Теорема о трех перпендикулярах

Моза Анна Пушкина ЕкатеринаЯсенива ЕкатеринаИльченко АляВаласкекова Александра

•Формулировка теоремы

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

Доказательство Пусть AB — перпендикуляр к плоскости α, AC — наклонная и c

— прямая в плоскости α, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC. Проведем прямую CK параллельно прямой AB. Прямая CK перпендикулярна

плоскости α (так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна

прямой c. Проведем через параллельные прямые AB и CK плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость,

причем только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и

любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC.

Обратная теореме о трех перпендикулярахЕсли прямая, проведенная на

плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

• ДоказательствоПусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС —

наклонная и CB проекция с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК по теореме о трех пер-рах, значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.

•Пример использования

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.•Решение

Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α. В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

Задачи на доказательство

90)2

)1

,

1

1

ABC

ODАС

чтоДоказать

O

C1D1B1A1

D CBA

90:,

)(

КСВКАВчтоДоказать

ABCKD

никпрямоугольABCD

A

D C

B

K

BA

C

αa

b

Среди точек прямой b точка В является ближайшей к точке АДокажите, что она ближайшая к точке С

Задачи на построениеОтрезок МС перпендикулярен плоскости равностороннего треугольника АВС.

Проведите через точку М перпендикуляр к прямой АВ

BА С

М

Отрезок MD перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD. Проведите через точку М перпендикуляры к прямым ВС и АВ

BA

CD

M

Отрезок МА перпендикулярен плоскости ромба. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой AC

BA

CD

M

O

Задачи на вычисление

),();,();,();,(:

16,15),(

BCMDCMАDМАВМНайти

смАВсмМОАВСМО

квадратABCD

A B

CD

O

M

KL

15

8

17

))(,();,(:

5,30,13

),(,90,

ABCPACPНайти

смACBсмPA

ABCPBCABC

A

B C

P

5

13

300

1210

√69

ABCD – квадрат. АВ=2а. DD1=a. Постройте проекцию DC на плоскость α. Найдите расстояние между прямой АВ и проекцией DC на плоскость α.

α

B

C

A

D

D1 C1

2aa

a√3