Download - ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ФИЗИКА ЧАСТЬ IV

Сухова Т.А., Суркаев А.Л.,

Кумыш М.М., Зубович С.О.

ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ФИЗИКА

ЧАСТЬ IV

МАГНЕТИЗМ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕГНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Т.А. Сухова, А.Л. Суркаев, М.М. Кумыш, С.О. Зубович


ФИЗИКА ЧАСТЬ IV

МАГНЕТИЗМ

Учебное пособие (для студентов технических вузов)

Волгоград 2013

УДК 53 (075.5)

Рецензенты:

зав. каф. “Общая физика ”филиала ФГБОУ ВПО “Национальный исследовательский

университет (МЭИ)” в г. Волжском д.ф-м.н., профессор, В.Г. Кульков

доц. каф. “Общая физика ”филиала

ФГБОУ ВПО “Национальный исследовательский университет (МЭИ)” в г. Волжском

к.ф-м.н. Поляков А.С.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета Сухова Т.А., Суркаев А. Л., Кумыш М. М., Зубович С.О. Пособие по решению задач. Физика. Часть IV. Магнетизм: учебное пособие / Сухова Т.А., Суркаев А.Л., Кумыш М.М., Зубович С.О. / ФГБОУ ВПО ВПИ (филиал) ВолгГТУ. – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2013. – 81 с. ISBN 978-5-9948-0420-9

Учебное пособие написано в соответствии с государственным образовательным

стандартом для высшего специального образования. Пособие содержит необходимый теоретический материал и примеры, иллюстри-

рующие основные понятия раздела «Молекулярная физика и термодинамика» курса «Общая физика». Подробно рассмотрены типовые задачи. В начале каждого раздела приводятся основные формулы и определения. В приложении даны необходимые спра-вочные данные. Пособие может использоваться при проведении аудиторных практиче-ских занятий среди студентов технических специальностей вузов.

Пособие может быть полезно для студентов всех специальностей.

ISBN 978-5-9948-0420-9 Илл. – 21, библиогр. - 15 назв, таблиц - 5

Волгоградский государственный технический университет, 2013 Волжский политехнический институт, 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие авторов………………………………………………………. 4

Глава 1. Магнитное поле………………………………………………….. 5

1.1. Основные определения и формулы……………………………. 5

1.2. Примеры решения задач……………………………………….. 7

1.3. Задачи для самостоятельного решения……………………….. 20

Глава 2. Электромагнитная индукция………………………………….. 26




Глава 3. Магнитные свойства вещества………………………………... 47




Глава 4. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля………. 53

4.1. Основные определения и формулы…………………………… 53



Глава 5. Электромагнитные колебания………………………………… 58

5.1. Основные определения и формулы…………………………… 58



Глава 6. Электромагнитные волны……………………………………… 72




Приложение…………………………………………………………………. 77

Литература…………………………………………………………………... 79

4

Предисловие авторов

Роль физики в современном естествознании и ее значение в технике общеизвестны. Физика является основополагающей дисциплиной в тех-ническом вузе и составляет в настоящее время основу техники будущего. Известно, что процесс изучения физики включает три основных компо-нента: освоение теории, овладение методом физического эксперимента, приобретение навыков решения задач. Последняя компонента является наиболее эффективной в изучении и понимании физических процессов и явлений, что определяет качество подготовки студентов технического ву-за.

Пособие является итогом длительной работы коллектива авторов кафедры “Прикладная физика” Волжского политехнического института (филиала) Волгоградского государственного технического университета и предназначается для студентов всех форм обучения. Также, оно может быть использовано студентами и других инженерно-технических специ-альностей, обучающихся по программе курса общей физики, так как сде-ланный выбор ни коем образом не сказывается на полноте охвата вузов-ской программы по физике.

Данное пособие посвящено разделу «Магнетизм». Представление о содержании пособия в целом, его структуре и порядке изложения мате-риала описано в оглавлении. Многие задачи являются авторскими. В по-собие также включены наиболее удачные, в рамках поставленной цели, задачи других авторов. Все пособие разделено на главы по тематике ре-шаемых задач. Каждая глава пособия состоит из трех частей. В первой части излагаются основные определения, формулы, законы в удобном для использования виде. Во второй части соответствующей главы приводятся примеры полного решения задач, а нумерация формул производится в пределах задач, так как носит вспомогательный характер. В третьей части каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения. Нумера-ция рисунков производится по главам. Задачи для самостоятельного ре-шения имеют единую в пределах всего пособия нумерацию. Для решения некоторых задач, включенных в данное пособие, потребуются знания дифференциального и интегрального исчисления.

5

ГЛАВА 1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

1.1. Основные определения и формулы

По закону Био-Савара-Лапласа элемент контура d , по которому течет ток I , создает в некоторой точке А пространства магнитное поле индукция которого Bd

равна

3

0

rr,dI

4Bd

,

где Гн/м104 70

- магнитная постоянная; - магнитная проницае-мость среды; r - радиус-вектор, проведенный от элемента тока d до точ-ки А, r - расстояние от элемента тока d до точки А.

Модуль вектора Bd

20

rdlsinI

4dB

,

где - угол между радиусом-вектором r и элементом тока ld

. Применяя закон Био-Савара-Лапласа к контурам различного вида, можно найти:

1) магнитную индукцию магнитного поля в центре кругового тока

RIB

20 ,

где R - радиус кривизны проводника. 2) магнитную индукцию поля, создаваемого бесконечно длинным пря-

мым проводником с током,

RIB 2

40

,

где R - расстояние от оси проводника. Механический момент, действующий на контур с током, помещенный

в однородное магнитное поле, ВрМ m

,

где В

- магнитная индукция; mp - магнитный момент конура с током: nISpm

, где S - площадь контура с током; n единичный вектор нормали к поверх-ности контура. Связь магнитной индукции В

и напряженности H

магнит-

ного поля HB 0

.

Магнитное поле оказывает силовое действие на заряженную частицу, движущуюся в этом поле. Сила Лоренца:

sinBqFили],B[qF

, где - скорость заряженной частицы; - угол между векторами и B

.

6

Отношение магнитного момента mp к механическому L (моменту им-пульса) заряженной частицы, движущейся no круговой орбите:

mq

21

Lpm ,

где q - заряд частицы; m - масса частицы. Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь площад-

ку dS dSBSdBФd nB

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности: SBФили,cosBSФ nB ,

где S - площадь контура; - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности:

dSBФS

nB ,

интегрирование ведется по всей поверхности. Потокосцепление (полный поток):

ФN . Эта формула верна для соленоида и тороида c равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

Элементарная работа по перемещению проводника с током в магнит-ном поле

ФdIdA , где dФ - магнитный поток, пересекаемый движущимся проводником

Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле: ФIA ,

где Ф - изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

7

1.2. Примеры решения задач

1.1. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, располо-жены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную ин-дукцию B

поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 1.1),

отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r1 = 5 см, от другого - r2 = 12 см. Дано:

?B__________________

.м1012см12r;м105см5r

;м10см10d;A60III

2-2

2-1

1-

21

Решение: Для нахождения магнитной индукции В в точке А

воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитной индукции 1B

и 2B

полей, создаваемых каждым провод-

ником с током в отдельности, и сложим их геометриче-ски: 21 BBB

.

Абсолютное значение магнитной индукции В может быть найдено по теореме косинусов для параллело-грамма:

cosBBBBB 2122

21 2 , (1)

где - угол между векторами 1B

и

2B

. Значения магнитных индукций

(здесь и далее, если не указанна сре-да, имеется в виду, что проводник находится в вакууме и, следователь-но, = 1) В1 и В2 выражаются соот-ветственно через силу тока и расстояния r1 и r2 от проводов до точки А:

2

02

1

01 r2

IBr2IB

; .

Подставляя выражения B1 и В2 в формулу (1) и вынося

2

I0 за знак кор-

ня, получим

cosrr2

r1

r1

2IB

212

22

1

0 . (2)

Вычислим cos . Заметив, что = DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов (для треугольника)

r2

r1 d C

D

I I

B

1B2B

A

Рис. 1.1

8

запишем cosrr2rrd 212

22

12 , где d - расстояние между проводами.

Отсюда

21

222

21

rr2drrcos

.

После подстановки числовых значений получим

4023

125210125cos

222

.

Подставляя в формулу (2) значения I, r1, r2 и cos, определяем искомую индукцию:

Тл4023

12,005,02

)12,0(1

)05,0(1

14,32601014,34B 22

7

мкТлТл 3081008,3 4 . Ответ: мкТл308B . 1.2. По длинному прямому тонкому проводу течет ток силой А20I .

Определить магнитную индукцию B

поля, создаваемого проводником в точке, удаленной от него на расстояние r = 4 см.

Дано:

?-B_____________

м0,04см4rA20I

Решение: Магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно

длинным проводником ничтожно малого сечения, об-ладает осевой симметрией. Это значит, что абсолют-ная величина магнитной индукции B в данной точке будет зависеть

только от ее расстояния до проводника. Поэтому все точки на окружности радиу-са r (рис. 1.2), лежащей в плоскости, пер-пендикулярной проводнику, будут иметь одинаковое значение магнитной индук-ции:

,r2

1B 0 (1)

где 0 - магнитная постоянная. Направление вектора В зависит от по-

ложения точки на окружности и направ-ления тока в проводнике.

Этот вектор направлен по касательной к проведенной нами окружности (это следует из закона Био-Савара-Лапласа, записанного в векторной форме). Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора магнитной индукции, называется

По току

I

B

Рис. 1.2

9

магнитной силовой линией. Окружность на рисунке удовлетворяет этому условию, а, следовательно, является магнитной силовой линией. Направ-ление магнитной силовой линии, а значит, и вектора B

определено по пра-

вилу правого винта. В формулу (1) подставим числовые значения величин и произведем вы-

числения:

.м1,041021042

207104B ТлТл

Ответ: мТл1,0B . 1.3. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной a = 10 см, те-

чет ток силой I = 100 А. Найти магнитную индукцию B

в точке пересе-чения диагоналей квадрата.

Дано:

?B______________

A100Iм1,0см10a

Решение. Расположим квадратный виток в плоскости чер-

тежа (рис. 1.3). Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция поля квадрат-ного витка будет равна геометрической сумме

магнитных индукции полей, создаваемых каждой стороной квадрата в от-дельности:

4321 BBBBB

. (1) В точке О пересечения диагоналей квадрата все векторы индукции будут направлены перпендикулярно плоскости витка. Кроме того, из соображений симметрии следует, что абсолютные значения этих векторов одинаковы:

B1 = B2 = B3 = B4. Это позволяет векторное равенство (1) заменить скалярным равенством

14 BB . (2) Магнитная индукция B1 поля, соз-

даваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается форму-лой:

)cos(cosr4IB 210

01

. (3)

Учитывая, что 2 = - 1 и cos2 = - cos1 (см. рис. 1.3), формулу (3) можно переписать в виде

10

01 cos

r2IB

.

I I B

a

O

r0 1 2

Рис. 1.3

10

Подставив это выражение в формулу (2), найдем

10

0 cosr

I2B

.

Заметив, что r0 = а/2 и cosa1 = 22 (так как 1 = /4), получим

a

I22B 0

.

Подставим в эту формулу числовые значения физических величин и произведем вычисления:

ìÒë13,1ë1013,11,0

1010422B 327

ТТл

Ответ: мТл13,1B . 1.4. Определить магнитную индукцию поля в точке , если по бес-

конечно длинному проводнику, имеющему конфигурацию, изображенную на рис. 1.4 течет ток 3 , длина 20a см. Относительную макси-мальную проницаемость считать равной 1.

Дано: м2,0см20a

3 ______________ В = ?

Решение: Индукция в точке является суперпозиций ин-

дукций, создаваемых каждым из элементов провод-ника. Индукция, создаваемая двумя лучами с верши-нами в точке и , уходящими в бесконечность, равна индукции прямолинейного бесконечно длин-ного проводника В за исключением индукции, соз-даваемой отрезком .

Кроме того, индукции, создаваемые отрезками С и ДЕ в точке равны между собой. На основании этого

СДДЕВЕа ВВВ 2 (1) Запишем выражения для ка-ждого из слагаемых в (1):

aI

2В 0

OEAcosaI

2B E0

BE

Рис.1.4

a

2a

I

2a

A B

C

11

АЕМcosАДМcosaI

2B 0

ДЕ СДАcos

aI

2В 0

СД

Рассматривая соответствующие треугольники, находим косинусы углов

2

1a2

aOEAcos2

5а

аа4а2АДМcos

22

2

1a2

aAEMcos2

51

àà4àÑÄÀcos

22

Подставляя эти значения в (2) и (1), получим:

.Тл1079,25

32

21а 2

В 60а

Ответ: Тл1079.2B 6a

. 1.5. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому

течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном магнит-ном поле (B = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) 0

1 90 ; 2) 02 3 .При повороте

контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано:

?A__________

3)290)1

Тл1BA100I

см10a

02

01

Решение: На контур с током магнитном поле действует момент

сил (рис. 1.5). sinBpM m , (1)

где pm - магнитный момент контура; B - магнитная индук-ция; - угол между вектором mp , направленным по нор-мали к контуру, и вектором B

. По условию задачи в на-

чальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (M = 0),

а значит, = 0, т.e. вектора mp и B

совпадают по направлению. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от уг-ла поворота ), то для подсчета работы применим формулу работы в диф-ференциальной форме dMdA . Подставив сюда выражение M по фор-муле (1) и учтя, что 2

m aISIp , где I - сила тока в контуре; S = a2 - площадь контура, получим, dsinaBIdA 2 . Взяв интеграл от этого вы-ражения, найдем работу при повороте на конечный угол;

12

0

2 dsinaBIA . (2)

1) Работа при повороте на угол 01 90 :

2

0

22

022

1 BaI)cos(aBIdsinaBIA

. (3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ: I = 100 А, B = 1 Тл, a = 10 см = 0,1 м, и под-

ставим в (3): Äæ1Äæ)1,0(1100A 2

1 . 2) Работа при повороте на угол

02 3 . В этом случае, учитывая, что

угол 2 мал, заменим в выражении (2) sin :

22

2

0

22 aBI

21daBIA

2

. (4)

Выразим угол 2 в радианах. После подстановки числовых значений вели-чин в (4) найдем

мДжДжДж 37,11037,1)0523,0()1,0(1100A 3222 .

Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по пе-ремещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур:

)(IIA 21 , где Ф1 - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф2 - то же, после перемещения.

Если 1 = 90°, то Ф1 = BS, Ф2 = 0. Следовательно, 2aBISBIA , что совпадает с полученным выше результатом (3).

Ответ: 1) ;Дж1A 2) мДж37,1А . 1.6. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов В400U ,

попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 103 А/м. Опре-делить радиус R кривизны траектории и частоту n обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

a

I

a

B

M

mp

Рис. 1.5

13

Дано:

?n?R

___________мA10H

В400U3

Решение: Радиус кривизны траектории электрона опре-

делим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон дейст-вует сила Лоренца лF

(действием силы тяжести

можно пренебречь). Сила Лоренца перпендику-лярна вектору скорости и, следовательно, сооб-

щает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона мож-но записать nл amF , где аn - нормальное ускорение, или

R

msinBe2

, (1)

где e - заряд электрона; - скорость электрона; В - магнитная индукция; m - масса электрона; R - радиус кривизны траектории; - угол между на-правлением вектора скорости и вектором B

(в данном случае B

090 , 1sin ). Из формулы (1) найдем

Be

mR . (2)

Входящий в равенство (2) импульс m может быть выражен через ки-нетическую энергию Т электрона:

mTm 2 . (3) Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую раз-

ность потенциалов U, определяется равенством UeT . Подставив это выражение для Т в формулу (3), получим Uem2m . Магнитная индукция В может быть выражена через напряженность Н

магнитного поля в вакууме: HB 0 ,

где 0 - магнитная постоянная. Подставив найденные выражения В и m в формулу (2), определим

He

Uem2R

0 . (4)

Выразим все величины, входящие в формулу (4), в единицах СИ: m = 9,l∙10-31 кг, |е| = 1,60∙10-19Кл, U = 400 В,

0 = 4∙I0-7 Гн/м, H = 103 А/м. Подставим эти значения в формулу (4) и произведем вычисления:

14

см.мм 37,51037,5101060,11014,34

4001060,1101192R 23197

1931

Для определения частоты обращения n воспользуемся формулой, свя-зывающей частоту со скоростью и радиусом:

R2

n

. (5)

Подставив в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, полу-чим

Bme

21n

, или Hme

2n 0

.

Все величины, входящие в эту формулу, ранее были выражены, в еди-ницах СИ. Подставим их и произведем вычисления:

171331

197

c1052,3c101011,914,32

1060,11014,34n

.

Ответ: см37,5R , 17 c1052,3n . 1.7. Электрон влетает в однородное магнитное поле напряженно-

стью А/м160 перпендикулярно линиям индукции поля со скоро-стью с./м106 Вычислить радиус окружности, по которой будет дви-гаться электрон.

