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1

Variables Aleatorias

Unidimensionales

Definicin 1: Sea E un experimento, y sea S un espacio muestralasociado a E. Entonces una funcin X, que a cada elemento delespacio muestral, le asocia un nmero real, recibe el nombre de

variable aleatoria.

X : S R

si X(si)= xi

2


Unidimensionales

Definicin 2: Sea X una v.a. Entonces llamaremos recorridode la v.a. X, y lo denotaremos por Rx, al conjunto de todos losvalores que toma la v.a. X. Rx = {xiR / X(si) = xi , si S }

S R

Xs1s2:

si::

Rx

x1x2:

X(si)=xi

::

3


Unidimensionales

Definicin 3: Sea X una v.a. Entonces si el recorridode la v.a. X, ( Rx), es un conjunto finito o infinito numerable,entonces diremos que X, es una v.a. Discreta.

Definicin 4: Sea X una v.a.discreta. Entonces a cada valor quetoma la variable (xiRx), le asociaremos un nmero

p(xi) = P(X=xi), y que cumple con las siguientes condiciones:

1

,....2,1

1)(.

)(.

i

i

i

xpii

ioxpi


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4

Definicin 5:

Sea E un experimento, sea S un espacio muestral asociado a E, seaRx, el recorrido de la variable aleatoria X y sea B Rx. EntoncesSi definimos A = { s S / X(s) = x B }, entonces,diremos que A y B son equivalentes, A B y P(A) = P(B)

s1

s2

si

sk

x1

x2

xr

S Rx

A B

5

Ejemplo:Sea el experimento E: se lanza una moneda dos veces y se registrael signo que aparece en la cara superior. Luego el espacio muestral

S = {cc, cs, sc, ss }. Sea la v.a. X : nmero de sellos que aparecen.

En este caso el recorrido de la v.a. Ser Rx = {0, 1, 2}

cccssc

ss

X(cc) = x1=0

X(cs) =

X(sc) =

X(ss) = x3=2

S Rx

} x2=1

X

6

Luego:

p(x1) = P(X = x1) =p(0) = P(X=0) = P(cc) = 1/4

p(x2)= P(X = x2) =p(1) = P(X=1) = P(cs,sc) = P(cs) + P(sc) = 1/2p(x3) = P(X = x3) =p(2) = P(X=2) = P(ss) = 1/4

Por lo tanto:

p(xi) = p(0) + p(1) + p(2) = 1/4 + 1/2 +1/4 = 1

De la definicin 5 tenemos:

Si A={cc, cs, sc} y si B={0, 1} P(A) = P(B) =


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7

cc

cs

sc

ss

0

1

2

S Rx

A B

Luego,

8

Ejercicio

De un curso de 15 personas (5 hombres y 10 mujeres) seSeleccionan al azar dos, una despus de otra, y se clasificansegn el sexo. Determine:

a.- el espacio muestralb.- la probabilidad de que ambas sean mujeresc.- que el nmero de mujeres seleccionadas sea 2

Previo: Definir; la variable aleatoria Xel recorrido de X (Rx)

d.- que el nmero de mujeres sea al menos una

Respuesta:

9

Ejercicio: Sea X v. a. definida por la siguiente

expresin:

6,5,4,3,2,1,0

6

;)()(

xkxXPxpx

a.- Determine el valor de k, si es que existe.

b.- Calcule:

P(X=4), P(X5), P(X2), P(2


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10

Ejercicio: Sea X v. a. tal que:

8,7,6,5,4,3,2,1;5

3

1)()(

xkx

xXPxp

a.- Determine el valor de k, si es que existe.

b.- Calcule: P(X=4)

11

Ejercicio:Sea la variable aleatoria X: mes en que un computadortiene problemas.

, x = 1,2,3,4,5,6

Determine:

1.- el valor de k

2.- p( 5 ) = P( X = 5 )

3.- P( X 2 ) =

7

4)()(

xkxXPxp

1

,....2,1

1)()

)()

i

i

i

xpii

ioxpiRecordar:

12

2112*7

4)()( xxxXPxp

1)(

6

1 iixp

1.- De la condicin ii.- tenemos :

12

1

84

7, kLuego


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13

b.-

21

5

21)5()5(

kXPp

c.- )6()5()4()3()2()2( pppppXP

21

20

21

11)2(1 xP

14

Proposicin:

i.- La Funcin P, se denomina Funcin de Probabilidad

ii.- El par ( xi , p(xi) ): se denomina Distribucin de Probabilidad

En realidad, la Distribucin de Probabilidad, es la grfica de la

Funcin de Probabilidad.

p(xi)

xi

15

Ejercicio:

Supongamos que la probabilidad de que un barco de trasporte

llegue a destino es de 0.57 ( es decir en el 57% de los casos).

