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8/18/2019 Ficha deExercicios Resolvidos (Controlo de Sistemas)
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Controlo de Sistemas
Controlo de SistemasADESPA-Secção de Energia e Sistemas
Ficha Nº1
Elaborado por :
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Turma: -------
Turno: -------
Grupo: -------
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Índice1. -Sistemas de 1ª ordem ...................................................................................................................... 1
1.1. Ganhos estáticos e as constantes do tempo. ............................................................................... 1
1.2. Sistema de 1ª ordem com resposta indicial. ................................................................................. 2
1.2.1. Função de transferência (
4). ............................................................................................ 2
1.2.2. Número de constantes de tempo ( ) ao fim de qual o sistema estabiliza. .......................... 3
2. -Sistemas de 2ª ordem ...................................................................................................................... 4
2.1. Ganho normal, ganho estático, coeficiente de amortecimento ( ), frequência própria dosistema ( ). ............................................................................................................................................ 4
2.2. Respostas temporais para vários tipos de entradas. ............................................................ 7
Escalão de posição, = 1 ....................................................................................................... 7 Rampa,
= ........................................................................................................................... 8
Parábola,
= 2/2 ................................................................................................................. 9
Sinusoide, = cos 2 ........................................................................................................ 103. -Matlab ............................................................................................................................................... 124. – Características da resposta oscilatória ....................................................................................... 13
4.1. Cálculo das características da resposta oscilatória , , ,. ................................. 135. – Funções de transferência de sistemas elétricos ....................................................................... 16
5.1. Sistema RLC paralelo. .................................................................................................................. 16
5.1.1. Função de transferência em cadeia fechada do circuito RLC paralelo. .............................. 16
5.1.2. Frequência própria ou natural do sistema 0 e o coeficiente de amortecimento . . 175.2. Sistema RLC serie. ....................................................................................................................... 185.2.1. Função de transferência em cadeia fechada do circuito RLC-série. ................................... 18
5.2.2. Frequência própria ou natural do sistema 0 e o coeficiente de amortecimento emfunção dos parâmetros do sistema..................................................................................................... 195.2.4. Nova função de transferência 11 = . ........................................................ 195.2.5. Frequência própria ou natural do sistema
0 e o coeficiente de amortecimento . 19
5.2.6. Ganho estático de
10 e
11 . ...................................................................................... 20
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1. -Sistemas de 1ª ordem1.1. Ganhos estáticos e as constantes do tempo.
= 404 4
= 10 100 = 20120 60 :
= lim→ 404 4 = 404 =
= 404 4 =
404 1 =
10 1 → =
: = lim→ 10 100 = 10100 = , = 10 100 = 10100·0,01 1 = 110· 10,01 1 → = :
= lim→ 20120 60 = 2060 = ≅ ,
= 20120 60 = 2060·2 1 = 13· 12 1 → =
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1.2. Sistema de 1ª ordem com resposta indicial.
1.2.1. Função de transferência ( ).
= 1 Pelo gráfico:
= 2 2·0,632 = 1,264 A constante de tempo que corresponde a 1,264 [V] é = 10 Logo, a função de transferência é :
= 210· 1
G=2
1,264
= 10
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1.2.2. Número de constantes de tempo ( ) ao fim de qual o sistema estabiliza.
Consideramos que o sistema estabiliza a -2% do valor final da resposta do sistema, ou seja:
2·0,98 = 1,96
A curva da resposta atinge este valor em = 40 .Logo o número de constantes de tempo é: = 4010 = 4
2 %1,96[V]
= 40
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2. -Sistemas de 2ª ordem
= 2 2 4
= 2 8 1
= 100 10 = 8 2 2.1. Ganho normal, ganho estático, coeficiente de amortecimento ( ), frequência própria do
sistema ( ).
