fernandez de castro max logica elemental

Lgica Elemental

Max Fernndez de CastroAsuncin PreisserLuis Felipe Segura

Yolanda Torres FalcnDERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia [email protected]

DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia [email protected]

Casa abierta al tiempo

LGICAELEMENTA!

Max Fernndez de CastroAsuncin PreisserLuis Felipe Segura

Yolanda Torres Falcn

Mxico



3 f c UNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANAUNIDAD IZTAPALAPA

Dr. Jos Luis Gzquez MateosRector

Universidad Autnoma Metropolitana. Unidad Iztapalapa.Divisin de Ciencias Sociales y Humanidades. Departamento de FilosofaAvenida Michoacn y La Pursima s/nColonia Vicentina.093440, Mxico, D.F.

ISBN 970-654-048-2

Impreso y hecho en MxicoPrinted and made in Mxico



NDICE DE MATERIAS

Prlogo 7Captulo I Lenguaje y Lgica 11

1. Enunciados y Argumentos 112. Niveles del Lenguaje. Uso y Mencin 173. No Contradiccin 224. La Funcin Argumentativa del Lenguaje. 23

Captulo II Lenguajes Formales 251. Introduccin 252. Lenguaje Proporsicional 292.1 Simbolizacin de Enunciados y Condiciones

de Verdad para stos 292.2 Tautologas. Equivalencia Lgica 383. Lenguaje de Predicados 423.1 Simbolizacin de Enunciados con

Cuantificadores 423.2 Sintaxis del Lenguaje Formal 483.3 Interpretaciones 543.4 Validez Universal 584. rboles Semnticos 60

Captulo III Validez e Invalidez de Argumentos 671. Introduccin 672. Argumentos en un Lenguaje sin Cuantificadores 713. Argumentos con Cuantificadores 86

Captulo IV Mtodos de Prueba 971. Nociones Semnticas para Lenguajes

Proposicionales 972. Mtodos de Prueba para la Validez e Invalidez

de Argumentos 1053. Nociones Semnticas para Lenguajes de

Predicados 1154. Mtodos de Prueba para Argumentos en Lenguajes

de Predicados 1185. Consistencia 1236. Otra Aplicacin de los rboles Semnticos 128

Apndice. Explicacin de algunos Smbolos de la TeoraElemental de Conjuntos Empleados en el Libro 135Bibliografa 141



PRLOGO

PRLOGO

El libro que aqu presentamos tiene como propsito principal familia-rizar al estudiante con el material y los procedimientos ms elementa-les de la lgica. Constituye, en ese sentido, una introduccin a sta, tanelemental como el rigor y los objetivos mismos de precisin de la mate-ria lo permiten. Ha sido nuestra intencin ofrecer con ello un texto quepueda ser estudiado enteramente por cualquier lector atento con la su-ficiente paciencia como para hacer algunos de los ejercicios de que cadaseccin va acompaada. Creemos, por esta razn, que tanto el profesorcomo el estudiante encontrarn en l un instrumento adecuado paraadentrarse en estos temas.

Hemos tenido en mente al escribirlo a un principiante, en el sentidoms estricto del trmino. En otras palabras: no se da por supuesta otracosa que un manejo correcto del lenguaje y una normal competencia lin-gstica. Por esta razn, estamos seguros de que nuestro trabajo puedeconstituir un libro de texto adecuado para un curso de introduccin a lalgica o para cubrir la parte de lgica y argumentacin de un curso demetodologa de la ciencia a nivel universitario.

En nuestra opinin, el profesor encontrar aqu una gua seria y ac-cesible para la imparticin de distintos temas bsicos o, por lo menos,sugerencias que podran apoyar y complementar considerablemente lapresentacin que haya elegido. Por su parte, el estudiante hallar en luna presentacin breve, precisa y, a este nivel, completa de los diversostemas, acompaada, en cada caso, de ejemplos cuidadosamente seleccio-nados, teniendo, adems, con los ejercicios propuestos, la posibilidad decomprobar constantemente sus avances.

Hemos optado por un enfoque gradual que concede amplio espacioa las relaciones entre la argumentacin y el lenguaje. Nuestra experien-cia como profesores de lgica y filosofa en la Universidad AutnomaMetropolitana-Iztapalapa nos ha mostrado que es precisamente en estepunto, relativo a la conexin entre el sentido que pueda tener una intro-duccin de smbolos y, en general, de lenguajes formales, por una par-te, y la evaluacin y el manejo de argumentos en el lenguaje ordinario(o en el lenguaje poco menos que natural de muchas de las disciplinas



LGICA ELEMENTAL

sociales y humansticas), por la otra, donde reside una de las mayoresdificultades con las que se topa un estudiante no particularmente inte-resado en el manejo de sistemas deductivos abstractos. Pensamos quepara este tipo de estudiante resulta prcticamente imprescindible, porlo menos al principio, una referencia continua a tal vnculo, por lo queun estudio de estos problemas que adoptara un enfoque abstracto, des-atendiendo o prestando poca atencin a tal aspecto, parecera estar con-denado a resultar como, por desgracia, ocurre con tanta frecuenciaincomprensible o poco atractivo para la mayora de los alumnos, a pe-sar de su posible inters o ventajas tcnicas y de elegancia. Por lo dems,creemos que esto ltimo no se encuentra necesariamente reido con elcarcter elemental de nuestro propsito, ni con cierta frescura y ameni-dad en la presentacin.

El libro consta de cuatro captulos divididos en secciones. Nues-tro tratamiento da inicio con una introduccin general, en el captuloI, al tema de las relaciones entre lgica y argumentacin. A pesar desu carcter intuitivo, se presentan all diferentes ideas preliminarescuya comprensin cabal exige de alguna familiaridad con distintosproblemas y distinciones bsicos de la lgica validez, consistenciade argumentos y las relaciones deductivas que la subyacen que so-lamente la prctica puede proporcionar, por lo que su relectura des-pus de los captulos siguientes es ms que recomendable. Como sea,esta parte del libro introduce tambin una serie de conceptos bsicosa las que el resto del texto har continuamente referencia y su lectu-ra atenta facilitar la comprensin del sentido de muchas nocionesutilizadas ms adelante.

El captulo II se ocupa de introducir un lenguaje simblico, lo mis-mo que de su justificacin detallada. Un lenguaje as, se sostiene, resul-ta un medio idneo para la evaluacin exacta de muchos argumentos.Las conectivas proposicionales y los cuantificadores, como elementosbsicos de la simbolizacin, son tambin objeto de un examen porme-norizado. Se presenta all, asimismo, una serie de ejemplos que ponende manifiesto algunas de las ambigedades e imprecisiones en las queel lenguaje ordinario suele incurrir y que permanecen gran parte denuestros asertos y argumentaciones. Se introduce, en primer lugar, unlenguaje simblico proposicional (Seccin 1), que se extiende despus(Seccin 2) a uno que pueda dar cuenta satisfactoriamente de argu-mentos en los que intervengan relaciones y cuantificadores. En esteapartado se estudian tambin, de manera introductoria, varios con-ceptos de capital importancia para la lgica: tautologa, equivalenciade enunciados, analiticidad, mtodos efectivos de evaluacin verita-tiva, etc.



PRLOGO

En el captulo III, dedicado a la validez o invalidez de argumentos,se analiza una gran cantidad de stos, y se les les evala desde el puntode vista de su correccin. El propsito aqu es familiarizar al estudian-te con una de las nociones ms importantes de la lgica, por lo que seha intentado ofrecer un tratamiento intuitivo.

El captulo IV se ocupa del estudio sistemtico y riguroso de algunasde las nociones semnticas ms elementales: tautologa, validez univer-sal, contradiccin, contingencia, equivalencia, etc. Un poco ms adelan-te, se utilizan los mtodos de demostracin ms comunes para demostrarla correccin o incorreccin de argumentos. Se define all, asimismo, elconcepto de consistencia y se le relaciona con los conceptos presentados,en el captulo anterior.

Sin duda alguna, la lgica es una de las disciplinas con un desarrolloms dinmico en el panorama actual de la ciencia. La lgica moderna,que surge apenas en el ltimo tercio del siglo pasado, como una dis-ciplina ntimamente vinculada a la tarea de una fundamentacin estric-ta de las matemticas y a consideraciones relativas al lenguaje de stas,es hoy una ciencia altamente especializada cuyos nexos con otras ramasde la cultura son numerosos y diversos. A partir del ltimo cuarto del si-glo pasado, la investigacin en este campo la ha convertido en una nue-va disciplina de carcter matemtico, independiente de la filosofa,aunque estrechamente ligada a ella. Aparte del inters que los proble-mas que la lgica se plantea puedan, por s mismos, suscitar, su impor-tancia para una cultura universitaria y general reside todava en su valoraltamente formativo, al hacernos conscientes de la estructura argumen-tativa de nuestro lenguaje y al proporcionar un modelo inferencial quepuede servirnos como referencia y modelo para muchas de nuestras ar-gumentaciones.

El desconocimiento que de estos temas priva en nuestro medio -es-pecialmente en el mbito de las ciencias sociales y humanidades- repre-senta una limitante insalvable para su utilizacin como elementometodolgico en esas disciplinas, por lo que su difusin y estudio norequerira, por este solo hecho, de mayor justificacin.

Como hemos observado, el libro adopta un enfoque semntico. He-mos considerado que es precisamente ste el que resulta ms accesiblea un principiante. Se distingue con ello de la mayora de los textos a estenivel, en los que se presta una gran atencin al aspecto sintctico. Ennuestra opinin, la aproximacin que hemos elegido constituye la va deacceso ms satisfactoria y natural a estos temas.

Como hemos apuntado, por ltimo, este trabajo es producto de laexperiencia docente de los autores en la UAM-Iztapalapa, en el rea deLgica y Filosofa de la Ciencia de la Divisin de Ciencias Sociales y Hu-



10 LGICA ELEMENTAL

manidades, y de su preocupacin por contar con un libro de texto apro-piado para los estudiantes de los primeros trimestres de las carreras queall se imparten. Es nuestro convencimiento, sin embargo, que tambinpuede ser utilizado con provecho en cualquier curso introductorio de lamateria a nivel universitario e inclusive, total o parcialmente, en un cursoideal de la misma en el bachillerato.

