fiabilidad presentacion

8/8/2019 Fiabilidad presentacion

1/144

FiabilidadFiabilidad

Estadstica Industrial


2/144

Qu es la fiabilidad?Qu es la fiabilidad?

Permanencia de la calidad de losproductos (o servicios) a lo largo deltiempo.

Capacidad de desarrollar adecuadamentesu labor a lo largo del tiempo.


3/144

La Calidad .....La Calidad .....

se limita a garantizar que el productosale de fbrica en buenas condiciones

Permanece en buenas condiciones?

La Fiabilidad intenta garantizar que el producto permanecer

en buenas condiciones durante un periodo razonable de tiempo.


4/144

Calidad vs. FiabilidadCalidad vs. Fiabilidad

Surge la necesidad de considerar uncontrol de calidad basado en el tiempo. Elcontrol de calidad habitual, o de

inspeccin, no tiene continuidadtemporal: el producto pasa un control ono lo pasa


5/144

HerramientasHerramientas

Se estudia mediante el anlisis estadsticode datos de supervivencia.

Por qu ESTADSTICO?

ISO define fiabilidad como laprobabilidadde que un componenteo sistema, desarrolle durante un periodo de tiempo dado,la tarea que tiene encomendada sin fallos, y en las condicionesestablecidas.


6/144

Introduccin al ADSIntroduccin al ADS Vamos a estudiarDuraciones de Procesos que es

algo muy comn en muchas ciencias: Duracin de un componente (Fiabilidad)

Supervivencia de un paciente a un tratamiento

(Medicina) Duracin del desempleo (Economa)

Edad de las personas (Demografa y sociologa)

Variables Aleatorias Positivas


7/144

En Fiabilidad el tiempo seEn Fiabilidad el tiempo sepuede medir de otra manera:puede medir de otra manera:

Nmero de veces que se enciende uninterruptor.

Ciclos de lavado en una lavadora.

Horas de vuelo de un avin


8/144

Conceptos bsicosConceptos bsicos

Eje de tiempos


9/144


Eje de tiemposInicio del proceso


10/144



Fallo del componente 1




Nuestros datos sern las duraciones de estos cuatro componentes:

t1, t2, t3 y t4.


11/144

Funciones asociadas al ADSFunciones asociadas al ADS

En otros anlisis estadsticos hemosutilizado la Funcin de Densidad y laFuncin de Distribucin.

En ADS adems usaremos: Funcin de Supervivencia o Funcin de

Fiabilidad Tasa de Fallos o Hazard Function


12/144

Funcin de Densidad (repaso)Funcin de Densidad (repaso)

Se denomina f(t)Histogram for peso

37 57 77 97 117

peso

0

10

20

30

40

50

frequency

El rea comprendida bajo la funcin de densidad es la probabilidadde encontrar observaciones en ese intervalo.


13/144

Mean,Std. dev.

175,8,6

Normal Distribution

x

ensty

130 150 170 190 210 2300

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

P(170


14/144


15/144

Nuevas funcionesNuevas funciones

Funcin de Supervivencia o de Fiabilidad Tasa de Fallos o Hazard Rate


16/144

Funcin de supervivenciaFuncin de supervivencia

La probabilidad de que un individuo/componente

sobreviva/funcione ms all de un instante t, viene dada

por la funcin


17/144

Si un componente tiene una funcin de Fiabilidad:S(1000)=0.89

quiere decir que la probabilidad de que el

componente siga funcionando al cabo de 1000 horas es de 0.89.

La funcin de supervivencia proporciona la probabilidadde que un componente est funcionando al cabo det horas.


18/144


0 2000 4000 6000 8000 100000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

S upervivencia de Bombillas

La probabilidad de que ambas estn funcionando al cabo

de 6000 horas es de 0.3 y 0.42 respectivamente.


19/144


0 2000 4000 6000 8000 100000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

S upervivencia de Bombillas

Evidentemente:

0)(

1)0(

=

=

S

S


20/144

Tasa de FallosTasa de Fallos

Para el anlisis de procesos de duracin, resulta especialmente

indicada la hazard function -en fiabilidad se conoce como failure rateo tasa de fallo- que se define:


21/144

Tasa de FallosTasa de Fallos

Esta funcin proporciona la posibilidad de fallo inmediato

dado que el componente est funcionando.

Es habitual encontrar funciones constantes, crecienteso decrecientes dependiendo del tipo de fenmeno estudiado.

