi|i−1HTi R
−1i zi
= (I − (I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)
−1Pi|i−1HTi R
−1i Hi)xi|i−1
+ (I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)
−1Pi|i−1HTi R
−1i zi. (2.58)
Entao
xi|i = xi|i−1 + (I + Pi|i−1HTi R
−1i Hi)
−1Pi|i−1HTi R
−1i (zi −Hixi|i−1) (2.59)
e
P−1i|i = P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi. (2.60)
Capıtulo 3
Estimativa Filtrada Robusta
BDU
3.1 O Problema de Mınimos Quadrados com Incertezas
Considere o seguinte problema de custo quadratico otimo
minx
max{δA, δb}
[‖x‖2Q + ‖(A+ δA) x− (b+ δb)‖2W
](3.1)
para um sistema cujas incertezas nos parametros sao descritas por
[δA δb
]= H∆
[Ea Eb
], (3.2)
sendo
Q Q = QT > 0, matriz de ponderacao de regularizacao,
W W = W T ≥ 0, matriz de ponderacao para o erro de estimativa,
A matriz N × n conhecida,
b vetor N × 1 conhecido,
δA matriz de perturbacao da matriz nominal A,
δb vetor de perturbacao do vetor nominal b,
H,Ea, Eb matrizes conhecidas com dimensoes apropriadas,
∆ matriz arbitraria satisfazendo ‖∆‖ ≤ 1(contracao).
28
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 29
O seguinte resultado e provado em SAYED (2001).
Teorema 3.1.1 O problema de otimizacao (3.1)-(3.2) tem uma unica solucao x. Esta
solucao e dada por
x =(Q+AT WA
)−1 (AT Wb+ λETa Eb
)(3.3)
sendo que as matrizes de ponderacao modificadas Q e W sao definidas como
Q := Q+ λETa Ea (3.4)
W := W +WH(λI −HTWH
)†HTW (3.5)
e o parametro escalar positivo λ e determinado a partir do seguinte problema de otimi-
zacao
λ := arg maxλ≥‖HTWH‖
G (λ) (3.6)
com
G(λ) := ‖x(λ)‖2Q + λ ‖Eax(λ)− Eb‖2 + ‖Ax(λ)− b‖2W (λ) (3.7)
e as funcoes auxiliares sao definidas por
x(λ) :=[Q(λ) +ATW (λ)A
]−1 [ATW (λ)b+ λETa Eb
](3.8)
Q(λ) := Q+ λETa Ea (3.9)
W (λ) := W +WH(λI −HTWH
)†HTW. (3.10)
Tem-se ainda que o valor do custo otimo resultante de (3.1) e igual a G(λ) e e dado
por
G(λ) =
1
x
T
λ ‖Eb‖2 −λETb Ea
−λETa Eb Q(λ)
1
x
+ (Ax− b)TW (λ)(Ax− b). (3.11)
�
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 30
3.2 Estimativa Filtrada Robusta
Considere o seguinte modelo com incertezas
xi+1 = (Fi + δFi) xi + (Gi + δGi)wi
zi = Hixi + vi[δFi δGi
]= Mi∆i
[Ef,i Eg,i
](3.12)
sendo {Mi, Ef,i, Eg,i} matrizes conhecidas e ∆i uma matriz arbitraria satisfazendo
‖△i‖ ≤ 1. Fixe um instante de tempo i. Suponha que sejam conhecidas
(i) a estimativa filtrada de xi: xi|i e
(ii) a estimativa filtrada de wi: wi|i = 0
sendo que a estimativa filtrada de uma variavel ai indica o valor previsto para esta
variavel dado o conhecimento que se tem ate o instante i. Considere que ocorra uma
atualizacao na medida, ou seja, e dada uma nova medida zi+1. Note que os valores
‘reais’ para as variaveis xi, wi e zi+1 que ocorrem no sistema em geral diferem dos
valores previstos pelo nosso conhecimento do sistema e das nossas estimativas. Assim,
pode-se definir os seguintes erros de previsao
ex,i := xi − xi|i
ew,i := wi − wi|i = wi
ey,i+1 := zi+1 −Hi+1xi+1 = vi+1.
Os erros de previsao de cada variavel indicam o nosso desconhecimento a respeito da
respectiva variavel. Assim, o fato do erro de previsao em relacao a variavel wi ser
a propria wi, ou seja, ew,i = wi, indica que neste modelo nao se conhece o valor de
wi. Da mesma forma, o fato de se ter ey,i = vi decorre de considerarmos o nosso
desconhecimento da saıda ser representada na forma de um sinal de ruıdo vi. O valor
exato dos erros de previsao sao desconhecidos mas pode-se supor que sejam conhecidas
matrizes de ponderacao para estes erros
(i) matriz de ponderacao para o erro de previsao do estado ex,i: Pi|i
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 31
(ii) matriz de ponderacao para o erro de previsao do ruıdo de estado ew,i: Qi
(iii) matriz de ponderacao para o erro de previsao da saıda ey,i+1: Ri+1.
As matrizes de ponderacao indicam o peso relativo das variaveis, uma em relacao as
outras. A dependencia em relacao a i indica que o peso relativo varia a cada instante
i. Estas matrizes sao usadas para definir uma ponderacao (custo) do efeito dos erros
de previsao
Ji :=∥∥xi − xi|i
∥∥2
P−1i|i
+ ‖wi‖2Q−1
i
+ ‖zi+1 −Hi+1xi+1‖2R−1
i+1. (3.13)
Este custo dos erros de previsao, Ji, incorpora a informacao adicional zi+1 e depende
de xi, wi e das incertezas δFi e δGi. Note ainda que as estimativas dadas xi|i e wi|i sao
exatamente a solucao otima do problema de minimizar em xi e wi o seguinte custo dos
erros de previsao sem a informacao zi+1
∥∥xi − xi|i∥∥2
P−1i|i
+ ‖wi‖2Q−1
i
. (3.14)
Com isto, pode-se propor como atualizacao das estimativas de xi e wi em face ao
conhecimento da saıda zi+1, a solucao otima {xi|i+1, wi|i+1} do seguinte problema
min-max quadratico
xi|i+1
wi|i+1
:= arg min{xi,wi}
max{δFi,δGi}
{∥∥xi − xi|i
∥∥2
P−1i|i
+ ‖wi‖2Q−1
i
+ ‖zi+1 −Hi+1xi+1‖2R−1
i+1}
(3.15)
s.a.
xi+1 = (Fi + δFi) xi + (Gi + δGi)wi
zi+1 = Hi+1xi+1 + vi+1[δFi δGi
]= Mi∆i
[Ef,i Eg,i
], ‖△i‖ ≤ 1.
Com a solucao {xi|i+1, wi|i+1} pode-se construir uma estimativa filtrada para xi+1
(atualizacao no tempo para a estimativa semelhante a atualizacao no tempo do estado
na equacao de estados)
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 32
xi+1|i+1 := Fixi|i+1 +Giwi|i+1 =[Fi Gi
]
xi|i+1
wi|i+1
. (3.16)
Note que o problema de otimizacao (3.15) pode ser resolvido via Teorema 3.1.1, e
assim, a estimativa (3.16) pode ser obtida para cada i. As expressoes das estimativas
podem ser apresentadas na forma de um algoritmo do tipo predicao-correcao, conforme
o seguinte teorema.
Teorema 3.2.1 (Filtro robusto na forma preditora - corretora): Considere as equacoes
de estado e de saıda
xi+1 = (Fi + δFi)xi + (Gi + δGi)wi
zi = Hixi + vi (3.17)
com as incertezas nas matrizes Fi e Gi modeladas como
[δFi δGi
]= Mi△i
[Ef,i Eg,i
], ‖△i‖ ≤ 1. (3.18)
Considere ainda que as matrizes de ponderacao Π0 > 0, Ri > 0 e Qi > 0 sejam
conhecidas. As estimativas dos estados podem ser calculadas recursivamente segundo o
seguinte algoritmo
Passo 0 (Condicoes iniciais): Faca
P0|0 := (Π−10 +HT
0 R−10 H0)
−1,
x0|0 := P0|0HT0 R
−10 z0.
Passo 1 : Se Hi+1Mi = 0, entao faca λi = 0. Caso contrario, determine λi no intervalo
λ > λl,i := ‖MTi H
Ti+1R
−1i+1Hi+1Mi‖ (3.19)
que minimiza G(λ) definido por (3.7) com as identificacoes (3.36)-(3.46).
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 33
Passo 2 : Se λi 6= 0, substituir {Qi, Ri+1, Pi|i, Gi, Fi} por
Q−1i = Q−1
i + λiETg,i
(I + λiEf,iPi|iE
Tf,i
)−1Eg,i (3.20)
Ri+1 = Ri+1 − λ−1i Hi+1MiM
Ti H
Ti+1 (3.21)
Pi|i =(P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i
)−1(3.22)
= Pi|i − Pi|iETf,i(λ
−1i I + Ef,iPi|iE
Tf,i)
−1Ef,iPi|i (3.23)
Gi = Gi − λiFiPi|iETf,iEg,i (3.24)
Fi =(Fi − λiGiQiE
Tg,iEf,i
)(I − λiPi|iE
Tf,iEf,i
). (3.25)
Se λi = 0, faca
Qi = Qi, Ri+1 = Ri+1, Pi|i = Pi|i, Gi = Gi, e Fi = Fi.
Passo 3 : Atualize {xi|i, Pi|i} da seguinte maneira
xi+1|i = Fixi|i (3.26)
xi+1|i+1 = xi+1|i + Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1ei+1 (3.27)
ei+1 = zi+1 −Hi+1xi+1|i (3.28)
Pi+1|i = FiPi|iFTi + GiQiG
Ti (3.29)
Pi+1|i+1 = Pi+1|i − Pi+1|iHTi+1R
−1e,i+1Hi+1Pi+1|i (3.30)
Re,i+1 = Ri+1 +Hi+1Pi+1|iHTi+1. (3.31)
Prova: Primeiro note que o funcional Ji pode ser re-escrito como
Ji =
ex,i
wi
ey,i+1
T
P−1i|i 0 0
0 Q−1i 0
0 0 R−1i+1
ex,i
wi
ey,i+1
(3.32)
sendo definidos os seguintes erros de informacao
ex,i := xi − xi|i,
ey,i+1 := zi+1 −Hi+1xi+1. (3.33)
Substituindo-se xi+1 pela equacao (3.17) na equacao do erro ey,i+1, tem-se
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 34
ey,i+1 := zi+1 −Hi+1xi+1
= zi+1 −Hi+1[(Fi + δFi)xi + (Gi + δGi)wi]
= zi+1 −Hi+1[(Fi + δFi)ex,i + (Fi + δFi)xi|i + (Gi + δGi)wi]
= (zi+1 −Hi+1xi+1|i)−Hi+1δFixi|i − (Hi+1
[Fi Gi
]
+ Hi+1
[δFi δGi
])
ex,i
wi
. (3.34)
Desta forma, o funcional a ser otimizado Ji pode ser re-escrito seguindo o padrao do
Teorema 3.1.1
Ji =
xi − xi|i
wi
T
P−1i|i 0
0 Q−1i
xi − xi|i
wi
+
+ [(Hi+1
[Fi Gi
]+Hi+1
[δFi δGi
])
xi − xi|i
wi
− ((zi+1 −Hi+1Fixi|i)−Hi+1δFixi|i)]TR−1
i+1(.). (3.35)
Assim, pelo Teorema 3.1.1 valem as seguintes identificacoes
x ←−
ex,i
wi
=
xi − xi|i
wi
(3.36)
b ←− zi+1 −Hi+1Fixi|i (3.37)
A ←− Hi+1
[Fi Gi
](3.38)
δA ←− Hi+1Mi∆[Ef,i Eg,i
](3.39)
δb ←− −Hi+1Mi∆Ef,ixi|i (3.40)
Q ←−
P−1i|i 0
0 Q−1i
(3.41)
W ←− R−1i+1 (3.42)
H ←− Hi+1Mi (3.43)
Ea ←−[Ef,i Eg,i
](3.44)
Eb ←− −Ef,ixi|i (3.45)
∆ ←− ∆i. (3.46)
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 35
A solucao x :=
[xi|i+1 − xi|i
wi|i+1
]do problema min-max (3.15) e encontrada resolvendo a
equacao
(Q(λi) +ATW (λi)A)x = (ATW (λi)b+ λiETa Eb) (3.47)
sendo
Q(λi) = Q+ λiETa Ea
=
P−1i|i 0
0 Q−1i
+ λi
ETf,i
ETg,i
[Ef,i Eg,i
], (3.48)
W (λi) = W +WH(λiI −H
TWH)−1
HTW
=(Ri+1 − λ
−1i Hi+1MiM
Ti H
Ti+1
)−1=: R−1
i+1, (3.49)
e λi e o argumento que minimiza a funcao G(λ) conforme o Passo 1 do enunciado do
teorema. Fazendo-se as substituicoes requeridas, a Equacao (3.47) se escreve como�24 P−1i|i
0
0 Q−1i
35+ λi
24 ETf,i
ETg,i
35h Ef,i Eg,i
i+
24 FTi
GTi
35HTi+1R
−1i+1Hi+1
hFi Gi
i�×
24 xi|i+1 − xi|i
wi|i+1
35 =
24 FTi
GTi
35HTi+1R
−1i+1
�zi+1 −Hi+1Fixi|i
�− λi
24 ETf,i
ETg,i
35Ef,ixi|i. (3.50)
Note que xi|i esta presente nos dois lados da Equacao (3.50) e que0�λi
24 ETf,i
ETg,i
35h Ef,i Eg,i
i+
24 FTi
GTi
35HTi+1R
−1i+1Hi+1
hFi Gi
i1A24 xi|i
0
35 =
=
24 FTi
GTi
35HTi+1R
−1i+1Hi+1Fixi|i + λi
24 ETf,i
ETg,i
35Ef,ixi|i. (3.51)
Desta forma, (3.50) pode ser re-escrita como�24 P−1i|i
0
0 Q−1i
35+ λi
24 ETf,i
ETg,i
35h Ef,i Eg,i
i+
24 FTi
GTi
35HTi+1R
−1i+1Hi+1
hFi Gi
i�×
24 xi|i+1
wi|i+1
35 =
24 FTi
GTi
35HTi+1R
−1i+1zi+1 +
24 P−1i|i
0
0 Q−1i
3524 xi|i
0
35 . (3.52)
Como se deseja encontrar a estimativa filtrada xi+1|i+1 para xi+1 que se considera como
sendo dada por
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 36
xi+1|i+1 := Fixi|i+1 +Giwi|i+1 =[Fi Gi
]
xi|i+1
wi|i+1
,
multiplicando-se os dois lados de (3.52) por
[Fi Gi
]
P−1i|i 0
0 Q−1i
+ λi
ETf,i
ETg,i
[Ef,i Eg,i
]
−1
, (3.53)
obtem-se uma equacao em xi+1|i+1
(I +
hFi Gi
i0�24 P−1i|i
0
0 Q−1i
35+ λi
24 ETf,i
ETg,i
35h Ef,i Eg,i
i1A−1 24 FTi
GTi
35| {z }Pi+1|i
× HTi+1R
−1i+1Hi+1
)[Fi Gi
]
xi|i+1
wi|i+1
︸ ︷︷ ︸xi+1|i+1
=[Fi Gi
]
P−1i|i 0
0 Q−1i
+ λi
ETf,i
ETg,i
[Ef,i Eg,i
]
−1
F Ti
GTi
︸ ︷︷ ︸Pi+1|i
× HTi+1R
−1i+1zi+1
+hFi Gi
i�24 P−1i|i
0
0 Q−1i
35+ λi
24 ETf,i
ETg,i
35h Ef,i Eg,i
i�−124 P−1
i|i0
0 Q−1i
3524 xi|i
0
35| {z }Fixi|i
.
(3.54)
Com as variaveis auxiliares Pi+1|i, xi+1|i+1 e Fi definidas conforme apresentadas em
(3.54), entao pode-se escrever de maneira compacta
(I + Pi+1|iH
Ti+1R
−1i+1Hi+1
)xi+1|i+1 = Pi+1|iH
Ti+1R
−1i+1zi+1 + Fixi|i. (3.55)
Supondo-se que a matriz (I + Pi+1|iHTi+1R
−1i+1Hi+1) possua inversa, entao
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 37
xi+1|i+1 =(I + Pi+1|iH
Ti+1R
−1i+1Hi+1
)−1Pi+1|i
︸ ︷︷ ︸Pi+1|i+1
HTi+1R
−1i+1zi+1
+(I + Pi+1|iH
Ti+1R
−1i+1Hi+1
)−1Fixi|i. (3.56)
Com a variavel auxiliar Pi+1|i+1 definida em (3.56) pode-se escrever
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1zi+1 +
(I − Pi+1|i+1H
Ti+1R
−1i+1Hi+1
)Fixi|i (3.57)
ou
xi+1|i+1 = Fixi|i + Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1
(zi+1 −Hi+1Fixi|i
). (3.58)
Assim, definindo-se a variavel auxiliar ei+1 conforme (3.28) e a variavel auxiliar xi+1|i
conforme (3.26) obtem-se
xi+1|i+1 = xi+1|i + Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1ei+1 (3.59)
que e exatamente a Equacao (3.27) do Passo 3 do teorema. Falta agora re-escrever
as variaveis auxiliares Pi+1|i+1, Pi+1|i e Fi de forma conveniente. Da Equacao (3.56)
tem-se
Pi+1|i+1 :=(I + Pi+1|iH
Ti+1R
−1i+1Hi+1
)−1Pi+1|i
=
(I − Pi+1|iH
Ti+1R
−1i+1Hi+1
(I + Pi+1|iH
Ti+1R
−1i+1Hi+1
)−1)Pi+1|i
= Pi+1|i − Pi+1|iHTi+1R
−1i+1
(I +Hi+1Pi+1|iH
Ti+1R
−1i+1
)−1Hi+1Pi+1|i
= Pi+1|i − Pi+1|iHTi+1
(Ri+1 +Hi+1Pi+1|iH
Ti+1
)−1Hi+1Pi+1|i (3.60)
que e a expressao encontrada em (3.30) quando se adota a variavel auxiliar Re,i+1
conforme definida em (3.31). Na equacao (3.54) observa-se que Pi+1|i e Fi dependem
da inversa da matriz Q(λi) em (3.48). Assim, determina-se a inversa de Q(λi)
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 38
Q(λi)−1 =
(
P−1i|i 0
0 Q−1i
+ λi
ETf,i
ETg,i
[Ef,i Eg,i
])−1
=
P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i −λiE
Tf,iEg,i
λiETg,iEf,i Q−1
i + λiETg,iEg,i
−1
=
I −λiPi|iETf,iEg,i
0 I
Pi|i 0
0 Qi
I 0
−λiETg,iEf,iPi|i I
.