Nada nos alegrara ms que recibir las sugerencias y crticas que a lpuedan hacer tanto profesores como estudiantes.

Iztapalapa, septiembre de 1996.



CAPTULO ILENGUAJE Y ARGUMENTACIN

1. ENUNCIADOS Y ARGUMENTOS

Uno de los usos ms importantes del lenguaje es el informativo. Es de-cir, el lenguaje puede ser utilizado para informar, para hablar de ciertosobjetos, para describir sus propiedades y relaciones. Pero el lenguajetiene tambin una funcin- discursiva, en la que, por as decirlo, se con-vierte en su propio objeto, en la que se da una reflexin sobre los obje-tos lingsticos mismos, fundamentalmente sobre aquellos queconstituyen, en realidad, las unidades comunicativas bsicas: las propo-siciones o enunciados. Suponer, justificar, contradecir, analizar, discutir,rechazar son todas ellas manifestaciones de la importante funcin dellenguaje a la que nos estamos refiriendo. Ahora bien, qu es lo querealmente hacemos cuando suponemos, cuando justificamos, contrade-cimos, analizamos, discutimos, etc.?

Aceptamos condicionalmente que una cierta proposicin o enuncia-do se afirme; establecemos una cierta relacin entre proposiciones cuyaafirmacin no se pone en tela de juicio y otra proposicin (justamenteel objeto de nuestra justificacin); negamos una afirmacin, la hacemosobjeto de reflexin, hacemos explcitos contenidos de la misma, compa-ramos ciertos enunciados con otros y afirmamos la existencia de ciertasrelaciones entre ellos, etc.

En aras de la sencillez, podemos renunciar al trmino "discursivo1, declaras con notaciones retricas y, en consonancia con las pretensiones declaridad y exactitud de este escrito, hablar en su lugar de argumentaciny argumentos.

La argumentacin es un modo bsico de nuestra racionalidad. Laargumentacin es esencial para cualquier tipo de procedimiento cien-tfico (establecimiento de teoras, validacin, planteamiento de hip-tesis, contrastacin, prueba, etc.), pero va mucho ms all de la esferade la ciencia, pues es claro que la racionalidad humana no se agotaen sta,.

En efecto, en nuestra vida cotidiana esgrimimos argumentos a cadainstante, por ejemplo, cuando tratamos de convencer a alguien de algode lo que pensamos habernos percatado (v.gr. una mam que explica aun nio por qu es importante que se lave las manos antes de comer, o

11



12 LGICA ELEMENTAL

alguien que pretende justificar una demora en el pago del alquiler de undepartamento)

Los siguientes son ejemplos de argumentos.a) Mxico es un pas que podemos considerar subdesarrollado, por

lo que un tratado de libre comercio con una nacin altamenteindustrializada puede ser de gran beneficio para el pas o bienprovocar graves desajustes econmicos para su poblacin. Cier-tamente estos ltimos no se presentaran si se contara con unatecnologa que pudiera competir con la de otras naciones msavanzadas. Pero, precisamente, su subdesarrollo consiste en par-te en no contar con ella. En esas condiciones, un TLC no puedesino provocar problemas.

b) La teora del Big Bang no debe ser considerada como verdade-ra aunque sus defensores sean numerosos. Existen otras teorasalternativas que explican igualmente algunos fenmenos obser-vables y son tan plausibles como aqulla.

c) En los ltimos 150 aos, la poblacin del planeta se elev de1000 a 15000 millones de habitantes. Ante los nuevos problemasque todo esto plantea, se ha considerado que la ciencia y la tec-nologa podran proveer a la humanidad de mtodos eficientespara la produccin de aquellos recursos materiales necesariospara nuestra subsistencia. En este orden de ideas la ingenieragentica juega un papel fundamental. Es necesario, entonces,eliminar todo tipo de trabas a la investigacin biogentica.

d) Si existe un nmero primo q mayor que todos los dems, el sucesorde q, es decir, q+1, es expresable como producto de nmeros primos.

e) Si solamente A, B y C saban de la existencia de ese documen-to y nicamente A y C estaban enterados de que su difusin da-ara gravemente a las autoridades, seguramente fue B quien lohizo pblico.

f) La historia no nos proporciona enseanzas morales que influyande manera ineludible en nuestro comportamiento. Esto es vlidotambin para el nacionalismo y el racismo extremos. Lo ocurri-do en Yugoslavia y el comportamiento de los pases occidenta-les muestran que esto es as.

g) Puedo dudar de la existencia de todo, pero no puedo dudar de quedudo. Dudar es una actividad de mi pensamiento, de mi yo comoentidad pensante. Por lo tanto, si dudo pienso y si pienso existo.

h) Ganar la partida en dos movimientos porque si muevo el penhasta la posicin P pondr en jaque al rey, y ste estar obliga-



I. LENGUAJE Y ARGUMENTACIN 13

do a retroceder a la casilla Q, la nica en la que no se encuen-tra ya amenazado. Pero mi alfil puede cubrir Q inmediatamen-te despus y ninguna pieza de mi contrario puede ni tomar esealfil, ni cubrir al rey.

i) a es mayor que 21, menor que 30 y primo.Por lo tanto, a=23 o a=29.

Observemos que en todos estos casos tenemos una serie deenunciados, ocurriendo siempre que

1) afirmamos estos enunciados; y2) afirmamos la existencia de una cierta relacin, entre uno de ellos

y todos los dems.Ilustremos lo anterior con base en el ejemplo a) que ofrecimos un

poco antes. En l los enunciados que hemos afirmado son:i) Mxico es un pas que podemos considerar subdesarrollado;ii) en un pas subdesarrollado, un TLC con una nacin altamente

industrializada puede ser de gran beneficio o bien provocar gra-ves desajustes econmicos para su poblacin;

iii) los desajustes econmicos graves no se presentan cuando el pascuenta con una tecnologa que puede competir con la de nacio-nes altamente industrializadas.

iv) el subdesarrollo significa que no se cuenta con tecnologaavanzada;

v) un TLC no puede sino provocar problemas.

Notemos, en primer lugar, que en i)-v) hemos formulado explci-tamente y por separado cada uno de los enunciados del ejemplo a).Ahora bien, qu es lo que convierte a los enunciados i)-v) en un ar-gumento? La existencia de una cierta relacin expresada en a) con laspalabras 'en estas condiciones', que claramente nos indican una situa-cin condicional: si ocurre que i), ii), iii) y que iv), entonces tambintiene que suceder lo que el enunciado v) nos dice.

Es esta relacin de afirmacin condicional lo que intuitivamente re-conocemos como lo esencial de un argumento, como lo que propiamenteel argumento comporta como afirmacin, por as decirlo.

Un par de ejemplos harn ms claro lo que queremos decir,j) Slo es bueno quien acta desinteresadamente;jj) Juan ayuda a alguien nicamente si cree que puede sacar algn

provecho de ello;jjj) Juan no es bueno.



14 LGICA ELEMENTAL

En este argumento no afirmamos simple y categricamente que Juanno es bueno. Lo que hacemos es concluir, deducir que esto es as en vistade las afirmaciones j) y jj).Consideremos el siguiente argumento.

z) Las frutas tropicales no son buenas para la salud;zz) el mango, el mamey, la guanbana y la papaya crecen en el trpico;zzz) Ni el mango, ni el mamey, ni la guanbana ni la papaya son bue-

nas para la salud.

Nuevamente: lo que aqu afirmamos no es zzz) sin ms, sino que afir-mamos zzz) suponiendo z) y zz), es decir, afirmamos que si pasa z) y sipasa zz), entonces tambin pasa zzz). En Mxico, por ejemplo, pocaspersonas mantendran z), por lo que no estaran obligadas a sostener zzz)(el taosmo, v.gr., afirmara z) y, evidentemente, zz), por lo que tendranecesariamente que afirmar tambin zzz)).

Podemos ahora intentar algunas precisiones. Podemos decir que unargumento es una cadena de enunciados A15...,An, B (donde n puedeser cualquier nmero natural). Podemos referirnos, adems, a los enun-ciados, Aj,...,An como premisas y a B como la conclusin del argumen-to. Por supuesto, la identificacin de B como la conclusin de esteargumento no excluye la posibilidad de que este mismo enunciadopueda fungir como premisa de otro argumento, ni tampoco la de quecualquiera de los enunciados de At a An aparezca como conclusin dealgn otro argumento.

Es importante observar que nuestra definicin presupone ya una ciertasimplificacin. No siempre damos o encontramos argumentos cuya con-clusin vaya al final, despus de las premisas. Sin embargo y por razonesde uniformidad, es decir, con el objeto de alcanzar la mayor generalidadposible y porque ello no significa alterar nada esencial (pues podemossiempre recuperar la forma original del argumento), consideraremos quelos argumentos se nos presentan siempre de la manera que hemos seala-do: primero las premisas y al final la conclusin. Por lo dems, nuestra de-finicin no distingue el orden en el que las premisas aparecen, por lo quelos siguientes no son sino dos formas distintas del mismo argumento.

1) Si toda persona se convirtiera en comerciante, la competenciaaumentara a tal grado que habra un desajuste total en los pre-cios, pero, adems, si toda persona fuera comerciante, la deman-da de artculos sera tan grande que proveerlos resultaraimposible. Esto muestra que es imposible que una sociedad con-sista exclusivamente de comerciantes.




2) Si toda persona fuera comerciante, la demanda de artculos seratan grande que proveerlos resultara imposible, pero, adems, sitoda persona se convirtiera en comerciante la competencia au-mentara a tal grado que habra un desajuste total de los precios.Esto muestra que es imposible que una sociedad consista exclu-sivamente de comerciantes.

Como hemos dicho, el uso normal de la palabra 'argumento' remitea una relacin entre las premisas y la conclusin. Hemos visto que laafirmacin de la conclusin en un argumento es condicional, es decir,depende de la afirmacin previa de las premisas. Sin embargo, con fre-cuencia algunas de las premisas de un argumento no se formulan expl-citamente.

Consideremos el siguiente ejemplo.Q) El budismo es una de las pocas religiones en nombre de las cua-

les no se ha realizado hasta ahora ninguna guerra.Por lo tanto,QQ) ni el Tibet ni Laos han realizado nunca una cruzada religiosa.Aqu tenemos por lo menos una premisa implcita, a saber:Tibet y Laos son pases o regiones donde el budismo predomina.

