グラフェン上の強磁性体超伝導体接合 -...

　

平成19年度　卒業論文

グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合

北海道大学工学部応用物理学科物性物理工学研究室

吉田　敏寛

目次

第 1章序論 2

1.1 超伝導現象と超伝導接合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 鏡面反射的Andreev反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 本研究の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

第 2章グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合 5

2.1 グラフェン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 DBdG方程式を用いたグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合の記述 . . . . . . . 7

2.3 常伝導体側の波動関数の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 超伝導体側の波動関数の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 微分コンダクタンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 鏡面反射的Andreev反射の起源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

第 3章グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合 30

3.1 DBdG方程式を用いたグラフェン上の強磁性体/超伝導体接合の記述 . . . . . . . 30

3.2 結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

第 4章本研究のまとめと今後の展望 36

付録 37

Dirac-Bogoliubov-de Gennes方程式（DBdG方程式）の導出 . . . . . . . . . . . . . . 37

1

第1章序論

1.1 超伝導現象と超伝導接合超伝導は 1911年H.K.Onnesによって発見された巨視的な量子現象である．超伝導は，永久電流が流れる，超伝導体内部に磁束は侵入しない (Meissner効果)，零バイアス下で電流が流れる (Josephson効果)等の電磁気学的に非常に特異な性質を示す．この様な超伝導現象が発現する微視的な機構は発見から約半世紀後の 1957年に，Bardeen，Cooper，SchriefferによるBCS

理論によって明らかになった．それによると，超伝導状態は 2電子間に引力が働くことにより対（Cooper対）を形成して，それらが同じ位相の状態に凝縮し，位相コヒーレンスを獲得した状態だといえる．上に示した特異な電磁気学的性質も，全てこの位相コヒーレンスが保たれるために起きると理解されている．その後 1959年にBogoliubovと de Gennesは，Cooper対の存在を仮定した平均場の方法を用いることで，BCS理論を，境界や空間変化がある場合に適用できる形に一般化した [1]．それによって，外部磁場が加えられている場合や，超伝導接合の問題を取り扱うことができるようになった．これらの問題は，一般化の際に導かれたBogoliubov-de Gennes方程式（以下BdG方程式と呼ぶ）を解くことによって理解される．

BdG方程式は，超伝導現象を記述する最も基礎的な方程式であり，本研究の主題である超伝導接合系における輸送現象を論ずる出発点も，このBdG方程式となる．Bogoliubov-de Gennes

の描象では，普通の金属と超伝導体の違いは，超伝導体の秩序変数であるペアポテンシャルが零であるか，値を持つかによって特徴づけられる．このペアポテンシャルの変化により，例えば常伝導体/超伝導体接合においては，Andreev反射という現象が起きる（図 1.1）．Andreev反射とは，常伝導体側から超伝導体側に電子が入射するとき，超伝導体側に電子が透過するよりもCooper対を形成するほうがエネルギー的に安定であるために，超伝導体側にCooper対が形成され，常伝導体側にはホールが反射されるという現象である．このAndreev反射は，電子のエネルギーが超伝導体のエネルギーギャップ∆0よりも小さいときに起き，Andreev反射されたホールは電子の経路を忠実に辿っていく遡及性という性質を持つ．以上はBdG方程式を解くことで自然に導かれる．現在，超伝導接合系の分野において強磁性体との接合が盛んに行われている [2]．強磁性体との接合は，交換ポテンシャルの影響により，常伝導体との接合には見られない特異な性質が現れることが知られている．また Josephson電流が符号を変える π接合は量子コンピュータに役立つ可能性がある．さらには，電子の電荷と位相の他にスピンの自由度を利用できることから，近年発展のめざましいスピントロニクスの分野とも関連してくる．このように強磁性体/超伝導体接合の研究は，基礎・応用共に更なる発展が期待できる分野となっている．

2

E

0∆

図 1.1: Andreev反射．

1.2 鏡面反射的Andreev反射1.1節で述べたように，常伝導体/超伝導体接合において，Andreev反射されたホールは遡及

性を持って反射されるため，電子が辿ってきた経路を忠実に遡って行く．ところが，グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合を考えると，Andreev反射されたホールは遡及性をもたずに超伝導体に対して鏡面方向に進んでいくということが，ライデン大学のBeenakkerによって理論的に予測された [3]．図 1.4に 2つのAndreev反射を示す．(a)は常伝導体/超伝導体接合において生じる，通常の

Andreev反射である．(b)はグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合において生じる鏡面反射的Andreev反射である．鏡面反射的Andreev反射はグラフェン上の超伝導体接合において生じる特異な現象である．

h

e

x

y

he

(a) (b)

図 1.2: (a)常伝導体/超伝導体接合時のAndreev反射．(b)グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合時の鏡面反射的Andreev反射．

1.3 本研究の目的本研究では，グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における量子輸送現象の理解に基づき，グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合における量子輸送現象を解明する．このとき，どのよう

3

な現象が期待されるかを理論的に予測するのが目的である．具体的には，Andreev反射の解析や微分コンダクタンスの計算を行う．

1.4 本論文の構成第 2章ではグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における量子輸送現象について説明する．第 3章では第 2章の結果に基づきグラフェン上の強磁性体/超伝導体接合における量子輸送現象を解明する．第 4章では研究のまとめと今後の展望について述べる．付録には本研究で用いるDBdG方程式の導出をまとめている．

4

第2章グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合

2章ではグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における量子輸送現象について説明する．まず 2.1節においてグラフェンについて簡単に説明する．2.2節では，モデルの説明とDBdG方程式を用いた接合の記述を行う．2.3節と 2.4節ではDBdG方程式を解き，常伝導体と超伝導体における分散関係と波動関数を導出する．2.5節では常伝導体と超伝導体を接合させた状況で散乱問題を解き，微分コンダクタンスを計算する．2.6節ではグラフェンのフェルミエネルギーとペアポテンシャルの大きさの関係によってAndreev反射の性質が変わることを述べる．

2.1 グラフェングラフェン [4, 5]とは，図 2.1(a)のように蜂の巣格子を持つ炭素の 2次元電子系のことをいう．単位格子は破線で囲まれた正 6角形で，2つの炭素原子をそれぞれA，Bとする．グラフェンの平面内では，炭素は σ結合によって互いに強く結ばれており，面に垂直な方向には π軌道が存在している．グラフェンの第 1ブリルアンゾーンもまた図 2.1(b)のように正 6角形となる．波数空間の原点を Γ点，6角形の頂点をK点およびK’点，6角形の各辺の中点をM点と呼ぶ．グラフェンの Fermi準位付近に存在するのは πバンドである．πバンドは第 1ブリルアンゾーンの角にあるK点およびK’点で線型の分散を持って交差し，Fermi準位 E = EF = 0は丁度その交差点に位置する．したがってグラフェンの性質はK点とK’点付近の状態で決まる．図 2.2に波数をK → Γ → M → Kのように変化させたときの πバンドの構造を示す．

Γ

K

K’

M

AB

(a) (b)

図 2.1: (a)グラフェンの構造．(b)グラフェンの第 1ブリルアンゾーン．

5

図 2.2: πバンドの構造．

K点とK’点近傍の波動関数は，質量を 0としたDirac方程式で記述される．すなわちK点に対して

γ(k · σ

)FK (r) = εFK (r) (2.1)

K’点に対して

γ(k · σ∗

)FK′

(r) = εFK′(r) (2.2)

である．F (r)は各成分がA，B副格子上の確率振幅を表す 2成分の波動関数で，

FK (r) =

(FK

A

FKB

), FK′

(r) =

(FK′

A

FK′B

)(2.3)

σ = (σx, σy)は 2次元パウリ行列で，

σx =

(0 1

1 0

), σy =

(0 −i

i 0

)(2.4)

kは波数に対応した微分演算子，γはバンドパラメータ，εはエネルギー固有値を表している．この方程式の解は

FK (r) ，FK′(r) ∝ exp (ik · r) (2.5)

と置くことによりただちに求まり，エネルギーは

ε(±) (k) = ±γ√

k2x + k2

y (2.6)