Los distintos procesos se van a definir segn su tasa de fallos sea:

Creciente (IFR o Increasing Failure Rate)Decreciente (DFR o Decreasing Failure Rate)

Constante (CFR)


22/144

Tasa de fallos constanteTasa de fallos constante

Indica que la probabilidad de fallo instantneoes la misma en cualquier momento yconsecuentemente el proceso no tiene memoria,

ya que la posibilidad de fallo estandofuncionando, es idntica en cualquier momentode la vida del componente


23/144

Tasa de fallos constanteTasa de fallos constante

Tasa de Fallos Constante

Horas

0 20 40 60 80 100

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12


24/144

Tasa de fallos crecienteTasa de fallos creciente

Surge, en la mayora de los casos por desgastesy fatigas, es decir por un proceso deenvejecimiento. La tasa de fallos crecienteindica que la probabilidad de fallo inmediato,

teniendo en cuenta que el componente estfuncionando, se incrementa a medida que pasael tiempo

Evidentemente a medida que un componente sehace ms viejo, su tasa de fallos tender acrecer.


25/144

Tasa de fallos crecienteTasa de fallos creciente

Tasas de Fallos Crecientes

Miles de horas

0 3 6 9

0

3

6

9

12

15


26/144

Tasa de fallos decrecienteTasa de fallos decreciente

Se observa en productos cuya probabilidad de fallo es menorcuando aumenta el tiempo de supervivencia.sto aparece a menudo en cualquier tipo de materiales:

al principio de su funcionamiento la probabilidad de fallo

es alta debido a la existencia de posibles defectos ocultos


27/144

Tasa de fallos decrecienteTasa de fallos decrecienteTasas de Fallos Derecientes

Horas

0 40 80 120 160 2000

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Si no fallan en las primeras 80 horas, la posibilidad de fallo sereduce notablemente en ambos casos.El ensayo bajo stress permitir eliminar aquellos componentes quefallen al principio. De esta manera la empresa evita introducir en

el mercado piezas defectuosas.


28/144

Tasas de Fallos Derecientes

Horas

0 40 80 120 160 200

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

La tasa de fallos decreciente aparece muy amenudo en estudios clnicos de supervivencia a

intervenciones quirrgicas:El riesgo disminuye a medida que transcurre elpostoperatorio.

Tasa de fallos decrecienteTasa de fallos decreciente


29/144

Cmo ser la tasa deCmo ser la tasa defallos de la vidafallos de la vida

humana?humana?

HACEDLO


30/144

Curva de la baeraCurva de la baera

Generalizacin de los procesos anteriores Muy comn en la prctica un elemento que se comporta inicialmente de

forma decreciente (a esta zona se le denominade mortalidad infantil) en su vida media con una probabilidad de fallo

casi constante (zona de vida til) finalmente con probabilidad de fallo que

aumenta con la edad (zona de deshecho,wearout)


31/144

Curva de la BaeraCurva de la Baera

Cuando la tasa de fallo del elemento responde a la curva de la baeraes conveniente realizar un ensayo acelerado del mismo (en condiciones destress)para que supere la zona de mortalidad infantil o de Burn-in.


32/144

Periodos de Garanta yPeriodos de Garanta y

ensayos aceleradosensayos acelerados

Producto con tasa de fallos con mortalidad infantil (DFR o curva

de la baera) la empresa se enfrenta a un problema: Sus productos tienen mayor posibilidad de fallo en los primeros

momentos de funcionamiento debido a la existencia de defectosocultos.

Sin embargo, la empresa no puede detectar fcilmente esos fallos. Posibilidad interesante:

determinar cuando comienza la vida til del producto y ofrecer a losclientes una garanta de funcionamiento durante ese periodo de

funcionamiento problemtico. Una vez superado el periodo crtico, la empresa est razonablemente

segura de que el producto tiene una posibilidad de fallos reducida


33/144

Periodos de Garanta yPeriodos de Garanta y

ensayos aceleradosensayos acelerados

En el ejemplo, la empresa garantizara el producto durante, al menos, 400horas.


34/144

Algunas empresas estn desarrollando estrategiascomerciales basadas en ampliar el periodo de garantaa la vida til del producto.

Un producto tiene una tasa de fallos muy baja durante su vida til.Entonces, el es muy probable que el producto empiece a fallar

cuando alcance la zona de desgaste. Si esto es as, la empresapuede prolongar a muy bajo coste la garanta incluyendo unaimportante parte de la zona til del producto, resaltando que el

producto es muy fiable.