Como aqu queda claramente de manifiesto, la relacin existenteentre premisas y conclusin en un argumento es la de que las premi-sas pretenden sustentar, avalar, garantizar, justificar la conclusin. Asu vez, sta se encontrara de alguna manera contenida, implcita en laspremisas.

El estudio de esta relacin entre premisas y conclusin, su precisiny el establecimiento de criterios para determinar exactamente cundo seda y cundo no constituye la meta ms importante de nuestro texto.

Por lo pronto, observemos que los trminos que hasta ahora hemossugerido para caracterizarla distan de tener la claridad que desearamos,pues son vagos o son circulares.

Por otra parte, es de notar que la definicin de argumento que hemosintroducido, si bien es clara, no parece recoger lo que hemos sealadocomo esencial en un argumento: la relacin entre premisas y conclusin.

De acuerdo con esta caracterizacin, en efecto, toda serie (o, comotambin diremos, toda sucesin) finita de enunciados pueda considerarsecomo un argumento. As, la secuencia

Al. V2 no es un nmero natural.A2. G. Mahler compuso la sinfona "Resurreccin", aunque nunca

escuch "La Consagracin de la Primavera".



16 LGICA ELEMENTAL

A3. Los antiguos mexicanos usaban el cacao como moneda.B. Mendel estableci las leyes de la herencia en el siglo XIX.

es un argumento.La justificacin que podemos ofrecer por el momento de ello es nues-

tro ya citado afn de simplificacin y generalidad. Por lo dems, ste serun expediente al que recurriremos a menudo: caracterizar ciertas nocio-nes de manera mucho ms general de lo que nuestras intuiciones suge-riran; Le. caracterizar algo de una manera que podra ser demasiadoamplia respecto a lo que nuestras ideas previas pareceran hacer plau-sible, para, a partir de all, ir estableciendo una serie de diferenciacio-nes que nos permitan acercarnos y, en ltima instancia, dar cuentaprecisamente de esas ideas.

En nuestro caso presente conviene, segn se har evidente ms ade-lante, prescindir provisionalmente de la relacin que pueda existir en-tre los enunciados de una secuencia, para ocuparnos de ella con muchamayor precisin un poco ms adelante.

No est de ms, sin embargo, observar una de las notas caractersti-cas de la misma, cuyo estudio nos ocupar extensamente un poco msabajo: la relacin entre los enunciados ha de ser una que se haga cargode las conexiones entre los valores de verdad de los mismos.

El concepto de verdad que hasta aqu hemos evitado mencionar esuna de las nociones ms primitivas de nuestra racionalidad. No preten-deremos ocuparnos en este momento de dar una definicin precisa dela misma, pero s hemos de notar que cuando hablamos de enunciadosestamos entendiendo por estos fundamentalmente una expresin de unlenguaje que es susceptible de tomar uno de los dos valores verdaderoo no-verdadero; esto es, un enunciado es una expresin que puede serverdadera o falsa.

1. A la mitad del camino de la vida2. No fumar!3. El director de Ran.4. 'Jean Marie Arouet' es el verdadero nombre de Voltaire.5. n es un nmero entero y mayor que 3.6. Si el programa un da sin auto se convierte en dos das sin auto,

el nmero de automviles en circulacin en la Ciudad de Mxicose incrementar en 300,000 unidades.

7. Los conflictos sociales en la ex-URSS no representan un graveriesgo para la paz mundial.

8. Los pases del llamado primer mundo consumen 73 % de laenerga utilizada en el planeta, a pesar de contar con tan slo 10% de la poblacin mundial.




9. En Mxico existen 55 grupos tnicos distintos, aunque muchos deellos estn en proceso de extincin o de asimilacin total.

10. Ay mis hijos!11. Newton, Goethe, Schopenhauer y Wittgenstein han formulado

teoras de los colores y el segundo y el tercero son coetneos.12. 3+7=13. Te callas!14. x obtuvo el Premio Nobel en 1968 o en 1972.

De las anteriores expresiones 4,5,6,7,8,9 y 11 s son enunciados, mien-tras que el resto no lo es. Todos ellos son o verdaderos o falsos. No im-porta cul sea el valor que tomen (verdad o falsedad), lo importante esque toman uno de ellos, que pueden ser evaluados con estos adjetivos.Este es tambin el caso de la expresin 11. Por otra parte, tanto 12 como14 requeriran de algn tipo de suplemento para convertirse en enuncia-dos. 14, por ejemplo, nos dice que x obtuvo el premio, pero sin hacer unaafirmacin precisa sobre un objeto especfico. Para mayor claridad com-paremos 14 con la expresin:

15. Kabawata obtuvo el Premio Nobel en 1968 o en 1972.Resulta evidente que 15 a diferencia de 14 s se refiere a algo espe-

cfico, s hace una afirmacin que podemos evaluar en trminos de ver-dad o falsedad.

Ejercicios.a) Por qu las expresiones 1,2,3 y 13 no son enunciados?b) Dar 5 ejemplos de expresiones que sean enunciados y 5 ejemplos

de expresiones que no sean enunciados.

Aunque esta idea de enunciado es vaga (qu es, por ejemplo, unaexpresin? de qu lenguaje? etc.) podemos partir en nuestras conside-raciones de ella para, provistos de una serie de conceptos y diferencia-ciones, volver a estudiarla un poco ms adelante.

2. NIVELES DEL LENGUAJE, USO Y MENCIN

Hemos dicho ya que la nocin de verdad es de crucial importancia ennuestras consideraciones: "verdadero" se nos presenta como un predi-cado de enunciados. Parecera entonces plausible hablar de distintosniveles en nuestras reflexiones.

Podemos, en efecto, hacer afirmaciones sobre objetos de un ciertombito (v.gr. los invertebrados, los grupos sociales que componen una



18 LGICA ELEMENTAL

sociedad, las conductas de los individuos o las polticas de un gobierno,los miembros de un club, etc.); pero podemos tambin referirnos a esosenunciados, por ejemplo, para decir que no son verdaderos, que tales ycuales afirmaciones se encuentran en contradiccin con otra, etc.

Esto sugiere que es posible establecer una jerarqua de niveles del len-guaje, pues es claro que cuando hablamos de ciertos enunciados, para, di-gamos, negar o afirmar que son verdaderos, lo hacemos sirvindonos deotros enunciados, que a su vez pueden ser objetos de otra predicacin, etc.Ejemplo:

(1) Heidegger es un racionalista(2) Heidegger habla de la Nada como de un objeto(3) El enunciado (1) es falso(4) (1) y (2) son enunciados incompatibles(5) Es falso decir que los enunciados (1) y (2) son incompatibles.(6) El enunciado (5) es absurdo.

El enunciado (3) se refiere a (1), habla sobre l. Por su parte, (4) serefiere tanto a (1) como a (2), afirmando la existencia de una cierta re-lacin entre ellos. Finalmente (5) se refiere claramente a (4), y (6) a (5).Es evidente que podramos continuar esta serie con enunciados que ha-blaran sobre (6) y otros que hablaran sobre stos y as sucesivamente.Podemos tener una imagen de esta especie de jerarqua ordenando losenunciados de nuestro ejemplo como sigue

NIVELO: 1,2NIVEL 1: 3,4NIVEL 2: 5NIVEL 3: 6

notando que para referirnos a enunciados de un cierto nivel tenemos queubicarnos en otro nivel superior.

A partir de otra consideracin podemos obtener una conclusin si-milar: Cuando queremos hablar del algo, cuando queremos referirnos aun objeto no nos servimos, obviamente, del objeto mismo del que habla-mos. Si, deseamos decir que una persona, Juan, juega ajedrez, es claroque lo haremos afirmando, digamos, la proposicin

Juan juega ajedrez.Ahora bien, cuando afirmamos sta ltima, no nos serviremos de la

persona misma, sino de un nombre o descripcin de ella fJuan1, vel hijode fulano y perengano1, etc.). Podemos generalizar esta observacin di-ciendo que cuando hablemos de un objeto usaremos un nombre de eseobjeto, pero nunca al objeto mismo (Principio de Uso y Mencin).




La observacin de este principio que acabamos de establecer no pre-senta normalmente ningn problema en la mayora de los casos. Sinembargo, cuando los objetos de los que queremos hablar son ellos mis-mos de ndole lingstica puede presentarse cierta confusin. As, porejemplo, cuando se afirma que

1) Esdrjula es esdrjulaes claro que no estamos afirmando algo parecido a

2)3+4=3+4o a

3) Venancio es Venanciopues mientras que 1) es informativa (nos dice que cierta palabra se acen-ta en la antepenltima slaba), 2) y 3) no lo son.

Lo que ocurre en 1) es que la palabraesdrjula

es al mismo tiempo aquello de lo que se habla y aquello con lo que sehabla, por as decirlo. Ms claramente: En 1), la palabra en cuestin esa la vez mencionada y usada.

Consideremos ahora la siguiente expresinChartres es una catedral, pero Chartres tiene ocho letras.

En ella, el trminoChartres

tiene referencias distintas en cada uno de los dos casos en que se le usaen la frase anterior. Como hemos acordado que nunca nos referiremosa algo sino mediante nombres, se hace necesario, por razones de preci-sin, introducir nombres distintos para designar el objeto fsico (la ca-tedral) del objeto lingstico, es decir, del nombre de ese objeto (elnombre que usamos para referirnos a ese objeto fsico).

Es una prctica comn introducir comillas simples para formar elnombre de una expresin. Nosotros nos conformaremos tambin a ella.De esta manera, la proposicin anterior puede reescribirse con mayorprecisin como

Chartres es una catedral pero 'Chartres' tiene ocho letras,mientras que la versin no equvoca del enunciado 1) ser

1') 'Esdrjula' es esdrjula.'Esdrjula' es un nombre de la palabra encerrada entre comillas.Otros ejemplos del uso de comillas son los siguientes:

4) "Esdrjula" es un nombre de 'esdrjula', que es esdrjula y5) "Esdrjula" comienza con una comilla.1') (4) y (5) son proposiciones verdaderas.



20 LGICA ELEMENTAL

Tomando en cuenta estas convenciones, resulta natural hablar nue-vamente de una jerarqua de niveles del lenguaje como la que hemosbosquejado un poco ms arriba.

