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FIBONACCI Y LOS PROBLEMAS DEL LIBER ABACI

Del texto, 2011 Alberto Ugarte Fernndez De las ilustraciones, 2011 Rosa Ugarte Fernndez

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NDICE

INTRODUCCIN EL LIBER ABACI LOS PROBLEMAS DEL LIBER ABACI PROBLEMAS: 1. Dos viajeros 2. El len en el pozo 3. Tres nmeros que suman 10 4. El len, el leopardo y el oso 5. Dos barcos al encuentro 6. Dos hombres con algunos denarios 7. Dos hombres y un caballo en venta 8. Un comerciante de Pisa 9. Las manzanas del jardn 10. La herencia 11. Un mltiplo de 7 12. Dos hombres que tienen 5 panes 13. Las parejas de conejos 14. Siete ancianos 15. Dos pjaros volando hacia la fuente

Pg. 4 Pg. 5 Pg. 7 Pg. 12 Pg. 14 Pg. 15 Pg. 16 Pg. 17 Pg. 19 Pg. 22 Pg. 24 Pg. 26 Pg. 29 Pg. 30 Pg. 31 Pg. 32 Pg. 35 Pg. 37

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INTRODUCCIN Hoy en da casi todo el mundo recuerda a Leonardo de Pisa, ms conocido como Fibonacci, por la sucesin: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 en la que cada trmino de la misma se halla sumando los dos precedentes. Esta sucesin aparece como solucin de uno de los problemas que Fibonacci incluy en su libro, el Liber Abaci: Un hombre coloca una pareja de conejos de un mes de edad en un recinto cerrado para ver cuntos descendientes produce en el curso de un ao, y se supone que cada mes, a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Cuntas parejas habr al cabo de un ao? El Liber Abaci fue escrito por Fibonacci en 1202 en Pisa. Con este libro, Fibonacci pretenda mostrar a sus compatriotas las ventajas del sistema de numeracin decimal indo-arbigo, que l haba aprendido en sus viajes por el Este mediterrneo, con respecto a los nmeros romanos que se usaban todava en Europa. El Liber Abaci contiene, adems, una notable coleccin de problemas pertenecientes al mbito de la matemtica recreativa. La mayora de ellos se encuentran en el captulo 12, con ms de 200 problemas. En este libro se proponen una serie de problemas extrados del Liber Abaci (principalmente de su captulo 12) elegidos entre los que me han parecido ms interesantes. En cada problema se presenta el enunciado con un lenguaje moderno (a veces se aaden a ste condiciones para encontrar una nica solucin; muchos problemas de Fibonacci son indeterminados). Despus se presenta la solucin redactada utilizando el lenguaje simblico actual. En muchos problemas se incluye la solucin dada por Fibonacci cuando su mtodo de resolucin resulta curioso e interesante. Seguro que al lector muchos de los problemas le sern familiares ya que se han convertido en clsicos de la matemtica recreativa.

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EL LIBER ABACI Las nueve cifras hindes son: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con estas nueve cifras y con el 0 cualquier nmero puede ser escrito. As comienza el Liber Abaci, la obra ms conocida de Fibonacci cuya primera edicin se public en 1202. En esta obra, Leonardo introduce las cifras indo-arbigas en Occidente y proporciona las reglas para realizar las operaciones elementales con ellas. En el prlogo del libro Leonardo declara que en sus viajes y estudios ha encontrado que el sistema de numeracin hind y sus mtodos de clculo son superiores a los que se emplean en Europa y que quiere divulgarlos entre sus compatriotas. Su intencin era brindar a los comerciantes una herramienta de clculo mucho ms potente que el tradicional baco. El Liber Abaci es una verdadera antologa del saber matemtico de la poca, de notable importancia por la divulgacin y la descripcin que ofrece de la matemtica y de la vida cotidiana. No es exagerado decir que las contribuciones de Fibonacci dieron un nuevo impulso a la matemtica italiana y europea. Durante tres siglos aproximadamente sus trabajos sirvieron de modelo para los estudiosos de la poca. Los posteriores desarrollos de la matemtica en el siglo XVI hicieron que se olvidaran las obras de Leonardo. Con la publicacin de las obras por parte de Boncompagni (1821-1894) sus obras revivieron de nuevo la admiracin de los estudiosos. El Liber Abaci se divide en quince captulos: Captulo 1: Lectura y escritura de los nmeros en el sistema indo-arbigo. Captulo 2: Multiplicacin de nmeros enteros. Captulo 3: Suma de nmeros enteros. Captulo 4: Resta de nmeros enteros. Captulo 5: Divisin de nmeros enteros. Captulo 6: Multiplicacin de nmeros enteros por fracciones. Captulo 7: Fracciones. Captulo 8: Precios de las mercancas. Captulo 9: Trueque de mercancas y cosas similares.5