35/144

La empresa podra incrementar la garanta hasta 700 horas con un coste adicional muy bajo

Estrategia para coches, electrodomsticos......

Algunos productos sin embargoAlgunos productos sin embargo


36/144

Algunos productos, sin embargoAlgunos productos, sin embargo

no pueden fallar:no pueden fallar:

Componentes clave de determinados

procesos como por ejemplo vlvulasde centrales nucleares, aviones,

mecanismos de seguridad, etc, nopueden tener problemas en losprimeros momentos de su aplicacin

debido a la tasa de fallos decreciente.


37/144

Las pruebas aceleradas o bajo stress se realizan nicamente

en sistemas que requieren una alta fiabilidad desde el principio.En otras condiciones no suele ser rentable

Una posibilidad en estos casos:Probar el componente sometido a condiciones limite. Porejemplo, si una vlvula en una central nuclear debe funcionara 10 atmsferas de presin y 100C de temperatura, se somete

las vlvulas a un ensayo de funcionamiento a 30 atmsferas y200C.

Los defectos ocultos que provocan la mortalidad infantil

afloran y la fiabilidad del aparato aumenta.


38/144

Modelos utilizados en Fiabilidad.Modelos utilizados en Fiabilidad.

Datos CompletosDatos Completos

Ajustaremos modelos de probabilidad parapoder generalizar los conocimientos quetenemos a partir de una pequea muestra decomponentes.

El criterio de eleccin de un modelo se basaren tcnicas descriptivas y especialmente en elconocimiento terico que tengamos del proceso.

Este conocimiento nos permitir saber enmuchas ocasiones que el proceso tiene tasa defallos creciente, decreciente o en forma de

baera.


39/144

Modelo exponencialModelo exponencial

El modelo exponencial es bien conocido.Su funcin de densidad es:)/exp(

1)(

ttf =

Supervivencia: )/exp()( ttS =

Tasa de fallos: /1)( =th

=

)(tEEsperanza:


40/144


41/144

Medias1000

2000

Exponential Distribution

0 2 4 6 8 10 12(X 1000)

Tiempo en Horas X 1000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

F

uncin

desupervivencia

Funcin de Supervivencia

Si son bombillas Cul es mejor?

Funcin de Supervivencia


42/144

Medias10002000


0 2 4 6 8 10 12(X 1000)


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Funcin

desupervi

vencia

E(una)=1000 horas y E(otra)=2000horas

La probabilidad de que el componente con vida media de 1000 horas funcionemas de 2000 horas es del 13.5%.Para el componente de 2000 horas de duracin media es de 36.7%.Estas cifras se obtienen de la funcin de supervivencia

135.0)( 1000/2000/ === eetS t


43/144

Tasa de Fallos

Si son bombillas Cul es mejor?

Medias10002000


0 2 4 6 8 10 12(X 1000)


0

2

4

6

8

10

12(X 0,0001)

TasadeFallo

s


44/144

Modelo WeibullModelo Weibull

El modelo Weibull tiene la siguiente funcin dedensidad:

M d l W ib llModelo Weibull


45/144

Modelo WeibullModelo Weibull

Tasa de fallos:

Segn sean los valores de beta puede presentartasas de fallo crecientes, decrecientes oconstantes.

Cuando beta=1 el modelo Weibull se convierteen exponencial y presenta tasa de fallosconstante. El modelo exponencial es por tantoun caso particular del modelo Weibull.

Cuando beta>1 el modelo presenta tasa defallos creciente.

Cuando beta


46/144

Modelo Weibull: tasas deModelo Weibull: tasas de

fallosfallos

Beta, Lambda1,4,1

0,5,11,1

Distribucin Weibull


TasadeFallos

0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

El modelo Weibull es muy verstil

y en la practica es uno de los mas utilizados


47/144

Estimacin ParamtricaEstimacin Paramtrica

El proceso de ajuste de modelos estadsticos apartir de datos muestrales es simple: Se estudian los datos mediante tcnicas de

estadstica descriptiva

Se elige un modelo de distribucin de probabilidad

Se estima

Se realiza una diagnosis para detectar posibles

errores.


