T-t l .reolo oe luegos:^."- l : - . . I \ /

tsu opi lcocton en economio.. r Jorge Fernón dez Ruiz

" , '1" ' - ,

r{il$,: - r -

:".1:iutt;!il:

,S*h

S' i ¡ ;

, . l *@{'w,*ir

W

TEORÍA DEJUEGOS:SU APLICACION EN ECONOMÍA

Seg;unda edición

( r r , ,N I 'R() I ) l , l l , ls ' l t r I ) l ( )s l l ( l ( )N()NII( l ( )s ET, COLEG

TEORÍA DEJUEGOS:SU APLICACTÓX

2

EN E,CONOMIASegunda edición

Jorge Fernandez Ruiz

¡L

E MÉXICO

ItrlE!IOD

Fernández Ruiz, JorgeTeoúa de juegos : su aplicación en .E,conomía. / Jrtrge

Fe¡nández Ruiz. -- 2a. ed. corr. y autn. -_ México, D.F. : l., lColegio de México, Centro dc Estudios l lconómicos, 2010(1 a reimpresrón, 2013).

190 p. ; 22 cm.

ISRN 978-(107 4(t2-09 1 -7

1. Juegos, Teoría cle - Nfetodología.de estra

Primera reimpresión, 201 3Segunda eclición, corregida v aumentacla, 2010Primera ediclón,2002.

l ) .R. O l i l ( .o lcgio c lc Nfóxico, A.( .( .arnino al Ajusco 20I)ctlrcr¡ul clc Santa'l-crcsuI ( )7.{t ¡ ¡1¿.* ¡.< ¡, I ). I r.

t t u ' t l , . t -oIn lcx.r ¡ r x

ISI IN 97t i 607 ,+62 0() I 1

I tn l r rcso t 'n Nl [ 'x ico

los. 2. Economíaatemáticas) I. t.

Para Ana l.lorge

Pa,rn. mis padres

AGRADE(]IMIENTOS

Las páui.as que sieuen son el resultado de l.s esfircr.z,s cle muchas pcrsonas.( 'ftlcias al-trabajo y ejernplo cle mis paclres pucle tener u'a for-rnación profesi.-rral ' Agradezco tarnbién u r,r-"a,rr,r,

-o".rro, cn cliferentes escuelas cle Méxi_r r ¡ su sacrif ic¿rda lab'r para abrir mi entcndirniento. posteriormente, empecé a

'r¡rrender fbrmalmente Teoría cre .f.eg's crc Ios profesores.f.a. Enr.ic Ric:rrt y\avier calsarnislia, en rnis añ.s cle'esttidiante cle doctoracl.. Mi forrna dc enten-r lc'r la rnateria reflcja rnucho sus enseiranzas. T¿rrnbién he aprc.clicl' m.cho cle,ris cstrrdia.tes de maestría en eco..rnía e. Er coresio .r" Mé*i..r. s,s prcsu'_rrrs, .bservacio'es y cuesti 'narnie'tos sin duda se ,.f l.¡o,, e' tas pagi'as qu..sietren. Mis coleeas del centro de Estudios Eco.ómic's'áe El croreir 'de Móxi_t <i c'ntrib'yeron a crear el ambiente propici. para la eraboración dcl l ibr,. E.¡'rrt icul:lr, as'aclezc' el apoyo del director crer centro, Horacio S'barzo, v lasi:iil:.:l::;lHn'ü;[Tl.¿H:,'.Tiiil.T:::il]iltili*t"";,1,,::,,J'llt ' l :rb'r.ci<i ' cle las gráficas 1,e. ra s.lución cre problernirs con er procesacl.r crel( 'xt()s, ,v a Lo.rdes Asiain, q.ien mej'r<i rn.ch. el esti l, clel l ibro.

.|onr ;l: Frt nN,rñ.. nFtz RL; rzMcxico, D. F.

INDICE

I'rólogoIntroducción

El caso cle la proliferación cle variedadesEstructura del libroBibliografía

L Juegos con movimientos simultáneos e información completa.Conceptos básicos

El di lema del pr is ionero

Juegos en forma estratégicaEstrategias fuertemente dominantesEquilibrio de Nash

Juegos de coordinaciónApéndice l. Estrategias débilmente dominadasApéndice 2. El orden de eliminación de las esrrategias {irertemenre

dominadas y la relación errrre dos conccptos de cqui l ibr ioBibliografia

2. Tres modelos clásicos de oligopolioModelo de BertrandModelo de CournotModel<¡ de HotellingBibliografía

:i. Estrategias mixtasEl uso de estrategias rnixtas: un ejemploEquilibrio de Nash en estrategias mixtasEl juego de la inspecciónUn ejemplo pol í r icoObtención de un monopolio naturalEstrategias mixtas y estrategias dominadas y dominantesEl clilema del viajeroApéndice. Demostración del Teorema de Nashllxistencia de punto fi joFrrnci t in discont inuaIlibli<xtrafíu

l . . f r r< 'gos <l< 'sr¡nl : r < < ' r 'o r l< '<los i r rg l r r lor . t 's. f r r t 'gos <l t 'sr¡ l l l l r ( ( ' t . t ) , ( ( ) l )s l ; ln l ( ' , \ ' ( 's l t . : l l ( ,g i : rs r lc st ,gur. i r l : t< l

t l

t . )

t5i62494

9J

2831323843+o

6.)

55

5757606ti70

717l75767880818687888892

1)31 ):t

I I ( ) t i t \ t ) t l t I ( , ( )s: s l . \ l , t . lC\Ct() \ 1, . \ t . . ( , ( ) \ ( r \ f t . \

l , lst¡ l l t ( 'ei trs r lc sesrlr. idacl rnixtasRt'laci.'cs c't'c l()s valores cle seq'riclacr. El lb'rema crer MinimaxBiblirxrrafía

, l-r. Juegos clinárnicos con inlbrmacirin cornpletaEjernplo: ubic¿rción de centrt¡s de investrgaciónInducción hacia atrás.fuceos en firrma extensivaL,qrr i I i l r r . io per lecto t . r r srrbjrr t ,gosEl modelo de Stackelbersurr r '.delo d.

'cgociacii in bas.crt¡ en propuestas arter'.clas

Apéndicc. Obtención clerl cquil ibrio cle'srackelb"rg - --- '^"

Bibliosrafía

6. Juegos rcpeticlosE,l dilcrna clel prisionero.jugaclo repctidamenteReciprocidzrd e' jtregos iepetirlos rr ' nirmer. f init. de'erce".f uegos repetidos infi iritarnen teÍ'.1 li¡lk'I-heoremBibliografía

7. .fueeos con inlirrmació* inc'rnpleta. El caso cle rnovirnie.tossimultáneos

ur-r ejer.plo: l.cha p.r el r 'ercaclo co' i ' f 'rmación asimótricaEc¡tri l ibrio bavesiano clc NashIrterJrrt ' tució' altc'rnati 'a del equil ibri ' Lraycsia'. clc NashRc'irrterr-pr-etaciírn cle estratcgias inixtasN'f ,rlt:I. r l i l 'e rc'ciadr cre Rcii 'and con i ' f irr 'ració' inr:or.pleta

cler rtnir enrpr.e sirNlodclo cle Córrrnot con inforrnaci<in incornplertaBiblio{rrafía

8. .fuegos con inf-orrnación incompleta. El r:aso clinárnicoEquil ibrio bayesiano perltcroEl modclo cle coclresirsaclos de Akerlof.El moclelo cle señalización cle Spencc (1g73)Eqtri l ibrios separador-esEq u i librios agrup¿rclclr.esRiblioerafía

9. Problemas y solucionesProblernasSoluciones

98100103

105106)07u0u3122127133t34

L.) I

| 9-t : t I

143l '+I)

149li'¡2

I t ) . )

r53r58t6t162

i6til6u170

t7l17IlTit178t8tl8t182

183r83186

PRÓLOGO

I t littría rle juegoshapermeaclo hoy en día casi tgdas las áreas clel análisis ec..ó-" i l r o. ( lonceptos tales corno credibi l ic lacl, reputación, cl i lema ¿el prisionero.' ' ' rr t ts¿ldos tanto en comercio internacional como en organización inclustr ial\ ( r l l l )¿Lc'oclct lnomía. Asimismo, su inf lr-rcncia cn ciencia polí t ica. sociolouía, 1,, ,rr:rs cicncias sociales, al lnque tnenor, no es clesdcnable.

l')l cl ¿rnálisis mir:roec<¡rtónrico couvencional clos paradiernas cle comport¿r-rrr i( ' rr t() ernpresarial son el cle la competencia perfecta v el clei rnonopglio. Est 's' l ,s t : tsos t ienen algo inlportante en común: pueclen analizarse fructíferantc'-t, :rrilr ignoranclo cl cornportamiento cle los rivales. En el caso cle la compete ncra1r.r ' lecta, hay tantas empresas, v cada una es tan pequeña en relación con cl mer_( 'l(l(), que sc cornPortan bajo el supuesto cle que sr¡s decisiones no te¡clrá' u.( l('('to perceptible sobre las otras ernpr.esas que, por ese motivo, las ignorarán.I rr pequerño productor de trig. o ntaízp'ecle razonabremente hacer es.us supo_:r< i .n.s. Lo mismo s'cede con una empresa que t iene el monopoli . en la ventar lt' cierto bie.; ésta puede ignorar a srrs rivales porque simpler'ente no cxisten.sirr embargo, existe toda u.a gama intcrmecliá enire estos clos casos ext.emos' r l los qt te l i r i r r teracción el l l re las emprt 'sas es importarr te. No es c le extranar e ' -r { } 'ces qrre la t t 'or ' ía de j r regos tensa mucho qr. . , f i . . . , . ar anál is is econ,mico.

En Ia década de 1g40,John von Ne.mann y oskar Morgenstern hicieronr r¡ntribuciones pioneras a Ia Teoría clejuegos tal como h.ry la cor-,o.e r¡6s. llll'st 'staban co.verrcidos de que los problemas caracterist icos en el comportamien_t<r cccrnónrico cran iclénticos a ro que rarnaban_luego.s d,e estratcgia, en el senticlot lc c¡ue la i . teracción estratégica presertc enjuegos tul.r . ,r- . , el ajedrez o el¡r<iker también c¿rracterizaba mtrchas sitrracioncs económicas. Cincuent¿r añ'srlcspués Ia enorme inf l 'encia cle este t ipo clc anál isis en econ'mía fuc recono_< icla, si para entonces aírn :rlguien crudata cle elra, con el otorgamiento clcl pre_rl i . N'bel de Ecrnomía de l9g4 a tres continuadores de su labor:John Nash,f ohn Hars:rnyi y Reinharcl Selten.

Nash introdqio el concepto cre eq,ilibrio -qlle lleva s' ¡6¡1[¡¡- 1¡¿5trsaclo en la tcoría cle.iuegos. Nash también avanzó en cl des:rrrollo de la teorí¿rr lc los./rze.oo.r de sum'ccro-en los qüe se habían concentraclo l ,on Neurnann'\'Iorgerrsterrt- a.J'uegos de suma no cero, e. los que el hecho de q'c un.itrgackrrg: lne no necesariamente supone quc otro pierda.l selten perl 'eccionri las i<lt , .s

lA N¿rsh t : rmbién sc debe la t l is t incir in : t lLral e l l l r t ' l .s j r r .u.s rr . r . . ' ¡ r . ' r r i r r rs. ( . . r l . ( . r r )¡ r t t t ' r l t : habcr acucrd<ls v incrr l¿rntcs, v los cooJtt , r : t l ix)s, ( , ' ( l l l ( , sr ¡ r r r . r l t , l l l r l r r . r l r ¡s

l t t

t l

<lt' Nrrslr para ad¿1p&rrra.s a ros llamados .Iuegos trinít,micos, en los qtre el j'egose cles¿rrrolla a lo larso clel tiernpo, y Harsanl, lo hiz<t en la clirección cle los3ftzr_gos u)n ir(ormar:ión. incomltlekt, en los qr-re algunos.iugador-e s .o cro.ocen con cer_teza lo que pueden hacer o l. q.. p..fi"..n átr.rr.¡i giaorers. El trabajo de Harsanyes clltonces también crucial en el desarrollo cle la moclcrna ecánornía dc lainlbrrnación. Las contribuciones cle ros tres ocupan u' r 'gar e' este l ibro.

La teoría de jueuos ha clesarroilado un lenfuaje ..r-?r-, para clisti.tas ra_mas de la economía. c'ntrib'ciones económrci. q,," original'mcnte aparecie_ron

.con lenguaje muy-diferente, ) ' cuya .,,-pu.u.ió. se.'compricaba p'r csemotiv.,. se puedern explicar e n el le'rguaje de la teoría cre j.egls y facilitar sushipótesis y alcances. No e.s casualidaá que dos ejemplo, qi . upul".en en estelibro sea' versi.nes simplif icadas, en lcng'aje áe ra ,.o.iu ai. iuegos, cle losmodelos clásicos de Akerlof clc los coches-trsaclos, y el Mtxlelo d) .señ.liz.t:ió.n de:;tiglitz, amb.s la'reados,junto con.|oscph Stiglitz, <,,r, er pr.'i'Nobel cle Eco_nomía en el año 200r por sus contribucio'es er,

"l .amp,, de la ec.nrrnÍa de lainformación' Debiclo al lcnuuaje común que ahora uti l iza la teoría clej 'euos elinvestigaclor en diferentes rarnas cle la econorní¿r se ha visto firrzaclr) a expresar

ccr.n prccisión los sup*cstos en que descansan s's conclrrsiones y los razona-mientos que los unen.

Este libro sobresale por su clariclad y rigor analítico. Sin cluda contrib.irá clernanera imp.rta'te a que el análisis econórnico qu. se hace en México aprove_che mejor l's i'strumentos qlle aporta la teoría de.itreg.s y enriq'ccerá la in-vestigación económica en nuestro país.

r ( ) t i l \ l l t , l t t , . ( j ( )s: st : , , t t , t . l t ; . \<; l t j \ t . : ¡ . . l . t : r ¡s<l t t Í , t

Hopqr;r<t Sosetzo Frr,rsn¡sDirector del (lentro de Estuclios Econórnicos

cle El Colcsio cle México

IN-I 'RODT](]CION

l . l r inf luencia del enfoque de teoría de - j r r t 'uos crr l : r n l r< r)( . ( ( ) r r ( ¡n l l r . l . r ( . ( ( ) ¡ ( )r r r ía i t r ternacional ,e lanál is is i r ldustr ia l , l¿recorr t ¡n l ía l i r r i r r r r i t ' l r . \ nrr(n, ls()n:r \. r l t 'as de la economía, es enorme. Estcl se debe a que cstc cnl i r r ¡ t r t . t ,s r i l i l ¡ r : r r : r,rrrnl izar un rasgo esencial en tnuchos comport irmientos econórnicos r. ,sot. i l r l t 's:l . :r existencia der diferentes personas, cada una con sus propios objet i l ,os, en ¡¡asittraciírn de interdependencia. En efecto, la teoría cle juegos analiza situacio¡es('ll que las decisiones que torna un¿r persona pueden afectarla cle nrarrera rnuy<listirtta dependiendo dc las decisiones de otras personas. L,s deciq cxisten 6trostonradores cle decisiones, actuando conforrne a sus propios deseos, qr.re clebenscr considerados. Existe un conjunto de "jugadores", y las decisiones de tocloscllos, conjunrarnent.e, determin¿rn qué resrrltado obtenclrá cacla uno.

Par¿r i lustrar cuándo resulta írt i l el anál isis de tcoría de.jucgos, nos valdre-rnos del contraste que existe entre dos situaciones, la prirnera de las cuales ser-ef iere a un problema de decisión que no está inmerso en un.juego v la segun-<la a t l t ro qrr t . sí lo está.

El lanzamicnto de cohe tes a la luna supone la consideraciírn cle mult i tudde fáctores, entrer ellos el de que la nave debe ser capaz de resistir [ernperaru-ras mlry variables y que , al diseñar la ruta, debe contemplarse la {uerza de gra-vedad de la luna para asegurar que la nave tenga un descenso suave al llegir asu clest ino. Esta empresa es compleja, pero t iener una faceta que más bien des-taca por su senci l lez, y es la que aquí nos interesa subrayar: Al hacer el cl iseño,se puede suponer quc el movintiento cle los distintos astros y las clistiptas fucr-zas involucradas durante el trayecto de la nave seguirán obecleciendo el mism<tpatrón que en el pasado.

Consideremos en carnbio -y esta es la segunda situación- una noticiaqrre el 3l de agosto cle 2001 los principales periódicos mexicanos publicaronen su sección de economía: Banca Serfín anunciaba una nue\¡a tarieta cle cré-diro. snJín /. iqlr l . "medianre la cr¡al las personas con dt.rrdas

"n of ' .o, rarjeras

bancarias o en tiendas departarnentales podrán transf'eril a este nuevo instru-mento y pa€iar una tasa de interés de 24 por ciento, contra 40 por ciento qtrccobra la mayoría de inst i tuci<_rnes.bancarias".I

En contraste cr¡n los diseñadores de la ruta del cohete, Banca serfín colne-tería un error si supusiera que el comportamiento de los demás bancos sería

\ L'notnásuno,3l de aeosto de 2001.

t5

l ( i l l ( ) l i l . \ l ) l , l t l ( , ( )s: \ l \ t , l t ( . \ ( t ( ) \ tN l ( { )N()Ni l \

exactarne ntc el rnismo que antes del lanzamiento de SoJín LithL. I'cro Banc:rSerfín no cstaba suponiendo eso. Según reportaron los periócl icos, el cl irect ivoque anunció la ntreva tarjeta recorroció que la estrategia de Scrfín prttvocar'ía"una notable reacción por parte de sus competidores, quc se traclucirá en be-neficios para los deudores rnexicanos de tarjetas".2

Asirnisrno, un columnista financiero escribió que el lanzarniento dcl produc-to "se rnantuvo (en) el rnás estricto sigilo e incluso se llegó al extremo de rnan-clar :r imprimir fol letos publ ici tarios aJapón y se mand:rron a hacer las tarjetas¿r Chicaso".r El sccrcto rnantenido durante la planeación del lanz¿rmiento de latarjeta contrasta ct¡n el lanzarnientt¡ de la nave: A nadie le preocuparía alertara los astros sobre l¿r inminenci¿r del paso de la nave.

El primero es un ejemplo qtrc no involucra conrportamicnto estratésico,ya que l)o tcncm()s que dilrrcidar si los astros cooperarán con la nave o tr¿1taránde frustrar su misi¿)n. El segundo es radicalmcnte dist into, los b¿rncos puedenactuar a \¡eces coopcrirndo entre ellos -considérense las ali¿rnz¿ts en el uso delos cajeros automáticos- v a veces. (()nlpit ienclo unos contra otros. Puedencrearse una rcputación, adelantarse a las intenciones de los otros y modif icarsu conlportamiento para a¡rdarse o pcriudicarse, para disuadir o alentar deter-minados comportamicntos de sus r ivales. Tcrclas cstas acciones son elementosesenciales en el comportamiento econórnico y social. Este comportarnientotoma en cuenta que las decisiones cle los dernás, atendiendo a sus propiosdeseos, afcctan el resultado de las nuestras. Es un cornport:rmiento estratégico,y es a su cstudio al qtre se aboca la teoría dc j tregos.

El. r;¡so t)u t.,\ pR()t.tFu,R-q<;l(tN DE \t\Rrr,l)At)t1s

I l t tstrarcmos el concepto de cornportamiento estr¿rtégi(:o con el ejernplo de unaempresa quc debe clecidir cuírntas t icnclas poner en cierta población para vcn-der slr prodtrcto, y en qué l trgar clc esa población haccrkr; \¡erernos qtre cstzr de-cisión scrá muy dist inta clepcncl icndo de si eristt ' ,r n() un:t segtrnda empres¿rcttvos clcscos deban ser cc¡nsiderrados. Si bien nos rt'f'crircmos a una emprcsa queinstala t ienclas, poclcmos tener en mell tc otros cjt 'mplos, cclrno cl de una ¿rca-demia de ir lr¿lés quc abre nno o más pl irrrtclc 's ( ' l l una población, o crralquierotro con la característ ica de que la rrbic:aci<ir l v cl nírnlcrrr dc cstablecirnientos in-f lrrven sobrc las ventas porque los c'orrsrrnri<lolt 's plcf icrcn establecirnientos

I I t r l r t t t t r l t t i i I r l t r rgosto r l t 2(X)L

' \ ' l : ru l ¡ i<1n ¡r : tnt l r tnzrt t ¡ rot l r i r t t t r : r r tz rr n i r t l rn¡rrrr l i ; r l u l l : r t :u ' ieta t ranslúcic l i r . ( l - ínca

Fin:urr i t r : r . ¡ lor \ l : r r to ' \ntonioi \ l l r r ts) { ' ¡ t t ¡nt i .st tnt¡ . i i l r lc l rgostor l t '2(X)1.

I l l r , l , l t l I ( ) \ t /

, ( l ( . ¡ r ( , r . 1 l \ l , r* r r r l r . l : r r r tc luqlrn( nt lucln()s ( lue estc tnt ldclc l tar l l l l ién se ptreclc

,rr( . r l ) r ( l : l r ( ( )n l ( ) t . l r l t ' r rnacnl [ ) r 'esaclrreclcbeclecidirelnírrneroyel t ipocleva-

' r , r l : r r l t 's t l< ' t ic t lo 1.r t 'o<l t tct t t t l t re of iecerír .

l i , rr luglrr '<k. ¡rr cst 'rr tar el nlodelo cconírmico en toda su qencral id¿rd, expon-

, l r ( r r r ( )srrrr t ' j t ' r r r ¡ r lor le lafcrrrnamírssenci l l¿rposiblc.Postcr iormentecxpondrcl-,rr.s (t()s t :x¡te l icncias realcs Lrien documcntadas que nos muestran la relevanci ir

, l , l l i ' rrónlcn() ( lue cstalnos recogicndo c()n nuestro e. jernplo sinlpl i f i t :ar l t l .

)up()ngalllos rluc cl pucblo cloncle la empresa ponclrá su tiencla (o ticndirs)

,, t .r t icl l t lc a lo l¿rrgo de una sola avenida, cuyos cxtrcnlos son el 0 y el l . [ ,a ern-

¡,r, 'sa clebe clccidir cuántas t ienclas poner y ert dólrde haterlo.: Por c' ienrplo,

¡ ,r rcr lc poner una sol¿r t ienda en el putrto 0.4 (( iráf iczr 0.I a) o clos f iendzrs: tJna

, rr t ' l ptrnto 0.3 y otra ern el pttnto 0.6 (G,ráf ica 0. I b).

l ,

Respecto ¿1 l()s "dese()s" de la cmpresa, Supondremos qrre lo quc le i tr terersa

( s ()bterler las ganancias nrírs alt :rs posiblcs, y para c¿rlcularlas clebe considerar

Io siguietrte:

1; Por cacla t iencla qt lc ponsa, debe pagar $8 000 (mcnstrales) -

2) El nírrncro v trbic¿rcií ln de sus t iendas inf luyc sobre srts \¡cntas, scgútt ex-

¡ r l icamos mírs aclel irntc.

3) Obtiene un¿l gan:lncia (bnrt:r) cle $20 por cacla unicl¿rd vclldid¿r (P¿rra

l i jar icleas, poclcmos pensirr en una erlrprcsa distr ibuidt lra quc c() lnPrc cadl

rr¡ iclacl clel bicn a un precio $X -v lo vernda a los consttrniclores f inales a ul l pre-

t io $X + 20).

L¿rs gan¿rncias (mcrlst lalcls) de l :r cl l rprclsa s()n igrlales 1l

( l .ananci¿rs = $2(l x Vertt t¿rs (crr rrtr iclat les vendiclas)

- $u 000 x l lúrnero dr- t icnclas

I F lst( ' l lc t ( ) r ' t .s n l ' rs le lcr ' : rnte crr : rnrk l l : ts r : : r r¿ctr : r ' ís l icrs r lc l b i t ' t r o st l r l ' ic io st tn t : r les c l t t t : l t ts

i o¡srrnt idores c lcbcn hacrtr rcpet i rkrs v ia jes para recibir lo. o t r r : t t t< lo los t ostos d( ' t ransP()r t ( ' s() I l

. r t tos en rc lat : i í rn al pr t 'c io c l t t l b ien (St: l leret , l '1) f lO).i ¡ -ótcst ' ( lue un¿r s i rnpl i f i t :acir in ar l i< ional quc eslrr l l ( )s l laci t : l rc lo es col ts iderar el preci t l r l t l l

l r i t ' r r ext ' rgcno -exist t : r r s i tuaciorres cn r l r re efct ( ivalr lct l l ( ( 's t í t f i t t ' r :L r le ct¡ I t t r 'o l c l t : la etnpr<:s:r ,

¡xrr c j t ' r t tp lo, ¡ ror<1tter c l precio cstá r 'egtr lar lo por ln:r t t to l i t let l .

( I rrÁt'r< ;,r 0. I a GnÁr.r<:,t 0.I b

0.30. I0

l t i

l 'as'cntas depe'den cre clónde y cuántas tiendas instale la ernpresa por-qtrc para decidir si compran o no el bien, los consumicrores potenciales toma'e' cuenta si existe alguna tienda que les quecle .ercu. s.,p.r',crremos que loscr¡nsumidores cleciden comprar el bien si ¡sólo si viven a una distancia menoro isual a 0.6 de una tienda.que lo venda, y q,re tas ventas puecren oscilar entrecero y un máximo de i 000 unidades me.suales -que se alcanzan si tocros losconsumidores potenciales compran el bien.Por ejemplo, si existe una s'la tienda y se pone en er p'nto ¿ = 0, re compra-rán los cons'midorrt

:rr.. cero y 0.6, y sus ventas ascenderán a 60To de la de-manda máxima cte l 000 unidades, es decir, 600 unidades.. Asirnismo, si latienda se pone en el punto a= 0.75,Ie comprarán los consumidores entre 0.1by I y venderá al 85% de los cons'miclores potenciales, es crecir, gbO r¡nidades(véase gráfica 0.2).

l l . ( ) r i l \ t l l . . J t , t . t ( ; ( )s: str ¡u, t . tC¡\Ct( iN l t \ - EC()- \ ( )MÍA

GnÁplt;e 0.2Tierrda única situad a en a = 0.7b

0.60.0

6 0.15 a = 0.7it t

(.lompraclorcs cn rzOornpran consumidores entre 0.15 v I

Ventas = 850

Cuando hay clos tienclas, el consumidor comprará en la tiencla más cerca-na, siernpre y cuando ésta se encuentre a una disiancia menor o iguar a 0.6 clesu residencia. conrinuanclo con er ejemplo de la gráf ica 0.2, si u'na t ienda sepone en el punto ,, = 0.25 pero ahora erisle otra ublcada e. er punto ó = I (véa_se qráfica 0.3), la t ienda ubicada e' rz rogrará vencler solamente a los consumi_dores enrre 0. lb y 0.875 (ya no a todoJos consumiclores entre 0. ib y l) , losconsumiclores a la derecha cle 0.gT5 comprarán en ra tiencra 4 po.q.,. res que-da más cerca' v los consumiclores a la izquierda de 0. rb ,"g.riríi sin comprar elbien -estarán a una clistancia mayor o ó.0 ¿" la tienda *á, ."..urru. L,ntonces,la t ienda ¿ vendería 72b unidades y la t ienda á 125 uniclacles.

t'Esta ftrrma ric calc'iar las'cntas suponc c¡.e la clensidacr cre p.blación es constantc a lo lar-go cle toda la alenida -los consumiclore.s se clistribt,l.en cle manera unifirrme_ lo que srenificaqrre si clos sef¡fi]cntos de la a'cniria tiencr ra misnra r.ngitucl -por ciempl., el segrnenro q'e vaclel 0 al ] \'el segmcnto rlue va cler .,l al r- contienen el nlismo ní,ner. cle consunricr.res.

IN fR( ) t )LrccIC)N

G.r<,rrrrx 0.3Dos tiendas: urra situada en (t = 0.7b y otra en b =

l1)

Oornpradores en c Oornprad<lres en á

( i rnrpran en ¿ consrrnr id()res ent l .c 0. l5 v 0.g7ir( ionrpran t . l r ó r ¡ ¡nsrr¡nir lor( .s ( .ntrc 0.g75 v I

V.nlas de t t - 72i : re l r t rs r l r . l r l2 i

Examinaremos a continuaciírn ras crecisioncs q'e tomará . 'a emprcsa-llar'énl.sla empres:r l- dacros nuestros supuestos sobre la influencia crelItúmero y ubicación de sus tienclas sobre sus ventas. Estas clecisio.cs clepe'cle-r irn de si es posible o no la entracra p'sterior cle una empresa rival -[amémos_la empresa 2. Dernostrarernos primero que cuanclo la empr"sa I es la única:rrrtorizada por el gobierrr. para operar, poncrrá trna sola ti"rr.ru, en el ccntrorle la ciudad. veremos clespués q,.é ..rr,r-ráo la otra empresa ru-¡ic'esté auto_'izada

para instalarse, las decisiones de la empresa 1 serán distintas porquerleberá tornar en clrenta los deseos de su rivar p.tencial. Esto la llevará a poner<lr¡s tiendas distribuicras rl^e manera tal que copen tocro el mercado y disuadanl:r entrada de la ernpresa 2. para demostrar esto, procederemos en dos etapas.l ' i ' Ia primera rnostraremos que si la empresa l pusiera .na sora tienda en el( entro de la citrdad, haría arractivo el establecimiento cle la empresa z. Enlu sequnda mostraremos que, al instalar cros tienclas ubicacras apropiadamente, ral-u]_ryr.r

I rosrará disuadir la enrrada cle la empresa 2 v iumentará así susg:rnanclas.

( iomportamiento no t:strntégiro

[''' este apartado encontrarem's cuántas tienclas pone y en crónde ro hace la('rnpresa I suponiendo que por ser la única,a,toiizada por el uobierno para( )l)erar en la ciudad, ptiede despreocuparse cle la existencia cle iralquier rivar.l'lst() nos prop.rcion.rá un p,nto cre ieferencia importante: el der comporta_rrric'to '<¡

estratógic' dc r:r erlpl '.s¿r r. Es clecir, ra .i lpr.r,r l está cn la misrnasl l l laci íx l <1t t t l Ios i t lQt l l t i t l ' ) r i ( l t r ( 's t 'c l .s¡-rr t ' r t ' r r ¡ ra l r c l t ' las i ¡ tcnr: i . ¡ss c lc l .s as-trr¡s : r l < l is<'ñ;rr ' < ' l r . , i : r j<. : r l : r l rn l r .

a= 0.71> r¡ ! . !2

i l , ( ) t i l . \ t ) l , . . l t t , ( ; ( ) t i : s l , \ l , l . t ( . . , \ct( ) \ ¡ t \ i Lc( )N() i \ .1Ír \

N.rcrrr's prirnero qtre si la ernpresa I pusiera sorarnente una tiencr:r, lecrrl 'endría hac:e.lo e' la z'na cefitral, e'trel 0.,tr y 0.6.7A1 ubicarsc en csta zo_n:r, earantiza que todos los c'nsumiclores potencialcs le cor-nprcn. sus vont¿rsserán cle I 000 unirlacles y, pucsto qLre cxistc trna sanancia br.uta de $20 porcada uniclacl Vendida y tln costo cle nrantenimicnt, clc l ig 0u0 p.r cada tienclae' l ir 'ci 'nanrient', 'bte'clrá

benerfici 's cle $20 ( r 000) _ su tirO = u 12 000. sieligiera urta ubicació' fttera cle la z.na cc't 'al, los crst.s de marte.irnic.t.clc l¿r t iertcla ser'ían los lnism.s, pcr, las

'cntas, rncnores, Io que irrrplicaría m..o-res beneficios. Por ()tra parte, si pusiera más cle un¿r tier'cla, .() aumcntaría s'sventas, pues una sol¿r tiertda bien ubic¿rcla basta para atraer ¿r t.,cl<¡s los con-surnidorers, pcro tcndría que pagar rnás l,c¡cs el c'st. cle rna.tenimient. de

$8 000. P.r l. t¿r't ' , claclos lc¡s supuestos q.e her'os hcch. s,bre er comporta_nrie't. .e los constrrnidot-es, Ia qana'cii p,rr u.i.acl vcnclicla v el c'st. clernantcnirniento clc rrna tiencra, r 'oncruim.s i lrrc *i ra ernpl.csa r prrecle ignorar:rsus rivalcs, ponclrá ttna sola tictrdir, y la ponclrá cn el ccntr-o clc la c:irrcl¿rcl.

( )onLportamien to estrrttégiut 1 proliferut:irirtrle tien.das (Vruicdade.s) de la empresa estableciclos

oor'portamicnto cle la Ernpresa 2 si la L,rnpresa r igror:r sus <lescos

Vearnos a c.ntintr¿rciónt¡.é pasa si el suprrest. rlc que el g.bie'-ro prohibirá clestablecimie'to de cualc¡uier otra ernp.esa en la i iu.lnJ no sc curnple, per<rla enlp-rcsa I se sisue cornportanclo c()mo si cxistiera csa pr.ohilt ición e instala.na s'la ticncla, en el punto ., = i. r-u ernpresa l ," ..rrrpo.ta corro los i.ser.ie_ros qtre cliseñan el viajc a la lur-ra, ir¡nor'¿rirdo los "¿cseos" de los astr's, cuanclcrcn realiclacl clebería c()mportirrs. corno Bancir. Serfín, que sabe f,r. ro, ba.c'srivales ticnen sus propios oltjetivos.

La empre sa 2 e stá autori zacla aponcr. trna tierrda.l) p¿rra averiguar si lo h¿rrá-v clírnde- recordemos q.," .,r,ur',ác, hat'clos ticnclas, cacla consurnicl.r clecidi-rá ir a la tic'cla rnás cerca'a. p.r'cs., si la crnpres:r 2 p.'c u.a tle'd¿r, porejcnrplo cn utl purlt(, lr>+, le cornprar'¿in Loclos los c.orrsunliclorcs a la clere-

7 ( iLtal l r l t l c l pr t l t i< l I l t ¡ t 's etr ' lgt- t t ' ' s i t . r raa rar ia l l l . t l t 'u i r la p ' r . la e,rrr¡rr t ,sa, ( ) ( . r r r re - : tar-r l t t t ' t 's r t l í ts ct t t r r l l i i<ar l . dt ' r lcr l r rc i r - qrrc t ' l ¡^r '1. : r - 0.5 cs l : r s. l r r<. i r - ' r í rn i r . : r . \ ,é:rst , B.nanrr .( t987).I Flr ist t l t t r l ivcrs: ls f i r r r r las r le t l l r ¡ r l t : lar este ( :or)r [ ) ( ) r t .ur icrrr . ( .srr¡rr( .e, ic() . L]rr anhl is is pioncrrrt 's t l r l t ' I ) l t 's t , t t rVist l l t l ( t077).Ntr t 's t l r r . jcr 'p l . t 's t : i i r rspir ; r r r . - r ' r :ssirni lar- . l

cx l l , ( is t ( )en( ' r t l r r ; t l ( l1x)8) \ 'órscl : t l l l l l i t lnTir . le( l0 l l l l ) , r ' r r rkr ' t l ( 'se ' ' lest l .¿r()rr() l rp()rkr f i r r rnal izai : i í>nr let s l l r i t l t ' : r -

' ¡ Nt¡ t sr l : ts r . l l t l t ts i t l t l t ls t t ' t i t l t tcr t ( un) l ) l i r ' r ) ( l ( ) - int : l r rs. r . ' l l n l is <.r lntrrnr l t ,nt . ia-s i la crnprt :s l r I ¡ r r r t < l t . ¡ tont . r r ru is rk, t r l l r t icr t r l l t .

INTR()DLICCI()N ,) |

G,rlrrr;.1 0.4

0.( l

22 \ ., __ __\/--( i l t t rpr : rdorcs en ¿ ( . lonrDrndort ,s t ,n ú

tErrr¡rrr .sa l l r l . . r r r ¡ ,1, . . . r1r

F.mpresa I ponc t i t 'nr la " , , , -

j .

l .nr¡rrr . : r 2 ¡r , r r r l t i r . r r , l : r r n / ,

r l raclelptrnt()1.¡r ' l¿rrni taclc le losconsrrr¡ l i r lo l t 'srr l ¡ i r : r r l ,s(¡rr( . / / r / r (1r . , ¡5q. , , ¡ . ¡

l i r a f ) .4)

E'sclaroquclaenlPresa2¿tutr lc l l t : tsus\ ' ( 'n l l r : i l r r l r t . r l i r l r ¡ ( l l r ( . r ( ( . r ( . r \ r | | r ( . r Ir la:r laclelacmpresa l ,esclecir ,¿r lpunt() , , - \ . r ' , ) l urr ; r l ) i r r ( . , r i r . r ( . r r . r \ ( ( , ,st tn l ic lores ¿r su c lerr :cha, quc sin c l r rc la pr.r ' l i t ln.n . . , r , r r ¡ r , : , . , .1, . 1r t . l l : r . l ) , r . r r . ll )¿Ir tc l , tarnbiénlOgraqui tar lealaempresa I ¡ r i is¡1¡ l lsrrr¡ l i r l . r . t .ssi l r r : r<r.s.rrrr .l l ts d<¡s t ienclas. Las ventas dc la empresa 2 ¿r lcanzlrn srr valr¡r . r ¡ l ix¡rr , t r r : r r<lrrt 'st l i 10 más ccrca posible de la t iencla cle la crnpresa 1. Si l l i rr¡ar¡t¡s t rr l :r

' r í ' i -rra cl ista.ci:r . c1'e pueclc exist ir entr. dos t iencl is, entonccs este p*nto es 4 + r. .)up()ngarnos que t es extremadalnente pequeño )" para simpli f icar l l cx¡r. ,si_ción, rc¿rl icemos el resto de los cálcr.r los , i tu,-r. I . , t = 0'r0 Entonces, la cnrpresa 2se l levarít todos los r: l iet l tes a la clerccha del ptrnto ] , la rnitacl ¿el rnercacl.(500 trnidades). oort uirtsttna ,tra ubicación prrccle g; lr-,o. .rn,, porciírn rnayorrlc ' l merc¿rdo. Ln cr 'prcsa 2 obterclrá bencficios cle $2-ó (500) - $'g ooo = $z obo,

'clejará ir la cr 'p*:s:r I co' be^efici 's der esa lnisma m:rgnitrrcr.

. Err síntesis, si clesprrés cle que l :r empresa l ha puestá rura ¡rr ica t icncla en

t ' l c:cntro de la cirrclacl, la. empresa 2 tanlbién t iene la posibi l ic lacl cle i¡st:r larrrna t iend¿r, clecidir: i haccrkr, y la po'drír j 'nt() a la t ic 'cla cle la empresa r, Iorltte resultar'á cn quc cada ernpresa tendrá la rnitacl clel mercirc¡r y gbterclrírbcneficios de $2 000.

Oornportarnicnto estr¿rtésico dc la ernprcsa I

I ' lxarninemos cn carnbio qué crcurre si la empresa l , ctrando toma inicialmentes. clecisió', está consciente cle qr.re existe oti¿r cmpresa, la empresa 2, que r.ás

" 'Se pt tecle ¡ l r t l ] laÍ r l t te l : rs ct tnchtsiont 's solr l¿rs nr isrr l rs J l l r ra valort 's posir i r .s. ¡>r,r ' srr l i t i . r .l ( ' r l lcntc ¡ tcr¡ucñ<ts, r le r ' , <rr t r l r c - 0.(X) l .

) ¡ i t \ t ) t , l t r , ( ; ( )s: st , , \ t , t . ¡ ( : , \ ( j t ( lN l tN [_(] ( )N()ML4.

:r( l ( ' l i r r r ( ' l ) ( x l ' i i i 's ta l¿u'una t ienda en la c iudad y que lo hará s i le conviene. La( rl l l) l( 's:t I sc 1>clt 't ' lrta de que sus acciones influiránsobre las acciones cle la em-P'r'slr ?, y t.()lna su decisión teniendo esto en cuenta. c'ando actíra de esta ma_n(:r'¿r, sc clice que tiene un cornportamiento estratégico.

.[-a ernpresa 1 puedc anticipar, tal como lc, hernc¡s hecho

'osotros, que si

pusicra una tienda en elcentro, la empresa 2 ponclría una tie.da pegada a lasuya y ambas obtendría¡ beneficios iguales a $f O0O. Támbién puede examinarla alternativa de pone r cros tiendas, y hacer el sig'iente .ur,rrru-i.rr,o: ..s'ponga-rnos que pongo d.s tie'das, en los puntor +, ; . Entonces, si la cmpresa 2 én-tra, lo más que pucde captar es f aer

-.r.i.to. Esto lo pueclc r.grar cle varias

fbrmas: puede. ponerse en el punto I - u y gar-rar toda ladcmanclá a ra izq'ier-rla rlel p.u"'? ]"; puede ponerse

"t'r "i p.,.i,,'i * u y llervarse ,"Ju iu demancla a

la dereclla dc ¡ , o puecle ponerse en un punto interrnedio á l levánclose tarn-l)rer i -p.r ejenrpl., si se ubica en er punto á = j se l leva Ia clemanda de f a$ . Entonces, si la empresa 2 entra, oblndrá ganancias iguales a $20 (2b0) _$8 000 = - $3 000 < 0, es cleci¡ tc.drá pérdidas. previe ncr.

"sto, la e mpresa 2

'oentrará." Por tanto, la empresa I se da cllenta cle que si ponc dos tienclas en l.spurltos 0.25,0.75, disuadirá la entrada cle la empresa 2, se queclará con todo elmercado y venderá t9g.0 u.:lda-des. Est. le proporcionará ganancias ig.ales a$20 (t 000) - 2 (98 000) = g4 000, es deciq Ér ¿ou. de las que obtendrí:r si pu-siera solarnente una tienda.

En c.onsecuencia, a la empresa l le convic.e rnás poncr d's tiendas (en loslunt-os i , * ) q". solame

're una (en el centro). La empresa l pone rnás rie'-

das de las quc p'ndría.en ausencia de un.i 'gador adicional -ü "mpr"ra

z-para copar tod.s los nichos clel mercadr. Modifica sus acciones porque sabeque éstas i.fluyen en las de su rival, es cleci¡ tiene rur comportamiento estraté-sico.

Unrt rcinterNneta,r:ión del modelo y dt¡s t:a,so.s histónt:os

Subraycmos el mensaje central dcl moclero: Una empresa establecida debc to-rrar en cuenta los deseos no sólo de sus rivalcs actualcs, sino también cle losp'te'ciales, que lle.arán los.ich.s de mercado que no estén ocup:rdos, o q,en. l. estén adecuadar.ente. c'a.do la cmpresa establecida tiene_ u. compor_l.amiernt. estratégiccl, anticipa este hecho y.opu todos los nichos para no dejarItrr¿¿rr a l:rs er'prcsas nlle\¡as. En el ejemplo anterior estos nich's te'ían su ori_f¡cn en razones gcouráficas, los cuales son especialmentc relevantes cuando los('()sl()s dcl h-nnsp<lrte son altos en relación al prccio dt.l l l icn y r.r¡r¡r1., l9s co¡sLr-i l l i r loR's dt :b<'n l rat ' t ' r ' repet ic los v ia jcs par l r i - r . r i r , i r <.r l ¡ i t . r r , r st . r

' i t . i r> (Sc:here¡

l9u0) ' I t t ' ¡ - , t ' l ' t ' ig . 'c ler

l 's n ic l l 's ¡ r r r r '<1. 's( ' l ( ) r r ' \ l ,s ¡ r r i r r r . i ¡ l i rs c ' q.e sclrrs:r < ' l r ¡ rork ' l<¡ scqrr i l : i r r rcni t ' r l r l<¡ r , , i r i , r . ' r . r , , l r < ' r t r r . . : rsr ( . ( )n l ( ) la ernpresa de

IN'I ' I{OI) Li(,CION 2:J

, r( st l () e. jemplo puede elegir poner su t ienda en cualquier punto de la avcni-, l r . rrrr:1 emprcsa que prodtrce, por e. jemplo, cereales, puede elesir entrc utrarrrr¡r l i : r gama de t ipos de cereal: más o menos azucarado, con diferentes t ipos

,1, r<l t r lcorantes,detr igo,nraíz,oavena,conmásomenosgrasaycolesterol ,, ¡

' | | ( ) sir l regalo incluido, etc. Una empresa establecida que produje ra un solo

rr¡ro r le cereal, dejaría muchos espacios atract ivos para entrantes potenciales.l ,rs f i terzas que l levan a las conclusiones del modelo anterior también se apl i-, Ir | ( ' r l estainterpretación: Unaempresaestableciclaproducirámásvariedades,l , l l r i t 'n para copar los di l 'erentes nichos del mercad<¡ y evitar así la entr¿rcla de| | u( \ ( )s r ivales. Esto se conoce corno "prol i feración dc variedades".

St herer (1980) cita el caso de la Cornpañía Sueca de Tab¿rco, de propierdad' r l r t t ' l lalnental, corno un e jemplo bien documentaclo de la estrategia clc: prol i-l , r .rr iot l de variet ladcs. Esta compañía gozír clel rnonopolio legal cle la prrr<ltrc-, r , ,¡r r cl isü' ibr.rción dc cigarros en Suecia hasta I961. Hasta entonccs, cstalra crr, ,r ' . t si( t tr tci írn sirni lar a la de la empresa 1 cuando se pueclc ignorar a t rurlr lrr i<'r ', ,{r .r ( ' l l lpfesa p()rquc sólo el la está autorizacla para opefar cn l¿r r: i rr<l:r<1. , \ ¡r :rr.r r r r lc 1961, la s i tuación carnbió porque el mercado st- ' l ibcrír v r 'orn¡r : rñí ; rs rr , r,( ( i rs l i lcxxr ¿rutorizadas a vender cigarros en Sueci¿r. La Oorrr¡ lr i r ía Srrt ' r 'a rk'l .r l r . t t <¡ cstaba entonces en la rnisrna situación que la cnlprcsa I ctr: inr lo t 's l . i i

, , ,¡rsr i t ' r l tc de que más adelante l lesarán otras empresas a ()cupar kls nir: l los clc:

"r , r . l r ( l ( ) que sean rentables. Su reacción fue. justamcnte la predicha por el, ' r , ,r l t ' l r¡ , cs decir, recurr ió a la prol i f-eración cle variedades, l lenando todo el es-

I ' , ( rr ( ) r l t : t ipos de cigarros. Las cifras son contundentes: Duplicó e I núnlero de

'r.r(.rs. r t :cl iseñó sus paquetes, y rnult ipl icír por doce su publicidad, lo que le

¡ , r r r r r i t io ( : ( ) l )scrvar 80 por c iento del mcrcar lo. (Scherer 1980, pp. 253-259.)( ) lr ' () c:tso clc prol i l 'eración de varierdades lo consti tuye el de los cereales,

, r r , r ( l ( ) ¡xr lSchmalcnsee (1978). Estecasonoestan clarocomoelantel iorpor--, l , ¡( | r( ) lclrerl los inicialrnertte a una única empresa autorizada para operar en, I nrcr t l t( lo y atrtorizaciótr posterior de cntrada a otras e[rpresas. Sin ernbargo,,," rrr; tncj{r cuiclacloso de la evidencia l leva a schm:rlensee a sostener que los, , ' ' ¡ ,r i rr t i ¡ralos productores cle cereal en l lstados Unidos siguieron una polít ica

, . r l , ) \ i r r l t : ¡r lol i l 'er irci írn de varieclades entre 1950 y 1972.Aquí no repasarernosr, ,r l r ¡ : l t ¡s f ¿t ' t .orcs clt te considera Schmalensee al anal izar la evide ncia disponi-| '1, r r , rs l i t t l i t : t t c ' tn<¡s a sehalar que estos procluctores introdujeron ochenta nuc-

|. nr.u( ir : i ( 'n ( 'st( ' pel iodo v que, a pesar de goz:rr de altos niveles de renta-l , r l r r l . r r l ( lu( ' ( 'n pr int ' iJr io htrbicran hecho apetecible el mercado a otras em-

I ,rr . , .rr , logr:rr 'orr t ' r , i t :r l l : r entr:rcla cle nuevos r ivales y mantuvieron el control, l , . r l r l r l t ' r lo l r l r ' 8 i r l ) ( ) r ' ( i ( ' l l t ( ) del tnercado.

( ) l i l \ l ) l l t l ( . ( ) \ : \ t \ l , l l ( \ ( . lo\ t \ t r .o11 ¡1¡¡1

Fl,sr.¡rt;<;r.r_rl¡t l)¡_t. r,rRR()

El rcsto de cste l ibr 'está organizado e' ocho capítulos. En el capítrr lo I comen_zarnos el estudio cle un t ip. .e j .eeos cor .na est^rctu[a sencita (r.e nos per-mite sentar las bases parzr.iuegos rnás c'rnpricados. se trutu .l.: ¡.r.gos en qucllos part icipantes n() t ienen posibi l idacl cle rcaccionar a las acciones de los,tr.sjugadores porque caclajtreiclor toma su clecisión sin conocer las clecisiones clelos demás' E'ste t ipo cle jucgos nos permite intrgcltrcir de maner¿r 'atural

elconcepto dc f ir .ma estratógica.clc.n j .ego, v cre cl ist intos conccptos clc cq.i l i_bri., e.t.c ellos el de cq'ilibrio cle Nasñ. Eri el capítrrlo 2 emplearno's lc,s corc,eptcrsdel capítulo I para analizar tres moclelos clásicos clc ' l iuopolio,

el ¿er Bertra'cl ,el dt ' ( lorrrnot v e I cle Hotcl l ing. En el capíttr lo .3 rnostraíás la i ,nposibi l ic lact clcanaliz.ar aluurtosjuee()s c()n las herramicntas clcl capítrr lo l , l , l qu., n's l leva:rintrodtrcir el cotlcepto cle e str:rtcgias nrixkrs. En el cafítul,r 4 estucl'iarn's, hacie'-do uso cle l :r fornla cstratégica dc irn. iucgo introdrrcicla cn el capít ' I . I y clel c ' .-( epl() ( l ( 'estral( 'g i ; rs rnixt t rs ¡ l r .esenla<lo el t e l ctrpí t r r l r ¡ 3. ¡ l l t i i . , r l . j .eg()s

' ) 'vrmportarl te cn el desarrol l t l hist. írr ico cle l¿r teoría cle. jucs()s, k)s l lamac6s.j tre-gos de st lnl: l ccl ' () t le dos pcl-sonzrs. l in el c:apíttrkr 5 comernzar¡os el estudio clel<ls l larnatl 's j treuos di l lárnicos, e' los r¡tre existc. clccisi .nes q.,e se to[r¿' lt lespués der r¡bsen'ar acc.iones.tolr,o. la* pr. ol.ros. iugacl6res. Aqsí present¿rr¡oslos c<lnceptos dc f i¡rrr la extcnsir. 'a cle urr. iucgo v cle eqtr i l ibr io pcrf 'e cto cn subjtre-qos' En el capítrr lo 6 estrrcl i¿rrnos un t ipo "spe.ial

cL.¡ueg,rs ct i¡ i rrnicos, los l la-nradrls. i tregos rcPeti( l{)s' en los quc caJa.jue:rclo. ro}," 'qrr" u,r lverír ¿r i . teract.arcol l el rnisnr'grl lp() cle. i .eaclorea

"tt "r. i i r . i r l rnente las rnisrn¿rs circ. 'st¿rrrcl.s.

l- inahncl l t t l , t- ' l t los capíttr los 7 y 13, anal izam<.¡s los l larnaclosjucg.s c' , ' inlorm¿r-ción.incornplet¿r, cn q'c l<ls. jrruaclores n' están scgur.<r, .r .". ,rr i i .* so. r:rs prcf.e_renci¿rs o las.pc:i .rrers de l .s.tr .s. irrgador.s. En.l r .^ ' í trr lo 7 esttrcl ianros l t¡s. iuce()s c:orr infbrmaciírn incornplctá cual lclo los. juuadorcs no pueclen rencc.io_nar a las acciotres cle lo-s dernírs -porquc cacla jriuaclo. ,.rrr.r,, s¡ clccisiír' si'cono.er I¿rs clecision.s,de los <rernás- y cn c, l .r .pi i i , r , , g, cu.ndo sí ro p.e<rc'h¿rcer' A l ' lar{¡o dcl l ibr. rerstr ir tsimos l)uestra.te'ción al esttrcl io cle-jrreu.scn qt le los incl ivicluos son t.nlarlorcs cle r lecisioncs interclependient.cs. q. lencsno se pttccle f i l rzat 'a c()mportarse clc clet.ernrinada manei¿r. Estos.juce's tanr-biért sot ' l conocit los conto.j treeos no coopcr-at ivos. I I

r r \ ( , ( , \ t i l r l ¡ i t r ( ,ntr , \ . ( .n , . ; i l r ¡1r . i , , . l , ,s I l ; I l ¡ : r r l r rs j r r t .gr , . c, , , , ¡ ¡1.¡2t i \ ( , \ . r . l t r ¡ur .exist I r r . lcrrr . ¡ l l r ¡s

' i t r t r t la l r t t 's t ¡ t r t '

'b l iuan a los. iug;rdt tes r . , r . ,1r , r . , r i . r . jc le c ier ta f i r rnr : r

' c l ,cs, , l ta. l . , c le l . j r r .g. scrrlrt icrtc lr:rs:ind.stl en t 't lrtsirlcr':rcitt.tt 's a ¡niori. N.lcr.os r¡.c, rlc ac.t,Lrl. a esra r.1isti.t: i í in,,a¿:r

¡lr.híl l t l ir t:o.perirt it in .n .l.s.irtt:¡¡,s

n. r:..grcrati ' .s. 1,. r¡rrt ' o(..r.r-o (,s que sírio axistir/r sircsrr l t : r cn inter is c le los r l is t intos. jugncl , r r . , r r . rp. , t . . l r .

l i \ | t t ( ) l ) t ( I I ( )N

BrBr.r<tr;n\FíA

l" ' rr ' rrr l l () ' ( l i : t tot lro (1987), "I-ocat. ion ( lhc¡ice, Procluct Irrol i fcr¿rt ion ¿rnd l ,ntrv f)cte-r ¡( l)( (' , Iln,ieut o.l Ecrnotnic Slu,rlies,54, pp. 37_ 45.

, .r l ,r :r l . Lrr is (1997), I i t :o,rnnía Industnal, Mc(]rarv Hil l . Nlaclr id." ll( r( r'' l" (l{)¡J0), It|dush-in'l Ma.rket Slructute artd litoru¡nfu I'erfot.rnarte,2,,ec1., Ranrl

\ | r ' \ lal lv ( lol lcf¡e Prrl) l ish ine ( i<irnpany, Chicaeo." l r r ¡r; l l ( ' l lsc( ' , R. ( 1 978) , "En trt ' Dcterrence in thc Rcadl.to E¿rt- lJreakf ast. ( ] t ' r .al lnclrrstr, , , . ,

I i t I l . lo t t rn a l. o.f l.. ror t or ni c.s, 9, pp. 301->327.I rr,r l t ' . . fcrrn (19l l8), ' l 'he' l- lnory ol lnt l .u.str ial O¡-sanizution, rrrr I ,rcss, Cambr. ir lsc, Massa_

( l ruscl . ts.

z:,

l.JUEGOS CON MOVIMTENTOSSIMULTANEOS E INFORMACIÓN COMPLE'IA.

CONCEPTOS RÁSICOS

I rrr¡r.zaremos nuestro análisis estudiando.iuegos crel siguiente tipo: cacrajtrga-rlr¡r 'torl? sr-r decisirin si 'conocer l irs decisiones cre los demásjJgadores, y el¡ ( ' .rrr 'to de estas decisiones deter'ri 'a el resultacl. ctcl juego.'Los-¡'gadoresr r¡rr( '2r más interactrian. Adenlás, todos los jugadore, .ori,r..,, Ias caractcrísti_' 'r\ ( l. l jueso, i.cluyend'ras prefererncias cle lás demás.iu¡¡udo..r. Estos.itregos'( ( ()l locen como.i,cg's con movimie'tos sir '. l táneos'e intbrmacio'comple_r' r ' Ser dice q,e los movinrientos sor sirnultáneos porque cacrajugaclor elige quóI r ' rr rr sin saber kr que han hecho los clemásjugoi,r.".. , s. , i i :. ;.;. la i ' fbrrna_r ¡r )n eS completa porque toclos lOs.juUaclores con()cen toclos los componentes,lr ' l i*euo. Para clefi. ir

l l j":S:, cl.-"ri., t ipo necesirarernos cspecil icar e) quié_

'( 's soll los-i 'eadores, iy' qué.ccisiones puecle tornar.uau¡.Jguáor, v i i l) quér'rr bien le va a cadajtrgacror con cada c'mbi'aciórr de cteciJiücs posibles. Es',r)ortante estudiar este tipo,de juegos por cros r-azones. La prir.era es (}re¡'r.pcx'cionan las bzrses para el aniirisis p,irt.. io. de jtregos rnás comprejos. La'r 'qttt lda cs que constitttyctr ttnn buena aproximacií¡r a m'chas situacio'es clcrr¡rcr'ós.2 Tal es el caso cler l:r privatizaci¿n ¿e ciertos activos gubernamentares,rr.tras elecciortes presidencialcs, o la posible aprgbirció. de un trata¿o interna-, ional .

El resto de este capítulo está estructuraclo cle la sisuie.te manera. lrrirneror)r rsentarnos tres ejempl.s que usarnos para i lustra, i,rs el"nrerrtos q.e consti_tt tt 'e I l trn.jucgo; esto nrrs ayuda a definil ' cle spuós c¡ términrs rnás qenerales lc)( l.c se conoce como la forrna estratégica cle un juego. posteriorme'te, explic._rrr ,s < ' l (o ' ( epr() de d ' ' l inancia. qtr t 'en algrrrr i rs ot .asiones t ,s str f i<. icnt t . pararr;rccr una predicción dc lo q.e oc'rrirá y

",-, ,rtru, por Io men.s.os perrniter lt:scartar alg,.os comportamientos cle lo.s jugaclores. Finalmente, expricamostl co.cepro de eq'ilibrio más usaclo.r-, t.,riíu.-.r.juegos:

"r .quititrrr,, de Nash.l)eclicamos u' apéndice al concepto cre Dorntnanctct débily otro a prof'ncrizart'¡r el estudio de Ia eliminació. ite.ada de esrategias fuertemente clclrninaclas.

I Erl realiclacl no importa si cfecti'amente tornan su cler:isiírn al misrno tiemp.. '..

t M.chas sit,aci.nes p'eclen analiza¡sc <:omo intc.acciones que ocufra' u'ao ,,rrn \,(,r lxlr-( l t l ( 'es muy tmprobable q.c los ¿igentcs involucrackrs ' .e l 'ar

a i , r t " . " . t . ,u. , , l r ; ; ; ;1, , . . i . r r (1.( . r ( )l l r lg:r t r la i ' tcracción a¡ la l izacla cs m,rch,¡ más imp()r t i r l r ( . qrr t ' l : rs ¡ ; ,s i l r l t .s i , r r . ' r r r j . . t .s r r r r r r . ¡s

: /

¡ \ l ) t l r t ( . ( ) \ : s l \ l , l Ic , \ ( .1()N I . lN Ec()N()N,Í IA

l-r . n l l . t , :u,r t ) ¡ : r . pRISIoN!.R()

I r r . r r r . r r r . r ¡ . r r l r . l : r ' l i . t ¡ r ' í : r <kr. j t rcgos esquc nos h¿rceverquc si tu¿tciones ¿rparer)_r( nr( nr( r l i l i rcrr t t 's ( ( )nt l ) l t r tc l t c ie[ tos t .asg()s esenciales que or ig in¿rn qtre los,r , ( i l t ( s i r r r ( ) l r r< r 'a<los err c l las tengan cornportanicntos s imi lares. Pof ejemplo,( ( ) r I s i ( l ( ' t ( ' t l los l t rs t t 'cs s i t t raciones siguientes:

a) [)os clnPrcsits! qt lc s()r] l¿rs írnicas que operan en cielto lncrca(lo, pue-tk ' r r I i j r r r '<krs nivelcs de prccios, que l larnaremos al to 1 'bajo. oacla una f i ja su

¡r l t ' t io si t t cot loccr la clecisiírn clc su r ival. Si las clos f i jaran el rnismo prccio, ser '( 'P:u't i r íal t el tr lercado a la rnitad; por lo que si el precio colnírn ers alto obten-t l l l in l¡erlcf icios dc 80 rnientras qtre si es bajo, sólo 60. Si una l i jar ir un prt 'ciorrrírs b:r jo qt lc st l r ival, le <ltr i taría una porciírn irnportante del rnerrcaclo ,v l :rcleiaría cort bcnef rcios cle sólo 40, rnicntras qtrc el la atrmentaría los stryos a 100.l ' i l s iguiertte cttadro rcsunle la inlbrmaciírn necesaria parzr anal izar tura situa-ciórt ctt la clrre c:rclzr cmpres¿r brtsc¿t maxirnizirr sus bcneficios. Se rnucstl 'an losdos precios que Ptlcde elegir cacla cl l lpresa y, los bcncficios que obti t .nen p:-rr-ucada par cle precios clcgidos. L, l pr irner nírrncro cle cada una cle las casi l lasinteriores ir lcl ica los b<-'neficios de 1¿r crnpresa I v el scgur-rclo los cle lar cmpresa2. Por ejernplo, l :r casi l la inf 'er ior izquicrda nris indica que ctrando la cmpresa If i ia un precio bir jo 1' la ernpresa 2 turo alto, la pl imcra obtiene bcncflcios cle100 r ' la sesunda de ,10.

(Ir,ct)R() ILJn cluopolio con dos precios posilt les

tlrnpresa 2

['n'rio ulto I'tvri.o lto.jo

h,rnplcslr I Plccio al toI t lc 'c io bu j r r

80, 80I(X). ,10

,10, t 00(i0, (i0

/ . ,) Dos r l t t t ' i los t l t ' l lot l ts lx 's( lueras t icnen acrceso a un lago.: l ( lacl¿r clueñor l t ' l lc ' rkr t i r l i r '< rr : inros l rot t 's crrr ' íu 2r pcscar ¿r l lago. La pescir que obt icne cacla

' l i . . l l t , t t t l r : t r t rs ior l l r t tn st 'nt i l l l r t l t ' l l lamado problcrna r lc los lecrrrsos <le a<:ccs<i col l l t rn.I l t l t ; t l ¡ t t t t ic l r lo t t t t t t t ot t t ¡ r l t lo t l t ' t 's tc 1r ' r ] r i I , que inr : l r tve el an: i l is is t l t : nulnerr)s: ts ( . \ l jcr i ( :nLias.

l ) r r ( ' ( l ( ( r r ( ot t l r i t rst t t t ( )s l r t ln, ( iardtrelr ' \ \a lker (199,1). El t ' j rmpkr r l t : la pesc:r cn el lzrgo ctr : rn-r lo c l : r ¡ r cso :r l l ; rgo t s l i l r r t . . t 'n l r rgar de t :surr t .estr ingido a r : icr to elrrpo de pers()n: ls, 1,el n i r rnerrrr l t lx¡ l t 'sr¡ t t t st ' ¡ r t t t t l t t t t l lv iarnoest i r rcstr ingidoaclr¡sc:rnt idades,pucdeenc()ntr :1rsccn\fas-( ,o lc l l . \ \ ' i r rstr¡rr v ( i r t ' t ' r r ( 1 1) l )5) .

Jt:E(;()s coN N,{() \ ¡ r \ I I I iNTos sIN. ' lL l : fÁNF,os l . l f i r . ( ) t {N.f , t<:rr ' r r ' - r ,<tr tp l . r ; r ,q 29

l )( ) l( ' ( lcpende del nírrner() total cle botes en el laeo, si los clos envían pocos b6-r, s. ( i lda botc obtendrá una buena pesca y cada drreño bencficios cle 100; si l6s' l , rs t ' t lví i ln rr l t tchos botes, cl lago se saturar ' í i ckr lrott 's, cacla bote pescará poco, , : t( l i l c lueño obtendrá beneficios de 50. Si un ( lucrl() erlr , í :r rnuchos botes y el' ' l r o lx)c()S, el prirncro se beneficiará cle la rnocleri tci írn del segunclo, obtenclr.¿rlr .rrt ' l ic i .s cle 120 y de.jarír al ses' 'clo co. bc'el ici .s de sír lo 40.

Ntt t 'vat l l t ' l t te po<lert tos I 'esrrmir err r r r r t r radlo la i r r lbrnra< i r in rr t ' r esar i r r n:rr-a

'rr: t l izar csta situzrción si sttponemos quc cacla clrrer 'ro busc¿r rnaximizar.r,s pro-¡ ' ios bencficios. Aquí se nl l lestran las dccisiones posibles para cacla cltreño (en-\ r ir l P()cos o rnttchos botes al lago cornírn) r ' los beneficios clerr ivados f le cafla¡r.r l cle clercisiorles (el prirncr ní lnero clc cad¿r casi l la in<l ica los beneflcios clc la( n r l) l 'esa I y el segunclo los cle la cmpresa 2) .

Cr'¡nno 2Acceso ir un lago común

Fkrta 2

II¡u.¡s bok'.s Ilttrlns botes

Flota I Pocos botesMrrchos botcs

100, t (n120.,10

,10, 12050, 50

r '7 L, l tercer ejernplo es una historia inventacla por Albcrt Tucker'1 cn I9ir0¡,:rr ' :r i l t rstrar estc t ipo de situaciones, quc se ha convel-t ido en un ejemplo clási-I r ) ( ' l l teoría cle. j treeos. t ,a pol icía arrest¿l a rkrs hornbres sospechosos clc comc-tcr t ott junftrntetttc divers<ts crírneners y los mzrrrt iene cn celdas separadas. (. ]acla' ' , rspechoso sabe clue st l selt tcncia clcpende rá clc lo que colt f iesen tanto él cor¡6\rr ( ()rnpai lcr(). Si los dos confiesatr los crímencs corneticlos, l t ls sente¡ciar.írn a, rt t t o l tños cn prisión. Si ninguno conficsa, la pol icía no tcndr' ír s¡f icicnte cyi-, lcrrci:r parir culparlos del cr irncn rnás gr¿lve v cstarán en prisiórr sólo por rrrr' rrro' Si uno confiesa, será l iberado de innlediato cn comperrszrción a srr conf 'e-:rr ' r t l , t t l icntt 'as que cl otro estará en prisión siete años: cinco por kts cr.ímenesrn i< ialcs nrás clos adicionales por rnerntir a la. jrrst icia. Supone:rrnos que a cadaI'r ¡ : i i () l lcro no le intereslr crtánto t iernpo t.ncierren a su compairero, sino só19( I r i i l l t () t ic l t l rpo cstará él en la cárcql. Nuel,amente podentos rcsurnir en un crra-

' l to l l t i r l f i r t ' t l laciír tr releva.nl.e para la torna cle clecisiones clc los prisio¡er¡rs.\r¡rrí st ' nlu( 'stran las cleclarac:i()nes que puede haccl cacla pr- i* i t ,ncr:o y, cn cad¿l

r l i r rkcl cstr i l r i .s t t l r r l r t jot 'n l1) i ¡0torr t ' l l í t r r lo" , \ l rvolr t ' r 'sorrr l i l t 'nr : r" t 'nSt:rrr l i r .dL' l r iv ' rs i ly

' r r l r l r l l I t t . r ¡ t r r l r l i r . t r i . t t t t r . is tcr icntr ' ; r ¡ l l r r t r iocrr l1)8otonr ' l l í lu lo"()rr I r r rgon: ' l - l r< l ) ¡ . is¡rr t , r . 's| ) r l r r r r , r" . t t t : t l , , r t t t t , t l I l l l l

1t( ) 1E()RÍA l)E ILIF.(}os: st.l APl.l(i\(lloN !l\ li(l()No\'ltA

Cu,c.DR() 3EI dilema del prisionero

Prisionero 2

r:asilla interio¡ (el negativo cle) los años en prisión del sospechoso I seguido dc

(el negativo cle) Ios años en prisión clcl sospechoso 2, para cacla par de declaraci<l-

nes oosible.

Negrtr Conlesar

Prisionero l Ncgar -1, -1Corrfésar 0, -7

-7, O-ñ -6

¿Cuálpodernosesperarqueseaelresrr l tadcldeestassi tuaci<rnessi ,enlasd.rs i.im"ias, cada cmpresa busca maximizar stts benefrcios y en la tercera ca-

¿a piisionero ," p..o..rpa sólo por el tiernpo que pueda estar él en la cárccl y

actúa racionalmente para aumentar su propio bienestar así errtendido?

Estostres. juegos,ymuchosotrosquerepresentansi tuacionesenCOntextosrnuy diversos, comparten la misma estructura de pagos. Debido a la historia en

el tcrcerjuego, son con()ciclos comojuegos del clilema clel prisionero. Su estntc-

t.ra de pug;r p".^ite respo.cler fácilme'te a la presunta del párrafo anterior,

p.rr la rig.,i'enü razó.: ca<ia empresa o prisionero puede determi'ar lo q.e más

i. .orrroiér-r. sin necesidacl de saber lo que hará la otra empresa o prisionero'

Analicemos por ejemplo el tercerjuego y pongámonos en la situación del

prisionero 1 q.,"'p.r.i. razonar clc la siguiente manera: si el prisionero 2 niega

ia, ac.rsa.ior-res, a mí me con'iene rnás confesar; pues entonces me liberará'

de inrnecliat() en lugar cle estar un año en la cárcel' Si el prisionero 2 confiesa'

entonces tambien tnc conüene más confesat. pues entonces estaré < inco al ios en

la cárcel en l¡gar cle los siete qrre estaría si negara las acusaciones' l'Tsandg el

clradro, este razonamiento se corresponde con lo siguiente: el prisionero 1

debe elegir alsuno cle los dos renslones. Esta decisión,junto con la elección de

alguna .óI.,-rru por parte clel jugador 2, nos clice a cuál de las cuatro casillas

de"l cuadro se llegará.'El pri-ei núttrero de cada casilla indica el (negativo del)

nírmero cle años que estará el prisionero 1 en la cárcel. Las casillas del sesundo

re .glón (confesai) indican menos años de cárcel para el jugador I tant. para

la primera como para la segunda columnas' Entonces' sin importar qué haga el

¡r.i.i,,ne.o 2, al piisionero I l" conúene conf'esar. Por este razonamicnto, el pri-

. i.,,t..r,r1, interesado sólo en su propio bienesta¡ confresa el crimen. Por un

r:rzolurrrrit '¡t<¡ sirnilat-poclctn<ls l legirr zr la conclusión de que el prisionero 2 tam-

l r i t l r r lo l t : r r : i . l '<¡ t t : r r l l< ' t , r los¡r t is iot tctos( l t l ( 'secl lc l lentrc lnel l laSi t l raciónal l te-

I t 1, , ( ; ( )s ( t )N \ ,1()v lN,f ILNtOs slr tut . tÁsl loS l l l ¡vr ' ( ) l lN{r \ ( i l ( )N ( i ( ) \ l l '1 .1. l ' \ . ) I

I r' 'r \ so preocupen cacla uno sólo por su propio bienestar, confesarán el cri-

,,,, rr t otttctido y serán sentenciados a cinco años en prisión'

[ ]rr r.azonarniento similar nos l leva a dilucidar cuál será el comportamiento

, l r l . r : t ' rnprcsas cle los pr imeros clos ej t 'mplos cuando cada una quiere maximizar

,, ' ' ¡rr,,pi,t, beneficio's. Al dueño de laflota 1, en el ejemplo del acceso aun

1.'1i,, ,,.r-ú., le conviene enviar muchos botes (renglón inferior) sin importar

, ¡ r rtl haga la flota 2, pues al hacerlo así, obtendrá l20 en lugar cle l00 si la flota

; ,.,,,,íu po.., botes, y .btendrá 50 en lugar de 40 si la f lota 2 envía m'chc¡s bo-

,, ,. ,\.áiogamente, al dueño de la flota 2 le conl-iene enviar muchos botes sin

| | r r l)( )l.tar ü que haga la flota I . Por tanto, si cada ¿ueño se interesa sólo p.r s.s

¡,,, ' ,1tios beneficios, enüará muchos botes y el lago se satlrrará. Asimisrno, las

,l,,r(,rr.,p..rus <lel primer ejemplo elesirán fl jar precios blicrs y obtctrdrán bene-

l,,. ir is iguales a 60, menores a lot que obtendríar-r si ambas ll jaran precios altos'

La enseñanza central cle estos e.jemplos es la existencia de sitrraciones en

,¡rrc la búsquecla del bienestar indiviclual conduce a un resultado perjudicial

¡ , , . , .uo*b' , . jugadores.Porejemplo,elbienestardelosdospr is ionerosaumen-i.,, ía si los clos nesaran las acusaciones. Sin embargo, la bírsq'eda del bie nestar

rrr<lividual no es compatible con esa nesación conjunta'

.Jt t r ;os E\ ! ( )R\1. \ [ .srR.\Tu(: l {A

\¡trovecharernos los e.iemplos anteriores para definir más formalmente trnjrre-

,1i,. I-n esta sccción uut.,'oi a analizar solamente los llamados¡ueros en forma

( stratégica (o forma normal).Paraanal izarun. iuegoenformaestratégicanecesi tamosespeci f icartres

, lcrncntos:

1, t Losjugadores.2) Las estrategias que tienc a su disptlsición cada jtlgador'

i) La utiliclacl (o bienestar) que obtiene cada.iu¡;ador para cada cornbina-

t ión cle estratesias Posibles.

Mírs formalmente, tenemos lo siguientc:

De.Jinición:un juego en forma estratófiica cstít firrrnado por un conjunto de

, jueaáorcs Ny, paraiadajugador i en N, tttr cotrjrtnto de estrategias .\ i , 1'una

lirnción cle utilidad ,, q.," uiigtluirn númr:r<i t Cal a cada combinación posible de

cstrategias (s¡, ..., sr) en el ioni.,nt,, cle conrlt irraciones de estrategias s= stX

... X"\'". l)enotamos un jue¡;o.rt fot*u est.r ' i l t í 'gicir por {Ni Sr' " ' S'; ür' " ' ' u' l '

En cl juego del DiLima rl,el prisionero, e I t:o.itr.r' de jugadores Nestá fbrma-

rlo por el prisionero 1 y el prisionero 2. Ent()¡< ¡s ltrty n = 2jugadores' El conjunto

I t . . ( ) t i t \ I )1. . l t ;1, . ( ; ( )s: st . , \ t , l , t ( , . { ( .1()N I . .N 1. . ( , ( )N() I t ¡A

.c cstrat'cgi¿rs cs er nris'r, pa.r_a r1s cros.iugacl.res,.Sr =,12= {confcsar, rresar}.Llanlernos (x, r) a la cornbi'ición cle estrirtegias er qrre el.jrruaclor I elise la cstra-tegia xy el. iugaclor 2 lacstr-ategia ¡. Entonces el co'junto dc combi'acioncs clcrestratcsias cs s= {(co'l iesa, riega), (co.fics:r, co.fiesa), ( ' iega, co'f iesa), (nie_ua, nicga) ). La fiurción cle utiliáad es cl nesadr,,o dcl núme¡,r .í., orl.r, quc p¿rsaclr la cár'cel cacra jtrgacl.r-. ?or ejernplo, si cl j'gador I co.fie.sa y el jrrga.or 2.iesa la ac'sación, el.juuzrdor l t]"r,.],,,,.,.,tiri,Ioá:i; .;.;:;;;;.1. r,, tit ..o,, r,r_trlediatalnente . I)enotentos esto (.r)lllo ?t1 (c:or-rfiesa, niega) = 0. Tbtremos asirnismoqtre ur (nicua, nie¡4a) =-i,ut (confiesa, conliesa) =_Sl ,, ir,f ,r i.ü,-.,r,r¡esa) =_7.La rrtiliclacl clel.iueacl'r 2 sería, .sanrlo esta notació., ,2 (c.'fiesa, rriega) = _7, u,2(nreg¿r, niega) = -1 , uz (conficsa, confiesa) = _5 y iz2 (nicu:r, conliesa) = 0.

Esrn.l t t t ; l , rs F.LrnRt l , tN,tI . tN.nt tx)NuN¡\Nl rrs

A vcces octlrre quc url j truaclor t ie ne urra estrateqia con l¿r c¿rracte r. Íst ica clc c1'elc proporci''a mcj.r.s rersrrltacl.s qlre s's crenlás estrategias, ,ro importa q'é ha_g:rr l los derni is. iuearl ' res' Fsta estrategia se co'occ c()rr l() ' l l¿r

estr¿rtegia f irerte-nlentc d.rrt in¿rnte' ( l 'ancl. rr ' j t rgacür cl ispo'c cle t¿rr erstrategia, le c.n' ic 'crrrsarla si ' I 'gar a crrrdas. Srr clecisió' es rn.),sc.ci lra: . i siq' ieia t ie.c que p.r_n(.r 's( ' l r l )ensar r1rr i , har. l i r r los r l t , rnás.

,r. j , ,r ' { ; l ; : ' r : ' ! :r la estrategia r,1) cs tt 'a cstratcsia t .e.remc^rer cr.r ' i ranre pirra

tz¡(s¡ , . . . , .1"1, . r ,1r , , t¿¡, . . . , , r r , ) >.a¡( . r ¡ , . . . , . r¿: t , . r j , . ia¡ , . . . , s, , )

par-:r torla cstr¿rfcgi¿r alt .cr.nat. iva ,r j clel. j treirdor t , ¡ ,para todo vector (.r l , . . . , .r¡1,, !¡r, . . . , .r , ,) clc conrbin¿rciones,l" "rt . ." i"ei,rs

dc los ¡¿_ l . j ,rer,. t .rr . ,s rerstantc,s.

En los tr.cs ejernplos ¿rnter.iores todos los.jueaclores ticnelr una esú.¿rtcgi:r firer_tenrentc donrinante, por cso s()n r)uv serrrcill<li cle :uraliz¿rr. nr, .,t .:¡.,r'pr<¡ de ,nclu.pol io col l dos ¡rrcr i .s prsi lr .res..si ra ernpresa I f i ja un prec:i , baj. .bten¿r: irnírs bc.ef lcios q.e con . 'n preci ' . ,1r: l : : ,

i , rrp,,rra q. i i , f r"gíf . : ; ;O;r.2: obten_dr'á I00 e' ltrsar cre g0 si la enrpresa 2 fija .ri precic, alto, v .btc.cirÍr ff) c. r.sarde 'trO si la empresa 2 fiia u' pre'cio bajo. i lil er.presa 2 le oc'rre exactamenre *rlllslno: la estrategia precio bajo es una estr¿rtegia 1irertetncnte dominante. Asimis_nlo' e rI el cjernplo cle las flot¿rs pesqucras cucli ",rrpr'"sa

obtiene rrrás benelici.s sil lera rntrc l ros hotr .s al l lprisionerc,, ,o.,,.u,"gil1li;,1:;:il:fi:n*:-:*,:l,T.il;,y;,ll,.lr d'ema der

(] tr¿r.do cirda.i t luacl,r t ic 'ne'na estr¿rtesia f .ertcmente clorninante, te'cl 'er-trt<rs lr q.e sc llama un liquirihi.o en, e.str'te[i'n.s.f uil,em(ntc rrom,inrt,.tc.s.

Jtrr ' r ( ; ( )s( ioNM()\ ' IN{IENr<lssr:r t t r t r , ixr . r ( )sr , r \ r . ( ) r i \ r \ ( , r ( ) \ ( ( )ñ1r,r . r . . t . . \ :J:J

lhf in ' i t ' ión: un equi l ibr io cn estr : r tcgi : rs l i r t ' r r< ' r ¡ l r . r r r r . tkrrrr i r r :ur tes c ' 's istc elr"" r t onlbin¿rciín cle estrategias ( r1,, . . . , .r , j )) t :r l r .s ( lu(., l ) :u.: l toclojueador len ,\ , ,. ( .s ul lA estrateeia f r rcr tcnlc l t tc r l<t l l t i r r : r r r t t_.

( ' t rnt ldo unjucuo t ienc utr cr¡rr i l i l r l io ( 'n ( 's t lut( 'g ias fuertemente ckrmi.an-' ' " ( 's Int ly plausible esperar qtrc ( 'st( ' st ' :r t ' l lcsrr l ta<lo clel juego. Esta precl icciírn

' 1' i \( i t l lsa sol¿rrnertte ett el sttprrc'sto r l t ' t ¡rrt ' rrn-jrreaclor q. ia t i"rra u¡a cstr¿rtcgia' ¡ r r r ' l t 'c .nvie.c rnás que las. t . rus s i ' i r r rp,r tar l . c}re ñugu. los otros. iueado_, , r . la usará.

\Itts srtln'e estrcttegia.s domiruulas y rlotninanle.s

I )rrr l t l l tc la segund¿r gtrerr '¿l rnuncl ial, en 19,13, tropas est¿rclrrniclelrscs y. iaporre-'rs st ' l ' icron envuelt¿rs en el siguicntc. iuego.s El almirantejaponés I¡ar¡,ra ibaI lr lulsp()rtat ' trop¿rs para reforzar str base en Nuev:r G,lr inea 1,cl Gener¿rl Ke nney

' ¡rrt ' l í l t l lomll :u'cle¿rr esas trop¿rs clurante cl traslaclo. Kcrná quería maximizar' I l r( ' lnpo de cxposicit in ¿rl bornbardco, e lnamura nrinimizarlo. I¡ar 'ura p.¿ía" rr l izar el traslacl. p'r_cl norte o p.r cl strr crc Nueva Brertañ¿r, p.r r. quel\( rrr lcv talnbién debía dccidir a cuír l cle csos sit ios enviar sus aviones. l l l trasla-' l' r <ltrraría tres dí¿r p.r cualquiera de las dos .rtas; pero la

^lta norte er.¿r más

llrr ' i 'sa' Aclemhs, si Ken'cy no acc.&rba a la nrta que seeurría In:rrnura, susrr iol lcs tardarí¿rn url poco nlenos de un día err rect i f icar el rurnb. y alcarrzar aLr\ l l r)pas.japoncsas. Estas consideraciones resultaban en urr t icnrpo clc exp'si-

' i r l ¡ l cle tres días si er bombarcleo tenía lugar en el s 'r y Ke,rrrey c.viaba sus'rr i . 'es por esa.rta desde cr principi. , . ,r . .rrru rcclucción cle 0.g i ías si Kenney' l t 'gía u'a ruta dist i ' ta a I 'amrrra, y de un cría si cl bomb¿rrcle' tenía lrrgar en errror ' [c. La lnatr iz dc pagos era entonce s la siguie nte:

Ct,.,tot<<t ,l

La batal la dcl mar t lc RislnarckInarnrrr¿t

Norte

Kcnney NorteSur

c) ()

r . t . - l . t9l ( ) r

' I r r l r r l t 'sc l i l lc ión lnírs complcta c l t 'cst t ' ¡ ropul : t r c jcrr ip lo, tanrbión ci tacl6 p.r Ras' l r rst , .r l ' )1)o) st ( l ) ( t r ( r r l l r r t t r I I : t ru ' . t l (11) i ¡1) . , \ r l r r í l r " , r r , , r , r , , r . l i f i , : r r l r ¡ l<¡s Plrq, , , l igt , rarrr , . r l ( , ( . ( ) r )I r r rcs cr¡rosi l i ros ( l r l i t ( l l t ( . l l : r r l r r l r ¡ l l t i l l tn¡ i ; r I i rct l r , ) .

' r l I 1. . ( )RL\ I )1, : l t ;1, ( : ( )s: st , \ l , l , t ( t . , \ ( I ( ) \ t , .N t . t | ( )N( ) t \ i l . \

P'clemos compr()bar que en el juego anterior 'o hay eq' i l ibr- i<_r elr estra-tegias fuertenlcnte clominantes. En ef 'ecto, el general Kenney no t ienc nin_guna cstrategia fuertemente clt trninante, pues lo que le conviene hacer cletpen-de de lo que haua Inamura (norte le proporci.na rrn pago rn:r\ ,()r si Inarnur.ael ige norte, pero sur le cla r-rn pago mavor si Irrarnura el ige, sur-). por eso ncrpuede satisfácerse la definición cle eqrr i l ibr io en cstrategias f irertemelte clgr¡ i-nan tes.

Sin ernbargo, el concepto de estr¿rtegias f irertcrnente clorninantcs sí nospucde ayr.rclar a anal izar estc juego: Inarnura sí t icne una estl .ategia frre rtemen_te dominante, pues la estratesia norte lo expollc :r r . ln rr lcnor bomitarcleg qugla cstrategia sur, no imp()rta lo quc haga Kcnney. por tanto, poclemos predecirqt t t l t t l tmttrat le<idir : i i rsep,r t ' ( ' l l lor le. l .s tot l rn lb ié l r ¡ r r reclcprt .dt . r i r lqKe¡rrc\ . .de la rnisma forma qtre lo hemos hecho l losorros. Ani icipánclolo, el ige irse porcl norte, con lo que obtiene 2 en lusar del pauo cle 1.1 qrre obtenclría si cl isicl .asur. El resultado predich() es entonces que los clos se irán por el norte, <1ue es loque t ' fet t ivarnent( . ocrrr l i í ¡ .

Notemos que la prcdict: ión de que los clos. juuaclor-es clesirán su estratcsianorte descansa no sít lo en que rrn jueador que tenga utra estrategia fuertemcn_te dominant¡ l¿ ¡¡;¿¡f -lnarnur':r e le{rirá su estratecia norte-. ,ir.,o q,-,. los de-más jugaclores anticiparán csta decisi(¡n -[(s¡111¡v anticipará qle l¡amura seirá por c l n()r te- v acluarán en consectrcnt . ia.

[-a idea cle domin¿rncia la podemos tanlbién apl icarr.a situacioncs en quc, sibien un.jueador no t iene una estratc'gia que le conveng¿1 rnás que las ., tras ¡oirnporta qué hauan los otros. j truadores, sí t icne una cstrate{r i i que punca leconvendría usar, no importa qué lragan los clemás. Es dccir, la iáea de clorni-l lancia se puede usar para desc¿rrtar estrateqias quc nurrca convicne usar. Másprecisamentc, st lPol l{¡an)os que un.lugador t iene ur-r¿r estrateqi¿r con la caracte-ríst ica dc qtrc existe otra <¡tte sietnprc le cla rrre. jorcs rersultados, no irnpgr&r q¡éhagan los t lcnlírs j treaclores. Entonces se cl ic:e clue la primera estratesi¿r c.stáf trelrtenlentc r lolnitracla por aquélla, o que la segturcl¿r clornin¿r fr.rer-terr ientc a lapr i rnera.

lhfirtit ión: la t'str:rtegia si es fuertemente dominircla por la estrateuia .r¿ (obicrr .r¡ r lonl irn f ire rtcrncnte a la cstrategia .r i) para el. juuaclor l en .\¡si

i t , ( . t ¡ , . . . , , r , -1, s j , s;1, . . . , s, , ) < u;( . r1 , . . . , J¿:1, . r , , . !a1, . . . , . r r , )

par.:r toda combinaciól l cle e str¿rtegias (, i¡ , . . . , .r¡_1, .r+r, . . . , , i , ,) de los n _ I j r .ruad'_res restantes.

l l l ( . ( )s( ( ) \ \ t ( , \ t \ i l1, \ t ( )sst¡ , l t t t . \ \1, , ( )s l . l I \ l , l )Rl f , \ ( j t ( )N c()N,{ l , l . l . . l l , \ i ) l )

( r r : rnr [o rrn. j r ru:rdor t ienc una estrategia l t rer te mente dominada, no la usa-, , ni ln( ir , l )() l 'que dispone dc rtna estrategia altcrnativa que le proporciona rrn1,,, r¡¡ 'slru nl irvor no inrport ir quér hagan los otros. jueadores. Este hecho nos pue-,1, r( sult :r l rnul ' ír t i l en el anál isis de alsunos-jueuos. Clonsideremos por t jcrn-

¡ l ' ' l . rs s igrr i t ' r r t t 's i t r ración.

l)os c' tnprcsas piensirn lanzar un nuevo producto v están pensanckl círmo,, , ' rr r< i i trsc. Cada una t iene la posibi l idacl de real izar diferentes t ipos cle campaha

¡,,r lr l i< i tur- ia: anunciarse 1) por radio (baja) n) por telcvisi írn (rnecl ia), i i i ) p<tr, rr l i r ¡ \ ' telcvisión (alta). t ,a distr ibución del rnercado entre las dos ernpresas sel, tcr tninará por el t ipo de carnpañir que lancen l¿rs clos. L,sta cl istr ibtrción, jr .rn-

r¡ ¡ ( { )n ('l cosfo cle la carnp:rhzr, dcte rmina l¿rs g¿rnancias que obtiene cada cmpre-r (t l lo sc ref lcian en el cuadro 5.

(Ir,rnno l-;Emprcsa 2

Btt jtt i \ lu l iu , l l tu

Ernprcs:r IB4iuMediaAlta

70,7080, fi)60, 50

611, U060, 65,10, 4t)

50, 1X).10, (i0

20,11¡

I in e ste caso, nineutra elnpresa t icnc una esl-rategi¿r l i re rtcmente dorninan-tr ' : si tr elnbargo, la empresa I sí t ie nc Lrna estrategia l i tertcmt:nte dornir-racla: sur ' \ t l l tegi i t al ta cstá fuertemente dominacla por su estratcgia meclia, y p()r csc)nul lc¿l la usará. La cmpresa 2 se cla cucnta de este hecho, por lo que arnbas( nrl)resas saben qtrc pueden restr insir su atcnción al siutr ientcjuego reducido:

Ernpreszr 2

Baja

Ernpresa I B4iuMcclia

70,70¡r0, 60

6ir, 8060, 65

50, 9040, 60

En este. jueuo rcducido, es ahora la empres:r 2la que t iene una estratcgiaf rrertemente dominada: baja está f uerte mente dorninada por media. Al borrar-l l i , nos quedamos con un jueeo con dos estratcgias para cada empresa.

t t ¡ t t \ l ) t l t t r . i l , , r \ ¡ ' t l ( \ ( t ( ) \ l , .N l_c()N() \ { iA

l ' , r r r ¡ t lcsa 2

Media Alt¿t

I r r r ¡ r lcs: t I R:rja1\lcdia

65, 8060, 65

50, 90.10, 60

(_'()rrr() t ' t t <'stt ' . i t tergo la estrategi¿r rnedia est¿i ahora ftrcr.ternenter dorni 'acla¡r ; r r ; r l l r ( 'n l l ) r ' ( 's : r l , l leg:rmos al . juego:

Ernpresa 2

NI¿dia Alta

I-nrpresa I B4io 6,1'¡, Il0 50, 90

L'ste e-s ut l j t tego mtlv senci l l () , en cl c¡rc la ernpresa I t iene sglar 'c.tc .na es-tratesia v la empresa 2, dos erstrategias, de l¿rs cualcs la estrate{¡i¿r rncdia cstá fircr-tcrr lente dominacla. P()r tant(), Ia idca dc quc trn jugirdor lr , ,r-r. , , elesirá

'raestrategia fucrternentc dominacla, y los clernás 1., si¡iu,,i nos lrer,:r, clcsptrós clercpetid¿rs i teraciones,.a csperar que la efnpresa l cr i ia str esrrat.gia baja,,v lacmprctsi l 2 su estratesia alta.En lcrs dos jrregos anteriores, hemos recrrrr icl . a l 'que se corocc c.mo erpl 'occso de el iminación i terracla clc estrategias f uerternernte clominadas, es cle-cir, hernos cornenzado buscando c,st.atesi;s f i rertemetnte clorninacias en el jrrcr

so orisinal. Si las ha habid', ras hermrs borrado. L,n el. juego co' ras estr. tegiasrernanentes, hemos vuelto a brrscar si existen ctstrategias fuertcnlente dornina_das ¡ si las ha habiclo, tarnbién las herrn<ls borrado. Henrris conti . .acl. pr.-ceclienclo cle est¿r n):llrcra lrast:r qrre no ha lt:rbido más cstrat"sir", firartarr.r.,r.,t"r lominadas' Las cornbitr: tc: ioncs i le estr¿rteeias no el irnirarlas sobre' ivc' la cl i-rnin ación i terarla de erstrategias firertcrrrerrie dornin aclas.

uno podría prcigt l l l l . : l rsc si el ordern en que se borran las cstrategias l i rertementc clorni.acras .rf erir erl resurtarro. por c. jer 'pro, si terrem's'n jrrce, cn quet¿rnto el jug:rdor I como el 2 t ienen ult¿t cstrategia ftrertemelrte clominada.

r ' \ I : ' ts I iat l r ( )sa¡ l lCr l lc ' , lo qt lo s l tp()nel1]()s ( 's ( lL le rz7 car l : r . juuar loL borra srrs estr : r teel : rs fuc1.lc l l lc l ) tc c l t ¡min¿rr l ; ls , á l cacla. juuat l r . s:rbe c¡. . t , , r l . rs rc r .arnp.r tarz in r le ¿rcrrcr .c l . a l srrpu.st .1/ / ' ¿ / ( i l ( l : l . j l lga( l . l s : r l l t ' q t l ( ' t ( ) ( los t icn cn c l r :< l r ror i r n icn l . e spcci f icacl . en ü/ , v así sur:csivamelr t t , .l ' ls l t ¡st c ' t l . r ' t ' r ' t ¡ t l l ' t lsr t ¡ r t r t 's t , r letorr . r ' i r . icr t . r . . r rúrr ' , r ,J, , - r . . .w;r" ; : , . , ' ; , , ' ; i

. ; : r<.rer i t t , , ' r r i r r rr l t ' l Jrrrrr t 'so.

l l ( 'gnremos a cl ist intos crlnjuntos de estratesias sobrevivientcs cle¡rt ,rrr l i<.rr<1.' l . t trál estrategi¿r f i tertementer ckrnrin¿rcla borrcrnos primero? La rcs¡ 'rcsr:r r .srrt glt t i t ' i l ' I l l ordcn cn qt lct bot 'remos las estrategias r ic, importa. pgrl t ,rrr.s lr ,r' r ' r t l l r i rnerolade l , lader2,olasclossimtr l tánearnente,yr i " r r - ,1rr . , l lcglrr . t . r*rsr l r t l is l t lo corÚull to clc estrate{¡ ias sobrcvivientes (véase. ' l Apí,r l . I i , , . ,2 r l t .r .sr.

, , r ¡ r í t t r lo) .( ' lor ls ic lerc lnos ahora el s iuuicnter jueuo. I )osjugaclores el i t¿cn sinrrr l t r i r r r . : r

, ¡ ( ntc núrneros mír l t ip los de rni l cntre 7 rni l v l0 ln i l , arnbos i r ic l . i< l 's . , \ <:r<l : r¡ , rg:r t lor se le pagará c l rnínirno <le los nírnrcrus elegic los. Adic ionul lncnl<. , s i, \ r ( )s niuncl 'os s()n dis l intos, eI jueirc lor que cl iu ió el núr lcr .o nlu\ , ( )1. l t .Jr : rg:rr ; ir r ' t t ra 's lcrencia c le 7 rai l pes.s al r l r re el is i r i e l , t i ' lcr . , r ) l ( . ' ( )1.

l lstc juego cs Lrr l :1 r 'c 'r-si t in sirnpl i f icacla i lel l larnaclo l) ibtntt t l t , l t , ta l t , tLt ( l¡ , :rsrr.¡ ' t t ) l ) l está basado en la s iguierntc l l is tor ia: gn et l y ia j ¡ r l t , r . t .gr .s. <l<.rrrrs r : r' ' r ( l ( ) l les,sepert-dicrotr loscqtr iJt : r jcsclcr losvi : r jcros,¡r i , ' l r , , l r í , , , r ' . . ( ) l ¡ l l ¡ t1()( , \ i r (r ' r r t l ( ' r l te losl l l isrnosobietos.Laconrp:rñíaaél 'c l r .p() l ) ( ,

l l losvi l r jcr()s. l ) : r r r r ( i l ) , r l' ' r t l l t . j t tcQt l c:olr l r l c l ¿lntcr ior , ptrers lcs c l icc: "( l¿tr l : r ruro r l< ' usr( . ( l ( .s r l . l , .s , l i r il r r l t l lPaf¡oporelv l lorc le losobjetoserxtr : lv ia( l ( )s,r¡rr t 's ; r l r< ' rn()s( l l ¡ ( . ( . \ r i r ( . r r l ( .' l r ¡ i lv l0rni lpesos.Nosr¡ t roslesvamosapa{¡al t ' l n l í r r i l r r , t l t l l rsr l ,ss, l l r i r r ¡ r l r .sl ' r ' r { )pr l r i lAse{JLl lar l loscleqrrcnol losengañt,n.s i l l rsr los( lur t i ( l : l ( l ( .ssol i r i t , r r l . rs"rr r l i f erentes, \ '¿ l r i l ( )s a c lu i tar le 7 rni l pt :sos l r la ¡r t . rsorr : r r ¡ r r<. 1r i , , , l : r r . r l : r ¡ r : r

¡ r( ¡n miis ir l t .¿,t v cl írrselos ir la que hizo l i r rnris buju', .L¿r sierr iente es la represcntación dc este jrrcgo:

JU' ' ( ; ( )s ( i ( )N \ f ( ) \ t ] { tFNT( )s srN,t L ' .TÁNF.()S u INF()RM,\( , t ( )N .( )Nt pl . l . ; t , \

" i

F,l <li lema clel riajcro

.Irre:rclor-2

7 ni l I ni l 9 n.il 10 rLi l

f truurlor ' l7 rni lu nr i l1) nri l

l0 mi l

7,70, t40, 1,10, t4

11, 0u,8l , l i rl . l l - r

I ,1, 015, Iqq

2. 16

1,1, 015, It ( i ,210, 10

I r ; r ¡ rsf i r t 'nt i : r - 7 rni l

I ' l rr ' : r s, lrrcia'¿lr este jrrcu, r, tenr,s pr- ir 'er. quc, para cacla. l .uaclor, la' l r ' r l ( 's i r t l0 r l l i l está f i tcr tctncntc cklrninacl¿r por l : i est iatcsia 7 rni l . gua'c¡rl r l ' r r r iun()s, n()s qrrecl lnros corr r rn. jueut) c l ) quc l¿r cstr : r tcgiá ! ) rn i l cst í r f r rcr tc_rrr t r r l t r l , l l l i l t l t r l : r Pot la cst t 'at< 'g i r r 7 nr i l ¡ lu l r los r los j r rg l rd. , , . , , r . ( , rpr¡<[ ' l r r r ' -l ' t r l t l r r ) l t : l t l ¡ ( )s l l t t 's t t : t t t 'g i l t1) t t t i l , rcnlr¡s( lu( , l i r ( 's l l l l l ( ,a. i l r ,qr¡r i l ¡s l : i f i r<.r . t . l r t . r ¡ t .