Дано:

Êë;101,6å -19

?R__________________

B

кг;109,1mс;/м10

м;/А016H

31-

6

Решение: Пусть магнитная индукция поля направлена,

как показано на рис.1.6, перпендикулярно плоско-сти чертежа. На заряженную частицу, влетевщую в магнитное поле, действует сила Лоренца

.sinBeF

Так как ,1sin то ,BeF где B - индукция магнитного поля; e – заряд электрона.

Сила Лоренца всегда перпендикулярна к скорости, поэтому эта сила не может изменить величины скорости, а меняет только ее направление. Следовательно, сила Лоренца является центростремительной силой, т.е.

,FF ц.с а .R

mF2

ц.с.

Тогда можно записать:

15

,2

RmBe но ,0HB

поэтому

,R

mHe2

0

откуда

.He

mR0

Подставив числовые значения, получим:

.м102,84м106,11021041

410101,9R 2-1937-

631

Ответ: м.1084,2R 2

1.8. Электрон в нормальном состоянии атома водорода движется во-круг ядра по окружности радиусом м103,5R 11 . Вычислить силу экви-валентного кругового тока I и напряженность H в центре окружности.

Дано:

м103,5R 11 ____________

, = ?

Решение: При движении электрона вокруг ядра центро-

бежная сила инерции компенсируется электриче-ской силой притяжения его к ядру. По второму за-кону Ньютона можно записать nл amF , где аn - нормальное ускорение. По закону Кулона сила

взаимодействия точечных зарядов 20

2

R4eF

.

Тогда можно записать

20

22

R4eR m

, (1)

где m- масса энергии кг101,9m 31 , - угловая частота вращения, e - заряд электрона, равный заряду ядра по величине.

За одну секунду электрон совершит T1n оборотов. Здесь Т- период (длительность одного оборота). При этом через фиксированную точку ок-ружности пройдет заряд равный en . Это эквивалентно тому, что по ок-ружности течет ток 2e TeenI (2) Выражая из (1) и подставляя в (2), получим

mR42

eI3

0

2

(3)

Ток I, текущий по окружности, создает напряженность H

B

О

F

F

Рис.1.6.

16

RIH 2 (4) Подставляя в (3) и (4) численные значения величин, получим

мA10H ;A1005,1I 73 . Ответ: мA10H ;A1005,1I 73 .

1.9. Диск радиусом R=40 см несет равномерно распределенный по по-

верхности заряд q=0,1 мкКл. Диск равномерно вращается с частотой n=60 1с относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и прохо-дящей через его центр. Определить: 1) магнитный момент m кругового тока, создаваемого диском; 2) отношение магнитного момента к мо-менту импульса, L/m , если масса m диска равна 600 гр.

Дано:

Кл1010,1м,1мq0,4м,мc40R

7-

кг0,6г600m;c60n 1

____________________ L/mm ; -?

Решение: Выделим в диске круговой слой диаметром x

и шириной dx (рис.1.7). После поворота диска на угол через поперечное сечение этого слоя пройдет заряд

nSq (1) где nS - площадь сечения слоя толщины D:

DdxSn , (2) где - объемная плотность заряда. Угол поворота связан со временем поворота tn2 (3) Подставляя (3) и (2) в (1), и деля на t , найдем силу тока dI, создаваемого этим слоем:

dxn2DtqdI

(4)

Магнитный момент этого тока dIxSd m , где xS - площадь

2xxS dx x Dn2d 32

m (5) Интегрируя (5) по x в пределах от 0 до R получаем:

2R D ndxx D n2

423

R

0

2m (6)

Полный заряд диска равен q, поэтому qR2 . Подставляя это в (6) получим:

R

Рис.1.7

x xx x xx

17

nqR2

2m

(7)

Момент импульса L диска связан с моментом инерции I и частотой n

nIL 2 , где 2mR21I (8)

Деля (7) на (8), получаем

m2q

Lm

После подстановки численных значений найдем 26

m мА105,1 , Êë/êã1083,0L

7m

Ответ: 26m мА105,1 , Êë/êã1083,0

L7m

.

1.10 Рамка из тонкого провода в виде квадрата массой m=4 гр. сво-

бодно подвешена на не упругой нити в однородном магнитном поле. По рамке течет ток силой А5I . Период малых крутильных колебаний Т относительно оси рамки равен 2 c. Найти магнитную индукцию В.

уравнение колебаний, являющееся уравнени-ем моментов.

BIa

dtdI 2

2

2

м (2)

где мI - момент инерции рамки. Из геометри-ческих соображений находим мI .

222

BCABм ma61a

4m

121

2a

4m2II2I

(3)

После подстановки (3) в (2) запишем уравне-ние колебаний в виде

2

м

2

2

2

mIB6

IBIa

dtd

(4)

Дано:

?-B______________

c2TA5I

кг0,004г 4m

Решение: Обозначим длину стороны квадрата а

(рис.1.8). Магнитный момент рамки с током 2

m Ia . Во внешнем магнитном поле на рамку действует механический момент М

sinBIaM 2 (1) При малых углах sin можно записать

D

B

a A

B C

Рис. 1.8

I

18

где /2 - циклическая частота колебаний. Учитывая связь с Т, по-лучаем

Тл.1032,1IT6m4 3

2

2

Ответ: мТл32,1B .

1.11. В однородное магнитное поле с магнитной индукцией 0,4 Тл пер-пендикулярно линиям магнитной индукции с постоянной скоростью вле-тает заряженная частица. В течении 6 мкс включается электрическое поле напряженностью 300 м/В в направлении, параллельном магнитному полю. Определить шаг винтовой траектории частицы.

Дано:

?-h________________

В/м300Ес106мкс6t

Тл4,0B6-

1

Решение: На частицу действует сила Лоренца. Направим

ось x вдоль вектора

(рис.1.9). Под действием ин-дукции магнитного поля частица будет совершать движение по траектории, проекция которой на плоскость YOZ, нормальную к

, является окруж-

ностью. По второму закону Ньютона Bqma 1 (1)

где a- центростремительное ускорение, q- заряд частицы, 1 - перпендику-лярная оси x составляющая скорости. Учтем, что 1а , тогда

mqB

Рис. 1.9.

X

B

Y

Z

O

E

1

2

19

Кроме того /2 . Значит, период обращения

qB

m

2 (2)

Под действием электрического поля частица ускорялась в течение времени t1 вдоль оси x. При этом на нее действовала сила qEF . По истечении времени t1 x - компонента скорости оказалась равной

11x tmqEat (3)

Умножая (3) на (2), найдем шаг винтовой линии, по которой движется час-тица после выключения электрического поля:

1x tBE2Th

Подставляя численные значения, находим м108,2h 2 . Ответ: мс8,2h .

1.12. Два одинаковых отрицательных заряда, имеющие различные массы, влетели в однородное магнитное поле. Первый начал двигаться по окружности радиусом 7 см, второй - по окружности радиусом 3,5 см. Найти отношение масс зарядов, если они прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов.

Дано:

?-mm

___________UUqq

м0,035Rм07,0R

2

1

21

21

2

1

Решение. На заряд, движущийся в магнитном поле, действует

сила Лоренца BqBqF sin (т.к. B

см. рис.1.10). Согласно второму закону Ньютона

BqFma (1)

где R

a2

- центростремительное ускорение заряда.

Тогда (1) можно переписать в виде

Rm

Bq 2 (2)

Выразим из (2) скорость заряда

m

qBR (3)

Согласно закону сохранения энергии заряд, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, приобретает кинетическую энергию

qU2

m 2

(4)

где q – величина заряда, - его скорость. Выразим скорость заряда из (4)

20

mqU2

. (5)

Приравнивая (3) и (5), получаем mqBRmqU2 //

откуда

22RBU2qm (6)

Присвоив величинам в (3) индексы 1 и 2, возь-мем отношение масс m1 / m2 с учетом того, что заряд потенциалов и индукция поля одинаковы получим

4RR

UqBR2U2qBR

mm

22

21

22

21

2

1 .

Ответ: 4mm 21 .

1.3. Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти напряженность Н магнитного поля в точке, отстоящей на расстоянии, а=2м от бесконечно длинного прямолинейного проводни-ка, по которому течет ток I=5A.(Ответ: H=39,8 а/м)

2. Найти напряженность H маг-нитного в центре кругового проволоч-ного витка радиусом R=1см, по которому течет ток I=1A. (Ответ: H=50a/м)

3. На рисунке 1 изображены сечения двух прямолинейных беско-нечно длинных проводников с тока-ми. расстояние между проводниками AB=10см, токи I1=20A и I2=30A. Най-ти напряженности H магнитного по-ля, вызванного токами I1 и I2 в точках M1, M2 и M3. Расстояния M1A=2см, AM2=4см и BM3=3см. (Ответ: H1=120a/м, H2=159 a/м, Н3=135 а/м)

4. На рисунке 2 изображены сечения трех прямолинейных бесконеч-но длинных проводников с токами. Расстояния AB=BC=5см, токи I1=I2=I, I3=2I. Найти точку на прямой AC, в которой напряженность магнитного поля, вызванного токами I1,I2,I3 равна нулю. (Ответ: H1 =199 a/м, H2 =0 a/м, Н3 = 183а/м)

B

О

1F

1F

1

1

Рис.1.10

O 2F

2F

2

2

21

5. Решить предыдущую задачу при условии, что токи текут в одном направлении. (Ответ: Точка, в которой напряженность магнитного поля равна нулю, находится между точками I и I на расстоянии 3,3 см от А.)

6. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположе-ны перпендикулярно друг к другу и нахо-дятся в одной плоскости (см. рисунок 3). Найти напряженности H1 и H2 магнитного поля в точках M1 и M2, если токи I1=2A и I2=3A. Расстояния AM1=AM2=1см и BM1=CM2=2см.(Ответ: Точки, в которых напряженность магнитного поля равна ну-лю, расположены правее точки А на рас-стояниях 1,8 см и 6,96 см от нее.)

7. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и нахо-дятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. рисунок 4). Найти напряженности H1 и H2 магнитного поля в точках M1 и M2, если токи I1=2A и I2=3A. Расстояния AM1=AM2=1см и BM1=CM2=2см.(Ответ: H1 =8 a/м, H2 =55,8 a/м)

8. Два прямолинейных длинных провод-ника расположены параллельно на расстоянии d=10см друг от друга. По проводникам текут токи I1=I2=5A в противоположных направлени-ях. Найти модуль и направление напряженности Н магнитного поля в точке, находящейся на рас-стоянии a=10см от каждого проводника. (Ответ: H1 =35,6 a/м, H2 =57,4 a/м)

9. По длинному вертикальному проводнику сверху вниз идет ток I=8A. На каком расстоянии a от него напряженность поля, получающегося от сложения земного магнитного поля и поля тока, направлена вертикаль-но вверх? Горизонтальная составляющая напряженности земного поля Hг=16А/м.(Ответ: Н=8 а/м. Напряженность магнитного поля направлена перпендикулярно плоскости, проходящей через оба провода)

10. Найти напряженность H магнитного поля, создаваемого отрезком AB прямолинейного проводника с током, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии a=5см от него. По проводнику течет ток I=20A. Отрезок AB проводника виден из точки С под углом 60 0.

11. Отрезок прямолинейного проводника с током имеет длину l=30см. При каком предельном расстоянии а от него для точек, лежащих на перпендикуляре к его середине, магнитное поле можно рассматривать как поле бесконечно длинного прямолинейного тока? Ошибка при таком допущении не должна превышать 5 %. Указание: допускаемая ошибка

22

2

12 )(H

HH , где H1 - напряженность поля от отрезка проводника с током

и H2 - напряженность поля от бесконечно длинного прямолинейного тока. (Ответ: а≤5 см)

12. Ток I=20A идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность H магнитного поля в точке, лежащей на бис-сектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии a=10см.(Ответ: Н=77,3 а/м)

13. По проволочной рамке, имеющей форму правильного шести-угольника, идет ток I=2A. При этом в центре рамки образуется магнитное поле H=33A/м. Найти длину проволоки, из которой сделана рамка.(Ответ: L= 0,2 м)

14. В магнитном поле, индукция которого В=0,05 Тл, вращается стер-жень длиной l=1м. Ось вращения, проходящая через один из концов стержня, параллельна направлению магнитного поля. Найти магнитный поток Ф, пресекаемый стержнем при каждом обороте.(Ответ: Ф=0,157 вб.)

15. Магнитный поток сквозь соленоид (без сердечника) Ф=5мкВб. Найти магнитный момент р соленоида, если его длина l=25см.

16. Железный сердечник длиной l1=50,2см с воздушным зазором дли-ной l2=0,1см имеет обмотку из N=20 витков. Какой ток должен протекать по этой обмотке, чтобы в зазоре получить индукцию B2=1,2Тл? (Ответ: I=60a)

17. Из проволоки длиной l=20см сделаны квадратный и круговой кон-туры. Найти вращающие моменты сил M1 и M2, действующие на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией B=0,1Tл. По контурам течет ток I=2A. Плоскость каждого контура составляет угол = 45 с направление поля. (Ответ: 1) 3,53·10-4 н·м; 2)4,5·10-4 н·м)

18. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так, что Напряженность магнитного поля H=150кА/м. По контуру течет ток I=2A, радиус контура R=2см. Какую работу надо со-вершить, чтобы повернуть контур на угол φ=900 вокруг оси, совпадающей с диаметром контура? (Ответ: А= 5·10-4 дж)

19. Однородный медный диск А (см. ри-сунок 5) массой m=0,35кг помещен в одно-родное магнитное поле с индукцией B=24мТл так, что плоскость диска перпендикулярна к направлению магнитного поля. При замыка-нии цепи диск начинает вращаться и через время t=30c после начала вращения достигает частоты n=5c-1. Найти ток I в цепи.(Ответ: I=15,3 a)

23

20. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=300B, движется параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии a=4мм от него. Какая сила действует на электрон, если по проводнику пропустить ток I=5A (Ответ: F=4·10-16 н.)

21. Протон и электрон, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в однородное магнитное поле, перпендикулярное к скорости. Во сколько раз радиус кривизны R1 траектории протона больше радиуса кривизны R2 тра-

ектории электрона? (Ответ: 184021

21

mm

RR )

22. Альфа-частица движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией B=25мТл. Момент импульса частицы относительно цен-тра окружности ñ/ìêã1033,1L 222 . Найти кинетическую энергию Wk альфа-частицы.

23. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=6кB, влетает в однородное магнитное поле под углом = 30 к направлению поля и дви-жется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля B=13мТл. Най-ти радиус R и шаг h винтовой линии.(Ответ: Скорость электрона, влетаю-

щего в магнитное поле υ=meU2 . Разложим скорость υ на две

составляющие: υ1-составляющую скорости, направленную вдоль силовых линий поля, и υn –составляющую, направленную перпендикулярно к сило-вым линиям.. Проекция пути электрона на плоскость, перпендикулярную к В, представляет собой окружность, радиус которой, равный искомому ра-

диусу витка спирали, определится формулой R=eB

asinmveBmv

, где а-угол

между направлением скорости электрона v и направлением поля. Так как

период обращения электрона Т=eBпm2пR2

asinv

, то отсюда шаг винтовой

траектории электрона будет равен l=υT=eB

acosпmv2 . Подставляя числовые

данные в формулы, получим 1)R=10-2 м = 1 см, 2) l=11·10-2 м = 11 см) 24. По двум длинным параллельным проводам, расстояние между ко-

торыми d = 5 см, текут одинаковые токи I = 10 А. Определить индукцию B и напряженность H магнитного поля в точке, удаленной от каждого прово-да на расстояние r = 5 см, если токи текут: а) в одинаковом, б) в противо-положном направлениях.

25. Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под пря-мым углом. По проводникам текут токи силой I1 = 100 А и I2 = 50 А. Рас-стояние между проводниками d = 20 см. Определить индукцию B магнит-ного поля в точке, лежащей на середине общего перпендикуляра к проводникам.(Ответ:В=2,24·10-4 Тл.)

24

26. Ток силой I = 50 А течет по проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность H магнитного поля в точке, лежащей на бис-сектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии b = 20 см. Считать, что оба конца проводника находятся очень далеко от вершины угла.

27. По проводнику, изогнутому в виде окружности, течет ток. Напря-женность магнитного поля в центре окружности H1 = 50 А/м. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Определить напря-женность Н2 магнитного поля в точке пересечения диагоналей этого квад-рата.(Ответ: Н=57,32 А/м.)

28. По контуру в виде равностороннего треугольника течет ток силой I= 50А. Сторона треугольника a = 20 см. Определить магнитную индук-цию B в точке пересечения высот.(Ответ: В=4,50·10-4 Тл.)

29. По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами a=8см и b = 12 cм, течет ток силой I = 50 А. Определить напряженность H и индукцию B магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямо-угольника.(Ответ: В=6,00·10-4 Тл; Н=478,20 А/м.)

