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7/26/2019 FerrerasWasiucionek

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Ariel Ferreras Wasiucionek

Busquey seleccioneen Internet (plataformas como Wikipedia, Youtube, Scribd, o bsqueda

libre usando palabras clases en buscadores como Google, Google acadmica entre otros,

informaci!n sobre grupo, subgrupo, grupo finito, "omomorfismo entre grupos y e#emplos$

%rate de no e&cederse de este temario$ 'e ser necesario presente una sntesis propia$

Grupos:

'efinici!n)

Sea un con#unto *+ aco -G., y una funci!n . /l par (G,0 es un grupo si y slo si0 es una

ley interna en G, asociatia, con neutro, y tal que todo elemento de G admite un inerso

respecto de 0$

(G, 0 es grupo si y s!lo si se erifican los a&iomas)

G1$0) G2 G

G3$ 4ey asosiatia)

ab c : a , b , c ,G ( ab )c=a ( bc )

G5) /&istencia de elemento neutro o indentidad)

eG / a : aGae=ea=a

G6) /&istencia de inersos)

aG ,a 'G/aa '=a 'a=e

G7) 8onmutatiidad)

ab : a , bG ab=ba

Entonces el grupo se llama conmutativo abeliano.

/#emplo)


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/n el con#unto de los enteros se define 0 mediante)

a0b9a:b:5 (1)

/l par (;,0 es un grupo abeliano$ /n efecto se erifican)

G1 $0 es ley interna de 0 (1)

G3 $0 es asosiatia pues)

(a0b0c9(a:b:50c9a:b:5:c:59

9a:b:c:< (2)

a0(b0c9a0(b:c:59a:b:c:5:59

9a:b:c:< (3)

de (3 y de (5 resulta) (a0b0c9a0(b0c

G5)

/&iste un neutro en entonces

Si e es neutro entonces a0e9a$

=or (1) a:e:59a y resulta e9(>5

G6) todo elemento de G es inertible respecto de 0

Si a?es inerso de a, entonces debe erificarse)

a0a?9e

teniendo en cuenta (1)e9(>5

a:a?:59e

entonces)

a?9(>a

G7) /s conmutatia)

a0b9a:b:59b:a:59b0a


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Propiedades de los grupos:

@nicidad del neutro y del inerso)

/l elemento neutro es nico y el inerso es nico$

Aegularidad)

4os elementos de todo grupo son regulares$

ip!tesis)

(G,0 es grupo)

a0b 9 a0c

b0a9 c0a

%esis)

b9c

'emostraci!n por "ip!tesis)

a0b9a0c

8omponiendo a la iCquierda con a?, inerso de a)

a?0(a0b9a?0(a0c

=or asociatiidad)

(a?0a0b9(a?0a0c

=or G6)

a0a?9e entonces) e*be*c

=or G5) (e&iste neutro

bc


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Se prueba la regularidad por la derec"a$

4a regularidad significa que la ley cancelatia es Dlida para todos los elementos del

grupo$

!ubgrupos:

/l subcon#unto no aco del grupo G, es subgrupo de (G,0, si y solo si (,0 es

grupo$

/#emplo)

1%odo grupo (G, admite como subgrupo al mismo G, y al con#unto cuyo nico elemento es e$

Embos se llaman subgrupos triiales de (G,$

3( , : es subgrupo de (F, :$

5 /l con#unto de los enteros pares, con la adici!n, es un subgrupo de ( , :$ en cambio no

lo es los impares ya que la suma de dos enteros pares da un nmero par y no se erificara

G1$

Si el con#unto G es finito, entonces G se dice grupo finito$ 8aso contrario, diremos que G es

infinito$

8uando S es un con#unto finito, entonces E(S es tambin finito$ EdemDs,si S tiene n

elementos, entonces E(S 9 nH

"o#o$or#is#o:

/l concepto de "omomorfismo de grupo es crucial en toda la teora que estamosestudiando$ =ermite clasificar aquellos grupos que tienen la misma estructura, dentro de una

misma clase$ /sta concepci!n integradora, para poner orden dentro de una gran ariedad de

e#emplos matemDticos, casos particulares y situaciones de manipulaci!n de smbolos, es una

de las grandes irtudes del lgebra Joderna$

Sean (G, y (G, K dos grupos$ @na aplicaci!n L ) G M G, se llama "omomorfismo de

grupos, si y s!lo si L(a b 9 L(a K L(b para todo a, b G$

@sualmente utiliCamos la misma notaci!n para el producto en ambos grupos entonces la

condici!n de "omorfismo se escribe L(ab 9 L(aL(b


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/#emplo 1 Si G y G son dos grupos y e es el elemento neutro de G, la aplicaci!n L ) G M G

& M e Se llama "omorfismo nulo

/#emplo 3 Sea (;, : el grupo de los nmeros enteros con la suma y (; < , : el grupo los

enteros m!dulo < con la suma de enteros m!dulo

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