: iu l l , . r ) l { rA l ) t i . l i tF i ( , ( )s: sL Apt.rcA( j r ( )N ! .N ! , (X)N()I , t íA

dominada por la estrategia 7 mil para los dos jugadores. Entonces, sólo el parde estrategias 7 mil para caclajusaclor sobrevive la eliminación iterada de estra-tegias fuerternente dorninadas. 7

E(¡l 'rr.rr¡nro o¡: N¡sH

Para analizar el crlncepto de equilibrio de N¿rsh, utilizarernos el siguie¡te e.jempl':

.ftrgador 2

Izquimdu I)nvt:ha

Jueador IAlta

MediaIlqja

, t9

2,4t , J

1,1. ) , I

1,4

Podcmos veri l icar qrrc este. jucgo no t. iene cstralesias f ircrtcme¡te clorni-naclas. La estrategia alt:r rlo está clorninacla porque le da al-ju¡lador I r¡lis .tili-clacl qrrc crralq' ier otr¿r cuanclo cl. jugacror z. jrrc.ga irq,r ier ja. ' í .a baja tamp,t. .cst¿i d.mi'ada porqtrc es la mejor estrategia si el.iugacl,r- 2.i'ega ,ierecha, v .,epuecle ver que rncdia no está dorninacla por ninuirna d., ' iu. '¿,r. ¿¡tcr i .res.Asimistno, ninguna dc las dos erstr¿rtcgias clel . iueador 2 est¿r clominada p'r laotra. Entonces, el concepto de dominancia no nos ayrrcl:r nacla en cste ejern_plo' Si nos restl ' i t lgirr los a tts¿rr lo como única herrarnicnta clc anál isis, sír lo p<>rlt ' t l t t¡s r lct ' i r r¡rrc ctralqrr icr cosa prrcde srrccdcr. Consiclcremos e¡ carnbi. el( ( ) r r ( ' ( ' l ) l ( ) t l t ' t '<¡rr i l ibr io r lc Nlrs l l , quizás el más enrpleaclo en Tcgría c lc j r rcg,s.l) l rr ' ; r rnol ir ,al lo, 1lt 'nst 'rrros ¡tr intcr-o cn que ult agcntc extern(), por cjcnrplá elgolr i t ' r 'no, r¡uicl t ' r . t ' r .onrcndar a los jrruadores qué cstrategia <, i"gir. porlcmc.¡s

l ) ( ' l ts l l l r ¡ r r r ' < l t ' l tc t ' l lo les da una ordclr , pero c()n)o no t icne nirrei in rnccl i1¡ c lcIo|z:r I srr currr¡r l inr icnto ni de cast igar srr incum¡r l imicnto. la . r , . .1. . , , t ienc e ¡ laP'r i<r i<. l r r ' r isrna f i rerza qlre una simple rccomenclación. ¿e'é pasaría s i e l.u( 'rrr( ' ( 'xr( 'r ' . () l lanra a losjugad'res y les dice: "El j 'eaclor 1 clebe elegir alta yt ' l . i t r trr t l<¡t 2 clebe cleeir izquierda"?, ¡acatarán los. jugictores la recome¡clació¡v sc olrst'rvar-á Ia cornbinación clc' estrategias (:rtta, izquiercla) ? N9. para vcr por

i Fin el capítulo 3 r'cternos que cl .juego no sc pucde resolver por clirninación iter.acla de('strate{¡ias fuertcmente donlinadas para otn)s valores cle la translc'rencia, per. sí rrsa.clo unagt'nt:ralizacií¡n clc este procedimicnto. Asirnismo, mostrarenlos resultados cle experimentos cle( 's t ( ' . l r rego.

I t l . ( , ( )s(() \ \ l ( ) \ ' l \ l l l . l \ l ( )SSlNltr l l l ' r \Nl l ( )SI ] INFOR\ÍA(I ION()OMPI FIr-A 39

, l r r ( . \ l I l ) ( )netrnroslocr¡ l r lnr l io,r¡rrcsí laacatanvolunlar iamente,yverem()sque

1,, ' ,ucnlos a ul lu (()n(r l< l i<r ' iorr . l i l i r reaclor 2, suponiendo que el jugador 1, , . r1:rr : i la rccorncrr<[ : t ' i r i r r v t ' l t 'g i r ' í r a l ta, se da cuenta de que puede obtener ', , r , r \ ( ( )n srr estraterei l r r lc l t '< l r r , l , <1rre con la estrategia recomendada para í r l ,, , ¡ r r i< ' r '< la, c¡rc le: pr() l ) ( ) l r ior l r sr¡ l : r rn( 'nte 2. Por tanto, e l . jugaclor 2 no acatarál , rctornerndaci í rn s i ( l ' ( ' ( ' ( lu( ' t ' l . l r rgaclor 1 lo hará. Y ¡s i e l agente externo, , , , ,rrr icndajugar l :r conlbinru iorr (:r l la, t lcrccha), tendrá éxito? Tamp<-rco, pues

' , l j rrgador I anticipa qtrc 2 t ' l r ' ¡3ir ' : i r lcrccha, a él le convendrá apartarse de la

, ( ( ( )nrendación y clcgir su cst latt 'gi lr l r l r ja. Daclo que el agente externo no pue-, l , iol 'zar a los agentes a seguil su r '( ' ( ()nl( 'n( laci irn, sólo logrará que Ia acaten sir los rnismos.jugadores les convit 'nc lr :rct ' r ' l<¡. Podemos continuar anal izando

, , r l : t tul r l cle las scis combinaciot ' tcs <lc cst l l r t t 'uias posibles y cornprobar que en, stt ' . juepo sólo la corr lbinación baja, r l t ' r ' r ' r ' l r :r , scr-á ¿rcatacla voluntariamentc

1,, ' r krs. juu:rdores. D¿rclo que cl jugaclor '2 t ' l t 'gir ' í r r lcrccha, el jugaclor 1 no vc,r tngtrn rnot ivo para dcsobcdecer la orr lerr ; r r ' , í ¡ r rocurnente, s i e l . juuaclor 2( r ( ' ( 'que el. j trgaclor I clcgirá baja, a él 1o c¡rre nl i is lc conviene es elesir derecha.

Lo que acabamos dc cncontrar es que t ' ,1 . jrr t 'eo unterior t iene un írnico, ,¡ tr i l ibr icl de Nash, la cornbinaci<in de estratesias ( l l r ju, <lcrccha). Es la únicar, r 'omenclaciírn qrre cl agente cxtel 'n() puede haccr- lr los. jrru:rclores con la carac-rcr Íst icir <le que ningrlno clc el los t iene incentivos para tr l) lu' tarsc r lni lateralme nte, l t cl la. Para ctralcluier otra rccomendación, r¡curr irá qut 'aluún.jugador tcndránrccrtt ivos para <lesviarse uni lateral lnente de el la.ó

El concepto dc cqtr i l ibr io dc Nash se prrede definir, mírs l i rrrnalrnente, clc lasigrr iente l i r r r r ra:

Definición.: un¿r crxnbinación cle eslrategias (r i" , . . . , s) ') es trn cclui l ibr io cle\ash si para t()do.iugaclor I en Nsc cunrple que

l)ur¿r t()d¿l estlatef{ia s, r:n ,ti.

Lsta deflnición nos dice , en otras ¡r ir l :r l r l rs, ( lu( ' rrn:r combinación de estrate-gi¿s (una recomendación) es un equi l i l r r io <l t ' N:rs l r s i n inuírn jugador disponer lc una estratesia que le permita aumcnt lu srr r ¡ t i l i< l : r r l r lcsviánclose uni lateral-

8 Poclr í¿rrnt ts i r r tn paso rnás:r l lá,v prc¡¡unl : r t r r rs ;Si . r l . r r r ¡ ¡ { ; r r ( r r ¡n l t nclación qut: los dos

irr ! ¡adoresacataránvoluntar iancntc,paraquén(<r 's i t ; r r r . r l , I i r r r r r r r r r i l rof , r l i thor i t :otrafolma,

;nt : r pueden el l0s ¡nismos l lcgar a csa conclusi í rn! 'L,r r , ' ¡ ' r r , \ r . r ¡ \ ( l r r , r r r ' ' r r | j r - lnplr) concreto

i¡ t te t iene un t-rnico cqui l ibr io c le Nash - ,v estzr prccis ion cs r r r ¡ , ¡ . r l i l r ( t r \ .un(.nt( lo l tucclen ha-(( ' r , \ 'esteesunargumcntomuypoderosopara. j r rst i l i r ; r r | l r r l r r r i r l ' r r , , r lcN.rs l rcrr los j r r< 'gosen

r ¡rrt ' es írnico.

F

tt( , t i t \ t r ¡ l l t ( . ( ) : st , \ t , l . tc . \ct()N ENEC()N()Mí^

r r r ( r r l ( t r l r ' l ' t l ( ( ( ) l t l ( ' l l ( l l lc l i t i t r hccha). Antt ' r ic l rntcntc el l rpczalrr()s ¡¡cstr(), ¡ , r r r ¡ , l , , . r l r ¡ r l rcrrr l , , i r l ( ( )n(( 'p lo r l t 'dominarrr . i l . Volvantos a él v conlparérn()s_1" " ' r r t l

( ( ) r t ( ( ' l )1() c le cqui l ibr io <lc Nash. Es posibl t ' c lef in i r e l cqtr i l ibr ig en es-

i l ; ] ' , . : ; * i , , ' l i r t ' r ' t t ' 'c ' tc d.minanres c le la s ig ' ie ' rc fornra. q, , . faci l i ta la compa-

l)( ir t icir ír t : una cornbinación crc estratersi¿rs (r1,, . . . , .sj)) cs trn equi l ibr io cncslrutegias ftrertcrnente dominanters si para toclo. juuadoi i en . ly 'se curnple qtrc:

r r ¡ ( .s, , . . . , . t ; l , . t / , , , ! ;a¡ , . . . , . i , , )>2,( . r1, . . . , . r ¡ r , . r ¡ , . i ¡1¡ , . . . , . ! , , )

¡rar ' :r tot la estratetgia s, cn .\ i y [)¿i l .a t .orla combinaciírrr (s¡,los ¡¿ - l . juuaclorcs l .csl.antes.

tz, ( . r f , . . . , . t Í_r , . t ¡ \ ' , t Í * , , . , r Í ' )> lz,(sfr , . . . , , r f - , , , r , , . r Í ; , , . . . , . r1,)

para tocla estratergi¿,r .i¡ en ,\j

r ' ' I 'anlbiól l d i f i t ' re l l t ' l l t l t tc t ' l er l t r i l ibr io cn estrategias f i rer lcnlcnte c lonr inantcs pic le rr¡ : rut i l ic lar l cstr ict :1 l l ) ( ' r l t ( ' l l lax)r , l r ( ) I r )A\r)r ( ) iurr : r l , qLre l : rs. t ras cstr . : r tesias d. l . j r ruarLr. r ; l lcro { ,stalro t 's l : r r l i l t ' r r :ncia ct ' l l l ra l .

_ N()tcm()s la sigtr ierntc <l i fercnc:izr1) cntrc l l rs ckrs clcf inicioncs: en cl equi l i -

l l r io cl- l csl.r¿ltegi lrs f i tertelnentc domin¿rntes pecl irnos clrre cacla. iug:rdor trset¡rr¿r cstriltcfJia quc le de tttra trtilicl¿rcl nl:'rs alt¿r 'ltrtra nlalEtür combin'ru:ión. dt: e.s¿nt-lesi,.' dc kts demá,s jugrtrkres. r'.n canlbir, en cl eqtrilibri<l clc Nash, p.dinl()s qlrccacla.jtruador tlsc ull¿t estr:rtcsia qrrc le cle una trtilicl¿rd nrás alta pi1, lo rot¡tbi¡ttción de estrute$as qu,e efectiuanLenlc usrm kn tlenti: jugt¿¿lr,r¿u. No 1r...li,rr,r, quc seartte ior tro irnp<lrt:r qtré ltagan los dcmírs; sírlo r¡ue sea mejor daclg lo c¡¡e re¡lr¡e¡-te hacen. Etrtonces, utra cotnbinaci<in cle cstratesi¿rs r" iá , , ,r cqui l ibr io cle Nashsicircla. jueaclor respotrde cotr la estratcgia qrrc nlírs le c,rnr, ie,nel crolr l() l 'cspgestira las cstr-¿rtcrr ias de los dentás.jueaclorcs.

Etr nttcst.ra nlot ivación l lclnos alucl iclo a rrn a{rcntc extern() c¡ue hacc rrr¡rrecr.rnlcndacir in. En r.<tal idacl, la l lqur¿r dcl ¿rgentc cxtern() ¡ los h:r icsrr l tado írt i lpara clotar a cada.iugaclor cle ciertas con-jct.rrr:rs s<lbrc lo qtrc pueclcn hnccr losclerrrhs. iugaclorcs. ( l tratrr lo prcscincl irnos cle la f isrrra de,l a¡¡eirte cxrerno, co'-viertc r lcsglos¿rr l¿r cotldit : i t in cle <1ue cadajrruador l ,ace t, , , j . , . más le c6¡vie.cclaclas las estratcgias <lc los dernás ern clos concl iciolrcs. La prir¡cra es cr¡e caclai t r t I : r r l ' r t i l l l l tx i l l l iza s l l l t t i l id:r( l srr¡rorr icn<lo ( i ( . r ' la c()n) l ) i l r : t , . i , i l r . [ . . . , . t1. : r tcr . r i l rs(sÍ , . . . , r Í r ,sÍ+r, . . ,s i ) c l t re cor¡ jetura quc cle¡4ir í rn los c lcnrírs:

lLr l ( ; ( )S ( i ( )N \1() \ ' lNl lFl \ t ( )S st \ i l Lt , \Nt, t ( )S t r INI.()RNt, \Cl()N ( . ( )Ni l ) t . l iT, \ t l

l ,a seguncla concl ici írn es qu(' r .u<[a uno cle los. jrruadorcs conjetura (]()r.r ( .(r . r r r r ( ' l l te lo quc harírn los c lcr l l is , t 's r l t 'c ' i r , e l cqui l ib l io c le Nash cxiuc i rn l t l í r . i r : rr rntc quc las conjerturas ql lc s( ' f i r r .n l i r caclaj t ruaclor sobrc lo qr.re harírn l r ¡s, l , r r r ; is sol t col ' rctct .¿1s. L,sta t -s l t r st .gtulr la ct¡ l rc l ic ión:

( t Í . , . . . , l t r ) = (rrN, . . . , . r ; ) )

Re sulta rntry instrt tct ivo roh cr al e. jerrnplo anterior pi lra \¡er, ¿r la luz clc t 's l :rrrt t ' r 'pretación clel cqtr i l ibt ' io de- Nash, qué: ocrlrre con las c6mbi¡aci6¡cs r l¡

' \ l r i t legl¿ls quc n() st ln equi l ibr ios de Nash. L,n nuestro ejerrnplo la cornbina< ion' l( ( 'stratcsi¿1s (alta, izqtr ielcla) lro es un eclui l ibr- io clc N¿rsh, p()rquc si el. j rrerr, l , rr ' 2 conjetr lra quc el. jue:rdor I va :r. juear alta, le conr, ienc juear ¿erecha (qlrrr ' r rc 4), y no izqtr icrda (obt icne l ) . Por estc rnot ivo, s i obsen'áranr()s ou( 's( 'r ,rcslt l t l l¿1, izqtr icrda, poclt-í :r tnos ascsl lrar quc i) erl . j rreaclor 2 se cc¡uivocó r.rr srr' ( )rr ict lrra respccto a lo que el jrruaclor I ib¿r a hacerr, o l l ) cl juuirclor 2 accrt<i t ' rr' rr . .njet.ra, p.ro .() el igió la estrat.egia q.c r. írs le c.rrvc.ía. E. gcneral, si s.' ' l )sel-vl l t t t la colnbin:rciórr de cstr i l tcgi¿ls quc no scn lrn cqrr i l ibr io cle N:rslr t 'sto' t t lcbet 'h a ql lc, o bien algtr iern se cqrr ivocó cn srrs c.r l jet t r ras rcspecto ¿ l9 11rrr .lr ,rr ' íun los clernírs. jugadores, o algtr ien cl isió una cst l .utegia q,,. , , . i , rn¿rxirnizlr l l r,u ut i l idad.

l ' i r l cl ejentplo :urtcr iot ' bttsc:ulos los cqrr i l ibr ios cle Nasl l cxarrr inarrcl¡ <.:rr l :r, , ,nl l t inacit i tr clc estr-:r tcgias v preeuntánclonos si nineún.jug¿rclor terní¿r irrr.r ,rrt iV rs l t dcsvial 'sc trr l i l¿rter-ahrlcnte. Virnos por ejcrnplo qrre la combinncir irr r lc t .sr( 'gias, ¿rl t¿r, izqtr icrda, r l() es un equil ibr io cle Nash, p()r 'que ctranclo el. j rrurrr l ,r I

' l igc stt estrategia:r l ta, el. j trgarckrr 2 obtierne rnás con su estr ir tegia cl¡r-t '<. lr :r ( l )( l r r ( 'cor l st t .cstratcgia izqrr icrd:r (2) . El rn isnro t ipo c le razol l¿tr-nient() n()s l ) ( . r ¡ ¡ lI i , j r lcsecha|clrestodelusconrbinacionesdecstr¿rtr .e iasc\(r 'pt()rrr ra ( lx i j : r , r l r .r . t l r :r) . LIr la fbrrna altcrn¿lt ir '¿r de busc¿rr los cqrr i l ibr ios cle Nasl l cs Jrrrrt . t ,r l r .r' l t ' la sigrt ielrtel l l l l lnerir. Para cada estr¿rtegia clcl . i rreaclor 2, busqrrcrnr¡s l :r csrr:r

l ( g ia ( l t lc n l í ts le convicne al . j r ruaclor l : s i c l jueackrr 2 el iee izquiercla, l t ' r .orrr i r .I ¡ t ' : t l t¿tr ' ,s ie l iect lerecha, lecottv icnebi1ia.Estr-r lo incl ic¿rrnosrnarcal l<1, , ( ( ) r I r | | r.rsl( ' l - isc() cl primer nútlr lcro t lc las casi l las corresponcl icntcs (véase c.¡:r<lr.<¡ "1,,¡s

' ¡r t t ' r l l t r lc cqtr i l ibr ios de Nash"). Rccíprocirrnentc, enc()ntramos l¿r esl l-ul( 'g¡ l ( l l r( .¡rrr is lc conviene al jrruador 2 parir cacl¿r estratcuia posiblc del . j rruirr lor l . Si r. l¡rrg-rrr lor I el ige lr l ta, lc convienc clerccha, si erl ise meclizr, izquier-cla r. . si <. l iqr.l ' : r i : t ' c le lcch¿r. Esto tatnbiél l lo i r ¡d icarnos con aster iscos en el scgrul<lo l l r j rnt . r , ,, l t l r rs casi l las corrcspondiel t tes. La casi l la que tc l lg i t c los a: ler- iscos. ( lu( . ( .n ( .sr( .( . ls() ( 's sol l t t t tet l tc t t t la, scrá t rn cqrr i l ibr io de Nash v corresp() l t (k: t r r r r l r r .onr l ¡ in:rr i r in ( l ( ' ( 's t l ' l r tcei : rs (r i , r : j ) ta l qtre, dado . i l , a l . j r ruador I ls r :6r l r , i t . ¡ r , r . l r . l ¡ i r r ,r . r t '< í ¡ r lo<lnl( ' l l1( ' , r lur lo .s; ' , a l . j r ruador '2 lc t .<¡ l rv i t 'nc r ' lc 'g i r . .s, ; , r ,s r l r .<. i r . r<.rr .l l l ( )s l l l l ¡ r l r I r l t ' t 's l l l t l t 'g i l ts ( l r l ( 's() l l " r t t t ' jor l ' ( 's l ) l t ( ' \ t l r l ¡ r ¡ l r l r r l t ' l : r 9 l ¡ . : r" .

r I.r( )RÍA Dll .lL t:(;os: sLI APLI(lA()ON l'lN I'l(l()N()l\f iA

Bírsqtreda de equilibrios de Nash

.Jugador 2

Izquitrdn Derccl¿a

I t ruad,rr IAltaMecliaBzlja

4*994*

I , J

1, 4*3, l

1r: 4:r

Multiptir:irtad rle cqLili,lrios dc n'u;h'

En erl ejt , ,rnJt lo anteri<tr el c<tnccpto cle eqrr i l ibr io de Nashirpareció corl() l r l r t-

.ho rnás p,rclcroso que el dc cl inl inrtt : i<ir l i terada r lc cstratt- 'g ' ias l i rcrtcrnt:r l t t :

ckrrnina<las. Mictnt.ras cstc últ imo no n()s lryuclal la et l trnda a Pl 'edecir qtté ot ' tr

n' i r ' í i r , prrcs tt id¿rs las cornl>it l¿tcioncs cle t lstratcgias sobrevivían la-el ir l l inacit i t t

i teradri r ler cstr. te¡sias f ircrtenlentc dornirra(las, r: l equi l ib| io clc N¿rstr n()s per-

nri t ía pr.cr le., i , , . , .n Íul ica conlbinaciírn clc eslratcgi:rs. Est(), dcsafirrtutradl l-

lnelt tc, no sicrnprc ets así, coln<l l<l i l t rstra el sigtr icrt t .c e' icmplo, conor: ido coln<r

"L¿r b¿rtal la r le: los scxos". Fln cstc eiernplo ttna pirrcia dcbe deci<l ir si i r al f i r t l l<i l

<l al Sal lct. F, l h.r 'brc pref ierc ir i l t i r tbol, y la mtrier al bal lct. Sit l cnrbars., l<r

rnás irnportant.. parzr icN cl,r . . , cs ir . l t t tr t t ts, lo cu¿rl sc rcf le. ia en l i ts sigtt ie t l tes

rrt i l ic laclcs:

I-a batallir tlc los sexos

Mrrierr

IüLtboL IlalkL

Honrbre Ftrtboll la l lc t

4, l0,0

0,01,1

Noterrrosqrreestejuegot ierreclosequi l ibr iosdeNash.Urrocleel losesque los clos .jrlgaclor"r-'uu1,ur-r al futbol. En ef'ecto, la estratesia ir al lirtbol

c,s la mejor respuesta de la rnujer a la cstrategia ir al futbol de^l hombre, pues

le cla I ét t.rgu. de 0' Por su parte, clado que la mujcr va al f'tbol' I' mei'r

que puede h¿icer el hombre es ir al futbol. El orro equilibrio cle Nash es qlre los

.i,r. u-,.r, .l ballet, es decir, si u' jugador conjetura que el otro va a ir al ballet,

l(} rltrt. nl: is lt, (.()ltvlenc es ir al ballet. Entonces, tenemos dos equil ibrios de

N:rsl t .

.JLrL(;os C()N \ t ( ) \ ¡ IMtI iNT'os sINtL] I i fANE()s Ft t - \FOR\tAt,¡ t ) ¡ l t_t l r tpt_r.rA l3

Iiqui,librio rle l,lnsh y Domi,nar¿cia

I ' ln los dos ejerrrplos usados para i lustrar el concepto dc equil ibr io de Nash,()crl l l ' rc que el conjunto de cqrr i l ibr ios de Nash cs un subcorl iunto clel conjun-to de conrbitracit tnes de estratcgias que sobreviven la el iminación i tcradá deestrategias firerternente clorninadas. En cl'ecto, en arnbos eicmpkrs, tocl:rs lascolr l l l in¿rci<lucs de cstratcgias sobrcviven la cl irrr inacir in i tcracla cle cstrate-q' ias f irertementc clominaclas. En cambio, en el prirner ejcmplo sólo una cle lasseis combinaciones cle estratesias es cqui l ibr io cle Nash 1., en cl sesrurdo, sól<rdost l t ' lAsct t : t l l , r t<¡ l t t l l i t taciol l ( 's( [ ( 'est l l r teqi l rsest .qrr i l ibr ior leNaslr .Estehc-chr n'es c:as'al idad; si 'o u.a pr 'piccl:rd que sc crrr.ple l '¿is gc.er.ahncnte: pa-ra lr ldo.j t tcuo l ini to, cl conjtrtr to cle cqui l ibr ios cle Nash cs un sub<.onjrrnto <lclt ' t t tr j t t t t to dc conlbina<:i<¡r 'res de e str:rt t--gias quc sobreviven la el imina<:i í ln i tcr:rcla(lc cst l 'ategi¿ts dortr i tr¿rt las. Otra fornla clc cxplesar' lo antcl ior cs dir: icnclg qqet ' tr t l l proccso clt : bol 'rat de mancrir i tr :r-:rr l¿r estr ir tegi:rs f trcrtt ' rncnte clorni¡a{as,It t l l lc¿l l l t l rraretr los t lr ln estral.c{¿ia qrrc f irr lnc partc d(: rrrr r tr¡rr i l ibr io clc Nash.Podt:tr l<¡s ( lst: t l se{rtr l ' ()s clc t l t tc t .odo e<¡tr i l ibr io dc Nasl l sol lr-cvivirír :r tal pr.1lcesoclc t : l i l l l i l lat i<in (Para cotn¡rrctr<k'r ' porqtré strcc<lc esto, véase la prrrcba clc est¿ral irrnac:iorr par¿l un t:aso l l i rr t i r :rr lur elr cl i rpónrl ice 2 cle este capituio¡.

. f t t . t :os t ) t ( (x)Rt) tN\( . t ( ) \

El sigrr icrrtc. j t tcso sc rel 'cr irá a rrna situación cuyo interés cs rnayor t : tra¡cl<rerxistctr rn¿rs de dos-i trgerclores, lo que nos ser.virír para haccr hincirpié cn el he-cho de qtre las i<lcas:rrt tcr i<)res sc apl ican tarnbión a. j treeos con nrás de dosjtreadores.

( lonsiclct ernos cl caso de ttu¿r tecnolosíal0 qrrc t iene "extcrnal iclaclcs posi-t ir '¿rs de t 'ecl", cs cleci¡ qtrc la ut i l idad que derriva un consrrrniclor clel bie¡ eslllayor ¿r lrlelclida qtrc más cotrsttmiclores usan esc ltien. Pclr ejemplo, un consrr¡ii-rlor <lcrivarír rnás utilidad dc un pnrccsaclor cle textos qllc sei usaclcl por nru-t has pcrsonas porqtre podrá compart ir doculncl l tos rnás fáci l lne¡tc. El com-¡rrador de ut l coche tambión sc bencficiará indirectarncl l te de que ntgchos()tros autornovilistas c()mprcn el misrno rnodelo, al rncnos para cierto rango clervalorcs: traer un cot:he europe() que no haya en México t icne la desve,ntajarle que dif íci lmente se cncontrarán refacciones.

La existencia de externalidades positivas de red crea problernas de coorcli-rración. supongarnos que tres consumidores están usando actualmenre unatt:cnología con erste tipo cle externalidades. Estos consumidores están consicle-

1r)\ 'é:rst : Tirolc ( I988), para uIr anál is is más cl t : ta l lado <l t 'estc t i ¡ r ¡ ¿t , r ¡6¿t ' ¡ rs.

11 fE()RÍA t) t l .JLi l l ( ; ( )s: sI- ] APl. l ( lA( l l ( iN EN ! , ( l ( )N() l l lA

f ueeo dc t-oolcl i tra<:i<itr

f lsuar io 3

ra¡cftr l i r pgsibi l ic lacl de carnbiar a una ntleva tec¡oloeía, i¡cornpatible corl la

anter iot . St t ¡ lot tU:t t t tos qt te los l t 'es ( ( ) l ls l l l t l i< lo l t 's t l igt r t s i t l t r t l l l i t tcal l l t ' t t tc s i

cantbi¿rr () no a la nrrcvir tecnología. La mal.r iz clc pagos cs l¿l siguiente :

i\ u¿tttt l.¿ttt t tl t tt!t tt \nt igt t t t I t t ¡ t t i l tNín

I 'st tu¡ i t ' 2

, \ r¿r,¿¿ . \ t t l tQl t ( l

lrr¡ttio!'ía ltntttlogírt

I i .suurio 2

, \ '¿r l r r ¡¿ , l t t l t l l t t l

Itrrtrl.ogíu ltotrloPírt

[ 's t t :u io I Ntt t r : t

t t ' t I lo loQÍ l t

Al l l l f l t l i l

1t ' t t l r logi¡

lJ, ft, l1

l . .1. .1

.1, l , . l

2.2.1

t 's t t :u io I Nt¡ t ' r ' : t

t t ' t t to loQí l t

Al l l l f { t l : t

1t '< I lo logía

.1. I . I l , : .2

2. 1. 2 ( ; , ( t , ( i

l l l t rsrrar. io I c l iuc l 'cngl() l l ( 's , r ' l t rsrr l r r i< l 2 c l igc (() l t l t r l l las, v t ' l r rst t i r | io lJ

t ' l igt ' r ' rr :rr l . .s. I , l ¡ r ' i rr l l t . '^* i i l , , ( 's( l i l ) i l l l ()s ( ' l l ) l lg() ( l t l ( ' l ' ( 'c i l )( : pl I I ' : l ct( l i I ( () l l l l ) i -

I la( ' i . ) t l r l t ' t .s l I . : t { t 'g i l rs( . l t ls l taf i ( ) l , t '12,r ' t , l l } , r . t 's¡ l t ' t ' t ival t t t : I l t t l ' I ) r l t . r . j t ' r t t ¡ l l r l ,s i

l ,s r rsr ' r r . i .s I 1,2 t ' l igt ' r r la tccnokx-I í : l nu( ' \ ra v ( ' l [ lsr t l t l i ( ) 13 c l igt :_ l i t t t ' t ' l to loqí i t

i l l l l igui l , ( ,st . l r r . ( ' ln()s ( 'n ( ' l r ' ( . l lg la)n ( l ( '¿r ' r ' i l ) i r v l l t < ' t ¡ l r t t l l t t : t ( l ( l l l l iz<¡rr i t ' l r l l r r l t ' l

< trarlr . . r lc, l :r r lc 'r . t ' t . l lu, l )() l ' l () ( lu( ' l ()s J) lul()s Pit l 'a los ttsttarios I r '2 st lr '¿ul <lt ' ' l r" t ' l pa-

g() l )a l . l l t , l r rsrr¿¡- i6 lJst ' r 'ádc i . l . , r r ¡ r^n,rrr ' ( : f l ( ' ¡ i t r l l i ts i r¿tr i t l r l t t 's i t t t i rc i<i t l : t '1. lxrg<r

, i r í , . "1t . , l ) ( )s ib lc, lJ , st .o l r t i t 'nc crr : rn<lo t<¡r los <' l iqt ' t l l : t tc t ' t lo l t ¡gí i t l ) t l ( rv l l . l ' ls l l t 's

lu ' r . i . r .s i t rur<. i í ,n

lx)s i l ) l ( . l )u( 's s( ' aJrr 'ovt ' t ' l t i t t t las t 'x{ t ' r ' l t l t l i< l l t r lcs <l t ' I ( ' ( l v la st t -

¡ r , , r i . , r - i . l^al c1' la r l r rc 'va t t ' t ' r ro logíu. Si los t r t :s r tsr t l t r ios c l igcr l la tct t ro logí l t l t l t t i -

Urr ir , t9r l6s 1¡l t l icttgtt ¡ l s¡gtttr<19 l) i tg() l l l i ls i t l t6 ¡11¡si l l l t r , ( j ' Si sr i l6 <l1¡s t tstt : tr i9s

¡Siur l t t l t t is lnl l tcCtrología, ol l t i t ' t r t ' t r '1 si sc tr l t t l l r lg l :r t t :<' l l t l l t )gí: l nt l( ' \ 'a v 2 si st l

t rata (kr l l r ant isrra. I - l l i i rsrrar i<¡ qrr t 'e l i ia t l l l i r tc( 'n() l ( )gía qt lc nlr( l ic r r r l is t ls t ' t l l l -

l i r ' r t< ' t ' l ¡ r r tuo t t t t ' t tot . l .

P¿tr i t encontrar eqrr i l ibl ' ios de Nasl l eu este jueg() dc trcs. jr lgntkrt 'cs, poclc-

l tr()s pr()ceder de rna;et-a sirni lar al caso cle clos ju¡¡aclolcs. l ixanl i t l t ' t t t t ts ¡ lot '

.¡ . , ,¡pI, , la cgr¡binltción clt l est l '¿rteSi: ls clr ( lr lc los. irrUarlgres 1 t '2 t tsatr l i r tectr1¡-

lágía irnt igua 1,cl 3 usu l2r tecrn() l t lgía nrrt ' r ' l t . l ' .st l t t t t()s en cl rctrglón cle ablr io -v la

c. l r r r r r .a f le la c lercch¿r c lc ' l t ' t rar l l io t l t ' l l r iz<lrr i t ' r t l : r ' l "sto l lo es t l l l cqtr i l ihr io c lc

NuslrPo|r¡rr t ,s i c l r rsrr¡r ' io l lc t r rn l r i : rst t t 's l t : t l tg i : r r t ' l ig- t 'e lc l ra( l r ( )c le ladcrelcha,

Iulnt( 'n( l l i rs l t l ) : lg()ot ' l l t ( i . l ' .x ist< ' l t t l , rsct l r r i l i l r t i r ¡s<l t 'Nirsh: ( l t lc lostresCOns¡-

i l r i r lorr ,ssiu:rnrrs: i l r r lo l . r lcrr lo loqL:r : rn l iqrr ; r . , , r ¡ t t t ' l t ls t t< 'st l t l t l l l i t 'nal i r t< lct lc l lo-

1,. t . tn l t ( \ . r l , : l I r r l l i l l r , , , , ¡ r r r l i l r l l ( t ( \ l l l ( l i I l I ) . l l : l lot l r ts.¡ lc lot l r ¡ t 's t l tg l l fat f t izad()

I t rFl , ( ; ( )S ( i ( )N NI() \ ' tMII IN-.T()S SIN{Ll l . fAN! l ( )S } l INI i ( )R\ | , \ ( l l ( )N ( l ( ) \ l l ' l . l | \

( lrre se alcancc. Dcspués cle todo, la antigua tecnokrgía cs cl .r l¿lz¿ l?¿o y cs rur

cqrr i l ibr io de Nash,l l por lo que nadie t. iene incentivos para cambiar cle tccno-

Iogía trni lateralrnente.

l ,os restr l tados de experinlent()s cle. juegos der coorcl inaciótr rntrestran que

Ia clificultacl para alcanz¿rr el equilibrio que es me'jor para todos clcpenckr clcl

ní l lncr() dc. ju¡;:rckrrcs. Van Huyck, Battal io y Bei l (1990) hicieron una scric dc

cxperirncntosl? clc co()rdi l la( ' ión en que cada individuo tenía que selecci()nar

r. ln r lúlr lrcr() cntrc cl I v el 7 v ret: ibirí :r un Dremi() (:n dincr() dc acucrdo con l ir

s iquicntc tabla:

Mínirr lo r l t : to<los los nirtncnrs serl t :ccionadc¡s|: l

\ r in lc l o s<' l t '< r ' ionl t r l<r

¡rol r rs l t ' r l

I23I

ir( i

7

I7060504()3020I0

,15( i723

¡.1070 9060 rJO50 7040 ti():t0 50

l (x)1)1) I tofJO t(x) | . ]o70 1X) I lo l : i { l

Nott 'nlos ( lr . l ( ' cl p:reo rrr i is alt() st ' obticnc ctranclo toclos el igen el t túntt ' r 'o

7; sirr t ' rrrb:rr-u(), ost(f r-t :srr l taclo n() ( 'st2i f{ : Inurt iz¿Id() porque a cacla. jrre:rdor lc

r 'onvit 'nc t ' lcgir cl nlon()r ckr los núrnor'()s st ' l t :cciouad<)s p()r los clerr lás. Este

jrr t 'uo t 's s in l i lur u t r r ra rctrni í rn l ' l cn l i r r ¡ r r t ' todos krs usistcntos prcl 'cr i r ían ern-

p( 'zal ' l () rrr: is tcnrJrrarro prosiblc (srrpong:un<)s ( luc cs a las 9 r lc l l r rr t :r fr lr tr :r), pe r<r( l l r ( 'n() puc( lc ( ' ( ) lncnzi l r s i r to t 's l í rn toclos prcsent( 's: l i I t r t i l ida<l r l l i ts 2I l t . : r se

oblt:nclría si tor los l lcgarir l a l :rs 1), pcr() cada.iuglrd()r sc ( la cucrl t¿t r le qrre si

rul() ( lc cl los vlr l r lkrg¿r- u las r l icz, a él tarnbién lc cotn' ictt t ' l lcear a l¿rs t l icz.( l tralcl tr i t ' r c()rnbinirci í)n ( lo estr '¿rtcgias cn quc toclos los. irruad()r 'cs cl igern cl

lnisrn() rrírrncr-o cs rrn ec¡rr i l ibl io dc: Nash: I)()r cicl l lpl(), si tor los los clt :rnírs cl i-ge n cl ní l l l lcr() 4, al . j rruaclor restrurtc tarntr ién lc corlviene elesir cl 4, cle la

rnisrna nlancrl l quc ¿l r. ln ¿rsistente ¿r la rerunií¡n le c:onvienc l lesar a l¿rs oncer si

tot los los <le t t tás lo lutr l i t l .

r r \ ' ( .a\( . . r in t tnh: t rgr , . larr( l r S.r l , , l le¡ ¡ l l lXir) . q l i lcn(\ iu l {ur i l (n l iü) ( lu( ( l r i l r t ( ( ,n lc\ l ( ,

r l in i r rn i to es di l íc i l quc este t ipo c lc cqui l ibr ios persistar: \ r rcsr l r 1)resent i lc ia ln c le cstos crpcr imcntos csth b:rsad:r en Davis v Hol t (191)13).r : rNr,r .s, , ¡ r r r ' l l r r rur : rscasi l lasi¿cí : rs. l ls toscdctx: : r r l r resi ,polejemplo, t rn. jueaclorc()n(r(L

to c l iqc l i . n, ' ( .1 ' , , , r l r l r r ¡ r rc t l nútrcro m: is pequeño de tor los sca i r .l r l ' , , , , ' , ' , ,1 ' , ! r , r , 'nsi¡¡r i l . r r r .ssrru( ' r ' i ( la¡ror[) : r r , isvHt¡ l t ( l l )1) l ] i ) .

4t) lFt()Ri i \ l ) t l IL! l ( ; ( )s: sLl APLI( lA( l l ( )N F.N ! l ( l ( )N()MIr \

Lapersonasque. iuf{aroncnelexper i rnentodecoorcl inaciónpart lcrparon

en Lrn -iuego cle <liez etirpas, es decir, eligiert-tn cle ma¡e I'a srlccsiya rrn núlnl(r

ro cnt;e el rrno y cl sictc drlrante cl iez veccs: cs com() si hrrbicra habiclo dicz

l 'euniones en clías succsivc'rs. Despuós del cad¿r selecci ')n der nít lncros' se al l t l l l -

ció cl valr¡r clel nír l ] lero míninrt¡ v se cl istr ibuYeron l()s premi()s' El nírmero rnás

baio eqtr ivale a l¿t h<tra r le l lcgada de la ír l t i rna PCls( )rra, qttc cs qtr ien dctennina

la hora cn qlre cnlpieza l :r rett lr i t in.

Van I{r ivck, Battal i<¡ y Bci l rcport¿rn qtre cl rerstr l t i t r lo dcl . iueluo depcnclc:

r.rtrcialrnentt ' <lt . l l l t i l t r t :ro t le . i rrgadores. Así, ctt l r trclo s<i lo clos. iueadorcs palt ic i-

l )ur() l l c¡ e l . i t rsuo lurt( ' r ' i ()r ' , la nlavoría de l i rs palci irs krgrt ' r <loorcl in¿rrse t ' t l l l r

st . l t , r .c i í r r r c l ¡ ¿6s siet¡s. l l ¡ < 'ant l t io, los cxpct ' i t t t t ' t l t ( )s ( ' l l qtr t ' l l l r I t ic i ¡ lar() t l c l l t l ' ( '

cut()1.(.( ' v r l i t :cisóis l)crs() lr¿rs cl icron r-csrr l t i rdos rr l t tv <l i l i : rcntes. Para (- ' l l lP( 'z: l l ' ,

Varr I l rr f t :k, Bat t i r l i1¡ l , 11: i l ( l 1)-()0) rc¡ lortrul q u( ' t l tr r r ( r l ot ' t t t ' r ' i r i cl t t t ' to<lt ts c' l igic-

r.arr si t ' rr ' ( t 's <.onro si l :r r t ' rrniorr l l rulca l l trbit ' r 'a ctt t¡ l t 'z irclo a l ;rs t t t t t ' r" t :) . l ' ) l la

¡t l i r trc:t- l t cta¡t i t , cl I lútt t lcto rrrírs blt io, cl <¡rte r l t l l t :r t l r i tra los l lagos ir qtt t ' ¡r trc<lt ' r t

, , r ¡ r ia"r l t ls r lcrr l í rs. s icnt l l r t ' l t t t : I r r t : t tor l t t ' i t t< t ¡ r ' t ' t t l l ts ( ' l l t l ) l ls post t ' r iotcs st l I t t t '

. t ' t l t r t ' i t , r l t l ' , ¿t l gl l t( l () . , , , ,¡ , , . ' a l) : t l - t i l ' r l t ' l i r t ' t t l t t t l t ct. l ¡ la sienrprc l i r t ' t t tro' I is l<r

c<¡rr iv. l t . a qtr t ' , at l t ' r ru is <l t ' qrrc la r- t : r r r r i í r r r l l r . tn(r l t ' t r t ¡ t t 'z í r ¿t l l ts t t t t t ' r ' t . ' l t l ) l t l l i l

r lc l cicr.fo r l ía t :nr¡tczír sir.nrprr '¿ la l tor i t t l l í ls t l t | r lc ¡ losi l l lc.

l- l . j rrctgo rkr c:o<tr-r l i rr lr( i írn sc t 'or|cs¡xrtt<lc c()t l t l l ) t : i t :rrrplo qt l( ' sc lra l lol lrr-

l :rr- iz¿c¡r err t t :or.í¿r r l t ' . i rrcuos con <rl t torttbt ' t ' <lc " l) t ' l i t t ' i tz:t <lt l la l i t 'brt ' t¡ cl

v.r la( l()".15 l . i rr ól hay ,, i i ¡3-,: , ,¡r , , rk ' t :uz¿rclorcs, 1'sc t 'cqtt i t ' t 'c t lc la t 'oopt 'raciírt t <lt '

Lorlos c: l los par: l cirrur r.rrr vcnurlo. ( l i rr l i t t ' : rz:rt lor ¡trrcclc r l t :ci t l i r t 'ol :r l lorat t 'ot l

IOS <lt 'nl írs pltr l l ( : i rz:rr t : l vcrraclo, () c:rr i l l ' í ' l solo trr l :r l ic l>t 'c, parlr lo ct l2l l r l ()

r.q. iet-c <lt , la Ctl ,rpt ' , 'at ir in clc los <lt 'ntás. Qtt i t l r l t :s ( 'a(:( ' t l t l l l v<:tr l t t lo ' st: lo tc-

par:t irátr r :r lrr i t ;r t . iyartrt) l l t ( ' ( ' t l t rc toclos, v a cadl l qtt i t :n l t : t '<trrcspott<le t t l l [)?I{r()

,rrr,n.r. q¡c el rkrr iv:rdo dc lu t :¿rza incl ir , i r l tr¿rl cl t : la l i t lbre' Tt l trctnos r los t: t¡ tr i l i -

l t r i i r clc Nas¡: <¡tt t : t .o<lt ls colal l t)rcl l cl t l : t cirz¿r <lcl vctr irdo, l l tcs si t : :rcl¿r cazirclot '

( :rce quq los clc¡rírs col:r lrolur-un, a ó' l tanlbií 'n lc t :ot lvictrc colalxrr i t l ' ' y r l t t t ' c:tr lrr

q,r ia-r.r araaa, un2I l ic l)rc, put:s si trrr clrzl tcloL cl 'cu ( l t lc l<ls r lctnl is l l () \ '2l l l ¿t ct l l¿rl l t>

rar e n l¿r czfzir clcl u.,rrr, . l ,r , a (: l lc convit ' trc clccl icarsc a cl lzar a trr la l iebrer '

Api:r'tltt:¡l l . E s l t¡,c l l'x ;t'rs t lt::tll t'r'ttlx t¡: lx )N'l l NAt)As

El conccpto cle donl inal lcia f irerrtc piclc que c()n t l l lA estr lr tegia sc r lbtenga siern-

pre una irtilidacl ma)'or qtre coll otrll, n() ilnporta qué hagall los demás juuaclo-

res. Pcrdenlos hablar cle una noción más <lébil de clomirlancia: unjugador pucde

tener clos estrateqias quc para ciertas clecisiones de los clcnlás le proporcionen

l - ' l ' . i t ' rn¡rkr t ' r ¡ l r t i t l l ¡c l t ¡ pol Ft t<l t 'nbet u v Tirole ( l99i ) '

-Jt : ! , ( ; ( )s coN \ tovtMIf . \ t1 )s st i \ t t L l . \ \ - t , t ( )s ! . t \F()R\L\( . toN ( . ( ) \ tpt .uf . . \ +t

l rr misma trt i l idacl, por lo r l t t t ' nirrsunir clorninará fuerternente a l¿r otra. Per-or t t la dc el las estará débi lrnente r lorninada por la otra si nunca ploporciona másrrt i l idacl ) ' , por lo rneltos palu alguna combinaciírn cle estrategi¿r.s cle los otrosj i ruarlorcs, ¡ lropolcionir melros ut i l ic lad :

I)ef:irtici(trt: l¿r cstr¿rtcsia si es clominacla rlí'bilrncnte p()r la cs[r'¿rf.csia .r¡ (crlrien .r¡ domina a la cstratesia si) para el.jtru:rclor j cn N si

t ¡ ( . r ¡ , . . . , . r ,_r , . r í , . !¿+t, . . . , . r , , ) < u¡ ( . t r , . . . , . r , :1, . r ¡ , , ! ;1r , . . . . . r r )

i )a l -at(x lacombirraci í rndcestr .atcqias(,r1, . . . , , r -1, . ! ,1 ¡ , . . . , , i , , )c le losr i - l . j r ruacl<l-t"t ls I()st i t l ) t .os, con clesiqr¿tlr lat l estr icta p¿rra p6r. l1¡ t¡o¡()s rr¡¿r r lc t_-l las.

Un.irruador qrrc pn'scinda r lc rrnit cl t ' sus t-str¿rtt :gi¿rs r lébi lntcnte dolnirr lrr t l ts I to vt l t -á r l is tn i r r r r i r l i r st t r r t i l i< l¿cl , l ) ( ) r ' ( luer existe ot l ' : r c¡ue siernpre lc r la ull l lc l l ()s lo tnistt to, v ¿t v(t(:cs tnírs. Pr¡t 'clc prcscindir r¿rc: ion¿rlmentr-- cle cl lu ¡tor--r l l l (" r l() i tr tJl<trt i l clrrí ' ¡ t ictrsc c¡trt ' fr i rr írrt los otros. jrre:rclorcs. l¿r gstratergi¿r altct.¡¿rt iva lr : Jtrrrp<lrc: i<lnnrir i r l l l rcnos lo rnisrno.

( lon siclcrt ' rn()s l)() l ' e jcrnplo cl sigu i<rn t.c. j tregc¡:

f r reador '2

( : I)

frrga<lor I r lIJ

.1, 3 (;, 0

.1, lJ 3, 9

l ,a cstratcqia 1l dcl. juua<lor I t¡st l i débi lmentc r lornirracla jes razorraSlc str-l)()nrr quc no l i r rrsará?, ¿podernos borr¿rr. la clel j rrego? L,l ¿rrgrrnre nto ir far,or clcrlrorr i t l la cs qtrc cl. j rrua<lor I nunc¿r saldrá pcr- jrrr l icaclo si prcscindc cle el la. t , l. l |gu[iento el l c() l l t r¿t es quc rrn-iuuaclor racion¿rl prreclet usarla. En el 'ect<t, sit l . j rruarlol I está segrtro cle que t: l j ¡e:rdor 2 r 'a a elegi¡ str sstratcsia O, e¡to¡ccs¡r() ( 's Ll l l¿l mala clecisir in clcgir su erstr¿rtcgia 1J. l l l contl ' t r- : l rgunrcnto scría que si' I iueador I no está totalrnerl te segrlro de la decisií¡n del. juuaclor 2, si cgncecler.r lsrrna probabil idad, así sea muy.peqtrcl ia, ¿r que el . j truaclor 2 el i ja clererch¿r,, nt()nces deflnit ivarncnte l lo le conviene.jugar B.

Si c¡stanlcrs dispuestos a accptar que un.juuador no clebe usar- estratesias, l t ' l r i lnr<'rr l t ' r lorninaclas, podernos haccr predicciones más precisas al reducir ¡¡¡ r t t 'go r l t ' l i r ¡ ¡ r r : t i l t ' t l td¿r como hic imos antcr iormente. Para i lustrar este hechcrI I ) l l \ i ( l ( ' l ( l t t . \ r t r r , icrrr¡r lo t 'n c l r l t te el imin¿rremcls en ronda st tcesi l ,as las cst l - i r -

4lJ TL()RÍ. \ l )Fl . l tJ l ' l ( ;OS: SLi Al ' t - l ( l i \ ( l l ( )N r lN I l ( l ( )N()NIIA

tcgias clébihnente dolninadas de toclos los.iu¡Jadorcs sirnultáneafileI]te , y rePe-

t i .errr.r , el proccso hasta que n() sea posiblc el iminar r l ingtura estrategia nlás'

( lonsiclcrernos cl siguiente e. icmplo:

.Jugaclor 2

I)

70, lX)70, 6070, 50

Ninqrrrro t lc los clos. i t lgad()rcs t i( ' l l ( l cst l 'at( 'gias cst l ' ictal l l ( : l l te r lot l l i t l : r<l irs '

Si rros l inr i tanlos ^ "t i , t t i , t . , i

( lst.c t iP() r l t : t 'stt 'att 'gi l ts, tro potlet l t t¡s dct ' i r t t l r<l ir

l tcercir rkt t :stc.¡t t t :Qo: c:t talclrt i t : l t ' . rsa pr,t ' r1,, ot ' t t t ' r i t" ! l r l C'atnl l io, si r los t l t : t ' i t l i -

' r()s p()r. l¿ , , l i , i i i 'a< i . i . t lc .str ' :r t t :¡ i ias t l i '5i l . l t t . tc ( l() t l l i t r2I( las, cl l r l l l i l pt- i t t t t ' t l t

, . , r , . , .ü p.r ,1. , , . .s. l i ' r i l r : r r -1. r .str .ut .g i t r ( , 'p i ' .a t ' l . j r rga<l . r ' I (< lét l t i l r ' . . l . r l . t . i . *

<la ¡ror la est l ' l l t ( lg i?I ;1) . Flsto t tos <l t ' i i t t :ot t c l . i r r t 'uo s igLt ietr{ t ' :

f rrgirclor I¡ l

( ,

(i5, ¡to00, (il-r00, lJO

50, lJOu0, .+020, tx)

f t rua<lor '2

I)

Irr¡4atlol l70, lX)70. (n)

(i1-r, uo(il). (iir

I'r0. u0u0, 40

rl

I tn cstC.jrrcgo re<ltrt : i<lo, poclcnr()s (r l i rr l i r l?u- la estr¿tef¿ia 1i t lel . i trgador 2'

pucs cstir (firertcnrerrte ) ckrnririacla p()t' l¿l estrlrtcgia 1)' t'isto ll()s (lc'ia con cl.lttego:

f u¡¡aclor 2

D t"

[ugador I70, 9070, 60

65, U0ü),65

En cstc ¡1¡3y1¡ jscr¡O, podcmos el iminar la estr¿rtesia B del.Jugador I (clébi l-

rncnte clominaclzr Por la estrategiir A) , Y nos qtrecl¿rmos c()n cl 'iueeo:

IUL( i ( )s c()N \ , { ( ) \ , rMII . ]NT()S SIMt ' t f ANL,()S Ft rN}.()R\L\( : ra)) , t ( , ( ) \41, t .1, , . t ] \

Irruador 2

fugaclor I 70. 90 65, 8( l

l i rr cl qrrc cl. j truarlor 2 t : l igc su estr i t tegi¿r 1t ' . Irntonccs, sír lo un¿r c.onl lr irr :r, i<i t t clc cstr¿rl . t :uias sobrt:vivt: la el irnin¿rciírn i tcracla dc cstr¿rl .egi¿r,s clé[ i l r¡ t ' ¡ t¡, lonrin¿rclas. l i l . i rruarlor I cl isc A y cl. l rruad<¡r 2, l i .

l lstc ci(rt l l l ) l () t l ()s ntucst.I 'a ( lue la r: l i rnin¿rcit in i tcrada prrr:clc l lcg¿rr a con-,I t tsiott<'s t t t i rs pt 'ct ' is i ts cu2l l)( l() sc rt :¿rl iza con <lornin¿rnci¿r <lébi l cn lug¿rr dct l t ¡ t l l i l t l t t t< i : t f i r t ' r le. l i r l < ' f cr : to, r :on <krrnirr : rncia f i rer t t : no po<lr ízrrnos <lcscart : r r -r t l t r l i t . ( lot t r l< l t r l i t lat l t ' i : r t lóbi l , cn c i r rn l r io, t lcscartarn<ls t .o<Lrs cxt 'cpt() una c() l r l -I r i r urt ' i t i rr rkr t :st r :r tctgi:rs.

| ¡t n¡ t t t v ¡t i.cn ! t'.s t I r lt t. d om i n rn.d u d.ilti I

\ t t t tr l t tc rr l i l izal l¿t i<lc'a r lc <lonrin:rnt ' ia clébi l :runlenta l¿rs cstratcgi:rs cltre po<ltrI t tos t l t 'st l t t ' l : rr , t i ( ' l l ( ' ¡ trrrblt ' rnlrs. I . ln la raíz de est<ls pr<tblcrnas cstír el hcchotl t ' <¡trr ' , aun(lu( ' slr lx 'nl()s quc rrn. irrua<lor l lur)(:¿r resrr l t l r per- jrrr l icaclo si pres-I i t t r l t '< l t ' t t t l : I ( 's l t ' : t t ( 'g i¿r t lébi l r r rcnt t '<krnl in¿r<l¿r, no ¡ror l ¡ r ¡ ( )s ¿lsg{r¡r¿rr que seai lr-at ' ionir l l tsl l l t i l l t :stratt 'gi :r . l in cl <: jcrrrplo arrt t :r ior, si cl . juua<lor I r :strrvier¿r\(r{¿rrr() t l< ' r l t r t '2 va a. j r ru i r r '1) , ( ' r l t ( )nc( 's no t :s i r raci<lnal quc. j r rcf luc ( i aunqu,e, 'sl i t l í l t i l .nnttc ¡ l ,onti t lat ln. l ist. t : int 'onvr:rr ic:nte sc uf{r ' :rvu cu¿rndo vi lnl()s t : l i rnin¿rr-r l o t 's l l l r t t 'gi : ts r lól t i l nlcn tc rk rrn i n:rr las cn srrr:csivas ro ncl:rs.

l ' lst l ' ( 'c l lar l l ( ' t l lc rt ' l l r t : iott¿rr lo con lo l tntcrior tcr lorn()s cl Jrroblernrrr <lc qrrc clr on jrrrrt<r <lc csl r-att:eias r¡rrc solrrr:r.ivcn cuancl() al)liclurx)s l¿r clirninacion itcraclir clt:( str : r t ( 'g i l rs <lólr i l r t rcrr tc t lonl i t r¿r<las, I )ucd(: scr-<l ist into r lcpcn<l icnr lo <lc l o lc l t :n

' l t ' t ' l i r l l inat ' i t i rr . l is l tor cso quc cl l r lucstr:r r lef irr ici í¡n prcvia <k: cl irninar: i<in i t .el i¡, l l t t 'ol t <lottr i tr : t t l t ' i¿r r lóbi l prc<:isarn()s ( luc sr: hir: icr lr clc l i rnna sirnult : ineir. Si dcj irI , t l l ros l i l rrc e l otr lcn dc c: l i rnitr¿rciírn, el resultzrdo p<lclrí i r dcpcnrler <lc ese orclen.

I ' i l s igrr icntt ' t ' lcrn¡t lo csth cl isci lad() para ihrstrar cle l i rr-m¿r contunclentc csteIrccl lo.

l-os prcblernas de la r lominancia clébi l

lugador 2

Izquierda. (i:ntnt I)erecl¿u

, , \r-r iba\ l r r r j r r

6,3+. . ')

i ) , J

3, l0 3.1l r rg;rr l , ' r I

5o |EORíA DE lr]L,c()s: sli APt.l( lA(lI()N [N IIC]()N()N!lA

Jugador 2

Usemos primcro la eliminación iteracla como la dcfinimos previamente,

realizacla simultáneamente para los dos-iugadores. La estrategia abaio, para el

iugaclor l, y las estrategias izquierclay derecha' para el.jugador 2' están débilrnen-

i.'¿,rrnir-ru¿as, por lo que esperaríamos que el -iugaclor I .iugara. arriba y el 2

centro. Sc¡mos capaces de preclecir una combinación de estrategias concreta'

O¿ntnt

Arriba J' J

.fugaclor I

Sin embargo, sl

del juuatlor l , abajo,

elimin:rmos Pnmer()nos qlredamos con el

la estrategia

.iue gc'r:

débi lmc¡r t t ' dominlrr la

fu¡;aclor 2

Izquiuda (ktttru I)erecl¿u

lugador I Arriba o,.) . ) , J

Yentonces cllugador 2 es incliferente entre slts trcs estrategias' Lo írnic<l

que logramos prcdecir es qtre cl-iuu:rdor I no-ir'rg:rrá abaio''

veumo, ahora qué ocrlrre si comernzamos eliminando estratep;ias del.iuua-

clor 2. Si eliminarnos las d()s estrategias clébilmente don.rinadas cler 2, lleuamos

al.jueeo:

f ugador 2

Cenln¡

.Jueaclor I A¡ribaAbajo

J'J

3, 10

Es deciq sólo podemos esperar que eljugador 2 juegue al centro'

Más aún, obrc;dremos otrts conjuntos cle estrategias sobrer'iüentes si cmpe-

zamos por el jugador 2, pero alternamos la eliminación entre los dos.jugadores'

Si eliminamos primero ia estrat.gia izquiercla del.iugador 2' llegamos aljuego:

JLIE(;()s (i()N M()vlMIEN'f()s stMurifÁ^*I,t()s E INF()RMACjI()N c()Mplur^ 5l

Jugador 2

Centro Dnecha

.|ugaclor I Arrit¡aAbajo

J,J

3, l0 3,4

En ell leqar a:

qtre p'demos eliminar ahora la estrategia abajo clel. iugador l, para

Jugaclor ?

Oer¿lro I)aeclut

fugaclor I Arriba 3.3 I , J

Finalrnente, sil lergarnos al. juego:

climin¿rmos primero la estrategia clerecha del juaaclor 2,

.fugador 2

Izquicrtla (lentro

f trgador l Arrib¿tAbajo

J'J

3, I06,34,3

E' el quc, si eliminarnos la estrategia abajo del jugaclor l, nos queclamoscon el conjunto dc estratesias sobrcvivientes:

.fuuador 2

Izquierda Cenlro

.fugador I Arriba 6,3 J.J

E'conclusión, .btenemos cinco conjuntos distintos de estrategias sobreü-r it 'ntcs <lt '¡rcrrrl i<'rrrlo r ' l t ' l orclen cle eriminación que sigarnos, Io q.rl resta f¡cr-z; t : t l t ot t r t ¡ r lo r l t ' r ' l i tn inrr t i r i r r i t t ' r ' : rda c le cst . rategias f lébi l rnente c lominadas.

-52 TU()RÍA D¡: ILrr . ( ; ( )s: sLl APl. l ( i^( i l ( iN l ' lN ! ' ( l ( )NoNl lA

At ' t i : : l t l l t ; t 2. [ l t ' ontr t ' l : l t ) l ' ] l ' l l ' lN ' I lNr\( l l ( ' )N l ) t ' l l " \s l ' 's l t i r \ l l ' l ( ; l ' \s

! t ' l ' lRI l ' .Nl l ' .NI l ' .1)() \11\ ' \ l ) \s\1"\ l { l l \ ( ; l ( l \ l lNt l t l ' l l ) ( )s( l ( )N(: l ' l l ' l ( )s

l ) l l l .Qtr I l . l l l l { l ( )

A <.Ont inrraci í ¡ l l vcrCrr tos t l t t t : < ' t tntr t lo t ' l t :ont ' t l ¡ l t<t <l t : r lot¡ t i t rat l t i l r r l í ' l l i l cs l ' ( l t l l -

J,r lazixl . p'r- cl <le r l t , ' l i . i ' l t . i i r f i rc:rte, r l . , .ap.i , ' r ' , , t : l pr. l l l t :r .a ir t l t t : t- i . t ' cs t l t l -

r : i r , las cstr¿It( 'gias solrt ' t ' r ' iv ict l tcs l l () ( l( lJ)( ' l i t l t ' r l t lc l or<lt ' t l <lt ' t ' l inl i r l i r<: i<irr ' l i l

. j .*o,, a., l^ t^ir l , , A.2 es rr la *( ' l l t )ral ira. l i í r t l <lcl c ' i t :rr lplo ( l t l (r t t 'sarn()s rrt t l t ' r ' io*

nrcnto l) :rra i lus¡f¿u. l ,r , ¡r , ,r l r i , , ,rras dc la <Lrrninanr: i i r clébi l v, sin crnbargo, las

t:str¿rtegi l lsclt tes<lbrt lvir ,c 'r l l : r t l l i r l r i rr lrci í l r l i ter¿r<l lrr lct lsl-r lr t t lgi lsffu/. ! le1,7rcntct l l<>-

nl inirdirs son l¿rs nl isrnits irrr lclpcncl icr l tclr lcl l t t ' t le l t l r t letr dc cl i tr l i r l : r t : i t in '

f',,rnr-.,r 4.2

.f rruaclor 2

Izqu,ierda ( )cnt.'ro Derethrt

;Por quír sucecle csto? l 'a raíz clel problelna la porlcrnos explicar usalldo

.,r*,, .¡.tt lplo cl prirncro cle los procesos' en cl qtre borramos al misrlro tie Inpc)

io ".,,

o,"giu zrbajo del . iugirclor I 1' las estrategias izqrrie rda y dcrccha del luga-

clor 2, preclici.,,r. l., .1,.r. ., i ' irr¡¡aclor I elc'girá arriSn v cl. irrgad()r 2 cctrtr() ' Fijérnc>

nos en la cstr¿rtegi¿r.l.t"tthu clcl . lrr¡lzrclor 2' La-irrstif icaciíln para clir.ninarlir cs

lrrc, si e,l.ir,ga.l,rr 2 ,,,,r',.,".1e rrlgrrna pr.birbiliclatl, irtttrqrtc sca ltltrY pcqrreña' rt (ltte

cl. jrr¡¡aclor. I cl i ja srr cstrzrtt:gia abaj.r, ,t.,rtca la tts¿rr/r. Pcro cottt:cclct't lna prob:rl)i l i-

cl itcl ¡tosit iva, ¿run(lue ,.o p"q.,., i i ., a la e stratcuia abuio clel. jugad<l' l , cs itrcottt-

fr, i l f lrf., ,,.r,, lr,,... i lr,,,¡,.,,,. 'r '1., (1.('hltcctn()s Jtarir l l .gllr a la l lredic< iír. ' l) iclr<l

rlc ,tr. ir I()rrn¿r, ,r,.,.¡,,g1 ,1,r,-2 rlrr: i..¿rl prrc<1..¡:gir r¡:rcc¡a si t:stir t()t¿rl lnc.1c

s(,'.r.() rlt: <1tr. t, l ¡,rgall.r I t: l t:girír,,r ' . i ir^. Ycrri 'r<1. l>'r 'r irr ' 's la cstt:rtegia irba-

j<l rlc,l. j trulrrlor I ¡t l.(:<'rsirrnt'rrrc c',starrl()s afirtnatt<l<) qtlc ( 'stl l tt)()s totalt ltc:tt lc st'¡¡rt-

r. .s r lct qrrc cl. i rrUarlor I c ' l t l {¿i l-al stt t 's l t ' i r t t 'gi i t l t r l ' i l l l t , t<lt t lo ( lr l2I l t l ()s t l r tcr l i t t l los

sirr. j rrst i l -rc:rr: i i r tr pir | i t l r ,r . , ' " . '1,, ( :stt-2ttcgi ir r l t : t t : t l l : t t lc l . i t rUatlor '2' [ ' ] r l gcrlcral ' Cl i-

rn i t t : r rcstr i l l . ( ' f - l iz ls<lólr i l r r l<: l r t .e l<lor l r i r laclasclet l t i t t l t ¡ t ' l t i t t ' r i r t iv : l t ros<:ot l t l t t< ' i t ' i t i t

t .s te t i ¡ ro r lc r 'onl |ar l i t t ' i ( ) t tCs; ¡>() t l t ' t r tos t ' l i tn i t l i r r las t lonl t r t '11Lir . t -aciot ta l t tsat ' las

siasigt t l r t l r t ls t t r rapt .<l l l l t l l i l i< lar l ¡ ; t ls i t iv l r , l l t t l l ( l t tcst ' i t ¡ r<lc l t tct l i I , i I ( .1( l t . laS": ' . , ]1"-

*¿l^, i i . l rs <lcr ' írs; IXfr '() ( ' r) . l ¡rr,ct 's, ¡rt tc<1. sol-qt l( l l ¡ , t ' t -cl t l t .s ( 'st i ts ( 'st l ' i l tcgl i ts

r l t ' los r ivalcs.

AltaRaia

A1 1 , 1111A2t, B2l

At2, IlnA22, Il22

At¡ ' BrsA2:i, 823Jugador I

.JL.E(X)S C()N \ f ( ) \ ' I \ i l ¡ .Nf()S SIN.tL] l : fANE()S U tNI. ' ( )R\f . l t : t r ) r r l t r , lPr. t , t , t 5:t

Proposición: <:n el.jueuo de la Tabla A.2, cl conjunto clc estratcuias cluc' sobr.t-r ivet l al proceso dc el irni l tación i tcrada de estrategias f irertenlcnte clomi¡a<l:rs, 's t- l rnisrno sin in'rportar- el orden en que se cl irninen las cstrateqias.

Prucba: sr lP()ngam()s que en alguna ronda clcl proccso una estrategia clel

irrgador I erstá l i rcrtenrentc clonl inacl¿r. Srrpongamos, sin pércl ida dc general i-t lad, cluc ser l .rata ( lc la estr¿rtegia ¿rl ta, v considercmos clos proccdinricl tos quetl i f ie lct l cn l¿rs estr ir tcgi irs <ltre se el irninan <:n l :r roncla en cuestión, de l¿r sisuic¡-tc l l t : Inera:

I)rocccl i lni t 'nt() ¡ . 'so cl i lni tut (ul rnenos) la cstrategi ir alta.I)ror:ccl imicr)t() 1J. 'se cl irnina alguna otr¿l cstratctgiu. cstr ict:rrncntc clornin¿r-

t l l t (o ulgrrnirs () l lus), l )c l ' ( ) l l ( ) la estratccia al ta.

l i l ¡rrrrrto clrrcial cs quo si sc sigrrc cl pror:r '<l irrr icnt.o B, dc t.oclas n)aneras cnrrrur r '<¡n( l : t ¡ tost t ' r ' ior sc t ' l in l inar ' í r l i t cstrat t 'g ia al t l t , lo qrrc se s igue de los r lossiurr icnles hcclros:

l) Si la t 's lr :r lcgi l t r t l ta cslí t cstt ' ic l i rr l lcnt.c ( l()nrinirda <'rrando hirv tres cstratc-ui lrs cl t ' l . j rrulrr lor 2, l l rrrrbiérl lo t 'starir cu¿rrlr lo l l : rv sr i lo ( l()s csl.ratcgi:rs clcl . j rrua-rk¡r '2.

l l r l t ' f i :c to, s i a l t t t t :st í t csl l - i ( ' lar)r( 'nt t ' r lo l l l in¿r<la ctr c l . j t rcgo or ig in¿r l , c l l t ( )n-ct 's , .111 < ;1r¡, ; l ¡ , ( ¡ lrq \ ' r l ¡ .¡ < ,4,,1. Si st ' l torr:r l t lgul la cle l¿rs cst. l .atcgias dclj t t t l t t r lor-2, r l t ' t t l l t t tc t ' l t r l t t t 's í r lo lc r¡ r r t 'dt ' r r r l r ¡s t 's t r ' ¡ t t 'g ias, r los c lc las l r t 's rk:s-igrr l t l r l i t r l t 's : t l l l ( ' r ' i ( ) l ' ( 's ( ¡ ror <: jcrrrplo, lu pr i rnt : r 'a v l¿r st ' r -Junda, s i sobrcviven l i rs( 'st l l l t ( ' f . l i¿ts izc¡tr i t ' r ' t l l r ) , ( ' ( ' r ) l r r ) c l t ' l . j r reur lor 2) r ros i lscfrul-¿ul qut : la c 'st l 'utcgia al tascgtr ir i i c 'st.andr I cstr icl . :rrncl l lc r lonr i nlrr l :r .

f . l n nrzon:rnr i< 'n I o scrncj l l l l te l r ( )s pcr.rrr i tc con<. l r r i r - que:

i l ) Si la (:st l ' : l t .( 'gia alta estír cstr ictarncnt.t : cl<¡rnin:r<l¿r r:uanrlo hav r los cstr ir-tcsias dt¡ l . i t rutrr lor 2, t l trr tbiérl l () cstará ctr¿rnrlo hav sri lo una cstr lr tcgia clcl ju-garlor 2.

Strporrr¿irrnos ¿thc¡ra ( luc ern ¿rlgtrna ronda clel proceso cle el iminacií tn, unacstr¿rtcsia clcl juuaclor 2 está l i rcrternenf c dorninada. Supongamcls, sin pórcl idarlc scneral iclacl, qrre se trrt¿r clc la estrategia izquiercla, y.,rni i . l . ."-,r . á,, , 1r,. .r-c:cdimielrtos qrre clifieren cn l¿rs estratceias que se clirninan en la roncla en cgcs-t i<in, de la siglt iel t tc ntanera:

I ' r , r , , l i r ¡ r i . . r r ¡ . 1 ' s. t ' l i r ' ina ( : r l nrcnos) la estratesi i r izquiercla.

5+ TUORÍA I)E, IU!](; 'oS: SL] APi,I(]A(]ION F]N !I]oNON'ÍIA

Proceclirniento lJ: se climina alguna otra estrat.egia estrictarnente domina-

da (o algunas otras), pero n() la estrategia izquicrda'

Nuevamente, el hercho c¡rcial es quc de toclas maneras la estrategizr iz-

quiercla será el iminada en gna ronda postcrior en el procedirniento 13' pues:

i) Si la estrategia izquiercla está estrictalnente dominada cuando hay tres

estratcgias del jugaclor ?, también lo cstará cuand() stilo hay dos estratesias del

. j trgaclor 2. Para ver por qttó, suP()l lgi l l l l ()s quc ¿rírn sol lreviven las tres cstra-' i . , [ i"r

clel juuaclor 2 y, sin pórdicla cle ¡4encral id¿rd, que la estrateqia izqrr icrcla

cstír f i rcrtcr¡ente f l<lrnin:r<la por la estraletgia r lcrcch¿t. Si el irninamos la el i tratt : .

eia ccntro, la cstrategia izqrr icrclat scguirá l i tcrtctnc-trtc dorni l lada por la es-

i iu,"1¡io t l t :r ' r ' r : l r :r . Si cl irninarnt¡s l :r cstratesia r lcrccha, csto sc debcrá trt :cc-

sariarnertt t t a ( l l lc cstá f i tertt l tr tctt t . t : <lotninircla p()r l l r estratt lgia t :ett t trr , lo qtt t :

i r¡pl ica que la cstratcsia izquiercla tanlbión cs1¿rrít f i rcrtelrtct l tc clomin:rcl:r ¡ lor '

la cstr¿rt.cgia ccl l t l ' () .

l j ) Si la cst.r lr togi ir izr¡tr ic|cl ir r :st¿r t 'str iCtlrrn( 'ntc d() l l ) i l l i rda (: t lan(l() h¿rv r los

cstrategi i ts clcl . i ¡e:rcl9r l , t¿rrnbión lo r:stal ir trutt lrkr haya st i lo r l t t l t t 'stt l t t t ' t i l ts

del. iug:rcftrr l . Flst<, sc <k' l t t : a r¡rrc lucst.r2rt()gia ( 'cl l t t ' () () l¿I cstr2rtcf¡ ia clcrct 'ha (<r

las cloi) clgmil l¿r ctst¡ ict i i ¡ lcl l te :r la cst.r ' :r t t :uia iz<¡tr icrr la y l1() cst:r ( :sl t- i t t l t l r l t ' l l t t '

r l t l r¡ i ¡acla crr¿r¡<kr lray <los cstratcgizrs r l t : l . j t r¡rador l . Stt¡ lonel l tnos' si t l ¡ l í ' r ' t l ic la

rle gg¡¡r:r l ic l i id, quc la cstratcgi i .r dcrccl l l r cttr trple t 'st¿rs cottcl iciotrt 's. l ' lsto ir l t-

pl i t :a qrrc la cstratcgia dercc:l l :r no pueclc scr r: l i tni t l :rcl i t t ' t tzrt lclo s<lbrcvivctr l l rs

clos erstratcgias clel. j tr¡¡at lor I y qtrc

ii.¡,) ht < 1Jr:, Y ll2t <- lt):\,

p.r 11¡ c¡gc si sc bol 'r¿r algrrna clc l :rs cst.r¿rtceias dcl j trgaclor [ , r le nl¿l l lc l ' l t qtrc st i-

i , , le q, ieclt , sna cstratc{r i :r , aleunir clc las t los clcsigtralclaclcs ¿ttt tcr i t l rcs ( la qtrt :

. ,r .r . ,r1r,r, t ,1., a la estratcgia sobrt:r ' iv iente clel l . iu¡4a<lt lr l ) , rros i lscgLl l ' : l qtrc la

estrate.gia izquicrcla seguirír cstando cstr ictarneltte clolnin¿r<la por la cstratceia

clcrecha.(QED)Aprovecharcrnos la tabla A.2 Para rnostr¿lr ctt el l i r t¡n l lecho que se ctrrnple

para ciralquier jueg() f lni to. L, l conjunto clc cqtr i l ibr ios dc Nash clc t t tr j r tego cs

,,r ,.rb.,,rr¡,lnto clel conjunto cle cornbinaciones de cstrategias qut: sobrevivcltt

al proceso cle climinación iteracla cle cstrzrtegias fuertemente dontinadas. De-

mostr-aremos esta relació¡ proba¡dtl u¡ fuecho eq¡ivalente, a saber, quc al

elirninar de manera iterada estrategias luertemente dominadas, nunca elimi

¡are nlos ¡n equilibrio cle Nash. Para sirnplif,rcar la exposición, la sigtriente pt oPo-

sici<in s¡ concentra en la cornbinación de estratcgias (alta, izquierda), pero cl

t . :rz<¡rurrnit 'nlo cs vír l i r lo pirru crr:r l<lrr ictr ot.ra c()mbinacií)n de estrategias.

It lE(;()S (l()N N{()\1\f lL,NT()S SI\lL tir,\Nl.()S l. l INF()l{\, lA(l l()h\ (lON{Pl,[- l lA 55

Proposit,ión: si en el juego clc la'Iabla A.2 la colnbin¿rción de estrategias (al-

trr, izquiercla) es un equil ibr io der Nash, cntonccs ni la estrategia alta ni la estra-

tr:eia izquierda pucdcn scr borraclas en el proceso de el iminaci<in i ter¿rda de

t'stratcgias cstrictamcntc ckxni n¿rdas.

Pnreb¿r: sup()ngamos que alta, izqtr iercla, es urr cclui l ibr io cle N¿rsh. Esto

siunif ica que:

z) .41I ) ,4¡ , y

i i) I)11¿ 1l¡2 1' R¡ r > lJr:r.

Srrponeanros, contrario ir lo cl trc ( lucfclrr()s clerttostr ' ;r¡ que :r lgrrna o las dos

e'slrntcgius ir l ta, izr lrr icr<l:r, r 's borr '¿rr la en el [)rr)ces() r le el iminaciírn i terad¿r cle es-

t latcgias cstr ict irnlcntc dorninarl¿rs. ( lonsiclcrenros el caso específ-rco en quc iz-

clrr ir :r-cla cs bolracLr cuanrlo alta aírn sol>r 'ervivc (cl t 'azonamient.() es scrnejante si

alta cs lrol lnclu r: tranclo izclrr icrr la todar' ía sobrcvivc). Fi l r¡ue izr¡rr iercia se¿r lro-

l lar l l r sienif lr :a quo cst ir cslr i<: lzrrncnl.t : r lonl irrat l :r <lnt l l rs l :rs est l :r tegi irs remallel l-

tcs r lc l . i r ruar lor l , erntrc las qrr t ' se er)( ' l l r ) l l t r : r a l la, r ¡ r rc r lo ha sic lo borrada. L,st<r

irnpl ica ( luc, () bicn 1l¡ I ( 1112 o bien 1l¡ I < IJr: Sin ernb¿rrg<1, cualquierr:r cle estas

clos clcsiqrr¿rl<laclcs contr ir<l icc l l ) y, por tant(), c()nl.r¿rdice que alta, izquic'rcla,

so:r r.ul cr¡rr i l ibr io r lc h-ash. (Q l l . D.)

l}rrr.r< x;n,u,Í, i

l )avis, l) .v( lh.I lol t (1993),I ixpninnki l l ' )ronotnit ,s, l ' r ' incctr¡rrLlniverrsityPrcss,Pr-incertort,Nrr<:va.f t ' r 'st:v.

Firrrcl l , . f . , v (). Salt¡ncr ( l9l3ir), "Standar-izatiorr, Oorrtpatibi l i ty, and Innovation", / l¿¿¡¿¿,/

.lournul of I*ononics, l(r, pp. 7(ltt3.Frrt lerrr lr t ' r 'g, l ) . r". j . - I ' i role (1991), Oane' l 'hcor1, un Press, ( laml¡r idse , Massachusctls.I fa! 'w<r<rr l , () . ( l9l-r4), "N{i l i tar l 'L)t:cisions anrl ( ianrc Theor,v", . lou.rt t .a. l o.f l . l te Optral ion.s

Il¿searult Sori.ety of Antcrirzr, 2, pp. 3trl1-385.Nfas-( lolel l , A., M. Wlinstr¡n, M. v.f . R. ( irccn (1995), MirrocatnorLir ' l hcory, ()xforcl

Llniversi$' Press, Nut'va Vrrk.()stronr, L,., R. G.arclrer y j. Mralkcr ( 1991), Ruks, Oumes, tl (i¡t¡¿rnorL-Pool lle.unoats, Ann

Arbor, Thc [-]nivelsitl. ol'Michigan Press.R:rsrrirrsen, E. (1990), (kunes arul Inforrnation. Ar¿ Intrcducl.ion. lr.¡ Oane'l'hertry, Basil

Bl : r t kr le l l . ( )x lo l r l .Ti lolc,.J. ( l9BB), ' l ' \ rc ' l 'heor1 ol lndn.str ial Orgnnizution, rtr t Prcss, Cambriclse, Ma-

ssi t ( l lus( ' l ls .

Vun I Iur, l , I l i . l i : r t t :r l io v l{ . Bei l (1990), "T¿tcit ( i t¡orcl in¿rt icin C}:rrncs, Stratcsicl l r r r l r l . r r r r t r . r r r r l ( r ,orr l in l r t iorr l 'a i l rut :" , , lner i . t t t .n. I ) tntun. i r l lmt iear, f l0,¡rp.23+24ff .

2. TRES MoDELos crÁsr<;()s DE oI-rclopot-lo

Iirt csla secciíltr ¿ttlalizitrctrx)s trcs rnoclclos r lt' < '

r r r ¡ rt tt.rrcia entl'c un n ílmeil r r ,., l, ,t i t lor leenlPles:rs,c ldcBcrtrar ld,elc lc( l l r l r lot r t l r l t 'Hotel l ing.Lostressor r¡rr ,g()s cl l los qttc cadir t : tr tprcs:t totrra rula clt ' r ' is iorr \ in ( ( )n()cer l¿r dccisión de sr n r ,Vir lcsyatotr t intutc i t i t robt ictrebcnef ic iost l r r t ' r l r ' ¡ r , r r , l . r r r lc lasclecis ioncsck' lorLr. ,l i ts cnt l l rcsi ls i t tvol t t t ' t 'aclas, l t l quc nl l tn ' l t ' l l i r r : r l , l , l Jr¡r .g() . P()r este l l11¡t iyg, t 's t , , . ,l l to<lc los ¡r t tc<l t ' r r \ ' ( ' l 's( ' ( ' ( ) l1 l ( ) i rp l icaciolcs r l t . 1, , : ¡ r r , r , , , , . r r l r l iz¿rr los t_,n c l cal t í l r r l , ,2t l l t ( l r ¡ ( ) l ' . I ' i r r lostr t 's . j r r t :gosclc()r lccpt()<l t ' t ' rqrr i l i l r i ( ) ( r r l r l ( . i r ( t ( )esc' l c lcequi l i l r r r , ,c lc Nirs l l .

M<lut , : t .o I l ¡ : BLRr r i r r r r

! i t t t l lc t ' t t t t tos ¡ tot ' l l t f i r l ' tn i t ( luc l ) i l r 'c( 'c rnás nattrr- : r l ¡ r : r r . r r , ' , , , 1, 1.rr l . r ( . ( ) lnpeten-t ' i l t cn t tn ol iu<i¡ to l io. [L l lc t r ros c los t ' r r rJt l t 's : rs que ¡rror lut r . r r l , r , r r , . . r , l , . r r t i r .os \ , ( le-l r . r r < l t ' t ' i< l i l t ¡ r ró ¡r lecio < ' .brar- l ) ( ) r 'su pl , r l r rcto. cadat ' r r r ¡ r r r ' : . r I r ¡ . r . , , , ¡ , r , . , ¡ i , , i ¡ ¡ ¡( ' ( ) l l (x 'c l 'c l prcciof i lar loJtor-srr l iv l t l . [ ]navczsclcccionat losl , rs¡ , r ( , ¡ , , . , Lr \ ( ' l ) l -

PI ( 'sas r" t ' t t r lc : t l s t t l t t r r<l t t t t t l y obl . i tncrr l tcncf i<: i< ls. Entcln<:t 's st . r r . r l , . r r I lu l , ( , .LOs. i r rear lor ' ( 's s() l l l i rs ctnprcs:rs I l ' 2. I i l c :onjrrnto rk ' t 's t l . r l r l r , r . , . r r l r . ,

l losi t ' i t ln t l t ' t ' l t r l t t e l l tPI 'csa c() l l t icnc tot los los pl 'oci()s qrre prr t '< l t . ( ( ) t ) r ,u ( . . .r l r '< i r ' , l r ¡ r los los nirrrreros no nt :g: t t i r 'os. I , 'a l ta J>or c l t ¡ l in i r -srr f i rnción <l t . r r t i l i r l . r r lí ' ls ta st ' r ' t i ietr l l a st t l i r t lc i< i t r t l t ' l rcnt ' l i< ' ios. I '¿rr- l t t 'onotcl los, <krf in i r l ros l ) r ' lnr( . r ( ,l l t t l t ' t t tatrr l¿t t¡ t t tr t :r t l i ' t : tr l .a ( 'a( l l l ()nl l)rcsrl . Supon<lrcrrr()s un:l Irrncir in clc clenl lncla I irr tr¿l: si s<i lo I l t tbi t¡ t 'a uni l cl l lproslr, cnf i ' t :ntur ' í¿r la r lcrnarrr l a rTQt) - A - Bp sipz-t l /8, ( t :On; l>0, 1J>0)y q( l t ) -0si ¡ . ,> A/ l ) . t ( ' ,<tr .n<t losl¡ icncssonic lént icos,st tJrot tc l tct t tos t ¡ t r t 's i t t l )a ( 'nrpl 'csa f i . ja rrrr p lccio rnírs bajo qrrc la () tnr s( ' l lc \ .ato<lo c l l t tc t 'c : t r lo l ' , s i f i j lur c l l l r isr l ro prccio, st ' l ler ,a cacla rrrr : r lu rni tur l . Ml is

¡rrt ' r ' isanrcrr lc ' , lu dcrrurnrla t lc la crnprcs¿r i cs, si p,< tI / B.

t ¡ , ( l t , , l t ¡ )=

I / i . r ' l ¡ r r t t io t 's tatr ; ¡ l t r ¡ < l r r t ' n:rdi t ' t .ontprar: i

' . t /

st l ) , < l ) ,

P¡=l j (2.1)

l ¡ ¡> P¡

A- BP,

A- RP,

¿

o

s1

'S i / r

l )ó Tl.toRÍ-\ l)l.l .J Lr Fl(x)s: su APl.l(lA( lloN.' llN Ltr)N()NrI-\

u¡- (P¡- t) r¡¡(p¡, p¡)

Las crnpresas ticnen costos iclénticos. Cada enrprcsa incurre cln un costo I

< A/ Bpor ücla 'niclacl

producicla (' ' ha' costos {i. ios). Puestt) quc Producit ' la

canticlacl 17 tienc un costo r:q, los bencficios de la empresa i scrán:

(2.2)

lil cqrrilibrio <le Nirsh <le cste.iuego es conocidO t:orno equilibrio cle Bertrancl.

(lorrsistc cn un par cle precios (lt l t,Nr,it) tales quc:

u1( l t l t . l , . j r ) > rr , ( p¡ ' l i l t \ par:r todo p¡ > 0

u2(! l t , p ' ! t )2 u2( l ' { ' ' l ' ) Pnra to( l ( ) f " > 0

c.s rlt ' t: ir., <lir¿o cl prct' io 1,i lr l i ja<kr ¡rol la crrr¡rlcsa 2, l ir crnl)l 'cs¿l I t ' l igc trl l [)r '(r(]r()

TrfJ r¡trc ¡r rla ¡l¿ri [c'nc{lr: ios rltrc <'turlclrt it ' l ()t.r() t ' , rccíprocatl lolltc, rta<ltt t ' l ¡rrt '

,, i" ),¡t l i jurkr ¡ror la crrr¡rlt:sir l, la crnprc's:r 2 tarnbii 'r l t¡ l ir- le t ' l ¡rlct: it l t lrtc rrt its lt '

cr l t tv ict t t ' .

! lx;r¡r i¡ctnlos los l tosibles J)arcs dc prcc' ios <lt ' l ls cntpr<'sl ls l)arl l ol l( l () l l t r i l l '

t ' l o los cqrr i l i l r r ios c l t : Nash.

r) Srrp6¡uarn()s qrro las r:rtrpresus r 'olr latr Jrt 'ccios t l i l i l l t 'ntt ls 1' l layot ' t 's i t l t :os-

t. rnar-¡¡ inal: l ¡¡> l¡¡> ¡, . Flnton<'cs l :r crnprt 'sir i no vctrr ler trarla y obti t ' t l t ' bt l l lcf icios

ccr,. l isto l l () cs ult cqtr i l ibr io dc Nirsh p()rquc ¡rtrt tcl t : t :¿tr lrbi i tr t t t l i lal t : t 'al tr l t ' t t tc '

y sal ir .g:rnanclo. !)r c ' f i 'cto, si f i . ia trrr prccio nl l lv()r 'a r, l t¡- r+ t : < rnirr{/ , ,¡ ,A/ | i l ,

, , ,p,r" . I . , l l ¡v i r r tocloclnrt ' rcackryotr lcncr l rctrc{ l t iosl losi t ivos: u¡- t (o-h(r+

r ' ) ) > () .

l l ) Srr¡totrgarn()s quc l l rs cr lprcsas cobratt t ' l mistno l l rcc' io, rna)'()r ' l t l t oslo

nrzr|Uinnl, 21 - l tr) c. Si cstc prcc: i<l cs lnay()r o igrr l l l '¿ A/ lJ, l :r cl t : tn;rnda y los l l t '

l tcf icigs clc t :acla culPrcsl l ,r t , . ," . ,r . Esto n<l t 's trrr cqtl i l ibr io cle Nash porqrrc la

crnprcszl l l t rrc<le catnbiar urr i l l l t .c-ralrncl l t .e sl l Prccio p; a t t tr nivcl r :< l t¡<' A/ l lV

olt t t 'ner l>encficios posit ivos. Si, po| cl c()ntr2lr i() , cl prccio colníttr cs l l lc l l ()r ()

ig*lr l a A/11, cntorlccs a cada cmPl'esa lc c<-rttvcndrír ganarlc toclo el rncrt:ado ¿t

su r iv¿rl cr() l l ¡r)¿1 peqtreira rr-.clucción ertt stt pt 'ecio. !)n cf 'ecto, ct lzlnd() los precios

scrrr isuales cacl: i e,rnpresa obrienc beneficios dc ( (A - I l l t l ) / 2) ( l , t - d. Si l¿r errrr-

p."* i .2, por.cjetnplo, reclucc cl prccio en t > 0 Obtcndrá ttn¿r galtancia n)cn()r

p.. . ,nicir. . l vencl ida - igual (p¡ - r , - e)-, pero sc l levará todo el mercado: stts

Lerrel lci 's ser.á' (A - I l (h- e) (pr - ¿r- t) . Sus beneficios son mayores con la

t cdt t t c ió l l et t pret io s i

LP et - c)< (A - ts(Ntt _e)) (p, - r: - t ' )

TRIS Nl() l ) l l l . ( )S ( : l ASI( . ( )S I ) I - . l ) l . l { , ¡ ) l ' ( , l l r I

Ahora bien, si reducimos e lo suflciente, podernos acercar el lado derer: lr<r<le esta desigualdad tanto como queramos al valor (A - Rp1) Q\ - c) que es rna-yor al ladc¡ izquierdo. Es decir, la ernpresa 2 prrecle aumentar sus beneficigs me-cliante una reducción en el preci<l suficientetnente pequeña. Por tanto, crrando

l\ = l¡¿> d l lo tenemos un equil ibr io de Nash.

l l l ) Supongam()s que las empresas cobran precios diferentes, siendo cl me-tror de los clos precios igual al costo rnargint al: p¡'> 7,r¡ - c. L,ntonces, la cmpresa it . icnc bcncficios ccro. Puedc aulnentar str precio l igcramente -de rnaneraquc sea toclavía nlcn()r al de st¡ rivirl y a A/ R- y obt.erter beneficios positivos: sit t- ia l t ,= d+ €, ( ' ()n t suf l t icntt ' i l lcnte pc(lueri(), tendrernos p¡> F¡), t t¡= e(A - R(r+s))>0.

r.zr) Srrponganr()s quc alt.Ittu¿r cnlpres2r t:obra rrn prer:ici nlenor al costo nt:rr-t t inal, ¿. l int.onc:cs la crtrprcslr qtrc cobra el prccio men()r obticne beneli¡ iosncgl t t . ivos -y las t los lo hlrr :ctr s i t 'obran cl mismo ¡rr-ct ' io. l ' .s lo r l r ¡ t 's r rn t ' r ¡ r r i l i ,b l io r l t 'Naslr Porr¡ t r t ' l r t t 's t rat t ' t ¡ i r r r t l te rnat iv¿r l r l= 1 1) l ' ( ) l ) ( ) r< ior l r l rcncl i ( ios r t , t , ,

r r ) I " i r r i t l r r r t ' r r t< ' , < onsi<l t ' r ' t '11)()s pl - j t¿- t . ( i l t r l r t t ' tn¡rr t 's l r o l r t i t r r t lx nt ' f i t iost ' t ' r r l . Si l l t c t r t ¡ r - t 's l t l t t ' t l t t tc st t ¡ r ret ' i<t , t :apl .ar- l i { r ¡ r lo t ' l nr t r t : r<Lr ¡r t ro ol r tcrrr l r : i l r r .nt ' l ic ' ios t l t 'g¿t l ivos. Si r l r l r t ' c ' l precio, no tenclni t ' l i< 'n l t 's r st 'gr r i r : i t t n i t r l r l r ¡ l r ¡ r r tÍ lc ' ios t 'cnr. I )ot ' latr t<¡, s i str r i r "a l f i ja urt prccio igtr l r l : r l t oslo rr l r lg i r r : r l . lo rnt ' j , rr l t rc ¡rrrcr lc har:cr r rn l r onrprcsa cs f i jar tarnbión srr ¡ r l t ' r ' io igrur l : r l 1, , : l ¡ ¡ r . r rg inul . ' I tncrnos cnt()rr( : ( 's r rn cqrr i l ibr io dc N-ash.

l)t t t :sto r lr te l tcrt tos i tgoti t t lo tot los los casos, concluimos clue el único cqui l i -brio r lc Nitsh <lc cstc. i trcuo, cs <k'cir, cl írrr ico cqtr i l ibr io de Bcrtrand, cs p1 = p, -¿r. ' l¿rs clos crnprcs:rs c<¡bran cl rnistrto prccio, i¡1tral al costo nrarginal, v obtiener¡bcncl icios dc ccro.

El irntcrior trsrr l l . i rrkr sc (:()r)()cc conlo l¿r pararloj ir cle Bcrtral ld: bastlr conquc cxist irrr r los crrr¡rr '<'s:rs l)r ir i r r l tr t : la corrr¡rctcnci ir las l levc a tencr bencficiosntr los. l ' ls trna paratloja p()t ' ( luc a pcsl lr t lc qrtc hnv soLrtncntc dos crn¡rrcsas encl tncrcaclo, no sol l capaccs t le rrtaniptt lur cl prccit t , c() l) trariarncnt.c ¿r l() qucuno esperitr ía.

¿( )rrírk:s sotr l :r ctrsct l¿rnz¿rs cle I rnoclelo antcrior? Prirncro, que no basta cont.ener un reducido núnrero cle empresas para p()der rnanipular lcls precios y

obtetrer beneficir¡s elevados. Segundo, los strpuestos clel modclo nos incl icancrr qué dirección debemos btrscar los orígencs cler precios v be neficios elevados:

l) El rnoclelo es estát ico. Las clo* empresas compiten trna sola vez y nuncarrrtrs se encuentran. Una sit tración en la quc las cmprcsas pcnsar¿ln que volve-r: irr a cornpetir en el luturo podría orisinar un comportamiento dist into. Bajarr ' l ¡ r r '< ' r ' io l ro l ' ¡ ¡1¡1 ' ¡11' aunlentar las ventas dc ho1' , pcro pucde también tener( ( )ns( ' ( r ¡ ( r r ( i . r : : ' ,1rc l , rs l r l t 'c ios r¡ t rc f i je la t :ornpetencia ern el f i r t t r ro.