30. По двум параллельным проводам длиной l= 3 мм каждый текут одинаковые токи силой I = 500 А. Расстояние между проводниками d = 10 см. Определить силу F взаимодействия проводников.

31. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на оди-наковом расстоянии d = 20 см друг от друга, текут токи одинаковой силы I=400 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу F, действующую на единицу длины каждого провода.(Ответ:F=6,93·10-4 Н.)

32. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле c индукцией B = 0,2 Тл под углом = 30 к направлению линий индукции. Определить силу Лоренца Fл, если скорость частицы υ=10,5м/c.(Ответ: Fл=1,60·10-13 Н)

33. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле c индукцией B = 0,01 Тл. Определить момент импульса L, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если радиус траектории частицы равен R = 0,5 мм.(Ответ: L=4,00·10-28 кг·м2/с.)

34. Электрон движется в однородном магнитном поле перпендику-лярно линиям индукции. Определить силу F, действующую на электрон со стороны поля, если индукция поля B=0,2Тл, а радиус кривизны траектории R=0,2cм.

35. Заряженная частица c кинетической энергией Т = 2 кэВ движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом R = 4 мм. Опреде-лить силу Лоренца Fл, действующую на частицу со стороны поля.

36. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле c напряженностью H=5103 А/м. Определить частоту обращения n элек-трона.

25

37. Электрон движется в магнитном поле c индукцией B = 4 мТл по окружности радиусом R=0,8 см. Какова кинетическая энергия Т электро-на?

38. Протон влетел в однородное магнитное поле под углом = 60° к направлению линий поля и движется по спирали, радиус которой R = 2,5 см. Индукция магнитного поля B = 0,05 Тл. Найти кинетическую энергию Т протона.(Ответ: Т=1,60·10-17Дж)

39. Два иона c одинаковыми зарядами, пройдя одну и ту же ускоряю-щую разность потенциалов, влетели в однородное магнитное поле перпен-дикулярно линиям индукции. Один ион, масса которого m1 = 12 а.е.м., описал дугу окружности радиусом R1 = 2 см. Определить массу m2 (в а.е.м.) другого иона, который описал дугу окружности радиусом R2 = 2,31 см. (Ответ:m2=16,01 а.е.м.)

40. Электрон движется в однородном магнитном поле c индукцией B=10мТл по винтовой линии, радиус которой R = 1,5см и шаг h = 10 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость . (Ответ: Т=3,57·10-9 с; υ=3,85·107 м/с)

41. В однородном магнитном поле c индукцией B=2Тл движется -частица. Траектория ее движения представляет собой винтовую линию c радиусом R = 1 см и шагом h = 6 см. Определить кинетическую энергию Т α-частицы.

42. Плоский контур площадью S = 20 см2 находится в однородном магнитном поле c индукцией B = 0,03 Тл. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий контур, если плоскость его составляет угол = 60° c на-правлением линий индукций.

43. Магнитный поток Ф через сечение соленоида равен 50 мкВб. Дли-на соленоида l= 50 см. Найти магнитный момент pm соленоида, если его витки плотно прилегают друг к другу.

44. В средней части соленоида, содержащего n = 8 витков/см, поме-щен круговой виток диаметром d = 4 см. Плоскость витка расположена под углом = 60° к оси соленоида. Определить магнитный поток Ф, про-низывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток силой I = 1 А.

45. На длинный картонный каркас диаметром d = 5 см уложена одно-слойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром d = 0,2 мм. Оп-ределить магнитный поток Ф, создаваемый таким соленоидом при силе то-ка I=0,5A.

46. Квадратный контур со стороной a = 10 см, в котором течет ток силой I= 6 А, находится в магнитном поле c индукцией B = 0,8 Тл под уг-лом =50 к линиям индукции. Какую работу А нужно совершить, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму c квадрата на ок-ружность?

47. Плоский контур c током силой I = 5 А свободно установился в од-нородном магнитном поле c индукцией B=0,4Тл. Площадь контура

26

S=200см2. Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули относи-тельно оси, лежащей в плоскости контура, на угол = 40. Определить со-вершенную при этом работу А.

48. Виток, в котором постоянная сила тока I = 60 А, свободно устано-вился в однородном магнитном поле (B = 20 мТл). Диаметр витка d = 10 см. Какую работу А нужно совершить для того, чтобы повернуть виток от-носительно оси, совпадающей c диаметром, на угол = /3?

49. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индук-ции расположен плоский контур площадью S = 100 см2. Поддерживая в контуре постоянную силу тока I = 50 А, его переместили из поля в область где поле отсутствует. Определить индукцию В магнитного поля, если при перемещении контура была совершена работа A = 0,4 Дж.

50. Электрон, разогнанный в электрическом поле напряжением 20 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. Вектор скорости образует угол 750 с направлением вектора индукции. Написать уравнение движения электрона.

ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

2.1.Основные определения и формулы

Закон Фарадея: ЭДС индукции, возникающая в замкнутом проводя-щем контуре равна модулю скорости изменения магнитного потока сквозь этот контур

dtd

i

.

ЭДС индукции, возникающая в рамке площадью S при ее вращении с угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией B ,

tsinBSi где t - мгновенное значение угла между вектором B

и вектором нормали

n к плоскости рамки. Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивно-стью L ,

LI . ЭДС самоиндукции

dtdILis ,

где L - индуктивность контура. Индуктивность соленоида (тороида)

lSNL

2

0 ,

где N - число витков соленоида, l - его длина.

27

При замыкании (размыкании) цепи ток возрастает (убывает) не мгновенно, а по экспоненциальному закону:

а) замыкание цепи teII 10 б) размыкание цепи teII 0 ,

где RL - время релаксации – минимальный промежуток времени, за которое ток в цепи достигает максимального значения (обращается в ноль); L - индуктивность контура, R - его сопротивление. ЭДС взаимной индукции (ЭДС, индуцируемая изменением силы тока в соседнем контуре)

dtdIL12 ,

где 12L - взаимная индуктивность контуров. Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков 1N и 2N ), намотанных на общий тороидальный сердечник,

SlNNLL 21

02112 ,

где - магнитная проницаемость сердечника, l - длина сердечника по средней линии, S - площадь сердечника. Коэффициент трансформации

2

1

2

1

1

2

II

NN

,

где I,,N - соответственно число витков, ЭДС и сила тока в обмотках трансформатора. Энергия магнитного поля, создаваемого током I , протекающим в замкнутом контуре

22LIW . Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинно-го соленоида

222

20

0

2 BHHBw

.

2.2 Примеры решения задач

2.1. В однородном магнитном поле с индукцией Тл4,0В равномерно вращается рамка, делая об/мин. 480n Площадь рамки 2см200S , она содержит витков1000N . Определить мгновенное значение ЭДС, соот-ветствующее углу поворота рамки 30 .

28

Дано:

?_________________

30м102см200S

об/мин480nТл4,0B

i

0

22

Решение: Мгновенное значение э.д.с. индукции опреде-

ляется основным законом электромагнитной ин-дукции

dtdФNi ,

где N – число витков, пронизываемых магнитным потоком Ф .

При вращении рамки магнитный поток Ф , пронизывающий ее в мо-мент времени t, изменяется по закону

tcosВSФ , где - круговая частота.

В закон электромагнитной индукции подставим выражение Ф и про-дифференцируем по времени. Получим:

tNBSi sin , но n2 , тогда

tòNBS2i sin . Подставив числовые значения, получим:

В201В5,01024,01000814,32 2i

Ответ : .В201i

2.2. Соленоид содержит 200N витков. Индуктивность соленоида 210L Гн, площадь его сечения 2см8S . Определить индукцию магнит-

ного поля в соленоиде при токе в 2 А.

Дано:

?-B____________________

А2Iм108см 8S

Гн10L2000N

242

2

Решение: Магнитный поток, пронизывающий поверх-

ность, ограниченную одним витком, равен ВSФ 1 ,

где В - магнитная индукция, а S – площадь сечения соленоида. Полный магнитный поток, сцепленный со всеми N витками соленоида будет в N раз больше:

ВSNNФФ (1)

С другой стороны, полный магнитный поток Ф пропорционален силе тока I:

1LIФ , (2)

29

где L- индуктивность соленоида. Из формул (1) и (2) находим:

SNLIВ .


Tл125,0Tл108200210B 4

2

Ответ: Тл125,0В . 2.3. Соленоид индуктивностью Гн1,0L и сопротивлением

Ом02,0R замыкается на источник ЭДС В20 , внутреннее сопротив-ление которого пренебрежимо мало. Какое количество электричества пройдет через соленоид за первые 5 с после замыкания?

Дано:

с5tВ2

Ом0,02RГн0,1L

0

?q

Решение: При замыкании соленоида на ЭДС возникает ток

tLR0 e1II ,

где RI 00 - установившееся значение тока в цепи, т.е. в момент времени t .

Разделим промежуток времени t на столь малые отрезки времени dt , чтобы в переделах каждого отрезка времени силу тока можно было считать постоянной. Тогда элементарное количество электричества dq , которое пройдет через соленоид за промежуток времени dt будет равно

dte1R

Idtdq tLR0 .

после интегрирования находим

5

0

tLR05

0

tLR0 eRLt

Rdte1

Rq

.

Подставляя численные значения, Кл181q . Ответ: Кл181q .

2.4. В плоскости квадратной рамки с омическим сопротивлением 7

Ом и стороной см 20a расположен на расстоянии 0r =20 см от рамки прямой бесконечный проводник. Сила тока в проводнике изменяется по закону I= 3 t , где = 2 A / с3. Проводник параллелен одной из сторон рамки. Определить силу тока в рамке в момент времени t=10 c.

Дано: Решение:

30

?I__________

c10tcA2

tIм2,0rм0,2a

Ом7R

3

3

0

Вследствие изменения силы тока в проводнике маг-нитный поток через рамку изменяется, и в ней возника-ет индукционный ток. Рамка находится в неоднород-ном магнитном поле. Мысленно разделим площадь рамки (рис.2.1) на столь узкие полоски, чтобы в преде-лах каждой полоски магнитное поле можно было счи-тать однородным.

Магнитный поток определяется как: SdBd B

.

Тогда, элементарный магнитный поток сквозь уз-кую полоску

x2IadxBadxd 0

(1)

Интегрируя (1) по x в пределах от 0r до 0r +a, находим

ar

r30000

0t

2r/a1lna

x2Iadx

Из закона Фарадея определяем э.д.с. индукции 200

n t2

r/a1lna3dt

d

и силу тока 200n t

R2)r/a1ln(a3

RI

;

A104.2I 6 . Ответ: A104.2I 6 .

2.5. По двум гладким медным шинам, установленным под углом к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массой m. Сверху шины замкнуты на конденсатор емкостью С. Расстоя-ние между шинами l. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости, в которой перемещается пе-ремычка. Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а так же самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти ускорение пере-мычки.


Изменение магнитного потока через контур

I

dxx

0r a

Рис.2.1

a

31

?a

BCm

_________

,,,

обусловлено движением перемычки (рис.2.2). По закону Ома для неоднородного участка э.д.с. ин-дукции n в любой момент времени равна разно-сти потенциалов

на обкладках конденсатора

n = Но Cq . Следовательно, сила индук-ционного тока в контуре

dtdC

dtdC

dtdqI n

)(

Так как магнитное поле однородно, то

1Bdtdx1B

dtdSBn

где S- площадь контура. Таким образом,

a1CBdtdl CBI

где а - искомое ускорение перемычки. На перемычку действуют две силы: сила тяжести mg и сила Ампера

alCBlBI 22 . По второму закону Ньютона alCB- sinmgma 22 Отсюда

22lCBm sinmqa

Если бы на перемычку действовала сила трения, то легко показать, что

22lCBmcos fmq- sinmqa

где f - коэффициент трения.

Ответ: 22lCBm sinmqa

.

2.6. Заряженная частица движения по окружности радиусом R=1 см

в однородном магнитном поле с индукцией В=0,1 Тл. Параллельно магнит-ному полю включено электрическое поле с напряженностью, зависящей от времени Е= t2 , где = 50 В / 2мс . В какой момент времени после вклю-чения поля кинетическая энергия частицы возрастает вдвое?


В отсутствие электрического поля частица двига-лась по окружности под действием силы Лоренца с ус-корением

m l

B

C

Рис.2.2.

32

?t___________

мсВ50tЕ(t)Тл0,1В

м01,0R

0

2

2

mqB

mFa 1ë

1

(1)

где m и q - масса и заряд частицы, 1 - скорость. В дан-ной ситуации сила действует перпендикулярно скоро-сти.

Поэтому ускорение частицы является центростремительным

R

a2

11

(2)

Приравниванием (1) и (2), находим скорость частицы

m

RqB1 (3)

Кинетическая энергия частицы зависит от ее массы и скорости

2mE

21

1

.

После включения электрического поля в момент времени t=0 частица на-чинает ускоряться в направлении, параллельном Е

. Ускорение ее в этом

направлении определяется из второго закона Ньютона m

)t(qE)t(a . По

истечении времени t0 скорость ее станет равной

0t

0

302 t

m3qdtta

)( (4)

Результирующий квадрат скорости примет значение 22

21

2 , кинети-

ческая энергия, соответственно, станет равной 22

212 2

mE .

Поскольку эта величина вдвое превышает первоначальную энергию, то 21 .

С учетом выражений (3) и (4) получаем

30tm3

qm

RqB

После сокращения на q и m получаем значение t0: .c039,0/B R3t 3

0 Ответ: c0390t0 , .

2.7. Определить индуктивность фрагмента длиною бесконечно

длинного соленоида, если его сопротивление R, а проволока имеет массу m. Дано: Решение:

33

?L______

m,R,

Индуктивность соленоида дается выражением

SNL2

0 , (1)

где N - число витков в фрагменте, S - площадь сечения соленоида. Приняв, что длина проволоки равна b , можно записать следующее со-

отношение

Nbr2 (2)

где r - радиус сечения соленоида. В последнем соотношении длина одного витка приравнивается к полной длине провода, деленной на число витков. Выражая из (2) r и используя для S выражение 2rS , получим

2

2

N4bS

(3)

Для нахождения 2b запишем соотношение для сопротивления и массы проволоки:

SbR ; bSm (4)

где - удельное сопротивление материала проволоки, - его плотность, SV - объем цилиндрической проволоки.

Перемножая левые и правые части выражений (4) находим 2bRm (5)

Выражая из (5) 2b , подставляя затем в (3), а далее в (1), получаем оконча-тельно

mR4

L 0 (6)

Ответ:

mR4

L 0 .

2.8. Через соленоид, индуктивность которого мГн4,0L и площадь

поперечного сечения 2см10S , проходит ток A50I , . Какова индукция магнитного поля внутри соленоида, если он содержит 100N витков?

Дано: Решение: Пусть угол между нормалью к плоскости витка

соленоида и вектором магнитной индукции В

равен нулю. Поток магнитной индукции через один виток равен

BS0cosBSФ 01 .

Тогда магнитный поток через соленоид 1NФФ ра-

34

?B_________

100NA5,0Iсм10SмГн4,0L

2

вен NBSФ .

С другой стороны, магнитный поток LIФ , поэтому LINBS ,

откуда

NSLIB .

Подставляя численные значения, получаем Тл102B 3 . Ответ: Тлм2B .

2.9. В однородном магнитном поле с индукцией Тл1,0B расположен

плоский проволочный виток, площадь которого 22 м10S , а сопротивле-ние Ом2R . Первоначально плоскость витка перпендикулярна линиям магнитной индукции. Виток замкнут на гальванометр. Полный заряд, протекающий через гальванометр при повороте витка Кл105,7q 4 . На какой угол повернули виток?

Дано:

Тл1,0B 22 м10S

Ом2R Кл105,7q 4

__________ ?

Решение: Пусть нормаль к плоскости витка совпадает с направлением вектора магнитной индукции. Начальный магнитный поток через площадь, ограниченную витком,

BS0cosBS 01 (1)

При повороте плоскости витка на угол нор-маль, связанная с витком также поворачивается

на угол , поэтому магнитный поток становится равным cosBS2 (2)

Так как магнитный поток изменился, то в витке возникла ЭДС индукции. Однако закон изменения магнитного потока во времени не задан. Нельзя утверждать также, что поток изменялся равномерно с течением времени. Поэтому для вычисления ЭДС индукции воспользуемся формулой

)t(i (3) По витку протекает индукционный ток

R)t(

R)t(i i

. (4)

35

Заряд, протекающий по витку и регистрируемый гальванометром

2

1

t

t

dt)t(iq , (5)

где 1t - начальный, 2t - конечный моменты времени. После подстановки (4) в (5) получаем

R1)t()t(

R1dt)t(

R1dt

R)t(q 12

t

t

t

t

2

1

2

1

. (6)

Таким образом, независимо от того, как поворачивается виток, протекаю-щий через замкнутый контур заряд определяется по формуле

Rq

. (7)

Формула (7) получена в предположении, что индуктивность контура (вит-ка) пренебрежимо мала ( 0L ). В нашей задаче

)1(cosBSBScosBS12 . (8) После подстановки (8) в (7) находим

R)1(cosBSq

(9)

Откуда

5,0BSqR1cos ,

следовательно, 01202

3)5,0arccos( .

