Gas de fermiUn gas de Fermi es un modelo físico, un sistema ideal de fermiones libres, es decir, que no

interactúan entre sí, a diferencia de un líquido de Fermi, en el que sí existen interacciones.1 Puesto

que protones, neutrones y electrones están descritos por la estadística de Fermi, se pueden

describir en una primera aproximación con este modelo de gas de Fermi los nucleones en el

interior del núcleo atómico, los neutrones en una estrella de neutrones o los electrones de

conducción de un metal o semiconductor.

La distribución de la energía de los fermiones en un gas de Fermi en equilibrio térmico se

determina por su densidad, temperatura, y el conjunto de estados de energía disponible, a través

de la estadística de Fermi-Dirac.

Por el principio de Pauli, ningún estado cuántico puede ser ocupado por más de un fermión (con

propiedades idénticas), y así un gas de Fermi, a diferencia de un gas de Bose, está prohibido que

condense en un condensado de Bose-Einstein.2 Por lo tanto la energía total del gas de Fermi en

el cero absoluto es mayor que la suma de las energías de los estados fundamentales de las

partículas aisladas, debido a que el principio de Pauli actúa como una especie de

interacción/presión que mantiene a los fermiones separados y en movimiento. Por esta razón,

la presión de un gas de Fermi es distinta de cero, incluso a temperatura cero, en contraste con la

de un gas ideal clásico. Esta llamada presión de degeneración estabiliza una estrella de

neutrones (un gas de Fermi de neutrones) o una estrella enana blanca (un gas de Fermi de

electrones) contra la fuerza centrípeta de la gravedad, que aparentemente provocaría el colapso de

la estrella en un agujero negro. Sólo cuando una estrella es suficientemente masiva para superar la

presión de degeneración puede colapsar en una singularidad.

Temperatura de Fermi. Energía de Fermi. Superficie de Fermi.

Es posible definir una temperatura de Fermi, por debajo del cual el gas se puede considerar

degenerado (la presión se deriva casi exclusivamente del principio de Pauli). Esta temperatura

depende de la masa de los fermiones y la densidad de estados de energía. Para los metales, la

temperatura del gas de electrones de Fermi es generalmente de muchos miles de kelvins, así que

en aplicaciones en seres humanos pueden ser considerados degenerados. La energía máxima de

los fermiones en el cero de temperatura se llama la energía de Fermi. La superficie de la energía

de Fermi en elespacio de momentos se conoce como la superficie de Fermi.

Dado que las interacciones entre partículas no existen por definición, el problema del tratamiento

de las propiedades de equilibrio y el comportamiento dinámico de un gas de Fermi se reduce al

estudio del comportamiento de las partículas individuales independientes. Como tal, es

relativamente manejable y constituye el punto de partida de las teorías más avanzadas que se

ocupan de la interacción (como la teoría del líquido de Fermi o la teoría de perturbaciones).

Un gas de Fermi compuesto por partículas idénticas sigue la estadística de Fermi-Dirac, de la cual

se deduce que:

(1) 

que representan los valores medios de los números de ocupación para un gas de Fermi. Para

un gas de Fermi todos los números de ocupación son  . La normalización impone:

donde N es el número total de partículas del gas. A partir de aquí podemos determinar

el potencial termodinámico.

El hamiltoniano de un gas de Fermi constituido por N fermiones de masa m encerrados

en el interior de una caja cúbica de lado L es:

(2)  donde la energía de cada partícula individual es:

(3) 

expresada en términos de autovalores (es decir los valores de energía accesibles al

sistema):  . Teniendo en cuenta la degeneración de espín g = 2s +

1 donde s es el espín del fermión, el número de partículas en el elemento de volumen

del espacio de fases es:

(4) 

y por tanto se tiene para la distribución de Fermi:

(5) 

Más precisamente integrando la ecuación anterior (5) en dV obtenemos la distribución del

impulso:

(6) 

y como  , deducimos fácilmente la distribución de energía:

(7) 

Las expresiones (6) y (7) son las distribuciones de Maxwell en el caso de un gas de Fermi.

El número total de partículas se obtiene integrando la expresión (7):

(8) 

mientras a partir de la (6) se obtiene la energía:

(9) 

Podemos obtener el potencial termodinámico a partir de la (7):

(10) 

que coincide con la energía excepto en un factor:

(11) 

que es una relación del todo general que vale para todos los sistemas o distribuciones,

sean de Bose, de Fermi o de Boltzmann.