60 IEORÍA I) I i .JLrE(;os: st l APl. l ( ) \ ( l lÓN LN E( loN()N{ÍA

l l ) Los bienes son icl í :nt icos. Una consecuencia de esto es qrl(. basta nrla

reclucción minúsctr la en el precio pzrra qr.r i tar le todo el mercado a la compe-

tencia, apropiarse de la total iclad dcl rnercado srlp()I lc t ln sacri f icio ntuv Peque-

iro. una situación con bienes cl i ferenciaclos, es decir, en que el coustrrnidor

perciba krs prgcluctt)s colll() clistintos, nos conclucirá ¿r un resultaclo clistinto,

prres f i jar un pre,c, io apcl)as rncl lor a la competcncia no tcndrá clectos tan

,trárt l . i r . . El cJ's' ' r ic lor prrccle percibir los pr 'cluctos c()nl() ¿ifcrentes sirnple-

nlente porquc le qlretcle ntás cerca cornprar lrno qt le otr(), annque st:an ctr todtr

lo clemás ir lénticos. f)e hectro, es conrítn que sc vernclatr bienes físicarncrl te

idénticos a prccios cl i l 'ercrl tcs e n dist intos l trgares'

i l l ) l ,as el l lprcstrs no t ienc¡l t r- t 'str iccioncs :r la catrt icl¿rcl prorl trcicla: ln cttrpre-

sa i ptrerlc pr,r i l , r , ' i r la cantidacl ír , n() inrPort:r <:trátr grat lde soa, a r l l r costt l tolal

, .¡ , . 1i . , . , suj l trcst,r tarr lbi i ' r ' r t :s i t l tport. luttc por( l trc l l l l : I elnPrcslt Jlrrc<lt : l lcrclel 'cl

inter ' írs cn baj:rr- el pt 'cc: io y qtr i ta| l t : toclo el lnct ' t : i r t lo a str r iv¿l l si r lc-spttÓs t l tr

scrír cirpirz rlc sirtisf:lc:et' lzr clc¡tlr¿ltr<l¿r'

Mott¡ : t .< I t r t . ( l t l t ' t ls<l l

Antoinc Atrgrrst irr ( lottr l l<¡t Pr()PLls() cr l t t t l l ibro l l rrbl icaclo ctr ! ' t 'atrt i r t t 'n I l { l l f { :

rrna l i rrrna dc analizal ' t : l cornptlr tatr l iel l to ol ieopti l i t : t t ( l r lc c()rresPolldc l t l t r

qrrt : rnt is r l t ' rr¡ siglo clcsptrés, apl icaclo a c()n1(lxtos t lrás gctlcralels, st ' l latr larí¿t

equi l ibr. io r lc Nasir. A conti ,r .r iul i í¡n clcsarrol l l rmos tt t la versi<itr de cste t l l<¡t l t l lo '

l i i istcl l clos errnpresirs qtre plocltrccrr l biencs i t lér l t icos. La t- ' tr tprcsa i , i = l , 2, i t l -

cr lr |e cl l un c()st() igrral a r;q¡ al proclrrr: i r l¿l clrnt ir lat l r7;. I ' ist lrs cr lrPrcsl ls t ' t ' t t t l l i tctt

r¡r. icl iel t¿3 stts tr iyclt 's r lc pr 'ochrcc' iót l si tr ( () l l ()c( ' l - la r lecisi<in <lt : srt r ival ' pcrtr

ct() l lsciult tus clc c¡*c c, l Jrt ' . , i i , l al qtre str ' . t lc lcrírt l

stt ¡ lr . t l t rc:to <lep.ndcrír <lt l la

produccií)rr t le l in cl .s. ' , t t¡r , ' . ro.. . Este ¡;r 'ec: i . cs l)(r¡¡ , ¿/:) - r .ax{r¿- l t(q1 + q) '01'

c<tn 0 < c¡ ( 1r l )2 l r i r i= l ,2. l i r r toncets, tenenl()s rr t r . i t reeo cotr ln<lv i tn ict l t< ls s in l t r l -

t íuleos: cadlt ett tJlrcsa I cl igc r¡¡ > 0 sin colr()clcI ' la t : lccciórl t le srr l ival ' cs cle¡cit ' '

s t r cotr iuntO dc estr¿rtcqias cont. ienc toclos los nt i l t t t ' t t rs t t t r t t t 'g l t l ivos, v <lcsptrós

rt¡cibe betrcf icios n¡(ql, q) = I ' (q' r l72)r¡ i- t :¡1¡

Lo clrret en econ()lnía incltrstr ial se conoce como cl eqrr i l ibr io dt l ( lottrnot

cs sirrrpl irncntc ul l equi l ibr io de Nash cle estc. iuegt): t ln Par dc estrategias 7i ' t l t

tales que, clacla la estr ir tegi:r clc la e mpre sa2, qi, la cmpresa 1 obti t 'ne el rnáxi-

nto l tencf- lcio posible si el iSe r¡ i y, rccíproci lr l )cr l tc, dacl ir la est latcgia de l¿r enl-

presa l , qi , la e rnpresa 2 obtienc el rnáxirno berneflcio posiblc si cl iec q, ' , :

ü l t t (q i ,q;) >\( , ¡ , , l ; ) P:rra todo q1> 0'

' | l l tr ltntJtL.s vrr lr Prittt i ft,s,\Iathénatir¡ues dr Ia'l-h.éorir d¿.s Rithts.scs.

I

TRIS MOI) l l l . ( )S(.1. i \s l ( , ( ) \ I t l ( ) l l r , ( ) l ( ) r r i I

ii) n2(ql , ,ú) >- ntkli , qz) pirra todo 92 > 0.

I )igre.sión,: el caso firtikt

\rrtcs clc ¿rtral izirr cl caso en que l :rs entpresas pucclcn eleeir crr ir lqrr icr cantidacl

¡rosit iva, \ Iamos 2r sup()r ler qtre cada emprcsa I sókr puecle eleeir tres nivclers cle

¡r tocl t tcto, q i t lqR,r l , t r .Q.t l .Elanál is isdeesterc¿rs()n()spermit i l i ienf ' : r t izarclhecho

' l t 'c¡rtc l¿rs hcrramicntas usacl irs cn el caso r:ontintro s()n ul l l l cxtcnsir in rr:r tu-r:r l r lel ci tso discrcto. Los sigtr icntes pauos hart siclo constrtr idos suponicnckrr fueel) lafunci í rnprcciotcncnl()su=7,t , á- l , loscr()st()sm¿rrginalessonc¡ =¿¡

I v los nir . 'c les c le pror l t tcci<in fact ib les son sol : r rnentc ( lB= 1, r ¡ , t t -2,v q¡- 4.

Nloclclo t ler ( lournot. F, jenrplo I ini t<r

F,nrprcs:r 2

Ii.nr¡rlt:slr I

(! tq'\l,|n

qbq,\l

4't

1,4O, i)

4. 1

3,64,40.0

1..+0,0(.) ,0

P<lt lcnros cx:rtnitr :r t ' , una p()r rrna, r ' i rr l¿r un¿r de l¿rs nrrcl 'c cornbinaciones clet 's t rutcsias posiblcs, p:rm ver s i es o rro cqui l ibr io de Nash. I )c ntancr-u cqtr iva-It 'ntc, prirnelo l toclernos vc'r qtró cstr ir tergitr lc- conr,. icrrc usar a l¿r cnrpre'sir I parat ucla posible estrat.egia <k: l i r cmprcsa 2. Esto lo herrr los incl icaclo cn la rnutr iz r lc

l) irg()s rnrirclurd<l cr<¡tr r t tr ast.cr isco o la mcj<lr r(:spuest¿l <ler la crnprcsir I parar urla coltrmna clcgicl:r por la ernltresa 2:

Moclclo cle (krrrrnot. \ ' lcior rerspuest¿r cle enrprcsa IErnoresa 2

q.\

Flmprcsa I

q,\r1n

1B4tt4. t

1,4(i'1., 3

-1. I

J,O

4*,10,0

I +, !10,00,0

Dicho de otra forma, tenemos una funcií tn qlre nos dice qué estrategia le, orrvit 'nc rrslrr- l l¿r cmpresa I para cacla posible estrategia cle la cmpresa 2, que\( '(()n()( ( ( (rf f r() f t t t t t i t i t t t l .c rcrtcci. t i l t t le kLetn.presu l ' .

62 TE()RÍ, \ DE.JLi l - . ( ; ( )S: sLi APt. l ( lA(xÓN EN E(]ON()MIA

9t=

4z=8n

1z = |¡vt

4z = 4,t

Poclernos hacer algo sinti lar para la cmpresa 2, es decir, encolltrar qué

e stratesia le cla rnás utiliclad para cacla posible e stratesia de la ernprcsa 1. Esto

lo hemos ruarcado con un asterisco * después del paeo a la empresa 2 cn la

matriz de pagos:

Moclelo de Cournot. Mejtlr respuesta de empresas 1 y 2Ernpresa 2

ft,, 'l1' ' lI |n sr

4t4n

Empresa I

También podemos escribir la Júnción de reocción de la empresa 2, qtre

inclica su rnejor respuesta ante cada estrategia de la empresa I.

sl Qt=4s

si Qt=4u

si Qt = 4.,t

Un equil ibrio cle Nash será entonces una combinación de estratep;ias que

contenga clos asteriscos. En efecto, el hech<l de que la casilla central tenga dos

¿rsteriscos nos indica que si la empresa 2 elige su columna central ' a la empresa

I le conviene elegir su renglón central ¡ recíprocamente, si la empresa 1 elige

su renglón central, a la empresa 2 le conviene elegir su columna central. Otra

f brma de expresar este razollanlienlo cs medianl.e las Juncione.s dc rearritín- qrrc

rros <licen que si la empresa 2 elige Q¡6 ala empresa 1 le conviene elegir q¡a

(función de reacción cle ernpresa 1) l', recíprocamente, si la empresa 1 elige q¡r, a

lu ernpresa 2 le conviene elegir 4,v (función de reacción de empresa 2). Enton-

( ( 's, (.st1ls estlatesias son la rnejor respuesta la una de la otra, es decir, forman

rrrr , ' r ¡ r r i l i l r r i r ¡ < l t ' Nrts l t .

qBqNrq^

1,46*, 34, l *

3, 6*1*, 4*0.0

l* ,40,00,0

nos

p.t . = lo,

1,,

'I 'RES N4oDEl.os ( :l Áslcos DE oI_I(;()poi_I()

l',1 modekt de Qrurnot en el r:aso utntinuo

\tr lviendo al caso continuo, tenemos ( lue para cumplir Ia concl ición dc que laclnpresa I obtensa el nláximo beneficio posible clado q2, tenemos que resolvel elsigtr iente prclblema:

Max n, (qt ,qz) = q,(a - br¡ , * bqr) - c¡1,9t

Solucionar este problema es equir ' :r ler l tc ir cncontrar qué renglón debe<'legir la empresa 1 para cada columna elegir la ¡xrr ' la enrpresa 2, o a qué casi l la(s)lc(s) ponemos asterisco en cada una de las colrulrrr¿rs.

L)eriv:rnckr n,(r l t , q) obtenemos

o.l

(2 3)

Si esta dcril'ada es negativa cuando q1 = 0, entonces la e mpresa I obtendrábeneficios ncgativos para cualquier cantidad positiva, por lo que una produc-ción nula es írptima: r7r = 0. En caso contrario, la empresa I proclucc una canti-rlad positiva, y la cantidad óptima fr es la que anula la derivada.3 Por tanto,t.enernos que

0n,kI , .0. , \- .=-2bqt*a*r , - ln¡-

dqt

Qt

, ¡ Í - '1 - r r t <ott '-

. i t ' - t ' - ( rs)o

l¡ "

Esta es l¿r función de reacción de la t 'nrtr.t.srrrnos cn cl caso finito.

Asimisrno, dado 91, la empresa 2 el iet ' r ¡ , , ¡ r r ,

Max q2@- bq1 - lr¡., )

r rrva solución es:

SI , I I

, I I

' \ r ¡ l t r r ros <¡rrr . l l r st ururcl ; r c l t ' r . ivar l l r r l t ,n¡(r¡¡ , r7, , , ) t orr r r . : ¡ r r . r ro, , r ¡ t t l i t ioncsr l r ¡ r r r t r , r , , r t l r . l r r . l l r ,< ' r r l : t ¡ l<: t t : t r l ¡ l iz . ¡ r ¡ r r t ¡ t . i \ t r ¡ t ( !

(2.+¡

l , análoua a la qr.re encontra-

sr ¡ l r rc ione:

Q |, . ,

lt

Qz

I t

. t l(2 '5 )

t t ¡ , , ' r 1, , , ¡ r r r Lr

oI)1r I r r . ( )RL\ DL IU¡ lc()S: SLi Al ' , t . lcA( l loN FIN I i ( l ( )N()N{t . \

L'rr equi l ibr io clc Nash es ur) p¿rr (q|, qi) qtre soluciona simultáneirmetlte

lls <los ecuuciones: qi cs la estratcgia quc más le cotl'iener usar a la etrttpresa I si la

cnlpresa 2 el ige r7l, ,v, recíproc¿lmente, gi es la estrategia quc rnás le convie-

r le usar ir la ernprcsa 2 si la ernprcsa 1 el ige r7j . Si erscogernos los nombres cle

l lrs crnpresas de rn:rnera cluc la ernprcs:r c()n rnol lorcosto sett la e rnpresa l , r :¡ <

¿i, e ntonccs la siguicnte es la írnit :a soltrci írn clcl sisterna, es decir, el equi l i l r l icr

r lc Nrrsh ( , t i , q i ) , conocido cl l cste cr()ntext() corno equi l ibr io c lc ( lo l l rnot , es

(\ ' i ' r rnse grír f ic : rs 3.1a ,v 3. lb) :

TRIIS \ l ( ) l ) l . l l . ( )S (11.. \Sl( ( )s ¡r¡ r , t t i . i l t ( , t r , I

(]R,crrr;,\ 3.1,rFunción cle rcacci<in en cl nroclelo clc (lourrror

\{( i ¡ ,q '1 >( l 'q i>0

1't

u-( l

f . r rs ¡r t . r i , : r t srr l t . r r r t t s st ' ¡ r r r t '< l t ' l calctr l¿rr sust i t t ryetrc l<t ( t ¡ ' r , r ¡ r ) cr t lu f t rn-

t i r rn t l t '< l t 'nr : r r r<lrr l ' \ t ¡1. 111\ r t l t r l r t - hQ¡1+ r¡1),0). ' fe ' t tc l r tos t l t te:

. u + ( t , . u-2c, * c" ( . u-2c, + c ' t¿) Si r : r .

2 .entonccs qi -

j .b ' , q) =

3b

t t '

t ' . ' , t l , r t t , t 's r7 i :

f f , , , ; =o

( inÁt.r<: , r 3.1sFrulr : i t in t lc leaccion cn el rnoclelo c le ( lorrr .n<¡r

t1 1 t:,2, q', > 0, qi > 0

' t2

( I ( l

2b

l,l! ,,.-! ut

rt ' r l trcciír l l ert cl pretci<t de cqrr i l ibr io v por lo tanto ul l : l runont() r ' rr lu r: l rnt iclacll() t l l l produ(l idl t en cl ntert ' i tclo, r, i i ' ) rrrr ir redrrccií tn cn la producciórr r l t 'srr r ir ,al\ t l l l 2l l l l l lc l l to cn la srrva propia. l ls rk'cir, srr producciórr ¿tunlcnl.al-t i por.clue lar :rrrt idacl vencl icl¿r en el rncrca<kr st 'r . t i rnavor y polque tcndr.á una tnzryor c]uota

, l , r r t t ' l t : l t l ' .Si lar t ' r I r r r '< i , i r r . r r r r ( ' \ r i l r r r {nrrrr l t .qu(.r '2 r"r : ; " . ( ' i l loncess(.L

, r ¡ ro<l t ' r ; r r l r ' t , r l . r . l r r r< ' r t . t r r lo, r l r ' l <¡rrr '< 'x¡ l r r ls l t l r srr t . i r . : r l .

(2.6)

(2.7)

Q ( l

2l)

(2.u)

/ . ) () \

H¿rl, dos rersrr l tar los ¡rosibles, r lependicntlo cle la cl i f ercncia t le t-ostos v el

t l rnl ir i lo clc la demanda. Fln rrno dc cl los (t : l rso i l ) , los c()st()s clc la etnprcsit 2

-121 ¡¡¡¡¡11 6'5,a ( '() l l c()st()s rníts ¿rl tos- s()n t:ul cl t :r" i tr los ctr rc' l¿rcit i tr c<l l l l<ts c()st()s

de l tr enrpr-csa I v cl t l tnl :rño dc la demanda -qltc sc rel ler ja ctt t ' l pl tr i i t t tctt ' t r

¿t-, que sír lo rrn¿r crl lpr()s¿r proclur:c. l)aclo t lrr t : l : r cntpt 'csa 2 tro Jrrrrdrtcc ttada,

la crrrplr:sa I se cornport¿l ( ' ()nl() un rnottopol io: prodttcc t lna c¿Ir l t idu(l qut: in-

r lrr<'c cl prcc: ir-r cle tnotrol>ol io p= (u,+ t1) /2. Recípr<lc: lrnetrtc, daclo cstt ' pt.ct i tr

r le rnonopolio, la cmpresur 2 no trrc, j , f : l , t tr , , lzt porquc t:acla t tnid¿rd prodtrt ' i t la

le c<rstaría tnirs qttc ese prccio: 'z <

i .

En cl caso ( i) las clos emprcs¿ls plodtrcen canticlacles posit ivzrs, y la cantidird

r¡rreprodrr<claernpresi t i esrnrryorcu: lntol l te l l ( ) rs( 'ast tc()stot t l t i t : t t i , , \ ' ( t l l t t l -

to rnayor sea el costo de su r ival. El prccio de eqtr i l ibr io es mcllor que erl precio

que pre\,zr lecería cn un lnon()po1io, o

1 tL1

'¿ a" *^" '

. Es clccir, el precio en el'32

cclrr i l i l t r io clc ( lournot cs nlen()r al precio cle rnonopolio, v derpcncle (posit iva-

rrrt ' rr t t ' ) ck' los costos cle las dtts enlpres¿rs. Esto quierc clecir quc si, por e. iemplo,

l l r crrr¡r ' r 's l r I loqra r- t ' r l r rc i r srrs c()s l ( )s t t t t i t i t t ' ios r ' t , pr lx l t rc i l ' t i r los cf c<' tos: i ) t r t ta

I\(r¡2)

1'1..( )RíA t)1,. ILll ' l(;( )s: sLr -\ l ' l . l( lA(i l(-)\ tr l\ l ' l( l( )N()\11',-\'f Rl.ls \,1( )t)1.].()s ( 11_ASl( r( )s l)1.. ( )t.l( :( )1,( )t.t()

cl punto cx, y l:r tienda 2 en el prrrrto p cle la ar,cnid¿r, con c{ < 0 < l. Si oficcier¿rn elnrisrno prccio, trr l cc¡ttstt t t t i ( lor cl trc viva.junt() :r la t icnda I prcferirzi comprar cl lcsta t ienda, pt lers p¿rr¿r ó1, erl ¡rroclrrct() ()f l 'ccido ¡ror la t iencla I es rncjor. Sinctr lbargo, t t t l consrtt l l i ( lor- que I ' i r ' : r e:n cl cxt.r 'crrro clerecho, en el punto 1, prcferi-r-ír ln t ierrdlr 2. Flxiste t l i fcrcnciación horizontal. l - :r población clc consumidoressc cl ist l i l t tryc clc tnzttrct-a uui lornlc cn estlr ln 'cnida, pol lo quc dos sc[mentosrlc la rnislnir longitrrr l lcndrán cl misrno níuncro dc consrrnridores.

SttPottglt t t l<ls ( l t t( : urr c<ltrsrrtnidor clecit le cn c¡rrír t icnd¿r c()mpr': l r toman-t lo cn ctrenta cl prr:cio t¡uc tcnrl t ír ( luc pagar por el bicn, t ,el t icrnpo, cl cl inercrv cl csl ir t :r 'zo <1ttt : l t ' t :ostani clesplazurse ¿r la t icncla. I istc costo clc clesplazamien-to r l t 'pt:r tr l t ' <lc r lrr ír tart lcjos esté ósta. Así, un consrrrniclor r¡uc csté a una cl is-t : t r r t ' i : r r i ¡ t l< ' l r r t icr lda( i ) , tcndr 'á l l r rc()st()<Ic t i l '1 .Estac'spet i l ic : . rc i i rnrr :c:ogeelIt t t t l to r l t ' <lrrc t ' l t ost<¡ aul l l ( ' I l t l con l i t r l ist:ur< i i r , y lo h¿r<:er clc rnancra clet i . l rr tc.l ' l l t o l ls t r r l t i< lot 'o l r t t ' r rc l rá uni t t r t i l i r l l r r l dc c:ornJrrar c l b ien cn l¿r t ierncla ( i ) ie¡alI t [ . \ - l r1; - / ,1. l i l pt ' i rncl tc ' ¡ r t t i r t r ) r ' ( ' l ) rc\cnta la ut i l ic l¿rcl que pr()porcion:r c ll¡ i t ' rr , cl scfrt t t l r lo cl t :osto de clcspl:rzlrnricnlo, v el tcrccro cl costo nlonet.ario. Untot lst t t ¡ l i r lo l pr- t ' f i r l in i ( ' ( ) r I l [ ) rar cn lu t i t ' l r r l l t <¡rrc lc pr 'oporcione un¿r t r t i l ic l¿rcll l l l \ , ( )1. Srr l lorr t ' r r ros, Jtor st 'nt ' i l lcz, quc l ) l r l i r los rangt¡s r lc precios c luc ntarr t ' j l r -lor l l ( )s lot los los to l tst t t r t i r l t ¡ r ' t 's <lcciden (()nr l ) r 'ar c l b ien. Flntonccs, ul t consu-t t r i t lo l s i t t t : t r l t ¡ t ' t t t ' l ¡ r tut to rr l r ' l : r avcnir la prt ' l< ' r ' i r -á conlprar en la t iend¿r I s i :

I S- 1(¡- a)= - l , t l - f ̂ l - l (x- f ] ) , - Al > 0 (2.1 0)

r lorr<l t ' l r t 'nr<¡s l t ' r r rJr l i rz:rr lo r1i - ( r - u) : v l , : = (r- 0) ' . I , . l p l i rner tónnino cntr-e< ol< l l t ' l t 's t 's l¿r r r t i l i< lacl c l t 'cornpral en Ia t icr ld¿r I v, c l scg"rrnt lo, la rr t i l idacl c lei r iu c l l<¡ t ' r r la l icnr la 2.

Nol t ' t l tos t ¡ t t t 's i t t t t < '<l t rst t ln i t lot ¡ r l t ' f ic lc ( ' ( ) rnprar en la t iencla l , t .ockts lost oltstt t t l idot ' t 's a str izr l t t i t t t 'c la t . lur lbiólr ¡rr cl i ' r- i l i in ( ' ()mpral cn el l¿r, p()rque confirr-t t t t ' < ol lsir l t ' t ' l l t l l ()s l) l t l t l ()s t l l í rs ¿r l i r iz<1rri t ' r r l rr cl t¡ l¿¡ avenit l :r , se vrrclvc nr¿is ¿rtr:rc-t iv l r l l t t ic t r<l : t I t ' r tcot t t ¡ r : t t 'at ' i r incol l l l r l icrrr l r2.Flncfecto, l¿rc ler ivacl¿rdel lacloizr¡ t r icr . r lo r lc 2.10 (()n r()spccto ¿r xt 's ' ) / ( r¿ f i ) < O. I . ls to s ie l l i f ica quc l : r prefc-t - t t t l t i l t re lat i r , l t ¡ t t t t ' l l t ' r r tprcsa I se l t ' r l r ¡ r r ' . r nr t 'c l i r la qtre considerant()s c()nsu-rni<lt¡res rnás :r l i r clcrr:chir.

Lttcal i t 'crnos ahor¿r t ' l punt() rF err <¡rr. ", si tr irr cl consumidor incl i f-erenter

cl t t re c() tnpl-ar en la t . icncl i r I v h¿rcer lo t 'n l . r t ¡ ¡ r r r l : r 2. Estct putr to sat isf¿rce:

[ , ! - ¡ (x.-o)2-A]- [ . \ / ( \ l i r ' ¡ t .11-0 (2.1I)

, ,*=ar*0-o* / ' , ' l ' t2 : l t r l t , .

o/{ ; ( ;

\ lotr t to l r l Hr ) l l l Lt \ ( ,1

[, tr() t le los supuestos cluc c:ottchtcc a l :r parzrt l<l j i r cl t l l ]crt .rantl cs qttc los bicttcs

r¡rrt , ' f i . .r . . ' l is clos ". ,pr '"rr, ,

s.r l ic lólrt ic.s. Fl. r 'c¿rl icl : i t l ' i . r t : l t rs, t l .s pt ' 'dtt t ' t .s

( () l l l : ls nl lslnas Caractcríst icirs f ísi t¿rs ptrecletr r lo scr iclónti t :os a l t¡s oios t lc los c:orl-

\nini([()t-Cs Jtor cl i f ercrttcs l ' : IZ() l lcs. I i tr cst: l se Ccií ln consir lcl 'arcrl l ()s l l l l t l ror l t : l t r

--<[t ' l ¡ i r lo a t{otel l ins- qt lc] t l l ( 'ol 'P() l- i t ( lsta colrsi<lt l lacir i tr ' <' t t cl t¡ t tc 'clos cnrpre-

si ts ( l ¡ ( ' 1tr '< lCl t tCett b icrr t ls c l i f i ' l t l t tc i l rc l , rs el igcrr s i t r l t l l t l i l l t ¡atn( ' l l tc st ls l ) l ( ' ( i { ) \ \ ' l t

( . ( )n l i l l l l ¡ ( . i ( i r r . o]r t . icrrcn l rcn<' f i t i< is qr lC' ( l ( ' l ) ( ln( l t ' t t r l t : l l tn l l t ls ¡ l t - t ' t : ios '

I ' r ' r ¡r . i r ' t :r l r r '¿rzrin Por l l i r l t t t : l r i , , t , . ,* f ísi t '¿lr l l t l t t t t l ic l í 'nt icos solr r ' : t lot: tr los

r l t , i l l l i l rc l l t r l isr i l r ta p, , r ' l , r t cotrst t t l l i t lot ' ( 's ( 's ( l t t ( r gct l t ' t l t l tnt : l r tc- í ' ¡1os ¡ l r t ' f i ' r ' i r ' Í l r

r ¡ l b icn of l - t :c i r lo I ) ( ) r l t l la ( ' l l l l ) r ( :s i l s i prr t '< lcrr : t< l r ¡ r r i l i l lo rr r i ts lát i l r r lc l l t ( ' ( i t l ( ' ( ' l

r le otr .a ernl) l .esa, t r l l r lq l lc e l ) t . ( ) ( l ( ) lo r l . ' r l l l ls seiLtr igt ta l , cs r l t ' t i r ' , l : t t i t l r r t l l r r l t ' l i t

esc¡uina ofreCtt , , t tn t ' " r , , r , ¡^ ct l tó l ' l t l in()s r l t ' < ct-< l t t l í l t solr t t ' r t l l i r t i t ' t l r la r l r í ts l t ' i l -

l . r l t . l ,as { i rc: i l ic l¿rcles, la. , r i r tp,^ i t r t t 'c l t ' t t scr '< l is t i r l t l rs l l< l t t r t l t t ' l tos ot t t ls I l lo l i \ t l : '

r :orn6 hor l r r . io c lc cor¡p¡1 , " r t .^ . : i , r , , " , t r ic ' t t to

o t i t ' t r r ¡ l< l < l t ' t 's l l t l t ' l t [ ) lu ' l t sc l l t t ' r r r l i -

r l . . Bietrrcs , ,1rr , . , , , r . t t i . ,nter i t lér l t i t : .s ¡ l t t t l r lc t t t . l r r l r iót l < l i f i ' r i r t ' r l l l rs f : r t i l i< l . t l t 's

r l t ' ¡ rago, c l sc ' rv ic io P()st . \ 'c l l t i r c i t lc l t tso prre c le r l r l i f i ' r 'e rr t ia |sC si t t t ¡ l l t ' t l t t : t t t ( ' lx) l '

l . f i , , , . l . ," y c.<l l t l t -clc t ' t trp:rt¡ tr t ' v l l t rbl i< i t i l rcl . l ,<ls l l t . t l r l tr t . t<ls r. t ' t tr l i t l t ls ¡ l t t t ' t l t ' t r t i r t t t-

l t ión tCrr t : r ca|at : f t ' r íst icas' , l i l i , r cnt t ls : t t t t r t ¡ f l - t :st o ¡r t t t ' r lc s<' t ' t l l í ts o. t l t t ' l tos r l t tk t '

( l r ro () t l ' ( ) ; c los t t l : r r t l ts r l ¡ c¿tf l ' 1¡ tcr l t l t t sal l t ' r ' r l i f i ' l t l l l ( ( l ' ¡ \ ( l t t l ( ( ) l ly l ( : l l ( l l l l ( l l l ( l ( ) -

nat .qu(, r l ( )s bicnt 's Jtrr t ' r l t : r r r l i [ i ' r t : l r<: iar-st ' l ro l ' izotrut l o Vt ' t ' l i t 'a l t l l t ' t l t t " [ ' l t < l i f i ' r 'Cr l -

<. iar . i r in l l r l r . izont.al st¡ r t : f icr .c ¿ s i t t l l r t : iOrrcs ( ' l l ( lu( : u l l ( )s ( ( ) l ls t l l t t i< lot ' t ls ¡ r | t : l i r ' -

t - r : l l ¡ l r b icr t V () t r ( )s ( l l scqrt t r r l<¡ - l ( ) ( ' l l ¡ l t l6 i r ¡ l r i r l t ' ( l l l ( ' t t l l cgt lst t t t r i t lot <l t t t '

pr . t , f i r . r .a, Jror c jCrnplo, r ' l ' ¡ t | i rncI l l i t ' r r , cotr l ¡ l |C t ¡ l scgtt t l r lo s i t 's t l l t t t l t ( ) I t t i ts l : ¡ i t -

iat . . La r i i f i ' r ' t ' '< i : rc i<i . vt l . t i< 'a l , t l t l t ' l t t r l l ' ¡ i ' , sc rc l l t ' t - t 'n s i t t t l t t ' i . t t t :s ( ' l l qt l ( ' t l l l

b icn cs rnc jor qut ' ( ) t11), c()nl() t ' r l l t t l r lo c l t t tor l t : lo c lc l r r io s() c() l l l l )a l r r t ( ) l l t ' l t l l r r

r lClo arrst t : ro <l t : r t t ra t t l is t l r i t n)Al ( ' l I t l t : cot ' l l t ls o t t l ra l : tv l r r lo| l r < l t ' la l l t is l t t l l l t l i t l ( : t

( l rrc ()t .r ir r¡ l ict ' t t rn:ts ¡ lr t lstaci() l l ( 's. ,A ( '() l l t i l l t l i t ( l i ( i l l l ) l es( ' l l tanlt ls t t t t l r tot lclo <¡tt t :

csttrcl i a la t l i f i ' r 'cnci¿rcit-rn lrorizotl t al '

I'rl rlcluultkl ttlno |tt,ttt.ión rlc kt't |terio.s ¡ louilizrt,rión dr'las etn|ltl,.trt,'s

Itxisten clos bienes qrtcl SClrátr cl i fc|entcs i l l t ls rt j ()s t lc l<¡s tr¡ l lstt t t l i r lorcs' Per() l t()

porque toclos pref ieran ulro rnírs cltrc al otro. I- lr interrprctaciórl rnhs scrlci l la r lcl

,ig.rl.r-r," rncriclo cS q.e existen cl.s tie'clas situaclas a lo iargo de ttlla 2lvelricl¿r'

que nreclim<,s ..rr, tul,rres flcscle ell cero h¿rsta eI trno. f,il tienda I está sit.traclir etr

I l .n t ,st t . rnork: l<¡ sr b:rs: t t ' l Cjer lp lo prest :nt :x l i l en l : r i l r t rodt tcciónl s i r l eml largo' zr r l i fcretrc ia

r l<. lo r¡rr t , l I r r . i : i l |os , ' r , , ' l , r , ¡ , í t , ,1, , i t , l ' t . ,aI , , , t , r , ' i , r . a l lora l r t ' rn l i t i t l los ¿r las ( ] l I )Pfesas cleci t l i r c l pre-

, r , , , ¡ r t r l i ¡ r t t t t \ . l l l , l l l / . l l l l " ' | \ l l ' l (

¡ i \ i t r l l

cle dondc:

tr

69( rX f t ( )RÍA l ) l l . ] t ' I1( ; ( )S: SLI ' \Pl- t (1. \ ( l lÓ\ EN l ' r l ( )N() \ t Í - \

, \ l l ¡¡ra. c()¡ lo tod()s los consumidores ¿t l :r izquiercla cle r* prcf erir írn la

l i( ' rrr l¡ I a l i r 2, d. es iust irrnente la f i¿rcción dc la dctn¿rl l t la que t icr le la t ier lcla I :

l ' . ¡ . r int( ' t ' l ) l 'e t tar la denr l r r lda t l t : la etr tJtr t :s:r l , t lot t lm()s qr l t ' e l t t ' rccr st t -

r r ¡ r r , l , ) \ ( . . ¡ ¡ r l l r<rr l r ¡c lo l i rsr loscrnprcsasf i lanclnl istr rol t lc t : io.Flncst .ecl tso, l i l

( , r l , r1 \ . r I r . r ¡ r t : rn i : r to<los los consrrnl i rkr t -cs l t sr t izqt t ier t l i r ( rx) l 'a la l l l i tar l r l t '

I r r r r r , r r .unr i r l , ) r ( s ( lu( ' ( 's t i l l l cntrc las rkrs t icrrc las((p - a) /2) : ar¡ t r t ' l la t l l i t : t< l

( l r i r \ t . rnr . r \ ( ( r r : r r l t ' l l t icr l r l l l . (h i rnr lokrs¡r t 'cc iossorrdi fcr- t ' t t t t 's , t ( ' l l ( 'n losqt lc

.r1lr ( .q.¡( . r r ( . r ( ( r : rnrr ;urr lo.r l r r t 'sc ' r ' Í rposi t ivosi l i r t :ntJrr t 's t r I f i l t r r t t t ¡ l t t l< ' iot t t l ts

l r : r io r¡rr t .sr¡ r i r : r l . r ncq;r( i ro ( ' l t ( l ls() cotr t r¿rt ' io. La r l t ' t l t l t r lc l l t r l t ' l¿t t ' t t l ¡ l t ts l t 2

s<'r : i | - / / r . ( s ( l ( ( i l .

. fJ - ri lt, - l¡.'t ¡ . , t l t r . l t , t= l l t ' :

* rUff i

Va¡: la pena insist ir crr el paperl c¡rrc. jueea l :r cl i f 'c lcr l t : i¿tt : i<- lrr <lt ' ¡r t or l t t t l . t t c: l t

l l f i rncit i r l r l t : clctn¿rrl t l¿r:

r )qt( l ¡ t ,Pz) = _ I

0,l,, 2/(P - cr)

Si c9¡si<l t ' ranr()s, p()r ct jcnr¡ t lo, t rna s i t t t i r t : i í r t t ( ' l t ( l t l ( t las t ic l r r<las t 's t t l l l t t lLtV

prírx i r r r i ts (p - rx sc aprrrx i r rur a t :crrr) , r rn:r pcr l r tc ' i r i r vat- iat i í r t l t ' t t c ' l ¡ l t t ' t io t i t ' t t t '

i rrr t : fcctg r¡rry t tr 'anclc t ,n la r lcrnrrtrt lu. l )c ht 'cl lo, si cr = 0, ¡ lot l t ' t t tos \ ' ( ' l ' ( l l lc

2. I l , la r .onr l ic i í rn ( luc l l ( )s pr:rr r r i tc kr< al izur-al colrst t t t t i< lo l i l l t l i l i ' l ' t 'n t ( ' , se t t i l l ls-

l i r r - r r ra cn l ¡ t - l r t . I is to s igni f ica <¡rrc tot lo t otrst t l t l ic l< l r t 's t i r r ' í r i r l t l i f i : rcr l lc ct l t r ( '

lus r lgs t i t ' rrr las si of l 'c 'r 'cn l) lcci()s i f¿tralt 's l ' , si of i 'ct 'crr prct ios t l ist i t t tos, torlos

prr:f i :r i r ' í tn cr()r lrprur ctr l ; t t i t ' t lc l : l t l r i ls l l : r t ' l t t i t .

I;i i ru:i rin s i mt t l.t á n ru rl c I trc cttt.t

Daclas las l i rnciotrcs r lc cl t 'mancla, l to<lt :rnos cir lctt l¿tr l t¡s bcrlcf lcios clc cntl l r

crrnprcsa. I -a emprestr ( i ) obt ictrc u¡- (p¡- t ) t ¡ ¡ (1, . / i ) .1)()r l ( ) qtre tc l lenl()s:

u t( f , t . l ,¿t = ( l ) t - , ¡ 1o* É:9 n #+r,

tt,( lt1, lr) - ( lt,2 r) (l -[].? . lU\,

TI l l iS Nt() l ) l l l ( ) " r | ' . r , , , | ) l ( ) l . l ( ; ( )P() l I ( )

( l t tnsic leretrnosahorat t t l¿ts i t t t : r , r r ' r , r , , ¡ r r t 'caclaenl l ) r ' ( \ . r l r ¡ . r : r r preciosirrc() l l ( )ccl 'e l prccio f i j : rdo por l¿r ot l : r I r r , , ¡ r ¡ r l i l r l io de N¿rslr . ( n ( \ t ( . ( . ( )ntexto,scr 'á tur \ ' ( ' ( l ( ) r ' r l t ' ¡ r r t 'c ios I f t r t

t . ¡ , .1t 1 1.¡ , , l l

uy(pl t , p, ! ' )> t r l ( ¡ t1. 1,1 ' r ¡ , , r , r roclo/¡ >0

u2(p{t , l , , j ' ) >u2( l ) . t , t . / , , r l , ' , , r ror lopr)0

Pltr i tct l t t l l l t r - l t r t ' l t ' r l r r i l i l l r i<tc leNrrslr . , . . , ' r r r r r ( , r l t l i r r tcror l t tét :s(r : r l r . r i r . rI t ' tot tv i t ' t t t ' t ' l t 'u i r ' - r ¡ r r í ' prct ' io le cor l r i . r r , l r ¡ . r r . r l l r ernprcsir I pal l r r . r r l . r

J.r t t ' t io t ' l t 'g i r lo lx)r 'su l ' i t ' l r l . l . ls to r :orr t :s¡ronr l , . , r , , , ,1rr , i , , rur l c l p loblcnta:

( : .12)

(2.13)

<¡tr t ' t l t ' f i t t t ' i r r r ¡ t l í< ' i t : r r r r t ' r r t t ' t1tró ¡r t t ' t io / ¡ r l r :br : e l t 'g i r l r r ( nr l ) r ( \ i r I ¡ ranr cacla

¡rosi l r l t ' ¡ l t ' t ' t ' io / . , " c l t 'Uir lo l to l l t t t ' t t t ¡ r t t 's : r 2. . \s i ¡ isr¡6, l l r ( . ' r l ) r ( \ . l ) r l t ' l t t 's ' l t r -c ionar- r ' l ¡ t ro l r lcrrr : r :

NÍ,rrx rr¡ (11,pr)-(p,- , ) (o- t l ' , , " , , ' , ' , , ' l . t^ ,l , t - ' l \ l \ ( t )

l ) t ' l : t corrr l i< i t ¡n r l t ' ¡ r l i rnt ' r ' t ¡ r ' r l t .n terrcrn()s ( lu( . .

fJ - r r l t , , -21t , + t( |+ - t ' - ' ' l )

2 21(fJ- ü)

f l ._ru t ' - t '

Nllx rr"( / , , l t r ) = (p2- l ) ( l -p+= + #¡t , : 2 2¡(0-u)

t l t ' r ' r rva corrr l ic i< l l l c l t ' Jr l i r r rc l orr l t ' r r o l t t .cncrnos:

. f i + rr lt, -21t., r r| - ' ' ' - - r )2 2/(H - (x)

(2. I 6)

(2. I 7)

(2. ts¡

( ' ' l i l l

r?. 1( i ) r (2.17) <orrst i t t tvt ' l i r t t t s ist t 'nra c l t 'c los r '<rrr : rc iorrcs con r los i l lcoglr i t ls ,, i t ' r lorrr l t ' obl t 'ncnlos:

(2. l4)

(2. l5)

l , i '

I),:

' / ( f i r ¡ , ) ( r ¡ ,+ l j r2)

/ ( f i r i ) ( l u l i tI I

70 I t , r ( ) r { i , \ l )1, . .1t- [ ( ; ( )s: sL] APLt( l . \ ( l l ( iN EN L( l ( )N()Nt iA

Not¡rrr¡s r lrr¡ si rro h:ry difcrenciaciírn cle producto, cs ( lercir, si las t icndas

están t.¡ t ' l rrr isnro luuar; ü - [3, t ,glvern6s :r la paracloj ir cle Bertrand, pl ' = pi ' =

¿. En t:rnrlr io, si <r < p, terndremot p{, > , , p, i ' > ¿: ()bservetnos tarnbién qtrc cl

pr.t ' r . io t l t : r ' r¡rr i l i l t r io cle la empres¿r I es rnás alto si la ernrpresa 2 cst ir tr l r icacla

ir ' i , . l t r r lc:r-t ' r 'h1-B cs m¿ryor- P()rque cl l t() l fces la empres:r I pit :rr le l l )( ' l l ()s

i l i t ' ¡ tr :s ul att t t l t t l l t .at 'srt precio. Atrír logalr lentc, el precio cle cqrr i l ibr io cle la

( 'r¡pr-csa 2 r 's rnavol si la crnprcsa I cslá situada Inás tt l¿r izcltr icrr la -(x cs l l lc-

lr()r-- por la trt istnn r '¿t.ó¡.

Blnt.t<lt ; l ¡ , t¡ Í , t

I l t ' r tr .anrl , . f . ( I ¡ i l l?,), "Théo|ir ' \ f athi:rnatir¡uc clc la Riclrt 'sst ' Soc i : t lc", . /0 urnal drs Sauctt l .s.

pp. 1!)9-l-r013.corrrlnor., A. (lU3lJ), llulprdrs .sur lt.s I\-in.riltt.s ilfuttlúnuttü¡uts d.c Ia'l'híorü'¡lts llitl¡¿s.rt's.

I l<r t t ' l l i r r r i , I l . (1929), "Stalr i l i tv in (krrrr¡rct i t i<¡ t ' t " , l : t ¡ t t t t t ¡ t i t : . lotr tnul , l i { ) ' pp' '11 57'

3. ESTRAIEGIAS MIXTAS

En estc cal)í tul() arrr¡r l iatrrnos el r:onjtnrt.o <le estlategias a disposicit in dc caclajrrerrdor' . l ,c lrer-rnit i rernos usar lo clue se c()n()cc c()n)o cst latcei l ts rnixt lrs. Usa-

rern()s un ejenrplo pal ' i r i lustral 'por qué t iene sentido que los jug¿rclorcs ser val-gan dt- ' r :stc t i¡ to r le cst.r '¿rt.egias. Posteriormell te el lunciarcmt.,s un tcr lrcrna (cle-

biclo:r N:rsl ' r) c¡rre nos garantiz¿1 la exist.encia cle trn equi l ibr io cle Nash cu¿urclcrst ' ¡ r t l r t r i t t ' t ' l r rso r lc csl ur lcgir : t t t ix t ls \ l ) rescnlalemr¡s val ios t j< 'nrplos. Dt s-

ptrós c:strrcl iar( ' l l l ()s las irnpl icaci<incs clcl uso clc cstr ir tcgizrs mixtas sobre la

<lonrirrarrc ia ckr tur:rs cst latcgias p( )r-(, tnrs r ' . cn cl apóncl ice al capítulo, Jrrobare-rnos cl ' lL 'orcrna clc Nastr .

F-,t . t 's<l I) l .r r .sIR,\r ' ¡r(;r . \s \r \r . \s: t \ l . . i l . rNrpt.()

l ' i rnr intro<lrrc: i l cl conccJ-rto der erstrategias rnixt lrs consir lcrerrnr,rs cl siguientejrrcgo. his rrrra sinrpl i l i i 'aciírn clcl t i ro clc pcnalt i . l

- lL 'rrt 'nr,rs rt r lr¡s. jusadorcs, urr

clclantcro y un p()rtcro. Fl l i rnincrnos la posibi l ic lacl clc c¡rrt : cl clelantero f '¿rl ler

v crn,íc cl balírn f ucra dc la poltcrízr o al postc, \ 'suJ)onr-Iurn()s ( luc t icnc sólcr

t los cstratcgias ¡rosiblcs. Si vcrnos lu portcría clcsder erl punt() clc vista r lcl portc-

r(), ( 'stas <l<¡s cstratcgias s<ln chutirr- al larkr dcrcc:ho o izcltr icrclo clc la por-tcría.

Asi l l r isrno, cl poltclo t ienc r onr() (str i l tc{ i l r ,s posiblcs sol¿rnlcntc l¿rnznrsc ¿r su

clcrcct la o a srr izqtr icrcla. Si los r los t ' l igerr el rnisrno l¿rclo cle lzr portería, cl por.

Luro pirr- t r í r c l pcnal t i , obtcnt l r ' : i rur : r r r l i l i r l ; rc l dc 1, y c le. jará al der l iu l tero con

rula t r t i l ic l¿rcl c lc -1. Si c l igcn r l is t intr¡s l : r r los <k' la portcr ía, e l c lc l¿uttcro anot¿r-

l -u un gol , v cnt()rrct l . i cs él c l r r icrr o l r t t nr l r : i r rn l r ut i l idad tkr I y c l portcro c¡rr icn

olr tc:n<lr 'á -1. L¿r l t :pr-cscrt tación nl l l r i t i : r l r l , t s lc j r reeo es:

I ) r l t l r ' ¡ r ¡

lzt luicrr l :rf )c lcc l l r

t lL)el¿rrr ler<r

T

IJ72 t t . ( ) l {1. \ t )L ILr l . ] ( ; ( )s: sU APl. l ( iA( i l ( )N" l iN } . ( l ( )N()NlL\

Exarninernos prirnelo l¿r existcnci¿r cle equi l ibr i<¡s <lc N¿rsh ctr cstratcgirts

prlras. ¿Ptrr:r l t ' s( 'r un cclrr i l ibr io qtrc los dos el i ian el laclo izcltr ierclo r le la porte-

ría? No, prrt 's t ' l clcluntenr tcnclría incentivos p:rra dcsviarse. Si lers hiciératn<ts

cs:l rccol l l ( ' l )r lut ' i r in -elegi l ' los ck¡s el l¿rclo izqrr ierdo cle la porterí¿- ¡¡e l¿ 1¡l¡

sen'aríarl r . ,ol turt¿u-i irrncrrt.e: el ckrlalrtcro no clrrrt .arí¿r al laclo izt l t t iercl r si pcttstt t r t

c¡ t rc c l p() l t ( ' r ( ) sc lanz:rr ' í¿r en cs: l c l i rcc:c i<in. Pol 'c l tn isnro mot ivo, la recorr tctr-

daciírn clc clt 'a ' i l ' krs dos cl laclo clcrcc:ho no ser' í i r segtt iclu. Por ot.t '¿r purtc, t l l r¿l

contl t inir<' i i l l r le cstratcrl i i rs t :n qrrr: cl igicran larlos dist intos t le la pot ' t t ' t - í l t , ¡rot 'cjernplo e' l r lelantcro cl lrr t¿rr ' :r l lado izclrr icr '<kr y cl p()rtcr() l¿tt lz¿tLse lr stt t l t r t ' t ' -

cha, t iu l ¡ roco es cqtr i l ib l io <lc Naslr . Si c l ¡ ror t .cro l ) ( 'nsara <¡trc r : l dt : l l t t l l t ' r r r

t : l tct ivarnernte chtrtrrrír i r la izclrr icrcl ir , no sc l l rnzltr ' ía a stt <lct-cchl. L' ln cotl t ' l t t -

s i<in: no hay ningún pirr r le cst l l r l ( 'g ius r l r r t ' ¡ ro<lart t<)s l ' ( ' ( ' ( )n l ( ' r l ( lar l t :s t 'o l l l t t

t ' iu 'ur:tc:ríst ica dc quc sc apcg:rr i in a cl l¿ts r 'olrult :u' iatnclt l t ' . No t 'xistt : t ' r¡rr i l i l>r ' i t r

r lc Nlrs l l l : r l corno lo l re ' rnos mrrrrc j l r r lo l lasl : r t ' l l1 l ( )nr( 'n l ( ) . ; ( ] t r í ' J tor l t ' r r l ( )s ( 's lx ' -

r :u ' ( l l r ( ' l l rgrr t r r los- j t teu<lores t 'at ' iot la lc 's ( ' r ) t : r l s i t t raci í r r l?

l ' l r l i r r t 's¡ lorrr l t ' r t 's l i r [ ) l 'cgunt:r t ( 'n( 'n l ( )s r¡rrc acrrr l i r a l t 'or t t ' t '1t t<l ( l ( ' ( 's t l i t l ( ' -

g i t rs nl ixtas. l is t t ' t 'orrct 'Jr to t i t 'nt ' l r l nr t ' r ros c los i r t t t ' t 'pt ' t ' l l t t ' iont 's. l ' i t t t ¡ t t ' t ' t ' t r ros t 'ot t

lu r lu is st 'nci l la, ( l r . l ( 'n()s r l i r ' ía qtrc crr l t : l r l i t l l< l t ' l r lc lut t tcr 'o t i t ' t l t 'ot t ' l ts o¡) t iotr t 's

lu<l t ' r ru is r l< ' t ' lcgir c l r r r tar '¿r l larkr r lc lct ' l ro o l l izr¡rr icrr lo r l t ' lu pot l t ' r ' í : t . l ' t t t '< l t ' , ¡ rot 't ' jcrrr l l lo, cclr : r l r r r l volu<lr , l '< l t :c i t ' : "s i salc ' i tgrr i l l , t i ro l t la iz<¡tr i t ' r r l l r r ' , s i sr t l t 'sol ,

I r lu r l t ' r ' t ' t l r l r " . Lo r¡rrc l ls r l t 'n l l is l )ors() l l : rs vcr- l i r r cs <¡rrc t ' l c lc la l r t t ' t r r t i r ' : t t l i r ' : t s t ' l t

l la<' iu l l <k ' r ' t ' r ' ln <¡ l l i r< i i r l l izr¡rr i t : r '< lu rk ' la por '1r ' r ' í1, [x ' r ' ( ) lu <l t ' t is iorr <l t ' l r l t ' larr t< '

lo l l : r l t r i r s i t lo l i r r rz:rr l l r n lont ' t l l r ) ' l l ( ' luar t 'onf i r l rn<' l t srr t t 's t t l l l t r lo; r lo t l l t t t : t l l t

r rn l : rdo ( ' r ' t ( ' ( )n( ' r ' ( ' l ( ) . Atr tcs r lc olrst ' t ' r ' l t t ' t ' l l t 's t t l t l t t lo t l t ' l r '<¡ l : t r l<1, t ' l r l t ' l l t r t l t ' t 'o t l<r

s l l r t ' Jrala c¡rr i ' lur lo r l t ' la pol tcr ' í i r ( l is l )a l ' : l l ' r i c l l r : t l r - ¡ r r . l l l * t t ' t 's t rn t ' j t ' r r rp lo r l t ' t t t l l t

t 's lnr tcgi t r nr ix l : r . l , i r t 's l r ' : r l t 'g i l r t orrs ist t ' t ' t t l rs igtut t ' t r rut ¡ r r r r l r : r l t i l i< lat l < lc , t r t ¡ r r t ' t ' l

l ra l r i r r vu1,u al l l r r lo izr l r r icrr lo t t r rn lb i í 'n rrr l r ¡ r r -o lxr l r i l i< lar l r l t ' i , r <¡ t t , ' r ' ln ' : t : t l l l t r l<r

r l t ' r ' t ' r 'ho. [ ]n l r vt 'z r ¡ r r t ' ¡ r t r - r r r i t i rn() \ ( ' \ l l l ( 's l r - l t t ( 'g i r t I los r l :u l los ( 'u( ' t l t t t r l t ' r ¡ r r t ' l t l t t

r r r ra inf in i r la( l ( l ( ' ( 's t l 'utcei : rs r l t ' t 's t t ' t i1 lo. l l l < l t ' l lu l t t ' t 'o ¡ to<lr ' ía r l t '< i t ' , " l i lar ' í ' t t t t

r l l r r lo. Si sal t 'c i r rco, r 'hrr t t r r ' í ' t r l l i r< lo izt¡r t ic l r lo \ , ( 'n ( i rs() ( ( )n l r lu i , , . l t l r l t ' l t ' t l lo" .

I , is to t ' r ¡ r r iv i r lc A us:u ' l l t 's t r ; r t t 'g iu rr t i r t l t r ¡ t t t : ts ignu tul t ¡ r to l r tb i l i r l : r t l t l t ' I l l

la<lo izr l r r icr-r lo r i : r l l r r r lo r l t ' r ' t ' r 'ho. Flrr cstc. j r rcg() , ru l¿t t 's t l 'ut t 'g i : t t t t ix t : t p: t l t t ' l

r l t ' lantc lo cs crr : r lc¡rr ic:r ' ¡ r i r l r l t 'n i r rnt ' ros n() ncgut i \ , ( )s ( l l | - l t ) . r \s i t r t is t r lo, l i t cs-

t ratcgia ( lc ( l lutat 'a t rn lackr r 'on scgtrr- i< l l r r l s t ' r 'orrOct ' ( ' ( )n lo unl t t 's t t l t l t 'g i l t 1- t t t t l t .. ' ( ] r ró rr t i l i r lur lcs olr t ic l lcrr los. j r ruu<lor- t 's crrar l r lo so l rsul l ( 's l l 'at( 'g i ls t t l ix tas?

Srr¡roneurrros qrre t ' l < lc larr te lo asigna tul i l [ ) ro l r : r l r i l i r l r r r l r l t ' f l t l l r r t lo iz<1tt i t ' r '< l t r

( r ^

a l l l rdo <l t ' r ' t 'cho), r 'e l l ) ( ) r t ( ' r ( ) s igtrc la cstr i r tegia (ptu 'u) c le ' l ¡ r tz: t rst ' r r l l l t -

r l , , i ) r l r r i t ' r '< lo. Firr tonr:r 's , corr Jrrrr l rabi l ic la<l I n l t lc lanl t . t r r l t : ¡ l l t t ' l t l l r r r t ' l 1t t :nal t iu r l r l t 'n r lnr - l , r ' r 'on ¡r lobulr i l i r l r r r l I nr t ' tc la gol v olr ter t r l r i r L l . i t r r t i l i t lar l espc-

r : r r l : r r l t ' l r l r ' l r rn l t ' ro st ' r ' : i cnlonct ' r r l t ' j ( - l l + | t t r - f . , \ r r r i l , 'e l r I l ( ' r t tc, la

r¡ t i l r r l . r l csyrt ' r ; r r l : r ¡ r : r r ' : r t ' l l ) ( ) r l ( rost ' l i t l t ' f t t f r ; ( - l ) *

¡ls I'RATt-t( :t.\s \1 I\|\S

Stt l longalrt t ls ahora clt te los dos juua<lort 's. iueean estr- ir t .egi:rs rrr ixt ls urbi-t l¿rr ias. F,ste par det cstt ' :r tcgi¿rs rnixLrs inrluct ' rrna probabil iclad cle ()( un(' l l ( . i : rp:rra cada ttna dc las cttatrt t corlrbitracioncs r lc cstratcgiers prrras quer clt ' t t ' r .rrr i-tr¿rriur la utilida,rl, e.sperrtda dc los jtreaclclr-es. I'anr t'ada colnbin¿rcirirr dc (,str.rrte-Qias prrr l ts, nlrr l t ipl i t 'arntts la rrt i l ic lad clue propolcionan al- iuuaclor p()r su Jrrrrblrlr i l ic larl t lc c¡cttrrencia. l ,a sttnrir de los crratnr ¡r lor lrrc' tos obteniclos esl¡ ut i l idrult.tfnrarla.

Si e l r lc l¿urt t l ro. j t tcua la estr 'ategi¿t tn ixta c le c hrr t lu- u l l : r rkr izr l r r i t ' r '< lo ( . ( )n l )1.()-l rabi l ic la<l / (v l r l c l t : rcch() c() l l ¡ r robabi l ic lad I - p) , r ,c ' r P'r . t t ' r r r asigr l r r r r ra ¡rr-obirl r i f ic la<l t lc ' 17 i r l l r t r lo izqtr icrr lo (r ' t lc ' | - q 'a, l r lcrec:ho), e l c l t ' lurr l t ' r r i 1¡ l r tc¡c l r . l ir r rur t r t . i l i r l : r r l cspcl i r<l : r r lc ' :

( l tq)(- t ) + p(t - r ) ( l ) + ( . t - l l ( í ) ( l ) + ( .1 - ¡ t ¡ ( l - q)(- t )

[ ' ] r l t ' lccto, t 'ott Jrnrl t : tbi l idatl ( f l (r7) kr ¡rurar- irn erl birkin por cl lackl izcl¡ ier-tkr l 'obl< ' r t r l r r i -1. ( lon ¡ t robabi l i t lar l ( / ) ( l - ¿1) rn( ' tor- i luol polc l l¿rc lo izqgic¡c l<rr o l r tcn<lr . t i l . ( lorr ¡ r r r rbabi l ic l r r r l ( l - / ) ( r ¡ ) nr t ' tcr : i eol Jror el laclo dcrcclr6 r 't ¡b l t ' t t r l tá1,1 '< 'ot tJtr 'obabi l i r l : r r l ( l -P) ( l - r7)kr¡nrar i int ' l balónpor. t . l lar locl t -l t '< lro \ ,olrt t 'n<lni -1. l) t : r¡rarrt ' r 'u an¿iloga l toclt ' rrros (: l l ( .() l l t l . :rr l l r rr t i l ic l i rr l cslt t ,rada¡rr |a t ' l l ) ( ) l ' tcr ' ( ) r l t ' t r l l r l r l r r iCI combirraci í r r r r le cstr i r tc l ¡ i : rs nr ixtas.?

r\ l lo la bi< ' r r , t ' l l r t . r ' l lo c l t ' r ¡ t r t ' r r r r . i r rgaclor. tcnga l¿r posibi l i r lar l ck, r rs i r r r rnut 's l l - l t t t 'g i l t l l l ix t l r r ro s igni f ica qrrc le c() l l \ ,eng.a rrs i r r la. Srr l torr t l : rnros 1>or.ejerrnplor l t t t 'c l < l t r l : t t t l t ' l r r t l r t t ta a la izr l t r i t : r 'du corr p¡ol t¿bi l idar l { - \ , a la c lc¡gclra c1¡rr¡rr , l r : r l r i l i r l : r< l l . ( l r t ls i t l r ' r ' ( ' r l ( )s l : r s i tu:r t i , l i r ( l ( .1 l ) ( ) r l ( . r ' ( , . i i . . l i , - l i , ' , , , l r e\ t l i r l ( .g l i rJr t t t r t t lc ' t i l l t t 's t ' : t l t t iz t ¡ t t i t : r ' t l r t , obtc 'nclr ' í i t u l lu ut i l i ( la( l cspt:r ' l t r lu ac I t | , 1 * f -, ) . : . - j Si . t ' l i r t i t ' r l l r t t 's t t ' r t t t 's ia Ptrr-a dc t i l r r rst ' r r l l c l t ' r -ccl la,rbt . ' , r i Í r ' ía l* l i - r l

(h)( I ) - , S¡ t ' l i t i< ' ¡ : r l t t l : l ( 's l t r t l ( ' ! l i : t nr i r t : r ( 'n ( lu( ' l )usi( . r ' : l un:r l ) l , l r : r l r i l i r l : r r lr l t ' 17:r l i |u |st ' : t l l izr l t r i t ' r '< la,olr t t 'nr l r - í^ ; - +q. l , i l ¡ r r r r r to cs qlrc, c lat la la cs1l . : r tc-giu r l t ' l r l t ' l r r r r t t . r 'o <lc asienul r r r ra Jtrobalr i l i r l l r r l r r rn . r l r . r , r r r . l r t r t ru l r l ln<lo r l t , r .c_t l to, l t l l ) ( ) r ' t ( ' l ' ( ) lc ' r '< l r lv i t 'nt 's i rnplerrrcnt<' st 'grr i r l . t t .st r ; r t r .o i : r ¡ r ru. l r lc t i r . t r r .st , : r l¿rr l t ' t ' t ' t l l l t . No lc < 'o l tv i t ' t r t ' t t i t i t 'nrsc a la izr¡rr i< ' r r l : l r , r r st 'grrr i r lar l n i r rs l ¡ ' ¡ r l ¡ re-t l t l t is t l lo al t ' l t to l ' io r¡ t t t ' le J)()n{ra t t tur Jrrolxr l r i l i r l : r< l ¡ r , rs i l i r r r r r t i lar-st 'a lu izcl t r ic ' r -r l l l ' ls ton()s l ) r ' ( ) l ) ( ) r ' ( ' ional t rs igrr icntecnst,ñtrnzlr . l . . l ¡ ror t t . r r ¡ ( r . lonl isnlooc.tr r . r . i_r l i c 'otr t ' l c l t ' l l r r r t t ' r r r ) solo ¡ tor t r l r i i t t t ra ¡r lobtr l r i l i t l l r r l ¡ r , rs i t r r . r ; r sus r los ( 's t l .¿r t rg i¿s

' i nr¡ t ic l l t ' ¡ t rcr l i lcccir in pol r r ingurra. l ts tc l r t ' r . l lo rr( ) \ \ r .n,r l . r r r r r r . : r r r r i r ro plrr . r r' r l l t t ' t t t l tc l t t r ¡ r r i l i l t r i t l t t t r t 's t rat t ¡ t f i r t ¡ t r t ix tas. l ) l tnr<¡rrr ' ( . r l ) { , r r r ' r ( ) \ rq:r¡¡ : l t ¡st la le-' -1 i l t t t r i r t i r , t ro t l t 'bt¡ tctret ¡ t r t 'c l i lcccir i r r ¡ ro l n i l rgurr : r r l t .su ' , l r , : r r t r : r rcgi l is . L,st()

' ig l l i f icu c¡rrc dcbc crrrnpl i rsr ' :

l l ) , 1r , ,1r , , r l . r r l , r l : r ( \ lu l ( ( l l r i r r l t ¡ l rqr ,sr l l l j r r r '1. . l , r r l i l i r l , r r l r : ¡ , r r . r r l . r , l , l , , , r r , r , , : r r . r

r r r t ¡ r l l t t t t t t l l I r ¡ . i t r \ r ) r l , l . r i l r . l r l t l ; r r r t r . r r r

/ ! )74 l E( )RÍ, \ l ) l . l . l L l l . l ( ; ( )s: sLI ' \ l ' l - l ( : \ ( l l ( ) \ L^v l . ( l ( )N( ) i \ lL\

l ¡ ( r ) + (1 - p) ( - l ) = / ( - l ) + (1 - 1)(1) (3.r )

I i l la<1o izr lrr i t ' r ' r lo de esta ccuaciírn es la ut i l i t lacl esperacla c¡ue obtienc el

poltcl ' () si sc l lulz:r u su izr¡uicr-d:r, mietrt l i rs qrre cl lado dcrccl lo es la ut i l ic larl

espclar lur1rr t ' t , l r t i t ' r tcsiser latrzaasuderech¿r.Sól t lcrrandose cutnplc (3. I ) ,c l

l )()rtel() rro l i t ' rrr ' ¡r l t : l i : r 'cncia cntre lanz¿lrse a stt izquiclcla o ir stt t lerecha, \ 's( i-

l<t cntc l t tccs ( ' l l ( u( ' l t l |a (( , l l \e l t i ( i r ) te uslu t l l l t t lec: tn ist l l< l a le l t t t ¡ t - i< l t 'Ol t tO lat lzar

rrn d¿rd() o t t t ta t l lor t t ' r l i t .

Anír lcigantc'nt( ' , [) i l ra qrrc el delantero usc r. l l l r l lecatt ist l lo ¿rleaf orio clcl l tr

culnpl irsc qlre:

q(- l ) + ( l - . . / ) ( t ) - ,1( l ) + ( l - r ) (* l ) (3.2)

El larlo izqrr iercl<t de ( l) .2) ers la rrt i l ic lacl cspt 'r :rcla t lrr t : olrt icttc t ' l t l<' l ; t tr t t : t ' t r

s i r 'hrrr i t i r l laclo izquicrr lo dc la pol tcr ía, r 'c l lacl t> <lcrecl lo dc ( : t .2) cs la rr t i l i r l : t r l

r l tre olrt icne c()n srr cst l '¿rtcgia prtra "chtttal ' :r l la<lo clcrcc: l to r l t : l : r portería".

I )espe' janrkr / t le (¡ . f j l ' q c le (1i .2) t>btct tetr tos t l r rc p: , l - + El únic<r

ct lrr i l i l l r io er) eslrzrtcgi¿rs lnixt¿rs consistc cn qtt(t t t l r l t l l l r t l tct o (: l l t t lc ( l() l l l ¡ l t t ist l t i t

prob:r l t i l ic larl a la izcluierda r¡rrc a la clcrercha, y el l torter.() sc t ir( ' t otr la Ir l is-

rrra ¡rrolxrbi l ic lacl ¿r stt izqtt icld:r que a st l t lcrech:r.

I , lx isten r l<ts intcrprt: taci()nes prisiblcs <lt : cstc ecltr i l i l t r i<t. l , l r pr ir t t t :r l t t :s la

<¡rrc hcrnos vcnickr rrs¿rndo. l i l dclanterro l l l t r :c r lso l i tcrtr lr¡r<ttrtc t lc: al¡¡úrr r l t t ' -

c:rnisr¡t l r¡rre lc ¿rsiqrrc una l)r l)bal) i l ic lacl clc j a t : l r tr tar a Ia izt lrr iclr lrr v dt ' * l

cl lul¿rr ir l i r dcrccha. L, ln tnccanism() que satisfat 'c est.as Pt-()bnl l i l idat l t 's (r()t lcre-

tas cs prccisi l l l rcnte cr: l lar rrr l vol¿rr lo. La dccisi<ir l t lel cl t ' lantcr '() -v l() tr t istt lo str

tupl i t : :rr í tr al por- lcro- no ers ni t i rar a lu dcrech:r, l r i t i rar a la izqtr icrcla. Str

f lct isiórr es lanzuL la nloncda. Si s:r l t¡ írgrr i la, chrtt¿rr¿r a la izqtr iet-da t lcl port.etrr,

si sale sol, a lu t lele:cha. Antcs cle lunzar l i r l l ronccl¿r, cl dclalrtet ' t t l t () s¿Ibe l la( ' ia

<l<incler chrrt lrr : i . Lanza la rronecla, ve el rcstt l taclo clcl vol¿rdtt -si¡¡ ¿¡1¡1¡¡1i¡¡ '

I9-, y ch¡t.¿r. l , l l por-tcxr sigtrc rrna cst.ratc{r ia lr t tálog:r. ! lst() sí es trrr cclrr i l ibr io clc

Nasl l . Si Ll l l ¿tgente cxtct l l () r 'ctcol lrernd¿u¿r:r ¿rrnlros agerttes l : i l rzar urla t l l () l lc-

cl¿r Y actrrar cl t c() l lSeCttetr<: i :1, los. j trUirdores ct lcotttr i t t í l l t l ( l t le l l0 gatrnrí:r t t t lacla

apart iu)d()sc cle cst¿r recotnettclación.

La segunda intcrprctaciírn ciel erqrr i l ibt- io i l ' ts istc en la escncia derl rnecanis-

nlo alcatorio v prescincle cle I rrso real clc trn lno(ralt ismo col lcreto. L( ) i l l lP( ) l ' tal l-

te clc un:r cstratef{ ia nrixta es que hace irnpreclecible saber r l tr í : hará cl. i treacior

t¡u¡ la usa. , , \sí, cl clel¿rnterg sc las arrcgl;r Par¿l quc el portero t lo esté sclguro de

¡rol qué laclo vt:ndr:r el balírn. Mírs aírn, puesto c¡ue erl clel¿rntcrt l asigtr¿r prob:rbi-

l i r l l rk 's r l t ' I a carl t i laclo. lopra que ei poltero t ' r 'ea istral de probable quc cl b;r

l , ' rn l r ' l l , 'grr t ' ¡ ro l l : r r lc l t ' r ' l lu ( lu( ' l ) ( ) l ' la izr¡rr i t ' r t l l t . L i t r ct l r r i l i l t r i ( ) cr l ,qt le c l c le l : r r r -

t r . r . t . l i11r. l ¡ r i l ( .s1r ' i l t ( 'g i : r n l i r l r r r ¡ r r r ' : ts ietut t t r t l t ¡ l t 'o l r l t l l i l i r l t r t l r l t ' * l t < t r r l : t l : t< l<r

I l l 11 , l l \ l - . \s

r l t ts igni f ical lecersar i i r rnenteqlr( r l , l , | , , r ' ' , l i ¡c¡¡ l 'o lar [ . . \ ,1. :* , r r i f i r : r r ¡ r r r . .a j r r ic io del Jtortcr-o, cs igualrnt ' r r t r ¡ , r . '1. , , l , lu( 'e l baión l t . l l t r i r r , ¡ , , , r t . r , r , lt t t - to c lc los l¿rdos. l ) t t la tn isnr¿l ln.ur ' | , 1, , , r r . t t ( ' f ¡ i t l mixta t l t ' l l ¡orr , r i , ¡ l r r ¡

Jrort t tprob:rbi l id¿rddc ] acaclala<lor¡r , , , ' . , t , , , ,1,r¡ tctntequeetr l : r r r r , , , ¡ , ,1, I

t lc lanter<¡ es igr ta l rnernte probablc ( lu{ ' | 1, , , ! , , , r i r . r 'a str c lereclr : r ( l r ¡ ( . . r . .1

izquicrc la. . I -Lr¿rf i r r rna en que se logr ' ; r ( , r , , r , ,1, , , , 1.r nr( 'n le dcl delantt ' r , , , . ,c ' t tatrd<telpol ' tcx) l i tcralnrel-r teecharrrrr , , l , ,1 , , . , , , ) r r ( )es¡ectesar ig.St ' -gr l t t csta st tgt tnr la i r t lcrprctaci í rn, la eslr , r r ¡ r , r ' r , , t , , r r i r r :1¡c l6r se l 'ef iere aIo qtrc ()cr l r re en la rnernte del otrct , y r l l r r l , r r , , ,

Sea^\ je l ( ( ) l l iut l todccst t 'at .egi¿uipt t t ' t rsr l , l ¡ , ' , .1, 1, , , , r ( . ¡ ¡ ( ) \1t9rr ' l ' l ¡c ltor t j t t t t t< ldctor l i rs lascl istr ibucioncsdeprr l>:r l r r l ¡ , l r , l l , L , , l r ¡ r , , \ , -Ngso-l f ( )sn()s l i tn i t : r renlosi t t :orrs ic ler : r rd isfr ibuciorrr . , r l , ¡ . r , , t , ,1 , i 1,1 , ,1,r , , , r r ¡ r r ¡ -tos , \ i f i r r i tos.

l )ef in. i . r ión: l t l ta( 's1.r 'Ate{r i l t rn ixtap:uael juglrr l , , r , , , ,1, " , t , ' , , , , , , , ,1 '

¡ r r -o l r l r l r i l i r l i rc l soble srr con j t r r r to c le estratcgias pur , r \ \

Si c l j t ruar lor I t iene /r , r 's l r ' : r t r 'g i : rs pur i is , S, = {r , . r , . r , | , r r r , , r , , ,

t 's t l 'at t 'g i t t t t t ix( : r l tar : r e l . j t rua<lol i s t ' r ' i r uni t r l is t r ibrr< iorr <l t ¡ r ro l , . r l , ¡ l r , l , , l ,

( i r i , ( r ¡ ) , . . . , ,¿r( . t , ) ) c()n r /¿r( . i ; ) )0 l r rurr ¡ 1. . . . k¡ ,y- m¡(,s1) +. . . r r r , ( r7, , ) I . r r ¡ , , r , ,i r i ¡ ( . r i ) la ¡rrr rbabi l id:r<l corr c l r r t ' r ' l j r rgrrr lo l I iuuar/r srr estrategia l )ur ' ; r \ i .

l )ef i t t i t i r i t t : la rrt i l ida<l cs¡rc'r ' : tr l rr ¡rr r rr r ' l j r rgrr<lol i clcl ivacla r lc la cc¡mbirr:rt i , ,r '

f r r ' ( .s, , . . . , , , , )( \1, . . " t , ,J€. \

F.s dcci l ' , la rrt i l i r lacl cs¡rcrircln que obtienc t ' l . j rrrrrr lor- i t :on trn¿r comhin¿r-t i r in clc ost l ' i i t .egias urixtas cs igual al valor esperr-arlo rk' l ;rs rr l i l ic lades cluer obtie-l le ( ()r l las cl ist intas cotnbin¿rr: iones cler cstratecias prr|as. I t l r |a ctr lcu[ar- cstc valorcspet 'ado, Llsarl los las pr-obabil iclaclcs cluc cspccif iqrren l :rs est latcr¡ ius rnixurs.

EOtri t . t¡nto l)Ft N.\sH uN r.ts tRAI l t( ; t . \s \ l t \1.\s

l t t ' f i t t i t iót t : urra combinación de cstr-atcsias nt ixtas (m1, . . . ,1/¿, , ) cs un cqui l ib l io, l t Nrrs i r r lc l jueeo {Sl , . . . ,^ ! , , ; r r1, . . . r r , , } s i para tor lo. juu¿r( lor icn.Vsc ctLrn¡r lc c l r r r ' :

r l t ' r :strr r t .egius ln ix l : rs ( .n1, m2, . . . t t r , , ) t s / ' . r r , ( n:1. . . . . ) t ! , , )

I rz, ( r¡ ) . . . n, , ( . r , , ) ] .

l ' . t t , \ t r r1. . . . , t ) t ) 1. nt ; , nt¡ , , , . . . , t t t , , ) ' \ l ' ,u¡(m1, . . . , nt , 1, , , , , ' , , , , , , , . . . . t t t , ,1

v

JA76 I l l ( )Rl \ l )Fl f t i l1( i ( )Sl SLI . \ l ' l . l (1. \ ( l l ( )N F.\- ' h( l ( )N()UIA

pir | r l tocl : r cst t l l l ( 'g i i t l l l ix ta nl cn tI¡.

l tn cl c ' j t ' rrrplo <lr. l . j t rcgo ckrl penalt i el problerna de la incxistclrcia de cqtl i -

l ibl ios r lc 'Nlslt ( urul([() l l ()s rcstr i l rginros ¿rl trso de cstrategias Ptl l ' i ls dcsapare-

cir i crrartrkr pt ' r ' r r r i l i r r ros c l uso dc est . ratcgi¿1s ln ixtas. Esto t ro es c¿lstr : l l i ( lad. Ut l

rcsult l td() ( c n t t l r l <' l r t t ' r ¡ r ' ía cle. j trcuos, cuva dem( )straci( in apl lrec( ' cn cl al)él ldi-

cc 1l e ste ( ' l tpí t l r l ( ) . ( 's ( luc s icrnprc h:rbrír cclrr i l ibr ios de Nash si PClrr l l i t i l l l ( )s t lsar

cst l .ategias nt ixtas:

' l -c¡tp¡¡tL r lc Nlslt . Tockr jrreuo (() l l ul l I l t i l t tct 'o l i r l i t<¡ cl t ' . j t ruatkrlcs t ' r t tr tr ír

nt t : r r r f in i to r le estnt tegi i rs J)artr cat la. j t te i t r lot ' t ic t lc 2 l l tncrr()s t t r r t : r ¡ t t i l ib l io r lc:

Naslr si st ' pct ' t tr i tc t l l t ts. r l t ' estt-¿lte¡gi l ts t t l ixt l ls '

l ' .1 ¡r r , . { ) l r l I \ ¡1a¡ ' ¡ t t l t l \ : t

[ ] r r ar .grr t r r t ' r r t ( ) q¡e sc nrarrgj¿ e ¡ t l i le ¡g¡tets C()nl( xt( )s ( s ( l t t ( ' ( l t : l l l ( l ( ) : t l l l l : t l ) ( ' l -

s()na s( ' lc ¡taua rrr i t l , sc lc inclucc a qtrc Ir() tr-alt l t j t : l rr lccttarlat l tcl l t( ' \ ' l l r l rr t l t 'c:t l i -

t .c ir t . t i r i r l l t r l ¡s i¡r ' ¡grr l :u-cts c inclrrso i l íci tas. l ' i l . i rrcuo clc l l t ins¡tcct i t i l l t -c ' t 'ogt 'r l t '

nr iulct 2l rrrrn, sirnlt l i f ica(la lr lgrul()s aspcct()s i tr t¡rt t t ' tatrtcts ( l( t ( 'st( ' f i ' t l t i t l l t t t tr .

Lin:r ¡t t ' r 'sorul cs (() l t t f l r tar la ¡ lr la rclr l izat ci t t t t l ts t l l t 'c l ls. l istc: crttplt ' l t rkr l l t t t ' -

rk: t l l r l ru jur- l r t 'onci t 'nciu () ( lc( l i ( l r rsc a ¿tct iv i ( l l t ( lcs i t t ' t 'gtr lat ' ( 's ( l t t ( ' lo l lcrrcf i -

c iarr ¡ rcro qu( 'n() sc (()r lcs l ) ( ) l l r lc 'n r 'o l l lo r¡r tc lc c l tcot l tct t t lat 'o l l . S<: t 's t l t l l l t 'ce

rrrr sul¿¡ ' is r r r 1t6r ' ¡ l t la ln jo, 1-rc lo c l ct t tqt l t ' i t rkr s l t l r t ' r ¡ t tc s i lo r lc 'scrr l r l i t ' r ' : r l l r l t : r l i -

< ' í r l r< l1¡st 'a a<l iy i r lar lcs i r lcgrr lar t 's lo tot ' tc ' t íat l s i r r ¡ taual l t ' , l terr lcr ' ía t l l J losi l l l t ll t ¡ ¡g l lc i1¡ r l t ,srrs ¡ t : t iv i r laclcs i r - r ' t 'gtr l : r l t 's y l tc lct tu is l l ( ) s( ' l t t rc\ ' ( ' l ' ía l t t ' t t r ¡ l t 'c ' t t t l t ' t '

r r i r rgrrrra acci í rn lcgl l . Lus: tct iv i r lu<l t 's i t - r ' t 'gt t l ¡ t ' t 's l t ' t ' t ' l tot ' t i t t r t t t l l r t ' l l t ' l l t io t l t ' ( i

a l t . r r r ¡ r l t 'a<lo <l t 'n l l t r r t ' r 'u r¡r rc. s i r ro lo c lcsctrbt- ic ' r 'ar t , o l t l t ' r t r l t ' ía t t r l l l t ' l tc f l< ' i<r

totul r l t ' z¿, + ( l ) ' . s i lo c lesct tb l ' i t ' t ' : t t t , ( ) l ) tc l l ( l l ' í ; l 0.

l r6r srr 11rr- t t ' , c l j t ' f t ' ¡ l t t ig¡e in{r l t 'sos ¡ t r 'out t : t l io c lc 20 si st t t ' t t tp l t 'aclo t t a}r l r

. j ¡ r r l t 's t i lo l0 s i sc: r l t :< l ic : t a act iv i r l : rc les i t ' teet t l : t t 'cs, a los r l t tc hav c¡t r t ' t t 's t l t ' t ' l

s¿t l lu ig ?¿r pur '¿r 1¡ l r t ¡nel c l l r t 'nc ' f lc io nct() . A( l ic i ( ) t la l tnct l t t r , c l . jc f i r inctr l l ( r ( ' l l t l l l

c()st() en tór ' r l r inos c le t icrrr¡ro, rkrr l icaci t l l r ,< l i r let 'o s i t lc¡c i r l t 's t tJ l t ' t ' r ' is l t t 'a l c l t t l -

¡ - r l< ' i r< lo; cstc c()st() lo lu lor-a t :n .1. I ' , t r tonct :s, s i t ' l . je fc strpelv is l t v t ' l crr t l l le l t< l t r

t l i r ln ja, t : l - jc f i 'obt icnc ul l ( )s bt 'ncf i t : ios ¡r tot t r t : r l io r le 20 r t tcr tos c ' l salar io r l t ' ¡ r rv

r ' l costo rk 'srrpclv is i<ln c l t ' '1 . Si c l . ic lc sr tpcn' istr v c l cr t rp l t 'aclo st ' r l t ' r l i ta ¿ l ; rs

l r r . l i t ic l¿clcs i ¡ r ' r 'e¡1lar¡s, a l ¡s i ¡g lcsos prrrrnccl io r le l0 l r l t l ( l t lc t 'cstar lcs solat t lc t t -

I t . t . l ¡or lo r l t .srr¡r t . r r is i t l r r r I r ' l . l . l t s iurr i t r r te t tut l t iz l ( ' l ) l ( 's t - t t l : l t s l t ' . i t t t 'uo.

i l , r r t i r r ¡gr¡ tsrr¡ l r r r r l i l r i r inrk ' l i r r r lcnlrcrqr I i r r r l t ( l l )1)21.[ .ossLr l ) l l ( \1() \ r l t t ' lJosi l r r ¡ r l i r l l

r r , r r r , r r r ' l iu(qr) . l t t ( l i ( ) l ( l l l ( \ i ( l t rn¡r l t : r r lot 'sr lcst t t l r i<t l t ¡ t ' l l l tc l i r i r l t t r l t 's i t I tqt t l l t l t 's . ¡ r t t r l t t i l l r t l

, . r l ¡ r , r r rct , r n, , l r , ' l ¡ r ' l r l i r io\ ( l ( ( \ l i ls l t t l i r i r l l t t l t : .

l ,< l pt- i tnerro qtre hat ' que not¿rr es que r l t l , , r " , , , 1, r r r r l - r r i r cntrc c l cas() zr)

lvut> 4.L,nel l ) r imercl l \o,n()srrPetvis i t r ' ( ' \u l r , r ( r r , r , ' r . r l i rcr tcntc l l teclonl i -

l l¿rntc piun cl . jc fc: s i t : l ernple:rdo trnbir ja, l t l srr¡rr r \ r , r ¡ ( ' r ' r rcr lntr¿rr í t nad¿t

i t ' r t 'gt t lat 'vhnl¡r i t i t rcr t r r ic loenul lc()st . ( )c le,1 r ' ,s i r l , , ' r ¡ '1, r , l , , r r r l r - : rbaja,c leto-

closnroclosestalrb: l i ( )e l salar ioc¡treloquede- i l t l r ' ¡ ' . ' , , . r1, r , , , ' ( ) r l l l )ensaelc()s-

to r lc srr¡ l r 'n ' is i r i r r . l l )ado qtrer c l . ic fe no srrpervis:r , t l , r r r ¡ ,1, , , 1, , . ¡ r l t r l icn ¿r act i -

v ic lat lcsi t ' r 'cgrt larcs. l l t t totrccs,s i c lsalar ioesbajo(rr , l r , l , , ¡ r r r l r l r r r r ' ( ( ) l ts iste( 'n( luccl . jc f 'crrosrtpcrvisc¿rturc: t t : t t tc l<¡sabequet ' l t r r r ¡ , l , , r , l , , , , l , , l i r .u l r l l tc-

t iv ic laclcsirrcgt t larcs. ' fct tcmosrtn¿rsi t r r i rc i í rnenqu( '"r ' l r r r r1, l , . r ,1, , l r , r r ( ( ( ) ln()

si tr-alr ir j i rr i r 1' srr. jc ' f i ' lurc:r: c:orno si lc paeara".l l l l c l t ' i tso z¿r> 4 l i rs c()s¿ls s()n c l is t intas. No exist t ' lnr ( ( ¡u l r l ' r r , , I r ( \ l r : r t ( '

e ias prtnts. No po<lctr tos tcncr rrrr cqui l ibr i ( ) en que cl i r ' l r ' , l r ¡ . r Lr ' , l r , r l ( q i : r

(ptrra) sr tpcn' is i r r ,puescnt()nccst ' l c tnpleadodecidir ía l r : r l r . r ¡ . r r i , , r r ( ) r r . r \ (qr l

r idacl . Pcr<l cst . ( ) n()s l ler '¿rr ía a ul l l ( ( )ntracl icci í r r r porquc ( 'nt()n1 r : r | ¡ r ' l r r lcr i

r l i r í i tahorrarsccl costoclc last t ¡ r t ' r ' r is i í ¡nvtrosupervisarí¿r. I 'or . t r . r l ) .ut( . l ,ur l

J l ( )co cs t rn cqrr i l ibr i ( ) qt te c()n scgrr l i r lacl n() se srrpcn' ist , ¡ r r r .s ( nt()n( ( \ , r l( ' tnplca( lo lc t 'onletrr l t ' ía dedicars( ' l : r ( t iv i ( ladcs i r rcgtr l i r rers. I ) l r< l : r cst . r r l t r is i , r r r

c lc l ernpleaclo, a l . jef 'e sí le convi t ' l r< 'srr¡r t ' rv is:rr ' , con kr ql le nu( ' \ rnn( nt( t ( n( '

nr()s una c()ntradicción. El í rn i r 'o < ' r ¡ r r i l i l r l io ( 's ( n cstrategias rrr ist . rs. Si t ' l j t ' f cst ipcrvis i r t 'on probabi l ic lacl r7, pal l l ( lu( r ' l t ' r r rp lea<kr rr() tcnrr2r ptr ' l i r t r r r i r r t r r

l lcr sus ckls cstratergi¿rs, se requiel '( ' ( lu( ' ¿r, ( | ( l l ( t t+6), clc cloncle ,1 - ;1. p,r,

( ) t r : I p¿rr te , s i c l enrple:rdo t . r : r l )¿r j : r ( ( )n l ) ro l ¡ , r l r i l i r l r r r l / , Jtara que el jef 'e l to tenga

l)r 'c( l i lc( : ( ' i ( inporni t ret t turdcslrst losts l r . r l ( r ' r , r \ . r , r t r l r r icr t ' r ¡ t rc1(20-u-4)

| (1 -p)( t i ) - / (20-ü,+( l -1)(10 ,1 ' ¡ .q l l r l , r r r r l r '

] ' r ' t i r

L. l l raf i l rma¿rl tcrnat i r ' : rc lc i t t t t ' r ' ¡ l l t ' l lu t l t , sul t . r , l , , .ur t ( ¡ r , ' r ( s l : r s igrr i t ' r r l r ' :

. 1, , , r r l r nr l , l ( ) \ tr l ' is to ¡ror l r , t r , t tu l r i : t ¡ t 'n t t ¡ l t t t ] l t r io l t r lc t r l rs l . r rq, , ¡ ,1,r2, , ¡ , , , r

, l , r , r t t lx , t l . r r r { r l , 'nrr , ' t ¡ l r t t t lc l t t t t ¡ t l r ' ; t r lo l t l r ' ¡ l ;u.r l r ¡s l r r r r , l ¡ , r , , ,

l is l l i . \ i l r t \ 1 i l

l , l ,

I inrpleatkr -Iiabirjar

()tr-rts a<:tiviclacles

, \o : t t l t t t t t t .st t t

( , . : ' l | \ \

z¿,+ ( ; . l l l

7fi r ¡ ( ) ¡ i r \ t l t l t t . (x)s: st APLtcA(i t ( )N E\ l ._( i ( )N() \U.\

¿/ l ' . t l t r r r .s l t .st r i l ¡ i r ' ?{ , - ( 1 - q) (u + 6) en f ix 'nra c le desigrralc lacl c lébi l corno

l : r t onr l i r iorr ¡ r ; r l l r r l r r t 'c l crnl t lc t rdo t rabi l ie :

qu> 6( l - q)

l ' l l l : r r l r ¡ izr¡rr i t r r lo ( 's ( ' l ( ' ( )st . ( ) c l t : reral iz¿rt ' acl iv idar lcs i r rcgt t larcs: p icr t lc srr

s¡ l r r r io r¿ 's i c l i t ' l t r lcr i r l t 'srr1>elv is i r r ' , es c leci t ' , cotr prrrbabi l i r lacl 17. I l l l l rc lo t lc lc-

c l ro t 's t l l ¡ t ncl i t io t l t ' r '< ' . t l izat- : t t : l iv i r l : tdt 's i r t - t 'gt t l i t rcs: o l r t ic l rc ( i c 'on la Probabi-

l i r l ; r r l ( I - r7) <l t ' r l r r t 'srr . je- t 'c n() supcrvisc. l )c cst¿ c()ndic ia)n sc () l ) t icnc f - #.

i l l Asinr isrno, p()denr()s rr :scr ib i l p(20 - ar- ,1) + ( l - l ¡ ) ( ( j ) - / (20 - a) + ( l

- p) ( l0 - 7¿. ' ) ¡ot t ro i¿t c<¡rrc l ic i< in piu ' l t qt tc c l . jc l i 'supt ' t ' r ' is t ' :

( l - ¡ t ) ut> I

l ' ,1 laclo izr¡rr icrrkr cs c l a l lorr-o p()r supcr- \ ' is l r ' , \ ' ( ' l lu<lo rk ' r ' r ' r ' l lo t 's t ' l r 'ost<r

clc srr¡rc lv isur ' . l ) r 'cs lu < 'orrc l ic i í r r r sc olr t icnt ' ( t - l r ) - ,1, .[ )c krs v i r lo lcs t l< '< ' r ¡ r r i l i l r l io r lc<hrcir l ros r¡rr t ' u l l tu l r ) ( ] l l l l l r t ' l s : r l : t t ' io s( ' r ( : ( lu( 'cn

turr lo l i r probabi l i r l i r r l t l t 's t rJr t ' r ' r ' is iorr , r ¡ t 'orrro l l r yrolxr l r i l i r l l r ( l ( lc ( lu( ' t ' l t : t r t ¡ l l t ' : r -

c lo st '< lcr l i r ¡uc i r i lc t iv i ( l1 l (k 's i l r -egrr l r r r r 's , I - 7.r . l 'o l r r r r i r p lLr t t ' , t ' l r icsgo r l t ' IX ' l r l ( ' r '

un sal¿ui() nr,rs alt() act i la (()n)() un [)(xlcl l)s() instnlrn( 'nt() r l t ' t l isrr¿rsir ir t t l t 'a<'( ivi-

r l ix lcs irr-cgrr l l rrc 's. l 'or-()t lu plrrt( ' , aun(lu( ' la prrrbabi l i r lar l r l t 'c l t 'c l i t l l rs( 'a a( ' t iv i( la-

r l t 's ir-r 'cgrr larcs scu rr l is pt 'r1rrcñir, ( ' l in(ontivo r lcl . l<' f i ' ¡rat 'a srr¡rt ' t ' r ' isru l)( ' l 's ist(fp() l 'c lu(: cl i r l l () l '11) qrrt 'ol t t icrrc si r lctt '< t lr t tr lcs uctivi<lut l t 's -t ' l s1¡l¿1¡' i1¡- l l l ln)cnl ir .

l rn t 'ont : l r rs i t in: c l s l r lur i ( ) sí i r r f l r rvc solrr t ' lu r l t ' r ' is i r i r r r l t ' l r i r lur j r r r o <l t : r l icrr lst '

a act . iv i ( la( lcs i l regulalcs. ( lorr srr lar ios rnr. ly l ) r r i ( )s, cs r lc hc:r ' l lo un c( lu i l i l ) r ' i ( ) ( luc

cl t rabujaclor sc ( lc( l iquc u act iv i ( l¿r( l ( 's i r rc 'grr la l t 's v r¡rr t 'c l . j t ' f t ' , i r r r t t ¡ r t 'cv ictrr loquc cs() ( )curr i rar , n() tcnqir i r rct ' r r t ivos l ) i r r i r su[)( ' r l isar ' . ( ]otr s¡ l :u ' i ( )s tn: is al tos r l t ' -

s:rprrrcc(: r :slc cclrr i l ibr- io r ' , u nr( 'di( la qtrc cl sul:rr- io iul ln( 'nta, r ' l l icsgo r l t ' Jrer '-c lcr ' l< l ar : t í ra ( : ( ) rn() un f r rc l t t ' i r r r :cnt i r 'o r l r rc r l isrr l r<l t : l r l t ' rnplr ' : r< lo r lc dcr l icalst 'a

:rct ir . i r ladcs ir t . t :grr l l rr t 's -v r lrrc hn< t: rnol l()s ncccsariu la strPervisi írn.

I r t ¡ t r r t ' t ( ) t ' ( ) r i t t ( ( ) :

Se avecinan dos ele<:r: iorres en di l 'erentes estad()s clcl país,,v cn cacla una dc cs:rs

clcc-ciones los rnisrnos part idos, I y 2, son los írnicos con posibi l ic laclcs rcalcs dc

i L l t 's tnrctrrra c lc c: tc jucgo cs l i r c lc los l l¿rnarkrs " j r rcgos r lc l r :ororr t ' l Blof to". I r l r is l< i l ia:rs<>

r i . r r l r : r t 's tos j r rcgos t 's l : r s igrr icnt t : h l coroncl lJ lot to v srr r ival d isPont 'n r lc r : icr t r> rrúnrerrr <lc bat:r-

l l . r r tsr¡rr< r l< l rcn:rs igr l r r r rc l i l i ' r ' t ' r r tcslrr t : r r rcscndisprr ta.Si t 'ndctcrrrr in:rr io luq:rrhat,nr i isbatal lo-

rr ' : r lc r r r l r r r r r lo r l r ¡ r ' ( l r ' ( ) t to. t l l r ; rnr lo r r ¡n nl-rs ] r : r l : r l lont 's gerrará t 's t ' l r rgar ' . \ 'é '¿rse Shrrbik. l ( )8,1.

l .SI l l \ l l ' .1

g¿l l t l l l - .Fl lp:rr t ic lo I errr f i 'entaunark ' r i r , ' r ¡1, , , : ' , , r lot . ienercculs{)s l ) f t r i tconl-

7l)

[) t '¿u' una catnpair ir teler, isiva cn un( ) r l r l , , , I

r r t i l izar propaui tncla nrcn()s elcct iv l . l , I ¡ , . r r r r , Ii r lc c le rccl l rs()s v t icr ic nrás oJtc iorrcs , r . . r | , I I

l )ot ' t 's<1, sus pa{¡()s s<l t t s i t t tJr ler tncl l t ( ' ( l r r r r ¡ | , , i

qrr i< ' r r l t ' r t r : r l r iz l ( ' ( ( )g( ' t .s{ : r s i tuaci<l l r .

t . r r los. Fln c l ( ) t t ' ( ) t t ' r r r l l l i r l i rcr i t arnbio, cue nt : r t 'on t ' l r i r ¡

' , ,n. Poclr ' ía contpraf u l l l ) l (F

, i , r r ior) t 's g¿ln1l( las. Lrr s i -

qrte dt :arr turc iosigtut lcs¿r losdclplr t i r l . l , , , , l , , . . r r rc lo; perotarnbiél lp()( l l - í l r( ' ( ) l l tPl¿trdt isblor¡ t tcsel te l cstado.1r, ,1, , l , l , . r , r ¡ re lestar lo13.Si t r r - r1tar- t i -t lo t ot t t ¡ t r : t r r t i ts l ) l ( )c l t l ( 's { lc at tLt t t r : ios , ¡ r r , , r , ¡ r , r r ¡ ¡ ¡st¿r16, ga¡al 'á csc ( .s-l l t r lo. L l r r t ' l cstar lo A cl part i rkr I ar . t ' r r t : r1. , l ¡ , , r , , , r , , r l l t : r ¡ t . i r lo 2 por f t l c l ¡c gi l -I l l t t ' í : t l i tsc letcciot t t :s l lnt( ' rut¿cx¡t t ,s i , i , , ¡ . r ¡ rLr l , 1, ' , ,1) i rg¿ul( l i l .F lnclest .acloBocur l 'e locr¡nlr¿tr i r ¡ , i rntcni \ rc les<l t ' ¡ r r , , ¡ , . r " ¡ , , ! , , ' , , i , ¡1.¡gr in l f íacl part . ido2.l ,< lsr lost 'st l tc lost i t ' l l t t l l t t t t l i t t t ¡ rot- lunrr . r ,n ' , r1, , 1, , , i , , . l í r l t ' r 'ersclc lgsp¿r ' l . i r l1¡s.

Pur I i , l , ,

I)os bl.otyrt, t

tn c l ts lut l t ¡ . \l)os ltltt¡trc.s

tt¡ rL rsf nrlo ll

I , It . i

l ' ru t i t l t ¡ I l ' ls t : r r lo, ,1l ' ,st:rrkr /J

(\ ,)I , I

Nt l l t ' t t los I ) l i l t l ( ' f ( ) ( l t l ( ' l l ( ) t 'x istc ningr i r r Cr¡rr l r l , r r , , , l r \ , r r l r ( n r . \ l r , i t t .g ius

l t t t t ' l ts . At l t ' t t t i is , l l t l t tJ l t lco t 'x istc t r r r cqtr i l i l t r i ( ) ( r r ( lu( r I ¡ r . r r t r , lo : ) i r \ t , {n( ' un¿t

l l r r r l l : r l l i l i t l i r r l ¡ tosi t iv l r l t s t t l ( ' t ' ( ( r i r (st f i i tcu¡:1, l ' .u,¡ r , r l ) . r i lu( . \ l r l ) ( )nt l lun()sr¡ t r t 'c l l ) l l r t i ( l ( )2r ts: t t t l l r t t 's t t - l t l t 'g i l t t t r ix tut¡rr t ' l t ' ; r : r ,n.r un.r l , r , , i r : r l r i l i i l : r t I r ¡1 >0It( 's ta( lst . l ' t l tcgiaPt l t 'a.( iot t t ¡ r t tct t toslatr t . i l i r l l r r l ts¡rcr . r l . r , ¡ r r r r r l r t i tnt ' t ' l l )¿l t ' t ic lo2c()n( 'st¡cstratcgiay(:() t lu l l : tcstrafcgiac¡rr t ' r l i l icr t r l , l . r i r r t ( r i ( ) l ( .n( l r r ( ' r r ru l -

c l r sc t ' l igt : l l t t t t t ' t 'e l i t ( 's t r l r tcgi¿r l )ur l r ) 'se aurn( ' l l l i l l : r ¡ r ro l r : r l r i l i r l l r r l t : tnto <lc l¿t

¡rr inre't 'n corno ck: la scgrrrrda t 'slratcgia en q,:, i2. Si r. l ¡r ;rr r ir lo I <' l isc cl est2rclo /1,el part iclo 2 ir t tntc:trtar 'ár srr tr t i l ic lacl t :spt 'nrcia en ír i l")- l ' . rr cf i '< lo, con la estratesi¿l irr i t : ial el part iclo 2 t l l t t iertc 2qy + q" + l l mic. nl l 'us ( l l r( ' ( ( )n l :r t 'str-atcgi¿r alterrra-t ivi t crbt iene 2(q1 + q3/2) + (.r lz+ t l : ' , /2),vrt '¿cl i ferent i l r l t ' , ¡ i . , '?. ( lr i lcrr los si l l r i larcsl los mtlest l 'Arl qt lc ct lan(lo cl part. ido I cl ige el est lrr lo 1; i l l r ( 'str-atcgia:r l ternativa

lnnrtr iótr iucrerncttt i r la tr t i l i t lacl clel part ido 2 er qt i 2. l . ,n este serrt iclo, la estra-tt :gia ir l ternatir , 'a clomina a la estrategia inicial.

