FİBONACCİ DİZİSİ VE ALTIN ORAN

Leonardo Fibonacci, (Pisalı Leonardo,

Leonardo Pisano d. 1170, ö. 1250), yaygın

olarak ismiyle Fibonacci diye anılan, orta

çağın en yetenekli matematikçisi olarak

kabul edilen İtalyan matematikçi.

Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul

edilen Fibonacci İtalya'nın ünlü Pisa şehrinde doğmuştur.

Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayir'de geçmiştir. İlk

matematik eğitimini Müslüman bilim adamlarından almış,

İslam aleminin kitaplarını incelemiş ve bunlar üzerinde

çalışmıştır. Avrupa'da Roma rakamları kullanılırken ve

sıfır kavramı ortalarda yokken Leonardo Fibonacci Arap

rakamlarını ve sıfırı öğrenmiştir.

1201 yılında "Liber Abacci" adında bir matematik

kitabı yazmıştır. Bu kitapla Avrupa'ya Arap

rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini

tanıtmıştır. Bu kitapta temel matematik

kurallarını birçok örnek vererek anlatmıştır.

I = 1 , V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000

Bu rakamlarla 13 XIII ve ya IIIX şeklinde, 2003

MMIII şeklinde, 99 LXXXXVIIII şeklinde ve 1998 MDCCCCLXXXXVIII şeklinde yazılır.

CCXXIII + XXVIII = CCI

CLXXIIII - XXVIII = CXXXXVI

Bu bakımdan Fibonacci, matematiği Araplardan alıp

Avrupa’ya tanıtan kişi olarak anılır. Avrupalıları roma

rakamlarının hantallığından kurtararak hint-arap sayı

sisteminin yaygınlaşmasını sağlamıştır.

FİBONACCİ DİZİSİ

Her sayının kendinden öncekiyle toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir.

Buna göre Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:

F1 = 1, F2 = 1

Fn = Fn-1 + Fn-2 , n>2

Buna göre Fibonacci sayılarının ilk birkaç tanesi şöyle sıralanır:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946...

Peki Fibonacci sayılarını ortaya çıkaran soru neydi?

"Bir çift yavru tavşan ( bir erkek ve bir dişi) var. Bir

ay sonra bu yavrular erginleşiyor. Erginleşen her çift

tavşan bir ay sonra bir çift yavru doğuruyorlar. Her

yavru tavşan bir ay sonra erginleşiyorlar. Hiç bir

tavşanın ölmediğini ve her dişi tavşanın bir erkek bir

dişi yavru doğurduğunu varsayarsak bir yıl sonra kaç

tane tavşan olur?"

Fibonacci dizisini bu kadar ilginç kılan nedir?

Fibonacci sayılarına özellikle doğada çok sık

rastlamaktayız. Bu sayılar bitki yaprakları, bitki

tohumları, çiçek yaprakları ve kozalaklarda sıkça

karşımıza çıkmaktadır. Daha da ilginci bu sayılara

Pascal veya Binom üçgeninde, Mimar Sinan’ın

eserlerinde, Da Vinci’nin resimlerinde de

rastlanmaktadır.

Bu yönüyle Fibonacci dizisine doğanın

matematiksel şifresi adı verilmektedir.

Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz

ki, yapraklar, hiç bir yaprak alttaki yaprağı

kapatmayacak şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki,

her bir yaprak güneş ışığını eşit bir şekilde paylaşıyor

ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına

değebiliyor. Bir bitkinin sapındaki yapraklarda, bir

ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacci

sayıları bulursunuz.

• Mesela, yandaki resimde en baştaki

dalı incelersek, başlangıç noktası olarak 1 numaralı yaprağı alırsak,

kendisiyle aynı yönde bir başka yaprakla

karşılaşabilmemiz için 3 defa saat yönünde bir dönüş yapmamız gerekir ve bu esnada 5 tane yaprak sayarız. Eğer bu dönüşü saat

yönünün tersinde yaparsak 2 tane dönüş gerekecektir. Ve 2, 3, 5 ardışık fibonacci

sayıları elde edilecektir.