となる．ここで，波数 kの原点はK点とK’点である．これはまさに静止質量 0の相対論的なDirac電子であるニュートリノの分散を表している．この分散関係は光とまったく同じなので，ニュートリノの速度は波数とエネルギーによらず，

v =γ

~(2.7)

となる．このようにグラフェンは相対論的な効果を簡単に実現できる系となっている．また最近では

6

• 単層グラフェンが作製され，電気伝導や量子ホール効果が観測されたこと [6, 7]

• グラフェンへの室温スピン注入が電気的に検出され，スピントロニクスへの応用の期待が高まっていること [8]

などがあり，現在，グラフェンは基礎応用ともに非常に注目されている物質である．

2.2 DBdG方程式を用いたグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合の記述

図 2.3のように，グラフェンの 2次元平面に対して x軸 y軸をとり，x > 0の領域に超伝導体を取り付けたモデルを考える．グラフェンは非常に薄い物質であるため，超伝導体からのペアポテンシャルの染み出しにより，x > 0の領域のグラフェンは超伝導体化すると考える．それにより，x < 0の領域には常伝導体としてのグラフェン，x > 0の領域には超伝導体としてのグラフェンができることになり，グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合が実現できる．x < 0の常伝導体領域には，静電ポテンシャルを調節できるようにするためにゲート電圧を取り付けることを考える．

xy0

図 2.3: グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合のモデル．Nは通常のグラフェン，Sは超伝導体化したグラフェンであることを意味する．

このモデルを記述する方程式はDirac-Bogoliubov-de Gennes方程式（DBdG方程式）である．DBdG方程式の導出は付録にまとめている．

[H+ ∆

∆∗ −H+

][u

v

]= E

[u

v

](2.8)

H+ = −i~vσ · ∇ − µ + U = −i~v (σx∂x + σy∂y)− µ + U (2.9)

ペアポテンシャルは次のようにとる．

∆ (r) =

∆0e

iφ if x > 0

0 if x < 0(2.10)

7

ゲート電圧や，電子やホールのドープによる静電ポテンシャルの効果を次のようにとる．

U (r) =

−U0 if x > 0

0 if x < 0(2.11)

U0には次のような条件を課しておく．

U0 À µ, ∆0 (2.12)

2.3 常伝導体側の波動関数の導出常伝導体側においてはペアポテンシャルは零であるので，DBdG方程式は

[H+ 0

0 −H+

][u

v

]= E

[u

v

](2.13)

となる．この方程式の十分解として，平面波 (u, v)× exp (ikxx + ikyy)を代入する．このときエネルギー固有値は，電子に対して

∣∣∣∣∣−µ− E ~v (kx − iky)

~v (kx + iky) −µ− E

∣∣∣∣∣ = 0 (2.14)

E = −µ± ~v√

k2x + k2

y = −µ± ~v |k| = Ee± (2.15)

ホールに対して∣∣∣∣∣

µ− E −~v (kx − iky)

−~v (kx + iky) µ− E

∣∣∣∣∣ = 0 (2.16)

E = µ± ~v |k| = Eh± (2.17)

となる．図 2.4に電子とホールの分散関係を示す．電子について規格化した固有ベクトルは，E = Ee

+に対して[

u1

u2

]=

1√2

[1

eia

]eikxx+ikyy (2.18)

E = Ee−に対して [

u1

u2

]=

1√2

[1

−eia

]eikxx+ikyy (2.19)

eia =kx + iky√k2

x + k2y

(2.20)

と計算できる．ここで波動関数を電子が正方向，負方向に進む場合についてそれぞれ書き直す．

8

E

µ

Fk−

0Fk

k

µ−

図 2.4: 常伝導体側の分散関係．赤は電子，青はホールの分散を表す．

1. E > −µのとき，E = Ee+ = −µ + ~v |k|のバンドが伝播を担う．

E + µ = ~v√

k2x + k2

y (2.21)

より，√

k2x + k2

y =E + µ

~v> 0 (2.22)

である．入射した波が伝播するためには，

k2x =

(E + µ

~v

)2

− k2y > 0 (2.23)

でなくてはならない．ここで、

q ≡ ky > 0 (2.24)

k ≡ E + µ

~v

√1−

(~vq

E + µ

)2

≡ E + µ

~vcos α (2.25)

sin α ≡ ~vq

E + µ(2.26)

を定義する．正方向に進む波は，

kx = k =E + µ

~vcos α > 0 (2.27)

のときである．このとき

eia =kx + iky√k2

x + k2y

=k + iq√k2 + q2

=E+µ~v cos α + iE+µ

~v sin α√(E+µ~v

)2cos2 α +

(E+µ~v

)2sin2 α

=E+µ~v cos α + iE+µ

~v sin α∣∣E+µ~v

∣∣ = cos α + i sin α

= eiα (2.28)

9

となる．よって波動関数は[

u1

u2

]=

1√2

[1

eiα

]eikx+iqy (2.29)

と書ける．負方向に進む波は，

kx = −k = −E + µ

~vcos α < 0 (2.30)


eia =kx + iky√k2

x + k2y

=−k + iq√k2 + q2

=−E+µ

~v cos α + iE+µ~v sin α∣∣E+µ

~v∣∣ = − cos α + i sin α

= −e−iα (2.31)


u1

u2

]=

1√2

[1

−e−iα

]e−ikx+iqy (2.32)

と書ける．

2. E < −µのとき，E = Ee− = −µ− ~v |k|のバンドが伝播を担う．

E + µ = −~v√

k2x + k2

y (2.33)

より，√

k2x + k2

y = −E + µ

~v> 0 (2.34)

である．入射した波が伝播するためには，

k2x =

(E + µ

~v

)2

− k2y > 0 (2.35)

でなくてはならない．正方向に進む波は

kx = k =E + µ

~vcos α < 0 (2.36)


−eia = − kx + iky√k2

x + k2y

= − k + iq√k2 + q2

= −E+µ~v cos α + iE+µ


∣∣ = cos α + i sin α

= eiα (2.37)

10

となる．よって正方向に進む波動関数は[u1

u2

]=

1√2

[1

eiα

]eikx+iqy (2.38)


kx = −k = −E + µ

~vcos α > 0 (2.39)


−eia = − kx + iky√k2

x + k2y

= − −k + iq√k2 + q2

= −−E+µ~v cos α + iE+µ


∣∣ = − cos α + i sin α

= −e−iα (2.40)

となる．よって波動関数は[u1

u2

]=

1√2

[1

−e−iα

]e−ikx+iqy (2.41)

と書ける．以上より (1)E > −µ，(2)E < −µいずれの場合にも正に進む波は

Ψe+N =

1√2

e−iα/2

eiα/2

0

0

eikx+iqy (2.42)

負に進む波は，

Ψe−N =

1√2

eiα/2

−e−iα/2

0

0

e−ikx+iqy (2.43)

と書けることがわかる．

次にホールについて同様にして波動関数を求める．規格化した固有ベクトルは，E = Eh+に

対して [v1

v2

]=

1√2

[e−ia

−1

]eikxx+iqy (2.44)

E = Eh−に対して [

v1

v2

]=

1√2

[1

eia

]eikxx+iqy (2.45)

eia =kx + iky√k2

x + k2y

(2.46)

と計算できる．同様の手順で波動関数をホールが正方向，負方向に進む場合についてそれぞれ書き直す．

11

1. E > µのとき，E = Eh+ = µ + ~v |k|のバンドが伝播を担う．

E − µ = ~v√

k2x + k2

y (2.47)

より，√

k2x + k2

y =E − µ

~v> 0 (2.48)

である．波が伝播するためには，

k2x =

(E − µ

~v

)2

− k2y > 0 (2.49)

でなくてはならない．ここで，

k′ ≡ E − µ

~v

√1−

(~vq

E − µ

)2

≡ E − µ

~vcos α′ (2.50)

sin α′ ≡ ~vq

E − µ(2.51)