Captulo Captulo Captulo Captulo Captulo Captulo

10: 11: 12: 13: 14: 15:

Compaas y sus miembros. Aleaciones de monedas. Problemas y soluciones. El mtodo de la doble falsa posicin. Races cuadradas y races cbicas. Reglas geomtricas y problemas de lgebra.

En el captulo 1 Fibonacci explica el sistema decimal. En los siguientes captulos describe con detalle los mtodos para realizar las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicacin y divisin). Despus Fibonacci propone y resuelve problemas de diversa ndole. En el captulo 8 ensea a calcular, usando la proporcin, el valor de diversas mercancas en diferentes ciudades que podan ser destino de viajes para comerciantes. Tambin encontramos en este captulo los nombres de unidades de medida de peso, capacidad y longitud y de las monedas en uso en las diferentes ciudades. Fibonacci explica tambin como resolver este tipo de problemas usando la regla de tres (l lo llama mtodo de la negociacin). En el captulo 9 haciendo tambin uso de la regla de tres propone diferentes problemas basados en el trueque de otros artculos. El dcimo captulo trata de las inversiones hechas por los miembros de ciertas compaas y los beneficios obtenidos por stos. El captulo 11 contiene problemas sobre aleaciones de monedas de plata y cobre. Posteriormente en el mismo captulo Fibonacci incluye otros problemas que se resuelven de manera anloga a los primeros. Hay a menudo soluciones mltiples ya que los problemas incluyen sistemas de ecuaciones lineales indeterminados. El captulo 12 propone problemas de diverso tipo pertenecientes al mbito de la matemtica recreativa. En el captulo 13 Fibonacci resuelve problemas usando el mtodo de la doble falsa posicin. En el captulo 14 se encuentran problemas con races y en el 15 se proponen una serie de ejercicios geomtricos.

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LOS PROBLEMAS DEL LIBER ABACI Todo el Liber Abaci est lleno de problemas de naturaleza dispar. El captulo 12 ocupa aproximadamente una extensin de un tercio de todo el Liber Abaci y es el que contiene mayor nmero de problemas, entre los cuales se encuentra el problema de las parejas de conejos, por el cual Fibonacci es famoso. La mayora eran ya conocidos con anterioridad a Fibonacci; el slo los copi de obras de otros autores. Como muestra, otros ejemplos que nos sonarn familiares: Un len se come una oveja en 4 horas, un leopardo en 5 y un oso tarda 6 horas. Cuntas horas tardarn en devorarla los tres juntos? Siete ancianos van a Roma. Cada uno tiene 7 mulas, cada mula tiene 7 sacos, en cada saco hay 7 panes, en cada pan hay 7 cuchillos y cada cuchillo tiene 7 dientes. Cul es la suma de todo lo anteriormente nombrado?

El captulo 12 est dividido en 9 partes: Parte 1: Suma de series de nmeros, y otros problemas similares. Parte 2: Sobre proporciones numricas por la regla de las cuatro proporciones. Parte 3: Problemas de rboles, y otros problemas similares que tienen solucin. Parte 4: Descubriendo bolsas. Parte 5: Compra de caballos entre miembros de una sociedad, de acuerdo con proporciones dadas. Parte 6: Sobre viajantes, y otros problemas parecidos a stos. Parte 7: Mtodo de la falsa posicin y variaciones de ste. Parte 8: Algunos problemas de adivinacin. Parte 9: Duplicando cuadrados y otros problemas. Los problemas del Liber Abaci estn ligados a la vida cotidiana de la poca y ofrecen informacin sobre las unidades de medida, de peso y monetarias que se usaban en la poca as como de las prcticas de negocio y de comercio que se seguan en la poca. Los problemas de matemtica recreativa Leonardo los resuelve por mtodos ya conocidos en la poca, tales como la regla de tres, la regla de tres compuesta y el mtodo de la falsa posicin.7