(3.61)
Na Equacao (3.61) foram definidas as variaveis auxiliares
Pi|i := (P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i)
−1 (3.62)
e
Qi :=
(Q−1i + λiE
Tg,iEg,i − λ
2iE
Tg,iEf,i
(P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i
)−1ETf,iEg,i
)−1
=
(Q−1i + λiE
Tg,i
(I − λiEf,i
(P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i
)−1ETf,i
)Eg,i
)−1
=
(Q−1i + λiE
Tg,i
(I − λiEf,i
(I + λiPi|iE
Tf,iEf,i
)−1Pi|iE
Tf,i
)Eg,i
)−1
=
(Q−1i + λiE
Tg,i
(I − λiEf,iPi|iE
Tf,i
(I + λiEf,iPi|iE
Tf,i
)−1)Eg,i
)−1
=
(Q−1i + λiE
Tg,i
(I + λiEf,iPi|iE
Tf,i
)−1Eg,i
)−1
(3.63)
que fornecem exatamente as equacoes (3.22) e (3.20) do Passo 2 do algoritmo do teo-
rema. Com isto, das equacoes (3.54) e (3.63) obtem-se
Pi+1|i :=[Fi Gi
]
P−1i|i 0
0 Q−1i
+ λi
ETf,i
ETg,i
[Ef,i Eg,i
]
−1
F Ti
GTi
(3.64)
ou
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 39
Pi+1|i =[Fi Gi
] [I −λiPi|iE
Tf,iEg,i
0 I
] [Pi|i 0
0 Qi
] [I 0
−λiETg,iEf,iPi|i I
] [FT
i
GTi
]
Pi+1|i =[Fi Gi − λiFiPi|iE
Tf,iEg,i
]
Pi|i 0
0 Qi
F Ti(Gi − λiFiPi|iE
Tf,iEg,i
)T
.
Definindo-se a variavel auxiliar Gi como em (3.24), tem-se Pi+1|i escrita na forma
compacta (3.30). Novamente, das equacoes (3.54) e (3.63) segue que
Fi :=[Fi Gi
]
P−1i|i 0
0 Q−1i
+ λi
ETf,i
ETg,i
[Ef,i Eg,i
]
−1
P−1i|i
0
=[Fi Gi
] [I −λiPi|iE
Tf,iEg,i
0 I
] [Pi|i 0
0 Qi
] [I 0
−λiETg,iEf,iPi|i I
] [P−1
i|i
0
]
=[Fi Gi − λiFiPi|iE
Tf,iEg,i
]
Pi|i 0
0 Qi
P−1i|i
−λiETg,iEf,iPi|iP
−1i|i
=[Fi Gi
]
I
−λiQiETg,iEf,i
Pi|iP−1i|i
=(Fi − λiGiQiE
Tg,iEf,i
)Pi|i
(P−1i|i − λiE
Tf,iEf,i
)
=(Fi − λiGiQiE
Tg,iEf,i
)(I − λiPi|iE
Tf,iEf,i
)
que e exatamente a expressao encontrada em (3.25). Para a condicao inicial x0, pode-
se supor que se conhece uma estimativa x0|−1 = 0 juntamente com uma matriz de
ponderacao para o erro de previsao Π0 > 0. Dada uma medida z0, para qual se conhece
a matriz de ponderacao para o erro de previsao R0 > 0, pode-se definir um custo do
erro de previsao como
C0 :=∥∥x0 − x0|−1
∥∥2
Π−10
+ ‖z0 −Hx0‖2R−1
0. (3.65)
Com isto pode-se propor como estimativa inicial dada a informacao z0 como sendo a
solucao otima x0|0 que minimiza o funcional (3.65). Como
C0 = xT0(Π−1
0 +HTR−10 H
)x0 − 2xT0H
TR−10 z0 + zT0 H
TR−10 Hz0. (3.66)
CAPITULO 3. ESTIMATIVA FILTRADA ROBUSTA BDU 40
Derivando C0 em relacao a x0, obtem-se facilmente que a solucao otima e dada por
x0|0 = (Π−10 +HT
0 R−10 H0)
−1HT0 R
−10 z0.
Pode-se ainda, de forma consistente com (3.30), definir P0|0 :=(Π−1
0 +HT0 R
−10 H0
)−1.
�
Observacao 3.2.1 : Uma expressao alternativa para Qi envolvendo uma inversa a
menos e dada por
Qi :=
Q−1i + λiE
Tg,iEg,i − λ
2iE
Tg,iEf,i
(P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i
)−1
︸ ︷︷ ︸Pi|i
ETf,iEg,i
−1
=(Q−1i + λiE
Tg,i
[I − λiE
Tg,iEf,iPi|iE
Tf,i
]Eg,i
)−1.
Capıtulo 4
Estimativa Filtrada para
Sistemas Singulares
Neste capıtulo apresenta-se a estimativa filtrada singular com e sem a inclusao
de incertezas nas matrizes E, F e H. O filtro robusto singular e comparado com a
estimativa filtrada robusta no espaco de estados do filtro BDU apresentado no Capıtulo
3.
4.1 Estimativa Filtrada para Sistemas Singulares
Seja o sistema linear discreto estocastico descrito por
Ei+1xi+1 = Fixi + wi
zi = Hixi + vi (4.1)
sendo xi o vetor de estados de dimensao n× 1 e zi o vetor de saıda de dimensao m× 1.
Ei+1 e Fi sao matrizes com dimensoes p × n e Hi e uma matriz com dimensao m× n.
wi e vi sao vetores que tem media zero com dimensoes p × 1 e m × 1 e matrizes de
covariancias
41
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 42
E{wkwTi } =
Qi > 0 se i = k
0 se i 6= k
E{vkvTi } =
Ri > 0 se i = k
0 se i 6= k(4.2)
E{wkvTi } = 0 para todos k e i
e o estado inicial x0 e gaussiano com media x0 e variancia P0 > 0, independente
de vi e de wi. O filtro de Kalman singular, pode ser obtido a partir da solucao de
um problema de otimizacao determinıstico que corresponde a formulacao original do
problema estocastico. Assumindo que no instante i tem-se uma estimativa a-priori
para o estado xi, xi|i, uma matriz de ponderacao definida positiva para o erro xi− xi|i,
denominada Pi|i e uma nova medida zi+1, entao pode-se estimar um novo valor para
xi, xi+1|i+1 a partir das solucoes dos seguintes funcionais, para i = 0
minx0
[xT0 P−10 x0 + (z0 −H0x0)
TR−10 (z0 −H0x0)] (4.3)
e para i > 0
minxi,xi+1
[(xi − xi|i)TP−1
i|i (xi − xi|i) + (zi+1 −Hi+1xi+1)TR−1
i+1(zi+1 −Hi+1xi+1)
+ (Ei+1xi+1 − Fixi)TQ−1
i (Ei+1xi+1 − Fixi)]. (4.4)
Com estas informacoes pode-se enunciar o seguinte teorema
Teorema 4.1.1 Suponha que
Ei
Hi
tem posto coluna pleno para todo i ≥ 0. A esti-
mativa otima filtrada xi|i de xi pode ser obtida a partir do seguinte algoritmo recursivo
Passo 0: (Condicoes Iniciais)
P0|0 :=(P−1
0 +HT0 R
−10 H0
)−1;
x0|0 := P0|0HT0 R
−10 z0. (4.5)
Passo i: Atualize {xi|i, Pi|i} para {xi+1|i+1, Pi+1|i+1} como segue
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 43
Pi+1|i+1 :=
(
Ei+1
Hi+1
T
Qi + FiPi|iFTi 0
0 Ri+1
−1
Ei+1
Hi+1
)−1
; (4.6)
xi+1|i+1 := Pi+1|i+1
Ei+1
Hi+1
T
Qi + FiPi|iFTi 0
0 Ri+1
−1
Fixi|i
zi+1
. (4.7)
Prova: Re-escrevendo-se o funcional da Equacao (4.4) na forma de blocos matriciais,
segue que
[(xi − xi|i)
T xTi+1
]
P−1i|i 0
0 0
xi − xi|i
xi+1
+
(
−Fi Ei+1
0 Hi+1
xi − xi|i
xi+1
−
Fixi|i
zi+1
)T
Q−1i 0
0 R−1i+1
(.
).
(4.8)
Comparando-se os termos desta equacao com a dos mınimos quadrados, Equacao (2.4),
valem as seguintes equivalencias
x ←
xi − xi|i
xi+1
b ←
Fixi|i
zi+1
Q ←
P−1i|i 0
0 0
A ←
−Fi Ei+1
0 Hi+1
W ←
Q−1i 0
0 R−1i+1
.
A solucao de (4.8) e dada por
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 44
x = [Q+ATWA]−1ATWb. (4.9)
O termo ATWA fica sendo
ATWA =
−FTi 0
ETi+1 HTi+1
Q−1i 0
0 R−1i+1
−Fi Ei+1
0 Hi+1
=
F Ti Q−1i Fi −F Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
. (4.10)
Assim, Q+ATWA sera igual a
P−1i|i + F Ti Q
−1i Fi −F Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
(4.11)
e
ATWb =
−FTi 0
ETi+1 HTi+1
Q−1i 0
0 R−1i+1
Fixi|i
zi+1
=
−F Ti Q−1i Fixi|i
ETi+1Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
. (4.12)
Substituindo-se o vetor
xi − xi|i
xi+1
, pelo vetor
xi|i+1 − xi|i
xi+1|i+1
, entao (4.9) pode ser
escrita como
xi|i+1 − xi|i
xi+1|i+1
=
P−1i|i + F Ti Q
−1i Fi −F Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
−1
−F Ti Q−1i Fixi|i
ETi+1Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
. (4.13)
Entao
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 45
xi+1|i+1 =[
0 I]
P−1i|i + F Ti Q
−1i Fi −F Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
−1
×
−F Ti Q−1i Fixi|i
ETi+1Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
. (4.14)
Usando-se o lema da inversao de blocos matriciais,
xi+1|i+1 =[−(D − CA−1B)−1CA−1 (D −CA−1B)−1
]
×
−F Ti Q−1i Fixi|i
ETi+1Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
, (4.15)
ou
xi+1|i+1 = (D − CA−1B)−1(CA−1F Ti Q
−1i Fixi|i + ETi+1Q
−1i Fixi|i
+ HTi+1R
−1i+1zi+1
)(4.16)
sendo
(D − CA−1B)−1 =(ETi+1Q
−1i Ei+1 − E
Ti+1Q
−1i Fi(P
−1i|i + F Ti Q
−1i Fi)
−1F Ti Q−1i Ei+1
+ HTi+1R
−1i+1Hi+1
)−1
=(ETi+1(Q
−1i −Q
−1i Fi(P
−1i|i + F Ti Q
−1i Fi)
−1F Ti Q−1i )Ei+1
+ HTi+1R
−1i+1Hi+1
)−1
=(ETi+1(Qi + FiPi|iF
Ti )−1Ei+1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1. (4.17)
Na forma matricial esta equacao pode ser escrita como
(D − CA−1B)−1 =
(
Ei+1
Hi+1
T
Qi + FiPi|iFTi 0
0 Ri+1
−1
Ei+1
Hi+1
)−1
. (4.18)
Definindo-se Pi+1|i+1 = (D − CA−1B)−1, entao
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 46
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1
(−ETi+1Q
−1i Fi(P
−1i|i + F Ti Q
−1i Fi)
−1F Ti Q−1i Fixi|i +
+ ETi+1Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
)(4.19)
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1ETi+1(Q
−1i −Q
−1i Fi(P
−1i|i + F Ti Q
−1i Fi)
−1F Ti Q−1i )Fixi|i
+ Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1zi+1 (4.20)
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1
Ei+1
Hi+1
T
Qi + FiPi|iFTi 0
0 Ri+1
−1
Fixi|i
zi+1
. (4.21)
A solucao do Passo 0 e a mesma daquela encontrada pelo Teorema 2.1.1. �
4.2 Estimativa Robusta para Sistemas Singulares
Esta secao desenvolve o equacionamento do filtro considerando-se as incertezas de
modelagem. As incertezas estruturadas afetam as matrizes Ei+1, Fi e Hi+1 de (4.1),
que passa a ser re-escrita na seguinte forma
(Ei+1 + δEi+1)xi+1 = (Fi + δFi)xi + wi
yi+1 = (Hi+1 + δHi+1)xi+1 + vi+1. (4.22)
As incertezas nas matrizes Ei+1, Fi e Hi+1 sao modeladas como
δFi = Mf,i△1,iNf,i (4.23)
δEi+1 = Mf,i△1,iNe,i+1 (4.24)
δHi = Mh,i△2,iNh,i, (4.25)
sendo △1,i e △2,i matrizes arbitrarias satisfazendo ‖△1,i‖ ≤ 1 e ‖△2,i‖ ≤ 1. Com estas
informacoes sobre as incertezas, o funcional podera ser escrito como
minx0
maxδH0
[xT0 P−1i|i x0 + (z0 − (H0 + δH0)x0)
TR−10 (z0 − (H0 + δH0)x0)], (4.26)
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 47
para i = 0, e
min{xi,xi+1}
max{δEi+1,δFi,δHi+1}
[(xi − xi|i)TP−1
i|i (xi − xi|i) + (zi+1
− (Hi+1 + δHi+1)xi+1)TR−1
i+1(zi+1 − (Hi+1 + δHi+1)xi+1) + ((Ei+1 + δEi+1)xi+1
− (Fi + δFi)xi)TQ−1
i ((Ei+1 + δEi+1)xi+1 − (Fi + δFi)xi)], (4.27)
para i > 0, sujeito as restricoes do modelo, Equacao (4.22), e as restricoes das incertezas,
equacoes (4.23), (4.24) e (4.25). Re-escrevendo-se o funcional (4.27) na forma matricial,
segue que
Ji =[
(xi − xi|i)T xTi+1
]
P−1i|i 0
0 0
xi − xi|i
xi+1
+
(
−(Fi + δFi) (Ei+1 + δEi+1)
0 (Hi+1 + δHi+1)
xi − xi|i
xi+1
−
(Fi + δFi)xi|i
zi+1
)T
Q−1i 0
0 R−1i+1
(.
)(4.28)
que escrito na forma compacta assume a seguinte expressao
Ji = minx
maxδA,δb
[xTQx+ [(A+ δA)x− (b+ δb)]TW (.)
], (4.29)
sendo
x ←
xi − xi|i
xi+1
;
b ←
Fixi|i
zi+1
;
A ←
−Fi Ei+1
0 Hi+1
;
δA ←
−δFi δEi+1
0 δHi+1
, ou
δA ←
Mf,i 0
0 Mh,i
△1,i 0
0 △2,i
−Nf,i Ne,i
0 Nh,i
;
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 48
δb ←
δFixi|i
0
, ou
δb ←
Mf,i 0
0 Mh,i
△1,i 0
0 △2,i
Nf,ixi|i
0
;
Q ←
P−1i|i 0
0 0
;
W ←
Q−1i 0
0 R−1i+1
;
H ←
Mf,i 0
0 Mh,i
;
Na ←
−Nf,i Ne,i
0 Nh,i
;
Nb ←
Nf,ixi|i
0
;
△ ←
△1,i 0
0 △2,i
.
No caso das condicoes iniciais, as equivalencias retiradas de (4.26) sao
A ← H0; b← z0;
δA ← δH0; δb← 0;
Q ← P−10 ; W ← R−1
0 ;
H ← Mh,0; Na ← Nh,0;
Nb ← 0.
Definindo-se Ei :=
Ei√λiNe,i
e Hi :=
Hi√λiNh,i
, entao a deducao da estimativa
filtrada robusta sera feita pelo teorema a seguir, seguindo o Teorema 3.1.1.