を定義する．正方向に進む波は，

kx = k′ =E − µ

~vcos α′ > 0 (2.52)


e−ia =kx − iky√

k2x + k2

y

=k′ − iq√k′2 + q2

=E−µ~v cos α′ − iE−µ

~v sin α′∣∣E−µ~v

∣∣ = cos α′ − i sin α′

= e−iα′ (2.53)


v1

v2

]=

1√2

[e−iα′/2

−eiα′/2

]eik′x+iqy (2.54)


kx = −k′ = −E − µ

~vcos α′ < 0 (2.55)


e−ia =kx − iky√

k2x + k2

y

=−k′ − iq√

k′2 + q2

= −E−µ~v cos α′ + iE−µ


∣∣ = − cos α′ − i sin α′

= −eiα′ (2.56)

12


v1

v2

]=

1√2

[eiα′/2

e−iα′/2

]e−ik′x+iqy (2.57)

と書ける．

2. E < µのとき，E = Eh− = µ− ~v |k|のバンドが伝播を担う．

E − µ = −~v√

k2x + k2

y (2.58)

より，√

k2x + k2

y = −E − µ

~v> 0 (2.59)

である．波が伝播するためには，

k2x =

(E − µ

~v

)2

− k2y > 0 (2.60)

でなくてはならない．正方向に進む波は，

kx = k′ =E − µ

~vcos α′ < 0 (2.61)


eia =kx + iky√k2

x + k2y

=k′ + iq√k′2 + q2

=E−µ~v cos α′ + iE−µ


∣∣ = − cos α′ − i sin α′

= −eiα′ (2.62)

となる．よって正方向に進む波動関数は[

v1

v2

]=

1√2

[e−iα′/2

−eiα′/2

]eik′x+iqy (2.63)

と書ける．負方向に進む波は

kx = −k′ = −E − µ

~vcos α′ > 0 (2.64)


eia =kx + iky√k2

x + k2y

=−k′ + iq√

k′2 + q2

=−E−µ

~v cos α′ + iE−µ~v sin α′∣∣E−µ

~v∣∣ = cos α′ − i sin α′

= e−iα′ (2.65)

13

と書ける．よって波動関数は[

v1

v2

]=

1√2

[eiα′/2

e−iα′/2

]e−ik′x+iqy (2.66)

と書ける．以上より (1)E > −µ，(2)E < −µいずれの場合にも正に進む波動関数は

Ψh+N =

1√2

0

0

e−iα′/2

−eiα′/2

eik′x+iqy (2.67)

負に進む波動関数は

Ψh−N =

1√2

0

0

eiα′/2

e−iα′/2

e−ik′x+iqy (2.68)

と書けることがわかる．

以上をまとめて，常伝導体側での波動関数は

• 電子で正方向

Ψe+N =

1√2

e−iα/2

eiα/2

0

0

eikx+iqy (2.69)

• 電子で負方向

Ψe−N =

1√2

eiα/2

−e−iα/2

0

0

e−ikx+iqy (2.70)

• ホールで正方向

Ψh+N =

1√2

0

0

e−iα′/2

−eiα′/2

eik′x+iqy (2.71)

• ホールで負方向

Ψh−N =

1√2

0

0

eiα′/2

e−iα′/2

e−ik′x+iqy (2.72)

14

と記述できる．また波が伝搬していく条件は（5.78），（5.105）式より

|q| < qc =E + µ

~v(2.73)

|q| < q′c =|E − µ|~v

(2.74)

q =E + µ

~vsin α (2.75)

である．これらをまとめて，Andreev反射が起きる条件は

α < αc = arcsin

( |E − µ|E + µ

)(2.76)

となり，臨界角 αcによって定められる．

2.4 超伝導体側の波動関数の導出DBdG方程式

[H+ ∆

∆∗ −H+

][u

v

]= E

[u

v

](2.77)


において，超伝導体が一様な場合は，平面波 (u, v)× exp (ikxx + ikyy)が解となる．u = (u1, u2)

は電子，v = (v1, v2)はホールの振幅を表す．代入すると∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−µ + U − E ~v (kx − iky) ∆ 0

~v (kx + iky) −µ + U − E 0 ∆

∆∗ 0 µ− U − E −~v (kx − iky)

0 ∆∗ −~v (kx + iky) µ− U − E

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (2.79)

という永年方程式になる．これを解くと

E =

√|∆|2 + (µ− U ± ~v |k|)2 ≡ ES

± (2.80)

ES± =

√∆2

0 + ξ2±, ξ± = ~v |k| ± (µ + U0) (2.81)

となる．図 2.5に超伝導体側の分散関係を示す．ここで，U0 À µ, ∆0と仮定しているため，E = ES

−のバンドについて考える．E = ES−に対

して十分解は

a

b

c

d

‖

e−ia(ES− + ξ−

)(ES− + ξ−

)

e−ia∆∗

∆∗

(2.82)

15

E

00∆>>+ µU

0k− 0

0k k

0∆

図 2.5: 超伝導体側の分散関係．

と書ける．ここで波動関数を電子であるかホールであるか，さらに正方向に進むか負方向に進むかで分

類する．(1)|E| < ∆0のとき，

Ω ≡√

E2 −∆20 (2.83)

に対して，平方根の中が負であるので

Ω = i∆0

√1−

(E

∆0

)2

(2.84)

と書く．

E

∆0

≡ cos β (2.85)

とおくと，−1 < E/∆0 < 1より 0 < β < πである．このとき sin β > 0より

Ω = i∆0

√1−

(E

∆0

)2

= i∆0 sin β (2.86)

と書ける．また

E =

√|∆|2 + ξ2− (2.87)

より，

ξ− = ±√

E2 − |∆|2 = ±i∆0

√1−

(E

∆0

)2

= ±i∆0 sin β

= ~v |k| − (µ + U0) (2.88)

16

これより

~v |k| = µ + U0 ± i∆0 sin β (2.89)

と書ける．+は電子の分枝，−はホールの分枝である．ここから

k2x =

(µ + U0 ± i∆0 sin β

~v

)2

− q2

=(µ + U0)

2 −∆20 sin2 β

(~v)2 − q2 ± 2i∆0 (µ + U0) sin β

(~v)2

' (µ + U0)2

(~v)2 − q2 ± 2i∆0 (µ + U0) sin β

(~v)2

(2.90)

と計算できる．途中 U0 À ∆0を用いて近似をした．ここで

ky ≡ q (2.91)

k0 ≡√

(µ + U0)2

(~v)2 − q2 (2.92)

κ ≡ ∆0 (µ + U0)

k0 (~v)2 sin β (2.93)

で定義すると，

k2x = k2

0

(1± 2i

∆0 (µ + U0)

k20 (~v)2 sin β

)(2.94)

kx ' k0 ± i∆0 (µ + U0)

k0 (~v)2 sin β = k0 ± iκ (2.95)

と記述できる．また

sin γ ≡ ~vq

µ + U0

, −π

2< γ <

π

2(2.96)

で定義すると，

k0 =µ + U0

~v

√1−

(~vq

µ + U0

)2

=µ + U0

~vcos γ (2.97)

と書ける．この定義のもとで，以下で波動関数を求める．その際に，x方向の波数で κを落とすという近似を行う．

17

1. 電子で正方向波数は (k0 + iκ, q)だが，κは落とす．

eia =kx + iky√k2

x + k2y

=k0 + iq√k2

0 + q2=

~vµ+U0

k0 + i ~vµ+U0

q√(~vk0

µ+U0

)2

+(~vq

µ+U0

)2

=cos γ + i sin γ√cos2 γ + sin2 γ

= eiγ (2.98)

となるので，確率振幅は

a

b

c

d

‖

e−ia(ES− + ξ−

)(ES− + ξ−

)

e−ia∆∗

∆∗

‖

e−iγ (E + i∆0 sin β)

(E + i∆0 sin β)

e−iγ∆∗

∆∗

(2.99)

となる．

|a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2= 2

[(E2 + ∆2

0 sin2 β)

+ ∆20

]

= 2∆20

[(E

∆0

)2

+ sin2 β + 1

]= 4∆2

0 (2.100)

であるので，規格化すると

a

b

c

d

‖

1

2

e−iγ(

E∆0

+ i sin β)

(E∆0

+ i sin β)

e−iγe−iφ

e−iφ

=1

2

e−iγeiβ

eiβ

e−iγe−iφ

e−iφ

(2.101)

となる．したがって波動関数は

Ψe+S =

1

2

eiβ

eiγ+iβ

e−iφ

eiγ−iφ

eik0x−κx+iqy (2.102)

