Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 40, nº 4, e4212 (2018)www.scielo.br/rbefDOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0020

Secao especial - Celebrando os 100 anos denascimento de Richard P. Feynman

cb

Licenca Creative Commons

Feynman, a superfluidez e a supercondutividadeFeynman, the superfluidity and the superconductivity

Paulo F. Farinas∗1

1Universidade Federal de Sao Carlos, Departamento de Fısica, Sao Carlos, SP, Brasil

Recebido em 21 de Janeiro, 2018. Revisado em 16 de Feveiro, 2018. Aceito em 20 de Fevereiro, 2018.

E apresentada uma exposicao breve e, na medida do possıvel, leve, das ideias em torno do entendimento dasuperfluidez e sua relacao com a supercondutividade, com destaque ao papel de Richard Feynman. Tenta-sefocalizar sobre o conteudo das ideias em vez dos apectos sociais e historicos, cuja abordagem ja popula a literatura.Palavras-chave: superfluidez, supercondutividade, Feynman.

A brief display of the ideas leading to the understanding of superfluidity, and its relation to superconductivity,is attempted, with focus on the role of Richard Feynman. Emphasis is tried to be put on the physical aspects,rather than on the sociological and historical ones, as the latter are extensively covered in the literature already.Keywords: superfluidity, superconductivity, Feynman.

1. Introducao

Em seu artigo publicado em numero especial da PhysicsToday no ano de 1989 [1], D. Pines descreve que entre oscerca de 14 artigos cientıficos publicados por Feynmannos anos de 1953 a 1958, dois relacionam-se com desen-volvimentos de seu trabalho anterior em eletrodinamicaquantica, sendo os outros 12 em fısica da materia con-densada. Destes ultimos, 10 tratam do helio lıquido, umaborda a relacao entre supercondutividade e superflui-dez e um lida com eletrons em cristais polares, cujasexcitacoes elementares constituem os hoje conhecidospolarons, tema de artigo nesta secao especial [2].

Este artigo lida com parte dessas contribuicoes rela-cionadas com os fenomenos da superfluidez. Exposicoesrelativamente didaticas de parte das ideias abordadasaqui podem ser encontradas nos livros de Feynman [3], demecanica estatıstica, e na parte 2 de mecanica estatısticado livro da colecao de Landau e Lifshitz [4].

Ao escrever sobre o conteudo fısico dos trabalhos quederam um impulso tao diferenciado para o entendimentode questoes fundamentais, fica claro, da releitura de partedesses trabalhos, que a generalidade e a elegancia dessasabordagens sao imensas. Portanto, e apresentado aqui oque poderia ser visto como uma tentativa de, decadasdepois, reproduzir parte desses argumentos presumindouma formacao mais condizente com o tempo e o espacoa que estao ligados os leitores da Revista Brasileira deEnsino de Fısica. Presume-se ser uma formacao maiscompleta em sua linguagem, mas possivelmente nao fa-miliarizada (em sua media) com argumentos tao geraise elegantes. Acredito que esta nao e uma caracterıstica

∗Endereco de correspondencia: farinas@df.ufscar.br.

exclusiva do estudante brasileiro de fısica, que hoje javem sendo exposto ao mesmo conteudo abordado emcursos de fısica mais tradicionais pelo mundo afora. Umapeculiaridade local esta, e claro, na lıngua adotada paraeste artigo.

Pensando um pouco, e possıvel que Feynman apre-ciasse uma homenagem a ele que tenta focalizar sobreo conteudo das ideias, reiterado na lıngua de uma cul-tura que o proprio Feynman experimentou durante umperıodo de sua vida [5–7]. Isto e tentado nas proximassecoes.

2. Helio 4

O helio foi “descoberto no Sol” antes de ser encontradona Terra. Sua descoberta, feita indiretamente pela ob-servacao das linhas espectrais da radiacao solar, engen-drou o seu nome, cuja raiz grega remete a palavra que emgrego significa “Sol”. A observacao ocorreu no inıcio dasegunda metade do seculo XIX e sua deteccao na Terracerca de dez anos mais tarde. A historia do elemento ebastante rica, em particular no que concerne aos aspectosbasicos do conhecimento que o seu estudo avancou, partedesses aspectos abordamos aqui. A Ref. [8] aborda a des-coberta da superfluidez do 4He e seus desenvolvimentosacademicos. Um resumo da historia mais geral, com seusdesdobramentos praticos e usos do elemento pode serlido na Ref. [9].

Dos nove isotopos hoje conhecidos do helio, dois saoestaveis, 4He e 3He, sendo o segundo muito menos abun-dante na Terra (por exemplo, estima-se que ha na atmos-fera cerca de 1 parte de 3He para 106 partes de 4He).

Copyright by Sociedade Brasileira de Fısica. Printed in Brazil.

e4212-2 Feynman, a superfluidez e a supercondutividade

O spin desses atomos (denominando “spin” a soma dosvalores das projecoes dos spins, sobre um eixo comum,dos protons, neutrons e eletrons que formam o atomo)resulta inteiro para o primeiro e semi-inteiro para o se-gundo. Esta propriedade de ter spin lıquido inteiro ousemi-inteiro diferencia partıculas da natureza nas duasclasses observadas, chamadas de bosons e fermions emhomenagem a dois grandes fısicos que tiveram atuacao di-reta no estabelecimento desses conceitos (S. N. Bose [10]e E. Fermi [11]). O que diferencia partıculas classificadascomo fermions e bosons e basicamente que os fermions,quando em conjunto, nunca partilham os numeros quecaracterizam completamente os seus estados, ja os bosonspodem ter numeros iguais. Em outras palavras, dado umunico nıvel completamente especificado pela energia (epossivelmente outros numeros quanticos), varios bosonspodem ocupar este nıvel, enquanto apenas um fermionestaria presente em um nıvel desse tipo. Atomos temextensao e movimentos internos, mas podemos trata-los como partıculas ao estudarmos sistemas em que osatomos experimentam processos que envolvem trocas deenergias muito pequenas comparadas com, por exemplo,a energia de ionizacao do atomo. E o caso dos atomosdo helio no estado lıquido, por exemplo, que abordamosaqui, que se torna lıquido a temperaturas bem baixas,da ordem de poucos K. A fase superfluida apenas seestabelece quando a temperatura e abaixada para poucomais do que 2 K para o 4He e pouco acima de 2 mK parao 3He.