Este mtodo era una de las tcnicas favoritas de Leonardo, que tom prestada de los rabes. En dicho mtodo se parte de una suposicin falsa y se resuelve el problema con esta falsa suposicin, corrigiendo posteriormente la solucin haciendo uso de la proporcin. Us la falsa posicin en todo tipo de problemas: cisternas que se llenan y se vacan con grifos y desages a diferentes velocidades, hormigas y barcos que van al encuentro o se persiguen, problemas de rboles, de dinero o de edades. Algunos problemas son resueltos tambin por el mtodo directo de los rabes, es decir, usando ecuaciones. Los ejercicios no contienen smbolos matemticos y Fibonacci llama a la magnitud desconocida cosa y describe el proceso paso a paso. Otro mtodo que tom prestado de los rabes era resolver un problema de atrs hacia delante. Por ejemplo en el problema las manzanas del jardn: Un hombre entra al jardn del placer a travs de 7 puertas y coge all un cierto nmero de manzanas. Para salir debe pagar a los guardianes de cada puerta. Al primer guardin le da la mitad de las manzanas que lleva ms una. Al segundo guardin le da la mitad de las manzanas que le quedan ms una. Hace lo mismo con los guardianes de cada una de las cinco puertas que le faltan. Cuando sale le queda una manzana. Cuntas manzanas haba tomado en un principio?

Aqu Leonardo empieza calculando las manzanas que tiene antes de cruzar cada puerta pero empezando por la ltima hasta llegar a la primera. Leonardo a menudo ofrece distintas variantes de un mismo problema y en otros problemas, ofrece diferentes mtodos para solucionarlos. Por ejemplo, en el problema Dos pjaros volando hacia la fuente Leonardo lo resuelve, en el captulo 13, por el mtodo de la doble falsa posicin, y por semejanza de tringulos en el captulo 15.

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Varios problemas del Liber Abaci los dedica a la suma de series tanto aritmticas como geomtricas: Dos hombres tienen la intencin de hacer un largo viaje. Uno de ellos caminar 20 millas diarias. El otro har 1 milla el primer da, 2 el segundo, 3 el tercero y as sucesivamente aadiendo siempre una milla a lo recorrido el da anterior. Cuntos das tardar el segundo viajero en alcanzar al primero? Cunto vale la suma de la sucesin de potencias de dos (desde 20 hasta 263) escritas en un tablero de ajedrez?

Otro tipo de problemas, inventados por los chinos y adoptados posteriormente por hindes y rabes, eran los problemas del resto: Cul es el nmero ms pequeo que dividido entre 2, 3, 4, 5 6 da de resto 1 y es exactamente divisible por 7?

La contribucin de Leonardo a las matemticas, ms all de la introduccin del sistema numrico indo-arbigo, fue en el rea de la teora de nmeros. Los logros ms importantes de Leonardo en la teora de nmeros fueron en el anlisis diofntico. El lgebra diofntica trata sistemas de ecuaciones indeterminados con dos o ms incgnitas, para los cuales se requieren soluciones enteras. Muchos problemas de Fibonacci son indeterminados. En ellos Fibonacci suele proponer la solucin entera ms pequea aunque en el enunciado no venga especificada explcitamente dicha condicin. Finalmente es oportuno aadir algunas observaciones sobre la escritura de fracciones por parte de Fibonacci: El autor no usa fracciones decimales (sino ocasionalmente). Las fracciones son siempre menores que la unidad (nuestras fracciones propias). La mayor parte de las fracciones incluidas en los enunciados de las fracciones son fracciones unitarias (fracciones con numerador uno) mientras que las fracciones incluidas en las soluciones no tienen esta limitacin. En la poca de Fibonacci no se haban inventado los signos y la sucesin de dos fracciones indicaba su suma (por ejemplo 1/4 1/3 equivale a lo que hoy indicamos como 1/4 + 1/3). Cabe recordar9

que el primer libro donde se utilizan los smbolos + y se publica al inicio del siglo XVI. Ms compleja es otra notacin usada por Fibonacci31 + 6 1 31 indica 7 11

1 6 1 6 , es decir, 31 + . Es posible que este + + 11 7 11 11 77 mtodo de escritura de las fracciones de izquierda a derecha Fibonacci lo haya heredado de los rabes.