En efecto, para hablar de algo necesitamos utilizar su nombre,pero ste no se encuentra en el mismo nivel de aquello de lo que ha-blamos. As, si hablamos de objetos, tenemos que ubicarnos en unlenguaje dado, ms all del mbito de esos objetos.

En la actualidad es un expediente comn cuando los objetos de losque se habla son parte de un lenguaje, esto es, cuando se trata de obje-tos de ndole lingstica, distinguir entre el lenguaje en el que se hablay el lenguaje del que se habla, y referirse al primero como el lenguajeobjeto y r.1 segundo como el metalenguaje.

Dada la importancia de esta distincin, no est de ms ofrecer unejemplo. Si hablo en espaol del idioma ingls y digo que el enunciado

John broke his leges equivalente al enunciado espaol

Juan se rompi la piernael lenguaje objeto es el ingls, mientras que el espaol es el metalen-guaje.

Por lo dems, aunque plausible, nuestra distincin no correspon-de exactamente al funcionamiento de los lenguajes naturales (comoel espaol, el alemn, el portugus, etc.), pues stos son cerrados. Esdecir, es posible hablar de ellos en ellos mismos (digamos, hablar delos verbos espaoles en espaol). Por razones que slo se entenderncabalmente ms adelante, nosotros nos ajustaremos aqu, sin embar-go, a la prctica de distinguir siempre entre lenguaje objeto y meta-lenguaje.Ejemplos:

1. Consideremos el siguiente enunciado:Las abejas producen la miel al aadir una enzima al nctar recolecta-

do de las floresSi damos el nombre P al enunciado anterior, podemos obtener a par-

tir de l otras afirmaciones. Por ejemplo,(Q) P es verdadero

Con el enunciado Q estamos afirmando algo acerca del enunciado P,estamos hablando de l. Por lo tanto, mientras que P pertenece a ciertonivel lingstico (en el que evidentemente podemos referirnos a objetoscomo las abejas), Q pertenece a otro nivel, a un nivel superior en el quede lo que podemos hablar es ms bien de aquellos enunciados que serefieren a los objetos como la miel las abejas, etc. Q pertenece al meta-




lenguaje, mientras que P es parte del lenguaje del que estamos hablan-do, del lenguaje objeto. Si deseamos proseguir y hablar (como de hechoestamos haciendo) de los enunciados del metalenguaje, estamos obliga-dos a hacerlo desde otro nivel lingstico, esto es, desde un metameta-lenguaje y as sucesivamente.

2. Consideremos el siguiente argumento:Al. La raz cuadrada de nueve es tresA2. Tres es una palabra monoslabaPor lo tanto,A3. la raz cuadrada de nueve es una palabra monoslaba.Hay algo absurdo en la conclusin, a pesar de la aparente verdad de

las premisas. Tenemos la idea (correcta) de que extraer la raz cuadra-da es una operacin que se aplica a nmeros y que nos da tambin n-meros como resultado. La conclusin nos habla, sin embargo, de unapalabra, no de un nmero como resultado de su aplicacin al nueve.Cul es el problema?

El primer enunciado parece ser inobjetable y expresa una igualdadnumrica. Podramos perfectamente escribirlo como

3 = A/9Es ms bien el segundo donde parecera residir la dificultad.Reflexionemos brevemente en lo que estamos diciendo cuando afir-

mamos el segundo enunciado, es decir, cuando decimostres es una palabra monoslaba

Lo que aqu encontramos no es una expresin numrica, no estamoshablando de nmeros, sino de palabras. Estamos afirmando que una pa-labra (la palabra 'tres') consta de una sola slaba. Como normalmenteusamos esta palabra para referirnos a un nmero (al tercero de la serie delos enteros positivos), la confusin resulta de usar la misma expresin parareferirse tanto al nmero mismo como a la palabra que designa ese nme-ro, es decir, de no distinguir entre uso y mencin de expresiones.

En otras palabras, el segundo de nuestros enunciados tendra que escri-birse de conformidad con nuestro principio de uso y mencin como sigue

'Tres' es una palabra monoslabaDe esta manera, nuestro anterior argumento sera claramente escritoAl. La raz cuadrada de nueve es tresA2. 'Tres' es una palabra monoslabaPor lo tanto,A3. la raz cuadrada de nueve es una palabra monoslaba.Vemos ahora que los dos primeros enunciados se refieren a cosas muy

distintas, por lo que la afirmacin que se intenta concluir no parecerajustificar la conclusin que se quiere extraer de ellas, a diferencia de loque pareca ocurrir en la versin inexacta que hemos escrito al inicio.



22 LGICA ELEMENTAL

En resumen, es importante tener siempre en mente que cuando ha-blamos de algo no estamos en el mismo nivel que aquello de lo que ha-blamos, de acuerdo con el Principio de Uso y Mencin que hemosadoptado.

Ejercicios.1. Poner comillas en las siguientes expresiones para obtener enuncia-

dos verdaderosa). Lombarda es la provincia ms rica e industrializada de Italia,

su capital es Miln, pero mientras que Lombarda empieza conL, Miln comienza con M, aunque a ambas expresiones es co-mn la a.

b). Dar-es-Salaam es una expresin de origen rabe y es tambin elnombre de la capital de Tanzania, al mismo tiempo, Dar-es-Salaam es una de las ciudades ms grandes de frica.

c). En alemn abuelo se dice Grossvater, en francs grandpre, enportugus av y en italiano nonno, y es un hecho histrico queen la antigua Grecia y en Roma los abuelos gozaban de un granprestigio social.

2. Establecer las relaciones entre los distintos niveles del lenguaje cla-sificando el nivel al que pertenece cada una de las afirmaciones siguientesy considerando que P, Q y R son enunciados de un lenguaje objeto dado.

i). Q es equivalente a Pii). Q es falso siempre que P es verdaderoiii). 4Q es falso' es falsoiv). 'Q es equivalente a R' es verdaderov). 'Q es equivalente a P' es equivalente a T es equivalente a R'

3 . N O CONTRADICCIN

Nuestra ocupacin principal es la de estudiar las condiciones en las queuna argumentacin correcta puede darse. Hemos dicho ya que este pro-blema se encuentra estrechamente vinculado a la consideracin de lascondiciones de verdad de los enunciados, de la que nos ocuparemos unpoco ms abajo.

Es convieneniente, sin embargo, intentar una primera aproximacina un requerimiento indispensable de esa argumentacin correcta: el ca-rcter no contradictorio de la misma.

Nuestra nocin ms primitiva es la de enunciado. Entre los enuncia-dos hemos establecido una diferenciacin bsica, de acuerdo al valor de




verdad que toman. La posibilidad misma de una argumentacin correc-ta depende de esta distincin entre verdadero y no-verdadero; es decir,del hecho de que un enunciado no pueda ser, a la vez, tanto verdaderocomo no-verdadero.

Ahora bien, conservar esta distincin fundamental impone el crite-rio general de la no contradiccin. Supongamos, en efecto que, en unsistema cualquiera de enunciados, lleguemos tanto a un enunciado Acomo a un enunciado ho-A; esto es, que en ese sistema ambos puedanser afirmados. La diferencia entre verdadero y no-verdadero pierde en-tonces su sentido, en contraposicin a lo que estaramos dispuestos aaceptar.

Como en su momento veremos, la observacin de esta exigencia deno contradiccin se encuentra en la base de la distincin entre argumen-tos (argumentos correctos y argumentos incorrectos) que en lo que si-gue haremos.

4. LA FUNCIN ARGUMENTATIVA DEL LENGUAJE

En los prrafos anteriores nos hemos estado refiriendo exclusivamentea la funcin argumentativa del lenguaje. Sin embargo, esto podra hacerpensar que esa funcin es la nica que el lenguaje cumple, o bien queotras funciones del mismo son claramente diferenciables y, por lo tan-to, que puede abstraerse de ellas. Ni lo uno ni lo otro.

La funcin argumentativa del lenguaje puede ser vista como parte inte-grante de otra ms amplia a la que, a falta de otra denominacin ms con-veniente, podemos referirnos como la funcin informativa del lenguaje.

El lenguaje posee, sin embargo, otras funciones. Aunque no es deltodo claro cules son en su totalidad las funciones que el lenguaje pue-da tener, es decir, los fines que su uso persiga en distintas situaciones, spodemos distinguir globalmente algunas de ellas. En este orden de ideas,es posible mencionar, por ejemplo, la funcin emotiva del lenguaje, lomismo que la funcin imperativa del mismo.

Cules seran por ejemplo las diferentes situaciones en las que cadauna de las siguientes frases o expresiones podra ser utilizada?

Te dije que ya no quera verte!Vete de aqu!Podra pasarme la vida en este lugar!Qu gusto verte, hace tanto que no nos encontrbamos!

No es siempre fcil, sin embargo, distinguir la funcin que el lenguajecumple en un momento dado. As, v.gr. si alguien afirma

Cay el Muro de Berln,puede ocurrir que las funciones mencionadas se presenten simultnea-



24 LGICA ELEMENTAL

mente. Esto es, que no slo se informe algo, sino que se exprese unacierta emocin (de entusiasmo o de dolor, digamos) y, a la vez, una or-den (por ejemplo: "Destruyan los archivos!" o bien "Hay que inver-tir en la bolsa!")

A pesar de esto, nosotros nos ocuparemos exclusivamente de los usosinformativos del lenguaje, particularmente de lo que hemos llamado suuso argumentativo. Por supuesto, esto significa hacer abstraccin de susotros aspectos, por ms importantes que estos sean. Ms an, y siempreen nuestro afn de alcanzar la mayor exactitud posible, nos ocuparemosde ciertos lenguajes considerndolos exclusivamente como un sistema designos grficos. La formulacin de un lenguaje particular necesariamenteabstracto y artificial y, no obstante, adecuado para analizar la estructu-ra argumentativa de grandes porciones de nuestro lenguaje podra ser-virnos de justificacin en este proceder.

En realidad, nuestra estrategia no se aparta de otras observadas endiversas disciplinas cientficas. Muchas ramas de la actividad cientfica(por ejemplo, la fsica) pueden formular sus resultados y problemas demanera mucho ms clara en un lenguaje especial, completamente arti-ficial o slo "modelado" que en ocasiones pareceran dar lugar a com-plicaciones innecesarias, pero que, a la larga, hacen clara y precisa laestructura de problemas, contribuyendo de esta manera a su solucin.

