1. Representa en la recta real los siguientes números reales:

a) 𝟓

𝟑

b) √𝟐𝟔

2. Escribe en todas las formas posibles los siguientes intervalos y semirrectas:

a) {𝒙 ∈ 𝑹 ∶ −𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟕}

b) ]−∞, 0]

c) Números mayores que -2

d)

3. Efectúa y simplifica:

a) √𝟏𝟐𝟓 − √𝟒𝟓 − √𝟐𝟒 + √𝟓𝟒 =

b) √𝒙𝟒𝟑

·√𝒙𝟑

√𝒙𝟔 =

4. Racionaliza y simplifica:

a) 𝟕

√𝟑−√𝟓

b) 𝒃

√𝒃𝟑𝒂𝟒𝟓

5. Convierte las expresiones algebraicas en logarítmicas y las logarítmicas en algebraicas:

a) 𝒍𝒐𝒈(𝑨) = 𝟑𝒍𝒐𝒈𝒙 + 𝟐𝒍𝒐𝒈𝒚 −𝟓

𝟒𝒍𝒐𝒈𝒛

b) 𝑩 = (𝒙𝟐

𝟏𝟎)𝟑

FICHA REPASO PARA PREPARAR EL EXAMEN FINAL

CURSO

2015-2016

6. Calcula el cociente y el resto de la siguiente división:

(𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟏) ∶ (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐)

7. Halla el valor numérico del polinomio 𝑷(𝒙) = −𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟔 para 𝒙 = −𝟏. ¿Es divisible el polinomio anterior, P(x) entre x+1? Razona tu respuesta.

8. Factoriza los siguientes polinomios aplicando las técnicas de descomposición factorial y obtén sus raíces:

a) 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟗𝒙

b) 𝑸(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙

c) 𝑹(𝒙) = 𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑

9. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) √𝟔𝒙 + 𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝟑

b) 𝒙

𝒙+𝟏+

𝟐𝒙

𝒙−𝟏=

𝟏𝟓

𝟒

c) 𝒍𝒏(𝟓𝒙𝟒) − 𝒍𝒏(𝒙𝟐) = 𝒍𝒏(𝟔𝒙 − 𝟏)

d) 𝒙𝟒 − 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 = 𝟎

e) 𝟐𝒙−𝟐 + 𝟐𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏

10. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico y clasifícalo según el número de soluciones:

{𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟔

−𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 = −𝟏𝟐

11. Resuelve los siguientes sistemas:

a) {𝒍𝒐𝒈(𝒙) + 𝒍𝒐𝒈(𝒚) = 𝟒

𝒍𝒐𝒈(𝒙

𝒚) = 𝟐

b) {

𝟒 · 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟐𝟕𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟓

12. Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que tiene 𝟏𝟎𝟖 𝒄𝒎𝟐 de área y que su diagonal

mide 𝟏𝟓 𝒄𝒎.

13. Resuelve las siguientes inecuaciones, escribiendo las soluciones en forma de intervalo:

a) −𝟐𝒙 + 𝟏𝟔 ≤ 𝟐𝟒

b) 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑 ≥ 𝟎

c) 𝟐𝒙+𝟕

𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟏≥ 𝟎

d) −𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐)𝟐 < 𝟎

14. Resuelve este sistema de inecuaciones de forma gráfica:

{−𝒙 + 𝒚 > 𝟑

−𝒚 ≤ 𝟑

15. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

{

𝟓 − 𝟒𝒙

𝟒+

𝟗𝒙 − 𝟐𝟏

𝟐≥ 𝟐 +

𝟏𝟎𝒙 − 𝟑𝟕

𝟒

𝒙 +𝟑𝒙 − 𝟐

𝟓−

𝒙 − 𝟏

𝟑< 𝟑 +

𝟒𝒙 − 𝟏

𝟏𝟓

16. Resuelve gráficamente la inecuación: 𝒙 − 𝟐𝒚 > 𝟓

17. Los triángulos ABC y DBE son semejantes.

a. Obtén la razón de semejanza.

b. Halla la altura de la torre.

18. Las dimensiones de un campo de fútbol son 100 m de ancho y 120 m de largo.

a. ¿Cuáles son las dimensiones de un futbolín hecho a escala 1:25?

b. ¿Cuál es el área del futbolín?

19. En el triángulo ABC se traza un segmento PQ paralelo a AB.

a. ¿Son semejantes los triángulos ABC y CPQ? Razona tu respuesta.

b. Obtén la medida del segmento BC.