Supongamos adems que es posible enviar una gran cantidad de

barcos. El envo continua hasta que llega el primer barco a destino.

Determine la probabilidad de que el nmero de envos necesariopara que llegue el primer barco a destino, sea k (k = 1,2,3...)

Previo Determine:a.- Espacio muestral

b.- La variable aleatoria X

c.- Recorrido de la v.a. X.

S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}

Rx = {1, 2, 3, 4, ......}

Sea A : El barco llega a destino _

y sea B : El barco no llega a destino. B = A

X : N de envos necesari as para que llegue el primerbarco a destino.
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16

Recordando;

A

B

A

B

A

B

A

B

0.57

0.57

0.57

0.570.43 0.43

0.43

0.43..............................Luego;

p(1) = P(X=1) = P(A) = (0.57)

p(2) = P(X=2) = P(BA) = (0.43)(0.57)

p(3) = P(X=3) = P(BBA) = (0.43)2 (0.57)

p(4) = P(X=4) = P(BBBA) = (0.43)3(0.57)

Por consiguiente tenemos que:

p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57) ; k = 1,2,3......

S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}

Rx = { 1 , 2 , 3 , 4 , .........} Segn el diagrama del rbol tenemos:

17

Debemos demostrar que :

p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57) ; k = 1,2,3......

es efectivamente una funcin de probabilidad, es decir, que debe

cumplir con:

1

,....2,1

1)()

)()

k

k

kpii

okpi

r

rComo

i

i

geomtricapror esin

11

11

)(

0

0

1)57.0(*43.01

1)57.0(*43.0i

i

01

143.043.0

i

i

k

k

18

Ejercicio

Sea X v.a.d. talque: ,.......3,2,1;21

)()( xxXPkp x

a.- Verifique que X es una v. a.

b.- Determine la probabilidad de que:

1.- x sea un nmero par

2.- x sea divisible por 3

3.- x > 3

= 1/3

= 1/7

= 1/8


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EjercicioEn el ejemplo de los barcos, supongamos que se envan independientemente,

tres barcos. Determine la probabilidad de que lleguen a destino:

Exactamente k barcos.( recordemos que: A : El barco llega a destino y B : El barco no llega a destino y

P(A) = 0.57 y P(B) = 0.43)

Previo Determine:

a.- Espacio muestral

b. - La variable aleato ria X

c. - Recorrido de la v. a. X.

S = { AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}

X : N de barcos que llegan a destino.

Rx = { 0, 1, 2, 3 }

20

Luego;

p(0) = P(X=0) = P(BBB) = (0.43) 3

p(1) = P(X=1) = P(BBA, BAB, ABB) = 3(0.57) (0.43) 2

p(2) = P(X=2) = P(BAA, ABA, AAB) = 3 (0.57) 2(0.43)

p(3) = P(X=3) = P(AAA) = (0.57) 3

Por consiguiente tenemos que:

3,2,1,0)43.0()57.0()()( 33 kkXPkP kkk

21

Distribucin BinomialDef.: Sea E un experimento y sea A un suceso asociado a E. Supongamos

que P(A) = p, luego P(A) = 1p. Consideremos n repeticiones independientesdel experimento E. Porlo tanto el espacio muestral delexperimento total, estarDado por todas las sucesiones posibles tal que ocurra A o A .

Si la v.a. X se define como: Nmero de veces que ocurre el suceso A, diremosque X tiene una distribucin binomial con parmetros n y p, y se denota:

X ~ b(n , p )

nkppkXPkP knknk ,...,2,1;)1()()( y su funcin de probabilidad es:
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22

EjercicioSupongamos que en un estadio lleno, el 40% de losasistentes son mujeres. Una empresa comercial, para

promocionar un nuevo producto, toma una muestraaleatoria de tamao 20. Determine la probabilidad que

la muestra contenga:

1.- exactamente 11 mujeres.2.- a lo ms 8 mujeres.3.- al menos 5 mujeres.4.- exactamente 9 hombres.