Gas de Fermi completamente degenerado

Supongamos que tenemos un gas de fermiones de espín s = 1 / 2 (por tanto g = 2s + 1 = 2), por

ejemplo, electrones, a una temperatura absoluta  ; los electrones a tal temperatura

tratan de ponerse en los estados de menor energía de modo que la energía total alcance el valor

más bajo posible, partiendo del estado de energía nula, hasta un cierto valor.

El número de estados cuánticos de un electrón en un volumen V, con impulso comprendido en el

intervalo (p,p + dp), viene dado por la expresión (6):

(12) 

Los electrones ocupan todos los estados con impulso igual a cero (nótese que ε = p2 / 2m)

hasta el valor p = pF llamado impulso de Fermi, que equivale en el espacio de impulsos, al

rayo de una esfera llamada esfera de Fermi. El número total de electrones en estos estados

viene dado por:

(13) 

y de aquí podemos obtener el impulso de Fermi:

(14) 

y la energía de Fermi:

(15) 

Esto se puede ver también en los números de ocupación medios (1). De hecho en el

límite  :

es decir los números de ocupación medios se convierten en una función a intervalos

haciéndonos pensar en el hecho de que para p < pF o   los electrones se disponen

a partir del nivel ε = 0hasta los niveles p = pF o   con la condición que en un nivel

haya como máximo una partícula según el principio de exclusión de Pauli, después de

estos valores, p > pF no hay más electrones que ordenar. Téngase en cuenta que:

(16) 

La energía total del gas de Fermi completamente degenerado se obtiene de la integración:

(17)

que, sustituyendo la expresión del impulso de Fermi (14) y, en el próximo paso, la de la

energía de Fermi (15), se convierte en:

Al fin, usando la relación general (11), se obtiene:

es decir: la presión es proporcional a la densidad según la potencia 5/3.

Según el modelo de Drude-Lorentz la velocidad de los electrones debería variar con la raíz cuadrada de la temperatura, pero cuando se compara el tiempo entre colisiones estimado por el modelo de Drude-Lorentz con la conductividad a bajas velocidades, no se obtienen valores coherentes, ya que esas predicciones del modelo sólo son compatibles con distancias interiónicas muchas veces veces mayores que las distancias reales.

En el modelo cuántico los electrones son acelerados por el campo eléctrico, y también interaccionan con la red cristalina transfiriéndole parte de su energía y provocando el efecto Joule. Sin embargo, al ser dispersados en una colisión con la red, por el principio de exclusión de Pauli los electrones deben acabar después de la colisión con el momentum lineal de un estado cuántico que previamente estuviera vacío, eso hace que los electrones dispersados con mayor probabilidad sean los más energéticos. Tras ser dispersados pasan a

estados cuánticos con un momentum negativo de menor energía, esa dispersión continua hacia estados de momentum opuesto es lo que contrarresta el efecto acelerador del campo. En esencia este modelo comparte con el modelo clásico de Drude-Lorentz la idea de que es la interacción con la red cristalina lo que hace que los electrones se muevan a una velocidad estacionaria y no se aceleren más allá de un cierto límite. Aunque cuantitativamente los dos modelos difieren especialmente a bajas temperaturas.

Dentro del modelo cuántico la conductividad viene dada por una expresión superficialmente similar al modelo clásico de Drude-Lorentz:

Donde:

se llama también tiempo de relajación y aqueí es inversamente proporcional a la probabilidad de dispersión por parte de la red cristalina.

no es ahora directamente la masa del electrón sino una masa efectiva que está relacionada con la energía de Fermi del metal.

Si por un razonamiento cuántico se trata de calcular la probabilidad de dispersón se tiene:

Donde:

es la probabilidad de dispersión.el número de iones dispersores por unidad de volumen.

es la sección eficaz de cada dispersor.es la velocidad de un electrón que tiene la energía de Fermi.

De acuerdo con los cálculos cuánticos, la sección eficaz de los dispersores es proporcional al cuadrado de la amplitud de su vibración térmica, y como dicho cuadrado es proporcional a la energía térmica, y esta es proporcional a la temperatura T se tiene que a bajas temperaturas:

Este comportamiento predicho correctamente por el modelo no podía ser explicado por el modelo clásico de Drude-Lorentz, por lo que dicho modelo se considera superado por el correspondiente modelo cuántico especialmente para bajas temperaturas.