と書ける．

2. 電子で負方向波数は (−k0 − iκ, q)だが，κは落とす．

eia =−k0 + iq√

k20 + q2

= − cos γ + i sin γ = −e−iγ (2.103)

18


a

b

c

d

‖

1

2

−eiγeiβ

eiβ

−eiγe−iφ

e−iφ

(2.104)


Ψe−S =

1

2

eiβ

−eiβ−iγ

e−iφ

−e−iφ−iγ

e−ik0x+κx+iqy (2.105)

と書ける．

3. ホールで正方向波数は (−k0 + iκ, q)だが，κは落とす．

e−ia =−k0 − iq√

k20 + q2

= − cos γ − i sin γ = −eiγ (2.106)


a

b

c

d

‖

1

2

−e−iγ(

E∆0− i sin β

)(

E∆0− i sin β

)

−e−iγe−iφ

e−iφ

=1

2

−eiγe−iβ

e−iβ

−eiγe−iφ

e−iφ

(2.107)


Ψh+S =

1

2

e−iβ

−e−iβ−iγ

e−iφ

−e−iφ−iγ

e−ik0x−κx+iqy (2.108)

と書ける．

4. ホールで負方向波数は (k0 − iκ, q)だが，κは落とす．

e−ia =k0 − iq√k2

0 + q2

= cos γ − i sin γ = e−iγ (2.109)

19


a

b

c

d

‖

1

2

e−iγe−iβ

e−iβ

e−iγe−iφ

e−iφ

(2.110)


Ψh−S =

1

2

e−iβ

eiγ−iβ

e−iφ

eiγ−iφ


と書ける．

(2)|E| > ∆0のとき

E = ES− =

√∆2

0 + (~v |k| − µ− U0)2 (2.112)

より

(~v |k| − µ− U0)2 = E2 −∆2

0 > 0 (2.113)

~v |k| = ±√

E2 −∆20 + µ + U0 (2.114)

となる．+は電子の分枝，−はホールの分枝である．ここから

k2x + k2

y =

(µ + U0 ±

√E2 −∆2

0

~v

)2

(2.115)

k2x =

(µ + U0

~v

)2

− k2y ± 2

(µ + U0)√

E2 −∆20

(~v)2 +E2 −∆2

0

(~v)2

= k20 ± 2

(µ + U0)√

E2 −∆20

(~v)2 +E2 −∆2

0

(~v)2 (2.116)

近似を加えて

k ' k0

[1± (µ + U0)

√E2 −∆2

0

(~v)2 k20

]

= k0 ± (µ + U0)√

E2 −∆20

(~v)2 k0

(2.117)

となる．ここで

cosh δ ≡(

E

∆0

)δ > 0

δ = arcosh

(E

∆0

)(2.118)

20

で定義する．

cosh2 δ − sinh2 δ = 1 (2.119)

より

√E2 −∆2

0 = ∆0

√(E

∆0

)2

− 1 = ∆0 sinh δ (2.120)

と書ける．よって

k = k0 +(µ + U0) ∆0 sinh δ

(~v)2 k0

(2.121)

となる．また

cosh δ = cos (iδ) (2.122)

sinh δ = −i sinh (iδ) (2.123)

の関係式において

−iδ = β (2.124)

で定義すると

cosh δ = cos β (2.125)

sinh δ = i sinh β (2.126)

となる．このとき

k = k0 +(µ + U0) ∆0 sinh δ

(~v)2 k0

= k0 + i(µ + U0) ∆0 sin β

(~v)2 k0

= k0 + iκ (2.127)

となり，E < ∆0のときの表式を使えることになる．以下では波動関数を求める．E < ∆0のときと同様にして，x方向の波数で κを落とすという近似を行う．

1. 電子で正方向波数は (k0 + iκ, q)だが，κは落とす．

eia =kx + iky√k2

x + k2y

=k0 + iq√k2

0 + q2=

~vµ+U0

k0 + i ~vµ+U0

q√(~vk0

µ+U0

)2

+(~vq

µ+U0

)2

=cos γ + i sin γ√cos2 γ + sin2 γ

= eiγ (2.128)

21


a

b

c

d

‖ 1

2

E∆0

+ sinh δ(E∆0

+ sinh δ)

eiγ

e−iφ

e−iφeiγ

=1

2

cosh δ + sinh δ

(cosh δ + sinh δ) eiγ

e−iφ

e−iφeiγ

‖ 1

2

eiβ

eiβeiγ

e−iφ

e−iφeiγ

(2.129)


Ψe+S =

1

2

eiβ

eiγ+iβ

e−iφ

eiγ−iφ


と書ける．

2. 電子で負方向波数は (−k0 − iκ, q)だが，κは落とす．

eia =−k0 + iq√

k20 + q2

= − cos γ + i sin γ = −e−iγ (2.131)


a

b

c

d

‖

1

2

−eiγeiβ

eiβ

−eiγe−iφ

e−iφ

(2.132)


Ψe−S =

1

2

eiβ

−eiβ−iγ

e−iφ

−e−iφ−iγ


と書ける．

3. ホールで正方向波数は (−k0 + iκ, q)だが，κは落とす．

e−ia =−k0 − iq√

k20 + q2

= − cos γ − i sin γ = −eiγ (2.134)

22


a

b

c

d

‖

1

2

−e−iγ (cos β − i sin β)

(cos β − i sin β)

−e−iγe−iφ

e−iφ

=

1

2

−eiγe−iβ

e−iβ

−eiγe−iφ

e−iφ

(2.135)


Ψh+S =

1

2

e−iβ

−e−iβ−iγ

e−iφ

−e−iφ−iγ


と書ける．

4. ホールで負方向波数は (k0 − iκ, q)だが，κは落とす．

e−ia =k0 − iq√k2

0 + q2

= cos γ − i sin γ = e−iγ (2.137)


a

b

c

d

‖

1

2

e−iγe−iβ

e−iβ

e−iγe−iφ

e−iφ

(2.138)


Ψh−S =

1

2

e−iβ

eiγ−iβ

e−iφ

eiγ−iφ


と書ける．

ここで U0 À µ, ∆0の条件で近似を行う．このとき γ = arcsin [~vq/ (U0 + µ)] → 0となるので，正方向に進む波動関数は

Ψe+S =

1

2

eiβ

eiβ

e−iφ

e−iφ


23

Ψh+S =

1

2

e−iβ

−e−iβ

e−iφ

−e−iφ


となる．

2.5 微分コンダクタンス前節で求めた波動関数を基にして，ここではグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における

散乱問題を考え，微分コンダクタンスを計算する．まず常伝導体側から超伝導体側に波数 kの電子を入射させることを考える．このとき常伝導体側の波動関数は，入射電子，ノーマル反射された電子，Andreev反射されたホールの線型結合で，

ψN = Ψe+N + rΨe−

N + rAΨh−N (2.142)

と書ける．超伝導体側ではU0 À µ, ∆0という条件を課しているため，散乱問題ではE = ES−の

バンドだけを考えればよい．したがって，超伝導体側の波動関数は，電子及びホールとして透過した波動関数の線型結合で

ψS = aΨe+S + bΨh+

S (2.143)

と書ける．波動関数の接続条件は x = 0において値が等しいことである．すなわち

Ψe+N + rΨe−

N + rAΨh−N = aΨe+

S + bΨh+S (2.144)

である．波数 kのホールを入射させた場合についても同様にして，波動関数を接続させると

Ψh+N + r′Ψh−

N + r′AΨe−S = a′Ψe+

S + b′Ψh+S (2.145)

となる．2式より，ノーマル反射係数とAndreev反射係数は以下のように求まる．

rA =

e−iφX−1 cos α if |α| < αc

0 if |α| > αc

(2.146)

αc = arcsin

( |E − µ|E + µ

)(2.147)

r = iX−1

[cos β sin

(α′ + α

2

)− i sin β sin

(α′ − α

2

)](2.148)

r′A =

eiφX−1 cos α′ if |α| < αc

0 if |α| > αc

(2.149)

24

r′ = iX−1

[cos β sin

(α′ + α

2

)+ i sin β sin

(α′ − α

2

)](2.150)