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PROBLEMAS

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1. DOS VIAJEROS Dos hombres tienen la intencin de hacer un largo viaje. Uno de ellos caminar 20 millas diarias. El otro har una milla el primer da, 2 el segundo, 3 el tercero y as sucesivamente aadiendo siempre una milla a lo recorrido el da anterior. Cuntos das tardar el segundo viajero en alcanzar al primero? Solucin: Si llamamos x al nmero de das que tarda en alcanzar un viajero al otro, entonces el primer viajero recorrer 20x millas, mientras que el segundo recorrer 1 + 2 + 3 + 4 + . + x millas. Calculemos ahora el valor de esta suma. Llamamos S a la suma anterior, es decir; S = 1 + 2+ 3 + 4 + + x. Escribimos ahora la suma con los sumandos a la inversa, es decir, de mayor a menor; S = x + x-1 + x-2 + + 3 + 2 + 1. Sumando ambas expresiones, trmino a trmino, obtenemos: S = 1 + 2 + 3 + + x-2 + x-1 + x S = x + x-1 + x-2 + + 3 + 2 + 1 ________________________________ 2S = x+1 + x+1 + x+1 +.....+ x+1+ x+1 =2S = x (x + 1)

x (x + 1) 2 Igualando ahora las distancias recorridas por ambos viajeros, obtenemos la ecuacin:

Por tanto S =

20 x =

x (x + 1) , 2

cuyas soluciones son x = 0 (que corresponde al momento inicial de partida) y x = 39 (que es la solucin de nuestro problema).

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2. EL LEN EN EL POZO Un len se encuentra en un pozo de 50 palmos de profundidad. 1 1 de palmo y desciende . Cuntos das Diariamente asciende 9 7 tarda en salir del pozo? Solucin: Segn Fibonacci el len asciende1 1 2 de palmo. As, en 63 = 7 9 63 das ascender 2 palmos. Por tanto, en 1575 das ( 63 25 =1575) ascender 50 palmos ( 25 2 ). En realidad la solucin propuesta por Fibonacci no es correcta si 1 tenemos en cuenta que el len primero asciende diariamente 7 1 . Analicemos lo que ocurre unos das de palmo y luego cae 9 antes del da 1575: El da 1571 el len se encuentra a una altura de 2 1571 = 49,873 palmos. 63 1 Al da siguiente el len asciende , es decir algo ms de 0,142 7 palmos, con lo cual supera ya los 50 palmos de altura del pozo. Es decir, el len tarda en salir del pozo 1572 das.

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3.

TRES NMEROS QUE SUMAN 10

Halla tres nmeros que sumen 10 de manera que el producto del mayor por el menor nmero sea igual al producto del otro nmero por s mismo.

Solucin: Con los datos del problema podemos establecer las siguientes relaciones: x + y + z = 10 2 xz = y

El problema es indeterminado, es decir, admite infinitas soluciones. Hallemos una siguiendo el mtodo usado por Fibonacci. Supongamos que el nmero menor sea 1 y el intermedio 2. Entonces el mayor sera 4 ya que 1x4=2x2. Pero la suma de estos tres nmeros es 7 y no 10 como se peda. Obtendremos una solucin vlida si multiplicamos estos tres nmeros por 10 y los dividimos entre 7. Es decir: Primer nmero: 1 10 10 3 = =1 7 7 7

Segundo nmero: 2

6 10 20 = =2 7 7 7

Tercer nmero: 4

10 40 5 = =5 7 7 7

Podemos comprobar que: 10 20 40 70 7 + 7 + 7 = 7 = 10 2 10 40 20 = 7 7 7

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4.

