アナログ変調の品質評価 外部雑音

自然界

人工雑音：イグニッション、蛍光灯雑音

内部雑音 ショット雑音(shot noise)：電子の不規則放出

スペクトルがある範囲で一定

Si(ω)=qI0 I0 :電流の平均値

熱雑音自由電子の不規則熱運動により生じ、スペクトルがある範囲で一定

Sv(ω)=2kTR (|ω|<<2π kT/h) （スペクトル密度）

スペクトルが一定の雑音は白色（はくしょく）雑音と呼ばれる

100MHｚ以下、ショット雑音、熱雑音→白色雑音

雑音の除去

帯域外の雑音

被変調波をフィルタに通させ、帯域外の雑音を

除去する

帯域通過雑音：フィルタを通した信号に含まれる雑音

狭帯域雑音：雑音の帯域が搬送波周波数と比べて十

分狭いとき

狭帯域雑音

n(t)=nc(t)cosωct-ns(t)sinωct

nc(t)は同相（搬送波と）成分、

ns(t)は直交成分

電力密度

cosωctをかけると

n(t) cosωct =1/2 nc(t)+1/2[nc(t) cos2ωct -

ns(t)sin2ωct]

[n(t) cosωct ]LP= 1/2 nc(t)

ただし、LP Low Pass

nc(t)の電力密度（電力スペクトル密度）

nc(t)の電力密度をSnc(ω),

n(t)の電力密度をSn(ω)とし

[n(t) cosωct ]LP= 1/2 nc(t)

[n(t)(ejωct +e-jωct)/2]LP= 1/2 nc(t)

[n(t)(ejωct +e-jωct)]LP= nc(t)

Snc(ω)= [n(t)(ejωct +e-jωct)]LPの電力スペクトル密度

= [Sn(ω-ωc)+ Sn(ω+ωc)]LP

同様ns(t)の電力密度、Sns(ω)

Sns(ω)= [Sn(ω-ωc)+ Sn(ω+ωc)]LP

nc2(t)の平均= ns

2(t)の平均n2(t)の平均= ½ ns

2(t)の平均+ ½ nc2(t)の平

均n2(t)の平均=ns

2(t)の平均=nc2(t)の平均

AMのSN比 アナログ変調方式の品質評価指数

SN比：Signal to Noise ratio

信号成分と雑音成分の平均(ωc一周期)電力の比

各変調波に対して入力と出力のSN比を求める

DSB-SCのSN比

復調器おける入出力のSN比の関係

入出力の信号の平均電力

Suppressed Carrier Double Side Band

maAs1(t)cos(ωct+θc)、 θcを0とし

検波器入力信号をsi(t)= f(t) cosωctで表し、その平均電力は

Si={f(t) cosωct}2=1/2 f(t)2

（pp.13 例題1.5）

同期検波器利用の場合

si(t)cosωct = f(t) cos2ωct

=1/2 f(t)+1/2 f(t)cos2ωct

低域フィルタを通して出力はs0(t)=1/2 f(t)となり

平均電力は

S0=1/4 f(t)2の平均=1/2Si

入出力の雑音の平均電力

狭帯域雑音のため

ni(t)= nc(t)cosωct-ns(t)sinωct

Ni=[1/2 nc(t)2 + 1/2 ns(t)

2]の平均

= n2i(t)の平均

出力雑音no(t)は[ni(t)cosωct]Lpであり、

no(t)=1/2 nc(t)