Ответ: 0120 .

2.10. Проводящий плоский контур площадью 2см200S , в который включен конденсатор емкостью мкФ10С , расположен в однородном магнитном поле так, что вектор нормали к контуру образует с вектором магнитной индукции угол 060 . Изменение магнитной индукции со вре-

менем описывается уравнением )Тл(t4

cos102В 2 . Определить энер-

гию конденсатора в момент времени c2t . Индуктивностью контура пренебречь.

36

Дано: 242 м102см200S

Ф10мкФ10С -5 060

)Тл(t4

cos102В 2

c2t _______________________

?W

Решение: По определению магнитный поток,

пронизывающий контур, cosS)t(B)t(Ф .

В данном случае изменение магнитного потока вызвано изменением магнитной ин-дукции. ЭДС индукции в этом контуре со-гласно закону Фарадея

cosS)t(B(t)Ôi

Подстановка заданного по условию изменения магнитной индукции при-водит к следующему результату

t4

sincosS21cosS

4t

4sin102 2

i

(1)

Поскольку в плоском конденсаторе расстояние между пластинами мало, то ЭДС индукции, возникающая в контуре и равномерно в нем распределен-ная, представляет собой напряжение на конденсаторе. Энергия конденса-тора в любой момент времени равна

2

C2

CUW2i

2 (2)

Подставляя (1) в (2) получим 2

)t4

)(sincosS(C81W

.

В момент времени c2t 12

sint4

sin и энергия конденсатора соот-

ветственно равна

Дж1023,1cosSC81W 92 .

Ответ: нДж23,1W .

2.11. В однородном магнитном поле с индукцией Тл106 2 нахо-дится соленоид диаметром 8d см, имеющий n=80 витков медной про-волоки сечением 2мм1 . Соленоид поворачивают на угол 180 за время 2,0t с так, что его ось остается направленной вдоль поля. Оп-ределите среднее значение электродвижущей силы, возникающей в соле-ноиде, и индукционный заряд. Удельное сопротивление меди

мОм10017,0 6 .

37

Дано: Тл106 2

2мм180n

см8d

180 с2,0t

мОм10017,0 6 __________________

?q?i

Решение: Изменить магнитный поток, пронизывающий

контур, и возбудить в нем э.д.с. индукции можно различными способами. Наиболее просто это сде-лать, повернув контур в магнитном поле так, что-бы изменился угол между нормалью к плоскости контура и направлением поля. Этот случай и раз-бирается в данной задаче.

При изменении магнитного потока, пронизы-вающего соленоид, состоящий из n витков, на за время t в нем индуцируется э.д.с.

tni (1)

Если в исходном положении катушка была расположена так, что ось ее со-ставляла с направлением поля угол 1 , то при повороте оси на угол 2 магнитный поток, пронизывающий соленоид, изменится на величину

12112 cosBScosBS (2) где S-площадь поперечного сечения соленоида. По условию задачи ось ка-тушки в исходном положении совпадала с направлением поля 01 , а угол поворота 1802 . Изменение магнитного потока в этом случае бу-дет максимальное и равное BS2 Подставляя выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что сечение соленои-

да 4dS

2 , получим ответ на первый вопрос задачи:

t2nBd 2

i

; В24,0i

При изменении магнитного потока на в соленоиде индуцируется заряд

R

q (3)

Сопротивление обмотки соленоида

dnR (4)

Из соотношений (2)-(4) после подстановки числовых значений заданных величин находим:

2dBq ; Кл4,1q

Индуцированный заряд не зависит от скорости изменения магнитного по-тока и количества витков соленоида. Ответ: В24,0i , Кл4,1q .

38

2.12. В магнитном поле с индукцией Тл10B 2 вращается стержень

длиной 2,0l м с постоянной угловой скоростью -1сек 100 . Найдите э.д.с. индукции, возникающей в стержне, если ось вращения проходит че-рез конец стержня параллельно силовым линиям магнитного поля.

Дано:

Тл10B 2 2,0l м

-1сек 100 ___________

?i

Решение: Появление сторонних сил внутри стержня и

возникновение разности потенциалов на его кон-цах вызвано действием силы Лоренца на заряды, находящиеся в проводнике, пересекающие маг-нитные силовые линии.

Если стержень вращается в однородном маг-нитном поле с постоянной угловой скоростью - и пересекает линии индукции под прямым углом (рис.2.3), то под действие силы Лорен-ца электроны начнут смещаться вдоль стерж-ня к одному из его концов. При том направ-лении поля и вращения, какое указано на чертеже, лF направлена к оси вращения и ту-да же смещаются электроны. Движение элек-тронов происходит до тех пор, пока возни-кающее внутри проводника электрическое поле не достигнет величины, при которой си-лы электрического отталкивания уравнове-шивают силу Лоренца.

В результате перемещения электронов на одном конце стержня оказывается их избыток, на другом – недостаток и между концами стержня возникает постоянная разность.

ti

(1)

где - величина магнитного потока, пересекаемого стержнем за время t . При вращении стержня под прямым углом к силовым линиям магнит-

ного поля SB , где S площадь сектора, описываемого стержнем. За время t стержень поворачивается на угол и площадь сектора

получается равной:

2tl

2lS

22

Учитывая это, для изменения магнитного потока найдем:

2

lB 2 (2)

H

O

F

Рис. 2.3.

39

Из формул (1)-(2) получим:

2lB 2

i

или, после подстановки числовых значений, В102 2i

. Ответ: В102 2

i

2.13. Две параллельные шины, подключенные к аккумулятору с э.д.с.

0 и внутренним сопротивлением r, находятся в однородном магнитном поле с индукцией В. Шины замкнуты проводником длинной l и сопротивле-нием R, который перемещается по шинам без нарушения контакта пер-пендикулярно полю со скоростью . Пренебрегая сопротивлением шин, определите напряжение на зажимах источника, мощность тепловых по-терь в проводнике, а так же механическую мощность, подводимую к про-воднику.

Дано:

???

____________,,,,,

NPU

RlBr0

Решение: Допустим, что при том подключении ак-

кумулятора к шинам и направлении магнит-ного поля, какое показано на рисунке 2.4, проводник перемещают равномерно слева направо. При своем движении проводник пересекает линии индукции поля и в нем возникает э.д.с. индукции i - источник тока,

включенный последовательно с аккумулятором. В зависимости от направ-ления поля и направления движения проводника i0 и действуют или в одну, или в противоположные стороны. В первом случае ток цепи аккуму-лятора усилится, во втором - ослабнет. В нашем примере, используя пра-вило правой руки, нетрудно установить, что индукционный ток шел бы от b к a, уменьшая ток аккумулятора, т.е. э.д.с. i0 и направлены навстречу друг другу.

Поскольку проводник ab движется перпендикулярно полю 90 , величина э.д.с. индукции равна:

Bei (1) Дальнейшее решение сводится к рас-

чету цепи постоянного тока, содержащей два последовательно включенных эле-мента с разными э.д.с. Пользуясь общими правилами такого расчета, находим общую э.д.с. контура (предполагая, что i0 ):

i0 (2)

r0 , iI

I

a

b

B

Рис. 2.4

40

и ток в контуре:

rR

I

(3)

Поскольку аккумулятор разряжается и ток через него идет в естествен-ном направлении, для напряжения на его зажимах получаем:

IrU 0 (4) Мощность тепловых потерь, выделяемая на проводнике, равна:

RIP 2 (5) Так как по проводнику ab, движущемуся в магнитном поле, идет ток, то со стороны поля на него действует сила Ампера AF , направленная (согласно правилу левой руки) вправо. По закону Ампера

lBIFA (6) Чтобы проводник двигался равномерно, к нему должна быть приложена сила F, равная по величине силе FA, но направленная в противоположную сторону. Механическая мощность в этом случае будет равна:

AFN (7) Исключая из уравнений (1)-(7) неизвестные Ai Fи I,, , получим для

искомых величин окончательные выражения:

rR

BrlRU

0 ;

22

0

rRRBlP

;

rRllN 0

.

Ответ: rR

BrlRU

0 ;

22

0

rRRBlP

;

rRllN 0

.

2.3. Задачи для самостоятельного решения

51. Самолет с размахом крыльев 18м движется горизонтально со скоро-стью 800км/ч. Вертикальная составляющая напряженности магнитного по-ля Земли – около 40А/м. Определить разность потенциалов между концами крыльев. Будет ли гореть маломощная лампочка, если с помощью прово-дов подключить ее к концам крыльев? (Ответ: 0,2 В; не будет) 52. В однородном магнитном поле с индукцией В перпендикулярно сило-вым линиям расположен стержень длиной l. Стержень вращается с угло-вой скоростью ω вокруг оси, проходящей через конец стержня и парал-лельной силовым линиям поля. Найти разность потенциалов между концами стержня. (Ответ: ∆φ=Bωl2/2) 53. Переменное магнитное поле, сосредоточенное в близи оси кольца и имеющее ось симметрии, проходящую через центр кольца, создает в коль-це э.д.с. индукции ε. На кольце выбран участок, равный трети длины коль-ца, и к нему параллельно подключен проводник сопротивлением R, распо-ложенный вне магнитного поля. Чему равен ток в этом проводнике, если

41

сопротивление провода, из которого сделано кольцо, равно 2R? (Ответ: 0 А) 54. Из изолированной проволоки сделана петля в форме восьмерки, радиу-сы колец равны r и R. Определите разность потенциалов между точками соприкосновения провода, если перпендикулярно плоскости петли нало-жено магнитное поле, индукция которого меняется с течением времени по закону B=kt, где k – постоянный коэффициент. (Ответ: U=πkr1r2) 55. Проволочная рамка с током I=2A расположена в однородном магнит-ном поле перпендикулярно его силовым линиям. Какую работу против сил поля надо совершить, чтобы повернуть рамку на 900 вокруг оси, проходя-щей через диаметр рамки? Площадь рамки 200 см2, индукция магнитного поля 10-2 Тл. Каков будет ответ, если рамку повернуть на 1800? (Ответ: A=4∙10-4Дж; A1=8∙10-4Дж) 56. Катушка с немагнитным сердечником имеет 1000 винтиков, длина ка-тушки 40 см, сечение 10см2. С какой скоростью нужно менять ток в ка-тушке, чтобы в ней возникала э.д.с. самоиндукции εis=1B? (Ответ: ∆I/∆t=318A/c) 57. Катушка диаметром D=10см, состоящая из N=500 витков проволоки, находится в магнитном поле. Найти среднюю ЭДС индукции, возникаю-щую в этой катушке, если индукция магнитного поля В увеличивается в течение времени t=0,1с от 0 до 2 Тл. 58. На картонный цилиндр длиной 60 см с диаметром 5 см навито 1200 витков медного провода. Какова индуктивность катушки? (Ответ: L=5,9мГн). 59. В катушке предыдущей задачи течет ток силой 500 мА. При выключе-нии он падает до нуля за 10-4 с. Предполагая, что сила тока убывает линей-но, найти ЭДС самоиндукции. (Ответ: εis =29,5B). 60. Соленоид длиной l=50см и площадью поперечного сечения S=2см2 имеет индуктивность L=0,2мкГн. При каком токе I объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида ω0=1мДж/м3? 61. Круговой контур радиусом r=2см помещен в однородное магнитное поле, индукция которого B=0,2Тл. Плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля. Сопротивление контура R=10м. Какое ко-личество электричества q пройдет через контур при повороте его на угол α=900? 62. Круглая плоская катушка радиусом 10 см содержит 200 витков прово-да. Катушка подключена к конденсатору с емкостью 20 мкФ и помещена в однородное магнитное поле, индукция которого равномерно убывает со скоростью 10-2Тл/c. Найти заряд конденсатора. Плоскость катушки пер-пендикулярна силовым линиям поля. (Ответ: q=1,25мкКл) 63. По однослойной катушке с индуктивностью 50 мГн течет ток 5 А. Ка-кое количество электричества индуцируется в катушке при выключение тока, если длина ее 100 см, а диаметр медной проволоки обмотки 0,6 мм?

42

64. Катушку с ничтожно малым сопротивлением и индуктивностью 3 Гн подключают к источнику постоянного напряжения с э.д.с. 1,5 В. Через ка-кой промежуток времени ток в катушке достигнет 50 А? 65. Катушка имеет индуктивность L=0,2Гн и сопротивление R=1,64Ом. Во сколько раз уменьшится ток в катушке через время t=0,05c после того, как ЭДС выключена и катушка замкнута накоротко? 66. Через сколько времени сила тока в цепи с катушкой и резистором ста-нет равна 0,9 от установившегося тока? (Ответ: t=2,3 L/R). 67. Э.д.с. самоиндукции, возникающая в цепи с индуктивностью 2 Гн, из-меняется с течением времени по закону εis=10+4t. По какому закону изме-няется ток в цепи? 68. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U, разряжается на катушку с индуктивностью L. Сколько тепла выделится в катушке к то-му моменту, когда ток в ней достигнет наибольшего значения I? 69. Легкая пружина длиной l и радиусом r имеет n витков. Коэффициент упругости пружины k. К пружине подвешивают груз массой m. На какое максимальное расстояние может сместиться груз, если по пружине про-пустить ток I? Нагреванием пружины пренебречь. 70. Две катушки имеют взаимную индуктивность L12=5мГн. В первой ка-тушке ток изменяется по закону I=I0sinωt, где I0=10A, ω=2π/T и T=0,02c. Найти зависимость от времени ЭДС, индуцируемой во второй катушке, и наибольшее значение этой ЭДС. 71. Соленоид сечением S=5 см2 содержит N=1200 витков. Индукция маг-нитного поля внутри соленоида при токе I=2A равна В=0,01 Тл. Опреде-лить индуктивность соленоида. (Ответ : L=3∙10-3 Гн). 72. Какова индуктивность реостата, имеющего N=500 витков проволоки диаметром d=0,4 мм, вплотную прилегающих друг другу? Диаметр обмот-ки реостата d=0,05 м. Толщиной изоляции пренебречь. (Ответ: L=3∙10-3Гн). 73. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой 5А/с, во второй катушке возникает э.д.с. индукции 0,1 В. Определить коэффициент взаим-ной индукции катушек. (Ответ : L12=0,02 Гн). 74. Соленоид содержит N=1000 витков. Сила тока в обмотке соленоида I=1A, магнитный поток Ф=0,01 Вб. Вычислить энергию магнитного поля. (Ответ: Wm=5Дж). 75. В соленоиде объемом V = 500 см3 с плотностью обмотки n = 104 вит-ков на метр (м-1) при увеличении силы тока наблюдалась ЭДС самоиндук-ции εis=1B. Каковы скорость изменения силы тока и магнитного потока в соленоиде, если общее число витков N = 1000? Сердечник соленоида не-магнитный. 76. Прямой проводник длиной 1,5 м, движущийся равноускоренно в од-нородном магнитном поле с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 10 м/с2, переместился на расстояние 0,5 м. Найти среднюю ЭДС индукции

43

в проводнике. Индукция магнитного поля равна 0,2 Тл и направлена пер-пендикулярно скорости движения проводника. Найти также мгновенное значение ЭДС индукции в проводнике в конце перемещения. 77. Алюминиевое кольцо расположено в однородном магнитном поле так, что его плоскость перпендикулярна вектору магнитной индукции по-ля. Диаметр кольца 25 см, толщина провода кольца 2 мм. Определить ско-рость изменения магнитной индукции поля со временем, если при этом в кольце возникает индукционный ток 12 А. 78. Рамка площадью S = 100 см2 равномерно вращается c частотой n = 5 c - 1 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикуляр-ной линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,5 Тл). Опреде-лить среднее значение ЭДС индукции < i > за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до макси-мального значения. 79. Рамка, содержащая N = 1000 витков площадью S = 100 см 2, равно-мерно вращается c частотой n = 10 c–1 в магнитном поле напряженностью Н = 104 А/м. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям напряженности. Определить максимальную ЭДС индукции max, возникающую в рамке. 80. Соленоид диаметром 10 см и длиной 60 см имеет 1000 витков. Сила тока в нем равномерно возрастает на 0,2 А за 1 с. На соленоид надето кольцо из медной проволоки, имеющей площадь поперечного сечения 2 мм2. Найти силу индукционного тока, возникающего в кольце. 81. В однородном магнитном поле находится плоский виток площадью 10 см2, расположенный перпендикулярно линиям индукции. Найти силу тока, текущего по витку, если поле убывает с постоянной скоростью 0,1 Тл/с. Сопротивление витка 10 Ом. 82. В однородном магнитном поле c индукцией B = 0,5 Тл вращается c частотой n = 10 c–1 стержень длиной ℓ = 20 см. Ось вращения параллельна линиям индукции и проходит через один из концов стержня перпендику-лярно его оси. Определить разность потенциалов U на концах стержня. 83. Круговой проволочный виток площадью S = 0,01 м2 находится в од-нородном магнитном поле, индукция которого В = 1 Тл. Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найти среднюю ЭДС индукции < ε >, возникающую в витке при выключении поля в течение времени t = 10 мс. 84. Рамка, имеющая 30 витков, вращается около горизонтальной оси, ле-жащей в ее плоскости и перпендикулярной плоскости магнитного мери-диана, с частотой 10 с–1. Напряженность магнитного поля Земли 40 А/м. В рамке индуцируется максимальная ЭДС =0,001 В. Найти площадь рамки. 85. Рамка, площадь которой S = 16 см2, вращается в однородном магнит-ном поле с частотой n = 2 с-1. Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность маг-