Em 1908, H. K. Onnes (que depois descobriu a super-condutividade em 1911) liquefez o helio, abaixando suatemperatura para menos de 1 K a pressao ambiente. Emtrabalhos publicados em 1927 e 1932 [12,13], observou-seque a fase lıquida do 4He tinha comportamentos distintosquando se cruza uma linha de temperatura que hoje sesabe ser relativamente independente da pressao, conformemostra a Fig.1 em um diagrama de fases mais contem-poraneo. Isto originou a nomenclatura He I e He II, estaultima tendo sido reconhecida como a fase superfluidaem 1938, nos trabalhos de Kapitza, e independentemente,Allen e Meissner, que foram publicados lado a lado namesma edicao da Nature [14,15].

Para uma abordagem historica da descoberta da su-perfluidez, recomendamos, entre outras presentes aquique sao oportunamente citadas, a Ref. [16].

2.1. Superfluidez

A situacao do 4He no inıcio da decada de 1950 era a deum fluido conhecido, em que se descobriu uma transicaosuperfluida [14,15] cujo entendimento ainda estava emdesenvolvimento, mas ja havia avancado bastante. Asduas fases chamadas de He I (fase normal) e He II (fasesuperfluida) ja eram conhecidas. Um artigo de revisaode 1952 intitulado “Theories of He II” da uma ideia doconhecimento da epoca [17].

Como o nucleo do 4He tem spin total inteiro, seucomportamento em baixas energias (energias que nao saoaltas o suficiente para alterar o valor do spin) segue a

Figura 1: Diagrama de fases do 4He como se conhece hoje.

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 40, nº 4, e4212, 2018 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0020

Farinas e4212-3

estatıstica bosonica (contrariamente ao isotopo parente3He, que e um fermion).

A superfluidez de um lıquido pode ser entendida comoum estado em que todas as velocidades das partıculasdo lıquido tendem a ser iguais, para valores de veloci-dade abaixo de um certo valor crıtico acima do qualeste estado correlacionado torna-se instavel. Isto podeser imaginado como possıvel, inicialmente de forma bemqualitativa, pensando na mecanica quantica do sistema,como segue. Para que tenham as mesmas velocidadesem um estado, e que isto seja robusto, deve existir umnıvel quantico de energia isolado, com velocidade bemdefinida, e que permita a presenca de varias partıculasacomodadas (ou “presas”) nesse nıvel. “Presas” aqui sig-nifica que o nıvel tem a menor energia possıvel entretodas (e o estado fundamental), e que a distancia emenergia ate o proximo nıvel, com energia mais alta, esuficiente para que a temperatura nao possa promovermuitas partıculas para o nıvel mais alto (isto requer tem-peraturas baixas). Com esse cenario, que a mecanicaquantica permite, podemos imaginar todas as partıculasdo lıquido, abaixo de uma certa temperatura, “trancadas”em um nıvel de energia com velocidades identicas. Por-tanto, nao apenas a temperatura nao e suficiente paraalterar a velocidade do fluido, mas se houver eventu-ais impurezas e/ou interacoes de partıculas do lıquidocom, digamos, as paredes do capilar pelo qual ele flui,essas interacoes tem que ser intensas o suficiente paraque a troca de energia resultante do espalhamento pro-mova alguns dos componentes do lıquido para estados develocidade diferente. Este argumento e entendido maisdiretamente se considerarmos a invariancia de Galileu,que e uma invariancia (muito bem) aproximada que deveexistir entre referenciais inerciais para partıculas comvelocidades bem abaixo da velocidade da luz. No referen-cial em que o fluido esta parado, as paredes do capilarmovem-se com velocidade constante. Neste referencial,e o movimento das paredes que “tenta”, pela interacaodelas com o lıquido, acelerar este ultimo para um estadode velocidade nao nula. A fısica descrita neste referencialnao deve ser diferente da descrita no referencial original,em que as paredes permanecem estacionarias. Essas in-teracoes com as paredes (ou impurezas) devem transferirenergia e momento para o lıquido pelo surgimento deexcitacoes elementares do sistema, isto e, da promocaode partıculas (ou “quase-partıculas”) para estados deenergia mais alta. As caracterısticas do espectro ditam omodo como as trocas de energia podem ou nao ocorrer.

E importante salientar que o uso da invariancia deGalileu aqui para ilustrar o argumento nao e essencial.A conclusao geral e importante para o entendimentode muitos sistemas fısicos. Entre eles, ha um exemplointeressante ligado a area de tribologia: a observacaode que o atrito entre duas superfıcies, uma das quaispertencente a um material supercondutor, cai notavel-mente ao, diminuindo-se a temperatura, cruzar a tem-peratura em que o estado supercondutor se estabelece.

Este fenomeno esta ligado com a abertura de um gap deenergia e a fomacao de um estado correlacionado (umcondensado) dificultando o espalhamento pela excitacaode quase partıculas. A ideia e analoga ao que aconteceno superfluido, em que a interacao com a parede docapilar nao e suficiente para frear o lıquido. Citamosa Ref. [18] como ponto de partida para uma literaturamais ampla, e modelos confirmando ou diminuindo opapel desta analogia na explicacao dos detalhes que saoobservados nos diversos experimentos. Fenomenos comoeste sao manifestacoes diretas do modo como estados demovimento sao quantizados, e podem ser interpretadoscomo observacoes macroscopicas da mecanica quantica.