X = cos β cos

(α′ − α

2

)+ i sin β cos

(α′ + α

2

)(2.151)

ここで反射係数に速度の補正を加える．常伝導体側における，電子とホールのx方向の速度は

vex+ =

1

~∂Ee

+

∂k= v

k√k2 + q2

= v~vk

E + µ= v cos α (2.152)

vex− =

1

~∂Ee

−∂k

= −vk√

k2 + q2= −v cos α (2.153)

vhx+ =

1

~∂Eh

+

∂k′= v

k′√k′2 + q2

= v~vk′

E − µ= v cos α′ (2.154)

vhx− =

1

~∂Eh

−∂k′

= −vk′√

k′2 + q2= −v cos α′ (2.155)

となる．これより，速度の補正を加えた反射係数は以下のように求まる．

r =

√∣∣∣∣ve

x−ve

x+

∣∣∣∣r = r = iX−1

[cos β sin

(α′ + α

2

)− i sin β sin

(α′ − α

2

)](2.156)

rA =

√∣∣∣∣vh

x−ve

x+

∣∣∣∣rA =

√cos α′

cos αrA =

e−iφX−1

√cos α cos α′ if |α| < αc

0 if |α| > αc

(2.157)

r′ =

√∣∣∣∣vh

x−vh

x+

∣∣∣∣r′ = r′ = iX−1

[cos β sin

(α′ + α

2

)+ i sin β sin

(α′ − α

2

)](2.158)

r′A =

√∣∣∣∣ve

x−vh

x+

∣∣∣∣r′A =

√cos α

cos α′r′A = e2iφrA (2.159)

反射行列

R =

(r r′ArA r′

)(2.160)

はE < ∆0のとき unitary性(RR†)

nm= δnmを満足していることを確かめられる．E > ∆0の

ときは，超伝導体側において電子の透過とホールの励起があるため unitaryではない．以下では入射角と反射角

α = arcsin

(~vq

E + µ

)(2.161)

α′ = arcsin

(~vq

E − µ

)(2.162)

に対して，µ À ∆0と µ ¿ ∆0の 2つの場合で近似を加える．

25

1. µ À ∆0のとき

α = arcsin

(~vq

µ

), α′ = arcsin

(~vq

−µ

)(2.163)

より

α′ = −α (2.164)

という関係式が得られる．

2. µ ¿ ∆0のとき

α = arcsin

(~vq

E

), α′ = arcsin

(~vq

E

)(2.165)

より

α′ = α (2.166)

という関係式が得られる．

次節で説明するように，µ À ∆0 すなわち α′ = −αの場合には通常のAndreev反射が生じており，µ ¿ ∆0すなわち α′ = αの場合には鏡面反射的Andreev反射が生じている．この 2つの場合における電子の散乱過程を図 2.6，図 2.7に示す．

E

µ

Fk− 0 F

k k

r Ar

E

EU ,00

∆>>+ µ

0∆

0k− 0 0

k k

図 2.6: µ À ∆0 (通常のAndreev反射)の場合の電子の散乱過程．

角度の関係を代入することで，Andreev反射係数とノーマル反射係数はそれぞれ次のように求まる．

rA (E, α) =e−iφ cos α

(E/∆0) cos α + ζ, if µ À ∆0 (2.167)

rA (E, α) =e−iφ cos α

E/∆0 + ζ cos α, if µ ¿ ∆0 (2.168)

26

E

Arr

µ

Fk

Fk− k

E

00∆>>+ µU

0∆

0k− 0 0

k k0

図 2.7: µ ¿ ∆0 (鏡面反射的Andreev反射)の場合の電子の散乱過程．

r (E, α) =iζ sin α

(E/∆0) cos α + ζ, if µ À ∆0 (2.169)

r (E, α) =i (E/∆0) sin α

E/∆0 + ζ cos α, if µ ¿ ∆0 (2.170)

ζ =

√(E∆0

)2

− 1 if E > ∆0

i

√1−

(E∆0

)2

if E < ∆0

(2.171)

これより，E < ∆0の場合，|r|2 + |rA|2 = 1が成立していることが確かめられる．さらに，α = 0

の場合は，|rA|2 = 1が成立している．微分コンダクタンスはBlonder-Tinkham-Klapwijkの公式（以下ではBTK公式と呼ぶ）より計算できる．

∂I

∂V= g0 (V )

∫ αc

0

(1− |r (eV, α)|2 + |rA (eV, α)|2) cos αdα, (2.172)

g0 (V ) =4e2

hN (eV ) , N (E) =

(µ + E) W

π~v, αc = arcsin

( |E − µ|E + µ

)(2.173)

g0はバリスティックコンダクタンスで，N は伝導チャネル数，W は y方向の接合幅である．今の場合，µ À ∆0，µ ¿ ∆0のどちらにしても

αc = arcsin (1) =π

2(2.174)

となり，積分範囲は0 ≤ α <

π

2(2.175)

となる．

27

• µ À ∆0のとき，eV/∆0 ≡ x < 1に対して，

∂I

∂V× 1

g0 (V )=

∫ π/2

0

(1− |r (eV, α)|2 + |rA (eV, α)|2) cos αdα

=

43

if x = 0

2[

1x2 +

(1x2 − 1

)12x

ln∣∣x−1x+1

∣∣] if 0 < x < 1(2.176)

eV/∆0 ≡ x ≥ 1に対して，

∂I

∂V× 1

g0 (V )=

∫ π/2

0


=

2 if x = 1

2− π√

x2−1x

+ 2x2−1x

ln∣∣∣ x+1√

x2−1

∣∣∣ if x > 1(2.177)

• µ ¿ ∆0のとき，eV/∆0 ≡ x < 1に対して，

∂I

∂V× 1

g0 (V )=

∫ π/2

0


=

2 if x = 0

2[

11−x2 + x2

2(1−x2)√

1−x2 ln∣∣∣√

1−x2−1√1−x2+1

∣∣∣]

if 0 < x < 1(2.178)

eV/∆0 ≡ x ≥ 1に対して，

∂I

∂V× 1

g0 (V )=

∫ π/2

0


=

43

if x = 1

πχ + 4χ2 − 2πχ3 + 4χ2√

χ2 − 1 arcsin

(√χ2−1

χ

)if x > 1

(2.179)

χ =x√

x2 − 1(2.180)

と計算できる．図 2.8に印加電圧の関数として，規格化した微分コンダクタンスを示した．

2.6 鏡面反射的Andreev反射の起源常伝導体側の分散関係は，電子について

E = Ee± = −µ± ~v |k| (2.181)

ホールについて

E = Eh± = µ± ~v |k| (2.182)

28

2

1.5

0∆>>µ

0∆<<µ

()

V1

0g

VI

×∂

∂

( )2

0eV ∆

110

図 2.8: µ À ∆0（通常のAndreev反射）と µ ¿ ∆0（鏡面反射的Andreev反射）の 2つの場合の微分コンダクタンス．

である．それぞれのバンドに対して，図 1.2における入射電子と反射ホールの y方向の速度を計算すると

ve+y =

1

~∂Ee

+

∂q= v

q√k2

x + q2= v

E+µ~v∣∣E+µ~v

∣∣ sin α = v sin α (2.183)

ve−y =

1

~∂Ee

−∂q

= −vq√

k2x + q2

= −vE+µ~v∣∣E+µ~v

∣∣ sin α = v sin α (2.184)

vh+y =

1

~∂Eh

+

∂q= v

q√k2

x + q2= v

E−µ~v∣∣E−µ~v

∣∣ sin α′ = v sin α′ (2.185)

vh−y =

1

~∂Eh

−∂q

= vq√

k2x + q2

= −vE−µ~v∣∣E−µ~v

∣∣ sin α′ = v sin α′ (2.186)

となる．2.5節の 2つ近似を加えた場合におけるホールの y方向の速度を考える．

1. µ À ∆0のとき α′ = −αとなる．よってこのときAndreev反射された holeの y方向の速度は符号変化する．したがって通常のAndreev反射が起きる．

2. µ ¿ ∆0のとき α′ = αとなる．よってこのときAndreev反射された holeの y方向の速度は符号変化しない．したがって鏡面反射的Andreev反射が起きる．