44

нитного поля H = 79,6 кА/м. Найти зависимость магнитного потока Ф, пронизывающего рамку, от времени t и наибольшего значения Фmax маг-нитного потока. 86. Между полюсами динамо-машины создано поле с индукцией 0,7 Тл, Якорь машины состоит из 100 витков площадью 500 см2 каждый. Найти частоту вращения якоря, если в нем индуцируется максимальная ЭДС 200 В. 87. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальвано-метру, вставили прямой магнит. При этом по цепи прошел заряд Q = 50 мкКл. Определить изменение магнитного потока Ф через кольцо, если сопротивление цепи гальванометра r = 10 Ом. 88. Тонкий медный провод массой m = 5 г согнут в виде квадрата и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (B = 0,2 Тл), так, что его плоскость перпендикулярна линиям поля. Определить заряд q, который потечет по проводнику, если квадрат, потянув за противополож-ные вершины, вытянуть в линию. 89. Рамка из провода сопротивлением r = 0,04 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле (B = 0,6 Тл). Ось вращения лежит в плоско-сти рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки S = 200 см2. Определить заряд q, который потечет по рамке при изменении угла между нормалью к рамке и линиями индукции: 1) от 0 до 45°; 2) от 45 до 90°. 90. Проволочный виток радиусом R = 5 см и сопротивлением r = 0,02 Ом находится в однородном магнитном поле (B = 0,3 Тл). Плоскость витка со-ставляет угол = 40° c линиями индукции. Kaкой заряд q потечет по витку при выключении магнитного поля? 91. Соленоид сечением S = 10 см2 содержит N = 1000 витков. Индукция магнитного поля внутри соленоида при силе тока I = 5 А равна В = 0,1 Тл. Определить индуктивность L соленоида.(Ответ:L=0,02 Гн.) 92. На картонный каркас длиной ℓ = 0,8 м и диаметром D = 4 см намотан в один слой провод диаметром d = 0,25 мм так, что витки плотно прилега-ют друг к другу. Вычислить индуктивность L получившегося соленои-да.(Ответ: L=0,02 Гн.) 93. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет N = 250 витков и индуктивность L1 = 36 мГн. Чтобы увеличить индуктив-ность катушки до L2 = 100 мГн, обмотку катушки сняли и заменили обмот-кой из более тонкой проволоки c таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Сколько витков оказалось в катушке после перемотки? (Ответ:N2=750.) 94. Индуктивность соленоида, намотанного в один слои на немагнитный каркас, L = 0,5 мГн. Длина соленоида ℓ = 0,6 м, диаметр D = 2 см. Опреде-лить число витков n, приходящихся на единицу длины соленои-да.(Ответ:n=1452,88 м-1.)

45

95. Сколько витков проволоки диаметром d = 0,4 мм с изоляцией ни-чтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром D = 2 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью L = l мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу.(Ответ:N=1013.) 96. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет N1 = 750 витков и индуктивность L1 = 25 мГн. Чтобы увеличить индуктив-ность катушки до L2 = 50 мГн, обмотку с катушки сняли и заменили об-моткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катуш-ки уменьшилась в 2 раза. Определить число N2 витков катушки после перемотки.(Ответ:N=750.) 97. Соленоид, площадь сечения которого равна S = 5 см2, содержит N = 1200 витков. Индукция магнитного поля внутри соленоида при силе тока I = 2 А равна В = 0,01 Тл. Определить индуктивность L соленои-да.(Ответ: L=3,00·10-3 Гн.) 98. Соленоид имеет стальной полностью размагниченный сердечник объ-емом V = 500 см3. Напряженность магнитного поля соленоида при силе то-ка I = 0,6 А равна H = 1000 А/м. Определить индуктивность L соленои-да.(Ответ:L=1,53 Гн.) 99. Обмотка соленоида c железным сердечником содержит N = 600 витков. Длина сердечника ℓ = 40 см. Как и во сколько раз изме-нится индуктивность L соленоида, если сила тока, протекающего по об-мотке, возрастает от I1 = 0,2 А до I2 = 1 А?(Ответ:L1/L2=0,28. Индуктив-ность уменьшается в L1/L2=3,54 раз.) 100. На железный, полностью размагниченный сердечник диаметром D = 5 см и длиной ℓ = 80 см, намотано в один слой N = 240 витков провода. Вычислить индуктивность L получившегося соленоида при силе тока I = 0,6 А.(Ответ: L=0,63 Гн.) 101. Если сила тока, проходящего в соленоиде, изменяется на 50 А в се-кунду, то на концах обмотки соленоида возникает ЭДС самоиндукции 0,08 В. Определить индуктивность соленоида.(Ответ:L=1,60·10-3 Гн.) 102. Силу тока в катушке равномерно увеличивают при помощи реостата на ΔI = 0,6 А в секунду. Найти среднее значение ЭДС <εis> самоиндукции, если индуктивность катушки L = 5 мГн.(Ответ:L=3,00·10-3 Гн.) 103. Соленоид содержит N = 800 витков. Сечение сердечника (из немаг-нитного материала) S = 10 см2. По обмотке течет ток, создающий поле c индукцией B = 8 мТл. Определить среднее значение ЭДС <εis> самоиндук-ции, которая возникает на зажимах соленоида, если ток уменьшается прак-тически до нуля за время Δt = 0,8 мс.(Ответ: <εsi>= 8,00 В.) 104. В электрической цепи, содержащей сопротивление r = 20 Ом и индук-тивность L = 0,06 Гн, течет ток силой I = 20 А. Определить силу тока в це-пи через Δt = 0,2 мс после ее размыкания.(Ответ: I = 18,71 A) 105. По замкнутой цепи c сопротивлением r = 20 Ом течет ток. Через 8 мс после размыкания цепи сила тока в ней уменьшилась в 20 раз. Определить

46

индуктивность цепи.(Ответ:L=5,34 ·10-3Гн.) 106. Цепь состоит из катушки индуктивностью L = 0,1 Гн и источника то-ка. Источник тока отключили, не разрывая цепь. Время, по истечении ко-торого сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значения, равно t = 0,07 c. Определить сопротивление r катушки.(Ответ: R =9,87 Ом.) 107. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением r = 10 Ом и ин-дуктивностью L = 0,2 Гн. Через сколько времени сила тока в цепи достиг-нет 50% максимального значения?(Ответ: ∆t = 1,38·10-2 с.) 108. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением r = 20 Ом. По истечении времени t = 0,1 c сила тока I замыкания достигла 0,95 предель-ного значения. Определить индуктивность L катушки.(Ответ:L=0,67 Гн.) 109. В соленоиде сечением S = 5 см 2 создан магнитный поток Ф = 20 мкВб. Определить объемную плотность ω энергии магнитного поля соленоида. Сердечник отсутствует. Магнитное поле во всем объеме соле-ноида считать однородным.(Ответ:ω=636,62 Дж/м3.) 110. Соленоид длиной 50 см и диаметром 0,8 см имеет 20000 витков мед-ного провода и находится под постоянным напряжением. Определить вре-мя, в течение которого в обмотке соленоида выделится количество тепло-ты, равное энергии магнитного поля в соленоиде.(Ответ: t=1,45·10-6 с.) 111. Магнитный поток в соленоиде, содержащем N = 1000 витков, равен Ф = 0,2 мВб. Определить энергию W магнитного поля соленоида, если сила тока, протекающего по виткам соленоида, равна I = 1 А. Сердечник отсут-ствует. Магнитное поле во всем объеме соленоида считать однород-ным.(Ответ: W= 0,10 Дж.) 112. Диаметр тороида (по средней линии) D = 50 см. Тороид содержит N = 2000 витков и имеет площадь сечения S = 20 см2. Вычислить энергию W магнитного поля тороида при силе тока I = 5 А. Считать магнитное поле тороида однородным. Сердечник выполнен из немагнитного материа-ла.(Ответ: W= 0,08 Дж.) 113. По проводнику, изогнутому в виде кольца радиусом R = 20 см, со-держащему N = 500 витков, течет ток силой I = 1 А. Определить объемную плотность ω энергии магнитного поля в центре кольца.(Ответ: ω=0,98 Дж/м3.) 114. При какой силе тока I в прямолинейном проводе бесконечной длины на расстоянии r = 5 см от него объемная плотность энергии магнитного поля будет равна ω = 1 мДж/м3?(Ответ:I=12,53 A.) 115. Магнитное поле создается протекающим по катушке постоянным то-ком. Магнитный поток этого поля через катушку равен 0,1 Вб, индуктив-ность катушки 0,01 Гн. Чему равна энергия магнитного поля катуш-ки?(Ответ: W= 0,50 Дж.) 116. Обмотка тороида имеет n = 10 витков на каждый сантиметр длины (по средней линии тороида). Вычислить объемную плотность энергии ω маг-нитного поля при силе тока I = 10 А. Сердечник выполнен из немагнитного

47

материала, и магнитное поле во всем объеме однородно.(Ответ: ω=62,83 Дж/м3 .) 117. Обмотка соленоида содержит n = 20 витков на каждый сантиметр длины. При какой силе тока I объемная плотность энергии магнитного по-ля будет ω = 0,1 Дж/м3? Сердечник выполнен из немагнитного материала, и магнитное поле во всем объеме однородно.(Ответ: I=0,20 A.) 118. При индукции В поля, равной 1 Тл, плотность энергии ω магнитного поля в железе равна 200 Дж/м3. Определить магнитную проницаемость μ железа в этих условиях. (Ответ: μ=1389.) 119. Индукция магнитного поля тороида со стальным сердечником воз-росла от B1 = 0,5 Тл до B2 = 1 Тл. Найти, во сколько раз изменилась объем-ная плотность энергии ω магнитного поля. Для определения магнитной проницаемости воспользоваться графической зависимостью, приводимой в справочниках. Явление гистерезиса не учитывать.(Ответ: ω1/ω2=6,36.) 120. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет n = 10 витков на каждый сантиметр длины. Определить плотность энергии ω поля, если по обмотке течет ток I = 16 А.(Ответ: ω=160,85 Дж/м3 .) 121. Индуктивность соленоида при длине 1 м и площади поперечного се-чения 20 см2 равна 0,4 мГн. Определить силу тока в соленоиде, при кото-рой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 0,1 Дж/м3.(Ответ: Ответ: I= 1,00 А.) 122. Соленоид имеет длину ℓ = 0,5 м и сечение S = 10 см2. При некоторой силе тока, протекающего по обмотке, в соленоиде создается магнитный поток Ф = 0,1 мВб. Чему равна энергия W магнитного поля соленоида? (Сердечник – немагнетик, магнитное поле во всем объеме однород-но).(Ответ:W=1,99 Дж.)

48

ГЛАВА 3. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА


Связь орбитального магнитного mp и орбитального механического eL

моментов электрона

eem LmeLgp

2 ,

где meg 2 - гиромагнитное отношение орбитальных моментов. Намагниченность

VpVPJ am

, где am pP

- магнитный момент магнетика, равный векторной сумме магнитных моментов отдельных молекул. Связь между намагниченностью и напряженностью магнитного поля

HJ

, где - магнитная восприимчивость вещества. Связь между векторами J,H,B

JHB

0 ,

где 0 - магнитная постоянная. Связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчиво-стью вещества

1 Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуля-ции вектора B

)

IIdBdB 0L

lL

,

где

d - вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; lB - составляющая вектора B

в направлении касательной контура

L произвольной формы; I и I - соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых заданным контуром. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

IdHL

,

где I - алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых конту-ром L .

49


3.1. Считая, что электрон в атоме водорода обращается по круговой орбите радиуса см1053,0r 8 со скоростью с/см1022 7 , вычис-лить его орбитальный магнитный момент.

Дано:

?P________________________

Кл106,1eс/м1022с/см1022

м100,53см1053,0r

m

19

57

-108

Решение: Движение электрона по орбите можно

рассматривать как круговой ток I, обла-дающий магнитным моментом:

ISРm , где 2rS - площадь, ограниченная орби-той электрона.

Если электрон за одну секунду делает n оборотов, то enI , а nr2 , откуда

r2n

и r2

eI

.

Тогда магнитный момент электрона будет равен:

2rer

r2eSIP 2

m

.


.мА103,9мA2

1053,01022106,1P 224210519

m

Ответ : 224m мА 10P .

3.2. Соленоид длиной см,20l площадью поперечного сечения

2см10S и общим числом витков 400N находится в диамагнитной среде. Определить силу тока в обмотке соленоида, если его индуктив-ность мГн1L и намагниченность J внутри соленоида равна м/A20 .

Дано:

?-I________________

A/м20J,Гн10мГн1L

,400N,м10см10S

м,0,2см20l

3-

232

Решение: Намагниченность внутри соленоида

,HJ где - магнитная восприимчивость вещества; H - на-пряженность магнитного поля.

Так как магнитная проницаемость вещества ,1 то

.)1( HJ (1) Циркуляция вектора напряженности магнитного поля

50

k

kL L

1 IdHdH

,

т.е. равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуров. Для соле-ноида NIHl , откуда

./ lNIH

Индуктивность соленоида lSNL /20 , тогда .2

0 SNLl

Под-

ставив значения и H в формулу (1), получим

,l

NI1SN

LlJ 20

откуда искомая сила тока

.1

SNLlN

JlI

20

Вычисляя и учитывая, что для диамагнетиков 0 , получаем .A09,2I Ответ: .A09,2I

3.3. Cоленоид, находящийся в диамагнитной среде, имеет длину l=50

см, площадь поперечного сечения 10 см2 и число витков N=1200. Индук-тивность соленоида L=36 мГн, а сила тока, протекающего по нему I=0,8 А. Определить: 1) Магнитную индукцию внутри соленоида; 2) Намагни-ченность внутри соленоида.

Дано:

?-J?-B________________

A0,8IГн106,3L

1200Nм10см10S

м0,5см50l

2

232

Решение: Индуктивность соленоида связана с числом витков

и геометрическими размерами посредством формулы

l

SNL2

0 (1)

где - магнитная проницаемость среды. Поскольку среда является диамагнитной, то не зависит от ха-рактеристик магнитного поля, создаваемого соленои-дом.