No=1/4 n2c(t)の平均 =1/4 n2

i(t)の平均= 1/4Ni

入力SN比と出力SN比の関係

So/No= 1/2Si /{1/4 Ni}

=2 Si/Ni

SSB-SCSuppreesed Carier Sigle Side Band

入力と出力（受信側から見る）のSN比の関係

si(t),Si , so(t), So , ni(t), Ni, no(t), No の定義

si(t)=f(t)cosωct±fˆ(t)sinωct

fˆ(t)：すべての周波数を渡ってf(t)の９０度移相

ヒルベルト表現：式（5.20）

Si=1/2f2(t)の平均+ 1/2{fˆ(t)}2の平均

fˆ(t)はf(t)より位相が異なるだけであるため

|F(ω)|2=|F^(ω)|2でf2(t)の平均={fˆ(t)}2の平均

Si=f2(t)の平均

SSB波を作る変調回路

～

出力

搬送波

変調信号

平衡変調器1

90°移相器

90°移相器

平衡変調器2

φ １

φ 2

+

±

φ1(t)= (Ama /2)cos{(ωm+ωc)t+θc}+(Ama /2)cos{(ωm-ωc)t+ θc}

φ2(t)= (Ama /2)cos{(ωm+ωc)t-π +θc} +(Ama /2)cos{(ωm-ωc)t+ θc}

φ1(t)+φ2(t)= Amacos{(ωm-ωc)t+ θc}

φ1(t)-φ2(t)= Amacos{(ωm+ωc)t+ θc}

同期検波からの出力信号:f(t)/2So=1/4 f2(t)の平均=1/4Si

雑音に関してDSB-SCと同じ:No=1/4 n2c(t)の平均 =1/4Ni

SN比So/No=Si/Ni

SSB-SCとDSB-SCの比較Sso, Ssi, Nso, Nsi

Sdo, Sdi, Ndo, Ndi

比較の前提条件：平均送信信号電力同じ： Ssi=Sdi

SSB-SCの場合は雑音の平均電力が半分になりNsi =Ndi/2SSB-SCの出力SN比：Sso/Nso=Ssi/Nsi= Sdi/(Ndi/2)= 2Sdi/Ndi= Sdo/Ndo

SSBはSDBより劣らない。

通常のAM

検波器入力信号をsi(t)とし、{A+f(t)}cosωctとな

る。

検波器入力は信号と雑音からなる

si(t)+ni(t)={A+f(t)+nc(t)}cosωct-ns(t)sinωct

=Re{R(t)ej(ωct+Ψ (t)）}

=R(t)cos(ωct+Ψ (t))

R(t)とΨ (t)はそれぞれ包絡線と位相と呼べれる

A+f(t)

R(t)

nc(t)

ns(t)

-ns(t)sinωct=ns(t)cos(ωct+π /2)

n(t)

Ψ(t)

R(t)とΨ (t)

R(t)=√{A+f(t)+nc(t)}2+ns

2(t)

Ψ (t)=tan-1[ns(t)/{A+f(t)+nc(t)}]

入力SN比が十分大きい場合：

A+f(t)>>nc(t), ns(t)

R(t)=A+f(t)+nc(t)

Ψ (t)=ns(t)/{A+f(t)+nc(t)}

となる。

A+f(t)

R(t)

nc(t)

ns(t)

-ns(t)sinωct=ns(t)cos(ωct+π /2)

n(t)

Ψ(t)

入力SN比が小さい場合：

A+f(t)<<nc(t), ns(t)

rn(t)=√nc2(t)＋ns

2(t)

θ (t)=tan-1[ns(t)/nc(t)]

R(t)=rn(t)+{A+f(t)}cos θ (t)

雑音の包絡線成分：優勢

不規則雑音成分cosθ (t)が

信号に掛けられ、必要な出力信号成分は抽出不可能

A+f(t)

R(t)

nc(t)

ns(t)

rn(t)θ(t)

FMのSN比 仮定：出力の信号電力と出力雑音電力が互いに独立計算できる。

広帯域FM波と白色雑音からなる場合に成立

入力の信号電力

si(t)=Acos{ωct+kf∫t f(τ )dτ }

平均電力 Si=1/2 A2

復調器出力（雑音なし）： si(t)の瞬時周波数と搬送波周波数の差に比例する。（ここで比例を１とする）

so(t)= d {ωct+kf∫t f(τ )dτ }/dt-ωc

=kff(t)

平均電力 So=k2f f2(t)の平均

雑音の平均電力広帯域FM波の帯域フィルタの帯域：2Δω

Rxx(0)=1/2π ∫Φ xx(ω )dω （pp32 式1.170）

Φ xx(ω )：パワスペクトル密度（ここではN/2とする）

Ni=NΔω/π

Noに関して

f(t)=0のとき

復調器の入力 {A+nc(t)}cosωct-ns(t)sinωct

=Re{R(t)ej(ωct+Ψ (t)）}

=R(t)cos(ωct+Ψ (t))

R(t)=√{A+nc(t)}2+ns

2(t)

Ψ (t)=tan-1[ns(t)/{A+nc(t)}]

Noに関して

R(t)=√{A+nc(t)}2+ns

2(t)

Ψ (t)=tan-1[ns(t)/{A+nc(t)}]

雑音が小さいとき A>> nc(t),ns(t)

Ψ (t)= ns(t)/A

復調器の出力は瞬時周波数の差

no(t)=dΨ(t)/dt=1/A dns(t)/dt

微分器の伝達関数H(ω)=jω

電力スペクトルSno(ω)を電力スペクトルSns(ω)で表示すると

Sno(ω)=1/A2 Sns(ω)|H(ω)|2=ω2/A2 Sns(ω)

Noに関して

Sno(ω)=ω2/A2 Sns(ω)

=ω2/A2 [Sni(ω-ωc)+ Sni(ω+ωc)]

帯域フィルタを通すことでf(t)の帯域外の雑音成分を除去され

るから|ω|≤ωmの時

Sno(ω)=ω2/A2 [Sni(ω-ωc)+ Sni(ω+ωc)]

|ω|>ωmの時、 Sno(ω)=0

白色雑音のため、Sni(ω-ωc)=Sni(ω+ωc)=N/2として

Sno(ω)=Nω 2/A2 (|ω|≤ωm) となり、放物線である。

No=1/2π ∫-ω mω m Nω 2/A2 dω =Nω m

3/(3pA2)