L,ntonces, cn un equil ibr io en estrategias tnixtas, el par.t iclo 2 sólo el igc strst los printeras e str¿rtegias. Para que asigne una probabil iclad estr ict¿rntcnt<' ¡rosil i r r r u l rn l l l rs, no c lebe tcner pref 'cr-cnci : r por ninguna dc c i las, r 's r l t '< i r ' , r l r . l ¡ r 'r r r r r r ¡ r f i rs( ( lur ' ' ) l t ¡ t f t , , ¡ t1 + 21t2, r l< ' r lorr<l t ' l , t= h- ] . Asirrr isnt() . l ) :u,r r ¡ r r r r . l

T

I1. . ( ) t { t . \ l ) t . l i r t . ( ; ( )s: st i . \ t ' l . tc , \ct()N I . tN t . ( r ) \ ( ) \ i l . \

l f , r l l r ( l ( ) | ' , . r inr l i l i ' r -cntc cntrc sus c los cstratcgias c lcbc curnpl i rse que rh= 4t =

. l . ( , , . t" l l ,1() \( usi l l l csl lrs cstr¿tcgius mixtas, ln rnitacl cle l :rs veces el pirrt iclo Igatrarír un ( \ l :r( l() I l : r otr l t r-nitad no gitnarír nad¿r. Fln c:onscctrcnci¿r, la nri tncl clclas vcccs t. l ¡r :rr t i r lo ? gtrrr lu' i r rrn estaclo v la otra lnit :r l gan¿rra krs clos. L, l vak¡respcrado t s r lc nrt <l i :r victol i¿r para erl part iclo I y trna victori¿r 1'rnecl ia para elpart ido 2.

()gr r . . l r ; r t l r l ) t . r .N \r( )N()r ' ( ) t . r ( ) N.\r ' t rR;\1,

I \ { ' ,nnur i r r l t r ¡ r r<lr t r unnlono¡ lo l i , , rut t t rnt l ' i t , l r ro l tqrr i ' l t ' l rqt t< ' t ' l l : r t t t : r t i , r t t t í -t t l t t lo t ' l i t i t ' r t t t ' al quc pucclc opcr¿ir ul la clnprcsir cs tan granclt ' cn lcl¿tci<in c<ltrt ' l l ;urr:rr lo r lcl mert-- lclo qrre sír lo h¿u. lrrgar l)ara ( lu( 'oJlcrc ckr r lancrlr lcntablcrt t l la ( ' r l l l ) resa. Srr¡ron[:r rn()s que hav rkrs r)nr l ) r ' ( 's t rs i r r l t ' r ' t 's lx l i rs crr ¡ t ro<lrrc i r r rnprt tdt tcto <lc rccientt¡ o¡rer:x ' i í rn c() l r ( iu¿r( l ( ) r ' ís t ic i rs rk ' r r rorropol io ntr t r r r i r l . Silas clos cnl[)r 'csas el l tr '¿l l l al rnt 'r ' r ' : rr lo, arnl)as obtcrrclr-írn ¡rí ' rul ir las. Si rr in{-Irrnircntr:r, ( lcsaprovechar' írrt los bent ' l ic ios ¡rot.errcialcs. Si sr i lo unl l cl l tr i r , sc apodc-rirr i i r lcl tne rcaclo 1'obt.cnclr ' : i bcncl icios posit ivos. [ ,a nr¿ttr iz <k: pauos cs lu si-gtr icnt t ¡ :

[ , r rc]ra ] ) ( ) r un rnorropol io natural

I,irnp'esa 2

l inlrar liu.trn

l i rnpl t 's i r I

l .s l t i . \ | l ( . r \ \ l txTls

galrar pcro al r lreln<ls eI l este ír l t i rr lo ( .rs¡ | n.r( l i t slr le hericl1l. La cstratcgi ir d¡ ir .sc

Por cn nredio de la carreterA ct() l t ( ' \p, ,n, l r ' . r l : r cstratesia c le la cnrprcslr r l t 'cntr¿1r ' , y la de s¿r l i rse de la c¿rrretcr ' : r l r l , r , l ( , lu( . ( l :us( ' f i rera c le l mercaclg.

Existcn dos equil ibr ios cn estr: l t( 'ei :rs ¡ ,rr r , r { l r( r .¡¡si¡ i [¡¡1 etr q¡e la enrprssirI entrc y la ernprcsa 2 ser quede fucl l r , r r ¡ r r r l , r ( r r l , r ( .s l r I se quedc fueray laempres:r 2 entrc. Estos dos eqtr i l ibr ios l i l r r ¡ r r r I r r r , r ¡ ¡ r r r .n i< 'nte c lc que predi-cel l ( l t rc l dos cmprc's:rs ic lént icas, enf i 'c ' r t l : r r l , r ' , . r , . r , r . ,nr i nt( l l t rn ism¿r s i t t r¿r-c i<in, harírn cosas dist i l t tas. L,x istc tambií 'n l r r ( r l r r r r , , r ¡ ' ( r ( . . l , r t ¡g i l rs rrr ixt¿ls,qt let ic l lc l lavir t t rc lc leprcclccirqt tc lasdost 'nr¡ , ' r ' , . r r , l , ' r r , r , n l r r . r r t : r r l : rsal¿ttn isrr la s i t t raci t in, seguiran el rn ismo conlp()r ' l : lnrr nr . I ' r r r , r l ,u l r r , . , t r . t . r lu i -

l i l t r io, l larncrr tosl . ra laJtrobal t i l i< ladconqur ' l : r ( r r ¡ r , . ¡ t ,1, , , , , r r r , \ / / .1laprobabi l i r l : r r l r 'ont¡rrc l i re ln l ) rcsa?lo]ra.ce. l , : r r : r , ¡ r r , Lr , r , , ¡ , , , , I r r , , ( , r ! , , .1prcf i r renci l rc l l t . l ' ( 'suscl t ¡scstrategi i rsprrr ' : rsclebe r : r r r r r ¡ r l r . , r , l , r i ' , , | , l0,c lcr lorrr lcsesigrrcqucr/- { .Pol l lnr : rz() l t : rn l ienlolrn.r l , , r , , , , , t , r ,

l ,= i . l i t t tonccs, pucdo oc:urr i r r l r rc l : rs dos cmpresirs ( ' l ) t r ( . r i l r , , ,1. , , , , , , i . ,I tzre:r ,o( lucl¿sr losst :qrrcr lcnf i rera.Laprobirbi l idaclc lc( lu( . ( nrr , r l , , t , , , , , ,

Jrrr :s lst :s<kr j f , , l . , ,1, , . ,sr i lounaloh¿reacic lc #, l . l "qrre nirrrr r r r , r , r r r r , , ' , .tc l 'n()st l t l l l< l i l i t lcrrc: ia i tnportanteentrccstet :qui l ibr i<Is imét l i to\ l , , : , , ¡ r r r I r | , r , , .( ' l l cst.ratef-f i2Is pt l t- t ts. L<ls cqui l ibr i()s cn csl.r¿rtcuias puras son cf i t i< ntt . \ ur.r , ¡l l t c t r t ¡ l t 'csa (x ' t lpa c l nrcrc:ado. El l carnbio, cn el equi l ibr io s imót l i<o t r . r \ r r r r . rprol l l r l t i l ic l :rcl P()sit iva dc qtrc entrcn las dos cnrpresas y tengan pért l i< lrrs, l r , , r r , r Ics ineflcic:ntc, y <lc qtrc rr ircl ie ocupc cl nrercado, r luer tanrbié:n lo es.

Flsln.rt t , :r ;r . ,rs NtlxtAl i yt.sfR,{T¡t(;r . \s IX)\ lrN,\ l)AS ytx)\, tr¡vANI.! l . i

l ' i l corr<'cpto de cl irnir la<:i t in i terarla clc estr¿rtcgi:rs f i rcrtcrnentc donrin¿rcl:rs se n)o-t l i l i t 'a al pcrrrr i t i r cl t tso t lc cstr¿lteqi2rs lnixtas. Esto sc debe a que es posible qtrcrnn¿r cstr¿rtcgia prrra no cstí: f i lertcmente dornin¿rcla p()r lr ingun¿l. otra estratc-gi l ¡ntr lr , Jrelo sí l t l csté p()r un¿:l cstr2rteqia rnixta. Fl l sisrr icntc ejenrplo i l rrstrat 'sta ¡rosibi l i r lat l ,v nos ¡rerrrt i tc introcltrcir rrna interprctaciírn cluc hacc plausi-l¡ lc l¿r cl i lninaciírn clc erstr i l tcr¡ i :rs f i rertcmente clomin¿rclas por estrategias mixtas.

.ftreaclor 2

E ll

tlD

( :

ul

[ , ] r r t r l r rFrr t 'nr

() ()0.3

3,00.0

L¿t c:tracter ' íst ic¿r ccrrtr¿rl ( l( f este . irrcg<l cs quc a unn clr lprcsa l t : convicnccl l tr ' : l r si la ()t l ' : r err lr [)rcsa so ( luc(la I ircra; pclo a las clos onrprcsas les r l rnt ' jol siset qrteclatr f i rcr:r clrre si las clos entl '¿ln. Est. irs car¿rcf.er ' íst. ic '¿rs tarnlt ión r lcf lnt:nutra siturrcií) lr que en t.eoría de.i treg()s se h¿r l .roprr lal izacl() c()n l()s nonlbl-cs clclj treuo dcl "halcírn ,v l : t pir lorn:r" o "el s¿rl l ina". l ,a l l istol i :r dctrírs dc cstc Ír l t inrot lonrbre es la de dos adolescentes ql le c()nduccn ci id¿r un() un c()crhc en dirccr-c: iótt opttest ir prcpar:rdos para eslrel larse rrno contra el ()tro. Cad¿r aclolcsce n-tc clebe clegir ent.re irse por en medio de la carreter¿l o s¿rl irsc clc cl la. Si cl otrosc salc r 'él rro, s¿rl)¿1 la c()n)pctcncia; si l t i l )guno sc sale o los clos lo hacen, n:rcl ie

" , \ t t r t t ¡ t t r ' ( \ l l r i r ) l ( t l ) t ( l i r ( i t i t t I to gozl t r l t ' : t t< '1t t : rc i , ,n rrn. i l t i l t t , n ' c\ r rcrc\ .u i<t : r t lentr : t r t tos

( n t t t l ( l l ) r ( l : r ( i ( ,n( . \ ; t l l r .n l : t l i r l ts ¡ l l t t ; t l r rs l int .s r l t nu(.s l t ( ) r ' j t r r r ¡ t lo.

l)

t ) , J

t ,1,) ,)

1,09ñ

Rq

tt

luuadol I

83rJ2

frruatlor I

en el ql le se vc que la estratesia R está fuertenlente donrinada; ¿l l borral- la, cl

j trgador 2 encuentra que le conviene elegir su cstrategi:r lql . L,ntonces, l legamos-o

ia predi.ción cle que cl.jugzrclor 1 elige su estr:rtegia A y el jugador 2 stl estra-

tegia r1.

En resgmen, si en este ejemplo borramos una estrategla Solo sl exlste algu-

lra ()tra estrategia ptrra que la <lomina ftrerternente' no podemos elinrinar nada'

I i¡ c1t¡bio, si la c,tncl ición para borrar Lrna estratcgia es la existeucia de una

r.slr-1tt ,Ui:r p¡r2r o mixta quet la clominc l i rertemente, l legamos a una precl icción

r in icrr : ( , '1. 1)) .

l . .s l l i , \ ' i l f ( ; t \s Nt | \ t . \s

l ,a conlbinaciírn de estratesias (¡1, t)) , ()l)tcnida mecliatrte el proceso ante-r-ior, t ierne una interp|etación rrrrry inrt.r(.\:r.nte que conducc al concepto deestrategias raciorlalizables. Estc c()l l(( ' l)t() partc de la iclea cle que cuanclo un.jugaclor; por ejernplo el . jugador l, torrra una decisión, t iene ciertas cr.ec¡ci¿ssobre lo que hará el jugaclor 2. L,s posiblc que cljugador 1 no esté scsrrr<l cle lgque hará el.jug:rdor 2, por lo que pclnrit inros que sus creencias tomen la l irr-ma de clistribuciones de probabiliclacl sobre las estrategias puras deljuuador 2.7Pcrr e.jernplo, si el. juuador I no cstá scsur'() cle lo que hará2,y cree igualrnentc¡rrohl t l r le que 2 c lcgirá cada trna de sus tr ( 's estralegias prrras. sus creent. i : rs st 'refle'jarán en una clistribución de probabilidad que asigne una probabilicl¿cldc { a c¿rda una dc l:rs estrateeias puras cle 2.

Supongamos ahora que el-jug:rdor 1 tiene una estrategia.il con la caracterís-tic:r dc que n() irnporta qué crea que hará 2, no le conüene usarla, porque sicm-prc disportc de otra e str¿rteuia qrre Ie d¿r cstrictantente más utilidad, es c]écir, para<:rralc¡rrier vector de proballilidacles (g¡, Qz, Qi que asigne a las estrategias pirras<le 2, cxistc alguna estrat-esia pura que. le da más utilidad eue .r1. Una forma clecxpresar cstc l lccho es diciendo que no hay ninguna crcencia quejustif iquc, oracionalicc, cl rrso de la estrateuia.rl. f)e los trabajos de Bernheim (l9ga) yPcarcr: (l9tl4) se desprcndc que si cada.jugaclor elirnina las estrategias cuy()uso n() sc ptredc.justif icar por ninguna creencia, y supone que el otro hará lomisrno, l lcgarern<ls, cn nuestr() e-iernplo, a la combinación cle estrateuias A 1, l-I't¡t' eso se dicc que estas estrategias son las únicas racionalizables: son las ír¡i-c¿rs par¿r las cualcs existen creencias que.justif ican, o racionalizan, su uso.

Par¿r etrterlder irtttr it ivamente por quó se puecle hacer la interpretación:rltr:nr:rt iva, volv¿rmos al.juceo original y f i jémonos en la estrategia Cdel juga-clor. I y cn la estratcgia 1i clel . juuador 2. Ninguna cle ellas está fucrtementedotll i trada por ()tra estratcgia pura. Asinrismo, ninguna clc ellas conviene serrrs¿rtla si el jugaclor cstá sesuro cle quc srr rival usará una cstrategizr pura. Encf-ecto, si I cree qtre 2.jugará sus cstratcgias puras 1) o 1l, no le corwiene usar ú'sino A, y si crec que.iuuará 1', tampoco le convienc usar (i sino IJ. De la rnismarn¿ul(-'ra, a 2 no le convicne elcgir l'si está seguro de que I elegirá alguna cle susestrategias puras: si cree que I eleeirá A <'¡ o,le conviene más z, y si cree que Ielceirir 1J, le convicne rnás 1). Sin embargo, hay una dif'erencia irnportante en-tre ias cstratcgias (,'y ¡l lir estratesia (,'dcl jugador I está fuertemente domina-cla por una estrategia mixta, nrientras que la estrategia l-clcl .jugaclor 2 n9 l<lestá. Esto es cquivalente a dccir -f/ esta cs la interpretación alternativa- qut.rro se puecle justif icar cl trso de la estrateuia C, pues para cualquicr r.rt.r.nr.i.r

7( lu¿r l lc to l ray mi is c lc dt ls. juu:r<lc l tes t :s ner:r 'sar io in l ro<lrrc i l r , l <orrr t . ¡ r t . ¡ l { ( . \ t r . r t { . r , r . r \rot l< ' l : t t ' i<¡ l l : t r l l ts¡ l l t r : t r t t t l t l t ' l : t r l i ts<rt 'c t t t i i ts<l t ' t r r t j t te l t< lorsolrr< l r ¡ r ¡ r rc l r : r r . i r r lorr l r . ¡ ¡ r , rs\¡ , r , r { ¡ r . rl , rs lcsul l ; r r los r¡rr l r . r ¡ r l i r : luos ¡ l l t t ; t c l t . ; tsr¡ r l<,r l r ls j r rg; t r lorcs.

| 1. . ( )RÍA r)E.JU! l ( ; ( )S: st ' APt. I ( iA( l fóN l lN I i ( loN()MiA

]ugador 2

Nr ¡t<'n lr ¡s pr- ir trcro qlre en cste jueUo no hay ninguna estrategia fucrtenrente

ckrnrirr:rr lr t . Sirr t ' rr l l targo, f i iémonos en la estrzrtegia C'clcl . i r-rg2rdor l . Aunquc no

estir l rr t ' r ' tcr¡rcrrtr ' <lot l l i t t t tcla por la estrategia R, porque le da un pago más alto

al j truitr lor ' I si <' l j rrgrr<lor 2. juega D o É; ni por l2r estrategia A, porque le da un

pago.rnírs rt l t r I si t ' l j r rerrr lor 2 cl ige st l estratesia l ' , sí está fue rteme nte dorninada

p.r i lu..r .utt ,girt I t t i r l r t 11t,t , :rsiUna trna probabil idacl de I tat-t t , , a la estrategia A

colno a la / j . I , l l r cf i ' t ' t<¡, (()r l cst l t estratesia nrixta cl. i r .rgzrdor I obtienc 3 si erl . iu-

gaclrrr 2 t ' l ige / )0 1: . r 5 s i t ' l i { t '1. P(} l ' l ( ) t i ln lo. esla eslralegia mixtr t propr l rc iona

irr-r 1rug,, más alto al . iuuador 1 no irnporta qtré haga cl. iugador 2. Una vcz quc

borramos esta estrategia del- iuuaclor I nos queclantos con el juego:

D 1,.

. fugador I l ) , a

t .4l -r , '1l ,0

c) 1l

t i . 3

En cst<: jucgo, l?r cstrutcgia /tcstár l ire rtetltt:trtc rlontitra<la por la c:st.ratcQia

mixtir que asisna,.rnn ¡r, ' ,, lroii i l icl¿cl cle fr a la ostratosia 1)y ,,1

a la estratcqiir 1'. ' .

Al borrar l:r cst.t 'atcqi¿r / ' , tros qttcrl iullos c()l l cl. iutluo:

.f trgaclor'2

D

l ) , J

1,4l¡ ,4I .0

I

ñt)84 I t . ( ) l { ÍA r)Fl ILI ! l ( ; ( )s: St ' APt. l ( l ' \ ( l l ( ) ¡ - t .N L( l ( )N()Nt i . \

qnc t.¡¡t¡ lr t ' l j rrul<lor 1 sobre lo quc harir 2 no le cont ' icne usarla; en carr lbio, sí

e.xiste¡ ¡¡ lrs ( r<' t ' rrci¿rs clel jueirclor 2 sobre lo qtre hirrír cl . iugaclor I para las crta-

lcs l¿r cstr. tr l t 'gi l r / , t 's l :r quc más convicrle lrsar. A contint lacia)tr cxpl i<::rtnos con

más cl t : t t ' t r i l t l i ( ' t I t ( ) ( 's l ( ' f ) r tnt() .El l lc<:lro r l t , r l rr t ' l : r cst latcgin (, 'c lcl . j r .rgaclor I está f ircrtcmelrte dorninada

por la cstratt 'giu r ir ixrrr r¡tr t : rrsa.A v R con probabil icladt¡s cle * lo he rnos nren-

ci t , ¡acl<, r l r : r ¡ l t . r i r ) r ln( nt( ' . ( .ornprolr t ' t t tos l th<lr l t qt l ( ' \ ( ' t t r r t tp l t ' la i r r ter¡ l r r ' -

tación altcrtrat iv:t , ¡s <lt ' t i r ' , ( lue no existe nir lgntlr l crt 'ett t i¿r qrtc ptt t l<lzr tener cl

. jugnc¡rr I acerca clc lo r lrr t ' l r l rr : i c ' l . iu¡4zrclor 2 para I: l cttal le cottvct l t¿¿l usar (;'H"rr-, .r*

visto va quc si I cr 'cc ( luc 2. jrrgarír ¿rlgrrna dc stts estr i t telgias pttrzrs, I lo lcr

c:onvicnc rrsar (L Falta por r:orrsiclerlar l i r posibi l i r l :rr l t lc qtrc I t to erstt 'st 'utt to clt '

l ' qtrer 2 elegirá. Prgbcmos qrrc a 1 no lc conl ' ic ' l lc t ls2lr ' ( . lsi asigrl¿ prol labi l i r l l l -

,1,:s (,¡ , r l2, t fu) ' .r las cstratesias (. f) , l ' . ' , 1') de 2, rcsJrct: t ivatncrl t .c. Fl l . i t r¡¡arkrr ' l

obtcr ic ln-rr : tq1 +r. ' t r ¡z+2qt,=5r( l - r ¡ )+2r7*si t rs¿Ll , r ¡+r/e+lJí : i=( l - , t r ) +t l r ¡ rs i

rrsa l ly 2q1 +2rlz+ 4t¡.4- 2(l - r¡¡) + 4r¡r si trs¿r (, ' . l )c cst() sc sigrtt : c¡t tc i) Si r lr < i

la .str l :r t .gia () pr6p6rcigl l :r ¡ l l plrg() estr ictatt t t :utc IncI l() l ' t l t rc l i t t 'stt-atcgia A.

I , is r lcc i r , s i 17* ( f a l . j r rga<lor I no lc cor lv ietrc rrsrr t ' ( j . St t t tso r to sc. i r rst . i f ica.

Aclernrírs, l l ) Si r¡, * , l^ cst l ' : r tcgi?r (, 'pr-opor-ciotra l ln Pag() cst. l ' ictanl( l l ) tc l l l ( l l l ()r

qrrc la cstr ir tegi:r 11.Tumpoco on ( 's{.c t ' l rso sc'. just i f i t :a t ' l t tso <lt l IJ. l is t l t ' t ' i t ' , parlr

algunas crccnc:i¿rs r lc I , su (:strar.cf-Jiu ( l lc r la t l l t Pag() r l lc l l ()r <ltrc A; Pi lra ()t l -as,

ul l [)ag() l ] tcl t()t <¡rrt : 1l ; y, par2r t t lgt l t l : rs ()t .r l ls, t l t l Pl l f f() l l lCtr() l ' t ¡ t t t : l : ts t los: t l tr

i rnport ir quó crca I qrrc lrart i 2, ntrnc:a kr t :ottvict l t t trsar (1. Flstt¡ tros i l rrst|a cl hc-

chg r¡: 11irc,. : trancl<, unit estr ir t .cgi ir prtr:r (() t :stír f i tc:t ' t .cnlertrtc t lorrt irr irdn (t : t t

cst t :c:rsgp1¡r ' l¿cstrategi i r rn ix l t rqut :c l igeAyl lc: i r r lat l t t : t ( : ( ) I )prol labi l i r lacl i ) ,

¡6 erxisten ningrrnas (:rce nt ' i i rs l)rrr ir las t ' t t i r lcs st: t t t ott l t ' t t ictrt t ' t tsat ' la-

Fi jér¡6rres ir lr<¡r-¿t cn l l r cstr ir tcgi:r 1i<lcl . j rrga<lor 2. Sltbc:r l los ( l tr( l l l () t 'st l i r l t>

r¡ i¡acla pgr ninutrrra cstrate gia prrra: t t() cst.á dornit lar l :r pol la csl. t-atcgi¿r 1) por-

q¡s pr()porcionir tur p¿rg() l l¿ry()r ctrartclo l . i t rcga (, ' . ' I ' i r t tr l roco t:stá r lotnin¿rcln

qr.r. in eitr ir tcgia / ' i porr lrrc r l i r un pa*r<l r lrav()r (:r . t t t t)( l() I i t rcga 1J. M()strclnos

I t l r ¡ r . l r r ¡ r r t . t : ¡ ¡ l ) rx ' ( ) t .s l t i r lo l l l i r rar la ¡ror r t int- f t t lur ( 's l l l l t ( 'g ia t l t ix t l t t l t t t ' l ts igt t t ' t t t ta

probalr i l i r l lu l rk.r¡ : r / ) r c l t ' ( l - l ) i l / : . Pa| l r ( lue ( 's l : t ( 's t l ' : l l ( 'g i l l n l ix l l t d() t t t i t tat ' l t

estrictarnente :r la estrategia pur:r /rtt:nclrí¿r qtre clar ir 2 tlna trtiliclad cspcrirdzr cs-

t.r i¡ tantcltc nlavor par¿r c¿rda una de las trcs estrategias del l . i t rgaclor I , cs clccir:

r lo i l r l r . l ; r < l< s igr l l t l< l l< l ( 's t | i t t : r r l t 'bt 'cr t rn¡r l i rsc c()r l rP()n(]r l tc l l conlp()r lente. Sl I l

, . r r r l r : '1, , . s i l . i . r . r r torr< r 's . l r7r "r . r 's r lcc i r ' , l l t t 's l t l t l t 'q i l t t t t ix l l t ¡ l t r ) l ) ( ) l ( l ( ) l l l l t l l l

1

i ¡

l ls I R.\ ' l t!( ;1.\S \l l \ | \S

pago lnenor qtre la estrategia l icuando I el ise srr r¡stnrtt .gi:r / . i . l , lntr irrces, si 17<

¡, , estaestrateqiamixtar)odominaaÉl Perosi g> i ent()n(( 's .2q t 5( l - r ¡ ) 32( i )+5( i )<+,csdecir , lacstratesiar l ix taproporcionaunl) ; rq ' ) rn( 'n()r( lu( 'la estratcsia 1 ' 's i I c l iee su estratcei : r C. L,n síntesis, e l . jueador '2 rro r l is¡rorrr . r l , .n ingunaest l '¿r tcgiamixt i rqtrcclominef i ler l .enrenteasuestratcqi : r ¡ r r r r : r1 ' . ( , , r r r

probcntosahoraqrre,r :ornohademostracloPearce(198,1), loantt ' r ' ior s igrrr l r , , rquc l lccrc's:u' ianrcnte cxisten algunas creencias para las cuales ir l . j rrg:rr lor

' l l ,cot tv icnc t ls¿tt 'su estratcrr ia 1i Si e l . j r rg:rdor 2 asignzr la misrna prolulr i l i r l . r , l rqtre el. j treador I cl i ja c:rda una de strs tres estrategias, la estr¿rtegia / ' lc t orrr r,ne tr lás que sus otras dos cstr:rtegias pur'¿rs. TantO con la estrategia 1', ' r ' t l l l l , , , , ,r ,l¿r 1)obt icne ur) pa{r() cspcr i rc lo de 3, rn ientras que crtn la estrategia /"olr l i r . r r ,t l l l [ )¿lg() cle 1f . l lntort<:cs, lzr cstr ir tcgi ir 1, 'e s l i r que rnírs le r:onviene usirr- si :rsrqr r.r

¡rrobabil iclarles isualcs :r l i ts trcs cstratcgias de l .l . ln sírr tcsis:

¿) Si trrt¿r cslr ir t<rgirr ¡rrr l l c 'sl l i ( 'st l ' ictanrel l te clominadir, ,va sea p()r 'una estl ' t r l ( .-uia prrt 'a o t t t tr t r l t ix l : t , no t 'xistcrr < l- t ' t ' rrci ls ¡r irr ir las cuales c()nvenga lrsarl ir .

l i ) Si r r r ra t 's l r i t tcgiu l ) l r lu n() cst l i cstr- ictamente dominadir , n i por una cts{r '¿r-I t u i : t ¡ l t t r : t I t i ¡ ror t tn l r r t r ix l l t . r r t r cs:r l i lunr 'n le ( 'x is lc l r a lgrrnlrs crccl l t i : rs rrcr . r -t 'a r l t ' lo r¡rrc lr i rr ír t ' l otro. jueaclor para las crr ir lcs conl ' iene usarl¿1.

I)ot- lo l .atrto, ( 'n nuesl.r l) r ' jcrnplo, l¿r cornbin¿rción de estr¿rtegi¿rs clue s<tbre-vivi ír la ct l i rninur: i<in i tcl iula r le estrategi¿rs estr i( f t lnlcnte ( lolnina(l :rs, ] 'a sca port 'stt-¿ttt tgi ls J)tu' l ls () rnixt l ts, cs la únit 'u qrre rcsistc las siguicntcs r los pruebas:

l) ( l l rr la. irruarlor cl i lnina l¿rs cstr '¿rtcgi¿rs qlrc n() lc convicrrc usirr pala rr i l rgu-tt :rs < r 'r 'cn<:i ls soltrc lo t¡rrc harír el ot lo. jrr{:rrkrr ' .

r l ) l ' is t :orrocit t t ict l to comútr c¡rre los r los. juuarktrcs ¡trocccle nrrr cler ac:uerclcla i ) .

Lir cstrategi¿r qrre sobrevivit i ¿r cstc pr()ccso se c()n()ce (--()1n() estr i t tegia ra-ciorlal izirble.n [,rr l cqui l ibr io clc Nlrslr cs sicr lpre r¿rcional izable. En el 'ccto, trnaostr¿lte{r i2l que fbrrne parte ( lc rrrr t ' r l rr i l ibl io clt : Nnsh es, por definición, la quettrás convietre t tsar daclas l¿rs c'str ' :r lcgi lrs ( lu( ' us:u) los r lernás.jugadores, es deci¡t 's l l r rcsptrest .a que rní ts lc corrv i t ' l rc l r r r r r j r r t : r r lo l crr : r r r t lo ( ' rcc quc los dernásttsarí t t l las estr¿rtcgias t 'ecorncn<[ l t l l rs < ' r r t ' l t ' r ¡ r r i l i l r r io r l t ' N:rs l r . I intonccs, el con-

t l ls t r l t 'sasíc: t r . jut 'uosclccLrs. j r ru l r r lorcs. l r r j r r lq, ,sr l r r r r . r ' ¡ r r ' . r ,1, , r r" , r r . rcr i r , r ruosinlrr¡r l r r<i l '

¡ l l l ( (o l ! \ l ¡ l r ¡ r r r l

fsr /++{t- , / ) l f - l| 0,, I ' l t I 'l2r¡+ott-¿1)J \1/

Ir.r()RÍA DU IUFI()()s: sr.r APl.l(.A.(ll()N F-.N E(l()N()MlA

j t rnto rk' t 'st lrr lr .gins racional izables contie ne sicrrtpre a todos los eqrr i l i t rr ios cle

N¿rsh. I ' t ' rrr ¡ l t tct l t 'c() l t tener, además, otras estrategias. En efecto, podcmos en-

contr lrr t ' l t ' rn¡r los r:rr los que tod¿rs las estrategias son racional izables, pero cxis-

te un útr i r '<¡ r ' t ¡ r r i l i l r l io <lc N¿rsh.

EL lrrr.r :v,q. l)1,r. \ ' tAlt tR()

Recordernos el. juego l)r ' ( 's( 'ntad() en el capítulo I . Dos.iuuaclores el igen sinltr l-

táneirmente núrneros rnri l t i ¡r los clc rni l cntre 7 mil y 10 rrt i l , :rmltt ls inclrr iclos. A

cacla. juuaclor se lc pagará el nírrnero [ lenor y, si los ní lmcr()s el lcqid<¡s son

cl ist intos, el. j rreaclor qr.rc el iei ír cl nírrncnr may()r lc paeará una transfcret l t : ia r le

¿rl rncrros 2 rni l pcsos, e n rnír l t iplos der rni l , al t¡rre el iei ír el nírt tre ro rr l t :nor. l i r t el

capítrr lo I virnos ( lue cuando esta transfer-ct lcia ers cle t -- 7 rni l , cl proc:cso <lc:

el irr l inaciírn i lcraclzr de cstr¿rtegias fucrtenrcl l te domilr ircl¿rs nos clt l ia t-olr l l t t 's-

t .ratc¡4ia 7 rtr i l para cada.juu:rclor-c()mo írnico par soLrrt:vivie:r l te. l) i . t t ' l t v( lr qt l( '

cst() n() siernpr-c cs así, considct 'crn()s el caso dc rtna transl 'crt- 'nt ' ia I= 2 rr l i l .

l l l di lcma del vi lr jero

.f ueador 2

7 000 ¿l 000 9 000 I0 000

Flsl t { . \ t | ( . r \s \ l txT, \s

En una versión más gene ral dc' <'slr ' lu( r,(). ( los viajer<-rs deben sol ici tar un

pae() cntre ciertas cantidaclcs permisi lr lcs. ¡rt ,r 1' l 1' ;116¡ de sus objetos extravia-

clos. A ca(la uno se lc paga el ntínimo t l t r ' . .r ' , l , 's < untidades y, si las dos canti-

dadcs di f ieren, sc lc qui ta una cant idar l / . r l r r . r ¡ r r r ) ( l l re rnencionó c ' l r r í rnr<'r 'o

l l lwor y se le c la al otro. Aunqtre e l l nuestr . r \ ( r ' , t ,n r ; r r la v ia- jero ptr '<k ' t ' l< gir

s<t lamcnte, lnúmerosdist i r r tc ls,el rcsul tado( s, l ¡ r , r . r r , ( uandoelcor l j t r r r lor l t '

estr-atcgias contienc muc:l los rnás nír lneros. Pur :r r r r . r l , 1r rr, r , :rrrt idad de núnlclt ¡s

clergibles, a t rn jueador r lunca le convendrá c l t 'q i r , I t ¡ t r r r , ro rr lás al to no in)-

port l t qrré crca quc hará el otro. j t reador. Por eso. r . t , l , r 1, r" , , r ,1, ' t t l< 'be el iminar

etsta cstrategia l 's t t l loncr quc e l otro hará lo misl l t ¡ . l ' : l , , r , , , l , l , r t or t t t ¡ . juego

c()n un l r r in lenl rncn()s, cr t c l r ¡ue ntrevanlcnte po<lcrrr , , , , l r r r ' . , ' , l l lút t tero

míts i t l t< l .Des¡t t rósclert : ier to l lúrrner ' ( ) r le i ter¿rcioncs, l r , \ r r r , , r r r r . i r ' , ( ( ,n( lue

s<i lo c l t r i rmcro rnírs bir jo anunciarkr por la conrpañía l ( r ( . r ' , r ' l l r , \ r \ | r I ¡ r r r rcctso. Si l t cnlbtrrgr¡ , t : l ní tmero dc i tcracirx lcs quc se r lec( 's i t .ur .ur . , r r | \ , ! r , ¡ (

t 'ar lu vcz tn i rs ca¡ras <lc strpuestos sobt 'e l¿r racional idad de Ios j r r r ' . r , l , ' r ,Oirpr ' : r , ( lot : rct : , ( ]< i rnczyHolt (1999) t 'c¿r l izaror l t tnal 'ers iot t r l r , . r , ¡ 1, , , ,

rncnt() t 'n la qrr t 'sc:rs ignaron parcj : rs alcatot- iarncntc durante v l l r r . r \ \ ( ' ( \ . i

c l ig ie l ' ( )n núrrncros el l t . r 'c 80 v 200. ( l t rando la t r¿rr tsf 'crctrc ia de l l r yr . rs i ) r . r , l r {

pidiír rnírs a l i t <lrrc J,r ir l ió rnenos sc f i j í r cn I = 80, los rcsult¿rdos fuer'orr nnr\ ( , I

( ul l()s ¿l l i r prcdic:ciír l teí)r ica: las sol i t i t r rcles protnctl io f i teron isual( 's r r Fi I , r ¡

los ír l{ inlos t.rcs pcrioclos. juuaclos. l ' )rr crrtnbio, en cr()ntrastc con la pt-t ' t l i r r r , ,n

tcírr- i t 'a, t ' rurnr lo latr i rnsl 'erenciaf i r t ' r r r r r i ¡ rcqucña,dcsólol-5,esteprt t t t tct l i , 'f i rc t lc l{} l ' ¡ ."

87ri6

I r rea<lol l

¡ ' l=2(XX)

Aunclue est¿l vez I0 rni l n() está l trertcrnente clorr l ini td<t por ninguna estra-

tcgia pura, sí kr cstá por l¿1 estrategia rnixta que asiqnzr una probabilidacl de ¡a 7 nl i l y * u 9 mil . Una vez que hcmos el iminado la estratesia l0 rni l para los

clos.jugackires, vcmos quc la estratesia 9 mil cstá fuerternente dorninirda por la

cstratet i iarnixt irc¡ue asignaunaprobzrbi l ic laddc i aTmily : u8 mil . Dcspuós

rlc'el iminar la estrateg;ia 9 mil para los dos.irrgaclores, la estratesia 8 nt i l está

l ir<'r '1t ' rnt 'nte r lominacla por la cstratcgizr 7 rni l . Entonces, nl levalncl)te el írnico

¡r:u r l t ' t 's l l l r tcgia sohrcvivientcs es 7 nri l para cada-itrgadol ' i lunqtle esta vez

Ir¡r in los r¡rr< ' r ' r '< t r r r i l i l ( 's l r - l r t ( 'g ias mixtas pi t r2r l r l ( )strat 'quc alQunas estrategias

rrr¡r . rs t s l : r l r : tn l t ¡ t t l t ' t l l t ' t t t< ' t lo l t l i l t l t r l : ts .

' lborctt tr t . r l .el p'un,t.r t l i jo de Bnnw'¡. l , ' t l . t I t trr , r , ' rrr - r rngcr ( . i , J ' : C -+(.1, s ienclo ( , ' ut t corr i r r r r | ( | ( , ' r r I l , . r (

mcl l ( )s ul l l )u l l to f i io, es c leciq cxist t \ ( n I l . r l , l r r (

7 0(x)u 0009 0(x)

l0 (xx)

7.7ir ,9ñ()rr ()

9, irIJ, IJ6, l0r i , I0

Qri

I0, ( i() ()7.t l

( ) r r

t0, ( ,I t .710. I0

At' i :rDt<;t: . l ) t , : l . t<ls t r( \{ r( ' \ t ,r | |

P:r l l r < lcrnostr ' : r r c l ' I 'corct-rr¿r c le Nlrs l r \ . | | | | | , \ , r

Br<lwcr.

' r ( ) tu. t \ t . { ¡ t : N,qst t lo

r¡srr l t ' l ' l 'corcma dcl punto l i jo de

( ( )nt in l l¿ l <:on dorninio ("1 yt. 1 1 1¡¡¡1'¡¡1¡ en ,/ l t ' , t ienc al

Un eiernplo senci l lo de este 1.( ' t ¡ r t rn. t ¡ , I

t int ta cotr dorninio [0, 1] y rango 10, l l t r , r r ,

cxiste xen [0, 1] ta l que. l ( r ) = t . l , r t s i t t ¡ i , r , t , I r ' ' r ¡ r r ¡ l l

' lu( unir f r rnción con-I r r r ¡ | r l ( r r l l ¡ l t tntO f i j< l :l r I i , l r , ¡ r ' t r t l l lo.

" \ ' [ rst ( i r ¡ r r : r , ( ]oeree. C)ólnczv t l t ¡ l t (11)111) i 1r . t r . r r r r r r r r r l ' 'l i ) l is t ¡ r r l , r r ¡ , ,st¡ ; r r i r l r r t 's l l i l t rsacl : t tn l r t t lcr¡ tosl t i r r ¡ r , ¡ r ¡ r ¡ r , , I

( n l \ t ( 1, \ ( l ' r r l l r )

rB8 f l l ( )RIA t) t . ] ILI t r ( ; ( )S: SLi , \ l ' l . l ( ]A( l l ( )N l -N l . ( l ( )N()Nl lA

l r r rs r t .Nr r . \ l ) l l r \ r ( ) | r .J( )

Vcanlos l ) ( ) r ' ( lu¿'sc ncccsi t : rn los srrprreslos ( lc l l ( : ( ) l ' ( : r I l : r . ( lonsi t l t ' r 'cnlos l l t

s istr icnlc I r rnt : i r in / : 10, l l + [0, l l

núrncros rcales, cn lugar dc t 'n l ( t | | r , , ,' I r l t ' l l r r i r la t ' r t /1. Por ( ( )nsu u( ( r ( ¡ r r r , , I

Finalrncnt.e, pal '¿ l .vcrel pa¡x ' l r l r I r , , , , ,s i , p()r c ' jerrrplo, c lcf in inros la fu l r< i , , r r

89

, , : r ' l¿1 f unción cont intrar/(x) = x

' I r | )sr i ¡ x e¡ 1l ta l que x = . f (x) ., 1. , , l . considerclnos qué sucede

r r l l

r r , l

, r r ¡ r r r r t { ) [0,0. , f ] { ' l O.t ,r r r r r l< 'Bl ' ( )wer quc s(

F,st : r l i r t rc i í rn t icnc corno r lorninio - \ | . r I r , . ,l ] , y n. , t ic ' l lc n ingírn pl l l l ( ) I i jo. l -a hi¡rorr . , r . , t , I r , , ,viol¿r t 's, r l t 'sr l t ' l rrcgo, l :r corrvcxir l¿rd.

l , tr cl t : l l rosl l l t i í rn r lc ' l tLr()rcln¿l <lc Naslr ( , | | .r | , t , , I

l ) l ) t ' f i r r i r t rn i t l i rnt ' i r in quc sat isf 'ue: l las cor l r I r r r , , r r ,l i jo r lc l lnrrvt ' r ' \ , ( lu( ' , l ) ( ) r la l l t ( ) , lcnga ul) pul l [ ( ) | | l r , \

( f . f i . , r ,

0. 1v ,

I t t . f i ¡* 0.5/(x)=1

[ t t .A s i x= O. i r

l . ls t l l i rnci í r r r r r ( ) ( 's ( ( )nt inua v n() t i t ' r r t ' r r i r tgún I)unt() l i jo; lo 1t ' t t r l r ' íu s i r l<r

f rrcr ir por l i r <l ist 'onl inrr iclacl cl tr t : [ ]rcscnti t t 'n x - 0.1-r.

l ' t r l t r t r l l l ) ts( r ( )N t tNt r . \

I

( ) . lJ

LIrr con jrrnto ( len 1l" es c()mpzrcto si y s<ikr si es cet 'r i rdo y ¿rcot¿rclo. El con-jtrn-

to [0, | | t :s celrackr porque c()nt icnc al 01'ul I . Si no lo f irera, no podríamos ua-

l l l r) t i r :u lu cxistcnci¿r del prrnto f i io. Para vcr por c¡ué se necesit¿r quer sen ac()ta-

r l , . r orrs i r lc lcrrros r¡ t ró ¡nslr ' íu s i t r rv i í ' r 'a l l los l lna f un( ' i ( i r r r l t ' f l r r i r l¿r < ' t t lor Ios los

l . I l . , , r , ' , ¡ , r r l t ' l pul l t ( )

i l ) l ' r r rb l r l qu( ' tn l l ) l lnt() f i jo <lc la I r rnci í rn t ' l t r , , r , l . , , , , , , , , , r , r ( . ¡ l ( . r r1 lt '<¡rr i l i l r l io r lc Naslr .

i ) l ) t t l i r r : r r r ros Jt t ' i t t tc ' r - r l r rna f i rnc: i í rn ( luc sat isfa(( ' l i rs, , , , r , l r , r , , r , , ,1, I r . r rl ' ( ' l l )a( l ( ' l l t rxvt ' t ' . 1) t ' t lotc l l< ls laplolxrbi l i r laclckrquec' l i t .sr , , , , ¡ r r , . , ,1, , , 1, , ¡ , , ¡ (st t .7ósi t r t l t t 's l l ' t t t t 'g ia corrro r t r , ( . r ¡ ) = rn¡¡ . l , t t l i l l tc i r in qlr( ' \ ,un, , , r , l , 1, , , , , r , ,nr . lt t t l : r t< l i l l l l i r l t< ' i r i r t r l<: cstrat . t 'g i l ts tn ixt¿rs t ' r t M1' la cnr ' í¿r l I ( 's l t rn.r¡¡ , , , l , r ( r ( ,

l :NI-- ; r l f .Sca/ j ¡ laprobabi l i r lad<lucasiena./ala7ésirn:rcslrr l (1,r . r ,1, t / , , , , , ,j r ru:r<lor ' . ( lonsir l í ' r ' t 's t ' ( ' l l t ( )n( ' ( 's la l i rnci í r l r c le l in ic la por-

l i ¡ (n) -, / i i + n)axl0, l iu,(rn , , .s ¡) - l , )u,(nt . ) l

lLr , , , + rnax{0, l iu,( .nt , , . r , ) * 1, i r r , (n)} l

r l tr trr lc cl . i rrelrclor '¿ t ictrer / t¡ cstnttcuias pul ' i ls: s¡1, .r¡: , . . . , . \ ih¡\, nt .¡clenot¿r las cs-t lutegi lrs nl ixt irs segtr icl¿rs p()r t()( l()s los.. iuutrclores cxcel)to cl lé,sirn<t.

N()tcl l)()s ct jnlo clecit lc est ir f trrrci írn quí ' probabil idacl nsignal a la 7ésinr:r( st l ' l r tcrJia ptrra clcl- irru¿rclor lésimor c() l l lo f i rr-rci írn de rrn:r contbinaciírn clc es_lr ' : l teg-i f ls t l r ixt l ts ¿rt ' l t i t t-al ' ia, iz. Fi jó.r lonos prirnclo cn el numer.aclor.. Si l :r estr:r-tcgirt Jl t trn cotrsiclerad¿r lc da al jueacl<lr i un¿r rrt i l ic lad csperacl:r lna\ '()r que la( \ t l l r t( 'Qin rnixt:r <1tre estaba rrt i l izanclo espccif icirda en n, le su[l i l r ] l ()s a la pro-l , .r l ¡ i l i<lucl quc se cstaba :rsignirndo a csta estrateuia prrra, r l7r¡ la cantidacl posit i-r .r / ' . i r ,( l r ¡ , .rr) - l i t r¡(nr). Fln caso col l tmri(), no le sunramos nacla. El clenomin:r-r l ( ,1 l ( ) l t l : t t l ts¡r t t t ls losl t iu l t t ' r 'osr- t 'sul t : t r t lesvl<lsnclr tnal izapirr i rq l lesl lnrenl ln()

| | ( ) l i l \ l )E Tt- ' l r ( ;OS: S[.r APl, lC]A( l l ( )N EN F,( l ( )N() \ I I ' \

r( ,n( r. ( ' f i ' ( t ivamente , una distr ibución de probabil idad. Es clarcr

/ . rsr r l t ' l i r r i r l i l es l lnA lunci í tn de M a M. Notcmos quc M es t ln

r olrt i t ' l ' rc ¿r su f iontera-, claramente :rcotad(), y col lvclxo

\( , r l r ( ( r . r r ¡ r r t / ( ' r ic() I l t inu: l : lasf i lncionesnlax{x,-r-} ,sumaYrestasol lr o i l r i i l r r . r : r , l i l t 'norrr in¿idor s ie l r lpt 'e cs cst . r ic tanlel) te p()s i t ivo. l l t l -

I . \ l ' , \ l t icrrc t ' l i ' t ' t ivan)ente ul l Pt l l t t ( ) l i jo: cxiste rncn hI ta l qt lc

F,S' I ' I I ' \ I I ( . I \S \ I IXTAS

L, . , \ . ,

, , .s, \ - I .u,( tn) l / l 1 , , , ' , , . ' , ) - / lu,(m\ l t t , , :

t l

h,

l l t iu i { r r , , .s,)- Eu¡(m)lmax{0, / ' r r ur , t , ) - Eu,(nt) l1- l

Nol.etnos qt lc cl lzrclo izquielt lo clc I¿r al l t( ' r r ,r ( \ l )r t 's ir in es igu:r l :r , , .r , ,

Pucs:

91

)max{O,(zr

r i7 . ' \ l rOr l r ln()s l r i l ¡ r r ( )s ( l r l ( ' ( 's t ( ' pr lnt() l l j ( ) ( ls t l t r

punt() f i jo st ' r ' r r r r r ¡ r lc r ¡ t r r ' . ¡Xt t ' l t tor l t l l i cn { y Para

rrr , , * r r rax{0, l iu,(r t , , .s,) - lüt , ( .nr) l

+ nr¿rx{0, I iu,(nt , , . r , ) - 1f . i r , ( l r ) } l

k,\-r

Nol t 'n los t ¡ t r r ' )1 i , ,

I . t l t < lo l t r l t ' :

l ' l

cqtr i l ibr io <lctod() .r)('n ̂ \¡:

Nasll . l , l t r t trr

Ít¡¡

h, i ,

\ - , , . \ - , ./ lLr t , l t t t , . . \ t l -

I ' , t t t lml l i l , t LLi l , lnt t . . \ t ) i l t , ti l

/ ¡ r t i r i t f l r ={)t l

' l

. ¡ ¡ ¡ , l , ' , l r l : r l t t t t t ' t ior SLu-nl I t ( ) l i . r , r l r , I n( .g: t -

I u i ) l ' . t t ¡ (nt . ) > 0,v es i tu:r l . r r crr¡ s i

l r ¡ , l r , ' , l r r lu( ' lastrrn¿rtc l r iast ' l r iqrr . r l . r r t ro(r r , ' , , l , r i r . r l t rcparatockl . r , r . r r . \ , . ¡ r : r l r

I t r , ,

sZ-/t l

+t

k¡

l iu ¡ ln) lzr , ) nrax{0, I iu,(n, ,

) - 1iri, (rn ) I max{O, .fil' (zr ',

.r,

l )o l ' l l tn l .o, c l l l t r l< l r lcrccho ( l t ' r 's . r , , r l r t : i r in es ta ln l ) i ( .n r , 'u.r l , r ( ( ' l ( ) :

l l l ' i r t , { , , , , , .s, ) - I lu, , ( t t t l l r r . r r l l r . l ' . r r , (nt , , , ,s,)_ lür , ( t r t l \ t t lt - |

tn, , l l + nr¿x{0, I ' ) t . , ( r r t . ¡ , .s,) -

r r r rx{0, l iu, , (n.-¡ , .s ¡) -

t ' ) r ¡ (m)l l -

l i r t , (n) l

N<lt t 'ntos ( i rn lb i í 'n quc cada slnr l

t ivo: t 's ( 'st l i ( ' t :uI l( : l l1() p()sit ivo r i i / ' . / /

l , , tr ,¡(n ¡, .r ,) - 1, iu¡( re) < 0. Por tantr¡, t l

i r r r ¡ r l ica r¡ t r t ' t .o<los krs strurand<is s, , r '

tor lo I cn ñ

r t 's{ l rnt l t ¡ r /¿; ; ( l ( : t l t l l lx)s la<l<ls <t l l ( t ' t l t ' l l t< ls

k,

rr, , ) rnax{0 , l i r t ,(r tr , , .s,) - l i t t , ,(rrt) } = nrax{0,/ l

r r r r r l t ip l icarr<kr ahora ur l r l ) ( )s laclos ¡ror ' I l iu¡(n-¡ , .s,)

l ' ,u,( tn. , , I t t t : t

Ahot 'a l t icr t , ¡ t t t t 's toquclat t l i l i r l . r r l , . ¡ ' , , , ,1r , ¡ r r , , ' l r l icnecl . juuador lésirrr<rC()t l t l l l : t ( ls tn l t ( 'g i : r t t t ix ta z i ¡cs un:r r r r ( i l r | 1, , , r ' ,1, r ' , l , , l t l l ts t r t . i l i< l¿fc lCsque ol>t ic: t tct :ot tsrrst :s l l t r t t 'g iaspuras,<Lrrr , l , l , ' ¡ , . ' " ,1, ' , ,1, ' r ( \ \ ( )n l : rsprobabi l idar les

<¡t t t ' : ts i t ¡ t l t r t i , l t l : rs r l is t i l t t l ts cslr : r l r '1 ' r , r . ¡ , r r , , I r ' \ t t , l t ( .g i l t r r r ix ta podrá

1l t '<rptrrc iot tz l ra l . i t l r ¡adol ' ¡ lésirno un:r r r l r l r , l , ' l , t I t t ( ¡ ¡ ) ;

I iu,(n ¡ , r r t , )< I ' ,u,(rn) l ) : r r . r r . r l , l ¡ I , L¡ | l ,

s,) - I itt,(rn)l =

) - ht,(rn)l

sc cumplc para cada estratcgia pura j del jugador

ecll¿,rci()nes correspolldientcs a estejugador, obtG

l i t r , (m , , .s , ) - l ' )u i@r) l

- l iu¡(n)I t t ' t tc t t tos

l l iu¡(m. ¡ , . r r ) -

l l "u,(rn , , s ,

, ,1,r ¿t 'n,V

,, , , r r r r r t : l l srr ut i l idad,

' l r , , r r l : r cn l i t cotn-, , l , r ¡ n) ,scf 'ect iva-

Esta dcsisualclnd nos cl ice c¡rrt 't 's l r t ' radl t r ¡ t i l iz l rnr lo ur)a csl r l r l ( ' t i : ll r inación clc estratesiar,¿ - ( r i ¡ ,

rncnl( ' r r r r < ' r ¡ r r i l i l r r i ( ) ( lc N- l tsh.

t t ,

l

, t , ,La anterior ecltación

lí 's i lno. Si srrrr-rarnos las Á;

n( ' i l1{) : , i :

1)2 I I ( ) l t l . \ l )1. : . l t rE(;()S: SLr , \ l ' l . l ( lA( l I ( )N I iN.- l l ( l ( )N()Nl l ' \

Btut. tor ,n u i . t

l i rnr l r r i r r . l ' , . 1) ( l1 lSl) . " l i r t i ( )nal izablcstr i l tcqi( 'behavior" , I i tn.onel t ' i .m, i r2,¡rp. l (X)7-

Io ' ls .

[ ] ; rsrr . K;rrs l r i l . ( l111) l ) . " l l r t " l l 'aveler 's I ) i lcrnr l¿r: l 'ar¿r<loxcs of R¿rt ion: t l i$ ' i t t ( iarr lc

l l rcor r" . \ t tu ¡ t t ,nt l . t rnot¡ t i ( I l t t t i¿u, 84, 2, pp. 3!) l -1395.( , : r ¡ r l r . ( i . \ l , r r r r r , r . l . r r r , l r K. ( ioer, Rosar i<¡ ( l í r rncz r ' ( lhar lcs A. I Io l t ( l { )1)9), "Atrorrr : t lot ts

l l t ' l l r r i r ¡ r i r r , r l r : r r t l t t 's l ) i lerr la?", , I t ¡u ' r i tut t l ' , tonomit / l¿zr i ¡ ' ¡ r r ,80, i t , pp. { i78-61X).

! r r r l t ' r r f r r ' ¡q. l ) r I . l i ro l t ( l \ l ( , l l ) , Onnu, ' l 'hror¡ , t t r r I ' r t 'ss, ( l l i ¡nbl i< le( ' , N' fassacl l t lsct ts.

Kl t ¡ rs. l ) . ( l1)1)r)¡ . . \ ( l ¡ t t r .u ' in . \ l i tnuononr i t ' l 'hntr¡ , l ) l ' i t t t ' t ' tot t L l r l iv t ' rs i lv I ' t ' t 'ss.

I ' t ' :ut t ' . 1) ;n i r l (11) lJ l ) . "1{ : r t ion:r l izulr leStrategicRcl l tv iot 'an<l t } l t ' l ) r r ¡ l r l t ' t t to l l ' t ' t ' l i ' t ( iot l " ,

l ' . t onotnr l ¡ i r t t . 5! . ¡ r ¡ r . 1021)-1050.

Slrrr l r ik ( 19¡1 1), Ountt ' l l ¡ t t ¡ r ¡ i ¡ t I l t t Sor io l Sr i rnr t .s. Ootr t r ' l t l .s t t ¡ ¡ l Sol t t l iot t .s, r t l l l ) l t 'ss,

( larnbl i r lgc, NIass¿rchttset . ts.

l . .JUEGOS DE SUMA CERODE DOSJUGADORES

l ' istc r:apítrr lo t 'strr r l t ' r l icurlo a utr t ip() cle. jrreeos crclt t .r '¿l les ctr l trla Tcor' ía r lc. jrreruos: aquéll()s t :n l()s quc l l () h¿ry ninsun¿r posibi l i rr

lx ' r '¿ lc i ( in; cn l ( )s ( l r rc l i r t i r r ica l i r l rn¿t c l t que rul . j ru¿ad()r pucde a,l l i t ' r r t 's t : r r ' ( 's r ' ( ' ( lu( i ( ' l l ( lo t : l < l t 'su r iv i r l . Son los l l l rnrados. jucg()s de'( l r \ , ( ) l l ( )n l l ) r ' ( 'sc () l ' ig i l l i r Cn l ( )s. j r r t 'uos ( le l l resa, c l t d()ndc l i r g:rnl , , ,j t rua<lor- r 's r r r : t t 'sar- ianlol l t ( ' l i r 1t i ' r r l i r la r lc srr r i r , ' i r l . [ )csprr i :s c lc , '

r ¡ur ln lont( ' los. j r r t 'gos <l t 'srrnru ( ' ( ' l ( ) y sus [ ) : r r i ( ' l t tcs, los. j t rctg<ts de sur,t r : , cstrrr l i l t r r ( )s un¿r l i r l l r ra r i t i l <kr an:r l iz : r r l<)s c lu( : inv()hlcr i t e l ( ' ( ) l l (

t r ' : r t ( 'g i r rs <l t ' s t 'grrr i r l t r<1. l ls tc r :on<'cpt() l t ( )s pcrnl i t i r ' i r cnunci¿11. 1)() : i t ,: r luunlrs culacl t ' r ' ís l i t i rs ( lu( ' sc ( unlple n s<i lo plrr ' : r estc t ip() r ler . i r r t 'er ,l i t l r r r srr ar)¿i l is is.

. f t r t , : r :ost) t . t st Nl i \ct . . t { ( ) , ( r )Ns1.\N' fE, \ ' ISI l t , \ i l . . ( ; t \s l ) l s t , ( , t r i t r r \

l ) r f i r t i r iot t : r r r r . j r rcgo<k'r los. j r rga( lorcst icnesrrrnlr(( ' r ' ( )sr i / r t \ r . \ , ) r

l)1i l ' l r l ()( l() .r¡ r 'n . t¡ , \ ' l ) tu'a 1.0rlo . l¡ cn ^\, .

I ' i t t tur . j t t t 'uo ( l ( 'sul l l l ( ' ( ' r ' ( ) , ( u l ln( lo rrrr . juulrc lore:rr l r . s i , . r r r ¡ , r , ,oI t r , . ( r ) i l1() ( ' l t < ' l s i r . l r r i t . i l l t . j t t t 'g,r :

LTrr . j r rer¡ ;o c lc srrnr:r ccLt¡

. f rruarlor-2

Iuyrierdtt

frruurlor I Ar-r ibaALrajo

70, -7(l80, -80

i r l l , ( l

lo l f l

Prrcsto que cn un. juego de srrrna cero la ut i l ic lacl del . j r re l r r lor . l r . . , , r ,

t ' l t t t 's^ l t l i r , r r l t ' l r t r r t i l id¿rd c lc l . j r rgador l , es r :ornírn esr-r ' i l r i r s<i lo l : r urr l r , lj r rg l t< lor l :

r , l , l , l

f ,a rnatr iz ( lrr( ' r ' ( ' l )r ' ( 's( 'ntrr ( 'st( ' . j rr t 'go incl icir sír lo la trt i l id¿rcl clcl . iu¡4aclor I '

Mientras que cste.jusador tratarir (lc nlirxinrizarla, eljrrgaclor I tratará de rninirni-

tan'la.( lonsiclercrnos ¿rl lora el sigrr ientc. juepJo. Dos empresirs l t t t :h¿rt l p()r trn l l rer-

cackr f i jo y al gcrcnte cle c¿r<la rrnir <le el las se le ir tstrtryt ' P:rra ( l tr tr sc Pr'(-oct lp(lsíllo por el porccntirje dc r:st'rncrca<kl c1trc obtt--ng:t. (l¿rda gcrertrte ¡lttt:dc tl)lultc-

ner la tecnol<tgía con quc erlabor:r srr pr<l<lrrt : t .o actt laln)ctrtc <t cl t t l rbi l t l ' l t t t l l i t

tqcnolqgía alt t ' rnativa. Si dcr: ider c'arrtbi lr , ¡ trrerlc t : l t :gi l la tcctrologí:r 7l o la t t '<'-

¡61rlgía 7,. ( lacla tecnologí:r i tnpl ica difbrentt 's ( 'art l( : tot ' íst i( tas r lcl pro<ltt t ' to.

( lrn l i r tccrrología ¿x'trr ir l , l i r t ' rnpnrsa I t iene la rnit :r t l t l t ' l I trcl 'c:rdt), pcr() t( ' l l -

r l r í i r solo 40 por cicnt<l si Ia t ' rrrprt:s:r 2 c:anrbi:rr: I l la lc( 'r l ()kruía 7l y 4l-r por

cicnto si c::rnlbiara ¿r l?r tccn() l()gía 72. [ ,a sistt ientet rr latt ' iz l l l t l t ]st l '11 t 'ótt to str

rep¿rtc c l rncrcado par:r cadn par r l t ' r l t 'c is iotrcs ( t 's c lccir , lzr r t :Jr l t 's t ' t t t i t t iot t

rnatr icial clel. j tre:go) :

LJrr. lrr t 'uo clc srrt t t l t ( :()t lst: t t l t t :( lcr-etr t t :2

il'Iant,¿:nn I ' I

.JIJF.GOS DE SUN,IA (IERO DI.l l)( ): i l l ( ; \ | )r , l l [S

cle mercado quc obtengas menos cien". Si r ¡ r : r r l t . t is ión era mejor que ot l : lc t rando no restábarnos 100, lo c lebe scqrr i r s i t . r r r lo:r l rora, porque cien es algtrquc restar-ernos nO importa cuál de l l rs r los r l t .r isiont 's tomemos, cs decir, l i rtrueva función de ut i l idad - la que () l) tcr ¡r ' rrr,s r t 'st lul( lo cien- reprcsenta exac-tarncnte las misrnas prelercncias qrrt ' l rr rrr r lcr i , rr . , \ l dt f lnir la ut i l ic lacl de la enl-prcsa 2 de esta fbrma equivalentc t( 'n( 'nr{)s:

LIrr juercl r l t 's¡urr : r ( ( ) r rs l i ln l (( l t ' r cn t r ' l l

lo l r l

i ( l : r l

( l t ' rcr t t t ' l

\ t , t . l ( , - \ ( ,1()N F.N L( ' , ( )N( )NI l ' \

rr i rr t 'eo clc sttrna cercl

Irrg:rclor 2

IzEñrda l)cnch.a

\r i l r . r\ l r . t ¡ r r

7080

ir040

'12

Mantcncr'l ' l

7)¿

15, - '15i'0, -50IO. _10

50, -5020, -2070, -70

Irste . jrrego n() satisface la condicir in pirra ser un.jueeo de strma cero. Sin

embargo, sí cr-rrnple que la srrma de las ut i l idades de los dos j treaclores es i f l t lal

i r cien para toclas las col lrbi l laciol lcs de estrategias: u1(. l l , r¿) + rr '2(s1, .s2) - 100

pirra toclo s¡ en S¡ y para todo .s2 en ,92" (lonsideremos la siguiente modihcación

cn la forma en que hemos definiclo l¿r ut i l idad que obtiene la cmpresa 2. Reste-

rngs 100 a la ut i l idad que obticne erl todas las cornbinaciones de cstrategias

¡rosi l t les, El cornportamiento de la err ipresa 2 no se alterará con esfa rnodif ica-

< i r i r r . ¡ ror .<¡rr t ' ( 's ( ' ( ) ln() s i r l i jér t r rnos al screntc, "preocúpate sólo dcl porccntaie

I ' is t t l . i t re lu<l sí cs c le st l lna cero. l ' l t l gt ' r r t r l r l . r l , l i r r r r r r , , . r , l r , , ' ( , < lc strn)a( '()nsl:ultc cler la siguicntc rnanera:

I )ef in ic i t i r t : t r r r - iuego cler c los. juuadores t ienc s lun.r r ( , ¡ , , r . r r r , . r r rs r , , ) *z2(.r¡ , 12) - ¿: , s ietrc lo ¿:un nírmerc¡ rcal , paratodg.r¡ r ' r r \ ¡ , r l ) . ¡ , r I , , r l , , r , r . r r \ , .

l , t ls . j t regOs t le st tma c()nstal l tc se pt teden transfolrr l r r ( n lu( '1r) . , r t r ' \unr,rt 'eroec¡tr iv:r lentcs,y loquccl igamosparalossegtrnclosser.a¡ror csr¡r . r l r r l , ¡ r . r r . rlos J;r ' i rncros.

A c-onti trrtaci<ir l real izarer[ l()s url t ipo dc análisis apropiado par' :r Ios jrrr. ! , ,s<lc srttna ccro, cl i l 'ere nte zrl que hemos venidrl real izando hasta ahora. l , lstr ' :rrr: il is is cotrt iert lzi t corl el conccpto clc cstrateai irs de segtrr idad. Para expl ic.trr. r ' lc()ncept() clc estrategia de segtrr iclad, o estrategia rn¿rximin, pongá¡¡6¡e5 ¡-¡¡¡cl l t¡gar del gerente I y suponqarn()s que se prcpara para lo peor. Este gerenteasrrnrc trna visi írn pesimista ) ' sc cornporta como si todo lo que no está bajo sucontrr l fuese a octtrr ir clc la peor fornla posible para é1. Rirzonará entonces clela siquicnte rnanera: "Más v¿rle qlre sea consen,aclor v rne prepare para el peorde los escenarios posibles. si , por ejemplo, decido rnantener Ia tecnología ac-tual, voy ¿r suponer que el gerentc 2 tomará la decisión que rnás me perjucl ica,cs decir, elegir 71, lo cual rne de.ja cc¡n 40Vo del rnercado. Si elijo ft, voy asrrponer que el gerente 2 elegirá marlterler y me de.jará cort 20Vo del mercado.Finahnente, si elijo Iz, uoy a suponer que el gerenre 2 elegirá rambién 72 y merlt ' j i rni r '<rn s<i lo r0o/o del mercado. Por tanto, mi decisión se redr¡ce :r elegirnr:ur l ( 'n( ' r r r ¡ r r r '< l : r r r r r t ' < ' .< ' tn 40%,, e leUir 7 l ,v queclarme c<¡n20%,, o el t ,e i r . 7, r ,

'l'2

( lcrcnt t ' lMante rrcr

't'l,I-,,

I'r0, 5020, u070. 30

40, tiO30, 7035, (i ir

+lr , l ) : )

I'r0, 50t0, 90

9796 I I..()t{_\ I)L lL t.(;OS: Sr. APt.tC.\Cr()N r.l\ Fl.cO\()Nf l.\

( lu( ' ( l :u l ) l ( ' ( ( )n 101,. NI i nre- jo l decis i r in es ent()nccs rnantener l¿r tccnología ac-

trur l , l r ¡ ( lu( ' n l ( ' ls( 'uru- i r '10 por c icnto".

l , t r t 's t r r r l t 'g i : r r l r r t ' t ' l iec c l . iueador l , s iguicnclo el razotrnrnicnto lut te l i r ) r , sc

( ' ( ) r r ( ) ( ( ' ( ( )nr() su t s l l l r l t r . l i l r l rurx i r r r i r r , ( ) cstrategia de segtrr idat l , v l¿r r r t . i l idacl( l l l ( ' s( ' l rs( '11-ru i l < orr l l r l ( 'st l l l tcgia cs srr r '¿rlor dc scgurir lad, o r '¿rl<lr maxir l l in. For-

rni t lnr t 'ntr ' , ¡ l r r ' : r o l r lcn.r ( stu L\ l r i r tcr t ia srrponcm()s que t- l . j r rgador r ival e ' legirn

l i i estr ' : r tcgiu r¡rrc rrr i r r i rn i r ' ( 'nuestf i r r r t i l i r lad. l i l j r reu<lor l , por c jcmpl<t , sr tp<tn-

<lr í r qtrc punr crur l<1rr i t ' r ' t 's t t ' l t icgia , r1 en . l ¡ , c l . i r ruar lor 2 t ' l t 'e i la . t cn ^\ , r ¡ t t t '

solrrc ionc c l Jrr 'o l r l t ' r t l t :

)lli¡ ,,,{', , ',;Hn rrrrcst . r ' r ¡ e ' jcnrplo, c l gclcnte 2 sol t rc iorr t ( :s l .c pr() l ) lcrrr i r t ' l iu i t ' r r t lo ' / l s i

c l gcrcrr tc I e l i i ¡e rnul l tc l lcr ' ; l l l iu l tcncl 's i c lgrrrentt ' I c l igc ' l ' t , \ "1 '1. s i t ' l gct ' t ' t l t t '

I c l igr ' 72.

l l l . i r re i r rkrr l . Pot 'st t partc, c lcuir ' í r . r ¡ ct t S¡ [ ) i l l : l sol t t t ' iOttat- :

nt,. l , l i ¡ ] rr1(r,, i ,)

Firr c l c jcrnplo arr tcr ior , la rcsolrrc i í r r r lc cslc ¡r t 'oblct t ta l lc 'vu l r l . j t rg:rr lo l ' I r t

t:krgir la cstritttx¡ilt nllln tcllc r.

F, l gcrcntt: 2 ptrc<lc tanlbiérr cr)c()ntrar sl l ( 's lr l l logia r lc scgtu-i( la( l tr l t '<l i l t t t-

tc rul laz()nanl i t 'nto s in l i lar ' : "Ml is valc quc sl l l ) ( )nglr r l r r t 's i ck:< ' i< lo I t l I r ) l ( ' l lc l ' ,

c l i t ruarkrr I e legim Tu r . 'obtc:nclr 'é -70. Si , crr c:rrnl¡ io, t ' l i jo 71, t ' l . i t rgr t r lor I c l t -

g i lu nrantcncr v obtetrc l t '¿ ' -40. Fi t ra l tnetr tc, s i c l i jo 71,, c l . i t rua<lol I t ' lcei l r i 7 ' t

I 'obtcnch' í ' - i r0. NI i < lccis i í rn cs ( 'nt() l l ( 'es ontrc rnirnt( ' t r t ' r '1 'o l r t t ' t tcr -70, 7 l v

olrtcnt:r ' -10,v ' l ' , t v obtcne r '- i rO. Me corn,icrtc rnirs 7l y obtt ' t t t ' t - '10. l)or tarr-

to, l i r cstr ir tcgi ir r l t : scgr.rr- iclacl r lcl . i rru:rr lor '2 cs 71, lo r lrr t : k ' : tscgru'u r lnir tr t i l i r lacl

clc -,10.

! 'orrrralrnentc, la cstratcgia <le segur- id i r r l r l t ' l . i r ruadot '2 cs la t 's t l l t l t 'g i r t r " t ' r r

, l , qrre soluciotr:r cl pr-oblertur:

i l:llStlu'(if iz)

En nuestro ejemplo, la estr-ategia 7l solucionir este probletna clcl . i rrga<lor 2.

Notemos, ¡r irra relerencia f utura, qrre t irrnbién poclcnros cnr:ott t tar lu cs-

tr'¿rtesia cle scguriclacl del.ir"ruaclor 2 fijírnclonos en la utiliclacl clel.jtrgaclol l. Al

vcrlo r le esta fbnnir, sír lo clebcm<)s tener prcsente qrre maxirniz¿lr una f irnción

t 's lo nrisnlo c¡tre minimizar cl ncgativo de csta f rulci írn. Etrtonces, e I gcrcrtte 2 es-

t lrr ' í l i l r l t ' r ' r 's:rrkl t ' rr minirrr izur la ut i l idacl - la ctrot i t de rnercaclo- clcl gerente

| . l ' : r r ' ; r ( 'n( ( ) r ) l l l l srr ( 's l l i r l ( 'u i : r <k 'st 'gur i r l i r< l razotr¿rr ía c lc t 's ta f i r r rn i r : "N' l r is val t t

JUI ' l ( ; ( )S l ) l l St lN. l , ' \ ( l l r l { ( ) l )1, l r ( ) , j t r \ t ' , , t l

( lucsupongar¡uesic lecic lonlantcner,el . jugador l r ' l tsrr . r / , r , , t , r , r r , l r . r io Si .cn carnl l io, e l i jo 71, el . j t reudor I c lcgir ' í r mantencry() l ) t ( n( l r . r l r | , r r l ¡ . , r r r rs i c l i jo 71,, er l . iueat lor I e leeirá 71 1 '<lbtendrá 110. Mi decis i<lu r : , r , r ¡ , ! , , , , , ,t renr¿urt()r)cr-1 'dejarqrre I obtengaT0, ' l ' lyc le jarqucol) tenglr lo.r / . r , t , ¡ , r<l t tcobtct tQi t50.Mccotrv iencnrírsTlconlocrr¿r lsr i loobt icne40. l ' r , r t . r r r t , , t ,cstratt- 'gia clc segrrr id¿rcl dt: l jueador 2 es 7l , que ¿lscqura quc el gerent(. I rr , , , , t ,{ t : t ' ts¿t rtr t is cle 40. Vié¡ndolo cn té'rnl inos clc l¿r rrt i l ic lacl dcl. jugaclor 1, la t .slr .rr,sia cler segrrr idacl clcl j trg¿t<lor 2 soluciona el pr<lblerrnzr:

Yi¡l YJ'f rr¡(r¡' r')

Notcrrros qlr( ' l ) :u 'a cnc()nt l l r r -srr cstrntcgia c lc sct l tu ' i< l¿rcl , r rn. j r rgar lor-con je-tu l ' i t ( lu( 'c l o l ro. i r rg¿r<lol hará lo c¡rr t 'nr í rs lc pcr- j t rd iqrrc, y sc prc[)¿rra par: t c l lo.; ' I ' i t 'nt 'n st 'nl ickr ( 'sl . trs ( () l l . jct l l r : ts r ' ( 's l)cct() a l :rs ¿rcciolrr:s <krl <ltr .O.j trga(krr? L,ntrt t t t ' l tos. j t t t 'e()s. t l () ; los r lerrr irs. jugaclorcs t. l ' i i tan ( lc rnnxitnizar srr propia uf. i l i -r l¿r<1, t to r l t 'pt:r ' j rr t l i t ' i t r t los. Sin embltrgo, err trn. jrreeo clc strrna r:cro, l¿r írnicaIot ' t l l i t t ' t t r ¡ r r< ' r r r r . j r rg l r lor prrc<lc l l r rn)ent2u'srr r r t i l ic lar l cs redtrc ie nr lo l i t r lc l otrojtrulrr lor ' . I '<l t t 'so ¡rt tc<lt ' tctrt¡r 'scnticlo csta fcrrrnir de haccr c() l l ictrrras. LJn¿t c'¡¡s-t i t i rr I 'c l : tciorl i t t l l t t-ot l lu:ul l .er ior es si cl uso <ler cst l i r tcgias dc scgrrr idacl nos con-t l t t tc ' l r r r r r c '<¡ t r i l i l t r io r l t 'Nl tsh. Etr t rucstro ejcrnplo, t rsanclo cstr : r tcgi¿rs dc scgrr-r i< lur l , t ' l . j r reu<l<¡r ' I t ' l iet .nr¿rntcner, 1 'c l . j t ruaclor 2, 7, , lo cual es ef 'cct . iv¿rr l rcnt .crrn t ' r ¡ r r i l i l l l io t l t 'Nl ts l r . l ,o ar l tcr ior r t ( ) ers nlcr : r casuir l ic lar l , pcro dcl terrros st : t 'crr i r l l r r losos tr l t latar '< lc: gcnc'r i r l izal ' ( 's tc resrr l t i rdo. A cont i r luación ler .enros rrncjcrrr¡r lo ( 'n qu(' las cstr ' :r l r :gias clt ' scgtrr id¿rcl no forrnarr rrrr cqrr i l i l t r io r lc Nash yI l¿rrcrnos r , 'cr- dos r l i f i r l t 'n< i t rs i r r r ¡ r , r ' lurr tes c l t t re los c los t : jcmplos:

Vari irción del. jucuo ( lc l()s gercntes( icrente 2

( 1t nlt ittr i l[unleno

( l t ' r ' r 'ntc I ( l i t rn l r i ; r r 'NIan t t ' r rc r

ll5, -flt'r(i0, -(;0

70, -70u0, -u0

Fin cste. i r rcu<l c¿rcl¿r {rcrel t t ( ' t t r . ' r ' i r lc s, l : rnrcnl t ' ( ' r ' l l rc lnantcnel ' la tecnolo-gía l t t l t igtru o cunrbiar a la t t r tcva. l , ; r t 's t r : r tc l i : r r lc scgrr l idacl c le l . j t ruaf lor I esclunbi : r r , lo quc le proporciona un r ' : r lor r l t st l 'ur r r l ; r r l r l r ' 70, v la c lc l . j r ruacl1¡r 2( 's ln¿lntel lcr , con laque obt icnc rrn v:r l r ¡ r < lc scrqur rr l . r r l r l t . l - i0. Sirr cmbareo, es-I t ' ¡ l l t t ' r l< ' t s l t : t l t 'g i : ts n() es rnl cqrr i l i l r l io <l< 'N:rs l r . ¡ r r r r . r , l r , ( r ( 'nt( ' I cantbiarí¿rr l t ' r 's l r ; r tcr i i . r s i srr¡r icr ' : r r ¡ t t t ' t ' l g( '1.( ' l l t ( '2 i l r l r : r r . l r .1,¡¡ , , , . , , r t ( . , r ( . t N() l ( , r ¡ t r ¡s i t r lc_

' ! t ' l

, , r , , ¡ i r , ' r I r , ' ' i l i l

( ( ¡ r r i l i l r | io c lc N:rsh ctr est l r l tegi l ls Pu-r , , I r r r r l , ¡ , r l . r r r l r ( I ! l l , l t ' j< ' r r i ¡ l l ( ) I ) fevi() .

r l r r r r . rn rrr¡ r t srr l l i r r lo nl , ls f {cr ler i r l en. iueg()s

JLrta(;()s I )1. . sr Nl \ ( I l l ( | t ) t t ) ( ) t i J t r ( ;Alx)RI, ]s

cl. j rruador I rrsa srr cstrateqia dct s<'q r rr rr l . r , | 7t, r sc asegtrra al menos una uti l i ( l¿rdespcr:rc l i r c le 11l , es c lccir , se curn¡r l t . r ¡ r r , .

, t r , r r ' l i , ( 1,¡ t i r l : r r l 4,s, . ,,1, , r , , r r r r r ¡ r l r . r ¡ r r t ,

99

,1, 1,, , ,1, Lr , . r r , l , . . , ,1rrr i r l : r r I l rc(-esi l r ia lnenl .ef i ) rn lar i l t ln

l , , ' , r r ,1, , , I ¡ ' r , ,1r t , r 'J . r r ' , ¡ r r i l i l r t ' iot ' l testrat tg i i ts l ) l t fa\ \ ' . lc-r r ¡ r r r l r l , r r , , ,1, ' . . . r

( t l ) t ( ) ( ,un(nl( un, , ¡ r r r l r l , r ¡ , , ,1, r . ¡ . l r { r r r ' , l r . r t lq i . ts l ) t t lasl l tC( 'st t l ' i l tn}entccsta-

r ' : i tonst i l r ¡ i r l ( ) l )ot urr¡r . r r ,1, ( , t r , r r , " r . r ' , ' l ( \ ( r ,u l i r l l r r l . I ts t .osfcsr l l ta( lossol l t l l l

c i rs()pl l r ' l i (u l l l ( l ( l r tsrr l r . r r l , , r ¡ r r , , r l r t r r r r l r (nrr) \ (nt ' l s igtr ict l t t t i l l )ar t : ld()( l l ra l l ( l ( )

permit i t l r ( )S qnc l ( ) : i . jugt i r l , , rcs rrs, r r ( \ l r . r l ( r , r . r \ r r ¡ i r , l ; ts , l ) ( ' i ( , i t l l t ( 's ( l ( ' l l l ( )s l l '2u '

este casonutsgel tctralha{¡ l rn<lsr t t t ' r r r i r l l r ( l ( oI | : r r l i lc l t ' r lc i l t i t t tJ t<l t tat t l t ' ( ' l l f l ( ' ( ' l

l )r inlcr. iu()g() v cl scgun(io iueg() clc los gt 'r t ' r r tcs- l ' . r i t l l ) l i lnclr), t ' l . i r ruatlol I st ' Jx r-

r l ía a,scr-{rrrar ul l : l cu()tu de 10%, (r:orr srr e stmtcgi:t l l l lul l ( ' r lcr ') , r ' t ' l . j rrertr lor 2 ptxlí l t

l rscr¿lt r ' :u' quc cl. jul l i r( l ()r I n() pas¿rrí:r clc cse nl isrr i0 '10Í{. (corr sl l ( 'st l ' t l1( 'g i l l 7l ) . Y

ósta t 's pr( ,c is l rn l ( 'nt( ' l¿r cu() t t < lc rncrcu<lo ( lue ()bt ienc c l . j r ruat lo l I crr t ' l t : r l t r i -

l ibr io <lc 'Nash. F.n ( ' r r rn l ) i ( ) , ( : r r ( r l sct¿tr l l ( lo. i r rc¡¡o t l ( ) se Pr()( l t t t t ' ta l iQtr l t l< l l r t l : l t r

quc cl. iuf lad()r I se l)uc(lc lrscr. lrrr ' ru n() cs i{-tuul l l r¡alor quc ( ' l . i t tg-a(l()r '2 l) l l ( :( l ( 'asceur¿lr ( luc c l . iug¿rd()r I l l ( ) s() l ) r 'o l )¿rsi ln i . Fl l . j r ruackrr I sc Jr t r t ' t l t ' l ls( 'gt l r l t l ' l l l tA¡¡() t : r d( ' rncr(a( l ( ) dc 70(/( , (con srr cstr i r t ( 'g ia ( lunl) iur) , lxr l ) ( ' l . j t lea<krr '2 st i l t r

I ) r . l ( ' ( le ascr¿unlr ( luo c l . iur ia( l ( ) r ' I l l ( ) pr lsc ( l ( '80%,. ' lar¡r l r i í : r t csl t : l ' ( rst t l t : r ( [ ( ) l ] ( )s

prcpirra I ) :u ' : r l ( ) ( luc ()( l r r r i rá cual)( l ( ) pcrnl i t rutr()s el t tso t l t ' ( 's t l l l t ( 'g i : l : i t t t ix l l ts .

l ,s l l t . r t t . t ( ; t , \s l )1. . st , t ( ; t t iu) . \ l ) \ l txL\s

Rc¡r lo<lrrc: i rcn)()s l ( )s ar{¿urncnt.()s r lc Ia st : t ' t : i í rn i ln l ( ' r i ( ) t ' , [ ) ( ] l ' ( ] l l l l ( ) r - i r I ) ( ' r ' l t l i t i ( t t -

do c l t rso <l t 'cstratcgias l l l ix t . i rs. Sca,\ l ¡o l ( ' ( ) l l . j tu l t ( ) t lc t :st t ' : t t t 'g i : Is I l l ix t l ls <l t r l . j t r

sa(l()r. i , 1):trrr I = l , 2.(krnstnrv¿rm()s prirncrl) la t :st l i r tcgi¿r r l t 'scettt- i t lar l dt ' l - j t rgatkrr l . l ' ist t ' . l t ruatlor '

srrp()n(lrá qrre p¿rrzr cual( luier cstratcgi¿r put i \ í1, (f l . iugacl()r 2 clcgir i i 11 cl l Me

qrrc s() luci()no el pr()blcrr la:

Mrn"l.u,(p, q)

Haciendo e I supuest() antcri()r, el. j rrua<lor I elegirír /r cn M' qrlc nt i txirrt i ( e

su ut i l ida(l esperada, es decir, qt lc s() l trcioltc:

{,Yt.i #l¿ Eu'(P' 4)t = v t

Un¿r estrategia p"s que soluciona el problema anterior es una estrategia des('slrrid2r(1, () maximin. del jugaclnr l, y la uti l idad esperada l/ l que obtiene elj r rg:r<lor I cs srr val()r ( le scgur i ( lad, o val()r rnaxirnin. L,nfat icemos ql l ( ' ( t l : t r l ( l ( )

p,,rre,,r,,s ,,,,..,, ,,, '-,]:" , ':;j ]- ,,,, ',

; ::

^";.or

ra,nbión se prep.-r¿ pirra kr ¡ teorv sup()nc r lue el- jueaclor I t . l , . r , i r . r / r<,rr Ml que rninimice-I iur(p,17). I lacierrc l t ) ( 's t ( 'supucsto, e l igct r /en r l1, r ¡ r r , . r r r : r r i r r r ic :ct su ut i l idad espc,racla,cs r lccir, quc solrrt : iol le :

t l l l l l ( 's t rat( ' t l i l r r / '3 qtre solr tc ion:r c l probl t ' r r r : r : r r r t r . r ior ' ( 's r ¡ l : l estrat t :g i r r ¿est 'gtrr i r l l t r l , o rn¿rxirnin, r lc : l . j r ruaclor 2, v la rr t i l i r t : r<l t . : ¡ r r . r : r r l r r l r2 que obt i t : r r r : t : l. i r re: tckrr 2 cs srr v i t lor r ler segrrr ic lar l , o r , , i r lor lnaxinurr .

lLct 'ot ' r l t ' t t r<¡sr¡ t t t ' l ravur l i r f i r t tn l r .¿r l tc ' rn¿rt iv¿r<l t ' lornrrr l : r r t , l l r r .oblerrn:rr lc l . j r r -e1r( l ( ) r ' 2. ' l i 'n<'rrr<ls r¡rrr ' :

i ) l ' r r la tor la r¡ , s i p ' minirrr i r . r t ' . r r2( l t , 17) , entonc:t 's / r ' r r r ; r r i r r r iza t iu¡(p, q)l)()r ' ( l rr( ' l ' )u1(l l q) cs cl rrcs¿rt. ir '<> <lt ' I ' . rr . ,(p, 17) ¡r:rra torl : t / \ ' I) l r . : | (()([ l 17. 1t_,nc:rros( 'nt() l lccs r¡rrc la (()njctur¿r pcsirrr is l : r r let l . j r ruador 2 pucrk. f i r r nrrr lar .sc colno elsr t l ) t r ( 's t ( ) t l t 'c1ut ' t ' l . j r r ¡ radol I < ' lcqir : i l : r cstratcr¡ i¿t f t t ' . r - t i \ ,11r¡rr t ' r r ¡ rx i r ¡ ice l i .u1.( l t t : l t r r lo t : l . i t re1l( l ( ) t ' I tnaxi t r r iz : r srr ¡ r r , , ¡ r i l r r r t i l i r lacl esperar l l r , < 'st : i rn in imizalrc lol i r t r t i l i r l¿<l cspera<la de su r iv l l .

t , I )u l ' i r tocl : r / ,s i q 'mirx i r r r i t ; t l . t t . , r / / . í ) , ( 'nt()n(:cs17'mirr i r r r i r . . , r l ) ty( l ,q) .1- .1I 'azonlunie l t to cs c l tn ismo ( lu( ' ( 'n ( .1 ( , rs( ) ; rn l t . r - i t l . .

[ )c los<losl lcchos¿tnter i<t tcss.r l r r l r ¡ r ( ( l r r ( 'un: l f i l 'm¿ral tern:r t iv : rder lef i -I l i t ' t t t t l t t ts t . t ' i t tegi : t de scgur i r l l r l r l t l ¡ r r r , . , ,1, , ¡ ' ) q 1(.() l ¡ ( ) ¿l( l ¡e l la que s1¡ l ¡<t ig¡a e lpt 'olr lcnur:

; ) t ' ,1 ' ) ' l , t

" t ¡ ' ' ¡ ¡

Firralnler l tc l ,pt lcstoqtrcf i r r ¡ ( / r . 17t I t t t l ' , l t , r r .n( t 's<' l y¿lor{escsur ic lzrdr lc l

- i r rgar l<¡r ' 2 t .s:

\ r '= Nlrrr \ l r l t t t t , , , tt l t \ t | \ l

Erl fat icemosque cuando t ' l . j r r r ¡ ; r r l , , r ' r ' , , r ,: rs( ' lJ l rnt qrrc t ' l . i r ruador I no olr tc l r r l r . r nr . r . , I l i I

l ' . r t t( l t . t l '*) < |

r t " l l , l I l1.r) ' I \ t ' t I ( \ct( . ) \ t .N l . lc() \ ( ) \1 lA

I I r r , , , r , ) ' . t ' , I \ I l i l I ( )S \ ' \1.() lL l , ls l )1. Sl l ( ; t 'Rl l ) ' \ l ) .

l l l r , , l , t \ r \ t ' t t \ l t \ t \ t \ \

l ' , , , , , , , , ' , l ' , , r r , ' ( , r , r r r , , . ' r l r l : t r r t i l i r l : r r l cspel '¿r( la Pala ( l l . l t rga<lol l . l ,s t t :

1r , . . ' r , , r (1,¡r , r i r , r r , r r , . r r l . r r , I ¡ r r l , . r r lot ' ) t l t t icre tn i t r i r r r iz¿rr l : r . Si t l>ctr t t ts c l t rc

r l1rrr , . r , l , , r | ¡ , r ¡ , ,1, r . , , ' r r .u,( r r r . r ut i l i r l : r t lcs¡ l t ' rar l¿r l / l ,s t t \ ' t t l ( ) r ( lcscgl l l ' idad.

l ' , r l su l ) .u l ( . ( | ¡ r r , , . r ,1,)r ' '

l r r ( , l r . r : r l ,ur t tst r l ( ' ( l r le c l . j r rgtrc l<l l l t t t l t lbtct lga

nl is l r lc I : ' .

Rt 'srr l ta ln¡ \ i l rstr t ¡ r t i ro :ut , t l rz.r t l . t t t l , t t i r . r r t t l t te gt l i r r ( l i r t r l " l v - l ' : en ( l ( )s

ct : rp¿ls.Lasiguicrr te l ) l ( ) l ) ( )s i ( i ( ' ) r ) ' ' r rosr l i rcr¡rr t l ; r r r t i l i r lar lcs[x ' l ' l l ( l i lqrrct ' l . i t rga-

rkrr I ¡ r t reclc r is( 'grrrarsc cs l r )e l l ( ) l <¡ igruLl : r l r l r lot ( lut 'e l . i t tgr t<l() t 2 l ) t l ( ' ( l ( ' l ts( tgt t -

rar ( lue cl. j rruarlor I no Podrí l s()br() l) : tsl l l ' .

I)ntltositilirt : trrI < - 1":.

l ) r ' r rcba: lx) t ' ( ' ( )nstru( t ' i< in <l t ' l / l v l ' /2 t ( ' t t ( t l r l ( )s ( l t l ( ' :

u) l . t t t ( l f ' \ . / i ) > I I l ) i t l : t lot lo,Tt t t , \ / . .

b) lh l (p, , ¡ ' f l ) < - l ' : ¡ I r | i r lor lo 1.r ( : l r i l ' l l .

I )rrcsto ( luo ¿) sc ( ulnJ)l( ' l ) i l r i r t(xl() r / r ' rr 1l lo, s( ' ( 'un)J)lo ( ' l l l l¿trt i ( t l l : l l ' l ) i l -nr r ¡ ( s. ¡ \s int isnro, ü) sc t ' r r r r t ¡ l lc ( ' t l l )1t l ' t i ( t l l : I t ' ( ' l l l l t l ( l ( ) P = l r .s, c l t ' r lorrr l< ' I ' / l (

l i t t r (p" 'x, y ' , r . ) < - l ' . . (Q. t1. t ) . ) .

La proposic i<in unlc l io l t .s intnt :<l iuta: n() ( 's p()s i l ) le ( lu( ' ( ' l . j t t f¿r t ( lor I ¡ t t r t ' r l l tl rscf{r l rursc t : icr ta rr t . i l i r l l t r l t 's¡r t ' r ' l r r l l r ( I l ) , n,r i t r tJtol t . : t qt t ( ' l laf{ : t st l l ' iv i t l , v ¿ 'st( '

¡r trr:<l lr ascqurlrrso ( l( ' ( lu( 'r ' l . j rrulrr lor I rro ¡ lasc r lc < i t ' r to vlt lor l t lc l l () l l r l l . St 'r ' Í i t

c orr t r : rc l ic t<>r- io. [ , : r s iurr icrr t t ' ¡ r r r r ¡ rosi t i r i t t , t ' t '<¡ t t ic t t ' I l lás t : l t t l to laci í r r l . Nos t l i t ' t '

( luc el l ( )stc t ip() r l t ' . j t rc:eos, la ut i l i< lar l cs¡rct ' i t r lu ( l t tc ( ' l . i r rgar lo l l o l r t i t ' t r t 'c ' t l

tor lo er¡tr i l ibr io r le Nastr cs igrr:r l al vulor que pu('( le : Ist)ul l t-alse, qt l( ' t t stt \ 'oz ( 's

igual a l \ ' : r l ( ) r ( lu( 'c l . j t tu i t r lor '2 l t t r t : r lc t lscf- l t t r¿tr t ¡ t t t ' I t t l r solr t ' t ' ¡ rast ' .

Prr lxt .s i t i í r t : c l l t ( ) ( l ( ) . i r rceo l l r r i to dc sr ln l¿l ( 'c l ' ( ) ( lc ( l ( )s pcrs() t l l Is st '<: t t t t t ¡ t l t '

t ¡ t te Vl = -1"2,v qt lc 1i?11 (¡ i ' , r i t ' ) - I ' r si (7lr ' , t , ' r ' ¡ t 's tr tr t :<¡rr i l ibl io t lc Nash.

Pnrcba: I)()r cl Tc() l 'cnra dc Nitsh, cxistc un (:qui l ibr i() dc N-asl l , cs ( lcct ir , t l l l

p:rr ( le estratc{¡ ias (p'r, ,1') t :r l quc:

i1 l ' ) \(p'k, t i t ' ) > l iul ( / , r¡r) para t<>cla p cn M ¡, v

i i) l ;u1(p*, q'k) < I iulUt*, q) para todir gcn M,.

I l . .s l , , t ,s eqrr i r : r lcnt t ' : r c lecir qrre el jueaclor 2 ¡rrre<le ascgl l rarse Lrna tr t i l i t lar l espt ' rncla c l t ' 1" .

: l . l rs s igrr i t ' r r t t 's Jrr oJrosic ioncs st¡rr r ' : r r i l rc iones rk ' los r t 'sr t l tat l t ¡s dc \k l t t NcLtrn¿tnn ( l92i t ) r

\ i , r r \ r 'u l r r ;urrr r \ ' lo lgcnslcnl ( l1)11).