Применяя к соленоиду теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля, получим NIdH

L

, откуда lNIH (2)

где контур L охватывает витки соленоида, проходя частично через него. При этом учитывается только та его часть, которая располагается внутри соленоида; где поле приблизительно однородно. Учитывая связь намагни-

51

ченности с напряженностью, HJ 1 , используя выражения (1) и (2), получим

1

112

0

NISN

LJ

(3)

Cвязь индукции с напряженностью HB 0 . После подстановки значе-ния и Н из (1) и (2), находим

NSLIB (4)

Подстановка в (3) и (4) численных значений величин дает Тл0,7ВА/м;1,10J . Ответ: Тл0,7ВА/м;1,10J


123. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса. Чему равно отношение магнитного момента эквива-лентного кругового тока к величине момента импульса орбитального дви-жения электрона. (Ответ : pm/L=8,8∙1010A∙c/кг). 124. В магнитном поле с индукцией 2∙10-5Тл помещен шарик из висмута (χ=-1,76∙10-4) радиусом 5 мм. Каков магнитный момент шарика? Куда он направлен? (Ответ: pm=1,5∙10-9A∙м2, против поля). 125. Решить предыдущую задачу для шарика из вольфрама (χ=1,76∙10-4). (Ответ: pm=1,5∙10-9A∙м2, вдоль поля). 126. В соответствии с законом Кюри магнитная восприимчивость пара-магнитного вещества обратно пропорциональна его абсолютной темпера-туре. Для некоторого парамагнетика магнитная восприимчивость опреде-

500 1000 1500 0

0.5

1.0

1.5 B, Тл

H, А/м Рис.3.1

52

лена при 0˚С. Определить, как должна измениться температура, чтобы маг-нитная восприимчивость возросла на 10%. (Ответ : T2=248K) 127. Алюминиевый стержень (μ=1,000023) внесен в однородное магнит-ное поле. Сколько процентов суммарного поля в этом стержне приходится на долю внутреннего магнитного поля. (Ответ : Х=0,0023%) 128. Зная, что напряженность однородного магнитного поля в вольфраме Н=10А/м, определить магнитную индукцию поля, обусловленную намаг-ничиванием. Магнитная восприимчивость для вольфрама χm=1,75∙10-4. (Ответ : Tл102,2B 9 ). 129. Кривая первоначального намагничивания технически чистого железа показана на рисунке 3.1. Пользуясь графиком, найти значение магнитной проницаемости этого материала при напряженностях магнитного поля: 50A/м ; 75А/м ; 100A/м ; 200A/м; 500A/м ; 1000A/м ; 1500A/м. 130. В условиях предыдущей задачи построить график зависимости маг-нитной проницаемости от напряженности поля. По графику оценить, при какой напряженности достигается максимальная магнитная проницаемость и чему она ориентировочно равна. (Ответ: μmax=9,6∙103 при H=75A/м). 131. Железный сердечник находится в однородном магнитном поле на-пряженностью H = 1 кА/м. Определить индукцию В магнитного поля в сердечнике и магнитную проницаемость железа. Для определения маг-нитной проницаемости воспользоваться графической зависимостью, при-водимой на рис.3.1. Явление гистерезиса не учитывать.(Ответ: μ=1034,51.) 132. На железное кольцо намотано в один слой N = 500 витков провода. Средний диаметр d кольца равен 25 см. Определить магнитную индукцию В в железе и магнитную проницаемость железа, если сила тока I в об-мотке: 1) 0,5 А; 2) 2,5 А. Для определения магнитной проницаемости вос-пользоваться графической зависимостью, приводимой на рис.3.1. Явление гистерезиса не учитывать.(Ответ: В1=1,00 Тл; μ1=2500; В2=1,38 Тл; μ2=690.) 133. Замкнутый соленоид (тороид) с железным сердечником имеет п = 10 витков на каждый сантиметр длины. По соленоиду течет ток I = 2 А. Вы-числить магнитный поток Ф в сердечнике, если его сечение S = 4 см2. Для определения магнитной проницаемости воспользоваться графической за-висимостью, приводимой на рис.3.1. Явление гистерезиса не учиты-вать.(Ответ: Ф=5,20·10-4 Вб; μ=517.) 134. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит N = 500 вит-ков. Длина ℓ сердечника равна 50 см. Как и во сколько раз изменится ин-дуктивность L соленоида, если сила тока, протекающего по обмотке, воз-растет от I1 = 0,2 А до I2 = 1 А. Для определения магнитной проницаемости воспользоваться графической зависимостью, приводимой на рис.3.1. Явле-ние гистерезиса не учитывать.(Ответ: μ1=3382; μ2=676; Индуктивность уменьшается в L1/l2=3,269 раз.) 135. Соленоид намотан на железное кольцо сечением S = 5 см2. При силе

53

тока I = 1 А магнитный поток Ф = 250 мкВб. Определить число п витков соленоида, приходящихся на отрезок длиной 1 см средней линии кольца. Для определения магнитной проницаемости воспользоваться графической зависимостью, приводимой на рис. 3.1. Явление гистерезиса не учиты-вать.(Ответ: μ=249; т=16м-1.) 136. В железном сердечнике соленоида индукция В = 1,3 Тл. Железный сердечник заменили стальным. Определить, во сколько раз следует изме-нить силу тока в обмотке соленоида, чтобы индукция в сердечнике оста-лась неизменной. Для определения магнитной проницаемости воспользо-ваться графической зависимостью, приводимой на рис.3.1. Явление гистерезиса не учитывать.(Ответ:I1/I2=2.) 137. Железный сердечник тороида, длина ℓ которого по средней линии равна 1 м, имеет вакуумный зазор длиной ℓ0 = 4 мм. Обмотка содержит п = 8 витков на 1 см. При какой силе тока I индукция В в зазоре будет рав-на 1 Тл? Для определения магнитной проницаемости воспользоваться гра-фической зависимостью, приводимой на рис.3.1. Явление гистерезиса не учитывать. 138. Рассчитать отклонение пучка от оси в опытах Штерна и Герлаха при следующих данных установки: длина магнитных полюсов 3,5 см, градиент магнитного поля порядка 102Тл/м. В опыте отклонялись атомы серебра, вылетавшие из «молекулярной печи» при температуре 7300С; проекция магнитного момента атома серебра на направление вектора индукции маг-нитного поля равна магнетрону Бора. 139. Определить намагниченность J тела при насыщении, если магнитный момент каждого атома равен магнетону Бора μB и концентрация атомов 6∙1028 м-3. 140. Магнитная восприимчивость χ марганца равна 1,21∙10-4. Вычислить намагниченность J, удельную намагниченность Jуд и молярную намагни-ченность Jm марганца в магнитном поле напряженностью H = 100 кА/м. Плотность марганца считать известной. 141. Найти магнитную восприимчивость χ AgBr, если его молярная маг-нитная восприимчивость χm = 7,5∙10-10 м3/моль. 142. Определить магнитную восприимчивость χ и молярную магнитную восприимчивость χm платины, если удельная магнитная восприимчивость χуд = 1,30∙10-9 м3/кг. 143. Магнитная восприимчивость χ алюминия равна 2,1∙10-5. Определить его удельную магнитную χуд и молярную χm восприимчивости. 144. Напряженность Н магнитного поля в меди равна 1 МА/м. Определить намагниченность J меди и магнитную индукцию В, если известно, что удельная магнитная восприимчивость χуд = -1,1∙10-9 м3/кг. 145. Висмутовый шарик радиусом R = 1 см помещен в однородное маг-нитное поле (В0 = 0,5 Тл). Определить магнитный момент pm приобретен-ный шариком, если магнитная восприимчивость χ висмута равна –1,5∙10-4.

54

ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ


Циркуляция вектора напряженности BE

поля, создаваемого перемен-

ным магнитным полем,

SL

B SdtBdE

.

Плотность тока смещения

tP

tE

tDj 0ñì

,

где D

- вектор электрического смещения; tE

0

- плотность тока смеще-

ния в вакууме; t

P

- плотность тока поляризации.

Обобщенная теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

SL

Sdt

DjdH

,

j

- плотность тока проводимости; t

D

- плотность тока смещения; S - по-

верхность, ограниченная контуром L. Полная система уравнений Максвелла: - в интегральной форме

SL

Sdt

BdE

; VS

dVSdD

;

SL

Sdt

DjdH

; 0SdBS

;

- в дифференциальной форме

tBErot

; Ddiv

;

tDjHrot

; 0Bdiv

,

55

где ED 0

, HB 0

, Ej

( 0 и 0 - соответственно диэлектриче-

ская и магнитная проницаемости; - удельная проводимость вещества).

56

4.2. Примеры решения задач 4.1. Площадь пластин конденсатора 2см60S , первоначальное рас-

стояние между ними см43,0d , заряд на каждой пластине конденсато-ра Кл10q 9 . Пластины конденсатора стали раздвигаться со скоростью

мм/мин 3 . Определить плотность тока смещения в конденсаторе че-рез 20 с после начала движения пластин, если разность потенциалов ме-жду пластинами конденсатора остается постоянной.

Дано:

?J

______________________.constU

;c20t;с/м105мм/мин. 3

Кл 10q; м103,4мм43,0d

;м106см60S

мc

5-

9-

3

232

Решение: Плотность тока смещения в конденсаторе

равна скорости изменения вектора электриче-ской индукции:

tDJ

(1)

Для случая электрического поля конденсато-ра

SUtC

SqD )( (2)

При раздвижении пластин конденсатора его емкость изменяется со

временем:

tdStC 0

)( (3)

Соответственно будет изменяться и электрическая индукция

td

UD

0 (4)

Тогда величина плотности тока смещения будет равна:

Stdqd

StdUdC

StddUSd

tdU

tDJ 22

02

02

0ìc

.

Учли, что в момент времени 0t : dSC0C 00 )( . Подставив числовые значения, получим:

.А/м102,1А/м10620105103,4

105103,410J 292

3253

539

см

Ответ : .А/м102,1J 29 мc

57

4.2.Точечный заряд движется с постоянной скоростью . Найти плотность тока смещения смj в точке, находящейся на расстоянии r от заряда на прямой: а) совпадающей с траекторией заряда; б) перпендику-лярной к траектории заряда.

Дано:

?_________,

ñìj

r

Решение: Плотность тока смещения по определению

tDjñì

(1)

а) пусть интересующая нас точка есть центр системы координат, а коорди-наты заряда меняются со временем по закону:

0y(t)

t-rx(t)

(2)

Электрическое смещение, создаваемое зарядом в центре координат

0tD

txq

41tD

y

2x

)()(

)( (3)

Подставляя (3) в (1)

0tD

dtdtj

trq

21tx

dtd

txq

21tD

dtdtj

yñì.y

33xì.xc

)()(

)()(

)()()(

.

4.3. Пространство между двумя концентрическими металлическими

сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным со-противлением ρ и диэлектрической проницаемостью ε. В момент t = 0 внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти: а) связь между векторами плотностей тока смещения и тока проводимо-сти в произвольной точке среды в один и тот же момент; б) ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, располо-женную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен 0q .

Дано: q,,

________

??

jjñì.

Решение: Плотность тока смещения по определению

tDjñì

(1)

Т.к. 20 r4qED , то (1) можно переписать в виде

58

tq

r21

tr4qj 2

2

ñì.

(2)

Учитывая, что dtdqI , для плотности тока проводимости получим

ñì22 jdtdq

r41

r4Ij

.

Сопротивление материала цилиндров и его емкость соответственно равны

abab

4R

;

abab4C 0

, (3)

где a и b - внутренний и внешний радиусы соответственно. Согласно закону Ома сила тока через цилиндр

dtdq

CRq

RUI (4)

После подстановки (3) в (4) получим уравнение вида

0

dtqdq

,

решением которого является функция 0

t

0eqq (5) Подстановка (5) в (2) приводит к результату для плотности тока смещения

0

t

20

0ñì e

r4qj .

Для тока смещения соответственно

0

0t

0

0ñì

2ñì

qeqjr4I 0 .

Ответ: jjñì ; 0

0ñì

qI .


146. Определить значения напряженностей электрического и магнитного полей, если плотность энергии электромагнитной волны в воздухе 11∙10-6Дж/м3. (Ответ : Е=336,7 В/м , Н=0,89 А/м). 147. Скорость распространения электромагнитных волн в кабеле умень-шилась на 20 % после того, как пространство между внешним и внутрен-ним проводниками заполнили диэлектриком. Определить электрическую восприимчивость диэлектрика. (Ответ : χе=14,6).

59

148. Длинный цилиндрический конденсатор заряжается от источника ЭДС. Пренебрегая краевыми эффектами, доказать, что ток смещения в ди-электрике, заполняющем пространство между обкладками конденсатора, равен току в цепи источника ЭДС. 149. Записать полную систему уравнений Максвелла для стационарных полей (E=const, B=const) в интегральной и дифференциальной формах и объяснить физический смысл каждого.

150. Доказать, что уравнения Максвелла tBErot

и 0Bdiv

совмести-

мы, т.е. первое из них не противоречит второму. 151. Ток, проходящий по обмотке длинного прямого соленоида радиусом R изменяют так, что магнитное поле внутри соленоида растет со временем по закону B=At2, где А – некоторая постоянная. Определить плотность тока смещения как функцию расстояния r от оси соленоида. Построить график зависимости jсм(r). 152. В физике известно так называемое уравнение непрерывности

tqSdjS

, выражающее закон сохранения заряда. Доказать, что

уравнения Максвелла содержат это уравнение. Вывести дифференциаль-ную форму уравнения непрерывности. 153. Определить силу тока смещения между квадратными пластинами конденсатора со стороной 5 см, если напряженность электрического поля изменяется со скоростью 4,25МВ/(м∙с).

60

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ


Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом T соб-ственных колебаний в контуре без активного сопротивления и индуктив-ностью L контура и его емкостью C :

LCT 2 . Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре и его решение:

tcosqq;qLC

q m 001 ,

где mq - амплитуда колебаний заряда; LC10 - собственная частота контура. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение:

tcoseAs;sdtds

dtsd t

0202

2

02 ,

где s - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс, mr 2 - коэффициент затухания, 0 - циклическая частота свободных

незатухающих колебаний той же колебательной системы; 220 -

частота затухающих колебаний; tAe - амплитуда затухающих колеба-ний. Декремент затухания

TeTtA

tA

,

где tA и TtA - амплитуды двух последовательных колебаний, соот-ветствующих моментам времени, отличающимся на период. Логарифмический декремент затухания

еN

TT 1TtA

tAln

,

где 1 - время релаксации; eN – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз. Добротность колебательной системы

20Q .

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его реше-ние для установившихся колебаний:

61

tcosAs;tcosxsdtds2

dtsd

00202

2

где s - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс, LUx m0 ;

220

0

222220

0

24

xarctg;xA .

Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей по-следовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индук-тивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается пере-менное напряжение tcosUU m :

222

2 1CL RRR

CLRZ

,

где LRL - реактивное индуктивное сопротивление; CRC 1 - реак-тивное емкостное сопротивление. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока

RCLtg 1

.

Действующие значения силы тока и напряжения 22 mm UU;II ,

где mI и mU - амплитудные значения силы тока и напряжения. Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,

cosUIP mm21

,

где

22 C1LRRcos

.

62


5.1. Колебательный контур состоит из воздушного конденсатора с двумя пластинами по 100 2см каждая и катушки с индуктивностью

Ãí10L 5 . Период колебаний в контуре равен 10-7 с. Определить рас-стояние между пластинами конденсатора. Сопротивление ничтожно мало.

Дано:

222 ì10ñì 100S ;

Ф/м.1085,8;1

;с10T;Гн10L

120

7

5

?d_________________

Решение: Расстояние между пластинами конденсатора

можно найти из формулы емкости плоского кон-

денсатора d

SС 0 , где S - площадь пластины

конденсатора, - относительная диэлектриче-ская проницаемость среды, заполняющей кон-денсатор, d - расстояние между пластинами От-сюда:

CSd 0

.

Период колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона:

LCT 2 , где L- индуктивность контура. Отсюда,

dTC 2

2

4 .

Тогда 20

2

TSL4d

.


.м103,49м1010

10101085,8187,94d 3-77

5212

Ответ : .м1049,3d 3 5.2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью

мГн25L , конденсатора емкостью мкФ10С и резистора. Опреде-лить сопротивление резистора, если известно, что амплитуда тока в контуре уменьшилась в е раз за 16 полных колебаний.

63

Дано:

?

161010

1025мГн255

-3

R____________________

NФмкФС

ГнL

e

Решение: Число колебаний, совершаемых за время умень-шения амплитуды силы тока в е раз,

TNe ,

где 1 - время релаксации; 2202 T

- условный период затухания колебаний ( LC10 - собственная частота контура;

L2R - коэффициент затухания). Подставив эти выражения в (1), получим

1CRL4

21

2L4

RLC1

RL2

N 2

2

2

e

,

откуда искомое сопротивление

2e

2 N41CL2R

.

Подставляя числовые значения, получим

Ом99,0Ом25686,94110

105,22R 5

2

.

Ответ: Ом99,0R . 5.3. Сколько времени будет гореть неоновая лампочка в течение 1

мин при подключении ее в сеть переменного синусоидального тока с дей-ствующим значением напряжения В120U Д и частотой Гц50f , если лампочка зажигается и гаснет при напряжении U=84 В?

Дано:

?t__________

Гц84UГц50f

В120Uмин1t

x

Д

0

Решение: При включении лампочки в сеть переменного тока напряжение на ее электродах меняется с течением времени по закону

)tf2sin(UU 0 (1) где 0U - максимальное значение напряжения. Максимальное значение синусоидального напря-жения связано с действующим равенством

2UU ä0 (2) Так как лампочка зажигается и гаснет при напряжении 01 UU , то в течение одного полупериода она будет гореть в течение времени

12 ttt (3)

64

где 21 tи t - интервалы времени, прошедшего от начала периода Т до мо-мента вспышки и гашения. Всего за время 10 t мин лампочка горит в те-чение времени

ttf2t 0x (4)

поскольку в интервале 0t будет содержаться 00 tf2

Tt2 промежутков t .

В уравнении (1) после подстановки выражения (2) все величины, кроме t, будут известны, и из полученного уравнения можно определить значение

21 tи t . Подставляя числовые значения дгашзаж Uи UUU , найдем:

212

t

Tsin , откуда в пределах

2T :

62

1

tT

; 121Tt ;

65t

T2

2 ; Tt35

2

Следовательно, 312Tttt ; с

1501t

Подставляя после этого числовые значения в уравнение (4), найдем время горения неоновой лампочки за 1 мин: с40tx . Ответ: с40tx

5.4. В сеть переменного синусоидального тока включены последова-тельно конденсатор емкостью С=100 мкФ и катушка индуктивности диаметром d=10 см, состоящая из n=1000 витков медной проволоки сече-нием S=1мм2, вплотную прилегающих друг к другу. Какая средняя тепло-вая мощность выделяется на активном сопротивлении катушки индук-тивности за 1 период колебания тока в цепи, если амплитудное значение напряжения в сети равно В120U 0 ? При какой частоте тока эта мощ-ность будет максимальной? Сопротивлением подводящих проводов пре-небречь. Удельное сопротивление меди мОм10017,0 6 .