Bitkilerde bir yapraktan başlayıp gövde etrafında

dönerek aynı doğrultudaki diğer yaprağa

rastlayıncaya kadar yapmamız gereken tur sayısı ile

bu turlar sırasında karşılaştığımız yaprak sayılarını

sırasıyla p ve n ile gösterirsek p/n oranına yaprak

divergesi denir.

Yandaki şekil için yaprak divergesi 5/8 dir.

Büyüme açısı (360x2)/5=144 derecedir.

Çiçek sapı üzerinde yaprakların ideal dizilişi için

büyüme açısı:

2Л/φ^2=137 bu açı değerine altın açı adı verilir.

Yeni doğan her dal,

ikinci yılını

tamamladıktan sonra

her yıl yeni bir dal

verir. Bu kural yeni

doğan dallar için de

geçerlidir. Buna göre

her yıl kaç dal

olduğunu sayarsak 1,

1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

dizisini buluruz

Fibonacci sayıları ayrıca çiçeklerin tohumlarında da görülebilir. Eğer bir

papatyanın ve ya bir ayçiçeğinin çiçek kısmını büyütseniz muhtemelen

yandaki resme benzer bir görüntü elde edersiniz. Eğer şekildeki modelde,

saat yönünde olan ve saat yönünde olmayan

sarmalları sayarsanız, 21 ve 34 sayılarını elde

edersiniz ki bu sayılar ardışık iki fibonacci

sayısıdır.

Fibonacci sayılarına sadece

ayçiçeklerinde ve ya

papatyalarda değil, bir

kıvırcığın yapraklarında bir

ananas veya kozalakların kat

kat kabuklarında, soğanın

katmanları arasında da

rastlayabilirsiniz. Kozalaklar

fibonacci sayılarını çok açık bir

şekilde gösterirler.

Kırmızı ve yeşil spiralleri

saydığınızda ne görüyorsunuz?

Phi Sayısı Dediğimiz Bu Altın Oran Nedir ve Fibonacci Dizisiyle Ne Alakası Vardır?

Φ , φ sayısı matematikte bulunan gizemli sayılar

arasında en özelidir ve bu özelliğinden dolayı buna Altın

oran denilmiştir.

Fibonacci dizisi ile alakasına gelince; Fibonacci dizisinin

her teriminin bir önceki terimine oranı bize altın oranı

verir. Φ sayısının yaklaşık değeri ise 1.618’ dır.

Altın orana ilişkin matematik bilgisi ilk kez İ.Ö. 3. Yüzyılda

Öklid’in Stoikheia ("Öğeler") adlı yapıtında "aşıt ve

ortalama oran" adıyla kayda geçirilmiştir. Eldeki veriler, bu

bilginin geçmişinin aslında Eski Mısır’da İ.Ö. 3000 yılına

kadar dayandığını göstermektedir

•

ALTIN ORAN

•

•

•

Altın oran, günlük yaşantımızda, matematiğin estetik

güzelliğe etki ettiği her alanda karşımıza çıkan bir

kavramdır. Altın oranın çok çeşitli tanımları verilebilir

ama altın oran, neticede matematiksel bir kavramdır ve

değeri de 1,618033.... olarak devam eden ondalık bir

sayıdır.

Altın oran, örneğin bir dikdörtgenin göze en estetik

gözükmesi için uzun kenarı ile kısa kenarı arasındaki

orandır.

Buna benzer olarak, bir doğru parçasının ikiye

ayrıldığında göze en hoş gelen ikiye ayrılma oranıdır.

Altın oran, sadece dikdörtgen ve doğru için değil,

neredeyse tüm geometrik cisimler ve yapılar için

kullanılabilir.

Altın oranın matematiksel açıdan basit bir tanımı şu

şekilde yapılabilir:

Altın oran, 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit

olan iki sayıdan biridir. Altın oran 1,618033.... olarak

devam eden ondalık sayıdır. 1 sayısına eklendiğinde

kendi karesine eşit olan diğer sayı da - 0,618033... olarak

devam eden ondalık sayıdır.

Altın Oranın Görüldüğü Ve Kullanıldığı Yerler:

1) Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru

sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine

oranı altın oranı verir.