このように，入射角 αと反射角 α′の関係によって，通常の Andreev反射が起きているか鏡面反射的Andreev反射が起きているかを識別することができる．

29

第3章グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合

第 3章では，グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における量子輸送現象の理解に基づき，グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合における量子輸送現象を解明する．

3.1 DBdG方程式を用いたグラフェン上の強磁性体/超伝導体接合の記述

図 3.1のように，常伝導体/超伝導体接合のモデルに対して，x < 0の領域にさらに強磁性体を取り付けたモデルを考える．このとき x < 0の領域のグラフェンは交換ポテンシャルの影響

xy0

図 3.1: グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合のモデル．Fは強磁性体化したグラフェン，Sは超伝導体化したグラフェンであることを意味する．

を受け，強磁性体化すると考える．まずはじめに↑スピンの入射電子に対するDBdG方程式を考える．この場合，付録よりDBdG方程式には以下のように交換ポテンシャルVex (r)が加わる．

[H+ + Vex (r) ∆

∆∗ −H+ + Vex (r)

][u↑v↓

]= E

[u↑v↓

](3.1)


Vex (r) =

0 if x > 0

Vex if x < 0(3.3)

30

∆ (r)，U (r)には以前と同じ条件を課す．

∆ (r) =

∆0e

iφ if x > 0

0 if x < 0(3.4)

U (r) =

−U0 if x > 0

0 if x < 0(3.5)

U0 À µ, ∆0 (3.6)

このとき，超伝導体側の分散関係と波動関数は変更を受けないので，以前と同じ表式を用いることができる．強磁性体側では，十分解として平面波 (u, v)× exp (ikxx + ikyy) を代入すると，エネルギー固有値は電子に対して

∣∣∣∣∣−µ− E + Vex ~v (kx − iky)

~v (kx + iky) −µ− E + Vex

∣∣∣∣∣ = 0 (3.7)

E = Ee± = −µ + Vex ± ~v |k| (3.8)

ホールに対して ∣∣∣∣∣µ− E + Vex −~v (kx − iky)

−~v (kx + iky) µ− E + Vex

∣∣∣∣∣ = 0 (3.9)

E = Eh± = µ + Vex ± ~v |k| (3.10)

と求まる．図 3.2に強磁性体側の分散関係を示す．これより，交換ポテンシャルの影響により

E

exV+µ

0

kexV+− µ

図 3.2: 強磁性体側の分散関係．赤は↑スピン電子，青はAndreev反射された↓スピンホールの分散を表す．

フェルミ面が Vexだけずれることが分かる．このフェルミ面のずれは，エネルギーに対して

E → E − Vex (3.11)

31

という置き換えをすることに等しい．したがって，α, k, α′, k′をそれぞれ，

α = arcsin

[~vq

E + µ− Vex

], k =

E + µ− Vex

~vcos α

α′ = arcsin

[~vq

E − µ− Vex

], k′ =

E − µ− Vex

~vcos α (3.12)

と定義し直すと，波動関数はグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合時と同じ表式を用いることができる．波動関数の表式が同じなので，ノーマル反射係数とAndreev反射係数も以下のように同じ表式として求まる．

r = iX−1

[cos β sin

(α′ + α

2

)− i sin β sin

(α′ − α

2

)](3.13)

rA =

e−iφX−1


0 if |α| > αc

(3.14)

X = cos β cos

(α′ − α

2

)+ i sin β cos

(α′ + α

2

)(3.15)

伝導チャネル数N と臨界角 αcは以下のように変更を受ける．

N− (E) =|µ + E − Vex|W

π~v, αc− = arcsin

( |E − µ− Vex||E + µ− Vex|

)(3.16)

次に↓スピンの入射電子に対しては，付録より DBdG方程式には以下のように交換ポテンシャルとペアポテンシャルに負号が付く．

[H+ − Vex (r) −∆

−∆∗ −H+ − Vex (r)

][u↓v↑

]= E

[u↓v↑

](3.17)

したがって，強磁性体側のエネルギー固有値は電子に対して

E = Ee± = −µ− Vex ± ~v |k| (3.18)

ホールに対してE = Eh

± = µ− Vex ± ~v |k| (3.19)

と求まる．図 3.3に分散関係を示す．このように↓スピンの入射電子に対しては，↑スピンの入射電子とは反対方向にフェルミ面がずれる．このフェルミ面のずれはエネルギーに対して

E → E + Vex (3.20)

という置き換えをすることに等しい．したがって，α, k, α′, k′をそれぞれ

α = arcsin

[~vq

E + µ + Vex

], k =

E + µ + Vex

~vcos α

α′ = arcsin

[~vq

E − µ + Vex

], k′ =

E − µ + Vex

~vcos α (3.21)

32

E

exV−µ

0 k

exV−− µ

図 3.3: 強磁性体側の分散関係．赤は↓スピン電子，青はAndreev反射された↑スピンホールの分散を表す．

と定義し直すことで，波動関数は同じ表式を用いることができる．ペアポテンシャルの負号は，位相に対して

φ → φ + π (3.22)

という置き換えをすることに等しい．よってノーマル反射係数は φに依存しないため同じ表式として求まり，Andreev反射係数は

rA =

e−i(φ+π)X−1


0 if |α| > αc

(3.23)

と求まる．伝導チャネル数N と臨界角 αcは以下のように変更を受ける．

N+ (E) =|µ + E + Vex|W

π~v, αc+ = arcsin

( |E − µ + Vex||E + µ + Vex|

)(3.24)

3.2 結果以上の条件のもとで微分コンダクタンスを計算する．微分コンダクタンスは BTK公式より以下のように与えられる．

∂I

∂V=

2e2

h

∑s=±1

Ns (eV )

∫ αc

0

(1− |r (eV, α)|2 + |rA (eV, α)|2) cos αdα, (3.25)

Ns (E) =|µ + E + sVex|W

π~v, αcs = arcsin

( |E − µ + sVex||E + µ + sVex|

)(3.26)

s = ±1は入射電子のスピンを識別する量にである．ここで，Fermiエネルギー µ → 0の極限を考える．この極限は通常の金属においては考えることができないが，グラフェンにおいては1.2節よりK点及びK’点でのFermiエネルギーは零であり，その近傍においても電子とホールのドープによって Fermiエネルギーを零にすることができるので，この極限を考えることができる．このとき s = ±1のどちらに対しても入射角 αと反射角 α′の関係は

α = α′ (3.27)

33

となる．これは 2.6節より，鏡面反射的Andreev反射が起きることを意味している．臨界角αcs

は

αcs = arcsin (1) =π

2(3.28)

となるので，微分コンダクタンスは

∂I

∂V=

2e2

h· W

π~v· (|eV + Vex|+ |eV − Vex|)

∫ π/2

0

(1− |r (eV, α)|2 + |rA (eV, α)|2) cos αdα,

(3.29)

Ns (E) =|µ + E + sVex|W

π~v, αcs = arcsin

( |E − µ + sVex||E + µ + sVex|

)(3.30)

となる．積分は α = α′の条件のもとで解析的に計算できて，グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における値と同じになる．すなわち

• eV/∆0 ≡ x < 1に対して，

∫ π/2

0


=

2 if x = 0

2[

11−x2 + x2

2(1−x2)√

1−x2 ln∣∣∣√

1−x2−1√1−x2+1

∣∣∣]

if 0 < x < 1(3.31)

• eV/∆0 ≡ x ≥ 1に対して，

∫ π/2

0


=

43

if x = 1

πχ + 4χ2 − 2πχ3 + 4χ2√

χ2 − 1 arcsin

(√χ2−1

χ

)if x > 1

(3.32)

χ =x√

x2 − 1(3.33)

となる．バリスティックコンダクタンスは，エネルギーの大小によって変化することがわかる．eV ' ∆0であるので

• ∆0 > Vexのとき

|eV + Vex|+ |eV − Vex| = 2eV (3.34)

• ∆0 < Vexのとき

|eV + Vex|+ |eV − Vex| = 2Vex (3.35)