.Jt jFt( ; ( )s l )1. \ l \ t . \ c l . tR() l ) [ tx)s Jt ' ( ; . \ tx)RLS

Tenel l ros ah()ra quc:

l ( ) l

t '=,Xlil ¡)' ' i; '

tf r¡)'t l j ' i i t iu/Nt'q"') =

l ' ,ur(p ' t ' , f ' - )=,Yi l1 l ' ; t r , t f t , ¡ t ) ' l )

, ' r , r r / r ¡ ( 1, . t ¡ \=Vl

Lasigt l l t l ( la( lcsr l t ' l t lscxt fc l l t ( )ss( ' ( unr l r l r r r ¡ r , , r I r , l , l r ¡ r { r , 'n (1, . I l r \ ' : l l . : r

¡ t t - i tnt ' r ; tdcsiet la l ( ladsct t t t r tp lerpor( lu( ' r 'n.rrrr l , , , I ' ,1, , ,1, I r , l , r , ' r . r l r l , r , l t , r ,

rn<rs l : r f i r r rc i í ¡n Y: l I ' " t ' ( l ' ' ' l ) , rur- , l¿r r l i l i ' r< ' r r r r . r r t r r l . ( , , , I t r , t , , | (1, , , , , , t .

t ' l t 'g i t t losrTt 'n i t l r< l t tct t t i r t i r l icccstal i rnci í r r r , r r r icrr t r . r ' ,1r , , r , ,11, ,1, , ,1, ' , ,1, , ,( ' \ '¿t l t t : l l l l ( )s l l f r rncion ( 'n uni l í ( ' ( ) l l ( ' l ' ( ' ta. Las ckrs ier¡ . r l r l . r , l , . ,1, | , , , , r , , , , ,1,

l rct l t t las Jtrrr¡r i t '< lur l t 's r l t ' l t ' r ¡ r r i l i l r l io r l t ' Nash. La pl i r r r t ' r i r sr r l r 1, , r , ¡ , ¡ , ,1

<l l t l r ¿¿) Fir l l t l r t t t ' r l t t ' , l¿t st 'gt t t l r l l t < l t 's ieu: l l ( l i I ( l sc dcbe l r ( lu( ( 'n . rnr l , , , . I r , l , , , l , I r

r l< 's i r - r r r : r l ( l : r ( l r ( .ncnr()s l r r l rur t i , ln ) t l1 l "" (1"1),c<¡t- t lar l i f i ' r lnr

i . r r l , ,1rr , , r , , I

l l t r lo<l t ' t t ' t l lot ' l t 'g i l t tosf icrr , ' \ . l t ( l l r ( ' r r t : IXi ln i<r ' l l r f i rnci í rn,rrr icrr t r i ts( lu( (n{rr . r

<lo izt¡rr i t ' r ' t l<¡ r '1, : r l rurnlr¡s l t r l i r r rc i<in c l l u l l¿r / torrc l t ' ta.l ) t ' t 's l l tsr l t 's igrut l< l l< lcs, . j r rn lo( ' ( )n l ' ' l<- l ' : ,scsigrr t 'qrr¡ I / l : - l ' : l . t r l t f t

l , '). ((¿. r,r. l).).

l ' l l v l r lo l r l r rc ' t ' l . j r ruar lor l sc l )u( ' ( lc ls( 'gr lnu, i r l í ' l r t ico i r l \ '¿r l ( ) l 'qrr t : c l . iuunr lo l l ,

l ) t l ( ' ( l ( ' l ts( 'et l l ' l t l ' ( lu( ' I l ( ) sobtt ' ¡ l ts l rn i , s( ' ( ( )n(x ' ( ' torrro r ' l v l r lo l r lc l . j r rc{r() , \ ,csl( 'r ' : r lo l cs l : r r r t i l i r l l r l t 'sPclu<lu r¡rr t 'o l r t icrrc t ' l . j r ru:r<lor ' I r :n to<lo cr¡rr i l ib l io c lcNtrs l r . V:r l t ' l l t J t t ' tur l l ¡ tet t t t , l l r t Crr r1rr t l ¡ I r r tc c l t ' l : r r l t ' r r r ( )s l r ' : r t ' i< in st : lurr : t ' r rs<rr lc <1rr t ' t 's t t l t . j r t t 'eo r l t : sr tn l i t tct 'o. l is to ()(urr-( ' ( ' ruu)( l ( ) sc af l rnur <1rr t 's i (2 ' l ' , r7 ' l ' )t 's r r r t t ' r ¡ t r i l i l r t ' io r l t : Ni ts l t , ct t totr t : t 's qr ' r r r i r r in l iza l l t r r t i l i r l : r r l cs l tcr- i r r lu c le l j r r

srrr lor l r l r r r lofr ' i ' , ( 's( l ( ' ( ' i r , l ' . r t , ( l t ' : ' . f ' )=) ] l l l

l iu,(1t t ' , r ¡ ' t ' ) .

La s igrr i t ' r r t t ' ¡ t r 'o¡ tosic ion cst : r l r l t ' r c l i r l r rc lutbl : l l ' ( l ( ' ( 's t r i l tcgias rkr sceu-r ic l¿r<l r ' l t l t l r l r t l r lc cqtr i l i l r l ios t l< ' \ : rs l r t 's l r ¡ n l isrrro cn los. j r rcuos cle srrrnir cer<rr l t ' t los pcrs()r) i ls .

l ' t t t f t t .s i t i r i t t :<t l t ls ic lót 'cst ' t t t t j r r r 'g,r l i r r r t , , r l r : r r r r r . r , t ror l ( ' r l< lspct 'sort i ts.s i la

t ' r r l t rb i t taci<i t t r l t 'estrat tg iusr l t i r t : r r \ f t . r ¡ t t r t t r f t r r r \ / ¡ r r7t . r r , l / , , t ,srrrrcclrr i -

l ibr io de Nasl l , c l l t ( ) l tces f . r ' : ' r 's t r r r : r cslr . r l r l r , r r l , , ( " r r r ( l : r r l r l t . l j r rg l r r l r t l l , r . ,r ¡ ' r ' t 's t t t t t t t 's t t 'atcgia c le segtr l i t l l r< l r l t l ¡ r r r ' , r ,1, ' r ' l i , , r ¡ , r . r , r r r rcrr t t ' . lor lo ¡ tat 'r l t ' t 's l l l t l t 'q i : ts<l< st 'gt t r i r l l t r l , t t l l t ¡ l : t l t r : r r l : t ¡ r r r i . r r l , , r ¡ ¡ , r r r ¡ t r r \ r r l r , r ¡ r r i l i l l r io<l t .\ . rs l r

Jt. l l ( ; ( )S l ) ¡ s l \ l \ ( I l l ( ) l ) t r r ) ( )S l t ( ; . \ l ) ( )R[S

Llr I r : r t : r I l ; r < l t ' los sexos\ l r r jcr '

l'utl¡ol

103l l . l ( )Rl , \ l ) l l l t rU(;()S: Str . \Pl . l (1, \ ( l t ( )N LN- E( l ( )N() \ I tA

I ' r r r r l ¡ . r : r ' , r ( / r ' r ' , , f ) . t t r cqui l ibr io c le Nash. Srrponpamos que fr* 'n() es uni l( \ l r . r t ( r ' r . r ,1, : r 'qrnir lacl c lc l jugaclor l . Ef i tonces:

l . l

)t, l i #Ul l iul(p, r) ',Nll l l iul(p*,q)= httU¡*,q*)

<lon<l t l . r ¡ r r i r r rcr , r iqrrr l< l : r r l sc ' r : r rnrplc por r lef i r r i t ión c le l '1, la c lesigualc lacl

lx)r( lu( ' / r ' r ' r ro cs unir ( 's l r ' : r t ( ' r¿ia de segrrr id¿rd de I , y l : r sceundir i ¡ ;ualc l i rc l por-

<¡rr t ' r ¡ ' r ' t 's l r r r r rc j r ) r r ( \ l )u( 's l r r r lc l . j r reaclor 2o l r* . Pero Vr > I iu l (p*, q l ' ) cscotr t ra-

c l icho ¡xr l l r ¡ r ro¡rosi t i r ' )n lnt( ' r ' i ( ) r ' . Por tanto, p* c lebe ser una erstratcgia dc

scguriclarl cl t ' l . j rrg:r<lor l . l 'ol rrrr r-:rzonantiertto :rnír logo poclcmos probar qrtc

r f es una estrat( 's i : r t l t ' scsrr l i< l r t r l r lc l . j t rgaclor ' 2.

Recípt 'ocarnente, slr[)() l lgantos l t l t t¡r l t quc] f .¡ 'cs, r l '8 sort cstr ir tegias <le st 'gtt-

r iclacl dc los. juuzrdores I 1' 2. I ' lntonccs:

o) Iiul(lt"'s, 17) > Vp:rr:r todo rTcn ,'1.'lr.

b) l \(p,,¡ ' !{) < I /para todo / cn M¡ .

I'trcsto cluc rlc ¿r) se sisrre rlrre l,)r¡(lr*t', r/(s) > I{ l'<le ú) sc sigtrer qtrc 1',r^r, (7r"s,

, / ' t t) < V, tcnetrros t lrre 1', 'z¡ (2"s, r¡ 's¡ = l , ' . Rctttp[tzalrt lo Vc¡ a) y á) tencr¡¡¡s( luc:

u') l iul(p" 's, q) 2 I ' )u,r(p" '*, r¡(r i) parir lodo rTen Mq.

lt ' ) l |u1Q,,¡"s) < l iu,r(¡.* 's, r¡(r.) [) iu'a lod<t f t en .tVl ' .

cs dccir, á) rros dic:e quc dado f ' 's, la est.r¿rt.egia 1rs( ' !{ es la rnejor que puerdc rtsar

cl. jugaclor I ¡ rcc:íproc:an)cnte, a ) nos dice qrre dado 1;" s, la estratcsia d's cs l<r

mcjor quc ptrcclc har:cr cl . j rr¡;ndor' 2 , por lo que (¡r" 's, r¡"s; c()nst i trr lcn tur

cqui l ibr io r lc Nash. (Q.E. L).) .

A las dos proposiciones antcriorcs, consiclcradzrs conjurrtarrtcrtte, se les

conoce corno el Teorema del rninimax, y clc clla"s sc clcrivan clos c'irr¿rcterísti-

cas part icul¿rres de los. j tregos de snma cer() quc no sc curnplcn parir otros

-jucgos:

l) En trn jueuo de slrnla cero de dos pcrs()nirs, si hay más clc rrn cclui l i -

brio clc Nash, el. jugador 1 obtendrá la misrna ut i l idad esperacla en todos cl los-1, lo rnisrno ocurrirá con el. juuador 2. Corno e.jemplo de que est() no nccresir.-

i j : l l ]1,", . t 's rtsí para ot los i treuos, considerernos el. iuego de la batal la de los

Irn estc. j t rcgo tenenlos r los t '< l r r i l i l , r r , , . , l r ' \ : rs l r l c¡r te los dos I ' l t \ ' : t r t , t l lut

bol ,vqrrektsr losvay¿rnalbir l l t ' t . I ' r ' ro l . r nnr l ( r . ¡ r , , r c ict t t ¡ r lo,obt iencr l is l int . r ' ,

r r t i l i r lades en l<ts dos eqtr i l ibr ios. ( ) l r t icnr ' | ' ' r r . r r r . r l l r : r l lc l v 1 s i van ¿r l f i l t l r , , l

l l ) ( ) t ro l lc t : l lo r l igno de rcsl t l t : r r 1 l t l , r : ¡ t t , " , , . r l ( ' ,uur,r ( 'cro c le dos pt : ts<r

l t : rscsqucl i tserst . r 'a l t :g i¿rsclecqtr i l i l r l iosr¡rr i r r l r r , , r r ¡ r l ¡ r , r l , l .s . t t ra lqrr ierest l 'at( '

g ia de scgrrr ic lacl del . i r ru:rc lo l l , c t t cot t r l r in.rr ion ( ( , r ( r r . r l r ¡ t t i t t t 'cstrategia ( l ( '

seeur ic lad r lc l . j t rea<lor 2, fornra un ct l r r i l i l r r io r l r ' \ . r : l r \ r ¡ r ' r r tnt t ' t t te el . j t regocler la batal l¿r r ie los sex()s const i t l lye un bt t t ' r t t j t ' r r r ¡ ,1, , ,1, , l r r ( ' ( ' : i t ( ) l lo ocurrc

nctcctsar ia l r rcntcc ' l l los. iuegosdcsrrrnavar iablc. . \sÍ , ( l r r t l ¡ , ' l . f r r l l l r ¡ l ) t ' r t tueqtt i -

l ibr io, y (bal lct , b i r l let) es () t r -o cclui l ibr io. Sin embalso, s i ¡ rcr nr t t l ; tnr()s las estr¿l-

teui:rs clcl . ju¡¡ lrr lor I cn ambr¡s cclui l ibr ios, terrnitrarcrn()s ( ()n t ' l ¡r tr r lc estrate-

gias (bal lct , f i r t l ro l ) v ( l i r tbol , b i r l lc t ) , quc I r ( ) son eqtt i l i l>r ' ios r l t ' Nrts l r .

B¡ l ¡ t . r<x;n, t r . í , r

\¡orr Ncrrrnann, l . (1921J), "Zur theorie r ler ( lcserl lschirf ics¡r iele", Malhcm.atisthc . ln t tal.¿¡t. ,

l (X), p¡r. 291'r-320.

-- r, ( ). Nl<rrscr r stcln ( I 9.1,1) , 'l'htor¡ ol ( )a mts u nd lircn r¡¡tit Bcharior, Plirt ct:ton t.ln ivcrsitr

I ' r 'ess (24 e<I. 1047).

Horrrbrt I i ' t ¡ l l ro l

l l r r l lc t

.t, I0.0

l t , ( )

l . l

5..JUEGOS DTNANTr(rOS(]ON INFORMACION ( ]OMPLE,TA

Fln l<ts capít rr los :ur tet ' iot ' t :s hcrnos estrrr l iar lo jr r , r-¡, 's t , r l l r r ovimien tos sirnult ír-l lcos, donr lc ( i r ( la iugad()r ' tom2r rrna. c lec ' is i r i r ) s in t ouo( ( ' l - las decis ioncs der losrl t ' tni is I cl c:ott i t t t t t t) ( lc t()das l i rs clecisir-rncs clt ' l t ' r ' rrr inlr l l r rr t i l ic lad ckr cadajrrua-<lor ' . l ' ls to t l l r t r -c i l t ' l I i r ra l < lc l . j r r t 'uo. Los. juuaclor ' ( 's r lun( i r rnus interar: t í ran. I tnrcal icl :rd, la t l larrrt ' í : t dt ' l ls intcracc:iones no cs ck' ost( ' I i l )() ; t 's l losible ( l l rc crr l t l t -< lo rrrr . j r ruar l ( ) r ' l r ( ' tú( ' \ ' l r ( ( )n()7( l l la decis i r in dc r l t |o, r ) ( l l t ( . l ln() ( ) l l rars. jugl l ( l ( ) fcsI t t tút ' t t I l t : is t l t ' t l r l l t \ ' ( '2. l )o l t ' jc tn¡rkr , < los enrpr-csrrs ( ' l l un ol ieopol io no st i l<rf i j t rn ¡ t r t ' t ios l tot ' ; s : rbt ' t t t l t t t ' tcncl t 'utr c¡rrc f i jar preci()s t l rn l l r i t ' r r cn el f r r tur-o 1 ' , a lr lc 'cir l i l si n' lxr jurr cl ¡>r 'ccio lrol, pala gtrrr ir l lc cuol.¿r r{e rrrcr-< lrr lo a srr l iv ir l , tonuul( ' l l c t t ( : l l t2t la posi l t lc r t '¿r t : t : i t i t t t lc cstc t ' ival crr e ' l futuro. , \s in l isnro, un gol t i t ' r - r r<t( l t lc i l r tP() l tc i t t iulcclt 's a l i rs irrrpoltaci() l lcs rkr otro país ( l( ' lx ' l l r l l iz¿rl no s<tl : t-l l l ( ' l l1( ' los t : f ct ' tos i t t tnc<l i i t tos sobr-c cst i ts i r r rJrortnci<lrres, s in() la l tosible r-erac:c i<irrf l ' t ' r r t t ' u csl l t rncr l ida l ) ( ) r ' partc r le l país af cctackr.

A t otr t i r t rutc iot l r ,ct cnlos ul) l I f ( ) l rn l l r r r lc<'rrar la t lc ' rnodcl¿rr ' ( ,st( ' t ipo c lc s i t r r : r -( i ( ) l l ( fs, la l l : r r t r i t< l r t " f i r l ' t l l l t cxtcnsiv l t " r lc r r r r . j r rceo, c¡rre rr : i r lza c l orr l t 'n ( 'n ( luc sct ' t : l r l iz l t t t l t ts l tc:t ' i<¡t lcs r ' la infonl l t t i í rrr r¡tr t ' se t icl l ( ' cuando sc l ler '¿rn :t c¿rbo.\1t : t 'c l l ros r l t tc t ' l ( ' ( )n(( 'pt() c lc c<lrr i l i l r r io r lc Nasl l s i { r r rc s icndo r i t i l cn cstc t i l l<r<lc. j t r t 'eos l cs ¡ursi l r l t 's( 'uui l usr in(k¡ l r ¡ . Sirr t ' rnbargo, hav rrnn idci t c¡rc no prrcr lcl ( ' ( ' ( )Q( ' l ' , v t 's cst ' t t< i t t l c l t este t iPo <l t ' j r r t 'gos: l : r r : rccl i l> i l ic l¿rr l . Par i r i l r rstral t 's tec()n( ( 'J) t ( ) , l )c l lsc l l l ( )s ( ' t l la s igui( ' l l lc s i tu;rc iorr . l ' -n rrrr Jtrrcblo h:rv rrn¿t sola l ' l r r rn¿r-t ' ia. Srr tht t ' i t t ¡ , r ¡ r ter v ivc r lc c l la, sc r l : r r ut r r t . r r I t ' r ¡ r rc prol l r l t lerrrentc sc cst¿r l t lczcaot l ' l t f ' l t l t t l : rc ia, lo <¡t tc oc: l ts ion¿rt ' í l r ( lu( 's l r \ l r t 'nt ' l ic ios supl 'a l t ( ) l ' ln¿I lcs sc r .otrv i r ' l i t 'I l l l l c l l I lot ' l t l t t lcs. Pal ' l t cv i tat ' lo, t l isctrr i r r : r t l r r r r r ror ' ( lc qrr( ' , s i cf cct ivnrncnle sc 't :stal t l t t -e l i t t t t tcva t r t t ' lnat : ia, cn l ( ' l ) ¡ t s.r l r . r r ( )n l ( 'n l lu al a vctrdcr t .< lda l¿r rrrcrcal l -cíaatni t¿rt l r le l c 'osto. ;Seríal ln( ' l l ( ¡ r tst . ¡ l r l . rcr l l r l )u( ' \ '¿r l ' t r l rntrc i : rcnel l )ucbl()¡ l t te t t r l ¿t t l l t ' t t t tz i t? No, port l t tc ( 's l l r :un( rr . r . / , r r r ) ( s r r t ' í l t lc . L l t ra vez cst i rb lccic lala t rLtevi t I¿t l r l l i tc ia, c l r l t rc i lo t lc ' l r t l r r r t igr¡ . r l . r nr . r r i . r sc i t ' r ' í l r pcl j r rd ic i tc lo s i cur l r -

¡r l iC|a srr ¿rrncnl lz¿1.

l t rn¡ t t 'zarr tc lscst .ucrt l ) í tu l ( ) ( ' ( )nunr ' ¡ r ' r r r ¡ ,1,)( lu{ r ( ' . , . , ( r \ ¡ r . r l l t laexpl icat ' los( ' ( )ncePt()sclc i r lc l t rc<' i< inhl tc ia l l tn is\( l ( lor r r r . r , ' . t i r r . r \ . r , l r r r r r j r r t 'go.Postcr iot .t t t ( ' l l tcc lcf i l t i r t roselcol tcct l t tor l t ' t ' r l t r i l i l r i r ' ¡ r r r l , , t , i i r , r r l , ¡ r r , , , , ' ' . r ¡ r rcst . lecciort l

: t r ¡ t t t ' l l r tst ' r ¡ r r i l i l t r - iost lcNashqu( 's l l l is f : t ( r 'nr ' l r r , lur ' , r t ¡ ' . r ¡ l r , r , , r ¡ , r l , l , l . r t r r '< l i l t i l i -r l : t< l . l ' i l l . r l l r r , r t l ( ' ( ' \ l ) ( ) l ) ( ' l l l< ls<l<¡sl t tor l ¡ l , ,sr¡rrc l r . r , (nr . . , , ,1, , . t , , , , r ¡ ¡11¡¡11¡5 1.1ntor l r '1, , ,1, , ' l r , ' , , l , , , l i , r r l t Sl ; r t l . t ' l l rc lg. t t ' l r r lor l r . l , , , l , n( , ' i ' . r r , r , , r , ,1, l i r r l r i l rs lc in.

l l ) - ¡

106 r 1. . ( )Rí. \ I )L! | t r l ( ; ( )s: st APLl( l ' \ ( l t ( )^\ L.N I ' l ( l ( )N() \ l IA

l ' . ¡ t . rr l t . t i : t t t l t ( iA( t t()N l)t l ( luN'f R( )s l) l ' l I \ \ ' l ' lsr l( ;A( i l ()N

L)os enrltrcsrrs r l t , lx.n t l t ' r ' ic l i l 's i estableccl-strs cct l l tros dc investigirci írn v clcsa-

r-r9l l9 c¡ t ' l r lor lr . ( ) ( ' r l ( ' l srrr. A l¿rs clos les convienc elegir- la tnistr la z()I la P()rqtte

esto f l rci l i talr i str < orrrrrnit 'aciírn v rccülcirá costos; Jrero la elnprclsa I prcl ierc el

l t()rtc \ la ernltrt 'str I I t ' l srrr ' , lo cu:r l l¿rs l leva a tt tra sit t t l tci t in sinl i lat 'a la clc la

Brtt l l . lu.r¿ /a.r.r¿,xor, ( 'xl)Lt( 'sta tutteri<lrr lretrte . Si cacla emprcsi l t() l l la sl t clccisi<in

sin c'¡¡tr1¡¡cer'1a cftrcisiólr r l t : la otr:r, l i r reprcsctrt .ación t latr ici i r l cle estc. irrcgt) cs:

Flrnpresa ll

,\'¿rrl¿, S¿¿r

. lLr l l ( ;OSDIN,\N4l( l ( )S(.() \ | r ¡ ' r I r , , ( ( ) \1Pl_LT.\ r07

( ) l r r ¡ r , r '

t l

( t l ,

Fl l hecl lo c lc r lur : la crnl t t . t 'sa I act í re Jr l i r r r r r . r I r , r ¡ r l , r i \ . r I I c:onr¡zca sur l t :c is i t i l r a l tour:r t ' l i t srr f i r pnr¡r ia, nos ol t l ig:r : r r r ' , r l r , . ' r r r r l r , r r l t , l rn i i l is is c l i fb-rct l l . t l a l atr lcr i< l r ' . La ct t tJtrcsa I I r ro tendrá ( lu( ' ( r )n l { t r ¡ r r , l r , l r ,u l r L Lo s¿rbrírc 'Olrscgt l r i r l i t r l . I )ot 'sr tPartc, lacnrpt 'esalder l ¡ t ' l r r t . r r ,1, ¡ , r , ,1, ( r l : r \ ( . ( )nsctc l le l t -c ias dc st ts i t<:c iorrcts sol t rc lo quc l l l lará el l t ' l l r r t r r r , , I r r . r i , , r r ¡ ¡ . ¡ , , , , , r , convc-ni( f l l t . ( l r l t ¡ i t t t : r l izar est¿r s i tur t ( : i ( in es c()n { : l pt 'o<t ' r l r r r r , r r , ¡ (1, r r r l r r r t io¡ f iacial l ( l r ls .

l \ t r t r r . t , ) \ t t \ ( .1, \ . \ t R\\

I ) : l t . i t : rp l i t t t r et l ¡ t r t tcedi tn i t : t r to c lc inducci í rn haci l r r r r r : r \ . , i , r r r / .1¡r()s l ) ( ) r c lf in i r l c lc l . j t rcgo. Attal izatnos la c let : is ión í rpt i rna c le l . j r r r r : r ,1, ¡ r l l sr l r ' t . r . r ¡ r rg i . l l -cncl nt td<l l ] . Le c<lnviener c legir l l ( ) r ' tc , prrcs obt ienc l ' , r ' r r l r r , , r r r l r . ' , . . \s i r ¡ isrn1¡,enc()ntr 'atn()s ( luc en cl nrrc lo O al

- juuaclor I I lc corrv i r . r ¡ , . r l r .q i r srrr . , qrrc le

prrrporcionlr , le l l l t rgart lc l .Estolorcsal t . : r r r rosel t lagt ; r f i , . r . ¡ - l . r . r r r1rrc:hernosmzrrc¿tclo ct ln l íne¿rs frnlesas las accioners óptimas pur-a t ' l j rrq,rr l ,r l l .

F i l juuzrclor I ptrccle ant ic ipar qtré acción le convt 'nr l r ' : r t ( )nr .u rr l . j r reaclor I Iernc¿rdacaso.Sabe qtresi ó le l ige nortc, laempresal l tanr l r i r in l , , lut l r i r ' ,s ie l iscslrr; l l talnbién elcsirá sur. Es clecir, cl juq¿rdor I anticiJ) l ( lu(.sr t ' l iger nor.te scll lesará a los pagos (4, 3) , mientr4s que elegir sur conclrrc i ' r i r r r ,s ¡rauos (3, 4) .L,sto lo Podemos tradl¡cir qráf icamentc ponicndo B v ( l t onro si l i r t ran nuclostermir lales, asisnándolcs los pagos a que conducir-án l¿rs l l rr)): ls ( luc ¿rntes he-lnos ( 'ncontrado que serán elesiclas (véase gráfica 5.3).

l ' ,1 i r r r l : r t lor I st ' t ' l t f l -ctr ta ontol lccs ¿r una decis ión nnry sel l t ' i l l : r prrcs, evic lern-l ( ' l t l ( l l l ( l , , , , r t t i t t t t '< ' lcq ' i t r to l l t ' . lk 'strrni t ' r rc lo, c l procccl i r r r icnlo f ler inclrrc-

Errr¡r lcsl t I

l lx is{. t :n ckrs cqrr i l i l t r ios r lc Nash on cst.r¿rtc{r i¿IS l)r lr l ts, t :s r l t :ci t ' , ( l t le las ( l()s

crnprcsits st: cst¿rl t l t 'zt¿rtr ctt cl l l () l ' tc! \r qrlc lunb¿ls l t l l la{¡:rtr t l l l t ' l sttr '

(Inrt ttt¡'sitin d in,ú.m i.t rt,

( l lnsick:rcrtr()s ah() l ' t r utur si t l l i tc ia)n ()n ( luc la intcract: iól l cl l trc l l ts cl t t t l l resi ls st l

cla rI t ' f i r¡ l r¿ sc( 'uencial. Lir crrr¡r lcsn I cstal>lerce st l ( 'e] l1tr() J) l ' i t l tcl ' () , cl l l () ( l l le

c()nst. i tuv( ' ur):r dccisi( i l l i rrcverrsiblc \ , ( lc-sptl¿'s, habicnclo () l)servir( l() la loczrl iza-

ciírn ele¡¡ ir l l p()r csta cnrplesir, la cnt¡rt 'esa II lonla st l dccisit i tr . Fin la pr ' ír t ' t i t 'a,

cste ()r( lcn clc r lccisiont ' ,s pucde olrt- ' r lccc'r a múll t . iplcts raz() l1( 's, por eicr lr¡>lo,

p¡cde scr que la etn¡treszr I r l isponga'cle f inurl t ' i iurt iel t t() Pr()pi() ] ' ptrt ' r la i trst l t l¿rr '

sg ( 'cl l tr() de inntt:diat<) rnicrrt l l ls quc la ernlpresa l l r lel t¿ l t t tscar f l tr¿rt lci l t tni t ' l t lo.

L,sta situar: i ín la ()bscrval l l ()s cl l la er í l l ica I ' r .1.

t .st t t I i r r t r ra c l t . tcpt t 's t ' r r t : l l un. j t t r ' t {o se (() t l ( ) ( ( ' (ot t t ( } \ t t l i ) l l l la ( 'x l ( ' l l \ i \ i t '

H¿rcc trs¡ clc lo quc l l¿rmarernos un írr lx)I , quc cs t l l l coniunto de ttr tr los l ' rarnas

co¡ cicrt¿rs curirctcríst icas. l ,()s l lud()s rePrcsctrtatr Putrt.os cn qucl un.ir tgad()r

t() lna ¡ni l dcc:isión o el jucgo tcrrnina. l)e los l ludos l>rotan ralnas, qt lc reprc-

scr)tan las acciones que pue(le clegir cl- juu:rclor quc decidc erl esc nt ldo. En

nrrerstro ejemplo, el . j trego se inicia cttando en el nt ldo A la enlplesa I ptredc

clegir entrer l lorte o sur. Si I el iee r lorte, le toca.iugar a l l el l el nttclo B, en erl

quc pncde eleqir entre n()rte o sur. Si I el ige sur, le toca.i trear a I I ern el nuclo (1,

r.rr t ' l qtK'nucvantcnte pl lede elegir entre norte V sur. El jueuo f i t :r le ct lat l()

r r r r< l6s l ¡ l r l i t rrr l t 's, cn los c¡rtc' se i l t t l ican los paetls cle los. iugadores I y I I , respec-

l t \ ' ,1 i l t ( ' t ¡ l ( ' .

N()r tc 4, 3

Srrr l , I

,,) ,)J. ' , r

10u

-1. 3

ci<in haci l at l l is r ros r l i t 'c <1rr t ' t ' l rcsrr l lar l t ¡ t l t ' la i t t t t : r ' : r t t : iotr < 's qtr t ' las r l t ¡s t ' t t t -

l ) r 'csas sc rrbi t ' l r t i i t l c t t t ' l I tot ' t t ' .

A r l i f i ' r 'cn<' i : r <k ' la i r r t t , r ' : t : t ' i í r r r s i rnrr l t l i r l ( ' :1, cn r l r r t ' lut l l í i r r los cr¡rr i l i l t l ios r l t '

N¿rsl t , r ' lo r in i<o <lrr t 'por l í t r rnos ¡ t l t : t l t : r : i t ' ( 's qu( 'st ' t tb ic ' ¡ l ' í l t t t t ' t t c l I t t is l l r r I s i l io,

t ' rr l :r intcl ix cir irr sct 'rr t 'nt ' i¿rl r '<'srr l ta r lrrc la crtt¡rt t 'sa qrlc t ' l iet ' ¡ tr- irrrt ' r 'o "s<' sl t l t ' t 'ott

lu srrr , : r" : sc rr l r ica t 'n srr l r ruul p lcf i ' r ' i r lo i t t t l i t i l l l t t tc lo r¡rr t ' l r t sc¡4t t t rc l t t ct t l l ) l ' ( 's l l

l l rnt lo I t t is t t lo l ) ( ) l ( l t r ( ' t 's lo r¡ t t t ' l t ' < 'ot lvt ' t l r l l ' : i .

Vt 'n los ( ' l l l ( ) l l ( ' ( 's t ¡ r r t ' l l r f i r ln l l r t 'x t t 'nsiv l t l t ' l . j t t t 'eo ¡r t 'o l lot t ' io l t l t t t t la r lcs-

ct ' i1r< ion r lc r¡r r í ' . j r rg l r I r ¡ r 'nrrr t ' r ' t ' ( ' l ) ( a( la n]() l I l ( ' t t l ( ) , t 'or t t l t t í ' i t l f i r l l l l : t t ' i t l l t t t t t ' l t -

ta, <1rr i ,o¡ t t iorrcs t ic l rc ' , \ ' t ' r r í r lcs sorr los l )ag()s l )¿rt 'a l t rs r l i l t ' r ' t ' r l t t 's i t t t iot l t ls t ' l t 'g i -

<l l rs. l ,o<lr ' ía l )ur ' ( ' ( 'c l ' r ¡ r r t ' l l t I i r lnn extcrrs i r ' : r sí¡ lo s i t ' r 'c ' ¡ t l t t l t at t l t l iz t t l s i l t t l t t iot t t 's

cn ( lu( 'c ' l . j r r t .uo sc rk 's lu ' r r r l l i t <t t 'n l i r r r t ' t : t sc ' t ' r t t ' t l t ' i r t l , c 's r l t ' t ' i t ' , t l t t t ' t 'x t ' l t t1 ' t 's i t t t l t -

c iont 's ( 'n ( lu( 'car l l r . j r ruarkl 'n l l rovc s in conoct ' r ' l r r r l t ' r ' is i< in ( l ( ' l ( ) l l1) . F.s lo t lo cs

:rs i . ( . t , l t t i t t r t l t r l r lo t r ) l t lnt( \ l r ' ( ) t ' j t ' t r t ¡ r lo. p i r l i l t ( ' l ) t ( 's( ' l t l : l t t t t t : t s i l t t : t t i t i t l ( ' l l q l l ( '

las crnpmsus I v l l c l iet 'n s in l r r l tarrr : l rnrc l l tc su rrbicat ' i t i r r , po<l t ' t t tos t l t i l i ra l ' l1 l

srr i l i r :a 5. '1

La l lgtsr lacl ¡ ¡ c l ic l la LIr ' í r l i ra cs ( luc l l t ¡ r ¡ ros c l l t :crraclo los t r t t< los I ] r ' ( i r lc l

j rruaclol l l t 'n rrn r ivalo. l lsta t 's la I irrnra ckr inr l icar t l t t t : <:t tattr lo cl. i tr¡4arl t l l cst ir

c¡ c l l t r r rkr B <l cn t ' l ntrckr (1, no sabc cn tr r i r l c lc los c los cst . : i . Sc t l i te qtrc los

l lu( l ( )s B t ' ( ) ¡ rer te rrc<'en ¿t l rn isnro "coniunt() c le i t t f i r r r l tacir in" c lc l . j t rg l ldor I l . l ' l l

l r t 'cho clc <1rr t : dos nrrc los l ) ( ' r ' tcn( 'z( 'an al tn istn<t coni l l l l to c le inf i r r t r r i tc i t in s iqni-

f ica c¡rrc cl. j r .rearlol qrre lnueve crr cl los n() sahcn cl l crt l t l dc el los csf l- l . IJl l c() l l -

. j t r r r to r lc ' i r r { i r l rn¿rcir in det un. j r read()r es un subcott j t t t r to de los l ) l tdos c l t qt le sc

r)) l l ( ' \ ' ( ,ó1. cnt lc los r l r re no prreclc t l is t inguir . Etr totrccs, ur ict l t r¿rs qtrc c l . i r reg<lr l t , l l r g l l i l i< l5. I , r 'n ( l r rc n() l re 'mos ( 'ncert-rr( l ( ) los l l t tc los B r ' ( l e l l < l l t t r ism<r

, , r : r l r , . r lcst t i l r t ' lo s igt t t t ' t l l t ' :

.JUI i , ( ; ( )S I ) lN,\ \ l l | ( )S C() \ l \ l . r ) l i \ l \ ( l ( ) \ ( ( ) \ l l '1 .1. . l . \

( , t i \ t t ( t l . I

1.3

1. Lit crrr lr l t :sa I t ' l i f¿c cl l trc n()rt .c \ / sur ' .

2. ( l r r rot i t 'ndo la r lcc: is iór l dc l i r crrr l ) rcsir I , lu crrr¡rr- t 'sa

v st t t .

i . l .os Jrauos r lrrc olrt ierncn las cnlpr( 'sus r lc¡rcrtt lert <le

ac:cioncs <lc' las <los ernpl 'esas.

I l ( ) l i l . \ l )U.Jt :h( ; ( )S: St ' APLI(1. \ ( l l ( )N I ' lN

( iu v,r t t 5.2

u( i( )\( )\I L\

()ni¡r<r,r 5.l l

109

I I e l iee elr t rc n()r ' [ .e

la cornbinación cle

I ' i l . j rrr ' ¡4-o t lc l i r glr i f ica 11.,1, crr cl quc hcrnos cl)ccr.r 'a( l() los nrrclos B 1'O en rrn

írvlr lo, rr ' ¡rr-t :st:rrt ;r rrrr. j rreg() en el qtre el punto 2 cs rcnrpl irz¿r( lo por:

2. ' Sin conoccr la r lccisi írrr de la elnpresa I, la ernrprcs:r I I cl i ¡¡c cntrc n()rtc

V Suf.

Fis irrr¡ror.t i rrrtc rr()tur lo sigrr iente . l )esclc cl punto clc vista clcl anír l isis de l¿r

intt ' r ' l r<:r: i<irr cntler l l ts ( ' l1rpr 'es¿ls, lo irnportanter es quc c:rcla cmprcsa clcciclc sin

c() l l ()ccr l i r i rc:t : i r in tornarla por l :r otr¿r. El m()mento cn qtrc cfcct ivanlcntc to-

rnen l irs r l t- ' r ' is iones es i l relcvantc. Pcl l cstc nrot ir .o. l¿r inte r-accir in elrtre l¿rs r los

crnplcs¿ls represerlt :rd¿r en l¿r ¡¡rír f ica 5.4 tarnbién pucdc st 'r ' nroclel¿rdi l supo-

nicndo que prinrero el ige la cmprcsa l I v clcspués, sin cortocer l¿r clecisión cle I I ,

cl igc l¿r enrplesa I. L,sto tarnbién rcprcscnta trn¿r sit tracirfu en ( l l le cada empresa

clccir lc sin conocer la decisión cle su r ival.

L¿r f irrrna extensiv:r de r.ur jucgo también ptrecle rnoclelal si trraciones qrre in-

vt>ltrc:ran el ¿rzar. Para esto, se inclul 'er un ju¡;aclor l lct icio, la Natur¿rleza, qrre

t()nla sus clccisiones conlorme a cierta distr ibuci<in cler probabil iclacl cspcci{ ic:r-

cla pmr,iamcnte . Entonces, cl lando en algírn m()mento clcl jue¡;o ocurrcl l cosas

<lrrc r lr ' ¡r t 'nr lcn del az:rr, esto signif ica qr.re le toca jugar a la Naturalczir, quicrr

r lct i r lc r r r : i I r l< ' l t rs c l is t intas ¿r l ter-nat ivas oosiblcs ocurrc.

110 f t - ( )RlA t)h l Lr l r ( ; ( )S: SL"\Pl . l ( l ' \ ( l l ( ) \ l ' .N l : ( l ( )N( )N' l l . ' \

. f t l . t ;os l \ F()RNtA I. tx l l \sr\ ' . \

A conl. irrrr:r t i r i l r <lt ' l i rr i rnos clc nurncnr rn, is frcncrir l un.jrreuo t¡n fbrrna extcnsi\ ' rr .

l ) t l i t t i t i r) t t : rrrr j rrcr,;<, clr f() l ' Iu:I cxtcl lsiva consta r lc:

1) [ ln corr j r r r r to t l t ' . j r rg:rc l<)res, N= {1,2, . . . , r¿}.

2) L. ln conjrul t ( ) ( l ( 'nrr i los v arcos sin c: ic: l r is ( l r . rc p¿ut( 'n r le rrn solr¡ nrrr lo

i r r i t i r r l l t ; . rst : r lo: ut t t l , , r I i rutk ' r . I

l ) Una asicnacir in clc carla nu(l() l l () f lnlr l u rnl . j l lgl l ( l ()r ' , r ' sr i lo rrno, r¡rrt '

c l t 'c ir lc cn r l l .

l1 L. ln l c lasi f l< ' i rc i<irr c lc los nrrdos r l t ' r 'ar la. j r rear l t r r crr torr j r r r r tos r l t ' i r r l i r -

rnlr( ' ia)I I .

5) l ; r r l is t r i l r r rc ion r l t 'pr 'ob:rbi l i r lar l cotr c l r r t ' la Natrr la l t 'za t ' l ige ( 'n l ( )s I ru-

r l , ,s t ' t t los <1tt t ' lc lo< ¡¡ . j ¡ ¡g;¡¡ .( t) I tur", t , curlu rrrrr lo f irrul, la rrt i l i<larl r¡rrc l t ' r ' ibc c2r( la. iug2r(l()r.

l i r r los. j r r t 'uos en f i ) r ' r I )a ext . t 'nsiva t .anr l ) ié 'n sc pue( l ( ) hablur ' (1t ' cstr l t r ' { i l ls .

Flsto cs inrportante p()rqu() si poclenros especif icirr todns lus cstrategi irs ( lr .rc t icnc

a su ( l isp()sici írrr cada. jrrearlor ' , l lal¡r 'ernr()s t .r '¿ursl i)r 'nrad() cl . jucg() 2r su t i)rma cst.r ir-

tógic:a, lo r l trc rros pcr-rni l i r-á lurc cr- rrso dc los cont cptos r¡rrt ' hctrros clt ' 'sart 'ol lacl<r

pir l i r tul t :s. lrrceos.

La i r lca r lc un:r cstr '¿r tcgia (prrra) es la s igrr ient .e. Srrpon{at l l ( )s c l r rL ' t rn. j r ru:r-

clor 'prcf iclc n() tcncr'( lu( ' t()rnar'<lt ' r ' is ioncs preci l) i t .a( lalnente clrn' :rnte el truns-

crrrso clcl . lucg() cn r luc part iciparír, y por cso clabora trnns instnr<ci<,rt t 's ¡rrt ' -cis:rs l ,nrtry conrplctus ck'<'t inro. jrruar. [ i rr cst: ts irrstnrr:ciortcs rto r l t ' j : r tr i la nrírs

Ir t í t r i i l l r t : t r r r l ¡ iu i iCrI l t r l t lc t r l r r r r ) l r ( l l l i l r ' . F- .st : rs i r ts l I r r t t i t , r r t 's \ ( )n un: l ( ' \ l r ' : l l ( ' t l i i r .

N{ás plcc: isanlcntc:

Definiciórt: una cstr¿rtcuia pura pala el. j rruarkrr ¿l etr un.iueg() el l t()rnla cx-

terrsiva es rrn plan r¡rre irrt l i r : :r r1ué :r l tenr:rt ivir clebe cscoqcr cl j trgaclor i cn cacla

rrrro de los conjuntos de inlbrnlaciírn en qtre le puccle tocar j trear.

I lust lernos el concepto de estratesia pura c()n el ejcrnplo clc krs ccntros clc

inverst igaciírn cle la grir f lca 5.1. \ 'e¿rrnos prirnero ei caso cle la empresa I. L,sta

enrpresa solarnente.juega en el ntrdo A.: L,ntonces. una cstr i l teui ir pura p:rra

I \ f i rs f i ¡rnralnrente. rrn ár 'bol conecto l lni to cr¡n un:r sola raí2. Vi 'asc l lart (11)92).: [ ' i r r t 's t t ' j r r t 'eo todos los con juntos dc inf i r rmacir in t ont icncrr r rn solo nrr ikr . Oorno no ha1'

¡ rosi l r i l i r l : r r l r lc conlrrs i i rn. < n lugar dt ' h:rblar c l t ¡ l i t a l tern¿rt i la eleqid¿r en cierto conjunto r le i r r f i r r rna-

, i , ' r r . l r r l r l ;utnr()s( l ( l i l l r i lcrnl l iv l r t ' l< 'u i ( l : r ( 'nt ' l únicol lu<lotolr l t ' r r i r lot ' r t la l cort l r r t t lo.

Jl l1( ; ( )S I ) l \ \ \ l l ( . ( | \ ( ( r \ I \ l { , l l \ l \ { l ( ) \ ( ( ) \ fPl I f \ l l r

c- l la sol¿ur lerntc t iene que espcci f icar c l r ré l r i r< c ' l ' t ' r r cst t ' r r r r r lo, ¡ ror lo c lue l¿r ctn-presit I t ic l lct s<i lo clos estratc{¡ ias posiblcs. Flstablcr:t ' r 'st ' t ' rr cl nortt 'o t ' rr erl sur.. \nal icc 'nros en car lb io el caso de la crnpresir l l , quc puecle. j r ru i r l crr ckrs corr-juntos de i tr f i rrrnacií¡rr dist. intos, cl c¡rer c() l l t . iene ¿rl nud() B y el qrre cr()r i t ienc ¿rlnu(lo (1. [ ,rna estrategia. debe incl icar qrré ]r irccr si lc toca.jrruar ern cl uu(l() R \¡<¡tté h:rt :er si lc t()cra. jus¿r'cn cl nudo (.1. En total t icne 4 estrateqias posiblcs. Siesc ribinros primero la ¿rc<:i<irr clcgicla en el nud() B 1' clesprrés la ¿rccirin elegicl¿r cnt- l t ruclo(. l ,est¿rs( l r i r t r ( )etstrat .egi¿rss()n: (n()r te,nor- tc) , (nr t r tc,srrr ' ) , (sur,norte)r ' (st lr ' , strr ' ) . Fis irr tportant.e recalcar cluc mientras lzr cmpr-esa I t icnc sólo clos es-tratetgi:rs l)ul i is, la ctnpresir I I t icuc cl l :r t1'(). La r lrz<in cle esto cs (I lc la enrpresal l . c:otrot ' t ' kr r¡rrt : lut hecho la otr '¿r clnpre sa clr i l r)( lo tr¡m<i su cle¡cisir irr , ¡ror lo clrrepttc( lc, l tor cj t :nrplo, sc'prr ir la cstratcgi¿r: "El i jo nrir tc si I se ult i t :a cn e' l l t ()rte, ),t : l i jo strr s i I se rr l t i t 'a cn c l st t r" . La t : rnpr-csa I , c 'n carrr l ; io, r ro prrer le st 'guir t¿l es-tr '¿r tcgia p()rc lu( 'crurrrr lo c l la ¿ct í re no <'onoccr ' í t 1o r¡rre htr l lccho I [ .

P¿rrt icnclo c[t : rrn . jrrcg<t cn I irrrna cxtcltsivn, po(lcr] l()s cnc()nt l ' i l r l l rs cstra*{t 'gias clc ( ' r l ( la l l r l () <lc los. jrruadoles v tr i insforrnal ' lo así cn un.jrrr:go cn f irrm:rcsl lal í :gicu. La { i¡r ' ln:r cstrat i :gica r lel. l rrceo sccuencial <lc los ccnttrrs rkr i l t r ,cst_i-gat ' i r i r r cs:

l lrrr¡trcsa Il

. \ or / , , . \ i , r / , \ ) ¡ r 1r , . \ r l \a¡; N¿rk, .!¿rr; ,\¿¿ r

l ' i rn¡r lesa I ),,1ortt'Srrr

¿1 'l

l . l

1,33. .+

,) ,)l . I

,) ,)3, .+

P¿tra r"et ' t ' í lno sc olrt ietren los paeos en l¿r lbrrna cstratítuiclr, \ :cam()s l l l l

Par dc est.r:r tegias c()nclcto: n()r ' te para la empreszr I v (sur, nolte) parir la ct ln-

¡trcsa l l (es decir-, cst:r cnlpres¿r cl igc srlr si juesa en cl nuclo B v norte si lo h¿r-ce cn e I C). La estt ¿rtesi¿r dc la e mpresa I nos dice qrre elegirá l tr r¿rnru srr¡tcr iorctr e I nttcl t l inici :r l , por lo que nos l ler '¿rrír:r l nudo B en el. jueuo, \ ' la estr¿ltesi¿r clela emprcsa l I nos dice quc si le toca.juuar cn el nudo B elcqirá la rarna inf 'er ior(sur) , lo que nos l ler. 'ará a paÉios t1e (2, 2). El resto de los paeos se obtienc der lamisma rn¿urera; r ' iendo el árbc¡l clel . juego, seguimos las instrucciones quc nosindir lucn las estrategias consideradas hirsta l lcgar a alsírn l ludo f inal.

Un¿r vez que tenenros el. j treuo en fbrma estratégica, nos tnovemos ah()ra( 'n terreno conociclo. Busqrtentos los cqui l ibr ios cle Nash clel . jueu<-r anterior.I i t ' r r t ' t r ts eqrr i l i l r l ios err eslralet- t i l rs I )urr \ :

l ) l ' l ¡ r r1 ' . r r l , ¡ r I t l ig<' l l ( ) l t ( ' \ , t ' l . j r ru:rr lor I I t ' l ie ' t ' ( r ro l t t ' , r ror l t ' ) .

r12 I t . ( )Ri , \ t ) l l I t F l ( ; ( )s: sL AI ' l . l ( iA( l l ( ) \ t -N Fl( l )N()Nl tA

l r) hi l j rrg:rtkrr I t ' l i ¡¡c l l ()rtc -v el. i rrgaclor l l cl ige ( lrorte, strr) '

r r l ) I ' i l j r rg:r t lor t t ' l igc st l rv el . iuf l¿rclor I I c l ige (strr , strr) '

, 'Qrré r ' t ' l l rr i r i rr gturlcl :ul est()s cqui l i l )r ios t:ott el proct:dirt t ieuto clc i trcl t tc-

ciír¡ hircia ut lr isl . l . . l t ' r¡rr i l ibr io ( i l ) corrcs¡routlc:r l t l rre hal l íamos oLrtctr i<lo colr

cl ¡ trocccl inr i t ' rr to <lt i rrr lrrc 'ci írn haci¿r atrírs, cs ( lecir, el. j truirclor- I I cl ige trot ' t t l si

I sc rrbic¿r el l ( ' l l l ( ) l l ( ' , r 'c : l iger srrr s i I se t tb ica ct l c l sr t r . Arr t ic ip i rncl<) cst() , c l . i t l -

girclor I se ttbica t ' t t t ' l t lot lc.

El eq¡i l ibt- io ( ir l ) rros r la irrr r-csrr l t l r t lo r l is l into al olt teniclo Jrol t ' l rrrt i tocl<r

dc incfrc.ciírn h¿rci ir zrtr '¿is, r ' cs l l lu\ ' út i l ¡r :rra cxPlicl tr cl ( ' () l l ( ]cPl() cle crct l ibi l i -

< la¿. l l r r cstc c l ts() c l i t ru l rdor ' I e l iec c l strr . r 'c l . j t rua<lol l l t ' l igc (strr ' , s t r r ' ) , es t lc t ' i r ,

la cstrategi l t <lel. j rru:rcl6r- I I cs rr l t i<:arse cn cl sttr tro i t t t¡rot ' l i t c¡tró lraea t: l . i t rgarlor-

I . l l16r c¡ t r i ' t 's t i t <ornl t in¿rci<in c lc t 's t rat t 'g ius t 's t t r l cr l r r i l i l l l io t lc N¿rsh? l 'ot ' r ¡ t t t ' ,

r lur l6 t ' l p lan <k' l i r rg i r r lor l [ , dc u]>icarse t : l r t ' l s t t t 'J tast ' lo qr l ( ' l ) l ls( : , a l . l r ruaclor l

I9 c l r rc nt l is l t 'c<lnr, ie nc t :s t rb i t 'ar-sc cn c ' l s t t t ' . Si t ' l . i t rgatkr l l c t - t ' t ' ( 's t l l " : t l l l ( ' l l l t / l t "

<l t ' l - j r re l r r lor l l< lcrr l t ic i r lsccrr t : lsul p: ts( ' lo<¡trcplrst ' , lc tot l t ' iet l t ' r t l l i t l t t -sct : t r t l l

strr-. R¡t ' ígtr 'o( ' l rn)( ' l l tc, r l :r<la l :r cstr lr tcgia t l t ' l . j rruirr lol I r l tr t t l r i t : l rrst 'el l t ' l stt t , l l t t 's-

t r .atc 'g i¿r r l t ' l . j r ru i r rkr l l l < l t ' r r l t ic l r rsc t : r r c l s l l t - l )¿Is( ' lo t ¡ t r t ' l ) l ts( ' cs í rpt . inr l t . [ ,c ¡ l l r>

1r91. i ¡ ¡a ¡ l ¡ t i reo r t r i rs al to l tosi l l l t ' . I 'c l r ¡ , t ' ( 's t ( ) ( 's i t t t ¡ ror t l l t t t t ' , lo c¡ t t t ' ¡ l larr t l t '

l t i r<.cr-c l . i r r ¡4 i r r l< l r ' l l s i I sc rrbica cn t ' l n<¡r ' tc r ro i t r f l t ryt 'sol lLc st ts l ) l tg()s, l ) ( ) rc l t t ( '

¡strr p iu ' t .c r l t ' l ¡ t l : r r r l l ru l ( : l sc ' t t ' r r<h' t i qrr t ' l l t ' r ' i r r l t t : i t l>r l . I 'ot ' t lso. t t t : t l t ¡ t t ic t ' t '<ts: t

<¡rre < 'st ' r . i lxr ( . l l ( 's lu p:r l t t '< l t ' srrs inslnr<'< ' i ( ) l l ( 's (^s í r ¡ r t i l r r l r . Al to l l t l l ic ' l t , ¡ - tot l t ' t t tos

l)r . ( 'g¡¡ lat ' ¡9s: ¡ ¡s t reí l> lc csta ptu ' to c lc l l t lar t r l t ' l . j r rua<krr ' l l? Srrportg: t t r l ( )s ( l t t ( '

p()r crr ' ( ) l 'c l . j r ru i r rk l ' l s t 'u l r ica cn c l not ' t t ' , ;s t ' l t t lher i r ' : t c l . j t ruaclol l l a st t Cs-

i r i r t . t 'g i : r? No, ¡ t r r r :s ol¡ tcnr l r ' í i t 2 t 'n l r rgul t l t : l ] . Srr p l t rn r lc ' t t l r i t ' l r tst : t ' l r c l str I s i I

s¡ rrbir.n t ,n t ' l noltc cs ír¡t t i r tro sír lo crutnt lo I lo sc t ictrt ' r l r t t : t ' t ' l t l iz: t t ' . No lc t 'otr-

r,erlr lr i r l lcvir l lo : t la ¡rr i i t ' t i t : i t si clc vcr-t lat l I sc rr l t i t ' i r t l t t t ' l t rol ' t t ' . Sit t t ' l ¡ t l r : l rgo,

est:r pl ir . tc r lcl Jt lan clcl . j rrgurlor I l cs cr-ucial par' : t ( l tr( ' la t 'stt ' : r tcgi:r clc ' I t l t ' t t l l i t ' r tr-

,e eri ¡ l sru'sc2r ír¡-rt inra. ( l tr :rr lr lo uir¿rr l i rr tos la contl i t ' i í r l r r lc clrte l i r cstratcf-I i l l ( l ( '

l l se a ¡r 'eí l t le, cn cl serntir lo <k' c¡trr ' ¡r lattcc l lcr '¿rl a cal lo l t< t : iot lcs r lr t t : r lc ve r( la( l

let ct lnl ,errr{¡a¡ si t . i t ' rrg¡ qtrc l lct 'arsc:t calro, t ' l cqrr i l ibr- io ( l i l ) se clcsttrtvc.

Fi¡alr¡e¡te, e l c<lrr i l i l t r io ( j ) , :urrr<¡rr t : l leva i r los t r l isnl t ¡s Pag()s \ ' : r l l ts t r t is-

r¡¿rs rrbicl tcir) l l cs ql lc el cclui l ibr io ( l l ) 1' en csl.c sct l t ic lo t ls csctrcialtr l e l l t t ' t ' ( lLl i \ a-

lente ir é1, tat¡bién carece cle crrcdibi l i r lad. l l r l ef 'ccto, ctr este cqtr i l i l l r i t l l i l e 'stratc-

gi:r clc l¿r Clnprcsa I l incl ica ele¡t ir el norte aunqrte l i r crr l l>rcsa I sc trbiqtre en cl

su¡ acci<in quc no lc convendrá l levar' :r cabo si en vct 'dnd I se trbica t:n el stt l ' .

¡ l ¡ tonces, en cste elcrnplo hemos visto r luc el r trótoclo de inchrcciírn hl lr : i¿r:rtr irs

r)() l l ()s pcrrnitc obterner todos los eqtr i l ibr io cle Nash, per() sí el cclui l ibr io dc

Nlslr r lr ic sirt isf ir( e una r:oncl ición ¿rdicional: la crercl ibi l ic lad. L, l rnétorlo dc induc-

r io¡ l¡r< i :r l t l l is ( 's ntrrr,podcros() \ ' , en cierto t ip<t cle. iucuo, cl cle los l lal laclos

jrr Iqos t orr i l r l i r r nr : rc iorr ¡ ; t ' r ' f i tc t l , nOs Jtermite t lbtenet-r t t r rcst t l tado i l l l l ) ( ) l ' l : l l l t ( ' .

I U l , t ( ; ( )s t ) l \AMl( r ( )s ( r ( )N t \ t ( )R\, lA( I ( )N ( i ( )NtPl . l l IA I t3

I)ef in. ici t i rr : l rn. jrr( 's() en fblrna extensiva t iene información perf ccta si toclcr

corl junto clc inf irrrrrrcir irr <le ci lda.iugador contiene trn solo nudo.

Es clecir, en rrrr. j rr t 'eo con infc¡r 'm¿rción perfect¿r cada.jugador dist. ingr.re

sicrnpre en qué nrrr lo t 's t l i . j r rg:rndo. Es el caso del . jueuo secuencial de los cen-

tros clc investig¿rciírn. ' l ' ¡ l t olno ocrrrr i ír en este eiernplo, en este t ipo cler. jue¡4os

los.j truadorers quc p¿rrt i( i ¡ l rrr :r l f i rnl puoclen cleuir la r¿lrna que les propor-c ionlr

c ' l pauo nt í rs : r l to, lo c¡rr t r ros ¡r t r rn i l t ' tonsic lerar ' los t r r rdos en que tonl¿ln s l l

i r l t i lna dccis ión conlo nrrr los l i l r : r l t 's ; : tsí e l restr l tado es un. jueuo con nlen()s

l iul l i ls. Apl ir :antkr repetid¿uIl( 'nt( ' ( 's l( ' l )r ' ()(:cso l leganlos hasta el r lrrrkr inir: i :r l .

l ls ta cs la r-azr i r t r ¡ r r t - expl ic i r c l s igrr i t ' l l l t ' r ' r 'srr l taclo:

' lh¡n,n,u dt lrr tnrk¡. Toclojuego f ir t i to t ' rr l i rrr tur extensivit , cott inf ix 'nr¿rción

¡lcrf i ' r ' ta, t ienc al nrcn()s rrn cqui l ibr io <lt ' Nlrsl l ( ' l r cstrategias pur:rs.

Nol . t ' rnos rrna di f t ' r ' t ' r r t i : . r i rnportant( ' ( ( )u t ' l l i ' r ¡ r 'erna de N¿rsh. Mienlr '¿rs

óstt ' r ros gar-arr t iz : r l : r existcnci i r c le un equi l i l r r io <k'N¿rsh si perr t r i t i rnos c l r rso

<l t ' t 's t r ' : r t t 'g ias rrr ixtas, c l ' lcorcrna dc Zerrnclo n()r i ls( 'guf¿r l¿r existencia dt- ' r rn

cr¡rr i l i l rr io <lc Nush cn cstratcsi lrs prlras. Convicnt ' rr f i :r<l ir ' ( lue este ír l t . i rno er¡r.r i l i -

l r l io cs ¿r( l( ' lni is un equil ibr io creríble, en el sentid() cn ( lu( ' l lcnlos estad() m:rncizrn-

<l<l t ls tctér. I r r i t r< l . I i r refcct ' t l ,c |procecl i rn ierr todeir l t l r r t . . ' i í l I l l l i rc i¿r:r t rás

:rpl i<'u<:i írn cs la b:rse para pr-obiu' cl Tcorema de Zclnlt ' lo- asegura que cn

t i r r lu rrrrr lo cr) ( luc se tonl l t r rna c lecis i<in, e l . juuador ' ( 'n (u()st i í ) l l l lace lo c l r rc

rrrás lc r 'orrvit 'nt ' , t 's clecir, t 's or ' í l r le que est.¿t decisión sc l lcve a c:¡rbo.

I i r¿t r r rnnr, ) l ' r ,nr . l . r ( , ' r ' ( ) t .N strr lJr . L( ; ( )s

[ . , ] rnótor lo r lc i r l rh l t :c ión l l l< i : r : r l r : is l : r l r 'o l t to lo l rcrncls v isto c l roca con un

pr-oblcrrr i r crr¿rn<lo t .enenlos i r r l , , r r r , r , i , - r r r i r r r ¡ tc:r fcc: ta. Su¡ronuanros quc tcnc-

rn<ls cl siurr iertte. j treu<.r:

1. l l l . j t r raclor I e l igc cnt l ' ( ' l : rs.r( ( r , 'n( \ /¿\ / . , .

2.Despuésclcobserv¿rrs i Ic l igr , , , t , , l , t l j r rg:r<lor l le l ige entrc l¿rsacciones(\ 'd.

J. ( l< lnociendo su propia sclcr , r , ) r .ur t ( rn l ( n l r ' ( ' a r ' 1.r , percl s i r t cortoct ' r '

la c lecis ión c le I I entre rv 1, c l . j r r r - l . r , l , , r | , l r , ' r ( nrr( l i ls : r tc ior tcs ¿v. f

¿Cómo usar el método dc i r r<lrr , r r"n l r . r ' r . r . r t r . r \ r ' ( l r r : r r r<lr¡ : r r r : r l iz : rn l r ¡s l : r

c lecis ión c le l . j t ruador I entre las: t< t r , )nr ' , ¡ \ / . r l l r r r . r l , lc l i r rcqo. \ ' ( ' ln()s ( lu( ' l l ( )

poclernos asegurar cuál es la dccis i , , r r r ,prrr . r I ' , , r . l r ( ,1, ¡ ' r ' r r r lc r l r ' l nr¡r l , r r , ,n

I l i r114 TEORÍA Dlj ILTE(]'OS: SU API,I(;\CX)N E¡' E(]ONoMIA

GnA,rrcA.5.5

creto en que I estó ubicado, y eso I no lo sabe . Para general izar cl métt ldo de

incltrcciírn hacia atr¿rs nccesitamos defi l l i r el conccpto cle strtr iueeo.

Definición: un subjuego clc un.juego en fbrr¡ra extcnsiva es ull¿l parte derl

jrrego que cornicnza en trn nudo l , incluye los nttdos qrle s()n st ls st lcesorcs'

excluye los qtrc no lo s<ln, y satisface l :rs siguicntes característ icas:

1) El conjturto cle inf<¡rmación clel nttdo lcontiene st i lo a l '

2) Si clos nucl()s pertcncccn al rnisrno conjunto de inft¡rrnaciírn y uno dc

cl los estír incltr ido cn el strbit terso, cl otro tarnbién lo estír '

Int.uit ivamentc, un strblt tc{r() cs t lna partc clel. i rreg() original qt le POdelr l()s

analizar aislacl:rmente, rcspetando la inl irrrnación contenida en cl. i t teuo cotlr-

pleto, que fbrrnamos el igienclo ttn ntrdo y "arrancando" del . i rrego esc nudo y

todo lo quc le siuuc:

Vc¿¡rnos dos ciemplr ls Para ihrstrar el concerpto de subi lrego'

E-iernplo 1

1. El jugador I el ige entre ¿Y á.

2. Sin conocer la decisión del jueador l , el iugador I I el ige entre r]y d.

El írnico subjuego es el-juego completo. \¡eamos por qué las distintas par-

l('s quc putliéramos arrancar del juego orieinal no constituyen subjuegos. Si

t l<.s¡rrcrrr l i í ' ramos la partc clel árbol qtre sigue a la decisión a del . iugador I I

( t r ; i l l<.rr 5.7), ¡ r ¡ tcrrr l r í : r r r los rrn strbjrreuo p()r( l r le c l j t reador [ I sabt ' r ¡ r rc I i r ruír

.JLrE(;OS DINr\ \ t t r , ,

GnÁ¡r<n 5.6 LrRA,Fl()\ 1). /

avnol t , locualuoscsabíat ' r r r ' l ¡ r r r .go<tr iu inal . l , r , r r , , ,1, , , . , r r i ¡ ( )secumpleelpr i rnerrcqtr is i toParatcrnerrrrrsrr l r ¡ r r r ' { ¡o,puescnl l r . , . r r r , , ¡ , , r r ln)nudocuyoconjutr to c lc inforntación colr t i r .n, . ¡ l , )s l tudos.

Si desprendiéramos la s isrr i r .nr , ¡ r .u ter del juego:

( , r . r r r r r i . lJ

Tampoco tcnclr íarnos trn subjrrr '1 i , ' I r , ¡ , . , , , r , ,1, .1 j r rcgo ¡o p¡edc ser¿rnal izadadcrnanerainclepencl ierntr ' ¡ r . r , l ' r , 1, . r . , , r , , r , { } l ) r i lnaclel jugador l lc lcpencle de las probabi l ic lades qu( ' i rsrr ,n, r , , , t , , , , , , , ,1, l , ,s c los posibles nu-i los, infornlaci t in que no es provis l : r ¡ ror l , r i ¡ , , r r , , , ¡ , , , r ,1, .1 i r rego. Forrnal-rnente,denuevoseviolalapr imera(orr , l r , , , , r r l ¡ ¡ ¡ r r ! ¡ , ¡ , r , , , . , r r l r j r reg3.

( lonsideremos ahora el ejermpkr 2:

1. El jugaclor I el ige entrc las ac( iorrr : , , r i

2. Siel jugaclor le l ige a,c l jugaclol l l r l r r ' , , ¡ , r , , r . , r , /l . Si c l i .gador l e l ige áo si e l . j 'ear l . r l l , 1r1, , . r , t , , , , , r , , ¡ r r , | , l i r l i r . r r r .

c l . j t tUlrr lor ' l l l t ' l iSt- cntre eyf Ctra¡dg l<¡ l ¡ : r s¡ ¡ t , ¡ r r , . , . I , , , , . t , , ¡ t r r , ¡ . , . r1 ' .s i I t ' l i11i , , / , r , s i I r ' l iq i ( i 1¿y I I c l ig i r ) ¿/ .

. I I i \ IAOON (]OMPLETA

-,/-t'

__-\_\\.\

d-

3,

fi

I I ( ) l i l , \ l ) l - JLl t ' . ( ; ( )S: Si l APl. l ( lA( l l ( )N EN ! l ( i ( )N() \ l lA

G'ruÁr'rr;q 5.!)

Nuc\, lun(' l l t ( ' , cl único sult jrrr:go cs cl. i r teuo cl l tul '<) t t t ist l lo. l in p:rrt ictr lar, si

"¿rr l 'an( '¿l l l l ()s" la pirrt .e r lc t i r l r<l l qrrc r 'otnicttza ctr el t t trclo t- ' t l qrr<t t t l - i treatlot l l

c l igcr c¡ l t rc ry dn<t ol t tcncrnos rrn srrbir tcuo. No p<l t lcrr los at l l r l izat ' ( 's t l I I ) l l r t . ( li r is l¿rclatr lcntc p()r( luc I l l sabr ' í¿ c¡ t rc lc tot 'a. j t tu l t r P()rqr l ( ' l . i t rgír a1' t lcsptré 's I I

j rrgír r l , in{ irrnt:rci t i l l ( luc l t() sc tení:r crr t : l . i r tcu<l ol icinal. Forttraltr lertr lc, c:sta vez

rro se currr¡r le cl sr:gtr lrkr rccltr isi t .o pula tcncr t t tr strbjt tceo, pttcs los r los tt t tclos

cn quc.jucua II I pcrtcnc<:cn al rnisrrto cotr j t t t t to t l t ' i t r f i l l rr l¿rt l i<ir l ,v, sin t l t l rbit t 'go,

solarnerrtc rrno ckr cl los cs suc(:s() l ' <lcl trr tclo crl ( l t t( : l l l t l ( t \ 'o t t l . j t ruarl<lr l l . Al

v io lar cstc lcc¡tr is i to, sc "rot t t l tc" t t t r cot t j t t t l to <lc i r l l i r r rnacion.

I)el i t t i l ión: trn cqrr i l ibr io perf 'ecto en sttbjtrceos clc t t tr . j t tctu<, t ' rr t i r t ' t t l : t

cxtc l ls iv i r cs rrn c<lrr i l ibr io <l<: Nash r lc l . j r tceo t¡rrc, at l t ' r l l í rs, ptopot t iorrr t t t t t

ct lrr i l ibr io r lc Nasl l t ' t r c¿rcl:r srrbitrcutt <lel. i trcgo.

I lustrcnros el concepto cle ecltr i l ibr io pcrf 'ccto en strbjrregos c:otr r l<ts c' ictt t-

plos.El prirncr e' jenrplo es el quc nlencionAntos e n la i tr tr<lclucciírt l a cste cuPí-

tulo. La I¿rrmacia clel pueblo vc zrnlenazacl:r su situación rnonopólicir por trn

elt trante potenci¿rl . Estc. jrrego nos pernri t i rá ver córr lo el cortcepLo clc Eqtr i l i -

br io perlécto en subjtreg()s descarta irqtrelkrs eqrr i l ibr ios de Nash qrre c() l l t ier lel l

promesas o arnenazas no creíbles, y sc corresponcle con cl restr l taclo obteni-

clo prtr el pr()ceso cle inclrrcci<in h:rci¿r atrás en losjuegos en qt le este Proceso sc)

Jtrrcclc ernplear sin problcntas. -fenemos el siuuiente j trego (véase gráfica 5.10).

Pr. irnero el cntrantc potencial clecide si entrar o quedarse fuera. l ln cascr

<lt ' t1rrc crrt t 'e , cl rnonopolista clecir le si vcnclc la rnercancía a mitad du ( '()sto:

(" l r r lcs l r l l r " ) , lo <¡rrc l r 'o<'asionar ' í l r yrórr l idas t :u l { ( ) i t í : l como:t l¿t t l t t t ' r ' : t l : t l t l t l t -

Jt, -Fl( ; ( )s t ) lNAN,I lc()s r( )N rNt ( ' l | r I I \

Cinl¡t t ,r l -r . l t t

r : ia, o no lo lr i tc:c, lo qrre rcclucirí¿r sus l tcnerl ir : ios a larrrcr-o los cqrr i l i l t r ios c lc Nasl l c lc cste. j r rceo. Srr f i r r rna

- l

tni tacl. l lxarnincnros

estratégica es:

177

l [ |

Mon<tpol ista

\o "rtpular '' lúg,t lrt r

F.nI l l r r r tC [ . r r tnrr 'I ; t r t ' l : t

I t- l r - l

0. -+' )e0, ,1

r lo l lc lc se aJtr- t 'c ia qt tc exis l t ' t t r los t ' r ¡ r r i l ibr ios c lc Nash: i1 qrre el ent l '2ul t .e ( ' l r t rcv c l t t rot toJtol ista t to " l 'egal t" 'srr nr( r r :urr ' ía, r ' i l ) r ¡uc el e l l t r2rnt .e sc quccle l i rcrurpofql l ( 'c l r r rorropol ist¿t "r ' t 'g l r l l r r r : r \u rn( ' l ( ' l r r r t ía s i e l l t r l r r i r .

I ) : t l l t t ' l t t 'o l r l t ' r r r los eqtr i l i l ¡ ¡ i ,s ¡ rcr lc t t r ¡s t 'n srr l t j r re:eos, l ] ( ) tenlos i rhora c l t ret 's l t ' . j t t t 'Qo t i t ' r l t ' r losst t l t - j t t t 'eos. l ' | ¡ r r i r r r , r ( ) ( s ( ' l ( l l rc etrrJr iczl tcr¡¿rrrr loel entra.n-I t t l totct tc ia l r l t 'c ic lcc] l l t r : I r t t ' l t t r , ) r r ( ) l ) ' ' l | \ t , | , l r ' l r t r l r '< ' ic l i t 's i " rcgal¿l ' " laurelcan-( ' í i t - \ 'c t ) ( le l ' la i t r r l i t l rc l ( l ( 's t t t r ¡str¡ , , r r , , l r . r rcr lo. I . . l seggl tc losrrbigcqoeselj t tct . Io c ' t t l t : ro r l l is t r t r l . L, l p l i r r rcr srr l , ¡ r r , , ' , , ( r ¡n ¡rrqo {r ' i1 i i1[ , r r ¡ s<t l< l j r rg¿<l1¡r ,c l t t rot topt t l is ta, ( luc c lebe r l t ' t i r l i r sr r r , , . r l r r , , r , , l . r rn( r ( iu l ( í l r :

\ l , , t r , ' ¡ , , ' l r . r r

Entrante

I t l t ; I r l r l ' .n l r : r r

t

118 fE()RíA DE lUF,(;()S: Str APt.t(. lA(l loN- IiN I(I()NOMIA

l l l r i rr i<.<l cr¡tr i l i l rr i<t de Nash de este juego sería que el monopolista no rc-

qalara l¿r lrr t ' r ' r ' rurr ' írr . [)or tanto, cle los dos equil ibr ios cle N¿rsh que t iene el j trc-

go cnl.ero, sr i lo <' l ¡r l inrt ' r 'o clc el los proporciona también un eqtr i l ibr ir l cle Nash

en el otro sl lbirr( '1r^(). l . .rr carrrbio, cl equi l ibr io cle Nash en qtre cl entralrte sigue

la estrategia l l () ( ' l l t | i l I r ' r ' l nrorropol ista l :r cstratceia "rcgalar" n() ProPorcit¡ l l l t t t l l

equi l ibr io cle Naslr t ' rr cl srr l t i rrego que comienza cuand() cl eutr:rnle cléct iva-

rnel l te e¡tra. Es irsí t ' t ¡rno ( ' l ( ()rrcerpto de cqtr i l ibr i t t pcrfecto en subittegos dcs-

c¿rrta estct scgunclo gqgi l i l rr io <lt . Nash POr c()ntener l l l la al l lel laza no r:reíblc.

( lomo scgunclo cjcrn¡rkr r lcl t '<¡rr i l ibr io per{ 'ecto en sttbitreeos torncmos cl

. j rrego reprcsentl tdo en la grír l i r ' : r 5.5. I istc. i trcgo lo usamos ¿ttr l .er iorrncl l tc para

haccr ver por qué la inducciírn haci¿r atrás no sicmprc n<ts potl ía a-vt l( lar tal

c1¡mg l¿r habíanlos cst¿tdo ut i l iz iurdo. Ahc¡ra rros pcrttr i t i r ' í r i lust.r ' :rr ' ¡rol qrr i '

el conr:cpto clc cqrr i l i l t | ' io perf-ccto en strbjucgos sc ¡ l t t t lc lc vcr c() l l l () t l l t¿l g(: l lc-

ral iz:rci<i l l r lcl ptrrt :ctso clc ir tr l t t t :ci t in hacia atrírs.

l lstc. iut:gr¡ t icnc tres strbitrcgos. !11juego cntel-(), el srtbitrceo r¡t t t t ' t t lpiczlt

clespués clc quc I cl igc n, y cl sublrrt- 'qo que crnpiczir clesprrés r lc r¡t tc I cl i ¡¡c á.

I)ara cncr¡ntrar el cqrr i l ibr io pcrf 'ecto ctr sttbjtr t :gos, poclctnos ¿t( ' t . t lar <lc tnanc-

ra s i rn i lar a l pro<:ecl i r r r icnto dc' int l r rcci<ir t hacia atrás, cnrpczatr t lo l r t l ( 's t t ( l l l l l í t -

l is is cn cl l - lnal del j trcuo, Jl t l ro bttsc:rnt lo los strbjt tcuos'

C0nsidcrcrros cl sult j tr t :go qtrc ermpiczit clc:sptrós rk' qut: I cl igc: r¿:

()nÁr.'r< r,r l-r.l I

JLII I ( ; ( )S I ) INAMI( i ( )s ( { r \ , r r , ¡ or : \ t \ ( . t ( )N ( ioMPl- I iTA r19

Cr.rvo í rn ico equi l ibr io de Nirs l r . ( \ r lu( . I r . l i ja ev I l e l i ja c.( lonsidercrnos ahora el subjrr<.q() ( lu{ . ( .nr l ) i ( 'za después dc <1rrr .I < ' l i r i r ' / ,

( i l turr r : r l i l

l ,u f i rrrrra t :s(r 'atírqic¿r de estcjur- 'uo cs:

I I

:1. I

: , I

ctrvo t inico cqui l ibr io dc Nasl l ( 's ( l trc el. j treador I el i ja ay el jugaclor l l t ' l i ja r i .Nrtcsü-o análisis t tos ct¡n<lrrct ' : t anticipar qué ramas scrán elegiclas cn tucl:r

ur- l<.¡ clc los r los r i l t i rnos srrbjrrcu,,s, si I t ' l iee rz, dcspués se e lesir¿in cy a Si I r ' l iec Ir,t l t tsptrés se clcgirán r/y e. Porl<'r r rr ¡s scrl ;r lul ' esto cn el árbol de la siguiente lorrna:

( l ¡ r r ¡ r r r5. l l l

I

'\ ')9l

4,2J, I

9119

f,a forma estratégica es:

I'

t | , ) r ' t \ t r t l r I ( . ( )S: St , \ l , l . l ( . { ( l loN EN ECI()NOMIA

l l ¡ r r , . r r l . r l ¡ r r r r '< l t ' l l¿rccresternismoanál is is,quelol levaaconcluirquc

lry, ¿¿. sc l lcgrrni l l ()s pagos 4, 2 y, si el ige á, se l lesarh ¿r los pasos 3, 4:

( ]pÁrr t ; ¡ 5.14

4' . )

La r lccisi<in r ipt irrra <lc I scr ' ía clctr ir ¿¿, ( ' ()n l() ( lue () l) te n(l l ' í¿r 4 cn lrr{¿ar clc

iJ. l ls t .o <:otnpleta el an¿r l is is. l i l cqrr i l ib l i r ) pcr lcct() ctr srrbirrr :uos t t ¡nsis( t ' r 'n

r lrrc t : l . iuuador I sisa la c'stratcgia qu(' indi( 'a r ' lcgir ' ¿¿ al prirrt : i ¡>io y ¿?cn sus ()tr1)s

rkrs r :orr j r r r r tos <k: i r r l i r r -n l : r ( ' ión I 'c l . j r rg i r<lol l l s iuu la csf r - l r1r :g i r ( l l l ( ' i l r ( l i (u ( ' l ( r

sir ¡ si I el igi<i uy I si I c ' l i ¡¡ i ír 1., . Flstt : ¡rar tk 'r 'stnrtcsias rr<¡s l l t ' r ' l r por r ' l <' i rrrr irr<r

a¿¿ ' l '¿rrrrbión sc c()n()cc tarnbiórr ¿¿¿?, c()r l l () cl rcsrr l tar lo r lcl . jucgo. l , lstc canri-

l to o rt 'srr l t i rdo l i t :nc irs(x i i r( l() rrn [)¿lt¿() <lt ' .1 para r ' l . j rru:r<krr l v rk'2 J)arir ( ' l . iu-

ea( l ( ) r ' l l .F,st ir gc'ncr- lr l izuc' ir in <krl proccso <kr ir l r l trc:ci írrr l l i t ' ia utnis nos t:orrr lrr jo ul

cr l r r i l i l r r io¡rcr ' [ i ' r ' lot ' t ts t t l r j t t r ' tos.Nos¡ror lcnl()s l ) t1 ' r {unl iu: . : t ' r is l t ' r t ( ) l l ( ) \ ( ' ( lu i -

l i l r r ios r lc N¿rsl l? Puru r-cs¡rorr<l t ' r 'a t ¡s l : r J)rcgr lnta, ( ( )nstnl i -unlos lu f i r r -ur i r t 's t r - : r -

t í 'ei( :¿ ( lcl . j rr t :eo cornpl(f t(). LIna estrategi¿r para cl . j rruarkrr I r l t :be csl leci l-r t l rr '

l . res elelncntos: 1) Qrrí: hirct 'r t :n cl nrrckr inicial, 2) Qrré hacer cn el conjrrnt<r

dr: inl irrrnar: ion en qrre le t<lr: :r . j rre:rr si él rnisrn<¡ cl iue inicialnlel l te r l v l) Qrréhace'r cn r ' l c :or t j r rnto r lc infbrrnirc ión e:r t qtr t : lc toca. j r rear s i in ic i r r l rncntc c l i -gc ,. Ul l¿ cstr¿rtt¡gia para el. j rruador I I cst.ablt :ce: 1) C]rrír hat:er si I el ige ¿, v 2)(]rré hac-er si I el isc l¡ . [ ' ]n real idad, l¿r eslr ir t .esia del. juuarlol I ¡rrrecle sirnpl i l i r :arse

l)()r ' ( luc s i , Jror ejcnrplo, e l ise in i r : ia ln lente, / r . n() cs rrcrcsArir¡ c l t rc cspcci f i -

t l rr<'r¡rró hrrbie r¿r 'hec:l lo clerspué:s clc h¿,lbcr eleqiclo á; pero ckr rnorrtcrtto pr()cc-t l t ' l t rnr¡s s i r r t 's t i r s i r r rp l i f icar: i í r r r . F, l . juc¡3o cn f i r rn la cstratóqic l r cs cntonccs cls igrr i t r r l t :

JI.rF.C;OS Dt N.\ N.l r( t( )s ( t( )N INF()RMA()()N COMPI.F,TA l ' ' l

I rrsador I I

dt:crl

Jrrsad()r I

Nttet 'amerntc, los paeos qt tc obt i t r r t ' r : r r l l r j r rg:rdor en estc j r r ¡Ho t . r r l , , r r r , ,est l 'atÓgic¿r losl tctnosenc:ontradorninur<l , r t r r t ' l j r rcgocnlbrnl l t ,x l t . r rs i r . r ( , ' r ,f ic¿rs5. l ' ry11. l3)aqtrérrr t r lof ln¿r ln<ls l l t ' r ' : r r : r r l ; r ¡ r .ur lccstr '¿ l tegias. I ' , r r ' j r . r r r ¡ ,1, ,cf par c lc cstr i r t ( 's i¿ls (b, e, . f ¡ para I v (r ' , r / ) ¡ r : r r : r l l r ros l levir por e I s isrrrr r r r r , . rr r l i r to (vóasc gl- í r f ic : r 5r .13): pr i r t rero I e l igt ' l l r r ; rnr , r r l t ' r ' t 'ch:r , pues su ( \ t r . r t r , ' r . l

t :s¡r t '< i f icaele{¿irr .Poster ionnentel le l isc lu l l r r r r : r r l r . r t . r . l l i r ,p l lcssuesr.r . :u( . r t r . r r rr l i t :a elcgir d s i I c l igc á. Finalrnentc, I e l iser su r i lnr : r r l r . r r '<. l tn, pucs su esl l . :u( ,1 l r . lespcci l ic : r c lceir / s i é l mistno cl i ¡ ¡ i< i ú en cl nrrr lo in i r i , r l . l , lsro nos l leva al r r r r r l , ,tc : r ' rn inal c l r c l cxtr 'e l l lo c lerer ' l ro c le l í r rbol , quc' t i t .nt r ¡n l ) i lq ' ( ) c le (2, r t ) .

I is t r ' . j r rcf¿() r ' r r f i r rnra ( .strutóf_t icu t ic l rc ctr¿rtrrr t '<¡rr i l i l , r i , ,s r lc Nlrsh:

l) I el iuc nl1'y l l el igc rz1.r l) I e l i ¡¡c u( y l l cl ice r¿1.r l i ) I cl ibc lncy I l cl ise ¿i¿1.¡r) I cl iur: Qlly l l el iec ¿1¿l.

Sabett los ( l t t ( t dc cst()s cui l t ro eqrr i l ibr ios, solanrentc c l pr- i r r rcro cs:rr l t 'nr¿-rstr l r c:qtr i l ib l ' i<) Pt t l ' l i tc t ( ) ct t srrbir tceos. Flsto r¡rr icrc dccir que l<ts olr 'os t t ( 's ( lu 'e-t en dc cr t :< l ib i l ic lad.

Llt ct¡tnbir lacit in cle estnttt 'gi l rs (r l) es prodrrc:to cle la rerdtrnclanciu t 'n l¿t lspt:c: i f icacit ir l clc las estr¿ltcgi lrs v t 's la l l lcnos intcrcsitntc. I tsta contbinacií inctrtrdttcc al l l l istntt restr l t l rdo <¡ut 'r ' l l ' ,qui l i lnio lmlecto tn sulr jucgo.s, cs cleciq rrosl lcvit por el l r l isnro c¿utl in() t 'n t ' l : i l l rol ( luc reprcscnta al- iucg(). Esto se clcbe:rqtre, a l iuual c¡rrc cr t ec¡tr i l ibr io ¡r< ' . r ' l i ' r ' to t ' r r subjrreecrs, e l . juuaclor I c l iee ¿¿r,c lcs-

¡r t rés r ' , y l I e l iuc ¿. l -¿r única c l i l i ' r r ' r r t i r r < on cl eqrr i l ibr io perr f 'ecto cn subi t rcs()s( 's qt lc l I esperci f ic : r . que si hul) i ( ' r ' r r t l t 'g i r lo Icn l t rg iu 'c lc a, : r c<trr t inrr : rc ión hu-l r icra elegic lo / . l in rcal ic l¿rr l , ( ' ( ) ln() n( , l r : r t ' l t 'g ickr ó, esto es i l rc ler ,¿rnte, pero<[t ' t ' t t : t l r ¡ r r i t ' t f t r t ' tn l t t lo t 's t tcí l r l t '<¡rrc r lcs¡rrr t 's <lc / , , l r r ib ier ' : r t ' lceic lo I pues /I r ' < l l r r í . r nn l ) . r ! , ( ¡ r l< ' ' ) r r r icrr t t ' ls ( lu( ' r , l t ' r l :u í ; r r r r ro r l< ' l i .

r . Lt . :

: i . I: i . li ' . 2:1. Il r . ?

?. 1

QCe

aeJüJcufJhee

lo.fl,f,l,Íf

4,)

4,23,1J, I

3,4,4

:1,12. 1

2, I91

l ,2r ,2í¡ ')91l¡

')

2,1

'1. I2. 1l . : il . : i3. 12, 13, 12. I

I

i

I

r22 I l ()Rt.\ t)!. lL.rF,(;()s: stj APf .l( lA(l l()N [,N F.C()N()\1LA

\ l : -rs i l r l t ' r ( 'sr lr t( 's s()n l()s dos equil ibr ios de Nash restantes. Ambos nos con-

<lrrct 'n ¡ror t ' l nr isrrro r ' :ur ino en el árbol c le l j t reeo y 'propttrc ionan los mismos

pas()s: ( l l , ' l ) . l 'or lcul()s pcl lsar estos cqui l ibr ios dc la siguientc Inarlera. El- iuga-

clor I I unlt 'nrr/ :r ( ()n t ' lcsir ¿/ sin importar qué haga el. jugaclor I . Sabiendo cstt-r,

al jug-arlor I l t ' < orrvicrrt ' clcgir óy después u. En efecto, de esta fbrrna obtendrá

3. \ ¡erarnos srrs l l l t ' r r : r t ivus: s i c lesptrés dc elegir ácl ig ieral obtcr lc l r ía 2. Si e l i -

gie ra ¿ cn l trsar ' <lt ' ú, olrt t ' r tdría cuando nlt tcho 2. Por eso, elegir á y desptrós e

cs str rnejor cl t :r ' is ió1. l l t '< í¡rr.ocnmente, dado quc el . iugador I elegirá áy cles-

¡ruí:s e, el plan t l t ' l . l rruatlol l l t le clcgir siempre des írpt irno. Analicemos posi-

bles carnbios a cstc ¡t larr. Si t trrnbia la parte del plarr t¡re espercif ica qtré haccr

si I ef ige ¿, su pago tr<'¡ clrnrbi: t t ' : i porque I elegirá by no a. Si c¿rmbia la ()tr2r

parte de su plan, v e l isc . desptl¿rs dc que I erl i ia l¿ disrninuirá str P2rs(), p()r

tanto, tencmos nn equil ibr io der Nash. Nuevamente, estos eqtr i l ibl ios Ito sotl

creíblcs. NIás específ icarnerlte, no cs creí l) le quc el. jugador I I el i ja dsi I cl ise ¿¿.

En el sulr j tref{o que cmpieza despr,és de que I el ise r¿, cl írnicc,r equi l ibr io de

Nash consistc en quc I- juegue ey II j rregue ¿. En rcal iclad, csta cornbinar: i t i t t es

la Írnica que sobrcvivc la el iminacir in i teracla de estratesias ft lertentonte clorrr i-

nadas en este sul 'r . jue go, pues a I le convienc más la acción e que la i tcc: iórr . / no

irnporta qué haga l l . l i l . jugaclor I I sc clebe dar cuenta de que I elecirá r/y ( l tre .

por tan[o, no le convicnc elesir r l si I el ige ¿¿. No cs creíble qr.rc lo haga. Enton-

ccs, lcrs equi l ibr ios cle Nash ( i i i ) y ( iu) carecen clc credibi l idacl: no son equil i -

l r r ios pcr l i 'c tos et t st tb i t tcgos.

l}. Molrr.:,r.<l l)r. S'rAcKFl.BIIR(;

Éste "s

un moclelo clásico cle oligopolio sirnilirr irl de (lourn<)t, con la clifcrcncia

crucial der quc una ermpresa eligc su ni\¡el de proclucciírtr antcs qtre la otr:r 1'csta últ ima, cuando tonla su decisión, se encuentra con qne la clecisión dc l:r

primera tiene ya un carácter irreversible. Este ordcn de decisi<¡nes ocasit.tna

que el modelo sea susceptible cle analizar precisamentc de la manera en quehemos procedido en este capítulo.

Tal como en el Modelo de Cournot, dos empresas prodllcen un bien idóntico,

cuyo precio depende de la producción de ambas: I'(q, qz) = max{ ¿, - b(qt + q) ,0). Asimismo, cada empre sa i, i= l, 2, incurre en un costo igual a c¡q¡ al proclucirla cantidad qi, cor, c¡1a,.La interacción entre las dos empresas toma la forrna

siguiente:

1. La empresa I elige 91 > 0.2. (lonociendo la decisión de la empresa 1, la empresa 2 eliae q2 > 0.j . ( l r r r l : r ( ' rn l ) l ' ( 's1l r t 'c ibt 'berncf ic ios n¡(qt , q i = I t ( r l t , r ¡2)r¡¡- r ¡ ¡ ¡ .

luI IGOS DINAMTC()S ( ( ) \ tNFORI! |_{CI()N |( ) \ i l ' t .F." IA

Tenemos cnt()n.es un juego qu('s( r l .sarrol la en fbrma secuencial. ¿cuá-les son las estrategias de losjugadorest I n:r ('strategia para la empresa 1 espe-cif ica sirnplemente un nivel dc pr-oducr i .rr r /¡ 2 0. En cambio, lula estlategiapara la empresa 2 t iene que espccif icar urr r r ir t l <le producción q2> 0, Ntara cadaposible n, iuel de produu:ión de la etnltresu 1, r71. l . l . rrrrr.rrros rR2(q1) a una estrategia dela empresa 2.

Un subjucgo empieza desprr i 's r le cada posi l , l r . r l< 'c is ión de la empresaT, q.Por eso, para que una e strateqirr r l t ' l j rreaclor 2 ¡rr r , , l rr f i rrmar parte de un equi-l ibr ioper l 'ectoenstrbjuegos,cl t ' l r , r ¡ r : tx imizarkrsl i , r rc l l t iosdel- juuador2para

c¿rd¿r nivel de proclucción de I¡ <'rn ¡ rr csa l , q¡.Un ec¡rr i l ibr io perfecto cn s i l l r ¡ r r |gos es un ¡r . i l r l , ( 's l rntegias qf , rR,(ql)

tnles que:

l ) Dadalaestrategia I f ; ( f r ) t l t l . r , r r r ¡ r t t 'su2, qi r rurx¡nr iz:r l r ¡sbenef ic ios<lela ernpresa l .

l i ) La estrateuizr l l i ( ,11 ) . t , ' l : t , ' , ' ¡ , r , ' . r 2 maximizl los l rcnt ' l i t ios de est¿rcnrpres2r para ctralquier r /1 en 10. , t , ¡ ' , , , l i j : r la empresir | ,

l lntonces, la est . rategia c l t ' l j r r ' . r ,1, , ' l : ' lq1), debe selrr¡ i , ¡ r : r r , ¡ ¡ r r¿ ctral-quier gr en [0, *) e l s iguiel-r t t ' l ) r . l r l , r r r r

123

( lonviene resal tar-que est l r ( \ l r r ' , ' , ' ,

paso intermecl io para encol- l t r ' ; r r r ' l , , ¡ i r , l , l ' 'una dif-erencia conceptual impor l .rrrt , | ' , , I

estrategia ( laestrategiaópt im:r) r l , Lr , , , , ¡ , , ,

s ión de su r ival antes de tomat l : t . " r r r I l , ' t 'e legirá cuando obserye el n ivt : l r l , ¡ , ' , ' ,1, , . ,cambio, en el equi l ibr io de f lour n, ' r I , r " , ,

( 's l ra leqia de la empresa 2. F.s l : t t rn¡ ' r ,

r lad r¡ . r ¡ r rc el ige s in conoccr r¡1. l i ' . ' l r ¡1t ' I

l ) lUl t ( ' i l ( ( ) r r l r : l l l l t t 's t t 'at t 'g i : t r7," r l r '1.r , , " ¡" ,

Max n2(r71 , 17,) , l

La sol t rc ión a este problerrr : r I t , ' " , | , , , , , , , , ' , . r r l t l tdo:

t l

r¡2) - c,2q2

, r ¡ , <o

' l t : ' \ t (1-r ' l )

, , i , , , r r , ¡ r r< 'obtuvimos e:n unr ¡ . , r r r r , , t . Sin cmbargo, hay

. , , t . , t t¡ tx¿ 1ü (qr) es una, , , , r rr I , , , .s:r observa la deci_

, , ,1r , , r la cant idad que, ! ¡ , . , r l . r t . rnpresa l . En

,, , ¡ / , , , (17¡ ) no es unar¡r l t sola cant i -

, , r , , , lu( . r ' r 'sul ta út i l, , I rcslr l r l<.Ui l r r7 i

r21 I ' I]OItiA I)E IUL(;,OS: SLI API,I(A(]IoN EN-- I",(]ONOMIA

de la cmpresa I , l i rrn¿rra el equi l ibr io de ( lournot. Nr¡ obstante, R)(qt) t ienc la

misma lbrnra r lrr t ' l i r l i rnción de reacción que dibqjamos en las gráf icas corres-

pondientes cn r ' l l l lo<lelo de Cournot.

Debido a lu l i rr .rrur ( 'n que ha siclo constmida, la estrategia 1ü (qr ) cttmple con

la c<¡ncl ición l i ) <lt ' rrrr t '<¡rr i l ibr io per{ 'ecto en subjucgos, es decir, rnaximiza los

bcncficios cle l :r crrr¡r lcslr 2 para c¿rcla canticlad que pueda ele sir la cmpre sa 1.

A cl i l 'erencia ck' lo ( l l lc ocurre con la ernpresa 2, urta estrategia para la crr l-

prcsa 1 es solamcntc ul l :r cantidad q1. Sin embargo, en contraste con el rr loclel<r

dc Cotrrnot, en quc l :r t ' rnplcsa I clcgía su nive I clc produccir in al misnro t ien.r-

po ql le str r ival, ahora lo l l¿rcc ¿rntes r ' , lo qrre es crucial, str decisi<in cs irrctot r l-

blc v conocicla por su r ivir l . Es clccir, la ernpresa I sal lc r lrre cuanclo la t :ntprcsat

2 cl i ja el nivel dc pro<ltrcción q2, lo h:rrá conocicnrlo t¡ l nivt ' l clc prorlrrt ' t : i í r tr 17¡ ,

lo r lrre c<¡nsidcrará r lna clecisión irrevoc¿rbler.

[ ,a crnprcsa I prrcclc nnticipar el comportanl ietrto cler lzr cntpt 'csir 2. l) t t t ' r l t r

lurrt icipar quc puri l t :rr :r lr¡rr icr- nivcl de pr 'oducci<in r i l qu( ' cl la cl i ja, la ctnprcsa 2

rersponderl icl isicnd() el nivcl r¡ cspecif icndo por l¿r cslt 'atcsi¿r / f i (qr). P()r tan-

to, la crrtprcsa I s:rbc quc la crnpl 'esa 2 rc:rccionat ' i ' r clc ac:rt t :rr lo ir la f i rnciórr

es¡rcci l icacla cn la sigtt ictrtc srírf lca:

( in.'r¡r< :,r ir. I 5rl ls{ratcsia / f j ( ry ' ) t lc la cr t tpr t :s:r 2 c l l c l r r rot l t ' lo <lc Statk<' l l r t ' r 's

Lir emprcsa I prreclc erlcgir cl r l ivel dc prodtrc:ciírn l t qt lc dcscc v sabe qrre,

nl hacerkr, cstar¿ietr real iclat l er l isienclt¡ ut l pt lr) to ( l t , 1f j(1, )) "t '

la lunci<in de:

leacción clc la gr 'áf rca nntcrior. [- lna p<lsiblc clecisiírn es qi , cs clecir ' , elesi l el

rnisrno nivel clc produccií l t quc sc tenía en el cqui l ibr i t t de ( lournot. Esto ctott-

rhrc i r '¿ i a l par (17i , l i ) , a l equi l ibr io c le Oournot, con los corresponcl i t : r t tes t t ive-

It 's rk' ¡ tr t ' r ' ios v bcnt ' l ic ios. Un:r conclrrsi írn inmediat¿r de esto es qtrc la crnpt 'ersir

I r l t l r t 'o l t l t ' t l t ' r '< ' r r t ' l t '< l t r i l ib l ior l t '51:rckt l lbcl 'gal l l le l l ( )s l<lstr l isrr losl l t ' r t< ' l i t ios

JUEC}()S DINA\rr( , ( )S c()N IN¡ORñIA( i t ( ) \ ( i ( ) \ tpt , I ITA 125

qtre obtenía con cl rnodelo r l<' ( lorr lnot. En ef 'ecto, una dc l i rs opcionc:s cletla empresa 1 cn el rnodelo clc: Strr< kt. l l r<'r 's es inducir el par (qi, ql j) , es r lccir, clcqui l ibr io de ( lournot. Pero no Itcct 'sru irrnrcnte es su mcjor decisiírn. l t l nirt ' l r7fc lue lc conviene elcgir es el qrrc solrrr iorr : r t ' l problem:r:

Max n,(q, , l l ) ( t ¡1)) , 11,( t t t ,q, - úü)(q¡))- , 'út( t

I )cr ivando n1(.q1, I I ) ( f i ) ) obtencrrr , , ' :

dnlk¡1, f t i (qr ) )

Po<lett los rtpt 'enrler tr lr tcho cle la cornparuciorr r lc t sl :r r lcr- ir '¿rcla con la ex-

Jtresi<ir t corr t tsponcl iente en cl modelo c lc Corr l r r , ) t . ( iu( ' r ' t 'sc l ib i lnc¡s u. c()nt i -trrr¿tciírn:

dnl( t ¡ ¡ , ,1 , \lu¡, -r l t t . fu¡1 - lu¡21 , I

oUt

dq,

(5.3)

Llts cxpresir) l lcs son si l r r i l : r r ( s. l ) ( ' r - ( ) cxisterr d i ferenr: i l rs. l , ls t l rs r l i f 'c lenci¿rsse dct ' i r '¿ttr t lc qttc urientras ( l l r( { rr , l nrorlclo r le ( lournol la t ' rrrJr lcstr 2 cl iee q,s i t l t 'ot toccr l l , cn c l mod( ' l ( ) r l r ' \ t . r , l , , l l rcrg lc l hace conoc: i t 'nr l r ¡ - r 'consic lc il ' i t l tdoirrcvt t rs ib le- lacal l l i< l : r r l r / r I r r r , ,nst ' tut 'ncia,el tcstest 'grrrrr lornot lc lcr-a cl i fcrcncia clcl prirner(r- (1, r l , ¡ , , rr , l , r ; i r l t ' la e lección de r7¡ . l 'or ' ( 's() se us¿ri f . j (q ' ) . Ambas der ivar las t i t ' t t t 'n t r ( , t ( r r r r i r r ,s.