2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde

olduğu gibi bir altın oran mevcuttur

3) İnsan Kafası: Bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir

ya da birden fazla saçların çıktığı düğüm noktası

denilen bir nokta vardır. İşte bu noktadan çıkan saçlar

doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak

çıkmaktadır. İşte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani

eğrilik açısı bize altın oranı verecektir.

4) İnsan Vücudu: İnsan Vücudunda Altın Oran'ın

nerelerde görüldüğüne bakalım:

a) Kollar: İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek

iki bölüme ayırır.(Büyük(üst) bölüm ve küçük(alt) bölüm

olarak). Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın

oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme

oranı yine altın oranı verir.

b) Parmaklar: Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne

alakası var diyebilirsiniz. İşte size alaka...

Parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma oranı altın

oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst boğuma

oranı yine altın oranı verir.

Parmaklarımız üç boğumludur. Parmağın tam

boyunun İlk iki boğuma oranı altın oranı verir (baş

parmak dışındaki parmaklar için). Ayrıca orta

parmağın serçe parmağına oranında da altın oran

olduğunu fark edebilirsiniz.

2 eliniz var, iki elinizdeki parmaklar 3 bölümden

oluşur. Her elinizde 5 parmak vardır ve bunlardan

sadece 8'i altın orana göre boğumlanmıştır. 2, 3, 5

ve 8 fibonocci sayılarına uyar.

İnsan Yüzünde Altın Oran

• İnsan yüzünde de birçok altın oran vardır. Ancak bunu elinize hemen bir cetvel alıp insanların

yüzünde ölçüler almayı denemeyin. Çünkü bu oranlandırma, bilim

adamları ve sanatkarların beraberce kabul ettikleri "ideal bir insan yüzü" için

geçerlidir.

• Her uzun çizginin kısa

çizgiye oranı altın orana denktir.

• Örneğin üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. İlk dişin genişliğinin

merkezden ikinci dişe oranı da altın orana dayanır.

Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal

oranlardır.

Yüzün boyu / Yüzün genişliği,

Dudak- kaşların birleşim yeri arası / Burun boyu,

Yüzün boyu / Çene ucu-kaşların birleşim yeri arası,

Ağız boyu / Burun genişliği,

Burun genişliği / Burun delikleri arası,

Göz bebekleri arası / Kaşlar arası.

Amerikalı fizikçi B. J. West ile doktor A. L. Goldberger,

1985-1987 yılları arasında yürüttükleri

araştırmalarında, akciğerlerin yapısındaki altın oranının

varlığını ortaya koydular. Akciğeri oluşturan bronş

ağacının bir özelliği, asimetrik olmasıdır. Örneğin, soluk

borusu, biri uzun (sol) ve diğeri de kısa (sağ) olmak

üzere iki ana bronşa ayrılır. Ve bu asimetrik bölünme,

bronşların ardışık dallanmalarında da sürüp gider. İşte

bu bölünmelerin hepsinde kısa bronşun uzun bronşa olan

oranının yaklaşık olarak 1/ 1,618 değerini verdiği

saptanmıştır.

Akciğerlerdeki Altın Oran

5) Tavşan: İnsan kafasında olduğu gibi tavşanda da

aynı özellik vardır.

6) Mısır Piramitleri: İşte size Altın Oran'ın en eski

örneklerinden biri... Şimdi ne alaka Altın Oran ve

Milattan Önce yapılan Mısır Piramitleri? Alaka şu; Her

bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı evet yine altın

oranı veriyor.

7) Leonardo da Vinci: Bilindiği gibi Leonardo da Vinci

Rönesans devri ünlü ressamlarındandır. Şimdi bu

ünlü ressamın çizmiş olduğu tabloları inceleyelim.

a) Mona Lisa: Mona Lisa'nın başının etrafına bir

dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dört kenar bir altın

dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz

bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran elde

edersiniz. Resmin boyutları da altın oran

oluşturmaktadır.

