UNIVERSIDAD NACIONAL

SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO

REA : MATEMATICA III

GRUPO : II

TEMA : RESOLUCIN DE LA RECUPERACION DE LA

TERCERA PRCTICA (GRUPO N6)

DOCENTE : MINAYA SALINAS Oscar Segundo

ALUMNA : FLORES ANTONIO Nataly

2015

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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Matemtica III

UNASAM

FIC

RECUPERACIN DE LA TERCERA PRCTICA

MATEMATICA III

1. Sea un tringulo de lados a,b,c y permetro constante 2p si esta regin gira

alrededor de uno de sus lados, calcular el volumen mximo generado y para que

valores de los lados ocurre este volumen mximo, utilice multiplicadores de

Lagrange.

Solucin:

Reemplazando en (1)

x a-x

h

b c

V1 V2

a

2 2

1 2

2

2

2

( )

3 3

.......(1)3

4 ( )( )(p ): A ( )( )( )

2

h x h a xV v v

hV a

ah p p a p b cPero p p a p b p c h

a

2

4 4 ( )( )( )( )( )( ) ( )

3 3

p p a p b p cV a p a p b p c p

a a

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Matemtica III

UNASAM

FIC

Donde:

Optimizar V es lo mismo que optimizar f(a,b,c,) sujeto a la restriccin a+b+c-2p=0

2

( )( )( )( , , ) ( 2 )

( )( ) 0.....(2)

( )( )0........(3)

( )( )0........(4)

2 0..................(5)

p a p b p cf a b c a b c p

a

F pp b p c

a a

F p a p c

b a

F p a p b

c a

Fa b c p

De (3) y (4)

De (2) y (4)

( )( )( )( , , )

p a p b p cf a b c

a

( )( ) ( )( )p a p c p a p bb c

a a

2

2 2

2 2

( )( )( )( )

p p a p ba b p c

a a

p pc ap a

p a apc

p

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UNASAM

FIC

Ahora reemplazando (5) tenemos:

En (6)

En el punto:

Pertenece a un mximo. Ahora reemplazando en funcin del volumen:

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2 2 .........(6)

2 2

2( ) 2

2 2 2 2

2

2

a b c p

a c p

p a apa p

p

ap p a ap p

ap p a ap p

a ap

pa

2 22

32

2

3

4

pc p

pc

pc b

1

3 3, ,

2 4 4

p p pP

4 ( )( )( )

3

p a p b p cV p

a

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FIC

El volumen mximo ocurre para:

33

3 3

4 2 4 4

3

2

8....... .

3 2 4 4 12

p p pp p p

V pp

p p p pV u Vol Maximo

3 3, ,c

2 4 4

p p pa b y

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FIC

2. Hallar el volumen del solido limitado por:

z = 9 , z = 2x y , x=0

Solucion :

z = f (x+y) = 2x y

Intersectando el plano con la superficie

29z x y

=9

2

2

2

2

93

2

3 0

93 32 2 22 2 2 2

3 30

9 ( , )

( , ) 9

9

( 9)

( , ) 9 9

(9 )( 9 ) (9 ) 9(9 )

2 2

D

D

y

D

y

V f x y dydx

V f x y dydx

x y

y x

V f x y dydx x y dxdy

x yV y x x dy y y y dy

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FIC

3 32 4 2 42 4 2 2 4

3 3

33 32 4 52 4 3

3 3 3

3 5 53 3

3

81 18 81 189 81 9 18 81

2 2

18 81 1 118 81 (6 81 )

2 2 2 5

1 3 ( 3)(6*3 81*3) (6*( 3) 81*3)

2 5 5

1 243(162 243 162 162

2 5

y y y yV y y y dy y y dy

y y yV dy y y dy y y

V

V

3

243 648243)

5 5

648

5V u

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3. Sea S el slido encerrado por la superficie:

22 2

4

zx y yz

Calcular:

Solucin:

Sea:

Reemplazando en (1) tenemos:

Ahora:

Pero p > 0

2 2 24 4s

x y z dv

2 22 2 2 24 2

4 4s s

z zx y dv x y dv

)

)

2 cos( )

( ) cos(

( )sen(

x psen

y psen

z p

22 2 ............(1)

4

zx y yz

3 2 )

2 ( )cos( ) ( )

2 ( )cos

(2 )sen( )