EL LEN, EL LEOPARDO Y EL OSO

Un len se come una oveja en 4 horas, un leopardo en 5 y un oso tarda 6 horas. Cuntas horas tardarn en devorarla los tres juntos?

Solucin: En una hora el len se come1 1 de la oveja, el leopardo y el 4 5 1 1 1 1 37 . Por tanto, los tres juntos se comern de la oso + + = 4 5 6 60 6 oveja en una hora, y as, en comerse la oveja entera los tres 60 juntos tardarn horas, es decir, 1 h 37' 18" aproximando a 37 segundos.

Fibonacci resuelve este problema calculando el mnimo comn mltiplo de 4, 5 y 6 que es 60 y considerando que si un len se come una oveja en 4 horas, en 60 horas se come 15. Asimismo, en esas 60 horas un leopardo se come 12 y un oso 10 ovejas. Por tanto, entre los tres se comeran 15 + 12 + 10 = 37 ovejas en 60 horas. Como queremos saber el tiempo que tardan en devorar una nica oveja dividimos 60 entre 37. Solucin:23 60 horas ( 1 horas) 37 37

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5.

DOS BARCOS AL ENCUENTRO

Dos barcos se encuentran en diferentes puertos. Uno de ellos recorre la distancia que separa ambos puertos en 5 das y el otro, siguiendo el mismo trayecto, en 7. Si salen a la vez, cuntos das tardarn en cruzarse?

Solucin: Si el primer barco tarda en realizar el trayecto entero 5 das, 1 del trayecto. Y por tanto, el segundo entonces en un da recorre 5 1 1 1 12 . Entre los dos barcos recorren barco recorre + = del 5 7 35 7 35 de da, es decir, 2 total del trayecto. As, tardarn en cruzarse 12 das y 22 horas. Fibonacci resuelve este problema de la siguiente manera: Si un barco tarda 5 das y el otro 7, en 35 das (mnimo comn mltiplo de 5 y 7), un barco realiza 7 trayectos y el otro 5. Es decir, entre los dos barcos realizan 12 trayectos en 35 das. Por 35 de da. Adems, si tanto, en realizar un trayecto tardarn 12 quieres saber donde se encuentran, el primer barco habr 7 5 recorrido del trayecto y el segundo, el ms lento, . 12 12

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DOS HOMBRES CON ALGUNOS DENARIOS

Dos hombres tienen algunos denarios, y uno le dice al otro: Si me dieras 7 denarios entonces tendra cinco veces ms denarios que t. El otro responde: Si me dieras 5 de los tuyos yo tendra siete veces los tuyos. Cuntos denarios tienen cada uno?

Solucin: Sean x los denarios del primer hombre e y los del segundo. Entonces: x + 7 = 5(y 7) y + 5 = 7( x 5) 2 x = 7 17 siendo la solucin; y = 9 14 17 Fibonacci resuelve el problema con lo que l llama segundo mtodo del rbol. Hace una representacin grfica donde cada cantidad de denarios viene representada por un segmento:

As: AG: es la cantidad de denarios del primer hombre. GB: es la cantidad de denarios del segundo hombre. GD: 7 denarios. EG: 5 denarios. AB: cantidad total (o rbol). Una vez hecho el planteamiento grfico Fibonacci razona de la siguiente manera: 1 Como de acuerdo al enunciado AD = 5DB, entonces DB = AB. 6 1 AB. De la misma manera EB = 7AE entonces AE = 819

Sumando ambas cantidades obtenemos: 7 1 1 DB + AE = ( + ) AB = AB. 24 6 8 Supongamos ahora que AB sea 24. Entonces, DB = 4 y AE = 3 y, por tanto, ED = 24 3 4 = 17. Pero como ED = 12 multiplicamos la solucin anterior por 12 y la dividimos entre 17. 24 12 24 12 48 24 12 36 As AB = , DB = = = y AE = . 17 17 6 17 17 8 17 36 1 obtenemos que el primer hombre tiene 7 . Sumando 5 a 17 17 48 14 obtenemos que el otro hombre tiene 9 . Sumando 7 a 17 17

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7.