20. Calcula la altura de un árbol que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 2.5 m y una persona que mide 1.70 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 90 cm.

21.

a. Sean 𝑨𝑩𝑪 y 𝑨′𝑩′𝑪′ dos triángulos cuyos ángulos miden:

�̂� = 𝟖𝟓º = 𝑪′̂, �̂� = 𝟑𝟓º, 𝑨′̂ = 𝟔𝟎º. ¿Son semejantes los dos triángulos? Razona tu respuesta.

b. Sea 𝑪 = 𝟕 𝒄𝒎, 𝑫 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎, 𝑬 = 𝟗 𝒄𝒎 otro triángulo. Calcula las dimensiones de otro

triángulo semejante a éste (pero con sus lados más pequeños), sabiendo que la razón de

semejanza es 𝒓 =𝟒

𝟑.

22. Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en un punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

23. Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura sobre la hipotenusa mide 15.3 m y que la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide 8.1 m. Calcula el perímetro del parterre. (Utiliza los teoremas del cateto y de la altura).

24. Expresa en grados los ángulos que estén en radianes y en radianes los ángulos que estén en grados:

a) 𝟑𝟏𝟓º

b) 𝟏𝟏𝝅𝟔⁄ 𝒓𝒂𝒅

25. Reduce las siguientes razones trigonométricas al primer cuadrante:

a. 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟐𝟓º) =

b. 𝒄𝒐𝒔(−𝟏𝟏𝟎º) =

c. 𝒕𝒈(𝟖𝟒𝟓º) =

26. Sabiendo que 𝒕𝒈(𝜶) =√𝟑

𝟑 y que 𝟏𝟖𝟎º < 𝜶 < 𝟐𝟕𝟎º, calcula el resto de las razones trigonométricas.

27. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 240 cm y la altura sobre la hipotenusa 192 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

28. Dados los puntos 𝑨(−𝟏, 𝟑) y 𝑩(𝟑, 𝟐), se pide:

a. Calcular la ecuación de la recta que pasa por 𝑨 y 𝑩 en todas sus formas.

b. Estudiar si el punto 𝑪(𝟎, 𝟓) pertenece a la recta.

29. A partir de la ecuación de la recta 𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟕 = 𝟎, halla el vector director, la pendiente y la ordenada en el origen.

30. Dados los vectores �⃗⃗� = (𝟓,−𝟒), �⃗⃗� = (𝟕, 𝟔) y �⃗⃗⃗� = (𝟒, 𝟓), determina:

a. El producto escalar de los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� .

b. El ángulo que forman los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� .

c. El producto escalar de los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗⃗� . ¿Qué puedes decir de estos vectores y del ángulo

que forman?

d. Dados los vectores �⃗⃗� = (𝒎, 𝟑) y �⃗⃗� = (𝟒,𝒎 + 𝟐), calcula el valor de 𝒎 ∈ 𝑹 para que sean

perpendiculares.

31. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas, calculando el punto de corte en el caso de que las rectas sean secantes:

a. 𝒓:𝒙−𝟏

𝟑=

𝒚−𝟏

−𝟐 y 𝒔: 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎

b. 𝒓: 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟏 y 𝒔: 𝒚 − 𝟑 = 𝟓(𝒙 + 𝟏)

c. 𝒓: 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎 y 𝒔: 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟖 = 𝟎

32. Determina si el vector �⃗⃗⃗� = (−𝟑, 𝟏) se puede escribir como combinación lineal de los vectores �⃗⃗� = (𝟐,−𝟐) y �⃗⃗� = (−𝟓, 𝟒) . 33. Halla el límite de las siguientes sucesiones calculando el valor de los términos 1, 10, 100 y 1000 y RAZONA si son convergentes o divergentes, crecientes o decrecientes y acotadas o no:

a. 𝒂𝒏 =𝟒𝒏+𝟐

𝟐𝒏

b. 𝒃𝒏 =𝟏

𝟐𝒏

34. Dadas las sucesiones 𝒂𝒏 =−𝟓𝒏+𝟏

𝟑𝒏 y 𝒃𝒏 =

𝟏+𝟕𝒏

𝟕𝒏+𝟑, calcula el límite de las siguientes sucesiones:

a. 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

( 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏)

b. 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

(𝒂𝒏 − 𝒃𝒏)

c. 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

(𝒂𝒏

𝒃𝒏)

d. 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

( 𝒂𝒏𝒃𝒏 )