Teorema 4.2.1 Suponha que
Ei
Hi
tem posto coluna pleno para todo i ≥ 0. A
estimativa filtrada robusta otima xi|i de xi pode ser obtida a partir do seguinte algoritmo
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 49
recursivo
Passo 0: Condicoes Iniciais: Se Mh,0 = 0 entao
P0|0 :=(P−1
0 +HT0 R
−10 H0
)−1; (4.30)
x0|0 := P0|0HT0 R
−10 z0. (4.31)
Se Mh,0 6= 0 encontre o parametro escalar otimo λ−1 minimizando a funcao G(λ) do
Teorema 3.1.1 no intervalo λ >∥∥MT
h,0R−10 Mh,0
∥∥ e considere
R0 := R0 − λ−1−1Mh,0M
Th,0; (4.32)
P0|0 :=(P−1
0 +HT0 R
−10 H0 + λ−1N
Th,0Nh,0
)−1; (4.33)
x0|0 := P0|0HT0 R
−10 z0. (4.34)
Passo 1: Se Mf,i = 0 e Mh,i+1 = 0 entao λi := 0. Se nao, encontre o parametro escalar
otimo λi minimizando a funcao G(λ) do Teorema 3.1.1 no intervalo
λi > λl,i :=
∥∥∥∥∥
MTf,i 0
0 MTh,i+1
Q−1i 0
0 R−1i+1
Mf,i 0
0 Mh,i+1
∥∥∥∥∥. (4.35)
Passo 2: Se λi 6= 0, substitua os parametros {Qi, Ri+1, Pi|i, Ei+1, Fi,Hi+1} pelos
parametros corrigidos
Qi :=
Qi 0
0 I
sendo Qi := Qi − λ−1i Mf,iM
Tf,i; (4.36)
Ri+1 :=
Ri+1 0
0 I
, sendo Ri+1 := Ri+1 − λ−1i Mh,i+1M
Th,i+1; (4.37)
Ei+1 :=
Ei+1√λiNe,i+1
(4.38)
Fi :=
Fi√λiNf,i
(4.39)
Hi+1 :=
Hi+1√λiNh,i+1
. (4.40)
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 50
Passo 3: Atualize {Pi|i, xi|i} para {Pi+1|i+1, xi+1|i+1} do seguinte modo
Pi+1|i+1 :=
(
Ei+1
Hi+1
T
Qi + FiPi|iFTi 0
0 Ri+1
−1
Ei+1
Hi+1
)−1
, (4.41)
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1
Ei+1
Hi+1
T
Qi + FiPi|iFTi 0
0 Ri+1
−1
Fixi|i
Zi+1
, (4.42)
sendo
Zi+1 :=
zi+1
0
. (4.43)
Prova: De acordo com SAYED (2001), a solucao de (4.29) e dada por
x = [Q+AT WA]−1[AT Wb+ λiNTa Nb] (4.44)
sendo Q := Q + λiNTa Na e W := W + WH(λiI − HTWH)†HTW . Pelo lema da
inversao de matrizes a expressao de W pode ser escrita como W−1 = W−1−λ−1i HHT =
W−1 − λ−1i MiM
Ti . Sendo assim, entao
Q = Q+ λiNTa Na
=
P−1i|i 0
0 0
+ λi
−NTf,i 0
NTe,i NT
h,i
−Nf,i Ne,i
0 Nh,i
=
(P−1i|i + λiN
Tf,iNf,i) −λiN
Tf,iNe,i
−λiNTe,iNf,i λi(N
Te,iNe,i +NT
h,iNh,i)
(4.45)
e a equacao W = (W−1 − λ−1i MiM
Ti )−1 e dada por
W = (
Qi 0
0 Ri+1
− λ−1i
Mf,iMTf,i 0
0 Mh,iMTh,i
)−1, (4.46)
ou
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 51
W =
(Qi − λ−1i Mf,iM
Tf,i) 0
0 (Ri+1 − λ−1i Mh,iM
Th,i)
−1
,
=
Q−1i 0
0 R−1i+1
. (4.47)
O termo AT WA e expresso como
AT WA =
−FTi 0
ETi+1 HTi+1
Q−1i 0
0 R−1i+1
−Fi Ei+1
0 Hi+1
=
F Ti Q−1i Fi −F Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
(4.48)
O termo AT Wb e expresso como
AT Wb =
−FTi 0
ETi+1 HTi+1
Q−1i 0
0 R−1i+1
Fixi|i
zi+1
=
−F Ti Q−1i Fixi|i
ETi+1Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
. (4.49)
Assim
(
(P−1i|i + λiN
Tf,iNf,i) −λiN
Tf,iNe,i
−λiNTe,iNf,i λi(N
Te,iNe,i +NT
h,iNh,i)
+
F Ti Q−1i Fi −F Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
)
(xi|i+1 − xi|i)
xi+1|i+1
=
(
−F Ti Q−1i Fixi|i
ETi+1Q−1i Fixi|i +HT
i+1R−1i+1zi+1
+ λi
−NTf,iNf,ixi|i
NTe,iNf,ixi|i
)
(4.50)
xi|i+1 − xi|i
xi+1|i+1
=
F Ti Q−1i Fi + P−1
i|i −F Ti Q−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1 + HT
i+1R−1i+1Hi+1
−1
×
−F Ti Q−1i Fixi|i
ETi+1Q−1i Fixi|i + HT
i+1R−1i+1Zi+1
(4.51)
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 52
e
xi+1|i+1 =[
0 I]
F Ti Q−1i Fi + P−1
i|i −F Ti Q−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1 + HT
i+1R−1i+1Hi+1
−1
×
−F Ti Q−1i Fixi|i
ETi+1Q−1i Fixi|i + HT
i+1R−1i+1Zi+1
. (4.52)
Usando-se o lema da inversao de blocos matriciais, obtem-se
xi+1|i+1 =[−(D − CA−1B)−1CA−1 (D −CA−1B)−1
]
×
−F Ti Q−1i Fixi|i
ETi+1Q−1i Fixi|i + HT
i+1R−1i+1Zi+1
. (4.53)
Assim
xi+1|i+1 = (D − CA−1B)−1
(CA−1F Ti Q
−1i Fixi|i + ETi+1Q
−1i Fixi|i
+ HTi+1R
−1i+1Zi+1
). (4.54)
e
(D − CA−1B)−1 =
(ETi+1Q
−1i Ei+1 + HT
i+1R−1i+1Hi+1 − E
Ti+1Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi
+ P−1i|i )−1F Ti Q
−1i Ei+1
)−1
=
(ETi+1(Q
−1i − Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi
+ P−1i|i )−1F Ti Q
−1i )Ei+1 + HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1
. (4.55)
Usando-se o lema da inversao de matrizes nesta equacao, encontra-se
(D − CA−1B)−1 =
(ETi+1(Qi + FiPi|iF
Ti )−1Ei+1 + HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1
.(4.56)
Definindo-se Pi+1|i+1 := (D−CA−1B)−1, e pondo-se esta equacao na forma matricial,
entao
Pi+1|i+1 =
(
Ei+1
Hi+1
T
Qi + FiPi|iFTi 0
0 Ri+1
−1
Ei+1
Hi+1
)−1
. (4.57)
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 53
Quanto a expressao de xi+1|i+1
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1
(CA−1F Ti Q
−1i Fixi|i + ETi+1Q
−1i Fixi|i + HT
i+1R−1i+1Zi+1
),
(4.58)
ou
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1
(−ETi+1Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi + P−1
i|i )−1F Ti Q−1i Fixi|i
+ ETi+1Q−1i Fixi|i + HT
i+1R−1i+1Zi+1
), (4.59)
entao
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1
(ETi+1(Q
−1i − Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi + P−1
i|i )−1F Ti Q−1i )Fixi|i
+ HTi+1R
−1i+1Zi+1
). (4.60)
Aplicando-se o lema da inversao de matrizes a esta equacao, encontra-se
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1ETi+1(Qi + FiPi|iF
Ti )−1Fixi|i + Pi+1|i+1H
Ti+1R
−1i+1Zi+1,
(4.61)
que na forma matricial, fica sendo
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1
Ei+1
Hi+1
T
Qi + FiPi|iFTi 0
0 Ri+1
−1
Fixi|i
Zi+1
. (4.62)
�
4.3 Comparacao com a Estimativa Filtrada BDU
O filtro para sistemas singulares deduzido na Secao 4.2, sera comparado a seguir
com o filtro BDU deduzido em SAYED (2001), para isto sao necessarias as seguintes
simplificacoes
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 54
Ei+1 =
I
0
, Hi+1 =
Hi+1
0
, Ri+1 =
Ri+1 0
0 I
, Qi =
Qi 0
0 I
.
Assim a expressao
Pi+1|i+1 :=
(ETi+1(Qi + FiPi|iF
Ti )−1Ei+1 + HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1
(4.63)
fica sendo
Pi+1|i+1 =
(
I
0
T(
Qi 0
0 I
+
Fi√λiNf,i
Pi|i
Fi√λiNf,i
T)−1
I
0
+
Hi+1
0
T
Ri+1 0
0 I
−1
Hi+1
0
)−1
(4.64)
ou
Pi+1|i+1 =
(
I
0
T(
Qi + FiPi|iFTi
√λiFiPi|iN
Tf,i√
λiNf,iPi|iFTi I + λiNf,iPi|iN
Tf,i
)−1
I
0
+ HTi+1R
−1i+1Hi+1
)−1
. (4.65)
Aplicando-se o lema da inversao de blocos matriciais a Equacao (4.65), obtem-se
Pi+1|i+1 =
((Qi + Fi(P
−1i|i + λiN
Tf,iNf,i)
−1F Ti
)−1+HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1
.(4.66)
Como Pi|i = (P−1i|i + λiN
Tf,iNf,i)
−1, entao
Pi+1|i+1 =
((Qi + FiPi|iF
Ti )−1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1
. (4.67)
Quanto a expressao do filtro tem-se
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1
I
0
T (
Qi 0
0 I
+
Fi√λiNf,i
Pi|i
Fi√λiNf,i
T)−1
×
Fi√λiNf,i
xi|i + Pi+1|i+1
Hi+1
0
T
Ri+1 0
0 I
−1
zi+1
0
(4.68)
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 55
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1
I
0
T
Qi + FiPi|iFTi
√λiFiPi|iN
Tf,i√
λiPi|iFTi (I + λiNf,iPi|iN
Tf,i)
−1
×
Fi√λiNf,i
xi|i + Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1zi+1. (4.69)
Supondo que (I + λiNf,iPi|iNTf,i) seja invertıvel, entao
xi+1|i+1 =
Pi+1|i+1
((Qi + FiPi|iF
Ti − λiFiPi|iN
Tf,i(I + λiNf,iPi|iN
Tf,i)
−1Nf,iPi|iFTi
)−1Fi
− λi(Qi + FiPi|iF
Ti − λiFiPi|iN
Tf,i(I + λiNf,iPi|iN
Tf,i)
−1Nf,iPi|iFTi
)−1FiPi|iN
Tf,i
× (I + λiNf,iPi|iNTf,i)
−1Nf,i
)xi|i + Pi+1|i+1H
Ti+1R
−1i+1zi+1; (4.70)
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1(Qi + FiPi|iFTi )−1Fi
(I − λiPi|iN
Tf,i(I + λiNf,iPi|iN
Tf,i)
−1Nf,i
)xi|i
+ Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1zi+1; (4.71)
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1(Qi + FiPi|iFTi )−1Fi
(I − λi(P
−1i|i + λiN
Tf,iNf,i)
−1NTf,iNf,i
)xi|i
+ Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1zi+1; (4.72)
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1(Qi + FiPi|iFTi )−1Fi
(I − λiPi|iN
Tf,iNf,i
)xi|i
+ Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1zi+1.
(4.73)
Definindo-se Fc,i = Fi(I − λiPi|iN
Tf,iNf,i
), entao
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1(Qi + FiPi|iFTi )−1Fc,ixi|i + Pi+1|i+1H
Ti+1R
−1i+1zi+1. (4.74)
Substituindo-se a expressao de Pi+1|i+1 no primeiro termo desta equacao
xi+1|i+1 =((Qi + FiPi|iF
Ti )−1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1(Qi + FiPi|iF
Ti )−1Fc,ixi|i
+ Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1zi+1 (4.75)
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 56
e aplicando-se o lema da inversao de matrizes ao primeiro termo do segundo membro
desta equacao, tem-se
xi+1|i+1 =
((Qi + FiPi|iF
Ti )− (Qi + FiPi|iF
Ti )HT
i+1(Ri+1 +Hi+1(Qi + FiPi|iFTi )
× HTi+1)
−1Hi+1(Qi + FiPi|iFTi )
)(Qi + FiPi|iF
Ti )−1Fc,ixi|i
+ Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1zi+1 ou (4.76)
xi+1|i+1 = Fc,ixi|i − (Qi + FiPi|iFTi )HT
i+1
(Ri+1 +Hi+1(Qi + FiPi|iF
Ti )HT
i+1
)−1
× Hi+1Fc,ixi|i + Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1zi+1, (4.77)
que tambem pode ser expressa como
xi+1|i+1 = Fc,ixi|i −((Qi + FiPi|iF
Ti )−1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1HTi+1R
−1i+1Hi+1Fc,ixi|i
+ Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1zi+1, ou (4.78)
xi+1|i+1 = Fc,ixi|i − Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1Hi+1Fc,ixi|i + Pi+1|i+1H
Ti+1R
−1i+1zi+1. (4.79)
Sendo que em funcao do erro de estimativa, a versao no espaco de estados e expressa
da seguinte maneira
xi+1|i+1 = Fc,ixi|i + Pi+1|i+1HTi+1R
−1i+1(zi+1 −Hi+1Fc,ixi|i). (4.80)
Pode-se entao comparar o algoritmo apresentado neste capıtulo com o apresentado
em SAYED (2001) para o espaco de estados usual, quando (Ei+1 = I), e quando as
incertezas estao presentes somente na matriz Fi. Destacam-se as expressoes (4.67) e
(4.74),
Pi+1|i+1 =((Qi + FiPi|iF
Ti )−1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1; (4.81)
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1(Qi + FiPi|iFTi )−1Fc,ixi|i + Pi+1|i+1H
Ti+1R
−1i+1zi+1 (4.82)
sendo Qi = Qi − λ−1i Mf,iM
Tf,i. As equacoes correspondentes de SAYED (2001) sao
dadas por
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 57
Pi+1|i+1 =((Qi + FiPi|iF
Ti )−1 +HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1; (4.83)
xi+1|i+1 = Pi+1|i+1(Qi + FiPi|iFTi )−1Fc,ixi|i + Pi+1|i+1H
Ti+1R
−1i+1zi+1 (4.84)
sendo Ri+1 = Ri+1 − λ−1i Hi+1Mf,iM
Tf,iH
Ti+1. As expressoes para Pi|i e Fc,i sao as
mesmas para ambos os filtros, mas o intervalo de ajuste para o parametro de otimizacao
λ e diferente. Observe que o filtro proposto nesta tese, apesar de ser diferente do
filtro proposto em SAYED (2001), mantem a propriedade de regularizacao ou seja, os
intervalos de ajuste de λ sao conhecidos a-priori pois dependem somente dos parametros
do sistema. Os funcionais de ambos os filtros sao diferentes, mas ambos se reduzem ao
filtro de Kalman usual quando o sistema nao esta sujeito a incertezas.
4.4 Estimativa Suavizadora Robusta
A estimativa suavizadora robusta singular pode ser encontrada com facilidade a
partir da Equacao (4.51) do Teorema 4.2.1. Explicitando-se o termo xi|i+1 naquela
equacao e apos algumas manipulacoes algebricas, encontra-se que a estimativa sua-
vizadora robusta e dada por
xi|i+1
= xi|i − Pi|iFTi (Qi + FiPi|iF
Ti )−1
(I − Ei+1Pi+1|i+1E
Ti+1(Qi + FiPi|iF
Ti )−1
)Fixi|i
+ Pi|iFTi (Qi + FiPi|iF
Ti )−1Ei+1Pi+1|i+1H
Ti+1R
−1i+1Zi+1. (4.85)
4.5 Exemplo Numerico
Exemplo 4.5.1 Considere o sistema singular com incertezas estruturadas modeladas
de acordo com as equacoes (4.22) - (4.25), cujas matrizes sao dadas por
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 58
E =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
, F =
0.9 0 0
0 0.8 0
0.2 0.2 0.2
, H =
[1.4 0.8 1
],
Q =
1.2 0 0
0 1.6 0
0 0 2
, Nf =
0.05 0 0
0 0.05 0
0 0 0.13
, Ne =
0.1 0 0
0 0.1 0
0 0 0
,
Nh =
2 0 0
0 28.18 0
0 0 2
,Mf =
0.5 0 0
0 0.5 0
0 0 1.3
,
R = 0.16, Mh =[
0.8 0.8 0.8].
(4.86)
Os resultados da Figura 4.1 foram simulados considerando-se as matrizes (4.86), para
todo i > 0 e o sistema sem incerteza, para i = 0. A Figura 4.1 mostra as curvas das
variancias dos erros calculadas via Monte-Carlo cuja expressao e dada por
E‖xi − xi‖ ≈1
T
T∑
j=1
‖x(j)i − x
(j)i ‖. (4.87)
Cada ponto no instante i em cada curva da variancia e a media calculada sobre T = 800
experimentos. Para cada experimento j, a matriz ∆ com norma menor ou igual a um
e selecionada aleatoriamente e fixada para todo i. Gera-se T = 800 trajetorias de 1000
pontos cada. Os filtros considerados sao: o de Maxima Verossimilhanca (ML) que e
apresentado em NIKOUKHAH et al. (1992), com uma abordagem estocastica mas
que se assemelha as expressoes apresentadas no Teorema 4.1.1, implementado com os
parametros nominais e aplicado ao sistema com incertezas; o otimo do Teorema 4.1.1
implementado com os parametros nominais e aplicado ao sistema sem incertezas e o
Descriptor Robusto (DR), Teorema 4.2.1. O filtro DR apresenta melhor desempenho
que o filtro ML (o parametro λi e fixado em λ = 80λl, para todo i).
CAPITULO 4. ESTIMATIVA FILTRADA PARA SISTEMAS SINGULARES 59
100
101
102
103
5
10
15
20
25
30
i
Var
ian
cia
do
Err
o (
dB
)
ML
DR
Ótimo
Figura 4.1: Filtros Descriptor Robusto (DR), Otimo, e de Maxima Verossimilhanca(ML).
Capıtulo 5
Estimativa Preditora para
Sistemas Singulares
Este capıtulo apresenta inicialmente algoritmos de filtragem para a estimativa predi-
tora e a estimativa preditora-corretora sem robustez para o sistema singular (4.1), em
seguida apresenta um algoritmo para a estimativa preditora robusta singular e compara
a estimativa preditora singular sem robustez com a estimativa preditora no espaco de
estados. Finalmente encontra a expressao da estimativa preditora-corretora robusta
singular.
5.1 Estimativa Preditora Singular
O estudo da estimativa preditora recursiva para o sistema singular consiste em se
achar uma sequencia {x0|i, x1|i, x2|i, . . . xi+1|i} a partir de uma sequencia de medidas
{z0, z1, z2, . . . zi}. Ao inves de se fazer uma abordagem estocastica, este trabalho adota
a abordagem determinıstica usando-se o metodo dos mınimos quadrados recursivos
atraves da minimizacao do seguinte funcional
Ji = minxi,xi+1
[(xi − xi|i−1)TP−1
i|i−1(xi − xi|i−1) + (zi −Hixi)TR−1
i (zi −Hixi)
+ (Ei+1xi+1 − Fixi)TQ−1
i (Ei+1xi+1 − Fixi)]. (5.1)
A solucao deste sistema e dada pelo seguinte teorema:
60
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 61
Teorema 5.1.1 Suponha que a matriz Ei+1 tem posto coluna pleno para todo i ≥ 0 e e
dada uma sequencia de medidas {z0, z1, z2, . . . zi}. A estimativa preditora otima xi+1|i
resultante da minimizacao do funcional Ji (5.1), pode ser obtida a partir do seguinte
algoritmo recursivo.