Este ser tambin nuestro caso: examinar estructuralmente, desdeuna perspectiva lgica las ideas que expresamos en el lenguaje. Con estoqueremos decir lo siguiente: Podramos acercarnos al lenguaje con elnimo de estudiar el condicionamiento social del habla o de la forma-cin de conceptos, o buscar reglas generativas, etc. Nuestro enfoque sepropone dar cuenta de la manera ms precisa posible de la estructuralgica de la argumentacin. Nuestras consideraciones parten, por lo tan-to, del siguiente supuesto: en el uso argumentatitvo del lenguaje se daun encadenamiento de ideas al que expresiones como 'porque', 'as que','en consecuencia', 'por lo tanto', 'aunque', 'pero', 'no' y muchas otras re-miten. En el lenguaje se encuentra implcita una estructura deductiva oinferencial. Echar luz sobre sta de la manera ms precisa posible, serla tarea que nos ocupe principalmente en lo que sigue.

Nuestra manera de proceder no ser siempre directa, sin embargo,pues con frecuencia resultar ms conveniente partir de una considera-cin abstracta para pasar posteriormente a sus aplicaciones, a la mane-ra en la que, por ejemplo, el problema de calcular cunto cuestan 15naranjas si 22 valen 12 pesos puede resolverse mediante consideracio-nes que, en primera instancia, hacen abstraccin de las naranjas y de lamoneda en la que se cotizan.



IILENGUAJES FORMALES

1. INTRODUCCIN

Las situaciones en que ordinariamente se presentan argumentos en nues-tra vida diaria son aquellas en las que un individuo trata de convencera otro de una determinada tesis y, para ello, esgrime un argumento. Lapersona a quien se trata de persuadir puede no aceptar la conclusin pordiversas razones, pero principalmente por estas dos: porque consideraque una o varias de las premisas son falsas, o bien, porque aceptandostas como verdaderas no le parezcan suficiente apoyo para la conclusin.Veremos ms adelante que slo este segundo caso nos concierne desdeel punto de vista lgico. Por ahora advirtamos que esas razones de des-acuerdo podran a su vez estar motivadas, y frecuentemente lo estn, porla ambigedad e imprecisin de que adolece el lenguaje cotidiano. Porejemplo, si como premisa de un argumento se dice 'la sal es daina parael corazn humano', alguien podra entenderla como refirindose a cual-quier cantidad de esa substancia, mientras que quien la enunci tal vezquera decir que los excesos en la ingestin de sal son peligrosos para lasalud. Diremos que este tipo de ambigedad es de carcter semnticoporque se origina en la multiplicidad de acepciones que tiene un voca-blo, o en que se le usa, como en el ejemplo anterior, sin un significadofijo. Pero la ambigedad de un enunciado tambin puede provenir de laforma o el orden en que estn unidas las diversas palabras que lo cons-tituyen. Los siguientes casos ejemplifican esta posibilidad.

a) Un capitn de un navio le dice a su tripulacin 'Siempre que leshablo hay un marinero que no pone atencin a lo que digo'. Seinfiere de ello que, de estar en lo cierto el capitn, siempre esel mismo marinero el que no presta atencin?

b) En un soneto, Sor Juana declara que ama a Silvio y que es amadapor Fabio; si ms adelante hubiese dicho: 'aquel que ama mialma es discreto' (*), no podramos saber si se refera a Fabio oa Silvio, y ello no porque ignorramos la acepcin que se le debedar a cada una de las palabras anteriores, sino porque el enun-ciado (*) es, sintctica o formalmente, ambiguo.

25DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia [email protected]


26 LGICA ELEMENTAL

c) Se infiere de la proposicin 'el hombre debe ser humilde y purocomo un nio o no entrar en el reino de los cielos', que bastanla humildad y la pureza para acceder a la gloria?

d) En unos versos de Rubn Daro se lee:'Que se humedezca el spero hocico de la fiera

de amor si pasa por all'Es correcto preguntar a qu fiera de amor se refieren?A este tipo de ambigedad, ilustrada en los incisos anteriores, la lla-

maremos sintctica.Pensemos ahora en cuntas equivocidades y confusiones se evitan

cuando un enunciado proferido oralmente y con cierta celeridad se es-cribe correctamente. Recordemos los versos de Villaurrutia:

y mi voz que maduray mi voz quemaduray mi bosque maduray mi voz quema dura

cuyas diferencias de sentido casi no se perciben al odo. O considren-se la diversidad de formas en que puede entenderse una frase en la quela puntuacin ha sido suprimida, por ejemplo:

Con ayuda de algunos amigos dictando conferencias y escribiendopuedo sobrevivir.

Quin dicta las conferencias?As como al pasar del lenguaje oral al escrito pueden evitarse ciertas

imprecisiones, as tambin es posible aclarar ms nuestros enunciados,al menos en algunos aspectos, si los expresamos en un lenguaje ms con-veniente a este fin que el lenguaje ordinario. En lo que sigue nos con-centraremos en la construccin de un lenguaje simblico que, por unlado, suprima ciertas formas de ambigedad, sobre todo las de carctersintctico, y sea, por ello, en muchos casos, ms adecuado que el lengua-je ordinario para la presentacin de argumentos, y que resalte, por elotro, las caractersticas formales de los enunciados que son segn ve-remos las que determinan la correccin de los argumentos o su inco-rreccin. Por qu, desde un punto de vista lgico, slo nos interesaeliminar las ambigedades sintcticas y no las semnticas? No daremospor ahora una respuesta completa a esta cuestin, pero advirtamos quela acepcin con que una palabra se tome en un argumento nada tieneque ver con la correccin de ste. Por ejemplo cualquiera aceptara quela conclusin 'el quenopodio es una angiosperma' se sigue vlidamentede las premisas:

'O el quenopodio es una angiosperma o sus semillasno estn envueltas por un pericarpio' y

'Las semillas del quenopodio estn envueltas por un pericarpio'



II. LENGUAJES FORMALES 27

an cuando desconociese el significado de algunos de los trminos an-teriormente empleados.

Antes de proceder a la tarea mencionada, esbozaremos la idea quetuvo John Wilkins, un pensador ingls del siglo XVIII, para formar unlenguaje universal en que se eliminaran las confusiones semnticas. s-tas se originan en que quien profiere una palabra puede tener en men-te una acepcin de la misma, distinta de la que tiene su interlocutor. Esose evitara si con la palabra viniese, de algn modo, su definicin. Asocurre en el lenguaje de Wilkins. El procedimiento es el siguiente: pen-semos en el reino animal que se halla dividido en familias, tribus, gne-ros, especies, etc. Para simplificar el caso, consideremos una familia debacterias compuesta de muy pocas tribus, a saber, la de las enterobac-teriacae, una parte de cuyo diagrama taxonmico es el que a continua-cin se presenta:

Familia: Enterobacteriaceae

Tribus: a) Eschericheae(dividida en 5 gneros)

1) Aerobacter

2) Klebsiella

3) Paracolobactrum

4) Alginobacter

5) Escherichia

b) Erwineae

c) Serrateae

d) Proteae

nico gnero:1) Erwinia

nico gnero:1) Serratia

nico gnero:1) Poteus

e) Salmonelleae(2 gneros)

1) Sallmonella2) Shigella



28 LGICA ELEMENTAL

Asignemos a la familia la letra B y a cada una de sus cinco tribus, unavocal, tal como aparece en la tabla anterior. Ahora designemos con losnmeros 1, 2, 3, o 4 a los gneros, segn el orden en que aparecen den-tro de cada tribu. Entonces, por ejemplo, al gnero salmonella lo llama-remos con el nombre 'Bel', que indica con el orden de los signos que loconstituyen, su definicin, pues el primero de ellos representa la fami-lia, el segundo, la tribu, y el ltimo, el gnero. Es obvio que podemoscontinuar con este proceso, descendiendo a travs del rbol taxonmi-co, hasta los biotipos o, si tuvisemos smbolos para las diferencias, hastalos individuos. Claro que para ello tendramos que emplear en algunosniveles, nmeros, pues v.gr., las especies del gnero Salmonelleae sonms de 800. Wilkins pensaba, a la manera de Aristteles, que las cosasdel universo son susceptibles de clasificacin en gneros y especies, des-de el gnero supremo que es el ser hasta cada uno de los individuos con-cretos. Por ello concibi su lenguaje como universal. El expediente porl propuesto es, despus de todo, el mismo que empleamos para deno-minar a los nmeros. Por ejemplo, cuando escribimos 1.24 estamos in-dicando que tenemos una unidad, dos dcimas y cuatro centsimas.Estudiaremos en la siguiente seccin un lenguaje igualmente artificial,pero diseado para eliminar, en lo posible, las ambigedades de que ado-lecen los lenguajes naturales.

Ejercicios1. Qu se entiende por 'ambigedad semntica' de un vocablo de

nuestro idioma? Poner un ejemplo.2. Por qu la ambigedad semntica no tiene mucha importancia

desde el punto de vista de la lgica?3. Qu se entiende por 'ambigedad sintctica de un enunciado'?

Poner un ejemplo.4. Qu diferencia hay entre el primero (a) y el segundo (b) miem-

bros de los siguientes pares de expresiones:

(a) Cuando yo dije 'correctamente' me refera a....(b) Cuando yo dije correctamente 'me refera a'....(a) San Jernimo estudiaba la palabra divina.(b) San Jernimo estudiaba la palabra 'divina'.(a) 'Las quince letras' tiene quince letras.(b) Las quince letras son quince letras.(a) 'Violentamente' grit el orador.(b) Violentamente grit el orador.(a) Mara proviene de una familia muy antigua.




(b) 'Mara' proviene de una familia muy antigua.(a) Pedro quera decir de piedra.(b) 'Pedro' quera decir de piedra.(a) En una parte de la carta le escrib a Sonia.(b) En una parte de la carta le escrib 'a Sonia'.(a) En el letrero crey ver su suerte.(b) En el letrero crey ver 'su suerte'.(a) Guadalupe ocupa mucho espacio.(b) 'Guadalupe' ocupa mucho espacio.(a) La multitud clamaba 'Domingo'.(b) 'La multitud' clamaba Domingo.