35. Calcula los siguientes límites de sucesiones, indicando, en su caso, las indeterminaciones que presenten:

a. 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞

−𝟖𝒏𝟐+𝒏

𝒏𝟑+𝟐

b. 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞

(𝟐𝒏+𝟏)𝟐

𝟖𝒏𝟐

c. 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞

−𝒏𝟑+𝟓𝒏−𝟏

(𝒏+𝟏)(𝒏−𝟏)

d. 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞

(√𝒏𝟐 + 𝟏 − √𝒏𝟐 − 𝟐)

e. 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞

√𝒏𝟐𝟑

√𝒏𝟑

f. 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞

(𝒏𝟐−𝟏

𝒏+𝟐−

𝒏𝟑

𝒏𝟐+𝟏)

g. 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞

(𝟐𝒏−𝟏

𝟓𝒏+𝟐)𝒏𝟐

h. 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞

(𝟐𝒏−𝟐

𝟐𝒏+𝟑)𝒏+𝟏

i. 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞

(𝟑 +𝟏

𝒏)𝟐𝒏−𝟑

36. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a. 𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟖

b. 𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟑−𝟖𝒙+𝟓

𝒙𝟐−𝟗

c. 𝒇(𝒙) = √𝟑𝒙−𝟏

𝒙+𝟐

d. 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙

37. Calcula la inversa de la siguiente función y comprueba el resultado 𝒇(𝒙) =𝟑𝒙+𝟏

𝒙+𝟐.

38. Razona si la siguiente función presenta simetría y si es creciente o decreciente en el intervalo

[−𝟏, 𝟐]:

a. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙

39. Representa la siguiente función definida a trozos y halla las siguientes imágenes:

𝒇(𝟎), 𝒇(𝟐) 𝒚 𝒇(𝟏):

𝒇(𝒙) = {𝟐𝒙 + 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎

𝒙𝟐 − 𝟏 𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟐𝟑 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟐

40. Observa la gráfica de la siguiente función y estudia los aspectos enumerados a continuación:

a. Dominio y recorrido

b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c. Máximos y mínimos relativos y absolutos.

d. Simetría.

e. Acotación.

f. Periodicidad

41. Calcula los siguientes límites de funciones, indicando, si es el caso, las indeterminaciones que presentan:

a. 𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞

𝟖𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟏

𝟒𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟐

b. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑

𝒙+𝟐

𝒙−𝟑

c. 𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞

(𝟑𝒙−𝟐

𝟓𝒙+𝟏)𝟕𝒙𝟐+𝟏

d. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒙

𝒙𝟐−𝟒

e. 𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞

−𝟓𝒙𝟑−𝟑𝒙

𝒙𝟐+𝒙+𝟑

f. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏

𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟕

𝒙+𝟑

g. 𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞

𝒙𝟐−𝟕

𝒙𝟑+𝟗

h. 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

(𝒙𝟐+𝟏

𝒙+𝟑−

𝒙𝟐

𝒙−𝟏)

i. 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

(√𝒙𝟐 + 𝟒 − 𝟐𝒙)

j. 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

(𝟐𝒙+𝟑

𝟐𝒙−𝟒)𝒙+𝟏

k. 𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞

(𝟒

𝒙+𝟓−

𝒙𝟐+𝟏

𝒙𝟑+𝟑)

42. Representa la siguiente función definida a trozos y estudia su continuidad (aplicando la definición) e indica, si tiene, algún tipo de discontinuidad:

𝒇(𝒙) = {𝒙𝟐 − 𝟏, 𝒔𝒊 𝒙 < −𝟏𝟑, 𝒔𝒊 − 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐𝟑𝒙 − 𝟑, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟐

43. Representa las siguientes funciones indicando de qué tipo son, así como sus características principales:

a. 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏

b. 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑

44. Representa las siguientes funciones indicando de qué tipo son, calcula el dominio y sus asíntotas y representa también las asíntotas.

a. 𝒚 =−𝟑

𝒙

b. 𝒚 =𝒙+𝟒

𝒙+𝟑

45. Halla las asíntotas de las siguientes funciones:

a. 𝒚 =𝟏

𝒙−𝟏

b. 𝒚 =𝒙−𝟐

𝒙𝟐−𝟗

c. 𝒚 =𝒙𝟒−𝒙𝟐+𝟏

𝒙𝟑+𝟐𝒙𝟐+𝒙