Passo 0: Condicoes Iniciais
P0|−1 = P0 (5.2)
x0|−1 = 0. (5.3)
Passo i: Atualize os termos {xi|i−1, Pi|i−1} para {xi+1|i, Pi+1|i} atraves das recursoes
xi+1|i = Pi+1|i
Ei+1
0
T
Qi + FiPi|i−1FTi −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )
−1
Fixi|i−1
zi −Hixi|i−1
,
(5.4)
sendo
Pi+1|i =
(
Ei+1
0
T
Qi + FiPi|i−1FTi −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi Ri +HiPi|i−1H
Ti
−1
Ei+1
0
)−1
.
(5.5)
Prova: Re-escrevendo-se o funcional Ji (5.1) na forma matricial, obtem-se
[(xi − xi|i−1)
T xTi+1
]
P−1i|i−1 0
0 0
xi − xi|i−1
xi+1
+
(
−Fi Ei+1
Hi 0
xi − xi|i−1
xi+1
−
Fixi|i−1
zi −Hixi|i−1
)T
Q−1i 0
0 R−1i
(.
).
(5.6)
Comparando-se os termos desta equacao com a equacao dos mınimos quadrados regu-
larizados de (SAYED (2001)), obtem-se as seguintes equivalencias
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 62
x ←
xi − xi|i−1
xi+1
b ←
Fixi|i−1
zi −Hixi|i−1
Q ←
P−1i|i−1 0
0 0
A ←
−Fi Ei+1
Hi 0
W ←
Q−1i 0
0 R−1i
,
cuja solucao e
x = [Q+ATWA]−1ATWb. (5.7)
O termo ATWA fica sendo
ATWA =
−FTi HT
i
ETi+1 0
Q−1i 0
0 R−1i
−Fi Ei+1
Hi 0
=
F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi −F
Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
. (5.8)
Assim, Q+ATWA sera igual a
P−1i|i−1
+ F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi −F
Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
, (5.9)
e o termo
ATWb =
−FTi HT
i
ETi+1 0
Q−1i 0
0 R−1i
Fixi|i−1
zi −Hixi|i−1
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 63
que resulta em
ATWb =
(HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1)
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.10)
Substituindo-se o vetor
(xi − xi|i−1)
xi+1
pelo vetor
(xi|i − xi|i−1)
xi+1|i
, entao a Equa-
cao (5.7) pode ser escrita como
(xi|i − xi|i−1)
xi+1|i
=
P−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi −F
Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
−1
×
(HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1)
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.11)
Entao
xi+1|i =[
0 I]
P−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi −F
Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
−1
×
(HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1)
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.12)
Usando-se o lema da inversao de blocos matriciais, entao esta equacao pode ser escrita
como
xi+1|i =[−(D − CA−1B)−1CA−1 (D − CA−1B)−1
]
×
(HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1)
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.13)
Entao
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1
× (HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1)
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fixi|i−1, (5.14)
sendo
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 64
(D −CA−1B)−1 = (ETi+1Q−1i Ei+1 − E
Ti+1Q
−1i Fi(P
−1i|i−1
+ F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1F Ti Q−1i Ei+1)
−1
=
(ETi+1(Qi + Fi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1F Ti )−1Ei+1
)−1
(5.15)
Definindo-se Pi+1|i = (D − CA−1B)−1, entao
Pi+1|i =
(ETi+1(Qi + FiPi|i−1F
Ti − FiPi|i−1H
Ti (Ri
+ HiPi|i−1HTi )−1HiPi|i−1F
Ti )−1Ei+1
)−1
. (5.16)
Na forma matricial esta equacao fica sendo
Pi+1|i =
(
Ei+1
0
T
(Qi + FiPi|i−1FTi ) −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )
−1
Ei+1
0
)−1
.
(5.17)
Quanto a expressao da estimativa preditora, tem-se de (5.14)
xi+1|i = Pi+1|iETi+1Q
−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1
× (HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1)
+ Pi+1|iETi+1Q
−1i Fixi|i−1. (5.18)
xi+1|i = Pi+1|iETi+1Q
−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1
× HTi R
−1i (zi −Hixi|i−1)− Pi+1|iE
Ti+1Q
−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi
+ HTi R
−1i Hi)
−1F Ti Q−1i Fixi|i−1 + Pi+1|iE
Ti+1Q
−1i Fixi|i−1. (5.19)
xi+1|i = Pi+1|iETi+1(Q
−1i −Q
−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi
+ HTi R
−1i Hi)
−1F Ti Q−1i )Fixi|i−1 + Pi+1|iE
Ti+1Q
−1i Fi(P
−1i|i−1
+ F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1HTi R
−1i (zi −Hixi|i−1). (5.20)
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 65
Termo que multiplica Fixi|i−1
Pi+1|iETi+1(Q
−1i −Q
−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1F Ti Q−1i )
= Pi+1|iETi+1(Qi + Fi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1F Ti )−1
= Pi+1|iETi+1(Qi + Fi(Pi|i−1 − Pi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1)F
Ti )−1
= Pi+1|iETi+1(Qi + FiPi|i−1F
Ti − FiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti )−1.
(5.21)
Termo que multiplica (zi −Hixi|i−1)
Pi+1|iETi+1Q
−1i Fi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi + F Ti Q
−1i Fi)
−1HTi R
−1i
= Pi+1|iETi+1(Qi + FiPi|i−1F
Ti − FiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti )−1
× Fi(Pi|i−1 − Pi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1)H
Ti R
−1i
= Pi+1|iETi+1(Qi + FiPi|i−1F
Ti − FiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti )−1
× FiPi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1. (5.22)
A equacao do preditor pode ser re-escrita da seguinte maneira
xi+1|i = Pi+1|iETi+1
(Qi + FiPi|i−1F
Ti − FiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1
× HiPi|i−1FTi
)−1
Fixi|i−1 + Pi+1|iETi+1
(Qi + FiPi|i−1F
Ti − FiPi|i−1H
Ti
× (Ri +HiPi|i−1HTi )−1HiPi|i−1F
Ti
)−1
FiPi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1
× (zi −Hixi|i−1), (5.23)
que na forma matricial resulta em
xi+1|i = Pi+1|i
Ei+1
0
T
(Qi + FiPi|i−1FTi ) −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )
−1
Fixi|i−1
(zi −Hixi|i−1)
.
(5.24)
�
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 66
5.1.1 Estimativa Preditora - Corretora Singular
A estimativa preditora-corretora singular associa a expressao da estimativa filtrada
com a expressao da estimativa preditora e pode ser obtida a partir do Lema a seguir.
Lema 5.1.1 A atualizacao no tempo para a estimativa preditora-corretora de sistemas
singulares e dada pela seguinte expressao
xi+1|i =(ETi+1Q
−1i Ei+1
)−1ETi+1Q
−1i Fixi|i. (5.25)
Prova: Explicitando-se o termo xi|i da Equacao (5.11) do Teorema 5.1.1, obtem-se
xi|i = xi|i−1 +[I 0
]
P−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi −F
Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
−1
×
(HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1)
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.26)
Aplicando-se o lema da inversao de blocos matriciais nesta matriz inversa, obtem-se
xi|i = xi|i−1 +[A−1 +A−1B(D −CA−1B)−1CA−1 −A−1B(D − CA−1B)−1
]
×
(HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1)
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
, ou (5.27)
xi|i = xi|i−1 +A−1(HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1)
+ A−1B(D − CA−1B)−1CA−1(HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1)
− A−1B(D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fixi|i−1 (5.28)
xi|i = xi|i−1 +A−1HTi R
−1i zi −A
−1(F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1
+ A−1B(D − CA−1B)−1CA−1HTi R
−1i zi −A
−1B(D − CA−1B)−1CA−1
× (F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1 −A
−1B(D − CA−1B)−1
× ETi+1Q−1i Fixi|i−1 (5.29)
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 67
xi|i =(I −A−1(F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)−A
−1B(D − CA−1B)−1CA−1
× (F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi)−A
−1B(D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi
)xi|i−1
+ A−1(I +B(D − CA−1B)−1CA−1
)HTi R
−1i zi (5.30)
xi|i = A−1(A− (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)−B(D − CA−1B)−1CA−1(F Ti Q
−1i Fi
+ HTi R
−1i Hi)−B(D − CA−1B)−1ETi+1Q
−1i Fi
)xi|i−1
+ A−1(I +B(D − CA−1B)−1CA−1
)HTi R
−1i zi (5.31)
xi|i = A−1(P−1i|i−1 − F
Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1(F Ti Q−1i Fi
+ HTi R
−1i Hi) + F Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i Fi
)xi|i−1
+ A−1(I + F Ti Q
−1i Ei+1(D −CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)HTi R
−1i zi (5.32)
xi|i = A−1
(P−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i Fi
(I −A−1(F Ti Q
−1i Fi
+ HTi R
−1i Hi
))xi|i−1
+ A−1(I + F Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)HTi R
−1i zi, (5.33)
xi|i = A−1
(I + F Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1
)P−1i|i−1xi|i−1
+ A−1(I + F Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)HTi R
−1i zi. (5.34)
Assim
xi|i−1 = Pi|i−1
(A−1 +A−1F Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1
)−1
xi|i
− Pi|i−1HTi R
−1i zi. (5.35)
A expressao do preditor encontrada na Equacao (5.14) e definida como
xi+1|i = (D − CA−1B)−1
(ETi+1Q
−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1
× (HTi R
−1i zi − (F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1) + ETi+1Q
−1i Fixi|i−1
),
(5.36)
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 68
ou
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1
× HTi R
−1i zi − (D − CA−1B)−1ETi+1Q
−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi
+ HTi R
−1i Hi)
−1(F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi)xi|i−1
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fixi|i−1 (5.37)
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi
(I − (P−1
i|i−1 + F Ti Q−1i Fi
+ HTi R
−1i Hi)
−1(F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi
)xi|i−1 + (D − CA−1B)−1
× ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1HTi R
−1i zi (5.38)
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1
+ F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1P−1i|i−1
xi|i−1
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1HTi R
−1i zi.
(5.39)
Substituindo-se nesta equacao o valor de xi|i−1 da Equacao (5.35), obtem-se
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi
+ HTi R
−1i Hi)
−1P−1i|i−1
(Pi|i−1
(A−1 +A−1F Ti Q
−1i Ei+1(D
− CA−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)−1
xi|i − Pi|i−1HTi R
−1i zi
)
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1HTi R
−1i zi
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1
×(A−1 +A−1F Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)−1
xi|i
− (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1HTi R
−1i zi
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + F Ti Q
−1i Fi +HT
i R−1i Hi)
−1HTi R
−1i zi,
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 69
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1
×(A−1 +A−1F Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)−1
xi|i
= (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi
(I +A−1F Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1
× ETi+1Q−1i Fi
)−1xi|i
=(D − CA−1B + ETi+1Q
−1i FiA
−1F Ti Q−1i Ei+1
)−1ETi+1Q
−1i Fixi|i. (5.40)
Entao
xi+1|i =(ETi+1Q
−1i Ei+1 − E
Ti+1Q
−1i FiA
−1F Ti Q−1i Ei+1
+ ETi+1Q−1i FiA
−1F Ti Q−1i Ei+1
)−1ETi+1Q
−1i Fixi|i (5.41)
xi+1|i =(ETi+1Q
−1i Ei+1
)−1ETi+1Q
−1i Fixi|i. (5.42)
�
Nota: De (5.42) tem-se que
ETi+1Q−1i
(Ei+1xi+1|i − Fixi|i
)= 0. (5.43)
Como no Teorema 5.1.1 foi considerado Ei+1 posto coluna pleno para a existencia
do filtro preditor, de (5.43) pode-se concluir que
Ei+1xi+1|i = Fixi|i (5.44)
somente se for considerado Ei+1 tambem com posto linha pleno, ou seja, se Ei+1 for
invertıvel. Segue tambem que se Ei+1 = I entao obtem-se a expressao usual para a
atualizacao da estimativa no tempo
xi+1|i = Fixi|i.
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 70
5.2 Estimativa Preditora Robusta Singular
Considere o sistema
(Ei+1 + δEi+1)xi+1 = (Fi + δFi)xi + wi (5.45)
yi = (Hi + δHi)xi + vi (5.46)
sendo as incertezas nas matrizes Ei+1, Fi e Hi modeladas como
δFi δEi+1
δHi 0
=
Mf,i 0
0 Mh,i
△1,i 0
0 △2,i
Nf,i Ne,i+1
Nh,i 0
. (5.47)
Considere o problema de otimizacao
min{xi,xi+1}
max{δEi+1,δFi,δHi}
[(xi − xi|i−1)
TP−1i|i−1(xi − xi|i−1) +
(zi − (Hi + δHi)xi
)T
× R−1i
(zi − (Hi + δHi)xi
)+
((Ei+1 + δEi+1)xi+1 − (Fi + δFi)xi
)T
× Q−1i
((Ei+1 + δEi+1)xi+1 − (Fi + δFi)xi
)], (5.48)
sujeito as restricoes (5.45) e (5.46) e as incertezas representadas por (5.47). Definindo-
se Ei+1 :=
Ei+1√λiNe,i+1
e seguindo-se a mesma sequencia de calculo adotada para a
estimativa preditora singular sem incertezas, pode-se enunciar o seguinte Teorema
Teorema 5.2.1 Suponha que a matriz Ei+1 tem posto coluna pleno para todo i ≥ 0 e
e dada a sequencia de medidas {z0, z1, z2, . . . zi}. A estimativa preditora otima xi+1|i
resultante da solucao do problema min-max do funcional Ji sujeito a restricao (5.46)
e as incertezas representadas por (5.47) pode ser obtida a partir do seguinte algoritmo
recursivo.
Passo 0: Condicoes Iniciais
P0|−1 = P0 (5.49)
x0|−1 = 0, (5.50)
Passo 1: Se Mf,i = 0 e Mh,i = 0 entao λi := 0. Se nao, encontre o parametro escalar
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 71
otimo λi minimizando a funcao G(λ) do Teorema 3.1.1, no intervalo
λi > λl,i :=
∥∥∥∥∥
MTf,i 0
0 MTh,i
Q−1i 0
0 R−1i
Mf,i 0
0 Mh,i
∥∥∥∥∥. (5.51)
Passo 2: Se λi 6= 0, substitua os parametros {Qi, Ri, Pi|i−1, Ei+1, Fi,Hi} pelos parame-
tros corrigidos
Qi :=
Qi 0
0 I
sendo Qi := Qi − λ−1i Mf,iM
Tf,i; (5.52)
Ri :=
Ri 0
0 I
, sendo Ri := Ri − λ−1i Mh,iM
Th,i; (5.53)
Ei+1 :=
Ei+1√λiNe,i+1
; (5.54)
Fi :=
Fi√λiNf,i
; (5.55)
Hi :=
Hi√λiNh,i
. (5.56)
Passo 3: Atualize {Pi|i−1, xi|i−1} para {Pi+1|i, xi+1|i} do seguinte modo
Pi+1|i =
(
Ei+1
0
T
Qi + FiPi|i−1FTi −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi Ri + HiPi|i−1H
Ti
−1
Ei+1
0
)−1
,
(5.57)
xi+1|i = Pi+1|i
Ei+1
0
T
Qi + FiPi|i−1FTi −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi Ri + HiPi|i−1H
Ti
−1
Fixi|i−1
Zi
,
(5.58)
sendo
Zi :=
zi
0
. (5.59)
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 72
Prova: O funcional Ji do problema de otimizacao (5.48) pode ser escrito na seguinte
forma
Ji =
xi|i−1 − xi
xi+1
T
P−1i|i−1 0
0 0
xi|i−1 − xi
xi+1
+
((
Fi Ei+1
Hi 0
+
δFi δEi+1
δHi 0
)
xi|i−1 − xi
xi+1
−(
Fixi|i−1
Hixi|i−1 − zi
+
δFixi|i−1
δHixi|i−1
))T
Q−1i 0
0 R−1i
(.