48/144

Ejemplo 1Ejemplo 1

Se ha realizado un ensayo para estudiar la duracin devida de unos componentes electrnicos. Para ello se hanpuesto 20 elementos a prueba y se han observado hastael fallo. Los tiempos de vida recogidos han sido los

siguientes: 58,91 158,8 25,16 80,26 77,85 105,4

95,97 87,29 81,49 16,39 79,10 36,89

68,05 21,31 209,41 519,26 34,24 44,33283,2 8,33

Ejemplo 1Ejemplo 1


49/144

Ejemplo 1Ejemplo 1

58,91 158,8 25,16 80,26 77,85 105,4 95,97 87,29

81,49 16,39 79,10 36,89 68,05 21,31 209,41 519,26

34,24 44,33 283,2 8,33

Histograma

Tiempos de Vida

Frecuencias

-20 180 380 580 780

0

2

4

6

8

10

12

Ajuste del modelo exponencialAjuste del modelo exponencial


50/144


El modeloexponencial puede

ser adecuado paraestos datos.Optaremos por una

distribucinexponencial con:

En nuestro casoTheta=media de tiempos=104.6



51/144


A partir de aqupodemos inferir

muchas propiedadesde nuestrocomponente.

Por ejemplo, laprobabilidad de queun componente duremas de 200 horas

ser:

104,6


Tiempo

Funcindesupervivencia

0 200 400 600 800

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1


52/144

Mtodos grficos para elegirMtodos grficos para elegir


53/144

Mtodos grficos para elegirMtodos grficos para elegir

el modelo adecuado.el modelo adecuado.

A mano: Estimar la funcion de distribucion empiricade los datos y representarla en unas escalas

tales que si el modelo elegido es correcto losdatos presenten aspecto lineal.

En ordenador: Lo normal. Hace lo mismo pero de forma

mecnica.


54/144

Construccin del grficoConstruccin del grfico

exponencialexponencial


55/144

exponencialexponencial Si los datos son exponenciales, la funcin de

supervivencia ser:S(t)=e-t/

Tomando logsLog S(t)=-t/

Como F(t)=1-S(t)

-Log (1-F(t))= t/ Por tanto si en un grfico se coloca en el eje Y

la variable Y= -Log (1-F(t)) y en el eje X la

variable tSi los datos son exponenciales

deberan estar alineados

A mano:A mano:Ej l


56/144

EjemploEjemplo

1. Datos ordenados de menos a mayor

2. Estimacin de la Funcin de Distribucincorregida mediante:

Fi=(i-0.3)/(n+0.4)

A mano:A mano:

Ej lEj l


57/144

EjemploEjemplo

2. Estimacin de la Funcin deDistribucin corregida mediante:

Fi=(i-0.3)/(n+0.4)

A mano:A mano:

Ej lEj l


58/144

EjemploEjemplo

En un grfico se colocaen el eje Y la variable

Y= -Log (1-F(t))y en el eje X la variable t

A mano:A mano:

Ej lEj l

En un grfico se coloca en el eje Y lavariable Y= -Log (1-F(t))


59/144

EjemploEjemplog ( ( ))

y en el eje X la variable t

-Log (1-F(t))

t

Alineacin de datos para elAlineacin de datos para el

modelos Weibullmodelos Weibull


60/144


Alineacin de datos para elAlineacin de datos para el



61/144


WeibullWeibullEn un grfico se coloca en el eje Y lavariable Y=Log( -Log (1-F(t)))


62/144

g( g ( ( )))

y en el eje X la variable log(t)

Y=Log( -Log (1-F(t)))

Log(t)


63/144

Weibull ejemploWeibull ejemplo

Weibull en grficoWeibull en grfico


64/144

Weibull en grficoWeibull en grfico

exponencialexponencial

-Log (1-F(t))

t


65/144

Weibull ejemploWeibull ejemplo

Y=Log( -Log (1-F(t)))

Log(t)


66/144

Grficos en ordenadorGrficos en ordenador

Elaborar estos grficos es laborioso

En la prctica se hacen con ordenador.

Statraphics lo hace mucho mejor que

nosotros As que NO HAREMOS GRFICOS A

MANO QUE ES HORRIBLE


67/144


Se introducen los datos

Se va a DESCRIBE y Distribution Fitting

Se va a Weibull analysis

Se escogen los datos adecuados y se pideel Weibull Plot.


68/144


El resultado es:

Weibull Plot

tiempos

10 100 1000

0,1

0,51

5102030

50709099

99,9


69/144


70/144


71/144

Estimacin WeibullEstimacin Weibull

33.678.203

=

=

Con estos valores es posible conocer muchas cosas de

nuestro componente.

