ベクトル解析(4)...3 9. スカラーの線積分 曲線cに沿っての スカラー場...
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1
ベクトル解析(4)
9.スカラーの線積分
10.ベクトルの線積分
11.スカラーの面積分
12.ベクトルの面積分
Today’s Point
Chap.10 ベクトルの線積分
C
drA C
drA
Chap. 9 スカラーの線積分
( ), ( ), ( )b
a Cx t y t z t dt dt
xy
zC
3
9. スカラーの線積分
曲線Cに沿っての スカラー場の線積分 ( ), ( ), ( )
b
a Cx t y t z t dt dt
9.1 スカラーの線積分
② 曲線Cに対し正反対の向きの曲線-C
1 2 1 2C C C Cdt dt dt
C Cdt dt
- -
1C2C
21 CC
C
C-
スカラー場(x(t), y(t), z(t))内 曲線C: r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
曲線Cの区間AB(a≦t≦b)の定積分
線積分の関係
① 2つの曲線C1,C2を連結した曲線C1+C2
4
スカラーの線積分
)10( )( : )1 tttttCdtC
kjir
であるのでCに沿って , , tztytx
22tt
6
7
3
2
2
1)2(
1
0
322
ttdtttdt
CC
例題1 スカラー場 について線積分を求めよ. yzx 2
x
y
zC
5
)10( )( : )2 2 tttttCdsC
kjir
であるのでCに沿って , , 2tztytx
dtdt
drdt
dt
dsdstztytx
b
a
b
a
b
a
)](),(),([
22 42)2(112 tttdt
dr kji
dtttdttttds
1
0
2
3
2
1
0
23
1
0
)21(242)2(
tdt dutu 4 21 2
322 ttyzx
xy
zC
)139(10
2
5
2
4
23
1
2
5
-
u
duu
3
1
2
3
4
2
注意
9.2 スカラーの線積分(2)
C
dtztytxf r)](),(),([kjir
kjir
dzdydxd
zyx
CC
dzdydxzyxfdzyxf ))(,,(),,( kjir
CCC
dzzyxfdyzyxfdxzyxf ),,(),,(),,( kji
ttt
dtdt
dztfdt
dt
dytfdt
dt
dxtf )()()( kji
zxyzxyzyxf ),,(
原点oから点A(1, 2, 3) に沿った線積分
1)t(0 3,2, tztytx211))(3()3)(2()2()( ttttttttf
1
0
21
0
21
0
2 )3(11)2(11)1(11),,( dttdttdttdzyxfC
kjir
3 2 1 dt
dy
dt
dy
dt
dx
kjikji 113
22
3
11
3
113
3
112
3
11
例題2
Today’s Point
8
Chap.13発散と回転の物理的意味
Chap. 14 発散定理
Chap.15 ストークスの定理
s dSdVV
nAA
c ddSs rAnA
AA div
AA rot
単位時間・単位体積当たりに流れ出る量
ωv 2
9
10.ベクトルの線積分
sは曲線長(a≦s≦b)
( ) ( ) ( ) ( )( )
d s dx s dy s dz ss
ds ds ds ds
rt i j k
dds ds d
ds
rt r
CC
dds rAtA
ベクトル場A=Axi+Ayj+Azk内にある曲線C: r(s)=x(s)i+y(s)j+z(s)k
曲線Cの区間AB(a≦s≦b)
曲線Cに沿ってのベクトル場Aの線積分
単位接線ベクトル:
dsds
sdzA
ds
sdyA
ds
sdxA
b
a
zyx
)()()(
10.1 ベクトルの線積分(1)
10
q(r):曲線C上の点PでA(r)とt(r)の作る角
)1|| ( cos|||| ttAtA qd
dsdCC
qcos|| ArA
11
例題1 ベクトル場 A=2yi+xj+sin2zk 曲線Cに沿う線積分
を終点を始点は )2
Q(0,1, ,P(1,0,0)C 1)
線分Cの方程式 r
kjir
2
-
dt
dbaabar tt - t)-(1 )(
kji
kjir
)2/()1(
))2/(())(1(
ttt
tt
-
-
tztytx2
, ),1(
-
xy
z
C
1
2
1
P
Q
a
br
P
Q
o
a
bikjia 00
kjkjib )2/()2/(0 tt
12
kjiA ttt2
sin)1(2 2 - dtd )2
( kjir
-
--1
0
2 )2
()2
sin)1(2( dtt
ttdC
kjikjirA
--1
0
2 )2
sin2
)1(2( dtt
tt
-
-1
0)
2
cos1
231( dt
tt
1
0
2 sin4
1
2
3)
41(
-- ttt
2
1
4-
13
は常ら線C
kjiA ttt 2sincossin2
kjir
- ttdt
dcossin
- 2
0
222 )sincossin2(
dttttdC
rA
- 2
0
2
0
2 2cos)sin21(
tdtdtt
02sin2
1 2
0
t
2) A=2yi+xj+sin2zk
t ztytx ,sin ,cos
)2
(0 sincos