DOS HOMBRES Y UN CABALLO EN VENTA

Dos hombres desean comprar un caballo pero ninguno de ellos posee suficiente dinero para hacerlo. El primero dice al segundo: 1 Si me das de tus besantes entonces puedo comprar el 3 1 caballo. El segundo responde: Si me das de tus besantes yo 4 tambin tendr besantes suficientes para comprar el caballo. Cul es el precio del caballo y cuntos besantes posee cada uno de los dos hombres?

Solucin: Sean x los besantes del primer hombre, y los del segundo y C el precio del caballo. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:1 x + 3 y = C y + 1 x = C 4

x= 8 C 11 , cuya solucin entera ms pequea es x = Despejando y = 9 C 11 8, y = 9, C = 11 (que es la dada por Fibonacci).

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8.

UN COMERCIANTE DE PISA

Un hombre llegado a Lucca por negocios consigui el doble del dinero trado y all gast 12 denarios. De Lucca se dirigi a Florencia donde dobl de nuevo el dinero trado y gast 12 denarios. De Florencia regres a Pisa donde nuevamente consigui doblar el dinero que traa y gast 12 denarios, no quedndole nada de dinero despus. Cunto denarios tena el hombre al inicio de este viaje? Solucin: Sea x el nmero de denarios que posea el hombre a su llegada a Lucca. Cuando sale de Lucca tiene 2x-12. A su salida de Florencia tiene 2(2x 12) 12 = 4x 36 . En Pisa tiene: 84 2(4 x 36 ) 12 = 0 8 x 84 = 0 x = = 10,5 . 8 Por tanto la solucin es 10,5 denarios. Otro mtodo es calcular cuntos denarios tena antes de llegar a cada ciudad empezando por el final. Antes de llegar a Pisa tena 6 ( (2 6 12 = 0) . Antes de llegar a Florencia tena 9 (2 9 12 = 6) Antes de llegar a Lucca tena 10,5 (2 10,5 12 = 9) Fibonacci resuelve este problema en el captulo 13 del Liber Abaci usando el mtodo de la doble falsa posicin: Supongamos que el hombre llega a Lucca con 12 denarios. Cuando sale de Lucca tiene 2 12 12 = 12 denarios. Cuando sale de Florencia tiene 2 12 12 = 12 denarios y en Pisa tiene 12. Fibonacci hace ahora una segunda hiptesis: Supongamos que el hombre llega a Lucca con 11 denarios. Cuando sale de Lucca tiene 2 11 12 = 10 denarios. Cuando sale de Florencia tiene 2 10 12 = 8 denarios y en Pisa tiene 2 8 12 = 4 denarios. Y razona: Si disminuyendo un denario la cantidad inicial que posee el hombre la cantidad final ha disminuido 8 denarios, para que la cantidad final disminuya 4 denarios ms, la cantidad inicial debe 1 1 1 denarios. disminuir denario. Con lo cual 11 = 10 2 2 224

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9.

LAS MANZANAS DEL JARDN

Un hombre entra al jardn del placer a travs de 7 puertas y coge all un cierto nmero de manzanas. Para salir debe pagar a los guardianes de cada puerta. Al primer guardin le da la mitad de las manzanas que lleva ms una. Al segundo guardin le da la mitad de las manzanas que le quedan ms una. Hace lo mismo con los guardianes de cada una de las cinco puertas que le faltan. Cuando sale le queda una manzana. Cuntas manzanas haba tomado en un principio?

Solucin: Averigemos cuntas manzanas tena el hombre antes de cruzar cada puerta, pero empezando desde la ltima puerta hasta llegar a la primera: Al final tiene 1 manzana. Antes de la ltima puerta tiene (1 + 1) 2 = 4 manzanas. Antes de la quinta puerta tiene (10 + 1) 2 = 22 manzanas. Antes de la sexta puerta tiene (4 + 1) 2 = 10 manzanas.

Antes de la primera puerta tiene (190 + 1) 2 = 382 manzanas. Por tanto el hombre haba tomado 382 manzanas en el jardn. El problema tambin se puede resolver mediante el uso de ecuaciones pero el proceso resulta ms largo y complicado. Llamamos x al nmero de manzanas que coge el hombre y vamos calculando cuntas manzanas tiene el hombre antes de cruzar cada puerta.