Leonardo doğadaki bu mucizevi aritmetiği

resimlerinde kullandı. Böylece gerçeğe yani

mükemmele en yakın eserleri verebildi. Örneğin

insan vücudunda uzuvların mesafeleri arasında da

altın oran söz konusu. Üç resimde de resmin tam

ortasından geçen çizgi gözlerden birinin ortasından

geçiyor. Altın orana bağlı olan üçgenin içinde vücut

oturur.

Çene ve kulaklardan hiza alan kafanın ebatları tam bir

karedir. Onun altına altın oranı yani 1.618 oranında

ölçüyü eklerseniz koltukaltı hizasına ulaşılır. En

mükemmel portrelerde portrenin tam ortasından

indirilen çizginin gözlerden birinin ortasından geçmesi

de sanatta matematiğe işaret eder. Yani gözlemledi,

doğanın matematiğini keşfetti ve matematikle, sanatı

harmanladı. Da Vinci’nin bir şifresi yok. O doğanın

şifresini çözdü.

b) Aziz Jerome: Yine tablonun boyunun enine oranı

bize altın oranı verir.

8) Picasso: Picasso da Leonardo da Vinci gibi ünlü bir

ressamdır. Ve resimlerinde bu oranı kullanmıştır.

Özellikle "isa'nın Son Akşam Yemeği" adlı yapıtında

kullandığı teknikler Rönesans döneminde İzdüşümsel

Geometri (biçimlerin izdüşümlerinin özellikleri ve uzaysal

ilişkileri ile uğraşan, matematiğin bir alanı) nin ilk sanatsal

boyutu olarak karşımıza çıkmaktadır.

Burada ressam iki boyutlu tuvale üç boyutlu bir

manzarayı resmederken değişik uzaklık ve konumların

manzaradaki öğeleri nasıl etkileyeceğine karar verir. Bu

noktada çizim tekniklerinde perspektif (geometri) ve farklı

doğruların bir odak noktaya göre hareketlerini

(izdüşümsel geometri) dikkate alır.

9) Çam Kozalağı: Çam

kozalağındaki taneler kozalağın

altındaki sabit bir noktadan

kozalağın tepesindeki başka bir

sabit noktaya doğru spiraller

(eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte

bu eğrinin eğrilik açısı altın

orandır.

10) Deniz Kabuğu: Denize çoğumuz gitmişizdir. Deniz

kabuklarına dikkat edenimiz, belki de koleksiyon

yapanımız vardır. İşte deniz kabuğunun yapısı

incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin

tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.

Bilim adamları deniz dibinde yaşayan ve yumuşakça olarak

sınıflandırılan canlıların taşıdıkları kabukların yapısını incelerken

bunların formu, iç ve dış yüzeylerinin yapısı dikkatlerini çekmiştir:

"iç yüzey pürüzsüz, dış yüzeyde yivliydi. yumuşakça kabuğun içindeydi

ve kabukların iç yüzeyi pürüzsüz olmalıydı. kabuğun dış köşeleri

kabukların sertliğini artırıyor ve böylelikle, gücünü yükseltiyordu. kabuk

formları yaratılışlarında kullanılan mükemmellik ve faydalarıyla hayrete

düşürür. kabuklardaki spiral fikir mükemmel geometrik formda ve

şaşırtıcı güzellikteki 'bilenmiş' tasarımda ifade edilmiştir."

11) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin

yapraklarının dizilişinde bir eğrilik

söz konusudur. Bu eğriliğin

tanjantı altın orandır.

12) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti

Otu'nda da vardır.

13) Salyangoz: Salyangozun Kabuğu bir düzleme

aktarılırsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur. İşte bu

dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın oranı verir.

Yumuşakçaların pek çoğunun sahip olduğu kabuk

logaritmik spiral şeklinde büyür. Bu canlıların hiçbiri

şüphesiz logaritmik spiral bir yana, en basit matematik

işleminden bile habersizdir.

Peki nasıl olup da söz konusu canlılar kendileri için en

ideal büyüme tarzının bu şekilde olduğunu

bilebiliyorlar?

Bazı bilim adamlarının "ilkel" olarak kabul ettiği bu

canlılar, bu şeklin kendileri için en ideal form olduğunu

nereden bilmektedirler?