34

となる．この様に，グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合においては，ペアポテンシャルと交換ポテンシャルの大きさによって微分コンダクタンスのエネルギー依存性が変化することがわかる．以下では∆0 < Vexの場合について考察する．通常，強磁性体の交換ポテンシャルはAndreev

反射を抑制する働きがあることが知られている [9]．そのため強磁性体/超伝導体接合における微分コンダクタンスの値は，Vexが大きくなるにつれて減少し，Vex = µにおいて 0となる．ところがグラフェン上の強磁性体/超伝導体接合においては，(3.35)式より

∂I

∂V∝ Vex (3.36)

となり，交換ポテンシャルが大きくなると微分コンダクタンスがそれに比例して増大するという通常とは逆の性質が現れることがわかった．

35

第4章本研究のまとめと今後の展望

グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合において，Fermiエネルギー µ → 0の極限をとると，電子の入射角 αとホールの反射角 α′との関係が α = α′となり，鏡面反射的Andreev反射が起きることがわかった．また，ペアポテンシャルと交換ポテンシャルの大小関係が∆0 < Vexのとき，微分コンダクタンスが交換ポテンシャルに比例して増大するという，通常とは逆の性質が現れることがわかった．今後の課題としては，

• 具体的に微分コンダクタンスを数値計算を用いて書いていくこと

• µが有限の場合についてはどうなるかを解析していくこと

が挙げられる．

36

付録

Dirac-Bogoliubov-de Gennes方程式（DBdG方程式）の導出Fermi準位付近のグラフェンの波動関数は，K点とK’点における確率振幅を用いて

ψ (r, µ, α) =1√2

Fµ (r, α) eiK·r + Gµ (r, α) eiK′·r

=1√2

Fµ (r, α) eiK·r + Gµ (r, α) e−iK·r (1)

ψ† (r′, ν, α) =1√2

F †

ν (r′, α) e−iK·r′ + G†ν (r′, α) eiK·r′

(2)

µ, ν = A,B (3)

と書ける．途中K′ = −Kであることを用いた．K点の波動関数，K’点の波動関数はそれぞれ，

F (r, α) =

(FA (r, α)

FB (r, α)

)(4)

G (r, α) =

(GA (r, α)

GB (r, α)

)(5)

α, β =↑, ↓ (6)

である．第 2量子化の際には，次のような反交換関係を課す．

Fµ (r, α) , F †

ν (r′, β)

+= δµ,ν δ (r− r′) δα,β (7)

Fµ (r, α) , Fν (r′, β)+ = 0 (8)Gµ (r, α) , G†

ν (r′, β)

+= δµ,ν δ (r− r′) δα,β (9)

Gµ (r, α) , Gν (r′, β)+ = 0 (10)

Fµ (r, α) , Gν (r′, β)+ = 0 (11)Fµ (r, α) , G†

ν (r′, β)

+= 0 (12)

ただし

δµ,ν δ (r− r′) = δ (r− r′) (13)

37

である．このとき，元の演算子はψµ (r, α) , ψ†ν (r′, β)

+

= δµ,ν δ (r− r′) δα,β (14)

ψµ (r, α) , ψν (r′, β)+ = 0 (15)

を満足する．K点，K’点の波動関数に対する一体のHamiltonianは 2次元Dirac Hamiltonianである．

H+ = −i~vσ ·D− µ = −i~v (σxDx + σyDy)− µ (16)

H− = −i~vσ∗ ·D− µ = −i~v (σxDx − σyDy)− µ (17)

ただし，±はK点及びK’点の指標，D = ∇− i e~cAはゲージ不変の微分演算子，vはグラフェ

ンにおけるエネルギーに依存しない速度，µは Fermiエネルギーを表す．スピン自由度も含めた Schrodinger方程式は

H+ 0

0 H−0

0 H+ 0

0 H−

F (r, ↑)G (r, ↑)F (r, ↓)G (r, ↓)

= E

F (r, ↑)G (r, ↑)F (r, ↓)G (r, ↓)

(18)

と書ける．第 2量子化の型式で，交換ポテンシャル V を入れた場合のHamiltonianは，

H1 =

∫dr

[F † (r, ↑) G† (r, ↑) F † (r, ↓) G† (r, ↓)

]

H+ + V 0

0 H− + V0

0 H+ − V 0

0 H− − V

F (r, ↑)G (r, ↑)F (r, ↓)G (r, ↓)

(19)

となる．ここで∫drF † (r, α)

(H+ + V

)F (r, α)

=

∫drF † (r, α) (−i~vσ ·D) F (r, α) +

∫drF † (r, α) (−µ + V ) F (r, α) (20)

について，1項目は∫drF † (r, α) (σ ·D) F (r, α)

=

∫dr

∫dr′

[F †

A (r, α) F †B (r, α)

]δ (r− r′)

(0 Dx − iDy

Dx + iDy 0

)

r′

[FA (r′, α)

FB (r′, α)

]

=

∫dr

∫dr′δ (r− r′)

[(Dx + iDy)r′ F

†B (r, α) FA (r′, α) + (Dx − iDy)r′ F

†A (r, α) FB (r′, α)

]

= −∫

dr[(Dx + iDy) FA (r, α)F †

B (r, α) + (Dx − iDy) FB (r, α)F †A (r, α)

]

= −∫

dr[FA (r, α)

(−D∗x − iD∗

y

)F †

B (r, α) + FB (r, α)(−D∗

x + iD∗y

)F †

A (r, α)]

=

∫drF T (r, α) (σ∗ ·D∗)

F † (r, α)

T

(21)

38

と計算できる．途中，反交換関係と部分積分を用いた．2項目も反交換関係を用いることで∫

drF † (r, α) (−µ + V ) F (r, α)　　

= −∫

drF T (r, α) (−µ + V )

F † (r, α)T

(22)

と計算できる．よって∫

drF † (r, α)(H+ + V

)F (r, α)

=

∫drF T (r, α) [−i~vσ∗ ·D∗ − (−µ + V )]

F † (r, α)

T

=

∫drF T (r, α)

(−H∗

+ − V)

F † (r, α)T

(23)

となる．同様にして∫

drG† (r, α)(H− + V

)G (r, α) =

∫drGT (r, α)

(−H∗

− − V)

G† (r, α)T

(24)

となる．したがって

H1 =1

2

∫dr

[F † (r, ↑) G† (r, ↑) F † (r, ↓) G† (r, ↓) F (r, ↑)T G (r, ↑)T F (r, ↓)T G (r, ↓)T

]

×

H+ + V

H− + V

H+ − V

H− − V

0

0−H∗

+ − V

−H∗− − V

−H∗+ + V

−H∗− + V

×[

F † (r, ↑) G† (r, ↑) F † (r, ↓) G† (r, ↓) F (r, ↑)T G (r, ↑)T F (r, ↓)T G (r, ↓)T]†

(25)

と書き直せる．相互作用項は

H2 =1

2

∑

α,β

∫dr

∫dr′ψ†α (r) ψ†β (r′) g (r− r′) ψβ (r′) ψα (r) (26)

である．ここでは，spin-singletであることを仮定し

g (r− r′) = gδ (r− r′) = gδµ,ν δ (r− r′) (27)

とする．gは負の定数で，引力相互作用であることを表わしている．このとき，反交換関係を

39

用いて

H2 =1

2

∑α

∫drψ† (r, µ, α) ψ† (r, µ, α) gψ (r, µ, α) ψ (r, µ, α)

=g

2

∫drψ† (r, µ, ↑) ψ† (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↑)+ψ† (r, µ, ↓) ψ† (r, µ, ↑) ψ (r, µ, ↑) ψ (r, µ, ↓)

= g

∫dr

ψ† (r, µ, ↑) ψ† (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↑) (28)

となる．ここで平均場近似を行う．秩序変数は

∆ = g〈ψ (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↑)〉 (29)

∆∗ = g〈ψ† (r, µ, ↑) ψ† (r, µ, ↓)〉 (30)

である．以下のように，

ψ (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↑) → ∆

g+

[ψ (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↑)− ∆

g

](31)

ψ† (r, µ, ↑) ψ† (r, µ, ↓) → ∆∗

g+

[ψ† (r, µ, ↑) ψ† (r, µ, ↓)− ∆∗

g

](32)