As sistemas de 2ª ordem têm seu comportamento dinâmico, no domínio ,descrito por:
= í = = 2 · ou
= í = = 2 · em que
→ ℎ á ; → → ; → ê ó = ;
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: Ganho estático: = lim→ 2
2 4 = 24 = ,
Ganho normal:
=
Constante de tempo:
= 2 · 1 → = 24· 114 12 1 → = 14 = 12 = ,
Coeficiente de amortecimento:
2 · = 12 → 2· ·0,5· =
12 = ,
Frequência própria do sistema:
= 2 · → = 12· 4 2 4 → = 4 → = / ou
= 1 = 10,5 = /
:
Ganho estático:
= lim→ 2 8 1 = 21 = Ganho normal: = Constante de tempo:
= 2 · 1 → = 2 8 1 → = Coeficiente de amortecimento:
2 · = 8· → 2· 82 = Frequência própria do sistema:
= 2 · → = 2· 1 8 1 → = 1 → =
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: Ganho estático: = lim→ 100
10 = 10010 =
Ganho normal:
=
Constante de tempo:
= 2 · 1 → = 100100· 11100 15 1 → 1100 = 110 = ,
Coeficiente de amortecimento:
2 · = 15· → 0,2· = 0,
Frequência própria do sistema:
= 2 · → = 100 20 100 → = 100 → = ou
= 1 = 10,1 = / : Ganho estático:
= lim→ 8 2 = 82 = Ganho normal: = Constante de tempo:
= 2 · 1 → = 82· 112 1 → = 12 = ,
Coeficiente de amortecimento:
2 · = 0 →
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Frequência própria do sistema:
= 2 · → = 4· 2 2 → = 2 → = √ 2 = , ou
= 1 = 10,707 = , 2.2. Respostas temporais para vários tipos de entradas.
Escalão de posição, = 1
= ℒ = ℒ1 = 1
= × = 1 × 2 2 4 2 4 = 0 , = 2±√ 4 4·42 = 2±√ 122 = 1±√ 3 = 1 1 3
Cálculo do A:
2 = 1 3 1 Substituindo = 0, temos que: 2 = 0 1 3 → = 24 = 12
Cálculo do B e C:
Para determinar B e C, substitui-se
= 1√ 3
2 = ( 1√ 3 1) 3 [ ( 1√ 3 1) ]√ 3 → 2 = 0[( 1√ 3 1) ] 1√ 3 → 21√ 3 = ( √ 3) →
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2× 1√ 34 = ( √ 3) → 1212√ 3· = (√ 3·)
12√ 3 = √ 3·12 = → = 12 = 12
= 12· 12 112 1 3 = 12· 12× 2 1 3 = ℒ− = ℒ− 12· 22· 1 3} →
= 1216−[√ 3sin(√ 3) 3cos√ 3]
Rampa, = = ℒ = ℒ = 1
= × = 1 × 2 8 1
8 1 = 0
, = 8±√ 64 42 = 4±√15 = 4√ 15 4√ 15 Cálculo do A:
= →0 22 8 1
= 2 Cálculo do B:
= → 2 8 1 = → 4 4 8 1 = 16 Cálculo do C:
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= → − −√ 2 ( 4√ 15)= 31√ 1515 8 Cálculo do D:
= → − +√ 2 ( 4√ 15)=31√ 1515 8 = = 2 16831√ 1515 ·(−√ −) 831√ 1515 ·(√ −) Parábola, = /2
= ℒ2 = ℒ = 1
= × = 1 × 100 10 10 = 0 , = 10
= 10 10 Cálculo do A: = → 100 10 = 1
Cálculo do B:
= → 100 10
= → 200 10 = 15
Cálculo do C:
= → 12 !· 100 10 = → 12 · 600 10 = 3100 Cálculo do D:
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= → − 100 = 110 Cálculo do E:
= → − 100 = →− 300 = 3100 = 1 15 3100 110 10 3100 10 = − = − 1 15 3100 110 10 3100 10
=2 5 3100 · −
10 3100 · −
100=2 5 310010 3100−
Sinusoide, = cos 2 = ℒ2 = ℒ = 4 = × = 4× 8 2 2 = 0 , = ±√ 2
4 = 0 , = ± 2 = 2 4
Cálculo do A e B:
Para determinar B e C, substitui-se
= √ 2
=8 4→ √ 2 = 8 √ 2( √ 2) 4= 8 √ 22= 4 √ 2 → = 4 = 0 Cálculo do C e D:
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Para determinar B e C, substitui-se = 2 =8 2→ 2 = 8 2 2 2= 16 2= 8 →
= 4 = 0
= 4 2 4 4 = − = − 4 2 4 4} = 4(√ 2 ) 42
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3. -MatlabNeste exercício usamos a versão do 2014. As respostas encontram-se no ANEXO A .
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4. – Características da resposta oscilatória
4.1. Cálculo das características da resposta oscilatória
(,,, , %).
1,45 0,58,85 = 8,85×0,51,45 = 3,05
A 8,85 3,05 E 0,45 1,125
B 6,09 2,10 F 0,70 1,750
C 5,80 2,00 G 1,25 3,125
D 5,51 1,90 h 5,45 13,625
Tempo de Atraso
O tempo de atraso é o intervalo de tempo necessário para que a resposta atinja pela 1ª vez 50% doseu valor final.