I i l pr i r r tcr<t rec()ge la vr t t i : t , i , , r , r , | ¡ , r r r io l r l aunrentar rnal 'g i r ra l rncnf.e qlnrtr l t ip l icacl i r por la cant i ( l l ( l tcrr , l r , l , r , ¡ , | , r , l nroclelo dc Cournot c l precicr

'u i t r ' í i t cn -óal arrnrent¿lr l l , ) ' l ) r ) r { . , , ( I l ' r r . ¡ r r t l l rn ino cs- l ry1en (5.3). En clt l toclc lo c lc Stnckelberg la vt t l i l r r , , r , r '7 t r r r r l ' ¡ , r r l r l i ' t - t¿l l? ] ,por cscl e l p lecicr

. t l l t .) , l ld ' ,r r t r í r tet t - ln¡ t - l t - Í ( , t , )y t l ¡ ,urr ' r r ' , , , , , , , " ¡ | l ' , l t l , ; ( t ¡ r ) lq, err (5.2).

04t tt(ll

Elsegundotérminore( ' ( ) t ( r l l r , , l r , ' ,1, , ¡ , , , r l r r r r r ' r r t l t ( ' l lunaunidad glutrnrentarán los ingresos el l l t r nrrrr , , r ' r r r l r l ¡ , r , , r , , I r r t ( )n( .es, e l seg¡nclc ltórminoes, etr arnbosmodclos. r '1.¡ ' r , , ! , ¡ . r r , ¡

c lc lo de ( lournot escr ib imos ( l r ' r , , r , , , , , r ¡ ¡ ,

Stackelbers cscr ib imos fa- lx¡ , l , l i , t , l t t | 1, , , , ,

<lt 'c isión de la empresa l ' . q, = / i) ( l r IFi t t l t l r t t t ' r r te, e l tercel tét t t t i r to ( \ , | . . ' r r l ' .

( ( )s l ( )s ( 's l : r nr is l rur t 'n los <krs nto<l<'1, , t

' , , | , , , , , | | r I l l : ts que ef f e l nfO_

' t , r r r . l l l loclelo de,, ! l , r ¡ / / , ,1, ¡ r< ' r r rk 'de l i t

t ¡ ¡ , ¡ i , r , Lr l r r l r r i ¡ ¡ t l ¡

| | i l l i r \ r ) t l l | ( ; ( )s- st . . \ t , t . lCAclÓN EN E(j()N()MÍA

l ' . r . r r , : , , l r . r t l l ) r ( ) l ) l ( ' lna de maximización cle la empresa 1, tenernos

' l r ¡ , r ( )nr .u ( n ( u( 'ntrr ( l r re la f -unci í ln Ri(St) no es di ferenciable en un pt lnto.

l , r r r ' r r , , \ (u.r t r r ¡<:rrrr l ic latosafactorópt i rno: f r=0, losdosvaloresdeqlenque

,) t r t r ¡ , . / i . l ( ,1, ) )" - 0, \ 'c l punro en que R¿(qr) no es dif 'erenciable.

t l t t ,

I 'ot lcntos cottt¡ t t olxtt ' (r , ,éase el apéndice de este capítt l lo) que dependien-

clo t l t ' l r¡s vlr lr¡r ' t 's rk' los ¡xrr- l imetros, cualquiera <le los cuatro puntos puede ser

la elecci<in t ipt irrra r le la crnprcsir l . Estos puntos,. iunto con la selección de q2

inducicla. son:

( t ) ( t <2' ' , - r t=qi = ' ' , - , i ' ' , ; =O'2b

.1, .

i r )Si 2¿, - u1 t1, 1- , Q =+ t t i

2

3te-r t r t* , . ,2¿)Si . <( ' t<-=)( l l

22

,tt si'ff( r, -+r7i ={).,,; = +

(lrnsidcrcm()s prirnor() el cc¡rri l ibrio ry'. I istc cirs<¡ t¿rrnbión sc prcscntirbar:n cl lnodclo clc (lournot y ()(:rlrrc c:rrundo la dif irrcncia cr) c()stos clc las dos ctn-prcslrs cs tlrn granclc quc aun(¡rt: l ir crrrpresa l, c()n c()st.()s tnon()r'cs, hje la can-ticlucl y el prer:io de rnono¡lolio, l:r cnrpres:r 2 no encuentr2r rcntable prorluc:ir.Fln cft'cto, ctrando la ernpresir 1 clige l¿r c¿rntid:rcl que resulta riptirna p:rrir un

- . r Q-( l

rrrcrncrpcrlist:t, 4t = ,ü , sc f{cní'r¿l [rn precio en el rnelc¿rd() rnen()r'al costo ¿¡

de lzr ernpresa 2. Por eso l:r empresa 2 no prodtrcc nada.El equil ibrio á) nos aporur una enseñanza importante . Pucsto quc 2r" - a <

r:¡, en el equil ibrio de Cournot la enrpresa 2 produciría una cantidad p<-rsit iva(véase capítulo 2). Sin embargo, en el modelo de Stackelbcrg no produce nacla.A pesar de esto, la empresa 1 no se comporta conlo Llll monopolio. Si se cornpor-

taracomounmonopol io,elegir ía , i =T y,puesroque l i =+.+

cu:rn<lo 2r\- o < ri, esto induciría rrna producción positiva de la empresa 2.l ')rrtorrct's, la ernpresa 2 no produce nada precisamente porque la empresa 1 dis-tor sir ¡nlr srr rrivt ' l clc pr-oclrrcciírn para clue así ocrlrra. Esta clistorsión consiste en

JUEGOS DINAMI( i ( )s t o l \ r I ( )N CO\l l ' l . t l L\

una producción mayor a la de un l r r r ¡ r r , ,1, , ,1 r , , ( lue induce un precio menor yhace que la producción de 2 no s( ' i r ¡ l rr , l , l , ( ,rrando calculamos los benefi-cios que obtendría la empresa 1 con l .r | ,r , , , t , r , ( r(-) lr de rnonopolio, comproba-mos que son menores que los derivir< l , r , , , l , , t , , , r r l . .r producción propuesta.

El resul taclo anter ior impl ica Qu( ' , . r r r r r , ¡ r , , l . r t , rnpresa I es la única en elmercado, el ige una cantidad asociada lr ur I l )r ' i r , , , r( 'nor al de monopolio. No eslo mismo un monopol io que no enfrel l t ( r r \ ¡1, ¡ , , , r . r rc ia les, por ejemplo, por-<¡ue la ley le reserve la producción exclusir'.r r l, r r | | ,' r. rlue un monopolio que síenfrenta r ivales pote nciales, cl ispuestos :r I )r ( , ' | | r , | | r l , ,s r-esulta rentable. En elpr imercaso,tendríamoselequi l ibr iodentt¡r¡ , , ¡ , , ,1r , , 1r , , .1 segundo,queeselqueestamos anal izando, la empresa I produr '< r ' , . , r l r ¡ . r rn) precio mcnor por-quc sabe que hay una empresa dispuesta : l ¡rr r , , l r r , ' ,¡ r 'st() le reporta benefi-c ios posi t ivos. No sír lo es importante la com¡rt ' r r ' r , r | , l , l , rs t . rnpresas que efec-t iv: tmente están producicndo, s ino la de los l i r ' , r1, . 1, , , r , n, i : r l t 's .

Fi l equi l ibr io r) cs el que se obt iene si por t ' j . r r r ¡ ,1, , l r , r l .s < 'mpresas t iencnlostnismoscostos, : i ( t=(r= c.Estaigualdaddetost , , . , i , , . r , r , , r r : r r . í l rqueproduje-rar l la misma cant ic lacl en el modelo de Cournt¡ t . l , . r , . r r r l , r , , . r ' r r c l modelo c leStackelbcrg tenernos que la emprcsa I pro dur.r ' t . l ,1, ,1,1, , ¡ r r . l r r empr.esa 2:

, t i =", : ; ' ' =2tú. l . t te lnPresa I der iva ur la ventaja s l r \ r .ur ' r . r l ,1, r , , rnru pl in l t ' r<r"2b

sur let : is i í r t r ,ydccl t re laempr-csn2laconozcaysepa( l l r ( ( . \ r r , . r , , r : r l ) le.

Firralntentc, c l equi l ibr io r1) t :s análo¡;o al equi l ibr io r / , / . s. l r , , ¡ r r , . : r l rora es laulnpresa l , la quc decide pr i t t t t ' r 'o, la c¡ue t iene costos sust. r r r r , r lnrr . r r r ( ' rnayo-res. l lsto hace que tro obstantt ' l : r vt ' rr taja de decidir prinrt '1 r, , n r , l )r ( )( lu./( a nad.ar:n cqui l ibr io, y le deje todo t. l nr<'r ' r 'udo a la empresa Z.

LI\ Vt l t r l t o ¡¡¡ . ' ' r , i l r I \ r l t i \ B\SAIJ()

l . \ I ' l { ( ) t , r | \ I \s \ t . t l . lRN,\ t )AS

l i l s iguientc modelo de negoci l< i ,r r . r l .s, r r r . l l rrr lo por Stahl ( 1972) y Rubinstein(19U2),essuscept ib lecleanal iz l r ls( ( r , r r l . r : l r . r r r ln ientasdesarrol ladasenestecapítulo.Dosjugadores,A,vf i ,nt 'qor i . r r r r , , l , r ( r , , rnr , t ( . ¡ )ar t i rse¡npasteldeta-maño 1. La negociación la real iz:rrr ; r l t . rn.rr , l , , : , ( n l ) r ' ( 'sentar propuestas dedistr ibuciói l de la s igtr icnte In i t i l ( . r . r :

Enunpr imerper iodo,el . jugár[or . l ¡ r r , ' ¡ , , ' r r t l r ( , r , I l ( .1(x l r r ( ' t rnafracciónx1 delpastelVal jugador-Blaf iacciorr tcst .ur l ¡ i , I I i ¡ r . \ ront i r l r r i rc iónel

I t [ t : t t , t r , l ¡ 's lo, rcctrérdesc <¡tr t l t t ' r r r ¡s s¡ l ) l r ( \ to r l ¡ l

( i )n ((r \ l ( ) \ r1 ' r r , r l l r ¡ i ror l t t r i l í ; t r t iu l t l l ; ts r c lo.

r27

n - ( ,, ( l ) = l l

b '^

r t * t : , -2cr, 0-3c, *2c, ,- t t l r , -

2b 4l¡

r i ,Rr\ l ) l l t 1. . ( ; ( )S: SLI , \PLl( lA( l I ( )N ¡ lN F,( I )NOlf lA

j rru:rr lor. 1l pucclc :rceptar o rechazar l l r l ¡>r 'o¡rrrest¿r. Si la acepta, se rcparte elpastel confbrme lo acord:ldo. Si la lct l r :rzl , se pasa al sigr.r ientc pcrioclo.

En rrn segundo per io<lo, < ' l ¡ r : rst t l s t 'h:r reducic lo y t iene tanraño 6 < 1.Ahora le toc:r al. j rre:rr lor ' 1i ¡rr, ,¡r, )n( r ( io lrr l t 'part ición del pastel: & para e l . juga-r lor ' . .1 r '1, , , I \ i , l ) :u:rr ' l ¡ r r r , , . r l , , r i i . r \ ro l r t intul .c i ínr ,e l . jugaclorApucclcacept2rr, , rcr l r , rz. l r t . r l ¡ r r , , ¡ r r { . ,1.r \ r l . r . r , r ¡ ) t . r , \ ( ' r ' ( 'p iu ' te el pastc l c<¡nfc l rnret Io ac<trda-,1, ' 1 r r r ( , t \ , , | , 'nt t , i l t " \ r l , . l \ . t . r l : iqrr ict t t t 'pef io( lo.

| | ¡ r t , 1 ' , ) ( ( ) r ¡ tnnr.r ( .n ( | ¡ r rq,rr lot , l l l l rc icndo propucstas en los pcr i ( )dosr,rn(

" \ , I ¡ r l i . r r l ' r / i l r . r r i t r r r lo l , rs t r r l , rs ¡ tcr ioclos purrcs, y el pastc l rc( lucién-

t losr ' ¡ rc l rot l r ¡ l r : ts ¡r t t ior lo. l t r ¡ i t 'nr l r ¡ r r r r t :u l l l rñt¡de5/- l t ' l l t ' l pel ior lo L l ) l pcr iorkr'1 t 's t : l t i l t inr() ( ' l r ( lu( 'pr . rc( l ( ' I l i rbcl r r t 'got iaci<in. Si en í ' l r r<¡ sc l leg¿rrr un ¿rcruer-clo, el pastcl clesapirre cc y caclzr.jtruackrr ol)ticnc un:r rrtilitla<l clt: r'cro. Mas gent:ral-tr le l l tc, la rrt i l idacl qrte olrt icnc cada.jueadol clepcnclc ¡;1¡l¡¡¡¡1'¡¡1¡ ' -( fs in) p( )rtun t( '1¡1¡11¡¡11¡- r l t ' < rrírnto pastcl sc l l t :r ' t ' , y sc r lclcrrrr in: l ( lc l¿r sigtr i t 'ntc nl¿ul( 'r .a:

' Si en t ' l pttr- iorkr I sc l lc:gu ¿t rrn lrctre r<lo, cl . j rruackrr ' ¡ l olrt icnc ?r.t - 61-lx1 v ( ' l

. j t tu l t t l<, t l l . r t ¡ ¡ - t i ' - l ( I - x,) . s ict tdo O < 6. I r ¡ t l : r r ' l , l < l t . r l t 's< rrr . l t t ( ) ( ( ) t '1t . .

' Si tr t t tr t ¿t st ' I lcea l t t t t l i tcttcrdo, arrrb<ls. j trga(l()r-cs obti t :rrcn un l)ag() <k' r 'cro.

Nctl t¡ t i t tr ión rcn unu.utl .a pntprrt ' .stu ( ' l ' : I) : d. jurgt ¿1¿1 rr l t i rnírtrrrn

l ' .s t l r t tv i t rstr t t t : t iv t l cot ts i<lcr : r r t ' l . j r rceo pala r ' l t l rsr¡ 7 '= l . l - .st t . s( . ( ( )n(x ( ' ( ( )n l ( )

cl . i rr t 'utr dcl t t . l l i tnr i t t t tn. I ' i l j rruarkrr, ' l pro¡rorrr '( ' i ( ' r t :r cl ivisi<in: x J)1rr¿r í '1, r , I - r

J)ara 1J. Si t ' l . j t ruador '1 la<cpta, c l i t t ' t t t ' t 'ck¡ so l ) ( )n( t ' r r ¡ ru ic l i ta; ( .n ( t rs() ( ' ( ) l l t . l ' l r -r io. t :ad:r . juead<tr obf icnc r :c lo.

( ln,ir.rr:..r ir. I 6I'il jrrcg<r clt'l ultimritttnt

..1 prrr¡ronr' .¡ I .t 1l act 'pta o r t ' t l l l rza

Encontretmos el eqtr i l ibr io perf 'ecto en sub-jucuos, por inducciírn hlrcia atr 'ás.l,ir cstrategia <lel juuzrclor' /j clebe cspccificar qrrí' rcsptrestir rl¿rr -¿lccpt¿rr orecl)azar- ¿1 toclas las posibles propucstas prescntadas en el mornento I.Z.Prtcsto que el j treacl()r IJ obtiene 0 cu¿rndo rech:rzzr una propuesta, estír dispues-

I Nrilt st (lu(' r es sicmpre l:r f iaccirin del p:rsterl que le toca al. ju¡4aclor A v qrre el sul¡ínclicc st'r r l i r r r ' ; r l ¡ rcr ior lo ( n ( l l l ( 's( ' t 's l ; i neeo<inrtrkr .

Jt l l l ( ; ( )SI) lNANl l ( ( ' , , r29

l . ( )aacept¿rrcualquierrcpart ic i ( )n r l r | ¡ , , r , I (x, I -x) , r r . r r r r ¡ , , r l : t ( l ¡gsearr)gy<lcsigtral . s i , por ejernplo, se le, l r , ' , ' r r r , r l l r rse con s.r( , , , r , , , r , . r ¡ r : rsrel , o l>tenclr¿iunaut i l i ( la( l lnay()racepLur(1. l r , , r r r r , r ( f r ) quc r( . ( l r . r ¡ . r r , l , , l . r ( r . r . . ) .L) i r<lacst¿restrat .egiaclel . j t ruador, f l , r ' l ¡ , ' , ,1, , r , lproponc( l l r ( . r l . r r , , , , ¡ r ¡ r . r l r ¡ ,

l i r t totrces,s icar la. j t ru:r t l t t rseinteresir \ ( ' l , , , ¡ . r r ( l l ( ) l 'cuírnto¡r : rstr | . , l l , , , . r , Ij r r ¡4 i t r lor ( luc pr()p()nc, ,4, pr ,pondr- l i l l r \ . r , , r , , r l . , v e l otro a.( ( .1 ) t . r r . l

Ntgx irrción cn rlos tt¡rulus ('l' : 2)

t . l

( in,(r ' r<; . r : r | ,l )os t ot ld: ts de rr t r l , ) , r . r , r ¡ , r I

t .? ' l 2.2

11 :r t t ' ¡ r la o

rt ' r ' l l rz:r

I' l ¡ r r r r ¡ rorrrr t , l - r l

l l i rct ' ¡ r t . r , ,

rccl r l r zr r

l . l

I ' l t l t ' l t t tot t l t ' r l to2. l let<i t l r t l tq i r l r l . j r rg i ldor/ j .Nr,rr nr , ' , . r lu( ( .st l l ¡ rgscnelr i l t i r l lo¡r t ' r ' ior lor l t ' t t l lnroclc lo<l t r r ,g, t iaci í rn,eSrl t '< i ¡ . r r i , . . ( . r r ( ( )n l l lun()sprcci-s l l l l f ( ' l l l ( ' t ' t t t t t r . j t tcQo dt u, lL i . t ¡u i t tut l ( ( )n l ( ) e l r l t te acal l ;uno: r l ¡ . . rn.r l iz :u. . Sl t l tcnrclsr¡ t r t 'prot ' t ' r l i ( ' l l ( l ( ) IX)r induccir . r r r l r , r ¡ i : r : r t t . t is l lcgarcnlos,r l , r r , , r r I r rs i r i r r t l t , r ¡uet ' l . j t ru:r<lor ' ( l r l ( : l )11) l ) ( )nescl l t ' r ' : r t . r l , , r l ¡ r l rstc l .Ert to l tct 's . r ' l ¡ r r , . r r lor / i ¡ r r .6p6n-r l r ' í t c t r c l l l lorncrr to 2.1 l levat 's<' I r I r t ' l j r ruaclor A :r t r . ¡ r t . r r . r t , r l ¡ r r .o1t t r tst . i t .Vlv l l l l los i t l lor : t ¿t l pcr iocl- l 1= l . I r | ' , l j r r r¿ 'acl<lr lJdcb<'r l , r ¡ t r .st , r r i l u¡a I ) r ( ) -[ ) l l ( 's ta. I ' ls tc. i t rUir t l< l r sabe qu( 's i l : r r , , l r . ru.r . r , l s iguientc pt ' r - ior l , , , r , l l t . r . l r r .¿i tc l r l<rc l ¡ lastc l , l -xr= I qtrc, t . r : r íc lo:r \ . r l , , r l ) r ( . ( r t ( ' , r 'a lc6(1).Si l l r l r t r ' ¡ r t : r .o l r t t ' ¡cf i . í rl -x¡ . Portantrr ,c l . j t ru¿ldor /J¡(( . l , t . r r , , , 1.¡ ¡ ¡ ¡ r ) l ) l lcstaqueslr l is l : rg l r l - r ¡ >6.l )adacst¿rcstrat t : r r iadel . iuea<lor / i . ,1¡rr , , . r , l , , r l ¡ r r -oporrcprecis l t r r r r . r r ( r . r ¡ r rccl : r r -scc() l lxr - l *6.

Negor i a,ci ó n ton.' l' nntdo.s

LJtt poc<ldc rcf letx i t i r t nosha( ' ( '< l ,urr , , ¡ , r , , , r , ,1, ' l r r ( ( .n un ln()delgco¡ 7 ' -3roncla.s, e l anul is is c lc los pcr iot los l ' r i , r , t . . r r , , , , l . r r r : r l is is c le los c los pcr i6-

" l ln real ic lad, e l . j r rgar lor lJ no l icrr t . ¡ r r r t , r , r , , , , ¡ .( l ( 'JC c() I r ( 'xactan)entc cenr. Pr l r senr i l l r .z . r ¡ r . r l ' r , , , I

, , I r . . r r r rDlr ¡ t r<lptresta qtre l< l, t , , , , , , l r r r r ¡ l r l ; r t l t ,n l rcstr .at t -

u i ; tc lc, l i -strpor)cnr()squeac( 'pta( ' t r (s l1 ( , r \ , , '1,r , ,1, , , , , , | , . r ¡ ¡ ¡ , i l i l ( )sr¡rrc l ; tsOl i , r .

l r ls t ic f t ( ' I l ( l l lc( 'xpr ' ( 'sarseenrrni t l : t r l t 's<l isrr , t . r . l , , , ' . t , , , , t . , , , t , ,n(( .sr . l iuglr t lo l l li l ( ( ' l ) l i t ( l r . r l ( l i l r ( r l ) l r ) l )u(st : l t ) t¿l \ l ) t i l ( ( r ( ) \o l r l r ¡ r ! r , ! ! ¡ ¡ i ¡ ¡ , , , , , , , . r r r t Í l . r r l ¡ rosi l r l t .( . \ l l ( l iutr 'nt( l r , \ r t t \ , t t r r t r ¡ t r i l i l l r io.

I!

I ' I r t l r | ( . ( ¡ \ : \ t \ l , l . l ( : . \c l ( )N l lN I . . ( l ( ) \ ( ) \ I IA

,1, ' ,1, l ' , , , ,1, 1, , ' , , r r / l l l .s t :u ( 'n( ' lpcr i (x l ( )2deunnt()delc)de i lpcr iotkrses

, ( l r r \ r l ( . r , | ¡ r .n r r r , | ¡ , r i r r r t ' r ¡ r t r ior l ( ) c lc t r r l rn()dcl() c le dt ls pct f i ( )d()s; en

.r I r1, , , , , ( . r , , ,1 ( r . i l r r , . . r ' r t r | ¡ r , r r r r l l i r r r ( ) ¡ lc | ic lc lo c ler t tn rn<lr le l<l c lc r lcgt lc iaci í ) l l .

l 'or t ,ur t . . . , , r l r r r r , , . , , ¡ r r , , r l l ) l r ) ( ( ( lcr ¡ rot i r r r l r tcci í l t r h¿rcia atr i rs l lcgnrcrnr ls ¿r l i r

torrr l r rs i , r r r r l t , ¡ r rc t n t I nr , rn)( r l ( ¡ r . I r ' l l r rg:rc lor / lpr<tpt lnr l ráquccl2l tse c()n I

-xt=I- l i . l . l t torrr ts. tn | . l ) l , r ( : . i l l l r l ( 'g i : r r lc l . j r r rark)r l jaccpt.ar i r las¡>ropttestzrs

(r 's í r lo aqucl las) ( luc sut is lasrt t t I - - r1 ' . a i ( I - (5) . P() l 'cs() , or l l . I c l . i r rgat ior ,1

Pf()P()ndl i r xr = I -6 + 62.

L. lsanrkr c l rnót()d() ¡ur tcr i ( ) r cs posi l r l t ' \ ' i ' r qu( 'c l l ur l l l l (x lc lo tot l ' l '= I c l

' , t * t , : l : l : r l t

Prolx)n( l r¿ict t c l tnoutctr to l . l , r r -= l -E+ 6:- tS: t1 ' . pant( ' \ t ( ' r rs i ( ) r rcs

, - / l. . . f O \r / ( 'sui l l ) i r l

. . . - 57 I sr 7 ' cs pl l r '

l int r ¡ r rccs, ( u lu)( l ( ) ' / t icnt l t ' : r i t t f l r r i to, , r ¡ { { ) r lv t ' r 'gt ' : r i

( l -6) ( l *6) r!

= - . - -

' 0 6:) ( l+6)( l -6) l+6

l ' . t , i t I c t t t i t t .¡ , ' l t ¡ ¿ t ' l j t u'g,, , ! t ' l t t I I i I I l l i l t t r r t ' ;

l . is inrJtort l r r r t .c srr l rntytr l r l r r t : krs rcsul ta( l ( )s r l t ' l ntor l t ' lo i t l t t ( ' l i ( ) t ' t l t 's t l t r lsr t l l t : t t

c l srr¡rrresto ( l ( ' ( luc car l : r . j t ru:rrkr l sc i r r tc l t 's : r .st¡ lunvnl t ' lx) l ' la ( ' l l t l t i ( lar l r l t ' ¡ ;ast t ' l

( luc f l l rna. A corr t i r r r rat ' i r i r r r t ' r , isarrros t : l t or t tyrot ' t luni t : t l to r lc. j t r ¡ ra<lort 's r t : : t les t ' t l

cx¡ tc:r ' i t r r t :nt<)s qu( ' t r : r l iur ( lc rcJrrrrr l r r t i t ' cst t ' Inor lc lo. ( ) i i t l l , Slrrrr i t t l tc lutr l y

S<:hrvl l tz ( l9¡J2) l i rc ' r 'on los pr i r r rcrrrs c l l r ( 'a l i / r r t t t t t r ¡ r t ' t i r t t t ' t l l ( ) ( lc t l l t . j t t ( ' r l - ( )

<l< ' u. l l . i ¡ ¡ t t i l t t rL t )n errrJro r le pal l . i< ip l rntes f t tc c l iv i t l i r lo t ' r t ¡ r i t t ' t ' j i ts ( l l l ( ' \ t ' r ' ( ' l ) : r t l i -

r ' í¿rn rrrr¿r sutni l ( le r l incrr¡. Flst¿r r l iv isi ír l sc r l l i rnt l l \ ' () ( ' l l scclct(), t lc tr t i r t tcrt t cl t t t '

nirdic sal)ía r lrr ién erir su par<' ja. A rrn rnicrnblr) ( l( ' cacLr parcja le tot '<i l r l tccr lr t

pr()puest:r cle cl ivisi írn v al otr-() accpturlrr () r 'cch2rz:rr lu. Arnbas ( l t :cisiot l t 's st:

cornunicrlr()n cn rnensir ies cscri t()s, que dctcrl l l i l l i l ron los pagos (cn elcct ivo).

Arrncltrc la rnayorí:r cle las ¡ lropuestas picl ió tnírs clc la rrr i tacl clel pastcl, casi

nacl ie propuso l levalser todo el pastel, kr c¡rc contr¿Ista c:ol l l i ls prt:cl ir :r : i<tt t t 's

tcóricas. Más aírn, la propucsta más comírn fire repartirse cl pastel a la rnitzrcl.

" L l rs st ' r t ioncs solrr t 'evir l t ' l lc i r r cx¡;r ' r inrent:r l en rrodt- los de negociación dcscansalr r le ' r r ta-

rr , r , r i r r r ¡ ror t i rnt( ( t ) l ) r rv isr l lo l t ( l { )1) l } )

l L:l.t( ;( )s t)tN,\M I(.()S ( i( )N r N F() t{\tActa)}.' c()M l,t.tiIA l3 l

POr cltr¿r parte, los pocos rec:hazos qu('se ()bscrvaron fueron más co¡¡r¡¡r, r ¡¡-tre las proPuestas míts alt .¿rs. El expelirrrcnto se repit ió una scmana des¡rrrcs t , rrrr-csrr l [rdos sir¡r i l¿rrcs, ¿ulnque con pr()pucstas alco rn,ts agresiv¿rs.

L<rs part icipiultes en cl experirnel l t .() de ( l i r th ¿¿ al. eran esttrdiantt:s rrr i¡¡rbrcrs dc rrtr Qrt lpo qrlc y2r sc conocía; h-olsythe et, al. real izar()n un jrrc'go r lcul l . i . ¡ní¡, t t t tn, ctt el t¡ t tct t t l {¡rt tpo cle part icipal l tcs no sc conocía, y c<xrf irmar¡rr losrt 'stt l t l rdos cle ( l i i th. Nttcl ' r tnrcntc, la rerpalt icir in clcl pastel zr la mitacl f i rc l :r ¡rr. trpuesta qrrt- r tr írs st ' r t :¡ t i t ió v ( 'asi nadie pr()pus() c¡rrcdar.set cton t()do cl pastcl.

l ln los <los cxJ-rctt ' i t r tcl l t .()s antcriorcs, hav trrur tcl l( lcncia clcl proponcnrcir l i<' i l r l a t to l tJrrol 'ct:har to(l i l la vr:ntaja qrrc kr r la la cstnrcttrra dcl . j rrergo. I i ) lcqrr i l i l t r io ¡rc l f ct ' to cn srrbjrrc:gos nos dicc qrr< ' c le lx.r í : r I )1.()pol lcr qucd: l rsc conlorlo t ' l ¡ l : tstt ' l - t 'xc( ' l ) l () quir l ls J)()r unir canticl¿tt l insiqnif icantc- y s¡ parcjar l t ' l r t ' l ' í i t i t ( ' ( ' l ) l i t t ' l ( ) . l ' ls l : r < l is t r i l r r rc i r in, s in cmblru() , l )u l ( . ( : ( ' rnrr l in j r rstu v J)r 'csu-rrr i l r lcnrcntt : i 's ta rk ' l r t 's t ' r - l : r < 'xpl i t : l rc: i< in c le por qrró no sc obscrva. I Ia* s i ¡t ' t r l l l l t t { ro ' d i f i ' r -cr l t t 's l i r t ' r t tas ( 'n quc lo i r r justo c lc esta c l is t r i l tución 1>trcde afcc-t¿tt ' cl t ' t :stt l t .a<lo. I Ttta t 's la previsit i tr t l t ' l ¡rrop<lnente inici¿rl r lc qrrer un¿t pr()pucst; ll l t t ty r l t 's igtt : t l vi t l t scr rcchaz¿1(la lror s( 'r ' ( :() l)si( lcr irda injrrst.a. Prrm rxanl irrar.t 'st ir ¡ losi lr i l id:rt l , l ' 'orsvthc al rzl . ( l !)88) r ' r :al izalon lo clue l lanrarrr¡ el. j ¡¡g() clel<l i t t l t r lor ' . [ ' ln t 'stt ' . i t rcu(), ut l i l pers()na ( ' i : l <l i t : t . :rr lor-") dcciclc corrro re¡rart. i r . turast l l l la ( l ( 'c l i t r t ' l r r ( ' l t t t - ( : ó l y str pareja (c les<'ono< i r la) , s in ncccsidacl c le l conscnt. i -t r t i t ' t t lo r l t 'ósl t t . ( l t ' r r ' : r r l t '2I por c icnto t l t : los. j r rgar lor-cs c lcci<l i í r qrrc<larsc contotlo t : l l ) l ls l(r l . P() l () lnt partr ' , también celc¿r dc 2I por- cient() siguií l r l iv icl icnclcrt ' l pastc l : r la nl i tur l . l )or t .arr to, c() l l ) ( ) cr()nclul ,err D¿rvis v I Io l t ( lgg3), l¿r consic le_l l t r i t l l l t l t ' l : r ¡ rosi l r i l i t l l r r l<k ' t t '< l t : rzr¡r l t ' r rnrr pr ' , ,prr t ,strr r r r r ry<lr ' r igrr l r lespartc r le l l tt 'x lr l icac i trrr <lc por. qué Ir() sc l tpt 'ovccha toda la vcrrt :r ja cn el. iuego clel ult¡ntr i/ t l l ; ¡rot 'qttc l t l qtr i t .ar la ¡rosibi l i r l :rr l clc r-crch¿rzo se obscrvan pr()puest¿rs rntrchottt í ts l tgrcsir": ts. Sit l er l lbal 'go, í¡sta no r:s Lorla l :r cxpl icacir i l l , l )()r-que sc siguc.si l l: r ¡ r |ovt : r : l raI t ' r r toclo su pol t 'nci i r l l l r vcnt. i r ja dc scr.el pr()p()nentc in ic ia l .

[{<rl l l l ran d ul. (79{l | ) l l rrrnan la:t tenc:i<in sobre cl ht.c 'ho dc qrrc aunrltrer eljrruarlor qrrc <lccide Ia l t ' ¡r :rrt ici<itr cn el. j trceo clel r l ict¿rcl()r pcrrnir.ncce ¿csc3-trot ' ido l)ara st l pare.i t l , t 's olrscrt: lclo por cl aclrninistraclor del cxperinrerrt1¡.l ' l l los se Prcgt lnkin s i t : l < otrr¡rr¡ r t r rnr i t 'n1o clc l d ictaclor prrcclc ser inf l t r ickr p6restchoch() .P:rrar-cspol t t l t r ts l , t l ) r (q l i l l ta,rcal iz¿urrrncxpcr i rnent.()cnelquetr i s iqtr icr i r qtr icn lo l t r l l l r in istr . r ( , )n( , r r ' <¡rr iórr h izo cad¿r propuesta. E¡ cstecaso, r los terc ios dt l los r l i r l . t r l , ' t ¡ ' ' ,1, rn,rrrr l :uorr e l past .c l ctnter() . Entonccs, s ib ien : rún no se lpr() \ ' ( '< l ro ¡r l , n.rr . r ( , r ( I . r \ ( r r : l i : r dt scr el c l ic tador, csto n()sIr l t lcst l '¿ l c}re la Prcl(x t l l ) . t r i , , r r ¡ , , , , Lr ¡ , , r , . l r ( r . r r r l r ' ot l ' l ts pers()nas -a¡¡quet lO sean los dircctatnt ' l l l r ' : r f cr t . r l , , , . . , ,1,r , l . r lu\ t ( . , / : t r l< ' r r ¡ l t propuesta, iuf l r r -f 'c l de nlanefa i tnpot. t l t l t lc sol¡ t , l . r l r . r t r r . r l , r , l r ( . , t . t 1, . ¡ l ( ) ¡ ( . ( ,s. t ¡ ¡ ( : I l l ( )s ¡ .gsl l t t ' toresque nosexpl i<: t r r l ) ( ) r ( lu( r r r , I ¡ , ¡ , , . , , , r , I t t l r t t t t , t r t t t ¡ t t . l j r rg;r<19r. l ) r . ( ) l ) (Fn( 'n l ( n{ , : t l ) t I ) \ ( . ( l t ; l lor l : t s i l \ ( . t t l . i l . l

i

I r - t+o'' '

=1,- t \+6?

I

I , l l l I ( , ( )s: St . \ l ' l . l ( lA( l lON l lN l ' . ( l ( ) \ ( ) \ I IA

r l r r lur ' l : t ¡ r : r l t ' ja rc(h:rzará un propttesta qt lc c()nsidcrc

,rrn.u l l r rr t ' r ' t 's i t l l rcl clc aJroblrcit in r lc str p:rret ja, los prop<>

)n un:r Polc iot t l l rA\ ' ( ) l ' r le l pastc '1.

t ,1,r , , , ( r l ) . r { i ( )nsolr le laopiniónde() t r ( )safrel) tescl ist i r l tosast lParci i r ,, i r ¡ r r r , , , l r r r i r < ' l r lcsconocinr icnt() t ler lerxpcr i t t rcr l ta( l ( ) f c lc lasre¡ral t ic i t r

, ¡ , r , ( n ( r lu( r- l() rk ' l cl ict¿rclor ' , aurncntr i l : r p<lrc: i<in c()n qtrc s( '( l t l t td( i cl

' ,1,r' , l ' , , r . r l r ru isrrrr) . ( )u l rs( ' r r t i ( l ( ) r lc . i r rst i< i : r r l t ' l ¡ r t -o¡ tot t t ' t t t t ' .Est l t l ) r t rc( 'csor

, , 1, l r , . r ( r ( ) r r l t ¡ r , r r ¡ r r t l : lun(rr lur( l ( ) ( ' l l ) r ( )p() l lc l l t t : t t t l t t t :c : t 's i t i t l )¿r( lo laapt '<>i , r , r , , r r r l1 \ l r l ) :ucj l rvsrr<l t '< is i i rn l )ef lnan( ' ( ' í t t ( ' l t ( ' l i l l l ( ) t l i l l l : t t ( ) l ) : t r i t t< l t l<¡s-¡ t t -

, lLr . , , r | , r ¡ r t ' r ' i r r rcrr l l l ( l ( ) l - un l ( ' lc io rk: los l )11) l ) ( )not) t ( 's l t ( ) s( ' l l t r r '< i tor l<¡ t ' l

¡ ' r t r I

I , ,,1, tt, ttt \ol)¡? t[. nttrl¿:lt¡ rlc rlos iltntltt.s

l . l ¡ r ' i r r rcr ' ( 'xp( ' l ' i l l t ( 'nt() ( l ( ' l l l l n l ( ) ( l ( ' l ( ) t l t ' nt ' r¿ot ' i i t t ' i í l t t t ot l < los t or t t l : ts lo l r i t ' i t ' -

l ( ) l t lJ intn() t 'c , Shu.kcr l y Sut. l ( )n ( I1)ul-r) , ( ' ( )n un vl l l ( ) r '6 = 0.21'r , ( 's ( l ( ' ( i t ; a l Jr l i r r< ' i -p i ( ) ( lc l¿r st 'grrrrr l l t r ' ( )n( l : r ( ' l l ) l rst( ' l sa) l ( ) tc l l ía 25 l ) ( ) r ' ( i ( ' l l t ( ) < l t ' l t¿t t t t : tño i r r i t i l r l .

Sal tc lnos ( l l l ( ' ( 'n t ' l nr<¡<l t ' lo r l t ' r los r ' ( )n( l i ts t ' l . i t ru l r r lor ' ( l t t ( ' l ) t1) lx) t t t ' i l t i t ' i l r l -

l l lc l l tc , ¡1, rk 'bc l )11) l ) ( )n( ' r ' r lc j :u ' i r su ()JX) l r ( ' l r l ( ' 6, t ' l L l r r tut i lo <l t ' l l tast t ' l t ' t t l : t

sigrr icrrtc r()n(l :r , ( 's ( l( ' ( ' i r ' , ( ' l l ( ' l ( 'x[)( ' r ' i r t tcnto <lt ' I l i rrnlolt ' ct r t l , . , ¡ l t l t ' l t t ' ¡rr '<>

lx)n( ' r ( l l lc( l r r rs( ] r :orr 7 l - r pol t ' i t ' r r to <l t ' l past t '1, f ) r ( ) l )u( 'st l t r ¡ t r t ' / i r l t ' l r t ' l t ( c l ) t1tr . Fl t l

t ' l t :xpcr i r r r t ' r r t ( ) , ,4 l ) r ( ) [ )us() ( 'n pr()r ] ro( l io r l r rct lat 's t ' ( ' ( ) r l i )7 ¡ror t ' i t ' t t lo <[c l p: tst t :1.

I )ostr : r i<>rnlc l l tc , r : r r1ur( l ( ) krs Jrul t i<: ipanl( f s qu( ' habíarr . j r ruaclo t ' l ¡xrpt ' l t l t ' / l l t t rsar '()n ¿r scr A y \ , i ( 'cvc:rsa, l i r ¡ l lo¡rtrt 'st ir rnt '<l i l r srr lr i<i l t 67 ¡tor (r i( ' t l t () ; ( tr¿lr)( l() ( ' l

j rreador' ,4 había cst ird() pl irnt:ro t 'n los zlr¡r:r t t)s ( l( ' l . i t t f{ l r( l() t ' IJ, st ' : t<' t ' r-<'o l la ¡tr t 'r l icc iórr c lc l t ' r ¡ r r i l ib l i ( ) l ) ( ' r f i ' ( ' t ( ) ( 'n sul) i l r ( 's()s. I l r t t ' t is t ¡n y Mt( la l r t ' ( l ! ) t t l t ) ta l t t -

l r iér l r -cul iz i t r -on c l cxpcr i l l lcnt() c()r1 6 - 0.25 r 'ohtrrv i t 'nr t t ¡ t ro¡r t t t 's l l rs i t t i< ' i r t l t rs

rnerr l ias r lc 72 ¡ror r: ic 'nto r l t ' l ¡rastcl, r l r l ry ccrcul la a la prt:r l i<'ci<irr ( t ' í rr i<' :r r l<r 7ir

p()r c icnt() . Asirnisrno, Nct ' l in, Sonncnscl l r : in I ' Spicecl ( I1)8u), t ' t t t t r t t 'x¡r t ' t i t t tc t t -

r ( )c()r ' r I -6=0.6t '1 vSpicgel ¿l¿l . (1990),c()n l -6=0.( iTobtr tv i t : rot l rcstr l ta( l ( )s

mu,v ccrcal l()s a la pre(l iccit i r l dcl ct¡tr i l i l rr io P(lrf i l ( l t .() on st lbir lcg()s.

F,n cont.r¿rstc, p:rra ( 'xpcrirncrrtos con vlr lorr:s r le 6 quc irnpl ican t ln2l r( 'par-

t ic: i írn rnrry clesisual r le ¿rcucrdo al cqrr i l ibr io porlect() cn sul) iuog()s, las obscr-

\,¿rci() lrcs n() corrcsp()n(lcn con la prct l iccit in tcórica. Estc rcstt l t i t<lo lo obtic-

ncn (; ir th y f iertz (19u8) ,v, cn trn caso cxtrcrno, Spiegcl et aL ( l \)()0), qtt iertes

c()nsidcran un valor cle 6 = 0, cs clecir, el pastcl t lcsaparecc cn la segunda ror)-

r la. l .a predicción teórica serízr que cl proponcntc inicial se l lcvara todo el pas-

tt ' I , ¡ t trcts sabe que si su propuesta sc rechaza, cntol lces en la scgurl( la ronda nrr

lrrr lrr ' í rr rrrrr la r¡tre repart ir . Sitr embarso, la propucsta inicial media en el experi-

nr( .nt() l r r< '<l t ' ( i5 Jror ' ( i ( ' l t t ( ) r lc : l ¡ rast .e1. I )or otro laclo, S¡r ic¡¡el r / r ¡ l . t l l l lb iór l

lLr l . ( ; ( )s t ) tN.\ \ l t ( ( )s ( , ( )N l \ ! I )R\1, \ ( . t ( ) \ ( . ( ) \ tpt . t rT; \ t . ) . )

rc:r l izarotr expel ' i rncntos cn ( lu( ' , l i lebería prop() l lcr -de acuerdo ccln t ' l r r ro-dt t lo te<ir ic:r t - l ls1,21¡s¡ unl t I )o| ( i , , r | \ustAnci¿r l rnentc nlenor a l : r rn i tacl r l t ' l ¡ r : rs-te l (5 > 0.5). Sin cnrbzrrso, r r r ¡ lo l r izo en cl exper inrerr to, porque tcn<l i r l r r

Pr()P() l lc l ' t l i r . is i t>ncs igual i t¿rr i ls . \ l : is : r r i r r , estas pr()pucst¿rs t .en( l icrol l a sct-u( ( ' l ) -tarl¿rs-

Rcst l t l l i t r t l t lo, c l t r lot le lo pl t ' r l icc r r rz, ,n:r l ¡ lc tncrr te bien cuanclo i rnpl ica rrrurlcpal t ic i í l r r r lc l ¡ tastc l en la qut: t ' l ¡ r ro¡r , )n( 'nt( , in ic ia l sc l lcva algo rnás dc l i rI l l i t . : r ( I , Jtero l t ' : r t :asa cl l c¿tso cont l¿u i ( ) . l ' . r r cstos r : rsos, e l c()mport .a ln ient() ( ) l ) -scr l l t r lo sc A( 'o l ( : l I I r l is r t tuta c l is t r i l r r r r i r . ru iqrr , r l i t l r r i : r <1rre l< l prer l ic l ro pr l r e ll l r ( )d( ' l ( ) .

l',xltrt'i nrn trt.t t on tnti..s tlr tlt¡.¡ n¡nlus

( l t t t t l l< l t ¡ t ' l . j r r t 'uo <[ t t l l t t tu is r l< ' r los lorr<las, a l prolr l t ' r r r l r r l r ' l l r r l t ,s igrr : r l t l l r r l sci tQl ' ( ' f l l t t ' l < l t ' las r l t t r l l rs sol t t ' t ' l l t t : r1t : t< i t l l tc l c le los i lg( 'n l ( 's ¡ r :urr r t . : r l rz:r l r - l tz() l l¿r-t ¡ l i t ' l l t t ts t t t t t t t ot t t l r l t ' ios, ¡ r lu ' i t t r ' : t l iz : r r r r rú l t ip lcs i tcr¿rt iont 's r l r . i r r r lur t iorr l l l rc i¿r: t t t ' r is . Los t 'x¡r t ' r ' i r r r r : r r t<¡s <l t ' Nt ' t ' l in c l . a.1, . ( l f ) t ' i f t ) r ' l larr is<¡rr r \ l r ( , : r l ¡ t . (11)s8)l l l t t ( 's l l l t l l t ¡ t t t ' t ' l t < l l t tJ tot ' t : t t l l i t 'nt<l o l lscr tacl<l so : t ( :cfc¿l tn i rs l t l : r ¡ r r t '< l i t t iorr 1t ' í>l i t ' : t l t r l r t ' t l i t l r t <¡ t t t ' los ¡rrrr l i t ' ip l r r r t t 's t : r t c l . j r r t :uo ¡rrrcr lcn pl ' i r r lcr ' ( ) : r ¡ r t ' r r r l t . r < orrr<r( ' ( ) t t lJX)t ta l 's( ' t ' r rsrr l r j r r t 'gosIní tssctrc i l los. l )o lc jcrnl t lo,cnI la l r isor l r \ l<( lu l r t '( I1) l ' i ¡J) st '<¡bst ' t ,u ' l t<1t t t ' t tut t t r lo los¡xr l t ic iJrantcs: jc l ) ( )ncndernurr t ' l : r l r l t t , r ' rurr l : r

t ' t t t t t t . j t t t 'Qo r l t r t t t :s t 'ot l< l r ts ) ' ( 'n tu l srrbirr t 'go r lc sr i lo r los lonclas, a¡ t l t ' r r r [ t ' r r aI t l t t ' t ' l ' ¡ r l '< ' r l i t t i<¡ t t t 's ( ( ) t ' l ' ( ' ( l r ts solr lc lo <1rr t 'ocrrrr i l l i s i l i t ¡ t roptrcsta i r r ic i l r l r lc lI l lot l t ' l<¡ ( l ( ' t l ' ( 's to l t< l¿ts t 's t t 'c ' l l l tzar l¿r. I , ls to avrr<l t r : r r ¡ r r t ' t ' l <orrrJtort : r r r r i ( ' l l t ( ) r 'nr ' l l r ror l t ' lo r l t ' t l t 's r 'onr l ;Ls s( . l r ( ( ' t ( lu( . l r l : r ¡ r l t . r l ic t ' i< in tcór i< ' i r .

Al i . rn l r ;1. ( ) rn. . ¡ -<lr jx l )1. l . t . t ( .¿t n. l l t i t ( ) t ) t , t Sr. , \cKl , t t . l i l . . l { ( ;

i / Str¡ t<r l teal t ) ( )s ( luc ( j { . ' ) ( . , - r ¡ . No(t ' r r ros Jtr i r r rcro quc p: t ra r . r r l r l r l r r icr . \ ,a l ( ) t - ( lc17¡ , loslr t ' r rc l ic iosclelr t t ' t t tpt< 's l t Isontnuvorcscrranr lo¿/,-0qtrccuand() le>0.( l t ¡ t ts i r lc t -crr tos al lot ' l t r t tut s i t rur t i< in en l l r quc la cnlpresr l I nr : rx in l iza srrs l )cnc-

f ic i ,s srr l r , r r icnclo 11rrc 17, () . l ' ,s t , r l l r < r¡rrr . l -csrr l tad' , r ' - ' t - r t

qu. . ef 'cct i \ ¡a-' 2lt

lnel l te i r r<l t tccrrr taJtr 'ot I r r r r i , r r 17, o¡r ' r r ¡ r r t t r r : r r r r lo t l12(. ,1 -a, , ¡ ; = ' l ' t" 2lt

, " - ' , ' '

.Etr totrces, t ¡ ; =! ! - ! t int l r r , r r r . r ' 1, , r r r l r r r ,s r¡rr t ,< r l r l<¡rr i t ' r ' ¡ t ¡ ¡ r ' l r l r r .b"2l¡

t l t ' r71 t ' t t : t t t r l<> t¡ , -0. l , l l r t ' r ' l ro r l< ' r ¡ r r t l ) . r r . r . r l1,ur, , , r . r l , , r , . . r l , / / t \ ( ¡nnu,/( : r / / ,O, solo: t t t t t t ( t l l l l l l r r l i f i ' r ' t ' r l< i l r t ' r l l r t ncf i r los r r ¡ l , r r , , r ,1, l . r , , , lcr r i , ¡n l r r . , l r . r

I l . ( )RlA t) l l . l t ' t r ( ; ( )S: SLI AI ' t , I ( lA( l l ( )N I iN E(X)N()N,I IA

3c. - rtl i ) Srrpcrrruamos que 2re - rt 1(t 1-L. Si rnaxinrizam()s l¿r función de

2beneflcios de la ernpresa I restrinsiéndonos a su primcr tram(). t l ncontr-anlos

qrre fa clerivacla es negativa en gi = + Por tanto, óstc cs cl valor í lptirnol)

t :rr¿rndo nos restr ingirnos a valores en el primer trarn() dc la f irnción cle benefi-

cios. Si m¡xirnizamos ahora csta funciírn rcstr ingiírncl()11()s a su scgtrndo trarn(),

( n( ( ) l l t lun()s r¡ t r r ' la der ivacla en 4i = n: ' l

. , r posi t iva. I intoncr:s, nucvi ln lent t :

s. r r : r r i r r iz : r . l ,s l r t ' , r ' l i t i .s ct t a,r ,a, part i ' ,ar .

l l i ) Srr¡rorru:un()s ( lu( ' :=. , , a 1a. Entorrccs, nr i rx i rn iz¿rrrr lo l l r l i rn-

c iór l restr int¿iénclonos i r su ¡rr inrcr- t -nrr I l ( ) , cncrontrarnos qtrc c l r i ¡ r t i r r ro t 's

0 * (:.t

, l i = ; .

Si la rnaxirnizanros en su scgun(lo trarno, enc()nlr iun()s r¡rrt ' r ' l r i ¡r l i -

. r¿+t. , -2t , a-( , 3cu-t tr lot .sr / i -

- <- , r ' r r i t r r r lo

- <r¡ . , \ l to l t t . tontol l t t tutx i t t t iz : t -

2l¡ It 2

ci<in en el segrrnrlo t .r '¿ttno tení¿r ( ' ()rn() lul¿I o¡>r' i írn cl valor f iontcra ( i =

. u+ ct -2t ty no fuc clcgiclo, la soluciírn r:s r lcf ini t ivarrcnt( ' l i =

* .

lzr) Fin cstr: crAS(), nuovanlcntc la solru: ión cn cl prirnt:r l ranl() t :s t : l v:r l<lr '

. 0,-( , ¡f i rrntcra , l í =;. La soluciírn cn cl scsundo t l '¿l l l lo (:s lr = 0 porqrrt: la clcr i-

vada evaluacla en cstc prlnt() cs ncgativ¿r. Ntrcvamcntc, el problerna cn el segundo

il - (:,)=;. ( lorno no f r rc c lcsi-

Btt¡t.t<lr;x.q.pi¡

lJinnolc, K., A. Shakcd y.J. Suttoll ( 1985), "Testing Nonco()perative Bargainine'Iheory:A Prelirninary Study", America"n Et:onornic Rcuieu, 75, pp. I I 7B-l I 80.

I ):rvis. l). 1'(ilr. I Iolt (1993), ExptritnuttalEconomlr¡ Prirrceton Universiq' Itress, Princeton,Nrrcr ' :r l<'r 'st 'y.

a (2

l¡

trarno tenía conlo una opcir in el valor l i 'ont.era

clo, confirmamos que el óptinro es r71 = 0.

Qt

IIt h( ;( )S t)lNA\' lI( l( )S ( l( )N I ¡!F()R\1.\( l l( )\ ( l()MPi,L'tA 135

Forsvlhc, R., J. 1,. flr¡ron'itz, N. F-.. Savin v N{. Sefl on ( I 98¡l) , "l{eplicability, Fairness anciPal in Exper imcnts rv i th Sirnple l largainine (}arnes", \ \brk ing Paper, 88-30,De¡rnrtnrcnt of Flconornics, Unir ,ers i t ¡ t ¡ f I r ¡ . rv i r .

( l t ¡ th, \ \ ' . , R. St: l t l t r i t tberger 1 ' B. Schr ' r 'atzc (19U2), "An Exper imental Analysis of 'Ul t . i -nr¿rturI) Bargaining",r/ount.al of litonotnit llchatiot a.nd Organization, 3, pp.367-388.

- y R. Tictz ( l9U¡l) , " t l l t inrat t r rn Bargainirrg f i r l a Shr inking Cake : An Exper imentalArraly'sis", en R. -l'ietz, \\'. A¿rlbcrs y lt. Seltcn (ccls.), Bounded. Ilational lJehrni.or in.I I xlterim e n I a I ( ) a n.c.s a rul M arket s, Berl ín, Spli ll gct'.

Hurr ison, ( i . y K. Mc( labt¡ (1988), "Tcst i r rg Bar¡¡ainine Theory in l -xpcr inrents", De-

pal t rncnt of 'Econonr ics, Univcrsi ty ol 'Ar izon¿r, I ) i .s tus.s ion l ' }apc¡ 88-10.H¿rl l , St ' r 'q i t r (1992), "( ]¿rmcs in l lx tc- 'nsir ,e ancl Strat t 'q ic Fol l r r" , cn R. Atrrnanr l v S. Hart

( t :< ls.) , l tu,ndbooh. ol Orun.e' l 'heory With Lconotni . t : Appl iut t i r t t ts, Nr¡r ' t l r I Io l l¿rncl , l .on-drcs.

l lo l l rnarr , l l . , K. Mc( la l rc, K. Shai :hat yV. Snr i th (1991), "Pr '< ' l i ' r ' r ' r rct 's . I ) ro¡r t ' r ' ry l l ishts,

r t t rd i \ t lor tvt t t i tv i r r Bulgainign ( iarners", rn i rneo, Depal t r r rcrr t of 1. ,< onorrr ics, I i r r i -r 'crs i ly of Al izorra.

Nct ' l in, . f . , l l . Sorrrrcnst l lc in y M. Spicgr: l (1gUU), "A Furthcr - fest r ¡ l Norrr , , , ' ¡ r t . r . r l i r t

l l i r rgairr i r ru ' l 'hcor-y: ( i r rnrnt :nt" , Anter icr¿n l iconon, i t Rat iezu,78, pp. 821-U3(j .

l l t r l r i r rst t ' in, A. ( l { ) lJ2), " l ) t : r fect l ic l r r i l ibr i r rn in a l }argaining Moclel" , I i rnonútr i ra, i>0.

pJr. 1)7- l (X).

Spi t 'g<' I , M., . f . ( ) ru ic, I I . Son nt 'nsclrc i r r y A. Scrr ( M!X)) , "First-Mr¡ver Adlan tagc ancl tht¡l ) iv is i í r r l of Sur-¡r l t rs in ' Iwr¡ l ) t : r 'solr Al tcrn:r t . ing-() f l i : r ( )¿rrnes: Resul ts f iorn Bargai-nirrq F.xpt ' r ' i lncnts", c locrrrncrr to r lc t rabir jo, ( lo l r rn l l ¡ ia Business Schocl l .

Stahl , I . (1972), Brrgainin.g 7hror1, Stockholrn, Sto<'kh<¡ l rn Sch<¡ol <¡f 'L,cr¡nomrcs.

VtrIr Stackcll¡crg, t{. ( I93.1) , Marhtf orm urul Oleichaeuir:lrl (Fistruc:tur-:r clc rncrca<lo y equi-l ibr io) , \ / icn:r , Spr inger- \ 'cr lae.

¡

6. JUEGOS REPL,TTDOS

I ix ist t ' ' s i t r r^<' i . r r t 's ( ' r qac l .s l rgel l t .s i r rvol t rcracl t )s el) a l l . j 'eg, s¿rbcnr l r rc la rc lat ' i t i t r ( l t l ( t l l la l t t i ( 'nen t icnc t rn caráctcr '< l t r r -adc16, cn el se¡t i -c lo r l t '<¡rrc t ' l corr j t rnto de clccis iones a ql lc se enf i -eutan hor, , v qrrc al-ectaa los r l is t i l l t<ts. j t t r - I i t r lotcs i r lvolrrc:rrrc los, se,r '< l lvcr¿r a l ) resent:u g¡ gl f i r t . r r16.PoI t ' j t ' r r rJ l lo, t 'a<l t t t t t la r le l i ts ernprt 'sas dc t rn, , l ie, , l - r . , l i , r salr t 'qtrr : lu c leci-s i t i r t t ¡ t re t ' t l l i ' t ' l l t¿t t l c l l : t v st ts l ivalcs sobrc r lué precios f i . j : r r ho1'st . ro lver.u ¿rl ) t ( 's( ' l l t¿tr t ' t l t ' l f r r l t t t 'o, \ 'qu( ' la c lcc: is ió l l prescnte pueclc inf l t r i r solrr .c lu c lec: i -s i í r r r f i r t r r lu.

, \ < ont i r r rurc i í rn corrs ic lcr '1 l r ( ' l l l ( )s rrrr t ipo c le. i r rcgos l l :unirr los. l r rcg()s repc_t i r l<¡s. l ix ist t ' t t r t . j t rcuo <or l lo los arr¿r l iz¿rdos cn t ' l cn¡r í t t rkr l , a l r l t r r : l l i rmirrc-t t tos t ' l . f t t t 'ut) ( ' ( ) l ls t i t t t rv( ' t l l ( ' , ( ' l t t ' l r ¡ t t r ' ¡ r i r r t ic i ¡ ta rrn rnisrnr¡ g¡ lp() r l ¡ . j r rg l rcf t r r . r 'st ' t ' ¡ rc l i< las vt ' r ' t 's . ( l l r r l : t . i r rg l r r lo l t ' l igc t :ntr-c rrrr c 'orr j t rnto ck: ¿tr .<. ioncs en c¿r( l¿t¡r t ' r ' ior lo s:rbi t ' r l r lo r¡rr t ' r r r lv t . r ' i r a intcr-actrur l r .on t ' l r r r isnl<l g l .up() r lc . j r ruaclorcst ' l t l l ts I t t is t l l l ts t ' i t t ' t r l ts t : r t t t i l ts t ' quc srr ix : t : iórr l ) r ' ( 'sc l t t ( f scr ' í r c 'onocir l : r pr l r lost l t ' t ¡ l l is l l l l t ( 's ( l ( ' l : t s igtr i t ' r l l t ' I r r t r r la r l t : r l t ' t ' is iorrcs. Vcr 'cnl<ls ( lu( ' aunquc rro l lavirI l i l t t - f t t l l¿t t o l r t ' r i í ¡ l t < l i l t '< ' la t 'nt t 'c l i rs c l is l i r r tas r<ln<l i ts rk ' int t ' r . i rct . i r )ncs, pol . ( lucl l ts l t t '< ' io l t t 's l ) l ( 's( ' t l t ( 's I to l t l lcr ' : t r r r r i c l conj t rn lo r l t 'o¡x iorrcs disponiblc t ' r r t ' lI t t l r r i l r I r i l l r l t ' l l t t i r i r r t ' r r t t ' t ' las oJlc iorr t 's t ' lcgir las cn c l f i r t t rxr 1, los r .c.srr l tar l1¡s f i r t r r -l ( )s, l l ( ) st ' l l t t t ' r l t ' l t t ra l iznr t ' l t t t t t t ¡ rot ' t r t rn i t 'nto t 'n t 'ar la pt ' r ' i< l r lo rkt n l iur t ' r .¿ t r is-l : r t l l r . l ' l l I l l ( ) t i \ ' ( ) ( rs qt lc t l td l t . j r reador st ' r la l l i ( 'ucnta c lc r l r r t : l r rs uct . i r r rcs r l r r ¡los r l t ' r l r l is . i t rQl t t lot ' t ts e l i j l rn t ' l r c l f i t t r r l r ¡ prr< '<lcn r lcpcn<l<:r 'c l t ' lo r¡r rc obsr:r . l 'crrr¡ t r t ' i ' l l raul t t ' r t t ' l l t t - t 'scr t te. \ 'cst .o i r r f l r r i l l i sobrt 'srr c l t '< ' is i í rn l ) res( 'ntc. I .u ¡rosibi-l i r la<[ r l t ' x ' t i ¡ t trrcicl :r t l c 'n t ' l corrr¡rolt i rnri t ' rr to ¡ lr t ' r lc :r l tclul el rcsrr l taclo r l t ' lj t r t 'uo.

l i r r I t lg l t t ' de l t l tcel t t t l I t l t t lu l l i t ' r r t ( ) 2rbst l - l l ( ' to r lc ' los. i r reu()s r 'c lx: t i ( l ( )s, anal i -r i t l 'c l l l ( )s t l l l cas() c() l l ( ' l ' ( '1() . r ' l r l t ' l < l i l t ' r l l r c lc l pr is i<tncr() , ( luc us¿trcnl()s p¿rr l tt 'x¡ ; l ical ' los t l is t . i t l tos r t 'srr l l l t t los ( lu( s( 'o l r t icrrr :n cn cst¿s s i t r r r rc igrrcs.

Et. DIt . t . :u\ t ) t I I , t i r \ r ( . ) \ r r i r ) l r r . \ r ) ( ) r i r l l . | i l ) \ \ l lv l t . .

( lotrs idcrenros la s iguicrr t t ' r ' t ' rs i r ¡n r l t I r l r l , r r r , r r l , | ¡ r r rs i , r r . r . . . Los. j r rg l rc lor . r ,s Ir '2el ieencntreco()perAl ' \ ' t l ( ) ( ( ) ( ) l ) ( r .u \ r l ( r ) r , , r r r l . r r l r . r is iorrr l t ' l o l t .o j r rg l t -r l< l t ' . Lt ls l )ag()s ( l t re se c l t ' t i r ' : t l t < l t ' r : r r l , r ¡ , , r r l , r r . r , r , , ¡ r , i , ,1, , is i , , r r r .s sorr los s igr r i t ' r r l< 's:

I i t

138 I l . ( )RÍ. \ I )1. . IUIIG()S: Str . \Pl . l ( i , \ ( .1() \ ! . \ E( i ( )N() \ {1. \

Fll cl ikrma del prisioncrtt

- l truador 2

. lL l " ( ; ( )s l . l t I

( l l r i " '

Forma cxter ls iva c lc l < l r l , r ' , l , | ¡ r l is ioner<:¡ , ' l ' = 2

l :19

( ,o)lxtrr r' (5+5). ( i )+5)

( . , l r r , t , r

l i ) t l r l 1 , l r

f rr¡rador I ( ioo¡rct 'arNo cooper iu

5.56,t

l , ( i

l .gs. i r rear lgr 'cs c l igen una SOla vctz entre c l ( ) ( )pclral 'v l l ( ) c()() l )or i t l 'y l l t l l l ( '11

¡r irs int¡r-¿rctú¿n. Llnrnt--tnos a cste. iuegct cl lu.egt rct lsl i l l t )(rt l ( l r l . r l i lcn,rL del 1n' isir t

r¿lro. Sabcln()s ( lue su írni<'o cqui l i l t r io clc Nirsh <:s qt l( ' l ()s r los. i tre:rclor '( 's ol i ial l

s¡ cst.r¿t¡cgi¿r ( l( . ¡() ( ()() l)( :r 'ar-. Fist.ct. l rre1¿o lo pori t : t t t()s ( 'sct ' i l ) i l ' t ' t l f i rr l l l : t t 'x l t ' t tsi-

v¿r ( le la sigtt icl l tcl t I l : tr l ( ' l - i l :

(inÁr.r<;,r (i. I

Forrnir cxtclrsivir rlcl <li l t l l l la rlt ' l pt ' isiorrtlrrr, 7'- I

(lonsicle¡ern()s ah()r¿t el jueeo consistentc en jtlgar dos vcces cl .luego con,sti-

lu\entc rlel tlil,emrL rl,el ptisionen En un primer periodo los clos jngadores eliqen

sirn¡ltánezrnlente entre c()operar y no cooPerar. A contintlacióll obsen'an las

clccisiones clel primer periodo y vuelven a elegir simultáneamente entre coo-

l)crar v no cooperar. Finalmente reciben sus pagos, iguales a la suma cle los pa-

g,rs r [ r ' los r los. j r teqos ( ( ) l ]s l i t l l \e l l l ( 's .

l , : r f i ¡ t 'nut ( 'x t ( ' r ts i \ ' t r c lc ( 's tc i r re¡¡o repct ido cs la s ig l l icr l le:

i l ) . ( : t r ( i )

I ( i ) . ( : t t I )(

\ ( : i1: t ) . ( : l+3)

Alal icernos ahora qué es una cstrategia en este. iucgo l .epctido. cacla. juga-rlol clebe espccif icar qué hacer en cada conjunto cle infbrmación en qtrc l<rtrtqrrt ' . i t teat ' . Como cada.jugador t iene que mover en cinco conjtrntos cle irrf i ¡r .r I l : t<' i<it t , cl l f ()nces t ie ne, e n sen t ido estr icto, 2: ' est late gias clc clo¡ f lc cl¡gi¡ . ( l : rr l . rr l t l ; t < l t ' ( 's l : ls ( 's l l ' l l1( 'g i i ts cs r tn vector con c: i l lco c()rnp()ncnl .es r l r r r '< 's¡x.r ' i f i< . r ( r l

[ )

( l+ l ) , (6+6)( l+t ; ) , ( t i+ l )

( ¡ r : ] ) . ( ( i+: l )

Lr i r i ) . ( l+5)

r , l ) . ( l r { ; )r , r ' ¡ . 1 l1 l )

r l , l ) i l t i )

i i . , ) t i r : ) )

[)

140 r r . ( )RÍ\ l )Fl lL ¡ l ( ; ( )s: st l Al ' l . l (1. \ ( l l ( iN l .N I- l ( l ) \ ( ) \ l l . \

cse ordelr- ( l¡a' ( ' l ( ' r-r ir 1) ul conrienzo de l . j rreeo, -v qt lé clcqir crt el scgtrnclo pc-

r i6c¡r si err t ' l ¡r¡ irrrt ' r 'o r i .) arnbos co()peraron, l i i ) I cooperó l ' I l l lo cooJrelt ' t i , rzr) I

¡6 c96pcrri r I l < oo¡rt.r ' t i ,1 1,) rrrrcl ic coopcrír. l .n rcal ir la<l, es posi l l lc sirr lpl i f icar '

t 'stel conjtrtr lo clc t 's(t l t t t 'gi : ts ' I) i i l ' l t vclr la t ' l lzírn cotrsiclct 'ctr los cl sigtt icl l l tc pal 'r l t l t 's-

l r i r l ( ' ! { ia\ t l t l . i r ru l r r l , , r I .

a)Jrrgar 'O sieml l t ' . ¡ r r tst ' lo ( l t lc P¿Isc: ( ( l ' ( l ' (1, ( l ' ( l ) '

á)Jrr¡¡ar ( i i r l pr incipio r rk 'sptrós. j r rsar ( l s i c l . i t r ¡ .ar lo l l (ó l rn isrrro) c l is i ( ) ( l

a l pr- i r r t i l t io v N etr cns() c()r l t r l l l io: (O, (1, ( l ' N' N).

í l r tn, , , . . r ¡ l i r ¡ ¡ ra l r l rer¡ te f l6s gstratcgias r l is t intas; s i t t t : t t t l l l t t 'g() , s l l t l i f i ' r ' t ' r r -

¡ ia t 's i t . r -c l ¡ \ 'u l l tc , l )uos la pr i r r rer i r cstralcgi : l l t ' i r r<l ica t t l . i r ru i t t lot l t 'oo¡rct ' l t t -

[ ¡ l l t ( ) ( ] ¡ ¡ l p¡ i r r r t ' r - ( ( )n)() cn c l st :gtulc lo Jrel io<lo. 1t : tst ' lo ( l r l ( ' l ) i Is( ' ; l i t s t 'gt t t l r l : t l t '

i ¡ r l i r .a c(x)p( ' l -a l crr c l ¡ r l i r r rcr ' ¡ r t ' r - ior lo t t 'o l l t ' t ' l t l l l t t ' t ' t ' lo t ' t t t ' l s t 'gr t t t t lo s i ó l

r ¡ is¡ lo c.oo¡ l t ' r< i : r l l t r int i ¡ r io; l ) ( ' t ( ) n() ( 'n ( : . rs() tot t l t ' : t t ' io. l )ot ' t¿t t t to. las < 's l l l t t t '

g i : rs <l i l i ¡ r ' t ' r r t ' r r lo r l r r t '<k ' l tc l l t r t t ' r ' t ' l . j r re i r r lor I t ' t l t ' l s t ' f¿t t l l t lo ¡r t ' t ' ior lo ( ' l l ( l ts()

r l t ' r1rr<, í ' l n l isnlo t ro l l tv l r r '< lo¡ l t ' t ' i r r lo t ' r r t ' l ¡ t l i r r t t ' r ' t l . l ' t ' to t<¡t l lo l l . t l t l l : ts ( 's t l l l l ( ' *

u i : rs ¡syt¡<. i l i (un ( lu( ' t ' l i ' t l i t 'a l l l t ' r r tc t l t ' l r t ' ( ( ) ( ) lx ' l ' l t t t ' t t t ' l ¡ l t i r r r t ' t ' ¡ r t ' l iot lo, t 's t : t

r l is t i r r t . i í r r r t 's rcr l ru l r l l r r r t t ' . l l l in l inurrrk¡ t 's t t ' t i ¡ ro r l t ' t ' t ' t l t t t t r l l t l l t i : ls , t l l l : l ( 's t l ' l l t ( ' -

u iu r l t ' l . j r ru l r rkrr l l t ' i r r r l ica t ¡ r r í 'uct i< i r r r l t ' l r t ' t ' l t 's i l r r l ¡ r l i r r< iJr io v r l t t í 'at c i<irr <l t ' lX '

. i l "g i r ' . ' , r t ' l s t ' r ¡ r rnr lo Pt.r ' ior lo solurrrct t t t ' tot t to l i t t t< i í r t l r l t ' lo r¡ t r t ' t ' l ( ) t l ( ) . i t t -

gar l6r . , t , l . j r ruurkr l l l , ha1,a c l t 'g i<lo t 'n c l pt i r t t t ' t 'pt ' t ' io<lo. ' l ) ' r t lx l i l t l t ' t l tos tor t

i :st r -at t 'g ia.s r¡rr t ' t ' l i r r r i r r l r r ) ( 's t¿rs l t ' r l r r r rd l r t t< i l ls , lx) l ' lo t ¡ t t t ' l l l ) l I ( 's l l l t l ( 'g i l r r l t ' l . l r r -

f r t r r l1¡r- I r t ' r l r l ¡ l i solatrr t 'nt t ' l t ' ( 's ( ' ( ) l l l l ) ( ) r t t ' l r t t 's i t l r l i t t r r r t lo: i ) t ¡ t tó l r : t t < ' r ' I l ¡ l I inci-

pi ¡ , i l l r l r r í ' l r ¡ r ' t ' r ' t 'n r ' l s t 'grrrrr lo ¡r t ' r ior lo s i < ' l . j r ru:r t lor- l l t oo¡ l t ' t '< i l l pr i r l t ' ip io, r '

i i ,1,¡ , ,ó i r , . . . , ' , . , , , t ' l scgrrrrr lo ¡ tc l ioclo s i t ' l . j t rurr t lo l ' l l I lo toopt ' r 'o:r l Jr l ' i r r t i ¡ r i<r(r ' r r , ' r , '6r<l t ' r r ) . I labi t ' r l r lo h, ' i '1 , . , t 's{a s i r r r ¡ r l i l i<: t t ' i< i r t , t ' r t r l l . i r tgat lo l t i t ' l r t '2: t - , ' ' l

cs l l l l t ( 'g ias.

, , \ l la l i t . ¡ r t r ( )s t r < 'ont inrr : r t ' i< in ruut t 's tnt l< ' t l i l t (o l t ( l ( ' l l l ( l t l ( ' ( i t l l t t l l ' l l ( ' l ) st l

l i r r . ¡ ¡ r ¡ l í rs natrr l l l l l r i r lc i r r l t ' r ' t ' r ' iJr lot ' i t l l r r l t ' l l ( ' l ( ' ( ) l I l l ) ( ) l ' t l t t t t i t ' t l lo r lc ' los

. i r r { l r rk l . r 's : ( 'o()})( , r1r l t ' r r c l ¡ t r - i rnt ' r ' ¡ r t ' r ' ior lo I ct l t ' l s t 'gr t t l r lo volvt ' t - l t l l i t t t ' t ' lo

s i g l 1¡ t r .o j r rga<krr cool ter ' í r l r l Jr l i r r r : iyr io, 1r t ' t -o l l ( ) ( ' l l ( l ts() tot t t t : t t - io, t ¡ t t< '<l t ' l t t r

t l ¡r l()s (.()nt() ((1, (1, N) ;Qtró Jrasar-í:r si los clos. j t tuirr lor-( 's sigl l i ( ' ral l ( 'st l t ( 's l l '1t-

tcgia?

i) Irr-r cl Pri l t ler 1>eriorlo los dos.i trearlott 's ct 'o¡ l t ' t -arí l t t t t '

l l ) Elr eL segun(lo volverían a haccrlo, p()rquc cada.juuirdor vería r¡t tc Cl

o1r'o. irrundor cooperír l :r prinlcra velz'

Si l r ¡ r r r l ra¡g<), l¿s estrategius antcl ' iorcs t ro {brnran ur l equi l ibr io per lect<r

.rr srr l r j r r< 'gos. Ni s i r l r r i t ' r ' l s() l l l ln ct l r r i l ibr io dc Nash. P:rra ver por qrré, cotrs ic lc '

I t 1. . ( , ( ) \ t i r r l I l t ) ( )s I ,11

rer) lost : lcasocic l jugaclor l .Dadalr tsrr , , r , ' , . , r ic l . jugnr lo l l l ,c l . luuaclor lptrc-

de c¿urlbiar i t l¿r cst.rategi ir ¿rl ternal ir :r t( ' . \) . cs decir, co()pcrtrr al princi-pior. ' t toc()()pol- t t t 'c t lc l scgttncloper ior l , ' . r , r r l , r ) r ' t l l r lor¡rrehavirocrrrr i tkrcn

cl pr i t t te lo.( l t r iu l t locl . j t rgaclor lc¿unlr i : r r r r r l . r r , r r l r r ( ' l t tenest.¿test l 'ategiaal tcr-

natir '¿r:

i ) Firr c l pr inrcr pt : r ior lo, los <los. jueur lor , . , , , " l , , r . rn. \fu.) l int ' lscgt t t t t lopert ' ioclo,sol i r rnentcr ' l ¡ r r ' . , ,1, , r 11, , , ( ,1)(r ' l l .

I )ot lat t lo, c l . luuacl<lr I obt ic l le crr c l pr inr t r l , { | r , , ¡ l , , ,

t 'ot l l l t t 's l tatcgi i t tut tct ' io l ' , l ) r ' r ' ( ) lunr( 'nt : l s t t p: tg() ( r ( | i( i : aur l rcnt .a su [ )1rg() tot l r l rk ' |0 a I l . Por cso, el ¡xrr , l , , . r '

I r r r r , , ¡ r . rqo (5)r¡ t tct

' r r ' 1, ' l ' ( r r . ( l ( , r lc i : t

I i r ln l : r r rn cr¡rr i l ibr io <lc Nash.

l ' l t l l t rg:rr '< l t ' lu l l t l izr t t ' t<¡r l l ts las conl l r i ruu' ioncs t lc t str . r r { , , r , ¡ , , , r l , l , 1, , ,( l t l ( ' l1 l ( )s<l i t t ' t ' tut t t t ' t t t t ' t ' l (o los) er¡rr i l ibr io(s) perr feclo(s) r ' r r . r r l , ¡ , r , ' , 1, , ' r , r ,

r l t t t ' t ' i í r t l l t : r t i l r : r t r ' í ts . Vt ' t ¡ tos ( l t t ( ' t 'n c¿r( la l )u( l ( ) cn que l t ' lor , r ¡ r r , . r r . ,1 ¡rr . , , l , , r I

t ' t t t ' l s t 'et t t l r lo Jt t ' r ' ior lo t ' r t tp icza tr t r strbir rce<1. ( lacla rulo r l t r sr , , , ¡ ¡1,¡rr , , ,

<ot ts ist t ' ( 'x l l ( l . l l l l t ( ' l t te cn c l . j t tcuo ( ' ( )nst i l r rvcntc t lc El c l i lcrn:r r lc l 1,rr , r , , r ¡ r , '

l tot- lo r¡ t tc l i t ' t l t '<ot t lo í r r r ico cqtr i l ibt ' io t lc Nuslr lacombinaci i l ) < l t , 'u,r , , ' r . ¡ .

( ' l l ( lu( ' l t ¡s r l<¡s. i t re l t ( lot ' t 's c l igetr l l ( ) ( ( ) ( )p( ' r1tr ' . l ,s to intpl ica quc ( 'n tor l . r r ¡ r r r l r

l r r io Pt ' r ' f t '< ' to t ' r r srr l t j t r t ' {os los dos. j r rga( l ( ) rcs debt 'n elesir no ct()() lx ' r .n r ¡ r ¡ |scett t t t lo lx ' r i (x l ( ) s i r r i r r tpot ' t i t r qué hav:r ocur l ido cn c l pr i rnuro. Si rcrrr¡r l l rz: r r r r , , t

c l t r l : t s t r l l j r rcgo <l t ' l scgt tnclo per ioclo por los pat i ( )s quc sc obf icnen cn cl t r l r r i l ibl io <lt ' Nash r lc csc subiues(), tendrernos cl siguiente. jrreeo (sc rnl lcstr¿rn trrnl( )l :r f i rrntr cxtcnsiva corno l¿r f i l ' lna estratóuica):

( I r<.(¡rr : , r 6.3l\ 'rrnsfi¡rrn¿rción <lt ' I i l dilcrla clcl prisioner<t, ' l '- 2

(1, e)

(e, 1)

H: I I ( ) t t i \ t )L Jt L( ; ( )s: s l r I I , l . tc , \c l ( )N FIN L(I) \ - ( ) \ l l , \

lr l r l i lenra del prisioncro, ' l-= 2

I truaclor ?

( r)ol)?t ill No rooptrat

l r i

l i l t l iodeN:rsh,ningúrn. iusa( iorc l ' ( ' ( ' r : r r ¡ r r r Iosclerni issec() l l rp()r tar 'ándcrn." , ,

r¿t ( l is t i l t ta <lcpt tnr l i t - - r - rdo dc strs a( ' ( iorr , r l ) r ( s( ' l t tes. Pucsto que existe r¡rr . , , ,1, ,

cqtr i l ibr io dc Nirsh, cn el ú l t i rno ¡ tct i , , , l , , . , , l r , un cotnportal l l i ( 'nt() de los ¡rr , ' ,c lot ' t 's t .streí l r l t : , i r r t l t : ¡ r< ' r rc l icntel l rc l ) l ( r l , l . r l r i r .hayanhecholosdemirscrr1, , .

¡ t t : t ' i< i r los¡r t 'cv ios, \ 'h( ' tn()sr lerr tostrar l r ¡ ¡ , , , r i r r<lrrcciótr l ta<: i i t¿11¡[5-ql l ( . ( . . r , ,t l t t l r l t iét l (x ' t l t ' rc para el t 'esto c le l<ts ¡r , r r , r l , ' . l ' ln tonces, l lo hav l r rgar ¡ l r r . r Lrret i ¡ t r r r r : i< lar l c l t t t inst in sct l t ido. L j t r <, , r r r ¡ r . r t . ¡nr i t 'nt<) c lcsf iur t rabl t 'h¿1ci : r , ' r ' , ,j t rua<lol n() I ) l le( lc ocasiot t : t t ' u l la rca( ( i , r r , l , . { r r ,

' r able r lc csc. j t ruaclor en cl I r rt l l t ' ( ) ; t tn c()rr lp()r l l lnr ictr to fa loratr l r : t l r r r r ¡ r , , , , , , l , r i r rg i l l 'a lu rcciprocic l2 l<l ¡ r . rl ) : r l ' t ( 'do cs( ' . i rut i l ( l ( ) l ' . Si t t crr l l tar{ro, est( ' r t sr¡ l t . r , l , , r l r 'pcndc cnlcr i : r l l le l t t t ' r l r ' l . r( rx ist( : t t ( r i : t r l t ' t t l l solo t '<¡rr i l i l t l io r lc Nasl r cn , i ¡ r ( , ,1) ( ( ) l ts l . i luvcl l tc. El s igr¡ icrrtc c j t ' r r r ¡ r lo t 's t i r r 'onstnr i<lo 1>:r la i l r rstr l i l ( st( l ) r r r l ' )

l { t , , t , l l ' l io<:r t ¡ . t t ) l .N l t t . , ( ; ( )s t { I . ) ' t .n l ) ( )s t \ \ r \ r r ( r \ l to l r t . t t . . r : t . ts2

( lonsir l t ' r 'cnros l l r s igrr i t ' r r tc ' r '¿r l iaci<in c le l < l i l t ' r l r : r r l r I l , r i . ront ' ro. l , i l i r re i rdor It i t ' t t t ' t t l l l t ( 's t l ' l t t ( ' f f i2 l adi< ' iOn¿t l , t tna "r iJrc: ión cxt( ' r i r i r " r l r r r i r ' ¡ t r rer l t ' ¡ r r ( ) ¡ tor t i t , -t t l t t <¡ l r i t ' t l s t l t t ) l tv( . ) r p:ruo posibl t 'o l : ¡ icn s l i l -ncl t ( ) r ' l ) r , ,1( i l ) r , . , i1r l t ' , t l t ' ¡ r t ' r r r l icncLr<lc ' la <l t 'c is i<in r l t ' l j r re i t<krr 2.

[ ' ] l r l i lcnl i t c lc l pr is ioncr ' ( ) c() l t opci í )n ( . \ t ( ' r n: l

f r rg-atkrr- i )

( ,rnprttt r \ t ; t t t l l t r t ! r

I t rqa<lor I ( . ( ) ( I i ) { ' l : t f

\o t oopet ' iu '( ) ¡ r r i r ' r r r ( ' \ l ( ' fn1t

{ , ( ) ( ) l ) ( ' fa l -

N,r cooper: t t '

Estr : . j r rcgo r l i l ierc <lel . j r rceo c()nsl i tuvcnter <l t ' l i l r l i l t 'n la <l t ' l ¡ r l is iorrct 'o solr t -

rncnte en que hernos surnncl() un pag() c l ( : t res u ( ' : I ( l r t u l l ( ) ( l ( ' los t t t t< los f l rut lcs,

por- lo <¡rrer su irnico eqtr i l i l rr io <le Nash sigut ' si t ' r tr lo qt l( ' l t tr l l )()s. i tre'a(l()r ' ( 's ( ' l i j rrr l

l l () c()() l)cl ' : rr . l . lnt.on<:t-s, cn ( ' l l inic() cqrr i l ibl io p( ' l ' f i rct() ( 'n sl l l ) i t t( ' i j^()s I l l ( l i ( ' ( ' (xF

[ )c l ' l l l tu l lc l l .

l l l lesrr l tur lo untcl ' i ( ) l -sr ' ¡xrr '< l t : gencral izur 1r l ( ' : ts() ( 'n ( l l l ( ' l ' l l < l i lcrr l l < l t : l

¡ r l is iont : ro sc r-e:qr i l t ' r rn núnrcr-o ' / '¿r l l r i t la l i<¡ <l t ' r , t ' tcs: l l ' l l . j r r t 'uo r 'orrs ist t ' r r t t ' t ' r r

c l r r t 'c los. i r re i r r lorcs. iuce:rn 7 ' l ' t ' r ' r 's t ' l . i r r t 'go ( ' ( )nst i tu\ ' ( 'n l t ' t l t ' I ' .1 t l i l t ' r l ru t l t ' l pr i -

s ioncro, obscn,arrc lo t 'n c l r r l l J lc l ior lo tor las las r l t '< is ion<'s 1rt ' t 'v i : ts, t i t ' t tc t t t t t i l t i t <r

t :c¡rr i l ib l io pcl l i 'c to cn sul) iu( 'g()s. I ' ln cst t ' r 'c l r r i l ibr io ( '1t( l l t . i l r r - I i t ( l ( ) t 's igt t t ' l l t t 's t t ' l t -

Icqi l r r l t : l t ( ) ( ' ( ) ( ) l ) ( ' l ' l l ' nun( '11.

Pula ¡r lob:rr l : r af i l r ¡ lat ' i t in ¿rrr l t ' r ' ior- , nu( ' \ , : In l ( ' l l l ( ' l ) (x l ( 'n l ( )s l ) t - ( ) ( ( ' ( l ( ' r ' l ) ( ) l 'indrrcci<in l l : rc ia utr-r is. l . . r r t ' l ¡x ' r ' ior lo 7, n<¡ int¡rot ' l i t r ¡ t r í ' l ruvlr ot t t t - t i t lo t ' t t los

pcr io( l ( )s ¡r lc:v ios, los. i r ru i r t lorc 's ol l f i ' ( 'ntal) t ' l . i t r t 'uo t 'onst i t t tvt ' t t t< ' r l t ' l r l i l t ' r r l r t l t ' l

1 ' r r is ionr:r 'o, p() l ' t . :ur1() , n i r rgírn. j r rg:r( l ( ) r ' ( ' ( ) ( ) lx ' t '11; s i t t i t t rpol t : t l l l t l r is t r ¡ r ' i l t ¡ r t t ' r ' i r t .( l r rno los. j r re:Lr lor t 's : rn l i r ip:rrr t 's t t ' t orrr¡)or t l r r l r ic t r lo, st : < l lur ( ' l t ( ' l r {1I ( l ( ' ( lu( ' sr ts

l rct i<¡rrcs t ' r r c l ¡ r t ' r ' ior lo 7 ' - I no i r r f l r r i r - í r r r sol¡r ' t ' lo qrr( ' ( ) ( ' l t r r '?t < ' r r t ' l ¡ r< ' r - ior lo 7i

Sabcrr ( lu( 'sus l r ( ' ( ' i ( )n( 's t 'n 7 ' - | inf l r r i r 'árr sír lo sol l ' t 'sus f ) i rg()s t 'or- t t 's¡rot t<l i t ' r t -

tes a 7 ' - l , r 's r l t 'c i l ' , s l r lx ' r r <¡rrr ' ( 'n l i1 'ntal l lu. l ( ' \ , i lnr( 'n1( ' t t t t . j t tcgo t o l ls l i t t t t ' t ' r t t t ' t l t ' l

r l i l t 'n la c lc l pr- is iont 'xr . l , l r r corrsc ' r ' l r ( 'ncia, r ) inf{r in. iu l l i l t lor r 'ooJrt ' r ' l t ( 'n ( ' l lx ' t i (x l ( )

7 ' - l . l , ls to lo r 'ono<'r ' r r los jugir t lorcs ( 'uan( l ( ) l ( )n la l l sus ( lc( is i ( )n( 's t 'n ' / ' - 2 . ¡ ro llo qrrc t l i l l l l )()( () ( ' ()()JX'nul on ( 'st( ' pcri(xl(). l 'Orlc'r i lOs rclx.t . i l ' t 'stc t '¿tz()nlult icrt t()

hastr t l lcgur al pr i r r r t : r [ )c l - i (x l ( ) , ( 'n qur] tarnbión cnc()ntrrul l ( )s qu( ' l ladi( : ( ' ( ) ( )p( ' r i r .

! ln gcncral , s i r t 'Jr t ' t i r r ros 7 ' r 'cr :es un jung() s inrrr l t¿1nco qlrc t . i ( 'nc rrn r in i t 'o

cqui l i l ) r i ( ) c lc Nasl l , r ' l . j r r t ruo repct ic lo l 'csrr l t lu l tc tcrrr l r ' í r r r r t sokr cr¡rr i l ib l io pcr-

fccto cn subjucf l ( )s. Lo l tnt t ' r ' ior palece c()ntnr( lccir l¿r i< le:r t le r¡rr t ' ( ( ) ln() r . l l l

. iug:rclor c¡ lc p¿lrt icipi l cn rrn. jrrego rerpcticlo prcr. 'é qrre l¿rs acciones f i t tr tras clc

los clcmás clerpcndcrán clc strs acciones prcscntcs, ¿lterar 'á su compol ' t iulr iento.

L,n ef-ecto, cuanclo cl jrrego consti tuyente clcl jucgo rcpcticlo t ier)c un solo equi-

Ll. ; r tx¡ t l ic l t iórrr l t ' i 's l t ' r ' r 'srr l t : r r lot 's larrr is luar¡rrelaPrrr ' : rckr jucl t l lc : rc l t 'naclet i t ' t t r las,c l t '

Sr ' l tcn I 11178).

[ t rgaciol l IJ, IJt) ,1

.1 (l

(;, (;

: ) , t )

( ; , I1-. 1

l , ( i

: i , 3() , I

l is tc. j t rceo t ict t t ' t los t r ¡ r r r l r l ) r I ( ' \ { l (

cqtr i l i l ; r io ( t t l c l t lc l t l t t l t<¡s ¡ t tq. t , 1, , t , ' , , l r : ' ,

l ibr io acl i t : ional , c l l r ¡ r r t l , l r r , , ' . , ' , ' ¡ , ,

I lJcnoi t r Kl ishn;r ( l l ) f i . r l i \ t , , r , . , ,1 , t ' r

' l h, l : r tgutrretr t t l r l t t t 's iutr , r r . r l r ¡ , , r r , l , ,1,

rnct t lc t lonl inacl : t . Si . ¡ ror c j t r r r ¡ ,1, ' . l , r ' , r , , r ,

r onr l t t jc t l tn i l l ln l )a!() r l t ' i l ¡ r ; r r ; r r ' l j r l i . r , l , , r

r l r i l r i l rucrr tc r lorrr in;rr l r r r . s in crrr l l r r r ¡o. t , , r 1, , , I

Nrrsl l . F. l pr inrcr() de c l los es el conocic lo'r ¡)r) ( ()()pe[:u-. Pef() (]xistc ¿rh() l '?t un cqui-t { ' r r { \ l ( ' r ' l l i l r 2 tO0pcra.r

r Lr , l ¡ I l r r r , . t r l r r l , r r r r l , I ' t l

, | | , , r , r , , ¡ r r t . r r ¡ r . r r . r . ,

, , ,1, I l r r l i l , , t r l ¡ ) , . t t i l . l

| | ( ) | \ r ) l l r t . ( , ( )s: s l r . \Pt . l ( ; . \c l ( )N IN l ( ( ) \ ( ) \ I lA

( .nsrr l , r , r r , , \ i r l l ( ) l ' r l c l j t rer¡Jo col ls istcr l te el) l 'epot i l ' l ( ) t los vct :cs. Restr l l i r

r ¡ r r t t r is t t r r r r t r l r r i l i l r t ' i ( ) [ ]cr fcc: to cn subj l lcg()s ( ' r r l ( )s ( luc ar l l ]x)s. i t rgat lorcs(.(x) l ) ( ' r ' :ur crr t ' l ¡ r r i r r re l pcl i ( ) ( l ( ) . Este cc¡rr i l ibt ' io est i r l i r t ' tnaclo por c l s iur t iente

par clc cst l ' : r tcl l ius:

i ) El . j r rgaclol I coopcra c:n t ' l p l i r r r t ' r 'per iorkr . l l r r < ' l scgrrn<lo pct ' ior lo c l isc

sr. l ( )pci¿) l l extenl : l s i ¿rrnbos c()() l ) ( ' l :u ()n cn c l ¡ r r - i rncr- [ )or- i (x l ( ) , \ ' n() ( ' ( ) ( )pcr- l r ( 'n

caso c 'orr t rar- io.

i i . t l ' i l i r rg- : r<lor '2 <oo¡r t r r t r r t ' l ¡ r ' i r t rer lx ' l ' i ( ) ( l ( ) . Et t c l scgrrnr lo per ior lo

l , r l r : r r t s i : r r r lx) \ { ( ) ( ) l } ( ' r :u()r(nt l ¡ l l i r r rcr ' } )e l i ( ) ( l ( ) ,vr)()(() ( )J)( ' r¿[( 'n( '¿Is()(()n-

l t i t t ¡ r ) .

Si st 's igtrc l t Ias cstr- l r tcgt l rs urt tct ' i , ) l 'L\ , \ ( 'o l rst ' t ' r " lu ' : i t ' l s i r¿rr i t ' l r l t ' r ' t 'srr l t l r r lo.

F.rr c l p l i r r rc l l )cr i ( ) ( l ( ) los c los c 'oo1-u'r 'unrrr , ' , , t ' r r t ' l s t ' r¿rrrrr lo t ' l . j r re l r t lor ' | < ' l t ' r¿ir l i

s t r opt ' i r i r r extcnl¿r l ' r ' l . j r r ¡4ar lor ' 2 r 'oo¡r t ' r 'ur i i . Srr l r r i ryt ' r r ros t ' l l r t ' t ' l lo <k' r ¡ r r t ' r ' lj t rua<krr I t 'oo¡r t ' t ' l t t ' r t t ' l ¡ r t ' i t t t t ' t ' l ) ( ' r i ( ) ( l ( ) : t lx 's lu '<l t ' r ¡ r tc i 's t l t s t ' t í r t t rn:r t 's l r ' : r l t 'u i l r

l i rct ' tc 'n l t ' t t l t ' < lonl in i t r l l t (Jrol r to r 'oopt ' r ' l t r ' ) s i c l . j r r t 'uo st ' t ' f cctruu l r r r r t : r sol : r vt '2.

l ) r ' r -o. :<k ' \ ' ( ' r ' ( l l r ( l f i rnurn l : ls cstr- l t ( 'e i1rs anl( ' r ' i ( ) r ' ( 's r r r r c<¡rr i l i l l r io Pt ' r ' l t ' r ' to t ' r r

srrb j r rceos?

l ' l t t l t t ' t 's l lot t t l t ' t ' l t t 's l : t [ ) l ( 'g l ln l :1, \ ' ( '1ulr()s I ) r ' inr( ' r ' ( ) r l r r t ' l : rs t 's l l l r t t 'u i l rs ¡rr t 's-( ' l i t l ts l l ( )s ¡r t r r ¡ lot t iot t : r r r r r r r t '<¡ t r i l i l r t i r ¡ < l t ' Nusl l t 'n t ' l r t l l r srr l l j r r t 'uo. l ' l r r t ' l s( 'gun-

r lo pt ' r ' io<lo exis l ( 'n <los t i ¡xrs <l t 's t r l r j r r t 'gos: l ) a<¡trc l los ( lu( 's igu( 'n l : r cooyl t ' r ' : r -

c ' i r i r l rk 'unl lx)s. i t ruar lo lcs crr c l p l i r r r t ' r ' [ ) ( ' r ' i (x l ( ) , r ' r i i ) : rc¡rr í ' lkrs ( ' r ) ( lu( '1tor l<r

nlen()s rul . iuf l : r ( l ( ) l ' t to too¡r t ' r ' r i t ' r t c l ¡ r l i r t t t ' t ( ) lx ' l i (x l ( ) . l i r r t ' l ¡ r r i r r rc l c i rso, l ls

cst . r 'at t :g i l ts ant( ' r ' i ( ) r ' ( 's i t t r l i< r tn <¡rr t ' c l . j r ru:r<kr l I r lc l r t ' t ' l t 'g i r srr ogr<' i r i r r ( 'x(( ' r 'na ) '2 r le lx ' ( (x) lx ' r ' :u. \ ( 's t ( ) l ) r ( ) lx) l< i t ,n:r r r r r cr¡rr i l i l r r io rk 'Nlrs l r rk ' l j r r< 'uo ( ( )nst i lu-

vcntc. l ' , l l e l st 'errnt lo t ' : rso, l : rs ( 's t r i l t ( 'g i l rs lu l lc l ' i ( ) r 'cr i int l ican r¡rr t ' r rat l i t ' rk ' l rc

c()op( ' l ' : l l ' , lo <1rr t 'nrr( 'var) l ( ' l l tc ( 's un ( ' ( l r r i l i l r I iO r le Naslr r l t ' l . j r r t 'g() ( ' ( ) r ) ¡ i l i tu\( ' i l t ( ' .