と置き換えて，[...]の 1次で展開すると

ψ† (r, µ, ↑) ψ† (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↑)

=∆∗

gψ (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↑) +

∆

gψ† (r, µ, ↑) ψ† (r, µ, ↓)− |∆|2

g2(33)

となる．定数項を落とすことで，

H2 =

∫dr

∆∗ψ (r, µ, ↓) ψ (r, µ, ↑) + ∆ψ† (r, µ, ↑) ψ† (r, µ, ↓)

=1

2

∫dr[∆∗

Fµ (r, ↓) eiK·r + Gµ (r, ↓) e−iK·rFµ (r, ↑) eiK·r + Gµ (r, ↑) e−iK·r

+∆F †

µ (r, ↑) e−iK·r + Gµ (r, ↑) eiK·rF †

µ (r, ↓) e−iK·r + Gµ (r, ↓) eiK·r ] (34)

=1

2

∫dr[∆∗ Fµ (r, ↓) Gµ (r, ↑) + Gµ (r, ↓) Fµ (r, ↑)

+∆F †

µ (r, ↑) G†µ (r, ↓) + G†

µ (r, ↑) F †µ (r, ↓)

+∆∗ Fµ (r, ↓) Fµ (r, ↑) e2iK·r + Gµ (r, ↓) Gµ (r, ↑) e−2iK·r

+∆F †

µ (r, ↑) F †µ (r, ↓) e−2iK·r + G†

µ (r, ↑) G†µ (r, ↓) e2iK·r ] (35)

となる．ここで，〈FF 〉, 〈GG〉という平均場は，空間的に激しい振動をするオーダーになり，実

40

際にはエネルギーが高くて不可能である．したがってこの項を落とすことで，

H2 =1

2

∫dr[∆∗ Fµ (r, ↓) Gµ (r, ↑) + Gµ (r, ↓) Fµ (r, ↑)

+∆F †

µ (r, ↑) G†µ (r, ↓) + G†

µ (r, ↑) F †µ (r, ↓) ] (36)

=1

2

∫dr[ ∆∗

2Fµ (r, ↓) Gµ (r, ↑) + Gµ (r, ↓) Fµ (r, ↑)

−Gµ (r, ↑) Fµ (r, ↓)− Fµ (r, ↑) Gµ (r, ↓)+

∆

2F †

µ (r, ↑) G†µ (r, ↓) + G†

µ (r, ↑) F †µ (r, ↓)

−G†µ (r, ↓) F †

µ (r, ↑)− F †µ (r, ↓) G†

µ (r, ↑)] (37)

=1

2

∫dr


]

×

0∆2

∆2

−∆2

−∆2

−∆∗2

−∆∗2

∆∗2

∆∗2

0

F (r, ↑)G (r, ↑)F (r, ↓)G (r, ↓)

F † (r, ↑)T

G† (r, ↑)T

F † (r, ↓)T

G† (r, ↓)T

(38)

を得る．さらに∆ → 2∆の置き換えをすると，以下のような相互作用を取り入れたHamiltonian

を得る．

H = H1 + H2

=1

2

∫dr


]

×

H+ + V ∆

H− + V ∆

H+ − V −∆

H− − V −∆

−∆∗ −H∗+ − V

−∆∗ −H∗− − V

∆∗ −H∗+ + V

∆∗ −H∗− + V

×[

F † (r, ↑) G† (r, ↑) F † (r, ↓) G† (r, ↓) F (r, ↑)T G (r, ↑)T F (r, ↓)T G (r, ↓)T]†

(39)

ここから (1,1)，(1,8)，(8,1)，(8,8)成分を取り出してブロック対角化すると，BCS Hamiltonian

41

として

HBCS =

∫dr

[F † (r, ↑) G (r, ↓)T

]

×[

H+ + V ∆

∆∗ −H∗− + V

][F (r, ↑)

G† (r, ↓)T

](40)

が得られる．これより，十分解として平面波[

F (r, ↑)G (r, ↓)

]=

[f (r, ↑)g (r, ↓)

]eik·r (41)

を代入するとき，Hamiltonianで

−H∗− + V = −i~vσ ·D∗ + µ + V → i~vσ ·D∗ + µ + V (42)

という置き換えをすればよい．また，磁場がない状況を考えると，

D = ∇ (43)

であるので，上の置き換えは

−H∗− + V → i~vσ · ∇+ µ + V = −H+ + V (44)

となる．以上により，次のBdG方程式を得る．[

H+ + V ∆

∆∗ −H+ + V

][u↑v↓

]= E

[u↑v↓

](45)

u↑ =

[φA

φB

]

+↑, v↓ =

[φA

φB

]

−↓(46)

ただし，φはA及びB副格子における確率振幅である．この式から，K点の↑スピンをもつ入射電子に対してK’点に↓スピンをもつホールがAndreev反射されることがわかる．同様にして，(2,2)，(2,7)，(7,2)，(7,7)成分を取り出してブロック対角化すると次のBCS Hamil-

tonianを得る．

HBCS =

∫dr

[G† (r, ↑) F (r, ↓)T

]

×[

H− + V ∆

∆∗ −H∗+ + V

][G (r, ↑)

F † (r, ↓)T

](47)

十分解として[

G (r, ↑)F (r, ↓)

]=

[g (r, ↑)f (r, ↓)

]eik·r (48)

42

を代入するとき

−H∗+ + V = −i~vσ∗ ·D∗ + µ + V → i~vσ∗ ·D∗ + µ + V (49)

という置き換えを行う．これは，磁場がないときは

−H∗+ + V → −H− + V (50)

の置き換えに対応する．よって次のBdG方程式を得る．[

H− + V ∆

∆∗ −H− + V

][u↑v↓

]= E

[u↑v↓

](51)

u↑ =

[φA

φB

]

−↑, v↓ =

[φA

φB

]

+↓(52)

この式から，今度はK’点の↑スピンをもつ入射電子に対してK点に↓スピンをもつホールがAndreev反射されることがわかる．以上の 2つのBdG方程式は以下のようにまとめられる．

[H± + V ∆

∆∗ −H± + V

][u↑v↓

]= E

[u↑v↓

](53)

同様にして↓スピンをもつ入射電子に対するBdG方程式は，以下のように求まる．[

H± − V −∆

−∆∗ −H± − V

][u↓v↑

]= E

[u↓v↑

](54)

以上のBdG方程式は，H±がDirac Hamiltonianであることから，Dirac-Bogoliubov-de Gennes

方程式（DBdG方程式）と呼ぶ．K点とK’点は縮退しているため，どちらか一方を考えればよい．

43

謝辞この卒業論文を作成するにあたって，まず浅野泰寛先生には，研究手法から論文作成に至るまで，終始熱心に御指導して頂きましたことを感謝いたします．また，これまでの学生生活と，論文作成の途上において，御指導して頂きました先生方，有益な議論をさせて頂きました物性物理工学研究室の皆様，友人方に，感謝いたします．

44

参考文献

[1] P.G.de Gennes,“ Superconductivity of Metals and Alloys”,Benjamin,New York, (1966)．

[2] 田仲由喜夫, 浅野泰寛, 横山毅人, 『固体物理』42, 345 (2007)．

[3] C.W.J.Beenakker, Phys.Rev.Lett.97, 067007 (2006)．

[4] T.Ando, J.Phys.Soc.Jpn.74, 777 (2005)．

[5] 安藤恒也, 中西毅, 『カーボンナノチューブと量子効果』，岩波書店 (2007)

[6] K.S.Novoselov, A.K.Geim, S.V.Morozov, D.Jiang, M.I.Katsnelson, I.V.Grigorieva,

S.V.Dubons, and A.A.Firsov, Nature (London) 438, 197 (2005)

[7] Y.Zheng, Y.W.Tan, H.L.Stormer, and P. Kim, Nature (London) 438, 201 (2005)

[8] M.Ohishi, M.Shiraishi, R.Nouchi, T.Nozaki, T.Shinjo, and Y.Suzuki, Jpn.J.Appl.Phys.46,

L605 (2007)

[9] M.J.M.de Jong, and C.W.J.Beenakker, Phys.Rev.Lett.74, 1657 (2006)．

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グラフェン上の強磁性体 超伝導体接合 -...

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