Böyle bir büyüme şeklinin bir şuur ya da akıl olmadan

gerçekleşmesi imkansızdır. Bu şuur ne

yumuşakçalarda ne de -bazı bilim adamlarının iddia

ettiği gibi- doğanın kendisinde mevcuttur. Böyle bir şeyi

tesadüflerle açıklamaya kalkışmak çok büyük bir

akılsızlıktır. Bu ancak üstün bir aklın ve ilmin ürünü

olacak bir tasarımdır.

Birkaç santimetre çapındaki bir nautilusta, gnom tarzı

büyümenin en güzel örneklerinden birini görmek

mümkündür. C. Morrison insan zekası ile bile

planlaması hayli güç olan bu büyüme sürecini şöyle

anlatır:

"Nautilus'un kabuğunun içinde, sedef duvarlar ile

örülmüş bir sürü odacığın oluşturduğu içsel bir sarmal

uzanır. Hayvan büyüdükçe, sarmal kabuğunun ağız

kısmında, bir öncekinden daha büyük bir odacık inşa

eder ve arkasındaki kapıyı bir sedef tabakası ile örterek

daha geniş olan bu yeni bölüme ilerler."

Bugün fosil halinde bulunan ve Amonitlerde logaritmik

sarmal şeklinde gelişen kabuklar taşırlar.

Hayvanlar dünyasında sarmal formda büyüme sadece

yumuşakçaların kabukları ile sınırlı değildir. Özellikle

Antilop, yaban keçisi, koç gibi hayvanların boynuzları

gelişimlerini temelini altın orandan alan sarmallar şeklinde

tamamlarlar.

İnsanın iç kulağında yer alan Cochlea (Salyangoz)

ses titreşimlerini aktarma işlevini görür. İçi sıvı dolu

olan bu kemiksi yapı, içinde altın oran barındıran 73

derece 43´ sabit açılı logaritmik sarmal

formundadır.

İşitme ve Denge Organında Altın Oran

Filler ile soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların

tırnakları ve papağanların gagalarında logaritmik sarmal

kökenli yay parçalarına göre biçimlenmiş örneklere

rastlanır. Eperia örümceği de ağını daima logaritmik

sarmal şeklinde örer. Mikroorganizmalardan planktonlar

arasında, globigerinae, planorbis, vortex, terebra,

turitellae ve trochida gibi minicik canlıların hepsinin

sarmala göre inşa edilmiş bedenleri vardır.

Sarmal Formda Gelişen Boynuzlar ve Dişler

Geometrik şekiller sadece üçgen, kare veya beşgen,

altıgen ile kısıtlı değildir. Bu saydığımız şekiller

değişik şekillerde de biraraya gelerek yeni üç

boyutlu geometrik şekiller oluşturabilirler. Bu konuda

ilk olarak küp ve piramit örnek olarak verilebilir.

Ancak bunların dışında, günlük hayatta hiç

karşılaşmadığımız hatta ismini dahi ilk defa

duyduğumuz tetrahedron (düzgün dört yüzlü),

oktahedron, dodekahedron ve ikosahedron gibi üç

boyutlu şekillerde vardır. Dodekahadron 13 tane

beşgenden, ikosahedron ise 20 adet üçgenden

oluşur.

Mikrodünyada Altın Oran

Bilim adamları bu şekilleri matematiksel olarak birbirine

dönüşebileceğini ve bu dönüşümün altın orana bağlı

oranlarla gerçekleştiğini bulmuşlardır.

16. Yüzyılda altın oran için “hazine” ifadesini kullanan Kepler, beş düzgün cisim

arasındaki geometrik dönüşümlere çok önem vermiş ve gezegenlerin yörüngeleri ile

bu cisimleri çevreleyen küreler arasında bir bağlantı

kurmaya çalışmıştır. Kepler, düzgün çok yüzlüleri iç

içe geçmiş şekilde gösteren ve bu düzen ile Güneş Sistemi

arasındaki bağlantıyı araştıran şemalar geliştirmiştir.