t+tt+t= kjir
10.2 ベクトル線積分(2)
kjiA zyx AAA
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
AAA
dzdydx
AAAdC
zyx
C
zyx
C
kjikji
rA
kjir
kjir
dzdydxd
zyx
例題2 原点oから点P(1, 2, 3) 線分C
kjiA xyzxyz
dtttttttdtC
321
)2()3()3)(2(
kji
rA
----1
0
221
0
221
0
22 )312()218()49( dtttdtttdttt kji
-1
0
21
0
21
0
2 9165 dttdttdtt kji kji 33
16
3
5-
1)t(0 3,2, tztytx
3 ,2 ,1 dt
dz
dt
dy
dt
dx x
y
zC
)1(0 32 tt+t+=t kjir
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
AAAdC
zyx
C
kji
rA
Today’s Point
16
Chap. 4 dxdyyx
SD
rr
Chap. 11 スカラーの面積分
dv
d
du
d rrn
Dsdudv
vuvudS
rr),(
),,(: zyxスカラー関数
Chap.12 ベクトルの面積分
DSdudv
vud
rrnASA
11.スカラーの面積分
曲面S: r=r(u,v)
スカラー関数
Dsdudv
vuvudS
rr),(
2重積分
),,(: zyxスカラー関数
)],(),,(),,([),( vuzvuyvuxvu
kjirr ),(),(),(),( vuzvuyvuxvu
曲面 S 上でのスカラー場 の面積分
で与えられているときが曲面 ),( yxfS
221 vu ffvu
rr
D
vus
dudvffvudS 221),(uv平面上の領域D
は曲面Sに対応
),,( zyx
D u
v
S
x
y
z
u)1(2 uv -
22),( yxyx
kjikjir )2
333( vuvuzyx --
22),( vuvu
kjir
30 -
ukji
r
2
30 -
v
kji
kjirr
--
-
-
)
2
3(3
2
310
301vu
),,( zyxS上の点 yxyxfz2
333),( --
例題 )2 ,0 ,0 6236: zy(xzyxS
yvxu ,
2
71)
2
3(3 222
19
Dsdudv
vuvufdS
rr),(
--
1
0
32
2
7)1(
3
8)1(2 duuuu
x
y
z
u)1(2 uv -1
2 -
1
0
)1(2
0
22
2
7)( dvduvu
u
-1
0
)1(2
0
32
2
7
3
1duvvu
u
-
1
0
23
2
7
3
8810
3
14duuuu
2
7
6
19
2
7
3
8
2
18
3
110
4
1
3
14
-
20
12.ベクトルの面積分
曲面S: r=r(u,v) ベクトル場A=Axi+Ayj+Azk
uv平面上の領域Dは曲面Sに対応
曲面S上の各点でAを法単位ベクトルnの上に正射影An=A・n
DSdudv
vud
rrnASA
曲面 S 上でのベクトル場 A の面積分
DSdudv
vud
rrnASA
例題
kjiA )(2)( 222 xyyxyyx --
3つの平x=1,y=1,z=1で囲まれた立方体
の面積分の面でのA0)1 z
kn -
-1
0
1
0
2 )( dxdyxyydSdDS
nASA
の面積分であるのでの面では Akn 1)2 z
12
1S dSA
12
1)
2
12(
2
1 1
0
1
0
1
0
22 --
- dyyydyyxxy
)( 2 xyy --nA
)( 2 xyy -nA
x
y
z
kn -
x
y
z kn
の面0)3 x
y
z
x
y
z
in -
)( 22 yx --nA
kjiA )(2)( 222 xyyxyyx --
in
)( 22 yx -nA
の面1)4 x
3
1S dSA
3
2S dSA
23
の面0)5 y
2103
2
3
1
12
1
12
1-全表面上での面積分は
x y
z
kjiA )(2)( 222 xyyxyyx --
xy
z
jn -
02 - xynA
jn
xxy 22 nA
の面1)6 y
0S dSA 1S dSA
例題
kjiA xyzxyzxyz
3つの平x=1,y=1,z=1で囲まれた立方体
の面積分の面でのA0)1 z
kn -
1
0
1
0
21
0
21
0 4
1
22
yxxydxdy
dSdDS
nASA
の面積分であるのでの面では Akn 1)2 z
00 xynA
xyxyz nA
x
y
z
kn -
x
y
z kn
0 DSdSd nASA
の面0)3 x
y
z
in -
in の面1)4 x
kjiA xyzxyzxyz
00 yznA
0S dSA
yzxyz nA
1
0
1
0
21
0
21
0 4
1
22
zyyzdydz
dSdDS
nASA
の面0)5 y
x y
zjn -
00 zxnA
0S dSA
の面1)6 y
jn zxnA
1
0
1
0
21
0
21
0 4
1
22
xzzxdzdx
dSdDS
nASA
26
問題
よの面積分の値をもとめ各面での
を定義するときベクトル
3角錐がある。によって切り取られる
つの平面が平面
A
jiA2
0,0,036236
yx
zyxzyx
x
y
z
12
3