Pol t :ulto, l :rs t 'st.r 'ut. t 'ei :rs prcs( ' l ' i t .1rs s() l) ( ' r( ' í l ) lcs t 'n cl scgrrrr<lo l l t ' r ' io<kr, grrrcs

c()n(lu( '( 'n a rrn t ' r¡ tr i l ibl io r l t ' N-ush ( ' l l t .()cl()s los srrbirrt 'uos posi l>lt 's r l t ' t 'str ' ¡rc-I ' ioclo. Volr , : t tnos: th<¡r : t l t l ¡ r l i r r r t : r ' l ) ( : l i ( ) ( l ( ) \ ' l 'onr l ) l l I ( :c lnr¡s r ' : r t lu srr l r j r rcuo r l t ' l

sc{rrrr lr lo l)( ' r i (xl() pol los pi lg()s ( lrr( ' se obti t 'nt ' rr crr t ' l r '<lrr i l i l rr io <k' N:rsl l l t ' r ' i i 'n

r lcscri to. Si arnlurs (:o()pcran t:rr cl prirrrcr pcri()d() (gcrrcrarrclo trn pago cle 5r

plrra cada un() ( ' ()rrcsporrdicntc a cste pcri()d()), cn cl ser¡und() pcr- i<ldo el. i trga-

clor I clceir ir su opci( in extcrn:r v cl . j tr¡¡aclor 2 cooper:rrá, p()r l() qrrr: los pa{os

tot i t lcs scr-án ckr ( i> + 7,5 + '1) par¿i l()s. ju¡¡ackrlcs I 1' 2, rcspccti l 'arncntc. Si

i i lguno o los ckrs. j tread()rcs no cl iec I:r cstratcgi¿ c()()perrar cn el prirnel pel io-

do, obtcniendo el j trgad()r I un pngo der xv el jusaclor 2 un paso de y corres-

pondicntcs a cstc pcriod(), n¿rdic cooperirrír en el segun(lo periodo, por lo quel

I r>s ¡ragos t() ta les ser: in de (x+ 3, 1+ 3) paralosjrrgadores I v 2, r 'espert ivunrcn-

I t ' . I )or c j t ' r r r ¡ r lo, s i c 'n r : l pr inrcr- pcr ior lo c l . i t ruadol I c l igc ()pcr i í )n cxl< ' r 'nrr v c l

Jt i l . . ( ; ( )s Rl I ' l I I t ) ( )s t45

jugaclor 2 c<loperar, los piruos total t 's scr r in r le (7 + 3,4+ 3). ' l i ' r r t ' r r r ( )s g¡toncesel. jucro (cn lbrma estr¿rtésica) qu(^ s(. r ' t l contintración.

l l l c l i lerna clel pr is ionel() ( ( ) r r o¡r<. i r in exterrna, 7 '= 2

Juga(l( )r . l

No utoptnr

. f r rga<krr ' I f )oopcrtrr 'No c<lopcrar '( )pci í rn cxt( ' r 'n:r

[ ' ) r r cst t l . j r r< 'u() v( ' t l l ( )s qt lo cn c l pr i rncr pc ' r ' ior lo:r l r rn l ros j r rg:r<lor. t - 's lcs co¡1-vi t ' t r t 'coo¡ l t : t ' l t t 's i t ' l o(rrr t : r t r lb iótr lohzrcer,portanl() ,st ¡ r r r t t l r .s()s l ( ' l lor l¿rc6s-[)( ' l ' i t ( ' i ( i l l ( ' ( ) l l l ( ) JXtr l ( 'dt ' t rn cqrr i l ibr io pcrfecto err srr l r j r r r . t1()s. ,n¡n r r r : r r r r1<l ¡s1.9I lo l lor l í l t l t : t< ' t ' rst : ct t t : l . j t tcgo ( ' ( ) l )st i tuycl l tc con el qu( 's( ' I i l l r r : r r ' l j r r r . r ro r . t .p¡-l i<l¡ r . Nott ' t l l ()s qt le la clavc p:rr i t s()stcn(:r cst. t- cqui l ibr io r:s l :r ¡rr o r r rcs:r r l<' l i r rq-:r-t lor '2<lc( ' ( ) ( )Pcrarcnelscgtr t tdopcr io<losi I c '< lopcraenr: l pr i r r r< ' r ' . j rur tororrla at lvt ' t ' t . t ' l l t : ia r l t : que no lo h:rrá si í :stc no c(x)pcra inici¿rlrncntr. , lo < rprl or. igil l l t ( l t l ( 'c l . i r lg:x lor I e l i ja coopcrar cr l c l pr i r lcr l pcr- iot lo, ¿1 pcs:u <lc t ¡ r r t . st . r i l rt t l ) : I ( 's t l - l l t ( 'g i l t f i t t : t ' tc tncnte domin¿rda (prtr la cstrat t .g ia n() co()p( ' l . i t r . ) s i c l . j r r t .u<rst ' l r i< ' i r . r¿r rrna sola r , ' t '2. l ls tc cs prccisamentc t : l t i ¡ to r le arqument.()s ( lu( , 1)u(-t l t ' t t l tat ' t ' t 'c l i f -erert te t t t t j t t t ' t to repet ido c le l jueuo corrst i l r rycnte quc l r ¡ or- i r ¡ - i r r : r .

I r r , r :os Rul t , t Inx)s IN¡ ' tNIt , \N,t t ,NI. t

| | r l i l t ' r l ra dcl pr is iorrcr<r

l r r r , . : r r lor-2

( .orltr:tttt' No coopttrtr

f rrgador I

l l . 1 l1) . I

lo. 7

4()(i, 6qa

tr . t )

r r . l

I , t )J,J

Considererr lOs:rh<¡r ' : run.r ' , r r r r , , , , , , , , ' , ,1, ' , r r . r r r , r , r . r , l r l ¡ r is iorr t . t r rst . t .epi-tct t t rnúrncroinf in i to(k ' rcr . r \ r r r , , ¡ , , , . r . ¡ l , , r ¡ , ( . r l ) r ) ( ( ) r -<, l r l is t l , t , r rl t ' : r l idar lcaptr l ra laesent i r r<l t ' . r , ¡ r r , l l , r r ¡ i , ' , , . . t ' , , , ! , , r r r r r (nun: l f r . r l ¡ : r r l r .I t ' l l l l i tLt<ir i l l r l< ' f in i r la;sorr i l r t t r . r ( r r , , . , ,1, , . , , , , , , , , . r | , , , r ¡ r t , r r r ( . , ( ) \ ( .

I l { i r r ( ) r i r \ l ) l I ( I , ( ; ( )S: SLI ¡ \ l ' I - l (14( l I ( )N Lr\- t ' l ( l ( )N()N' f iA

l ( .1)( t i t :urnt . r \ . l ,s toor i l : i i ( ) l I : I ráqucnOpodamost lsarelmétOClOcleinchrcción

Iuu. i : r : r t t . ts ( ( )nto lo l r t 'ntos hccho cn el CaSO ñni tO. NO existe un per iCrClo c le l

c¡ul I ) ( ) ( [ : ¡ ) l ( )s: ts(grrrrr t . " l ' . .1t ( 'seI t i l t imoPcr i { ) ( loql le 'Portalrazón,podelnos

al l ; l l izr t r ' ( ( ) l l l ( ) t l l l j t r t go r ( ) t ls t i l t t \ ¡cntc".

po<ler¡9s ( ' l ) t()r)(.( .s irr t t ' r ¡r lctar ult . i trego repctido ir l f ini tanlente c() lr l () 2lquél l

en el que aunqu( ' ( : r ( l : r i r ) l ( 'nr(r ' i t ' r r r pucl iera ser la í r l t in l l r , s icmPre t 'x ist t : t l l la

pr,rbaúi l iclad posit ir ,a r l t ' r1rrt ' no lo sc¿r. Esta intt : rpretzrciír l l t ie t le consecrlet lcias

sgbrc la forma en ql ler so cal( ult la tr t i l ic lad clel . juego. Pirt-:r velr csto st lPon-

gam()s, p()r e-jctrnplo, q¡e l()s r los. irrea<lorcs sigttctt la cst.rategia ( le cooPcr:rr

. i . ,r l -rp.a. p¿se l() que pase, v que c¿da period() el . i trcgo Ptlode c:()nl irr t t l l f (()n

rr¡ ir prclbuSil ir lar l 6 y tcrni inar con una probabil icla<l ( l - 6) . Oalcrr l t ' lnos stt l la-

u. csperarlg. Olttcnclrírrr cor-r scgurid¿rd 5 en cl prirrtcr l)ori()( l() . Si t :xistt ' t t l l i t

. , . ,n,rt i¿. i¡ tcra¡ci<in, lo ctral oc:r lrre col l probabil i t la<l 6. volvcrír l l 2r () l) ten('r 5, y

cl l ( : t is() ( :()t t trari() t lo ol l t t l l t r l t ' í l r l nad¿t tr lás, Ptl( 's sc at 'al l : trá t : l . i t r t :eo, (:s ( lcCil '

c lebct¡6s :rgfcg¿rr a l9s fr <lcl prirncr l)erio(l() l ln P:rg() ( 'sPcl ' : t( l () t l t : l -16 cot 'res-

p()¡( l ie¡tc , i l . i , ¡4,rtra., p( 'r i (xl(). Asirnisrno, ( ' () t l r tr l i l probabil i r lat l 6? t: l . i t r t 'go st '

i . t :pct ir ír cn cl Lcrr:r:r pcri()( l() , v st: volvcr/t i t ol t tcttcr t tn l)af{() <lt '1-r, ¡ lor lo <1tttr

r l t :bt: tnos zU{rc{I: tr t t tr Pirf{() t :spcrackr r lc 56? corrcs¡lottr l ictrt(r l l ( 'stc JX'r i()( l() ' Y

Irsí srrccsiviu¡cntc. Irs r lct: i r , cl I)¿rf l() cslx) l 'aclo t ' t t i r t l r l t¡ t 'a<la l l t ' l ' io<lo t 'xistt ' t¡ t l : t

pr , l ta l>i l i< l i rc l<ler ( l -6) r l t :<¡rrr ,c l . i r rcuotr : rnr i t r t : -yt lna¡ l robabi l i r lar l< lc6<l t :

q.e c. 'rr t i ¡ írc- e s igual a 11[ I + 6 + 62 + . . . ] . El hct:h<) ( luc ( l t t t :rcr l l t¡s t csalt¿rr os ( l t l ( '

. : . t . , p"g,, cs cl rnisrno ( luc sc olrt i t :nc r: t t : t trclo t : l . l rrcgo sc rcpitc ( ' () l l scf l t l r i ( ln( l

tr¡ ¡úmcro i l r f ini to r lc vcccs y cl ¡r:r¡;o r lc <':rcla pcrioclo Isc ol l t ictrt '<l t 's<'ott l : t t l -

rkr l-r a rt tr :r tusa 6, t :s r l t :cir , rntr l t i l l l ic:rtrr l<l t : l pagtl r lc <'arl i r pcrioclo ¡ror 61-r y r l t :s-

prrés srtmirtrdo l t ls ¡ lrocluct()s clc todos los pt 'r ior los'

( lonvicnc sci t¿t la l ' ( lu( ' i lu l tq l r ( 's t t ¡ r t ts i t i t 'atn<)s ql l ( ' t t I r . i r l ( l f¿o c l t l vcr<l l rc l sc v l t

a repctir r :on scgtrr id¿r<l htrsl¿r cl inf ini to, t le tr l t las t l l¿Inoras st ' t ' í i t t l tzott: t l l lc cles-

.,rr-r in. los pireos f ir t trr<ts -rntr l t ipl ic:err los pot. cl /- l- ¡ lorqrtc norl tralt l tul l lc l()s

. jrreacl<trets nluestr i tn cicrto grarkr dc irnpacicrrcin, lo qtrt : ()casi()t l¿r t¡ t t t ' t to valo-' ." ir

.r ,-r pago r le 5 cn cl l i r turo iurral qrre url pa{r() <lc 5 hoy. Más aírn, cttat l t lo los

lrr,n,ra ,arr-, ,r-r() l tct¿rr i()s, aunqtle t tn. i trUird<lr l l () nlt¡estre irrrpatielrcia prcferir : t

i . i : i ¡ i . r : l pag6 cle 5 hoy p()rque puedc potrcl lo cn t lr)¿l ct let l ta b¿rnclr ia v trarrs-

frrrrn¿rt- lo en algc, mayor a 5 cn el f ut.uro. Sezr por estas raz() l lcls o prlrqt lc cxiste

cierta probirbi l idacl de qtre el. iuego terrnine en cada periodo, desarrol laremos

el modclo trsanclo pagos descontados.

En un.j l reeo cl inárnico se permiten estrategias qtre haean prolnesirs o arne-

nazas cle cl>mo un juUador se comportará ctr el firtr.rro dependienclo cle lo que

otros jugadores hagan en el presente. Si estas promesas o amenazas son crei

blt :s, entolces inf luirán en el comportamicnto presente. Así, es posible que cn

rrnlr i tr t t ' racción rcpert icla, un.iugador l leve a cabo acciones que st:rían una al-

t ( ' r n: l t iv l t t t l t tv t t l i t l : t s i st t l - l l t l r l : . r < le t r l t l t i r r teracción í ln ic:a '

IL L(;()S RF) 'Ui lD()S 147

Parir expl icar cotl t t t l . ts ¡rr t cisi írn qrré cs una estr:rtegia e n un.jucgo rcpetidoinf lnitalnernte, l lanlet¡tos " l :r l r istol ia clcl j rrego hasta el perioclo l" i la clescrip-ción de las acciones rk' tor l , ,s los jrreacl<)res en l1¡s prirnetrts I - I peri6clos.l ]ntonces, una estrategi l r r .s r¡r r ¡ r l : r r r r ¡ r r t , r :spcci f ica quí: acción tomar en caclapel iodo ¡ l : r r i r cacla posi l r l< ' l r is t , r i , ¡ r l< ' l l r r t 'uo hasta cse per ioclo. Al igual qqt : e¡las ocasiorrcs : rnter ior- t 's , lur . r ( . \ r t . r r ( g i : r l< ' i r r<l ica ; r l juuador qué hacer en caclaposible t ' i rct tnstancia ( ' r r ( lu( ' l r ' l . r ¡ r r t ' . i r rg:rr ' , r , lc c la la oportunic l : r f l c le tomar.c l i fér t :ntes : rcciones pa| t r <l i f r . r ( r t ( . \ ( . , r r rPor. l : r r r r i t . l l t ( )s previ()s.

Un eiemplo cxtrenl() t l t ' t tu. t ( s l r ' : r tcgi : r ( l l l ( ' ( l l l ) lu l r r lu idcir c lc rcciprocidaf les la l lamada cstrategia "gir l i l l r ¡ " . r ¡ r r t 'consist t , ( . l l ( . ( ) ( ) lx , l .ur .c,n c l pr i rncr per io_do, y cotrt . inuar'( :()()perando t 'n los siguientes 1_rt 'r io<[os si torlos loi j trgaclores loh:rn hccl lo cn t ( )c l ( )s los prcvios; ¡ r t ' ro, s i en alqrrrro l r lgr¡ i t . ¡ ¡ r ro l r : r <.oopcra{ lo,n() ( ( ) ( ) lx ' r ' :u t t t tnca Inás.

( lon l : l cstratcf¿ia :ur tcr ior , un. jugaclor lnuestr-a brr t 'n:r r '<¡ l r rn l l r r r . \ l ) r . ( )n l ( ' rost ' ¡ ¡ r r i r h¿ci i 'ndolo s i c l otro. j t r rador tarnbién lo hacc, ¡ r t ' r 'o:r l n l isnlo l r ( ' ¡ l l ) ( )I tact ' t t t r i t ¿ l l l lc l l : l r t r r l r i rst ica er l caso dc c¡ t rc el otro. jugat lor no ( ( ) ( ) l ) ( . r , . . 1, , , r r . .t lor r l<: l t lcc i<i t t r le t t t l " tn:r l ct l tnportarnient()" scrá seguic la c le l r r l ix inro r : rs l iso¡rosi l t lc, t :s r l t :r ' i r , dc l¿r I¿rl ta dc coo¡rcraci<irr pcrrnanente.

Notcrnos uhora qrrc si los <los. jrrt¡¿rcl<trcs sigrrcn la cstrategia ..q¿rl i l lo", si<.rrr

[)rc s( 'c](x)pcrlrr ir , p<lrr lr tc los t l t ls conlcnzarirn ha<:iéndolo 1', al obscrv:rr-r¡rrr '<' lotrrr t :rnlbií 'n lo hact ' , r :ontintr¿rríur haciónclolo sicrnprc.

L. l t l rcst l l tado tr<lt .¿rl t lc es quc cl uso <lc un¿,1 cstratcgia "sati l lo" por p:rrtc <lt 'cnrla t t tro <lt : los dos.jugadores consti tu,ve trn cqui l ibr- io ¡rcrf 'ecto en subftrcgos si6 cs st l l ic icrt terr lcnte alta, lo que irnpl ica que cs posible sostencr la cogperaciírntrt t 1o<los los pe r iodos cn El di lerna del prisionero repeticlo inf ini t :rnlente.

I 'at 'a cotrf irm:rr qrtc en real idad tenclnos un eqtr i l ibr io pcrf ccto en subjuc-{r()s, v( 'Alr l()s prirrt t :rr l <¡tre el par dc estratcgias consideraclas es un cqui l ibr io cleNasll . ( l rnsidcr.t :rnos,

¡ror eie rnpkr, :r l juuador L Supongam()s que cféctiv¿rrnen-t<: c: l . j t ruackrr 2 sistrt- ' la cstrategia gati l lo, y vcamos si al . jugador I le convieneolrt() l l (-es scsuir la. Si lo hacc, i trduc:irn la coopcraciírn del. i trraclor Z sierrrpre-, pol

I . <¡rrc rbte.drá.n p¿u¿o cle 5f l+ 6+ b2 +. . . l =5i - l I Veanr.s qrré.c ' r re s i\ 1-6 /

se aparta de la estratcsia r¡at i l lo en la Jrru l t .r¡rre <l ice: "oooperar en el primer pc-r iodo y cont inuar coopt ' r l t t r r lo t 'n los s i r i r r i . r r r t 's l r t ' r i< ldos s i todos los jqga¿oieslohanhechopreviurtr t<: t t t t " ' .Si t ' l j r rq l r r l , , r l ¡ r , ) ( r ) ( ) l ) ( ' r ' : r< 'n l r lsúf iper iodo,obte¡-dr i i 6 cn ese per iodt l , lx ' l ( ) ( ont() r : l j r r ' . , ,1, , r ru¡ i . r ¡ r : rs r .9<l l tgrará, c lbtendrácclmomáximo3ent ' l tcs l t ¡ r l< ' los¡rcrr , , , l , , 1, , , ¡ r r , r l . r , , , ¡ r ¡ r r .srr l t l tc l r t r tn

fñtpagode6+3¡ - lpalator lor ' l j r r r .1, , , l ' , , r r r ¡ r r , , r l ¡ r r . . , ,1, , r l r r r , l t . rq l ly i ¡ ¡<.

t 1-6I 'l l l l l l t l i l ts( ' r ¡ r r i l : r teralmcntt ' t l t ' ( 's l l l l ) iutr ¡ l r l . r , r , , r . . . r , . , r t r l l , , . r

148

que cs equivalcntc l t

,,..[ *J.'[ ,:lr r , .oní . t u¡ : ILIF,( t ' ( )s: s l i APt. l ( lA( l loN l lN ! l ( l ( )N()N{ lA . l Lr[( ;( )S RI,]Pl.l I l t)()S

Propo.sit : ión,: en el cl i lerna clcl prisionero (cn su ver-siírn de la gri i f i t :r (r | ) rr 'petido inf init¿rnlcnte, se puede s()stnnel c<¡rno restr l tado de un equil i l rr i r I l )( r l ( |to el l sub. iueeos la cooperación pc' l 'm:rnentc, y Lln pago de 5 en crxl l r ¡ rcr r , , ,1, ,para cacla. jusad()r, si 6 > {.

Er. Fr¡t.x' I't t t,t t tit.:,tt

Vlt t l los 1l \¡er i I c()nt i tr l lacií)n que, adenrírs clc sosrt 'nt 'r ' la c:<lopcracir i l ) cl) lor l , , .Ios ¡rcl ioclos, lo <¡rre cl:r c<lrno r:str l taclo quc se olrt .cnga un pago cle (11,5) r ' rrt 'a<l l t pt:r ior lo, cs ¡tosiblc también s()stener mtrchos ()tr()s p:uros c-orno resrr l l rrr l , ,r l t : t t t r cr¡ t r i l i l r l io ¡ tcr fcct<t t :n srrbjrrcgos. P()r e jernplo, s i 6 cs suf ic ientcnrt .nt ,al lo, s<: l l t t t ' r lc s()stct l lor un pag() rtc (,1, ,1) t : l <' i r<l lr pcriodo -<t más prccisirnrt rrt ( ' , t l l l J)¿t{r() ¡ lat : t t t t r lo c l . j t rcuo rcpct ic lo i r¿rral i t l quc pr() [x)r 'c ion¿r un paeo r lc( '1, '1) cn t : t< la ¡rcr io<l()- , ( ) un pag() r l t ' (13, t i ) o, nrásgcrrcr i r l rnentc, cualr¡rr icr

¡ t : ruo (x, , ) ) < l r rc s i r t is f l tea r l<¡s r '<¡ncl i r . ioncs:1

l ) ( r , r ) > (3,3). ( ( i . : t )

¿i) (¡, - l) t 's(: i cl l t ' l t 'ort j t t t t l .o r lc rrt i l ida<lc's alcanzablcs-r,í '¿rst: ír lca sombrcarlrr

t ' rr la {r ' ír l ica ( i . .1-.

( ir l i r . l<;r ( i .4( )or t I r r rr to rk' tr t i I i r lar lcs cs¡tcrarl i rs ¿rlc¿rnzzrblcs

I l1)

62!3

(6.r )

(6.2)

Si el. i rr¡¡zrdor. I se aparta uni lateralnlef l le dc st l estr¿rtcgi¿l gati l lo otr la partc

que cl icc:: "N,, . , , ,rp..ar más si alg' ien tro l . ha hccho c. ir lgít . peri<lckr prc-

vi<t", srrs plu¡os l l () se verátr al 'ect¿rclgs, porque t l l r l lc i l ot: t t t ' r i t 'á qttc l l lgtt i t : tr tr<r

cooperc. [ ,ucst() quc t i lmp()c() ptrecle al l lnent¿Ir srr rrt i l i r lar l ( :() l l ( ]sta r lesvi¿r<:i<ir l

r l r .srr .s l r .atr . ¡ i iu glrr i l l . , . r r . , . .* i* te nirr t t r rn l t t 's t l ' l t l t ' t¿ i : t qt t t ' ¡>t ' t ' t t l i l l t i r l i t ru l r<l0r ' I

l l l l lncl l tur st l l l t . i l i ( la( l c l i r< lo c¡ t tc el . i t reaclor 2 s igtr t 's l l (st l ' : t t ( 'g i l Ulr t i l lo ' l ' l r l v i t -

trrr l der quc l)()dcntos l lacc:t ' t t l t ;r af-tr tr l¿rci<itr scnlc' iarrt( l pl l l '¿l cl . i trglrr lor 2' tott-

. ' l , r i rr t , ,s q,, ," cl l lar t lc clstratcgi irs ¡4:rt ' i l l<l cf i :<' l ' iv lrnrt ' tr tc f i r t ' l r tat l trr l t '<¡rr i l i l l r io r l tr

N:rs l rs i 6){ .

Vcirrrros ¿rhor:t l i r ¡ l t :r l i r t :ci<it l t : l t srt l l i t tc 'Uos. Nott ' t l t t ts ¡rt ' i t t t t ' t rr ( lr t( l ( l r l ( : t( l i t

pt:r ior lo ( ' ()nl icnr:In l l t r l l ()s stt l>it t t 'Uos t:ot lro histot ' ias clcl . i tr t :Uo l t i rst l t t 'st ' ¡ l t ' r ' io-

,1,r. l ' , r . ct j trrnplo, et l cl ¡rt l l iot l t , 2 c,r l t t i . , , l r l l l l c l l l l (r I) srrbjtrc'gos' t lc¡ l t ' rrr l i t : t l r lo <lt '

s i arnbos' i r rg: t rkrrr ,s. , r , r ¡ r . , , - , , . , r , r ; s i sír l0 lo l r izo I ( ) s i s<i lo lo hiz() 2, o s i l t i t tgt t t t t r

l ' hiz ' . Árr¡ l ,rgirr¡r:¡ tc, t ' l r cl l lc l ior lo l l cornit : t lzatr t l i t rc isóis srr lr i tr t :uos, l)() l ' ( l t l ( f

hay r l i t :ciséis histori l rs l losi l>les h:rsl ir t 'sc ¡;cr iorl<¡ ' Nott: l r los irhora cl I)rr l l t () ( :r t l ( ' ial

ala:,¡,ra, r:arl i r rr¡1¡ cft ' ¡ .stgs srtbjrteu<ls, tr<l i tr t l rot ' t l t si t 'otrt ic:t tza t: t t t ' l st lgrttr t lo ' t : tr

( : l t( ,r(.cr(), o t :n ¡ l krsitr to pc:t- io<|r, ( 's ¿l stt vt lz rt t t . i t t t :Utl rcJlt ' t i t lo i tr f i tr i latr l t ' r t t t : '

Mírs 1¡t :nr : ra lntc l l t ( t , to<lo sr tb i t rcf f ( ) , l l ( ) i tn l lor t : r t : l t t ¡ t t í ' ¡ l t ' t ' ior lo (() l l l i ( ' l l ( ( " ( 's

.,rr ¡ , i .-g,, rc:¡tc1i¿. i tr l i t l i l i r tr l t ' t r tc. l ' l t t t . t tc:<ls, t '<l .s t ' l l .s s.. i t l í ' rr t i r : .s ' cs <lcc i t ' '

cor is ister l t t r r la rcpt : t ic i í l r l i r l f i r l i t i r t le l rn isnro. j t tcH() c() l ls t i t t lVcl l t t ' ; lx) l 'cs() s() l l

tarnbiért i r lér l t icos al. i trer¡4o ol isir lal '' fcnt:ntos t los t. i ¡ tos ai" r, , l r¡ , , . ,g.rs. [ ' ] l t t t t to <le t : l los' l t tnbos.i t tg:r<lort:s hlrtr

c<toperirdo sicnrprc. Para cstt: i ip,, ,1., srtbi l tcUos, las cstratelqi i ts.rct:otr lctrt l l tdas

incl icalt sggtt i t 'cooperl lnclo si el ot.ro. i trUaclor lo l l : r l lccho ¡ lr t :vi l r tnctrte y <lci irr

r le hacerlo cn c: lso c<lnt.rario. l lntont:t 's, cl t t tste t i¡ lo dc strbitregos cl par clc cs-

t l .atesias pnrporciotr:r un cr¡ui l ibr io cle N¿rsh p()r las tnistnas r¿iz()t les qrtc hctnt ls

expu( 'st() para t ' l . i r regt) e l l te lo.

f lonsiderernos ahor¿r los strbjueuos ctr qttc un j t lga(l()r nt l ha coope rad() cl l- l

algírn tnornento. En cstc caso, l ' . ts cstrategias indican no cooP(lrar l l t t l lc l l l l lás'

Dirclo quc el jugaclor 2 no cooperará nunca, pase lo que pase, lo me.jor quer cl

irrgador t p"éa" hacer es no cooperar en ningún periodo. Ento_nces el par clc es-

i.,,t"¡4i", rec.r'c.cladas tar.bié*proporci..a trn equilibrio dc Nash en este tip()

.1,. , , i i . ,1r,. 'U,rs. I) ' r t :rnf.9, gf i :cl ivirrnc¡tc, las estr¿rt.ceias gati l lo lbrrnan un eqrri l i -

L l i ( ) l ) ( . t l ( . ( l . ( ' ¡st t l r i t t t t ¡ , , . .1, ,<¡t t t l (s l l l l l i l l l ( ,s<t t l : ts iUtt i t ' t l l ( l ) l ' r l ) ¡ ts i r i r i t l :

t lil

l lt l

II

II

( )

5

1

:J

z

I

I r { ) I | ( ) t | \ t )1. . i l . l . t ( ; ( )s: su Al , l . l ( ;Acl()N I , lN l .c()N()N{ lA

I ' : t r rcsrr l t : r r lo t 's l r ¡ ( l l r ( ' se conocc como.el l " t ¡ lk ' l ' l rcot 'em, para uuestra veF

sion (sr , ¡ l i r ; r ( i , l ) r l t ' l ' .1 <l i l t ' r r r l r r lc l pr is ionero. Para cntcn( ler cí tmtt sc sost ic-

n( 'n ( 's t ( )s l ) : rg()s, l : r r ' l : r r r ' ( 's ( lu( ' . así corno l¿rs estratcgias sat i l lo usaclas ante-

r i ( ) r t r ) ( i l l t ( . ¡ r r csr r i l r t ' r r r orr l i r r r r :u ( ( ) ( )pcrand() s iemprc que todo mul ldo lo haya

hecho prcvi i tnl( ' l r t( ' , \ ' ( n ( .rso r orrt l l l l - i () nul l( :a rnás cr()()perar, pt led(: l t t l rr l lbi í : tr

prescrr ibir apegarsc rr ;y ( ' ()nrlx)r ' tarnicnto r lesr:ack¡ si t()d() rtrul)do lo ha ht:-

cho prcviamente y, en cAs() (( ) l l t lur i( ) , nuncl l r l lás ( '(x)pcr1tr. L¿t anlol l l lza dc qt l( :

nunca lni ls se c()()pcrará disuade c:ntonces ¿r t(xl()s los. j truarlorcs ( lc apzl l ' t . i t t :

se d(: l ( :()tnp()rt lrmicnt() xdeseado. Por cicmplo, se ptrc(lc ol>letrer t :ottro rt tstt l -

tado <lc ur) c( l l r i l ibr i() quc l()s dos.jugadorcs r: l i ian ( '(x)pcr:t t ' ()n l()s pcri(xl()s

l l()ncs y n() ( ' (x)per2rr cn l()s J)ares.I)ara sostcncr (:stc r()sul lar lo los. iuead<)res prrc(lcrr st:gtt i t ' , lurt lx)s, l l t siqtr i t ' r l t t '

t :s l . ratcgi¿t . (16r¡c¡z¿r ' : r jgstán<losc'a la rcgl : l ( le ( ' ( ) ln l ) ( ) r l i r t r t ic t l lo: " ( lool tcr l t t t ' t r

Ios pr:r io<los n()ncs y rr() ( (x)p(:r¿u'cn los pt : r iot los J) iu ' ( 's" . y s( ' f l t r i t ' l l ix ' i í ' r r<lol<¡

si krs <los. jrrgutlorcs sc hul l i r l )cgrr( l() a tul r t 'gl i r ; p( 'r(), si ( 'n i l lgt ir l l )( ' r ' i (xl() i r lutr-

l l ( ) ( ) l ( )s <los. i r ru:r<lort 's l r i rn i r r f i i r rg i r lo ( 's(u r ' ( ' f { l : r , n() ( ' ( ) ( )J)( ' t a l ' l l t l t ) ( ' r l t t r l is . l ) : rs( 'lo <¡rrc Jr:rst ' .

I t t r r i r < 'onr¡ t r 'o lxrr '<¡rrr ' ( 'u¿ul( l ( ) ( 'a( l i l . i l l { . l i r ( l ( ) r 's iut t t ' l : t cstnt t t :g ia l t t l lcr i ( ) t l ( ' l t ( ' -

n l ( )s un cr l r r i l i l t r io [ )ct ' l i 'c t ( ) ( 'n sul) iucf ] ( )s, ¿rs( ' { rut ónrot tos ¡r t i r t t t ' t <) ( l ( ' ( l t l ( ' ( 's l t r l

cr¡rr i l ibr io rk ' Nirs l l .

Srt¡ lot te i t t t tos t ¡ t t t : t ' l . j r ru i r<lor ' 2 s igtr t ' la t 's l l ' l t l t ' t - f i l t : t l l l ( ' l i ( ) l ' y t 'ot l l ¡ l ro l r< '

rn()s ( luo i r l . j r ruar lor I lc t 'orrv icnc hir t 'c¡- lo, l )u( :s s i lo l t : t< ' t ' , ¡ r t r rvot ' l t t ' l i ( l t l ( ' ( ' r r l ( )s

l )c l i (x l ( )s n()ncs:ur) lx)s ( ' (x)J)cr 'on y cn l ( )s l )ot- i (x l ( )s l ) : l r ' ( 's r r l r ( l i ( ' ( ' ( ) ( ) lx ' t ' ( ' .

l lx¿urr int ' rnos rrrr Jr t ' r ' io<lr) n()rr . Si c l . l r rg i t< lor l sc: t ¡ rcuu u l l ( 's l l i l l ( ' l { i l r ¡ r rcs-r:r. i ta nrcibir ir un plrs() <lt ' ( l -r + i tb + l-¡62 + i l6:t + . . . ) , r¡rrc ¡rorlctt tos t:st ' t . i l r i t ' < ot l t< t

l-r + ltb

r -s.2 (( ; .5)

Pol'otro la<kr, si sc <lt :svía r lc l i r t :st.r ' : r tr :gi i t t 'c<:onlct l<l lrr la, cs dccit ' , tro ( '(x)Pc-

r:r, <lbtcrrrh-á ( i t :n csc pcriorlo -p()r( l trc t : l . j t rgatlor ' 2 t :oopt:t 'arír- y c:t t l t t tcl tr

rnucho 3 cn los lcstantcs-<larkr qtrc t ' l . j t rga<lor 2 nttnt: i t tr t í ts t 'oo¡rt ' r- l l r- l i - , ( ' \

dt:cir. olrtcn<lrír:

360 r-

l -6 (6.6)

por tanto, el. iueador I nc¡ se rlesviará cn url periodo non si ({i.6) es mcnor oieual a (6.5):

- 36 -5+36n*,-E=t-¡ ' t (6.7)

que es eqtr ivalcnte :r:

. lL i l . . ( ; ( )s tü. .1 ' l . j ' l tx)s

Id> -_- , ) l l

36 : l+56l+_l_

1-6 I 6:

Flx¿rnr i l lc lnosah<¡r¿r losper iodos¡r l r r< 's.Si c l , jueador l se apeea:t l : r r .str : r t rgia rec onlcnclada obtendrá:

il + 5ti'Jt -ó- (6.e)

Si st '< lcsvía, < 's dccir , c(x)pcra cn uu per ior lo ¡rrrr ' . ( ) l ) t ( 'n( l rá I etr t -sc ¡ tcr i r tt lo -Jtort¡r t t : c l r l t t 'o. j r ru: t r lor no co()pera- v t ' r ¡urrr lo nrr¡r ' l ¡ r ¡ i l < 'n los t 'estant.cspcriorlos, cs r lecir. obtcnclrír:

.36' * ,_d rr i . l ( ) r

l )o l t : r r r to, t ' l . i r ruarkrr- I no se desvi¿rr í r uni lateralmelr te c l t un J l t ' r ' io<lo ¡r : r r s i :

r5 l

( ( i .s)

({ i . | | )

l<¡ t ' rrnl t :s r '<¡rr ivlr lcntc ir :

l+6)6: . (6.12)

clrr t ' s icrrrJr l t ' s t ' cumplc pul l r 6 ( l .

Así, t : l par clc estratt 'gi : ts ¡ l l t 'scri t i rs f<rrnl¿r rrrr cr lui l ibr i<l ck: Nashf ' si y sít l<t sisc <:rrrnple (6.8).

Vt 'anros ahora que ar l< ' rnr is r l t 's<' r ' r rn equi l ibr io de N¿rsh, las estratcgiasrct :onlct t t ladastalnbi¿n <orrs l i tu\( r r un t ' r ¡ r r i l ibr ioperfectoensrrbjucgos. Nue-vr l l r lc l l tetet lernosclost i ¡ l< lsr l t srr l r j r r tq,)s, \ ( ' l )arnboslascstratc- 'g iasl t r r tp<l |c i t t -

nlul un equil ibr io de i .r*aslr.

l ln los subjue¡4os cn ( lu( ' : r lqr r icr r : r ' l r . r . r ¡ r . r r t ; r r l r ¡ < l< ' l t r regla de "cooperar enIos pcr ioclos nol tcs y t to l r ; r< r ' r 1, , , r ' 1, , . . ¡ r . r r , ' . l . rs ( st l r t ( :g i2ts prescr iben noco()perar nlr l lca rnás. F,nlonr ( \ t ( n( nr , ) , ur ( r ¡ r r r l i l r r i . r l t ' Nrrs l t , l sal tcr , : r unjugador le cclnviene t l ( , ( ( ) ( ) l ) ( r .u \ r r l , ' t r , ' r " , , ' , '1,( r , r r , r nr¡n( :1.

' ;Notemosr l t tedesvi : t tst ' t l< l l t rs l t , t l r r , , r . r l , r ¡ , , , r , ! , r '1 , , , ' , t , . 1, , , r r ! r r ! , , , , , ,1, , r ,u nr¡n(rr

t t l i ' tss i a lst t ienhacoopeta<lot ' t t lnr l ) ( r ior lo¡r , r r , ' r , '1, ,1, ,1, , l ' , , , r , , , ,1, , , , , , r r ¡ r , r r ( . r ) t . l

l : i r r t i l i r l r r t lcs¡r t ' t : tc l ; r , ¡ t r r t 's l l r l r i ¡ r<i tcsisr¡rrcr l r ' ¡ , . r r . r , r ( ¡ , , , ,1, , r \ . '

l r

152 I I ( ) l i l \ l )1. l t t ! ( ; ( )S: SLI r \Pl . l ( lA( l l ( )N t ' lN ! . ( i ( )N() I t lA

L,rr los sul)¡ lr( q()s ( 'n ( lu( ' n¿rdic sc ha ap:rrtaclo cle la regla "cooperar en

Ios pcr ior los non( 's \ l ro l r : r< t ' r ' lo en los pares", a ca( la. iusa( lot- lc ct t r tv ienc sc-

suir apcf l¿rr l r l<¡st ' l r t 's l : r r t g l l r . l ) t 'hccho, esto lo hernos t lcrnostraclo y¿r, a l dc-

mostrar que las ( 's t l l l l ( l r . r \ ¡ , t t : , t - i tas s() t t t t l l cqui l ibt ' i ( ) de Nash Para c l l . j t lc Í lo

()riqinal.

l ] rnr ,r< lr ; n.r¡ Í .r

l lcrr<ri t , . f .1' \ ' . Kl ishna ( |9Uti), "Finit t : lv l{cpeatccl ():urrt 's", l ' .n¡nonujlr i tu., l-r l} , pp. 1X)l ' r-1)22.

l , ' r- i t :<lrrrarr, . f . ( 1 97 1 ) , " i \ Non-crxrperativer ct¡tr i l ibr ir rrn l i rr srrpct s:uI l( 's", l lnt inu ol I ' . t t t¡ t¡ t¡ t i r

. \ tu, l i t .¡ . l i l { . ¡r¡r. I l?.l \ ' lolcarrx, N,l . ( l1)U5), " l)r ' r ' l i ' r ' t Nlsh c<¡ui l ibl ia in f lrr i t t ' lv r '<'¡rt ' : t t t '<l suttt<'s ir t t<l t t t t i<1tt<'t t<'ss

ol N:rs l l cr l r r i l i l r r - i r r r r r i r r t l r t ' r '<¡¡rst i tu( 'nt g: l r I ) (" ' , l innr¡¡nir Lt ' ! ! t . t , |7, ¡ r ¡1. i t I7 l l i20.

S¡ l t t ' r r , R<' in l l : r r r l (11){ i i r ) , "SJr i< ' l t l rcorr 'st isc l lc l } t ' l ran<l l r rns t ' i t t t 's ( ) l ieo¡rol t r ro<l t ' l ls r r l i t

Nir<lrf i rrgt ' tr ' : rglt t i t" .Tri t tr l tr i l i f i rrdirgt 'sunl(St 'r(1.\7rt¡. \ . \( ' r t .uhrtf t . l2|,¡r¡r.30 l-3?'1.

- (11)7u), " ' l ' l r t ' ( l l r l in Stol t ' l ' : t t ' : t< lox", ' l ' lmtry and l )n i . t i t ¡ t t .1) , ¡ r ¡ r . 127-151)

7..JUEGOS C()N TNFORMACTóN INCOMPLE,t ' / \EL CASO I)I., MO\TMIENTOS SIMULTÁNEOS

l ln los ( '2rPítr l l ( )s i r t t t .er i ( ) r ( fs s i< ' r r rp lc l rcrnos supucst() quc t . ( )d()s los ¡rrq.r , t , , r ,c() l l ( )ccl l t .O<lOs los c() l l lpol lcnl( 's r lc l j r r t 'eo. ErI ctste ctapítulo lcv¿l .ntal . ( ,nt() \ ( , t ,st l l ) t t ( 's l ( ) , ( 's ( l ( ' ( ' i l - , ( ' ( ) t ls ideral ' ( 'nros j r r t 'gos c()n in lbr ln¿lc: i t in incompl( ' l l r . r , , , ,lx 'z l t r ( ' l l l ( )s < 'ot t c ' l caso tnás scuci l lo, t ' l r l t ' j r rcgos corr l l lovinr i t : ¡ t r ts s in l r r l l l r r r ¡ r , , ,I ' t i l l t< ' t r r I ) t - ( 's( : l ) t l t to l ) l ( )s ur) c jenrplo ( lu( 'n()s s<'n. i l - í r par i r i l r rstr :u- la f ' r . l ¡ r . l , , rt l t¿t t i< i t t t l t l I l i t t 'sal ty, c¡ t r t r pcrrni te anul iz:rr j r r< 'gos col l in l i r r - rn¿rci t i ¡ i ¡c9¡ l t r l ¡ r . rr r t i l iz l r r r t lo I : rs hcrr :unic l r t t rs r lcsarr-ol l : r r I ls ¡ r : r r . t r los. j t regos r :on inf i r r .n l l tc i í l r t r ¡n r¡r l t ' t l r . l )ost t ' l ' ior t r let t r te cx¡tot t t l rct t tos c l t orrct ' ¡ r to r lc c 'qtr i l i l t r - io l tayesi i ¡ ro t l ,Nl ts l t , i t ¡ r toJr i l t r lo para cste t ip() dc. j t reeos, usí ronro c los in lerpr.ct i rc io¡ t 's . r lt ( ' l ' l l l t t iVi ts <l t ' í '1. Desptr í :s t ' t : r '< 'n los <' í r rno los. j t r t 'g()s ( ( )n inf i r r rnaci<in incc-rrrr¡r l t , ,t¿t l l ( )s l l t r rJrot t ' ionatt t t t l t i t r lcr 'prctrrr : i í rn al tc l 'n:r l iv l r r l t ' las cstr : t t t :g ias rnir t : rs.I ' )x¡r l i< ' i rn ' r r ros ct im<t ¡ tor lc 'nros i l t lcr ' ¡ r rctar tu l i r est l l r t ( 'e i r r rn ixt . i r cn rrn. j r rego t ¡ r ri r r f i r r r l t< ' i< i r r cornplct : r ( r )nt() unir ( .st t . i r tcgia prrr-a rk. l r r r isrrro. juego cuando sc:tñlrt l t ' t l l l l )(xl() cle ir tct ' r ' t i r l rutrbn' r ' t 'spcclo a las prc' l i ' r ' t ' rrcias cle otnrs. j trezrc¡r-I ' t 's . ' l i ' l - l t t i t l i t l 'c l l los t ' l t : r ¡ r í t r r lo con clos r : jernplos de corn¡rct t ' r rc ia ol igopól icat<¡ l l i l l f i r t t l l l t t ' i< i t r inr :or t t ¡ r lc t l r . l ' . t l t ' l ¡ r r - i rner 'o una en)pfesir l ) ( ) ( . ( ) l l ( )ce l )crrect¿r-nl( 'nt( ' l : ts ( ' iu ' t rcterís l i r ' : rs r l r . :u l iv i r l , 1 'en t ' l scgtrndo ningrrnl t lo l lace.

Llx l "Jt , : l tpt .<¡: Lt ( t r \ r ' i ) r r \ ¡ l i ( . \ r ) ( ) ¡ ( ) \ rNr.r)R\r . \ ( j t ( ) ) { ASI\¡ ,_fRI( , \

( l t l l ts ic l t t t t t t l l t ls l i t reprt 'sctr t . r ( ¡ r , r r l , r r r r r l r ro¡r¡h()qt t ( f ( )p( : rac¡¡ l I l ¡erc¿tcl<lct tcr-ct-c i t t t i t l t l lo. Oi td:r er t rpt ' t 's i r l )u( | l r r , , r l rz.rr r r r r : r i r t r . r t rs ió l t p: t r : r exp¿¡)di¡se y gunar-Ict l l l t t t t l l 'o lnercadotrst t t i r . r l l l ¡ , r , , r , ( r ( ) ( lu( ' l )ue( lc leal izar l i rernpresalesmtryt : l l t t 'o lxt t -a t .o<los (es un l ) r ( , \ r , r , , | , r . r i l ,1. i l ' ) . l , .n c l tn lb i<t , cxisten clr rc las sobr-ecl t ipo c lc pr '< lyecto ql t ( ' l )u ' ,1, l l , r , r . r , . r l r , r l l r t ' rnprcs¿ 2. Est i r i ¡cert ic lur¡-l l rc provictrc t lc la te ' t ' l ro lot , r . r , ¡ r , l , , r ¡ (1, r ¡ , , , r r . r lgrr¡ l rs c i r racteríst icas c le l pr ' -drrctoylal i r r rnadcf l t l l r ¡ t , r , rnr ' '1, ,

I r , l r ' , r l , r ( \ , r ¡ r r r t ' r lc real izarclospgsiLles¿lcciODcs:cxpirncl i t 'seYl l ( ) ( \ l r , r ¡ r , l . r r , . r r r , , , ¡ r l , r ( . \ , r n()scexpan( lccotrscrr ,¿tst t lnercaclo) 'obt ieneS.Si l , r ( n¡1,r , r | ,1, , , ,1, , ¡ , r r r , l i rsco| t . ienegsisóloel laset expaude v 3 s i las c los sr . ( \ l , . r r , l , r , l r ¡ , , , , , r , , , ¡ ¡ r ( ¡ t ( , ( ( ) l l ) t i l l . En ca' l -b i<l ,scl lanrentct laelnpl ' ( 's l l ! t , , r r , ' , , , , , , ¡ , , , r ! ¡1, , r r , r ( t1 l r \ t i ( l rsr l<,1 1tr ' r ,cr . t .q l le pt lerde rcal izar. Si csl ; r ( nr l ) r ' . . r , , ¡ , , r , , r , . ' l , r r , r , l r . r N r r s i sr¡ lo <. l l : r sct 'x l l i t t t t l< ' t l l + ¡s i l¿rs r l r ¡s s( . ( . \ l ) . r r ( l r r l , r , . , , , , , I , , , , ¡ ¡ ¡ t r ¡ r . l l r iz r l r . ¡ r : rg,s:

154 l t ( ) r i r \ l ) l i l t F.( ; ( )s: st l APl, l (1. , \ ( l l ( )N l l i \ E( l ( )NO\l l , \

Lrrcha por el rnerczrclo ( I )

Ern¡rrcsa 2

. lL.u(;()s (r()) i INF()RMA(; l r iN txr ; r t l . l I ' t . t : . t t

l ,rrch:r por cl merczrdo (2)

Fimplc:sa 2 "bucna" (probabilictacl l")

r55

Iixpa.ntlirse No cxpandi.rse Lxpantlir.se Ittro expandir.:t

hrn¡rresa I

V¿rle la l)cn¿r l 'csaltar que si :rnlbas emprcsas tuviefal l la t l r isma it t lbrrr lzrr: i í ln

sebrc las característ i( :¿rs dc la empresa 2, poclrí irrnos real izir t 'c l nl isr-n() t i ¡ lo cle

arr ir l is is qlrc l lorn()s us¿rd() hast¿r ¿rh()ra. Así, si las d<ts trtr t l t t 'eslts totrot. i t l rat l cl

yal6r r le x, ir l r ' ( ' lnplazlrr cst() \ ,2r lol 'cn l¿r nratr iz alt tcr i() l ' tcttdríatr los tt t t . j t t t 'go t ' tr

I i rrrna n()rrn2rl c 'orno los ql l( 'hcm()s ?ur2rl izad(). Si ¡>or t t jcrnplo x- 0, l t ' t l t l t ' í : r tr tos

cl. iuego clc la l trcl l i r l )()r un rrx)n()p() l i () trat l tral - l lel t los sl l t l ta( l() bcrl t : f ic ios <lt ' 5t

c()rrcsponcl ientes al nl(:r 'ca(l() inic: i :r l a los benellcios r lct l t ' i t ' rn¡t lo l t l lal iza(l() at l-

r t ' r ' iornrr :ntc. I Iabría el l t . ( )n( 'es rkrs cqui l ibr i ( )s ctr t 's t t l t t t ' t -Ti : ts l l t t t : ts , ( l l l qt l ( ' s( i l ( )

r lna ( lc l l rs <los cnlpr( 's i ls s( 'cxpiul( l ( ' , v ur l c( l t l i l i l ) r i ( ) ( ' l ) ( 's t r l t l ( 'g i l ts l l ) i \ l : ls .

Si ¡ i r rgr l l r c()r)(x ' icr-¿I t ' l valor r le x, ¡xrr l r í iu l t ( )s rct t l l ) l l tz l t r x P{)r st t v l l lot '

( 's [ )ct 'ad() l y l l t l ( ' \ ¡ l t t t lo l l t t 'c ' l :urnl is is s( ' r í l l igt la l a l r l t t t : ht ' t r losv( ' l l id() r t 'a l iz l t t r r lo '

Si¡ cr¡btrrug, l :rs ¡osas sorr <l ist. int irs cululd() la t ' t t t¡ l t ' t 'sa 2, ¡t<'r 'o l l () l1I ( ' l l l l ) l ' ( 'sa l ,

( - ( ) l l ( )cc ¡ l val()r c lc x. Tt 'nt ' l r r ( )s ( :n[()nc(]s tut i t tego t 'ot t i l t f i r l ' t t laci t i r t i t lcr l t r t ¡ l l t l la '

l )urir sirnpl i f ic:u. la cx¡tosic. i írrr, srr¡tOnUlrnl()s qu(' l i r e11}¡rrcsa 2 s<i l0 prrcrl t ' t( 'n( 'r

r l6s t iJrgs r l¡ ¡ t¡61rct¡tgs, l¡rcno: x= i l , ,V tnit lo: x= -4. La cnlprcsa l t lo t 'st l i s( 'gl lr l l

r lc r: tr¿rl rk: c 's{t¡s rkrs t . ipos <kr provcc' lo t icnt: l¿r ( 'nl [)r(]si t 2, pcro sí t 's t : l t ¡ l i rz dt.

¿rsignul l t 's prolralt i l i r l i rr lcs, r ' r t ' r 'c lr tc c' l Jr loyt 'c ' lo t 's lr t t t : l to ( ' () t t l l l l l l pr 'ol labi l i t lar l

)" r ,rnalo t 'on Jrrobabil i r l ¡ ,rr l I - )". l . ls conot ' int ict l to t 'otrt í t t l r l t tc l i t ct lrpr<'sl t I

i rsig¡iL t 'st¿s proltalt i l i r l i rr lcs. I i tr tonccs, ln etrtprc'sa I t to salt t t t : tr í t l clc las <los

siguirtrrt .cs nurtr iccts r lc pauos |eprcsctr la la sitrr¿rci<ir l ( : l l ( l r le t 'stí t i t l tnt 'rslr.

l ,gf lcrnl¡s :r¡:r l iz¿r csta sitrraciírrr r le l :r sigtt i t ' :ntc trat lcr¿t. Si la cnrprt:sa 2 t i<l-

Ire ¡¡ brrt :¡ pl ' ()vcct(), se gxpatrcl ir l i , l l r tes írs1ir sc¡ ' ír srt estratecia t lorninal l te. Si

t icne tul rnal proyecl.() n() se cxp¿rndirá, puers ( 'n1() l tccs t lo exp¿lndit-sc serir srt

cstrategia ( l()nrinanrer. Flsto lo pucrk' irnt icipar la emprcsa l , v cntplcarlo Para t(F

rnirr su clccisiírn, es dcc:ir, sabe qrre si exparrde, con ¡trobabiliclacl )" cnlientará

rula empresa 2 buena ql le tarnbién sc cxpandir 'á, en cuy() cr¿iso obtcntlrá i3 y,

con probabil iclad ( l - l") , una empresa mala qttc no se cxpancl irá, y ent()nces

obtenclrí l t l . L:r cmpr-csa 1 tarnbiérl sabe qtte si t lo se cxpandc, obterrdrir 5 sin

importar qué haga la empresa 2. Cornparando estas dos ut i l ic lades, vcnlos que

la i ' rpresa I se cxpancl irá si 3), + 8 (1 - ¡,) > 5, es dercir, si l ' < {, v no se

. 's¡ l r r r r l i rá ( 'n cas() conl t : t r io.

r srr¡ r ,r r it rrr k r rrul r ' :r l ir l lrr l ir l l i t 'sgo o, nr:is gt'nt raltttcrlt( ' , por la rlt i l idad esJttr-l lcla tlt ' l l t t 'nt ¡rt l 'sa 2

[ ' ] rr srrrna, t ' l r 'onrport irrnicnto de l :rs emprcsas sc ajtrsta a lo sigtr ientc:

' l ' l ,a ctt t¡ l t ' t 's lr 2 st: cx¡r ir trdir:r si t ienc trn brrcrr pr '(x 'ccto ,v no lo hará si t icnt 't r r to nlalo.

' i ' Lu t ' rn¡rrcsa I se t .x¡rrrrrr l i l r i : s i f . l . r 'no lo hará s i f t i

[ ]rr I tecl lo crttcial qtr( ' r l ()s pt:r ' rnit i<i anal izar cstc. jueuo es quc l l r t ' rnpres:r 2sit l t tr¡ lrc t ictre rt t t t t est.r lr tcgi¿t ( l() lnin¿lntc. ( lol lsiclerc'nros, crr cl tnlbio, qtró octr-r ' ¡ i r : i si .r- -4 ctranclo l l r cn'r¡-rr-csir t i t ' rr t . tur rr:r l pro) 'ccto, conlo ¿tl l tcs, pr: l-{) x= It ' t tatrdo l ict le trn btren prttvcctc¡. Elt tonct 'rs tcl tclr 'ern<ts las sicrr icntes nr:rtr . i t .cs:

Lucha por cl melcirclo (3)

Ernplcsa 2 (¡ loveclo brrel lo, r - l )

lixprt.nd irsc No expu.ndirse

Flnr¡r lesa I

l'-x p:ru r li t-sc'No t 'x¡r : i r rd i rsc

3,3+x5,t3+x

Firrrprcsa I Exp:rndir-seNo t-xpanri irsc

ó, t ) J, t)

5. l llJ, ir5. ir

Enrpresa 2 "rnal¿r" (¡rrobabil iclacl I - ¡ ,)

I'.xlturtdi rse \o expa.tulirsr

l i rrrpr '<'sa I l ' )xpandirscNo cx¡randir-sc

i ) , - l

: ) . +lJ, r'r5, 5r

F.xpandirse:No expandirse

3, ,1 t3, t-rr5, l-r

F,tnpres:r 2 (provccto rnalo, x= -.1)

l ixpat t d irse No cxpandirse

l ' - t t t ¡ rn 's:r I l . r ¡ r : r r r r l i rsc\( ' { \ l ) . i l ) ( l i ts( '

i ) , - I

5, -1ti, irir, ir

l . r , r r r ¡ , r ,

156 I r . ( ) r i i , \ l ) r . r l r I1( ; ( )s: sLr APt. l ( lA( l loN l lN ! . ( loN(xt lA

fh¿rnclo x - -,1, u la t 'nrpresa 2 le¡ conr. iene expandirse sitr importar lo qtre

haga Ia emprcsa l . Sin cnlbar-{¡(), cuando t iene ttn proyecto bueno srr decisi<i lr

<ipt irna depende clc lo r lrrc lra¡4a la cmpresa l . [ ,a enrpresa 2 t lecesit tr t lace r tr t la

conletnra sobre cl r :onr¡ror ' larniento de srt r ival para decicl ir qtt í t hacer. Pcrcr

el cornportamieuto írJtt inro t l t ' ln empresa I clcpenclc, ¿l st l vcz, <le lo qtrc picrrsc

c¡trc hará l :r ctnprcsir 2. l t tr tol lces. cste ( lambio en los pag()s de lzr crnprt:sa 2

trut t t r lo l i t , l te t rn bt tcrr 1 l r ' , , r t ' t t ( ) ( ) ( r ts i ( ) r la ( l t le l t ( ) ¡ lot l l t t t tos l t ' l ln i t t : t l l ) l lesl l ( )

anír l isis der l¿r rnisrr l¿r nl¿lncl ' i t ql lc cln el cirst¡ l t l t t t ' r i () l ' . ) t l ()s l l l t lcstr¿l qt lc cl)

gcnc|al n() podentos depcncler ( lcl cste t ipo r le raz<¡tr¿ttt l ie I t tos.

LIna forlna cle procecler que sí nos permitc abor<l ir l t tstc t i¡ lo si t t tr tciot l t 's t 's

la l l rrrrr¿rcla ' l lurt .sfonna.r ion r lc Ho.rsrnt ' Ir . L:r proJtrrusta ( lc I Iru-sarry (19(i7), :r l l l i t : l t

< la ¿r rrucstro c jcrrrJt lo, ( ( )nsistc en intnrr l r tc i t - r t t t t r rovi t r t i t ' t t to ¡ l t ' t 'v io r l t ' la Nl t l t t -

r lr l t '2.:r clrrc <letcrnl inc t ' l " t i1to" dcl. irrua<krr ' 2, r¡tr t ' ( ' t l ( 'st( ' ( ' i ts() ( ' ()rr(:sl)ott t l t ' t ía

al t iJ to c lc ¡>r 'oycclo r lc l i r crrrplcrsa 2. N' l í rs qt ' t tct ' l t l t r l t ' t t t t ' , t ' l t i ¡ lo <lc t r t l . j t tu l t t lot '

l )uc( lo rcf i ' r ' i rst ' a crr i r l r ¡ t r icr ' ( ) t r ' : r c i l ra( 1( ' l ' ís t i t 'a r l t rc l t f i ' t t t ' s t t r r t i l i< lar l . Mt ' r l iarr t t '

la t r - i r r rsf i r r r l racir in <lc ' I Iarsurrv, la inf i r r r r raci í r l i r l ( ' ( ) l t l l ) l ( ' t1t solr t t ' t ' l t ipo l l t c t r t ¡ l t - t '

str 2 sc corlvi t ' r ' tc cn inf i) l - l l la( ' i r i rr i rrr¡ l t ' r ' f i r< l .a st¡ l t t 'c ' l¿r t : lcc< i<it l <[c' l i t l t l t t t t t ' l t l t 'z l t ,

Io t ¡ r re r tos ¡ tct ' l t t i t t ' t ' tnpl t t l t t tót ' t t i t l ts t 's t l i t l t la l .

, \p l i ¡urrr l1 l l i r t r ' :ursf i r r rnaci<in <l t ' l lurs l r tv, t ( :n( ' r l l ( )s t ' l s igrr i t t t t t t ' . j t t t 'qo t ' t t

f i ¡ l - r t t¿r cxtcr ts iva:

( ln, i l r t ; . ' r 7. I

l , r r r : l l : r pot 'c l t t t t : r ' t ' i r< l t l cotr i l t f i r l r t t l t t : i í l t l l ts i t t t t l l t - i t l t

\ l

t ,X

I t t ot

l r r r

.4(.ñ

()

. ' ( t ( )

lo

\--t\)

prurr l i r/ \ t)

( ' l

i l " \ r ' \ l ) . ) \ ( \ l )

(3. ,1) ( l t ,5) ( i , ,9) ( , - r , l ' , ) (3. - l ) ( t t ,5) (5, 1) (5 ' I ¡ )

En cstr: . l rrego, primero la Naturaleza "cl ige" el t ipct de provecto <le l¿r ernt-

¡rrt 'srr 2. l) t 's¡ lr i 's, sin cono<'cr la clccisión dc la Naturir leza, la (-t l t)Presa 1 cleciclc

si cr¡r : r r r r l i ls( ' ( ) n() r .xynrrr l i ls t ' . l . ' i r t¿r l tnentc, s i l t t :ot locc'r la t lecis i í r l l dt : l l t t ' t t l -

lLr l . . ( ; ( )S ( l ( ) \ I \F()RNI; \ (1 lON IN( iON,tPLI iTA Ir:¡7

presa I pero sí la de la Nlrtrr laleza, la empresa 2 decide si erxpancl irse o no ha-cer lo.

I 'odcmos fransf 'orrrt¿tr cl . j rreuo anterior en un juego en f<rrrna cstratégic:u.l-zr empres:r I t iene dos cst l l r legias, expandirse y no expandirse. [ ,a cmpresu 2tiene cuatro cstrategi¿rs, si clenot¿unos como (x, ¡) la estratcgia en que la c'nr-presa 2 re¿rl iza la acciórt x si t iernc un bucn proyecto y la acción 1 si t ienr rrrronralo, cstas estrategias son expandirse sin irnportar el t ipo de proyecto (r, r) .cxpzrn<lirse sólo si su pl 'ovccrt() es bucno ( a, n ) , expancl irse sólo si str provecto t 'srrr irkr (zi , a) , v no expancl irse en ninsÍrn caso (n, :n). La rnatr iz de pagos de t 'stt 'juego crr f i r l r l ra cstratégica es l¿r sisuiente:

l ,ucha por cl mercaclo (a)

L,nrpreszr 2

\c, c) (e, n) \ t¿, () (n, n\

l ) r r rJr lcsir It ) , l )^ + I

-54 I fr. -/, + i ¡/, I :t, ti), - Iir, ,1]" + r5 5, ], + ,1

8,55,5

I ' t t t¿t vcr círnro sc: c()trstnly( i csta rnatr- iz a p¿trt ir del- j trcgo en f<rrrna cxtensi-va (r 'óasc laerír l ic:r 7. l) , consiclcrenlos como cjcmplo cl p:rr dc estlate{-f ias ex-partcl irst: ( ,) paru la t ' rnpt 'eszr I y expancl i lse sin irnportar qrrí ' t ipo de provect()so tcl lr¿i l (a, r) para la enrprcsa 2. ( lon probabil idad l , l¿r Nattrr:r leza "elesir-¡,"r¡t t t l la cl l l l ) l 'csa I scit Lrttetra (rarnzr izcluielr la cn el nudo inicial). ( lorno la r:nr-

Jr|esa I r : l ige cxpanrl irsc t ' dt:spuós la crnpresa 2 tanrbión lo lracc (ptres el pri-nlel col l lp()ncnte ( lc su cst.rat.cgizr ¿rsí lo indicir) tcrrninarernos cn el nudo f lnalc() lr p¿rs()s (3, 4). Por ()rr() l¿xlo, c<ln prob:rbi l ic lacl ( I - )") la N:rturalez¿r el ige erlpr()vccrt() rnalo (r:r tr ta <lcrecha cn el nudo inicial). La cmplesa I el iec l¿r rarn:rizqtr iercl:r , r ' la cmpresir 2 t¿rnrbién el igc cxpandirse, prrcs el segtrndo compc>trctrte dc str estratctgia incl ica que clebe expandirsc si srr pro\, 'ecto cs tnalo. Estorlos l leva a kts pagos (3, - l) .Entonces el par de cstrategias consicleracl:rs nosproporciona Lrt i l ic lades esperadzrs cle ),(3, 4) + (1 - f) (3, - l) c1ue, sirnpl i f ican-do, es igu:r l n (3, 5) , * 1) .

Busqucmos los cqui l ibr ios de.Nasl-r de cste. jueuo. Notcmos primer'r lrr t ' t ' l

i rrgador'2 nttnca elegirá la estrategia cle no exparrcl irse si t iene un brrerr Jrr 'orr.r -tovexpattc l i rse s i t ienettntnalproyecto (n,e) prrcscstáfucl- tern( 'nt( , ( l ( )nr i l r r ( l i r

¡ r<rr la cstr ' : r tesi¿r c le no cxpancl i rse nunca (r t , n) . I in < ' f i 'c to, t l r r r to ( i i - | i ,<oDrr)"+ '1 <ircquivalcna),<l ,queefcr: t ivarn( 'nt( 'sctrrrrr¡ r l r ' .L:r t 'srr ; r t tq i : r r l r .< 'x¡ t l t t t t l i t s t ' s i t ' t t t l t r t ' , ( r , e) , tarnl>i í , 'n cst i r f r rcr t t 'n)( ' l t l ( ' r l t ¡n l i r l r r l l r pot l : r csl¡r t l r l i . r

158 IL()RL\ I ) t , . I r 1. . ( : ( )S: SL.. \ l ' t . lCA(I()N l lN L,C()NO\I I ' \

de expancl ir-se sólo si cl ¡rrrrv'< t t) es bneno, (e, n), (compararldo ut i l ic lades, vc-

mos que csto se culr lpl( 'si A.- l , que es cl caso). Rorr:rndo las estr i t tesias fuer-

telncnte dorninad¿rs rros r¡rrt ' r latrxls col l el . j trego:

l . r r r : l ra por el nrcrcado (5)

LnrJrlcsa 2

( , , r r ) ( r, J'¡)

Jt t , . ( ; ( ) ( ( ) \ I \ t . ( ) l { \1. \ ( t ( )N INC()N{pt. ! t . IA t59

1,,) <lc acuerdo con ci t ' r ' r l r r l is t ' i l r t rc i í rn conjunta de prob:rbi l ic lacl 1,( l ¡ . . . . , 1, , )qt l ( 'se st lPone de c<l t l<¡ t i l l t i ( ' l t l ( ) ct() lnún. Denot:rretnos el conj t rn l ( ) ( l ( ' t ( ) ( l ( )s l ( )sposiblcs t ipos de los. j r rurr<[or-c^s l : (11, . . . , 1, , ) por z] Entonces, l l isrr l l ( l r rc ( ' l )los. jueuos con infbr-ulur iorr complet : r , tendrenlos un conjrrrr lo <l t ' r¿. j t rq l r ( l ( ) r . r 'sN1' rrrt con j trnto de cst l 'ate{r ias ,\¡ para cadajugador I en i \ ' . Pt 'r 'o. url icionl lnr¡¡ t t ' ,tenr l rcmos un conjunto c le t ipos 7iv un:r f i rnción clc rr t i l i t l r r r l i r , ( . r ¡ , . . . , . \ , , i l , )par l cadir . j t rs¿rdor ¿ cn , \ así como unir d istr ibuciór l r l t ' ¡ r r r r l l r l r i l i r lacl / r ( 1, , . . . ,1,,) c¡rrc nos digzi córtrct sclecciona la Naturaleztr los t i¡ros clt ' los. irrulrclorcs.

I)ef,rt i i r i r t : trn. juego sirnult írneo con inf irrrnut ' iorr irrcour¡- l let¿r est ir f i rr .rnlrrkrpor l) trn cort j t tnto cle n-j tru:rclores M l l) par' :r tacla. jrrsa(l()r icn \ rrn conj¡¡t()cle estt-: t tesi¿rs ^\ j , un <:onjunto cle t ipos 7l l ' t rn:t f i rnci<in cle ut i l ic lad ¿¿¡(s1 , . . . , .r , , ,l ¡) , t ' i i i ) una distr ibrrción con j trnta de probabil iclacl P(/1, . . . , t , ,) sobrc los r ipos<lc l<rs-jrruacl<rrcs. l)cnotamos unjueuo bayesiano por {A¡; Sr, . . . S,; ' l -1,. . . 7' , , ; u1,. . . , u, , , P(.)1.

Fltr t l t tcstt '<¡ cictnplo, los. jrreaclores son la empresa 1 v la empresa 2. ( laclacrnprcsa t icne dos cstratcgi:rs posiblers, expandirse (e) 1'no expar-rdirse (r i) .L:r crnprersir I t ienc trn solo t ipo posible, un proyecto resular 7, = {estándar},v la ernprcsa 2 t icne dos t ipos posiblcs 7z = {bucno, malo}. La distr ibución deprobabil iclad establece que la naturalez¿r e l ige el proyecto bucno con probirbi-l i<larl l" y cl rnalo con probabil idacl I - ) , . ( lomo la empresa 1 t iene solar¡enterrn t i¡ro posible, su función de ut i l idacl ¿r (, i r , .r i ; estándar) clebe especif icar sgla-rncnt.( 'cu¿lt l 'o valores, uno p¿rra una de las cuatro conrbinaciones (sl, s¡) posibles:nt(44 cst , t l ldar) =3,u1Q,n; estándar) -8,21(12,qestírnclar) =r.¡ ,utQt,¿jcst i ln-r lar) - 5. En carnbio, la f trnción de ut i l id¿rcl de la empresa 2, u2(.r1, s2; te), clcbecs¡rcrcif icar 8 r 'alores porque csta ernpresa t iene cl<ls t ipos posibles: u2(e, e;bue-rro) =+, t t2(e, n;bueno) -5,* , , ( r r ,4 l tueno) =9,u2(n, n; l tueng) =b,u^2(e,e,rna.Io) = -1 , u2(e, n; m:r lo) - 5, u2(n,4 rnalo) = l , uz(n,n; r la lo) = 5.

[,¿r transfbrl ' r l l rciort r lc ' I larsanv nos conduce a arnpl iar el conjunto cle cstra-teuias cle losjugarlort 's. rr l ¡r t ' r ' tni t i r el trso cle estratcsias cltre clepcnclen clel t ip<rdecaclajugador. l i l <orr j r rnr()( l ( ( 's1r ' : r te¡ ; iaspurasampl i : rc lasclel jugaclor lesel

conjunto Si ,c le l i r '< i"r 's r l r . / , ; r , \ , . Conro e^l . i r rgador 1 t ienc un solo t ipoposiblesuconjutr tor l< ' tstr : r rcr , , i . r r . r r r r ¡ r l i : t r l t rs. \ , / i scraigrralalconjuntoor is i ;a. ly contendrá solanrt 'n l r ' l ; ¡s r ' : r r . r r : r , i . rs , r ¡ r ; r r r r l i lsr : (a) y no expancl i rse ( . r r ) .Encarnbio, corno cl . j t tg: t t lor ' - l l r , n, . r1. . t r ¡ r i ) \ l ) ( ) \ i l ) l ( 's , h:rbrá cu¿rtro estrategiasetrsuconjuntocl t ' t 's t l l r t r .sr . r ' . r r r r ¡ , l r . r , l . r l ( r . / , ) . ( t . r r ) , (n,e),(n,n)) ,c lorrdeel par(x, . ' l ) indic l r r ¡ t r t 's i r ' l l ) r ( ) \ r r r , , ¡ 1, , r , ¡ ¡ , , , , , , . l rL,r ' r rs i ¡srr ta l .s¡el iecr, .

Unat 'eZ que t( l l l ( ' l l l ( )s l . ts r" , l r . t l . . r r r r r r ¡ ,1¡ ¡ ¡1.r , . 1, , ' r l r . l r r ( )s < 'st . l . i l l i r . l l r f r t i l i -t laclesperadadel . j r rutrr lo l /<orrr , , lnrr , r , , r r , ,1 r¡r , ¡ r r , ,1, l , r , ( str ; r t ( .g i i ls : r r r r ¡ r l i l r< l l rst ' l t 'g i r l l ts p() l ' l ( ) ( l ( )s l< ls j t tg l r r l r ) t ( s. \ \ , r r , , ,1, ' r r l , , ,

l i rnplcsa I l ix¡r l rndi rseNo ex¡r lncl i rse

- l )^ + d, -^ + : )l ) . -+^ + : )

¡J, 5I'r, l-r

! , r r est-e. j r rcuo por lcrrros t ( 'n( : r -1r ' ( 's c<lrr i l ib l ios <lc Nasl l , < los t ' t l cstr t t tcgias

l) i l r l ts \ u i l ( ) ( 'n ( 's t r i t t ( ' t - f i i ls i l l ix l : ts:

l ) Para r : t r : r lqtr icr .vrr l ( ) r ' ( [c ] , , cs t rn cr¡rr i l ib l io t lc N¿rslr t ¡ r r t ' l r t t ' t t tpt- t 'sr t I str

cxpirn<la 1' l :r crnpr-t:sa 2 nrrrrr:¿r lo l laglr - tr<l i tnport l t cr lr l to s( ' l l stt Pl '()v( '( 1().

i , Si ) , > * , hay un s( 'sul ld() cqtr i l ibr io r lc N¿sh err t 's(r 'at t 'g i : rs l )ur i ls , ( lu( '

c<lnsistc cn ( lu( ' la crnpr-cs:r I no sc cxpan(l(f v l i t ctnpt 'cs:t 2 st ' ex¡ratrr lc si -1,

sír lo s i - t ic t re t t t t l l tc t t ptrryet t ( ) ( ( 's t ratoqi : t ( r , t t ) ) .l t l ) Fini r l rnentc, s i ) , > { , tarnbicrr hay rrr t cc¡tr i l ib l io cr) ostrr l te¡ j i i ts nr ixL: ts.

l ln cstc c<lui l ibr io la cnrprcs:r I se t:xpanrkr r 'ort pnrbnlr i l i r lacl 2- f y la t :rnprcsa

2 no sc cxp2rn(le si t icnc un rn¿ll pr()yect() v sc ( 'xp¿rn(le c()n c() l l ¡rrrr lr :rbi l i r l :rd

3, l =; < I s i t ienc un brrcrr I ) r ( )ycct() .

I.,r¿t, r r.trrlrto u,\\'t.tSr.\N( ) u¡: N¡st t

[)cf ini lemos :rhora de manera nrírs gcner¿rl trn eqtr i l i l rr io bavesiat lo cler N¿,lsl l .( lorno punto de rcf 'crencia, recort lcrnos que para analizar. iuegos con inf<rrrna-

r: ión conrpleta especif icanlos el cot ' t j r t t t to de.jugaclores ly 'y, para cadajr.rgador I

en { su cotr jrrnto de cstrategias 5l v str f i ¡nt: i írr l cle rrt i l ic lad z¡(sr, . . . , ,r , ,) qtte rec<>

eía sus pref-erencias sobre las cl ist intas combinacioncs de estrategias posibles.

En los. jrregos con infbrlnación intompleta el ingrecl iente nuevo será que

caclajugaclor i en lVobsera¡a cle rnanel'a privada el tipo t¡en T¡que le asigna la

rratrrr:r lcza, y su función de ut i l ida<l depenclc no sólo de las estrategias elegidas

¡ror ' í ' l v los r lemás.jusadores, sino tarnbién dcl t ipo concreto que le asigna la

nrr t rn:r l t 'z : r : i r ; ( .s¡ , . . . , .s, , ; l , ) .Lanatur¿lezael igelost iposdclos. juuaclores( l r , . . . ,

160 |1.()Ri . \ l ) ¡ : .JuEo()s: st . APt- tcAcl()N I . rN l lcoN()\ , l lA

r r , ( r ¡ ( / ¡ ) . . . . , r , , (1, , ) ) - | l , l t r , . . . , 1, , ) u, ( . r , (¿r ) , . . . , s, , ( f , , ) ; t , )t ta I

Para i lustrar-cl crrr¡r lco r lc l :rs l i rncioncs clc ut i l ic lacl ( , r 'olv:rtnos ir l :r matr iz

de pagos de lucha pol r: l rrrt ' r ' t :rr lo (-1) r 'comprcbcl l los c<into las ut i l ic lacles ir l l í

ernplead:rs sc cr()rrcspondcrr t :orr l l r f i rnciírn [ , t :r l corno la acabarnos cle clerf inir.

En nrrest.ro ejernplo, tcl lcl l l ()s clrrc si l i r enrpresa I cl i¡¡c cr l trar, <tbtctrclrír :

u,(e,(r ' ,a))-) , r1(c,r icstánclar)+(t-)") t ¡ (c,r ; t :st i tndar)=) '3+( l - l ' )3

i r (e, (e, n)) - l "u¡ ( r ,4 est í rndar) + ( l - )") z¡ (a, r r ; cst : r r r r lar ' ) =) ' l ) + ( l - l ) fJ

\(e, (n, a)) - ) 'u¡ (c, i i ; c 'slr in<Ltr) + ( l - )") r l¡ (r ' , r ; cstr in<l i tr) - ) , l t + ( l -) ' ) :)

u, , (e,(n,n))=)" i r ¡ ( r , r r ; cst í rnclar) +( l - )") r r l (cn; t 's t iurd:rr) =13+( l - ) , )u

r, 'si cl i frc no cl l tr '¿u, ob(cnrlrír lo nl isnr<1, rro irrr¡rorl i r r¡rrí ' t 's lr i t tcui l t rrsc l l t t : tn¡rt ' t :sl t 2:

u ' ( r¿, ( . . . ) ; r 's t l i r r<lur ' ) - 5

l) irnr l l r ( 'nl l)r( 'sa 2 tt ' t r t ' t tros:

ur(e,(c. l ) - )"u2Q, r ; l r t r t ' t to) + ( l - ) ' ) t r2(r , r ; r rut lo) - ) '4+ ( l - ¡ ' ) ( - l )

ur(a, (e, t r ) ) - ) 'u,2(4 r ; bt t t 'no) + ( l - ¡") tq(e, r t ; r r r i t lo) - )"1 + ( l - ) . ) I - r

i , (c, (n, ¿)) =)"rr . : (¿, , l ; l l rcno) + ( l - )") rq( t ,4 rnalo) -) ,5 + ( l - ¡ . ) ( - l )

i r ( t , ( r t , r i ) ) - ) ,12(r , r r ; l l r t : r ro) + ( l - ) ' ) u,2(( tü rrralo) - ) ' i r+ ( l - ) , ) 5

i , (n, (c¿)) - l . r r ' : (n, 4 bt tet to) + ( l - l ) uu(n, 4rrr i tkr) - ) '1) + ( l - ) . ) a

i r (n,(c, r i ) ) - ) ' r r"(r i ,4btr t : t ro) +(I-¡") to(r i , r t ; rn i r lo)-) ,1) +(I-) , )1-r

u,(n, (n, e)) - ) 'u. .¿(rr , r ; btr t : t ro) + ( l - ) ' ) u, ;2(n, c, rnalo) : ) '5 + ( l - ) ' ) 4

i ,(n, (rt , rr)) = ) 'rr2(r i , r ; l l t t : tro) + ( l -) ,) uo(n, r¡ rrralo) -]"1-r + ( l -) ' ) l -r

Un ec¡ui l ibr io b¿ryesiano de Nash serzr trrr cclui l ibr. io t le Nash <lel. j rrego en que

krs conjuntos dc.cstrategias .\i hzrn sido remplazados por los conitrntos de estr2lte-

uias:rnrpl iar las 5j ' ' , y las f irnciorrcs ckr rrt i l ic lad z¡(sr, . . . , .r , , ; l ¡) hart si<lo rernpl:rzadzrs

p<rr lasfunciones l i , (s,( t , ) , . . . , .s, , (1, , ) ) =1nQ,, . . . , t , , )u¡(sJt t ) , . . . ,s, , (1,) ; r , ) .

teT

I)cfirt idón:urt cquil ibrio bayesiano de Nash del-juego simultánco con infbr-nlr< i< i r r in( ' ( ) r l l l ) l ( ' ta { \ i ; . t1 , . . . S, , ; 71, . . . ' l ' , , : u1, . . . , 1I tú / ' ( . ) }cs un cqrr i l ibr io de:

j l | ( . r , , | ( ) \ t \ l - ( )R¡, ,1A( j l ( )N INc() \ , i l ,1. t . ]TA

Nash clel jueso sirrr ¡ l t :ur( , , ( , , r r r r f o lmación cornplekr {N; S'11 , . . \ ' l ; ; [ ] , . . . ,u, , | , en don,der el corr j r r r r r , , , l r r : r r : r l t 'g ias pr.rras de cacla. juuador ler¡ Nt 's ¡ lt :onjrurto . \ " , de f r . rnciorr t .s r l , / . r . \ , r 'srr función de ut i l ic lacl es z- , (s l (¿r) , . . . ,

,1,(1, , ) ) - 2p(, t , . . . ,1, , ) i r , ( r ¡ ( / , ) r r / , . ) : / ¡ ) .t.'l

INI ' ¡ :n l ,nt i t ' , t<: t t )N.\ l . t t . . t i \ \ i l \ \ t , r r | { , t i l l t i t { ( )B, \v. tstAN..()Dt: N¡sn

Ll t t : r l i r rn l : r l igr : r¿unt:ntef l i f 'cre¡tc ' r l ¡ r , . r ¡ ¡ l ¡ ( t ¡ ,s i r r r t r l tá¡e 'c: . . i ' f r r rnt¿rci<i .in( ' ( ) r r ) l ) lc ta ( 's c()rn() t rn. j r rcgo ert c l t ¡ r r<.r . r r lur , . r r r lc r . lc lzr . juuaclor r¡r ig in¿r l IcnN t t ' t r t r t l los l< ls c l is t intos t . i l tos de. juul<1,,r t , t ' t t | , ¡ r r r . ¡ r r rcde scr etst .c. j t ruador.Otr t l l r t i ¡ to posiblet de. j t rear lor len Nst ' ronsi t l r . r . r ( i )nr( , r r ¡ . j ¡g¿rclgr.q¡c l . icrrctot t to < 'ot t j t tnt .o de estrategi i ts ̂ \ i y corno l r r r r r i , , r r r l , r ¡ t i l i< l l r r l precis i t rnentc l t rt ¡ t rc t i t : r rc c l . j r ruaclor lcu:urclo t icnc el t ipo 1, . ( l ¡ r r r .st . r i r r r r . r ¡ r rctaci í r r r , en nl lcs-tr -o t : j t ' r r rp lo Icne lnos a t . resjuuad<)res en lugar. r l t . < l ,s: l : r ( . r | | l ) r . ( . r iu I , la enrprcsa2 lrt t t ' t t l r v l : t t ' t r tpresa 2 rnal¿r. ( lar l¿r trn¿r clc estas tr ' ( 's ( nrl)r ( . \ :r \ l r( 'no dos estratc-ui i ts, r 'xpandirsc y no cxpancl i rse. ' l 'enemos el s igrr icrr tc j r rcq, .

Fimprcsa 2 rnal:r

L)nltn.sa 2 lntena, Enlnt.srt 2lnu'rut.

l , rnprcsa I

tt

Firnprcsa I -5), + 8, 4, 5 U, 5, l-r: ) , : r , l ) l ) , l f , l )

Err cste. j t tceo la cmplt 's : t l r ' l iqc r crrqlorr t 's , la cmprcsir 2 bucna col¡mnas, ylaetr tpresa2malactradros.( l : t< l r r r ¡ r r r ¡ r lccstr¡st lcs. j r ru i rdorespuecleclegircntrecxpandirse y nr l expancl i rsc ' . l ' l r r t : r<l , r r , rs i l l . r . r ' l ¡ r r i r r r< ' r ' r r í rmero es la t r t i l ic lacl c lel : r ernpresa l , e l segundo cl r l t ' l : r t ' r r r ¡ r r cs. r l l l ¡ r ¡ r r : r . r ' < l r t ' rcerc el dc l¿r ernpresa2rnal : r .L¿rrr t i l idadr l t : l<ts<lost i ¡ ros<.1r.(nr l , r ( \ . r t l r i t r r r . r l r r<l l rp<tr laf i r ¡c i í rnu2(.r¡ ,r r , 12). Para entenclcr conl() s( '<t l r l i t r t t r r l , rs rr t r l ¡ r l . r r l ¡ s ln l l rs casi l las i t r ter ior .es.veanl()selcasoconcretoclelarr t i l i< l ; r<lr l t l , r t r r r ¡ r r ( . , . r ' ' l ¡ r r tn: lcrrandolacmpr.c-s l r Ic l isenylosdost i ¡ rosdt ' t ' r r rPrts:r?r¡s,urr(r . , r | . , ( . ! ,u l ) ( l ( ) r r í r rnt ' rocl t ' l l r

<:rs i l la i l l l i ' r ior izqtr ierda cl t ' l t tut<lro <l< ' l : r izr¡rr , r , l . r r , , ¡ r . r l . r 1)) . r : rso<. i : r r - l ¡ <.¡¡l l t t t 'J l t ' t 's< ' t t l : t< i i r r l l t l i t ( r i t ' i l t l< l t ' l , r r<lrr r ¡xrr t l r r rcrr . r r l . ( i r ' r l ,u( .s l r ) :ur l ( , r ' r ( ) l l ¡ ( . ¡ t ( .

t ( i I

3, ,1, - l5. 9. . {

I ti2 i l ( ) r i1\ t ) t . l l l ( ; ( )s: st .APLI( l ' \ ( l l ( )N U\ l l ( , ( ) ¡ - ( ) ! l l , \

Allí , el cuaclro srrpcr ior irrr l i< lr r luc cu¿urdo cl pr()vc(tto es bueno, la crtrpresa 1

el ige no expirnrl i rsc. \ l rr t ' rrryr l t 'su 2 cl ige expantl irsc, la emprcsa 2 obtiene !).

P:rra encontrat ' los t '< l r r i l i l r r ios r l t 'Nasl l < lc estc. j t rego dc t res. j t rg i t ( l ( ) re ls, l r ( ) -

tcnl()s que la matriz clc l i r izr lrr i t ' r ' r l l r t 'stír l i r t- ' r ' tetncttte dominlrcl¿r ¡tara la elnPt'u-

sa 2 r¡¿rl ir . Por t irnto, l 'cstr irrginros nut 'stf i r i r t t ' t rci i i r l i r l¿r mlrtr iz <lc la r lcrccl l l r .

lln cll¿r pocletnos t:ornproLritt' c1 tttt :

/ . / La c1¡rtrbirracit in ( lc estratesi¿rs (r, r i , i t ) t 's rtrr eqtr i l i l l r i1¡ t lc: Nas|.

, tSi ¡ ,2 l (cqrr ivalcnt t ' i r11 >-11).+t l ) , l i rcornbi t rat ' i t in( le( 'st l i t { ( :s ias( i r , r ,

n) cs tarnl) ién urr c<lrr i l i l t t - io <lc Nitsl l .

, l r ) Si ) . > i , t iunbión l lav rrrr cr¡rr i l i l r l io t ' r r t 's lnr tcsis tn ixt¡s: la c ' t t tpr t 's : t I st '

t :xp:rnclc t :orr ¡ r r 'o lxr l t i l i r lar l | , lu cur¡r t 'csa 2lr t t t ' t t l t s t ' t ' r ¡ t l t t t t lc ' t 'orr prol l i t l l i l i -

< lar l - ;

\ ' la ct l r l ) r - ( 'sr t 2 r¡r i t la r to st ' t 'x l lat t<l t ' .

I . '<¡rrnalr t rc l r te lo r¡ t r t ' :x i rb:rrrros r l t ' luxct 'sc ¡r t r t ' t I t ' ( 'x l ) l ( 's : t l t , , t t to s i t ¡ t t t ' .

I l r r c<¡tr i l ibr io btryt 's iarro <l t ' N:rs l l r l t ' l . j r r t 'go s i t r l t r l l l - r r l t 'o cot t i t t f i r t ' l t t¿t t i t l t t i t t< ot l t -

l r l t ' t r t { , \ . \ , , . . . . ! , , ; ' l ' r , . . . ' l ' , , ; ?t¡ , . . . , r l ' , , 1 ' ( . ) } t 's t t t t l t t 'o l t lb i t t l t t i .< i l r ( l ( ' ( 's t r i l l (u i r ls

runrPl i l t< l l ls ( t r ( l r ) , . . . , . \ , (1, , ) ) tor t . r ¡ (1¡) t ' r r .Si ' , . . . . s, , (1, , ) t : r t ̂ S, i ' ta l t 's ( lLrc, l ) : l l '2 t

r :ur ln t i ¡ - ro ¡rosi l r l t ' 1,1 r lc t r r r l : r . j t rg i r ( l ( ) r I t ' l l Nst '< t t t t t ¡ t l t ' r ¡ t t t ' :

2 p,U - l t , " )u,(r¡( t , ) , . . . , r , , (1,- , ) , . r , ( / , ) , i , * , (1, , ' ) . . . . , \ , , (1, , ) ; / ¡ )>

p,( t , , l t i ' ) r r , (s, (1¡ ) , . . . , i i r ( / , ¡ ) , , t i , r , + r ( l r + t ) , . . . , , t , (1, , ) : / , ) 2

pirr¿r t(xl() .r i crr , \ j , r lonclc l t¡( l ¡ l l i ) cs la ¡rrobabil i<lurl t on j trrr la r l t ' 1-¡ c()n(l ici()r l l I -

r la a 1r = l j - , calctr l i r t la r lc irctt t : t 'c lo ( 'ol l lu rcr-I la clc l l i r l ' t 's. [ ' is tntt t 'ct l t l l t i t l qttc los

t ipos clc los r l ist intos. irr l la<krlcs sclrrr i trclcpe rtdit : t t tcs, et l ( : t ly() t ¿tso l l rs t t trct lci l ts

r lel. j tr¡4a<lor isoltr.e los t i¡ ;os <lt ' los r lc:rnirs. irre:rclor-cs, PiQ-i l :) , t to <lc¡rcrtr lctt r lcl

t ipo l , l clel. j trga<lor / , p¡(t_i l t i") - PQ_), c()rn() ()crrrr.c de m¿trcrn tr i l ' ial cn nl l(rslr 'o

cjernplo.

Rt l r I t t<pHt. t \ ( , t ( ) \ l )1. . t \ t t t \ t t . . ( ,1. t , \ i l \ I ts : ]

Recordcnlos el modelo de lucha por un rnonopolio natural visto ¿rnterlol ' l l lct l-

te, que rcpro(lucimos a continuación:

t Vttasr' I lals:inr' ( l ' !)7li) .

l ' is tc. i t rceo t ictr t ¡ c l<ts cqtr i l ibr ios cn t 's t la lcgius l )ur '1 ls cn los r¡uc una ( .nr l r r rs l t st ' t l t tcr l l l I i r t : r ' : t y l i t <t t ta cntra. I , ls t ( )s r los t ' r ¡ r r i l i l r l ios t icncrr c l i ¡col tyt ' r r r , , , r ,< l t l r ¡ t t t lp |c ' r l i t t ' l rc¡ t tccloscnlpl 'cs: ls i r l t l l l l i< l rs, t , r r l i t . r r l l r r l¿rs¿r lar¡ isrnasi l r r : r , r , , r ,h l t t ' : i l r tos: tst l is t i r l t ls . [ ' r t rotrol : r<kr, t 'x ist t ' r r r r t ' r ¡ r r i l i l r l i<)( 'n( 's l l . i r tcgi i ls l l t ix t : r r . , r ¡t ' l r ¡ t r t ' l l ts t los ( ' l l l l ) r ( 's i ts sí sc conrpol turr <[ t ' l r r l r r isnr:r l i r r r r r r . I in cstc eqrr i l i l , r r , ,< i t< l : tct t t ¡ l t t 's i lcr l t racortprobabi l ic lad i ,1 'st ' t ¡ r r t '< l r r f i r t .mr 'orr¡rrobabi i i< l r r , l . .I l t ' t l los nrt ' l lc ' iot t l lc l<) t lnt( ' t i ( ) rn l ( 'n le quc trnl r i r r t t ' r ¡ l l t ' t l r r . i r ¡ l t r lc t 's tc eclui l i l l r i r r( 's ( luo l t rs crrr¡ t t rs i rs no t 's t í r r r scgl l ras dc s i su r . iv l r l t . l r ( r . : r r : i , ¡x,nr asi{narr urur¡ l11rbal l i l i t l l r r l r l t ' | : t r ¡ t rc l t l l lag:r . A cont intr : rc i í r r r r l t 'srr l ro l l l ¡ ¡ ( )s sst¿l l í ¡ea c l< 'i l l t( ' r l ) rr) t l r( ' i ( i I I :

Lrrcha p()r un nt<lno¡t<l l io rr¿rl .rrral

l . , r r r ¡ t rcsir 2

Jt ' fr( ;()s ( r( )N I N r. ( )R.M.\( i t( )N IN(i()\ tpl u |A

Lrrcl la p() l ul t tnonopolio natul-:r l

Imprcsur 2

Ln.Itt¿r l'u.¿:nt

! - rnprcsi t I l'-n t r':r rF r rt'r-:r

() ()0,3

3,00.0

l ,e ' l l in tnt r I;ucnt

l i rrr¡rr<'s:r I F} r trarFrrt ' ra

.) ()0, lJ+¡r

3+x1,0ot)

l is r l l t r l ' r trzotl¿rblc st lp()r lcr quc una en)presa n() (:()n()(c pcrléctanre¡teto<las l¿rs car¿I( tetríst ica.s -cn part. i<:tr l :u, la lrrnciírn cle paeos- clc srr r ival. ptre-cle scr c¡ttc, por cienrplo, t to estó segul '¿1 rk'crránt.os beneflci6s obtc¡clrír su r ivalsi se qrre<l ir corr todo cl rncrcaclo. Siguienclo est¿r l ínc:r cle r¿rzon¿rrnicnto, sup()tr_gi l l l l ()s qtrc si la elr lPresa I es la írnica quc entr2r al mercado, obtcnclrá ult l ) l te()t le 3 + x,, v sít lo el la conclce x¡. $rrponuamos tarnbién qtre l i rs t los t.rrr¡rrcs:rssnlr t 'n, s in enrbargo, que xl y )ú2 se han obtenic lo ( lc nrancl .a i r r r l<,¡r t . r r<l i t .nt( . ( l ( .t rn¿r distr ibrrc i r in rrni f i t r rne en el i l t te l .v¿r lo t0, ¿,1 .

Vl t l l los l t br tst l t l ' : t l lor¿t r r r r cr l r r i l ibr io bat,r 's i : r r ro r l r . Nlrs l r t . r r r . l r ¡ r r r . r . r l . r( ' l l l l ) r ' ( 's i ts ig:r t r i l l r t 's t r ' : t lcgi : r l )ur i l . f / ( r , ) r ¡ r r r . . r<:r<l : rv l r lor

¡ rosi l r l r . r l r . r , l r . , rs¡ , r r ,r ¡n: t r l< ' r ' is i { ) r r r l< '< ' ¡ r l r ' : r r o r¡rr t '< l : r rsc l i r< ' l ; r - l , ,s l ; r r .str ; r l r .q i ; r ¡ r r r r . r r l r . l . r , . r r r ¡ , r , . , . r r

164 r I ( ) t i t , \ t ) l i JLr! ] ( ; ( )s: sU API- l ( iACIO\ l l \ F.( l ( )N()Nt l . - \

geller: lni ( i ( r tr l )r 'obrrbi l ic lacl dc cntracla. Por cjcrnplo, si la estratcgi ir pura cle

ln t 'nr¡rrcs:r i l i r t ' ra qucdarse f irera si , , < ! ,v entrar si x, > $, esto rcsult¿rría en

rrrrr ¡rrolxr lr i l ic lacl de entracl¿r dc i (porquc x, SC cl istr ibtryer unif-ot ' tnetnetrtcr

t n r ' l i r r l c lvrr lo [ { ) . { l ) .Sea r i2 la pnrbabil i r l :rr l con quc la ernprcsa 2 cntra, incltrcida p()r su estl 'ate-

gia ^!(q). L,ntonccs, la ernprcsa I olrt iene t ln¿ ut i l idad t 'spttrncla clc -2r7u + (3 +

¡r)( l - q, . ' ) s i entra, v dc ccr() s i no cntr i r .