Дано:

?f?P

___________________мОм100,017

В120Uмм1S

1000nм0,1мc10d

Ф10мкФ100С

6-

0

2

4

Решение: Если в сеть синусоидального напряжения включены емкость, индуктивность и активное сопротивление, то рассеивание мощности P происходит на активном сопротивлении, где она выделяется в виде тепла. В нашем примере активным сопротивлением R является сопро-тивление проводов катушки индуктивности. Поскольку напряжение на этом сопротивлении совпадает по фазе с током и 0 , то

2UIP 00 , (1)

65

где 0I - амплитудное значение тока в цепи. По закону Ома

Z

UI 00 (2)

где Z- полное сопротивление цепи переменного тока. Поскольку сопротив-лением подводящих проводов можно пренебречь, Z состоит из активного сопротивления катушки R, сопротивления конденсатора cR и сопротивле-ния индуктивности LR :

2

2

212

fCfLRZ

(3)

где f - частота тока в городской сети, равна 50 Гц. Активное сопротивление обмотки из медной проволоки удельным

сопротивлением и сечением S равно:

S

DnSlR

(4)

где n- число витков; D- средний диаметр катушки. Учитывая, что длина ка-

тушки Snndl 2 и витки вплотную прилегают друг к другу, для ее

индуктивности получим:

S8

DnL2

0 (5)

Последовательно подставляя числовые значения в формулы (5), (4) и (3), находим: Гн109L 3 ; Ом34,5R ; мО36,5Z После этого из соотношений (1) и (2) найдем:

2

20

Z2RUP ; кВт34,1P

Из последней формулы видно, что мощность тепловых потерь макси-мальна в том случае, когда полное сопротивление цепи минимально. Со-гласно выражению (3) RZZ мин , если выражение, стоящее в скобках,

равно нулю. Это возможно при частоте LC2

1f

; кКц 6,5f .

Мощность, выделяемая на активном сопротивлении при такой частоте, равна:

R

UP2

20

0 ; кВт35,1P0 .

Ответ: кВт34,1P , кГц 6,5f .

66

5.5. Конденсатор емкостью пФ50С сначала подключили к источ-нику тока с ЭДС В3 , а затем к катушке с индуктивностью

мкГн1,5L . Найти частоту колебаний, возникающих в контуре, макси-мальное значение силы тока в контуре и его действующее значение.

Дано:

Ф1050пФ50С -12 В3

мкГн1,5L __________________

??

?

II m

Решение: На рис. 4.5 ключ К, при помощи которого конден-сатор С подключается к источнику ЭДС. При этом конденсатор заряжается до напряжения U и его заряд Cqm . Затем при помощи ключа заря-женный конденсатор подключают к катушке. В колебательном контуре возникают колебания за-ряда, тока и напряжения на конденсаторе. Собст-венная частота колебаний

рад/с103,6LC1 7

0 (1)

Определить максимальное значение силы тока в контуре можно двумя способами: 1) т.к. в контуре возникают гармониче-ские колебания заряда, то заряд изменяет-ся с течением времени по закону tqtq 0m cos)( (2) Ток в контуре определяется скоростью изменения заряда, т.е.

2tcosqtsinq)t(qI 00m00m

(3) Из (3) следует, что амплитуда силы тока в колебательном контуре

LC

LC1CqI 0mm (4)

2. Начальная энергия контура сосредоточена в электрическом поле кон-денсатора и равна

2

CW2

1

(5)

В тот момент времени, когда сила тока достигнет своего максимального значения, заряд конденсатора станет равен нулю, вся энергия контура бу-дет сосредоточена в катушке и равна

2

LIW2m

2 (6)

По закону сохранения энергии 21 WW , тогда из (5) и (6) следует

С L

К

Рис.4.1

67

2

LI2

C 2m

2

, (7)

откуда

LCI m (8)

Как видно при различных способах решения получен одинаковый резуль-тат (см. (4) и (8)). Подстановка численных значений приводит к следующему значению ам-плитуды силы тока в контуре A1049I 3

m , .

Действующее значение тока соответственно равно A10682

II 3m , .

Ответ: мА8,6IмА;4,9I m .


154. Колебательный контур с ничтожно малым сопротивлением имеет ин-дуктивность 155. L=1,6∙10-4Гн, а емкость С=0,04мкФ. Максимальное напряжение на зажимах U=300B. Определить максимальную силу тока в контуре. (Ответ : Imax=1,5A). 156. В цепь, индуктивность которой L=0,01Гн, а активное сопротивление R=400Ом, включается батарея из двух заряженных конденсаторов емко-стью С=1,5∙10-5Ф и С=0,5∙10-5Ф. Определить период возникших в цепи электромагнитных колебаний, если конденсаторы соединены параллельно. (Ответ: T=6,28∙10-3c). 157. Емкость колебательно контура C=7мкФ, индуктивность L=0,23Гн и сопротивление Îì40R . Заряд на обкладках конденсатора q=5,6∙10-4Кл. Чему равен логарифмический декремент затухания колебаний? Какая раз-ность потенциалов будет на обкладках конденсатора в момент времени, равный двум периодам. Время отсчитывать от момента, соответствующего наибольшей разности потенциалов на обкладках конденсатора. (Ответ: δ=0,7; U=20B) 158. Вывести выражение для индуктивного сопротивления и сдвига фаз в цепи переменного тока с катушкой, полагая ее активное сопротивление равным нулю. 159. Вывести выражение для емкостного сопротивления и сдвига фаз в цепи переменного тока с конденсатором. 160. Тонкий провод в виде кольца массой m = 5 г свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу течет ток силой

68

I = 6 А. Период малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси равен Т = 2,2 c. Найти индукцию В магнитного поля. 161. Из тонкой проволоки массой m = 4 г изготовлена квадратная рамка. Рамка свободно подвешена на неупругой нити и по ней пропущен ток си-лой I = 8 А. Определить частоту малых колебаний рамки в магнитном по-ле c индукцией B = 20 мТл. 162. Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля. При изменении индукции поля период колебаний стрелки уменьшился в 5 раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало. 163. Квадратная рамка из тонкого провода массой m = 40 г свободно под-вешена на неупругой нити за один из углов в однородном магнитном поле c индукцией B = 20 мТл. Период малых крутильных колебаний относи-тельно вертикальной оси равен Т = 2,09 c. Найти силу тока, текущего в рамке. 164. Через катушку, индуктивность которой равна L=0,021Ãi, течет ток, изменяющийся со временем по закону I = I0 sin ωt, где I0 = 5 A, ω = 2π/T и Т = 0,02 с. Найти зависимость от времени: 1) ЭДС самоиндукции, возни-кающей в катушке, 2) энергии магнитного поля. 165. В сеть переменного тока с действующим напряжением 110 В включе-ны последовательно конденсатор емкостью 50 мкФ, катушка индуктивно-стью 200 мГн и активным сопротивлением 4 Ом. Определить амплитуду силы тока в цепи, если частота переменного тока 100 Гц, а также частоту переменного тока, при которой в данном контуре наступит резонанс на-пряжений. 166. В электрической цепи с малым активным сопротивлением, содержа-щей последовательно соединенные конденсатор емкостью 0,2 мкФ и ка-тушку индуктивностью 1 мГн, сила тока при резонансе изменяется по за-кону I = 0,02 sin ωt. Найти мгновенное значение силы тока, а также мгновенные значения напряжений на конденсаторе и катушке через 1/3 пе-риода от начала возникновения колебаний. 167. В электрической цепи, содержащей последовательно соединенные конденсатор емкостью 0,02 мкФ и катушку индуктивностью 10 мГн, на-пряжение на конденсаторе изменяется по закону UC = 0,01 sin ωt. Найти мгновенное значение силы тока, а также мгновенные значения напряжения на конденсаторе и катушке через 1/6 периода. 168. В сеть переменного тока с напряжением 120 В последовательно вклю-чены проводник с активным сопротивлением 15 Ом и катушка индуктив-ностью 50 мГн. Найти частоту тока, если амплитуда тока в цепи 7 А.(Ответ:N=1013.) 169. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц после-довательно включены резистор сопротивлением R = 100 Ом, катушка ин-

69

дуктивностью L = 0,5 Гн и конденсатор емкостью C = 10 мкФ. Определите силу тока в цепи, падение напряжения на конденсаторе и падение напря-жения на катушке. 170. Колебательный контур имеет индуктивность 1,6 мГн и емкость 0,04 мкФ. Максимальное напряжение на зажимах конденсатора 200 В. Оп-ределить максимальную силу тока в контуре. Активным сопротивлением контура пренебречь. 171. Найти мгновенное и действующее значения ЭДС переменного тока через 0,002 с от начала колебаний, если амплитудное значение ЭДС 127 В, Частота переменного тока 50 Гц, начальная фаза равна нулю. 172. Катушка с индуктивностью L = 30 мкГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин S = 0,01 м2 и расстоянием между ними d = 0,1 мм. Найти диэлектрическую проницаемость ε среды, заполняющей пространство между пластинами, если контур настроен на длину волны λ = 750 м. 173. Катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 3 см2 имеет 1000 витков и соединена параллельно с воздушным конденсатором. Кон-денсатор состоит из двух пластин площадью 75 см2 каждая. Расстояние между пластинами 5 мм. Определить период колебаний полученного кон-тура. 174. В колебательном контуре индуктивность катушки можно изменять от 50 до 500 Гн, а емкость конденсатора – от 10 до 1000 пФ. Какой диапазон частот можно получить при настройке такого контура? 175. Колебательный контур содержит соленоид (длина ℓ = 5 см, площадь поперечного сечения S1 = 2 см2, число витков N = 500) и плоский конденса-тор (расстояние между пластинами d = 1 мм, площадь пластин S2 = 50 см2). Определите частоту ω собственных колебаний контура. 176. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков N = 200 индуктивностью L = 10 мкГн и конденсатор емкостью C = 1 нФ. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора составляет Umax = 100 В. Определите максимальный магнитный поток, пронизываю-щий катушку.(Ответ:Фmax=5,00·10-8 Вб) 177. Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в коле-бательном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раздвигании пла-стин конденсатора частота колебаний увеличилась в 2 раза. Определите работу, совершенную против сил электростатического поля.(Ответ: А=6,00·10-4 Дж) 178. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 25 нФ и катушки с индуктивностью L = 1,015 Гн. Обкладки конденсатора имеют заряд q = 2,5 мкКл. Написать уравнение (с числовыми коэффициентами) изменения разности потенциалов U на обкладках конденсатора и тока I в цепи. Найти разность потенциалов на обкладках и ток в цепи в моменты времени Т/8; T/4;T/2. Построить графики этих зависимостей в пределах од-

70

ного периода.(Ответ: I(t)=-1,57·10-2 · sin(6278 t); Uc(t)=100·cos(6278 t); I(T/8)=-1,11·10-2 A; I(T/4)=-1,57·10-2 A; I(T/2)=0 A; Uc (T/8)=70,71 B; Uc (T/4)=0 B; Uc (T/2)=-100 B ) 179. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обклад-ках конденсатора в колебательном контуре дано в виде U = 50 cos 104 πt B. Емкость конденсатора 0,1 мкФ. Найти: 1) период колебаний, 2) индуктивность контура, 3) закон изменения со временем силы тока в це-пи, 4) длину волны, соответствующую этому контуру.(Ответ: Т=2,00·10-4 с; L=1,01·10-2 Гн; I(t)=157·sin(104 π t); λ=6,00·104м) 180. Конденсатор емкостью 20 мкФ и реостат, активное сопротивление которого 150 Ом, включены последовательно в цепь переменного тока час-тотой 50 Гц. Какую часть напряжения, приложенного к этой цепи, состав-ляет падение напряжения: 1) на конденсаторе, 2) на реостате?(Ответ: UR/U=0,686; UC/U=0,727) 181. Рамка площадью S = 100 см2 содержит N = 103 витков провода сопро-тивлением R1 = 12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротив-ление R2 = 20 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле (B = 0,1 Тл) с частотой n = 8 с-1. Определить максимальную мощность Pmax переменного тока в цепи.(Ответ:Pmax=39,48 Вт) 182. В цепь переменного тока напряжением 220 В включены последова-тельно емкость С, активное сопротивление R и индуктивность L. Найти па-дение напряжения UR на омическом сопротивлении, если известно, что па-дение напряжения на конденсаторе UC = 2UR и падение напряжения на индуктивности UL = 3UR.(Ответ: UR=155,56 B) 183. Найти амплитуду ЭДС, наводимой при вращении прямоугольной рамки с частотой 50 Гц в однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл, если площадь рамки 100 см2, вектор индукции перпендикулярен оси вра-щения рамки, а начальная фаза равна нулю.(Ответ: εmax= 0,63 В) 184. Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, изменяется с течением времени по закону U = U0 sin(ωt + π/6). В мо-мент времени t = T/12 мгновенное напряжение равно 10 В. Определить ам-плитуду напряжения.(Ответ: Umax=11,55 B) 185. Электропечь, сопротивление которой 22 Ом, питается от генератора переменного тока. Определить количество теплоты, выделяемое печью за 1 ч, если амплитуда силы тока 10 А.(Ответ: Q=3,96·106 Дж) 186. Сила тока в первичной обмотке трансформатора 0,5 А, напряжение на ее концах 220 В. Сила тока во вторичной обмотке 11 А, напряжение на ее концах 9,5 В. Определить КПД трансформатора.(Ответ :η=48,72%.) 187. Первичная обмотка трансформатора с коэффициентом трансформа-ции, равным 8, включена в сеть с напряжением 220 В. Сопротивление вто-ричной обмотки 2 Ом, сила тока во вторичной обмотке трансформатора 3 А. КПД трансформатора 99%. Определить напряжение на зажимах вто-ричной обмотки.(Ответ:U2=27,23 В.)

71

188. В течение какого времени будет гореть неоновая лампа, если ее под-ключить на 1 мин в сеть переменного тока с действующим напряжением 120 В и частотой 50 Гц? Лампа зажигается и гаснет при напряжении 84 В.(Ответ:t=40,20 с.) 189. Электрический паяльник мощностью 50 Вт рассчитан на включение в сеть переменного тока с напряжением 127 В. Какая мощность будет вы-деляться в паяльнике, если его включить в сеть переменного тока с напря-жением 220 В последовательно с идеальным диодом?(Ответ:P2=75,02 Вт.) 190. Найти логарифмический декремент затухания θ колебаний в колеба-тельном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С = 2,22 нФ и ка-тушки индуктивности длиной ℓ = 20 см из медной проволоки диаметром d = 0,5 мм.(Ответ:θ=1,81·10-2.) 191. Емкость переменного конденсатора контура приемника изменяется в пределах от С1 до С2 = 9 С1. Определить диапазон волн контура приемника, если емкости С1 конденсатора соответствует длина волны, равная 3 м.(Ответ:λ1=3,00м; λ2=9,00 м.) 192. Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллель-но и включены в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найти активное сопротивление R и индуктивность L, если известно, что мощность, поглощаемая в этой цепи, равна 404 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током равен 60º.(Ответ:R=39,92 Ом. L =7,34·10-2Гн.) 193. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц вклю-чена катушка с неизвестным активным сопротивлением. Сдвиг фаз между напряжением и током составляет π/6. Определите индуктивность катушки, если известно, что она поглощает мощность 445 Вт.(Ответ:L=7,50·10-2Гн.) 194. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 30 см и площадью поперечного сечения 10 см2, содержащая 1000 витков. Определите активное сопротивление катушки, если известно, что сдвиг фаз между напряжением и током составляет 30º.(Ответ:R=2,28 Ом.) 195. Активное сопротивление колебательного контура R = 2 Ом. Опреде-лите среднюю мощность < P >, потребляемую колебательным контуром, при поддержании в нем незатухающих гармонических колебаний с ампли-тудным значением силы тока Imax = 30 мА.(Ответ:P=9,00·10-4 Вт.) 196. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью C = 6·10–

9 Ф, катушки индуктивности с L = 3·10–5 Гн и омического сопротивления R = 20 Ом. Какая мощность необходима для поддержания в контуре неза-тухающих колебаний с максимальным напряжением на конденсаторе Umax = 1 В?(Ответ: P=1,96·10-3 Вт.) 197. В контуре с индуктивностью L = 0,01 Гн и емкостью C = 10 мкФ про-исходят свободные колебания. Максимальное значение напряжения на конденсаторе U = 10 В. Определить максимальный ток в конту-ре.(Ответ:I=0,32 А.)