),
(5.60)
que de maneira compacta pode ser re-escrito como
J = xTQx+
((A+ δA)x − (b+ δb)
)TW
((A+ δA)x − (b+ δb)
). (5.61)
Comparando-se os termos desta equacao com a equacao dos mınimos quadrados regu-
larizados de (SAYED (2001)), obtem-se as seguintes equivalencias
x←
xi|i−1 − xi
xi+1
; A←
Fi Ei+1
Hi 0
; b←
Fixi|i−1
Hixi|i−1 − zi
;
δA←
δFi δEi+1
δHi 0
=
Mf,i 0
0 Mh,i
△1,i 0
0 △2,i
Nf,i Ne,i+1
Nh,i 0
δb←
δFixi|i−1
δHixi|i−1
=
Mf,i 0
0 Mh,i
△1,i 0
0 △2,i
Nf,ixi|i−1
Nh,ixi|i−1
Q←
P−1i|i−1 0
0 0
; W ←
Q−1i 0
0 R−1i
; H ←
Mf,i 0
0 Mh,i
;
Na ←
Nf,i Ne,i+1
Nh,i 0
; Nb ←
Nf,ixi|i−1
Nh,ixi|i−1
; △←
△1,i 0
0 △2,i
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 73
cuja solucao e
x =(Q+AT WA
)−1 (AT W b+ λiN
Ta Nb
), sendo (5.62)
Q = Q+ λiNTa Na
=
P−1i|i−1 0
0 0
+ λi
NTf,i NT
h,i
NTe,i+1 0
Nf,i Ne,i+1
Nh,i 0
=
P−1i|i−1 + λiN
Tf,iNf,i + λiN
Th,iNh,i λiN
Tf,iNe,i+1
λiNTe,i+1Nf,i λiN
Te,i+1Ne,i+1
(5.63)
e
W =
(
Qi 0
0 Ri
− λ−1i
Mf,iMTf,i 0
0 Mh,iMTh,i
)−1
=
Qi − λ−1i Mf,iM
Tf,i 0
0 Ri − λ−1i Mh,iM
Th,i
−1
. (5.64)
Usando-se as variaveis auxiliares Qi e Ri, pode-se escrever os termos AT WA e AT Wb
como
AT WA =
F Ti HTi
ETi+1 0
Qi 0
0 Ri
−1
Fi Ei+1
Hi 0
=
F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi F Ti Q
−1i Ei+1
ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
(5.65)
AT W b =
F Ti HTi
ETi+1 0
Q−1i 0
0 R−1i
Fixi|i−1
Hixi|i−1 − zi
=
F Ti Q−1i Fixi|i−1 +HT
i R−1i (Hixi|i−1 − zi)
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.66)
Substituindo-se os valores encontrados em (5.64),(5.65) e (5.66) em (5.62) e conside-
rando-se que agora
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 74
x =
xi|i−1 − xi|i
xi+1|i
,
obtem-se
xi|i−1 − xi|i
xi+1|i
=
(
P−1i|i−1 + λiN
Tf,iNf,i + λiN
Th,iNh,i λiN
Tf,iNe,i+1
λiNTe,i+1Nf,i λiN
Te,i+1Ne,i+1
+
F Ti Q−1i Fi +HT
i R−1i Hi F Ti Q
−1i Ei+1
ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
)−1
×
(
F Ti Q−1i Fixi|i−1 +HT
i R−1i (Hixi|i−1 − zi)
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
+ λi
(NTf,iNf,i +NT
h,iNh,i
)xi|i−1
NTe,i+1Nf,ixi|i−1
)
,
(5.67)
ou de maneira compacta
xi|i−1 − xi|i
xi+1|i
=
(FTi Q−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi + P−1
i|i−1) FTi Q−1i Ei+1
ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
−1
×
(FTi Q−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1 − H
Ti R
−1i Zi
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.68)
Explicitando-se o termo xi+1|i, resulta
xi+1|i =[
0 I]
(FTi Q−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi + P−1
i|i−1) FTi Q−1i Ei+1
ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
−1
×
(FTi Q−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1 − H
Ti R
−1i Zi
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.69)
Aplicando-se o lema da inversao de blocos matriciais a Equacao (5.69), obtem-se
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 75
xi+1|i =[−(D − CA−1B)−1CA−1 (D − CA−1B)−1
]
×
(FTi Q−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1 − H
Ti R
−1i Zi
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.70)
Entao
xi+1|i = (D − CA−1B)−1(−CA−1(FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi) + ETi+1Q
−1i Fi
)xi|i−1
+ (D − CA−1B)−1CA−1HTi R−1i Zi, (5.71)
sendo
(D − CA−1B)−1 =
=
(ET
i+1Q−1
i Ei+1 − ETi+1Q
−1
i Fi(FTi Q
−1
i Fi + HTi R
−1
i Hi + P−1
i|i−1)−1FT
i Q−1
i Ei+1
)−1
=
(ET
i+1
(Qi + FiPi|i−1F
Ti − FiPi|i−1H
Ti (Ri + HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti
)−1
Ei+1
)−1
.
(5.72)
Considerando-se Pi+1|i := (D − CA−1B)−1, entao
Pi+1|i :=
(ETi+1
(Qi + FiPi|i−1F
Ti − FiPi|i−1H
Ti (Ri + HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti
)−1Ei+1
)−1
(5.73)
ou na forma de blocos matriciais
Pi+1|i :=
(
Ei+1
0
T
Qi + FiPi|i−1FTi −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi Ri + HiPi|i−1H
Ti
−1
Ei+1
0
)−1
.
(5.74)
Assim, a Equacao (5.71) assume a seguinte forma
xi+1|i = Pi+1|i
(−CA−1(FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi) + ETi+1Q
−1i Fi
)xi|i−1
+ Pi+1|iCA−1HTi R
−1i Zi, (5.75)
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 76
xi+1|i = Pi+1|i
(−ETi+1Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi + P−1
i|i−1)−1FTi Q
−1i Fi
− ETi+1Q−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi + P−1
i|i−1)−1HTi R
−1i Hi
+ ETi+1Q−1i Fi
)xi|i−1 + Pi+1|iE
Ti+1Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi
+ P−1i|i−1)
−1HTi R−1i Zi, (5.76)
xi+1|i = Pi+1|iETi+1
(Q−1i − Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi + P−1
i|i−1)−1FTi Q
−1i
)
× Fixi|i−1 + Pi+1|iETi+1Q
−1i Fi(F
Ti Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi + P−1
i|i−1)−1HTi R
−1i
×(Zi − Hixi|i−1
). (5.77)
Aplicando-se o lema da inversao de matrizes a esta equacao, obtem-se
xi+1|i = Pi+1|iETi+1
((Qi + FiPi|i−1F
Ti )− FiPi|i−1H
Ti (Ri + HiPi|i−1H
Ti )−1
× HiPi|i−1Fi
)−1
Fixi|i−1 + Pi+1|iETi+1
((Qi + FiPi|i−1F
Ti )− FiPi|i−1H
Ti
× (Ri + HiPi|i−1HTi )−1HiPi|i−1Fi
)−1FiPi|i−1H
Ti (Ri + HiPi|i−1H
Ti )−1
×(Zi − Hixi|i−1
). (5.78)
Na forma de blocos matriciais, esta equacao pode ser re-escrita da seguinte maneira
xi+1|i =
Pi+1|i
Ei+1
0
T
Qi + FiPi|i−1FTi −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi Ri + HiPi|i−1H
Ti
−1
Fixi|i−1
Zi − Hixi|i−1
.
(5.79)
�
5.2.1 Comparacao com a Estimativa Preditora Singular sem Robustez
Esta secao faz a comparacao entre o resultado encontrado na secao anterior e a
estimativa preditora singular sem robustez. Fazendo-se Ne,i+1 = 0, Nf,i = 0, e Nh,i = 0
nas equacoes (5.57) e (5.58) do Teorema 5.2.1. Entao
Ei+1 =
Ei+1
0
, Fi =
Fi
0
, Hi =
Hi
0
, Ri =
Ri 0
0 I
,
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 77
Qi =
Qi 0
0 I
e Zi =
zi
0
e Mf,i = Mh,i = 0.
Assim
Pi+1|i =
(
Ei+1
0
T(
Qi 0
0 I
+
Fi
0
Pi|i−1
[F Ti 0
]
−
Fi
0
Pi|i−1
HTi
0
(
Ri 0
0 I
+
Hi
0
Pi|i−1
[HTi 0
])−1
Hi
0
Pi|i−1
[F Ti 0
])−1
Ei+1
0
)−1
.
(5.80)
Apos algumas manipulacoes algebricas esta equacao reduz-se a
Pi+1|i =
(
Ei+1
0
T
Qi + FiPi|i−1FTi −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi Ri +HiPi|i−1H
Ti
−1
Ei+1
0
)−1
.
(5.81)
A expressao da estimativa preditora sem a robustez e escrita como
xi+1|i = Pi+1|i
Ei+1
0
T
×
(
Qi + FiPi|i−1FTi − FiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti 0
0 I
)−1
×
Fi
0
xi|i−1 + Pi+1|i
Ei+1
0
T
×(
Qi + FiPi|i−1FTi − FiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti 0
0 I
)−1
×
Fi
0
Pi|i−1
Hi
0
T
(Ri +HiPi|i−1HTi )−1 0
0 I
(
zi
0
−
Hi
0
xi|i−1
),
(5.82)
resultando em
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 78
xi+1|i = Pi+1|i
Ei+1
0
T
×
(Qi + FiPi|i−1FTi ) −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )
−1
Fixi|i−1
(zi −Hixi|i−1)
,
(5.83)
coincidindo, portanto, com a Equacao (5.24).
5.2.2 Comparacao com a Estimativa Preditora Robusta BDU
Os resultados encontrados no Teorema 5.2.1 sao agora comparados com aqueles
apresentados na referencia (SAYED (2001)), cujas deducoes foram apresentadas no
Capıtulo 3. No caso do sistema quadrado no espaco de estados, Ei+1 =[I 0
]T. Nao
se considera tambem a incerteza na matriz Hi, entao faz-se Nh,i = 0 e Ri = Ri. Assim
Pi+1|i =
(
I
0
T(
Qi 0
0 I
+
Fi√λiNf,i
Pi|i−1
[F Ti
√λiN
Tf,i
]
−
Fi√λiNf,i
Pi|i−1
[HTi 0
] (
Ri 0
0 I
+
Hi
0
Pi|i−1
[HTi 0
])−1
×
Hi
0
Pi|i−1
[F Ti
√λiN
Tf,i
])−1
I
0
)−1
=
(
I
0
T(
Qi 0
0 I
+
FiPi|i−1FTi
√λiFiPi|i−1N
Tf,i√
λiNf,iPi|i−1FTi λiNf,iPi|i−1N
Tf,i
−
FiPi|i−1HTi 0
√λiNf,iPi|i−1H
Ti 0
(
Ri 0
0 I
+
HiPi|i−1HTi 0
0 0
)−1
×
HiPi|i−1FTi
√λiHiPi|i−1N
Tf,i
0 0
)−1
I
0
)−1
(5.84)
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 79
Pi+1|i =
(
I
0
T(
(Qi + FiPi|i−1FTi )
√λiFiPi|i−1N
Tf,i√
λiNf,iPi|i−1FTi (I + λiNf,iPi|i−1N
Tf,i)
−
FiPi|i−1HTi 0
√λiNf,iPi|i−1H
Ti 0
(Ri +HiPi|i−1HTi ) 0
0 I
−1
×
HiPi|i−1FTi
√λiHiPi|i−1N
Tf,i
0 0
)−1
I
0
)−1
. (5.85)
De forma compacta, tem-se
Pi+1|i =
(
I
0
T
A11 A12
A21 A22
−1
I
0
)−1
, (5.86)
sendo
A11 = (Qi + FiPi|i−1FTi )− FiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti ;
A12 =√λiFiPi|i−1N
Tf,i −
√λiFiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1N
Tf,i;
A21 =√λiNf,iPi|i−1F
Ti −
√λiNf,iPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti e
A22 = (I + λiNf,iPi|i−1NTf,i)− λiNf,iPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1N
Tf,i.
Assim
Pi+1|i = A11 −A12A−122 A21 (5.87)
Pi+1|i = Qi + FiPi|i−1FTi − FiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti
− (√λiFiPi|i−1N
Tf,i −
√λiFiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1N
Tf,i)
× (I + λiNf,iPi|i−1NTf,i − λiNf,iPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1N
Tf,i)
−1
× (√λiNf,iPi|i−1F
Ti −
√λiNf,iPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti ).
= Qi + Fi(Pi|i−1 − Pi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1)F
Ti
−√λiFi(Pi|i−1 − Pi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1)N
Tf,i
× (I + λiNf,i(Pi|i−1 − Pi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1)N
Tf,i)
−1
×√λiNf,i(Pi|i−1 − Pi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1)F
Ti
= Qi + Fi(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1F Ti −√λiFi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1NTf,i
× (I + λiNf,i(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1NTf,i)
−1√λiNf,i(Pi|i−1
+ HTi R
−1i Hi)
−1F Ti , (5.88)
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 80
ou
Pi+1|i = Qi + Fi(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1F Ti − λiFi(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi
+ λiNTf,iNf,i)
−1NTf,iNf,i(Pi|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1F Ti
= Qi + Fi(I − λi(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi + λiN
Tf,iNf,i)
−1NTf,iNf,i)
× (Pi|i−1 +HTi R
−1i Hi)
−1F Ti
= Qi + Fi(I + λi(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1NTf,iNf,i)
−1(Pi|i−1
+ HTi R
−1i Hi)
−1F Ti
= Qi + Fi(P−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi + λiN
Tf,iNf,i)
−1F Ti
= Qi + Fi(Pi|i−1 − Pi|i−1HTi (I + HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1)F
Ti . (5.89)
Entao
Pi+1|i = Qi + FiPi|i−1FTi − FiPi|i−1H
Ti (I + HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti , (5.90)
sendo Hi =
R−1/2i Hi√λiNf,i
.
Quanto a expressao da estimativa preditora, tem-se
xi+1|i =
(
I
0
T
A11 A12
A21 A22
−1
I
0
)−1
I
0
T
A11 A12
A21 A22
−1
×
Fi√λiNf,i
xi|i−1 +
(
I
0
T
A11 A12
A21 A22
−1
I
0
)−1
I
0
T
×
A11 A12
A21 A22
−1
Fi√λiNf,i
Pi|i−1
[HTi 0
]
×
(Ri +HiPi|i−1HTi ) 0
0 I
−1(
zi
0
−
Hi
0
xi|i−1
), (5.91)
ou
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 81
xi+1|i = (A11 −A12A−122 A21)
I
0
T
×
(A11 −A12A−122 A21)
−1 (A11 −A12A−122 A21)
−1A12A−122
♯ ♯
Fi√λiNf,i
xi|i−1
+ (A11 −A12A−122 A21)
I
0
T
×
(A11 −A12A−122 A21)
−1 (A11 −A12A−122 A21)
−1A12A−122
♯ ♯
Fi√λiNf,i
× Pi|i−1
[HTi 0
]
(Ri +HiPi|i−1HTi ) 0
0 I
−1(
zi
0
−
Hi
0
xi|i−1
)
(5.92)
ou
xi+1|i = (A11 −A12A−122 A21)
×[
(A11 −A12A−122 A21)
−1 −(A11 −A12A−122 A21)
−1A12A−122
]
×
Fi√λiNf,i
xi|i−1 + (A11 −A12A−122 A21)
×[
(A11 −A12A−122 A21)
−1 −(A11 −A12A−122 A21)
−1A12A−122
]
×
Fi√λiNf,i
Pi|i−1
[HTi 0
]
(Ri +HiPi|i−1HTi ) 0
0 I
−1
×(
zi
0
−
Hi
0
xi|i−1
)(5.93)
ou
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 82
xi+1|i =[I −A12A
−122
]
Fi√λiNf,i
xi|i−1 +[I −A12A
−122
]
×
Fi√λiNf,i
Pi|i−1
[HTi 0
]
(Ri +HiPi|i−1HTi ) 0
0 I
−1
×(
zi
0
−
Hi
0
xi|i−1
). (5.94)
Termo
A12A−122 = (
√λiFiPi|i−1N
Tf,i −
√λiFiPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1N
Tf,i)
× (I + λiNf,iPi|i−1NTf,i − λiNf,iPi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1N
Tf,i)
−1
=√λiFi(Pi|i−1 − Pi|i−1H
Ti (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1)N
Tf,i
× (I + λiNf,i(Pi|i−1 − Pi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1)N
Tf,i)
−1
=√λiFi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1NTf,i(I + λiNf,i(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi)
−1NTf,i)
−1
=√λiFi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi + λiN
Tf,iNf,i)
−1NTf,i. (5.95)
Assim
xi+1|i =[I −
√λiFi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi + λiN
Tf,iNf,i)
−1NTf,i
]
×
Fi√λiNf,i
xi|i−1 +[I −
√λiFi(P
−1i|i−1
+HTi R
−1i Hi + λiN
Tf,iNf,i)
−1NTf,i
]
×
Fi√λiNf,i
Pi|i−1
[HTi 0
]
(Ri +HiPi|i−1HTi ) 0
0 I
−1
×(
zi
0
−
Hi
0
xi|i−1
), (5.96)
entao
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 83
xi+1|i = Fi
(I − λi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi + λiN
Tf,iNf,i)
−1NTf,iNf,i
)xi|i−1
+ Fi
(I − λi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi + λiN
Tf,iNf,i)
−1NTf,iNf,i
)
× Pi|i−1
[HTi 0
]
(Ri +HiPi|i−1HTi ) 0
0 I
−1(
zi
0
−
Hi
0
xi|i−1
)
(5.97)
ou
xi+1|i = Fi
(I − λi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi + λiN
Tf,iNf,i)
−1NTf,iNf,i
)xi|i−1
+ Fi
(I − λi(P
−1i|i−1 +HT
i R−1i Hi + λiN
Tf,iNf,i)
−1NTf,iNf,i
)
× Pi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1(zi −Hixi|i−1). (5.98)
Como P−1i|i = P−1
i|i−1 +HTi R
−1i Hi e Pi|i = (P−1
i|i + λiNTf,iNf,i)
−1, entao
xi+1|i = Fi
(I − λiPi|iN
Tf,iNf,i
)xi|i−1 + Fi
(I − λiPi|iN
Tf,iNf,i
)
× Pi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1(zi −Hixi|i−1). (5.99)
Lembrando que Fc,i = Fi(I − λiPi|iNTf,iNf,i), entao
xi+1|i = Fc,ixi|i−1 + Fc,iPi|i−1HTi (Ri +HiPi|i−1H
Ti )−1(zi −Hixi|i−1). (5.100)
Comparando-se (5.100) com a expressao do filtro preditor robusto apresentado em
(SAYED (2001)) (Tabela 2), conclui-se que a diferenca entre ambas e que na Equacao
(5.100) a matriz de ponderacao Ri nao e corrigida em funcao das incertezas (veja
que em (SAYED (2001)), Ri e corrigida de acordo com a seguinte expressao Ri+1 =
Ri+1 − λ−1i Hi+1Mf,iM
Tf,iH
Ti+1).
5.2.3 Estimativa Preditora - Corretora Robusta Singular
A partir da deducao da estimativa preditora robusta singular, pode-se encontrar a
estimativa preditora-corretora robusta singular tambem.