23

Previo: Determine

el experimento E

repeticiones del exp. E : el suceso de inters A:

el espacio muestral s: la probabilidad de A

el espacio muestral (Exp Total )S:

la variable aleatoria X:

el recorrido Rx :

: Se elije al azar una persona

= { A , B }

: la persona es mujer

p = P(A) = 0.40

={A...A,A...B,..,BB}

N de mujeres seleccionadas

= {0, 1 , 2,., 20}Luego:

1.- P(X = 11) = P(X 11)P(X 10) por tabla = 0.071

2.- P(X 8) = 0.596 directo por tabla3.- P(X 5) = 1P(X 4) = 10. 0510 = 0.949

n = 20

4.- P(Y =9 ) = P(Y 9)P(Y 8) = 0.071 Y: N de hombres

Por lo tanto X ~ b(20 , 0.40 )

24

Distribucin de Bernoulli

Si el experimento se realiza una sola vez, la

variable X tomar los valores 0 y 1, y se dice que

tiene una distribucin de Bernoulli con parmetros

1 y p.

kk ppkXPkP 1)1()()(Con k = 0,1

X ~ B(1 , p )


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25

Distribucin de Poissn

Sea X una v.a.d., si su funcin de probabilidad est dada por:

,,,,,,,,3,2,1,0*

)()(

kconk

ekXPkP

k

Entonces diremos que X tiene una distribucin de Poissn

con parmetro . Se anota: ( media y varianza )

X ~ P()

!

26

Ejercicio

Supongamos que el cajero de un banco, es capazde atender en promedio 8 personas en 20 minutos.Determina la probabilidad de que el cajero atiendaen 20 minutos:

a.- exactamente 10 personas.

b.- a lo ms 7 personas.

c.- al menos 4 personas.

d.- no ms de 10, ni menos de 5e.- exactamente 20 personas en 40 minutos.

= 0.099= 0.453= 0.958

= 0.716= 0.056

27

Variables Aleatorias Continuas (vac)

Supongamos que X es una v.a. cuyo recorrido Rx,

son todos los nmeros reales.

RRf :Si definimos una funcin

y si cumple con las siguientes condiciones:

1)(.

0)(.

dxxfii

Rxxfi x

Entonces diremos que X es una v.a. continua con funcin de

densidad de Probabilidad (f.d.p.) f


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28

1.- f(x) no es una probabilidad, como en el

caso discreto, donde p(x) = P(X = x ).

2.- Las siguientes probabilidades, son

equivalentes:

P(a x b) = P(a < x b) = P(a x


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31

Funcin de Distribucin

Acumulativa

Def. : Sea X una variable aleatoria, se define funcin dedistribucin acumulativa o funcin de distribucin como:

x

x

k

dxxf

kp

)(

)( Si X v.a.d.

Si X v.a.c.

F(x) = P( X x ) ={

32

Valor Esperado de una Variable

Aleatoria

Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define Valor

esperado o Esperanza de X como:

dxxxf

xpxi

ii

)(

)(1

Si X v.a.d.

Si X v.a.c.

E ( x ) =

{

PropiedadesLa esperanza es un operador lineal, ya que:

, ,

Combinando estas propiedades, podemos ver

Que, donde X e Y son variables aleatorias y a

y b dos constantes cualesquiera.

,

33
http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_lineal


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34

Varianza de una Variable Aleatoria

Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define

Varianza de X como:

V(x) = E( x - E(x) )2 = E ( x2 )( E (x) )2

Donde :Si X v.a.d.

Si X v.a.c.

dxxfx

xpxi

ii

)(

)(

2

1

2

E ( x2 ) ={

35

Tarea N ___

1. Propiedades de la Esperanza

2. Propiedades de la Varianza

3. Si X ~ b(n,p), determine la E(X) y V(X)

4. Demostrar que : E( x - E(x) )2 = E ( x2 )( E (x) )2

Enteora de probabilidad y estadstica la varianza es una medida de la dispersin de unavariable aleatoria

respecto a su esperanza

. Se define como la esperanza de la transformacin

, esto es,

Est relacionada con la desviacin estndar o desviacin tpica,que s e suele denotar por la letra gr iega y que es la raz cuadrada de la var ianza,

o bien

36
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidad


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Propiedades de la varianza [editar]Algunas propiedades de la varianza son:

, propiedad que permite que la definicin de desviacin tpica se a consistente.

siendo a y b constantes cuales

Varianza muestral [editar]Dentro de laestadstica descriptiva,la varianza muestral se utiliza como medida de dispersin, cuya definicin es:

37

38

Ejemplo:

1.- Sea X v.a.d. con funcin de probabilidad dada por:

xi 1 2 3 4 5 Total

p(xi) 0.2 0.25 0.32 0.08 0.15 1.00

xip(xi)

x2ip(xi)

F(xi)