A conclusao sugere que um sistema quantico, em seu es-tado fundamental, precisa de excitacoes elementares (en-volvendo a dinamica de estados excitados no espectro deenergia) para que seu estado de movimento possa mudar.Neste caso tanto a mudanca no sentido de acelerar quantode frear o lıquido (esta ultima mais comumente imagi-nada, pelo decaimento natural resultante da interacaoviscosa com as paredes de um capilar) estao relacionadas,por invariancia de referenciais, com o mesmo fenomenomicroscopico. Se nao ha possibilidade de espalhamentosbem sucedidos, por nao haver energia suficiente para exci-tar esses modos, o sistema continua no seu estado originalde movimento. Basicamente, este e o fenomeno (tirantediferencas importantes nos detalhes) que esta por trasda supercondutividade e dos estados de resistencia nulado efeito Hall quantico, por exemplo. Possivelmente ouso de um argumento analogo a este, em outro contexto,e mais familiar ao leitor, que e o fato de que bandasde energia cheias nao permitem que eletrons conduzameletricidade. Neste caso os eletrons sao fermions, masa conclusao baseia-se no fato analogo de que nao haestados disponıveis para imprimir energia aos eletrons,a nao ser na proxima banda, vazia e energeticamentedifıcil de acessar, para isolantes, em que o gap de energiae relativamente grande.

O modelo nao interagente do condensado de Bose-Einstein, ja conhecido na epoca em que o entendimentoda superfluidez no 4He ainda estava no inıcio, tem ingre-dientes que sugerem um estado superfluido. Por exemplo,ha uma temperatura crıtica abaixo da qual todos os seuscomponentes estao em um unico nıvel de energia (o es-tado fundamental). O trabalho pioneiro de London [19],em 1938, relaciona o fenomeno de superfluidez no 4He,cujos atomos sao bosons, com a teoria do condensado deBose-Einstein de bosons nao interagentes (“gas de Bose-Einstein”). A ideia de London foi complementada pelateoria desenvolvida por Tisza [20], com um modelo dedois fluidos (a uma temperatura entre zero e a tempera-tura de transicao, pode-se representar o lıquido como umacombinacao de duas densidades, uma normal, constituıdapelas excitacoes elementares (ou quase-partıculas), quecarregam toda a entropia do lıquido, outra superfluida,com entropia nula e associada as demais partıculas, noestado condensado).

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0020 Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 40, nº 4, e4212, 2018

e4212-4 Feynman, a superfluidez e a supercondutividade

Entretanto, se prosseguirmos para refinar o argumentoqualitativo sobre o espectro de excitacoes elementaresque demos acima, que se deve a Landau [4], usando ainvariancia de Galileu para ilustrar o argumento, vamoschegar a importante conclusao de que um sistema nao-interagente, como e o gas de Bose-Einstein (ou mesmoum sistema interagente que mantenha uma dispersaoquadratica a baixas energias), nao pode sustentar demodo estavel um escoamento superfluido. Vejamos comoisto segue.

A energia do fluido com todas as partıculas a mesmavelocidade ~v, cujo modulo indicamos por v, e dada por

E0 = 12Mv2 + U = 1

2MP 20 + U,

onde M e a massa do fluido, ~P0 seu momento, e Uda conta de todos os termos nao-cineticos da energia.Ao interagir, digamos, com as paredes do tubo capilar,o surgimento de uma unica excitacao elementar commomento ~p e energia ε(~p) no fluido muda a sua energiapara

EF = 12M ( ~P0 + ~p)2 + U + ε(~p) = E0 + ~p · ~v + ε(~p),

ou∆E = EF − E0 = ~p · ~v + ε(~p), (1)

diferenca resultante da transferencia de momento e ener-gia para o sistema, suficientes para promover uma unicaexcitacao. Note que o termo p2/2M foi ignorado na ex-pressao acima. Podemos justificar isto argumentando queo momento ~p de uma unica excitacao elementar deve terseu modulo da ordem de p ∼ P0/N , onde N e o numerode partıculas do lıquido e P0 o modulo do momento totaldo lıquido. Portanto,

|~p · ~v| = |~p ·~P0M| ∼ 1

N

P 20M,

enquantop2

2M ∼ 12N2

P 20M.

Portanto, no limite termodinamico (N →∞ e o volumeV →∞, com a densidade N/V convergindo) desprezaro termo quadratico em p leva a um resultado exato.

A diferenca de energia deve ser negativa se a excitacaoelementar contribui para frear o lıquido. Portanto, acondicao para que exista superfluidez e que a diferencaseja positiva ou nula, isto e, ~p · ~v + ε(~p) ≥ 0. O menorvalor de ~p · ~v ocorre para ~p e ~v antiparalelos, logo acondicao pode ser posta em termos apenas dos modulos,−pv + ε(p) ≥ 0 e rescrita como

v ≤ ε(p)p. (2)

Esta condicao informa que para velocidades abaixo deum certo valor, nao e possıvel provocar excitacoes comum certo par momento-energia no lıquido.

A relacao (2) e apenas uma reafirmacao quantitativaacerca das hipoteses que usamos para definir a super-fluidez. A impossibilidade de excitacoes elementares porespalhamento (interacao com fontes externas, como asparedes de um capilar) e a presenca de um estado develocidade unica ocupado por todas as partıculas fo-ram impostas sobre o balanco de energia levando a estarelacao.

Ela contem uma informacao importante sobre a formada relacao de dispersao ε(p) das proprias excitacoes ele-mentares. Essa relacao deve satisfazer a desigualdadeoposta para que existam excitacoes, isto e,

ε(p)p≤ v, (3)

onde v e o modulo da velocidade do superfluido. Paraque haja esta limitacao, a curva do espectro de excitacoesde baixa energia tem que se aproximar de zero de formalinear. Apesar de um argumento grafico ser possıvel,podemos notar isto mais diretamente analisando a ex-pansao de ε(p). Supondo a funcao como analıtica, o quee razoavel, temos

ε(p) = ε0 + v1p+ bp2 + ...

ou aindaε(p)p

= ε0p

+ v1 + bp+ ...

Vemos que o primeiro termo diverge se ε0 6= 0, e naopode satisfazer a condicao (3), violando-a justamentequando p se torna pequeno. Com isto, vemos que ε0 = 0e o espectro deve ser do tipo

ε(p) = v1p+ bp2 + ...

Mas isto ainda nao exclui a possibilidade v1 = 0, porexemplo, o que sugeriria que um espectro quadraticoquando p→ 0 e consistente com estes argumentos. Note,porem, que se v1 = 0, a condicao (3) e satisfeita para ve-locidades arbitrariamente pequenas incluindo velocidadenula. Portanto, se v1 = 0 podemos ter excitacoes paraalguma faixa de valores de momentos arbitrariamentepequenos, para qualquer velocidade do fluido. A possibili-dade de excitacoes elementares para qualquer velocidade,por menor que seja, indica que o movimento e sempreatenuado e a superfluidez nao e estavel.