0 (2

(

) ( )

( )p p sen s

p sen sen sen

p sen se

en

n

( ) ( )sen sen

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FIC

Entonces analizamos dos casos:

Para el primer caso:

Para el segundo caso:

0 , 2

2 0 ,2

sen

sen

Entonces:

Tomamos a :

sen(2 )....( ) (

sen(2 )....(

).....( )...........( )

).....( )...........(( ))

sen

s

I

en I

) 0 0, (2 ) 0

2 2 2

2

02

( sen

k k

k

sen

k

2

22 2

2 2 22 22

0 0 0 02

2 2 23 32

0 0 0 02

( , , ) 2 ( , , )

4

2 (2 ) 2 (2 )

4 4 ..............( )

sen sen sen sen

sen sen sen sen

p p sen J p

zx y p

I p p sen dpd d p p sen dpd d

I p sen dpd d p sen dpd d

232

0 0 04 ...............(1)

sen sen

I p sen dpd d

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FIC

Para 1:

Para 2:

2 23

02

4 ..............(2)sen sen

I p sen dpd d

(2 ) ( )4

232 2

0 0 0 0 0

0

4 42

0 0

24

00

4 44

( (2 )) ( ( ))

35cos(9 ) 3(15cos(7 ) 14(6cos(5 ) 5(2cos(3 ) 9cos( ))))( )

5040

128

315

sen sen

sen sen pI p sen dpd d

I sen sen sen d d

I sen d

I se

4

0

3

0

( )

128 ( ) 3 ( ) 3cos

315 4 8 8

128 3 16*

315 8 105

n d

sen senI

I

2 23

02

24

2

24

2

4

( (2 )sen( ))

3 1 1 1 1( ) cos( ) cos(3 ) cos(5 ) cos(7 ) cos(9 )

8 12 20 112 144

sen sen

I p sen dpd d

I sen sen d d

I sen d

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FIC

24

2

128( )

315

128 3 1 1(2 ) (4 )

315 8 4 32

128 3 16*

315 8 105

I sen d

I sen sen

I

Finalmente reemplazamos en :

2 2 23 32

0 0 0 02

4 4

16 16 32

105 105 105

sen sen sen sen

I p sen dpd d p sen dpd d

I

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FIC

4. Calcular :

Si D es la regin limitada por: x+y=1 , x=0 , y=0

Solucin:

Ahora:

cosD

x yI dxdy

x y

1

u x y

v x y

v x y

0y

u x

v x

u v

2 2

1 1

12 2( , )

1 1 2

2 2

u x y

v x y

u v v ux y

J u v

0x

u y

v y

u v

x+y=1

y

x

v=1

v=u -v=u

v

u

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FIC

1 1

0 0

1 1

0 0

12

1 1

0 0

0

1 1cos cos

2 2

1 1( (1) ( 1))dv

2 2

1 12 ( (1)dv sen(1) (1) (1) 0

2 2 2

(1)

2

v v

v v

v

v

u uI dudv dudv

v v

uI vsen dv vsen vsen

v

vI v sen vdv sen sen

senI

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5. Calcular:

Donde: U es el tetraedro limitado por los plano: x+y+z=0, x+y-z=0, x-y-z=0 y

2x-y=1.

Solucin:

Transformando el integrando se tiene:

Sean

Transformando la regin S se tiene

0 02 2 2

u w v w u vx y z u

Luego

( )( )U

x y z x y z dxdydz

u x y z

v x y z

w x y z

2

2

2

u wx

v wy

u vz

1( , , )

4J u v w

0 02 2 2

u w v w u vx y z v

0 02 2 2

u w v w u vx y z w

2 1 1 2 4 12

v wx y u w u v w

( , v, w) / u 0, v 0, w 0,2u v 4 1D u w

v

w

u

v=2u+4w-1

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Proyectando al plano uw v=0

Entonces 2u+4w=1

1/2

1/2

0

w

v

2 4 11 1 2 1 1 2 22 4 1 2 4 1

2 4 2 4

0 0 0 0 0 00

1 1 2

22 4

0 0

( )( ) ( , , )

1 1( ( )dw)du ( ( ( ) )dw)du

4 4 2

1 1( (2 4 1) )

8 18

U D

u wu uu w u w

u

x y z x y z dxdydz uvw J u v w

uvwuvdv w

wu u w dw du