Lema 5.2.1 A expressao para a estimativa preditora-corretora robusta para sistemas
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 84
singulares e dada por
Ei+1xi+1|i = Fixi|i. (5.101)
Prova: Explicitando-se o termo xi|i da Equacao (5.68) do Teorema 5.2.1, pode-se
expressar o termo xi|i da seguinte maneira
xi|i = xi|i−1 +[I 0
]
P−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi −F
Ti Q
−1i Ei+1
−ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
−1
×
(HTi R−1i Zi − (FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1)
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.102)
Aplicando-se o lema da inversao de blocos matriciais, resulta
xi|i = xi|i−1 +[A−1 +A−1B(D − CA−1B)−1CA−1 −A−1B(D − CA−1B)−1
]
×
(HTi R−1i Zi − (FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1)
ETi+1Q−1i Fixi|i−1
. (5.103)
Entao
xi|i = xi|i−1 +A−1(HTi R−1i Zi − (FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1)
+ A−1B(D − CA−1B)−1CA−1(HTi R−1i Zi − (FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1)
− A−1B(D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fixi|i−1. (5.104)
xi|i = xi|i−1 +A−1HTi R−1i Zi −A
−1(FTi Q−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1
+ A−1B(D − CA−1B)−1CA−1HTi R−1i Zi −A
−1B(D − CA−1B)−1CA−1
× (FTi Q−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1 −A
−1B(D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fixi|i−1.
(5.105)
xi|i =(I −A−1(FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)−A
−1B(D − CA−1B)−1CA−1(FTi Q−1i Fi
+ HTi R−1i Hi)−A
−1B(D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi
)xi|i−1
+ A−1(I +B(D − CA−1B)−1CA−1
)HTi R
−1i Zi. (5.106)
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 85
xi|i = A−1(A− (FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)−B(D − CA−1B)−1CA−1(FTi Q
−1i Fi
+ HTi R−1i Hi)−B(D − CA−1B)−1ETi+1Q
−1i Fi
)xi|i−1
+ A−1(I +B(D − CA−1B)−1CA−1
)HTi R
−1i Zi. (5.107)
xi|i = A−1(P−1i|i−1 − F
Ti Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1(FTi Q−1i Fi
+ HTi R−1i Hi) + FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i Fi
)xi|i−1
+ A−1(I + FTi Q
−1i Ei+1(D −CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)HTi R
−1i Zi. (5.108)
xi|i = A−1
(P−1i|i−1 + FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i Fi
(I −A−1(FTi Q
−1i Fi
+ HTi R−1i Hi
))xi|i−1 +A−1
(I + FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)
× HTi R−1i Zi. (5.109)
xi|i = A−1
(P−1i|i−1 + FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1P−1i|i−1
)xi|i−1
+ A−1(I + FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)HTi R
−1i Zi. (5.110)
xi|i = A−1
(I + FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1
)P−1i|i−1xi|i−1
+ A−1(I + FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)HTi R
−1i Zi. (5.111)
Assim
xi|i−1 = Pi|i−1
(A−1 +A−1FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1
)−1
xi|i
− Pi|i−1HTi R
−1i Zi. (5.112)
A expressao da estimativa preditora robusta encontrada na Equacao (5.71) pode ser
escrita como
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)
−1
× (HTi R−1i Zi − (FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1)
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fixi|i−1, (5.113)
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 86
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)
−1
× HTi R−1i Zi − (D − CA−1B)−1ETi+1Q
−1i Fi(P
−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi
+ HTi R−1i Hi)
−1(FTi Q−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)xi|i−1
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fixi|i−1. (5.114)
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi
(I − (P−1
i|i−1 + FTi Q−1i Fi
+ HTi R−1i Hi)
−1(FTi Q−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi
)xi|i−1
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)
−1HTi R−1i Zi
(5.115)
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)
−1P−1i|i−1xi|i−1
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)
−1HTi R−1i Zi.
(5.116)
Substituindo-se xi|i−1, Equacao (5.112), na Equacao (5.116), obtem-se
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1
+ FTi Q−1i Fi
+ HTi R−1i Hi)
−1P−1i|i−1
(Pi|i−1
(A−1 +A−1FTi Q
−1i Ei+1(D
− CA−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)−1
xi|i − Pi|i−1HTi R
−1i Zi
)
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)
−1HTi R−1i Zi
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)
−1
×(A−1 +A−1FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)−1
xi|i
− (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)
−1HTi R−1i Zi
+ (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi(P
−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + H
Ti R
−1i Hi)
−1HTi R−1i Zi
CAPITULO 5. ESTIMATIVA PREDITORA PARA SISTEMAS SINGULARES 87
xi+1|i = (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1
×(A−1 +A−1FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1ETi+1Q−1i FiA
−1)−1
xi|i
= (D − CA−1B)−1ETi+1Q−1i Fi
(I +A−1FTi Q
−1i Ei+1(D − CA
−1B)−1
× ETi+1Q−1i Fi
)−1xi|i
=(D − CA−1B + ETi+1Q
−1i FiA
−1FTi Q−1i Ei+1
)−1ETi+1Q
−1i Fixi|i
xi+1|i =(ETi+1Q
−1i Ei+1 − E
Ti+1Q
−1i FiA
−1FTi Q−1i Ei+1
+ ETi+1Q−1i FiA
−1FTi Q−1i Ei+1
)−1ETi+1Q
−1i Fixi|i
xi+1|i =(ETi+1Q
−1i Ei+1
)−1ETi+1Q
−1i Fixi|i. (5.117)
�
Como Ei+1 tem posto coluna pleno, entao
ETi+1Q−1i
(Ei+1xi+1|i − Fixi|i
)= 0, (5.118)
consequentemente
Ei+1xi+1|i = Fixi|i. (5.119)
Capıtulo 6
Matriz de Variancias para
Sistemas Singulares
Este capıtulo demonstra que as matrizes Pi+1|i+1 do Teorema 4.2.1 do Capıtulo
3, Pi+1|i do Teorema 5.2.1 do Capıtulo 4, e Pi+1|i+1 do Teorema 3.2.1 do Capıtulo
3, sao as matrizes das variancias dos erros das estimativas filtrada robusta singular,
estimativa preditora robusta singular e estimativa filtrada robusta no espaco de estados,
respectivamente.
6.1 Variancia do Erro da Estimativa Otima
Considere o seguinte lema (YU et al. (1995), sem prova).
Lema 6.1.1 Considere a estimativa de maxima verossimilhanca (ML) do vetor x base-
ado no vetor de medidas z
z = Hx+ v (6.1)
sendo v um vetor gaussiano com media zero e covariancia V . Supondo que a matriz H
tenha posto coluna pleno e[V H
]tenha posto linha pleno, entao a estimativa ML
x de x baseada nas medicoes z e dada por
λ
x
=
V H
HT 0
−1
z
0
(6.2)
88
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 89
sendo λ um vetor multiplicador de Lagrange e x = x− x o erro de estimativa dado por
λ
x
=
V H
HT 0
−1
v
0
. (6.3)
Alem disto com
V H
HT 0
−1
=
R U
UT T
(6.4)
obtem-se
E
{
λ
x
λ
x
T}
=
R 0
0 −T
. (6.5)
Em particular, quando V e invertıvel,
E{xxT } =(HTV −1H
)−1e (6.6)
E{λλT } = (I − V −1H(HTV −1H)−1HT )2V −1. (6.7)
Prova: Substituindo-se x por x+ x na Equacao (6.2), obtem-se
V H
HT 0
λ
x+ x
=
z
0
. (6.8)
Assim
V H
HT 0
λ
x
=
z
0
−
V H
HT 0
0
x
=
z
0
−
Hx
0
=
z −Hx
0
, (6.9)
portanto
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 90
V H
HT 0
λ
x
=
v
0
(6.10)
ou
λ
x
=
V H
HT 0
−1
v
0
. (6.11)
Substituindo-se (6.4) em (6.11), obtem-se
λ
x
=
R U
UT T
I
0
v
=
R
UT
v. (6.12)
Assim
E
{
λ
x
λ
x
T}
=
R
UT
E{vvT }[RT U
]
=
R
UT
V[RT U
]
=
RV RT RV U
UTV RT UTV U
. (6.13)
De acordo com (6.4), vale a seguinte expressao
V H
HT 0
R U
UT T
=
I 0
0 I
, (6.14)
entao
HTR = 0 (6.15)
V U +HT = 0 (6.16)
V R+HUT = I (6.17)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 91
HTU = I. (6.18)
1. Pre-multiplicando-se (6.17) por RT , obtem-se
RTV R+RTHUT = RT . (6.19)
De acordo com (6.15), RTH = 0, entao
RTV R = RT , ou (6.20)
RV RT = R. (6.21)
2. Fazendo-se a transposta de (6.17), obtem-se
RTV + UHT = I. (6.22)
Pos-multiplicando-se os termos da Equacao (6.22) por U , resulta em
RTV U + UHTU = U. (6.23)
De acordo com a Equacao (6.18), HTU = I, portanto
RTV U = 0. (6.24)
Pos-multiplicando-se a Equacao (6.22) por R, obtem-se
RTV R+ UHTR = R. (6.25)
Da Equacao (6.15), tem-se que HTR = 0, portanto
RTV R = R = RT . (6.26)
Assim pode-se concluir que
RTV U = RV U = 0. (6.27)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 92
3. Pre-multiplicando-se a Equacao (6.16) por UT , obtem-se
UTV U + UTHT = 0. (6.28)
Transpondo-se a equacao (6.28), encontra-se
UTV U + T THTU = 0, (6.29)
da equacao (6.18), segue que HTU = I, portanto
UTV U + T = 0
UTV U = −T. (6.30)
Pode-se concluir portanto, que
E
{
λ
x
λ
x
T}
=
R 0
0 −T
. (6.31)
Este resultado mostra que λ e x sao vetores Gaussianos independentes com media zero
e matrizes de variancias R e −T respectivamente. Supondo que V seja invertıvel e
usando-se o lema da inversao de blocos matriciais para inverter a matriz
V H
HT 0
,
obtem-se
V H
HT 0
−1
=
V −1 − V −1H(HTV −1H)−1HTV −1 V −1H(HTV −1H)−1
(HTV −1H)−1HTV −1 −(HTV −1H)−1
. (6.32)
Assim
λ
x
=
V −1 − V −1H(HTV −1H)−1HTV −1 V −1H(HTV −1H)−1
(HTV −1H)−1HTV −1 −(HTV −1H)−1
v
0
=
V −1 − V −1H(HTV −1H)−1HTV −1
(HTV −1H)−1HTV −1
v
(6.33)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 93
e
E
{
λ
x
λ
x
T}
=
V −1 − V −1H(HTV −1H)−1HTV −1
(HTV −1H)−1HTV −1
E(vvT )
[V −1 − V −1H(HTV −1H)−1HTV −1 V −1H(HTV −1H)−1
]. (6.34)
Entao
E{λλT } = (I − V −1H(HTV −1H)−1HT )2V −1 e (6.35)
E{xxT } = (HTV −1H)−1. (6.36)
�
6.2 Variancia da Estimativa Otima Determinıstica
Lema 6.2.1 Considere o seguinte sistema linear
z = Hx+ v (6.37)
sendo E(vvT ) = V . Suponha que apos um experimento obteve-se uma medida z. Seja
a seguinte estimativa determinıstica
x := minx‖z −Hx‖2V −1 . (6.38)
Tem-se que
x = (HTV −1H)−1HTV −1z. (6.39)
O erro de estimativa e dado por
x = x− x = (HTV −1H)−1HTV −1v (6.40)
e a variancia do erro e dada por
P = E(xxT ) = (HTV −1H)−1. (6.41)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 94
Prova: Considere o funcional relacionado com o problema de minimizacao (6.38)
J = ‖z −Hx‖2V −1. (6.42)
O valor otimo de x e dado por
x = (HTV −1H)−1HTV −1z. (6.43)
Com esta expressao, pode-se calcular a variancia do erro de estimativa, que e dada por
P = E(xxT ), assim
x = (HTV −1H)−1HTV −1z
= (HTV −1H)−1HTV −1(Hx+ v)
= x+ (HTV −1H)−1HTV −1v
x− x = (HTV −1H)−1HTV −1v
x = (HTV −1H)−1HTV −1v. (6.44)
Entao
P = (HTV −1H)−1HTV −1E(vvT )V −1H(HTV −1H)−1
P = (HTV −1H)−1. (6.45)
�
Lema 6.2.2 Suponha que W ≥ 0, entao as seguintes sentencas sao equivalentes
i - x ∈ argminx(Ax− b)TW (Ax− b),
ii - x = x e uma solucao de ATWAx = ATWb,
iii - (x, λ, γ) = (x, λ, γ) e uma solucao de
0 I
I W
A
0
[AT 0
]0
γ
λ
x
=
b
0
0
. (6.46)
Alem disso, para a estimativa x obtida por qualquer um dos ıtens acima tem-se
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 95
que a variancia do erro e dada por
P = E(xxT ) = (ATWA)−1. (6.47)
Prova: (i)⇒ (ii) Define-se
J = (Ax− b)TW (Ax− b)
= xTATWAx− 2xTATWb+ bTWb (6.48)
entao1
2DxJ = ATWAx−ATWb, (6.49)
portanto se x = x e um ponto de mınimo de J , deve-se ter DxJ = 0, ou
ATWAx = ATWb, (6.50)
resultando em
x = (ATWA)−1ATWb. (6.51)
(ii)⇒ (i) Como W ≥ 0, tem-se
D2xJ = ATWA ≥ 0. (6.52)
Assim se x satisfaz ATWAx = ATWb, x e um ponto de mınimo de J .
(ii)⇒ (iii) Definem-se as variaveis auxiliares
λ := b−Ax
γ := −Wλ. (6.53)
Como ATW (b−Ax) = 0, obtem-se
Ax+ λ := b
γ +Wλ := 0
ATγ = 0 (6.54)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 96
ou
0 I A
I W 0
AT 0 0
γ
λ
x
=
b
0
0
. (6.55)
(iii)⇒ (ii)
0 I A
I W 0
AT 0 0
γ
λ
x
=
b
0
0
⇔
λ+Ax = b
γ +Wλ = 0⇒ γ = −Wλ = W (Ax− b)
AT γ = 0
De γ = W (Ax− b) tem-se ATγ = ATW (Ax− b) ⇒ 0 = ATW (Ax − b) ⇒ ATWAx =
ATWb.
(iv) - A partir do Lema 6.1.1, pode-se calcular a matriz de variancia do vetor x na
Equacao (6.55), da seguinte maneira: Seja a matriz de coeficientes da Equacao (6.55)
particionada da seguinte forma:
0 I A
I W 0
AT 0 0
=
0 I | A
I W | 0
−− −− −− −−
AT 0 | 0
. (6.56)
Identificando-se V =
0 I
I W
, H =
A
0
, HT =[AT 0
], pode-se constatar
que de acordo com o Lema 6.1.1, a matriz de variancia de x na Equacao (6.55) e dada
por
P = E(xxT ) =
([AT 0
]
0 I
I W
−1
A
0
)−1
. (6.57)
Considerando-se que
0 I
I W
−1
=
−W I
I 0
, entao
P =
(−[AT 0
]
−W I
I 0
A
0
)−1
= (ATWA)−1. (6.58)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 97
�
6.3 Aplicacao as Estimativas Robustas Singulares
Lema 6.3.1 As seguintes sentencas sao equivalentes:
i -
x ∈ arg.minx
max{δA,δb}
{xTQx + [(A+ δA)x − (b+ δb)]TW [(A+ δA)x
− (b+ δb)]} (6.59)
sendo[δA δb
]= H∆
[Ea Eb
], ‖∆‖ ≤ 1;
ii -
x ∈ arg.minx
{xTQx +
(
A
Ea
x−
b
Eb
)T
W 0
0 λI
(.
)};(6.60)
iii -
x ∈ arg.minx
{(
I
A+ δA
x −
0
b+ δb
)T
Q 0
0 W
(.
)}(6.61)
sendo[δA δb
]= H∆
[Ea Eb
], ‖∆‖ ≤ 1;
iv -
x ∈ arg.minx
{(
I
A
Ea
x−
0
b
Eb
)T
Q 0 0
0 W 0
0 0 λI
(.
)}; (6.62)
v - (x, λ, γ) = (x, λ, γ) e uma solucao de
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 98
0 0 0 | I 0 0 | I
0 0 0 | 0 I 0 | A
0 0 0 | 0 0 I | Ea
−− −− −− −− −− −− −− −− −−
I 0 0 | Q 0 0 | 0
0 I 0 | 0 W 0 | 0
0 0 I | 0 0 λI | 0
−− −− −− −− −− −− −− −− −−
I AT ETa | 0 0 0 | 0
γ1
γ2
γ3
−−
λ1
λ2
λ3
−−
x
=
0
b
Eb
−−
0
0
0
−−
0
.(6.63)
Alem disto, para a estimativa obtida por qualquer dos itens acima, a covariancia do
erro e dada por
P = E(xxT ) =
(Q+AT WA+ λETa Ea
)−1
. (6.64)
Prova: De SAYED (2001), sabe-se que
(i)⇔ (ii) x = (Q+AT WA)−1(AT Wb+ λETa Eb) ou
x = (Q+ λETa Ea +AT WA)−1(AT W b+ λETa Eb) (6.65)
que na forma de blocos matriciais pode ser escrita como
x =
(Q+
[AT ET
a
]
W 0
0 λI
A
Ea
)−1 [
AT ETa
]
W 0
0 λI
b
Eb
.