Em suma, para que satisfaca a desigualdade derivadadas condicoes para existencia de superfluidez, o espectrode excitacoes elementares de um lıquido deve ser lineara baixas energias. Na materia, este e o espectro queemerge para fonons longitudinais (ou “acusticos”). Asexcitacoes de mais baixa energia de um tal sistema saoos quanta de modos acusticos longitudinais. Isto excluiimediatamente qualquer sistema com espectro quadratico,como e o caso do gas de bosons. Portanto, apesar depossuir ingredientes essenciais para o entendimento decondensados fracamente interagentes, o modelo de gas

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 40, nº 4, e4212, 2018 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0020

Farinas e4212-5

de bosons nao e adequado para entender a superfluidezdo 4He.

O argumento que propoe o espectro foi feito de modomais sucinto e elegante por Landau em um trabalho [21]e sua complementacao [22] fitando resultados experimen-tais. Esses trabalhos fazem parte de um esforco que veioinfluenciar a mencao explıcita ao helio na justificava dadapelo comite do Nobel de Fısica ao escolher Landau comounico recipiente do premio no ano de 1962.

No que se refere ao espectro, o enfoque do trabalhooriginal [21] nao e como o dado aqui (a exposicao acimae mais alinhada com a que se encontra no livro de suacolecao [4]). A argumentacao original baseia-se no queFeynman, por exemplo, chamou de “quantizacao da hidro-dinamica”. Nele, Landau constroi operadores quanticospara quantidades tıpicas da dinamica classica de umfluido homogeneo, como a densidade ρ e a circulacaodo campo de velocidades ∇× v, e avalia as relacoes decomutacao entre esses observaveis (e entre suas compo-nentes, no caso de vetores). Referindo-se a uma analogiacom os operadores de momento angular (que acredita-mos que ele sabia nao ser necessaria, mas que encurtao caminho para o entendimento, numa epoca em quemesmo a quantizacao do momento angular ainda erarecente), ele conlcui que o espectro, quantizado, deve terum estado fundamental isolado com circulacao nula, por-tanto com escoamento potencial. Da mesma forma que asrelacoes de comutacao para o momento angular implicamna existencia de um espectro discreto com valores bemdefinidos, a circulacao satisfaz a relacoes de comutacaoanalogas as do momento angular, tendo portanto umespectro discreto. Rigorosamente, a conclusao logica dosseus argumentos nao implica que o estado com circulacaonula (escoamento potencial) e o de menor energia, elaapenas indica que existem estados com circulacao nulae outros com circulacao nao nula separados em um es-pectro discreto. Landau supos que o estado de circulacaonula seria o estado fundamental porque isto levava a umaexplicacao para a superfluidez. Um campo sem circulacaoe o que chamamos de campo longitudinal, um conceitoque surge quando decompomos um campo vetorial nasoma de um vetor transverso com um longitudinal (de-composicao de Helmholtz). As componentes de Fourier,δψ ∼ Ake

ik·r, de pequenas oscilacoes de um campo lon-gitudinal sao paralelas a direcao de propagacao k, ja que∇× δψ = 0 =⇒ k × δψ = 0. Portanto as perturbacoesde um campo longitudinal constituem modos longitudi-nais de compressao, cujos quanta sao fonons acusticos,com dispersao linear. Campos longitudinais nao podemsustentar outros tipos de oscilacao ja que, por definicao,os vetores de onda de perturbacoes a esses campos saoparalelos aos proprios campos. Este argumento permitiuque Landau derivasse de um modo muito geral o espectrode baixas energias. Alem disso, ele pode tambem avaliaras possıveis propriedades dos primeiros estados excitados,ja que estes sao estados com circulacao nao nula, o queleva a possibilidade de formacao de vortices para as ex-

citacoes de energia mais alta (portanto presumivelmentemais comuns para temperaturas nas proximidades datransicao). Isto se resume em um espectro com dois tiposde excitacoes elementares no superfluido: as de momentopequeno, constituıdas de fonons acusticos (dispersao li-near) e as de momento e energia mais altos que, por causada possibilidade de associarem circulacao nao nula, emcontraste com os fonons acusticos, foram chamadas de“rotons”. A Fig. 2 mostra um grafico do espectro previstopor Landau e os resultados experimentais que vieramconfirmar a previsao alguns anos depois.

Parte das crıticas a generalidade do trabalho de Lan-dau baseava-se no papel obscuro da estatıstica de Bose-Einstein em sua argumentacao. Usava-se como uma certa“garantia empırica”, ou um reforco ao argumento, o fatode que 3He nao se tornava superfluido, sendo que a ge-neralidade do argumento faz com que ele se estenda ao3He (com a diferenca de que fermions tem excitacoeselementares que aparecem em pares, ja que o momentoangular de qualquer sistema quantico varia sempre emmultiplos de ~, e fermions tem spin semi-inteiro). Maistarde, o 3He revelou tornar-se superfluido a temperaturastao mais baixas que a descoberta so viria a acontecer em1972 [24].

Em maior ou menor dosagem, tais crıticas podem serencontradas reproduzidas em textos de Feynman [3,25].Uma delas e a ausencia de um cenario microscopico nateoria de Landau: qual o papel objetivo da estatıstica?Como e a funcao de onda do superfluido? Estas sao per-guntas que foram respondidas por Feynman, avancandoo entendimento microscopico da superfluidez. Feynmanpode derivar as propriedades do superfluido fazendo ar-gumentos sobre a amplitude da funcao de onda, comespecial enfoque na simetria ditada pela estatıstica de

Figura 2: Espectro de excitacoes. do 4He obtido por espalha-mento de neutrons [23]. O mınimo em momentos mais altoscorresponde as excitacoes chamadas de rotons. Para momentospequenos, o espectro e linear o que corresponde a excitacoes cu-jos quanta sao fonons acusticos. A curva parabolica correspondeao espectro de partıculas nao interagentes com a massa do 4He.