Por ejemplo la probabilidad de que falle antes de 100 horas es de

0.11. Y la de que falle antes de 250 horas es de 0.97


72/144

Estimacin WeibullEstimacin WeibullWeibull Distribution

0 50 100 150 200 250

Tiempos

0

2

4

68

10

12(X 0,001)

density

33.678.203

=

=

Weibull Distribution

0 50 100 150 200 250

Tiempos

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

survivalprobability


73/144

Datos incompletosDatos incompletos

Censura


74/144

Una observacin esta censurada cuando solo contieneinformacin parcial sobre la variable a estudiar.

Esta situacin es muy frecuente: la longitud del

intervalo entre trnsitos impide muchas veces elseguimiento de la muestra hasta el transito final.

Hay tres tipos de censura:

Censura por la derecha Censura por la izquierda

Censura por intervalos

CensuraCensura

Sin censuraSin censura


75/144






Nuestros datos sern las duraciones de estos cuatro componentes:t1, t2, t3 y t4.

Fin del estudio al cabo de un tiempo tc


76/144






Nuestros datos sern las duraciones de los tres primeros fallos:t1, t2 y t4

PERO NO OBSERVAMOS EL FINAL DE t3. Slo sabemos quet

3>t

c

tc

Fin del estudio al cabo de un tiempo tc


77/144



tc

Parte de la derecha no observada del componente 3CENSURA POR LA DERECHA


78/144

Censura por la derechaCensura por la derecha

Economa: duracin del desempleo sueleobtenerse de encuestas que preguntan a losparados cuanto tiempo llevan en paro. Al no

conocerse el tiempo adicional que van apermanecer sin trabajo, solo se sabe suduracin censurada.

El paro es superior al que el entrevistado indica enla encuesta. Si una persona dice que lleva en paro 3meses, su paro real ser ti>3


79/144

Censura por la derechaCensura por la derecha

Fiabilidad: es muy normal poner aprueba una partida de componentes y observarlos fallos durante un periodo de tiempodeterminado. Los elementos que fallen durante

este periodo proporcionaran observacionescompletas. Los que sigan en funcionamiento alfinal del periodo proporcionaran observaciones

censuradas. El tiempo que se recoge para los elementoscensurados ser ti>tc


80/144

Censura por la izquierdaCensura por la izquierda

Cuando no podemos observar unacontecimiento por ocurrir demasiadorpido (Vida de partculas subatmicas)

Fint1

Aqu se puede empezara registrar tiempo

tc

Registramos que la duracin t1


81/144

Censura por la izquierdaCensura por la izquierda

Economa se producen censuras por laizquierda habitualmente. Un ejemplo son lasedades de jubilacin.

Si tenemos como dato la edad de una persona ysabemos que esta jubilada, podemos deducirque su edad de jubilacin es menor que su edad

actual Registramos Ejub


82/144

Tipos de censuraTipos de censura

Tipo 1: El experimento que genera datos con censura de

tipo 1 consiste en poner a prueba una partida de ncomponentes y observarlos durante un tiempo

predeterminado tc La duracin tc es decidida por el experimentador.

Se observan los datos completos correspondientes alos r componentes que han fallado antes de t

c.

La duracin de los n-r componentes que no hanfallado sabemos que es mayor que tc

Censura de Tipo 1Censura de Tipo 1


83/144


Nuestros datos sern las duraciones de estos cuatro componentes:t1, t3 y t4 Adems t2>tc.

n=4 y r=3

tc

t4

t3t2

t1


84/144

Tipo 2Tipo 2 Tipo 2:

El experimento que genera datos con censura detipo 2 consiste en poner a prueba una partida de ncomponentes y observarlos hasta que falla el r-simocomponente en el instante tc

El nmero de fallos es decidido previamente por elexperimentador.

La duracin tc NO es decidida por el

experimentador. Se observan los datos completos correspondientes alos r componentes que han fallado antes de tc.

La duracin de los n-r componentes que no han

fallado sabemos que es mayor que tc

Censura de Tipo 2.Censura de Tipo 2.

Termina cuando falle el 75%Termina cuando falle el 75%


85/144


Nuestros datos sern las duraciones de estos cuatro componentes:t1, t3 y t4 Adems t2>t4.

n=4 y r=3

tc

t4

t3t2

t1

=t4


86/144

Censura aleatoriaCensura aleatoria

La censura se produce aleatoriamente

Se trata a un grupo de pacientes con unnuevo tratamiento que mejora su

supervivencia a determinadaenfermedad. Un paciente se traslada deciudad y no vuelve al control del hospital.

