フィードバック制御系の特性Characteristics of Feedback Control System

• フィードバック制御系に求められるもの– 安定性(Stability)

• その次に求められるものは– 過渡特性(Transient Characteristics)– 定常特性(Stationary Characteristic)

• 安定性が保証された制御システムが満たすべき要件としての過渡特性と定常特性を理解する

1

過渡特性Transient characteristics

• 速応性(Responsiveness)：制御対象の出力と目標値との間の偏差を速やかに減らすこと

• 減衰性(Damping Performance)：行き過ぎ量が発生した場合にはこれを少なくし、速やかに最終値に近づくようにすること

2

定常特性Stationary Characteristic

• 定常偏差(Steady-State Error)：定常状態（t→∞）において制御対象の出力と目標値との間の偏差。オフセットともいう。

3

逆ラプラス変換

直結フィードバック系

+−

フィードバックシステムのステップ応答Step Response of Feedback System

Go =G(s)

1 + G(s)

閉ループ伝達関数

4

R(s) E(s) C(s)G(s)

フィードバックシステムのステップ応答Step Response of Feedback System

Go =G(s)

1 + G(s)

閉ループ伝達関数R(s) E(s) C(s)G(s)+

−

直結フィードバック系

c(t) = c +n�

i=1

Aiesit

t � �で0に近づく

ç

ステップ応答

si = �i + j�i

• 安定なのでaは負• aの絶対値が大きい項は速やかに減衰するため、小さい項の影響が大きい（代表特性根）

定常ゲイン

次数の高いシステムでも低次の制御系で近似できる5

時間領域における過渡特性Transient Characteristics of Time Domain特性値 定 義

行き過ぎ量 Amaxステップ応答が目標値を超えた最大値。通常、定常値に対する割合(%)で表す

振幅減衰比 d 出力値の振幅の減衰比

整定時間 Tsステップ応答が定常値の±5%の範囲に落ち着くまでの時間

行き過ぎ時間 Tp ステップ応答が最大値になる時間

遅延時間 Tdステップ応答が目標値の50%に達するまでに要する時間

立ち上がり時間 Tr

ステップ応答が定常値の10%から90%に達するまでに要する時間

むだ時間 TL出力値が入力値の変化に対して遅れて反応する時間

速応性の指標

減衰性の指標

速応性、減衰性の指標

Amaxが大きければ（減衰性が悪い）Td、 Trが小さくなる（速応性が良い） 6

時間領域における過渡特性Transient Characteristics of Time Domain

c0.9c

0.5c

0.1c

Td : 遅れ時間

Tr :立上がり時間

Ts :整定時間

過渡特性 定常特性

ステップ応答t

Amax :行き過ぎ量

07TL : むだ時間

limt��

e(t)：定常偏差

±5%Tp : 行き過ぎ時間

時間領域における定常特性Stationary Characteristics of Time Domain

• 十分に時間が経ったときの目標値r(t)と制御量c(t)の差

• s領域で考えるには最終値定理を使う

limt��

e(t) = limt��

{r(t) � c(t)}

8

定常偏差Steady-State Error

定常状態における目標値と出力の誤差目標値の変化や外乱によって出力が変化するために生じる

目標値や外乱として、単位ステップ入力（定常位置偏差）、単位ランプ入力（定常速度偏差）、加速度入力（定常加速度偏差）を用いて評価する

定常偏差

++

+−

目標値 外乱 制御量

limt��

{r(t) � c(t)} = lims�0

s {R(s) � C(s)}

9

Kc(s) G(s)

D(s)

H(s)

R(s) C(s)

• 外乱D(s) = 0、H(s) = 1である場合偏差は

• 従って定常偏差は

+−

G(s)R(s) C(s)

E(s) = R(s) � C(s) = R(s) � G(s)

1 + G(s)R(s) =

R(s)

1 + G(s)

limt��

e(t) = lims�0

sE(s) = lims�0

sR(s)

1 + G(s)