Antes de la segunda puerta tiene (94 + 1) 2 = 190 manzanas.

Antes de la tercera puerta tiene (46 + 1) 2 = 94 manzanas.

Antes de la cuarta puerta tiene (22 + 1) 2 = 46 manzanas.

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Nmero de manzanas antes de cruzar la puerta Puerta 1 Puerta 2 x x 2 x x 1 = 2 2

Nmero de manzanas que da al portero x +1 2 x 2 +1 4

Puerta 3 Puerta 4 Puerta 5 Puerta 6 Puerta 7

x 2 x 2 x 6 - + 1 = 2 4 4 x 6 x 6 x 14 - + 1 = 4 8 8 x 14 x 6 x 30 + 1 = - 8 16 16 x 30 x 30 x 62 + 1 = - 32 16 32 x 62 x 62 x 126 - + 1 = 32 64 64

x 6 +1 8 x 14 +1 16 x 30 +1 32 x 62 +1 64 x 126 +1 128

As despus de cruzar la ltima puerta el hombre tendr: x 126 x 126 x 254 + 1 = manzanas - 128 64 128 Como solo le queda una manzana: x 254 = 1 , de donde x = 382 manzanas. 128

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10. LA HERENCIA

Un hombre, aproximndose al final de su vida, llam a su hijo mayor y le dijo: Mis bienes sern repartidos del siguiente modo: 1 de los restantes besantes. Al t obtendrs un besante y 7 1 de los segundo hijo le dijo:A ti te corresponden 2 besantes y 7 restantes. Al tercer hijo le dijo que le correspondan 3 besantes y 1 de los restantes. As les dijo a todos sus hijos en orden 7 decreciente de edad, dando a cada uno un besante ms que al 1 de los que quedaban. Al ltimo hijo le toc lo que anterior y 7 quedaba despus del reparto. Al finalizar el reparto, los hijos se dieron cuenta que todos haban recibido los mismos besantes. Cuntos hijos tena dicho hombre y cuntos besantes recibi cada uno? Solucin: Sea x el nmero total de besantes a repartir. 1 x +6 . Al primer hijo le tocan 1 + (x 1) = 7 7 x +6 6(x 1) Ahora quedan para repartir x = 7 7 1 6(x 1) 6 x + 78 Al segundo hijo le tocan 2 + 2 = 7 7 49 Como a cada hijo les toca lo mismo, entonces: x + 6 6 x + 78 , cuya solucin es x = 36 . = 7 49 36 + 6 Sustituyendo x en la primera expresin: = 6 . A cada hijo le 7 36 corresponden 6 besantes y por tanto, hay 6 hijos ( = 6 ). 6

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11. UN MLTIPLO DE 7

Cul es el nmero ms pequeo que dividido entre 2, 3, 4, 5 6 da de resto 1 y es exactamente divisible por 7? Solucin: Calculamos el mnimo comn mltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 que es 60. Si le sumamos 1 obtenemos 61 que dividido por 2, 3, 4, 5 y 6 da de resto 1. Pero 61 no es exactamente divisible por 7. As que sumamos 1 a los sucesivos mltiplos de 60 (121, 181, 241, 301) hasta obtener un nmero que sea mltiplo de 7. Dicho nmero es el 301.

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12. DOS HOMBRES QUE TIENEN 5 PANES

Dos hombres van de paseo hasta una fuente. All se disponen a almorzar. Uno de los hombres tiene 3 panes y el otro 2. Ven a un soldado y le invitan a unirse a ellos. Todos comen el mismo pan y el soldado, al marchar, les entrega 5 besantes por el pan recibido. Cmo deben repartirse los besantes los dos hombres? Solucin: Como tienen 5 panes a repartir entre 3 personas cada uno come 5 de pan. 3 El primer hombre tiene 3 panes, por tanto da al soldado: 1 5 4 3 = de pan, es decir un pan y de otro. 3 3 3 El otro hombre, que tiene 2 panes, da al soldado: 5 1 = de pan. 3 3 Como el primer hombre da al soldado el cudruple de pan que el segundo, debe recibir el cudruple de besantes. As, el primer hombre debe recibir 4 besantes y el segundo 1. 2