Veremos una serie de observacionescompletas y otras censuradas.

Censura aleatoriaCensura aleatoria


87/144

Eje de tiempos

Nuestros datos sern las duraciones de estos cuatro componentes:t2 y t3 completos

Adems t1 y t4. Fallan o desaparecen antes del final de su tiempo.

Observamos T1*


88/144

censuradoscensurados

Mucho ms compleja que con datoscompletos

En general es imposible calcularlo a

mano Lo haremos en ordenador

Estimacin con datosEstimacin con datos

dd


89/144

censuradoscensurados Si hay censura las tcnicas descriptivas bsicas

no van a servir. No podremos realizar histogramas si no

conocemos la longitud final de las

observaciones. La nica forma de saber qu modelo elegir es

usar los grficos a escala que hemos aprendido

pero adaptados a la censura El grfico usado es el estimador de producto

lmite o estimador de Kaplan Meier


90/144

Estimador deEstimador de Kaplan MeierKaplan Meier


91/144

Se realiza un experimento para saber si unanueva droga es efectiva tratando unaenfermedad mortal.

Un grupo de pacientes es tratado con la nuevadroga (6M) y el otro con placebo. El ensayo es doble ciego

Datos de primer grupo (6MP): 6 6 6 6* 7* 9 10* 10* 11 13 16* 17* 19* 20 22 23*25* 32* 32* 34* 35

Datos del segundo grupo (Placebo) 1 1 2 2 3 4 4 5 5 8 8 8 8 11 11 12 12 15 17 22 23

Estimador deEstimador de Kaplan MeierKaplan Meier

Realiza las siguientes operaciones:


92/144

Se ordenan los valores de menor a mayor Para cada tiempo de fallo (Si hay varios fallos en el

mismo momento, para el ultimo) se calcula el

numero de individuos que quedan en riesgo. El estimador para el primer tiempo de fallos ser:

S(t1)=(n1-d1)/n1 n1representa el numero de individuos que estn enriesgo justo antes del primer tiempo de fallo. d1 es el nmero de fallos/muertes en el primer

tiempo de fallo. Para el segundo tiempo de fallo ser

S(t2)=[(n2-d2)/n2].S(t1)

S(t3)=[(n3-d3)/n3].S(t2)


93/144

OrdenadorOrdenador


94/144

OrdenadorOrdenador

Statgraphics hace este estimador en DESCRIBE

DISTRIBUTION FITTING Y LIFE

TABLES (TIMES) Se escriben los tiempos y se aade unavariable de censura que toma el valor 0 si la

variable es completa y el valor 1 si escensurada

OrdenadorOrdenador


95/144

Estimated Survival Function

0 10 20 30 40

Time

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

survivalprob

ability

Drug

6 MP

PLACEBO

OrdenadorOrdenador

Estimacin paramtrica conEstimacin paramtrica con

censura (Anlisis Weibull)censura (Anlisis Weibull)


96/144

censura (Anlisis Weibull)censura (Anlisis Weibull) El proceso con STATGRAPHICS. es el

siguiente: DESCRIBE

Distribution Fitting (censored data) y Weibull

Analysis Se escriben los tiempos y se aade una variable de

censura que toma el valor 0 si la variable es

completa y el valor 1 si es censurada Se aade una variable de grupo si lo hay


97/144


98/144


99/144

Fitted Weibull Distribution for Drug = 1

entage

Uncensored

Censored

20

30

40


100/144

Parece que no ajusta: Es por la censura que no la tiene en cuenta

En el papel Weibull estaban alineados

Time

perce

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

10

20


Time

hazard

Drug

1

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0,05

0,10,15

0,2

0,250,3

0,350,4

0,45

0,5

OrdenadorOrdenador


101/144

OrdenadorOrdenadorEstimated Cumulative Hazard Function

0 10 20 30 40

Time

0

1

2

3

4

cumulativehazard

Drug6-MPPlacebo

Ensayos aceleradosEnsayos acelerados


102/144




103/144

Ensayos aceleradosEnsayos acelerados Surgen debido a que algunos productos tienen

unas duraciones tan elevadas que es imposibleseguir un experimento hasta el final. Por ejemplo componentes diseados para

durar 40 aos. Es muy improbable que algunofalle en el tiempo en que razonablemente sepuede realizar un ensayo.