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0020 Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 40, nº 4, e4212, 2018

e4212-6 Feynman, a superfluidez e a supercondutividade

Bose-Einstein, que impoe que a funcao nao troque de sinalpela troca dos numeros que identificam duas partıculase tambem no papel da interacao forte e de curto alcanceentre os atomos de helio.

2.2. Detalhes microscopicos - Feynman

Como vimos, a teoria de Landau e de uma generalidademuito ampla, e na epoca entendia-se que o papel daestatıstica bosonica ficava depreciado na abordagem dadapor Landau. Isto gerou alguma disputa academica entreas abordagens dadas por London e Tisza, que enfatizavamo papel da estatıstica de Bose-Einsten para a superfluidez,e a de Landau, que focalizava em argumentos mais gerais.Houve pelo menos um episodio, narrado na Ref. [26] queculminou com Landau e Tisza trocando “cartas para oeditor” em tom bastante escolastico, mas em que Landaucriticava toda a teoria de Tisza, e afirmava, em uma notade rodape que ela estava “inteiramente incorreta” [27,28].Em seu texto, Landau defende os aspectos de sua teoriaque eram alvo de alguma crıtica.

A contribuicao de Feynman para o entendimento dasuperfluidez a baixas temperaturas foi mostrar que osconceitos mais gerais da teoria de Landau emergiam defundamentos da mecanica quantica aplicada para umconjunto de bosons interagindo fortemente atraves deum potencial local. Na secao 11.3, pagina 321 da setimatiragem de seu livro de mecanica estatıstica [3], ele ar-gumenta de modo muito claro (que nao seria mais quemera reproducao repetir aqui) e nos leva as propriedadesessenciais da amplitude (funcao de onda) do estado fun-damental, ϕ(r1, r2, ..., rN ) de um sistema de N bosonsinteragentes, com posicoes denotadas pelas 3N coorde-nadas ri’s. Ele conclui por argumentos relativamentesimples e hoje comuns em cursos de mecanica quantica,que o estado fundamental e nao-degenerado, e que a suaamplitude ϕ deve ser simetrica (por troca de posicoes),real, sempre positiva, grande quando a configuracao ehomogenea (atomos separados ao maximo) e pequenapara configuracoes que tem atomos proximos ou comorbitais sobrepostos.

Os mesmos argumentos aplicados para o primeiro es-tado excitado, levam Feynman a concluir que sua am-plitude ψ tem as mesmas propriedades de ϕ exceto sersempre positiva. Para o primeiro estado excitado, ψ deveter um nodo (em relacao a variacao de uma unica coor-denada com as outras 3N − 1 fixas). Como o primeiroestado excitado (amplitude ψ) deve ser ortogonal ao es-tado fundamental (amplitude ϕ), a integral de ϕψ sobretodas as configuracoes deve ser igual a zero. Para isto, ψdeve ser positiva para cerca de metade das configuracoese negativa para as demais (pois ϕ e positiva para todasas configuracoes). A contribuicao de configuracoes taisque algumas poucas tem amplitude ψ grande e positivae as demais tem amplitude pequena e negativa, mas emmaior numero (o que matematicamente tambem zera aintegral), sao descartadas por terem derivadas espaciais

maiores associadas a elas, como o argumento adianteesclarece estar em desacordo com a restricao impostapelo criterio de baixa energia.

Para demonstrar que o espectro de excitacoes de baixaenergia so pode conter flutuacoes longitudinais de den-sidade, Feynman faz um argumento que pode ser cons-truıdo se supomos que, em geral, as flutuacoes de den-sidade sao, digamos, proporcionais a |ψ|2, ja que ψ e aamplitude do primeiro estado excitado. A energia do es-tado fundamental, sendo a mais baixa, e escolhida comosendo igual a zero. Todos os estados excitados tem ener-gia positiva, e estamos interessados no de mais baixaenergia entre eles, que chamamos de primeiro, usando aenergia como criterio de ordenamento. Para que ψ sejaum autoestado de baixa energia, suas derivadas espaciaisdevem ser pequenas, o que se conclui simplesmente domodo como essas derivadas e a energia do autoestado deamplitude ψ estao arranjadas na equacao de Schrodin-ger do sistema de muitos corpos. Feynman analisa comoessas derivadas mudam de valor, imaginando mudancasnas configuracoes dos atomos, isto e, imaginando vari-ados conjuntos {r1, ...rN}, com possıveis trocas e per-mutacoes das posicoes que aparecem no argumento deψ e as consequentes variacoes produzidas em ψ. Quaistrocas feitas nesse conjunto produzem as menores va-riacoes de ψ? Essas trocas de configuracao que fazemψ variar sao fortemente restringidas pela condicao dehomogeneidade (por causa do caroco de interacao fortee repulsiva entre os atomos) e tambem pela estatıstica.Trocas em que os atomos movem-se pouco mas tendem aaproximar-se devem gerar grandes variacoes pela primeiracondicao (interacao), e sao descartadas, enquanto trocasque envolvem atomos distantes apenas permutando suasposicoes mantem ψ inalterada. Sobram, como possıveispara contribuir com as flutuacoes da densidade, trocasentre atomos distantes mas com pequenas variacoes nasposicoes originais, de modo que atomos vizinhos tambemse rearranjem para manter o maximo de homogeneidade,evitando variacoes rapidas de amplitude por causa da in-teracao forte, com caroco repulsivo, entre os atomos. Estetipo flutuacao e satisfeito maximamente por vibracoeslongitudinais, e tanto mais satisfeito quanto maior fi-zermos o comprimento de onda (associado a escala dedistancia da variacao das posicoes dos atomos). Espectrosconcavos sao, para momentos suficientemente pequenos,uma aproximacao do caso parabolico (nao interagente),isto e, sempre associam excitacoes de partıcula livre paraalgum valor de momento suficientemente pequeno. Istopermite trocas com energias ainda menores, mas elesestao excluıdos por permitirem trocas que, apesar desatisfazerem a restricao estatıstica, sao indiferentes aimportante restricao imposta pela interacao.