Determine : a.- Funcin de Distribucin Acumulativa

b.- Esperanza de X ( E(X) )c.- Varianza de X ( V(X) )d.- Grafique F(X)

0.2 0.45 0.77 0.85 1.00 ////

0.2 0.50 0.96 0.32 0.75

0.2 1.00 2.88 1.28 3.75

2.73

9.11

= E ( x2 )( E (x) )2 =

E(X)

E(X2)

9.11(2.73)2 = 1.657= 2.73

39

Grfica de F(x)

1 2 3 4 5 x

F(x)

1.00

0.80

0.60

0.40

0.20

500.1

5485.0

4377.0

3245.0

2120.0

10

x

x

x

x

x

x

{F(x) =
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit&section=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit&section=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit&section=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit&section=2http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptivahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit&section=2http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit&section=1


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40

2.- Sea X v.a.c. con funcin de densidad de probabilidaddada por .

casosotrosen

xxxf

0

102)(

Determine : a.- Funcin de Distribucin Acumulativa F(x)

b.- Esperanza de X E(x)c.- Varianza de X V(x)

41

La funcin f(x) y F(x), estn dadas por:

11

10

00

)( 2

x

xx

x

xF

0 1

f(x)

2

0 1

F(x)

1

casosotrosen

xxxf

0

102)(

42

Distribucin Normal

Sea X una v. a. c. si su f. d. p. est dada por:

xexf

x2

2

2

)(

2*

2

1)(

Entonces, diremos que X tiene una distribucin

Normal con media

y varianza

2. Se denota:

X ~ N( , 2 )


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43

Caractersticas

Tiene forma de campana (por su descubridor

es tambin llamada campana de GAUSS)

Es simtrica con respecto a su media () Es asinttica al eje horizontal.

A +/- tres desv. tpicas de la media, se

encuentra prcticamente el 99.8% de su rea

( +/- 3 )

-3 + 3

44

Teorema Central del Limite

Sea X ~ N( , 2 ) entonces, ~ N(0 , 1 )

)(

XZ

0

)( X

X

Z

Z: Distribucin Normal Tpica

x0 X

z0 Z

45

Ejercicio

Supongamos que el peso de los contenedores almacenados en un recintoportuario, tienen una distribucin aproximadamente normal, con una media

= 78.6 tn , y una varianza 2 = 156.25 tn2. Determine;

a.- La probabilidad de que un contenedor seleccionado al azar, tenga un peso nosuperior a 60 tn.

b.- Que porcentaje de contenedores, tiene un peso de al menos 80 tn. 45.62%

c.- Si el recinto cuenta con 870 contenedores, cuntos tienen un peso entre 68, y96 tn.? R: 626

d.- Si se deben controlar el 33% de los contenedores ms pesados, cul es el pesomnimo de estos contenedores. R: 84.1

e.- Si se toma una muestra aleatoria independiente de 12 contenedores, cul es laprobabilidad de que exactamente 8 tengan un peso no superior a 75 tn.?

R: 0.0346

R: .0681


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Ejercicio

Para el ingreso a una determinada empresa, los postulantes deben rendir unexamen. La experiencia dice que los puntaje, se distribuyen aproximadamenteNormal con una media de 487, y una desv. Tpica de 58.9. Determine:

1.- La probabilidad de que un postulante seleccionadoal azar, tenga puntaje no superior a 400.

2.- Si los postulantes son 1270, cuntos app tendrnpuntaje de al menos 500 puntos?3.- Si de los 1270 postulantes, deben ser aceptados 150.

cul ser el puntaje mnimo de aceptacin?4.- Si se toma una muestra independiente de 12 postulantes

Cul es la probabilidad de que exactamente 8 tenganpuntaje no superior a 487?

5.- Si los puntaje de la prueba fsica de los mismos postulantes tienenuna distribucin normal con media 67.8, y varianza 144, qupuntaje en el examen debera tener un postulante que en la pruebafsica obtuvo 70 puntos?

46

Aproximacin de la distribucin de

Poissn a la distribucin Binomial

Si X se distribuye como una binomial con

parmetros n y p, donde n es grande y p

extremo, entonces podemos decir que

aproximadamente X se distribuye como una

Poissn con parmetro np.

47

Aproximacin de la distribucin

Normal a la Binomial

Si X se distribuye como una binomial con

parmetros n y p, donde n es grande y p

cercano a 0.5, entonces podemos decir que X

se aproxima a una normal con media np, y

varianza np(1-p). Luego;

)1(

)(

pnp

npXZ

~ N(0 , 1 )

48


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20/06/20

Ejercicio

Supongamos que el 42% de los trabajadores de

una empresa, tienen no ms de 40 aos.Se selecciona un muestra de 250 trabajadores.