(6.66)
De maneira compacta
x = (Q+ AT W A)−1AT W b, (6.67)
sendo A =
A
Ea
, b =
b
Eb
e W =
W 0
0 λI
. Assim
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 99
x =
([I AT
]
Q 0
0 W
I
A
)−1 [
I AT]
Q 0
0 W
0
b
. (6.68)
Usando-se o Lema 6.2.2 na Equacao (6.68), obtem-se
x ∈ arg.minx
{(
I
A
x−
0
b
)T
Q 0
0 W
(
I
A
x−
0
b
)}
= x ∈ arg.minx{xTQx+ (Ax− b)T W (Ax− b)}. (6.69)
(ii) ⇒ (v) Substituindo-se as matrizes da Equacao (6.69) na Equacao (6.55), com as
identificacoes
A←
I
A
, b←
0
b
e W ←
Q 0
0 W
, obtem-se
0 I
I
A
I
Q 0
0 W
0
I
A
T
0 0
γ
λ
x
=
0
b
0
0
(6.70)
ou
0 0 0 | I 0 0 | I
0 0 0 | 0 I 0 | A
0 0 0 | 0 0 I | Ea
−− −− −− −− −− −− −− −− −−
I 0 0 | Q 0 0 | 0
0 I 0 | 0 W 0 | 0
0 0 I | 0 0 λI | 0
−− −− −− −− −− −− −− −− −−
I AT ETa | 0 0 0 | 0
γ1
γ2
γ3
−−
λ1
λ2
λ3
−−
x
=
0
b
Eb
−−
0
0
0
−−
0
. (6.71)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 100
(iii)⇒ (i) - Basta desfazer a formulacao matricial de (iii);
(iv) ⇒ (ii) - Basta desfazer a formulacao matricial de (iv). Com o resultado obtido
em (6.58), pode-se encontrar a matriz de variancia do erro a partir da Equacao (6.71),
fazendo-se as equivalencias
A←
I
A
Ea
e W ←
Q 0 0
0 W 0
0 0 λI
, assim
P =
([I AT ETa
]
Q 0 0
0 W 0
0 0 λI
I
A
Ea
)−1
P =
(Q+AT WA+ λETa Ea
)−1
. (6.72)
�
6.3.1 Aplicacao a Estimativa Filtrada Robusta Singular
Lema 6.3.2 Seja
xi|i+1 − xi|i
xi+1|i+1
solucao do problema de otimizacao
min{xi,xi+1}
max{δEi+1,δFi,δHi+1}
[(xi − xi|i)TP−1
i|i (xi − xi|i)
+
(zi+1 − (Hi+1 + δHi+1)xi+1
)T
R−1
i+1
(zi+1 − (Hi+1 + δHi+1)xi+1
)
+
((Ei+1 + δEi+1)xi+1 − (Fi + δFi)xi
)T
Q−1
i
((Ei+1 + δEi+1)xi+1 − (Fi + δFi)xi
)],
(6.73)
que pode ser escrito na forma de blocos matriciais como
xi − xi|i
xi+1
T
P−1
i|i 0
0 0
xi − xi|i
xi+1
+
((
Fi Ei+1
0 Hi+1
+
δFi δEi+1
0 δHi+1
)
xi − xi|i
xi+1
−(
Fixi|i
zi+1
+
δFixi|i
0
))T
Q−1
i 0
0 R−1
i+1
(.
). (6.74)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 101
Com[δFi δEi+1
]= Mf,i∆1,i
[Nf,i Ne,i+1
]e δHi = Mh,i∆2,iNh,i.
Tem-se que x =
xi|i+1 − xi|i
xi+1|i+1
e a estimativa ML para o seguinte sistema linear
0 0 0 | I 0 0 | I
0 0 0 | 0 I 0 | A
0 0 0 | 0 0 I | Ea
−− −− −− −− −− −− −− −− −−
I 0 0 | Q 0 0 | 0
0 I 0 | 0 W 0 | 0
0 0 I | 0 0 λI | 0
−− −− −− −− −− −− −− −− −−
I AT ETa | 0 0 0 | 0
γ1
γ2
γ3
−−
λ1
λ2
λ3
−−
x
=
0
b
Eb
−−
0
0
0
−−
0
(6.75)
sendo Q =
P−1i|i 0
0 0
, A =
Fi Ei+1
0 Hi+1
, W =
Q−1i 0
0 R−1i+1
e
Ea =
Nf,i Ne,i+1
0 Nh,i+1
e a variancia do erro de estimativa e dada por
P =
(ETi+1(Qi + FiPi|iF
Ti )−1Ei+1 + HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1
. (6.76)
Prova: Como Q =
P−1i|i 0
0 0
, A =
Fi Ei+1
0 Hi+1
, W =
Q−1i 0
0 R−1i+1
e
Ea =
Nf,i Ne,i+1
0 Nh,i+1
, entao substituindo-se estes valores na Equacao (6.72), obtem-
se
P =
(
P−1i|i 0
0 0
+
F Ti 0
ETi+1 HTi+1
Q−1i 0
0 R−1i+1
Fi Ei+1
0 Hi+1
+ λi
NTf,i 0
NTe,i+1 NT
h,i+1
Nf,i Ne,i+1
0 Nh,i+1
)−1
(6.77)
resultando em
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 102
P =
(
P−1i|i 0
0 0
+
FTi Q
−1i Fi FTi Q
−1i Ei+1
ETi+1Q−1i Fi E
Ti+1Q
−1i Ei+1 + HT
i+1R−1i+1Hi+1
)−1
,
(6.78)
sendo Ei+1 =
Ei+1√λiNe,i+1
, Fi =
Fi√λiNf,i
, Hi+1 =
Hi+1√λiNh,i+1
, Ri+1 =
Ri+1 0
0 I
e Qi =
Qi 0
0 I
. Assim
P =
P−1i|i + FTi Q
−1i Fi FTi Q
−1i Ei+1
ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1 + HT
i+1R−1i+1Hi+1
−1
. (6.79)
Esta expressao representa a matriz de variancias para o vetor
xi|i+1 − xi|i
xi+1|i+1
. A
variancia do erro da estimativa filtrada, Pi+1|i+1, e dada pela expressao do bloco ma-
tricial P22 da inversa de P . Assim, admitindo-se que P−1i|i + FTi Q
−1i Fi seja invertıvel e
usando-se o Lema A.1.4, da inversao de blocos matriciais, tem-se
Pi+1|i+1 = (D − CA−1B)−1
=
(ET
i+1Q−1
i Ei+1 + HTi+1R
−1
i+1Hi+1 − E
Ti+1Q
−1
i Fi(P−1
i|i + FTi Q
−1
i Fi)−1FT
i Q−1
i Ei+1
)−1
=
(ET
i+1(Qi + FiPi|iFTi )−1Ei+1 + HT
i+1Ri+1Hi+1
)−1
, (6.80)
que e a mesma expressao encontrada em (4.41) do Teorema 4.2.1. �
6.3.2 Aplicacao a Estimativa Preditora Robusta Singular
Lema 6.3.3 Seja
xi|i−1 − xi|i
xi+1|i
solucao do problema de otimizacao
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 103
min{xi, xi+1}
max{δEi+1, δFi, δHi}
[(xi|i−1 − xi)TP−1
i|i−1(xi|i−1 − xi)
+
(zi − (Hi + δHi)xi
)T
R−1
i
(zi − (Hi + δHi)xi
)
+
((Ei+1 + δEi+1)xi+1 − (Fi + δFi)xi
)T
Q−1
i
((Ei+1 + δEi+1)xi+1 − (Fi + δFi)xi
)],
(6.81)
que pode ser escrito na forma de blocos matriciais como
xi|i−1 − xi
xi+1
T
P−1i|i−1 0
0 0
xi|i−1 − xi
xi+1
+
((
Fi Ei+1
Hi 0
+
δFi δEi+1
δHi 0
)
xi|i−1 − xi
xi+1
−(
Fixi|i−1
Hixi|i−1 − zi
+
δFixi|i−1
δHixi|i−1
))T
Q−1i 0
0 R−1i
(.
).
(6.82)
Com[δFi δEi+1
]= Mf,i∆1,i
[Nf,i Ne,i+1
]e δHi = Mh,i∆2,iNh,i.
Tem-se que x =
xi|i−1 − xi|i
xi+1|i
e a estimativa ML para o seguinte sistema linear
0 0 0 | I 0 0 | I
0 0 0 | 0 I 0 | A
0 0 0 | 0 0 I | Ea
−− −− −− −− −− −− −− −− −−
I 0 0 | Q 0 0 | 0
0 I 0 | 0 W 0 | 0
0 0 I | 0 0 λI | 0
−− −− −− −− −− −− −− −− −−
I AT ETa | 0 0 0 | 0
γ1
γ2
γ3
−−
λ1
λ2
λ3
−−
x
=
0
b
Eb
−−
0
0
0
−−
0
(6.83)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 104
sendo Q =
P−1i|i−1 0
0 0
, A =
Fi Ei+1
Hi 0
, W =
Q−1i 0
0 R−1i
e
Ea =
Nf,i Ne,i+1
Nh,i 0
e a variancia do erro de estimativa e dada por
P =
(ET
i+1(Qi + FiPi|i−1FTi − FiPi|i−1H
Ti (Ri + HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti )−1Ei+1
)−1
.
(6.84)
Prova: Como Q =
P−1i|i−1 0
0 0
, A =
Fi Ei+1
Hi 0
, W =
Q−1i 0
0 R−1i
e
Ea =
Nf,i Ne,i+1
Nh,i 0
, entao substituindo-se estes valores na Equacao (6.72) obtem-se
P =
(
P−1i|i−1 0
0 0
+
F Ti HTi
ETi+1 0
Q−1i 0
0 R−1i
Fi Ei+1
Hi 0
+ λi
NTf,i NT
h,i
NTe,i+1 0
Nf,i Ne,i+1
Nh,i 0
)−1
=
(
P−1i|i−1 0
0 0
+
FTi Q
−1i Fi + HT
i R−1i Hi FTi Q
−1i Ei+1
ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
)−1
, (6.85)
sendo Ei+1 =
Ei+1√λiNe,i+1
, Fi =
Fi√λiNf,i
, Hi =
Hi√λiNh,i
,
Ri =
Ri 0
0 I
e Qi =
Qi 0
0 I
. Assim
P =
P−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + HT
i R−1i Hi FTi Q
−1i Ei+1
ETi+1Q−1i Fi ETi+1Q
−1i Ei+1
−1
. (6.86)
Esta expressao representa a matriz de variancias para o vetor
xi|i−1 − xi|i
xi+1|i
. A
variancia do erro da estimativa preditora, xi+1|i, e dada pela expressao do bloco matri-
cial P22 da inversa de P . Assim, admitindo-se que P−1i|i−1 + FTi Q
−1i Fi + HT
i R−1i Hi seja
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 105
invertıvel e usando-se o Lema A.1.4, da inversao de blocos matriciais, obtem-se
Pxi+1|i= (D − CA−1B)−1
=
(ET
i+1Q−1
i Ei+1 − ETi+1Q
−1
i Fi(P−1
i|i−1+ FT
i Q−1
i Fi + HTi R
−1
i Hi)−1FT
i Q−1
i Ei+1
)−1
=
(ET
i+1(Qi + FiPi|i−1FTi − FiPi|i−1H
Ti (Ri + HiPi|i−1H
Ti )−1HiPi|i−1F
Ti )−1Ei+1
)−1
(6.87)
ou
Pi+1|i =
(
Ei+1
0
T
Qi + FiPi|i−1FTi −FiPi|i−1H
Ti
−HiPi|i−1FTi Ri + HiPi|i−1H
Ti
−1
Ei+1
0
)−1
,
(6.88)
que e igual a Equacao (5.57) do Teorema 5.2.1. �
6.4 Variancia do Erro de Estimativa do Filtro BDU
Lema 6.4.1 Seja
xi|i+1
ui+1|i
solucao do problema de otimizacao
min{xi, ui}
max{δFi, δGi}
[(xi − xi|i)TP−1
i|i (xi − xi|i) + uTi Q−1i ui
+ (zi+1 −Hi+1xi+1)TR−1
i+1(zi+1 −Hi+1xi+1)]. (6.89)
A matriz de variancia do erro de estimativa do vetor
xi|i+1
ui+1|i
e dada por
P = E
{
xi|i+1
ui|i+1
xi|i+1
ui|i+1
T}
=
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
−
Pi|iFTi H
Ti+1 − λiPi|iE
Tf,iEg,iQiG
Ti H
Ti+1
QiGTi H
Ti+1
R−1e,i+1
×[
(Hi+1FiPi|i − λiHi+1GiQiETg,iEf,iPi|i) Hi+1GiQi
], (6.90)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 106
sendo
xi|i+1
ui|i+1
=
xi − xi|i
ui
−
xi|i+1 − xi|i
ui|i+1
. Considerando
xi+1|i+1 = Fixi|i+1 +Giui|i+1, (6.91)
a variancia do erro de estimativa do filtro e dada por
Pi+1|i+1 := E(xi+1|i+1xTi+1|i+1) = Pi+1|i − Pi+1|iH
Ti+1R
−1e,i+1Hi+1Pi+1|i, (6.92)
sendo
xi+1|i+1 = xi+1 − xi+1|i+1,
Pi+1|i = FiPi|iFTi + GiQiG
Ti ,
Pi|i = (P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i)
−1,
Qi = (Q−1i + λiE
Tg,i(I + λiEf,iPi|iE
Tf,i)
−1Eg,i)−1
Gi = Gi − λiFiPi|iETf,iEg,i, e
Re,i+1 = Ri+1 +Hi+1Pi+1HTi+1.
Prova: Seja a Equacao (6.64) do Lema 6.3.1:
P = E(xxT ) =
(Q+AT WA+ λETa Ea
)−1
. (6.93)
Usando-se as identificacoes
x ←
xi − xi|i
ui
A ← Hi+1
[Fi Gi
]
Q ←
P−1i|i 0
0 Q−1i
W ← R−1i+1 e
Ea ←[Ef,i Eg,i
]
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 107
na Equacao (6.92), obtem-se
P = E
{
xi|i+1
ui|i+1
xi|i+1
ui|i+1
T}
P =
(
P−1i|i 0
0 Q−1i
+
F Ti
GTi
HTi+1R
−1i+1Hi+1
[Fi Gi
]
+ λi
ETf,i
ETg,i
[Ef,i Eg,i
])−1
=
(
P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i λiE
Tf,iEg,i
λiETg,iEf,i Q−1
i + λiETg,iEg,i
+
F Ti
GTi
× HTi+1R
−1i+1Hi+1
[Fi Gi
])−1
. (6.94)
Usando-se o Lema A.1.3 da inversao de blocos matriciais, obtem-se:
P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i λiE
Tf,iEg,i
λiETg,iEf,i Q−1
i + λiETg,iEg,i
−1
=
=
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
. (6.95)
Sendo
Pi|i = (P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i)
−1 e
Qi = (Q−1i + λiE
Tg,iEg,i − λ
2iE
Tg,iEf,i(P
−1i|i + λiE
Tf,iEf,i)E
Tf,iEg,i)
−1 ou
Qi = (Q−1i + λiE
Tg,i(I + λiEf,iPi|iE
Tf,i)
−1Eg,i)−1.
Usando-se o Lema A.1.1 da inversao de matrizes sendo
A =
P−1i|i + λiE
Tf,iEf,i λiE
Tf,iEg,i
λiETg,iEf,i Q−1
i + λiETg,iEg,i
, B =
F Ti
GTi
HTi+1,
C = R−1i+1 e D = Hi+1
[Fi Gi
],
entao pode-se re-escrever a Equacao (6.94) como
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 108
P =
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
−
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
F Ti
GTi
HTi+1
(Ri+1
+ Hi+1
[Fi Gi
]
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
×
F Ti
GTi
HTi+1
)−1
Hi+1
[Fi Gi
]
×
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
. (6.96)
Sendo os termos de P explicitados a seguir:
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
FTi
GTi
HTi+1
=
Pi|iFTi H
Ti+1 + λ2
i Pi|iETf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|iF
Ti H
Ti+1 − λiPi|iE
Tf,iEg,iQiG
Ti H
Ti+1
−λiQiETg,iEf,iPi|iF
Ti H
Ti+1 + QiG
Ti H
Ti+1
=
Pi|iFTi H
Ti+1 − λiPi|iE
Tf,iEg,iQi(G
Ti − λiE
Tg,iEf,iPi|iF
Ti )HT
i+1
Qi(GTi − λiE
Tg,iEf,iPi|iF
Ti )HT
i+1
=
Pi|iFTi H
Ti+1 − λiPi|iE
Tf,iEg,iQiG
Ti H
Ti+1
QiGTi H
Ti+1
,
(6.97)
sendo Gi = Gi − λiFiPi|iETf,iEg,i.