Assim, Feynman consegue explicar qualitativamente,avancando um entendimento microscopico, de modo in-tuitivo, que o espectro deve ser linear (fonons acusticos)a baixas energias, como resultado das restricoes basicasimpostas pela estatıstica bosonica e pela interacao forte

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 40, nº 4, e4212, 2018 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0020

Farinas e4212-7

entre os atomos. Feynman aprofunda sua analise, e obtema partir dela, uma forma geral para a funcao de onda [3],e tambem para o espectro de baixas energias dada por

ε(p) ∼ p2

2mS(p) ,

onde S(p) e o fator de estrutura estatico (que pode sermedido experimentalmente por espalhamento de neutronsou raios X). Como

S(p)→ p

2mc,

para p → 0, onde c e a velocidade das ondas de com-pressao, o espectro e linear a baixas energias [29].

A cronologia dos trabalhos que levaram a este avanco,alguns deles publicados em sequencia em volumes doPhysical Review, inclui um primeiro artigo [30] onde eletrata a transicao He I → He II, escrevendo a funcaode particao pelo uso da tecnica de integrais de caminhoinventada por ele [31], seguido de um trabalho onde eleexplica a escassez de estados para um sistema interagentede bosons [32], e depois de um trabalho em que eleconstroi os argumentos microscopicos para explicar oespectro inicialmente proposto por Landau em basesmais gerais [33], usando argumentos similares aos queesbocamos nos paragrafos acima.

A analise feita por Feynman estende-se, em colaboracaocom seu estudante na epoca, Michael Cohen [34,35] para oresto do espectro, com argumentos baseados em premissasfundamentais bastante parecidas com as expostas aqui.

Uma contribuicao distinta que vem nesta sequenciade trabalhos seminais e talvez, a julgar pela analise daliteratura [36], considerada a mais importante delas. Emparte por ser mais geral, tendo sido fundamental tambempara o entendimento da supercondutividade [37]. Alemde contribuir com a perspectiva diferenciada, em buscade detalhes microscopicos, ela aprofunda o entendimentode questoes essenciais para o comportamento do super-fluido a temperaturas mais altas, proximas da transicao.Trata-se do seu trabalho de 1955 [38], em que ele estudacom detalhes a quantizacao da circulacao, ja visıvel nostrabalhos pioneiros de Landau, e explicitamente, massucintamente, sugerida por Onsager, em uma nota derodape de um artigo publicado em 1949 [39]. De acordocom J. R. Donnelly, a atribuicao de importancia cientıficaa citacao de Onsager sobre a quantizacao da circulacaoteria sido amplificada. Alem da nota de rodape referidaacima, Lars Onsager expunha essa ideia para seus alunose colegas na Universidade de Yale, a partir de 1946, e te-ria dito a seguinte frase, em uma palestra na “Conferenceon Statistical Mechanics” em Florenca, em 1949, [40]

“...thus the well-known invariant called the hydrody-namic circulation is quantized; the quantum of cir-culation is ~/m... In the case of cylindrical sym-metry, the angular momentum per particle is amultiple of ~.”

Ainda de acordo com Donnelly, na Ref. [40], “formaram-seramificacoes enormes dessa unica declaracao e observou-se mais de uma vez que a razao entre importancia ci-entıfica e o tamanho da anunciacao deve ser um recordena historia da ciencia”.

Atribui-se a Feynman e Onsager, por esses trabalhos,a descoberta teorica da quantizacao dos vortices. O en-tendimento da dinamica desses objetos foi essencial paracorrigir a previsao de Landau, de cerca de 60 m/s, parao valor crıtico da velocidade do superfluido, um valorem torno de 100 vezes maior do que o medido. Foi asugestao de Feynman, indicando como a formacao devortices altera o valor da velocidade crıtica, que permi-tiu a obtencao de valores teoricos mais de acordo comas observacoes experimentais. Para os leitores familiari-zados com a supercondutividade mas nao com o helio,essa descricao pode parecer familiar. Na proxima secaodescrevemos brevemente a influencia dessas ideias sobrea supercondutividade.

Como fazer notoria a importancia de estudar-se ohelio lıquido? Ou o fenomeno da superfluidez, incluindoa supercondutividade? E, mais geralmente, do estudode excitacoes elementares na materia? Para alguns, queentendem a envergadura das pessoas que foram atraıdaspara o tema, em particular a de Feynman, a quem estaserie de artigos reverencia, bastariam as citacoes aquipresentes, ligadas a inumeras a que nao fizemos jus, masque podem ser facilmente rastreadas. Mesmo para estes“bons entendedores”, encerramos esta secao recomendandouma olhada no ındice (e, quem sabe, a aventura de ler oconteudo) da Ref. [41], que aponta para o livro de G. E.Volovik intitulado “O Universo em uma Gota de Helio”.

Antes de passar a proxima secao, cabe destacar queparte das ideias sobre a superfluidez foram concebidaspor Feynman enquanto visitava o Centro Brasileiro dePesquisas Fısicas (CBPF), no Rio de Janeiro, e interagiacom cientistas radicados no Brasil, entre eles Jose LeiteLopes, Jayme Tiomno, Walter Schutzer e Guido Beck.Feynman visitou o CBPF a convite de J. L. Lopes, du-rante 10 meses para um ano sabatico, nos anos de 1951e 1952, no entao recem inaugurado predio do CBPF. Eleconversou, tambem no Rio e na SBPC de julho de 53,com David Bohm, que na epoca estava na USP. A in-teracao com estes cientistas era mais voltada para a fısicade partıculas, mas durante sua estadia ele trabalhavatambem para entender a superfluidez. As Referencias [6](nesta secao especial da RBEF), [42] e [7] narram par-tes da experiencia de Feynman em sua interacao como Brasil. Vale destacar aqui um pequeno trecho destanarrativa [7]:

“By the summer of 1953, Feynman had alreadybeen thinking about the problem of the superflui-dity of liquid helium for a couple of years almostconstantly. During his stay in Rio de Janeiro in1951-52, several ideas came to him concerning thesolution of various aspects of this problem and hediscussed them with Leite Lopes. ”

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0020 Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 40, nº 4, e4212, 2018

e4212-8 Feynman, a superfluidez e a supercondutividade

3. Supercondutividade

A historia da supercondutividade (que se mistura coma da superfluidez) aparentemente comeca no inıcio doseculo XIX com os esforcos de Michael Faraday (o mesmodo eletromagnetismo) para liquefazer gases. Faraday foiempregado por Sir Humphry Davy, um conhecido quımicoingles que atacava a (hoje universalmente conhecida) pro-posta do tambem ingles Dalton, das proporcoes multiplasjustificando a teoria atomıstica da materia. Davy argu-mentava que 28, entre os cerca de 50 elementos conhecidosna epoca, eram metais, cujas propriedades, como brilho,boas condutividades termica e eletrica, eram muito simila-res para serem emergentes da composicao de 28 elementosdistintos (hoje sabemos que os atomos tem estrutura in-terna, e que essas propriedades “similares” sao devidasaos eletrons que constituem os “super orbitais” que osmetais tem em comum (“eletrons livres”) e que mediamas interacoes de baixa energia dos metais com o meioexterno).