Por t :rnto, la e rnpresa I ctrtrarít si y s<i l t l si :

-2qr* ( l i + x¡ ) ( l - t ) > 0, lo ct ta l cs c<¡tr iv: t lc t r t t 'a

.Jt ! l ( l ( )S ( i ( ) \ I \ l ' ( ) l i \ l \ ( l ( | | , , ' r r | |

I. ) / ' r r - - / ( )L ! Q/ ' \

-

() I ' ,

Poclcrnos cornprobar cluc 0 < 17 < l.Rctnpl : rz i rnt lo cstc v:r lor de q <:n ( .7.1 ) v (7.2), terrcrrros r¡rrr

cntrir si v s<ilo si:l , r , r , , ¡ ,

Prrest .o quo xl sc <l ist l ibuy,c rrrr i f i ¡ r ' tnctr t t ' l l t . ( ' ( 'n c ' l intcrvr t lo l ( ) , { . , ' ] , t ( ' t l ( ' t t l ( )s

r lrre lzr prolr irbi l i<lad r l t : qtrc la t : tr t¡ trcs:r I ct l t t t ' t 's (r l t ' 7. I ) :

Asirnisrno, s i l l¿rrn:rntos í l a la pr ' ( )b i rb i l i r lar l ( ( )n ( l l l ( ' lu t ' t t t ¡ r tcsi t I ct l t t ' : r , l l t

( ' rr)J)f 'os:r 2 r 'rr tnrr ' ír si :

l-r¿lu - 3r . ) ' -" ' -

l_,1. ,

i>tt, - '.\v.. ) "' t -

| - ,1,

l'¡o,, - ll, , - t_" ( l q2)I l

Anír losanrcrrtc, l :r pt 'ob:tbi l i<lacl r l t ' c¡t tc ' la crttpt ' t 'sa 2 t ' t l t t 'c c's:

I ' ( l - , ¡ r ) - i r7, + 3' t2

t t ¡ _ t ¡ r l

(7.3) y (7.4) las poclcntos rt :scl ibir, rcspcctivntneltte, c() ln():

4( i +2r. ' ¡ - i ' ¡xr 2

xr2

, ' \nl lr i ts ( 'nlprosrls sigrrcn ul la cst.r¿rtegia Jlrra; l :r <:rnplcs:r ¿ cntnr si x¡ cs rnavor¿t t i< ' r ' to vakrt ' I i 'ont .crav sc qu( ' ( l l r f i lc l i r t ' l r c i rs() ( ( ) l l t l : r r i ( ) .

l { r ' t : t l r ¡ t tct t tos lo s igrr icrr t t ' :

i ) l ' l rr t ' l t ' r l t r i l i l t r io erl cstr-¿rtcsi:r .s mixta.s clcl- lucgo con inl irrrnaci<in c<trnple-l l t , t ' i t t lu( 'nr l ) r ' ( 's : Ie l l t . r 'A(()n¡rrob:rbi l ic l r rd i (1 'scqr-reclal l rerac:onprobabi l id:rr l

. ) . L- l l ra i r r tcrpretzrc i t in r lc c 'st t ' r ' t 'srr l t l r t lo ( 's qu( ' las errrJrrcsas hacen rrso r l t ' lazl t r l )ar¿t t ( ) l t l tu 'st t decis i<in. ( ) t l r t i r r t t ' r ' ¡ l lc l l rc i r ln ( \ ( lu( ] t 's t ; r s, i l , , ( ' r ) l t r l l l ( ' r ) l ( 'r lc t ' l t< l t rc l l l l ) t 'cs l t : e lquela( 'n l l ) l ( 's l r2t 'n l r t ( ( )n l , r , , l r : r l , i l i r l ; r r l

{ s, rcf i t r ( ' l r ( l r ¡ (l l t t t t t tpr t :sa lasigr laestapr<l lxt l r i l i r l : r r l : r r ¡ r r r ' l : r t r r r ¡ r rcs;r lcrr t r t . l , ,s t : r int( r l r r ( r . l

t : i í r t t cs I - t ' f i r lz¿rt la ¡ tor c l jucgo corr i l r lor ln:rr i r ' r r r nrr onr¡r l r ' t r r . ¡ r r r r ' : :i l ) l i l le l cr l r r i l ibr ioclel- j t reg-otol t i t t l i rnr : r t i r . r r r i r r r , r r r ¡ r l . l , r . ( , r ( r , r ( ¡ r l ' r ( , . . r

s igt tc t t t ta cst l ' r l t .egia pr l r i t , cn quc su r l r '< is i r - r r r < l r ' ¡ rcrrr lc r l t sr¡s ( ,u.r( t ( r r ! t l

t 'as.Sirrct t tb:r t 'go, la la l taclc iuf i l rmacir i r tsolrr c l : rstrrr¡ r t t t r r : t i r , r : r l r ' l r i r . r l , , , . rs i t t t rn qt tc t :a<l i t ct t tJrr t :s¿r cstó i t rscgtu '¿t r le s i t ' l l iv l r l t r r t r : r r i l . iunr( lu( .u l t r ( r l r (( l ( ) r rc( l ta l l lc l l tcs l rest l i t lcei l tpr t ra.r¡( . t ¡ ) . l i lpur l t ( ) ( ( ' r r t r r r l ( 's( | l r ( r l l r t l : r ts l . r r ' : r I . rtcuia Jrul i r , la pxrbabi l i r lar l r ¡ r rc ¿rsigna ul ta enrpt 'eslr l r ( lu( ' srr l i r l r l ( ' l l l r ( . ( ( ) r r \ ( . r

ut, a I ( j trstamente l :r probal>i l ic l¿rcl cle cntracl:r en el . juceo corr inl irrn:rt iont 'orrtplet ir) ctt i tnclo la' incelt i t l t rrnbrc sobrc las caracterr ' íst icas rk' l l ival sc l l :r< t 'i rnpcrc cptiblc, mírs precis¿rlncl l tc, cuirnclo {/corlvergc ir ccr(). Parn corrr l tr 'olr:rr.Io, cir lcukrnros el l írniter cler csta prrt l tabi l ic l :rr l :

l )ucst() quc tanl.() el nr,nlcr-acl<)r c() l t to el clenrtrninatlol cn

2¿ +i-(2J+s{ ),l = a

( ( ) l l \ ' ( ' l 'g( 'n c l t ( 'c t ' ( )cu¿tnr lo {r lo l l l t t ' t ' , t ts l l l l l ( ) : i l t t r< 'g l : r < l< 1. ' l l t t l t i t r r l ¡ r : r l r o l r tcrr l r :

(7.1 )

(7.2)

(7.3)

(7.1)

(7.3 ' )

(7 .4 ' )

I I( l - q..) - l\, + tJ

U(t - q")

( t lq1 + q2- l t lz- l l - - l1rp + l3

Ll lq1 + q2- Qt lz- l l - -11r¡1 + :31

7.3' y 7.4' consti t l ryen un sistcrna de dos ccuaciones con clos irrcógl i tas, r71

{o, crrfr solución es:

t ) ( l t - q2- q

2l'r + [Jtl

r66 l t l ( )RlA DL lL l ¡ l ( l ( )S: SU APl. l ( lA( l l ( )N ! .N l l ( l ( )N()MIA

Línt q =

igtral al val()r con qlre el r ival entra en el eqtr i l ibr io cl) esl.ratesias rnixtas clel

- jueuo con irt fbrrnaciírn comPlcta.

M< ¡ultt.< l t)t F t,tRt,tN( rlAt)( ) I)l,t RUR.T'RANt) ( l( )N INI'( )RNlA( ll(lN

rN( r( )N,l l , l . l l l A l) l .r t iNA l lMI'Rl. lsA

( l lnsidcrclnos rrrr <lr ro¡tol io c:n c l quc ca( la crnprcsa t ' l igc srr ¡ t r t :c io s i t l t : t ¡ l tot : t ' r

t : l ¡rrct: io dc str r ivi t l , y Jtoslcriorrnt:nt.<: rccibc bcrlcl icios <¡ttc r lc¡tctr<lct l cl t : los

grrt:r : ios l i . jar los p()r l i rs <los crn¡rrt 'sts. Los bicnt 's ¡troclt t t ' i<los por l t ts r los t ' t t t¡ l t- t '

sas n() son iclóntic:os a krs ojos t l t ' Lrs consttnri t lot 'cs, ¡rot ' lo r¡t tc la f ir l tci írr l t l t '

r l t ¡rnlrn<l ir ( luc cnl icnt i tn cs:

r¡1Qt1, 14) - A - l \¡ t + l4¡¿

q2(p1,14) - A- BNt2+ Bl4

Flstas frrncionr:s dc dcmanda prrcrlen srrrgir, ¡ror cjcnrJrlo, clcl rnodcl<l dtr

l l< l te l l ingcrranr loü- l -B.Si t :ncstcrnodt: lo(ct t t : tnos"=1,y¿=*, t t tnclr í¿r-

rrr<rs las f irnciones t lc <lt : tr l i r trdi l l tnl .ori()ros t:<¡tr A = +, I l=2.

Añadircrnos ¿rhor¿r inf irrrnirr: i írn inr:otnplcta. Sttpon¡latrros ( l t l ( ' al l l l )as crn-

I)r(:sirs l icrrt :n (:()st.()s f i ios igtr:r les 2r (:ctr) y la ctrtprttsa I t . i t :nc tt t l ( l ()st() t l rargit t :r l

r ; t quc cs clc r:on<¡r: imicnt.o c<lnrr in. I in carnbio, la t :nrprcsa 2 t. i t :r l t ' r los ¡rosi-bles costos nr¿rrginalcs: prrt :dc tcner t ln c1lst<t :r l t t t , t :2 = ¡ ' ' \ , y rrno bit i1¡, t :r - t : í ' ,

c.r,-r ,,j' <.N. t,r, crnpros¿r 2 conoce el valor dc r¡, pcro la t:rn¡rr.trsir I s<ilo s:rbr: (y

cst() cs de c<¡nocirniento cornírn) qrre pr.rccle ser ir l to con probalt i l idncl qy bajo

c()n probabil icla<t I - g. l isto originzr rrn . jucgo cotr inl i trmttt : i t in i tr t :ornpleta.

Para encontrar el e<ltr i l ibr i<l bayesian() de ester- iucgo, lo poclern()s ver c() l l l () t l l )

. juego de trcs. jugaclores: la cmpres:r l , la etnprcsa 2 c() l t c()sto alto, y l i r emPrc-

sa 2 con costo bajo.

La emprcsa 2 cotl costo alto soluciona el siguierl te problema:

M**(l',| -,'f ¡ 1a - ItpN + Itpt)

cuya solución es4

1 P:rra s impl i f i t :at l : r cxposic i í rn, sup()nen)os st l l t t t io l le¡ int t ' r iorcs

Análoganrt ' r l l t . l . t r

' t ,

l i l l ' r r r ' , , ' t r ' , , 1, ,1,

1ll l , r r { / 1 I t i

l ¡ ' r , , l , l , r r r . r

crrya soluci<in cs:

Laernpresa I sal l r ' ( l l r ( ( ( )n l r ( ' l ' . r l , r l r r l . r r l r ¡ l r t t " t t t ¡ t t t 's l t ? l t ' t t t l t ' l i t t t l ( ( )s l ( )

a l toyelegirá p, f ycorr ¡ r lo l r : r l r i l i , l . r r l | ,Tt l r r r l l i un (()st() lxr jovt ' l t ru i r 'á ¡ t , ! , t ,1,rrrlo r¡ t te sol t tc iona el pt 'o l r l t r r r : r :

Maxq(p¡ - . r ) ( , '1 - l i l t , t I ) ¡ t ' , \ t + ( l -q)( l t1-r1)(r t - Bh+ Bp. j ' )l,t

<¡rr t : por lcrr tos rescr ib i r ( ' ( ) r l r ( ) :

Max (p1- cr) [ .4 - Rlt , + R@; + 0 - , i1 i) ]l,l

y qrrc t icnc cotno solr t t : i í rn:

A+ l l r : ,+ Blr l f t r \ +(1- i lp! : lt ' t -

2u

srrst i trrycrrcl<, pi y p, l t en la ccu¿rciírn anterior obtetremtts, cleslt t tós clc l t lstt t l :rs

sirnpl i l icacione s:

3A+2Br1 + Rlqcl +1t-Qc!2r)

2- t ¡ =1

25

qr.re, al sustituirlo ," ItN y

3u

¡.f nos cla:

6A + 2R4 + Bl(3 + q)(:i + Q. - q)cll

6B

_ 6A + 2Bc, + Rkt 4 + $ - ic!,t I(; 1J

pi

I'i

I (ttJ I ' l . t()t{tA t)E JUE(;()S: SLr Apt.tc^ct()N tiN !.C()N()\, i lA

M< lnl l .<l n¡: ( l< lunN<lr ( r()N rNr'() l{Nt¡\( r( )N r N( i( ) \ t pr.! . l , \

En toclos los cjcrnJrlos us¿rdos hirst:r ahora, los. jueirdores n() ¿lpren(líarl n:rclaacorcit clc los r l t trr t i is : I l t ort<¡tcr stt ¡r lopio t ip<1. Fin cl sigrr ient.e cjcrnplo est() n()cs:rsí, t ' : rcl : t cr lrprcs2l rn<ldi l icarír la pnrbabil id:rr l r lcl t ipo r le los dermás sceírn clt ipo qrrt- ' l¿r Nattrr¿rleza lc haya :rsigrrtrdo a el la nl isrtr lr .

( l<¡nsiclcrcnros cl lno<lclo r l t : ( i r trrrrot. l )os crnpresas cl igcn l :r r .arrt i<lacl qrrcprodttcir ir t t , t : l rdlr t t tra sit l c:onot:cl ' la t lecisi<in clt : l¿t otnt, y los lrcncfir : i ()s ( luo olrtcn-u:ur rlt:pcn<krli'ul dc l:ts <lccisioncs <lc las dos.

Srrlrone:rrrros la f irnci<irt r le <lcrnancl¿r l ' (r¡1, t¡) = nlax{ l0 - q, - r¡, 0}. Irar. l

l rr<rt lrr< ir ' l l r <' :rnt i<l irr l r7¡, la t ' rn¡trt :sa I incrrrrt ' ( ' l t l ()s ( ' ()st()s O¡Q¡) - r¡¡¡. ( l t<Lr( ' l I l l ) l ' ( 's¿l ¡ - r t t t ' r l t ' t . ( ' l ) ( ' r ( ( )s l ( )s:r l los o bl jos, lo ( lu( 's( ' l r ' : r< l r rct ' t ' l l <krs valol t 'sposibl t 's r lc l ¡xr t ' í t t t tct r -o r ; . I is to s igrr i l i t 'a <¡rr t ' lu ( ' l l )pr( 's i l | ¡ t r rcr l t ' scr-r l t ' r losl iyros, t 'ot t c()s l ( )s al tos ¿: ;1 () ( ' ( )s l ( )s l r i r jos r /1. Ant i l<x¡atn( ' l l to, l1r ( ' l l l l ) r ' ( 'sa 2 ¡r t r t ' r l t .

L:r Ntt t t t r l t l t 'z : t s<' l t ' t '< ' iot t : t los t i ¡xrs <l t ' los r los. i r rg lu lo l t 's <l t ' l rcrr t ' r '< l<¡ r 'on l ls igt¡ i t ' l t t t ' t l is l r i l l t r< ' ior l r l t ' ¡ r r 'o l ra l r i l i r l l t r l r 'orr j r r r r l l r , ( lu( ' ( 's < onot ' i r r r icrr lo r onrr i r r :

/ ' r ' ( r i1, r - r ) - l , l ' ,1,¡ t , ,1 ' ) = t l , / ) ( r , / i , r , t ) = l , , r , , i , , , j t ) -

+

Nott ' t l los ( l t l ( ' i t t l l ( 's t l t ' r '<¡r t r ¡ t c l t ' l t ipo r¡ t r t ' l t ' l l t r l rs ig l l l r rkr l l N:r t ru t r lcz i r , l l r( ' t l l l ) t ( 's l t I : rs igrr t t l l i t t tut ¡ t to l t : t l r i l i r l : r r l r l t ' ; a r¡rr t ' l t r t ' r r r ¡ r lcs l r 2 l t ' l rg:r un ( ' ( )s-l<r r t l lo (1)(r¡1 , , : ) )+ t ' r l l t , , , t ; ¡ r '1, , r ' rn¡r l t 'srr '2 rrs isr l r l r - r r rna ¡rrolxrbi l i r ta<l <lc dI t t ¡ t t t ' l : t ( ' l l t l ) t ' ( 's : t I l t ' r l f - I r t un ( ' ( )st() l l lo. l , ln < l r r r l r io, l l l t¿ l \ r ( 'z r l r r t ' t t r r l i r ( ' l l l l ) r ' ( ' -s i l ( ' ( ) l l ( )z( l I st t p l 'o1l io l i ¡ ro, l ts iuruui i l i ts s igrr icrr t t 's ¡ r lo l lu l r i l i< lu<l t 's a l t ipo <l t ' l i r( ) l I l l ( ' l l ) l ) r ' ( 's l t :

I ' r '1, , , r1, , l ¡ -- l

/ ' r ( r r t , r Í )

/ ' r ( , ¡1, , . ,1 ) + / )1, ¡1. , . | )

/)(,,,1l, /r)t ' r 'Qlr.r,) ) .1 r

I t1r1r, , ; t ) + I \Qlr t ¡ ;' lTta, , ; ' )

l l , ' l

Sttpougirrnos ahora que- los posibles,costos clc las clos elnpresas torna¡ lr¡ssist t ientcsvakrrcs: . i '1 =l l , r ' i l=10, , l t =r ! ] =3. Pur-a, . r r . . , , r r r . , , r le lcq' i l ibr ioba-,vcsiano dc Nash, pode nros vcr-cstc. j r rc{() c()rno ruro r lc ctr : t t r r l j r rgaclor.cs.

I impccemos an¿rl iz:rndo el probler-na dc la crrr¡rr . t 's l r . ) l i ¡ r , r , . ,1, , ¡uc t ,s c l n l í rsscnci l lo de sol t rc ion¿rr . l ) r resto q, ,e , , . ' l = l0 ) ' l r r l¿.rr t , - t l = i . Ár, , . , r , r ¡ r r . . ' * , , , . , ' -suelve cl prrrblcnra

l t , .rrrxft{) -, t , : t -f jv, ' * }, t i l l , t i

- r lq:}

L:r ¡trirrrt 'r ' :r rk'r-ir.,ada <lc la firncirirr olt jeti lrr:

. l l2,t l t - r , ¡ l + r , ¡ l t l .

t 'snt 'g l t t iva¡xr l l t rur l r ¡ r r i t ' r ' r , 'a lor ' l tosi t ivor lc r¡ ; l ,por. loqrr t ' l lsolrr t i r - r r rcs,7, l o.l ' l l ¡ r l , l rk ' r rur <k' la.rrrpl t :srr 2 t iJr , r , j r cs, ¡ r t rcsto que 1)r(r i ' | / , j ; ) o r , f i .

NI r¡ ll o -,t,!t -,¡ lt ¡q!.t - z,¡ !r'

t ¡ r rc t i t 'nt ' r 'orrro solrrc i t i r r (srr¡ tonicnckr qrre scu posi t i r l ) :

-

I )

' ¡ t ' t - - l t l I

2

l ) r rcslo <lrr t ' r . j t - 13, / , ¡ ( r , r1 l r l t ¡ = 1, lu ¡¡ t ¡ t r - r 's : r I t ip1¡ r .1 l selrrc: ig l ta er l pt .1¡ , -b l t 'n l r :

l l t /ax[ l0 - , lt ' -,¡., ' 1,¡,t - s,¡, '

r ¡ r r t ' t icrr t : r 'o l l lo sol t rc i<i l l :

.) - ,, I- , l ' )

,

Finalrncrr t r ' , la cmpn'sa I t i l to r , f r , pucst() que l ) ( r r tf i-t 'nta cl proltlcma:

\ /a.r l l r t - , ¡ l j ,1,1, ' * ) . , ¡ ! , ' t1,¡ l ' - : t , ¡ ! '' t i '

" 2 ' - 2

r ¡ t t t l icnt ' ( ( ) lnr) s( , l t t t i r l l t :

JL ¡r(X)S c() \ INF()R\t . \ct() \ IN(f)Nlpt . I lT, \

I. t _ l, - ¡

. l +0

, l( l t =

l . l ' ) = i , t ' t . t r =

1) (r '¡ ' l r ,¡1¡ =

/r 1, ; '1r.1'¡ =' t -

I'rQ:it , r:,t )

tt Q:i1 , ri) ) + I'r(rit , lrt )

Pr(c¡\ , r,!,t ) - { )

- r r- ' -1,

0++

l l3,

I ' l ( )rT I L

t'rQ',\ . r:!| ) + I\ el, clj )

3, er l -

I 1. . ( ) l { lA l )Fl lUh(;()S: SLr APLI( iA( i l ( ) ) - } . ¡" l . ( l ( )N()Ml. \

IJI t=

- , t .1 I B,t - \ i1:+iQ: l

P¿rra encontrar el equilibrio bayesiancl perf'ecto tenemos rlue rescilvcr un

: isrema dt ' r ' r ratro et r raciones c()n cualr() incógni tas que, en estc cas() , se s impl i -

f ica porque lrr(r: i \ l . j t )=0, PrQ:! l . l ) :1,y porquc ,, , f es tar-, alto que a esta

ernpresa sie mprc lc cc¡nviene elegir qi - 0. [ . lsanclo cste últ i rno resultaclo, en-

contralnos que qi i = 1, lo clue nos deja trn sisterna de dos ecuacioncs con dos

incírgnitas. Resoiviéndolo, encontramos que q'; =2y qlt =3.

En resumcn, la empresa I el ige l í1 = I si t icne rtn costo nl1() v l l t =.3. . i

t icnc trn c<rsto bajo. La empresa 2 el igc ql =0 si t iene t ln cost() a]noy q!| =2

si t icr-rc uno bajo.

BIur .r< x:nr\f ÍA

f 1arsirny,.f . (1967), "() irmcs with inr 'orn¡r l t ' t t ' inl i rrrnation playecl by l ] i rycsiarr playcrs",(Parts I , l l , l l ) . fr Ianag,nvrLt Sdcnre, 14, pp. l i r l l l t32, 320-331, 4lJ6-l-r02.

- ( l{)73), "(}¿rrncs rvith rantkrnrly distrr lbcrl p:ryofl is", lnftnt.a,t iott .ul . lourna,l t t l Oane' l 'heor,-,2,

PP I-23'

8..JUEGOS CON TNFORMACTÓN TNCOMPLETA.EL CASO DINÁMICO

En cste capítulo contir lu:rm()s con nuestro anál isis dc sit .uaciones en las que los

itrgadores no cr()llocelt perfectament.e las características dc lcis otros-jugaclores,abordaltdo erl caso de rnovirnie ntos secucnciales. ( lomenz¿lrnos con un ejemploquc rnuestra por qrré cn este t ipo de sit traciones cl concepto clc equi l ibr io per-f ecto en strbjuegos no cs capaz dc capttrr iu' la idca de crecl ibi l idad, lo que noscla pic parir definir desptrós un (oncepto qtrer busca subsanar cste problema:el de cqui l ibr io bayesi:rno perlf 'ecto. l)espués cmplcarnos estc concepto en elarlál isis cle dos tnoclelos célebres, el de los cocht- 's trsaclos cle Akcrlof v cl mode-lo <lc scn:r l iz¿rcir in de Sue nce.

E,gutt. tnnt< l uAvtastAN( ) plRF¡tcro

Para motivar la idea dcl cqui l ibr icl bayesiarno perf 'ecto considcremos trna varia-ción clcl jueso expuesto cn el capítulo 5, en que dos empresas deben decidirsecuencialrnentc l :r lor:al iz¿rción de sus centros de investisaciírn I ' clesarrol lo(gráf ica 5. I ) .

l ,a val ' iac: ión consiste (gr:rf ica 8.1) en que si la cnrpresa 1 se ubic¿r en elno¡te, t iene la clpción de hacerlo en el rroroeste o en el noreste, y cuando laelnpresa 2 toma su decisión no sabe cuál de estas dos ubicaciones de la crnpre-s¿r I cs la definit iva. Al trbicarse cn el norcste, la enrpresa I obtiene un pocol l lcl los si la cmpresa 2 se r.rbica en el norte y ur1 p()c() nrirs si se ubica en elsur, Pcro hagamos hincapié en quc persiste la sigrr iente c¿rractcríst ica clcl juegocoll inforrnación perf'ecta: para cualquiera dc l¿rs dos ubicacioncs en el nor-te dc la empresa 1, a la empresa 2le conr. iene elegir también el norte, puesobtienc 3 en lugar de 2. Cloncentrémonos en los siguientes dos cqui l ibr ios deNash:l

1) La ernpresa I elige noroeste y la empresa 2 elige norte (su estrarcgiacornpleta especifica elegir norte si la empresa 1 elige alguna de las ubicacionesdel norte y elegir sur si la empresa I el ige sur).

I Existe t tn tercer eqrr i l ibr io de Nash qrrc es cst 'ncialnrt ' r r tc ierur l r r l ¡ r r i r r rnr r . r r ¡n l r r r l i lcrr . r r r i r rdc qrte la empresa 2 elegir ía nort< 's i la ( ' tn[)r( 's i r I l l r r l r i t . r ' ; r r ' lcqir lo sru:

t7 l

172

r i ) [ ,a t ' r r r ¡ r l t 's : r I c l igt ,srr l v lu ( ' l l l l ) r ' ( 's l l 2 larrr l r i í ' r r . I \4ás ¡r l t ' t ' isat t l ( ' t l t ( ' , I l l ( 's-

t r ' : l t ( ' l l i r I c l t ' lu t ' t t t ¡ t t ' t 'sa 2 t 's¡ t t ' t ' i l i t : t t ' l t 'g i l 's l l l ' l ) l ls( ' lo <¡tr t ' l l l ts t ' .

, \ r l r l ic t ' r r ros l l t r r '< l i l t i l i r lu<l r l t ' t 's tos ct l t r i l ib l ios. I ' l l ¡ r r i r r r t ' t 'o r l t ' t ' l los l to l i t ' -

r r r ' ¡ r r 'o l r l t ' r r rus t l t ' r ' r 'cr l i l r i l i r l : r r l v s( ' ( ' ( )n ' ( 's l ) ( ) t l r l t ' t 'or l t ' l t '<¡rr i l i l t l io ¡>t ' t f i ' t ' to < ' r t

srrbjrrcuos <l t . l r ' : r ¡ r í t r r lo 5 r ' r r r l r r t ' l l r cr t tpr t 's l t I t ' l t 'gí i r s<¡ l l t t l l t ' t t l t ' ( ' l l t l ' ( ' l l ( ) l ' t ( 'v st l l ' .

I in t :s l t 'cr¡rr i l i l r l io l : r t ' r r r ¡ r lcs:r I j r rcgu l ) r ' in l ( ' t ' ( ) r ' t ' l igt 's t t t tb i t l t< ' i í r t t f : rvol i l : r . l ) t 's-

prr i 's , l ¡ ( ' l l lp l ' ( 's¿t 2 sc ' cnt r r t 'nt t ' l t ( ( )n t 's t t ' l t t ' t 'ho t 'o l lsr t t t l t t t lo v st ' l t 's iut l l t l t t ' l t : -

u i r - t : r r r r l r ión l ) ( ) r ' tc .

l , l l scgrrr t rkr c<lrr i l i l t r io < 's pr-obl t ' r r l i t i t 'o. l ' ls tc < 'qrr i l ibr io sc sosf i t ' t t t ' ¡ lo l l : r

"nnl( 'nrrza" r l t ' l l r :rrr¡t lcsa 2 <k' t 'krgir-srrr ¡r irst ' lo ( lu(r l)asc. Flst i t atr l t ' l l l tz:t l t '

r t 'sul t i r lcntublc i r lu c ' r r r l t lcs:r 2, ¡ to lqtrc ct t t r r l r t t ' t ' l t s t t lot i t l iz : r< ' i í r l l f : tvol i ta, t ' t l

qrrg <l lr t ienc su pag() lrr írs alto. !- .s r lcbido a t: l la <¡trc la ctt t l t t ' t :si t I cl igtt srr l ' . Sin

er¡[ lrrgo, c]sta luncnlrza ( ' iu 'c( '( ' <le t ' rccl i l t i l ic lacl, prres si la etrt l t l t :sa I st ' rrbic¿r-

r ' : r en c l n() l ' l .c ,2 l l i r emprcsa 2 no lc (()nvcn( l r í l r t t l t icarsc cn c l st t r , s i t t i t r t l lot- t l t t '

s i ln trbir:ncir irr ¡rrecis:t de la cmpres¿r I f i rer '¿t t- ' t r cl t lorocst.t- o cn el nt lrcste. Sin

crnbnrgo, el corrcepto de eqr-r i l i l )r io perf 'ecto cn strbjt tceos l l () r los ar,t tda l laraclescnrtar este ccltr i l ibr io cle Nastr. Esto ocurre porque el conirrnto dc infbrmir-

cir in doncle el juuador 2 decidc str rrbicaciírtr clcspués dc qrte la elnprcsa I

t ' l igi<i algrrn:r cle las ubicac:iones dcl norte contienc rnás dc ttn truclo y, p()r tal l-

l ( ) . r ) ( ) rn l l l ' ( l c l ¡ r l inc ' iJr io ck: t rn srrbj t rcgo. I rsto t iene la i rnpl icación dc c lue la

.Jt 'F l . ( ; ( )s(r() \ t \1() t i \ t \ ( I ( ) \ I \ ( , ( ) \ l t , t . t . l \ . t . . l ( , \s() l ) l \ . \ \ i l ( , ( ) 173

pcrfecciírn erl sttb. j treeos no nt ' t t 's i tA que la elnprcs¿l 2 actúrer r ipt irnanrcrrt t 's i lucmpres¿r I el i{rc ¿rlgunir r l t ' l : rs rr lr iciLcioncs en el norter.

Una f i trma clc evitar t : l ¡r t olr lcrna anterr ior es picl icndo que l :L enrpr.t 'srr ' )espcci f ic¡uc con cl t té probabi l i t l r r t l < r 'cc quc la ernpresa I e l ig ió n()r .oestc \ ' ( . ( ) r lcl tré probabil i r l¿lcl norcste, v t l t 's¡rrrí 's cxieir que la clecisión ¡ ls l¿ srrrpresa 2 st. ;roptirna <laclas csits probabil idatl t 's. Srr¡rorrsulnos que , si la cmpresrr I cl ise alutr-na r l t : l i rs rrbir:¿rciont:s del norte, la t ' rrr¡ lr '<'su 2 asign¿r trna prob:rbi lr , lacl q u ariu.r:n cl nrrr lo supt 'r ior, es r lccir, a que I I lnrr t ' l<.gir lo n() l-()estc, l , ( I - 4, .r erstar en erlr l t t< l t l i r t f i r r i<¡r . I ' l l l t t l t r t :cs, a la cmpr-cs:r 2 lc t orrvt ' r r r l r ' í t r . l t 'g i r - r ror r , s i .1r7+ 3.5( l - , / )>2q+l( l -q l ) , lot ' t t i r l securnpleprr l r r t r r : r l r ¡ r r i t ' r ' ¡ r : r r r l t . ¡ r r , , l , , r l r i l ic l : rc lcs.l ' ls to r¡ t r icr t '< l t t t ' i t 'c1rr t 's i anrpl iamos el con<t '1 l to r l< ' t . t ¡ r r i l i l ) r r { , l , I l , r r , r ' l l s l lb-

. i t r t lq()s ¡ la l t t t 'x iu i r ' ( l t l ( ' t l t t . j r r ¡ ¡aclor sc conlp(,r ' l ( ' r ) l ) t inr . r r ¡ r r r ¡ r . r ' l ' r ( .n ( ¡ l ( )st : t t l t j t t l t t< ls t l t ' i t l f i l r t t t¿rt i< i t t qtr t ' c()r t lengan rnírs r l t ' un nrr l , , ,1, , , , . r r r . r r r . ¡ r r ¡s ( ' ls t l { - f t t t l r lot ' r ¡ r r i l i l l r iot t ( ) i t r tp() l ' t .a<1ttócrecnciastcngl t t ' l . i r r r i , , , l , , r ' . , ,1,r( . (u.r l ( l ( 'l : rs rrbit 'aciont 's <k' l nort.er cl igi ír lu crnpresa l

Así t 'ot l to c l l osl{ t c iernplo hcmos ¡rccl ido que l i r cnt l ) r ' ( .s,r l l r s¡r t r r l i r ¡ r r r , , , r rr ¡ r r í ' ¡ l lo lxtbi l i< l t r r l t r t ' t : c¡r tc la err)prcs¿l I c l ig i r i n()roeste y ( ' ( )n ( lu( . ¡ r r , | r . r l r r l r l . r r Ir)()r ' ( 's l( ' , rrr i is ecncltr l lnelt tc h¿rblarcnros dc ul l sistema cle cr.t : t , l r<. i :rs:

lhf ir t icir ir t . : t t t t sislcr l t :r cle creencias en trn. jrrego en l i rrma lxtensiva ( 's rn: l<l islr i l rrrci<ir l r l t : probabil iclad para cacla coqjuntt¡ clc inf irrmación, es cler. ir , t .srrr la l t t t lc i<in n(x) qtrt : asistra t tn número en [0, I ] a c:acl ir ntrclo {el j¡egg c6rr l :rpro¡l i t ' r la<l cl t : qttc si t : l conjunto de infornlaciírn Xconticne los ntr{gs xr , . . . ,xl , / , cnt.()nccs ft(xt ) + . . . 7t(x,, ,) - l .

l l r l t t t testrt t c ' jemplo hav trc:s conjuntos de infbrmación. Dos de el los t icnentrtl solo ttttdo, por lo que a ese rlgcl<l sc Ie asisnará ¡na prgbabiliclacl cle ¡rt6 -cl

irrgirclor prrccle distinguir perfectamentc que está en g5s 11¡¡cle-y cl telccr conjtr¡-to clc inf irrnración es el que sique a las der: isioltes l l ()r()cste ) u()restc, que yaIrcnlos arl t t l iz irdo. A continttacir in clef lnirnos el conccpto clc equi l ibr io bayesiano

¡rt:r f cc1o. La iclea <:entral es ( luct tendrernos, ¿rclemírs dc trna combi¡ació¡ cle es-tt 'atcgi: ts, t tr tas c:reettcias. Pcrl i l ' t ' tnos que lu estratcgia dc c:rdajugador setr óptinraa part i r de ctr i r lqrr ier punt() r ¡ t r t ' t ' l i j : r r r ros cn el jueuo, dadas l¿ts crencias. Estg11()s: lscgr l r¿rrá la crecl ib i l ic l i r r l r l t ' l < orrr¡ror t r r r r r i ( 'n l ( ) ( le l r is . j r ruzrdor.es aun en luga-rcs cn qt lc no lo hacía el eqrr i l i l r l io ¡r t ' t f cr lo t r r sulr j r r t 'g()s, ta l colno el t nuestr()c ' ierrrplo. Pediremos tambi i ' r r t t t t t t r ¡ r r is i t , . r l : rs r rccrrr i r rs: ( lu( 'se¿ln consisten-tes ct() l t l¿rs cstrategias, en l ln st ' r r l i< lo l r ; r r r .s i ,ur . . \ , . : ,ur s, r , . t . i l l r ; is lc l t ' lante.

Defínic i r in. : t rna contbinl t t ' i< i t r < l t . t s l t . r t r . l ' ¡ . ¡1 \ \ i l r r . , r \ r ( . i l r .1 r t I r r t . t . i l r i . rsn*(x) lbnnanuncqui l i l t t ' i t l l t l t l t 's i l r r ro¡r t r fcr t r ¡ r l r r r r l r ¡ ( , , , , r r l , , r ln,r( \ r ( . ¡ \ i \ . rs i , t ' l t todo conj t rnto rk ' i r r f i r lnr l r< iorr r l t . l j r r r . r i , ,

f F-. ( )Rí. \ l ) l l . l t ' t r ( ; ( )s: st I APl. l ( l , \ ( l l ( )N t-N t ' l ( l ( )N()Nl L ' \

Gn,ir, l t ; ,q, 8.I

N,l o t ivac i ír n e q u i I i b ri o b:r,r'c s i irtr o pc r I e c t ()

a))

N()r l ( '

)ur '

Nor l r

5u l '

Not l t

t l

Sr¡r

+,3

3.5. 3

l . l

t /+ f t . ( )RrA r)r , r IUE(;os: s l r APr. t ( iActoN LN EC()N()NIIA

n) L)irdo el siste rnn r lc crccncias n* (x), las estr:rtesias parir el resto clel. j rreeo

propolciorran rrn er¡r.r i l ibr io cle Nash, es dccir, la estratesia de cada.jrruador rn¿r-

ximiza sr.r utiliclacl cspcraclir cladas las estrategi:rs de los dernírs.jueadores.

ó) Si es posiblc, las ¡rrobabil icla<les asisn¿rclas a cada nudo por el sisterna de

creencias n*(x) sc dcrir,an dc la cornbinacit in cle estrategias.rF h:rciendo uso

rle la resla ckr Bayt:s.

! 'camos círnlo sc irJr l ic:r la r lcf irr i<: i írn <le er¡ui l ibr i t¡ bavesi¿rno pcrfcct<i aljucuo antcrior. Antcriorrr)cnt( ' n()s c()ncentnrnl()s c¡n dos eqrri l ibr ios clc Nirsh.

El prirncr-o consistc on quc lu crrtprt:sl t I cl i ja n()r()cslc y la cmpresa 2 cl i la

nol tc s i la crnprcsa I c l i { r t 'a lgrrnir r rb i t :at : ión t :n t : l t t t ¡ r t . r ' ,1 'c l i ja strr s i l : r ctn¡r t ' t 'sa

I cl i{r t ' srrr. : I . l l scurrrrr lo t 'onsistc ( 'n ( l l lc lu ernprt-sa I cl i j r srr l v la t :rn¡rr-t :slr 2

t ' l i ja srr l cn Ior lo < orr j r rnto t lc i r r f i r lnr : r t : i í rn cn r l r rc lc ' lo<lrrc. j r rgrrr ' . Notcnros r¡rrc

Ios t 'c¡rr i l i l r r - ios r lc Nasl l s() l ) - i r . l r t ( ) con ulgrrnas ( ' r 'ecncius- los únir 'os <lutr l i -

<latos ¿r r '<ltr i l i l rr ios bir l ' t 's iarros pcrf i 'ctos. Esl.o se r l t 'bc u ( luc un cr¡tr i l i t rr io ba-

vcsiarro lxrr f i t ( : t ( ) < l t ' l r t ' ¡ r r ' , , ¡ r , r r ' ( i ( ) l l ru ' t rn tqrr i l ibr io c lc Nusl l p l r r i r c l r - t 's to <[<' l

. j r rcuo err lor lo r :orr . j r rnt .o r lc i r r l i ¡ r ' r r rar : i í r r r , cn l ) l r r t iculur- t ' r r r : l cort l r rnto r l t ' inf i r r -

r r r : rc iorr ( l r r ( ' c() l l t ionc : r l t t r r r lo in i<: i l r l .

L¿rs t 's t l l t t 'g i : rs rrs:ul ; rs t 'n t ' l l l l i r r rc l cr¡rr i l i l r r - io rk ' Nirs l r f i r l rn i r r t ¡ r r r l t ' r l t ' r r r t

cr¡rr i l i l t r - io bavt 's i¿rrro ¡r t ' r ' f i ' r ' to. I ) : t r ' : t v t ' t ' ¡ rot ' r ¡ t t11. ( 'n( ( ) l r I l c t I r ( )s ¡r t i t r r t ' t r r l¿ts t t t ' t 'n-

cirts asociu<l¿rs u t¿rlcs estlat.cgias. S<ilo hav trn <'onjunto rkr inf irrnr¿u i t in corr nuis

r lc ' r rn nrrdo. I ) r rcslo c l r r t ' l : r t :strat .c¡¡ in r lc l . j t ruacl<ir I i r r<l ica ck 'g i r norot :s1c, s i a l

. j r reur lor 2 l t ' to<: i r . juual t ' r r t 's t .c t 'onj t rnto c l t : inf i r r -n laci í rn, t lcbc as()c ia l u l l r l

pr 'oblrbi l i< l l r t l <kr rrno i r l nrrr lo srr¡r t ' r iot 'y c lc < ' t : t 'o l r l nr tc lo i r t f cr ior ( t ' l r rso <lc la

rcr-I lu rk' l luvcs Jrrrrporcit¡rr lr cslus ¡r lobabil i t l : rr l t 's). l )urlus t 'stus t ' t ' t ' t 'n<' i i ts, si t ' l i -gc n()r t ( ' obt i t 'n<' i3 v s i c l igc sru 'obt icnr- ' 2, por lo qu(: n()r to cs <: f i '< ' t ivunlcrr l ( ' su

lcspucsta <ipt irna. Si cl . j rrgarlol I e l igr: sur, la rcsptrr:st ir írJrt irrra rk' l . i rreirr lor '2 t 's

clcsir.sur. Rc<:ípnrc;unt 'ntt : , cl¿rcla csln rcspucsta dcl . j trgad()r 2, ¿rl . iugador I lc

c:orr l ' i r :nr: ck:gir norrrcstc. l intonccs, la cstratcgia clt 'gir n()r()cstc pirr¿I l i r crn-

plcs:r I v, piu-a la ernPrcs:r 2, elt :gi l nortc si la t :nrprcslr I cl igc algl lni l rrbir:¿r-

t : i t in cn el nor-ter, v clcgir sur-si l :r ( fnl l)rcsa I el ige srrt , . i rr tr l .o con t: l sistctna clc

t:recnci¿rs que asiuna uni i probir ir i l i<la<l <le I a r¡rre l i r ern¡rrcs:r I haya clergir l<r

nor()este y 0 a que hav:r clc¡¡ iclo norestc ert el r inic() conjttntcl de inf irrmaciírn

con más de un nudo, forman un equil ibr io bavesiatrcl perfbcto.

Las estrategias usaclas en cl scsunclo cqui l ibr io cle Nash, en cambio, no

pueden frrrmar un cqui l ibr io bi lyesiano perfecto. En el sesrurdo cqui l ibr io dc:

Nash, l¿r empresa I eligr: sur. Esto nos irnpicle usar la resla de Bayes para asie-

nar probzrbi l idacles en el conjunto cle infbrmaciírn que contiene dos nuclos,

: Lin tercer equi l ibr io de Nash cr¡nsistc cn qrrc l :r cmprcsa I t ' l i ja n()roeste v la ernpresa 2 el i j : rnr l t l t ' s i t ' l t tnr t ' .

JLl ! . ( : ( )S C()N INI.()R\r , \ ( i l ( )N IN( i ( ) \ ' IPLE-I . \ . l , . l r \ "o I ' l | i l , !

porquet:r lconjrrntockr inf i r rn laciónscalcanzacotrpt 'o l r : r l r i l i r l . r , l , , r , , r l r , , , ' t , .

s¿r I efcct i r ' : rmente el iget sur. No ol>star l te esto, Para ct t l t l< 'st¡ t t t , r , r ¡ r r , , l , r l ' , l , , l r

c lcsqttcp()ng¿rm()saql le laelnpresi l l i ravirelcgic lonoLot 'str '1, / \ r / i ' l \ r ¡ , ' r , r , , l

iugaclor 2 L, ' cor l r . ' iene elegir norte. Entouces, uo pt tecler l i r r r r r : r r ¡ r . r r r r ,1, r r r ,

erqui l ibr iobavcsianopcrféctounaestrategiaclel . jugaclor2qrr t ¡ r rcsr rr l ' . r ( l , , r ,

s l r r s i la cmprcsa I c l i ¡4c ¿r lguna rrbicación en el norte. Por tanto, ( l ( r ( ) \ ( r lur l

br ios c le Nash anal iz i rckrs, s<i lo t r r lo f i r rn l¿t l rar t .e r le rrn eqtr i l i l r l i r ¡ l ¡ . r r r ' . r . r r , '

pcrf cc:tr i . : '

Flr. rr<lr ir , .r .<l r)r. . (r)cur,rs rs-\r)()s r)I l , \r i r lRr.( )F

( l r r rs i<l t : r '< ' r r ros c l r r rc lc:rc lo c lc coclrcs t rsar los. Los c:ochcs rrs.ulos v lu r i l l r n) l r ¡ n i )

t 'nsrrcsl t r r l<¡r l t ' l i r t rc iotr l t t t t i tnt , r . ¡ rctorrr ; isrc lc l 'ant t : ( luc( 's()( 's( l l ¡ ( 'srrsr ln, r r , ' ,

t icrr t ¡ r r inf i r l rn i r t ion pr ivacla sobrc t¿r l csla( l ( ) . I ls tc i t icrrr ' ( ( )nsr ' ( n( 'n( r ; r \ r !n l ' ' l

t t tn lcs solrrc t ' l f i rnciotranr icnt<l t lc l tncrt ' i r t lo quc, ( ' r l tu l lu l i r r ¡1, ' r l . r r ¡ , r ) . l , r , i ,

rk ' r r tani f icsto; \ker lo l (1970). Acont i t t t tat ' ior t l r ' - t ' r . t r t . r l r , , \ u!r ' l r 'n¡ l r l , , : r r r r ¡ , l rl lcadodcl nrodekrclcAkcr- l r ¡ f , s i rn i laral c lc 'san'ol lar lo ¡ror Krt ¡ r r { I r l ( l t r | | l ' r r r r ,

lo la N.-at . r r r ' : r lcza c l igc s i r rn cocl tc cs bucno o ntalo. l . l iqt rnr . ¡ l , r r , r . , , . r l r , l . , , l

t 'or t ¡ t lo l la l l i l ic lad - ] - - \ i t t t l l l tnal l l c :ot t pr t lb l rb i l ic l i r t l , . l ) t t ¡ , r , , t t l t t t : . t t r ¡ r r , , ,

c l rcporcier l tot ict t t l to,srrc lucño-r 'sí l lo¿' l -cot ] ( )ce t l t t t ' t : t t r l rur r ' , , r s ' r r r ¡ r , , r r

{ r¿rnl()sr l r rcel c lucñockrtrncocht:brrrrnolovirkr t ' : teI}¿¡: .1,rc l r l r rcrr , ¡ r l r rnr , , '

che nral() lo r '¿r lora sír lo en ( ' , , ,= 1. . \c l ic iOl l r i l r r le 'nte, s l rp()ngunl()s ( lU( ( \ r \ l , r r

pcr-s()nirs ir <lrr ienes les lesultrur nrirs ír t i lcs kls cocl lcs usados quc l l sus t lut rr, ,s.

v c¡uc cstr irr <l is¡ lr t :st.os ¿r pag¿r cantidaclcs atr lrct ivas por erl los, lo clrrt ' ( l ( ' l ( ) l )( ) l

tunidlrr lcs p¿r'a tr i insircc: iones r ic cochcs lnutr. lanlcl l tc bcnélicns. \ l i rs l l l t ' t isrr

nl()nte, slr l)()r l{ranl()s c¡tre cxistcrr nrtrcl los c:ortrplnclores c¡rre valoratt tut cot lr t '

crr cl r lclble ( l l le su <l ueiro, así r 'al<¡r 'an trr r coc hc lxrcr t o e.r 2 (t)= 8 1 un cochc nta-

lo cn 2r:, , , - 2; si l¿r cal iclacl clel cochc fucra ol¡sun'al>k' 1-ror krs compraclorcs,

toclos los cochcs se¡ r 'enderían. Pcro óstc no cs el c¿tso, prres sír lr el cl treño dcl

t 'or:ht ' r :orroce su c:r l ic lacl. ( lon cst¿r inl i i l rn¿rt: i<in t lccit lc si ol i 'ecerlc¡ a la vctrt .¿r cr

no, al plecio ¡rr-cvalcc: icrrtc cr) el nrercado, p. ( ionro los cochcs buernos y los

rn¿rlcls no son cl ist inguiblcs, r lcben venderse al rnismo prccio. Habie rtclo obst--r-

vaclo c¡tre el coche ser ofrccc a l¿r vcnt¿r y el precio prer ' :r lecie nte cn cl rncrcaclo,

el cornpraclor potelrcial decicle si conrprirr el coche o tro.

Si cornpra cl cocher, obtiene una uti l idad de 2t:¡- p, pzrru i- b, rn. Por sLt

parte, el dneño del cochc obtiené p- t : , , i= 4 ¡¿. Si el cocltc no sc vcttcle , su due-

" l l l tcrccr cqui l ibr io t ler Nash r lel. j rrego no cs u11 t:qrr i l ibr io lravtsi:uro pcl lectr> potclrre si l r tem prcsn l cl igc srrq la t ' rrr¡r 'esa 2 porlr: i dist inetr ir pr:rfcctanrt 'r r l t ' r ¡r r t ' lo lr :r l rrclr( ) \ . ( ( )n l rarjaln( n 1(: r lo cs¡rcci l i r ' : r r lo t ' r t srr ( 's l rat( 'e i l l , lc <orrvcl l< l r i r c l t 'g i l srrr .

r l r r r ' ¡ r lo r¡ t r Kr r ' ¡ ls r lo l<¡ f i l l r l l t l iz : t ( ( ) l l l l ) n l t j t tce<, t ' t t lo l l l t : t cr lcr¡s i r t t -

t lI

176 fti()ttt.\ l) ! l . l t I E ( ;( )S: Str'\Pl.l( iA( l l():. i FlN" ta(l( )i\ ( )Nf IA

(lnÁr.rt; 'r [J.2Moclelo de coches rlsados

fro t icnc ur):r l l t i l i ( l i r( l l iqt ' r , i rrncntr: ncgi l t . iva qrrt ' Ir ' f l t ' i : r t ' l t osto r l t t hl t l r t ' t ' lo <¡f i- t ' -

t i rkr. ' l t 'nt ' r l r()s ( ' t l t () t l ( ' ( 's t : l . i rr t 'uo r l t 'scri to crl la erít f i t 'a lJ '2, t ' r l cl r¡tr t ' l i r l t l t 's¡ l t '< i-

l i r :ar t ' l pr-ct ' io / ,r viuc'rrt t ' t¡ t t t t l t l lert-: tclo.

Flxarrt irrcrnos los cr¡rr i l ibr ios b:ryt 'siarros ¡rt : t ' l 'ct : tos p:rt-a los posibles vit lot ' t :s

<lt: lt.

'k() : rsop<l

Fls{c r: :rst¡ cs senci l lo <lc lut:r l iz¿rr, prrcs cl <:orttport l t trr i t ' l t t () ( iPt i l l to r lc los <lt tc-

ños t 's inrrrr 'diato: si los r l treños of i t- ' r :err srr r:ochc, obtcndrl i t t l ¡- r¡< 0 (rto i tnp<lr-

ta s i r ;= l ( ) r ' ¡ :4) s i lo vendcn -v-s < 0 s i no lo vt :nclct t . Por tat t to, srr dccis i í rn t ip-

t irn¿r es no of i-cccr stt <:<tchc ir la venta y oblener cc:ro. Entotlccs, P¿Ira p < l , ctt

tocl<t equi l ibr io blvcsiano pcrf 'ccto r-r ingirn drteño l lcv:r stt c<lcl l t t l r l tr t t tr t :ar lo.

'k( l¿rsrr l !p32

El c.mport ir l-nicl l l to óptir lo del dtrcir. de tt tr c.che btrcuo sigtrc sit ' r ldo senci-

l lcr r le anal iz¿tr: si ol i 'ece su coctre obternclr ' /r p - 1 <0 si lo vcncle y -€ < {) si no l<r

vendc. Por tanto, en toclo eqrr i l ibr io ba,vesiano perf-ect() los dtreños clc cochcs

buenos no ofreccn st ls c<lches a l¿r vc¡l ta.

Suponeamos ahora quer arlnque los cluel ios ck: coches buerlos no los l leven

:r l rnercado, los ducños de coches malos sí lo h¿rce n. Apl icando la regla cle Ra-

yes, los compraclores fi.jnn una probabiliclad de quc rttr coche quc l-ra siclo llcr'¿rrltr

: t l rnurcl tdo setr l t r r t 'no c lc 17- 0. l lntorrces, s i cotr tpt 'at 'at l t t t t t 'ocht 'o l l l t ' l l r l t ' í : t t t

Jtj l lclos C()N INFOR]\'!-{CI()N tNCtOMpt_ETA. EL CAS() DINA\ít(r) 177

0(8) + l (2) = 2. Puesto que I < p< 2, deciden comprar lo. Dacla csl : r r l<.< is i , ¡ncle los cornpradores, los dueños de los coches buenos obtienen p- 4 ,- O t', lr ¡s r lr.fos malos, p-7 > 0, si los l levan al mercado. Por tanto, sólo los r lrr t 'ños r lr . l ,scoches malos los ofrecerán, confirmanclo nuestra hipótesis inicial. l , l l r lorrr cs. sres un equil ibr io bayesiano perfecto que sólo los clueños dc cocl lcs nr:r los l , ,spongan a la ve nta, y los compradores los compren, cuando 1 S p ! 2.

*Caso2<p<4

Nuevamente tcne mos quc cn todo e qui l ibr io bayesiano Jrcrf i ' r ' to los r lr¡ t .rr rs r l r .cochcs bt tetros no los l levarán al mercado, pues obtcndr ' í l r r r urr : r r r r i l i< l : r r l r rcr , . rt iv¿r s i lo hi t : i r : ran. Strpongamos nuev¿l.mente r¡ue los c lur 'ños <l<.< or l r t 's nr . r los srl<tsof i - t :cc: t r : r lavel l t i t .Sabernosqlreestoirnpl icaqucloscorn¡rr ; r r l , r rcsl i j , r r r ,T

0 y r¡uc, s i cornpraran un cochc, obtendrían un pag() <l t '2 - 7r . l , r r t sto r¡rr l l l t .r lecicle n no comprarlo. Dada esta clecisión de los comJrr- lrr[ t ¡r ' t 's, los r t rrr lcr l ,r cs r lr .c idcr l no of ieccr c l b ien, contradic ienclo el suptresto i r r ic i : r l . 1, ,n l r ¡ r r r r .s. r ¡ , , r . :trn eqtr i l ibr io r¡tre sír lo los dueños de coches malos los of l 'czcl lr l r l : r vt ' rr t :r . l , .r r r .r ¡r r il ibr io tc:ncrnos l leccsar ia lnet) tc que ninuírn dueho l lcv l r srr < oclrr . : r l r r r t ' r r ; r r lo.

'kOaso4<p

l-Jn razonarrl ictrto sirni lar al del caso anterior nos permite colrcluir qu(. n()cs urt eqtt i l ibr io qtre sí l lo los dueños clc los cochcs malos ol iezcan sus coches.Stt¡totrt latnos ahora qtre los dueños dc todos los cochc's los l lev¿rn ¿rl rnercadg.F}rtonces, apl icanckr l¿r rcsl¿r de Bayes, los c<trnpra.dores f i jan r7=f . Por tan-Io, si cornpraran url cor:hc obtendríarr trn¿r rrt i l id:rcl de (+)(8) + ( ; ) (2) - 3.b< p. t intonccs, su decisión <ipt irna es no c()mprar erl coche. Daclo cste cornp()rta-rnicnto de los cornpradores, los dueños cle los coches obtenclrán -e < 0 si loslfcvan al nrcrcaclo, por lo que preficrcn no hacerkr. Entonccs, para 4 < p no()curren transircciol les en el mercado.

La conclusión del moclelo es que sólo los coches malos se ofrccen en elrrtcrc:rclo, a rrn prccio entre I y 2. Arrnque existen clueiros cle coches buenosqtre quisieran vendcrlos, y compradores potenciales que los valoran cn más questls dueños, estas ganancias potenciales clel comercio no se material izan por laasimetría de inf<rrrnación. Este ejemplo i lustra cl problerna conociclo corncrselccciírn adversa. Se presenta cuando s<>lamente uno de los part icipantes enuna transacción conoce la cal idad del bien por comerciar. Los clueños dc bie-nes de más cal idad resultan perjudicados al recibir por su bicn lo nrismo quclos drreños cle bienes cle menos cal idad. Asimisrno, la partc mcnos infbrm¿rclat( 'rn( '( lu( ' l ro obtendrá un bien represenkrt ivo, prornerl i() (), diq¿rrlr()s, clcei( l(): t l : tz : t t . r l t l , t l : t l : r ¡ robl : t< i í r t r l t 'b i t ' t rcsl l r t 'nos-vrrrrr los,s in<¡rrn:rs<' l r '<<' i< i r r ln l r l : r ,

l r r r t 'no 0.0

() l | ( ' ( ( r

r78 TF,()RÍA DEJ[]EGOS: SU API.I(lA(ltÓN llN [,coNOMlA

o "adversa" de esa población. lll temor de la parte lnenos inforrnacla está-iusti-

ficaclo: sólo los bienes de peor calidad son comerciados'

Notcmos que el sistema cle precios por sí solo es incapaz de resolver el pro-

blema. Uti l icemos nuestro ejemplo para ver por qué. Para uu pre cio p> 4, na-

die dern¿rncla coches porque un coche prornedio proporciona una utilidad de

sólo 3.5. Pero reclucir el precio a un rango entre 2 y 4 tampoco atrae a los com-

pradores, porque se dall ctlenta cle que a ese Precio solamente los dueiros fle

coches m¿rl<ts l<ls of iccerán. Esto ocasiona que solamentc cuando el precit l baja

:r un nivcl entre I y 2 cxistan cornpraclores cl ispuestos a c() lnprar los coches, sa-

bedores cle que están comprand<l cochcs malos. I-os coctres bucnos nunca se

poncn a la vcnta.

!,1, l't()tr¡.t -t I I )1" sl'lÑ/\l.l/,,\( ilot'l trt': Spt':Nt ;t': ( I 973) 5

En cstt: rnoclckt, cxisten [)crs()nas rníts productivas qtre ()tras, porqrte sott l ' t lás

tratrajaclgras, más hábiles, () aprcnclcn nlás fácilmentc. Adernás, los trabili:rcl<>

res tienen infilrlnaciírn privacla sobrc stts ¡rropias características' Dos trabaia-

dorcs con r l ist intas característ icas, sin embargo, rccibirhn el nl isl l l () salario si la

emprcsa no lOs prreclc dist ingrr i¡ lo qrrc ()r iginará qt lc las cmPresas enl l-( 'nten

rrn problcma de. select:iírn aclvers:r. En estc modelo vamos a ver c(iln() la partc

i¡frrr¡racl:r trata (le restllvt:r cste pr()blellra e nviando tllr¿r seiral a la partc dcsin-

fi¡rnt¿rcla. Vcre mos círrno los trabaiaclores rnás productivos delnuestran qtlc stl

prodrrct iv i r l r t ( l ( 's a l ta.( lonsidcrcln()s el sigtr ientc. iucgo: la Nattrraleza el ige el t ipo cle trabaiaclor

<1rrc scrá cacla qrr ien. El ige una productivi( lad alta, x1, con probabil iclad r7, y una

prodrrct iviclad baia, x1¡ con probabil i t lad I - r¡y x¡) x3' Sea xu= 1x¡,+ ( l - q)xn

ia pr6¿uctividad inedia cle los trabajarlores. Cada trabaiaclor tiene infilrrnación

p.iua.l,. sobre su propia procluctiviclacl. flonociénclola, elige cierto nivel de ctlu-

cación e > 0. Dcspués áe observar la educación elegida por el traba-iado¡ l i l

emprcsa decide qué salario, .r, pasarle.d La firnción cle utilidad de un trabzr.ia-

rlor es:

I I t=s-"- '

5 lil siguiente modelo está basado en la versi<in clcl moclelo de Spence de Fudenberg y'firole

( l9el) .' 6 En lugar cle suponer que hay una empresa que decidc cuánto pagar al trabajador, podcrnos

suponer que'vnrias empresas-comPiten "a la Bertrancl" pclr contratal a ltls trabajadores ['os dos su-

¡r.,"r,.r, .1o. ..rln,, resultaclo que en equilibrio el salario cs igual a la productiviclad cspet'zr'da por

¡ral t t ' r l t ' l t r lü l : t iador.

f UL,(;OS (l()N INF()RMA(]I()¡- tN(l()MPL!l 'IA. El. (i i \S() l) lN^Nll( ( ) 171)

co¡ x€ lx¡, xnl, es decir, la uti l idad de un trabajador autnenta si srr srrlrtt ' i<¡ t 's

may()r y disminuyer si tienc que dedicar más tiernpo a la educaciirn. Aclt:tlt:is, r"

esto es crucial, a los trabajaclores más productivos se les facilita más obtenct'

cierto nivel cle edtrcaciótr, la educación es costosa, pero lo es menos para los

tlabajadort's nrás produt't ivos.Por simpliciclad supondremos quc la utilidacl de la empresa es:

U2= Qu- E(x)) '

es clccir, la ernpresa trata de minimizar Ia diferencia entre el salario que paga al

trabaiador y su productivi<lad esperada. Los mismos resultados se obtienclr si

sup()nenros que cn lugar de una elnpresa hay varias empresas que compi-

tcn por c()ntratar a los traba-iadores haciendo ofertas simultáneas de salario.

Una estr-ategia p:rra un trabajador es un nivel de educación ¿) 0 para t:arla

posible tipo cle pnrductividacl e legiclo por la Naturaleza, es decir, e s un nivt'l <lt'

ecltrcaciírn si t iene productividad alta, P.¡, I un nivel de cducación si t ietrt ' ¡rt tr

clrrctividad ba1a, e6. Por su parte, una estrategia para la empresa es un sal:tl i<¡

p:rra cada nivcl de educación posible, es clecir, una función s(e) '

Versión ron dos t¿itteles de erLucrtción

suporrgamos primero que sólo hay dos niveles de eclucación posible: e = 0 y c =

l; que el trabajador rnás productivo tiene una productividacl x¡.= 2, el trabaia-

cloi nrenos productivo una producrividad xn = {, y la probabilidad a, priori dr:

que el trabajador sea tipo xÁ es I = t.

[,a rerpresentación gráfica del jucgo en fbrma cxtensiva se muestt'a en la

gráfica 8.3.Una fbrma cornírn de clasi{jcar a los equilibrios de losjuegos con inforrna-

ciírn incompleta parte de obse rvar si un.jugador con información privada se corll-

porta de manera dif'erente dcpendiendo de e sa información privada. Si lo ha<'tr

tenemos lo que se conoce colno un "equil ibrio separador" y' en caso contral ' i() '

un "equilibrio agrupador". Supongamos que tenemos un equilibrio (separador')

n que el trabaiador menos productivo elige no educarse, en=0,Y el trabaiaclor'

más productivo elige educarse, ¿'¡ = 1' Entonces, la empresa podrá deducir t ' l

tipo cle trabajador al observar su nivel de educación: si q(¿) denota la pr<lb:rlri

liclad que asigna la empresa a que el trabaiador tenga productiüdad alta t'tt:trt

do observa el nivel de educación ¿, entonces S(0) = 0 y q(l) = l. Por talrt(), l( '

convendrá ofrecer un salario igual a 2 a un tlabaiador que haya esttttli¿ttl<¡ r'

uno igual u I u. t t - to que no traya estudiado: s(0) = i , t ( l ) :2. Cornprol) t ' t r r r ts

trh1lra que, clada esta rcspuesta de la empre sa, la cstrategia de los f rir l lrt irtt lor <'s

t's t ' lr vcrcl¡cl t ipt. ir la. [)rr trirbzrj:rcl()r 'c()n Jrrocltrctividacl it l l l t <¡l l l t 'rt<lr ': i rrlr:r r¡l i l i

I t ]0 TEORÍA DE TT]E(;OS: SIT API,I(]A(]IÓN EN E(]ONoMiA

GnÁprrn 8.3Modelo cle señalización

r la<l <lc 2-+=j s i cstrrr l i i r y r lc i s i no cstrrr l ia. Por t l r r to, t ' f i ' r ' t iv i r rnt ' r r tc lc

<'orrv icr tc cs{rr t l iar . Un tral la jarkrr '< 'ot t ¡ rnrr l r r< t iv i< l¿r<l b: t j i r obtcrrr l r '¿r r ¡ r t i t r r t i l i r l¿t<l

r l t :2- i=0 s i cstrr<l i r ry,1. ' * s i not 'strrr l i r r .Por ' l iur t ( ) , ( ' f i 'c( iv¿un( 'ntc lc ' r 'on-

vicnc no t:stu<l i i rr . l lntorrr:cs, l i r t :str ir t .r :gi ir <lt : l tr i r lxt l :rrkrr sí t :s ír¡rt i rrr lr <l irr la la

estr2l lcgi i l t lc la t : tr t¡rresa. A srr vt:2, lu t :st lntcgia r l t : la ctn¡lrcsa cs ír¡-rt i r tra r la<l:r

la estrzrtcgi ir t lc l trabajacl()r 'y sus <:r 'ccnt ' i¿rs sol lrr: cl t i ¡ro rk: trabajackrr '( luo ( 'r)-

f icnta. ! ' i l la l rnente, l¿rs <rct :ncias <lc la errrpnrsa sc s igrrcrr ( t r iv ia l r r rcnt( ' ) r lc lu

rc¡¡ la dc l laycs r lacla la cstr i t tr :gia <lcl trabaiat lor. [ , ]ntonccs, r: f i rct ivirrnr:ntc tcl)(t

m()s un cqui l ibr io baycsiarro pr:rf 'ccto.

l i l cr¡rr i l ibr io anl.cl i() l l l '¿ursnl i t .c cl ntcttsir jc t :cnt l al r l t : l rno<lt ' lo <kr sci l¿rl iza-

r: i írn <lc S¡rt:r t<:c, a sabcr; ( luc ¿uln srrport icrtrkr r¡rrt : l i r crhrr: i tci írn lro inr:r 'crnr:nt¿rr '¿r

la pro<luctivida<I, porlrí i r . j rrgrrr urr rol intyrortatt tc al pcrtrt i t i r a krs t labajarkrrcs

nrás pnrductivos de mostr¿rr que lo sr-rn. l in clecto, l¿r c<lrrc¿rciírrt cs unzr sciral clc

productividad porqtre sír lo los tr:rbaiadorcs rnirs capaccs. a qrr icrrcs les cucst¿r

nle nos esfucrzo adquir ir la, cncucntran rcntablc tracc:r lo para incrcmcntar su

salario. Para los trabajadorcs mcn()s capaccs, cl sacri f icio cs muy elevaclo y n<r

alcanza a ser c()mpcnsado por el aumcnto salarial. Por erso, las e mpresas inter

pretan la educación corn() eviclencia cle que qtr ien la ha obtenido es un¿l perso-

na más cdpaz.

Ver.sión con un continuo de niaeles de educación

Vamos a suponer ahora que los trabajador", p.r"d"r-r elegir cualquier nivel cle

cducación a> 0. Busquemos los equi l ibr ios bayesianos perfectos de este juego.

I T] I.I X )S ( ]ON INFORN,IA( ]ION I N( ]O}'f PI,ETA. I]t, (]ASo I)I NA\,{I( ]O

Eqlr r Ltunt<ls sFtpAR,\tX )RES

Srtpottg:rmos quc tcnernos trn equilibrio separzrrloq cs deci¡ qrre cacla trabajadorcl i¡¡c trr-r nivel dc cdtrcaciírn di l 'ercntc, c¡* e¡. Est()s ni\¡eles de educ:rciírn dist in-tos permitcn lr l i r crnpresa <l ist insuirkrs perl i :ctamente; apl icando la resla dcIlayes, la crnprcsi l asisn¿r probabil idades q(e.) - | y q(en) = 0 y, por tanto, su rcs-pttesta írpt irna cs of i 'ecer s¿rlarios .r(C{) = x. i y r(e1) = x¡. Vrlvamr¡s ah6¡a a lgstr irbrr iarkrrcs. l i l trabzrjador t ip() xB ()bt icne una uri l idird , , , -

* si cl iser un nivelcle cdtlca<:i<it t x¡ v ir l nl(- ' l l ()s x¡ si cl igc rrna erlrrr:¿rc: ion igu¿rl ¿i-ccro. Por 1anto,p¿tr i t qu(' lc t :onvcnfra clr:gir r¡st 'rcc¡rr ierc ¿r¡ l- 0. Adelnits, si cl igc un nivr: l dcrcrlrrt ' i rr : iór l r , ,1 obtcncl l l i rrn salul ' io x. '1 y unrr rrt i l idad clt ' x., - f . l tor tanto, l)arirqtrt ' l t ' (r()t lvot lgit <: l t ' f ¡ i t ' ¿/J = 0 ss r lcbc' ctrr¡pl ir ' ( l ¡( ' x.1 -

* < r i , , l1¡ qrrc r:qrr ir , :r l ¡I t z1 ) (x,. t - xn)xn. l)ot-stt l )art( ' , ol l rabajaclor t . ipo xi obt. i i lnr: x¡ si t : l i {¿c rrn nivelt l t ' t ' r l t t t : t t ' i t i t r r3-Oytulaut. i l i ( l i t r l x . . r - t ' s i r : l iucrrrrnivt ' l c lccr l r rc¿rcir i r r r1. I )or 't rur lo.p: i l l t r ¡ r r t ' l r ' ( ( ) i l \ ' ( ' l t t ¡ i l t ' l t ' { i r ¿ ' rst ' r rctcsi l t r ( lU(. f I - , , >xr, . l r lqrreeqrr i -vt t lc : l t r , 1I (x,r- x¡¡)x. .1. I )ot ' l i lnt() , lur : r tor l r l i t ' i r i r r n<'< t str l i t r p lu l r t ( .n( . r t rn t :qrr i l i -l r r io sr ' ¡xrra<krr cs r¡rrr ' :

i i = 0, (x,r - ¡ ¡ )x¡1 r11 I (41 - ¡ ¡ )xr

l ,a < 'or l r l i t ' i< in ut t tct ' iot ' t 's l . :unbi i ' r r r rna t 'on<l ic i í r r r str f ic i t 'nte, prrcs ctralqrr icr '

¡ rar ' ( r , .1, r ¡ ) t ¡ t r t : l i r sat isfuurr sc ¡r t r r :c lc s()stc l ) ( ' r ' ( ' ( ) r1 l ( ) un r . r ¡ r r i l ibr io b:rvcsiano

¡rct ' l i r t ' lo, s i <:s¡rct t i f i<:unl()s ( lu() ¡ - l r r ra ctralc l t r i t ' r n ivcl r lc <rdrrr '¿r<: i< i r r r l is l into:r r '1 vl t 1/, , l l l ( ' rnl)r ' ( 'sa :rsiena rrna ¡rr 'obabil iclarl 17(r) - 0.

l . i t¿r rr.rrrnr<ls i \( ; t{r r t , / \ l )( )Rl,.s

Atttrcl t tc t icttc tr t i tvr¡ l rcl t¡vancia cconrirni<':r rrn cqtr i l ibl io st:¡>ararl<lr, ptres cn í ' lla c:<lt tcat: i<itr cfét: t ivatrt t ' r t tc si t t 'e c()rI lo ul l l r scir:r l al r lrcrcack¡ r le t lal tajo, tzrnr-lr ién cxisten ec¡tr i l i l t r ios cn quc los ckrs t ipos der trabrr jarlr lr el igen cl mismcrn il'cl rlc ercluc¿r.ciírn.

l ln t tn cqrr i l i l>r io aerttpador, (t- ?n = lr ' . Estg sisrr i f ica q¡e si la crnpresa<¡bscr-varrnnivcl c lccclrrc¿r<i<ine.,asi{n:rr í r i rx1rrnaprobabi l idurcl q(¿})=qiguala la probabilidad r¿ lni.ori, v ofi'e<:e¡'ír, por tanto, rrn salario x¡¡. Al eleuir r*, cltralr ir jaclor nlenos procluctivo obtiene x, ir -

i v el r lrcn()s prodrrct ivo x¡t - I .

Si cl tr i rbajaclor rncnos productivo clccidiera eleqir ¿= 0 obtendr' ía ir l menos x¡;por lo que para quc lc convenga clcgir r '* debe cumplirse x,u - ; > x¡, lo r¡rrt 't 's cr¡rr ivalenf- t" . t t i r I ( r . r ¡ - x¡) x¡ . Esta condic i<in tambiól t : ls( 'g l ln l r l r r t ' < ' l l r ' ; r lxr

i : t r l r r r t t t : is ¡ r t or l t t t l ivo ¡rr t ' f i< ' r : t r - t ; i ' i t r - 0. l l r r ton< ( 's, un; t t <¡rrr l i< i i rn l l ( ' ( ( .s: l r r : l

181

182 TEORÍA DF, II]E(],OS: SU API,I(A(J¡(iI '* EN E(JONOi\{iA

para tener un cqui l ibr io asrupador cs que el nivel de educaciírrr I que ¿rmb<ls

tipos dc trzrbajackrres eligcrt satisfaga

e+ < (x¡1- xf ix¡¡

Lir ¿rnt-r:r iol- cs t .anrbi¿rn un¿r ( '()ndici( in suficicnle, plres ctrarld() sc ol i f lcn ni-

velcs ( lc c( lucir(: i ( in /( l ist int()s a ¿F sc pu('dc cspc(' i f ic irr qt lc la cl l tPr( 's: l asigna

rlna J)r l)bzrbi l i<l ixl 17(e) - 0 u r lrrc sc tra{.() der rrn tr.al>ir jador t ipo x¡.

l}ur.rt x; l .r ,u. i ,r

Akt 'r L rf , ( i t 'orst ' ( l 1)70) , " ' l ' l r t ' M:r lkt ' ( lo¡ l ,r ' rrrorrs: (.)rrul i ty U r rt t ' r ' l : t i t t ty ' : t t t< l l l r t ' Mir lkt ' l

Mccllrttisrtt", ()tttt.rltl.y.lrturtta.l. of litrtrtutt.i.r:s, fll), p¡r. 1t{u-5(X).

l , ' r r t l t ' r r l r t ' r 'g, l ) . v. f . ' l i ro l t ' (11)1) l ) , Oanr ' l 'hun1, l r t I ' r ' r 'ss, O:trrr l r r i< lgt ' , Mrtssrt t l t t ts t ' t ls .

Krr ' ¡ rs, l ) . (11) lX)) , A Ot¡u. t ' . t t ' in. h l iotnto¡trni t ' l 'huny, l ) l i t l<t ' lot l tJrr ivt ' r 's i l1 l ' t t 'ss.

S¡rcrr< r ' , M. ( l {)73), Murhtl . \ iutt t t l i t rg lr t l innuti t t t t ' l ' r trr tsf i ' r i t t l l i r i r tg t t t td I l t lulrul I ' rrxt ' .s.st ' . t ,( l : r r r r lx i< ler ' , Mltss. , I I luvl t ¡ t l [ ] r l iv t ' r 's i lv I ' t tss.

9. PROBLEMAS Y SOI,T]( ] ION I . ' '

Pnost.t ,rr.qs

l . l ) ' I r t 's(() t l lPrul íasP(tsql te l ' : rs, A, By O, conlPl l r ' l ( i l r i l r l . r , ' , , , , ' i l , r r ( r , l , ' r , ,

¡ r r t 's : t c l iet ' ( ) l t l re et lv i r l l 'P()c()s () rn l rch()s b() tCS i r ¡ r t 'sr , i l . r l Lr" , , ' , r l r . r r , , , , ,1 , , .

s¿ls( ' l i f { ( 'np(x ' ( )s lx) tcs,c¿rdaunat leel lasobt i ( 'n( ' l rcn, l r , r , , , ,1 ' l l { , ' r r ¡ r , , , r r

gt ' t ' t tv iat ' t l lu<'h<ls bot.cs v l¿rs () l ras t l<ts pocos l ro lcs. l . r l ) r ru ' r , ¡ . l , t r r r r r | ' i )

l l tsol t ' l tsr l t ls40<l t t l i t t t t t l t .Si ,p<lr 'c lcol l t rar i ( ) ,s i r l , , t t t r . r r r r \ r , r l r . , r , 1, , , t , ' r l

o l>t i t 'nr ' ,10 y srrs t iv l t lcs ( i0 car la t tn:r . Finalrn( 'n l ( . \ r l . r : l r r . , r n\r , r r r ¡ r , 1, , ,

l rotcs. < l r<l l r unl l ( l ( ' t ' l lus olr t icrrc l - r0.

l ) O<lr tstr t rv l t l : t t t t : t t r iz r l t ' ¡ l tuos de ntant ' r ' l r r ¡ r r t l : r ( nr t ) r ( \ . r I r ' l r ¡ , r r , r ' '1, '

n<'s, la /J colrr tnn:rs v la ( l t ' rutr l t os.

i l ) l ' ) r r t ' r rcntr t 'c l o los cqrr i l i l r r ios dc Nash, ; ( 'x is l ( ' r r r r t r ¡ r r i l i l r i r ) ( n ( \ t r . r t ,

g i : rs <lonl i rurntcs?

1.2) [ . l r r : r ( 'nrpl ' ( 's i t s( ] r 'á rcubic¿rcla en cl Nort . t : s i ¡ r l tnenos r los r l t ' sus t r t s : , r i r rs

rr l ) ( )y i ln t 's l l r r r t t ' r l ida, sct 'á reubicada en el Srrr s i a l rnenos clos c le t : l los:r¡rovlrn srr

t r ' : rs lur lo:r ( 's t : l s( ' r¿ul l ( l1r z()na, v sc quedar ' : i r lor l r le csl í r s i n insuna dc las rrrr t ' r ' : ts

rr l r icaci t ¡ncs ( 'uclr l i t c<l t r c l : rp<-rvt) de al rnen()s dos sot ' ios. ( l rn¡na es el pr inci¡xt l

J)ar ' l ic lal i() rkr la rt ' t rbicaci( in, y pref- lere ql l t : st:a cn cl Nrlrte, aunque un:r r( 'u

lr icuci<ln cn ol Srrr tatrt l r iél l lc ¡r ir lct:c nte' jor-<1uc la situ¿r<:i<in actual. Benítez, por'

cl conl lar- io, prt: f i t ' r 'c <lt : jar '_l :r crr) l)rcsa r lonrkr osta; [)( ' r() si sc rcubica prefierc] ( ' l

Srr l l r ' l Nortc. Finalrnr:ntt ' , Alr,alt 'z ¡rrt : f ic l t ' r 'crrbicar lu t ' rnplcsa cn t: l Sur, v piu'u

í ' l cs J>r'cferible t lejal la r lontlc cs{ít r¡rrt ' rcrrbic¿rr ' la t¡rr t : l Nolte. ( lonstruya trnir

nlatr- iz ( lc pag()s que 2rsiene a t:arla. jrruarl()r 'una ut i l i r lacl r lc 4 ¿r su rrbiczrci<in prefer-

le r icla, otra der 2 ¿r su se sunda ()pci( in y ()tr '¿r de I a l i r que rnen()s prel ler¿r, tenicn-

r l<l t 'orno cstratcsi¿rs posiblcs para cacla-iug¿rd()r d) ¿rp()var la rcubicaci<in er) el

Srrr, á) ap())'ar quc sc quedc clondc cstá, y r) apoyar la rcubicaciírn en el Norte.

l) (lonsl.nrya la lbrnra estratógica clcl.jtrego antcrior cle mancrrr quc Álvarcz

cl i jzr re:n¡; loncs, Be nítez r:olurnnas v ( lorona cu¿rdr'()s.

l l ) I inctrentrc el () l ()s eqtr i l ibr ios cle Nash.

i l l ) L,ncucntrc el o los cqui l ipr ios clc Nash que curnplan cl rcquisito ¿rdici(F

nal de n() usar cstratc¡i ias clóbi lmcntc clominadas. lL,n este (cstos) cqui l ibr ios,

es rerrl>icada lzr ernpresa, y, el] caso afirn'rativo, en dírnde?

?.1) ( lonsidere el rnodelo de Cor.rrnot t ratado en el cal) í lu lo 2 (y l r l l < ' l <:rsrr

<orr l inrro) r 'onlrrv i r r i r rc i ( i l l ( lcqi lccnlrrgalc l t 'c los, t 'x is l t ' l r , / ( 'nr l ) r ' ( \ , r \ r ¡ r r . t i r '

I f i : i

184 l l . ] ( )RlA l ) ! ] .1tr ! t ( ;os: sU APl. l ( tAct()N ! .N E(t()N()N, l lA

ncn costos ic lé:nt icos c¡- ¿:y Iunción de benef ic ios [ l , - ( I t - dq¡cotr 1)- a- bq1 -

bq, . . . - bq, , para i - 1 ,2, . . . n.

l) Enr:rrcntrc c: l cqrr i l ibr io dc Nash.

i i) ¿Oírrno se c() lnp()rt¿l el precio de eqrri l ibr io cuando /, crecc inrlef lnida-

rncntc?

2.2) Oonsidcrc la sisuicntc variación dcl r¡rot lck¡ tkr Be rt lantl clcl cirpítrr lo 2 cn

clrrc las crr)prcs¿rs I y 2 cornpitcrt crt prc:cit)s, pcrr) tro pro<lur:ctr l>ie trt :s i<lónt. i-

c<rs. Lir f i rnci<irr dc <lcnr:ur<la <lc la errrr¡rrcsa I t :s r7r - l0 - l t1 + 2ln¿y la f irnc: iórr rkr

<lcrnirnrl i r <lc lrr crrr¡-rrcsa 2 t:s 17, - l0 - 14+ 2' . l ,os lrcrrcl ic: ios rk: l i r crrrplt 's lr i sorr

t f ¡ - ( l ¡ ¡ - l ) r7¡ ¡ r l r r l r i - 1,2. l lncrrr :ntr . r ' t ' l cr¡rr i l i l r l io <lc Nash r lc l . j r r t 'go ( 'n ( lu( '

c i t r lu crrrJrrc 'su f i ju srr Jrrccio s in <onoccl c l prc ' r ' io I i j i r r lo ¡ror srr l iv i r l .

l l . l ) l i r r<rrcrr t rc c l cr¡rr i l i l r l io t ' r - r t 's t la( .cr{ i i ts n l ixt i ts r l t ' l : rvt ' ts i< i t r r l t ' l . j r r t 'uo t l t '" l , l r l r l r t¿r l la r lc los scxos" ¡rrcst ' r t t : r<la t ' r t c l t ' i rpí t r r lo l .

i i .2) l ' )ncrrcrr t rc tot los los t ' r ¡ t r i l i l r r ios t l t ' Nasl l (crr cstr l r t t 'u i rs l ) l l : rs y rnixt : rs) r l t ' l

s iurr icrr t t ' . j r rcu() , ( ' r l r ¡ut ' t ' l . i r rgar lor I c l igc ( ' l l t l ' ( ' l ( )s r t 'nqlol l t 's t l , By O, t ' l j r rga-

<for '2 t ' r r t l r ' lus < ' r ¡ l r r t ru lus I )1, l ' ) , y c l . j r rgar lor '1 l t ' l l t t ' t ' los crrar l t r rs 1 'y ' (J.

f r rurrr lo l l i

Itr.grulor 2 Itt.tu¡lor 2

l )l )

. l r rg:r<kr l l l r rg:rrkr l l(3,2, r )(1, 2, r )( r , r , r )

(2, 1,2)(3, :1, 2)(1,2,2)

¡ (1, 1, : r ) (2. 2,/ : r (2, 2, 3) ( : t , 3,c (r .1,3) (r ,2,

1)

1)1)

,,1I]( :

4.I) Oonsir lc lc c l s igrr icnt . t : . j r r t : {o c lc srrrna( ' ( ' r ( ) cnlrc los. j t ruaclolcs I 1,2.

frruaclor 2

E t"

,{

( :

-i¿1

7IJz

-tI1

D

fugirclor I fueaclor I

PRORI,EN,Í,\S Y SOt,L]( ]IONI.-S l f i l r

L,ncuentre la rnáxima trt i l ic lad qr.re ptrcde asegur¿rrse el jugador l , sin inr-

Portar 1o qrre haua el jueador 2, y qrré estrateuia garantiz:r tal ut i l idacl, cn c¿rrlatrnl t < le l l rs r los s igrr icrr t< 's s i t r ra< iones:

i I Sr i lo st ' prrer lcrr l ts l l ' cst l at( ' { i t ts pul l rs.i l ) ' lhmbién se puede r) usar estr¿rtegias mixras.

.1.2) Oonsiclcl t : r ' l sigrr icrrtc. j trceo cntre los. jue:rdorcs I y 2:

f truarkrr 2

I )

I r rg l r rkrr I ,1 5030

l-¡ ( ),70.

20. 80l-¡0. 50

to. ( ;030. 7()

i ) ' l i l r r rsf i r r r r rc cstc ' . j r rcuo t ' r r r r r r . j r r t 'uo ckr srrrnl t cr : l 'o.i i ) Si pcr l r r i t i t l los c l t tso c l t : ostr i r lcui l ls l l l ix t .¿rs: ;crr i r l cs lu nl l ix in lu rr t i l i r l ; r r l

( l l l ( 's( 'pt l ( t ( l ( ' l ls( 'Qtt t 'at ' t t l . j r ruar lor ' l , s i r r i rn¡rort i r r - lo c luct haga el . j r ruat lot !1, .I t 'orr r¡rró t 'st lut.cgia?

l lr) Oonsir l t :r ' r ' ahora cl r '¿rso clcl jugador'?.

5.1) ( ior ts i<lct t ' l : t s ist t ic t l tc \ ' :u ' iaci( i r ) dcl . j r rcuo rcprcscrr tarkr en l¿t e l r i l i t :a 5.5.( lrr i trr t lo cl . i rruatlor I cl ige ir l ic ialrncntc ú, clcs¡rrrós cl. juuaclor 2 cl igc r l , r , f lnal-r l rct l tc c l . j r ruar lor ' I c l igc r (cs<lccir , se s igrr t : r ' l carnino úr l r ) los pueos lcc: ib ic l<tssorr (5,5) err l t rurrr '< lc (3, '1) . I r l t r t ' t tcnt le el cqrr i l ibr io Jrcr f i rcto crr srr l r jur :eos.

5.2) Rt 'srr t ' l r ' : t t ' l t t tor l t ' lo r l t 'St i r tkclLrcre pr( 'scntu( lo t ' r r c l capítrr lo i r r : r r¿rnclo laI i r r rc i í rn dc r lcnranclu in 'u ' r ' r 's : r es 1 ' - l l - l t - lz (cs c lccir ' , i r = 8, á= I) r ' los c()st()snltr-ginalcs s{)n r '¡ = 1, t , , = 1\.

( i . l )Oorts i r l t ' t t 'c l s igt t i t 'ntr ' . j t t t 'goton: l i l r rvclr tc,en( lucl . l l l l t ( )c l . jugarkrr lconrot : l . i r reador 2 el iecn cntrc c()operal ' \ ' n() ( ' (x)pcrar:

.f rreaclor 2

(hoperat No cooperar

( , ( )opcr?u'

No coopelar '+, .18. I

I . IJ

186 TE()RIA l)t lJtl l l()OS: SLr APt.l( jA(l lor\- l l) i l l( l()N()N'tlA

Encrrent|c cl (o los) equi l ibr io(s) perf-ecto(s) en sub-i lregos del. jueso con-

sistente en jugar dos vece s el- juego antcrior.

6.2) ()onsiclcre el uso dc est.r ir te¡I ias "gati l lo" en el juego consistente el l rePcti l

inf ini tal 'nente el . j rrego c()r)st i tuyente dc la prcsr¡ l t t :r arttet ior. ¿Para c¡rté tasl ls

dc dcsctrcnto ser prrede sostener l tr coopcraciírn pertnattcr l tc (() l l l () rcsrr l tadtl r le

urr cqrr i l ibr io pr:rf 'ecto cn srrbitrcgos?

7.I ) I in el cicrrr l t lo dc "Lucha p()r cl lncrc:rr lo ( I ) " clcl capítrr lo 7 sttpon{a t¡rrtr

s i c l pr t>yc<rtor lc l i rernprcsrr2csbucnox-uy,s iestnzr lo,x=4. I ' lncrtctr t re c l ( t r

krs) cqrr i l ibr- io(s) l>rryt 's i i rno(s) c l t ' Nash.

7.2) l ln c l n l isnlo c ' jcnrplo <k' la plcurul l i l iur t ( t i ( ) r , st l l ) ( ) l tur l { l l l t ' x = 3 s i t : l

J)t ' ()y( '( ' t () t lc la t 'nrplr:si l 2 ( 's l trr t 'no 1. ' x = 0 si <rs Intt lo. l i l tcttctt tr t ' I l t l ( ' \ ' i l l l l ( ' l ) l ( '

c ' l (o krs) c:<¡rr i l i l l r io(s) baycsiarto(s) dc Nash.

It . I) ()orrsicl t 'n ' l i r vcrsiírrr rkt l r l ro<lclo t le Spcncct cl t : l <: l t l t í t tr lo [J <:ott r los tt ivt ' l t 's

dt ' t 'dtrcucir in ¡tosi l t lc ' : ¿r= 0 y ¿,= L Nol.e quc (tn csta nrocltr l iza< i ír l l la ( l l l ) l ) l 'cs: l

s i r r rp l t ' r r rcnt t ' f i ja c l s¿r lur io isrral a la ¡>r 'o<l t rct iv id i r r l cspt ' r 'ada r l t ' l t labr l i r r r lor ,

r l r rc l : r t : l i l t ' r r l i r con l : rs < r ' r :< 'n< ias qt tc f i r t t t tct t [ ) iu ' l ( r ( lc l t 'c¡rr i l ib l io l r i t l ' t 's i : t t t , I ¡ t t ' t 'f c '< to. I )¿rr l<¡s los r ' : r lorc 's r lc los ¡ tar i r rnctr ' ( )s sul)ucst .os. l l is ¡ tosible tct t t ' t t t t l t ' t ¡ t t i -

l ib l io (aglrr¡rrr<l t t t ) ( ' r r ( l t r ( ' t ta( l i ( : ( tstr ld i ( '?

t i .2) I ,ala la plcurrnta antel ior. ¿l. is ¡rosiblc {.cr)er ut l err¡rr i l i l rr io (rrglrr¡ lar lor ') t 'n

<ltxr los r los t i l tos <lc trab:r jaclt l r t :s esttt t l i t : l l?

St l l . t ' t ; t< lNt.ts

l . l ) Qtrc ca(l¿r (:()ntpairía cl i la cr lvi iu' nlrrch<¡s b()tcs cs trrr ct¡rr i l i l rr i<) cl l cst. l ' ; l t .e-

gi lrs clortr i tratrtcs.

1.2) I rrs equi l ibr ios dc Nash son que todos apoycn ttna rertbicaciírtr t ' t t t t tr tnis-

nto clcst in,t (1,a sca Not tc o Sur), qtre nacl ic apoyc tt tra rcrtbicirci í ln, qtrc Álu"t",

y Oorona ap()) 'ern tula reubicaciírn err cl Sr-tr y Renítcz n() aP()vc tr i l rgtt t ta

rcubicirción, l ' que_solalnernte ( loronn apoye t lna ret lbi( ¿rcií ln (erl el Norte) ' [ i l

eqtrililtrio en quc Alvarerz y Oororra ?rpoyan ttna rettl¡icaciírn cn cl Sur y BenÍtcz

no apoya ninguna renbicación satisfáce cl rer¡uisi to adicional cle t¡ue rr i trgl i l t

. jugaclor usa una estrategia débihnente dominada, y resulta el l una rerrbicación

<'rr t ' l Srrr .

PR()I l l . l lNlÁS YS() l . t ( ,1( ) \ t ,s I r.ii

2.1),1) En el equi l ibr io c le N¿rsh g¡ =f f i para l = 1, 2, . . . n. i t ) l ' t t . r ¡ r r i l r l r r r , ,p=l ]# por lo que cl precio converge al c<¡sto rnarginal ¿ t r r : r r r r l r ) , , / ( r ( . ( (

inclef iniclamcnte .

2.2) En equi l ibr io h - 22y p2= +.

3. l ) El l lornbrc c l i ¡ ;e f i r tbol con probabi l idacl I v b:r l let con pt-ob:r l r i l i r l . r , l I ,

Lir rnrr jel cl igc futtxr l cotr problrbi l idact I v bal lct con probabil ida<l I

3.2) Fixisten 3 cqtr i l ibr ios dc Nash: l) I cl ige A, 2 erl i ¡1c 1)y 3 el ige l , i i l I r ' l r l r / i

2 t ' l iec 1, iy i i c ' l ige I ¡ ,y i i i ) l e l igc A con pt 'obabi l i< lud t y Rcon plolr : r l r i l i r l . r , l

j , Z . t ig. /) r 'on probabil i<lacl { r ' l i , r :on prrrb:rbi l i r lart ! , 1' : t cl igc / ' l

,1. I ) Oorr cstnrtcgias pl l ras: r r rax { i l , l , l , l = 3, r ¡ r rc se alc:rnz¿r < c¡n la estr l l l ( q i . r I( l ()n ostr:rt( 'gias rrr ix{: ts, I sc prtc:<le : tsegurl lr t l t l¿l t l t i l idrrd cspcradaclc f l i r is i t ' l ige l : r cstnt tc 's i l r , t con ¡rr 'o l r i rb i l i r lad j 1 ' la cstrateqi¿r ( l ( ( ) l l probabi l i< l : r<l l

4.2) ¡ i) Fl l . j rretrr lol I sc ¡rtrcr l t 'ascgr. lrar trrra trt i l idarl erspcr' ;rcla de 3ir. l lsto I , ,

ct¡rrs i r¿rr t ' t ' l ig icr l r lo < ar la unir t lc sr ts estr-atcgias con ¡rrobabi l ic lacl i .l l i ) l i l j r rg l r rkrr .2 st ' ¡ r t rcdc asegur¿Ir t rna t r t i l ic lad espeluda cle ( i5, c l r r t ' r 'orrs i

err t ' t ' l is ienr lo 1/-r ' t ¡n Prrrbabi l i r la<l ] 1 ' 1"corr probabi l idacl ] .

5.1) La t 's t lutctr ia <lc I i r rd icu c legir 1, ,aI pr inci¡r io v 1er l sus ot los ckrs rorr j r r r r t , , .

rk ' inf i l ' r l raci<irr . l , i r cst lat t 'g i : r dc 2 incl ica c lcsir rs i I e l iec a1'c lcgir r1 s i I t . l rqr

1.¡. l istr ' ¡rul r l t ' r 'stnrtcgias conrlt tcc ir l catnitro l l¿.

r,.2) ¿/f - i, cl = i

6.1 ) Los clos. jrruadorcs cl igcn I l() ( ()()pL'r l l l ' ctr l tnl l)<'rs pcriodos.

( i .2) 6 > i .

7.I) L i r ernplesa I c lccic le rro cxpancl i rse. La enr l ) rcsa 2 sí lc¡ hat ' t ' , s i r r inr l r r , r t . r r

r r i lnt l st ' i l su l ) t ( ) \ ' ( ' ( lo.

7.2) Par '¿rcrralquic lvalort le)"existctrnc<¡tr i l ibr i t )c l l ( lu( ' l t ' l ig- t 'not 'x¡r : rnr l r r . , ,

r 2 t l iuc expandi lsc s i t ' r r rp le. ( l t tarrr l r , , r , < = t 'x ist t n olr ' , rs t los t ' r ¡ r r i l i l r r i , , : I r ,

r rno dc c lkts 1 el iee expant l i rse -v 2 c l iuc cxpturt l i ls t 's i su I ) l ( ) \ ' ( ' ( l ( ) t 's l r r r .n, , r

n<t haccr lo er) caso contrar- io. En el ot t ' t ¡ l l t t : t t t ¡ l t t 's l t I : rs ign:r unir l ) ro l r . r l r i l r , l . r , lposi t ivairsrrsdr¡sest lategiaspr l ras\ ' l r t t 'nt¡r t t 'sr t ' ) l l l t r< ' lo¡rro¡r i , , r , tn l . rs( \ t r , r r (

r i i : rs < ' r ¡ l : rndirst 's i t ' t t t l r t t ' r ' t 'x¡rart t l i ts t 'solo s i : i l r l ) r ( ) \ ' ( ( lo ts l r ¡ r t r r r r

f ; 9 'a r 2 2 = ?! 1 : =-= -- = = -J v _.J- .

-- ú. '= ?. : , - ' - a

r j 9= f - 3 j -_r- ,Y-

-¿-¿;j r l t== ==:=.1- ñ= = -^ 7-- := r ! =;= = ! '=f7: ' - - : : -==vI^-v. :

- -=.= . ' ' ' - ; : :1 '= : i =

:s l^ : -= ==a==rj ! t=í =:=

! :s,€: ==;v.: .= ' .¿=-==

-=--_-t€; : t : ===t l -==:a:=

+=r,E?= .- .9?I - - ._-O-1 a ! ' -

==:+ = ^ : : t*= c- ! =- ' . ' : f

- :- ; - i l - ! -

- - l l

- =-C = i r -^. i =. = j - . j , !=Á- l i - . -?at

vrv!._ v

. - _ : / Y

===t='-==.=:r

- : : - C-: ' - '= . . : '

: a.-? -

7 I 7-- ' .=C:, ;===t! ' ' ¡ .- ' - a A., = ^ = I -|

- +- - - -,L- : - - -Y^

i t . ,== l ; = :?.a" != i+:-=-- i=- =;-

- J , - =.- ='á=l ' ; '==' t '7.a2==- 'Z_!= X,. ' - - j

¡ .9= i i : : { . ' -=i ! : , :3= =' ,ñE;:- i1? t .a: .^ '= ' - = _i2 ^=, '; r : T = =: l ; - i -

zY

Z

Z

(ia

4)6

)

ü)tu

CENTRO DE ESTUDIOS ECONOMICOS

Hov uno tendencio presente en economío desde hoce voriosdécodos: el uso codo vez mós frecuente de lo teorío dejuegos. Así, hoy en dío, el lenguoie y los métodos de onólisisde In teorín de ireoos .rnnré.en en r-osi todos los romos de love ru rvvr rv vu luv\rv

or-nnomíc r¡ esto se doho ñ nre hon demostrodo su uti l idodgVVttVIr i lU/ y VOrv

poro explicor muchos fenómenos de dif ic¡ l comprensión conlos herromientos onolít lcos irodicionoles. Conceptos comocredib¡l¡dod, di lemo del prisionero o señolizoción prol i ferontonio en onólisis de cuestiones loboroles como boncorios, y sinsu dominio 1 el de los técnicos osociodos- es codo vez mÓsdifíci l comprender muchos estudios económicos recientes.

Este libro presenfo de formo cloro y preciso los principolesovonces logrodos por lo teorío de iuegos y lo monero en quese pueden oplicor en economío. Medionie el uso de un lenguo-

ie sencil lo, modelos convenientemente modif icodos y numero-sos eiemplos, el outor logro tronsmitir de formo nít ido incluso losdesorrollos mós compleios, y permiie ol lector odentrorse en elt ipo de ideos por los queJohn Nosh,lohn Horsony y ReinhordSelten obtuvieron el premio Nobel de Economío en

"|994 yque provocoron un combio rodicol en lo formo de entendermuchos problemos en óreos ton diversos como lo economíofinonciero, el comercio internocionol o lo mocroeconomío.

¡sBN 9?8-ó07-462-091-7

lillillililüilffi11lE pl coLEGIolM ns MEXrco