Se pone a prueba el componente bajocondiciones de trabajo mucho masdesfavorables de las habituales y se propiciaque el fallo se produzca antes



104/144

Ensayos aceleradosEnsayos acelerados La realizacin de ensayos acelerados es

compleja y debe ser planificada por los propiosingenieros de diseo, ya que hay que tener encuenta que factores hay que acelerar y en quemedida.

Por ejemplo, si queremos acelerar un ensayocon vlvulas de precisin, Ser precisodeterminar si acelerar la presin de trabajo, la

temperatura o la concentracin de elementosoxidantes.

El esquema de trabajo es elEl esquema de trabajo es el

siguiente:siguiente:


105/144

siguiente:siguiente: Se obtienen datos de tiempos de fallo con

diversas aceleraciones. Se estima mediante un anlisis Weibull la

distribucin para cada uno de esos niveles

Se calcula la mediana y los percentiles 10% y90%. Se dibuja en un grafico la mediana y los

percentiles respecto al nivel de stress Se extrapola para las condiciones nominales.

Se extrapola para lasSe extrapola para las

condiciones nominalescondiciones nominales


106/144

condiciones nominales.condiciones nominales.

Si no hay experiencias previas

la extrapolacin es siempre peligrosa

EjemploEjemplo


107/144

EjemploEjemplo Los datos representan tiempos de fallo en

horas de un componente en funcin de sustress. El componente debe funcionar encondiciones de Stress=4. Los datos conasterisco son censurados.

DatosDatos


108/144

DatosDatos

Representacin grfica: Datos enRepresentacin grfica: Datos en

funcin del Stress. Hay datosfuncin del Stress. Hay datos

censurados.censurados.


109/144

censurados.censurados.

Plot of Datos vs Stress

Stress

D

atos

0 20 40 60 80 100

0

1

2

3

4

5

6(X 10000)

Anlisis WeibullAnlisis Weibull


110/144


Weibull Plot

100 1000 10000 100000

Tiempos

0,1

0,51

51020305070909999,9

cu

mulativepercent

Stress20

40

60

80

Datos alineados en los cuatro grupos



111/144


Valores de lambda y Beta para los cuatro grupos

Sample Number of Estimated Estimated Starting

Group Size Failures Shape Scale Point

---------------------------------------------------------------------------------------

20 10 5 12,4232 25379,7 0,0

40 10 9 7,68861 9137,44 0,0

60 10 10 4,15438 3481,62 0,0

80 10 10 6,42138 1101,88 0,0



112/144


Las cuatro funciones de densidad


100 1000 10000 100000

Tiempos

0

4

8

12

16

20

24(X 0,0001)

density

Stress

2040

6080

SupervivenciasSupervivencias



113/144

Tiempos

survivalprobability Stress

20

406080

100 1000 10000 100000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Marcamos los percentiles 10, 50 y 90

PercentilesPercentiles

((critical valuescritical values

))


114/144

( )Critical Values for Tiempos

Group Lower Tail Area Critical Value

-----------------------------------------------------20 0,1 21174,7

0,5 24641,8

0,9 27142,0

40 0,1 6818,85

0,5 8712,08

0,9 10184,4

60 0,1 2025,49

0,5 3187,620,9 4255,69

80 0,1 776,135

0,5 1040,75

0,9 1254,71

Haciendo un grficoHaciendo un grfico


115/144

g

Plot of Medianas y Percentiles vs Aceleracion

Aceleracion

Tiempos

0 20 40 60 80 100

0

1

2

3

4

5

6(X 10000)

Vemos que ajustar una exponencial sera adecuado

Regresin exponencial:Regresin exponencial: plotplot

de los datosde los datos


116/144

Stress

Tiempos

0 10 20 30 40 50 60 70 80

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

55,56

(X 10000)

Transformando ambas variables aTransformando ambas variables a

logaritmoslogaritmos

Log Y vs Log X

10 6


117/144

Log Stress

LOGTiempos

2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,4 4,7

6,6

7,6

8,6

9,6

10,6

Plot of Fitted Model

Log Stress

LogTiempos

2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,4 4,7 5

6,6

7,6

8,6

9,6

10,6

Quitando losQuitando los logslogs::

tiempo=beta1.stresstiempo=beta1.stressbeta2beta2



118/144


Stress

T

iempos

0 10 20 30 40 50 60 70 80

00,5

11,5

22,53

3,54

4,55

5,56

6,57

7,58

(X 10000)