72

198. Найти время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с доб-ротностью Q = 5000 уменьшится в 2 раза, если частота колебаний ν = 2,2 МГц.(Ответ: t =5,01·10-4 c.) 199. Колебательный контур имеет емкость С = 10 мкФ, индуктивность L = 25 мГн и активное сопротивление R = 10 Ом. Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в е раз?(Ответ: N=1,58) 200. Найти добротность контура с емкостью С = 2,0 мкФ и индуктивно-стью L = 5,0 мГн, если на поддержание в нем незатухающих колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе Umax = 10 В необходимо подво-дить мощность < Р > = 0,10 мВт. Затухание колебаний в контуре доста-точно мало.(Ответ: Q=104) 201. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 1,2 нФ и катушку с индуктивностью L = 6,0 мкГн и активным сопротивлением R = 0,50 Ом. Какую среднюю мощность нужно подводить к контуру, чтобы поддерживать в нем незатухающие гармонические колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе Umax = 10 B?(Ответ: Р=5,00·10-3 Вт) 202. Концы цепи, состоящей из последовательно включенных конденсато-ра и активного сопротивления R = 110 Ом, подсоединили к переменному напряжению с амплитудным значением Umax = 110 В. При этом амплитуда установившегося тока в цепи Imax = 0,50 А. Найти разность фаз между то-ком и подаваемым напряжением.(Ответ: φ=600) 203. Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора ем-кости С = 22 мкФ и катушки с активным сопротивлением R = 20 Ом и ин-дуктивностью L = 0,35 Гн, подключена к сети переменного напряжения с амплитудой Umax = 180 В и частотой ω = 314 рад/с. Найти амплитуду тока в цепи, разность фаз между током и внешним напряжением, амплитуды на-пряжения на конденсаторе и катушке.(Ответ: φ=3000; Imax=4,48 A; Uc max =648,35 B; UL max=500,30 B) 204. Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости С = 22 мкФ, сопротивления R = 20 Ом и катушки с индуктивностью L = 0,35 Гн c пренебрежимо малым активным сопротивлением подключена к генератору синусоидального напряжении, частоту которого можно ме-нять при постоянной амплитуде. Найти частоту, при которой максимальна амплитуда напряжения: а) на конденсаторе; б) на катушке.(Ответ: v(Uc=Uc

max )=57,00 Гц; v(UL=UL max )=57,72 Гц) 205. Найти добротность колебательного контура, в который последова-тельно включен источник переменной ЭДС, если при резонансе напряже-ние на конденсаторе в n = 10 раз превышает напряжение на источни-ке.(Ответ: Q=10) 206. Катушка с индуктивностью L = 0,70 Гн и активным сопротивлением r = 20 Ом соединена последовательно с безындукционным сопротивлением R, и между концами этой цепи приложено переменное напряжение с дейст-вующим значением U = 220 В и частотой ω = 314 рад/с При каком значе-

73

нии сопротивления R в цепи будет выделяться максимальная тепловая мощность? Чему она равна?(Ответ: R=199,80 Ом; Р=110,10 Вт) 207. Найти эффективное значение силы тока, сдвиг фаз между напряжени-ем и током и выделяемую тепловую мощность в последовательной RL-цепочке (R = 65 Ом, L = 50 мГн), включенной в сеть 220 В частотой 50 Гц.(Ответ: Iэф=3,29 А; φ=13,590) 208. На сколько процентов отличается частота ω свободных колебаний контура с добротностью Q = 5 от собственной частоты ω0 колебаний этого контура?(Ответ: ((ω0-ω)/ ω0)·100%=0,50%) 209. В контуре, добротность которого Q = 50 и собственная частота коле-баний ω0 = 5,5 кГц, возбуждаются затухающие колебания. Через сколько времени энергия, запасенная в контуре, уменьшится в 2 раза?(Ответ: t=6,30·10-3 c) 210. Колебательный контур содержит конденсатор с утечкой. Емкость конденсатора С = 22 мкФ, его активное сопротивление R = 20 Ом. Индук-тивность катушки L = 0,70 Гн. Сопротивление катушки и проводов пренеб-режимо мало. Найти частоту затухающих колебаний такого контура, и его добротность.(Ответ: Q=8,92; v=40,49 Гц) 211. Для демонстрации опытов Герца с преломлением электромагнитных волн иногда берут призму, изловленную из парафина. Определить показа-тель преломления парафина, если диэлектрическая проницаемость его 2, а магнитная проницаемость равна единице. (Ответ : n=1,4.)

74

ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ


Электромагнитная волна (ЭМВ) – это распространяющееся в про-странстве переменное электромагнитное поле.

Фазовая скорость распространения ЭМВ в среде

c11

00

,

где 001c - скорость распространения ЭМВ (света) в вакууме. Связь между мгновенными значениями напряженностей электриче-

ского и магнитного полей ЭМВ выражается формулой HE 00 ,

где E и H - соответственно мгновенные значения напряженностей элек-трического и магнитного полей.

Уравнение плоской ЭМВ

kxtcosHH;kxtcosEE 00

,

где 0E

и 0H

- соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; - круговая частота; k - волновое чис-ло; - начальные фазы колебаний в точках с координатой 0x .

Объемная плотность энергии электромагнитного поля

2H

2Ew

20

20

.

Вектор Умова – Пойтинга H,ES

– плотность потока энергии электромагнитной волны.

75


6.1. Определить среднее значение напряженности магнитного поля электромагнитной волны солнечной радиации у поверхности Земли, счи-тая, что на каждый квадратный сантиметр поверхности Земли, перпен-дикулярной солнечным лучам, поступает энергия .с/эрг1054,1 6

Дано:

?Н______________________

.1;м/Гн1026,1

;с/м103С;см/Дж1540

ссм/эрг1054,1П

60

8

2

26

Решение: Объемная плотность энергии электромаг-

нитного поля равна:

2Í

2EW

20

20

Из уравнений Максвелла следует, что:

22

20HW

, т.е. 20 HW

Известно, что вектор Умова-Пойтинга СWП , тогда 2

0СНП откуда

C

SН0

2

,

CSÍ

0


А/м.2189770м/A

11026,11031540H 68

Ответ : Н=2 А/м. 6.2. Плоская электромагнитная волна распространяется в однород-

ной и изотропной среде с 2 и 1 . Амплитуда напряженности элек-трического поля волны мB12E0 . Определить: 1) фазовую скорость волны; 2) амплитуду напряженности магнитного поля волны.

Дано:

2 1

мB12E0 ___________

?H?

0

Решение: Фазовая скорость распространения ЭМВ определяет-

ся выражением

c11

00

(1)

где с/м103c 8 - скорость распространения ЭМВ в ва-кууме, м/Ф1085,8 12

0 , м/Гн104 7

0

76

В бегущей ЭМВ мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соот-ношением

HE 00 (2) Тогда для амплитуд напряженностей электрического и магнитного полей волны можно записать

0000 HE (3) откуда искомая амплитуда напряженности магнитного поля волны

0

0

00 EH

(4)

Подставляя численные значения в (1) и (4), получаем для фазовой скорости с/м1012,2 8 , для амплитуды напряженности магнитного поля м/А1045H 3

0 .

Ответ: с/м1012,2 8 , м/мА45H 0 .

6.3. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская ЭМВ. Интен-сивность волны, т.е. средняя энергия, проходящая через единицу поверхно-сти за единицу времени, составляет 2м/мкВт2,21 . Определить ампли-туду напряженности электрического поля волны.

Дано:

?Е______________________________

м/Вт102,21м/мкВт2,21I11

0

26

Решение: Т.к. интенсивность электромаг-

нитной волны определена как сред-няя энергия, проходящая через еди-ницу поверхности за единицу времени, то

SI (1) где S – модуль вектора Умова - Пой-тинга

Согласно определению, EHS , (2)

где мгновенные значения напряженностей электрического Е и магнитного Н полей описываются уравнениями

kxtcosHH;kxtcosEE 00 (3) Подставляя (3) в (2), получаем мгновенное значение модуля вектора Умова – Пойтинга

)kxt(cosHES 200 ,

а его среднее значение

00 HE21S (4)

77

Т.к. 0

0

00 EH

(см. решение задачи 6.2), то (4) можно переписать как

0

020

2ES

(5)

откуда

000 I2E (6) Подстановка в (6) численных значений приводит к значению

м/В10126E 30

. Ответ: м/мВ126E0 .


212. Каков период колебаний в открытом колебательном контуре, излу-чающем радиоволны с длиной волны 300 м? 213. Катушка приемного контура радиоприемника имеет индуктивность 1мкГн. Какова емкость конденсатора, если идет прием станции, работаю-щей на длине волны 1000м? 214. При какой частоте колебаний радиопередатчик излучает электромаг-нитные волны длиной 49 м? 215. Какой должна быть индуктивность колебательного контура, чтобы при емкости его С=2∙10-6 Ф собственная частота колебаний контура равня-лась 1 кГц? (Ответ : L=0,0127 Гн) 216. Колебательный контур состоит из катушки, индуктивность которой равна L=2∙10-3Г и конденсатора емкостью С=800см. На какую длину вол-ны настроен контур? (Ответ : λ=2512 м) 217. Плотность энергии электромагнитного поля ω=0,5эрг/см3 Определить вектор Умова - Пойтинга для этого поля. (Ответ: П=1,5∙106Дж/м2). 218. В колебательном контуре происходят свободные колебания. Зная, что максимальный заряд конденсатора равен 10–6 Кл, а максимальная сила тока в контуре равна 10 А, найти длину волны, на которую настроен контур. 219. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с ам-плитудой вектора напряженности электрического поля Eo = 0,775 В/м. На пути волны, перпендикулярно направлению ее распространения, распола-гается диск радиусом r = 0,632 м полностью поглощающий излучение. Ка-кую мощность поглощает диск? 220. Определить длину волны электромагнитного излучения частотой 10 МГц, распространяющегося в среде с диэлектрической проницаемостью, равной 7, и магнитной проницаемостью, равной 1. Как изменятся частота колебаний и длина волны при переходе в вакуум?(Ответ:P= 5,00·10-3 Вт.)

78

221. Излучаемая точечным источником сферическая электромагнитная волна, уравнение которой в системе СИ имеет вид

r02,0t106sinr104,1)t,r(E 6

4

, r02,0t106sinr

37)t,r(H 6 ,

распространяется в вакууме. Определить среднюю мощность источника электромагнитной волны. При решении задачи следует учесть, что среднее значение квадрата синуса за период равно 0,5. 222. Показать, что плоская ЭМВ Еу=Е0cos(ωt-kx+φ) удовлетворяет волно-

вому уравнению 2y

2

22y

2

tE1

xE

, где υ - фазовая скорость распростране-

ния электромагнитной волны. 223. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна 10 В/м. Определить амплитуду напряженности магнитного поля волны. 224. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны равна 1 мА/м. Определить -амплитуду напряженности электрического поля вол-ны.(Ответ:N=1,58.) 225. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет 50 мВ/м. Определить интенсивность волны I. 226. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны составляет 5 мА/м. Определить интенсивность волны I. 227. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская монохроматическая электромагнитная волна, описываемая уравнениями

E=E0cos(ωt-kx+φ) ; H=H0cos(ωt-kx+φ) Эта волна отражается от плоскости, перпендикулярной оси х. Записать уравнения, описывающие отраженную волну. 228. Длина электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен ко-лебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным сопротивлением контура, определить максимальный заряд на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока в контуре составляет 1А.(Ответ:t=6,30·10-3 с.) 229. Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, по-гружены в трансформаторное масло. При соответствующем подборе час-тоты колебаний в системе возникают стоячие волны. Расстояние между двумя пучностями стоячих волн равно 20 см. Принимая магнитную про-ницаемость масла μ=1, определить его диэлектрическую проницаемость. 230. Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, по-гружены в спирт. При соответствующем подборе частоты колебаний в системе возникают стоячие волны. Расстояние между двумя пучностями стоячих волн на проводах равно 40 см. Принимая магнитную проницае-

79

мость спирта, равной единице, определить частоту колебаний генерато-ра.(Ответ:L=0,02 Гн.)

Приложение Справочный материал

Таблица 1. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных

единиц и их обозначения Приставка Обозначе-

ние Множитель Пристав-

ка Обозначение Мно-

житель экса Э 10 18 деци* д 10– 1

пета П 10 15 санти* с 10– 2

тера Т 10 12 милли м 10– 3

гига Г 10 9 микро мк 10 – 6

мега М 10 6 нано н 10– 9

кило к 10 3 пико п 10– 12

гекто* г 10 2 фемто ф 10 -15

Примечания:

1. Звездочкой (*) обозначены приставки, которые допускается при-менять только к тем единицам, которые уже получили широкое распро-странение, например, гектар, декалитр, дециметр, сантиметр и т. д.

2. Выбирают приставки так, чтобы числовые значения величин нахо-

дились в пределах от 0,1 до 999. Например, линейный размер 0,00036 м удобно представить как 0,36 мм.

Таблица 2. Буквы греческого алфавита

А α альфа N ν ню (ни) В β бетта Ξ ξ кси Г γ гамма O o омикрон Δ δ дельта П π пи Е ε эпсилон Р ρ ро Z ζ дзетта Σ σ сигма

80

H η эта (ита) Т τ тау Θ θ тета Y υ ипсилон I ι йота Ф φ фи

K κ каппа Х χ хи Λ λ лямбда Ψ ψ пси M μ мю Ω ω омега

Таблица 3. Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ

Вода 81

Керосин 2,1 Масло 2,5

Парафин 2,1 Слюда 6 Стекло 7 Спирт 26

Таблица 4. Магнитная проницаемость пара- и диамагнетиков

парамагнетики диамагнетики

алюминий 1,000023 висмут 0,999824 воздух 1,00000038 вода 0,999991 вольфрам 1,000176 водород 0,999999937 кислород 1,0000019 медь 0,999990 Кислород жидкий 1,003400 стекло 0,999987

Примечание. Магнитная постоянная 0 (магнитная проницаемость вакуума) равна:

м/Гн10257,1м/Гн104 670

Таблица 5. Магнитная проницаемость ферромагнетиков

ферромагнетики железо мягкое 8000 кобальт 175 никель 1100 чугун 600-800

Примечание. Магнитная проницаемость ферромагнетиков непостоянна. В таблице указаны максимальные значения .

81

Литература

1. Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей фи-зике. – Пермь: Издательство Пермского национального исследователь-ского политехнического университета (бывший ПГТУ), 2011. – 457 с.

2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – Изд. доп. и перераб. – СПб.: СпецЛит, 2002. – 327 с.

3. Демков В.П., Третьякова О.Н. Физика. Теория. Методика. Задачи. – М.: Высш. шк., 2001. – 669 с.

4. Задачи по физике: Учеб. пособие / И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Кутузо-ва и др. Под ред. О.Я. Савченко. – 3-е изд., испр. и доп. – Новосибирск: НГУ, 1999. – 370 с.

5. Задачник по физике. Учеб. пособие. Для подготовительных отделений вузов. / Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А. и др. – М.: Физматлит, 2005. – 368 с.

6. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. – 13-е изд., стер. – СПб: Изда-тельство «Лань», 2009. – 416 с.

7. Калашников Н.П. Основы физики. Упражнения и задачи: учебное пособие для вузов / Н.П. Калашников, М.А. Смондырев. – М.: Дрофа,2004. – 464 с.

8. Решение задач по курсу общей физики: Учеб. пособие. / Завершинский И.П., Баландина Г.Ю., Стукалина И.Л. и др.; Под ред. Рогачева Н.М. – 2-е изд. – СПб: Издательство «Лань», 2008. – 304 с.

9. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. – 5-е изд. – СПб: Издательство «Лань», 2007. – 288 с.

10. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 тт. Кн. 3. Электричество и маг-нетизм / Стрелков С.П., Сивухин Д.В., Хайкин С.Э. и др.; Под ред. Яковлева И.А. – 5-е изд., перераб. – СПб: Издательство «Лань», 2006. – 232 с.

11. Трофимова Т.И. Курс физики – 18-е изд., стереотип. – М.: Академия, 2010 – 560 с.

12. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов / Т.И. Тро-фимова. – 3-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2003. – 384 с.

13. Трофимова Т.И. Справочник по физике для студентов и абитуриентов / Т.И. Трофимова. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издатель-ство АСТ», 2005. – 400 с.

14. Филимонова Л.Н. Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть 2. – Елец: ЕГУ им. И.А. Бу-нина, 2005. – 103 с.

15. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики: Учеб. пособие. – СПб: Издательство «Лань», 2009. – 352 с.

У ч е б н о е и з д а н и е

Татьяна Александровна Сухова Анатолий Леонидович Суркаев

Михаил Маркович Кумыш Сергей Олегович Зубович


ФИЗИКА ЧАСТЬ IV

МАГНЕТИЗМ

Учебное пособие (для студентов технических вузов)

План выпуска электронных изданий 2011 г. Поз. №

Подписано в печать Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л.

Тираж Заказ . Волгоградский государственный технический университет

400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1. Отпечатано в ИУНЛ ВолгГТУ

400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 7.

Download - ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ФИЗИКА ЧАСТЬ IV

Top Related