5. En cada uno de los siguientes ejemplos se presentan ambige-dades sintcticas. Buscar todos los posibles modos en que, sinalterar el significado de las palabras, pueden interpretarse talesenunciados.

(a) Ves el amanecer, o contemplas las montaas, si no est muynublado, hace viento y es temprano.(b) Ms vale que el hombre trabaje, que estudie, que sea flojoy se emborrache.(c) Augusto, el hijo de Esteban, quien por cierto estabaenfermo y Armando salieron apresuradamente.(d) Si la pulsera se lava con ese cido, se pone amarilla, o es decobre, es barata y no es ma.(e) Efran no reconoci a sus hermanos, ni a Pablo, ni a Ivn.(f) Todos los chitas creen en un Dios.(g) Los fenicios vendan muy caro a sus vecinos.

2. LENGUAJE PROPOSICIONAL

2.1 Simbolizacin de Enunciados y Condiciones de Verdad para stos

Volvamos ahora a la tarea cuya necesidad planteamos en las pginasprecedentes: la construccin de un lenguaje simblico que elimine am-bigedades y sea un instrumento ms adecuado que el lenguaje cotidianopara el anlisis de argumentos. Para ello analicemos los enunciados denuestro idioma. Algunos de stos pueden ser considerados como expre-siones complejas, constituidas en parte por enunciados ms sencillos. Porejemplo, *E1 diamante es quebradizo aunque muy duro' (1), es un enun-ciado formado con otros dos, a saber, 'El diamante es quebradizo' y 'Eldiamante es muy duro', por medio de la conjuncin gramatical 'aunque'.



30 LGICA ELEMENTAL

El que la segunda proposicin tenga el mismo sujeto y verbo que la pri-mera nos permite abreviar la formulacin del enunciado (1), que de otramanera quedara 'El diamante es quebradizo aunque el diamante es muyduro'. En general, podemos considerar (1) como formado de las dosenunciados anteriores y de la matriz

X aunque Yen que las variables X y Y deben entenderse como dos lugares vacos quehan de rellenarse con sendas proposiciones. La matriz nos conduce asa la obtencin de nuevos enunciados cuando X y Y son reemplazadospor dos proposiciones cualesquiera. Por ello llamaremos a la matriz an-terior esquema enunciativo de dos variables, al enunciado (1), enuncia-do compuesto, y enunciados simples, a los dos que lo componen. Claroest que un enunciado compuesto puede, a su vez, ser considerado comosimple si forma parte de una proposicin ms compleja. Anlogamentelas matrices

Que X es mentiraW excepto que X y Z

constituyen esquemas enunciativos de una y tres variables respectiva-mente. En particular, estudiaremos ahora ciertos esquemas enunciativosque tienen la siguiente caracterstica: cuando se substituyen sus variablespor proposiciones, el valor de verdad de estas ltimas determina el delenunciado resultante. Por ejemplo, el enunciado 'Ni los fenicios cono-cieron el Mar del Norte, ni los vikingos llegaron a Amrica', (en el quese ha empleado la matriz 'Ni P, ni Q'), es verdadero si 'los vikingos arri-baron a nuestro continente' es falso y asimismo lo es 'los fenicios cono-cieron el Mar del Norte', y falso en cualquier otro caso. Nos basta sabersi estos hechos acaecieron para determinar la verdad o falsedad delenunciado susodicho. En lo sucesivo llamaremos a las matrices de estetipo esquemas enunciativos de verdad y destacaremos cinco de ellas,empleadas comnmente en lgica.

En el lenguaje coloquial una expresin del tipo 'P y Q', se empleaa veces para indicar que hay una conexin peculiar entre las proposi-ciones P y Q, como cuando decimos 'Lo sueltas y se cae'. No obstan-te, nosotros emplearemos en lo sucesivo dicha matriz como unesquema enunciativo de verdad, del cual resultar un enunciado ver-dadero nicamente si las dos proposiciones con que se reemplacen susvariables son asimismo verdaderas. En otras palabras, definimos laconjuncin de P y de Q (a la que denotaremos con el smbolo 'P A Q ' )como el enunciado que es verdadero si P v Q lo son, y falso en cual-quier otro caso; lo cual puede expresarse mediante la tabla de verdadque se muestra a continuacin:




pVVFF

QVFVF

PvQVFFF

Advirtase que la conjuncin de P y de Q es una matriz que, en cier-tos aspectos, se ajusta al uso que en el lenguaje vernculo se da a la par-tcula 'y'.

Anlogamente, un enunciado de la forma ToQ' puede entenderseordinariamente de por lo menos dos maneras, a saber, como afirmandoque una cualquiera de las dos proposiciones que lo constituyen es ver-dadera, pero no ambas a la vez (como en el enunciado 'Alejandro fueel primero o el segundo de los hijos de Filipo'), o bien, que por lo me-nos una de ellas es verdadera o tal vez las dos (como cuando se dice 'Elviento o la lluvia derribaron el rbol'). En lo subsiguiente emplearemosla matriz 'PoQ' de la segunda de las maneras referidas, es decir, de acuer-do con la siguiente tabla:

pVVFF

QVFVF

PvQVVVF

en donde la expresin 'PvQ' denota al esquema enunciativo as defini-do, al que llamaremos la disyuncin de P y Q.

Otro esquema enunciativo de verdad es el que conduce de cada enun-ciado a su negacin. Nos referimos a la matriz 'No es verdadero que P \o 'No P\ en la que, evidentemente, el enunciado resultante de reempla-zar P por una proposicin cualquiera ser verdadero si sta es falsa, yviceversa. Esto se halla representado en la siguiente tabla de verdad:

P ~PV FF V

en la que hemos representado con '~P' a la negacin de P. A veces tam-bin emplearemos el smbolo ' -iP' para representar a la negacin de P.

En el lenguaje coloquial la matriz 'Si P entonces Q' es empleada detal manera que con ella se pretende sealar una relacin, ordinariamentede carcter causal (aunque no siempre), entre los hechos enunciados a



32 LGICA ELEMENTAL

travs de P y de Q. Se dice, por ejemplo, 'Si te arrepientes, entonces tesalvars'. Ahora bien, deseamos emplear un esquema enunciativo deverdad llamado 'el condicional de P y Q' (y denotado por T - Q ' quese ajuste en lo posible al uso comn de dicha matriz. En esta matriz lla-maremos a P el antecedente y a Q el consecuente del condicional. Aquenfrentamos problemas similares a los que tuvimos al definir la conjun-cin y la disyuncin, aunque en este caso sern ms notables. Por ejem-plo, si P y Q son verdaderos, no hay dificultad en conceder que P-Qes verdadero y, anlogamente, que P - Q es falso si P es verdadero y Qfalso, excepto que podra ocurrir que entre P y Q no hubiese una rela-cin aparente. Y en el caso en que el antecedente sea falso, no se vecmo deba considerarse al enunciado resultante. Si, v.gr., un candidatoa algn puesto de eleccin popular declarara ante los votantes 'Si sudecisin me favorece, entonces mandar construir un parque', y luegoresultara vencido, cmo determinaremos si su enunciado es verdade-ro o no lo es? Diramos que es falso si, pongamos por caso, nunca hu-biese tenido la intencin de cumplir su promesa, y sta hubiese sidohecha con la esperanza de ganar adeptos. Pero de ser as, es decir, si pararesolver la verdad o falsedad del enunciado, hubiese que considerar lasintenciones del candidato, no estaramos ante un esquema enunciativode verdad, pues no nos bastara conocer el valor de verdad de los enun-ciados simples, para saber si la proposicin del candidato es verdaderao falsa. A continuacin definiremos el esquema 'si P entonces Q' a tra-vs de una tabla de verdad. Esta representa una convencin que se si-gue ordinariamente en la lgica formal, segn la cual un condicional esverdadero si su antecedente es falso o su consecuente verdadero. Enseguida explicaremos a qu obedece la ordenacin de las letras V y F talcomo aparecen en la tabla.

pVVFF

QVFVF

P->QVFVV

Reiteramos que si bien la eleccin de los valores en la ltima colum-na de la tabla tiene un cierto carcter arbitrario, puesto que no se adap-ta completamente al uso que de las palabras 'si... entonces' hacemosen la vida diaria, asimismo es cierto que est respaldada por muy bue-nas razones. Si hubisemos convenido en que las proposiciones de laforma 'Si P entonces Q' fuesen falsas en el caso representado por elcuarto rengln de la tabla anterior, tendramos que considerar falso un




enunciado tal como 'para cualquier nmero n, si n es par, entonces n2tambin es par', sobre la base de que el antecedente y el consecuenteson falsos cuando, digamos, n=5. Algo similar ocurrira si hubiese sidootra nuestra eleccin para la ltima columna y tercer rengln de la ta-bla anterior.

Notemos que esa convencin nos obliga a conceder que el enuncia-do 'si 1+1=3 entonces la contaminacin ambiental favorece a la salud'es verdadero, aunque el sentido comn lo considerara no falso sino, msbien, sin sentido. Veremos ms adelante que ello no tiene ninguna otraconsecuencia perniciosa, ni desagradable, y que, en cambio, tal esque-ma, as definido, nos es til para el anlisis sintctico de proposicionesy argumentos, que es lo que ahora nos concierne. Recordemos a esterespecto lo que ya hemos dicho en el captulo anterior, cuando tratamoscon la nocin general de argumento. Nos referimos entonces a la conve-niencia de definir un concepto no apegndonos estrictamente al uso con-creto que un vocablo tiene en el lenguaje diario, sino amplindolo de talmanera que, por un lado, sea ms sencillo y, por tanto, ms susceptiblede un anlisis riguroso y que, por otro, su estudio sea aplicable a un cam-po mayor que el que originalmente tenamos. Algo anlogo sea aplicaaqu; al definir de este modo el condicional perdemos algo del significa-do de la matriz 'si... entonces', pero ganamos en precisin. El lector po-dr ver en breve las consecuencias que esto tiene.

Por el momento simplemente advirtamos que, de acuerdo a nuestradefinicin, si P es falsa, P - Q es verdadera, independientemente del va-lor de verdad de Q.

Por ltimo, estipulemos el empleo que haremos del esquema T si yslo si Q' al que denominaremos el bicondicional de P y Q (en smbo-los P Q), mediante la tabla:

P Q P H QV V VV F FF V FF F V

entonces 'P si y slo si Q' ser verdadera cuando coincidan los valoresde verdad de P y de Q, y falsa en cualquier otro caso.