Transformando slo Y a logaritmosTransformando slo Y a logaritmos

Log Y vs X

10,6


119/144

Stress Sin LOGS

LO

GTiempos

0 10 20 30 40 50 60 70 80

6,6

7,6

8,6

9,6

10,6

Mucho ms lineal


Stress sin logs

LogTiempos

0 10 20 30 40 50 60 70 80

6,6

7,6

8,6

9,6

10,6


8(X 10000)


120/144

Stress

Tiem

pos

0 10 20 30 40 50 60 70 80

00,5

11,5

22,5

33,544,5

55,5

66,5

77,5

8

Regression Analysis - Exponential model: Y = exp(a + b*X)

-----------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: Col_5

Independent variable: Col_4

-----------------------------------------------------------------------------

Standard T

Parameter Estimate Error Statistic P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

Intercept 11,1592 0,160231 69,6442 0,0000

Slope -0,0528778 0,00292541 -18,0753 0,0000

-----------------------------------------------------------------------------

Tiempos=11.16 stress-0.05


121/144


122/144

Fiabilidad de SistemasFiabilidad de Sistemas


123/144

SistemasSistemas


124/144

Hemos estudiado cmo estimar la

Fiabilidad/Duracin de componentessimples En la prctica estn integrados en

sistemas ms complejos. Dentro de sistemas complejos los ms

elementales son los sistemas serie yparalelo

Sistema SerieSistema Serie


125/144

C1 C2

El sistema no funciona cuando el flujo de sealentre la entrada y la salida se interrumpe

Es decir slo funciona si funcionan los dos componentes

)(1 tS

)(2 tS

Funcin de supervivencia del Componente 1

Funcin de supervivencia del Componente 2


126/144

)(2 tS

)().()(

)()()(

21

21

tStStS

FuncionexPFuncionePFuncioneP

s

s

=

=

EjemploEjemplo Un sistema serie con dos componentes. S1(t)=exp(-t/2000) S2(t)=exp(-t/1500)


127/144

Vamos a Calcular la fiabilidad del sistema serie.

SS(t)= S1(t ). S2(t )=exp(-t/2000). exp(-t/1500)=

SS(t)=exp(-t/200-t/1500)=exp(-t/857)

SS(t)=exp(-t/857)

LA FIABILIDAD DEL SISTEMA SERIE ES MENORQUE LA DE CUALQUIERA DE SUS COMPONENTES.

SSSS(t)=(t)=expexp((--t/857)t/857)

0.7

0.8

0.9

1


128/144

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

C1

C2

Sistema

Sistemas paralelosSistemas paralelos

Consta de dos o ms componentes en

paralelo. Funciona mientras un solo componente lo


129/144

Funciona mientras un solo componente lo

haga. Se estropea cuando TODOS los

componentes han dejado de funcionar.

C1

C2

Funcin de SupervivenciaFuncin de Supervivencia

)()()( N FPN FPN FP


130/144

)()..()(1)(

)().()( 21

tStenFuncPFuncPNoFuncP

NoFuncPNoFuncPNoFuncPS

=

=

=

))(1))((1(1)(` 21 tStStSS =

EjemploEjemplo

P i


131/144

Primer componente

S1(t)=exp(-t/2000) Segundo componente

S2(t)=exp(-t/1500)

Sistema:Ss(t)=1-(1-exp(-t/2000)).(1-exp(-t/1500))

Ss(t)= exp(-t/2000)+ exp(-t/1500)- exp(-t/857)


132/144

C1

C5C4

C2


133/144

C1C6

C4

C3

C7

Sistemas complejos

Sistemas complejosSistemas complejos

H i l i d t


134/144

Hay que ir resolviendo por partes

pequeas En etapas

Esto slo sirve para pequeos sistemascomplejos

Los grandes sistemas (Una central

nuclear) utilizan otros mtodos.

C1C5

C4C2


135/144

C1C6

C3

C7

Sistemas complejos

C1C5

C4C2pC3


136/144

C1C6

C7

C2pC3

C1 C4C2pC3 C5pC6


137/144

C1

C7

C2pC3 p

C1 C4C2pC3 C5pC6


138/144

C1

C7

C2pC3 p

C4 C5pC6C1s(C2pC3)


139/144

C7

p

C1s(C2pC3) C4s(C5pC6)


140/144

C7

( p )

C1s(C2pC3) C4s(C5pC6)


141/144

C7

( p )


142/144

C7s(C1s(C2pC3))sC4s(C5pC6)


143/144

Sistema equivalente


144/144

FINFIN

fiabilidad presentacion

Documents