Mikroorganizmalarda altın oran barındıran üç boyutlu

formlar oldukça yaygındır. Birçok virüs ikosahedron

yapısında bir biçime sahiptir. Bunların en ünlüsü Adeno

virüsüdür. Adeno virüsünün protein kılıfı, 252 adet protein

alt biriminin düzenli bir biçimde dizilmesi ile oluşur.

İkosahedronun köşelerinde yer alan 12 alt birim ise

beşgen prizmalar biçimdedir. Bu köşelerden diken benzeri

yapılar uzanır.

Virüslerin altın oranları bünyesinde barındıran

formlarda olduğunu tespit eden ilk kişi 1950'li yıllarda

Londra'daki Birkbeck Koleji'nden A. Klug ile D. Caspar'dır. Üzerinde ilk

tespit yapılan virüs ise Polyo virüsüdür. Rhino 14 virüsü de

Polyo virüsü ile aynı formu gösterir.

Peki acaba virüsler neden biz insanların zihnimizde

canlandırmasını bile zorlukla yapabildiğimiz, böyle altın

orana dayalı özel bir formlara sahiptirler?

DNA'da Altın Oran

Canlıların tüm fiziksel özelliklerinin depolandığı

molekül de altın orana dayandırılmış bir formda yaratılmıştır. yaşam için

program olan DNA molekülü altın orana dayanmıştır. DNA

düşey doğrultuda iç içe açılmış iki sarmaldan oluşur. Bu

sarmallarda her birinin bütün yuvarlağı içindeki uzunluk 34

angström genişliği 21 angström'dür. (1 angström; santimetrenin yüz milyonda

biridir) 21 ve 34 art arda gelen iki Fibonacci sayısıdır

Altın oran kristal yapılarda da kendini gösterir. Bunların

çoğu gözümüzle göremeyeceğimiz kadar küçük yapıların

içindedir. Ancak kar kristali üzerindeki altın oranı

gözlerinizle göre bilirsiniz. Kar kristalini oluşturan kısalı

uzunlu dallanmalarda, çeşitli uzantıların oranı hep altın

oranı verir.

Kar Kristallerinde Altın Oran

Uzayda Altın Oran

• Evrende, yapısında altın oran barındıran birçok spiral galaksi bulunur.

Fizikte de Altın Oran....

Fibonacci dizileri ve altın oran ile fizik biliminin sahasına giren

konularda da karşılaşırız: "Birbiriyle temas halinde olan iki

cam tabakasının üzerine bir ışık tutulduğunda, ışığın bir kısmı öte yana geçer, bir kısmı soğurulur, geriye kalanı da yansır. Meydana

gelen, bir, 'çoklu yansıma' olayıdır. Işının tekrar ortaya çıkmadan önce camın içinde izlediği yolların sayısı, ışının maruz kaldığı yansımaların sayısına bağlıdır. Sonuçta, tekrar ortaya çıkan ışın

sayılarını belirlediğimizde bunların Fibonacci sayılarına

uygun olduğunu anlarız."

15)Mimar Sinan: Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde bu

altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve

Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu oran

görülmektedir.

16- Arılar:

Erkek arılar yalnız anneye sahip babaya sahip

değildirler.

Dişi arılar, anne ve babanın her ikisine de sahiptirler.

Anne -baba Nine -dede Büyük nine /dede

Büyük büyük nine /dede

Büyük büyük büyük nine/dede

ERKEK BAL ARISI

1 2 3 5 8

DİŞİ BAL ARISI

2 3 5 8 13

φ

1

Kenarlarının oranı altın orana eşit olan bir dikdörtgene

"altın dikdörtgen" denir. Uzun kenarı 1,618 birim kısa

kenarı 1 birim olan bir dikdörtgen altın dikdörtgendir. Bu

dikdörtgenin kısa kenarının tamamını kenar kabul eden

bir kare ve hemen ardından karenin iki köşesi arasında

bir çeyrek çember çizelim. Kare çizildikten sonra yanda

kalan küçük bir kare ve çeyrek çember çizip bunu asıl

dikdörtgenin içinde kalan tüm dikdörtgenler için yapalım.

Bunu yaptığınızda karşınıza bir sarmal çıkacaktır.

İyi günler dilerim…