Faraday resolveu, como assistente de Davy, e tendoliquefeito um gas em uma das primeiras vezes em queisto foi conseguido, estabelecer-se a meta de liquefazertodos os gases conhecidos. Isto iniciou uma corrida emque varios nomes conhecidos da historia da ciencia tive-ram alguma participacao, e que levou o holandes HeikeKamerlingh Onnes a, em 1908, conseguir liquefazer o4He, obtendo a menor temperatura ja conseguida ateentao [43], um pouco abaixo de 1 K, como ja mencio-namos aqui antes. Tres anos depois, o proprio grupo deOnnes viria a descobrir a supercondutividade [44]. Umaleitura agradavel com detalhes dessa evolucao, e tambemsobre o papel de Feynman no entendimento do fenomenoda supercondutividade, pode ser apreciada na Ref. [37].Uma outra abordagem enfocando a historia da liquefacaodos gases e a descoberta de Onnes esta na Ref. [45].

O problema da supercondutividade levou quase 50 anospara ser entendido completamente, tendo a teoria sidoestabelecida por Bardeen, Cooper e Schrieffer [46]. Lon-don [47], Ginzburg e Landau [48], entre outros, avancaramo entendimento das propriedades mais gerais, com des-cricoes fenomenologicas ou semi-fenomenologicas. A des-coberta de W. Meissner e R. Ochsenfeld [49] do hojeconhecido efeito com o nome desses cientistas, mostrouque o supercondutor era mais do que um condutor per-feito, que congelaria as linhas de campo magnetico emseu interior, sendo na verdade um diamagneto perfeito(as linhas sao sempre excluıdas do supercondutor, mesmoque haja campo magnetico penetrando no material antesdele tornar-se supercondutor). Um material que pudessetornar-se condutor perfeito, do ponto de vista do ele-tromagnetismo e da termodinamica, teria as linhas decampo magnetico “congeladas” em seu interior, pois umcondutor perfeito nao deixa linhas de campo surgiremou sumirem (correntes de inducao surgem em oposicaoas variacoes de campo e anulam a tendencia de mudar ofluxo magnetico). No caso do supercondutor, as linhas

sao sempre excluıdas, elas nao penetram no material, anao ser numa camada fina a partir de sua superfıcie. Aescala de comprimento associada com a espessura destacamada e o comprimento de penetracao de London.

Os supercondutores inicialmente conhecidos, a mai-oria metais puros, comportavam-se como diamagnetosperfeitos para campos magneticos externos ate um de-terminado valor crıtico para o qual as linhas de campopenetram no material destruindo completamente sua su-percondutividade, em uma transicao de primeira ordem.Supercondutores desse tipo sao chamados de supercon-dutores do tipo I. Ginzburg e Landau desenvolveramuma teoria fenomenologica para a supercondutividadeem 1950, que hoje leva os seus nomes, que alem de des-crever as propriedades dos supercondutores do tipo I,previa a existencia de supercondutores do tipo II [48]. Osproprios autores comentavam que nao havia motivacaoexperimental para considerar esses supercondutores “desegunda especie” (todos os supercondutores conhecidoseram do tipo I). No entanto, os do tipo II ja haviam sidoobservados experimentalmente por Rjabinin e Shubnikovem 1935 [50], o que hoje os credencia pela descoberta. Ossupercondutores do tipo II tem dois campos magneticoscrıticos. O menor, quando e atingido por baixo, inicia umprocesso penetracao de linhas de campo no material pelaformacao de vortices que se constituem essencialmentede filetes com nucleo normal circundado por correntessupercondutoras. Essas estruturas podem aprisionar-seem impurezas e possuem uma dinamica muito rica, muitoestudada ate hoje.

A teoria dos vortices foi grandemente desenvolvidapor Abrikosov [51], mas aparentemente houve um fortecondicionante dado pelos trabalhos de Feynman [38] eOnsager [39] sobre a quantizacao de vortices. O proprioAbrikosov narra em sua “Nobel Lecture” [52]:

...“I made my derivation of the vortex lattice in1953 but publication was postponed since Landauat first disagreed with the whole idea. Only afterR. Feynman published his paper on vortices in su-perfluid helium [38], and Landau accepted the ideaof vortices, did he agree with my derivation, and Ipublished my paper [51].”

Uma outra contribuicao de Feynman para a supercon-dutividade tem relacao com o tunelamento Josephsonem supercondutores [53]. Como muitas, a evolucao dahistoria deste efeito tem desdobramentos dramaticos inte-ressantes, ligados a dificuldade que Josephson encontrouinicialmente para afixar sua ideia junto a comunidadecientıfica, que contrasta com a rapidez (menos de doisanos) entre a previsao e sua verificacao experimental.Deixaremos estes aspectos para que o leitor se divirtacom a prospeccao, caso seja do seu interesse. O modelopara o tunelamento que e discutido por Feynman apa-rentemente nao deu origem, ele mesmo, a nenhum artigocientıfico assinado por Feynman, ele esta publicado emum de seus textos didaticos mais basicos, sua famosa

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 40, nº 4, e4212, 2018 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0020

Farinas e4212-9

colecao ou suas “Lectures” [54]. Estas foram inspiradasem palestras dadas por Feynman, depois imortalizadasna colecao (que hoje tem traducao para o portugues), etiveram inıcio com uma serie de apresentacoes para osalunos (“lectures”) do Caltech em 1964.

