Mathématiques Terminale S 2018/2019

Feuille d’exercicesTrigonométrie

� Formules d’addition et de duplication

Exercice 1.

1. Montrer que pour tout x ∈ R, on a l’égalité

cos(3x) = 4 cos3(x) − 3 cos(x).

2. Linéariser sin(3x).

3. Soient a, b ∈ R tels que a 6=π

2+ kπ, b 6=

π

2+ kπ et

a + b 6=π

2+ kπ. Montrer l’égalité

tan(a + b) =tan a + tan b

1 − tan a tan b.

Exercice 2.

1. Calculerπ

3−

π

4. En déduire les lignes trigonométriques de

π

12,

5π

12et

11π

12.

2. En utilisant les formules de duplication et le fait queπ

6= 2 ×

π

12, retrouver les résultats de la question 1.

� Équations trigonométriques

Exercice 3. Résoudre dans R les équations suivantes :

1. cos x = − 1

2;

2. sin x =√

3

2;

3. cos x = − cos π

4;

4. 4 cos2 x − 3 = 0.

Exercice 4. Résoudre dans R les équations suivantes :

1. sin(x) + cos(x) = 0 ;

2. cos(x) − sin(x) + 1 = 0.

� Études de fonctions

Exercice 5. Pour tout x ∈ R, on pose f(x) = |sin(x)|.

1. Étudier la parité de la fonction f . Quelle conséquence gra-phique peut-on en déduire ?

2. Montrer que la fonction f est périodique de période π.Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ?

3. Compléter ci-dessous la représentation graphique de lafonction f à l’aide des réponses aux questions précédentes.

1

−1

π

2−π

2−π

Exercice 6. Pour tout x ∈ R, on pose f(x) = |cos(x)| + cos(x).

1. Étudier la parité de la fonction f . Quelle conséquence gra-phique peut-on en déduire ?

2. Étudier la périodicité de la fonction f . Quelle conséquencegraphique peut-on en déduire ?

3. Compléter ci-dessous la représentation graphique de lafonction f à l’aide des réponses aux questions précédentes.

1

2

π

2π

3π

2

−π

2−π

−3π

2

Exercice 7. Étude de la fonction tangente.on rappelle que pour des valeurs convenables de x, on a

tan x =sin x

cos x.

1. Donner le domaine de définition de la fonction x 7→ tan x.

2. Étudier la parité de la fonction tangente sur son ensemblede définition. Quelle conséquence graphique peut-on endéduire ?

3. Montrer que la fonction tangente est π-périodique. Quelleconséquence graphique peut-on en déduire ?

4. Déterminer les variations de la fonction tangente sur l’in-tervalle

[

0,π

2

[

.

5. Représenter la fonction tangente sur]

− 3π

2, − π

2

[

∪]

− π

2, π

2

[

∪]

π

2, 3π

2

[

.

� Exercices divers

Exercice 8. On considère un trapèze ABCD tel que les droites(AD) et (BC) sont parallèles, AB = BC = CD et ABC =

DCB = α avec α ∈[π

2; π

]

. On prendra la longueur AB comme

unité de longueur.

1. Montrer que l’aire du trapèze ABCD est (1−cos α) sin α.

2. Pour quelle(s) valeur(s) de α l’aire du trapèze ABCD est-elle maximale ?

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