Definicin 1. Llamaremos conectivos lgicos al condicional (>), ala disyuncin (v) , a la conjuncin ( A), al bicondicional (

34 LGICA ELEMENTAL

dio de los esquemas definidos. Por ejemplo, la proposicin 'Si la espe-cie no ha caminado hacia adelante, entonces no importa lo rpido quehaya andado', es falsa nicamente en el caso en que su antecedente seaverdadero y su consecuente falso, y esto a su vez ocurrir cuando 'laespecie ha caminado hacia adelante' sea falsa e 'importa lo rpido quela especie haya andado', verdadera. Todo ello se puede observar mejora travs de la construccin de la siguiente tabla de verdad en que el pri-mero de los dos enunciados anteriormente mencionados est represen-tado con T ' y el segundo con 'Q'.

pVVFF

QVFVF

~PFFVV

~Q .FVFV

-P>VVFV

Advirtase que la simple forma '~P ~Q' es susceptible de malinter-pretarse si se la considera como la negacin de P-> ~Q. Estos problemaspodran evitarse a travs de la escritura de parntesis. Para ello estable-ceremos, desde ahora, una convencin que tiene la virtud de evitar lasconfusiones a que da lugar un empleo descuidado de los parntesis. Porahora, representaremos con letras maysculas a las proposiciones mssimples, y trataremos de simbolizar las proposiciones ordinarias con esasletras y con los conectivos lgicos. Ese ser nuestro primer lenguaje sim-blico. Lo denominaremos lenguaje proposicional o enunciativo. Msadelante ser ampliado, para convertirlo en un instrumento de anlisisms poderoso. En general, llamaremos formas proposicionales a las ex-presiones de este lenguaje que estn bien escritas. La convencin suso-dicha, es decir, las reglas para la correcta escritura de parntesis, seencuentran implcitas en las siguientes definiciones:

Definicin 2. Las letras maysculas del alfabeto con o sin subndicesson frmulas atmicas}

Definicin 3.a) Las frmulas atmicas son formas proposicionales.b) Si a y p son formas proposicionales, tambin lo son ~ a ,

(c) nicamente son formas proposicionales las que satisfagan a) y b).Entonces la expresin (P>(QAR)) es una forma proposicional, a di-

ferencia de lo que ocurre con P-^QAR , en la que es imposible determi-

1 Los subndices se introducen para estar seguros de que tendremos siempre tantas letras comosean necesarias.




nar si se trata de una conjuncin cuyo primer miembro es una condicio-nal, o bien de una una condicional que tiene como consecuente a QR.En general, la regla implcita en la definicin 3 establece que debemoscolocar un par de parntesis por cada conectivo empleado, excepto porla negacin.

Definicin 4. El conectivo principal de una forma proposicional a,es aquel que en la construccin de a a partir de las frmulas atmicasse escribe en ltimo trmino.

As, en ((P-Q)V(RAS)) , el orden de los parntesis nos revela que setrata de una disyuncin, uno de cuyos miembros es (P-^Q) y el otro,( R A S ) . ES decir, es aqu el conectivo principal. Si alguien pretendiera queel conectivo principal es la conjuncin, para saber que estaba equivoca-do le bastara reescribir la frmula de acuerdo con su idea, es decir, colo-cando como ltimo conectivo a. Entonces resultara una frmuladiferente, pues empezara ligando P y Q, por medio del condicional,despus a esto anexara R, a travs de la disyuncin, obteniendo((P>Q)vR); y, finalmente, al agregar la conjuncin con S, obtendra laforma (((P -> Q) v R) A S) que no es la que tenamos originalmente. Es im-portante el saber localizar el conectivo principal de una forma proposicio-nal para las tcnicas de anlisis de argumentos que veremos en lo sucesivo.

Retornemos ahora al anlisis de las condiciones de verdad de unenunciado compuesto a partir de otros, mediante los conectivos lgicos.Este se consigue con la construccin de tablas de verdad. Consideremosel enunciado Tlatn escribi Las leyes o El Timeo y estuvo en Siracu-sa\ Representmoslo primeramente por medio de la forma proposicio-nal ( ( P V Q ) A R ) ) , en donde 'Q' simboliza la proposicin Tlatn escribiEl Timeo\ etc., para hacer ahora su tabla de verdad es necesario tomaren cuenta todas las posibles combinaciones de asignacin de valores deverdad a las letras P, Q y R; es decir, que debemos considerar ocho ca-sos, cada uno de los cuales estar esquematizado por un rengln de latabla. Empecemos entonces la elaboracin de sta colocando en su ex-tremo izquierdo las siguientes columnas

pVVVVFFFF

QVVFFVVFF

RVFVFVFVF



36 LGICA ELEMENTAL

Sabemos por la disposicin de los parntesis en la forma anterior que,en su construccin, a partir de las frmulas atmicas que la componen,se emple primeramente la disyuncin, y ms tarde la conjuncin. Esees el orden en el que debemos llenar la tabla. Por tanto, debemos escri-bir, a continuacin de las anteriores, la siguiente columna:

pVVVVFFFF

QVVFFVVFF

RVFVFVFVF

PvQVVVVVVFF

para el llenado de la cual slo deben tomarse en cuenta las columnascorrespondientes a P y a Q. Por ltimo, agreguemos la columna quecontiene los valores de la forma completa en funcin de los asignadosa P, Q, y R.

P Q R PvQ ( P V Q ) A RVVVVFFFF

VVFFVVFF

VFVFVFVF

VVVVVVFF

VFVFVFFF

Veamos con una forma proposicional sencilla cmo se puede abreviarla escritura de las tablas de verdad. En lugar de la tabla, que ya anteselaboramos, atinente a la forma (~P->~Q) escribamos simplemente:

(~ P -> ~ Q)F V V F VF V V V FV F F F VV F V V F




Ahora los valores correspondientes a la negacin de P se encuentranbajo el signo respectivo, y en la columna bajo el smbolo de condicionaltenemos los valores de la forma completa.

Ejercicios. Escribir las tablas de verdad abreviadas de las siguientesformas proporcicionales:

a) (~P~Q)b) ( ( P < - Q ) A ~ P )c) (P-KQv~R))d) ~(P~(QvR))e) ((P -> (Q - R)) -((P -> Q) -> (P -> R)))

En el lenguaje coloquial se emplean frecuentemente matrices propo-sicionales que si bien no son ninguna de las cinco anteriormente defini-das, s pueden, en cambio, ser representadas a travs de ellas, al menospara los fines que aqu nos conciernen. Quien afirma, v.gr., 'El mercurioes un metal, a pesar de que es un lquido en condiciones normales', afir-ma dos propiedades del mercurio y, por ello, podemos simbolizar dichoenunciado con la forma T A Q \ ES verdad que esa formalizacin no ex-presa cierto matiz de contraposicin o extraeza, implcitamente manifies-to en la proposicin original por medio de la expresin 'a pesar de'. Conella se deseaba tal vez resaltar que esos atributos del mercurio se hallandifcilmente juntos en la naturaleza. Pero, como esta es una cuestin deinterpretacin y que depende de aspectos subjetivos, v.gr., de los conoci-mientos de quien escucha, la dejaremos de lado, aceptando como satisfac-toria la formalizacin propuesta. Anlogamente en los ejemplos quevienen a continuacin, ilustraremos una formalizacin adecuada de algu-nos enunciados coloquiales. Junto a ellos anotaremos las formas proposi-cionales que mejor los representan. Al final de la seccin proporcionamosuna tabla de cmo asignar conectivos a ciertas palabras.

Ejemplos.a) Para que Judith sea juda basta con que haya nacido en Israel.

(P-Q), en donde P representa el enunciado * Judith naci enIsrael' y Q, 'Judith es juda'

b) Para que Erasmo haya conocido a Toms Moro, es necesarioque haya estado en Inglaterra. (P > Q), siendo P 'Erasmo cono-ci a Toms Moro' y Q 'Erasmo estuvo en Inglaterra'

c) Si Aquiles venci a Hctor, entonces era ms fuerte que l, ex-cepto que los dioses lo hayan favorecido.



38 LGICA ELEMENTAL

(P->(~Q->R)), siendo P 'Aquiles venci a Hctor', Q 'losdioses favorecieron a Aquiles' y R 'Aquiles era ms fuerte queHctor'

d) Si hay en tus manos iniquidad y si has dado mal trato a los queestaban en paz contigo, mereces que el enemigo te alcance yhuelle en tierra tu vida. ((P A Q ) > (R A S ) ) , en donde, porejemplo, R simboliza el enunciado 'mereces que el enemigo tealcance'.

e) A Mara no le asustaban las araas, ni las serpientes, pero tem-blaba ante la presencia de un alacrn. ((~P A ~ Q ) A R ) , en la queQ, v.gr., representa la proposicin 'A Mara le asustaban las ser-pientes'.

2.2 Tautologas. Equivalencia lgica.

Definicin 5. Una tautologa es una forma proposicional que en laltima columna de su tabla de verdad slo tiene el valor de verdad V. Porejemplo, son tautologas:

(P->P) ~ ( P A ~ P ) , (~((P ^ Q) -> (~Q -* ~P)), (P -+ (Q -+ P)) etc.

Definicin 6. Un enunciado es tautolgico si resulta de una tautolo-ga por la substitucin de sus frmulas atmicas por proposiciones, re-emplazando una letra cada vez que aparezca por la misma proposicin.Por ejemplo, dado que

es una tautologa, el enunciado 'Si la luna se halla en cuarto creciente,entonces, si es equinoccio, la luna se halla en cuarto creciente' es tau-tolgico. Los enunciados de este tipo son verdaderos nicamente en vir-tud de su forma.

La importancia que los dos conceptos anteriores tienen para la l-gica, quedar de manifiesto en el captulo IV, en el que estudiaremossus relaciones con la nocin de correccin de argumentos. Por ahoradiremos tan slo que cada tautologa lo es en virtud de que simboli-za proposiciones que son verdaderas al margen de toda experiencia.En cada una de las siguientes formas proposicionales puede descu-brirse que se trata de una tautologa, examinando cmo, por la dis-posicin de sus letras y conectivos, representa alguna verdad lgicaimportante:




(P v ~P) Ley del tercero excluido~(P A ~P) Ley de la no contradiccin(P -> Q)(~Q -> ~P) Ley de la contraposicin((P -> Q) A (Q -> R))(P -> R) Transitividad del condicional(((P -> Q) A P) -> Q) Modus ponens

De qu modo estas 'leyes', y otras tautologas, se relacionan con mo-dos correctos de inferir es algo que dejamos para los prximos captulos.