Um registro mais detalhado e feito na Ref. [37], tantodessas apresentacoes e a reacao de Feynman ao efeitoJosephson, quanto do testemunho dado por cientistasque contribuıram para o entendimento da superconduti-vidade, do papel importante de Feynman, quando naocontribuindo diretamente, tendo sido um dos pivos dacompeticao em busca de uma explicacao para o entendi-mento do fenomeno.

Com relacao ao modelo de Feynman para o tunela-mento Josephson, mesmo nao tendo sido publicado emum artigo cientıfico, o modelo e bastante utilizado emartigos cientıficos para o estudo de juncoes Josephson,ate os dias de hoje.

Agradecimentos

Agradeco ao Professor Nelson Studart pela leitura crıticadeste texto, e pelas inumeras dicas dadas tanto antesquanto depois da leitura.

Referencias

[1] D. Pines, Physics Today 42, 61 (1989).[2] N. Studart, Rev. Bras. Ens. Fis 40 (2018). unpublished.[3] R.P. Feynman, Statistical Mechanics - A Set of Lectures

(Benjamin-Cummings, Reading, 1982).[4] L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Statistical Physics (Per-

gamon Press, Oxford, 1981), v. 9, part 2.[5] R.P. Feynman, O Senhor Esta Brincando, Sr. Feynman!

(Elsevier, Rio de Janeiro, 2006).[6] I.C. Moreira, Rev. Bras. Ens. Fis 40 (2018). unpublished.[7] Jagdish Mehra, The Beat of a Different Drum - Life and

Science of R.Feynman (Oxford University Press, Oxford,1996).

[8] J.R. Donnelly, Phys. Today 48, 30 (1995).[9] Wikipedia, disponıvel em https://en.wikipedia.org/

wiki/Helium.[10] Wikipedia, disponıvel em https://en.wikipedia.org/

wiki/Satyendra_Nath_Bose.[11] Wikipedia, disponıvel em https://en.wikipedia.org/

wiki/Enrico_Fermi.[12] M. Wolfke and W.H. Keesom, Proc. Amst. 31, 81 (1927).[13] W.H. Keesom and K. Clusius, Leiden Comm. 219e

(1932).[14] P. Kapitza, Nature 141, 74 (1938).[15] J.F. Allen and A.D. Meissner, Nature 141, 75 (1938).[16] S. Balibar, J. Low Temp. Phys. 146, 441 (2007).[17] R.B. Dingle, Adv. Phys. 1, 111 (1952).[18] A. Dayo, W. Alnasrallah and J. Krim, Phys. Rev. Lett.

80, 1690 (1998).[19] F. London, Phys. Rev. 54, 947 (1938).[20] L. Tisza, Nature 141, 913 (1938).[21] L. Landau Phys. Rev. 60, 356 (1941).

[22] L. Landau, J. Phys. U.S.S.R. 11, 91 (1947). Traducaopara o ingles em “Collected Papers Of L. D. Landau”,editado por D. Ter Haar (Pergamon Press, Oxford, 1965),p. 466.

[23] D.G. Henshaw and A.D.B. Woods, Phys. Rev. 121, 1266(1961).

[24] D.D. Osheroff, R.C. Richardson and D.M. Lee, Phys.Rev. Lett. 28, 885 (1972).

[25] R.P. Feynman, Progr. Low Temp. Phys. 1, 17 (1955).[26] R.J. Donnelly, Phys. Today 62, 34 (2009).[27] L. Landau, Phys. Rev. 75, 884 (1949).[28] L. Tisza, Phys. Rev. 75, 885 (1949).[29] L. M. Brown (ed) “Selected Papers of Richard Feynman

with Commentary” (World Scientific, Singapore, 2003).[30] R.P. Feynman, Phys. Rev. 91, 1291 (1953).[31] J.D. Vianna, Rev. Bras. Ens. Fis 40 (2018) unpublished..[32] R.P. Feynman, Phys. Rev. 91, 1301 (1953).[33] R.P. Feynman, Phys. Rev. 94, 262 (1954).[34] R.P. Feynman and M. Cohen, Phys. Rev. 102, 1189

(1956).[35] M. Cohen and R.P. Feynman, Phys. Rev. 107, 13 (1957).[36] V.L. Ginzburg, Phys. Today 42, 54 (1989).[37] D. Goodstein and J. Goodstein, Phys. Perspect. 2, 30

(2000).[38] R.P. Feynman, Progress in Low Temperature Physics v.

2, (North-Holland, New York, 1955), p. 17.[39] L. Onsager, Nuovo Cimento 6, 279 (1949).[40] J.R. Donnelly, Quantized Vortices in Helium II (Cam-

bridge University Press, Cambridge, 1991), p. 48.[41] G.E. Volovik The Universe in a Helium Droplet (Clare-

don Press, Oxford, 2003).[42] J. Leite Lopes, Ciencia & Sociedade no. 005/88.[43] H.K. Onnes, KNAW Proceed. 11, 168 (1908).[44] H.K. Onnes, Commun. Phys. Lab. Univ. Leiden 122b

(1911).[45] S. Reif-Acherman, Rev. Bras. Ensino Fıs. 33, 1 (2011).[46] J. Bardeen, L.N. Cooper and J.R. Schrieffer, Phys. Rev.

108, 1175 (1957).[47] F. London and H. London, Proc. Royal Soc. A 149, 71

(1935).[48] V.L. Ginzburg and L.D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz.

20, 1064 (1950).[49] W. Meissner and R. Ochsenfeld, Naturwissenschaften

21, 787 (1933).[50] J N. Rjabinin and L.W. Schubnikow, Nature 135, 581

(1935).[51] A.A. Abrikosov, Soviet Physics - JETP 5, 1174 (1957).[52] A.A. Abrikosov, Rev. Mod. Phys. 76, 975 (2004),

disponıvel em http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/abrikosov-lecture.pdf.

[53] B.D. Josephson, Phys. Lett. 1, 251 (1962).[54] R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands, The Feyn-

man’s Lectures on Physics, v. 3 (Addison-Wesley, Rea-ding, 1965).

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2018-0020 Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 40, nº 4, e4212, 2018