SN比

入力

Si=A2/2, Ni=NΔ ω /π

Si/Ni=π A2/(2NΔ ω )

出力

So=k2f f2(t)の平均, No=Nω m

3/(3pA2)

So/No=[3pA2k2f f2(t)の平均]/(Nω m

3)

従って入力、出力のSN比の関係

So/No=[6k2f Δ ω f2(t)の平均]/(ω m

3) ×Si/Ni

FMとAMのSN比を比較する

条件：

同じ情報信号電力 f2 (t)の平均

同じ雑音環境（白色雑音）： Sni=N/2

AMの場合 通常帯域フィルタ帯域2ω m

Ni=Nω m/π

AMの入出力のSN比関係から

(So/No)AM=π f2 (t)の平均/(Nω m)

FMのSo/Noを使って以下の関係が得られる。

(So/No)FM=3(Akf/ω m)2 ×(So/No)AM

f(t)=acosωmとして比較する

akf/ω m=Δ ω /ω m=mf

(So/No)FM=3mf2 ×(So/No)AM

FM変調はAMよりSN比は3mf2倍改善される

また、FM波の帯域幅 W=2(Δ ω +ω m)= 2ω m (Δ ω /ω m+1)= 2ω m (mf+1)

AMより(mf+1)倍の帯域幅が必要

mf=5の場合 (mf+1)=6、SN比の改善は3mf2 =75倍となる。

FMにおけるスレッショールド効果

A>>nc(t), ns(t)の条件を変えて

CN（Carrier to Noise ratio）が小さくなることを考える。

FM波の復調器の入力

si(t)+ni(t)=Acos{ωct+β(t)}

+rn(t)cos{ωct+θ(t)}

si(t)+ni(t)=Acos{ωct+β(t)}

+rn(t)cos{ωct+θ(t)}

フェイザーで表示すると

si(t)+ni(t)

=R(t)cos{ωct+θ(t)+α (t)}

α (t)=tan-1[Asin{β(t)-θ(t)}

/{rn(t)+Acos(β(t)- θ(t))}]

CN比が小さいため、

A<<rn(t)

α (t)= A/ rn(t) sin{β(t)-θ(t)}

復調器の出力

dθ(t)/dt+dα (t)/dt に比例する。

dθ(t)/dt は雑音である。 α (t)は雑音項 rn(t)、 θ(t)を含んでβ(t)を抽出できない

R(t)

rn(t)

β(t)

β(t)-θ(t)

θ(t)

α (t)

A

ns(t)

nc(t)

SN比の改善

出力雑音の電力スペクトルが放物線状に増大する。

変調信号が音声、音楽信号の場合には、低域が優勢であり、高域では減少している。

変調信号が小さい領域、雑音が大きい

改善方法：エンファシス

信号：preemphasisとdeemphasis回路を通す

preemphasis回路：高域強調

deemphasis回路：高域抑制

雑音： deemphasis回路を通すだけで高域雑音を抑制される

Deemphasis回路

伝達関数(vo/vi)

Hd(ω)=1/(1+jω/ω1)

ただし、ω1=1/RC

改善効果SN比を求める

Sno’(ω)= Nω 2/A2 |H(ω)|2

|ω|≤ωm

No’=1/2π ∫-ωm

ωm Sno’(ω)dω

= N/A2∫0ωmω2/{1+(ω/ω1)

2}dωω1

|H(ω)|

vi vo

SoとSo’は同じ

SN改善度Γ = (So’ /No

’)/ (So/No)

= (No/No’)

=1/3 {(ωm/ω1)3/[(ωm/ω1)-tan-1(ωm/ω1)]}

SN比改善度

ωm/ω1

アナログパルス変調のSN比

PAM

PAMの受信においては

信号がある空間に対して標本化、低域ろ波（LPF）が行われ、その部分の信号と雑音に対して同じである。

so2(t)の平均=k1

2 si2(t)の平均

no2(t)の平均=k1

2 ni2(t)の平均

従って So/No=Si/Ni

PTM

雑音によるパルス位置情報のずれ

є(t)/tr=ni(t)/A

є(t)はPPMにおける出力雑音となる

No= є2(t)の平均= (tr/A)2Ni

出力信号はf(t)に比例するため

S0=k22f2(t)の平均

k2は変調定数

信号の電力密度

Si=(τ /Ts)A2t

є(t)

tr

A

信号

信号+雑音

ni

しきい値

入出力のSN比の関係

So/No=Tsk22f2(t)の平均/(τ tr

2)×Si/Ni

tr：立ち上がり時間

trは伝送帯域(信号の周波数)に反比例するので帯域を広くとればtrは小さくなり、SNが改善される。