Determine la probabilidad de que el nmero de

trabajadores con no ms de 40 aos, sea:

a.- a lo ms 120.

b.- entre 100, y 150

c.- exactamente 110

49

Ejercicio

Sea X v. a. d. con distribucin binomial, con n=125,

y p = 0.42. Determine por binomial y Normal

1.- P (X < 60)2.- P(X = 58)

3.- P( 49 < X < 71)

50

EjercicioLas remuneraciones de los 1500 trabajadores de una determinada

empresa, tienen una distribucin aproximadamente normal con

media $358.200, y una desv. Tpica de $48.597. Determine

a.- Cul es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al

azar, tenga remuneracin igual o superior a $370.000?

b.- Cuntos trabajadores app. Tienen remuneracin entre

$340.000 y $360.000?

c.- Si la empresa decide dar un beneficio a los 400 trabajadores

que ganan menos. Cual es la remuneracin mxima para optar

al beneficio?

d.- Se toma una muestra aleatoria de 120 trabajadores. Cual es

la probabilidad de que al menos 4 tengan una remuneracin

no superior a $250.000? 51


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Prof. David Becerra Rojas

52

A

B

A

B

A

B

A

B ..............................

Segn el diagrama del rbol tenemos:

Luego ;

S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}

52

Sea A: El barco llegaB: El barco no llega

A

B

Segn Diagrama del rbol

S = {AAA ,AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

53

Distribuciones Discretas

Bernoulli:

)1()(

)(

1,0;)1()(

)(:

),1(:

1

ppxV

pxE

xppxp

CuantadeoadprobabiliddeFuncin

pBXNotacin

xx

54
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Binomial:

)1()(

)(

,........,1,0;)1()(

)(:

),(:

pnpxV

npxE

nxppxp


pnBXNotacin

xnxn

x

55


Binomial Negativa:

2

1

)1()(

)1()(

,........,1,0;)1()(

)(:

),(:

p

pnxV

p

pnxE

nxppxp


pnBNXNotacin

xnxn

x

56


Poissn:

)(

)(

........3,2,1,0;!

)(

)(:

)(:

xV

xE

xx

exp


PXNotacin

x

57


20/24

20/06/20


Geomtrica:

)(

)(

........3,2,1,0;)(

)(:

)(:

xV

xE

xxp


pGXNotacin

58


Hipergeomtrica:

)(

)(

........3,2,1,0;)(

)(:

():

xV

xE

xxp


HXNotacin

59


Uniforme Discreta:

)(

)(

,...2,1,;1

1)(

)(:

),(:

xV

xE

baaaxab

xp


baUXNotacin

60


21/24

20/06/20


Hipergeomtrica:

)(

)(

........3,2,1,0;)(

)(:

():

xV

xE

xxp


HXNotacin

61

Distribuciones Continuas

Uniforme:

12

)(

)(,2)(

)(

:

),(;1

)(

:

),(:

2ab

xV

ba

xE

ab

axxF

nDistribucideFuncin

baxab

xf

adprobabiliddeDensidaddeFuncin

baUXNotacin

62


Exponencial:

2

1)(,

1)(

1)(

:

0;)(

:

)(:

xVxE

exF

nDistribucideFuncin

xexf

adprobabil iddeDensidaddeFuncin

ExpXNotacin

x

x

63


22/24

20/06/20


Normal:

2

2

)(

2

2

)(,)(

;2

1)(

:),(:

2

2

xVxE

xexf

adprobabiliddeDensidaddeFuncinNXNotacin

x

64


Triangular:

)(,)(

)(

:

)(

:

:

xVxE

xF

nDistribucideFuncin

xf

adprobabiliddeDensidaddeFuncin

XNotacin

65

INDICE

Repaso: Un ejemplo

1.Concepto de variable aleatoria

2.Distribuciones conjuntas y marginales. Caso Discreto

3.Distribuciones conjuntas y marginales. Caso Continuo

4.Distribuciones condicionadas

5.Momentos conjuntos

6.Independencia de variables aleatorias

66


23/24

20/06/20

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68

69


24/24

20/06/20

70

71

1)Concepto de variable aleatoria:

Ej. En el ejemplo anterior, calcule:P(X=0 v X=1), P(X>0), P(X1^ X3)

file_f4cac295e6_3538_variable_aleatoria_alumno.pdf

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