08/07/2013

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Dcimas de Hiptesis

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Dcimas de Hiptesis: ( Contraste de hiptesis)

Hiptesis Nula (H0): Verdadero estado de Naturaleza

Hiptesis Alternativa (H1): Lo que se quiere probar.

Ejemplo: Supongamos que un juez debe dar su veredicto, el cul

debe ser, Inocente y culpable. cul ser H0 y H1?

H0: Inocente

H1: Culpable

Consiste en hacer inferencia sobre algn parmetro de la poblacin. Esta inferencia ser nuestra

hiptesis. Despus se tomar una muestra para ver si la hiptesis es correcta.

Consideraremos dos hiptesis:

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H0 v/s H1 Juicio :

H0:Inocente

H1:Culpable

Inocente

Inocente

Culpable

Culpable Error I

Error II

Veredicto

Verdadero estado de

naturaleza

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La hiptesis Nula H0, es la que se contrasta, se rechaza o no se rechaza, en

funcin de la informacin obtenida en la muestra.

En general, jams aceptamos H0, es decir, se rechaza o no se rechaza, esto

es, porque nunca se puede probar sin lugar a duda que H0 es correcta.

Cada hiptesis se contrasta a un nivel de significacin elegido, en paralelo

con los intervalos de confianza. El nivel de significacin , se conoce tambin

como probabilidad de error tipo I. En consecuencia tenemos;

Error tipo I: Rechazo de la H0 cuando es verdadera

Error tipo II: No rechazo H0 cuando es falsa

Regla de decisin: enunciado que se emite para determinar si se rechaza

H0. Especifica un valor critico de los resultados muestrales.

P(Error tipo I) =

P(Error tipo II) =

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Regla de decisin

Verdadero estado de naturaleza:

Decisin H0 es verdadero H0 es falso

Rechazo H0

No Rechazo H0

Error Tipo I

P(Error I) =

Error Tipo II

P(Error II) =

No Error

P(No Error)= 1-

No Error

P(No Error)= 1-

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La Potencia ( ) de una prueba de hiptesis, est dada por la probabilidad de

rechazar la H0, cuando H1 es verdadera, (es decir, rechazo H0 cuando

es falsa)

P() = 1- : Probabilidad de rechazar de manera correcta H0 (H0 falsa)

El valor p de una prueba de hiptesis, es el nivel de significacin ms

pequeo, que conduce a rechazar H0.

Las dcimas de hiptesis se diferencian en dos tipos:

Unilaterales (de una cola), y Bilaterales (de dos colas)

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Tipos de Dcimas de hiptesis:

00 :

:

:

:

HbajoParmetro

Estimador

Parmetro

Notacin

1 CRC

a.- H0: = 0H1: < 0

b.- H0: = 0H1: > 0

Unilaterales:

CRC

>

C/2 C1-/2

/2 /2

1-H0: = 0H1: 0

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Ejemplo 1:

Supongamos que el intendente regional considera

que el salario medio de los trabajadores de la

comuna es de 328. El alcalde cree que este no es

as, para tal efecto, manda a hacer un estudio, el

cual considera una muestra aleatoria de tamao

40, obteniendo un media de 297. Si se sabe de

estudios anteriores que la desviacin tpica del

salario es 8.3, con un 95% de confianza, podemos

decir que el intendente tiene la razn?

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Procedimiento:

1.- Identificar el parmetro, en nuestro caso :

2.- Plantear la dcima:H0: = 0H1: 0

3.- Nivel de significacin:

5.- Regin Critica: 2/12/ CXCXRC < >

4.- Estadstico de prueba (bajo H0) :n

XZ

0

0

6.- Evaluacin RC:

7.- Decisin:

H0: = 328

H1: 328=>

57.33032840

3.896.102/12/1

nZC

Rechazo H0

Y

1- = 0.95 /2 = 0.025 1- /2 = 0.975 = 0.05

Supuestos de: Normalidad, conocida, n = 40

43.32532840

3.896.102/12/

nZC

Como es 297 < 325.43 entonces

=

297 x

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Ejemplo 2:

4.5 6.4 6.8 3.9 6.2 5.0 5.2 4.5 5.2 6.3 5.9 4.3 6.5 5.9 2.1 5.2 6.0 2.8

a.- Con un 90% de confianza, podemos decir que la media

poblacional es mayor que la estimada por la comisin?

b.- determine el valor p

c.- Determine la probabilidad de error tipo II, cuando la

media verdadera es 5.0.

Para determinar un criterio de seleccin de beneficios estudiantiles,

se utiliza el promedio de notas de los alumnos. La comisin encargada,

considera que el promedio de nota de los alumnos es 4.4., de tal manera

Que la comisin decide otorgar el beneficio a los alumnos que tengan

Promedio igual o superior a 6.0. Se toma una muestra aleatoria

De tamao 18, obteniendo los siguientes resultados:

d.- Considere las preguntas anteriores, suponiendo que la

media de 5.15, y la desv. tpica. 1.292, que se obtuvieron de

una muestra de tamao 60

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a.- Procedimiento:

1.- Identificar el parmetro, en nuestro caso

2.- Plantear la dcima:H0: = 0H1: > 0

3.- Nivel de significacin: 1- = 0.90 = 0.10

5.- Regin Critica: )1,1(01 nttCXRC

4.- Estadstico de prueba (bajo H0) :n

s

Xt 00

6.- Evaluacin RC:

7.- Decisin:

H0: = 4.4

H1: > 4.4 =>

4.418

292.133.101,11

n

stC n

Rechazo H0

Como:46.281.4 01 toC

Media =5.15 desv.t. = 1.292

Pobl. Normal

n

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_

c.- P( X < 4.81 ) = P( tn-1 < t0 ) =

P( t17 < -0.62) 0.25 =

_

b.- Valor p =: P( X > 5.15 ) = P( t17 > 2.46 )

0.01

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d.-a) 1.- Identificar el parmetro, en nuestro caso

2.- Plantear la dcima: H0: = 0H1: > 0

H0: = 4.4

H1: > 4.4 =>

3.- Nivel de significacin: 1- = 0.90 = 0.10

4.- Estadstico de prueba (bajo H0) : Pobl. Normal

n>30 , desconocidan

s

XZ 00

5.- Regin Critica: )1(01 ZZCXRC

6.- Evaluacin RC: 4.460

292.128.1011

n

sZC

7.- Como: 49.461.4 01 ZoC Rechazo H0

_d.- c) P( X < 4.61 ) = P( Z < -2.34 ) = 0.0096 =

_d.- b.- Valor p =: P( X > 5.15 ) = P( Z > 4.49 ) 0.00

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Ejercicio :

Supongamos que en una lnea de produccin,

el gerente encargado afirma que el 80% de los

productos salen en buenas condiciones. Sin embargo,

el rechazo cada ves es mayor, por lo que se procede

a tomar una muestra de tamao 140 producto,

encontrando que el nmero de productos en buenas

condiciones, es de solo 106.

a.- Determine con un 99% de confianza, si el

rechazo es justificado.

b.- Determine el valor p.

c.- Determine la probabilidad de error tipo II,

suponiendo que la proporcin verdadera es;

0.70.

d.- Con una significancia de 0.15, rechaza H0?