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13. LAS PAREJAS DE CONEJOS

Un hombre coloca una pareja de conejos de un mes de edad en un recinto cerrado para ver cuntos descendientes producen en el curso de un ao, y se supone que cada mes, a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Cuntas parejas habr al cabo de un ao? Solucin: Como la primera pareja se reproduce en el primer mes, al cabo de un mes hay 2 parejas. Una de stas, la primera, se reproduce en el segundo mes, y as al cabo de dos meses hay 3 parejas. De stas, dos parejas se reproducen ese mes y as, al cabo de tres meses hay 5 parejas (3+2). De estas cinco parejas, en el siguiente mes se reproducen 3, por tanto al cabo de cuatro meses hay 8 parejas (5+3). Siguiendo este razonamiento Fibonacci concluye que para hallar las parejas de conejos que hay al final de cada mes basta sumar las parejas de conejos de los dos meses precedentes. Es fcil seguir el planteamiento utilizado por Fibonacci para resolver el problema si usamos una tabla: Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Parejas frtiles 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 Parejas frtiles 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 no Total 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

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Por lo que el nmero de parejas de conejos que habr al cabo de un ao sern 377. NOTA: Hoy en da se recuerda sobre todo a Fibonacci por la sucesin: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 en la que cada trmino de la misma se halla sumando los dos precedentes. La sucesin aparece en muy distintas reas de la ciencia. Sin embargo, no hay constancia de que Fibonacci estudiara posteriormente esta sucesin. Adems, en la resolucin del problema, Fibonacci omite el primer trmino de la sucesin.

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14. SIETE ANCIANOS

Siete ancianos van a Roma. Cada uno tiene 7 mulas, cada mula tiene 7 sacos, en cada saco hay 7 panes, en cada pan hay 7 cuchillos y cada cuchillo tiene 7 dientes. Cul es la suma de todo lo anteriormente nombrado? NOTA: Este es uno de los problemas ms antiguos de matemtica recreativa. La primera versin del problema se encuentra en el Papiro Rhind del antiguo Egipto (ao 1650 a.C. aproximadamente). Tambin es famoso el acertijo As I was going to St. Ives basado en este problema y escrito en rima en ingls. Solucin: Hay que calcular la suma de las potencias de 7 desde 71 hasta 76. Fibonacci presenta la solucin de la siguiente manera:

137256 7 49 343 2401 16807 117649

suma 137256

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15. DOS PJAROS VOLANDO HACIA LA FUENTE

Dos torres, una de 30 pasos y otra de 40 pasos estn separadas 50 pasos. Entre las dos torres se encuentra una fuente hacia la que descienden dos pjaros que estn en las almenas de las torres. Yendo a igual velocidad llegan al mismo tiempo. A qu distancia de las torres se encuentra la fuente? Solucin: Dibujamos el grfico del enunciado:

Los dos pjaros van a la misma velocidad y llegan al mismo tiempo, eso quiere decir que recorren la misma distancia (y). Llamando x a la distancia de la torre ms alta a la fuente y aplicando el teorema de Pitgoras obtenemos: y 2 = 402 + x 2 2 y = 302 + (50 x )2 Igualando ambas expresiones obtenemos la ecuacin:

402 + x 2 = 302 + (50 x ) , cuya solucin es x = 18.2

Por tanto, la fuente se encuentra a 18 pasos de la torre ms alta y a 32 de la otra.

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Fibonacci, en cambio, para resolver este problema emplea un interesante mtodo geomtrico:

Si los dos pjaros van a la misma velocidad y llegan al mismo tiempo, eso quiere decir que recorren la misma distancia y que, por lo tanto, los segmentos BF y DF son iguales. Entonces, el tringulo BFD es issceles y el punto M est a igual distancia de B que de D, lo que quiere decir tambin que el segmento EM mide 35 pies y los segmentos AE y MG miden 25. Como EM mide 35 pies GD mide 5. Ahora podemos aplicar semejanza a los tringulos EFM y MGD y as calculamos el segmento EF: 35 25 = EF 5 Por tanto EF = 7, la distancia de la fuente a la torre ms baja es 25+7=32 pasos y la distancia a la otra torre es 18 pasos.38

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