定常偏差Steady-State Error

10

定常偏差Steady-State Error

• 上図のような制御系を考える• ステップ応答は

11

+−

R(s) C(s)3

s + 1

ç

定常偏差Steady-State Error

• 時間が十分に経過した定常状態での出力値は

• 定常偏差は

12

目標値1に達していない

• 開ループ伝達関数の一般形

• 分母の積分要素sの次数lによって分類• l=0の場合 0形の制御系• l=1の場合 1形の制御系• l=2の場合 2形の制御系

13

開ループ伝達関数の分類Classification of Open-Loop Transfer Function

定常位置偏差Steady-State Position Error

目標値が単位ステップ入力のときの定常偏差ep�p = lim

s�0s

1

1 + G(s)· 1

s= lim

s�0

1

1 + Ksl

型 l ep0 0 K→大で、定常偏差は小さくなる

ただし、安定性は損なわれる

1 1 0

2 2 0

1

1 + K

14

定常速度偏差Steady-State Velocity Error

目標値が単位ランプ入力(r(t)=t)のときの定常偏差ev �v = lim

s�0s

1

1 + G(s)· 1

s2= lim

s�0

1

s + Ksl�1

型 l ev0 0 ∞ 発散し、使えない

1 1 K→大で、定常偏差は小さくなるただし、安定性は損なわれる

2 2 0

1

K

15単位ランプ入力

�a = lims�0

s1

1 + G(s)· 1

s3= lim

s�0

1

s2 + Ksl�2

型 l ea0 0 ∞ 発散し、使えない

1 1 ∞ 発散し、使えない

2 2 K→大で、定常偏差は小さくなるただし、安定性は損なわれる

定常加速度偏差Steady-State Acceleration Error

目標値が一定加速度入力(r(t)=t2/2)のときの定常偏差ea

1

K

16

定常偏差のまとめSummary of Steady-State Error

1. 開ループ伝達関数G(s)の積分の次数が大きいほど定常偏差は小さくなる

– 積分の次数が大きくなれば、位相が遅れて安定度が悪くなる

2. 定常偏差は目標値入力の形に依存。ステップ入力よりランプ入力、ランプ入力より加速度入力の方が定常偏差は大きい

3. 開ループ伝達関数のゲイン定数Kが大きいほど定常偏差は小さい⇔ ゲイン定数Kを大きくすれば安定度が悪くな

る17

例題 (1)Example(1)

次のフィードバック制御系が安定で、定常位置偏差が0.1以下となるようにゲイン定数Kを定めよ

+−

K

(s + 1)(s + 2)(s + 3)

閉ループ伝達関数Go(s) =

G(s)

1 + G(s)=

K

s3 + 6s2 + 11s + 6 + K

18制御工学第８章演習問題６、自動制御概論例題7-3

• 特性方程式

• フルビッツの安定判別法で、安定なKを求める

• 安定なKの範囲はK< 60

s3 + 6s2 + 11s + 6 + K = 0

D =

�����a1 a3

a0 a2

����� = 66 � (6 + K) > 0

例題 (1)Example(1)

19

定常位置偏差epを0.1以下にする条件は

�p = lims�0

s1

1 + G(s)· 1

s=

1

1 + K6

� 0.1

よりK � 54

したがってK の範囲は 54 � K < 60

例題 (1)Example(1)

20

K=56のときのステップ応答Step Response (K=56)

21

�p =1

1 + 566

= 0.0968

K=56のときのボード線図Bode Plots (K=56)

22

K=56のときのナイキスト線図Nyquist Diagram (K=56)

23

外乱に対する定常偏差Steady-State Error for Disturbance

外乱による偏差目標値による偏差

目標値の場合と同様に、外乱の種類とG(s)に依存する24

++

+−

目標値 外乱 制御量

Kc(s) G(s)

������

�����

E(s) =1

1 + L(s)R(s) � G(s)

1 + L(s)D(s)

�d = lims�0

s�G(s)

1 + L(s)D(s)

L(s) = Kc(s)G(s)

開ループ伝達関数

E(s)R(s) C(s)D(s)

外乱に対する定常偏差Steady-State Error for Disturbance

• 単位ステップ信号の外乱による定常偏差のみを考えると

• これが0になるためにはG(0) = 0またはKc(0)G(0)=∞

– 制御対象が微分要素sをもつ– 開ループ伝達関数L(s)=Kc(s)G(s)が積分要素を１つ以上もつ 25

lims�0

E(s) = lims�0

s · �G(s)

1 + L(s)

1

s= lim

s�0

�G(0)

1 + Kc(0)G(0)

定常偏差への対処法Measures to Steady-State Error

• 系の入力と外乱の両方に対する定常偏差をなくすために、コントローラーKc(s)に必要な個数の積分要素1/sを設けて、定常特性を改善する

• 位相が90°遅れ、位相特性が悪くなることに注意する

26

例題 (2)Example(2)

下図の制御系が安定で、かつ単位ステップ関数の外乱に対するシステムの定常偏差が0.1以下であるためにはKの値をどのように選べばよいか．

++ 1

s 1+ sT2( )K

1+ sT1+−

目標値外乱

制御量

27自動制御概論例題7.4

E(s)R(s) C(s)

D(s)

例題 (2)Example(2)

まず閉ループ制御系が安定となるKの範囲を定める．閉ループ伝達関数は

より特性方程式は

Go(s) =

K

1 + sT1· 1

s(1 + sT2)

1 +K

1 + sT1· 1

s(1 + sT2)

=K

T1T2s3 + (T1 + T2)s2 + s + K

T1T2s3 + (T1 + T2)s

2 + s + K = 0

28

例題 (2)Example(2)

フルビッツの安定判別法を用いて安定となるKの範囲を定める．

より

D =

����a1 a3

a0 a2

���� =

����T1 + T2 KT1T2 1

���� = (T1 + T2) � KT1T2 > 0

K <T1 + T2

T1T2

29

単位ステップ関数の外乱に対する定常偏差は、

以上より

�d = lims�0

s�G2(s)

1 + G1(s)G2(s)D(s) = lim

s�0

� 1

s(1 + sT2)

1 +K

s(1 + sT1)(1 + sT2)

= lims�0

�1

s(1 + sT2) +K

1 + sT1

= � 1

K

よって |�d| =1

K� 0.1 よりK � 10

10 � K <T1 + T2

T1T2

30

ステップ応答、外乱なしStep Response without Disturbance

31

K=15, T1=0.05, T2=0.2

ステップ応答、外乱ありStep Response with Disturbance

32

1.067

K=15, T1=0.05, T2=0.2

33

K=15, T1=0.05, T2=0.2

ナイキスト線図Nyquist Diagram

ステップ応答、外乱なしStep Response without Disturbance

34

K=10, T1=0.05, T2=0.2

ステップ応答、外乱ありStep Response with Disturbance

35

1.10

K=10, T1=0.05, T2=0.2