Definicin 7. Una contradiccin formal es una forma proposicionalque en la ltima columna de su tabla de verdad slo tiene el valor F.Por ejemplo:( P A ~ P ) ~(PP) ~(P->(Q->P)) ~ ( P V ~ P )

Definicin 8. Una frmula contingente es una forma proposicionalque no es tautologa ni contradiccin formal.

Definicin 9. Dos formas proposicionales a y P son lgicamenteequivalentes si y slo si (a/3) es una tautologa. Denotaremos dichaequivalencia con la expresin ' cc=P'.

Notemos que cuando dos formas proposicionales son equivalentes,cualquiera de ellas puede substituir a la otra sin que se altere el valorde verdad.

Ejemplos: Si a y P son formas proposicionales, entoncesa) a=~~ a b) (->/?) = (- avp)c) ~(a->jB)S(aA~j8) d) ~(aAp) = (~av~P)

Obsrvese que si a=P, entonces a y p son dos formas distintas de ex-presar la misma idea; v.gr. si alguien niega una condicional, implcitamenteafirma su antecedente y niega su consecuente, como se simboliza en el in-ciso c). Anlogamente, al negar una disyuncin, estamos afirmando quelas dos formas proposicionales que la constituyen (a y P) son falsas y, porlo tanto, que sus negaciones son verdaderas (inciso e)).

Tal vez el lector se extrae del enunciado de la definicin anterior.Por qu escribimos ' a' y ' p', si ni a ni p son formas proposicionales?Bueno, de igual manera que en matemticas simbolizamos a un nme-ro que puede ser cualquiera con variables, y stas son letras y no sm-bolos numricos, aqu tambin utilizamos una variable para expresar queno importa qu formas proposicionales reemplacen a a y a P en lasequivalencias de arriba, el resultado seguir siendo verdadero. Por ejem-plo, substituyendo ' a' por 4(P > Q)\ y ' P' por (R v ~S) en el inciso e),obtenemos la equivalencia:



40 LGICA ELEMENTAL

~((P -> Q) v (R v ~S)) = (~(P -> Q) A ~(R v ~S))

ahora, de acuerdo a c), podemos reemplazar '~(P-Q)' por ' ( P A ~ Q ) 'en la segunda parte de esta equivalencia, de lo cual resulta:

~((P -> Q) v (R v ~S)) e ((P A ~Q) A ~(R v ~S))

anlogamente, podramos substituir f~(R v ~S)' por '(~R A S ) \ de acuer-do a e) y a) (por qu?), para as obtener:

~ ( ( P - > Q ) V ( R V ~ S ) ) = ( ( P A ~ Q ) A ( ~ R A S ) )

la cual es una afirmacin verdadera, como se puede comprobar, haciendola tabla de verdad de

~ ( ( P - * Q ) V ( R V ~ S ) ) O ( ( P A ~ Q ) A ( ~ R A S ) )

y viendo que se trata de una tautologa.A continuacin damos una lista de otras equivalencias muy elemen-

tales. El lector no debe, desde luego, intentar memorizarlas. Todas es-tas equivalencias tienen una razn de ser que es fcil advertir en unsimple anlisis.

( P V Q ) E ( Q V P )( P A Q ) E ( Q A P )( P A ( Q V R ) ) E ( ( P A Q ) V ( P A R ) )( P V ( Q A R ) ) = ( ( P V Q ) A ( P V R ) )(Pf+Q)s((P->Q)A(Q->P))( P < - + Q ) E E ( ( P A Q ) V ( ~ P A ~ Q ) )~(PQ) = ( ( P A ~ Q ) V ( ~ P A Q ) )

TABLA EN QUE SE RELACIONAN CIERTAS EXPRESIONES DEL LENGUAJECOTIDIANO CON LOS CONECTIVOS LGICOS

~p

(PVQ)

NopNo es cierto que PNo es el caso que PNo es verdad que PP o Q o ambosP o Q0 P 0 Q




(PAQ)

(~PA~Q)

(P^Q)

(PQ)

P y QP aunque QQ pero PAmbos P y QP a pesar de que QNi P ni QSi P entonces QSiP,QEn caso de P, QP implica QQ,siPQ cuando PQ en caso de que PP slo si QP slo cuando QP es una condicinsuficiente para que QQ es una condicin necesaria para que PP si y slo si QQ si P y P si QP es una condicin necesaria y suficiente para que QP cuando y slo cuando QSi P entonces Q, e inversamente

Ejercicios1. Qu es un esquema enunciativo? Dar algunos ejemplos.2. Qu caracteriza a un esquema enunciativo de verdad?

Dar un ejemplo que no aparezca en el texto.3. Cules son las ventajas, y cules los inconvenientes, de definir

el condicional como un esquema enunciativo de verdad con losvalores que le asignamos?

4. Qu es una tautologa? Dar tres ejemplos.5. Qu es una contradiccin formal? Dar ejemplos.6. Qu es una frmula contingente?7. Cundo decimos que dos formas proposicionales son lgica-

mente equivalentes?8. Dadas las formas proposicionales de la izquierda, escribir a su

derecha una forma equivalente conteniendo los conectivos queall se especifican.



42 LGICA ELEMENTAL

Por ejemplo:

Escriba una forma equivalente a

(P->Q) en trminos de ~ y J (~PvQ)(a)(PvQ) ~ y A(b)(PAQ) ~ y v( C ) ( P H Q ) ~ , v , y A

Puede dar una justificacin intuitiva a sus respuestas?10. Dar una forma equivalente a

que no tenga signos de negacin.11. Simbolizar los siguientes enunciados con formas proposiciona-

les adecuadas. Decir con qu letra va a simbolizar cada enun-ciado.(a) No quiero oro, ni quiero plata. Yo lo que quiero es romper

la piata.(b) No me gusta el rojo, el azul tampoco.(c) Las mujeres embarazadas deben evitar el consumo de alco-

hol porque afecta al feto.(d) Es suficiente para una filosofa de la ciencia mostrar la exis-

tencia de mecanismos causales, o tiene que elaborar unateora metafsica de la realidad.

(e) Joaqun va al cine a menos que llueva.(f) Estoy confuso, t tambin.(g) Una condicin suficiente para que yo apruebe el curso es

que apruebe los exmenes parciales.(h) Una condicin necesaria para que Humberto ra es que

est ebrio.(1) Voy al teatro slo si ponen una obra de Shakespeare,(j) Estudio ingls si puedo salir ms temprano de la oficina.

3. LENGUAJE DE PREDICADOS

3.1 Simbolizacin de Enunciados con cuantificadores.

En muchas ocasiones, para determinar si un argumento es o no correc-to, nos bastar, en cuanto a su simbolizacin se refiere, con representar




sus enunciados como hasta ahora lo hemos hecho, es decir, considern-dolos como proposiciones complejas formadas a partir de otras ms sen-cillas, por medio de los conectivos lgicos. Sin embargo, hay otros casosen que, para ese fin, ser necesario llevar a cabo un anlisis y simboli-zacin ms finos de los enunciados, que d cuenta de la estructura inter-na de las proposiciones que antes hubisemos concebido como atmicas.Por ejemplo, en el argumento con la sola premisa 'Ningn cnsul asesi-n a Csar', y cuya conclusin es 'Ninguno de los asesinos de Csar eracnsul', la correccin depende, entre otras cosas, de que ambas propo-siciones comienzan con la palabra 'ningn', por lo cual de nada nos ser-vira el simbolizarlas con sendas letras enunciativas.

La lgica tradicional consideraba a todos los enunciados simplescomo formados de tres elementos: el sujeto, la cpula y el predicado.Este ltimo era el nombre de un gnero, mientras que el sujeto lo erade una especie, bien, de un individuo. La proposicin entonces asevera-ba o negaba la inclusin de una especie en un gnero (en cuyo caso sellamaba general), o la pertenencia al mismo de un individuo (si era sin-gular). A su vez las proposiciones generales se clasificaban en universa-les y particulares, segn que se atribuyera el predicado a todo el sujetoo slo a una parte de ste. Ejemplo del primer tipo (es decir, general yuniversal) sera la oracin 'Todos los espartanos eran hbiles guerreros',y del segundo (general particular), el enunciado 'Algunos fenicios lle-garon a Amrica'. No entraremos ahora en la estudio de estas formastradicionales de anlisis lgico. Ejemplos posteriores, as como la expo-sicin del lenguaje formal que ofrecemos a continuacin, mostrarn lasinsuficiencias de que dichas formas adolecen para nuestros propsitosactuales.

Para hacer claro el tipo de anlisis a que someteremos las proposi-ciones atmicas, consideremos el ejemplo de ciertas ecuaciones alge-braicas, como 'x+l=4'. Esta expresin en s no es un enunciado, puesno es ni verdadera ni falsa, pero se convierte en un enunciado aritm-tico si en lugar de la variable 'x' colocamos un nombre de nmero. Porcada cifra que reemplace a 'x' tendremos una identidad numrica, falsao verdadera. Veamos ahora cmo generalizar esta idea para hacerlaaplicable a las expresiones o-a los enunciados de nuestro lenguaje dia-rio. A ttulo de ilustracin, consideremos la clusula 'el padre de x', enla que la variable 'x' no denota a un individuo, ni a nada en particu-lar, sino que representa un espacio vaco en el que debemos colocar elnombre de alguna persona. Obviamente, si se reemplaza a 'x' por 'Ale-jandro Magno', se obtiene una designacin de Filipo, mientras que sien lugar de 'x' aparece 'Can', se tiene una referencia al primer habi-tante humano del Paraso. De igual manera, extendiendo an ms este



44 LGICA ELEMENTAL

recurso, podemos pensar que la proposicin 'El Rey de Roma murisiendo joven' est formada por un sujeto, 'El Rey de Roma', y la ma-triz 'x muri siendo joven', en la

fernandez de castro max logica elemental

Documents