Hi+1
[Fi Gi
]
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
=[
(Hi+1FiPi|i + λiHi+1GiQiETg,iEf,iPi|i) Hi+1GiQi
]. (6.98)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 109
(Ri+1 +Hi+1
[Fi Gi
]
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
×
FTi
GTi
HTi+1
)−1
=
(Ri+1 +
[(Hi+1FiPi|i − λiHi+1GiQiE
Tg,iEf,iPi|i) Hi+1GiQi
]
FTi
GTi
HTi+1
)−1
=
(Ri+1 +Hi+1FiPi|iF
Ti H
Ti+1 − λiHi+1GiQiE
Tg,iEf,iPi|iF
Ti H
Ti+1 +Hi+1GiQiG
Ti H
Ti+1
)−1
=
(Ri+1 +Hi+1FiPi|iF
Ti H
Ti+1 +Hi+1GiQi(G
Ti − λiE
Tg,iEf,iPi|iF
Ti )HT
i+1
)−1
=
(Ri+1 +Hi+1FiPi|iF
Ti H
Ti+1 +Hi+1GiQiG
Ti H
Ti+1
)−1
=
(Ri+1 +Hi+1(FiPi|iF
Ti + GiQiG
Ti )HT
i+1
)−1
=
(Ri+1 +Hi+1Pi+1H
Ti+1
)−1
= R−1
e,i+1, (6.99)
sendo Pi+1 = FiPi|iFTi + GiQiG
Ti . A Equacao (6.96) pode ser escrita entao como
P =
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
−
Pi|iFTi H
Ti+1 − λiPi|iE
Tf,iEg,iQiG
Ti H
Ti+1
QiGTi H
Ti+1
R−1e,i+1
×[
(Hi+1FiPi|i − λiHi+1GiQiETg,iEf,iPi|i) Hi+1GiQi
]. (6.100)
A partir da Equacao (6.91), pode-se encontrar a expressao da variancia do erro do
filtro, que e dada por
E(xi+1|i+1xTi+1|i+1) =
[Fi Gi
]E
{
xi|i+1
ui|i+1
xi|i+1
ui|i+1
T}
F Ti
GTi
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 110
=[Fi Gi
](
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
−
Pi|iFTi H
Ti+1 − λiPi|iE
Tf,iEg,iQiG
Ti H
Ti+1
QiGTi H
Ti+1
R−1e,i+1
×[
(Hi+1FiPi|i − λiHi+1GiQiETg,iEf,iPi|i) Hi+1GiQi
])
F Ti
GTi
=[Fi Gi
]
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
F Ti
GTi
−[Fi Gi
]
Pi|iFTi H
Ti+1 − λiPi|iE
Tf,iEg,iQiG
Ti H
Ti+1
QiGTi H
Ti+1
R−1e,i+1
×[
(Hi+1FiPi|i − λiHi+1GiQiETg,iEf,iPi|i) Hi+1GiQi
]
F Ti
GTi
. (6.101)
Sendo os termos da variancia simplificados da seguinte forma:
[Fi Gi
]
Pi|i + λ2i Pi|iE
Tf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|i −λiPi|iE
Tf,iEg,iQi
−λiQiETg,iEf,iPi|i Qi
F Ti
GTi
= FiPi|iFTi + λ2
iFiPi|iETf,iEg,iQiE
Tg,iEf,iPi|iF
Ti − λiGiQiE
Tg,iEf,iPi|iF
Ti
− λiFiPi|iETf,iEg,iQiG
Ti +GiQiG
Ti
= FiPi|iFTi − λi(Gi − λiFiPi|iE
Tf,iEg,i)QiE
Tg,iEf,iPi|iF
Ti
+ (Gi − λiFiPi|iETf,iEg,i)QiG
Ti
= FiPi|iFTi − λiGiQiE
Tg,iEf,iPi|iF
Ti + GiQiG
Ti
= FiPi|iFTi + GiQi(G
Ti − λiE
Tg,iEf,iPi|iF
Ti )
= FiPi|iFTi + GiQiG
Ti
= Pi+1|i. (6.102)
CAPITULO 6. MATRIZ DE VARIANCIAS PARA SISTEMAS SINGULARES 111
[Fi Gi
]
Pi|iFTi H
Ti+1 − λiPi|iE
Tf,iEg,iQiG
Ti H
Ti+1
QiGTi H
Ti+1
= FiPi|iFTi H
Ti+1 − λiFiPi|iE
Tf,iEg,iQiG
Ti H
Ti+1 +GiQiG
Ti H
Ti+1
= FiPi|iFTi H
Ti+1 + (Gi − λiFiPi|iE
Tf,iEg,i)QiG
Ti H
Ti+1
= FiPi|iFTi H
Ti+1 + GiQiG
Ti H
Ti+1
= (FiPi|iFTi + GiQiG
Ti )HT
i+1
= Pi+1|iHTi+1. (6.103)
Assim, pode-se re-escrever a Equacao (6.101) da seguinte forma
E(xi+1|i+1xTi+1|i+1) = Pi+1|i − Pi+1|iH
Ti+1R
−1e,i+1Hi+1Pi+1|i, (6.104)
que e a mesma encontrada pelo Teorema 3.2.1. �
Capıtulo 7
Conclusoes e Continuidade do
Estudo
Esta tese apresentou no capıtulo introdutorio, conceitos detalhados dos sistemas
chamados descritores ou singulares. O Capıtulo 2 mostrou uma deducao alternativa
determinıstica para as estimativas filtrada, preditora e preditora-corretora no espaco
de estados. Mostrou tambem a relacao que existe entre a equacao de Pi+1|i+1 e Pi+1|i.
Nos demais capıtulos foram deduzidos os algoritmos recursivos das estimativas fil-
trada, suavizadora e preditora para sistemas singulares no tempo discreto, inicialmente
sem a consideracao das incertezas e depois com a consideracao delas, usando somente
a abordagem determinıstica, com a utilizacao de funcionais apropriados.
Foi possıvel tambem concluir no Capıtulo 5, que as matrizes auxiliares Pi+1|i+1 e Pi+1|i
sao respectivamente, as matrizes de variancias do erro de estimativa da estimativa
filtrada e da estimativa preditora, tanto para o sistema com robustez, como para o
sistema sem robustez. Percebe-se tambem que para os sistemas singulares nao se pode
tirar uma relacao imediata entre as matrizes Pi+1|i+1 e Pi+1|i, como ocorre no estudo
de sistemas no espaco de estados.
Como propostas para trabalhos futuros, inclusive ja iniciados, sugere-se:
• A inclusao de uma matriz Gi e sua incerteza δGi, multiplicando o ruıdo de estado.
Esta inclusao ja foi feita no artigo (CAMPOS et al. (2004)) para sistemas sem
incertezas;
112
CAPITULO 7. CONCLUSOES E CONTINUIDADE DO ESTUDO 113
• O aprofundamento do estudo da estabilidade e da convergencia para o sistema com
incertezas. Neste trabalho a estabilidade foi verificada pela analise dos autovalores
do sistema e pela convergencia da curva das normas das matrizes Pi+1|i+1 e Pi+1|i,
conforme Teorema do artigo de (SOUZA et al. (1986);
• Inclusao das incertezas nos sistemas singulares discretos nao-lineares.
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114
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781.
Apendice A
Alguns Resultados da Analise
Matricial
A.1 Alguns Resultados de Analise Matricial
Este apendice apresenta formulas da teoria de matrizes retiradas principalmente
das referencias KAYLATH et al. (2000), e GANTMACHER (1959). Algumas demons-
tracoes destas expressoes aparecem nas referencias originais e outras foram deduzidas
nesta tese.
A.1.1 Lema da Inversao de Matrizes
Lema A.1.1 Se (A + BCD) e (I + CDA−1B) sao nao-singulares e se A e uma ma-
triz n × n e tambem nao-singular e se as matrizes B, C e D sao dimensionalmente
compatıveis, entao
(A+BCD)−1 = A−1 −A−1B(I + CDA−1B)−1CDA−1.
Se alem disto, C for invertıvel, entao
(A+BCD)−1 = A−1 −A−1B(C−1 +DA−1B)−1DA−1
117
APENDICE A. ALGUNS RESULTADOS DA ANALISE MATRICIAL 118
Prova: Seja a matriz
F := A+BCD. (A.1)
Pre-multiplicando esta expressao matricial por F−1:
F−1F = F−1A+ F−1BCD = I. (A.2)
Pos-multiplicando cada lado de (A.2) por A−1:
A−1 = F−1 + F−1BCDA−1
F−1BCDA−1 = A−1 − F−1. (A.3)
Pos-multiplicando cada lado de (A.3) por B:
F−1BCDA−1B = A−1B − F−1B (A.4)
ou
A−1B = F−1B(I + CDA−1B). (A.5)
Pos-multiplicando cada lado de (A.5) por (I + CDA−1B)−1:
A−1B(I + CDA−1B)−1 = F−1B. (A.6)
Pos-multiplicando cada lado de (A.6) por CDA−1:
A−1B(I + CDA−1B)−1CDA−1 = F−1BCDA−1. (A.7)
De acordo com (A.6):
A−1B(I + CDA−1B)−1CDA−1 = A−1 − F−1 (A.8)
entao
F−1 = A−1 −A−1B(I + CDA−1B)−1CDA−1 (A.9)
APENDICE A. ALGUNS RESULTADOS DA ANALISE MATRICIAL 119
e
(A+BCD)−1 = A−1 −A−1B(I + CDA−1B)−1CDA−1. (A.10)
Se a matriz C for invertıvel entao de acordo com a regra da inversa do produto de ma-
trizes o termo (I+CDA−1B)−1C de (A.10) pode ser expresso como (C−1+DA−1B)−1.
Entao obtem-se:
(A+BCD)−1 = A−1 −A−1B(C−1 +DA−1B)−1DA−1. (A.11)
�
Lema A.1.2 : Como consequencia direta do Lema A.1.1 tem-se que se A e C forem
invertıveis tem-se
(A+BC−1D)−1BC−1 = A−1B(C +DA−1B)−1 (A.12)
Prova:
(A+BC−1D)−1BC−1
= (A−1 −A−1B(C +DA−1B)−1DA−1)BC−1
= (A−1BC−1 −A−1B(C +DA−1B)−1DA−1BC−1)
= A−1B(C−1 − (C +DA−1B)−1DA−1BC−1)
= A−1B(C +DA−1B)−1. (A.13)
A.1.2 Lemas Auxiliares
Alguns destes lemas sao apresentados em KAYLATH et al. (2000) sem as com-
provacoes.
Lema A.1.3 : Para a matriz A invertıvel tem-se
A B
C D
−1
=
I −A−1B
0 I
A−1 0
0(D − CA−1B
)−1
I 0
−CA−1 I
(A.14)
APENDICE A. ALGUNS RESULTADOS DA ANALISE MATRICIAL 120
e para a matriz D invertıvel tem-se
A B
C D
−1
=
I 0
−D−1C I
(A−BD−1C)−1 0
0 D−1
I −BD−1
0 I
(A.15)
Prova: Seja M =
A B
C D
uma matriz que se deseja triangularizar atraves de um
procedimento de eliminacao de Gauss. Para tanto note que
=
I 0
X I
A B
C D
=
A B
XA+ C XB +D
. (A.16)
Escolhendo-se uma matriz X tal que X = −CA−1, entao
I 0
−CA−1 I
A B
C D
=
A B
0 D − CA−1B
, (A.17)
sendo D −CA−1B chamado de complemento de Schur de A em M . Do mesmo modo,
pode-se obter
A B
C D
I −A−1B
0 I
=
A 0
C D − CA−1B
. (A.18)
Usando-se o mesmo procedimento para D invertıvel, obtem-se
I −BD−1
0 I
A B
C D
=
A−BD−1C 0
C D
(A.19)
e
A B
C D
I 0
−D−1C I
=
A−BD−1C B
0 D
, (A.20)
sendo A−BD−1C chamado de complemento de Schur de D em M . Pre-multiplicando-
se a equacao (A.18) por
I 0
−CA−1 I
obtem-se
APENDICE A. ALGUNS RESULTADOS DA ANALISE MATRICIAL 121
I 0
−CA−1 I
A B
C D
I −A−1B
0 I
=
A 0
0 D − CA−1B
. (A.21)
Pos-multiplicando-se a equacao (A.20) por
I −BD−1
0 I
obtem-se
I −BD−1
0 I
A B
C D
I 0
−D−1C I
=
A−BD−1C 0
0 D
, (A.22)
assim de (A.21) resulta que
A B
C D
=
I 0
−CA−1 I
−1
A 0
0 D − CA−1B
I −A−1B
0 I
−1
, (A.23)
entao
A B
C D
−1
=
I −A−1B
0 I
A−1 0
0 (D − CA−1B)−1
I 0
−CA−1 I
(A.24)
para A invertıvel. Usando-se o mesmo procedimento chega-se a
A B
C D
−1
=
I 0
−D−1C I
(A−BD−1C)−1 0
0 D−1
I −BD−1
0 I
(A.25)
para D invertıvel. �
Lema A.1.4 : Como consequencia do Lema A.1.2, tem-se que a seguinte identidade
e valida para A invertıvel
A B
C D
−1
=
A−1 +A−1B
(D − CA−1B
)−1CA−1 −A−1B
(D − CA−1B
)−1
−(D − CA−1B
)−1CA−1
(D − CA−1B
)−1
.
(A.26)
APENDICE A. ALGUNS RESULTADOS DA ANALISE MATRICIAL 122
Como tambem a seguinte identidade e valida para D invertıvel :
A B
C D
−1
=
(A−BD−1C
)−1−(A−BD−1C
)−1BD−1
−D−1C(A−BD−1C
)−1D−1 +D−1C
(A−BD−1C
)−1BD−1
.
(A.27)
Prova: Usando-se a equacao (A.24) encontra-se
A B
C D
−1
=
A−1 +A−1B
(D − CA−1B
)−1CA−1 −A−1B
(D − CA−1B
)−1
−(D − CA−1B
)−1CA−1
(D − CA−1B
)−1
(A.28)
para A invertıvel e usando-se a equacao (A.25) encontra-se
A B
C D
−1
=
(A−BD−1C
)−1−(A−BD−1C
)−1BD−1
−D−1C(A−BD−1C
)−1D−1 +D−1C
(A−BD−1C
)−1BD−1
(A.29)
para D invertıvel. �
Lema A.1.5 Sejam R ∈ Rn×n uma matriz invertıvel e A ∈ R
n×p uma matriz de posto
coluna pleno. Neste caso, ATR−1A e invertıvel e a sua inversa pode ser calculada por
(ATR−1A
)−1= −
[Ip 0
]
0 AT
A R
−1
Ip
0
= −[0 Ip
]
R A
AT 0
−1
0
Ip
, (A.30)
tem-se ainda que
APENDICE A. ALGUNS RESULTADOS DA ANALISE MATRICIAL 123
(ATR−1A
)−1ATR−1 =
[Ip 0
]
0 AT
A R
−1
0
In
=[0 Ip
]
R A
AT 0
−1
In
0
(A.31)
e
R−1A(ATR−1A
)−1=[0 In
]
0 AT
A R
−1
Ip
0
=[In 0
]
R A
AT 0
−1
0
Ip
(A.32)
Prova: Como A tem posto coluna pleno, e imediato que ATR−1A seja invertıvel. Por
outro lado, pelo complemento de Schur, sabe-se que
rank
0 AT
A R
= rankR+ rank(−ATR−1A
)= n+ p
rank
R A
AT 0
= rankR+ rank(−ATR−1A
)= n+ p. (A.33)
Assim, as matrizes
0 AT
A R
e
R A
AT 0
sao invertıveis. Usando-se a equacao (A.27)
do Lema A.1.4 para a matriz D invertıvel e fazendo-se as identificacoes obvias tem-se
0 AT
A R
−1
=
(−ATR−1A
)−1 (ATR−1A
)−1ATR−1
R−1A(ATR−1A
)−1R−1 −R−1A
(ATR−1A
)−1ATR−1
(A.34)
sendo que ♯ indica que os termos, nas respectivas posicoes da matriz, nao sao import-
antes para a analise. Segue imediatamente que
(ATR−1A
)−1= −
[Ip 0
]
(−ATR−1A
)−1♯
♯ ♯
Ip0
= −[Ip 0
]
0 AT
A R
−1
Ip0
, (A.35)
APENDICE A. ALGUNS RESULTADOS DA ANALISE MATRICIAL 124
(ATR−1A
)−1ATR−1 =
[Ip 0
]
♯(ATR−1A
)−1ATR−1
♯ ♯
0
In
=[Ip 0
]
0 AT
A R
−1
0
In
(A.36)
e
R−1A(ATR−1A
)−1=
[0 In
]
♯ ♯
R−1A(ATR−1A
)−1♯
Ip
0
=[0 In
]
0 AT
A R
−1
Ip0
. (A.37)
Para A invertıvel e usando-se a Equacao (A.26) do Lema A.1.4 tem-se que
(ATR−1A
)−1= −
[0 Ip
]
♯ ♯
♯(−ATR−1A
)−1
0
Ip
= −[0 Ip
]
R A
AT 0
−1
0
Ip
, (A.38)
(ATR−1A
)−1ATR−1 =
[0 Ip
]
♯ ♯(ATR−1A
)−1ATR−1 ♯
In
0
=[0 Ip
]
R A
AT 0
−1
In0
(A.39)
e
R−1A(ATR−1A
)−1=
[In 0
]
♯ R−1A(ATR−1A
)−1
♯ ♯
0
Ip
=[In 0
]
R A
AT 0
−1
0
Ip
. (A.40)
�
Apendice B
Modelagem SVD para Sistemas
Singulares
Este apendice apresenta uma forma de se obter computacionalmente a solucao para
algumas classes de sistemas singulares. Considera-se especificamente o uso de decom-
posicao em valores singulares (SVD) da matriz E do sistema. Estes resultados foram
utilizados no exemplo numerico apresentado no Capıtulo 4.
Seja o sistema linear discreto estocastico descrito por:
Ei+1xi+1 = Fixi +Biui +Giwi
zi = Hixi + vi (B.1)
sendo xi o vetor de estados de dimensao n× 1 e zi o vetor de saıda de dimensao m× 1.
O vetor de entrada u e r × 1. Ei+1 e Fi sao matrizes com dimensoes n × n. B e uma
matriz n × r e Hi e uma matriz com dimensao m× n. wi e vi sao vetores de entrada
com dimensoes n× 1 e m× 1
Fazendo-se a transformacao SVD de Ei, a primeira equacao de (B.1), fica
USV Txi+1 = Fixi +Biui +Giwi
USV Txi+1 = FiV VTxi +Biui +Giwi. (B.2)
125
APENDICE B. MODELAGEM SVD PARA SISTEMAS SINGULARES 126
Definindo xi = V Txi, entao
USxi+1 = FiV xi +Biui +Giwi
Sxi+1 = UTFiV xi + UTBiui + UTGiwi. (B.3)
Esta equacao pode ser escrita na forma matricial como
Σ 0
0 0
x1,i+1
x2,i+1
=
F11 F12
F21 F22
x1,i
x2,i
+
B1
B2
ui +
G1
G2
wi,
(B.4)
ou
Σx1,i+1 = F11x1,i + F12x2,i +B1ui +G1wi
0 = F21x1,i + F22x2,i +B2ui +G2wi. (B.5)
Se detF22 6= 0, entao esta equacao fica reduzida a
x1,i+1 = Σ−1(F11 − F12F−122 F21)x1,i + Σ−1(B1 − F12F
−122 B2)ui
+ Σ−1(G1 − F12F−122 G2)wi. (B.6)
Quanto a equacao da medida
zi = HiV VTxi + vi
zi = HiV xi + vi, (B.7)
ou
zi = H1x1,i +H2x2,i + vi. (B.8)
Considere agora o caso onde as matrizes Ei+1 e Fi tem dimensoes m× n e o posto da
matriz Ei+1 e igual a n. A partir da equacao (B.4), tem-se
APENDICE B. MODELAGEM SVD PARA SISTEMAS SINGULARES 127
Σ
0
xi+1 =
F11
F21
xi +
B1
B2
ui +
G1
G2
wi,
(B.9)
sendo F21 uma matriz com posto linha pleno. Assim
xi+1 = Σ−1F11xi + Σ−1B1ui + Σ−1G1wi (B.10)
e
0 = F21xi +B2ui +G2wi. (B.11)
Quanto a equacao da medida, ela fica sendo a mesma,
zi = HV xi + vi. (B.12)