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= = 1,125 Tempo de Crescimento
O tempo de crescimento é o intervalo de tempo necessário para a resposta atinja pela 1ª vez 100% doseu valor final.
= = 1,750 Tempo de Sobrelevação
O tempo de sobrelevação é o intervalo de tempo necessário para que a resposta atinja o seu máximo
em regime transitório.
= = 3,125
Sobrelevação Máxima
A sobrelevação máxima é a máxima diferença entre os valores de resposta em regime transitório e em
regime forçado
= = 3,05 2, Tempo de Estabelecimento %
O tempo de estabelecimento é o intervalo de tempo necessário para que a resposta alcance e se
mantenha dentro da zona de estabelecimento da resposta.
∞ = ±5%×2 = % = = 13,625 4.2. FTCF do sistema com base nos valores calculados.
= ×−
=
= 1
{ − = = → − = → − = → −= 3,125 1,750 → − = 1,375 →
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= √1 → = ×√1 → = 3,125× 1 0,195 → = 1,02 =
2 = 1,025
2×0,195×1,02 ≅ 1
0,4
4.3. Características da resposta oscilatória amortecida (,,, , %). = 2 = 22 0,4 2 = 2 ↔ = √ 2 /
2 = 0,4 ↔ = 0,42× ↔ =
0,42×√ 2 ↔ = 0,1
= 1 → = √ 2× 1 0,14 ↔ = 1,40 = ×− =
= 1 ↔ 0,5 = 1 −√1 − → 0,5 1 = − −↔ 0,5 10,14 = − , 1,40 1,43 ↔ = 0,867
= ×− ↔ = ×−0,141,40 ↔ = 3,20 = ↔ = 1,40 ⇔ = 2,24
= − √ − =
− ,√ − , = 0,25
↔ 0,95 = 1 −√1 − ↔ 0,05 1 = − −↔ 0,05 10,14 = − , 1,40 1,43 → = 1,35
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5. – Funções de transferência de sistemas elétricos
5.1. Sistema RLC paralelo.
Figura 1-Circuito RLC paralelo.
5.1.1. Função de transferência em cadeia fechada do circuito RLC paralelo. Aplicando a lei dos nós, temos que:
∑ = 0 → = = = 1∫ =
=
= 1∫ ↔ = 1 1∫ = 1 1
Aplicando a Transformada de Laplace:
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ℒ → = 1 1 ↔ = 1 1 1 5.1.2. Frequência própria ou natural do sistema e o coeficiente de amortecimento .
= 1 1 1 = 1 1 1 = 1 1 1 = · 1 1 1 = 1 ↔ = 1
2 = 1 ↔ = 4
5.1.3.
Em relação a a resistência não tem qualquer tipo de influencia.
Em relação a a resistência tem uma influencia inversamente proporcional, isto é quando mais for aresistência menos vai ser o ser amortecimento.
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5.2. Sistema RLC serie.
Figura 2-Circuito RLC -série.
5.2.1. Função de transferência em cadeia fechada do circuito RLC-série. Aplicando a lei das malhas, temos que:
∑ = 0
{ · · 1 ·∫ =
= ∫
Aplicando a Transformada de Laplace para o sistema de equações:
ℒ → · · 1 · · = = 1 ·↔ 1 ·· =
= ·↔ = 1 ·· · ↔ = 1 · 1 · 1 · ↔ = =
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5.2.2. Frequência própria ou natural do sistema e o coeficiente de amortecimento emfunção dos parâmetros do sistema.
= 2 · →
1 1 →
1 1 →
1 1
= 1 2 = → = √ 2
5.2.3.
Então quanto maior for L, menor será o amortecimento assim como a frequência natural do sistema, ou
seja, o sistema terá um amortecimento e uma frequência natural menor quanto maior for o valor de L.
5.2.4. Nova função de transferência = . = = 1 ·∫ → = · = 1 ·∫
ℒ → = · · · = 1 · → = · · · · · · = · · →
= 1 → = = 1 5.2.5. Frequência própria ou natural do sistema e o coeficiente de amortecimento .
= 2 ·
→ 1 1
= 1 → = 1 2 = → 4 1 = → = 4 → = √ 2
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5.2.6. Ganho estático de e .
:
lim→ 1 1 = :
lim→ 1 1 = 1